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CAPITULO VMETODOS ENERGETICOSMETODOS ENERGETICOS
L ét d étiLos métodos energéticos son muyimportantes dentro del calculo deestructuras y se basan fundamentalmente enla energía de deformación comola energía de deformación comoconsecuencia de la aplicación de cargas enuna estructura.
"Me gozaré y alegraré en tu misericordia,porque has visto mi aflicción;has conocido mi alma en las angustias." Salmo 31: 7
Trabajo de una fuerza y un momentoTrabajo de una fuerza y un momentoAhora se definirá cómo se calcula el trabajo hecho por una fuerza y un momento sobre una estructura.
Trabajo de una fuerza y un momentoTrabajo de una fuerza y un momentoCuando se está en el rango elástico lineal, se tiene:
P
Rango Elástico Lineald
Trabajo de una fuerza y un momentoTrabajo de una fuerza y un momentoEs importante distinguir cuando una fuerza se aplica o no en forma gradualgradual
P F CP + F C
P DB
’A G F PP + F
’
Rango Elástico Lineal
’ P + F
Conservación de la energíaConservación de la energíaEl principio de conservación de la energía para estructuras se
enuncia como sigue:
“El trabajo efectuado sobre una estructura elástica por fuerzas aplicadas estáticamente (en forma gradual) es igual al trabajo realizado por las fuerzas internas, o sea, la energía
de deformación almacenada en la estructura”
Matemáticamente se expresa como:
We=Wi ó Ue=Wi
"Me gozaré y alegraré en tu misericordia,porque has visto mi aflicción;has conocido mi alma en las angustias." Salmo 31: 7
Energía de deformación elásticaEnergía de deformación elásticaLa forma de energía más común considerada en el Análisis de
Estructuras es la energía potencial elástica.
"Me gozaré y alegraré en tu misericordia,porque has visto mi aflicción;has conocido mi alma en las angustias." Salmo 31: 7
Energía de deformación elásticaEnergía de deformación elásticaSe presenta a continuación la energía de deformación para varios
los tipos más comunes de estructuras usadas en la Ingeniería Civil.
Armaduras
Vigas
Pórticos
Energía de deformación elásticaEnergía de deformación elásticaConsideraciones importantes:
• Las deformaciones por fuerzas cortantes en las vigas suelendespreciarse debido a que son bastante pequeñas a comparación delas debidas por flexión
• Las deformaciones por fuerzas axiales en pórticos son muchomenores que las debidas a flexión y suelen despreciarse en elanálisis.
• Cuando alguna de las funciones F(x), V(x), M(x) y T(x) no soncontinuas en los elementos, entonces este debe dividirse en
l d d l f í lsegmentos tales donde las anteriores funciones sí lo sean para quela suma o integral sea continua. Luego, se suma la contribución de
d l t bt l í d d f ió t t l"Me gozaré y alegraré en tu misericordia,porque has visto mi aflicción;has conocido mi alma en las angustias." Salmo 31: 7
cada elemento para obtener la energía de deformación total.
Principio del Trabajo VirtualPrincipio del Trabajo VirtualFue introducido por Johan Bernoulli en 1717. Es una poderosa herramienta analítica en muchos problemas de mecánica estructural. Este principio puede ser enunciado de dos maneras:
Principio de desplazamientos virtuales para los cuerpos rígidos: El método de Müller-Breslau para el trazado de líneas de influencia está basado en esta forma de expresar el principio.
Principio de fuerzas virtuales para los cuerpos deformables: Se emplea para el cálculo de deflexiones.
"Me gozaré y alegraré en tu misericordia,porque has visto mi aflicción;hasconocido mi alma en las angustias." Salmo 31: 7
Principio del Trabajo VirtualPrincipio del Trabajo VirtualEl principio de desplazamientos virtuales para los cuerpos rígidos p p p p p g
se enuncia así:
“Si un cuerpo rígido se encuentra en equilibrio bajo un sistema de fuerzas y si se sujeta a cualquier desplazamiento virtual f y j q pde cuerpo rígido, el trabajo virtual realizado por las fuerzas
externas es cero”
"Me gozaré y alegraré en tu misericordia,porque has visto mi aflicción;has conocido mi alma en las angustias." Salmo 31: 7
Principio del Trabajo VirtualPrincipio del Trabajo Virtual
El principio de fuerzas virtuales para los cuerpos deformables se p p p penuncia así:
“Si una estructura deformable está en equilibrio bajo un sistema virtual de fuerzas (y pares) y si se sujeta a cualquier f (y p ) y j q
deformación real pequeña, coherente con las condiciones de apoyo y continuidad de la estructura, entonces el trabajo virtual externo y j
realizado por las fuerzas externas (y pares externos) virtuales que actúan a través de los desplazamientos (y rotaciones)
externos reales es igual al trabajo interno virtual realizado por las fuerzas internas (y pares internos) que actúan a través de los
( ) ”"Me gozaré y alegraré en tu misericordia,porque has visto mi aflicción;has conocido mi alma en las angustias." Salmo 31: 7
desplazamientos (y rotaciones) internos reales”
Principio del Trabajo VirtualPrincipio del Trabajo Virtual
Aplicaciones al cálculo de deflexiones y pendientesp y p
• Armaduras:• Para el caso de armaduras se usa la siguiente expresion:Para el caso de armaduras se usa la siguiente expresion:
NnL EANnL
N= Fuerza axial interna debida a cargas reales.n=fuerza axial interna debida a la n fuerza axial interna debida a la aplicación de carga virtual unitaria
"Me gozaré y alegraré en tu misericordia,porque has visto mi aflicción;has conocido mi alma en las angustias." Salmo 31: 7
Principio del Trabajo VirtualPrincipio del Trabajo Virtual
Aplicaciones al cálculo de deflexiones y pendientesp y p
• Vigas: Si bien en una viga es posible tener fuerzas axiales, cortantes ymomentos flectores, sólo se consideran prominentes el momento, pflector y la fuerza cortante. Para la gran mayoría de vigas se despreciael trabajo interno efectuado por las fuerzas cortantes virtuales quep qactúan a través de las deformaciones causadas por esas cortantes.
