Gianni CominiGiovanni Cortella

F o n d a m e n t i d i T R A S M I S S I O N E D E L C A L O R E

IV edizione

In copertina: Campo termico nella convezione naturale laminare da un cilindro caldo contenuto in una cavità fredda.

Copyright © 2013

Servizi Grafici EditorialiVia Lagrange, 3 - 35143 PadovaTel. 049 620319 - Fax 049 623564e-mail: sge@sgeditoriali.it

1a Edizione 19992a Edizione 20013a Edizione riveduta ed ampliata 2005Ristampa corretta 20084a Edizione 2013

I diritti di traduzione, di riproduzione e di adattamentototale o parziale, con qualsiasi mezzo(compreso i microfilms e le copie fotostatiche)sono riservati per tutti i Paesi.

Volumi pubblicati

G. Comini, G. Croce, S. Savino, ENERGETICA GENERALE

G. Comini, S. Savino, FONDAMENTI TERMODINAMICIG. Comini, S. Savino, DELL’ENERGETICA

G. Comini, FONDAMENTI DI TERMODINAMICA APPLICATA

A cura di G. Comini, FONDAMENTI DI TERMOFLUIDODINAMICA A cura di G. Comini, COMPUTAZIONALE

Prefazione

Grazie alle segnalazioni di colleghi e studenti, la quarta edizione del volume è stata ulteriormente migliorata rendendo più chiara la trattazione in diversi punti e correggendo alcuni errori materiali residui. Il migliora-mento più importante, tuttavia, è stato l’inserimento di un nuovo capitolo sulla trasmissione del calore per irraggiamento attraverso i materiali semitrasparenti. Il nuovo capitolo, tra l’altro, fornisce gli strumenti fisico-matematici necessari per la comprensione e la progettazione termica delle vetrate con rivestimenti selettivi il cui utilizzo è, sostanzialmente, reso obbligatorio dalle recenti normative sul risparmio energetico negli edifici. Il nuovo capitolo, quindi, si propone come ausilio indispensabile per tutti i futuri ingegneri ed i tecnici che, oltre ad applicare le normative, desiderino comprenderne le basi termotecniche.

L’impostazione generale del volume è rimasta invariata e la tratta-zione resta strutturata in modo da facilitare i successivi approfondimenti. Inoltre, i singoli capitoli sono, in larga misura, autosufficienti e ciò consente l’individuazione di percorsi didattici abbreviati che possono non comprendere, ad esempio:• la formulazione delle equazioni generali della conduzione ed i metodi

numerici, al Capitolo 2; • la conduzione stazionaria bidimensionale, al Capitolo 3;• alcuni argomenti di conduzione in transitorio, al Capitolo 4; • l’intero Capitolo 5, dedicato alla formulazione delle equazioni generali

della convezione;• gran parte del Capitolo 9, dedicato all’ebollizione ed alla condensa-

zione;• l’intero Capitolo 12 dedicato alla radiazione nei materiali semitraspa-

renti e• l’intero Capitolo 13 dedicato al trasporto di massa.

Questi argomenti possono essere vantaggiosamente ripresi nei corsi di approfondimento od, in alternativa, possono essere lasciati allo studio individuale durante la successiva attività professionale. In quest’ultimo caso, il testo può essere convenientemente utilizzato come “guida” all’ana-lisi di problemi complessi, o come “introduzione” all’impiego dei codici di calcolo commerciali. Per agevolare lo studio individuale, gli sviluppi algebrici sono riportati in forma esplicita e, solo in un numero molto limi-

tato di casi, sono chiaramente individuati come troppo complessi per un corso di base. Inoltre numerosi esempi di applicazione, completamente svolti, illustrano la “teoria” ed abituano a formulare modelli per la solu-zione dei problemi di interesse pratico.

Con ulteriori riduzioni quantitative, facilmente individuabili dai docenti sulla base della loro esperienza, il testo può essere utilizzato anche in quelle situazioni, ormai frequenti, nelle quali l’insegnamento dell’intera Fisica Tecnica è compresso in un solo modulo didattico.

L’impostazione generale del volume è quella classica, fondata sui bilanci di massa, energia e quantità di moto. Nell’esposizione, si è seguito il percorso storico che prevede la suddivisione dei contenuti nelle tre classi fondamentali: conduzione, convezione ed irraggiamento. Da questo punto di vista, ebollizione e condensazione sono accomunate alla conve-zione, se non altro per la presenza di “strati limite” nei quali si concentra la resistenza termica. La teoria elementare degli scambiatori di calore è affrontata dopo l’analisi di ebollizione e condensazione, in modo da non escludere dalla trattazione evaporatori e condensatori. Nell’illustrazione dello scambio termico radiativo, si dedica ampio spazio ai concetti generali (che possono tornare utili anche in altre discipline: si pensi, ad esempio, all’Illuminotecnica), mentre non si insiste troppo sulla “dire-zionalità” dei fenomeni di emissione ed assorbimento delle radiazioni, a causa della povertà dei dati disponibili in letteratura. Infine, per non interrompere la continuità dell’esposizione classica della trasmissione del calore, la radiazione nei materiali semitrasparenti, il trasporto di massa, ed i problemi collegati di trasporto simultaneo di calore e di massa, sono discussi negli ultimi due capitoli.

Evidentemente, i testi didattici risentono molto dei contributi dei colleghi che li utilizzano. In questo caso, è doveroso ricordare la colla-borazione ricevuta nel corso degli anni da Stefano Del Giudice, Paola D’Agaro, Marco Manzan, Carlo Nonino, Onorio Saro e Stefano Savino. Le discussioni con loro e le segnalazioni ricevute da loro e dagli studenti sono state fondamentali per decidere l’impostazione di molti argomenti e per correggere numerosi errori materiali. Naturalmente, la responsabilità di lacune ed errori residui appartiene agli Autori.

Gianni Comini, Giovanni CortellaUdine, marzo 2013.

INDICE

CAPITOLO 1MODALITÀ DI SCAMBIO TERMICO1.1 GENERALITÀ .................................................................... pag. 11.2 SCAMBI DI ENERGIA .........................................................« 21.3 CONDUZIONE ......................................................................« 5

1.3.1 Mezzi Anisotropi ....................................................................« 91.3.2 Gradiente in Coordinate non Cartesiane ......................................« 10

1.4 CONDUTTIVITÀ TERMICA ..............................................« 131.4.1 Solidi ...................................................................................« 131.4.2 Fluidi ...................................................................................« 14

1.5 CONVEZIONE .......................................................................« 151.6 IRRAGGIAMENTO ..............................................................« 211.7 COMBINAZIONE DI PIÙ MECCANISMI ........................« 24

1.7.1 Scambio Termico nei Materiali da Costruzione ed Isolanti ..............« 251.8 CONCLUSIONI .....................................................................« 26

CAPITOLO 2EQUAZIONI DELLA CONDUZIONE2.1 GENERALITÀ .......................................................................« 292.2 EQUAZIONI DELLA CONDUZIONE ...............................« 30

2.2.1 Espressioni del Laplaciano in Coordinate Cartesiane .....................« 332.2.2 Espressioni del Laplaciano in Coordinate Cilindriche ....................« 362.2.3 Espressioni del Laplaciano in Coordinate Sferiche ........................« 372.2.4 Condizioni al Contorno e Condizioni Iniziali ................................« 37

2.3 METODI NUMERICI ...........................................................« 462.3.1 Regime Stazionario .................................................................« 522.3.2 Regime Transitorio .................................................................« 54

2.4 CONCLUSIONI .....................................................................« 58

VI INDICE

CAPITOLO 3CONDUZIONE IN REGIME STAZIONARIO3.1 GENERALITÀ .................................................................... pag. 593.2 PARETI PIANE MONOSTRATO ........................................« 59

3.2.1 CoefficientediTrasmissioneGlobaleperloStratoPiano ................« 623.2.2 Conduttività Termica Dipendente dalla Temperatura ......................« 653.2.3 Numero di Biot ......................................................................« 66

3.3 PARETI PIANE MULTISTRATO .......................................« 673.4 PARETI CILINDRICHE MONOSTRATO .........................« 70

3.4.1 CoefficientediTrasmissioneGlobaleperloStratoCilindrico ..........« 753.5 PARETI CILINDRICHE MULTISTRATO ........................« 79

3.5.1 Raggio Critico di Isolamento.....................................................« 833.6 SUPERFICI ALETTATE ......................................................« 85

3.6.1 Distribuzione di Temperatura nelle Alette Piane ...........................« 853.6.2 EfficienzadelleAlette .............................................................« 913.6.3 Batterie Alettate .....................................................................« 95

3.7 GENERAZIONE INTERNA DI CALORE .........................« 993.7.1 Generazione Interna di Calore in uno Strato Piano ........................« 1003.7.2 Generazione Interna di Calore in una Barra Cilindrica ...................« 103

3.8 CONDUZIONE BIDIMENSIONALE IN REGIME STAZIONARIO .....................................................................« 106

3.8.1 Soluzione Analitica Esatta di un Problema Bidimensionale ............« 1073.8.2 Fattori di Forma .....................................................................« 111

3.9 CONCLUSIONI ....................................................................« 114

CAPITOLO 4CONDUZIONE IN REGIME TRANSITORIO4.1 GENERALITÀ ......................................................................« 1154.2 SCHEMATIZZAZIONE ......................................................« 1164.3 RESISTENZA INTERNA TRASCURABILE ....................« 1174.4 RESISTENZA INTERNA NON TRASCURABILE ..........« 124

4.4.1 Transitorio Termico in Geometrie Monodimensionali ....................« 1254.4.2 Diagrammi per la Conduzione in Regime Transitorio ....................« 1304.4.3 Soluzioni Approssimate ...........................................................« 1474.4.4 Transitorio Termico in Geometrie Multidimensionali ....................« 151

VIIINDICE

4.5 CORPO SEMINFINITO ................................................... pag. 1544.5.1 VariazioneaGradinodellaTemperaturainSuperficie ...................« 1554.5.2 VariazioneSinusoidaledellaTemperaturainSuperficie .................« 163

4.6 CONDUZIONE CON CAMBIAMENTO DI FASE ...........« 1684.7 CONCLUSIONI ....................................................................« 174

CAPITOLO 5EQUAZIONI DELLA CONVEZIONE5.1 GENERALITÀ ......................................................................« 1775.2 CONSERVAZIONE DELLA MASSA .................................« 1775.3 CONSERVAZIONE DELL’ENERGIA ...............................« 180

5.3.1 Equazione dell’Energia in Forma Completa ................................« 1835.3.2 Condizioni al Contorno e Condizioni Iniziali per l’Equazione dell’Energia ..........................................................................« 1845.3.3 CoefficientediConvezione ......................................................« 186

5.4 CONSERVAZIONE DELLA QUANTITÀ DI MOTO ......« 1875.4.1 Equazioni di Navier ................................................................« 1875.4.2 Leggi di Stokes ......................................................................« 1935.4.3 Viscosità dei Fluidi .................................................................« 2015.4.4 Equazioni di Navier-Stokes ......................................................« 2035.4.5 Equazioni di Navier-Stokes in Convezione Naturale .....................« 2065.4.6 Condizioni al Contorno e Condizioni Iniziali per le Equazioni di Navier-Stokes .......................................................................« 208

5.5 CONVEZIONE TURBOLENTA .........................................« 2095.5.1 Equazione Media Temporale della Continuità ..............................« 2125.5.2 Equazione Media Temporale dell’Energia ...................................« 2125.5.3 Equazioni Medie Temporali di Navier-Stokes ..............................« 215

5.6 PROCEDURE DI SOLUZIONE NUMERICA ..................« 2195.7 CONCLUSIONI ....................................................................« 220

CAPITOLO 6CONVEZIONE FORZATA ESTERNA6.1 GENERALITÀ ......................................................................« 2236.2 STRATO LIMITE LAMINARE ..........................................« 224

6.2.1 Numero di Nusselt .................................................................« 228

VIII INDICE

6.3 EQUAZIONI DELLO STRATO LIMITE LAMINARE ... pag. 2326.3.1 Continuità ............................................................................« 2346.3.2 Conservazione della Quantità di Moto ........................................« 2356.3.3 Conservazione dell’Energia .....................................................« 241

6.4 ADIMENSIONALIZZAZIONE DELLE EQUAZIONI DELLO STRATO LIMITE ..................................................« 244

6.4.1 Numeri di Reynolds e Prandtl ...................................................« 2456.4.2 Convezione Forzata Laminare su una Lastra Piana .......................« 247

6.5 STRATO LIMITE TURBOLENTO ....................................« 2536.5.1 Viscosità Cinematica Turbolenta ...............................................« 2546.5.2 Diffusività Termica Turbolenta .................................................« 2586.5.3 Analogia tra Convezione ed Attrito ............................................« 2626.5.4 Convezione Forzata Turbolenta su una Lastra Piana ......................« 2646.5.5 Analisi delle Correlazioni per una Lastra Piana ............................« 265

6.6 SEPARAZIONE DELLO STRATO LIMITE .....................« 2666.6.1 ConvezioneForzatanelDeflussoTrasversaleaSuperfici Cilindriche ...........................................................................« 270

6.7 PROCEDURA DI CALCOLO .............................................« 2726.8 CONCLUSIONI ....................................................................« 278

CAPITOLO 7CONVEZIONE FORZATA INTERNA7.1 GENERALITÀ ......................................................................« 2797.2 CAMPO DI MOTO ...............................................................« 2807.3 PERDITE DI CARICO .........................................................« 285

7.3.1 Perdite di Carico Distribuite .....................................................« 2867.3.2 Perdite di Carico Localizzate ....................................................« 293

7.4 CAMPO TERMICO ..............................................................« 2967.4.1 Valutazione dei Flussi Termici ..................................................« 2977.4.2 Campo Termico Completamente Sviluppato ................................« 2997.4.3 Sviluppo del Campo Termico in Regime Laminare .......................« 3047.4.4 Sviluppo del Campo Termico in Regime Turbolento .....................« 3067.4.5 InfluenzadellaRugosità ..........................................................« 307

7.5 DIAMETRO IDRAULICO ..................................................« 3077.6 PROCEDURA DI CALCOLO .............................................« 309

IXINDICE

7.7 CONCLUSIONI ................................................................. pag. 318

CAPITOLO 8CONVEZIONE NATURALE8.1 GENERALITÀ ......................................................................« 3198.2 EQUAZIONI DELLA CONVEZIONE NATURALE ........« 3208.3 ADIMENSIONALIZZAZIONE DELLE EQUAZIONI DELLA CONVEZIONE NATURALE ................................« 324

8.3.1 Numeri di Grashof e Rayleigh ..................................................« 3278.3.2 Strato Limite Turbolento .........................................................« 332

8.4 CORRELAZIONI PER LA CONVEZIONE NATURALE ESTERNA ..............................................................................« 334

