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Teoremas energticos fundamentales del anlisis estructural

Ejemplos

11. Estructura hiperesttica. Mtodo de flexibilidad (1)

5 m

1 2 3

10 m

5 m

P=1000

A B C

ABC rgida.

Barras 1,2,3 iguales. L=5 m

h=1

1 2 3

3 2

0

0 15 5 5

Y

A

F N N N P

M N N P

Equilibrio de la barra ABC:

2 ecuaciones, 3 incgnitas

Despejamos N1 y N3 en funcin de N2

1 2

3 2

2 2

3 31 1

3 3

N P N

N P N

Consideramos N2 redundante

(Esttica)

N1

P=1000

N2 N3


Ecuacin de compatibilidad extra (2 T. Engesser)

* 21

2 jL

U NEA

*1 2 3

1 2 32 2 2 2

0U L N L N L N

N N NN EA N EA N EA N

*

2

0U

N

1 2 32 11 03 3

N L N L N L

EA EA EA

1 2 3

2 10

3 3N N N Ecuacin de compatibilidad extra

Se elimina L/EA


2 ecuaciones de la esttica + la ecuacin extra: 3 ecs. y 3 incgnitas

1

2

3

0.429

0.357

0.214

N P

N P

N P

(Esttica)

Resolviendo:

Sustituyendo se obtiene N2

1 2

3 2

2 2

3 31 1

3 3

N P N

N P N

1 2 3

2 10

3 3N N N

Alargamientos:

1

2

3

2.145 /

1.785 /

1.070 /

P EA

P EA

P EA/Lj jN L EA

42. Prtico sencillo isosttico. Energa

2 2

2 2

N MU dx dx

EA EI

2 2 2

0 0 0

( ) ( ) ( )

2 2 2

H L HP Px PL

U dx dx dxEA EI EI

2 2 3 2 2

2 6 2

P H P L P LHU

EA EI EI

Trminos:

1. Compresin poste

2. Flexin viga

3. Flexin poste

21 3

6 3 3 21.8 10 1.2 10 3 10U P

H=400 cm L=500 cm IPE 300 A=53.8 I=8360

PL

PL

N=-P

x

N=0

L

H

P

52. Prtico sencillo isosttico. Deformacin vertical

3 2

3YU PH PL PLH

P EA EI EI

Derivada es inmediata,

pues U(P)

1. Compresin poste 2. Flexin viga 3. Flexin poste

2 2 3 2 2

2 6 2

P H P L P LHU

EA EI EI

Comprobacin. Trabajo de la fuerza exterior

2 2 3 2 21

2 2 6 2YP H P L P LH

W P UEA EI EI

Y

U

P2 Teorema de Castigliano

D1

D2=PL3/3EI

D3=qL

q

q

63. Prtico sencillo isosttico. Deformacin horizontal. Planteamiento

Caso virtual unitario

V VM M M V N N N V

Caso real

2 2

2 2

N MU dx dx

EA EI0

X

V

U

V

PL

PL

N=-P

P

N=0

DX

H

Nv=0

V=1

Nv=1

Mv

+ V=0+

73. Prtico sencillo isosttico. Deformacin horizontal. Desarrollo.

Caso virtual

V

V

M M M V

N N N V

Caso real

2 2

2 2

N MU dx dx

EA EI

0 0

2 2

2 2XV V

U N N M Mdx dx

V EA V EI V

0 0V VV VX

N MN dx M dx

EA EI

V VX

N MN dx M dx

EA EI

H

Nv=0

V=1

Nv=1

Mv

+

PL

PL

N=-P

P

N=0

DX

83. Prtico sencillo isosttico. Deformacin horizontal. Clculo

Caso virtual unitarioCaso real

PL

PL

N=-P

P

N=0

DX

x

H

Nv=0

V=1

Nv=1

Mv

x

V VX

N MN dx M dx

EA EI

0

(0) ( ) ( ) ( )(1) (0) (0) ( )

H

X

P Px PLdx dx dx x dx

EA EA EI EI

2

2XPL H

EI

94. Prtico isosttico. Fuerza horizontal. Deformacin vertical

Caso virtual unitarioCaso real

PH

N=0

P

N=PDY

x

L

Nv=0

V=1

Nv=-1

Mv

xL

V VY

N MN dx M dx

EA EI

0

(0) ( ) ( )( 1) (0) ( )

