Pokroky matematiky,Pokroky matematiky, fyziky a astronomie Ročník 62 (2017) číslo 4 Vydává Jednota českých matematiků a fyziků a Jednota slovenských matematikov a fyzikov

Pokroky matematiky,

fyziky a astronomie

Ročník 62 (2017)

číslo 4

Vydává Jednota českýchmatematiků a fyziků a Jednotaslovenských matematikov a fyzikovvlastním nákladem s finančnípodporou Akademie věd ČR

Vedoucí redaktor:Antonín Slavík

Redaktor pro část matematickou:Antonín Slavík

Redaktor pro část fyzikální:Miloš Rotter

Výkonný redaktor:Pavla Pavlíková

Technický redaktor:Hana Bílková

Jazyková úprava:Karel Segeth

Redakce:Jednota českých matematiků a fyzikůŽitná 25, 110 00 Praha 1

Redakční rada:

Vojtech BálintMartina BečvářováJaroslav BielčíkZdeněk DrozdJiří DvořákĽubomíra DvořákováZdeněk HalasMichal KřížekMiroslav LávičkaJan MlynářIvan NetukaPetr PišoftJaromír PlášekJiří PodolskýVojtěch PravdaPetr StehlíkJán SvoreňRobert ŠámalMichal Švanda

Obálka: Jiří Ledr

© 2017 JČMF, Praha MK ČR E4644Adresa vydavatele:Jednota českých matematiků a fyzikůŽitná 25, 110 00 Praha 1tel.: 222 211 100, 222 090 708-9

e-mail: [email protected]://www.jcmf.cz

Vychází čtyřikrát ročně. — Předplatné a distri-buci v České republice vyřizuje v zastoupení vy-davatele firma MYRIS TRADE, s. r. o.P. O. Box 2, V Štíhlách 1311, 142 01 Praha 4tel.: 296 371 202

fax: 296 371 201

e-mail: [email protected]

Tisk zajišťuje: Petr Beran

International orders are executed exclusively byagency:

MYRIS TRADE Ltd.P.O. Box 2V Štíhlách 1311142 01 Prague 4Czech Republicphone: +420 296 371 202

fax: +420 296 371 201

e-mail: [email protected]

Information on subscription prices is availableon request.

„Chladná“ moderní elektronová mikroskopieJan Bednár, Grenoble, Praha

Abstrakt. Mikroskopické techniky v biologii zažívají v posledních letech neobyčejný pokroka s tím související ocenění. V roce 2008 byla Nobelova cena udělena za objev a práce na zele-ném fluorescenčním proteinu, v roce 2014 obdrželi Nobelovu cenu Eric Betzig, Stefan W. Hella William E. Moerner za práce v oblasti superrezoluční optické mikroskopie. V roce 2017 sek nim připojila elektronová mikroskopie, když se laureáty Nobelovy ceny za chemii stali prů-kopníci v oblasti elektronové mikroskopie — Jacques Dubochet, Richard Henderson a JoachimFrank. Jejich zásluhou byly položeny zhruba před 35 lety základy moderní elektronové mikro-skopie pro použití ve strukturní biologii — takzvané kryoelektronové mikroskopie (kryo-EM),která v současné době zažívá neuvěřitelný rozmach. Zavedení kamer s přímou detekcí elek-tronů a dalších technologických vylepšení umožňuje pomocí kryo-EM určovat struktury bio-logických komplexů s rozlišením lepším než 2 Å, tedy na úrovni atomů. Bez průkopnickýchprací letošních tří laureátů by ovšem nic z toho nebylo možné.

Rekapitulace principů elektronové mikroskopie

Elektrony místo fotonů

Princip elektronového mikroskopu byl navržen na počátku dvacátých let minulého sto-letí Ernstem Ruskou a první funkční prototyp byl zkonstruován v roce 1933. V roce 1937začala firma Siemens-Reiniger-Werke AG vyrábět první komerčně dostupný elektro-nový mikroskop. Základní Ruskovou motivací pro konstrukci elektronového mikro-skopu byla nízká rozlišovací schopnost optických mikroskopů daná Abbeovým vzta-hem

𝑑 = 0,5𝜆

𝑛 · sin 𝛼= 0,5𝜆

𝑁𝐴, (1)

kde 𝑑 je rozlišení objektivu, 𝜆 vlnová délka použitého záření, 𝑛 index lomu prostředímezi zobrazovaným objektem a zobrazovací soustavou, 𝛼 polovina maximálního vrcho-lového úhlu kužele difraktovaného světla, který je zobrazovací soustava schopna za-chytit. 𝑁𝐴 je numerická apertura. Vzhledem k nejkratší použitelné vlnové délce vi-ditelného spektra kolem 400 nm je nejvyšší rozlišení optických mikroskopů rovno při-bližně 200 nm.

Roku 1924 zformuloval de Broglie svou hypotézu dualismu vln a částic, podle kteréje každá hmotná částice doprovázena vlnou o vlnové délce

𝜆 = ℎ

𝑝= ℎ

𝑚0𝑣

√1 − 𝑣2

𝑐2 , (2)

Doc. RNDr. Jan Bednár, Ph.D., Institut Albert Bonniot, CNRS, Grenoble; 1. lé-kařská fakulta Univerzity Karlovy, Praha, e-mail: [email protected],[email protected]

Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, ročník 62 (2017), č. 4 237

kde ℎ je Planckova konstanta, 𝑝 hybnost částice, 𝑚0 její klidová hmotnost a 𝑣 rychlost,𝑐 rychlost světla.

První funkční prototyp elektronového mikroskopu s velmi omezenými parametrybyl zkonstruován Ernstem Ruskou v roce 1931. Stojí za zmínku, že se Ruska o existencivlnových vlastností elektronů dozvěděl až při testování mikroskopu a začal se obávat, žemaximální rozlišení bude opět limitováno Abbeovým zákonem. Brzy ovšem spočítal,že vlnová délka elektronů (při urychlovacím napětí 75 kV, které tehdy používal) jev porovnání s viditelným světlem o 5 řádů kratší a teoretické dosažitelné rozlišeníelektronových mikroskopů se tak pohybuje v jednotkách pikometrů (1 pm = 10−2Å).Příklady vlnové délky 𝜆 elektronů urychlených různým urychlovacím napětím 𝑉 jsouuvedeny v tabulce 1.

𝑉 (kV) 𝑣/𝑐 𝑚/𝑚0 𝜆 (pm)100 0,548 1,196 3,70300 0,776 1,587 1,97

1 000 0,941 2,957 0,87

Tab. 1. Rychlosti, relativistické hmotnosti a vlnové délky elektronů při vybraných urychlo-vacích napětích

Dosažení takto vysokého teoretického rozlišení bohužel brání vlastnosti základníhozobrazovacího elementu elektronového mikroskopu — rotačně symetrické elektromag-netické čočky. Ty umožňují využít pouze paraxiální svazek a výsledná odpovídajícíúhlová apertura elektromagnetické čočky má hodnotu pouze několika miliradiánů. Tosnižuje prakticky dosažitelné rozlišení elektronových mikroskopů na úroveň setin na-nometru (100 pm), což je rozměr průměrného atomu. Nicméně tato mez je v poslednídobě překonávána, jak si ukážeme později.

Elektromagnetické čočky využívají toho, že dráha nabité částice v magnetickémpoli je zakřivená v důsledku působení Lorentzovy síly

𝐹 = 𝑞(�� × ��), (3)

kde 𝐹 je působící síla, 𝑞 náboj částice, �� její rychlost v magnetickém poli o intenzitě ��.Lorentzova rovnice umožňuje navrhnout systém magnetických polí schopných defino-vaně měnit dráhu elektronů a vytvořit tak ekvivalent „optického“ systému. Na základěuvedených principů byly zkonstruovány dva základní typy elektronového mikroskopu:transmisní elektronový mikroskop (TEM) a skenovací (rastrovací) elektronový mikro-skop (SEM). Dále se budeme zabývat pouze TEM.

Interakce elektronů se vzorkem a vznik kontrastu

Na rozdíl od mikroskopie optické nevzniká při zobrazování pomocí TEM kontrast ab-sorpcí procházejícího záření — elektronů. Dochází pouze k jejich rozptylu a to dvěmaodlišnými mechanismy: interakcí s jádry atomů vzorku a interakcí s elektronovýmiobaly těchto atomů. Při interakci s jádry dochází ke změně trajektorií elektronů bezztráty rychlosti. Jedná se o rozptyl pružný, neboli elastický (obr. 1). Elektrony, které

238 Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, ročník 62 (2017), č. 4

objektivova clona

E0

E0 E0 − ∆E

elektronovy svazek

nepruzne

rozptyleny

elektron

pruzne

rozptyleny

elektron

Obr. 1. Schéma interakcí elektronu s atomem vzorku

jsou při elastickém rozptylu dostatečně odchýleny od původního směru, jsou potomzachyceny prostorovou objektivovou clonou, což je zdrojem amplitudového kontrastu.Je zřejmé, že odchýlení elektronů z původní dráhy bude záviset na atomovém čísle,přičemž těžké prvky budou rozptylovat elektrony efektivněji. Neelasticky rozptýlenéelektrony naopak ztrácejí při interakci s elektronovým obalem atomů část své energiea hybnosti. Kvůli snížené rychlosti pohybu se proto chovají při průletu elektromag-netickými čočkami jinak než elektrony nerozptýlené nebo rozptýlené elasticky. Zjed-nodušeně řečeno, nejsou stejně zaostřovány. Navíc, protože je jejich charakteristickýúhel rozptylu malý, projdou objektivovou clonou a působí negativně na formovánívýsledného obrazu — zvyšují šum.

Důležitým parametrem ovlivňujícím kvalitu obrazu je takzvaná střední volná dráhaelektronů 𝐷. Ta je definována jako vzdálenost mezi dvěma rozptylovými událostmi připrůchodu elektronů vzorkem a závisí na jeho kompozici vztahem

1𝐷

= 𝑁𝐴𝜎𝑇 (𝜇)𝐴

, (4)

kde 𝑁𝐴 je Avogadrovo číslo, 𝜎𝑇 celkový rozptylový průřez (elastický a neelastický)izolovaného atomu, 𝐴 atomová hmotnost atomů ve vzorku o hmotové tloušťce (hus-tota krát tloušťka). Tento parametr je velmi důležitý, protože při průchodu elektronůvzorkem by nemělo docházet k vícečetným rozptylovým událostem. V takovém pří-padě výsledný obraz neodpovídá složení vzorku. Typické hodnoty střední volné dráhypro urychlovací napětí 200 kV jsou uvedeny v obr. 2. Z uvedených faktů vyplývá proelektronovou mikroskopii několik podstatných důsledků:


Obr. 2. Volná dráha 𝑑 elektronu pro pružný a nepružný rozptyl v závislostina atomovém čísle. (Yougui Liao, Practical Electron Microscopy and Database,http://www.globalsino.com/EM/)

a) Aby elektrony mohly interagovat pouze se vzorkem, celý tubus elektronového mi-kroskopu musí být evakuován (podle typu mikroskopu na tlak 10−6 až 10−9 Pa).

b) Tloušťka vzorku musí být přizpůsobena jeho chemickému složení, aby nedochá-zelo k násobným rozptylovým událostem.

c) Typický biologický materiál bude elektrony velmi málo rozptylovat vzhledemk převažujícímu obsahu lehkých prvků, a tedy bude vykazovat velmi malý kon-trast zobrazení.

Požadavek na umístění vzorků ve vakuu komplikuje zásadním způsobem studiumnativních biologických materiálů obsahujících vodu. Ve vakuu by se voda z hydratova-ného preparátu začala okamžitě vypařovat a tím by došlo ke kolapsu a znehodnoceníjeho struktury. Biologický materiál lze proto pozorovat v EM až po určitých úpravách,jejichž charakter se liší podle toho, jestli se jedná o vzorky tkání nebo o izolovanéčástice (viry, proteinové komplexy, liposomy atd.). U obou typů je ale důležitým kro-kem přípravy zvýšení kontrastu pomocí substancí obsahujících těžké prvky. Vzhledemk tomu, že předmětem tohoto pojednání je současný rozvoj aplikací vysokorezolučníelektronové mikroskopie ve strukturní biologii, které jsou téměř výlučně spjaty s izo-lovanými komplexy, budeme se dále věnovat pouze této problematice.

Příprava biologických izolovaných komplexů pro elektronovou mikroskopii

Nejčastější typy izolovaných biologických komplexů studovaných elektronovou mikro-skopií jsou viry, DNA, částice1 vezikulárního typu, proteinové nebo nukleoproteinovékomplexy, biologické polymery a jiné. Podstatnou výhodou většiny z nich je, že obsa-hují pouze velmi malé množství vody. Dehydratace tudíž v mnoha případech nemá

1Částice (particle) se v kryoelektronové mikroskopii používá jako terminus technicus pro objektynanometrových rozměrů.


vážnější dopad na jejich strukturu. Pro jejich vizualizaci v elektronovém mikroskopuse nejčastěji používá technika negativního barvení (kontrastování). Vzorek je nejprvenanesen na mikroskopickou síťku pokrytou podpůrnou blankou (tenký film uhlíku nebopolymeru) a následně inkubován v roztoku kontrastovacího média, například uranylacetátu. Následně se přebytek kontrastovacího roztoku odsaje a zbylá vrstva se necházaschnout. V místech, kde se nacházejí částice, je tato vrstva tenčí a částice se tak jevíjako světlé objekty na tmavém pozadí. Tato klasická technika má ovšem několik pod-statných omezení: i) Adsorpce na plochý podklad může vést k deformaci prostorovékonformace objektu. ii) Adsorbované objekty mohou zaujmout preferovanou orientaci,při které určité projekce nebudou viditelné. iii) Vzorek nelze pozorovat v podmínkáchodpovídajících jeho fyziologickému prostředí. iv) Méně stabilní komplexy se při pro-cesu dehydratace rozloží. v) Zaschlá vrstva kontrastovacího roztoku překrývá jemnédetaily vzorku, čímž snižuje dosažitelné rozlišení.

Výše popsaná omezení vedla koncem sedmdesátých let k postupnému útlumu počá-tečního nadšení z aplikací elektronové mikroskopie v biologii, protože začalo být jasné,že standardní techniky přípravy biologických preparátů způsobují mnohé a navíc častotěžce odhalitelné artefakty. Z této přechodné skepse se zrodil záměr vyvinout metodupro pozorování nativních preparátů — hydratovaných, nekontrastovaných, neadsorbo-vaných a uchovaných ve fyziologických podmínkách.

Zrod kryoelektronové mikroskopie

Vitrifikace

Jak bylo zmíněno výše, přítomnost vody ve vzorku je neslučitelná s nízkými hodnotamitlaku v tubusu elektronového mikroskopu. Možný způsob, jak tento problém obejít, jez fyzikálního hlediska velmi jednoduchý. Stačí udržovat hydratovaný vzorek na teplotě,při níž je tlak vodních par řádově srovnatelný s tlakem uvnitř mikroskopu. V praxito znamená zchladit vzorek na teplotu hluboko pod −100 ∘C (běžně −170 ∘C), přikteré je voda pochopitelně v pevném skupenství. Při obyčejném ochlazování vody zaatmosférického tlaku pod bod mrazu přechází voda do pevného skupenství ve forměbuď hexagonálního, nebo, při vyšších rychlostech ochlazování, kubického ledu. Tvorbajakýchkoli krystalů ledu je ovšem v biologickém preparátu nepřípustná. Dochází totižpři ní ke změně objemu a tím mechanickému poškození struktury vzorku, separaci fází,změně iontových, osmotických a tonických podmínek a jiným procesům, které znehod-nocují strukturní informaci. V neposlední řadě je potom EM pozorování biologickéhovzorku obsahujícího krystalický led znemožněno přítomností Braggových reflexí.

Vývojem metod elektronově mikroskopického zobrazování biologických preparátův nativní hydratované formě se začal ve druhé polovině 70. let zabývat Dubochetse svými spolupracovníky. Prvním problémem, který bylo třeba vyřešit, bylo zame-zení vzniku krystalů při mražení hydratovaných preparátů pro elektronovou mikrosko-pii. Jako jedna z mála možností se nabízelo využití třetího typu pevného skupenstvívody, tzv. amorfního ledu („amorphous“ nebo „vitreous ice“), který nemá krystalickoustrukturu a může existovat i za atmosférického tlaku. Tato forma pevného skupenstvívody byla pozorována již v roce 1935 [5] a lze ji získat buď pomalou kondenzací vodníchpar na podkladu o velmi nízké teplotě nebo tzv. vitrifikací, což je přechod z kapalnéhoskupenství do pevného bez tvorby krystalů. Lze jej dosáhnout dostatečně „rychlým“


odebíráním tepla, při kterém prudký nárůst viskozity prostředí zabrání molekulámtekutiny zaujmout polohu v krystalické mřížce. Je zřejmé, že čím větší je difuzní koefi-cient molekul, tím rychlejší musí být ochlazování vzorku, což současně znamená, žebude obtížnější vitrifikace dosáhnout. Fyzikální parametry vody jsou pro vitrifikacivelmi nepříznivé: vysoký difuzní koeficient (2,3 · 10−9 m2 · s−1) [15], relativně vysokátepelná kapacita (4,1813 J · g−1 · K−1) a malá tepelná vodivost (0,591 W · m−1 · K−1).V případě čisté vody se pro dosažení vitrifikace uvádí jako minimální rychlost chla-zení 106 K · s−1 [17]. Vitrifikace tak musí proběhnout během 10−5 až 10−4 s. Protoještě na konci 70. let minulého století nebylo jasné, jestli lze procesu vitrifikace vodyvůbec reálně dosáhnout. V roce 1980 ale byly publikovány výsledky ukazující možnostvitrifikovat vodní kapky mikrometrických rozměrů [4], které inspirovaly Dubochetak využití vitrifikace pro přípravu nativních hydratovaných vzorků pro elektronovoumikroskopii [9].

Způsob přípravy tenkých vitrifikovaných vrstev

V roce 1984 publikoval J. Dubochet v časopise Nature revoluční článek [1], ve kte-rém popsal metodu přípravy nativního vzorku virů pro elektronovou mikroskopii. Trikbyl stejně elegantní jako geniální. Z předchozího je zřejmé, že lze vitrifikovat pouzevelmi omezený objem vody nebo vodného roztoku/suspenze. Dubochet a jeho kole-gové vymysleli jednoduchý systém, jak tento objem minimalizovat a současně připra-vit vzorek dostatečně tenký pro pozorování v elektronovém mikroskopu. Elektron-mikroskopickou síťku potáhli tenkým podložním filmem s otvory o rozměru pouzeněkolika mikrometrů (obr. 3) pomocí metody popsané již v roce 1965 [12]. Na taktoupravenou síťku byl nanesen roztok vzorku o objemu cca 3 𝜇l. Po odsátí přebyteč-ného roztoku filtračním papírkem zbyla na síťce tenká (cca 100–200 nm) metastabilnívrstva roztoku obsahující studovaný materiál — v případě zmíněné publikace viry.Tato vrstva po ponoření do kryogenu (kapalného etanu zchlazeného na teplotu blíz-kou jeho bodu tuhnutí, −183 ∘C) okamžitě zvitrifikovala a změnila se tak v tuhý tří-rozměrný (3D) vzorek, v němž jsou studované objekty imobilizovány v tenké vrstvěamorfního ledu přesně ve stavu a orientaci, ve kterých se nacházely v okamžiku vitrifi-kace. Úspěšná realizace vitrifikace je v tomto případě dána tím, že poměr objem/plochaje extrémně výhodný pro rychlý odvod tepla ze vzorku, který navíc probíhá z oboustran vrstvy. Výhodou popsané metody přípravy vzorků je fakt, že elektronový svazekprochází vitrifikovaným vzorkem pouze v místech otvorů v podložním filmu a získanáinformace tak není rušena signálem ze samotného podložního filmu.