En este caso, es posible calcular deflexiones y pendientes.
"Me gozaré y alegraré en tu misericordia,porque has visto mi aflicción;has conocido mi alma en las angustias." Salmo 31: 7
Principio del Trabajo VirtualPrincipio del Trabajo Virtual
Aplicaciones al cálculo de deflexiones y pendientesp y p
• Vigas: La expresión derivada a partir la aplicación del principio deltrabajo a vigas se presentan a continuación:j g p
L
EIMmdx
M= momento flector debido a cargas reales. EI0m=momento flector debido a la aplicación de carga virtual unitaria
La anterior expresión debe ser evaluadas en tramos en los cuales la función de momento sea continua.
"Me gozaré y alegraré en tu misericordia,porque has visto mi aflicción;has conocido mi alma en las angustias." Salmo 31: 7
Principio del Trabajo VirtualPrincipio del Trabajo Virtual
Aplicaciones al cálculo de deflexiones y pendientesp y p
• Pórticos: La expresión derivada a partir la aplicación del principiodel trabajo a pórticos se presenta a continuación:j p p
L
EIMmdx
M= momento flector debido a cargas reales. EI0m=momento flector debido a la aplicación de carga virtual unitaria
La anterior expresión debe ser evaluada en tramos en los cuales la función de momento sea continua función de momento sea continua.
"Me gozaré y alegraré en tu misericordia,porque has visto mi aflicción;has conocido mi alma en las angustias." Salmo 31: 7
Principio del Trabajo VirtualPrincipio del Trabajo Virtual
Aplicaciones al cálculo de deflexiones y pendientes:p y p
Es posible que en vigas o pórticos se tengan otras posibles situaciones que causen deflexiones. Aunque es poco el aporte de estas a la energía q q p p g
de deformación, la cual será en forma primaria debida a flexión, se expondrán de igual forma.p g
Las acciones adicionales que se incluirán son debidas a fuerza axial, Las acciones adicionales que se incluirán son debidas a fuerza axial, fuerza cortante, momentos torsores
"Me gozaré y alegraré en tu misericordia,porque has visto mi aflicción;has conocido mi alma en las angustias." Salmo 31: 7
L
LL
o JGTtdx
GAsVvdx
EANnL
0
L
EIMmdx
o 0EI0
M = momento debido a cargas realesm= momento debido a cargas virtualesm= momento debido a cargas virtualesN = fuerza normal debida a cargas realesn= fuerza normal debida a cargas virtualesV= fuerza cortante debido a cargas realesV= fuerza cortante debido a cargas realesv= fuerza cortante debido a cargas virtualesT=momento torsor debido a cargas realest=momento torsor debido a cargas virtualest momento torsor debido a cargas virtualesA=area o seccion transversalAs= area de corteJ= momento polar de inerciaJ pI= momento de inerciaE= modulo de elasticidadG=modulo de corte
"Me gozaré y alegraré en tu misericordia,porque has visto mi aflicción;has conocido mi alma en las angustias." Salmo 31: 7
TRABAJO VIRTUAL EN PORTICOS
"Me gozaré y alegraré en tu misericordia,porque has visto mi aflicción;has conocido mi alma en las angustias." Salmo 31: 7
RVE=0.5KN RVA=1.5KN RHA=O
"Me gozaré y alegraré en tu misericordia,porque has visto mi aflicción;has conocido mi alma en las angustias." Salmo 31: 7
"Me gozaré y alegraré en tu misericordia,porque has visto mi aflicción;has conocido mi alma en las angustias." Salmo 31: 7
"Me gozaré y alegraré en tu misericordia,porque has visto mi aflicción;has conocido mi alma en las angustias." Salmo 31: 7
"Me gozaré y alegraré en tu misericordia,porque has visto mi aflicción;has conocido mi alma en las angustias." Salmo 31: 7
"Me gozaré y alegraré en tu misericordia,porque has visto mi aflicción;has conocido mi alma en las angustias." Salmo 31: 7
TRABAJO VIRTUAL EN CERCHAS
"Me gozaré y alegraré en tu misericordia,porque has visto mi aflicción;has conocido mi alma en las angustias." Salmo 31: 7