8.4.1 Convezione Naturale su una Lastra Piana Verticale .......................« 3368.4.2 Convezione Naturale su una Lastra Piana Orizzontale ...................« 3388.4.3 Convezione Naturale su Cilindri Orizzontali Lunghi .....................« 342

8.5 CONVEZIONE NATURALE IN CAVITÀ CHIUSE .........« 3458.6 CONVEZIONE MISTA ........................................................« 3508.7 CONCLUSIONI ....................................................................« 354

CAPITOLO 9EBOLLIZIONE E CONDENSAZIONE9.1 GENERALITÀ ......................................................................« 3559.2 FENOMENOLOGIA DELL’EBOLLIZIONE ...................« 355

9.2.1 Equilibrio di una Bolla ............................................................« 3569.2.2 Formazione e Distacco di una Bolla ...........................................« 359

9.3 EBOLLIZIONE NEI LIQUIDI IN QUIETE ......................« 3619.3.1 CoefficientediScambioTermiconell’EbollizioneaNuclei ............« 3649.3.2 Flusso Termico Massimo nell’Ebollizione a Nuclei .......................« 365

9.4 EBOLLIZIONE IN CONVEZIONE FORZATA ...............« 3689.4.1 CoefficientediScambioTermiconell’EbollizioneinConvezione Forzata ................................................................................« 3729.4.2 Flusso Termico Massimo nell’Ebollizione in Convezione Forzata ....« 378

9.5 FENOMENOLOGIA DELLA CONDENSAZIONE ..........« 3799.6 CONDENSAZIONE ESTERNA ..........................................« 380

9.6.1 InfluenzadegliIncondensabili ..................................................« 387

X INDICE

9.6.2 InfluenzadellaVelocitàdelVapore ......................................... pag. 3889.7 CONDENSAZIONE INTERNA ..........................................« 3919.8 PERDITE DI CARICO NEL MOTO BIFASE ...................« 3949.9 CONCLUSIONI ....................................................................« 394

CAPITOLO 10SCAMBIATORI DI CALORE10.1 GENERALITÀ ...................................................................« 39710.2 CLASSI DI SCAMBIATORI .............................................« 39810.3 PROGETTAZIONE DEGLI SCAMBIATORI ................« 404

10.3.1 Andamenti delle Temperature negli Scambiatori in Equicorrente e Controcorrente .....................................................................« 406

10.3.2 Differenza di Temperatura Media Logaritmica .............................« 41110.3.3 Scambiatori a Passaggi Multipli ed a Correnti Incrociate ...............« 416

10.4 EFFICIENZA DEGLI SCAMBIATORI ..........................« 42210.4.1EfficienzadegliScambiatoriinEquicorrenteeControcorrente ........« 42410.4.2EfficienzadegliScambiatoriaPassaggiMultipliedaCorrenti Incrociate .............................................................................« 43010.4.3RelazionetraEfficienzaeFattorediCorrezione ...........................« 436

10.5 CONCLUSIONI ..................................................................« 437

CAPITOLO 11IRRAGGIAMENTO TERMICO11.1 GENERALITÀ ...................................................................« 43911.2 FISICA DELLA RADIAZIONE .......................................« 44011.3 GRANDEZZE FONDAMENTALI ...................................« 441

11.3.1 Radiazione Emessa ................................................................« 44211.3.2 Irradianza e Radiosità .............................................................« 446

11.4 RADIAZIONE DEL CORPO NERO ...............................« 45011.4.1 Leggi di Emissione del Corpo Nero ...........................................« 45111.4.2 Calcolo della Radiazione di Corpo Nero .....................................« 455

11.5 SUPERFICI REALI ...........................................................« 45811.5.1 Emissività ............................................................................« 45811.5.2CoefficientediAssorbimento ...................................................« 46111.5.3 Legge di Kirchhoff .................................................................« 462

XIINDICE

11.5.4CoefficientidiRiflessioneeTrasmissione ................................ pag. 46711.5.5 Corpo Grigio .........................................................................« 471

11.6 SCAMBIO TERMICO RADIATIVO ...............................« 47211.6.1 Fattori di Vista .......................................................................« 47211.6.2RelazionitraiFattoridiVistaperpiùdidueSuperfici ...................« 47711.6.3ScambioTermicoRadiativotraSuperficiNere .............................« 47911.6.4FlussoNettoUscentedaunaSuperficieGrigia .............................« 48211.6.5ScambioTermicoRadiativotradueSuperficiGrigie .....................« 48411.6.6IrraggiamentoinCavitàcondueSuperficiGrigie .........................« 48511.6.7IrraggiamentoinCavitàconpiùSuperficiGrigie ..........................« 493

11.7 EMISSIONE ED ASSORBIMENTO DI GAS E FIAMME .........................................................................« 502

11.7.1 Scambio Termico Radiativo nei Gas ..........................................« 50211.7.2 Scambio Termico Radiativo nelle Fiamme ..................................« 506

11.8 CONCLUSIONI ..................................................................« 507

CAPITOLO 12RADIAZIONE NEI MATERIALI SEMITRASPARENTI12.1 GENERALITÀ ...................................................................« 509 12.2 PROPAGAZIONE ..............................................................« 510

12.2.1 Materiali Semitrasparenti .........................................................« 51112.2.2 Polarizzazione ........................................................................« 516

12.3 RIFLESSIONE E RIFRAZIONE .....................................« 51812.3.1CoefficientidiRiflessione ........................................................« 522

12.4 LASTRE TRASPARENTI .................................................« 525 12.4.1 Lastra Singola ........................................................................« 52712.4.2 Calcolo di una Lastra Singola ....................................................« 53012.4.3 Rivestimenti Sottili .................................................................« 533

12.5 VETRATE PER L’EDILIZIA ............................................« 54012.5.1 Sistema di due Lastre...............................................................« 54112.5.2 Calcolo di una Vetrata Doppia ...................................................« 54412.5.3 Fattore Solare.........................................................................« 548

12.6 COPERTURE DEI PANNELLI SOLARI ........................« 55012.6.1 Pannelli Solari Termici ............................................................« 55112.6.2 Pannelli Solari Fotovoltaici .......................................................« 553

XII INDICE

12.7 CONCLUSIONI ............................................................... pag. 555

CAPITOLO 13TRASPORTO DI MASSA13.1 GENERALITÀ ...................................................................« 55713.2 LEGGI DELLA DIFFUSIONE .........................................« 55813.3 EQUAZIONI DELLA DIFFUSIONE ...............................« 561

13.3.1 Condizioni al Contorno e Condizioni Iniziali ...............................« 56413.4 DIFFUSIONE DEL VAPORE NEI MATERIALI DA

COSTRUZIONE .................................................................« 56613.4.1 Analisi Termoigrometriche delle Pareti Edilizie ...........................« 568

13.5 CONSERVAZIONE DI UNA SPECIE CHIMICA ..........« 57613.5.1 Strato Limite Laminare ...........................................................« 57713.5.2 Numero di Sherwood ..............................................................« 57913.5.3 Conservazione di una Specie nello Strato Limite ..........................« 58013.5.4 Numeri di Schmidt e Lewis ......................................................« 58113.5.5 Analogia tra Convezione di Calore e di Massa .............................« 582

13.6 CONVEZIONE SIMULTANEA DI CALORE E DI MASSA ...........................................................................« 584

13.6.1 Temperatura di Bulbo Bagnato .................................................« 58413.6.2RaffreddamentoconDeumidificazione .......................................« 587

13.7 CONCLUSIONI ..................................................................« 589

APPENDICIA.1Proprietàtermofisichedell’aria ...........................................« 592A.2Proprietàtermofisichedell’acqua ........................................« 594A.3Proprietàtermofisichedell’R-134a ......................................« 597A.4Proprietàtermofisichedeimaterialisolidi ..........................« 598A.5Proprietàtermofisichedeiliquidi .........................................« 600A.6Radiazionedelcorponero ....................................................« 601A.7Funzionimatematiche ...........................................................« 602

BIBLIOGRAFIA ...........................................................................« 605

INDICE ANALITICO ...................................................................« 609

I

NOMENCLATURA

Simbolia diffusività termica [m2/s] A superficie [m2]c calore specifico [J/(kg K)] C capacità termica di flusso [W/K]

costante di integrazione [-] D coefficiente di diffusione [m2/s] E campo elettrico [V/m] energia [J] potere emissivo [W/m2]f fattore di attrito [-] frequenza [s-1]F fattore di forma [-] fattore di vista [-] forza [N] g accelerazione di gravità [m/s2]G irradianza [W/m2]h entalpia [J/kg] H altezza [m] calore di cambiamento di fase [J/kg] campo magnetico [A/m] I intensità di radiazione [W/(m2 sr)] J radiosità [W/m2]k indice di attenuazione [-] L lunghezza [m] lunghezza di riferimento [m] Lc lunghezza corretta dell’aletta [m] m massa [kg] &m portata di massa [kg/s]

M massa molare [kg/kmol]n vettore normale [-]

II

n indice di rifrazione [-] p pressione [Pa] P perimetro [m] q flusso termico [W] &q generazione interna di calore per unità di volume [W/m3]

r raggio [m] coefficiente di riflessione dell’interfaccia [-] R costante del gas [J/(kg K)] resistenza termica [K/W] R costante universale dei gas [J/(kmol K)] s coordinata longitudinale [m] spessore [m] t temperatura relativa [°C] T temperatura assoluta [K] u componente della velocità secondo l’asse x [m/s] U coefficiente di scambio termico globale [W/(m2 K)] v componente della velocità secondo l’asse y [m/s]

volume specifico [m3/kg]V volume [m3]V& portata volumetrica [m3/s] w velocità [m/s] x coordinata cartesiana [m] titolo [-] umidità specifica [kgv/kga]y coordinata cartesiana [m] z coordinata cartesiana [m] fattore di ripartizione [-] quota [m]

Simboli greciα coefficiente di assorbimento delle radiazioni per una lastra [-] coefficiente di convezione [W/(m2 K)] coefficiente di trasporto di massa [m/s] β coefficiente di dilatazione termica [1/K] γ coefficiente di estinzione [m-1]δ permeabilità al vapore [kg/(m Pa s)] semispessore dell’aletta [m] spessore dello strato limite [m]

NOMENCLATURA III

ε efficienza [-] emissività [-] rugosità assoluta [m] ϑ tempo [s] λ conduttività termica [W/(m K)] lunghezza d’onda [m] μ viscosità dinamica [kg/(m s)] ν viscosità cinematica [m2/s] ρ coefficiente di riflessione delle radiazioni per una lastra [-] densità [kg /m3]σ costante di radiazione del corpo nero [W/(m2K4)] sforzo normale [N/m2] tensione superficiale [N/m] τ coefficiente di trasmissione delle radiazioni per una lastra [-]

sforzo tangenziale [N/m2]ϕ fattore di trasmissione delle radiazioni [-] φ frazione di vuoto [-] ω pulsazione [s-1] frazione di massa [-] ζ coefficiente di perdita di carico [-]

Pedicia ambiente aria assorbito bb bulbo bagnato c caldo convezione critico cc controcorrente e emissione entrata esterno ec equicorrente eq equivalente f fluido freddo G globale

XIV NOMENCLATURA

NOMENCLATURA III

ε efficienza [-] emissività [-] rugosità assoluta [m] ϑ tempo [s] λ conduttività termica [W/(m K)] lunghezza d’onda [m] μ viscosità dinamica [kg/(m s)] ν viscosità cinematica [m2/s] ρ coefficiente di riflessione delle radiazioni per una lastra [-] densità [kg /m3]σ costante di radiazione del corpo nero [W/(m2K4)] sforzo normale [N/m2] tensione superficiale [N/m] τ coefficiente di trasmissione delle radiazioni per una lastra [-]

sforzo tangenziale [N/m2]ϕ fattore di trasmissione delle radiazioni [-] φ frazione di vuoto [-] ω pulsazione [s-1] frazione di massa [-] ζ coefficiente di perdita di carico [-]

Pedicia ambiente aria assorbito bb bulbo bagnato c caldo convezione critico cc controcorrente e emissione entrata esterno ec equicorrente eq equivalente f fluido freddo G globale

XVNOMENCLATURA

IV

i incidente interno l liquido m massa ml media logaritmica n componente della radiazione polarizzata riferito alla direzione normale p componente della radiazione polarizzata parete pressione costante q flusso r riferito alla radiazione riflesso ritardo s saturo superficie t temperatura termico turbolento u uscita riferito all’aria umida v vapore volume costante x riferito all’asse xy riferito all’asse yλ riferito alla conduzione monocromatico

Apici' per unità di lunghezza variabile adimensionale " specifico x valore medio di x∗x valore fluttuante di x

XVI NOMENCLATURA

CAPITOLO 12

RADIAZIONE NEI MATERIALISEMITRASPARENTI

12.1 GENERALITÀ

Nel Capitolo 11 si sono discusse le modalità di scambio termico per irrag-giamento tra le superfici di solidi opachi considerando perfettamente tra-sparenti, nella maggior parte dei casi trattati, i gas interposti tra le superficistesse. Per quanto riguarda, invece, gli scambi termici per irraggiamentonei materiali semitrasparenti, ci si è limitati alla definizione dei coefficientidi riflessione, assorbimento e trasmissione. In tale contesto, si sono neces-sariamente trascurati effetti importanti come, ad esempio, la rifrazione alleinterfacce dei materiali semitrasparenti e, sul piano applicativo, non ci siè occupati di problemi rilevanti per l’ingegneria civile ed industriale, co-me il comportamento radiativo delle vetrate e delle coperture dei pannellisolari termici e fotovoltaici. Negli ultimi anni, per contro, l’accresciutasensibilità verso i temi del risparmio energetico nell’edilizia ha spinto adimpiegare vetrate a contenuto tecnologico sempre più alto che, oltre adassicurare un buon isolamento termico invernale, riducono considerevol-mente gli apporti di energia radiante nel periodo estivo. Di pari passo, laricerca di una sempre maggior efficienza nello sfruttamento dell’energiasolare ha portato in primo piano l’esigenza di avere a disposizione sistemidi copertura ad alta trasparenza e bassa riflessione sia per i pannelli solaritermici sia per quelli fotovoltaici.

In armonia con le nuove esigenze, nel seguito ci si propone di fornirestrumenti analitici semplici ed intuitivi per trattare gli scambi termici perirraggiamento attraverso lastre semitrasparenti in vetro o plastica, sempli-ci o doppie, siano esse omogenee o corredate di rivestimenti superficiali

510 CAPITOLO 12

a film sottile (coatings). In premessa, dopo una definizione quantitativadella “trasparenza”, si accennerà alla teoria della propagazione delle on-de elettromagnetiche nei mezzi dielettrici (classe alla quale appartiene lamaggior parte dei materiali semitrasparenti). Successivamente, si discute-ranno le leggi della riflessione e della rifrazione alle interfacce tra materialidielettrici, e si illustreranno i principi fisici su cui si basa il funzionamen-to dei rivestimenti a film sottile (che, attualmente, vengono impiegati, aseconda delle necessità, con funzioni riflettenti od antiriflesso, anche inmodo selettivo, ovvero con proprietà variabili in funzione della lunghezzad’onda della radiazione incidente). A conclusione del capitolo ci si occu-perà delle applicazioni della teoria al calcolo delle vetrate e delle coperturedei pannelli solari termici e fotovoltaici.