Jedním z důležitých faktorů při optimalizaci vitrifikační metody byla identifikacevhodného, dostatečně účinného kryogenu. Tekutý dusík je jako kryogen velmi neúčinný,protože rozdíl mezi jeho teplotou tání a vypařování je pouze 14 ∘C. Při jeho kontaktus teplým objektem proto dojde k okamžitému vytvoření vrstvy plynné fáze okolo objek-tu, která brání efektivnímu odvodu tepla ze vzorku (tzv. Leidenfrostův jev, známýtéž z popularizačních přednášek fyziky, kdy experimentátor na krátký okamžik bezobav ponoří svůj prst do kapalného dusíku). Na základě mnoha experimentů se jakonejefektivnější kryogeny jeví tekutý etan a tekutý propan.

Od okamžiku vitrifikace musí již všechny další operace se vzorkem probíhat přiteplotách nižších než −150 ∘C, neboť při teplotě nad −146 ∘C dochází k rekrystalizaci(devitrifikaci) amorfního ledu [22]. Bylo tedy nutné vyřešit postup vkládání vzorku


Obr. 3. (a) Elektronmikroskopická síťka pokrytá děrovaným filmem, (b) měřítko 20 𝜇m,(c) měřítko 1 𝜇m

do elektronového mikroskopu a jeho udržení na velmi nízké teplotě v průběhu pozoro-vání bez jeho ohřátí nad kritickou teplotu a navíc bez jeho kontaminace kondenzujícíatmosférickou vlhkostí. Extrémně ochlazený vitrifikovaný vzorek se chová jako kryo-genní pumpa a kondenzující voda spolu se zbytkovými nečistotami má za následek jehopostupné znehodnocování. Během akvizice kryo-EM snímků musí být teplota vzorkuvelmi stabilní v řádu desetin ∘C, aby nedocházelo ke ztrátě rozlišení způsobené tepel-ným driftem objektů. Řešení těchto technických problémů si vyžádalo určité modifi-kace v konstrukci elektronového mikroskopu, zejména držáku vzorku a jeho vkládánído mikroskopu a ochraně vzorku proti kontaminaci uvnitř mikroskopu.

Dubochetova metoda vitrifikace umožnila rozvoj kryoelektronové mikroskopie izo-lovaných částic. Jelikož jsou individuální částice při vitrifikaci imobilizovány v náhod-ných polohách, lze při pořízení snímků dostatečného počtu částic obdržet kompletnísadu projekcí ze všech možných projekčních úhlů a různými matematickými postupypotom určit 3D strukturu. Na vývoji metod matematické rekonstrukce 3D strukturse významně podílel další z laureátů letošní Nobelovy ceny za chemii, Joachim Frank,který postupně vyvinul jednotlivé části algoritmu 3D rekonstrukce z náhodných pro-jekcí a vytvořil první ucelený softwarový systém zvaný SPIDER.

Negativním aspektem techniky zobrazování tenkých vitrifikovaných vrstev bez po-užití kontrastních látek je velmi malý obrazový kontrast. Je proto prakticky nemožnépoužívat kontrast amplitudový spočívající v rozdílech jasu objektů a pozadí. V analogiis optickou mikroskopií se neabsorbující objekty bez kontrastní látky nazývají objektyfázové a při jejich studiu je nutné přejít na zobrazování pomocí kontrastu fázového.Značné, avšak řešitelné, technické obtíže spojené s nízkým kontrastem jsou nepod-statné ve srovnání s tím, že si vitrifikované vzorky zachovávají svůj nativní stav sestrukturou, která není ovlivněna žádnými externími faktory. Dosažitelné rozlišení přizobrazení vitrifikovaných vzorků není už limitováno jejich stavem, ale pouze parame-try mikroskopu, záznamového media a postupem analýzy obrazu. Přestože technikatenké vitrifikované vrstvy je používána zejména pro vysokorezoluční strukturní studie,existují situace, kdy je jediným možným řešením pro úspěšné zobrazení určitých typůvzorků i při nízkém rozlišení. Jedním z klasických příkladů jsou lipidové membrányve formě sférických vezikulů, které prakticky nelze zobrazit standardními technikamielektronové mikroskopie a kryoelektronová mikroskopie je jedinou možností (obr. 4).


Obr. 4. Roztok syntetických liposomů zobrazených technikou negativního barvení (vlevo),kdy dochází k dehydrataci a následnému kolapsu částic, a kryoelektronovou mikroskopií(vpravo). Měřítko 100 nm. (Autor, nepublikované výsledky)

Fázové zobrazování — poměr signál/šum versus rozlišení

Fázový kontrast v elektronové mikroskopii se získává pomocí rozostření obrazu, přes-něji podostřením. Jedná se však o relativně složitou záležitost. Zjednodušeně lze elek-tronový mikroskop přirovnat k nedokonalému akustickému zesilovači, který různé frek-vence přenáší s různým zesílením. Aby výsledný zvuk odpovídal původní nahrávce, jenezbytné provést odpovídající korekce. Stejně tak je nutné korigovat obraz z elektrono-vého mikroskopu, který nepřenáší všechny prostorové frekvence (rozměry) se stejnouintenzitou. V praxi to znamená, že různě velké detaily vzorku jsou v závislosti na hod-notě rozostření zobrazovány s odlišným kontrastem. Tzv. funkce přenosu kontrastu(Contrast Transfer Function — CTF) popisuje, jak závisí na velikosti detailů objektupoměr mezi jasovým kontrastem jejich zobrazení a lokálními fázovými posuvy elektro-nových vln procházejících vzorkem.

CTF je určena vlastnostmi elektromagnetické čočky, zejména sférickou aberací,a lze ji vyjádřit přibližným2 vztahem

𝐾(𝑞) = −2 sin[𝜋

(Δ𝑧𝜆𝑞2 − 𝐶𝑠𝜆3𝑞4

2

)], (5)

kde 𝐶𝑠 je sférická aberace čočky, Δ𝑧 hodnota rozostření, 𝑞 prostorová frekvence, 𝜆 vlno-vá délka elektronu (obr. 5). CTF nabývá hodnot z intervalu [−1,1], kterými modulujefázi výsledného obrazu při Fourierově transformaci.

Průběh CTF závisí na hodnotě rozostření, což má za následek, že při velmi níz-kých hodnotách blízko optimálního zaostření je informace o objektu zaznamenána

2Vztah (5) udává CTF ve zjednodušeném ideálním případě bez vlivu faktorů, které utlumujíamplitudu směrem k vyšším prostorovým frekvencím. Těmi jsou například rozptyl energií elektronův původním svazku, drift vzorku, kvalita koherence svazku apod.


Obr. 5. Simulace průběhu CTF pro různé hodnoty Δ𝑧. Použité parametry: urychlovací napětí𝑉 = 300 kV, sférická aberace objektivové čočky 𝐶𝑠 = 2,1 mm, emitor studená katoda

s vysokým rozlišením, ale jeho kontrast je velmi malý (malá hodnota CTF pro nízképrostorové frekvence) a objekt velmi obtížně identifikovatelný. Při vyšších hodnotáchse kontrast objektu sice zvyšuje, ale klesá hodnota zaznamenaného rozlišení (obr. 6).Dále je nutné kompenzovat důsledky průchodů CTF nulou; ty odpovídají frekvencím,které se přenášejí s nulovým kontrastem. V praxi se problém řeší snímáním obrazůpři různých hodnotách podostření v takovém rozsahu, aby celé spektrum prostorovýchfrekvencí bylo získáno s nenulovými hodnotami.

Další komplikací při zobrazování nativních preparátů v elektronovém mikroskopu jejejich citlivost na poškození elektronovým svazkem, která omezuje použitelnou expozič-ní dávku na hodnotu okolo 20 až 50 elektronů/Å2 ·s podle typu vzorku a urychlovacíhonapětí. Proto je nutné používat při pořizování snímků techniku tzv. nízké dávky (lowdose): Nejprve je při malém zvětšení a velmi nízké intenzitě svazku lokalizována vhodnáoblast pro snímek. Poté je elektronový svazek odkloněn na sousedící oblast, na kterése při požadovaném velkém zvětšení obraz zaostří a provedou se nezbytné korekcesvazku. Pak je vrácen do původní polohy a provedena expozice. Vzorek je tak vystavenintenzivnímu svazku pouze po dobu sejmutí snímku.

Záznam signálu přímými detektory elektronů

Protože intenzita části signálu obsahující vysokorezoluční informaci je nízká, je nutné,aby záznamové médium bylo co nejcitlivější. Záznamové médium bylo po mnoho let


Obr. 6. Závislost kontrastu na úrovni podostření: (a) 1 900 nm, (b) 2 700 nm. Vzorek: synte-tický liposom, měřítko 100 nm. (Autor, nepublikované výsledky)

jedním z omezujících faktorů rozvoje vysokorezoluční kryoelektronové mikroskopie. Za-tímco vývoj ostatních součástí elektronových mikroskopů pokračoval relativně rychle(digitalizace ovládání, stabilita proudových zdrojů pro elektromagnetické čočky, mo-torizace mechaniky polohování vzorku v mikroskopu), v oblasti záznamu k žádnýmpodstatným změnám nedocházelo. Až do relativně nedávné doby byl stále nejlepšímmédiem klasický fotografický negativ (optimalizovaný pro interakci s elektrony). Jehopoužívání ale přinášelo řadu komplikací při akvizici dat i následujícím zpracování.

Pro 3D analýzu individuálních částic (single particle analysis — SPA) je nutnéshromáždit desítky až stovky tisíc jejich projekcí, což představuje srovnatelné počtynegativů, které je třeba vyvolat a digitalizovat s maximální možnou kvalitou zacho-vání originální informace. Z technických důvodů bylo možné za jeden den nasnímata zpracovat pouze omezený počet negativů. Následné počítačové zpracování bylo taképomalé vzhledem k výkonnosti tehdejší výpočetní techniky a náročnosti operací, kterécelý algoritmus 3D rekonstrukce představuje. Proces 3D rekonstrukce proto trval ty-picky až několik měsíců. Bylo zjevné, že jediným možným řešením do budoucna jepřechod k přímému digitálnímu záznamu EM snímků. Jako první digitální záznamovámédia pro elektronové mikroskopy byly používány CCD kamery, které se začaly obje-vovat na počátku 90. let minulého století. Jejich citlivost a dynamický rozsah ale bylypro vysokorezoluční studie nevyhovující. Fotografické negativy byly proto používányaž do příchodu kamer s přímou detekcí elektronů (Direct Electron Detectors — DED),které na rozdíl od kamer CCD nepoužívají konverzi elektronů na světlo pomocí scin-tilátoru a jsou schopny detekovat elektrony přímo.

Byl to právě příchod DED kamer (na jejichž vývoji se také podílel Richard Hen-derson), který před přibližně šesti lety zahájil skutečnou revoluci ve vysokorezolučníelektronové mikroskopii. Citlivost detektorů překročila citlivost fotografických nega-tivů (obr. 7) a ve spojení s výkonnou elektronikou bylo možné zavést několik no-vých postupů při akvizici dat, které výrazně posunuly praktický rozlišovací limit kryo-


Obr. 7. Porovnání kvantové účinnosti detekce různých typů detektorů. Adaptovánoz www.gatan.com

elektronové mikroskopie. Filmový záznamový materiál lze použít pouze v integračnímrežimu, kdy je celá informace zaregistrována najednou v určitém časovém úseku (dobaexpozice). Bohužel i u velmi stabilních mikroskopů nevyhnutelně dochází k určitémudriftu zobrazovaného vzorku, který má několik příčin (mechanická a teplotní nesta-bilita, nestabilita čočkových proudů, reakce vzorku na interakci s elektronovým svaz-kem). Tyto pohyby se v průběhu expozice sčítají, čímž dojde k „rozmazání“ snímkua ztrátě rozlišení. DED kamery ale díky svým parametrům umožňují získat informaciper partes (tzv. „movie“ režim) — několika velmi krátkými expozicemi, které jsouposléze srovnány a sumarizovány. Tím lze drift na výsledném obrazu do značné míryeliminovat. Ještě dále zachází jiný režim akvizice signálu, který DED umožňují, tzv. po-čítání jednotlivých elektronů (electron counting). V tomto režimu je s velkou opakovacífrekvencí vyhodnocován stav jednotlivých pixelů detektoru (400× za sekundu, v pří-padě kamer poslední generace až 1 500×). Při překročení určité prahové hodnoty sepředpokládá, že na daný pixel dopadl elektron. Jednotlivé záznamy jsou potom inte-grovány do výsledného obrazu. Toto prahování do značné míry eliminuje vlastní šumdetektoru, což umožňuje dále zvýšit jeho výslednou citlivost. Nedostatkem současnýchDED kamer je nemožnost rozeznat dopad více elektronů na jeden pixel v průběhujednoho záznamu. Tyto tzv. koincidenční ztráty však nejspíše nemají podstatný vlivna výsledné rozlišení. Očekává se, že problém koincidenčních ztrát bude výrazně eli-minován u příští generace kamer.

Další možnost, kterou nabízejí DED kamery, je subpixelové rozlišení. Při dopaduelektronu na daný pixel jsou ovlivněny i pixely sousedící a analýzou jejich signálu lzevyhodnotit, do kterého kvadrantu pixelu elektron dopadl. Tím lze fakticky zdvojnáso-bit fyzické rozlišení detektoru.


Pokroky ve vývoji ostatních technologii — software a automatizace

Další dílčí technologická vylepšení přispěla k nevídanému zefektivnění při akvizicidat. Byly vyvinuty a jsou komerčně dostupné elektronmikroskopické síťky s podložníblankou s definovaným tvarem a rozměrem otvorů a jejich periodicitou. Díky tétoperiodicitě a definovaným parametrům otvorů bylo možné vyvinout systém automa-tizovaného postupu snímání dat. Operátor na začátku pouze vybere zóny vhodné proakvizici z hlediska tloušťky vrstvy a minimální kontaminace. Po zadání požadovanýchparametrů již snímání probíhá automaticky (přesun do vybrané zóny, vycentrování jed-notlivých otvorů, zaostření, korekce astigmatismu, kontrola driftu a vlastní expozice,doplňování kapalného dusíku pro chlazení vzorku). Mikroskop je tak schopný pracovatv úplné autonomii kontinuálně až několik dní. Tento režim umožňuje získat přibližně500–1500 snímků za 24 hodin, což by bylo při manuálním snímání zcela nemožné.

Software pro zpracování a analýzu dat pro 3D rekonstrukci prošel za uplynulá de-setiletí také dramatickým vývojem. Jedním z velmi důležitých pokroků bylo zavedenímetody 3D klasifikace. Na počátku používání SPA bylo nutné pracovat s vysoce homo-genními vzorky. Jakákoli nehomogenita (například různé možné konformace studovanéčástice nebo kontaminace jiným typem částic) vedla k degradaci rozlišení. V roce 2006Joachim Frank a jeho kolegové publikovali důležitou práci [19], v níž zavedli algoritmus3D klasifikace, který umožňuje roztřídit analyzované částice podle jejich konformace.Tak lze nejen identifikovat různé konformace studovaného objektu, ale i eliminovatkontaminující objekty, což umožňuje snížit nároky na purifikaci vzorku. Dnes už sezačíná uvažovat o možnosti purifikace „in silico“.

3D klasifikace má ale daleko významnější potenciální dopad na použití kryoelektro-nové mikroskopie a SPA. Protože vitrifikovaný vzorek představuje vlastně „momentku“stavu studovaného komplexu, je možné například identifikovat různé konformace, kterémůže za fyziologických podmínek zaujmout určitá makromolekula. Pomocí 3D klasifi-kace lze při cyklických reakcích identifikovat jednotlivé intermediální stavy reakčníhokomplexu a tak charakterizovat strukturálně průběh reakce. Jako ilustraci této mož-nosti zde uvádíme analýzu konformačních změn ribozomu při asociaci tRNA [11]. Anikrystalografie ani NMR nejsou schopné takovýto typ analýzy poskytnout.

Doplňkový, ale důležitý hardware

Zavedením DED byl vyřešen klíčový problém kryo-EM, jímž je získání kvalitníchsnímků v digitální formě. Kromě klíčové úlohy DED detektorů lze dále vylepšit kvalitusignálu ještě před jeho záznamem. Pro tento účel jsou v poslední době intenzivně vyu-žívány tři technologické doplňky: energetický filtr, korektor sférické aberace a Voltovafázová destička. Jak víme, kontrast výsledného obrazu negativně ovlivňují nepružněrozptýlené elektrony. Ty lze eliminovat pomocí energetického filtru, tedy zařízení, kterénechá projít pouze elektrony s určitou energií (= rychlostí). Protože nepružně rozptý-lené elektrony mají jinou rychlost, jsou tímto filtrem zachyceny. Dlouhou dobu bylyenergetické filtry založené na elektrostatickém hranolu pro kryo-EM relativně máloefektivní. Jejich poslední generace však již vykazuje výkonnost, která kvalitu snímkůvýznamně zlepšuje. Zvláštní kapitolou je korektor sférické aberace, který umožňujekonstrukci asférických systémů. Scherzer ukázal [20], že kombinace běžných rotačněsymetrických elektromagnetických čoček může mít pouze konvexní efekt s kladným


Obr. 8. Porovnání kontrastu vzorku (20S proteazom) s malým podostřením bez použití fázovédestičky (vlevo) a s přesným zaostřením při použití fázové destičky (vpravo). Měřítko 50 nm.Převzato z [7].

koeficientem sférické aberace. Naproti tomu multipólové čočky mohou fungovat jakočočky konkávní s negativním koeficientem sférické aberace. Vhodnou kombinací kon-vexních a konkávních čoček pak lze vytvořit solidně korigovaný zobrazovací systém bezsférické aberace umožňující dosáhnout vyššího rozlišení. Pomocí skenovacího transmis-ního mikroskopu s asférickou korekcí bylo na krystalu germania dosaženo rozlišení vyššínež 0,5 Å (50 pm) [10].