H

Y

P Pxdx dx L dx

EA EA EI

2

2YPH L

EIIgual a la DX si la fuerza es PY

10

Prtico isosttico. Fuerza - Deformacin recprocas

Fuerza horizontal

Deformacin verticalFuerza vertical

Deformacin horizontal

2

2Y XP PX Y

PHL

EI

P

DX P

DY

No es casualidad. Consecuencia del Teorema

de reciprocidad de deformaciones de Maxwell

11

5. Viga apoyada. Carga uniforme. Deformacin en el centro

2

2 2

qLx qxM

0 /22

V xM x L

Caso V

/2 2 4

0 0

1 52

2 2 2 384

LLV

Y

M qLx qx x qLM dx dx

EI EI EI

Momento flector:

x

D

qL2/8

x

1

L/4

MV

Tablas:

42 2

0

5( /2)( /2)1

3 8 4 384

LV

Y

qLL L LM qL LM dx

EI EI L EI

12

5. Viga apoyada. Carga uniforme. Energa

2

2 2

qLx qxM

22 2 2 5

0 0

1

2 2 2 2 240

L LM qLx qx q L

U dx dxEI EI EI

Momento flector:

x

D

L=500 m q=12 kg/cm IPE 160 E=2.1 106 kg/cm2 I=869 cm4

Mmax= 375000 cm kg smax=3452 kg/cm2 sE=3600 kg/cm

2

U = 10275 (cm-kg) = 1008 (J) = 241 (cal)

Atencin: Flecha 5 cm (L/100) muy alta

13

6. Pieza curva. Energa. Deformacin vertical

cos

cos

sen

M PR

N P

Q P

2 2

2 2

N MU ds ds

EA EI

/2 /22 2 2 2 2

0 0

cos cos

2 2

P P RU Rd Rd

EA EI

2 2 3

8 8

P R P RU

EA EI

Deformacin:3

4 4YU PR PR

P EA EI

P

q

N

M

Q

R

P

DY

R h

14

6. Pieza curva. Energa. Deformacin horizontal

cos

cos

sen

M PR

N P

Q P

/2 /2

0 0

( cos ) ( cos )sen ( sen )X

P PRRd R R Rd

EA EI

3

2 2XPR PR

EA EI

1

q

NV

MV

QV

( sen )

sen

cos

V

V

V

M R R

N

Q

V VX

N MN ds M ds

EA EI

R

P

DXCaso VCaso real

Aplicacin a celosas planas de los teoremas energticos del anlisis estructural

Ejemplos

1. Celosa simple isosttica

L L

P

A BC

D

L

21. Celosa simple isosttica. Deformacin (1)

2 23 2 2

2 4j jN L P LUEA EA

L L

P/2 P/2

P-P/2 -P/2

P

A BC

D

L

Trabajo de la fuerza P:

Barras misma rea.

1

2 CYW P

Frmula de Clapeyron: W U

21 3 2 2

2 4CYP L

PEA

3 2 2

2CYPL

EA

Energa acumulada:

Esfuerzos por el mtodo de los nudos.


2 Castigliano CYU

P

1 1 2 1 2 1

2 2 2 2 2 2 2 2CYP L P L P L P L

EA EA EA EA

3 2 2

2CYPL

EA

2

2j jN LUEA

j j jCY

N L NU

P EA P

Barras misma rea.

Esfuerzos por el mtodo de los nudos.

L L

P/2 P/2

P-P/2 -P/2

P

A BC

D

L

2. Celosa simple isosttica

3 m 3 m

P2

A

4 m

P1

52. Celosa simple isosttica. Esfuerzos

2 21 2

2 2

N L N LU

EA EA

Barras misma rea.

Energa acumulada:

Esfuerzos por equilibrio de A.