12.2 PROPAGAZIONE

Nel contesto di questo paragrafo interessa, essenzialmente, la propagazio-ne delle onde elettromagnetiche nei materiali semitrasparenti in quanto,come si è osservato più volte nel Capitolo 11, l’assorbimento delle radia-zioni termiche nei materiali opachi non ha luogo all’interno ma, bensì,nelle immediate vicinanze della superficie esterna. D’altra parte, è evi-dente che ogni materiale può essere considerato opaco o trasparente a se-conda degli spessori in cui viene utilizzato. Di conseguenza, è importantedisporre di una definizione quantitativa della trasparenza, basata su unalegge fisica di validità generale espressa, possibilmente, in termini di va-riabili adimensionali. A questo fine, si può partire dalla ben nota legge ditrasmissione dell’irradianza in un mezzo omogeneo

dG = −Gγdx (12.1)

nella quale il coefficiente di estinzione γ, essendo l’inverso di una lun-ghezza, ha le dimensioni di [m−1]. In realtà, γ dipende dalla lunghezzad’onda ma, per semplicità di trattazione e per alleggerire le notazioni, quie nel seguito γ viene assunto costante e pari al suo valore valutato ad unalunghezza d’onda come, ad esempio, λ = 0,589 µm rappresentativa dellospettro solare. Ciò premesso, integrando la (12.1) tra zero ed uno spessoregenerico s lungo il percorso interno dei raggi, si ottiene la relazione

Gs

G0= exp(−γs) = exp(−S ) = ϕ (12.2)

510 CAPITOLO 12

RADIAZIONE 511

variamente nota con i nomi di legge di Bouguer o di Beer, nella quale lavariabile adimensionale S è lo “spessore ottico” e ϕ è il fattore di trasmis-sione. Proprio S , facilmente calcolabile in funzione di γ, fornisce un otti-mo criterio di valutazione quantitativa della trasparenza. Infatti, con S = 1si ha ϕ = exp(−1) � 0,368, mentre con S = 4÷5 si ha ϕ = 0,018 ÷ 0,0067e, quindi, l’irradianza può considerarsi estinta ai fini pratici.

A completamento delle definizioni poste, nella Tabella 12.1 sono ri-portati alcuni valori rappresentativi del coefficiente di estinzione γ per di-versi materiali di interesse tecnico. A titolo di confronto, inoltre, nella stes-sa tabella sono riportati i valori di γ per un gas (aria), un liquido (acqua)ed alcuni metalli.

Esempio 12.1 Si determinino gli spessori ottici corrispondenti ad 1 md’acqua distillata, 4 mm di vetro normale, 0,1 mm di silicio cristallinoed 1 µm di ferro.

SoluzioneDalla definizione (12.2) e dai valori orientativi di Tabella 12.1, si ottieneimmediatamente

• S = γs = 0,166 · 1 = 0,166 per l’acqua distillata;

• S = 28 · 0,004 = 0,112 per il vetro:

• S = (4,48 · 105) · (1 · 10−4) = 44,8 per il silicio cristallino;

• S = (7,13 · 107) · (1 · 10−6) = 71,3 per il ferro.

Pertanto, gli spessori ottici di 1 m d’acqua distillata e 4 mm di vetro nor-male risultano confrontabili tra loro, e oltre tre ordini di grandezza inferioriagli spessori ottici di 0,1 mm di silicio cristallino ed 1 µm di ferro.

12.2.1 Materiali Semitrasparenti

Come si era osservato nel Capitolo 11, la trasmissione del calore durante iprocessi di irraggiamento termico è legata alla propagazione di onde elet-tromagnetiche. Nel contesto dell’irraggiamento termico, tuttavia, non in-teressa la propagazione all’interno dei materiali opachi (come, ad esempio,

511RADIAZIONE

512 CAPITOLO 12

Tabella 12.1: Indici (adimensionali) di rifrazione n, di attenuazione k, e coeffi-ciente (dimensionale) di estinzione γ, valutati alla lunghezza d’onda λ = 0,589µm rappresentativa dello spettro solare.

classi materiali n k γ [m−1]riferimento vuoto 1 0 0gas aria 1,00 0,000 0,000liquidi acqua distillata 1,33 7,76·10−9 0,166semitrasparenti etilene vinil acetato (EVA) 1,48 2,81·10−7 6,0

polietilene (PET) 1,57 7,97·10−6 170tedlar (PVF) 1,45 6,56·10−6 140teflon 1,32 2,81·10−6 60vetro bronzeo 1,53 5,16·10−6 110vetro grigio 1,53 5,62·10−6 120vetro normale 1,53 1,31·10−6 28vetro ultrachiaro 1,53 3,75·10−7 8,0vetro verde 1,53 6,09·10−6 130

rivestimenti per vetri fluoruro di magnesio (Mg F2) 1,37 0,000 0,000biossido di titanio (Ti O2) 2,50 0,000 0,000

semimetalli silicio cristallino 3,96 0,0210 4,48·105

silicio amorfo 4,66 0,364 7,77·106

metalli alluminio 1,15 7,15 1,53·108

argento 0,26 3,96 8,45·107

cromo 3,33 4,39 9,37·107

ferro 2,80 3,34 7,13·107

nichel 1,85 3,48 7,42·107

platino 2,23 3,92 8,36·107

rame 0,47 2,81 6,00·107

titanio 2,01 2,77 5,91·107

tungsteno 3,54 2,84 6,06·107

i metalli), in quanto questi materiali sono caratterizzati da valori dei coef-ficienti di estinzione molto alti e, di conseguenza, assorbono le radiazioniin prossimità della superficie. Pertanto, qui ci si riferisce alla propagazio-ne delle onde elettromagnetiche nei materiali semitrasparenti, ovvero neimateriali caratterizzati da valori dei coefficienti di estinzione relativamenteridotti od, addirittura, trascurabili ai fini pratici.

Nella teoria dell’elettromagnetismo, i materiali sono classificati come“dielettrici perfetti”, “dielettrici imperfetti” o “conduttori”, secondo chesiano caratterizzati, rispettivamente, da: conduttività elettriche trascurabiliai fini pratici, relativamente basse o relativamente elevate. Da questo punto

512 CAPITOLO 12

RADIAZIONE 513

di vista, i materiali semitrasparenti possono essere considerati dei dielet-trici più o meno perfetti. Nei dielettrici perfetti, il campo elettrico E ed ilcampo magnetico H:

• sono perpendicolari tra loro e rispetto alla direzione di propagazione,

• hanno la stessa frequenza e

• risultano costantemente in fase tra loro.

Nei dielettrici imperfetti, tali proprietà continuano a valere con un’appros-simazione sufficiente ai fini pratici, mentre nei conduttori (come, ad esem-pio, i metalli) E ed H sono ancora perpendicolari tra loro e rispetto alladirezione di propagazione ed hanno anche la stessa frequenza, ma nonpossono più essere considerati in fase.

In base a tali premesse, nei dielettrici più o meno perfetti (e, quindi,nei materiali semitrasparenti), il campo elettrico ed il campo magneticopossono essere schematizzati come in Fig. 12.1, dove E ed H sono “foto-grafati”, all’istante ϑ = 0, ed il riferimento è ad un’onda sinusoidale di lun-ghezza λ che si propaga attenuandosi nella direzione x. In tale situazione,le funzioni d’onda possono essere scritte come

E = E0 exp(−ω

ckx)

sen[ω(ϑ − n

cx)]

(12.3)

per il campo elettrico e

H = H0 exp(−ω

ckx)

sen[ω(ϑ − n

cx)]

(12.4)

per il campo magnetico. Nelle relazioni precedenti, E0 ed H0 sono le am-piezze nell’origine, ω = 2π/ϑ0 = 2π f è la pulsazione, legata al periodo ϑ0

ed alla frequenza f , c è la velocità di propagazione della luce nel vuoto,n e k sono, rispettivamente, l’indice adimensionale di rifrazione e l’indiceadimensionale di attenuazione.

Come si può vedere dalla Tabella 12.1, l’indice adimensionale di rifra-zione è uguale ad uno nel vuoto (rigorosamente) e nell’aria (praticamente),mentre è maggiore di uno nei dielettrici imperfetti e nella maggior parte deimetalli. L’indice adimensionale di attenuazione, invece, è uguale a zero neidielettrici perfetti, lievemente maggiore di zero nei dielettrici imperfetti e

513RADIAZIONE

514 CAPITOLO 12

E

E

E

E

H

H

HH

x

y

z

�

G=E x H

Figura 12.1: Campi elettrico E e magnetico H associati ad un’ondaeletromagnetica sinusoidale smorzata che si propaga in un materiale dielettrico.

significativamente maggiore di zero nei metalli. Sulla base dei dati di ta-bella può essere interessante osservare che un criterio quantitativo moltoutilizzato in pratica è quello di considerare a comportamento dielettrico(più o meno perfetto) tutti i materiali per i quali si abbia: k/n < 0,03.

Fino a quando E ed H possono essere considerati in fase tra loro (equindi nei dielettrici, ma non nei conduttori), l’indice di rifrazione puòessere interpretato come rapporto

n =cw

(12.5)

tra le velocità della luce nel vuoto e nel mezzo. Nei metalli, invece, l’indicedi rifrazione non è interpretabile in questo modo semplice, ma deve esseredefinito nell’ambito della teoria elettromagnetica ed in contesti dei qualiqui non ci si occupa.

Sia nei dielettrici sia nei conduttori, l’irradianza del campo elettroma-gnetico è determinabile attraverso il prodotto vettoriale

G = E x H (12.6)

514 CAPITOLO 12

RADIAZIONE 515

nel quale, attesa l’ortogonalità tra E ed H, la relazione tra i moduli è datada

G = EH (12.7)

Nella (12.7) le dimensioni di G sono esprimibili come watt per metro qua-drato [W/m2], in quanto E ed H vengono misurati, rispettivamente, in voltper metro [V/m] ed ampere per metro [A/m].

Sostituendo le (12.3) e (12.4) nella (12.7), si ottiene l’equazione cheregola la propagazione dell’irradianza nei dielettrici

G = E0H0 exp(−2ω

ckx)

sen2[ω(ϑ − n

cx)]

(12.8)

Nelle applicazioni ingegneristiche, però, si preferisce far riferimento aivalori medi e scrivere la (12.8) nella forma

G = G0 exp(−γx) (12.9)

dove G è il valore medio temporale dell’irradianza, mentre

G0 = E0H0

{1ϑ0

∫ ϑ0

0sen2[ω(ϑ − n

cx)]

dϑ}=

12

E0H0 (12.10)

è il valore medio temporale dell’irradianza nell’origine (essendo 1/2 ilvalore medio del quadrato del seno), e

γ = 2ω

ck = 2

2π ffλ

k = 4πkλ

(12.11)

misurato in [m−1] è proprio il coefficiente (dimensionale) di estinzione delmateriale definito nella Sezione 12.2 e citato nella Tabella 12.1. Se, per al-leggerire le notazioni, si omettono le barre dei valor medi temporali nella(12.9), si può dire anche di aver riottenuto, per via teorica nei dielettrici, larelazione empirica (12.2). Si potrebbe dimostrare, tuttavia, che la (12.9),pur ricavata per i dielettrici, ha validità generale come la (12.2) e, di con-seguenza, regola il trasporto dell’irradianza anche nei materiali che, comei metalli, sono buoni conduttori di corrente.

515RADIAZIONE

516 CAPITOLO 12

12.2.2 Polarizzazione

Nel Capitolo 11 la polarizzazione delle onde elettromagnetiche non erastata trattata, in quanto le radiazioni termiche emesse dai solidi opachi(Sole incluso) non sono polarizzate. In questo capitolo, invece, il concettodi polarizzazione è necessario in quanto deve essere utilizzato nell’anali-si delle riflessioni speculari alle interfacce dei solidi semitrasparenti. Unbuon punto di partenza per richiamare le nozioni fondamentali sulla po-larizzazione è il riscontro che un’onda elettromagnetica del tipo di quellarappresentata nella Fig. 12.1 può venir classificata come “polarizzata sulpiano verticale xy”, in quanto le oscillazioni del suo campo elettrico Ehanno luogo su tale piano. Di conseguenza, ci si deve aspettare che le ra-diazioni termiche (non polarizzate) siano caratterizzate da campi elettriciche oscillano su un numero molto grande di piani distribuiti in manieracasuale nei fasci incentrati sulle rette di propagazione dei raggi.

Per quanto riguarda le radiazioni termiche comprese nel campo delvisibile, tuttavia, è esperienza comune che, pur non essendo polarizzateal momento dell’emissione, possono venir polarizzate successivamente,facendole passare attraverso un filtro (detto, appunto, polarizzatore). Dalpunto di vista fisico, un tale processo è rappresentabile come in Fig. 12.2(a), dove si vede che

• all’ingresso nel filtro polarizzatore i campi elettrici oscillano su pianidistribuiti in maniera casuale nel fascio incentrato sulla retta di pro-pagazione e, di conseguenza, i vettori elettrici presentano sia com-ponenti orizzontali sul piano xz sia componenti verticali sul pianoxy;

• all’uscita dal filtro, invece, i vettori elettrici presentano solo compo-nenti verticali allineate con le lamelle del filtro stesso.

Generalizzando tale constatazione, si può affermare che le radiazioni elet-tromagnetiche non polarizzate possono venir schematizzate come in Fig.12.2 (b), e quelle polarizzate come in Fig. 12.2 (c). Nelle due figure, ivettori risultante sono ottenuti sommando opportunamente le componentiEy ed Ez dei vettori elettrici che afferiscono ai diversi quadranti. Quindi,il vettore con direzione e verso y+ è ottenuto sommando le componenti se-condo l’asse y dei vettori elettrici che afferiscono al primo ed al secondo

516 CAPITOLO 12

RADIAZIONE 517

y

y

y

y

z

x

z

(a) (b) (c)

� �III�� yE � �

III�� yE

� �IVIII�� yE � �

IVIII�� yE

� � IIIII�� zE � � IVI�� zE

Figura 12.2: Polarizzazione ottenuta mediante un filtro: (a) processo fisico erappresentazione schematica delle componenti secondo le direzioni y e z prima(b) e dopo (c) la polarizzazione.

quadrante, il vettore con direzione e verso z+ è ottenuto sommando le com-ponenti secondo l’asse z dei vettori elettrici che afferiscono al primo ed alquarto quadrante, e così via.

