Proseminář z matematiky pro fyziky
Mgr. Jan Říha, Ph.D.e-mail: [email protected]://www.ictphysics.upol.cz/Proseminar/index.html
Katedra experimentální fyzikyPřírodovědecká fakulta UP Olomouc
Podmínky zisku zápočtu
neúčast nejvýše na třech seminářích psát 3 písemné práce (asi dvacetiminutové,
každá s maximálním ziskem 10 bodů) zisk nejméně 20 bodů každou písemku napsat alespoň na 3 body odevzdat vyřešené domácí úlohy
Doporučená literatura BRABEC J., HRŮZA B.: Matematická analýza II. SNTL, Praha, 1989. BRABEC J., MARTAN F., ROZENSKÝ Z.: Matematická analýza I. SNTL, Praha, 1989. JIRÁSEK F., ČIPERA S., VACEK M.: Sbírka řešených příkladů z matematiky I., II. a III..
SNTL, Praha, 1989. LEA S. M.: Mathematics for Physicists. Brooks/Cole, 2004. KUČERA J., HORÁK Z.: Tenzory v elektrotechnice a ve fyzice. Nakladatelství ČSAV,
Praha, 1963. KVASNICA J.: Matematický aparát fyziky. Academia, Praha, 1989. ČECHOVÁ M., MARKOVÁ L.: Proseminář z matematiky A, B. UP Olomouc, 1990. KOLESÁROVÁ A., KOVÁČOVÁ M., ZÁHONOVÁ V.: Matematika I - Návody na
cvičenia s programovým systémom Mathematica. Slovenská technická univerzita v Bratislave, 2004.
KOLESÁROVÁ A., KOVÁČOVÁ M., ZÁHONOVÁ V.: Matematika II - Návody na cvičenia s programovým systémom Mathematica. Slovenská technická univerzita v Bratislave, 2002.
ZIMMERMAN, R. L., OLNES, F. I.: Mathematica for Physics. Addison-Wesley, 2002. WOLFRAM S.: The Mathematica Book. Wolfram Media, 2003. BAUMANN G.: Mathematica for Theoretical Physics. Springer-Verlag Heidelberg, 1993. DICK S., RIDDLE A., STEIN D.: Mathematica in the Laboratory. Cambridge University
Press, 1997.
T A B U L K O U G R A F E M F U N K Č N ÍM P Ř E D P IS E Mex p lic itn ě
p aram etrick yim p licitn ě
M o žno sti za d á n í funkc e
fHN
fDM
funkcehodnot Obor
funkceobor Definiční
.RN
RM
množiny prvek jeden právě
přiřazen množiny prvku každému je něhož podle
předpis, rozumíme proměnné reálné jednéfunkcí Reálnou
Vlastnosti funkce Ohraničená funkce (shora, zdola ohraničená)
Parita funkce
Periodická funkce
CxffDxRC :,
xfxffDxxf
xfxffDxxf
:
:
nazývá se Funkce
nazývá se Funkce
lichá
sudá
xfpxffDRxpRp :;0, Složená funkce
xu
zfy
xufy
zfyzxu
baxxuzf
z ... funkce vnitřní
... funkce vnější
. nazývá se funkcepak ,definovaná
funkce je kterém ve, funkcehodnotu
přiřadit lze Jestliže a funkcedány Jsou
funkcí složenou
,
,.
Vlastnosti funkce Prostá funkce
Inverzní funkce
212121 :, xfxfxxa,bxxfDa,b
xf
intervalu na nazývá se Funkce prostá
.
1
yfx
xfyxf
tvaru zapsat ve lze ji jestliže
, funkci nazveme funkcik funkcí Inverzní
Funkce rostoucí, klesající, nerostoucí, neklesající
212121 :,
intervalu na nazývá se Funkce
xfxfxxa,bxxfDa,b
xf
rostoucí
212121 :,
intervalu na nazývá se Funkce
xfxfxxa,bxxfDa,b
xf
klesající
Vlastnosti funkce Funkce rostoucí, klesající, nerostoucí, neklesající
212121 :,
intervalu na nazývá se Funkce
xfxfxxa,bxxfDa,b
xf
nerostoucí
212121 :,
intervalu na nazývá se Funkce
xfxfxxa,bxxfDa,b
xf
íneklesajíc
Přehled elementárních funkcí
C E L É L O M E N É
R A C IO N Á L N Í IR A C IO N Á L N Í
A L G E B R A IC K É
G O N IO M E T R IC K É
C Y K L O M E T R IC K É
E X P O N E N C IO N Á L N Í
L O G A R IT M IC K É
H Y P E R B O L IC K É
T R A N S C E N D E N T N Í
T Y P Y F U N K C Í
Celé racionální funkce Lineární funkce Kvadratická funkce
Kubická funkce atd.
