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Teoremas energéticos fundamentales del análisis estructural Ejemplos

Teoremas Energeticos 42 73

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Ejercicios Estructural

Text of Teoremas Energeticos 42 73

  • Teoremas energticos fundamentales del anlisis estructural

    Ejemplos

  • 11. Estructura hiperesttica. Mtodo de flexibilidad (1)

    5 m

    1 2 3

    10 m

    5 m

    P=1000

    A B C

    ABC rgida.

    Barras 1,2,3 iguales. L=5 m

    h=1

    1 2 3

    3 2

    0

    0 15 5 5

    Y

    A

    F N N N P

    M N N P

    Equilibrio de la barra ABC:

    2 ecuaciones, 3 incgnitas

    Despejamos N1 y N3 en funcin de N2

    1 2

    3 2

    2 2

    3 31 1

    3 3

    N P N

    N P N

    Consideramos N2 redundante

    (Esttica)

    N1

    P=1000

    N2 N3

  • 21. Estructura hiperesttica. Mtodo de flexibilidad (2)

    Ecuacin de compatibilidad extra (2 T. Engesser)

    * 21

    2 jL

    U NEA

    *1 2 3

    1 2 32 2 2 2

    0U L N L N L N

    N N NN EA N EA N EA N

    *

    2

    0U

    N

    1 2 32 11 03 3

    N L N L N L

    EA EA EA

    1 2 3

    2 10

    3 3N N N Ecuacin de compatibilidad extra

    Se elimina L/EA

  • 31. Estructura hiperesttica. Mtodo de flexibilidad (3)

    2 ecuaciones de la esttica + la ecuacin extra: 3 ecs. y 3 incgnitas

    1

    2

    3

    0.429

    0.357

    0.214

    N P

    N P

    N P

    (Esttica)

    Resolviendo:

    Sustituyendo se obtiene N2

    1 2

    3 2

    2 2

    3 31 1

    3 3

    N P N

    N P N

    1 2 3

    2 10

    3 3N N N

    Alargamientos:

    1

    2

    3

    2.145 /

    1.785 /

    1.070 /

    P EA

    P EA

    P EA/Lj jN L EA

  • 42. Prtico sencillo isosttico. Energa

    2 2

    2 2

    N MU dx dx

    EA EI

    2 2 2

    0 0 0

    ( ) ( ) ( )

    2 2 2

    H L HP Px PL

    U dx dx dxEA EI EI

    2 2 3 2 2

    2 6 2

    P H P L P LHU

    EA EI EI

    Trminos:

    1. Compresin poste

    2. Flexin viga

    3. Flexin poste

    21 3

    6 3 3 21.8 10 1.2 10 3 10U P

    H=400 cm L=500 cm IPE 300 A=53.8 I=8360

    PL

    PL

    N=-P

    x

    N=0

    L

    H

    P

  • 52. Prtico sencillo isosttico. Deformacin vertical

    3 2

    3YU PH PL PLH

    P EA EI EI

    Derivada es inmediata,

    pues U(P)

    1. Compresin poste 2. Flexin viga 3. Flexin poste

    2 2 3 2 2

    2 6 2

    P H P L P LHU

    EA EI EI

    Comprobacin. Trabajo de la fuerza exterior

    2 2 3 2 21

    2 2 6 2YP H P L P LH

    W P UEA EI EI

    Y

    U

    P2 Teorema de Castigliano

    D1

    D2=PL3/3EI

    D3=qL

    q

    q

  • 63. Prtico sencillo isosttico. Deformacin horizontal. Planteamiento

    Caso virtual unitario

    V VM M M V N N N V

    Caso real

    2 2

    2 2

    N MU dx dx

    EA EI0

    X

    V

    U

    V

    PL

    PL

    N=-P

    P

    N=0

    DX

    H

    Nv=0

    V=1

    Nv=1

    Mv

    + V=0+

  • 73. Prtico sencillo isosttico. Deformacin horizontal. Desarrollo.