Le radiazioni termiche in generale, e quelle solari in particolare, pos-sono venir polarizzate dopo l’emissione anche da processi naturali come,ad esempio, la dispersione nell’atmosfera (scattering) e la riflessione alleinterfacce. Nell’atmosfera, le radiazioni solari che urtano le molecole deigas, o le particelle sospese, vengono disperse in tutte le direzioni. Dopo gliurti, le radiazioni disperse in direzioni diverse da quella di propagazionedei raggi risultano polarizzate, e presentano un massimo di polarizzazio-ne in corrispondenza al piano ortogonale alla direzione dei raggi stessi.(La polarizzazione risultante è facilmente rilevabile, ad esempio, scattan-do una serie di foto del cielo con e senza un filtro polarizzatore davantiall’obiettivo).

La polarizzazione delle radiazioni solari a seguito delle riflessioni alleinterfacce può venir facilmente compresa se si tiene conto del fatto che,in armonia con la Fig. 12.2 (b), una radiazione incidente (non polarizzata)può essere sempre pensata come somma di due componenti uguali polariz-zate su due piani qualunque, purché ortogonali tra loro. Per convenienzadi trattazione, si usa far riferimento ad una componente polarizzata p (pa-

517RADIAZIONE

518 CAPITOLO 12

rallela al piano di incidenza, ovvero al piano ortogonale all’interfaccia checomprende il raggio incidente), e ad una componente polarizzata n (orto-gonale al piano di incidenza e, quindi, parallela al piano dell’interfaccia).Dopo la riflessione, le componenti p ed n non sono più uguali in quan-to, come vedremo meglio nel Paragrafo 12.3.1, la componente n, parallelaall’interfaccia, risulta prevalente. (Un tale effetto è facilmente rilevabileguardando un piano riflettente orizzontale con occhiali a lenti polarizza-te: i filtri a lamelle verticali di cui sono dotate le lenti assorbono i raggicon polarizzazione orizzontale del campo elettrico, principali responsabi-li dell’abbagliamento, lasciando passare solo i raggi con polarizzazioneverticale del campo elettrico).

12.3 RIFLESSIONE E RIFRAZIONE

Nel contesto che qui interessa, si può fare riferimento ad uno strato dimateriale semitrasparente ed ipotizzare una riflessione di tipo speculareall’interfaccia con l’esterno. Per maggiore generalità, si può anche proce-dere come in Fig. 12.3 (a), dove il raggio incidente proviene da un qualsi-voglia dielettrico quasi perfetto 1, ed è contraddistinto dall’irradianza G1.All’interfaccia con il dielettrico quasi perfetto 2, il raggio incidente vienesuddiviso in due frazioni: una frazione riflessa verso 1, contraddistinta dal-l’irradianza rG1 (dove r è il coefficiente di riflessione dell’interfaccia), eduna frazione residuale, rifratta all’interno di 2 e contraddistinta, all’internodell’interfaccia, dall’irradianza G0 = (1 − r)G1.

É noto dalla Fisica che, in situazioni di questo tipo:

• la normale all’interfaccia ed i raggi incidente, riflesso e rifratto ap-partengono ad unico piano, detto piano di incidenza;

• gli angoli formati con la normale all’interfaccia dal raggio incidentee dal raggio riflesso risultano uguali in modulo e, di conseguenza,possono essere indicati con l’unico simbolo φ1;

• la relazione tra gli angoli d’incidenza e di rifrazione è data dallalegge di Snell

n1 sen φ1 = n2 sen φ2 (12.12)

518 CAPITOLO 12

RADIAZIONE 519

� � 10 1 GrG ��

0GGL

� �

�1�3=

13 nn �

(a)L

1n

12 nn �

1G1rG

cos

L

�2

�2

�1 �1

0G

LG

(b)L

1n

12 nn �

1G1rG

cos

L

�2

�2

�1 �1

Figura 12.3: Riflessione e rifrazione all’interfaccia tra dielettrici quasi perfetti:(a) interfaccia singola e (b) determinazione dell’angolo di uscita e del fattore diattenuazione.

nella quale compaiono solo i parametri geometrici e gli indici dirifrazione dei due dielettrici;

• scrivendo la legge di Snell nella forma

sen φ2 =n1

n2sen φ1 ⇒ φ2 = arcsen

(n1

n2sen φ1

)(12.13)

519RADIAZIONE

520 CAPITOLO 12

si può dedurre che, in caso di incidenza normale (φ1 = 0) il raggiorifratto non subisce deviazioni mentre, in tutti gli altri casi, il raggiorifratto piega verso la normale quando si ha: n2 > n1, come nella Fig.12.3 (a), mentre si allontana dalla normale quando si ha: n1 > n2;

• nel caso abbastanza comune di Fig. 12.3 (b), con uno strato di mate-riale semitrasparente 2 tra due strati 1 e 3 di aria (e, di conseguenzacon: n1 = n3 < n2), si ha

sen φ3 =n1

n2sen φ1 =

n2n1

n3n2sen φ1 = sen φ1 (12.14)

da cui si deduce che l’angolo di uscita φ3 è uguale all’angolo dientrata φ1

• una volta noto l’angolo φ2, il fattore di trasmissione dell’irradianzanel dielettrico quasi perfetto 2 può essere facilmente determinato infunzione della distanza L riscrivendo la (12.2) nella forma

ϕ =GL

G0= exp

(− γL

cos φ2

)(12.15)

Esempio 12.2 Con riferimento alla Fig. 12.3 (a) e ad un’interfaccia traaria (n1 = 1) e vetro (n2 = 1,53), si determinino i valori assunti dall’angolodi rifrazione φ2 per angoli di incidenza φ1 pari, rispettivamente, a 0◦ e 30◦.

SoluzioneI valori di φ2 in funzione di φ1 sono determinabili utilizzando la relazione(12.12). Pertanto si ha, in sequenza

φ2 = arcsen(n1

n2sen φ1

)= arcsen

(1

1,53sen 0◦

)= 0◦

e

φ2 = arcsen(n1

n2sen φ1

)= arcsen

(1

1,53sen 30◦

)= 19,1◦

Esempio 12.3 Con riferimento alla Fig. 12.3 (a) e ad un’interfaccia traaria (n1 = 1) e vetro (n2 = 1,53), si determini l’andamento dell’angolo dirifrazione φ2 in funzione dell’angolo di incidenza φ1.

520 CAPITOLO 12

RADIAZIONE 521

Figura 12.4: Andamento dell’angolo di rifrazione in funzione dell’angolo diincidenza nel caso di un’interfaccia tra aria (n1 = 1) e vetro (n2 = 1,53).

SoluzioneI valori di φ2 in funzione di φ1 sono determinabili utilizzando la relazio-ne (12.12). Successivamente, mediante un foglio elettronico, è agevoletracciare l’andamento riportato nella Fig. 12.4

Esempio 12.4 Con riferimento ad una lastra dello spessore L = 4 mm invetro normale (γ = 28 m−1) , si determinino i fattori di trasmissione perangoli di incidenza pari, rispettivamente, a 0◦ e 30◦.

SoluzionePer φ1 = 0◦ si ha φ2 = 0◦, e dalla (12.15) si ottiene

ϕ =GL

G0= exp

(− γL

cos φ2

)= exp

(−28 · 0,004

cos 0◦

)= 0,894

Per φ1 = 30◦ dall’Esempio 12.2 si ricava φ2 = 19,1 ◦ e, di conseguenza,dalla (12.15) si ottiene

ϕ =GL

G0= exp

(− γL

cos φ2

)= exp

(−28 · 0,004

cos 19,1◦

)= 0,888

521RADIAZIONE

522 CAPITOLO 12

Pertanto, il coefficiente di trasmissione non varia molto per angoli di inci-denza compresi nell’intervallo considerato.

12.3.1 Coefficienti di Riflessione

All’interfaccia tra due dielettrici quasi perfetti, valgono le relazioni di Fre-snel che, come si è anticipato, forniscono valori diversi per i coefficienti diriflessione della componente polarizzata p (parallela al piano di incidenza,ovvero al piano ortogonale all’interfaccia che comprende il raggio inciden-te), e della componente polarizzata n (ortogonale al piano di incidenza e,quindi, parallela al piano dell’interfaccia). Secondo Fresnel, infatti, si ha

rp =

(n1 cos φ2 − n2 cos φ1

n1 cos φ2 + n2 cos φ1

)2=

tan2(φ1 − φ2)tan2(φ1 + φ2)

(12.16)

rn =

(n1 cos φ1 − n2 cos φ2

n1 cos φ1 + n2 cos φ2

)2=

sen2(φ1 − φ2)sen2(φ1 + φ2)

(12.17)

r =12

(rp + rn) (12.18)

dove il passaggio, algebricamente complesso, dai secondi al terzi membridelle (12.16) e (12.17) è reso possibile dall’applicazione della legge diSnell e di ben note identità trigonometriche.

Nel caso di incidenza normale (φ1 = φ2 = 0), risulta: cos φ1 =

cos φ2 = 1 ed il riferimento alla (12.18) ed ai secondi membri delle (12.16)e (12.17), consente di concludere che si ha rp = rn = r con

r =(n1 − n2

n1 + n2

)2(12.19)

Nel caso di incidenza tangenziale (φ1 = π/2), il riferimento ai terzimembri delle (12.16) e (12.17) consente di concludere che si ha

r = rp = rn = 1 (12.20)

essendo: tan(π/2 − φ2) = − tan(π/2 + φ2) e sen(π/2 − φ2) = sen(π/2 + φ2).

Esempio 12.5 Con riferimento alla Fig. 12.3 (a) e ad un’interfaccia traaria (n1 = 1) e vetro (n2 = 1,53), si determinino i valori assunti dai coeffi-cienti di riflessione rp, rn ed r per angoli di incidenza φ1 pari, rispettiva-mente, a 0◦ e 30◦.

522 CAPITOLO 12

RADIAZIONE 523

SoluzionePer φ1 = 0◦ si ha rp = rn = r, ed il riferimento alla (12.18) fornisce

r =(n1 − n2

n1 + n2

)2=

(1 − 1,531 + 1,53

)2= 0,0439

Per φ1 = 30◦, dall’Esempio 12.2 si ricava φ2 = 19,1◦, ed il riferimento alle(12.16) - (12.18) fornisce in sequenza

rp =tan2(φ1 − φ2)tan2(φ1 + φ2)

=tan2(19,1◦ − 30◦)tan2(19,1◦ + 30◦)

= 0,0280

rn =sen2(φ1 − φ2)sen2(φ1 + φ2)

=sen2(19,1◦ − 30◦)sen2(19,1◦ + 30◦)

= 0,0629

r =12

(0,0280 + 0,0629) = 0,0454

Pertanto, il coefficiente di riflessione non varia molto per angoli di inci-denza compresi nell’intervallo considerato. Data la rilevanza pratica diun risultato di questo tipo, tuttavia, si preferisce rimandare il commento acarattere generale all’Esempio 12.6.

Esempio 12.6 Con riferimento alla Fig. 12.3 (a) e ad un’interfaccia traaria (n1 = 1) e vetro (n2 = 1,53), si determinino gli andamenti dei coeffi-cienti di riflessione rp, rn ed r in funzione dell’angolo di incidenza φ1.

SoluzioneI valori di rp, rn ed r in funzione di φ1 sono determinabili utilizzando, ri-spettivamente, le relazioni (12.16), (12.17) ed (12.16)). Successivamente,mediante un foglio elettronico, è agevole tracciare gli andamenti riportatinella Fig. 12.5.

Come anticipato dalla (12.20), si ha: r = rp = rn = 1 per φ1 = 90◦

mentre, come anticipato al Paragrafo 12.2.2, rn è sempre maggiore di rp.Inoltre, la Fig. 12.5 mostra che rp si annulla per un particolare valoredell’angolo di incidenza φ1.

Dalla Fig. 12.5 si evince anche che

• per angoli di incidenza φ1 < 20◦, rn ed rp non differiscono apprezza-bilmente uno dall’altro e, soprattutto che

523RADIAZIONE

524 CAPITOLO 12

Figura 12.5: Andamenti dei coefficienti di riflessione rp, rn ed r in funzionedell’angolo di incidenza φ1 nel caso di un’interfaccia tra aria (n1 = 1) e vetro (n2= 1,53).

• per angoli di incidenza φ1 < 40◦, si commette un errore dell’ordinedel 2% utilizzando il valore del coefficiente di riflessione r(0◦), re-lativo a φ1 = 0◦, al posto del valore r(φ1) calcolato con la procedurarigorosa.

In armonia con queste considerazioni, alcuni autori suggeriscono di am-pliare il campo di utilizzazione della Eq. (12.19) ad rp ed rn fino a φ1 < 40◦,assumendo

r = rp = rn =

(n1 − n2

n1 + n2

)2

almeno nei calcoli di prima approssimazione.

Esempio 12.7 Con riferimento alla situazione geometrica in cui si an-nulla rp, illustrata in Fig. 12.6, si dimostri che l’annullamento di rp infunzione di un particolare angolo di incidenza φ1 non è casuale.

SoluzioneUna classica esperienza di Laboratorio di Fisica dimostra che rp si annulla

524 CAPITOLO 12

RADIAZIONE 525

1n

12nn �

�1 �

1

�2

�/2

Figura 12.6: Situazione geometrica in cui si annulla rp.

quando si haφ1 + φ2 =

π

2In tal caso, infatti, il denominatore della (12.16) diventa infinito, rendendouguale a zero rp, e dalla relazione di Snell si ricava

n1 sen φ1 = n2 sen(π

2− φ1) = n2 cos φ1 ⇒ φ1 = arctan

n2

n1

L’angolo di incidenza per cui ciò si verifica prende il nome di angolo diBrewster e, nel caso di un’interfaccia tra aria (n1 = 1) e vetro (n2 = 1,53),risulta pari a

φ1 = arctann2

n1= arctan

1,531= 56,8◦

12.4 LASTRE TRASPARENTI

Nel Paragrafo 12.3 si è accennato al comportamento di una lastra di mate-riale trasparente e, sia pure nel contesto ristretto della prima rifrazione, inFig. 12.3 (b) si è evidenziato come

• la radiazione incidente sulla prima interfaccia sia in parte riflessa edin parte rifratta mentre

• la frazione rifratta sia parzialmente assorbita all’interno e, di nuovo,riflessa e rifratta sulla seconda interfaccia con lo stesso r.

525RADIAZIONE

526 CAPITOLO 12

�

�

� �

�

�

��

�

�

�

�

11

�G r

r

r

� �r�1

� �r�1

� �2

1 r�

� �rr �1

� �rr �1

� �rr �123 3

3

2

2

2

� �2

1 rr �

� �rr �12

� �221 rr �

� �rr �13

� �rr �134

4 � �231 rr �

Figura 12.7: Esemplificazione di una procedura di “ray tracing” che eviden-zia le riflessioni interne multiple subite dall’irradianza incidente su una lastra dimateriale trasparente.