baxy 2
Lomené racionální funkce
bax
ky
Iracionální funkce
3 xy
Goniometrické funkce
xy sin
Goniometrické funkce
xy cos
Goniometrické funkce
xx
xy tg
cos
sin
Goniometrické funkce
xx
xy cotg
sin
cos
Cyklometrické funkce
2
,2
,1,1 ,arcsin
fHfDxy
Cyklometrické funkce
,01,1 fHfDxy , ,arccos
Cyklometrické funkce
2,
2
fHRfDxy , ,arctg
Cyklometrické funkce
,0 fHRfDxy , ,arccotg
Exponenciální funkce
1 ,0 , aaay x
Logaritmická funkce
1 ,0 ,log aaxy a
Hyperbolické funkce
2
eecosh ,
2
eesinh
xxxx
xyxy
Hyperbolické funkce
xx
xx
xx
xx
x
xxy
x
xxy
ee
ee
sinh
coshcotgh ,
ee
ee
cosh
sinhtgh
Úlohy1 . R o z h o d ně t e , z d a j s o u f u n k c e m i r e l a c e :a ) 01;,1 xyRRyxf ,
b ) 0,1;,2 yyxRRyxf ,
c ) 0222;, 223 yxyxRRyxf .
2 . U rč e t e d e f i n i č n í o b o r y f u n k c í
a ) xx
yf
1
:1 ,
b ) 6
34: 23
2
xxxyf ,
c ) xyf 2cos:3 ,
d ) xyf lnlnln:4 .
3. Sestrojte grafy funkcía) xxyg 232:1 ,
b) 3:2 xyg ,
c) 23 sgn: xyg ,d) 2
4 ,max: xxyg .
e)
3
4sin31 ttf ,
Úlohy3 . S e s t r o j t e g r a f y f u n k c í
f )
3
22sin22 ttf ,
g ) 12
3cos2
13
ttf ,
h ) tAtf sin4 , RA ,, ,
i ) tAtf cos5 , RA ,, ,
j ) t6 etf ,
k ) -2t7 etf ,
l ) 3e2 5-t8 tf ,
m ) tAtf e9 , RA ,, ,
n ) tAtf t sine10 , RA ,,, .
4. Rozhodněte, zda jsou si rovny funkce hgf ,, .
xxyf
2
1: ,
22
1:
xxyg ,
xxyh1
11: .
5. Rozhodněte, zda jsou sudé nebo liché funkce:a) 54: 24
1 xxyf ,
b) xxyf sin2tg:2 ,
c) 1:3 xyf ,
d) 1:4 xyf .
Úlohy6 . Z j i s tě t e , z d a j s o u d a n é f u n k c e p e r i o d i c k é , a v k l a d n é m př í p a d ě u r č e t e p e r i o d u :
a ) 4
cos3
s in:xx
yf
,
b ) xyg s in: ,
c ) 2s in: xyh ,
d ) 3
3tg-2
tg2:xx
y .
7 . D o k až t e , ž e f u n k c e 1
2:
x
xyf j e n a i n t e r v a l u ,1 r o s t o u c í .
8 . R o z h o d ně t e , z d a j s o u o m e z e n é , s h o r a o m e z e n é n e b o z d o l a o m e z e n é f u n k c e d a n é v z o r c i :a ) ,,472 2 xxxy ,
b ) 2,2,432 xxxy ,
c )
,,1
12
2
xx
xy .
9 . D o k až t e , ž e k d a n ý m f u n k c í m e x i s t u j í f u n k c e i n v e r z n í a n a j dě t e j e :a ) 5,2,1: 2 xxyf ,
b ) 3,3
2:
Rx
x
xyg ,
c ) 5,,2710: 2 xxxy ,
d ) ,5,2710: 2 xxxy .