Poslední podstatné přístrojové vylepšení rozšiřující možnosti aplikací kryo-EM vestrukturní biologii představuje Voltova fázová destička [8]. Jedním z kritických para-metrů 3D rekonstrukcí byla po dlouhou dobu velikost studovaných částic. Ještě předněkolika lety byla za nejmenší možnou považována hmotnost 250 kDa. Potíže s rutinnívysokorezoluční rekonstrukcí objektů menších molekulových hmotností jsou převážnězpůsobeny malou úrovní signálu nízkých prostorových frekvencí při malých hodnotáchpodostření (nezbytných pro zajištění přítomnosti vysokých prostorových frekvencí).Kvůli tomu lze malé komplexy velmi obtížně (eventuálně vůbec ne) na snímcích de-tekovat. Zavedení DED kamer tuto hranici snížilo pod 200 kDa, ale pro malé částice(menší než 100 kDa) stále neexistovalo řešení. Tato situace se změnila použitím fázovédestičky Voltova typu (cca 10 nm silný film z amorfního uhlíku zahřátý na teplotukolem 250 ∘C nacházející se v zadní ohniskové rovině objektivu), která vnáší mezivlny rozptýlených a nerozptýlených elektronů fázový rozdíl rovnající se 𝜋/2. V obra-zové rovině pak dochází k jejich interferenci, která až dvojnásobně zvyšuje poměrsignál/šum pro nízké prostorové frekvence při zachování frekvencí vysokých. Zvýraz-nění nízkých prostorových frekvencí významně zlepšuje detekovatelnost a identifikaciprojekcí částic na snímku a jejich následnou přesnější analýzu (2D klasifikaci), při-čemž zůstává zachována vysokorezoluční informace spojená s vysokými prostorovýmifrekvencemi (obr. 8). Nedávno byla publikována práce ukazující 3D rekonstrukci he-


Obr. 9. (a) Struktura 𝛽-galaktosidázy-PETG komplexu s rozlišením 2,2 Å, (b) detail jejísekvence residuí 531–540. Převzato z [3]. (c) Při tomto rozlišení již lze jednoznačně identifi-kovat jednotlivé typy aminokyselin i jejich orientaci. (d) Detail proložení chemické strukturymetioninu do elektronové mapy a jednoznačné určení jeho rotamerické konformace [6].

moglobinu (65 kDa) s rozlišením 3,2 Å [14]. Díky tomuto technologickému vylepšenítak kryo-EM pokryla poslední, dosud chybějící část spektra velikosti komplexů, kteréje schopná zpracovávat s rozlišením srovnatelným s rentgenovou difrakcí. V současnédobě je možné studovat objekty od několika desítek kDa až po desítky MDa s ato-márním nebo téměř atomárním rozlišením, a to bez nutnosti přípravy jejich krystalů.Nejvyšší doposud publikované dosažené rozlišení pro biologický komplex, konkrétněenzym glutamát dehydrogenázu, je 1,8 Å [18].

Závěr

Současný stav kryoelektronové mikroskopie je výsledkem velmi šťastného souběhu vý-voje jednotlivých nezbytných komponent. Poslední generace mikroskopů představujetechnologicky velice vyspělý hardware po mechanické a elektronické stránce a kva-lita současných špičkových detektorů je vynikající. Vývoj ostatních doplňkových zaří-


Obr. 10. Pokroky v rozlišení kryoelektronové mikroskopie: (a) Graf ukazující vstupy vloženédo EM databanky od roku 2012 s rozlišením lepším než 4,5 Å pro proteinové komplexy menšínež 2,5 MDa. Čtyři vybrané struktury (zakroužkované) s vysokým rozlišením: (b) p97 (druhATP-ázy) (EMD-3295, PDB-5ftj) [2]; (c) laktát dehydrogenáza (EMD-8191, PDB-5k0z) [18];(d) TRPV1 (druh iontového kanálu) (EMD-8117, PDB-5irx) [13]; (e) 20S proteasomez Plasmodium falciparum (zimnička tropická — parazit způsobující tropickou malárii)(EMD-3231, PDB-5fmg) [16]. Převzato z [21] (courtesy of Sriram Subramaniam, NIH,Bethesda, MD).

zení (fázová destička, energetický filtr, korektor sférické aberace) posunul rozlišovacíschopnost a možnosti použití elektronového mikroskopu na úroveň, kterou si ještěrelativně nedávno dokázal málokdo představit. Vývoj softwarových komponent proanalýzu a zpracování dat pro rekonstrukci také dosáhl vysoké úrovně spolehlivosti,efektivity a automatizace a ve spojení s pokroky výkonnosti výpočetní techniky užpředstavuje relativně rychlý proces. Nová komerčně dostupná zařízení pro vitrifikacivzorku umožňují přesnou kontrolu všech parametrů a tím reprodukovatelnou kvalituvzorku. Automatizace procesu akvizice dat nesmírně zefektivnila celý proces, takžednes je možné bez lidského přispění získat stovky tisíc projekcí částic za 24 hodin.

Souběh všech těchto faktorů nyní dělá z kryoelektronové mikroskopie nejsilnějšítechniku pro vysokorezoluční strukturní studie v biologii. Kromě použití v základnímvýzkumu se dostala do popředí zájmu i ve farmaceutickém průmyslu. Při dosažení


rozlišení lepším než 3 Å je strukturní informace natolik detailní, že ji lze použít přinavrhování léčiv, neboť při takovém rozlišení je možné rozlišit rotamerické konformacepostranních řetězců aminokyselin i detekovat kavity u aromatických kruhů (obr. 9).Navíc je kryoelektronová mikroskopie kombinovaná s SPA v současné době velmi vý-konná a doba pro získání 3D struktury s vysokým rozlišením se pohybuje typickyv řádu několika dnů až týdnů (v závislosti na výpočetních kapacitách, charakteris-tikách vzorku a počtu zpracovávaných projekcí). Za posledních pět let posunula svélimity dvojnásobně (obr. 10) a lze předpokládat, že v příštích letech bude pokrok pokra-čovat podobným tempem. Není náhodou, že velká centra pro strukturní rentgenovoudifrakci (synchrotrony) po celém světě se urychleně vybavují špičkovými elektrono-vými mikroskopy, protože kryoelektronová mikroskopie nabízí něco, co krystalografienebude nikdy schopná strukturní biologii nabídnout: atomární strukturu nativníhovzorku ve fyziologických podmínkách.

Poděkování. Autor děkuje prof. J. Pláškovi (MFF UK) a Dr. L. Bednárové(ÚOCHB AV ČR) za pečlivé přečtení rukopisu. Profesoru Pláškovi náleží velké po-děkování za jeho cenné připomínky a rady k formě a obsahu rukopisu, které výrazněpřispěly k jeho konečné podobě.

Použité zkratky:Å — angström = 0,1 nm = 10−10 m; jednotka vzdálenosti běžně používaná ve struk-

turní biologii

CTF — funkce přenosu kontrastu (Contrast Transfer Funcion)

Da — dalton, jednotka hmotnosti používaná v biochemii a biologii pro proteinovékomplexy, činí 1/12 klidové hmotnosti atomu uhlíku 12

6C

DED — přímý detektor elektronů (Direct Electron Detector)

EM — elektronový mikroskop, elektronová mikroskopie

NMR — nukleární magnetické rezonance

SEM — rastrovací elektronový mikroskop

SPA — analýza izolovaných částic (Single Particle Analysis)

TEM — transmisní elektronový mikroskop

L i t e r a t u r a

[1] Adrian, M., Dubochet, J., Lepault, J., Mcdowall, A. W.: Cryo-electronmicroscopy of viruses. Nature 308 (1984), 32–36.

[2] Banerjee, S., Bartesaghi, A., Merk, A., Rao, P., Bulfer, S. L., Yan, Y.,Green, N., Mroczkowski, B., Neitz, R. J., Wipf, P., Falconieri, V., De-shaies, R. J., Milne, J. L., Huryn, D., Arkin, M., Subramaniam, S.: 2.3 A reso-lution cryo-EM structure of human p97 and mechanism of allosteric inhibition. Science351 (2016), 871–875.

[3] Bartesaghi, A., Merk, A., Banerjee, S., Matthies, D., Wu, X., Milne, J. L.,Subramaniam, S.: 2.2 A resolution cryo-EM structure of beta-galactosidase in complexwith a cell-permeant inhibitor. Science 348 (2015), 1147–1151.


[4] Brüggeller, P., Mayer, E.: Complete vitrification in pure liquid water and diluteaqueous solutions. Nature 288 (1980), 569–571.

[5] Burton, E. F., Olivier, W. F.: The crystal structure of ice at low temperature. Proc.R. Soc. Lond. A153 (1935), 166–172.

[6] Campbell, M. G., Veesler, D., Cheng, A., Potter, C. S., Carragher, B.:2.8 A resolution reconstruction of the Thermoplasma acidophilum 20S proteasomeusing cryo-electron microscopy. Elife 4 (2015) [online], article no. e06380, DOI:10.7554/eLife.06380.

[7] Danev, R., Baumeister, W.: Cryo-EM single particle analysis with the Volta phaseplate. Elife 5 (2016) [online], article no. e13046, DOI: 10.7554/eLife.13046.

[8] Danev, R., Buijsse, B., Khoshouei, M., Plitzko, J. M., Baumeister, W.: Voltapotential phase plate for in-focus phase contrast transmission electron microscopy. Proc.Natl. Acad. Sci. USA 111 (2014), 15635–15640.

[9] Dubochet, J., Mcdowall, A. W.: Vitrification of pure water for electron microscopy.J. Microsc. 124 (1981), 3–4.

[10] Erni, R., Rossell, M. D., Kisielowski, C., Dahmen, U.: Atomic-resolution imagingwith a sub-50-pm electron probe. Phys. Rev. Lett. 102 (2009) [online], 096101.

[11] Fischer, N., Konevega, A. L., Wintermeyer, W., Rodnina, M. V., Stark, H.: Ri-bosome dynamics and tRNA movement by time-resolved electron cryomicroscopy. Nature466 (2010), 329–333.

[12] Fukami, A., Adachi, K.: A new method of preparation of a self-perforated micro plasticgrid and its application. J. Electron Microsc. (Tokyo) 14 (1965), 112–118.

[13] Gao, Y., Cao, E., Julius, D., Cheng, Y.: TRPV1 structures in nanodiscs revealmechanisms of ligand and lipid action. Nature 534 (2016), 347–351.

[14] Khoshouei, M., Radjainia, M., Baumeister, W., Danev, R.: Cryo-EM structure ofhaemoglobin at 3.2 A determined with the Volta phase plate. Nat. Commun. 8 (2017)[online], 16099.

[15] Krynicky, I., Green, C. D., Sawyer, D. W.: Pressure and temperature dependence ofself-diffusion in water. Faraday Discuss. Chem. Soc. 66 (1978), 199–208.

[16] Li, H., O’Donoghue, A. J., van der Linden, W. A., Xie, S. C., Yoo, E., Foe, I. T.,Tilley, L., Craik, C. S., Da Fonseca, P. C., Bogyo, M.: Structure- and function-based design of Plasmodium-selective proteasome inhibitors. Nature 530 (2016), 233–236.

[17] Mayer, E.: Vitrification of pure liquid water. J. Microsc. 140 (1985), 3–15.[18] Merk, A., Bartesaghi, A., Banerjee, S., Falconieri, V., Rao, P., Davis, M. I.,

Pragani, R., Boxer, M. B., Earl, L. A., Milne, J. L. S., Subramaniam, S.: Breakingcryo-EM resolution barriers to facilitate drug discovery. Cell 165 (2016), 1698–1707.

[19] Penczek, P. A., Frank, J., Spahn, C. M.: A method of focused classification, based onthe bootstrap 3D variance analysis, and its application to EF-G-dependent translocation.J. Struct. Biol. 154 (2006), 184–194.

[20] Scherzer, O.: Sphärische und chromatische Korrektur von Elektronenlinsen. Optik 2(1947), 114–132.

[21] Subramaniam, S., Earl, L. A., Falconieri, V., Milne, J. L., Egelman, E. H.: Re-solution advances in cryo-EM enable application to drug discovery. Curr. Opin. Struct.Biol. 41 (2016), 194–202.

[22] Yannas, I.: Vitrification temperature of water. Science 160 (1968), 298–299.


Plimpton 322 — přelomový objev?

Martina Bečvářová, Jiří Veselý, Praha

Abstrakt. Článek pojednává o matematicky velmi zajímavé mezopotámské hliněné tabulceznámé pod názvem Plimpton 322, která ukazuje vyspělost tehdejších matematických znalostía která je v současné době zdrojem zajímavých spekulací.

Značně staré písemné památky se zachovaly na mezopotámských hliněných tabulkách.Existuje jich mnoho tisíc a obsahují např. patrně nejstarší rozsáhlé literární dílo Epos

o Gilgamešovi; na tabulkách se nalezly podstatné části jeho tzv. babylonské verze,pocházející z doby cca 2000 let př. n. l. Mezi mezopotámskými tabulkami je i tabulkaoznačovaná Plimpton 322 z období 19. až 17. století př. n. l., která se již delší dobu těšípozornosti matematiků. Více o matematice v Mezopotámii viz [1], [3], [16], [17] a [18].

Trocha historie

Tabulka Plimpton 322 pochází pravděpodobně z nelegálních vykopávek na území dneš-ního Iráku. Americký diplomat Edgar James Banks (1866–1945), archeologickýnadšenec a obchodník se starožitnostmi, ji koupil někdy v období mezi roky 1898a 1909, kdy se stal profesorem orientálních jazyků a archeologie na univerzitě v Toledu(OH, USA). Podle jeho svědectví byla tabulka nalezena u Tell as-Senkerehu, městaležícího na místě, kde kdysi dávno stávala starověká Larsa1. Prodal ji kolem roku 1922spolu s dalšími tabulkami Georgu Arthurovi Plimptonovi (1855–1936), nakla-dateli, sběrateli a filantropovi, který pak svoji sbírku odkázal roku 1936 University ofColumbia. Tabulka je dnes součástí kolekce Rare Book and Manuscript Library, kteráse nachází v Butler Library, největší knihovně této univerzity. Ve třicátých letech20. století studoval tabulku Plimpton 322 François Thureau-Dangin (1872–1944),který se zasloužil o rozluštění mnoha sumerských a akkadských textů; jako první zjistil,že tabulka obsahuje pythagorejské trojice; viz [20]. Ve čtyřicátých letech ji zkoumaliOtto Eduard Neugebauer (1899–1990) a jeho kolega na Brown University Abra-ham Sachs (1915–1983); viz [17]. Odstranili písařské chyby, doplnili poškozená místaa interpretovali ji jako soupis patnácti pythagorejských trojic. Pak zájem o ni vzrostla trvá dodnes.

1Tam se začalo s archeologickými vykopávkami v roce 1850. Vedl je lord William KennethLoftus (1820–1858), britský geolog, přírodovědec a archeolog.

Prof. RNDr. Martina Bečvářová, Ph.D., Ústav aplikované matematiky, Fakulta dopravníČVUT, Na Florenci 25, 110 00 Praha 1, e-mail: [email protected], doc. RNDr. JiříVeselý, CSc., Matematický ústav UK, Matematicko-fyzikální fakulta UK, Sokolovská 83,186 75 Praha 8, e-mail: [email protected]


Popis tabulky

V katalogu přírůstků knihovny (viz [4]) je tabulka stručně popsána slovy:

322. Clay tablet, left-hand edge broken away, bottom of right-hand corner,

and a piece of columns 3 and 4 chipped off; fairly well preserved, dark-

brown. 8.8 × 12.5 cm; on obverse 4 columns with 16 lines, reverse blank.

Content: Commercial account. No date.

Jak vidíme, z tohoto zápisu je také odvozen její standardně užívaný název.Tabulka, která je poškozena zejména na okrajích, ale i v textové části, obsahuje

zápis v klínovém písmu. Kromě dvouřádkového záhlaví se jedná o 15 řádků čísel uspo-řádaných do čtyř sloupců. Je dokonce možné, že její část chybí, neboť na levém okrajijsou stopy po relativně novodobém přilepení další části, která se však ztratila či jiněkdo úmyslně odstranil.2 Současný vzhled a stav tabulky je patrný z obrázku 1.

Obr. 1. Plimpton 322. Převzato z https://en.wikipedia.org/wiki/Plimpton_322.

Přepíšeme-li klínopisný zápis a zachováme-li šedesátkovou soustavu (jako obvykléoddělovače „číslic“ užijeme zřejmým způsobem čárky a středníky, záhlaví je vyne-cháno), dostaneme následující tabulku, v níž jsou již odstraněny zjištěné chyby ([4] jichuvádí 6, [2] celkem 4 „písařské“ a 3 početní), na některých místech jsou doplněny nulya poškozená místa jsou rekonstruována:

2V literatuře se odhady o pravděpodobné šířce zmizelé části tabulky pohybují mezi 55 a 80 mm;viz [4].


(1; 59, 00, 15) (01, 59) (02, 49) (01)(1; 56, 56, 58, 14, 50, 06, 15) (56, 07) (01, 20, 25) (02)(1; 55, 07, 41, 15, 33, 45) (01, 16, 41) (01, 50, 49) (03)(1; 53, 10, 29, 32, 52, 16) (03, 31, 49) (05, 09, 01) (04)(1; 48, 54, 01, 40) (01, 05) (01, 37) (05)(1; 47, 06, 41, 40) (05, 19) (08, 01) (06)(1; 43, 11, 56, 28, 26, 40) (38, 11) (59, 01) (07)(1; 41, 33, 45, 14, 03, 45) (13, 19) (20, 49) (08)(1; 38, 33, 36, 36) (08, 01) (12, 49) (09)(1; 35, 10, 02, 28, 27, 24, 26) (01, 22, 41) (02, 16, 01) (10)(1; 33, 45) (45) (01, 15) (11)(1; 29, 21, 54, 02, 15) (27, 59) (48, 49) (12)(1; 27, 00, 03, 45) (02, 41) (04, 49) (13)(1; 25, 48, 51, 35, 06, 40) (29, 31) (53, 49) (14)(1; 23, 13, 46, 40) (28) (53) (15)

Tabulka tak získala trochu na srozumitelnosti, ale jediné, co je zřejmé na první pohled,je, že čtvrtý sloupeček obsahuje pořadová čísla řádků. Zbývající tři sloupce zůstávajístále nesrozumitelné. Nyní převedeme čísla do desítkové soustavy (v prvním sloupečkuuvádíme vždy 7 desetinných míst):

1,983 402 7 119 169 11,949 158 5 3 367 4 825 21,918 802 1 4 601 6 649 31,886 247 8 12 709 18 541 41,815 007 6 65 97 51,785 192 8 319 481 61,719 983 5 2 291 3 541 71,692 709 3 799 1 249 81,642 669 4 481 769 91,586 122 5 4 961 8 161 101,562 500 0 45 75 111,489 416 7 1 679 2 929 121,450 017 3 161 289 131,430 238 8 1 771 3 229 141,387 160 3 28 53 15

Teď si vypomůžeme obrázkem 2: Uvažujme pravoúhlý trojúhelník ABC se stan-dardním označením stran a úhlů. Třetí sloupec tabulky Plimpton 322 udává patnáctrůzných (celočíselných) hodnot délky přepony c, druhý sloupec patnáct různých hod-not délky kratší odvěsny a, první sloupec odpovídající hodnoty čísel

( c

b

)2

= ( cosec β )2 =a2 + b2

b2= 1 +

a2

b2= 1 + tg2 α. (1)

Poznamenejme, že pokud bychom se chtěli vyhnout vyjádření, které zahrnuje úhel,bylo by možné interpretovat výraz

(

c/b)2

„geometricky“, tedy chápat jej např. jako


A B

C

c

b a

α β

Obr. 2. Schéma označení významu sloupců tabulky

podíl obsahů čtverce nad přeponou a čtverce nad odvěsnou. S ohledem na velikostpředpokládané chybějící levé části tabulky většina autorů uvažuje o dvou chybějícíchsloupcích, ale s různým obsahem.