"Me gozaré y alegraré en tu misericordia,porque has visto mi aflicción;has conocido mi alma en las angustias." Salmo 31: 7
"Me gozaré y alegraré en tu misericordia,porque has visto mi aflicción;has conocido mi alma en las angustias." Salmo 31: 7
"Me gozaré y alegraré en tu misericordia,porque has visto mi aflicción;has conocido mi alma en las angustias." Salmo 31: 7
"Me gozaré y alegraré en tu misericordia,porque has visto mi aflicción;has conocido mi alma en las angustias." Salmo 31: 7
PRIMER TEOREMA DE CASTIGLIANOCASTIGLIANO
"Me gozaré y alegraré en tu misericordia,porque has visto mi aflicción;has conocido mi alma en las angustias." Salmo 31: 7
TEOREMA DE CASTIGLIANO
En 1879 Alberto Castigliano, ingeniero italiano de ferrocarriles, publicó un libro dondeescribía un método para determinar el desplazamiento de un cuerpo, sólo se aplica acuerpos de temperatura constante , de material con comportamiento elástico lineal; esp p pdecir nos ayuda a calcular las deflexiones producidas en una viga a causa de unadeterminada carga que debe soportar y por ende nos ayuda a elegir el mejor material parala construcción de estás según su resistencia y para que propósito la necesitamos. Si se va acalcular el desplazamiento en un punto, el teorema establece que esedesplazamiento es igual a la integral calculada entre cero y la longitud de labarra, del momento flector por la derivada del momento flector respecto auna fuerza P todo entre el módulo de elasticidad del material por elmomento de inercia del área transversal, respecto a x
"Me gozaré y alegraré en tu misericordia,porque has visto mi aflicción;has conocido mi alma en las angustias." Salmo 31: 7
Estas ecuaciones se pueden utilizar para portico y una cercha
TRABAJO VIRTUAL
PRIMER TEOREMA DE CASTIGLIANO
"Me gozaré y alegraré en tu misericordia,porque has visto mi aflicción;has conocido mi alma en las angustias." Salmo 31: 7
CALCULAR LA DEFLEXION Y ROTACION EN EL PUNTO C DE LA VIGA MOSTRADA USANDO EL TEOREMA DE CASTIGLIANOMOSTRADA USANDO EL TEOREMA DE CASTIGLIANO
"Me gozaré y alegraré en tu misericordia,porque has visto mi aflicción;has conocido mi alma en las angustias." Salmo 31: 7
"Me gozaré y alegraré en tu misericordia,porque has visto mi aflicción;has conocido mi alma en las angustias." Salmo 31: 7
"Me gozaré y alegraré en tu misericordia,porque has visto mi aflicción;has conocido mi alma en las angustias." Salmo 31: 7
"Me gozaré y alegraré en tu misericordia,porque has visto mi aflicción;has conocido mi alma en las angustias." Salmo 31: 7
"Me gozaré y alegraré en tu misericordia,porque has visto mi aflicción;has conocido mi alma en las angustias." Salmo 31: 7
"Me gozaré y alegraré en tu misericordia,porque has visto mi aflicción;has conocido mi alma en las angustias." Salmo 31: 7
"Me gozaré y alegraré en tu misericordia,porque has visto mi aflicción;has conocido mi alma en las angustias." Salmo 31: 7
"Me gozaré y alegraré en tu misericordia,porque has visto mi aflicción;has conocido mi alma en las angustias." Salmo 31: 7
PROBLEMAS
"Me gozaré y alegraré en tu misericordia,porque has visto mi aflicción;has conocido mi alma en las angustias." Salmo 31: 7
"Me gozaré y alegraré en tu misericordia,porque has visto mi aflicción;has conocido mi alma en las angustias." Salmo 31: 7
"Me gozaré y alegraré en tu misericordia,porque has visto mi aflicción;has conocido mi alma en las angustias." Salmo 31: 7
"Me gozaré y alegraré en tu misericordia,porque has visto mi aflicción;has conocido mi alma en las angustias." Salmo 31: 7
"Me gozaré y alegraré en tu misericordia,porque has visto mi aflicción;has conocido mi alma en las angustias." Salmo 31: 7
"Me gozaré y alegraré en tu misericordia,porque has visto mi aflicción;has conocido mi alma en las angustias." Salmo 31: 7