A questo punto, tuttavia, si può facilmente intuire come il processonon si fermi alla prima rifrazione, ma prosegua con la serie infinita di ri-flessioni, rifrazioni e assorbimenti schematizzati nella Fig. 12.7. Pertan-to, si hanno infiniti “ritorni” all’esterno, dal lato dell’interfaccia irradiata,ed infinite “trasmissioni” verso l’interno, dal lato dell’interfaccia opposta.Di conseguenza, ci si può attendere che il coefficiente di riflessione del-la lastra, risultato degli infiniti contributi evidenziati sulla faccia superioreesposta, non coincida con il coefficiente di riflessione r delle due inter-facce fluido-vetro e vetro-fluido (uguale sui due lati per le lastre immersenello stesso fluido). Analogamente, ci si può attendere che il coefficiente ditrasmissione della lastra, risultato degli infiniti contributi evidenziati sullafaccia interna, non coincida con il fattore di trasmissione ϕ dello spessoredi vetro.

In linea di principio è possibile (ed in molti testi viene fatto) determi-nare i coefficienti di riflessione e trasmissione della lastra a partire dallesomme, rispettivamente, della serie infinita di uscite verso il lato esterno edella serie infinita di trasmissioni verso il lato interno. Tale procedura (de-finita “ray tracing” nella letteratura anglosassone), non sarebbe, tuttavia,coerente con quanto visto nel Capitolo 11 dove, in situazioni analoghe, siè fatto ricorso al concetto di radiosità J (seguendo, implicitamente, quelloche nella letteratura anglosassone viene definito “net radiation method”).Pertanto, nei paragrafi che seguono, si daranno per acquisiti gli aspetti fi-sici legati alle riflessioni interne multiple, e ci si occuperà unicamente deibilanci di energia alle interfacce ricavati con il “net radiation method”.

526 CAPITOLO 12

�

�

� �

�

�

��

�

�

�

�

11

�G r

r

r

� �r�1

� �r�1

� �2

1 r�

� �rr �1

� �rr �1

� �rr �123 3

3

2

2

2

� �2

1 rr �

� �rr �12

� �221 rr �

� �rr �13

� �rr �134

4 � �231 rr �

Figura 12.7: Esemplificazione di una procedura di “ray tracing” che eviden-zia le riflessioni interne multiple subite dall’irradianza incidente su una lastra dimateriale trasparente.

A questo punto, tuttavia, si può facilmente intuire come il processonon si fermi alla prima rifrazione, ma prosegua con la serie infinita di ri-flessioni, rifrazioni e assorbimenti schematizzati nella Fig. 12.7. Pertan-to, si hanno infiniti “ritorni” all’esterno, dal lato dell’interfaccia irradiata,ed infinite “trasmissioni” verso l’interno, dal lato dell’interfaccia opposta.Di conseguenza, ci si può attendere che il coefficiente di riflessione del-la lastra, risultato degli infiniti contributi evidenziati sulla faccia superioreesposta, non coincida con il coefficiente di riflessione r delle due inter-facce fluido-vetro e vetro-fluido (uguale sui due lati per le lastre immersenello stesso fluido). Analogamente, ci si può attendere che il coefficiente ditrasmissione della lastra, risultato degli infiniti contributi evidenziati sullafaccia interna, non coincida con il fattore di trasmissione ϕ dello spessoredi vetro.

In linea di principio è possibile (ed in molti testi viene fatto) determi-nare i coefficienti di riflessione e trasmissione della lastra a partire dallesomme, rispettivamente, della serie infinita di uscite verso il lato esterno edella serie infinita di trasmissioni verso il lato interno. Tale procedura (de-finita “ray tracing” nella letteratura anglosassone), non sarebbe, tuttavia,coerente con quanto visto nel Capitolo 11 dove, in situazioni analoghe, siè fatto ricorso al concetto di radiosità J (seguendo, implicitamente, quelloche nella letteratura anglosassone viene definito “net radiation method”).Pertanto, nei paragrafi che seguono, si daranno per acquisiti gli aspetti fi-sici legati alle riflessioni interne multiple, e ci si occuperà unicamente deibilanci di energia alle interfacce ricavati con il “net radiation method”.

526 CAPITOLO 12

RADIAZIONE 527

�

11

�G

r

r

1J

2J

2G

3J

4J

3G

04

�G

1

2

3

4

Figura 12.8: Applicazione del “net radiation method” ad una lastra di materialetrasparente con fattore di trasmissione ϕ < 1 e coefficienti di riflessione r1 ed r2diversi sull’interfaccia esterna (tra 1 e 2) e sull’interfaccia interna (tra 3 e 4).

12.4.1 Lastra Singola

Con riferimento alla schematizzazione di Fig. 12.8, si vogliono scrivere ibilanci energetici per una lastra trasparente caratterizzata da un fattore ditrasmissione ϕ < 1 e coefficienti di riflessione r1 ed r2 diversi tra loro eriferiti, rispettivamente, all’interfaccia esterna (tra 1 e 2) ed all’interfacciainterna (tra 3 e 4). A tale fine, è conveniente generalizzare la definizione(11.65) della radiosità di una superficie, riscrivendola nella forma

Ji = riGi + Ei (12.21)

dove riGi è il flusso specifico riflesso dalla superficie i, mentre Ei è il flussospecifico “emesso”. Nel presente contesto, “emesso” significa “provenien-te dall’altro lato dell’interfaccia alla quale appartiene la superficie i” e, diconseguenza, nelle lastre trasparenti Ei è sempre una frazione rifratta.

Attesa la convenzione (12.21), i bilanci di energia per le quattro super-fici possono essere espressi nella forma compatta

J1 = r1G1 + (1 − r1)G2

J2 = r1G2 + (1 − r1)G1

J3 = r2G3 + (1 − r2)G4

J4 = r2G4 + (1 − r2)G3 (12.22)

dove, al secondo membro, il primo ed il secondo termine tengono conto,rispettivamente, delle riflessioni e delle “emissioni”. Si noti ancora che

527RADIAZIONE

528 CAPITOLO 12

si è usato lo stesso coefficiente di riflessione per entrambe le superfici diuna stessa interfaccia, poiché nelle relazioni (12.16) e (12.17) compaio-no i quadrati delle differenze tra gli angoli di incidenza e rifrazione e, diconseguenza, non conta la direzione di attraversamento dell’interfaccia.

Il sistema di quattro equazioni (12.22) contiene otto incognite (tutte leJ e tutte le G) e, quindi, è necessario operare in maniera fisicamente ragio-nevole per ridurre il numero di incognite. Una prima opportunità è quelladi esprimere G2 e G3 in funzione, rispettivamente, di J3 e J2 scrivendo

G2 = ϕJ3

G3 = ϕJ2 (12.23)

dove ϕ è il fattore di trasmissione definito dalla (12.2). Per eliminare anchele irradianze G4 e G1, si può ipotizzare che l’irradianza sull’interfaccia in-terna possa venir trascurata rispetto all’irradianza sull’interfaccia esterna,assumendo

G4 = 0 (12.24)

Infine, per eliminare G1 si può operare una adimensionalizzazione divi-dendo tutti i termini per G1. Dal punto di vista pratico ciò si realizzaponendo

G1 = 1 (12.25)

nelle (12.22) e tenendo presente che, da quel momento in poi, tutte le Jincognite sono adimensionali, ovvero sono divise per G1. Per non appe-santire la trattazione e per seguire una tradizione ben consolidata nella let-teratura, i simboli delle J non verranno cambiati ma il loro nuovo “status”di variabili adimensionali sarà tenuto presente. Con riferimento alle rela-zioni (12.23) - (12.25), quindi, il sistema (12.22) può essere scritto nellaforma

J1 = r1 + (1 − r1)ϕJ3

J2 = r1ϕJ3 + (1 − r1)J3 = r2ϕJ2

J4 = (1 − r2)ϕJ2 (12.26)

dove le due incognite J1 e J4 hanno un importante significato fisico legatoalla definizione (11.46). Per il “sistema lastra”, infatti, la relazione

ρ = J1

(≡ J1

G1

)(12.27)

528 CAPITOLO 12

RADIAZIONE 529

definisce il coefficiente di riflessione, mentre la

τ = J4

(≡ J4

G1

)(12.28)

definisce il coefficiente di trasmissione. Pertanto, la differenza

α = 1 − ρ − τ (12.29)

definisce il coefficiente di assorbimento. Come si evince dalle definizioni,il coefficiente di riflessione ρ della lastra differisce dal coefficiente di ri-flessione r1 della superficie 1 per il contributo (1 − r1)ϕJ3 delle riflessionimultiple interne, mentre il coefficiente di trasmissione τ della lastra diffe-risce dal fattore di trasmissioni ϕ dello strato in maniera meno evidente. Acausa delle riflessioni multiple interne, infatti, l’irradianza (1 − r1)G1 cheentra nella lastra per rifrazione non può uscire direttamente dalla superficie4 (e quindi venire trasmessa), anche in presenza di un fattore di trasmissio-ne ϕ = 1 tipico dei materiali non assorbenti. Nel caso di ϕ = 1, tuttavia, sidovrà sempre ottenere dalla (12.29) il valore α = 0, e tale necessità potràvenire utilizzata come criterio di verifica dei risultati ottenuti nel seguito.

Il sistema (12.26) viene risolto attraverso una serie di passaggi alge-brici di nessun significato fisico, trovando in sequenza J2, J4, J3 e J1. Ilrisultato finale per le due incognite che qui interessano è

J4 =(1 − r1)(1 − r2)ϕ

1 − r1r2ϕ2 = τ (12.30)

per il coefficiente di trasmissione della lastra e

J1 = r1 +(1 − r1)ϕ(1 − r1)r2ϕ

1 − r1r2ϕ2 =r1 + r2(1 − 2r1)ϕ2

1 − r1r2ϕ2 = ρ (12.31)

per il coefficiente di riflessione della lastra. Come si è detto, i risultati(12.30) e (12.31) valgono nel caso più generale possibile, ovvero:

• coefficienti di riflessione r1 ed r2 diversi sulle due interfacce latoentrata e lato uscita;

• materiale assorbente (ϕ < 1).

529RADIAZIONE

530 CAPITOLO 12

Nella maggior parte dei casi di interesse pratico, tuttavia, la lastra traspa-rente è lambita dallo stesso fluido sui due lati e, di conseguenza, si puòragionevolmente assumere: r1 � r2 = r. Con coefficienti di riflessioneuguali sulle due interfacce, le (12.30) e (12.31) forniscono

τ =(1 − r)2ϕ

1 − r2ϕ2 (12.32)

per il coefficiente di trasmissione della lastra e

ρ = r +r(1 − r)2ϕ2

1 − (rϕ)2 = r(1 + ϕτ) (12.33)

per il coefficiente di riflessione della lastra.Se oltre a r1 � r2 = r si assume, in prima approssimazione, che la

lastra non sia assorbente (ϕ � 1), le (12.32) e (12.33) si semplificanoulteriormente e forniscono

τ =(1 − r)2

1 − r2 =1 − r1 + r

(12.34)

per il coefficiente di trasmissione della lastra e

ρ = r(1 + τ) (12.35)

per il coefficiente di riflessione della lastra. A questo punto, per verifica, sipossono sommare le (12.34) e (12.35), ottenendo

τ + ρ =1 − r1 + r

+ r(1 +

1 − r1 + r

)= 1 (12.36)

come deve essere per una lastra di materiale non assorbente, in quanto la(12.29), in questo caso, fornisce: α = 1 − ρ − τ = 0.

12.4.2 Calcolo di una Lastra Singola

Nel Paragrafo 12.4.1 si sono ricavati e discussi i coefficienti di trasmis-sione τ, riflessione ρ ed assorbimento α per una lastra singola. In questoparagrafo si illustrerà la procedura che si deve seguire per ricavare i valorinumerici di quei coefficienti nelle situazioni di interesse pratico.

530 CAPITOLO 12

RADIAZIONE 531

La regola più importante è che le relazioni (12.30) - (12.35) vanno ap-plicate separatamente alle componenti dell’irradianza polarizzate sul pianoparallelo p e sul piano normale n al piano di incidenza. Successivamente,in analogia a quanto fatto nella (12.18) con i coefficienti di riflessione, irisultati per le coppie τp e τn, ρp e ρn, αp e αn vanno sommati e mediati perottenere i valori finali

τ =12

(τp + τn)

ρ =12

(ρp + ρn)

α =12

(αp + αn) (12.37)

L’unica eccezione alla regola (12.37) riguarda gli angoli di incidenza piùbassi per i quali, come vedremo, l’applicazione ripetuta delle (12.30) -(12.35), fornisce: τp � τn � τ, ρp � ρn � ρ, e αp � αn � α.

Alcuni esempi numerici, riportati nel seguito, possono ulteriormentechiarire le modalità di applicazione pratica della procedura di calcolo.

Esempio 12.8 Con riferimento ad una lastra singola di vetro normale del-lo spessore di 4 mm, con coefficiente di estinzione γ = 28 m−1 ed immersain aria sui due lati, si determinino i valori assunti dai coefficienti di tra-smissione e riflessione per angoli di incidenza φ1 pari, rispettivamente, a0◦ e 30◦.

SoluzioneIn precedenza si era trovato

• nell’Esempio 12.2: φ2 = 0◦ per φ1 = 0◦ e φ2 = 19,1◦ per φ1 = 30◦;

• nell’Esempio 12.5: rp = rn = r = 0,0439 per φ1 = 0◦ e rp = 0,0280,rn = 0,0629 ed r = 0,0454 per φ1 = 30◦ e

• nell’Esempio 12.4: ϕ = 0,894 per φ1 = 0◦ e ϕ = 0,888 per φ1 = 30◦.

Inoltre, dal Paragrafo 12.4.1 si evince che, se una lastra è lambita dal-lo stesso fluido sui due lati, si ha: r1 � r2 = r. Di conseguenza, concoefficienti di riflessione uguali sulle due interfacce, le relazioni di riferi-mento sono la (12.32) per il coefficiente di trasmissione e la (12.33) per ilcoefficiente di riflessione.

531RADIAZIONE

532 CAPITOLO 12

Con φ1 = 0◦, basta applicare una sola volta le relazioni (12.32) e(12.33) per ottenere in sequenza:

τ =(1 − r)2ϕ

1 − r2ϕ2 =(1 − 0,0439)20,894

1 − (0,0439 · 0,894)2 = 0,818

per il coefficiente di trasmissione e

ρ = r(1 + ϕτ) = 0,0439(1 + 0,894 · 0,818) = 0,0760

per il coefficiente di riflessione.Per φ1 = 30◦, l’utilizzo delle relazioni (12.32) e (12.33) per la compo-

nente parallela e la componente normale fornisce in sequenza:

τp =(1 − rp)2ϕ

1 − r2pϕ

2 =(1 − 0,0280)20,888

1 − (0,0280 · 0,888)2 = 0,839

per la componente parallela del coefficiente di trasmissione;

ρp = rp(1 + ϕτp) = 0,0280(1 + 0,894 · 0,839) = 0,0490

per la componente parallela del coefficiente di riflessione;

τn =(1 − rn)2ϕ

1 − r2nϕ

2 =(1 − 0,0629)20,888

1 − (0,0629 · 0,888)2 = 0,782

per la componente normale del coefficiente di trasmissione e

ρn = rn(1 + ϕτn) = rn(1 + ϕτn) = 0,0629(1 + 0,894 · 0,782) = 0,107

per la componente normale del coefficiente di riflessione. Di conseguenza,si ha

τ =12

(τp + τn) =12

(0,839 + 0,782) = 0,811

ρ =12

(ρp + ρn) =12

(0,0490 + 0,107) = 0,0780

Come si vede, in armonia con quanto riscontrato nell’Esempio 12.5, i ri-sultati ottenuti per i due diversi angoli di incidenza (φ1 = 0◦ e φ1 = 30◦) nondifferiscono molto tra di loro. Anche in questo caso, tuttavia, si preferiscerimandare il commento a carattere generale all’Esempio 12.9.