3 m 3 m

P2A

4 m

P1

1 2

L=5 m

2 2 1

1 1 2

sen sen

cos cos

P N N

P N N

1 1 2

2 1 2

5 5

8 65 5

8 6

N P P

N P P

P2

P1

N1 N2a a


1 1 2 2

2 2

2 2

2 2AXN L N N L N

EA P EA P

Deformacin X de A. P2

A

P1

1 2

DAX

2AX

U

P

1 22 25 5

2 6 2 6AXN L N L

EA EA

250

36AXPL

EA

Sustituyendo N

2 Teorema de Castigliano


1 1 2 2

1 1

2 2

2 2AYN L N N L N

EA P EA P

Deformacin Y de A.P2

A

P1

1 2

DAY

1AY

U

P

1 22 25 5

2 8 2 8AXN L N L

EA EA

150

64AXPL

EA

Sustituyendo N

2 Teorema de Castigliano

3. Celosa hiperesttica

Aplicacin (intuitiva) del mtodo de rigidez

4 m

PA

1

2

3

3 m

3 m

a

93. Celosa hiperesttica (1: estudio de la deformacin)

4 m

PA

1

2

3

3 m

3 m

a

Barras iguales.

21

2 Ljj

EAU

L

1

2

3

cos 4 / 5

cos 4 / 5

L X X

L X

L X X

A

DX

DX cosa

a

a

DX cosa

Deformacin de la estructura:

Punto A se mueve en horizontal

b=3 r=6 n=4 h=1

10

3. Celosa hiperesttica (2: resolucin)

DL1=4 DX /5

DL3=4 DX /5

DL2=DX

2 2 2(4 / 5) ( ) (4 / 5)

2 5(m) 2 4(m) 2 5(m)X X XEA EA EAU

2253 ( )1000 X

U EA

Teorema 1 de Castigliano:

2 253

1000 XX

UP EA

500

253XP

EA

Ecuacin de equilibrio de la estructura

en la direccin de DX

Dada P, hallamos la deformacin

11

3. Celosa hiperesttica (3: esfuerzos en las barras)

Alargamientos de las barras

1

2

3

4004 / 5

253500

253400

4 / 5253

L X

L X

L X

P

EAP

EAP

EA

Esfuerzos en las barras

j Ljj

EAN

L

1

2

3

80

253125

25380

253

PN

PN

PN

DL1=4 DX /5

DL3=4 DX /5

DL2=DX

4. Celosa hiperesttica

Aplicacin (intuitiva) del mtodo de flexibilidad

4 m

PA

1

2

3

3 m

3 m

a

13

4. Celosa hiperesttica. Mtodo de flexibilidad (1)

4 m

P1A

1

2

3

3 m

3 m

a

P2

Barras iguales.

1 1 2 3

2 1 3

cos cos

sen sen

P N N N

P N NP2

a

N1

N2

N3

P1

Equilibrio del nudo A: 2 ecuaciones, 3 incgnitas

b=3 r=6 n=4 h=1

Despejamos N1 y N3 en funcin de N2

1 1 2 2

3 1 2 2

5 5 5

8 6 85 5 5

8 6 8

N P P N

N P P N

Consideramos N2 redundante(1)

14


Ecuacin de compatibilidad extra (2 Engesser)

* 21

2j

j

LU N

EA

*1 1 2 2 3 3

1 2 32 2 2 2

0U L N L N L N

N N NN EA N EA N EA N

*

2

0U

N

1 1 2 2 3 35 51 08 8

N L N L N L

EA EA EA

1 2 35 5 4 5 51 08 8

N N N

EA EA EA

1 32

25 254 0

8 8

N NN Ecuacin de compatibilidad extra

P1A

1

2

3

a

P2

Se simplifica EA

15


2 ecuaciones de la esttica (1) y la ecuacin extra: 3 ecs. y 3 incgnitas

1 1 2

2 1

3 1 2

80 5

253 6125

25380 5

253 6

N P P

N P

N P P

1 1 2 2

3 1 2 2

5 5 5

8 6 85 5 5

8 6 8

N P P N

N P P N(1)

1 32

25 254 0

8 8

N NN

Resolviendo:

Sustituyendo sale N2

16


Deformacin vertical (2 Castigliano)

* 21

2j

j

LU N

EA

*1 1 2 2 3 3

2 1 2 32 2 2 2

U L N L N L NN N N

P EA P EA P EA P

*

22

U

P

1 2 32 1 2 3

5 50

6 6

L L LN N N

EA EA EA

2 1 3

5( ) 5( )6

mN N

EA2 2

250(m)

36P

EA

P1A

1

2

3

a

P2