Sloupec odpovídajících velikostí strany b není na tabulce Plimpton 322 uveden,snad proto, že se jedná o pythagorejské trojúhelníky a příslušné hodnoty se snadnodopočtou. Např. v sedmém řádku je c = 3 541, a = 2 291, odtud

b =√

3 5412 − 2 2912 =√

7 290 000 = 2 700;

dále je( 3 541

2 291

)2

= 1 +4360

+11602

+56603

+28604

+26605

+40606

.= 1,719 983 5.

Druhý a třetí sloupec nedávají zjevný klíč pro uspořádání řádků tabulky, které expli-citně obsahuje sloupec čtvrtý. Lze si však povšimnout, že v prvním sloupci jsou číslauspořádána sestupně podle velikosti.

Doplníme nyní tabulku o hodnoty délek druhé odvěsny b a nahradíme první slou-pec dvěma sloupci, udávajícími ve stupních zaokrouhlené velikosti úhlů α a β. Napravou stranu tabulky doplníme sloupce hodnot p a q, jejichž význam objasníme dále.Obdržíme následující tabulku:

β α b a c n p q45,24◦ 44,76◦ 120 119 169 1 12 545,75◦ 44,25◦ 3 456 3 367 4 825 2 64 2746,21◦ 43,79◦ 4 800 4 601 6 649 3 75 3246,73◦ 43,27◦ 13 500 12 709 18 541 4 125 5447,92◦ 42,08◦ 72 65 97 5 9 448,46◦ 41,54◦ 360 319 481 6 20 949,68◦ 40,32◦ 2 700 2 291 3 541 7 54 2550,23◦ 39,77◦ 960 799 1 249 8 32 1551,28◦ 38,72◦ 600 481 769 9 25 1252,56◦ 37,44◦ 6 480 4 961 8 161 10 81 4053,13◦ 36,87◦ 60 45 75 11 2 155,02◦ 34,98◦ 2 400 1 679 2 929 12 48 2556,14◦ 33,86◦ 240 161 289 13 15 856,74◦ 33,26◦ 2 700 1 771 3 229 14 50 2758,11◦ 31,89◦ 45 28 53 15 9 5


Všimněme si, že čísla b mají v poslední tabulce „pěkný“ tvar. Jedná se o tzv. regulárníčísla. Jsou to čísla tvaru n = 2i 3j 5k, která jsou děliteli přirozené mocniny čísla 60.3

Regularita b zajišťuje, že hodnoty c/b a jejich druhé mocniny uvedené na tabulcePlimpton 322 lze v šedesátkové soustavě vyjádřit přesně. Je téměř nemyslitelné, že bytabulka byla sestavována pomocí náhodných pokusů o nalezení pythagorejských čísel,na to je příliš pravidelná. Její tvůrce musel pravděpodobně znát nějaký způsob / nějakézpůsoby jejich generování. Tak se dostáváme k problému v širším měřítku známémupod označením „zpětné inženýrství“: hledáme k výsledku způsob jeho nalezení.

Pravděpodobné vytváření tabulky Plimpton 322

Například tak zvané základní (někdy též primitivní) pythagorejské trojice4 a, b, czískáme tak, že dosazujeme navzájem nesoudělná přirozená čísla p, q, p > q do vztahů:

a = p2− q2, b = 2pq, c = p2 + q2. (2)

Pak je totiž zřejmě(

p2− q2

)2+

(

2pq)2

=(

p2 + q2)2

. (3)

Prověřením případů čísel p, q, které vedou k údajům v námi přepsané tabulce, se zdávelmi pravděpodobné, že tvůrce tabulky Plimpton 322 tento způsob generování znala (částečně) použil5. Budeme mu stručně říkat pq-metoda; její jádro je popsáno jižv [17] a podrobněji v [1].

Je-li m liché přirozené číslo, pak snadno ověříme, že platí

(m2 − 12

)2

+ m2 =(m2 + 1

2

)2

, (4)

z čehož je zřejmé, že čísla

12

(

m2− 1

)

, m,12

(

m2 + 1)

,

tvoří celočíselnou pythagorejskou trojici. Rovnost (4) platí, nahradíme-li m libovolnýmreálným číslem λ. Speciálně při náhradě kladným číslem λ dostaneme po dělení oboustran vzniklé rovnosti číslem λ2 rovnost

(λ − 1/λ

2

)2

+ 1 =(λ + 1/λ

2

)2

. (5)

Ta je východiskem pro další metodu.6 Na rovnost (5) můžeme pohlížet jako na vyjád-ření Pythagorovy věty pro nějaký trojúhelník, jsme však zatím daleko od pythagorejskétrojice, která je tvořena přirozenými čísly. Pokud však λ bude voleno tak, aby mělo

3Protože například 602 = 240 × 15, je číslo 240 = 24 31 51 regulární.4Jsou to takové pythagorejské trojice a, b, c, v nichž jsou čísla a, b, c navzájem nesoudělná.5Poznamenejme, že 11. a 15. řádek vykazují odchylky, k nimž se dále ještě podrobněji vrátíme.6Při λ ∈

(

1, 1 +√

2)

bude první člen na levé straně (5) z intervalu (0, 1) a pro λ > 1 +√

2 bude

tento člen větší než 1. V prvém případě musí být delší rameno trojúhelníka rovno 1, ve druhém musíbýt kratší rameno rovno 1. Případ λ ≤ 1 nebudeme uvažovat, protože pak by první člen na levé straněv závorce nebyl kladný.


λ i 1/λ konečný šedesátkový rozvoj, nabude rovnost na zajímavosti. Bude-li to zlomektvaru p/q, nastane to např. v případě, že p, q budou regulární čísla. Těch je meziprvními sto přirozenými čísly relativně dost, jsou to čísla 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12,15, 16, 18, 20, 24, 25, 27, 30, 32, 36, 40, 45, 48, 50, 54, 60, 64, 72, 75, 80, 81, 90, 96, 100.Dosadíme-li p/q do (5), dostaneme po úpravě rovnost

(p2 − q2

2pq

)2

+ 1 =(p2 + q2

2pq

)2

.

Násobením této rovnosti faktorem 4p2 q2 dostaneme (3), a tedy pythagorejskou tro-jici (2). To je vodítko: (5) popisuje až na faktor pythagorejskou trojici. Skutečně,např. volba λ = 9/4 dá po dosazení do (5) a úpravě pythagorejskou trojici 72, 65, 97z 5. řádku tabulky. Právě popsanému způsobu budeme říkat λ-metoda. Také ona sevyskytuje již v práci [17]. Srovnání obou metod obsahuje např. [18] nebo stručnějšítext téže autorky [19].

Ukázalo se, že na tabulce Plimpton 322 jsou všechny pythagorejské trojice, pro něžpři užití pq-metody jsou p, q, p > q, nesoudělná regulární čísla (to zaručí regularitu b),a navíc

q ≤ 60, (1; 48) =95

<p

q<

125

= (2; 24).

Avšak: Jedna nesrovnalost spočívá v tom, že na 11. řádku jsou hodnoty c a a, kteréodpovídají patnáctinásobku uvedených čísel p, q; pro p = 2, q = 1 by mělo být a = 3,c = 5 (což dá b = 4). Na tabulce však je a = 45, c = 75 (b = 60).

Vzhledem k absenci znaku pro nulu7 lze údaje napsané na tabulce interpretovat téžjako c = (01, 15, 00) = 4500 a a = (45, 00) = 2700. Zvolíme-li p = 60 a q = 30, dosta-neme netriviální pythagorejskou trojici a = 2700, c = 4500 a b = 3600, která je s trojicía = 3, c = 5, b = 4 ekvivalentní. Operaci přechodu na jednodušší trojici snad písařpovažoval za snadnou. Volba čísel p a q pak odpovídá výše uvedeným nerovnostem,čísla jsou však soudělná.

Druhá nesrovnalost se týká 15. řádku. K tam uvedeným hodnotám b = 45 a c = 53,jimž odpovídá a = 28, lze dospět λ-metodou při volbě λ = p/q = 9/5, zatímcopq-metoda dává pro p = 9, q = 5 hodnoty b = 90 a c = 106 a a = 56. Tomu by všakneodpovídaly další na tabulce uvedené hodnoty. Podrobněji viz [2]. Volbou p = 7, q = 2získáme pythagorejskou trojici 45, 28, 53, avšak se zaměněnými hodnotami a a b.

Jedním z rysů tabulky Plimpton 322 je, že žádný ze zlomků p/q a q/p nemá vícenež čtyřčlenný šedesátkový rozvoj. Takových zlomků je mezi těmi, které mají nejvýšesedmičlenný rozvoj, celkem 18, tedy tři v tabulce chybí. Jeden z nich je tvořen dvojicíčísel p, q (neplatí pro ni q ≤ 60), kde p = 125, q = 64; odpovídající hodnoty jsoua = 11 529, b = 16 000, c = 19 721, a dále je

( c

b

)2

= (1; 31, 09, 09, 25, 42, 02, 15).= 1,519 210 3,

α.= 35,78◦, β

.= 54,22◦.

7Připojme ještě důležitou vysvětlující poznámku: Mezopotámští počtáři nezapisovali nulu na za-čátku či na konci čísla, tj. zápis (45) mohl znamenat např. číslo 45 × 60, ale též 45, nebo 45/60 apod.Každý počtář interpretoval zápis podle kontextu. K rozšíření symbolu pro nulu došlo až daleko poz-ději a její užívání v evropské astronomii připisujeme Claudiu Ptolemaiovi (asi 85 až 165) a pozdějiindickým matematikům z doby kolem roku 650. Ve smyslu použití ke zpřesnění zápisu čísel (k odlišeníčísel (1,0,1) od (1,1), resp. (11) v šedesátkové soustavě) se nula objevila asi 400 let př. n. l.


Tyto hodnoty by ve výše uvedené tabulce patřily mezi 11. a 12. řádek. Někteří autořise domnívají, že tento řádek „11a“ nebyl uveden právě pro svou složitost.

Všimněme si krátce širšího kontextu. Asi z pěti set tisíc nalezených tabulek bylaprozkoumána jen malá část a těm matematické povahy nebyla věnována velká pozor-nost, neboť pro sumerology a asyrology nejsou textově příliš přitažlivé a podnětné.Co do matematické složitosti a zajímavosti je tabulka Plimpton 322 ojedinělá. Bylynalezeny např. tabulky pro násobení, tabulky druhých a třetích mocnin, tabulky pře-vrácených hodnot, popisy kvantitativních změn týkajících se zboží, práce, času apod.Většinou se jedná o „standardizované tabulky“, které se dochovaly ve více exem-plářích. Nepopisují ale rozvoj matematiky, protože obvyklí písaři matematiky nebyli.Právě jedinečnost obsahu tabulky Plimpton 322 ztěžuje její dnešní hodnocení. Můžemesi klást otázku, zda představovala učební pomůcku a spekulovat o stadiu její tvorby,jestli je v přípravné fázi nebo zda již jde o řešení zformulovaného problému. Nenítotiž jasné, zda představuje definitivní podobu dokumentu, i když nese znaky opiso-vání z jiného, možná staršího zdroje. Není asi seznamem pythagorejských trojic (třetíčlen trojice není tabelován), má asi spíše geometrické pozadí (studium trojúhelníků).Nedostatek srovnávacího materiálu umožňuje různé hypotézy.

V každém případě jsou tyto hypotézy méně pravděpodobné nežli ty, které zapadajído rámce širšího zkoumání. Ačkoli se autoři v [17] přikláněli spíše k pq-metodě gene-rování tabulky, z širšího pohledu se dnes zdá pravděpodobnější užití λ-metody, i kdyžje zdánlivě složitější. Nasvědčuje tomu částečně i analýza chyb, které jsou na tabulceobsaženy. V tomto směru lze čtenáři doporučit k nahlédnutí práce [18] nebo [6].

Ohlasy

O tabulce Plimpton 322 vyšly od roku 1945 asi dvě desítky prací, z nichž některé jsouznačně obsáhlé. Neuvádíme záměrně všechny, ale pouze inspirativní výběr. Lze říci,že v posledním desetiletí zájem o tabulku nápadně vzrostl, což nás vedlo k napsánítohoto textu.

Je pochopitelné, že za výše popsaného stavu existuje široké pole možných dohadůa směrů zkoumání. Jeden z posledních článků [14] je doprovázen zvýšeným zájmemnovinářů (i u nás) a má přídech senzace. Objevují se titulky jako např. 3,700-year-old

Babylonian tablet rewrites the history of maths — and shows the Greeks did not develop

trigonometry ([10], The Telegraph, 27. 8. 2017) nebo Mathematical secrets of ancient

tablet unlocked after nearly a century of study ([8], webová verze The Guardian (US),24. 8. 2017).

Jádro věci spočívá v názoru na vývoj matematiky. Starší respektované prameny(např. [9]) uvádějí jako tvůrce trigonometrie řeckého astronoma a matematika Hip-parcha (asi 190 až 125 př. n. l.), avšak [14] se snaží dobu jejího vzniku posunout nazákladě tabulky Plimpton 322 o více než tisíciletí do minulosti. Tato teorie není nová(viz [7]), lze ji vystopovat např. k [17]; srovnej též s obsáhlým textem [6]. Kroměodborného časopisu Historia Mathematica však autoři zapojili i populární sdělovacíprostředky. Čtenář si může prohlédnout např. video Old Babylonian mathematics and

Plimpton 322: A new understanding of the OB tablet Plimpton 322 na [8], resp. dalšívideo s podobnou tématikou (a obsazením) Ancient Babylonian tablet — world’s first

trig table na [13]. Viz též [21] nebo na ČT 24 [15].


Ne všechny novinářské ohlasy jsou striktně kladné. Na stránkách Scientific Ame-rican můžeme nalézt text Don’t fall for Babylonian trigonometry hype (viz text [12]s podtitulkem Separating fact from speculation in math history), který je k této mo-derní interpretaci skeptický (a kritický).

Je dobře, že se takové články objevují i v renomovaných matematických časopi-sech? Podle našeho názoru ano: spojují matematiku s (obecnou) historií, o níž by mělmít povědomost každý kulturní člověk. A je taky dobré, aby se všichni učili kritickymyslet a rozlišovali mezi doloženými fakty a hypotézami. Článek [14] je hezký pře-hledový článek s něčím navíc: nabízí řešení některých otázek spojených s tabulkouPlimpton 322 a některá dřívější řešení podrobuje kritice. V otázce kořenů trigonomet-rie však bez dalších nálezů či objevů nebude patrně možné považovat jím nabízenývýklad za definitivní řešení. Zkrátka: Je to další vrchol koncentrace jednoho směruzájmu o tabulku Plimpton 322, konkrétně se jedná o její vztah ke goniometrickýmfunkcím a trigonometrii.

Jak již bylo řečeno, myšlenka takto interpretovat tabulku Plimpton 322 není nová.Autoři [14] zdůrazňují, že na tabulce se nacházejí exaktní, nikoli zaokrouhlené hodnoty.Druhý a třetí sloupec chápou jako zkrácený zápis (pro pohodlí písaře) poměrů stran a/ba c/b se společným vynechaným faktorem 1/b. Tyto poměry by mohly být uvedeny nachybějící části tabulky. A tak jistý vztah ke goniometrickým funkcím je dán prvnímsloupcem, uvádějícím hodnoty čtverců funkce kosekans pro úhel β. Změny hodnot úhlův tabulce jsou poměrně pravidelné. Jsou to postačující argumenty pro to, abychomPlimpton 322 považovali za „trigonometrickou tabulku“?

Kolem této otázky běží již delší dobu diskuse matematiků, asyrologů i historikůmatematiky; viz např. [5], [11], [18]. Z pohledu matematika není vůbec podstatné,zda se na tabulce jedná o obdélníky o stranách a, b a úhlopříčce c, nebo zda jdeo trojúhelníky o stranách a, b, c. Není však až tak důležité, jak velká část tabulkymožná chybí, ale to, jaké další údaje na ní mohly být či byly zaznamenány.

Stále totiž nejsou dostatečně přesvědčivě zodpovězeny základní otázky, a to jaka proč byla tabulka vytvořena, k čemu byla používána, zda byla původně obsáhlejšía jaké další sloupce na ní ještě byly.8 Nejzávažnějším problémem je právě objasnění vý-znamu hodnot

(

c/b)2

v zachovaném prvním sloupci tabulky a výše zmíněných odhadůpro podíl p/q.

Zmínili jsme pár poznatků o tom, co na tabulce Plimpton 322 skutečně je, ostatníbyly jen z části již známé hypotézy. Jakkoli se mohou jevit velmi pravděpodobné,jistota „o tom, jak to původně bylo“ se z nich nezvratně vyvodit nedá. Pomoci bynám mohly nové šťastné nálezy či prozkoumání dalších již objevených, avšak nezpra-covaných zdrojů. Jistě je „téměř jisté“, že Pythagorova věta byla známa a využívána„v praxi“ (tj. ve stavitelství, vyměřování, vyučování apod.) asi 1 000 let před Pytha-gorem (viz např. [11]), avšak na otázku o počátcích trigonometrie . . . na tu si musíčtenář (po eventuálním přečtení citovaných pramenů) udělat zatím názor sám.9

8Text [2] obsahuje např. tabulku, doplněnou o řádky 16–38, kterými by snad mohla/měla tabulka(na rubu) pokračovat, a další dva sloupce, tabelující hodnoty délek strany b a hodnoty příslušnýchpodílů p/q. Poznamenejme, že v doplněné části se vyskytují další dva řádky, v nichž hodnoty závisejína tom, zda se použije pq-metoda nebo λ-metoda. V ostatních případech poskytují obě metody tytéžvýsledky.

9Pokud ovšem neovládá cestování v čase :-).


L i t e r a t u r a

[1] Aaboe, A.: Episodes from the early history of mathematics. New Mathematical Library13. Mathematical Association of America, Washington, 1964.

[2] Abdulaziz, A. A.: The Plimpton 322 tablet and the Babylonian method of generating

Pythagorean triples. arXiv:1004.0025v1 [math.HO], 1–34.

[3] Bečvářová, M.: Matematika ve staré Mezopotámii. In: Bečvář, J., Bečvářová, M., Vyma-zalová, H. (Eds): Matematika ve starověku. Egypt a Mezopotámie. Dějiny matematiky23. Prometheus, Praha, 2003.

[4] Britton, J. P., Proust, Ch., Shnider, S.: Plimpton 322: a review and a different

perspective. Arch. Hist. Exact Sci. 5 (2011), 519–566.

[5] Creighton, B. R.: Sherlock Holmes in Babylon. Amer. Math. Monthly 87 (1980),338–345.

[6] Hajossy, R.: Plimpton 322: A universal cuneiform table for old Babylonian mathema-

ticians, builders, surveyors and teachers. Tatra Mt. Math. Publ. 67 (2016), 1–40.

[7] Joyce, D. E.: Plimpton 322 Tablet. Clark University, 1995 [online], [cit. 20. 10. 2017].Dostupné z: http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/mathhist/plimpnote.html

[8] Kennedy, M.: Mathematical secrets of ancient tablet unlocked after nearly

a century of study. The Guardian, 2017 [online], [cit. 20. 10. 2017]. Dostupné z:https://www.theguardian.com/science/2017/aug/24/mathematical-secrets-of-

ancient-tablet-unlocked-after-nearly-a-century-of-study

[9] Kline, M.: Mathematical thoughts from ancient to modern times. Oxford UniversityPress, New York, 1990 (první vydání 1972).