532 CAPITOLO 12

RADIAZIONE 533

Esempio 12.9 Come nell’Esempio 12.8 si faccia riferimento ad una lastrasingola di vetro normale dello spessore di 4 mm, con coefficiente di estin-zione γ = 28 m−1 ed immersa in aria sui due lati. Si determinino gli anda-menti dei coefficienti di trasmissione e riflessione in funzione dell’angolodi incidenza φ1.

SoluzioneI valori τp, τn e τ del coefficiente di trasmissione ed i valori ρp, ρn e ρ delcoefficiente di riflessione sono determinabili, in funzione di φ1, utilizzan-do le relazioni (12.32) per il coefficiente di trasmissione e (12.33) per ilcoefficiente di riflessione, valide per coefficienti di riflessione uguali sulledue interfacce. Successivamente, mediante un foglio elettronico, è agevoletracciare gli andamenti riportati nelle Fig. 12.9 e Fig. 12.10.

Come si vede dalle figure, ed in armonia con i risultati dell’Esempio12.6

• per angoli di incidenza φ1 < 20◦, le componenti parallela e normaledi τ e ρ non differiscono apprezzabilmente una dall’altra e

• per angoli di incidenza φ1 < 40◦ si commette un errore dell’ordinedel 2% utilizzando il valore del coefficienti τ(0◦) e ρ(0◦), relativi aφ1 = 0◦, al posto dei valori τ(φ1) e ρ(φ1) calcolati con la procedurarigorosa.

Con φ1 > 40◦, all’aumentare dell’angolo di incidenza diminuisce il coef-ficiente di trasmissione, mentre aumenta il coefficiente di riflessione sinoa raggiungere, rispettivamente, i valori di 0 ed 1 per un’incidenza tangen-ziale.

12.4.3 Rivestimenti Sottili

I film sottili utilizzati nei rivestimenti ai quali ci si riferisce in questo pa-ragrafo, hanno spessori dell’ordine di un quarto della lunghezza d’ondadella luce nel loro materiale. Di conseguenza, devono essere depositati sulsupporto (che, solitamente, è di vetro) attraverso processi fisici particolarila cui descrizione trascende gli scopi di questo testo.

Come si può facilmente intuire dalla scelta degli spessori, il funziona-mento dei rivestimenti sottili si basa sul principio dell’interferenza tra due

533RADIAZIONE

534 CAPITOLO 12

Figura 12.9: Andamenti dei coefficienti di trasmissione τp, τn e τ in funzionedell’angolo di incidenza φ1 nel caso di una lastra di vetro normale dello spessoredi 4 mm, con coefficiente di estinzione γ = 28 m−1 ed immersa in aria sui due lati.

Figura 12.10: Andamenti dei coefficienti di riflessione ρp, ρn e ρ in funzionedell’angolo di incidenza φ1 nel caso di una lastra di vetro normale dello spessoredi 4 mm, con coefficiente di estinzione γ = 28 m−1 ed immersa in aria sui due lati.

0.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0

0° 15° 30° 45° 60° 75° 90°

φ

ρ p

ρ n

ρ

534 CAPITOLO 12

Figura 12.9: Andamenti dei coefficienti di trasmissione τp, τn e τ in funzionedell’angolo di incidenza φ1 nel caso di una lastra di vetro normale dello spessoredi 4 mm, con coefficiente di estinzione γ = 28 m−1 ed immersa in aria sui due lati.

Figura 12.10: Andamenti dei coefficienti di riflessione ρp, ρn e ρ in funzionedell’angolo di incidenza φ1 nel caso di una lastra di vetro normale dello spessoredi 4 mm, con coefficiente di estinzione γ = 28 m−1 ed immersa in aria sui due lati.

534 CAPITOLO 12

RADIAZIONE 535

x

x

y

y

2A ARisultante

RisultanteA

A

(a)

(b)

Figura 12.11: Interferenza tra onde sinusoidali: (a) costruttiva e (b) distruttiva.

onde sinusoidali della stessa lunghezza, schematizzato nella Fig. 12.11.L’interferenza può essere “costruttiva”, se le due sinusoidi sono in fase,ovvero può essere distruttiva, se le due sinusoidi sono sfasate di mezzalunghezza d’onda, cioè di π in termini angolari. Il fine dei rivestimentisottili è, appunto, quello di realizzare interferenze tra i raggi riflessi dal-la lastra rivestita. Di conseguenza, se le interferenze sono costruttive, sidice che i rivestimenti sono “riflettenti” mentre, se le interferenze sonodistruttive, si dice che i rivestimenti sono “assorbenti” od “antiriflesso”.

Come si è già osservato, le lunghezze d’onda λ f a cui ci si riferiscesono quelle della luce nel materiale del film, dove l’indice di rifrazione nf

e la velocità della luce w sono diversi dall’indice di rifrazione (n0 = 1) edalla velocità della luce c nel vuoto (e, con ottima approssimazione, anchenell’aria). Per un’onda di frequenza f , valgono le relazioni

fλ0 = c (12.38)

nell’aria, efλ f = w (12.39)

535RADIAZIONE

536 CAPITOLO 12

nel materiale del film. Di conseguenza, un’onda di frequenza f riducela sua lunghezza passando dall’aria al materiale del film, in quanto dallerelazioni (12.38) e (12.39) divise membro a membro, si ottiene

λ f =wcλ0 =

λ0

nf(12.40)

Per completare il richiamo delle leggi fisiche sulle quali si basa il fun-zionamento dei rivestimenti sottili, resta solo da citare senza dimostrazioni(e, quindi, come evidenza sperimentale) il fatto che

• la riflessione all’interfaccia tra un materiale 1, con indice di rifrazio-ne n1, ed un materiale 2, con indice di rifrazione n2 > n1, introduceuno sfasamento angolare pari a π, mentre

• la riflessione all’interfaccia tra un materiale 1, con indice di rifra-zione n1, ed un materiale 2, con indice di rifrazione n2 < n1, nonintroduce alcuno sfasamento.

Attese le premesse, si può passare all’esame, in sequenza, delle due tipolo-gie principali di rivestimenti: i rivestimenti assorbenti (od antiriflesso) edi rivestimenti riflettenti.

Rivestimenti assorbentiNella Fig. 12.12 è schematizzato un rivestimento assorbente realizzato conun unico film sottile di fluoruro di magnesio MgF2 (indice di rifrazione n1

= 1,38), depositato su una lastra di vetro (indice di rifrazione n = 1,53). Siassuma che il raggio proveniente dall’esterno (aria con indice di rifrazio-ne n0 = 1) incida quasi ortogonalmente anche se, per ragioni di chiarezzagrafica, l’angolo di incidenza non è in scala nello schema. All’interfacciaesterna, il raggio incidente si divide in due raggi: riflesso (1) e rifratto (2),ed il raggio 2 subisce una nuova riflessione all’interfaccia con la lastra divetro prima di uscire all’esterno.

All’esterno, i raggi 1 e 2 si incontrano dopo aver subito entrambi unosfasamento angolare di π a causa delle riflessioni alle interfacce tra, rispet-tivamente, aria e MgF2 (dove n1 > n0), ed MgF2 e vetro (dove n > n1).Pertanto, lo sfasamento aggiuntivo è dovuto solo al cammino in più (2 s1)percorso dal raggio 2 rispetto al raggio 1. Se lo spessore del film sottile è

536 CAPITOLO 12

RADIAZIONE 537

10

�naria

38,112

�nMgF

1

1s

2

53,1�nvetro

Figura 12.12: Rivestimento assorbente realizzato mediante uno strato sottile dimateriale depositato su una lastra di vetro.

tale da dar luogo ad un cammino aggiuntivo pari a λ1/2, ovvero se si ha

2s1 =λ1

2⇒ s1 =

λ1

4=

1n1

λ0

4(12.41)

allora lo sfasamento angolare aggiuntivo è pari a π, ed i raggi 1 e 2, risul-tando in opposizione di fase all’esterno, interferiscono in maniera distrut-tiva.

Da quanto detto si evince che la condizione per realizzare un rivesti-mento assorbente monostrato è quella di impiegare un film sottile dellospessore di un quarto della lunghezza d’onda della luce nel materiale delfilm stesso. Riguardo alla scelta del materiale del film, invece, non vi so-no restrizioni particolari: basta che il suo indice di rifrazione n1 abbia unvalore compreso tra quelli dell’aria e del vetro. Va detto, tuttavia, che nonmolti materiali rispondono a questa esigenza ottica e presentano, nel con-tempo, un’adeguata resistenza meccanica. Nella pratica, quindi, la sceltadel fluoruro di magnesio è, sostanzialmente, obbligata.

A conclusione di questo punto, si può osservare che in un’analisi ele-mentare del tipo di quella presentata, è lecito trascurare le riflessioni mul-tiple, in quanto i raggi usciti dal sistema dopo aver subito più di una rifles-sione interna hanno ampiezze progressivamente decrescenti e (si potrebbedimostrare) tendono ad annullarsi a due a due per interferenza distruttiva.

Rivestimenti riflettentiGeneralmente, i rivestimenti riflettenti sono realizzati sovrapponendo più

537RADIAZIONE

538 CAPITOLO 12

strati di materiali diversi (tre nello schema di Fig. 12.13) disposti in mododa alternare materiali ad alto indice di rifrazione (biossido di titanio TiO2

con indice di rifrazione n1 = 2,50 nello schema) con materiali a basso in-dice di rifrazione (fluoruro di magnesio MgF2 con indice di rifrazione n2 =

1,38 nello schema). Per incrementare la riflessione è necessario che i raggiin uscita (da 1 a 4 nello schema) siano tutti in fase tra loro, in modo darealizzare solo interferenze costruttive. Se si esaminano le possibili inter-ferenze una dopo l’altra si constata che la concordanza di fase è realizzatase si rispettano le condizioni descritte nel seguito.

Il raggio 1 subisce uno sfasamento angolare di π nella riflessione al-l’interfaccia tra aria e TiO2, mentre il raggio 2 non subisce alcuno sfasa-mento angolare nella riflessione all’interfaccia tra TiO2 e MgF2. Di conse-guenza, occorre che il cammino aggiuntivo percorso dal raggio 2, rispettoal raggio 1, sia pari a λ1/2 in modo da generare un ulteriore sfasamentoangolare di π. Ciò si traduce ancora nella condizione (12.41), ripetuta percomodità

s1 =λ1

4=

1n1

λ0

4

Come si è detto, il raggio 2 non subisce alcuno sfasamento angolarenella riflessione all’interfaccia tra TiO2 e MgF2, mentre il raggio 3 subisceuno sfasamento angolare di π nella riflessione all’interfaccia tra MgF2 eTiO2. Di conseguenza, occorre che il cammino aggiuntivo percorso dalraggio 3, rispetto al raggio 2, sia pari a λ2/2 in modo da generare unulteriore sfasamento angolare di π. Ciò si traduce ancora nella condizione

2s2 =λ2

2⇒ s2 =

λ2

4=

1n2

λ0

4(12.42)

Come si è detto, il raggio 3 subisce uno sfasamento angolare di π nellariflessione all’interfaccia tra MgF2 e TiO2, mentre il raggio 4 non subiscealcuno sfasamento angolare nella riflessione all’interfaccia tra TiO2 e ve-tro. Di conseguenza, occorre che il cammino aggiuntivo percorso dal rag-gio 4, rispetto al raggio 3, sia pari a λ3/2 in modo da generare un ulterioresfasamento angolare di π. Ciò si traduce ancora nella condizione

2s3 =λ3

2⇒ s3 =

λ3

4=

1n3

λ0

4(12.43)

538 CAPITOLO 12

RADIAZIONE 539

1s

10

�naria

1 2 3 4

2s

3s

50,212

�nTiO

38,122

�nMgF

50,2132

�� nnTiO

53,1�nvetro

Figura 12.13: Rivestimento riflettente di una lastra di vetro, realizzato mediantetre strati sottili disposti in modo da alternare materiali ad alto e basso indice dirifrazione.

Da quanto detto si evince che la condizione per realizzare un rivesti-mento riflettente multistrato è quella di impiegare film sottili dello spessoredi un quarto della lunghezza d’onda della luce nei materiali del film stessi.Riguardo alla scelta dei materiali del film, invece, non vi sono restrizioniparticolari: basta che vengano alternati materiali con indice di rifrazionemaggiore di quello del vetro e materiali con indice di rifrazione minore diquello del vetro. Ovviamente, è necessario anche che i materiali presceltiabbiano caratteristiche meccaniche adeguate all’impiego che, nelle vetratead esempio, è abbastanza oneroso.

Rivestimenti multistratoI rivestimenti multistrato possono comprendere un numero di film ancheabbastanza elevato. Per generalizzare quanto visto al punto precedente,conviene indicare con H ed L, rispettivamente, i materiali ad indice di ri-frazione maggiore del vetro (H = high) e ad indice di rifrazione minore delvetro (L = low). Con tale convenzione, la sequenza dei materiali utilizzataper realizzare il rivestimento riflettente schematizzato nella Fig. 12.13 puòessere espressa come: H - L - H. Naturalmente, una sequenza di questotipo può essere continuata, ad esempio come: H - L - H - L - H - L - H peri sette strati schematizzati nella Fig. 12.14. Ciascuno strato deve avere lospessore di un quarto della lunghezza d’onda della luce nel materiale dellostrato stesso

sH =1

nH

λ0

4sL =

1nL

λ0

4

539RADIAZIONE

540 CAPITOLO 12

10

�naria

53,1�nvetro

Ln

Ln

Hn

Hn

Hn H

H

H

L

L

Figura 12.14: Rivestimento multistrato riflettente composto da un qualsivoglianumero di film sottili, ciascuno dello spessore di un quarto della lunghezza d’ondadella luce nel materiale. L’alternanza H - L - H - L . . . materiali ad alto (H) e basso(L) indice di rifrazione realizza un multistrato riflettente, mentre la sequenza L -H . . . realizzerebbe un multistrato assorbente.

In questo modo, i diversi strati possono essere ottimizzati per diverse lun-ghezza d’onda di riferimento λ0 e, nel caso della radiazione solare, è pos-sibile realizzare rivestimenti selettivi che, ad esempio, consentono il pas-saggio di buona parte della radiazioni visibili mentre bloccano gran partedelle radiazioni ultraviolette ed infrarosse.