    Caso virtual

    V

    V

    M M M V

    N N N V

    Caso real

    2 2

    2 2

    N MU dx dx

    EA EI

    0 0

    2 2

    2 2XV V

    U N N M Mdx dx

    V EA V EI V

    0 0V VV VX

    N MN dx M dx

    EA EI

    V VX

    N MN dx M dx

    EA EI

    H

    Nv=0

    V=1

    Nv=1

    Mv

    +

    PL

    PL

    N=-P

    P

    N=0

    DX

  • 83. Prtico sencillo isosttico. Deformacin horizontal. Clculo

    Caso virtual unitarioCaso real

    PL

    PL

    N=-P

    P

    N=0

    DX

    x

    H

    Nv=0

    V=1

    Nv=1

    Mv

    x

    V VX

    N MN dx M dx

    EA EI

    0

    (0) ( ) ( ) ( )(1) (0) (0) ( )

    H

    X

    P Px PLdx dx dx x dx

    EA EA EI EI

    2

    2XPL H

    EI

  • 94. Prtico isosttico. Fuerza horizontal. Deformacin vertical

    Caso virtual unitarioCaso real

    PH

    N=0

    P

    N=PDY

    x

    L

    Nv=0

    V=1

    Nv=-1

    Mv

    xL

    V VY

    N MN dx M dx

    EA EI

    0

    (0) ( ) ( )( 1) (0) ( )

    H

    Y

    P Pxdx dx L dx

    EA EA EI

    2

    2YPH L

    EIIgual a la DX si la fuerza es PY

  • 10

    Prtico isosttico. Fuerza - Deformacin recprocas

    Fuerza horizontal

    Deformacin verticalFuerza vertical

    Deformacin horizontal

    2

    2Y XP PX Y

    PHL

    EI

    P

    DX P

    DY

    No es casualidad. Consecuencia del Teorema

    de reciprocidad de deformaciones de Maxwell

  • 11

    5. Viga apoyada. Carga uniforme. Deformacin en el centro

    2

    2 2

    qLx qxM

    0 /22

    V xM x L

    Caso V

    /2 2 4

    0 0

    1 52

    2 2 2 384

    LLV

    Y

    M qLx qx x qLM dx dx

    EI EI EI

    Momento flector:

    x

    D

    qL2/8

    x

    1

    L/4

    MV

    Tablas:

    42 2

    0

    5( /2)( /2)1

    3 8 4 384

    LV

    Y

    qLL L LM qL LM dx

    EI EI L EI

  • 12

    5. Viga apoyada. Carga uniforme. Energa

    2

    2 2

    qLx qxM

    22 2 2 5

    0 0

    1

    2 2 2 2 240

    L LM qLx qx q L

    U dx dxEI EI EI

    Momento flector:

    x

    D

    L=500 m q=12 kg/cm IPE 160 E=2.1 106 kg/cm2 I=869 cm4

    Mmax= 375000 cm kg smax=3452 kg/cm2 sE=3600 kg/cm

    2

    U = 10275 (cm-kg) = 1008 (J) = 241 (cal)

    Atencin: Flecha 5 cm (L/100) muy alta

  • 13

    6. Pieza curva. Energa. Deformacin vertical

    cos

    cos

    sen

    M PR

    N P

    Q P

    2 2

    2 2

    N MU ds ds

    EA EI

    /2 /22 2 2 2 2

    0 0

    cos cos

    2 2

    P P RU Rd Rd

    EA EI

    2 2 3

    8 8

    P R P RU

    EA EI

    Deformacin:3

    4 4YU PR PR

    P EA EI

    P

    q

    N

    M

    Q

    R

    P

    DY

    R h

  • 14

    6. Pieza curva. Energa. Deformacin horizontal

    cos

    cos

    sen

    M PR

    N P

    Q P

    /2 /2

    0 0

    ( cos ) ( cos )sen ( sen )X

    P PRRd R R Rd

    EA EI

    3

    2 2XPR PR

    EA EI

    1

    q

    NV

    MV

    QV

    ( sen )