[10] Knapton, S.: 3,700-year-old Babylonian tablet rewrites the history of maths

– and shows the Greeks did not develop trigonometry. The Telegraph, 2017[online], [cit. 20. 10. 2017]. Dostupné z: http://www.telegraph.co.uk/science/

2017/08/24/3700-year-old-babylonian-tablet-rewrites-history-maths-could/

[11] Knuth, D. E.: Ancient Babylonian algorithms. Comm. ACM 15 (1972), 671–677.

[12] Lamb, E.: Don’t fall for Babylonian trigonometry hype. Separating fact from specu-

lation in math history. Scientific American, 2017 [online], [cit. 20. 10. 2017]. Do-stupné z: https://blogs.scientificamerican.com/roots-of-unity/dont-fall-for-

babylonian-trigonometry-hype/

[13] Mansfield, D. F.: Ancient Babylonian tablet – world’s first trig table. UNSWTV2017, YouTube [online], [cit. 20. 10. 2017]. Dostupné z: https://www.youtube.com/

watch?v=i9-ZPGp1AJE

[14] Mansfield, D. F., Wildberger, N. J.: Plimpton 322 is Babylonian exact sexagesimal

trigonometry. Hist. Math. 44 (2017), 395–419.

[15] Matematici odhalili záhadu babylonské hliněné destičky. Obsaho-vala první popis trigonometrie [online], [cit. 20. 10. 2017]. Dostupné z:http://www.ceskatelevize.cz/ct24/veda/2223535-matematici-odhalili-zahadu-

babylonske-hlinene-desticky-obsahovala-prvni-popis

[16] Neugebauer, O.: Mathematische Keilschrift-Texte. Verlag von Julius Springer, Berlin,1935 (erster und zweiter Teil), 1937 (dritter Teil) (reprint Springer-Verlag, Berlin, 1973).

[17] Neugebauer, O., Sachs, A.: Mathematical cuneiform texts. American Oriental Societyand the American Schools of Oriental Research, New Haven, 1945 (reprint AmericanOriental Society, New Haven, 1986).


[18] Robson, E.: Neither Sherlock Holmes nor Babylon: A reassessment of Plimpton 322.Historia Math. 28 (2001), 167–206.

[19] Robson, E.: Words and pictures: new light on Plimpton 322. Amer. Math. Monthly 109

(2002), 105–120.

[20] Thureau-Dangin, F.: Le théorème de Pythagore. (Notes Assyriologigues LXVIII.) Re-vue d’Assyriologie et d’Archéologie Orientale 29 (1932), 131–142.

[21] Wildberger, N. J.: Old Babylonian mathematics and Plimpton 322: A new understan-

ding of the OB tablet Plimpton 322. YouTube [online], [cit. 20. 10. 2017]. Dostupné z:https://www.youtube.com/watch?v=L24GzTaOll0


O dětech, čápech a kauzalitěJiří Dvořák, Nehvizdy

Abstrakt. Lidová moudrost v mnoha zemích světa spojuje přirozený přírůstek obyvatelstvas výskytem čápů. V našich podmínkách jde o čápa bílého (lat. Ciconia ciconia) a tradičníformulace zní „čápi nosí děti“ . Se vší úctou k moudrosti našich předků nemůžeme takovétvrzení přijmout jako fakt, aniž bychom takovou vazbu potvrdili experimentálně či statistic-kou analýzou dostupných údajů. Právě to bude obsahem tohoto článku — provedeme analýzupočtu hnízdících párů čápů v 17 evropských zemích ve vztahu k porodnosti. Během toho sedotkneme i témat jako korelace, kauzalita a statistická významnost. Abychom nenarušovalitok textu a úvah, ponecháváme vysvětlení potřebných statistických pojmů do závěrečné částičlánku. Čtenář, který pojem zná, se jím nemusí zdržovat; čtenář, který vysvětlení či připo-menutí potřebuje, je naopak snadno najde.

1. Čápi a děti — co na to říká statistika?

V tomto článku se pokusíme posoudit platnost lidového tvrzení, že „čápi nosí děti“ .Autor, nejsa odborníkem v oblasti ornitologie, fyziologie ani antropologie, nemá jinoumožnost než uchýlit se k analýze dostupných empirických údajů a pomocí jednodu-chých statistických metod podat argumenty pro či proti tomuto tvrzení.

Inspirací je článek [5], který se touto otázkou zabýval a který také poskytuje po-třebná data, viz tabulku 1. Jako zdroj dat o počtech čápů (v období cca 1980–1990)uvádí článek [5] „personal communication“ se členem Royal Society for the Protectionof Birds, jako zdroj geografických a demografických údajů pak uvádí Britannica Year-book for 1990.

Údaje o počtu obyvatel a porodnosti v evropských zemích jsou pečlivě sledovanéa nemíníme je zpochybňovat, stejně jako údaje o rozloze států. Údaje o počtu čápů jsmeověřili v odborné literatuře – souhrnné informace stejně jako odkazy na dílčí studie,odkud jsou jednotlivé údaje převzaty, poskytuje práce [7]. Hodnoty v ní uvedené jsouo něco novější, typicky z let 1993 až 1995, a proto částečně odlišné od údajů z [5]. Tytorozdíly však nepovažujeme za podstatné a naši analýzu založíme na datech z původ-ního článku [5].

Standardním postupem zjišťování velikosti populace čápů na daném území je po-čítání hnízdících párů. Obrázek 1 ukazuje hodnoty porodnosti v jednotlivých státech(v tisících dětí za rok) vykreslené právě proti počtu hnízdících párů čápů. Pohled naobrázek naznačuje přítomnost vazby mezi oběma veličinami. Povaha této vazby se dápopsat přirozeným jazykem jako „čím víc čápů, tím víc dětí“ .

Jednoduchým nástrojem k vyjádření síly takového vztahu je tzv. korelační ko-eficient, který udává sílu lineárního vztahu mezi dvěma náhodnými veličinami, vizodst. 6.4. Pokud odhadneme korelační koeficient ρX,Y pro uvažovanou dvojici náhod-

RNDr. Jiří Dvořák, Ph.D., Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky MFF UK,Sokolovská 83, 186 75 Praha 8, e-mail: [email protected]


Stát Rozloha Čápi Obyvatelstvo Porodnost(km2) (páry) (mil.) (tis./rok)

Albánie 28 750 100 3,2 83Belgie 30 520 1 9,9 118Bulharsko 111 000 5 000 9,0 117Dánsko 43 100 9 5,1 59Francie 544 000 140 56,0 774Itálie 301 280 5 57,0 551Maďarsko 93 000 5 000 11,0 124Německo 357 000 3 300 78,0 901Nizozemsko 41 900 4 15,0 188Polsko 312 680 30 000 38,0 610Portugalsko 92 390 1 500 10,0 120Rakousko 83 860 300 7,6 87Rumunsko 237 500 5 000 23,0 367Řecko 132 000 2 500 10,0 106Španělsko 504 750 8 000 39,0 439Švýcarsko 41 290 150 6,7 82Turecko 779 450 25 000 56,0 1 576

Tab. 1. Počty pozorovaných hnízdících párů čápů bílých (lat. Ciconia ciconia) v 17 evrop-ských zemích a odpovídající geografické (rozloha státu) a demografické informace (početobyvatel a počet narozených dětí za rok). Převzato z článku [5].

ných veličin (X = počet hnízdících párů čápů; Y = počet narozených dětí) na základěhodnot z tabulky 1, dostaneme hodnotu přibližně 0,62. To potvrzuje, že mezi X a Y jeskutečně vazba typu „čím víc, tím víc“ . Navíc je tato vazba poměrně silná — pokud byžádná vazba nebyla přítomna a náhodné veličiny byly nezávislé, byl by korelační koefi-cient nulový. Odhadnutá hodnota je tedy blíže extrémní hodnotě 1 (perfektní lineárnízávislost) než hodnotě 0 (žádná vazba mezi X a Y ).

Samotný odhad korelačního koeficientu nám ale neříká, jak silný důkaz přítomnostivazby mezi náhodnými veličinami X a Y jsme dostali. Co když jsme náhodou naměřilinetypické hodnoty? Mohlo by se stát, že i v situaci, kdy žádná vazba přítomna není,obdržíme takový či ještě vyšší odhad korelačního koeficientu?

Odpověď nám může dát formální statistický test, viz odst. 6.5. V našem případěpůjde o test nulovosti korelačního koeficientu. Nulovou hypotézou tedy je ρX,Y = 0,alternativní hypotézou je ρX,Y 6= 0. Test na hladině významnosti 0,05 (tedy 5%) budev našem případě zamítat nulovou hypotézu. P-hodnota testu je přibližně 0,008 a testby zamítal i na libovolné hladině vyšší než 0,008, tedy 0,8%. Uvedenou p-hodnotumůžeme interpretovat tak, že pokud platí nulová hypotéza (ρX,Y = 0), je v tomtoexperimentu pravděpodobnost zjištění korelačního koeficientu, který bude v absolutníhodnotě větší než 0,62, pouze 0,8%.


Obr. 1. Porodnost v jednotlivých státech (v tisících dětí za rok) vykreslená proti počtu hnízdí-cích párů čápů. Plná čára ukazuje proloženou regresní přímku s absolutním členem. Čárkovanáčára ukazuje proloženou regresní přímku bez absolutního členu.

Korelační koeficient je tedy statisticky významně odlišný od nuly a zjištěné důkazyjsou velmi silné. Můžeme se tedy pokusit popsat vztah mezi X a Y lineárním předpi-sem. K tomu nám poslouží lineární regrese, viz odst. 6.6. Konkrétně budeme odhadovatregresní přímku, tedy přímku, která nejlépe vysvětluje Y jako lineární funkci X.

Nejprve uvažujme model bez absolutního členu: Y = bX. V tomto případě odhad-neme parametr jako b = 0,04. Tedy jeden hnízdící pár čápů odpovídá v průměru 40 na-rozeným dětem ročně — připomeňme, že hodnoty veličiny Y , počty dětí narozených zarok, byly uvedeny v tisících. Tomuto odhadnutému modelu odpovídá čárkovaná čárana obrázku 1. Je však vidět, že pozorované hodnoty nevystihuje dobře.

Zaměřme se tedy na model s absolutním členem: Y = a + bX. V tomto modeluodhadneme parametry jako a = 225, b = 0,03. Tomuto modelu odpovídá plná čára naobrázku 1. Tentokrát jsou již pozorované hodnoty proloženy uspokojivě. Odhadnutýmodel můžeme interpretovat tak, že průměrně 225 tisíc dětí ročně se rodí bez souvis-losti s čápy, nadto každý pár čápů odpovídá v průměru 30 narozeným dětem ročně.Pozorované odchylky od těchto hodnot pak považujeme za náhodné chyby a vliv pří-padných dalších, neuvažovaných faktorů.

2. Vyhodnocení statistické analýzy

Můžeme tedy po provedení této statistické analýzy učinit závěr, že čápi nosí děti? Ne-můžeme. Udělali jsme snad nějakou chybu ve výpočtu nebo v úvaze? Nikoliv, všechnyvýše uvedené postupy a úvahy jsou korektní. Předchozí tvrzení se zdají v rozporu —kde je tedy zakopaný pes?

Jediný problém je v tom, že jsme se snažili učinit závěry o něčem, o čem pou-žité statistické nástroje vůbec nevypovídají. Korektním závěrem předchozí analýzy jepouze to, že existuje statisticky významná vazba mezi počtem narozených dětí a počtemčápů.


Použité metody mohou odhalit takovou vazbu, nejsou však schopné odlišit příčinua následek nebo poznat situaci, kdy statisticky významná korelace neodpovídá žádnévěcné vazbě. Je tedy stejně dobře možné, že „čápi nosí děti“ jako „děti nosí čápy“ ,případně „čápi a děti spolu nijak věcně nesouvisí“ . Odhalili jsme tedy významnou ko-relaci, nikoliv kauzalitu. Tyto dva pojmy nesmíme zaměňovat: to, že spolu dvě veličinysouvisí (vykazují korelaci), ještě neznamená, že jedna je příčinou druhé.

3. Odbočka: korelace vs. kauzalita

Pro korelaci mezi dvěma náhodnými veličinami může být několik různých vysvětlení.Jedna z nich může skutečně ovlivňovat druhou, například za větší balení čokoládyzaplatíme více peněz. Zde je kauzální vztah jasný a způsobuje kladnou korelaci.

Také mohou být obě náhodné veličiny X a Y současně ovlivňovány jinou náhodnouveličinou Z, například u žáků prvního stupně základní školy je vysoká kladná korelacemezi úrovní čtenářských dovedností a velikostí bot. Přenecháváme laskavému čtenářik vlastní úvaze, co je oním společným vysvětlujícím faktorem. Zde jsou také kauzálnívztahy jasné — Z ovlivňuje X a jsou spolu korelované, Z ovlivňuje Y a jsou spolukorelované, vliv Z způsobuje korelaci mezi X a Y , přestože mezi těmito veličinaminení žádná přímá věcná vazba.

Uveďme pro ilustraci několik dalších příkladů. Všechny patří ke statistickému folk-lóru a uvádíme je bez reference, neboť je obtížné dohledat původní zdroj. Totéž platípro příklad v předchozím odstavci. Je jistě pravda, že čím více hasičských jednotek jevysláno k požáru, tím větší je způsobená škoda; méně zřejmé je, proč velikost dlaněvykazuje zápornou korelaci s očekávanou délkou života dané osoby. Zde nabízíme ná-povědu: ženy mají obvykle menší dlaně než muži, žijí však v průměru déle. Závěrempak ještě dodejme, že počet utonutí v jednotlivých měsících silně koreluje s celkovýmiprodeji zmrzlinářských výrobků.

Poslední možností je, že mezi náhodnými veličinami není žádná věcná vazba, aťuž přímá nebo zprostředkovaná. Potom hovoříme o tzv. falešné korelaci. Na tu častonarazíme v situacích, kdy je k dispozici velké množství měření různých veličin a tes-tujeme, které z nich jsou spolu významně korelované. V takovém případě provádímevelké množství dílčích testů (se zvolenou hladinou α). I pokud jsou všechny korelace veskutečnosti nulové, je pravděpodobnost, že alespoň jeden z dílčích testů ukáže význam-nou korelaci, často výrazně vyšší než α. Jinými slovy, když provádíme mnoho dílčíchtestů, máme velkou šanci, že „něco vyjde významně“ . Tuto situaci označujeme jakoproblém mnohonásobného porovnávání a musíme zde poznamenat, že by bylo hrubouchybou v takovém případě reportovat jen nalezené významné korelace bez informaceo tom, kolik dílčích testů bylo ve skutečnosti provedeno, resp. bez provedení korekcena mnohonásobné porovnávání, viz například [4], [6].

Odhalování falešných korelací je věnován populární projekt Spurious Correla-tions [8], který umožňuje hledat korelace v rozsáhlé sadě veřejně dostupných údajů.Tím, že umožňuje snadno vyhledávat co nejsilnější korelace, ať už kladné či záporné,současně ilustruje problém mnohonásobného porovnávání — v takto rozsáhlé saděúdajů jednoduše musí být některé korelace velmi silné.

Pro doplnění si uveďme alespoň několik příkladů falešných korelací nalezenýchpomocí [8]. Počet titulů Ph.D. udělených v matematických oborech ve Spojených stá-


tech kladně koreluje s množstvím uranu uskladněným v jaderných elektrárnách tam-též (odhadnutý korelační koeficient > 0,95), avšak záporně koreluje s roční spotřebouplnotučného mléka na jednoho obyvatele USA (< −0,94). Dále, počet filmů (za rok),ve kterých se objevil Nicolas Cage, kladně koreluje s počtem lidí (opět za rok), kteříutonuli po pádu do bazénu (> 0,66), ale negativně koreluje s počtem lidí, kteří utonulipo pádu z rybářské lodi (< −0,54).

4. Zpět k čápům a dětem

Výše jsme uvedli, že naše analýza ukazuje statisticky významnou korelaci mezi počtemnarozených dětí a počtem hnízdících párů čápů, s upozorněním, že příčinné vztahy zů-stávají nejasné. Ve světle diskuse o korelaci a kauzalitě, kterou jsme právě provedli,můžeme na základě dostupných dat rozhodnout, zda skutečně mezi uvažovanými veli-činami existuje kauzální vztah, zda je nalezená korelace falešná nebo zda je způsobenanějakým vnějším faktorem, který ovlivňuje obě veličiny?

Při pohledu na údaje dostupné v tabulce 1 můžeme soudit, že rozloha státu i početobyvatel mohou ovlivňovat obě zkoumané veličiny. Vyšší počet obyvatel s sebou typickynese vyšší porodnost a může mít vliv i na počet hnízdících párů čápů. Ti totiž provybudování hnízda nejčastěji využívají lidmi vytvořených konstrukcí jako jsou vysokékomíny. Větší rozloha státu v evropských podmínkách obvykle znamená vyšší početobyvatel a tedy vyšší porodnost, zároveň více prostoru umožňuje „ubytovat“ více čápůbez zvýšení konkurence o zdroje potravy a vhodná místa k budování hnízd.

Vhodným nástrojem, jak posoudit vliv takových vnějších faktorů, je tzv. parciálníkorelační koeficient, viz odst. 6.7. Ten umožňuje kvantifikovat sílu lineárního vztahumezi dvěma náhodnými veličinami po odstranění (také lineárního) vlivu jedné či vícedalších náhodných veličin.

Pokud odstraníme vliv počtu obyvatel, dostaneme odhad parciálního korelačníhokoeficientu přibližně 0,65; test významnosti této korelace dává p-hodnotu přibliž-ně 0,006 a na hladině 0,05 zamítáme nulovou hypotézu o nulovosti tohoto korelačníhokoeficientu. Tento faktor tedy nepomohl vysvětlit přítomnost korelace mezi porodnostía počtem hnízdících párů čápů.

Naopak, pokud odstraníme vliv rozlohy státu, dostaneme odhad parciálního ko-relačního koeficientu přibližně 0,27; test významnosti této korelace dává p-hodnotupřibližně 0,307 a na hladině 0,05 tedy nezamítáme nulovou hypotézu o nulovosti to-hoto korelačního koeficientu. Tento faktor tedy vysvětlil velkou část nalezené korelacea po odstranění jeho vlivu už zbylá korelace není statisticky významná.

5. Závěr

Můžeme tedy učinit závěr, že nalezenou korelaci mezi porodností a počtem hnízdícíchpárů čápů je možné vysvětlit vlivem dalšího faktoru, který působí na obě tyto veličiny.Tímto faktorem je rozloha daného státu.

Pozornému čtenáři jistě neunikne opatrnost tohoto závěru. Říkáme pouze, že pozo-rovanou korelaci je možné vysvětlit určitým způsobem. Neříkáme, že to tak určitě je,neříkáme, že korelace není pouze falešná, neříkáme, že není přítomen přímý kauzálnívztah. Použité metody nám tak silnou informaci nedávají, pouze jsme našli možný


způsob, jak korelaci vysvětlit. Pro odhalování kauzálních vztahů bychom potřebovaliprovádět kontrolované experimenty, v nichž je možné cíleně měnit hodnotu jedné veli-činy a sledovat změny hodnot veličiny druhé, při zachování všech ostatních vlivů bezezměny.