A conclusione di questo punto è importante osservare che rivestimentimultistrato possono essere, e sono, realizzati anche con funzioni antirifles-so (od assorbenti). In quest’ultimo caso, tuttavia, la sequenza dei materialideve essere: L - H - e così via.

12.5 VETRATE PER L’EDILIZIA

Le normative conseguenti alla necessità di risparmiare energia nel riscalda-mento e nel condizionamento degli edifici impongono, in pratica, l’utilizzodi vetrate innovative in gran parte delle nuove costruzioni. Queste vetra-te comprendono una intercapedine chiusa, eventualmente riempita con ungas a bassa conduttività termica, che, di per sé, garantisce un buon isola-mento termico invernale. Inoltre, al fine di ridurre gli apporti di calore perirraggiamento durante l’estate, le vetrate attuali montano, sul lato esternodella camera, un vetro con un rivestimento selettivo in grado di consen-tire il passaggio di buona parte della radiazione visibile ed, allo stesso

540 CAPITOLO 12

RADIAZIONE 541

1

11

21

12

22

2

�

�

�

�

�

�

22J0

22�G

21J

1221JG �

12J

11J

2112JG �

111

�G

1 1 1

2 2 2

Figura 12.15: Applicazione del “net radiation method” ad un sistema di due lastredi materiale trasparente.

tempo, di riflettere all’esterno gran parte delle radiazioni ultraviolette edinfrarosse. Per dare concretezza a queste considerazioni, nel resto dellasezione ci si occuperà, in sequenza, del problema generale rappresentatodalla trasmissione delle radiazioni attraverso un sistema di due lastre tra-sparenti separate da una intercapedine e, successivamente, si illustrerà ladefinizione di fattore solare per una vetrocamera. Non ci si occuperà in-vece dell’isolamento termico invernale poiché, da questo punto di vista, levetrocamere possono essere assimilate a pareti piane multistrato (trattatenella Sezione 3.3), caratterizzate da valori del coefficiente di convezioneper le intercapedini chiuse determinati come nella Sezione 8.5.

12.5.1 Sistema di due Lastre

Con riferimento alla schematizzazione di Fig. 12.15, utilizzando il “netradiation method”, si vogliono scrivere i bilanci energetici per le quattrofacce esterne di un sistema costituito da due lastre di materiale trasparen-te separate da una intercapedine. Nello schema, le quattro facce esternevengono contraddistinte da due indici, di modo che “11” indica la primafaccia della lastra 1, “12” la seconda faccia della lastra 1, e così via. Inarmonia con tale convenzione, le radiosità J prendono il doppio indice re-lativo alla faccia di partenza, mentre le irradianze G prendono il doppio

541RADIAZIONE

542 CAPITOLO 12

indice relativo alla faccia di arrivo. Inoltre, nelle analisi si assumono noti,in quanto pre-calcolati con le metodologie del Paragrafo 12.4.1, i parametricaratteristici sia della lastra 1: ρ1 e τ1, sia della lastra 2: ρ2 e τ2.

Attese tali premesse, i bilanci di energia per le quattro facce delle duelastre possono venire espressi come

J11 = ρ1G11 + τ1G12

J12 = ρ1G12 + τ1G11

J21 = ρ2G21 + τ2G22

J22 = τ2G21 + ρ2G22 (12.44)

Il sistema di quattro equazioni (12.44) contiene otto incognite e, di conse-guenza, è necessario ridurre il numero di incognite operando in analogia aquanto fatto nel Paragrafo 12.4.1. Si possono così eliminare due irradianze,scrivendo

G12 = J21

G21 = J12 (12.45)

per evidenti considerazioni fisiche. Successivamente, si possono eliminareanche l’irradianza G22, in quanto trascurabile rispetto a G11, assumendo

G22 = 0 (12.46)

e l’irradianza G11 ponendoG11 = 1 (12.47)

ovvero, in pratica, adimensionalizzando rispetto a questa quantità di ri-ferimento. Naturalmente va ricordato che, a seguito della (12.47), tuttele J incognite diventano adimensionali, ovvero divise per G11. Per nonappesantire la trattazione, tuttavia, i simboli delle J non verranno cambia-ti. Con riferimento alle relazioni (12.45) - (12.47), il sistema (12.44) puòessere scritto nella forma

J11 = ρ1 + τ1J21

J12 = ρ1J21 + τ1

J21 = ρ2J12

J22 = τ2J12 (12.48)

542 CAPITOLO 12

RADIAZIONE 543

dove le due incognite J22 e J11 hanno, rispettivamente, il significato fisicodi coefficiente di trasmissione globale

τG = J22

(≡ J22

G1

)(12.49)

e coefficiente di riflessione globale

ρG = J11

(≡ J11

G1

)(12.50)

Pertanto, la differenzaαG = 1 − ρG − τG (12.51)

definisce il coefficiente di assorbimento globale.Nella soluzione del sistema (12.48), si sostituisce J12 per J11, e si

utilizza il risultato nell’equazione per J22. Si trova così

τG = J22 =τ1τ2

1 − ρ1ρ2(12.52)

ovvero l’espressione esplicita del coefficiente di trasmissione globale peril sistema delle due lastre. A questo punto si risolve l’equazione per J21, esi utilizza il risultato nell’equazione per J11. Si trova così

ρG = J11 = ρ1 +ρ2τ

21

1 − ρ1ρ2(12.53)

ovvero l’espressione esplicita del coefficiente di trasmissione globale peril sistema delle due lastre.

In buona parte dei casi di interesse pratico le due lastre sono immersein aria sui due lati e l’intercapedine, ovvero lo spazio tra le due lastre, èchiuso e riempito con aria (ad indice di rifrazione unitario) nelle realizza-zioni tradizionali, ovvero con gas a bassissima conduttività termica comeargon e kripton (caratterizzati ancora da indici di rifrazione prossimi ad1) nelle realizzazioni più innovative. Inoltre, nelle vetrate tradizionali (manon nelle vetrate innovative), le due lastre sono anche uguali. Di conse-guenza, con le vetrate tradizionali è ragionevole assumere: ρ1 = ρ2 = ρ eτ1 = τ2 = τ e scrivere le (12.52) e (12.53) nelle forme semplificate

τG =τ2

1 − ρ2 (12.54)

543RADIAZIONE

544 CAPITOLO 12

per il coefficiente di trasmissione globale delle due lastre e

ρG = ρ +ρτ2

1 − ρ2 = ρ(1 + τG) (12.55)

per il coefficiente di riflessione globale delle due lastre.

12.5.2 Calcolo di una Vetrata Doppia

Nel Paragrafo 12.5.1 si sono ricavati e discussi i coefficienti globali di tra-smissione τG, riflessione ρG ed assorbimento αG per una vetrata doppia. Inquesto paragrafo si illustrerà la procedura che si deve seguire per ricavarei valori numerici di quei coefficienti nelle situazioni di interesse pratico.

Ancora una volta la regola è che le relazioni (12.51) - (12.55) van-no applicate separatamente alle componenti dell’irradianza polarizzate sulpiano parallelo p e sul piano normale n al piano di incidenza. Successiva-mente, in analogia a quanto fatto in precedenza, i risultati per le coppie τGp

e τGn, ρGp e ρGn, αGp e αGn vanno sommati e mediati per ottenere i valorifinali

τG =12

(τGp + τGn)

ρG =12

(ρGp + ρGn)

αG =12

(αGp + αGn) (12.56)

L’unica eccezione alla regola riguarda gli angoli di incidenza più bassi peri quali l’applicazione ripetuta delle (12.51) - (12.55) fornirebbe: τGp) �τGn � τG, ρGp � ρGn � ρG, e αGp � αGn � αG.

Gli esempi numerici, riportati nel seguito, possono ulteriormente chia-rire le modalità di applicazione pratica della procedura di calcolo.

Esempio 12.10 Si faccia riferimento ad una vetrata doppia composta dadue lastre singole uguali a quella esaminata nell’Esempio 12.8, immersein aria e con l’intercapedine riempita da un gas ad indice di rifrazioneprossimo ad 1. Si determinino i valori assunti dai coefficienti di trasmis-sione, riflessione ed assorbimento globali per angoli di incidenza φ1 pari,rispettivamente, a 0◦ e 30◦.

544 CAPITOLO 12

RADIAZIONE 545

SoluzioneNell’Esempio 12.8 si era trovato

• τp = τn = τ = 0,818 e ρp = ρn = ρ = 0,0760 per φ1 = 0◦ e

• τp = 0,839, τn = 0,784, τ = 0,811, ρp = 0,0490, ρn = 0,107 eρ = 0,0780 per φ1 = 30◦.

Inoltre, dal Paragrafo 12.5.1 si evince che, per due lastre uguali con le stes-se condizioni ai bordi, le relazioni di riferimento sono la (12.54) per il coef-ficiente di trasmissione globale e la (12.55) per il coefficiente di riflessioneglobale.

Con φ1 = 0◦, basta applicare una sola volta le relazioni (12.54) e(12.55) per ottenere in sequenza:

τG =τ2

1 − ρ2 =0,8182

1 − 0,07602 = 0,673

per il coefficiente di trasmissione globale e

ρG = ρ(1 + τG) = 0,0760(1 + 0,673) = 0,125

per il coefficiente di riflessione globale. Di conseguenza si ha anche

αG = 1 − ρG − τG = 1 − 0,125 − 0,673 = 0,202

per il coefficiente di assorbimento globale.Per φ1 = 30◦, l’utilizzo delle relazioni (12.54) e (12.55) per la compo-

nente parallela e la componente normale fornisce in sequenza:

τGp =τ2

p

1 − ρ2p=

0,8392

1 − 0,04902 = 0,706

per la componente parallela del coefficiente di trasmissione globale;

ρGp = ρp(1 + τGp) = 0,0490(1 + 0,706) = 0,0840

per la componente parallela del coefficiente di riflessione globale;

τGn =τ2

n

1 − ρ2n=

0,7842

1 − 0,1072 = 0,622

545RADIAZIONE

546 CAPITOLO 12

per la componente normale del coefficiente di trasmissione globale;

ρGn = ρn(1 + τGn) = 0,107(1 + 0,622) = 0,174

per la componente normale del coefficiente di riflessione globale. Di con-seguenza, si ha

τG =12

(τGp + τGn) =12

(0,706 + 0,622) = 0,664

ρG =12

(ρGp + ρGn) =12

(0,0840 + 0,174) = 0,129

eαG = 1 − ρG − τG = 1 − 0,129 − 0,664 = 0,207

per il coefficiente di assorbimento globale. In armonia con quanto riscon-trato in precedenza, anche in questo caso si vede come i risultati finaliottenuti per i due diversi angoli di incidenza (φ1 = 0◦ e φ1 = 30◦) non dif-feriscano molto tra di loro. Anche in questo caso, tuttavia, si preferiscerimandare il commento a carattere generale all’Esempio 12.11.

Esempio 12.11 Come nell’Esempio 12.10 si faccia riferimento ad una ve-trata doppia composta da due lastre singole uguali a quella esaminata nel-l’Esempio 12.8, immerse in aria e con l’intercapedine riempita da un gasad indice di rifrazione prossimo ad 1. Si determinino gli andamenti deicoefficienti di trasmissione e riflessione globali in funzione dell’angolo diincidenza φ1.

SoluzioneI valori τGp, τGn e τG relativi al coefficiente di trasmissione globale, ed ivalori ρGp, ρGn e ρG relativi al coefficiente di riflessione sono determinabili,in funzione di φ1, utilizzando le relazioni (12.54) e (12.55), valide per duelastre uguali con le stesse condizioni ai bordi. Successivamente, medianteun foglio elettronico, è agevole tracciare gli andamenti riportati nelle Fig.12.16 e Fig. 12.17.

Come si vede dalle figure, ed in armonia con i risultati precedenti

• per angoli di incidenza φ1 < 20◦, le componenti parallela e normale,sia di τG sia di ρG, non differiscono apprezzabilmente una dall’altramentre

546 CAPITOLO 12

RADIAZIONE 547

Figura 12.16: Andamenti dei coefficienti di trasmissione globali τGp, τGn e τGin funzione dell’angolo di incidenza φ1 nel caso di una lastra doppia compostada due lastre singole uguali a quella esaminata nell’Esempio 12.8, immersa inaria sui due lati e con l’intercapedine riempita da un gas ad indice di rifrazioneprossimo ad 1.

Figura 12.17: Andamenti dei coefficienti di riflessione globali ρGp, ρGn e ρG

in funzione dell’angolo di incidenza φ1 nel caso di una lastra doppia compostada due lastre singole uguali a quella esaminata nell’Esempio 12.8, immersa inaria sui due lati e con l’intercapedine riempita da un gas ad indice di rifrazioneprossimo ad 1.

RADIAZIONE 547

Figura 12.16: Andamenti dei coefficienti di trasmissione globali τGp, τGn e τGin funzione dell’angolo di incidenza φ1 nel caso di una lastra doppia compostada due lastre singole uguali a quella esaminata nell’Esempio 12.8, immersa inaria sui due lati e con l’intercapedine riempita da un gas ad indice di rifrazioneprossimo ad 1.

Figura 12.17: Andamenti dei coefficienti di riflessione globali ρGp, ρGn e ρG

in funzione dell’angolo di incidenza φ1 nel caso di una lastra doppia compostada due lastre singole uguali a quella esaminata nell’Esempio 12.8, immersa inaria sui due lati e con l’intercapedine riempita da un gas ad indice di rifrazioneprossimo ad 1.

547RADIAZIONE

548 CAPITOLO 12

• per angoli di incidenza φ1 < 40◦ si commette un errore dell’ordinedel 2% utilizzando il valore del coefficienti τG(0◦) e ρG(0◦), relativi aφ1 = 0◦, al posto dei valori τG(φ1) e ρG(φ1) calcolati con la procedurarigorosa.

Con angoli di incidenza superiori a 40◦, il coefficiente di trasmissione glo-bale diminuisce all’aumentare dell’angolo di incidenza mentre il coeffi-ciente di riflessione globale aumenta all’aumentare dell’angolo di inciden-za. Per un’incidenza tangenziale, infine, si raggiungono i valori limite pari,rispettivamente, a 0 per il coefficiente di trasmissione globale e ad 1 per ilcoefficiente di riflessione globale.

12.5.3 Fattore Solare

Il fattore solare g è il parametro che meglio caratterizza il comportamen-to estivo delle vetrate. Esso rappresenta il rapporto tra il flusso totale dienergia trasmesso all’interno ed il flusso di energia solare solare incidenteall’esterno. Il flusso totale trasmesso all’interno è, a sua volta, dato dallasomma del flusso di energia radiativa trasmesso direttamente all’interno edel flusso termico ceduto dal vetro all’interno per convezione a seguito del-l’assorbimento di una frazione delle radiazioni entranti da parte del vetrostesso.