    sen

    cos

    V

    V

    V

    M R R

    N

    Q

    V VX

    N MN ds M ds

    EA EI

    R

    P

    DXCaso VCaso real

  • Aplicacin a celosas planas de los teoremas energticos del anlisis estructural

    Ejemplos

  • 1. Celosa simple isosttica

    L L

    P

    A BC

    D

    L

  • 21. Celosa simple isosttica. Deformacin (1)

    2 23 2 2

    2 4j jN L P LUEA EA

    L L

    P/2 P/2

    P-P/2 -P/2

    P

    A BC

    D

    L

    Trabajo de la fuerza P:

    Barras misma rea.

    1

    2 CYW P

    Frmula de Clapeyron: W U

    21 3 2 2

    2 4CYP L

    PEA

    3 2 2

    2CYPL

    EA

    Energa acumulada:

    Esfuerzos por el mtodo de los nudos.

  • 31. Celosa simple isosttica. Deformacin (2)

    2 Castigliano CYU

    P

    1 1 2 1 2 1

    2 2 2 2 2 2 2 2CYP L P L P L P L

    EA EA EA EA

    3 2 2

    2CYPL

    EA

    2

    2j jN LUEA

    j j jCY

    N L NU

    P EA P

    Barras misma rea.

    Esfuerzos por el mtodo de los nudos.

    L L

    P/2 P/2

    P-P/2 -P/2

    P

    A BC

    D

    L

  • 2. Celosa simple isosttica

    3 m 3 m

    P2

    A

    4 m

    P1

  • 52. Celosa simple isosttica. Esfuerzos

    2 21 2

    2 2

    N L N LU

    EA EA

    Barras misma rea.

    Energa acumulada:

    Esfuerzos por equilibrio de A.

    3 m 3 m

    P2A

    4 m

    P1

    1 2

    L=5 m

    2 2 1

    1 1 2

    sen sen

    cos cos

    P N N

    P N N

    1 1 2

    2 1 2

    5 5

    8 65 5

    8 6

    N P P

    N P P

    P2

    P1

    N1 N2a a

  • 62. Celosa simple isosttica. Deformacin (1)

    1 1 2 2

    2 2

    2 2

    2 2AXN L N N L N

    EA P EA P

    Deformacin X de A. P2

    A

    P1

    1 2

    DAX

    2AX

    U

    P

    1 22 25 5

    2 6 2 6AXN L N L

    EA EA

    250

    36AXPL

    EA

    Sustituyendo N

    2 Teorema de Castigliano

  • 72. Celosa simple isosttica. Deformacin (2)

    1 1 2 2

    1 1

    2 2

    2 2AYN L N N L N

    EA P EA P

    Deformacin Y de A.P2

    A

    P1

    1 2

    DAY

    1AY

    U

    P

    1 22 25 5

    2 8 2 8AXN L N L

    EA EA

    150

    64AXPL

    EA

    Sustituyendo N

    2 Teorema de Castigliano

  • 3. Celosa hiperesttica

    Aplicacin (intuitiva) del mtodo de rigidez

    4 m

    PA

    1

    2

    3

    3 m

    3 m

    a

  • 93. Celosa hiperesttica (1: estudio de la deformacin)

    4 m

    PA

    1

    2

    3

    3 m

    3 m

    a

    Barras iguales.