Pro zajímavost dodejme, že odpovídající údaje pro Českou republiku jsou násle-dující: rozloha 78 866 km2, počet obyvatel zhruba 10,3 milionu, přibližně 96 tisíc živěnarozených dětí (tyto dva údaje převzaty z Českého statistického úřadu [3]), počethnízdících párů čápů bílých cca 800 (převzato z článku [7]). Uvedené údaje platí prorok 1995, protože pro tento rok máme k dispozici údaje o počtu čápů.

Pokud údaje platné pro ČR přidáme k tabulce 1 a zopakujeme celou analýzu, do-staneme prakticky totožné výsledky. Chování čápů v ČR tedy odpovídá jejich chovánív ostatních částech Evropy.

Závěrem už jen zdůrazněme, že je tento článek míněn zejména jako upozorněnína záludnosti interpretace výsledků statistické analýzy. I při použití jednoduchých,základních statistických metod zde hrozí riziko vyvození nepodložených závěrů. Vý-stupem naší analýzy je tedy tvrzení, že pozorovanou silnou korelaci mezi počtem na-rozených dětí a počtem hnízdících párů čápů je možné vysvětlit společným vlivemrozlohy daného státu. Původní otázku pátrající po přítomnosti kauzálního vztahu,tedy zda čápi nosí děti, však musíme nechat otevřenou.

6. Glosář statistických pojmů

V této kapitole nabízíme krátké vysvětlení statistických pojmů využívaných v tomtočlánku. Podrobnější informace je možné najít například v [1], [2].

6.1. Střední hodnota

Buď X reálná náhodná veličina nabývající diskrétních hodnot xi s pravděpodobnost-mi pi. Střední hodnota takové náhodné veličiny je pak definována jako

EX =∑i

pixi

a udává očekávanou (průměrnou) hodnotu náhodné veličiny. Pro spojité náhodné veli-činy je možné definovat střední hodnotu podobně pomocí tzv. hustoty. V tomto článkupředpokládáme, že střední hodnota uvažovaných náhodných veličin je konečná.

Pokud máme k dispozici nezávislá pozorování X1, X2, . . . , Xn náhodné veličiny X,nabízí se přirozený odhad střední hodnoty EX ve tvaru

EX =1

n

n∑i=1

Xi.

6.2. Rozptyl

Buď X reálná náhodná veličina nabývající diskrétních hodnot xi s pravděpodobnost-mi pi. Střední hodnotu označíme EX. Rozptyl náhodné veličiny X je pak definovánjako

varX = E (X − EX)2=∑i

pi (xi − EX)2


a udává rozptýlenost hodnot náhodné veličiny kolem její střední hodnoty. Pro spojiténáhodné veličiny je rozptyl také definován pomocí první rovnosti výše. V tomto článkupředpokládáme, že rozptyl uvažovaných náhodných veličin je konečný.

Pokud máme k dispozici nezávislá pozorování X1, X2, . . . , Xn náhodné veličiny X,nabízí se přirozený odhad rozptylu varX ve tvaru

varX =1

n

n∑i=1

(Xi − EX

)2.

V praxi se obvykle pracuje s odhadem rozptylu, který místo dělení počtem pozorování npoužívá dělení hodnotou n − 1. Takový odhad je z určitého hlediska výhodnější, pronaše úvahy to však není podstatné.

6.3. Kovariance

Buď (X,Y ) reálný náhodný vektor nabývající diskrétních hodnot (xi, yi) s pravdě-podobnostmi pi. Střední hodnoty náhodných veličin X a Y označíme EX, EY , jejichrozptyly označíme varX, varY . Kovariance náhodných veličinX a Y je pak definovánajako

cov(X,Y ) = E (X − EX) (Y − EY ) =∑i

pi (xi − EX) (yi − EY )

a udává, jak moc jsou hodnoty X ovlivněny hodnotami Y a naopak. Pro spojiténáhodné vektory je kovariance také definována pomocí první rovnosti výše.

Pokud máme k dispozici nezávislá pozorování (X1, Y1), (X2, Y2), . . . , (Xn, Yn) ná-hodného vektoru (X,Y ), nabízí se přirozený odhad kovariance cov(X,Y ) ve tvaru

cov(X,Y ) =1

n

n∑i=1

(Xi − EX

)(Yi − EY

).

6.4. Korelační koeficient

Buď (X,Y ) reálný náhodný vektor. Střední hodnoty náhodných veličin X a Yoznačíme EX, EY , jejich rozptyly označíme varX, varY a jejich kovarianci cov(X,Y ).Korelační koeficient náhodných veličin X a Y je pak definován jako

ρX,Y =cov(X,Y )√varX varY

a udává, jak moc jsou hodnoty X ovlivněny hodnotami Y a naopak, tentokrát po nor-malizaci pomocí rozptylu. To umožňuje porovnávat sílu vztahu mezi dvojicemi náhod-ných veličin bez ohledu na případné rozdíly jejich rozptylu. Důsledkem Cauchyovy–Schwarzovy nerovnosti je, že korelační koeficient nabývá pouze reálných hodnotz intervalu [−1, 1].

Korelační koeficient ρX,Y udává (stejně jako kovariance) sílu lineárního vztahu mezináhodnými veličinami X a Y . Extrémních hodnot 1 a −1 nabývá korelační koeficientprávě tehdy, když je mezi náhodnými veličinami lineární vztah Y = aX+ b pro nějakéreálné hodnoty a 6= 0 a b. Pokud je v takovém případě a > 0, je ρX,Y = 1; pokudje a < 0, je ρX,Y = −1. Hodnota korelačního koeficientu 0 odpovídá nepřítomnosti


lineárního vztahu. Příkladem takové situace je nezávislost veličin X a Y — v takovémpřípadě se tyto náhodné veličiny vůbec neovlivňují.

Pokud máme k dispozici nezávislá pozorování (X1, Y1), (X2, Y2), . . . , (Xn, Yn), na-bízí se přirozený odhad korelačního koeficientu ve tvaru

ρX,Y =cov(X,Y )√

varX varY.

Ilustrujme nyní skutečnost, že korelační koeficient měří sílu lineárního vztahumezi X a Y . Nechť pro tyto náhodné veličiny platí Y = 2X a máme k dispozici nezá-vislá pozorování (1, 2), (2, 4), . . . , (10, 20). Odhad korelačního koeficientu podle vzorcevýše má pak hodnotu 1.

Dále uvažme vztah mezi náhodnými veličinami ve tvaru Y = X3. Pokud mámek dispozici nezávislá pozorování (1, 1), (2, 8), . . . , (10, 1 000), dostaneme podle vzorcevýše odhad korelačního koeficientu přibližně 0,928. Přestože je tedy mezi náhodnýmiveličinami pořád naprosto pevná vazba (jsou svázány pomocí deterministické funkce),nedosahuje hodnota korelačního koeficientu extrémní hodnoty 1 či −1. Je možné do-konce najít příklady, kdy pro dvě náhodné veličiny svázané deterministickou funkcívyjde odhad korelačního koeficientu 0 — například stačí uvažovat vztah Y = X2

a pozorování (−5, 25), (−4, 16), . . . , (5, 25).

6.5. Testování hypotéz

Uvažme situaci, kdy chceme rozhodnout, zda je určité tvrzení v souladu s pozorova-nými daty. Toto tvrzení budeme nazývat nulová hypotéza. Dále formulujeme tzv. al-ternativní hypotézu, které budeme věřit, pokud ukážeme, že nulová hypotéza neplatí.Často je alternativní hypotéza doplňkem nulové hypotézy, není to však nutné.

Ilustračním příkladem nám budiž házení mincí a testování, zda je mince spraved-livá. Nulovou hypotézou zde bude „pravděpodobnost, že padne panna, je rovna 1/2“ .Alternativní hypotézou pak bude „pravděpodobnost, že padne panna, není rovna 1/2“ .

Statistický test potom provedeme tak, že z pozorovaných dat spočítáme vhodnoutestovou statistiku T , přičemž vyžadujeme, aby rozdělení testové statistiky za plat-nosti nulové hypotézy bylo známé. Pak posoudíme, zda hodnota T spočítaná z datje typická, nebo naopak extrémní vzhledem k tomuto referenčnímu rozdělení. Pokudje extrémní, zamítáme nulovou hypotézu ve prospěch alternativní hypotézy. Pokudje typická, nezamítáme nulovou hypotézu. Extrémní hodnoty jsou takové, které ležív takzvané zamítací oblasti. Typické hodnoty naopak leží mimo zamítací oblast.

V našem příkladu může být pozorovanými daty výsledek dvaceti nezávislých hodůzkoumanou mincí. Testovou statistikou T pak bude celkový počet hodů, ve kterých padnepanna. Za platnosti nulové hypotézy má T binomické rozdělení s parametry 20 a 1/2.

Pokud je nulová hypotéza platná a my ji zamítneme, udělali jsme chybu prvníhodruhu. Pokud je nulová hypotéza neplatná a my ji nezamítneme, udělali jsme chybudruhého druhu. V ostatních případech jsme chybu neudělali. Statistické testy jsou kon-struovány tak, aby pravděpodobnost, že uděláme chybu prvního druhu, byla nejvýšerovna předem stanovené hodnotě α, například α = 0,05. Tato volba pak určuje, jakbude vypadat zamítací oblast pro daný test (přesný postup se pro různé testy liší).Hodnotu α označujeme jako hladinu testu.


V našem příkladu je pro α = 0,05 zamítací oblast rovna množině C = {0, 1, 2, 3, 4, 5,16, 17, 18, 19, 20}. Za platnosti nulové hypotézy je totiž pravděpodobnost, že T bude míthodnotu z C, rovna přibližně 0,041. Kdybychom navíc zahrnuli do zamítací oblasti li-bovolnou hodnotu mezi 6 a 15, už bychom přesáhli hodnotu 0,05 a takto postavený testby neměl zvolenou hladinu.

Možností, jak zvolit zamítací oblast, která dodrží stanovenou hladinu testu, samo-zřejmě může být více. My chceme zvolit takovou, která nám dá co nejmenší pravdě-podobnost chyby druhého druhu.

V příkladu s házením mincí chyba druhého druhu nastává, pokud se skutečná prav-děpodobnost padnutí panny liší od 1/2 a provedený test přesto nulovou hypotézu neza-mítne. Pokud se skutečná pravděpodobnost liší od 1/2, budou typické hodnoty testovéstatistiky blíže k extrémním hodnotám 0 a 20 než za platnosti nulové hypotézy. Protov zamítací oblasti chceme mít právě tyto extrémní hodnoty a jejich okolí a zvolili jsmeC = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 16, 17, 18, 19, 20}. Hladinu testu by dodržela i jiná zamítací oblast,například C = {6}, její použití by však vedlo ke zbytečně vysoké pravděpodobnosti chybydruhého druhu — vždyť v testu s touto zamítací oblastí bychom nezamítli nulovou hy-potézu ani v případě, že ve dvaceti hodech neuvidíme žádnou pannu.

Sílu toho, jak pozorovaná data svědčí proti nulové hypotéze, můžeme vyjádřit po-mocí tzv. p-hodnoty. To je pravděpodobnost, že bychom za platnosti nulové hypotézynapozorovali taková data, která by svědčila stejně či ještě více proti nulové hypo-téze než naše skutečně pozorovaná data. Jinými slovy, pokud ze skutečně pozorova-ných dat vypočteme hodnotu testové statistiky T0, udává p-hodnota pravděpodob-nost, že při opakování experimentu dojdeme k hodnotě testové statistiky T1, kterábude vzhledem k referenčnímu rozdělení stejně nebo ještě více extrémní než T0. O za-mítnutí/nezamítnutí nulové hypotézy je možné rozhodnout i pomocí p-hodnoty —zamítáme, právě když je p-hodnota menší nebo rovna hladině testu α. Tento postupje ekvivalentní postupu založenému na zamítací oblasti.

Pokud při 20 nezávislých hodech mincí padne pouze dvakrát panna, je T0 = 2a množina všech hodnot stejně či více extrémních vzhledem k referenčnímu rozdě-lení je D = {0, 1, 2, 18, 19, 20}. Proto bude p-hodnota našeho testu přibližně 0,0004— platí, že při opakování experimentu je za platnosti nulové hypotézy pravděpodob-nost 0,0004, že hodnota testové statistiky T1 bude ležet v D. Vzhledem k tomu, žezjištěná p-hodnota je menší než zvolená hladina α = 0,05, zamítáme nulovou hypotézuo tom, že pravděpodobnost padnutí panny je 1/2.

Při analýze dat prezentované v tomto článku jsme použili test nulovosti korelačníhokoeficientu. Nulovou hypotézou tedy je ρX,Y = 0, alternativní hypotézou je ρX,Y 6= 0.Testovou statistikou je

T = ρX,Y ·√(n− 2)/(1− ρ2X,Y ),

kde ρX,Y je odhad korelačního koeficientu (s normalizací 1/(n− 1) místo 1/n v odha-du kovariance a rozptylů) a n ≥ 3 je počet pozorování. Za platnosti nulové hypotézya předpokladu, že náhodný vektor (X,Y ) má dvourozměrné normální rozdělení s klad-nými rozptyly, má testová statistika t-rozdělení s n− 2 stupni volnosti [2, s. 94].


6.6. Lineární regrese

Pro potřeby tohoto článku se omezíme na jednoduchý případ, kdy chceme hodnotynáhodné veličiny Y vysvětlit (lineárním modelem) pomocí hodnot veličiny X. V zá-kladním přístupu předpokládáme, že hodnoty X jsou nenáhodné, resp. jsou změřenypřesně, bez náhodné chyby. Jde vlastně o modelování střední hodnoty Y v závislosti navysvětlující proměnné X. Pokud máme k dispozici pozorování (X1, Y1), . . . , (Xn, Yn),je odpovídající model tvaru Yi = a+ bXi + ei, i = 1, . . . , n. Na pravé straně této rov-nosti je jediným náhodným členem ei, které může popisovat například chybu měřenía všechny další vlivy, které nejdou (lineárně) vysvětlit pomocí hodnoty Xi. Předpo-kládáme, že všechna ei mají nulovou střední hodnotu a stejný rozptyl.

Pro své pozorování tedy hledáme hodnoty parametrů a, b v uvedeném mode-lu. Budeme požadovat, aby tyto hodnoty minimalizovaly součet čtverců chyb, tedy∑n

i=1(Yi − a− bXi)2. Odhad střední hodnoty Yi je potom Yi = a+ bXi. Jednotlivým

chybám Yi − Yi = Yi − a− bXi, i = 1, . . . , n, říkáme rezidua. Jde o odhad náhodnéhočlenu ei v uvažovaném modelu, který už nejde vysvětlit lineárně pomocí hodnoty Xi.Přímce y = a+bx, kde a, b jsou odhadnuté hodnoty parametrů, potom říkáme regresnípřímka.

Je snadné upravit tento postup pro model bez absolutního členu: Yi = bXi+ei,i = 1, . . . , n. Obrázek 1 ukazuje odhadnuté regresní přímky pro data z tabulky 1 promodel s absolutním členem i bez absolutního členu.

6.7. Parciální korelační koeficient

Tento nástroj je obdobou klasického korelačního koeficientu, bere však do úvahy mož-nost, že jsou obě náhodné veličiny X, Y ovlivněny hodnotami společné vysvětlujícíproměnné Z. V takovém případě můžou X a Y vykazovat silnou korelaci, která jevšak způsobena vlivem Z, aniž by spolu X a Y přímo souvisely.

Parciální korelační koeficient tedy slouží k posouzení síly lineárního vztahu mezidvěma náhodnými veličinami X a Y poté, co odstraníme případný (lineární) vliv třetíproměnné Z.

Nechť máme k dispozici pozorování (X1, Y1, Z1), . . . , (Xn, Yn, Zn). Uvažujme nej-prve lineární regresi, kde vysvětlíme hodnoty Xi pomocí hodnot Zi. Dostaneme tedyrezidua Xi − Xi (část, kterou už není možné vysvětlit lineárně pomocí hodnot Zi).Podobně uvažujme lineární regresi, kde vysvětlíme hodnoty Yi pomocí hodnot Zi;dostaneme rezidua Yi − Yi.

Parciální korelační koeficient je pak klasický korelační koeficient mezi reziduiX−Xa Y − Y , tedy mezi částmi, které už nelze vysvětlit lineárně pomocí hodnot Z. Nazákladě pozorovaných dat je možné jej odhadnout jako ρX′,Y ′ , přičemž pokládámeX ′

i = Xi − Xi, Y ′i = Yi − Yi, i = 1, . . . , n.


L i t e r a t u r a

[1] Anděl, J.: Statistické metody. 4. vyd., MatfyzPress, Praha, 2007.

[2] Anděl, J.: Základy matematické statistiky. 3. vyd., MatfyzPress, Praha, 2011.

[3] Český statistický úřad: Česká republika od roku 1989 v číslech — 2013[online], [cit. 20. 11. 2017]. Dostupné z: https://www.czso.cz/csu/czso/ceska-republika-v-cislech-od-roku-1989-wau52m1y38

[4] Hsu, J. C.:Multiple comparisons: theory and methods. 1st ed., Chapman and Hall/CRC,Boca Raton, 1996.

[5] Matthews, R.: Storks deliver babies (p=0.008). Teaching Statistics 22 (2) (2000), 36–38.

[6] Miller, R.G.: Simultaneous statistical inference. 2nd ed., Springer, New York, 1981.

[7] Van den Bossche, W., Berthold, P., Kaatz, M., Nowak, E., Querner, U.: Eas-tern European white stork populations: migration studies and elaboration of conservationmeasures. Scripten 66. Bundesamt für Naturschutz, Bonn, 2002.

[8] Vigen, T.: Spurious correlations [online], [cit. 20. 11. 2017]. Dostupné z:http://www.tylervigen.com


Problém ohnuté kolejnicea kouzlo numerické matematikyJan Šlégr, Filip Studnička, Hradec Králové

Kolik numerických matematiků je potřeba k výměně žárovky?3,9987 (po prvních třech iteracích).

Abstrakt. S rozmachem systémů pro symbolickou matematiku, kde je derivování, řešení dife-renciálních rovnic či obyčejné vyjádření proměnné z komplikované rovnice otázkou jednohokliknutí, se poněkud vytrácí důraz na efektivní řešení nejen fyzikálních problémů. Na jednéstraně je dobře, že se s pomocí jazyků pro symbolickou manipulaci (jako je např. webovýnástroj Wolfram Alpha nebo symbolická sada v programu MATLAB) může řešitel soustředitna fyzikální podstatu problému, na druhou stranu je jistá obratnost při řešení těchto pro-blémů velmi žádoucí. Předložený článek popisuje několik motivačních úloh, které mohou býtpoužity ve výuce numerické matematiky nebo jako doplněk v základních kurzech fyziky navysoké škole.

1. Úvod

V průmyslové praxi se často setkáváme s návrhy řešení, která velmi dobře fungujína stolním počítači, ovšem v okamžiku, kdy je zapotřebí přenést je do průmyslovéhomikropočítače, autor s hrůzou zjišťuje, že program buď nefunguje vůbec, protože do-šlo k přetečení paměti, nebo funguje nepoužitelně pomalu. První setkání s realitou,například přechod z funkčního řešení v MATLABu k použitelnému programu pro mi-kropočítač, který je o poznání skoupější, co se týče systémových prostředků (stovkykilobajtů paměti RAM, násobně nižší frekvence procesoru), může být pro začátečníkašokující.