Per maggiore chiarezza, si faccia riferimento allo schema di Fig. 12.18,dal quale si evince che, in una vetrata doppia, l’irradianza solare G vienein parte riflessa: ρGG, ed in parte trasmessa direttamente all’interno: τGG.Il residuo: αGG = (1 − ρG − τG)G viene assorbito all’interno della ve-trata e, successivamente, riemesso in parte all’interno: zαGG ed in parteall’esterno: (1 − z)αGG. Secondo la definizione, quindi, il fattore solare ècalcolabile come

g =τGG + zαGG

G= τG + zαG (12.57)

dove τG ed αG sono valutati con le metodologie discusse nella Sezione12.5, mentre una possibile stima del fattore di ripartizione è data dallarelazione

z =αci

αci + αce=

7,77,7 + 25

= 0,24 (12.58)

dove αci = 7,7 W/(m2K e αce = 25 W/(m2K sono i valori consigliati dallanormativa sulle vetrate, rispettivamente per il coefficiente di convezione

548 CAPITOLO 12

RADIAZIONE 549

1 2

G

� �

� �� GG

GG

GG

GG

GG

� �z�1 z

Figura 12.18: Ripartizione del flusso radiativo incidente su una vetrata.

interno e per quello esterno. La (12.58) è valida rigorosamente per unavetrata singola, mentre conduce ad una sovrastima dell’ordine di qualchepercento nel caso di una vetrata doppia.

Una volta calcolato g, si dispone di un parametro di giudizio sinteticosulla qualità della vetrata rispetto alla protezione assicurata per l’irraggia-mento solare. Evidentemente, minore è il fattore solare e minore è il flussotermico che entra all’interno a causa dell’irraggiamento. Per questo moti-vo, la normativa fissa un limite superiore estivo per g che, attualmente, èpari al 50%.

Esempio 12.12 Con riferimento alla vetrata doppia di cui all’Esempio12.10, si calcoli il fattore solare quando l’angolo di incidenza è pari a 0◦.

SoluzioneNell’Esempio 12.10, per φ1 = 0◦ si era trovato: τG = 0,673, ρG = 0,125 eαG = 0,202. Se, in armonia con le considerazioni precedenti si assume z =0,2, dalla (12.57) si ricava

g = 0,673 + 0,2 · 0,202 = 0,71

Il fattore solare trovato supera di molto il valore massimo di 0,5 previstodalla normativa. Di conseguenza, si può dedurre che le vetrate doppie nor-mali non assicurano una protezione solare sufficiente durante i mesi estivie che, per rispettare le prescrizioni della normativa attuale, è necessariofare ricorso ai vetri riflettenti.

549RADIAZIONE

550 CAPITOLO 12

1

1

33

0

02

2

4 4

(a) (b)

Figura 12.19: Schematizzazione dei pannelli solari (a) termici con, nell’ordine:esterno 0, vetro 1, intercapedine 2, piastra captante 3, isolamento posteriore 4; e(b) fotovoltaici con, nell’ordine: esterno 0, vetro 1, EVA cioè etilene vinil acetato2, cella 3, EVA 2, supporto in plastica posteriore 4.

12.6 COPERTURE DEI PANNELLI SOLARI

Sia i pannelli solari termici sia quelli fotovoltaici sono dotati di coperture,generalmente in vetro. Tuttavia, come si può evincere dalle schematiz-zazioni di Fig. 12.19, la funzione delle coperture è diversa nei due casi.Nei pannelli solari termici il vetro di copertura realizza un’intercapedineisolante che impedisce lo scambio termico diretto per convezione forzatatra la piastra captante attiva e l’esterno. Nei pannelli solari fotovoltaici,invece, il vetro di copertura ha funzioni essenzialmente protettive nei con-fronti delle precipitazioni atmosferiche e di possibili ingiurie meccaniche.(Nei pannelli fotovoltaici, infatti, lo smaltimento del calore è benefico, inquanto l’efficienza diminuisce al crescere della temperatura di cella). Nelseguito si presenteranno due semplici modelli per il calcolo delle frazionidi flusso termico solare assorbite, rispettivamente, dalla piastra captantenei pannelli termici e dalla cella nei pannelli fotovoltaici. Nemmeno inquesta sezione, comunque, ci si occuperà della conduzione e della conve-zione poiché, da questo punto di vista, sia i pannelli termici sia i pannellifotovoltaici possono essere assimilati a pareti piane multistrato, trattatenella Sezione 3.3, con valori dei coefficienti di convezione calcolabili conle metodologie proposte dalla normativa o dalla letteratura specializzata.

550 CAPITOLO 12

RADIAZIONE 551

vetro

p

� �

�

21J

1221JG �

12J

11J

2112JG �

111

�G

piastra0

22�G

22J

Figura 12.20: Applicazione del “net radiation method” alla copertura dei pannellisolari termici.

12.6.1 Pannelli Solari Termici

Lo schema di Fig. 12.20 consente l’applicazione del “net radiation me-thod” per determinare le frazioni di flusso termico solare trasmesse dallacopertura in vetro ed assorbite dalla piastra captante. Il modello di ri-ferimento è quello delle lastre doppie, discusso nel Paragrafo 12.5.1 edillustrato nella Fig. 12.15. In armonia con la letteratura, saranno, tutttavia,tuttavia, introdotte alcune modifiche formali alla procedura di calcolo.

Con riferimento allo schema di Fig. 12.20, le equazioni di bilancioutilizzate sono

J12 = τG11 + ρG12 = τG11 + ρJ21

J21 = (1 − αp)J12 +G22 = (1 − αp)J12

J22 = αpG21 = αpJ12 (12.59)

dove αp è il coefficiente di assorbimento della piastra captante (che si cer-ca di rendere il più possibile prossimo ad 1), mentre τ e ρ sono, rispettiva-mente, il coefficiente di trasmissione ed il coefficiente di riflessione internodella copertura in vetro.

Nella soluzione del sistema (12.59), conviene sostituire J21 in J12 e poisostituire il risultato in J22. Si ottiene così

J22

G11=

αpτ

1 − ρ(1 − αp)= (αpτ)e (12.60)

551RADIAZIONE

552 CAPITOLO 12

dove il pedice e nel risultato finale sta per equivalente. Infatti, a causa delleriflessioni multiple che si innescano tra piastra di copertura e faccia internadel vetro (ovviamente per αp < 1), la frazione di energia solare assorbitaè superiore al semplice prodotto aritmetico tra coefficiente di trasmissionedel vetro e coefficiente di assorbimento della piastra.

Esempio 12.13 Con riferimento ad un pannello solare termico con la-stra di copertura in vetro ultrachiaro dello spessore di 4 mm e coefficientedi estinzione γ = 8 m−1, dotato di piastra captante caratterizzata da uncoefficiente di assorbimento αp = 0,95, si determini il valore assunto dalcoefficiente (αpτ)e per un angolo di incidenza φ1 = 0◦.

SoluzioneIn precedenza si era trovato: rp = rn = r = 0,0439 per φ1 = 0◦ mentre,nelle ipotesi poste, la relazione (12.2) fornisce

ϕ = exp(−γs) = exp(−8 · 4 · 10−3) = 0,969

Con φ1 = 0◦, basta applicare una sola volta le relazioni (12.32) e(12.33) per ottenere in sequenza:

τ =(1 − r)2ϕ

1 − r2ϕ2 =(1 − 0,0439)20,969

1 − (0,0439 · 0,969)2 = 0,887

per il coefficiente di trasmissione della lastra e

ρ = r(1 + ϕτ) = 0,0439(1 + 0,969 · 0,887) = 0,0816

per il coefficiente di riflessione della lastra.Pertanto, dalla (12.60) si ottiene

(αpτ)e =αpτ

1 − ρ(1 − αp)=

0,95 · 0,8871 − 0,0816(1 − 0,95)

= 0,846

Si noti che, trascurando il denominatore, si sarebbe ottenuto

αpτ = 0,95 · 0,887 = 0,843

con una differenza minore dell’1% rispetto ad (αpτ)e.

552 CAPITOLO 12

RADIAZIONE 553

�

11

�G1

J

2J

2G

3J

4J

3G

04

�G

1r

cr

vetro

cella

Figura 12.21: Applicazione del “net radiation method” alla copertura dei pannellisolari fotovoltaici.

12.6.2 Pannelli Solari Fotovoltaici

Innanzi tutto si può osservare che, nei pannelli solari fotovoltaici, lo sche-ma di Fig. 12.21, utilizzato per determinare le frazioni di flusso termicosolare trasmesse dalla copertura in vetro ed assorbite dalla cella, è notevol-mente semplificato rispetto allo schema “geometrico” rappresentato nellaFig. 12.19 (b).

La semplificazione più importante consiste nel non tenere conto dellapresenza dello strato in EVA. Tale strato, infatti, ha la funzione di prote-zione addizionale della cella ed ha spessore (circa 0,5 mm) abbastanza piùpiccolo di quello della lastra in vetro (dell’ordine dei 2 mm). Inoltre, ilcoefficiente di riflessione all’interfaccia tra vetro ed EVA è molto picco-lo, in quanto i due indici di riflessione sono molto vicini (n1 = 1,53 per ilvetro ed n2 = 1,48 per EVA). Così per un’incidenza normale, ad esempio,l’applicazione della (12.19) porta alla stima di un coefficiente di riflessioneall’interfaccia

r =(n1 − n2

n1 + n2

)2=

(1,53 − 1,481,53 + 1,48

)2= 2 · 10−4

trascurabile ai fini pratici.Una seconda semplificazione consiste nel trascurare eventuali rifles-

sioni multiple che potrebbero innescarsi tra la faccia esposta e quella in-terna della cella, assumendo che le radiazioni non riflesse dall’interfac-

553RADIAZIONE

554 CAPITOLO 12

cia esposta vengano completamente assorbite all’interno della cella stessa.Tale assunzione è giustificata dal valore molto elevato del coefficiente diestinzione dei materiali di cella rispetto al valore del coefficiente di estin-zione del vetro di copertura. Il coefficiente di estinzione del silicio cristal-lino (materiale utilizzato nelle celle tradizionali) è, infatti, pari a 4,48·105

m−1 contro una valore pari a 8,0 m−1 per il coefficiente di estinzione delvetro ultrachiaro della copertura. (Nel caso delle celle innovative in sili-cio amorfo, il coefficiente di estinzione è pari a 7,77·106 m−1 e, quindi,maggiore di oltre un ordine di grandezza rispetto a quello del silicio cri-stallino). Se le radiazioni non riflesse dall’interfaccia esposta delle cellevengono completamente assorbite nella celle stesse, si ha, evidentemente

αc = 1 − rc (12.61)

Attese tali assunzioni è possibile applicare il “net radiation method”nella versione per lastra singola, discusso nel Paragrafo 12.4.1 ed illustratonella Fig. 12.8. Pertanto, con riferimento allo schema di Fig. 12.21 ed airisultati del Paragrafo 12.4.1, si può scrivere direttamente la soluzione perl’incognita che qui interessa

J4

G1=

(1 − r1)(1 − rc)ϕ1 − r1rcϕ2 = τ (12.62)

A questo punto si può osservare che diversi autori propongono, comeulteriore semplificazione, di assumere rc � 0. Un passo di questo tipo ègiustificato dal fatto che le celle solari sono caratterizzate, sul lato espo-sto, da coefficienti di riflessione molto ridotti, ottenuti impiegando un ri-vestimento antiriflesso (o tecnologie equivalenti che qui non è il caso diesaminare). Sostituendo il valore rc � 0 nella (12.62), si ottiene

J4

G1= (1 − r1)ϕ = (αcτ)e (12.63)

dove il terzo membro non offre alcuna nuova informazione (essendo αc =

1 − rc � 1), ma serve ad armonizzare il formato della (12.63), relativoalla copertura dei pannelli solari fotovoltaici, con il formato della (12.60),relativo alla copertura dei pannelli solari termici.

Esempio 12.14 Con riferimento ad un pannello fotovoltaico con lastradi copertura in vetro ultrachiaro dello spessore di 2 mm e coefficiente di

554 CAPITOLO 12

RADIAZIONE 555

estinzione γ = 8 m−1, e ad un coefficiente di assorbimento αc � 1 per lacella, si determini il valore assunto dal coefficiente (αcτ)e per un angolodi incidenza φ1 = 0◦.

SoluzioneIn precedenza si era trovato: r1 = 0,0439 per φ1 = 0◦ all’interfaccia aria -vetro mentre, nelle ipotesi poste, la relazione (12.2) fornisce

ϕ = exp(−γs) = exp(−8 · 2 · 10−3) = 0,984

Pertanto, dalla (12.63) si ottiene

(αcτ)e = (1 − r1)ϕ = (1 − 0,0439)0,984 = 0,941

Si noti che il risultato, già ottimo, potrebbe essere migliorato ulteriormenteapplicando un rivestimento antiriflesso anche sull’interfaccia tra l’aria edil vetro di copertura.

12.7 CONCLUSIONI

In questo capitolo si sono fornite le basi fisiche e gli strumenti analiticinecessari a trattare gli scambi termici per irraggiamento attraverso lastresemitrasparenti in vetro o plastica, semplici o doppie, siano esse omo-genee o corredate di rivestimenti superficiali a film sottile (coatings). Inparticolare, nel testo

• Dopo una definizione quantitativa della “trasparenza”, si è accen-nato alla teoria della propagazione delle onde elettromagnetiche neimezzi dielettrici più o meno perfetti (classe alla quale appartengonoi materiali semitrasparenti).

• Si sono richiamati alcuni concetti riguardanti la polarizzazione delleonde elettromagnetiche, con particolare riferimento alla polarizza-zione per riflessione alle interfacce tra dielettrici.

• Si sono discusse le leggi della riflessione e della rifrazione alle inter-facce tra dielettrici e si è illustrata la procedura di calcolo dei coeffi-cienti di riflessione, sia per la componente polarizzata sul piano or-togonale all’interfaccia sia per la componente polarizzata sul pianoparallelo all’interfaccia.

555RADIAZIONE

556 CAPITOLO 12

• Si sono determinati i coefficienti di riflessione, trasmissione ed as-sorbimento per una lastra semitrasparente singola.

• Si sono fornite le basi fisiche per la comprensione del funzionamentodei rivestimenti sottili (coatings) nei quali le interferenze distruttivee costruttive giocano un ruolo fondamentale.

• Si sono illustrate alcune possibili realizzazioni di rivestimenti sottiliassorbenti, riflettenti e selettivi.

• Si sono determinati i coefficienti globali di riflessione, trasmissioneed assorbimento per le lastre semitrasparenti doppie.

• Si è definito il fattore solare di una vetrata e si sono illustrate le basifisiche della definizione.

• Si è affrontato il problema delle coperture dei pannelli solari e sisono presentati due semplici modelli per il calcolo delle copertu-re stesse, rispettivamente per i pannelli solari termici e per quellifotovoltaici.

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