    21

    2 Ljj

    EAU

    L

    1

    2

    3

    cos 4 / 5

    cos 4 / 5

    L X X

    L X

    L X X

    A

    DX

    DX cosa

    a

    a

    DX cosa

    Deformacin de la estructura:

    Punto A se mueve en horizontal

    b=3 r=6 n=4 h=1

  • 10

    3. Celosa hiperesttica (2: resolucin)

    DL1=4 DX /5

    DL3=4 DX /5

    DL2=DX

    2 2 2(4 / 5) ( ) (4 / 5)

    2 5(m) 2 4(m) 2 5(m)X X XEA EA EAU

    2253 ( )1000 X

    U EA

    Teorema 1 de Castigliano:

    2 253

    1000 XX

    UP EA

    500

    253XP

    EA

    Ecuacin de equilibrio de la estructura

    en la direccin de DX

    Dada P, hallamos la deformacin

  • 11

    3. Celosa hiperesttica (3: esfuerzos en las barras)

    Alargamientos de las barras

    1

    2

    3

    4004 / 5

    253500

    253400

    4 / 5253

    L X

    L X

    L X

    P

    EAP

    EAP

    EA

    Esfuerzos en las barras

    j Ljj

    EAN

    L

    1

    2

    3

    80

    253125

    25380

    253

    PN

    PN

    PN

    DL1=4 DX /5

    DL3=4 DX /5

    DL2=DX

  • 4. Celosa hiperesttica

    Aplicacin (intuitiva) del mtodo de flexibilidad

    4 m

    PA

    1

    2

    3

    3 m

    3 m

    a

  • 13

    4. Celosa hiperesttica. Mtodo de flexibilidad (1)

    4 m

    P1A

    1

    2

    3

    3 m

    3 m

    a

    P2

    Barras iguales.

    1 1 2 3

    2 1 3

    cos cos

    sen sen

    P N N N

    P N NP2

    a

    N1

    N2

    N3

    P1

    Equilibrio del nudo A: 2 ecuaciones, 3 incgnitas

    b=3 r=6 n=4 h=1

    Despejamos N1 y N3 en funcin de N2

    1 1 2 2

    3 1 2 2

    5 5 5

    8 6 85 5 5

    8 6 8

    N P P N

    N P P N

    Consideramos N2 redundante(1)

  • 14

    4. Celosa hiperesttica. Mtodo de flexibilidad (2)

    Ecuacin de compatibilidad extra (2 Engesser)

    * 21

    2j

    j

    LU N

    EA

    *1 1 2 2 3 3

    1 2 32 2 2 2

    0U L N L N L N

    N N NN EA N EA N EA N

    *

    2

    0U

    N

    1 1 2 2 3 35 51 08 8

    N L N L N L

    EA EA EA

    1 2 35 5 4 5 51 08 8

    N N N

    EA EA EA

    1 32

    25 254 0

    8 8

    N NN Ecuacin de compatibilidad extra

    P1A

    1

    2

    3

    a

    P2

    Se simplifica EA

  • 15

    4. Celosa hiperesttica. Mtodo de flexibilidad (3)

    2 ecuaciones de la esttica (1) y la ecuacin extra: 3 ecs. y 3 incgnitas

    1 1 2

    2 1

    3 1 2

    80 5

    253 6125

    25380 5

    253 6

    N P P

    N P

    N P P

    1 1 2 2

    3 1 2 2

    5 5 5

    8 6 85 5 5

    8 6 8

    N P P N

    N P P N(1)

    1 32

    25 254 0

    8 8

    N NN

    Resolviendo:

    Sustituyendo sale N2

  • 16

    4. Celosa hiperesttica. Mtodo de flexibilidad (4)

    Deformacin vertical (2 Castigliano)

    * 21

    2j

    j

    LU N

    EA

    *1 1 2 2 3 3

    2 1 2 32 2 2 2

    U L N L N L NN N N

    P EA P EA P EA P

    *

    22

    U

    P

    1 2 32 1 2 3

    5 50

    6 6

    L L LN N N

    EA EA EA

    2 1 3

    5( ) 5( )6

    mN N

    EA2 2

    250(m)

    36P

    EA

    P1A

    1

    2

    3

    a

    P2