Právě z těchto důvodů bývá součástí vysokoškolských kurzů nejen pro budoucíinženýry, ale i pro fyziky a učitele přírodovědných předmětů kurz zaměřený na nu-merickou matematiku. Jeho struktura bývá standardní, pokrývající různé interpolačnía integrační metody, metody řešení soustav rovnic, transcendentní rovnice a podobně.Tento rozsah přibližně odpovídá tomu, co se v 60. letech vyučovalo na odbornýchstředních školách [10].

Do kurzů numerické matematiky pro výše uvedené skupiny studentů by proto bylozáhodno zahrnout úlohy, které jsou jasně svázány s fyzikální realitou a k jejichž řešenístačí jednoduchý program v jakémkoliv běžném programovacím jazyce, který nevyža-duje externí knihovny matematických funkcí. Několik takových úloh uvádíme v tomtočlánku.

RNDr. Jan Šlégr, Ph.D., Mgr. et Mgr. Filip Studnička, Ph.D., Katedra fy-ziky PřF UHK, Rokitanského 62, 500 03 Hradec Králové, e-mail: [email protected],[email protected]


2. Řešení pohybové rovnice

Přestože v pokročilých kurzech numerické matematiky jsou studenti seznamováni s me-todami numerického řešení diferenciálních rovnic, jako jsou např. Rungovy–Kuttovymetody, pro základní seznámení postačuje i jednoduchá Eulerova metoda, která másvůj původ ve fyzikální realitě. Vhodnou ilustrací může být řešení klasické pohybovérovnice 𝑚𝑎 = 𝐹 , která popisuje pohyb tělesa při působení síly 𝐹 . Jestliže 𝑟(𝑡) značípolohu tělesa v čase 𝑡, pak jeho okamžitá rychlost a zrychlení jsou definovány vztahy

𝑎 = d𝑣

d𝑡= lim

ℎ→0

𝑣(𝑡 + ℎ) − 𝑣(𝑡)ℎ

,

𝑣 = d𝑟

d𝑡= lim

ℎ→0

𝑟(𝑡 + ℎ) − 𝑟(𝑡)ℎ

.

Ty lze nahradit přibližnými rovnicemi

𝑎 ∼=𝑣(𝑡 + Δ𝑡) − 𝑣(𝑡)

Δ𝑡,

𝑣 ∼=𝑟(𝑡 + Δ𝑡) − 𝑟(𝑡)

Δ𝑡,

kde Δ𝑡 je malé kladné číslo. Známe-li působící sílu 𝐹 (která může být funkcí polohy,času a rychlosti), počáteční polohu 𝑟0 a rychlost 𝑣0 v čase 𝑡0, můžeme z pohybovérovnice určit přibližné hodnoty 𝑎1, 𝑣1 a 𝑟1 v čase 𝑡 = 𝑡0 + Δ𝑡, hodnoty 𝑎2, 𝑣2 a 𝑟2v čase 𝑡 = 𝑡0 + 2Δ𝑡 atd. Tímto způsobem získáme přibližné řešení ve formě tabulkyhodnot v ekvidistantních časech, které mohou být použity k vykreslení grafů závislostizrychlení, rychlosti a polohy na čase.

Tato metoda je vhodná v případech, kdy je analytické řešení obtížné. Např. nawebu [8] je uvedeno řešení pohybové rovnice při pohybu v prostředí, které klade odpor,a v článku [9] je popsáno řešení úlohy, která nemá analytické řešení — návratu kos-mické lodi do zemské atmosféry (poloha je závislá na rychlosti, rychlost na zrychlenía zrychlení na síle, přičemž odporová síla závisí na hustotě atmosféry, která je funkcípolohy).

V tomto článku se zaměříme na úlohu, která má značný motivační potenciál — napopis pádu kočky v prostředí, které klade odpor. Podle záznamů newyorských veteri-nárních lékařů je při pádu z výškové budovy pro kočku kritické sedmé patro [11], [3].Při pádu z menší, ale i z větší výšky, než odpovídá sedmému patru, je pravděpodobnostúmrtí kočky podstatně menší než při pádu právě ze sedmého patra.

Pohybovou rovnici padající kočky zapíšeme ve tvaru

𝑚𝑎 = 𝑚𝑔 − 12𝐶𝜌𝑆𝑣2,

neboť Reynoldsovo číslo padající kočky je větší než 1 000. Tato hodnota Reynoldsovačísla značí, že proudění vzduchu okolo kočky bude turbulentní a odporová síla je v ta-kovém případě úměrná druhé mocnině rychlosti. Získáme diferenciální rovnici

��(𝑡) = 𝑔 − 𝑘��(𝑡)2,


Obr. 1. Závislost dráhy padající kočky na čase

kde 𝑥(𝑡) je poloha kočky v čase 𝑡 a 𝑘 = 𝐶𝜌𝑆2𝑚 . Zde 𝐶 je součinitel odporu vzduchu,

𝜌 = 1,23 kg · m−3 hustota vzduchu, 𝑆 čelní plocha (průmět kolmý na směr vektorurychlosti) a 𝑚 hmotnost kočky, kterou podle [5] odhadneme na 𝑚 = 4,5 kg. Tím sedostaneme k vyjádření

𝑘 ≈(

1,232 · 4,5m−3

)𝐶𝑆. (1)

Když kočka dosáhne mezní rychlosti 𝑣max, její okamžitá rychlost se dále nezvyšujea její zrychlení je nulové. Podle [13] je mezní rychlost koček 𝑣max ≈ 30 m · s−1. Pak

0 = 𝑔 − 𝑘𝑣2max ⇒ 𝑘 = 𝑔

𝑣2max

≈ 0,01 m−1. (2)

Porovnáním rovnic (1) a (2) dostaneme

𝐶𝑆 ≈ 0,07 m2.

Pokud budeme kočku modelovat jako desku kolmou ke směru rychlosti pohybující seve směru rychlosti, jejíž součinitel odporu 𝐶 = 1,3, získáme pro čelní plochu kočkyhodnotu 𝑆 ≈ 0,05 m2. To odpovídá kruhu o průměru přibližně 24 cm, což je uvěřitelnáhodnota.

Podobná úloha (např. pro parašutistu) bývá součástí kurzů teoretické mechanikya bývá řešena analyticky, přičemž v jejím řešení se dříve nebo později objeví hyperbo-lické funkce. Výše uvedeným numerickým řešením získáme tabulku hodnot pro zrych-lení, rychlost a polohu kočky. Závislost polohy kočky na čase s vyznačenou polohousedmého patra je na obr. 1 (při výšce jednoho patra 2,8 metru odpovídá sedmé patropřibližně dvaceti metrům).

Závislosti rychlosti a zrychlení na čase jsou zcela standardní — zrychlení kočkyse zmenšuje z hodnoty 𝑔 = 9,81 m · s−2 na nulu a kočka dosáhne mezní rychlosti.


Obr. 2. Závislost derivace zrychlení padající kočky na čase

Vypočtené údaje neobsahují žádný náznak, proč by mělo být sedmé patro kritické.Je ovšem známo, že z hlediska fyziologie zvířata i lidé kromě zrychlení velmi výrazněvnímají i jeho změnu (rychlost lidé vnímají převážně vizuálně, zrychlení a jeho změnyzpůsobují změny tlaku ve vestibulárním aparátu) [4], [2]. Proto byly získané hodnotyzrychlení zderivovány.

Numerickou derivaci hodnot v tabulce lze vypočítat poměrně snadno, např. pomocícentrální diference:

��(𝑡) = 𝑎(𝑡 + Δ𝑡) − 𝑎(𝑡 − Δ𝑡)2Δ𝑡

.

Výsledná závislost derivace zrychlení na čase je na obr. 2. Z grafu je zřejmé, že k největšízměně zrychlení dochází v čase 𝑡 = 2 s. To vede autory k závěru, že sedmé patro je prokočku kritické z toho důvodu, že přibližně v druhé sekundě pádu kočka cítí největšízměnu zrychlení, což ji vyděsí a není připravena na dopad. Teoretické řešení bylonásledně ověřováno experimentem popsaným v [6].

3. Maximální rychlost osobního automobilu

Pro okamžitý výkon osobního automobilu platí 𝑃 = 𝐹𝑣, kde 𝐹 je tahová síla motorua 𝑣 okamžitá rychlost. Maximálního výkonu 𝑃max dosáhne automobil při maximálnírychlosti 𝑣max a maximální tahové síle 𝐹max. Pokud chceme odhadnout maximálnírychlost, které může automobil dosáhnout, musíme tahovou sílu 𝐹max položit do rov-nosti se silami odporu — aerodynamickou odporovou sílou podle Newtonova vzorcea valivým odporem. Dostaneme rovnici

𝑃max

𝑣max= 1

2𝐶𝜌𝑆𝑣2max + 𝜉

𝑟𝐹𝑛,


Vozidlo 𝐶1

𝑆m2

𝑚kg

𝑟m

𝑃maxkW

𝑣max vypočtenákm·h−1

𝑣max výrobcekm·h−1

Škoda Fabia 1,4 MPi 0,32 2,00 1 180 0,195 59 169 164WV Golf IV 1,9 TDi 0,31 2,03 1 380 0,216 66 176 180Subaru Impreza 1993 0,36 1,94 1 220 0,213 161 230 216Hummer H3 0,51 3,06 2 100 0,271 180 184 183Mazda 3 MPS 0,32 2,35 1 431 0,261 193 241 250*BMW 335i Coupe 0,30 2,11 1 535 0,238 225 268 250*Tesla Model S P85 0,24 2,34 2 150 0,284 308 284 215*Bugatti Veyron 0,39 1,91 1 888 0,354 883 408 407

Tab. 1. Parametry automobilů pro výpočet maximální rychlosti

kde 𝐶 je součinitel odporu, 𝜌 hustota vzduchu, 𝑆 čelní plocha automobilu, 𝜉 = 0,0016 mrameno valivého odporu gumové pneumatiky na asfaltu, 𝑟 poloměr kola a 𝐹𝑛 tlakovásíla na podložku, která je pro vodorovnou silnici rovna tíze automobilu: 𝐹𝑛 = 𝑚𝑔, kde𝑚 je hmotnost automobilu a 𝑔 tíhové zrychlení. (Tíha automobilu se rozkládá na čtyřikola; proti pohybu každého z nich působí valivý odpor 𝜉

𝑟𝑚4 𝑔, celkem tedy 𝜉

𝑟 𝑚𝑔.)Označíme

𝑓(𝑣max) = 12𝐶𝜌𝑆𝑣2

max + 𝜉𝑚𝑔

𝑟− 𝑃max

𝑣max

a rovnici 𝑓(𝑣max) = 0 vyřešíme numericky. Použijeme Newtonovu metodu tečen prorovnice typu 𝐹 (𝑥) = 0, kde zvolíme počáteční odhad 𝑥0 a další iterace počítáme zevzorce

𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑛 − 𝐹 (𝑥𝑛)𝐹 ′(𝑥𝑛) ,

který odpovídá tomu, že graf funkce 𝐹 aproximujeme tečnou v bodě 𝑥𝑛. V našempřípadě dostáváme

𝑣max,𝑛+1 = 𝑣max,𝑛 − 𝑓(𝑣max,𝑛)𝑓 ′(𝑣max,𝑛) .

Derivaci vypočteme snadno:

𝑓 ′(𝑣max) = d𝑓

d𝑣max(𝑣max) = 𝐶𝜌𝑆𝑣max + 𝑃max

𝑣2max

.

Tento jednoduchý postup dává uvěřitelné výsledky i pro tak odlišná auta, jakoje Bugatti Veyron (𝐶 = 0,39, čelní plocha 𝑆 = 1,91 m2) a Hummer H3 (𝐶 = 0,51,𝑆 = 3,06 m2).

Výpočet je pro studenty zajímavý zejména u sportovních automobilů, které majíelektronický omezovač rychlosti na 250 km · h−1. Několik výsledků je uvedeno v tab. 1,hvězdičkou jsou označeny maximální rychlosti vozů s elektronickým omezovačem.Zdrojové kódy jednoduchého programu v jazyce Pascal jsou na webu autora [8].

4. Problém ohnuté kolejnice

Následující úloha se v různých obměnách objevuje v zábavných přílohách americkýchnovin a našla si cestu i do učebnice numerické matematiky. Obvykle bývá zadána


h

l=2

t=2

θ

d = r − h

h

l=2

t=2

(a) (b)

Obr. 3. K problému ohnuté kolejnice: (a) geometrie problému; (b) zjednodušený předpoklad

takto: Přímá kolejnice o délce jedné míle je pevně ukotvena na obou koncích. Běhemhorkého letního dne způsobí teplotní roztažnost, že se tato kolejnice prodlouží o jednustopu z původní hodnoty 5 280 na 5 281 stop. Za předpokladu, že se kolejnice nemůževyboulit do stran, o kolik se posune nejvyšší bod kolejnice nad trať?

Situace je znázorněna na obr. 3a. Někdy jsou ještě uvedeny možnosti: a) jeden palec,b) jednu stopu, c) padesát stop. Je zajímavé, že úloha je fyzikálně správně. Koeficientteplotní délkové roztažnosti oceli je asi 1,6·10−5 K−1, takže dané prodloužení odpovídánárůstu teploty asi o 15 ∘C, což je pro horký letní den naprosto uvěřitelná hodnota.Dodejme ještě, že v dnešní době se koleje pevně fixují k pražcům a toto spojení bymělo být stabilní v rozmezí teplot od −20 ∘C do +50 ∘C teploty kolejnice.

Popsaná úloha je uvedena v úvodu výborné učebnice numerických metod FormanaS. Actona [1], kde je čtenář vyzván k tomu, aby si ji zkusil vyřešit dříve, než si jejířešení přečte ve druhé kapitole, která je věnována řešení transcendentních rovnic.

Horní odhad maximální výšky kolejnice nad tratí můžeme získat tak, že místooblouku kružnice budeme uvažovat „zlom“ podle obr. 3b. V takovém případě k vý-počtu výšky stačí Pythagorova věta:

ℎmax =

√(𝑙

2

)2−(

𝑡

2

)2= 51,38 stop.

Dodejme, že jedna míle má v metrických jednotkách délku přibližně 1,6 km a náš vý-sledek odpovídá šestnácti metrům výšky. Tento výsledek je pro mnoho čtenářů nedělnípřílohy velmi překvapivý, protože se vzpírá intuici a „zdravému selskému rozumu“.

Nás však v tomto případě bude zajímat přesný výsledek, který by měl být o něcomenší než předchozí odhad. Profesor Acton nabádá čtenáře, aby se pokusili najít řešenís přesností alespoň na tři platné cifry, což by mělo být podle Actona možné pouzes tužkou, papírem a logaritmickým pravítkem.


Vrátíme se k obr. 3a. Pro výšku jistě platí

ℎ = 𝑟 − 𝑑 = 𝑟 − 𝑟 cos 𝜃

2 = 𝑟

(1 − cos 𝜃

2

). (3)

Zadané veličiny splňují

𝑡

2 = 𝑟 sin 𝜃

2 , (4)

𝑙 = 𝑟𝜃. (5)

Vydělením rovnice (4) rovnicí (5) obdržíme

sin 𝜃2

𝜃= 𝑡

2𝑙.

Rovnicisin 𝜃

2𝜃

− 𝑡

2𝑙= 0

vyřešíme Newtonovou metodou jednoduchým programem podobně jako v kapitole 2.Pro počáteční hodnotu 𝜃0 = 0,25 rad postačuje pět iterací, abychom dostali pět plat-ných cifer a máme 𝜃5 = 0,067 415 52 . . . . Vyjádřením 𝑟 z (4) nebo (5) a dosazenímdo (3) obdržíme ℎ ∼= 44,499 stop.

Pro popsanou úlohu lze odvodit i přibližné algebraické řešení. Pokusíme se vyjádřitproměnné 𝑟 a 𝜃 z rovnic (5) a (4) a dosadíme je do rovnice (3). Sinus na pravé straněrovnice (4) rozvineme v řadu a využijeme jen první dva členy (úhel 𝜃 bude podstatněmenší než jedna, takže pátou a všechny vyšší mocniny můžeme s klidným svědomímzanedbat):

𝑡 = 2𝑟 sin 𝜃

2∼= 2𝑟

(𝜃

2 −( 𝜃

2 )3

3!

).

Za 𝜃 dosadíme z rovnice (5) a dostaneme

𝑡 ∼= 𝑟

(𝑙

𝑟− 𝑙3

24𝑟3

),

odkud po úpravách plyne

𝑟 ∼=

√𝑙3

24(𝑙 − 𝑡) . (6)

Člen (𝑙−𝑡) můžeme buď vynechat, protože (𝑙−𝑡) = 1 stopa, nebo můžeme pro obecnostoznačit např. (𝑙 − 𝑡) = Δ𝑙. V prvním případě s využitím rovnice (5) dostaneme

𝜃 = 𝑙

𝑟∼=√

24𝑙

. (7)

Rovnici (3) upravíme s využitím přibližného vztahu cos 𝑥 ∼= 1 − 𝑥2

2 :

ℎ = 𝑟

(1 − cos 𝜃

2

)∼= 𝑟

𝜃2

8 .


Dosazením za 𝑟 a 𝜃 z rovnic (6) a (7) obdržíme finální tvar

ℎ ∼=√

𝑙3

24248𝑙

= 14

√6𝑙 = 44,501 stop,

což je pěkná shoda. Tento tvar (navíc s členem Δ𝑙 pod odmocninou) se nacházíi v encyklopedickém hesle [12], kde je však výsledkem podstatně složitějších úvah.

5. Závěr

Článek si kladl za cíl ukázat jednoduché modelové úlohy, které mohou být použity vevýuce numerických metod. Tyto úlohy jsou řešitelné pomocí běžných programovacíchjazyků nebo specializovanějších programů pro matematické výpočty.

Další náměty je možné najít např. v [7], kde jsou sice úlohy řešeny v prostředíCoach 5, které mělo nahradit program FAMULUS, nicméně uvedené algoritmy lzepoužít i v jiných programovacích jazycích.

Poděkování. Příspěvek vznikl za podpory specifického výzkumu PřF UHK2104/2017.

L i t e r a t u r a

[1] Acton, F. S.: Numerical methods that work. The Mathematical Association of America,Washington, DC, 1990.

[2] Angelaki, D. R.: Two-dimensional coding of linear acceleration and the angular velocitysensitivity of the otolith system. Biol. Cybernet. 67 (1992), 511–521.

[3] Diamond, J.: How cats survive falls from New York skyscrapers. Nat. Hist. 98 (1989),20–26.

[4] Grant, P., Haycock, B.: Effect of jerk and acceleration on the perception of motionstrength. J. Aircraft 45 (2008), 1190–1197.

[5] Mattern, M. Y., McLennan, D. A.: Phylogeny and speciation of felids. Cladistics 16(2000), 232–253.

[6] Studnička, F., Šlégr, J., Štegner, D.: Free fall of a cat — freshman physics exercise.Eur. J. Phys. 37 (2016) [online], DOI: 10.1088/0143-0807/37/4/045002.

[7] Šedivý, P.: Modelování fyzikálních dějů numerickými metodami [online]. Dostupné z:http://fyzikalniolympiada.cz/texty/modelov.pdf

[8] Šlégr, J.: Numerické řešení úloh z dynamiky [online]. Dostupné z:http://black-hole.cz/ditech07/

[9] Šlégr, J., Kraus, I.: Return trajectory of the SpaceShipTwo spacecraft–numerical so-lution. Phys. Educ. 47 (2012), 309–312.

[10] Vlach, M., Kyncl, Z.: Numerické výpočty. SPN, Praha, 1966.[11] Vnuk D., et al.: Feline high-rise syndrome: 119 cases. J. Feline Med. Surg. 6 (2004),

305–312.[12] Weisstein, E. W.: Railroad track problem [online]. Dostupné z:

http://mathworld.wolfram.com/RailroadTrackProblem.html

[13] Whitney, W. O., Mehlhaff, C. J.: High-rise syndrome in cats. J. Amer. Vet. Med.Assoc. 191 (1987), 1399–1403.


Bohatství pýthagorejských tvrzenívčetně Pýthagorovy věty pro čtyřii více bodů v prostoruJindřich Bečvář, Praha, Vlastimil Dlab, Bzí u Železného Brodu

Abstrakt. Článek ukazuje, jak lze prezentovat Pýthagorovu větu a jak je možno s její pomocíučinit výuku elementární matematiky zajímavou a přitažlivou. Toho lze dosáhnout objas-něním několika ekvivalentních formulací Pýthagorovy věty, jejím zobecněním pro libovolnýtrojúhelník a rozšířením na čtyřúhelník, resp. na čtyři, pět, či více bodů v prostoru.

Článek se pokouší usnadnit učitelům práci, která je často komplikována jak administra-tivou, tak didaktickou literaturou nejrůznější úrovně.

Velmi těžko bychom hledali někoho, kdo se ve škole nesetkal s Pýthagorovu větou1

nebo se na ni vůbec nepamatuje: V pravoúhlém trojúhelníku je 𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2.Málokdo se však již ve škole dočkal krásného příběhu, jehož hlavním hrdinou je

právě tato rovnost. Není úchvatné již to, že číselný vztah jednoduše vyplývá napříkladz podobnosti trojúhelníků? A což teprve, když se dozvíme, že pýthagorejská rovnostplatí pro každý trojúhelník, že obdobná rovnost existuje i pro čtyřúhelník a že máblízký vztah ke komplexním číslům. To jsme se na gymnáziu nedozvěděli! Mnohé z tohopřitom do výuky matematiky přirozeným způsobem patří.

Začněme přesnější formulací.

Věta 1 (Pýthagorova věta). Pro délky stran 𝑎 = |𝐵𝐶|, 𝑏 = |𝐶𝐴|, 𝑐 = |𝐴𝐵|trojúhelníku 𝐴𝐵𝐶 s pravým úhlem při vrcholu 𝐶 platí rovnost 𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2.

Důkaz. Jednoduchý důkaz (viz obrázek 1) bezprostředně plyne z podobnosti trojúhel-níků 𝐴𝐵𝐶, 𝐶𝐵𝐷 a 𝐴𝐶𝐷, kde 𝐷 je pata výšky z vrcholu 𝐶 na přeponu 𝐴𝐵. Potom je

𝑎

𝑐= 𝑐𝐵

𝑎,

𝑏

𝑐= 𝑐𝐴

𝑏, a tedy 𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐 · (𝑐𝐵 + 𝑐𝐴) = 𝑐2.

Připomeňme, že větu 1 lze snadno přeformulovat takto: V libovolném trojúhel-níku 𝐴𝐵𝐶 platí rovnost |𝐴𝐵|2 = |𝐵𝐶|2+|𝐶𝐴|2 právě tehdy, když je úhel při vrcholu 𝐶

1Pýthagorova věta je snad nejznámějším matematickým tvrzením. V evropské tradici je její objevi objev jejího důkazu připisován Pýthagorovi (6. stol. př. Kr.). Znění a důkaz tohoto teorému všakznáme až z Eukleidových Základů [7], které vznikly kolem roku 300 př. Kr. Připomeňme, že Pýthago-rovu větu znali již v 18. století př. Kr. v Mezopotámii; na hliněných tabulkách z té doby jsou zachycenyúlohy, které ji využívají. Rovněž staří Číňané počítali různé příklady pomocí Pýthagorovy věty předvíce než dvěma tisíci lety. Problém datace matematických znalostí ve staré Číně však bohužel narážína nedostatek dochovaných matematických textů.

Doc. RNDr. Jindřich Bečvář, CSc., Matematicko-fyzikální fakulta UK, Sokolov-ská 83, 186 75 Praha 8, e-mail: [email protected], prof. RNDr. VlastimilDlab, DrSc., F.R.S.C., Bzí 47, 468 22 Železný Brod, e-mail: [email protected]


pravý. To nastane právě tehdy, když jsou trojúhelníky 𝐴𝐶𝐷 a 𝐶𝐵𝐷, kde 𝐷 je patavýšky z vrcholu 𝐶 na přímku 𝐴𝐵, podobné.

Celá řada důkazů Pýthagorovy věty má charakter geometrických obrázků. Uve-deme tři takové ilustrace, které patří víceméně k důkazům „beze slov“. První z nichznali již ve staré Číně. Na obrázku 2 jsou trojúhelníky 𝐴𝐵𝐶, 𝐶2𝐴𝑌 , 𝐵𝐶1𝑋, 𝐵2𝐴2𝐶a 𝐴2𝐵2𝑍 shodné. Proto jsou pětiúhelníky 𝐶2𝐶1𝑋𝐶𝑌 a 𝐴𝐵𝐴1𝑍𝐵1 shodné. Odtudsnadno vyplývá platnost Pýthagorovy věty.

Obr. 1

Obr. 2

Připomeňme ještě důkaz, jehož autorem je Leonardo da Vinci (viz obrázek 3).Trojúhelníky 𝐴𝐵𝐶, 𝐶1𝐶2𝑍, 𝐶1𝐵𝑋, 𝐴𝐶2𝑌 a 𝐵2𝐴2𝐶 jsou shodné. Proto jsou čtyř-úhelníky 𝐶𝐴𝐶2𝑍 a 𝐵1𝐴𝐵𝐴1 shodné (rotace o 90∘ kolem bodu 𝐴). Stejně tak jsoučtyřúhelníky 𝐴1𝐴2𝐵2𝐵1 a 𝐶𝐵𝐶1𝑍 shodné (osová souměrnost podle osy 𝐴1𝐵1 a rotaceo 90∘ kolem bodu 𝐵). Obsahy šestiúhelníků 𝐴𝐶2𝑍𝐶1𝐵𝐶 a 𝐵1𝐴𝐵𝐴1𝐴2𝐵2 se tedyrovnají, a odtud tvrzení Pýthagorovy věty ihned vyplývá.

Připojme ještě neformální důkaz Pýthagorovy věty založený na dělení obrazců,který byl patrně známý již ve staré Číně (viz obrázek 4). Označme písmenem 𝑍 středčtverce 𝐴𝐶𝐵2𝐵1, který je co do velikosti obsahu „prostřední“, a rozdělme jej na čtyřishodné čtyřúhelníky — jedna dělící úsečka je rovnoběžná s přeponou 𝐴𝐵, druhá je nani kolmá. Ostatní je jasné z obrázku.


Obr. 3 Obr. 4

Obr. 5

V článku [5] je ukázáno, že z Pýthagorovy věty snadno plyne následující věta2:

Věta 2 (rovnoběžníková rovnost). Nechť 𝐴𝐵𝐶𝐷 je rovnoběžník o stranách 𝑎, 𝑏a úhlopříčkách 𝑢, 𝑣. Potom je 2𝑎2 + 2𝑏2 = 𝑢2 + 𝑣2.

Důkaz. Zřejmě je (viz obrázek 5)

𝑏2 = |𝐵𝐹 |2 + |𝐶𝐹 |2, 𝑢2 = (𝑎 + |𝐵𝐹 |)2 + |𝐶𝐹 |2, 𝑣2 = (𝑎 − |𝐵𝐹 |)2 + |𝐶𝐹 |2,

a tedy 𝑢2 + 𝑣2 = 2𝑎2 + 2𝑏2.

Rovněž větu 2 můžeme formulovat jako ekvivalenci: Čtyřúhelník 𝐴𝐵𝐶𝐷 je rovno-běžník právě tehdy, když je 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 + 𝑑2 = 𝑢2 + 𝑣2.

2Tato věta se za starých časů objevovala v učebnicích pro základní a střední školy. Dnes ji spíšenajdeme ve vysokoškolských učebnicích lineární algebry či funkcionální analýzy (parallelogram law).Viz např. [1, s. 364], resp. [14, s. 7].


Výše zmíněný článek [5] navíc ukazuje, že z Pýthagorovy věty snadno plyne i větaAl-Kashiho, známá jako věta kosinová.3 Z kosinové věty a stejně tak i z věty 2 triviálněvyplývá věta Pýthagorova, proto jsou tyto tři věty ekvivalentní.4 K tvrzením, kterájsou ekvivalentní s Pýthagorovou větou, patří i tzv. Apollóniova věta.

Věta 3 (Apollóniova věta). Pro těžnici 𝑡𝑐 z vrcholu 𝐶 trojúhelníku 𝐴𝐵𝐶 je

𝑎2 + 𝑏2 = 12𝑐2 + 2𝑡2

𝑐 .

Dalším tvrzením, které můžeme zahrnout mezi pýthagorejská tvrzení, je následujícívztah pro výšku v obecném trojúhelníku.

Obr. 6

Věta 4. V trojúhelníku 𝐴𝐵𝐶 označme písmenem 𝐷 patu výšky spuštěné z vrcholu 𝐴na přímku 𝐵𝐶. Nechť 𝐸 je střed úsečky 𝐵𝐷 a 𝐹 střed úsečky 𝐴𝐶. Potom platí rovnost|𝐴𝐷|2 = 4|𝐸𝐹 |2 − |𝐵𝐶|2.

Důkaz. Důkaz lze snadno vyčíst z obrázku 6. Zřejmě je |𝐻𝐷| = |𝐵𝐶|, |𝐸𝐹 | = |𝐹𝐺| == 1/2|𝐴𝐻|. Nyní stačí užít Pýthagorovu větu pro trojúhelník 𝐴𝐷𝐻.5

V pýthagorejských tvrzeních můžeme pokračovat. Uveďme ještě obrázek 7, na němžjsou dva podobné obdélníky s rovnoběžnými stranami. Podle věty 3 je

|𝐴𝑉 |2 + |𝐶𝑉 |2 = |𝐵𝑉 |2 + |𝐷𝑉 |2, a tedy |𝐴𝐴1|2 + |𝐶𝐶1|2 = |𝐵𝐵1|2 + |𝐷𝐷1|2.

Nyní již přistoupíme k hlavnímu tématu našeho příspěvku, jehož cílem je hlubšíporozumění problematice Pýthagorovy věty. Domníváme se, že přirozeným zobecněnímklasické formulace je následující tvrzení týkající se libovolného trojúhelníku, které jeilustrované obrázkem 8.

Je těžko pochopitelné, že takový obrázek nelze najít v žádné učebnici, ani v žádnépublikaci týkající se Pýthagorovy věty (viz např. [13]). A přitom je to právě takovátoformulace, která osvětluje podstatu, tj. jádro pýthagorejských tvrzení.

3Článek [5] byl publikován jako odpověď na příspěvek [8], jehož autor nepochopil, že užití věty,která obsahuje poměrně náročné pojmy (úhel a goniometrická funkce), nejen že není vhodné, aledokonce zakrývá podstatu řešené úlohy.

4Některé z těchto ekvivalencí mohou překvapit, či dokonce zaskočit a zmást. Například autorpříspěvku [11], který se nejprve pokusil s článkem [5] polemizovat, vzápětí přiznal svůj omyl (viz [12]).Autor článku [9] naproti tomu ekvivalenci Pýthagorovy věty a kosinové věty „odsouhlasil“, současněvšak prokázal neporozumění jednomu z nejdůležitějších matematických pojmů, pojmu ekvivalence,což následujícím příspěvkem [10] ještě potvrdil. Příspěvky [9] a [10] byly kritizovány v článku [2]a v neotištěném článku [3].

5Laskavý čtenář nechť si rozmyslí, jak se změní obrázek 6 (a důkaz), když je úhel 𝐴𝐶𝐵 tupýa bod 𝐸 leží na úsečce 𝐵𝐶, resp. mimo ni.


Obr. 7

Obr. 8

Věta 5 (Pýthagorova věta pro libovolný trojúhelník). Nechť 𝐴𝐵𝐶 je libovolnýtrojúhelník, |𝐴𝐵| = 𝑐, |𝐵𝐶| = 𝑎, |𝐶𝐴| = 𝑏. Jestliže je 𝐷 patou výšky spuštěnéz bodu 𝐴, |𝐵𝐷| = 𝑎𝐵 , |𝐶𝐷| = 𝑎𝐶 , potom je

𝑐2 + 𝑎2𝐶 = 𝑏2 + 𝑎2

𝐵 .

Důkaz. Podle Pýthagorovy věty pro trojúhelníky 𝐴𝐵𝐷 a 𝐴𝐶𝐷 na obrázku 8 je

𝑐2 = 𝑎2𝐵 + 𝑣2 = 𝑎2

𝐵 + 𝑏2 − 𝑎2𝐶 , a tedy 𝑐2 + 𝑎2

𝐶 = 𝑏2 + 𝑎2𝐵 .

(Přičteme-li k oběma stranám 𝑎𝐵 · 𝑎𝐶 , dostaneme rovnost 𝑐2 + 𝑎 · 𝑎𝐶 = 𝑏2 + 𝑎 · 𝑎𝐵 ,která je názorně vidět na obrázku 8.)


Obr. 9

Pokud by byl úhel 𝐵𝐶𝐴 tupý, změní se předchozí postup jen nepatrně:

𝑐2 = 𝑎2𝐵 + 𝑣2 = 𝑎2

𝐵 + 𝑏2 − 𝑎2𝐶 , a tedy 𝑐2 + 𝑎2

𝐶 = 𝑏2 + 𝑎2𝐵 .

(Odečteme-li od obou stran 𝑎𝐵 · 𝑎𝐶 , dostaneme rovnost 𝑐2 − 𝑎 · 𝑎𝐶 = 𝑏2 + 𝑎 · 𝑎𝐵 .)

Uvědomme si, že pokud body 𝐶 a 𝐷 splynou, dostaneme klasickou Pýthagorovuvětu, neboť 𝑎𝐶 = 0 a 𝑎𝐵 = 𝑎. Věta 5 je tedy rovněž ekvivalentní s Pýthagorovouvětou.

Poznamenejme, že důkaz rovnosti 𝑐2+𝑎·𝑎𝐶 = 𝑏2+𝑎·𝑎𝐵 lze v případě, že úhel 𝐵𝐶𝐴je ostrý, snadno nahlédnout pomocí obrázku 9. Na něm mají obdélníky značené Istejný obsah, totéž platí pro obdélníky II a pro obdélníky III. Důkaz je založen naskutečnosti, že obsahy trojúhelníků 𝐵𝑃𝐷, 𝐵𝑃𝐴, 𝐵𝑄𝐶 a 𝐵𝑄𝐹 jsou stejné. Myšlenkatohoto důkazu je převzata z důkazu Pýthagorovy věty v Eukleidových Základech [7],viz 47. věta první knihy. Pokud je úhel 𝐵𝐶𝐴 tupý, lze obdobným způsobem dokázatrovnost 𝑐2 − 𝑎 · 𝑎𝐶 = 𝑏2 + 𝑎 · 𝑎𝐵 .

Nyní přicházíme k samému jádru tohoto článku, totiž k větě o čtyřúhelníku, kterázahrnuje všechny výše uvedené pýthagorejské formulace jako speciální případy. Součas-ně nás tím opravňuje nazývat ji Pýthagorova věta pro čtyřúhelník. Je pouhou geomet-rickou interpretací následující rovnosti mezi komplexními čísly 𝛼, 𝛽, 𝛾, 𝛿 a příslušnýmičísly sdruženými:

(𝛼 − 𝛽)(𝛼 − 𝛽) + (𝛽 − 𝛾)(𝛽 − 𝛾) + (𝛾 − 𝛿)(𝛾 − 𝛿) + (𝛿 − 𝛼)(𝛿 − 𝛼) == (𝛼 − 𝛾)(𝛼 − 𝛾) + (𝛽 − 𝛿)(𝛽 − 𝛿) + (𝛼 − 𝛽 + 𝛾 − 𝛿)(𝛼 − 𝛽 + 𝛾 − 𝛿).

Interpretace elementární rovinné eukleidovské geometrie pomocí komplexních číselje účinným nástrojem (viz např. [6]), který bohužel není ve středoškolské matematice


dostatečně zdůrazňován a využíván. Interpretujeme-li v předchozí rovnosti komplexníčísla 𝛼, 𝛽, 𝛾, 𝛿 jako body Argandovy–Gaussovy roviny, dostáváme ihned následujícívětu.

Věta 6 (Pýthagorova věta pro obecný čtyřúhelník). Nechť 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 jsou čtyři(ne nutně různé) body v rovině. Nechť 𝐾 je střed úsečky 𝐴𝐶 a 𝐿 střed úsečky 𝐵𝐷.Potom je

|𝐴𝐵|2 + |𝐵𝐶|2 + |𝐶𝐷|2 + |𝐷𝐴|2 = |𝐴𝐶|2 + |𝐵𝐷|2 + 4|𝐾𝐿|2.

Poznamenejme, že věta 6 pokrývá tři různé situace zachycené na následujícíchobrázcích.

Obr. 10 Obr. 11 Obr. 12

Tvrzení věty 6 se týká obrázku 10, rovnost

|𝐴𝐵|2 + |𝐵𝐷|2 + |𝐶𝐷|2 + |𝐴𝐶|2 = |𝐵𝐶|2 + |𝐴𝐷|2 + 4|𝑀𝑁 |2

odpovídá obrázku 11 a rovnost

|𝐴𝐶|2 + |𝐵𝐶|2 + |𝐵𝐷|2 + |𝐴𝐷|2 = |𝐴𝐵|2 + |𝐶𝐷|2 + 4|𝑃𝑄|2

se týká obrázku 12. Kombinací těchto rovností dostáváme nové identity. Napříkladsečtením posledních dvou obdržíme rovnost

|𝐴𝐶|2 + |𝐵𝐷|2 = 2 ·(|𝑀𝑁 |2 + |𝑃𝑄|2

).

To vše je znázorněno na obrázku 13, který ilustruje vzájemně jednoznačný vztah mezičtyřúhelníky a „jehlany“ s rovnoběžníkovou podstavou.6

V daném čtyřúhelníku 𝐴𝐵𝐶𝐷 tvoří středy úseček 𝐴𝐷, 𝐵𝐷, 𝐵𝐶, 𝐴𝐶 a 𝐶𝐷„jehlan“ s rovnoběžníkovou podstavou 𝑀𝐿𝑁𝐾 a vrcholem 𝑄. Snadno se přesvědčíme,že se jedná o vzájemně jednoznačnou korespondenci mezi čtyřúhelníky na jedné straněa „jehlany“ s rovnoběžníkovou podstavou na straně druhé. Tento vztah (zachycený naobrázku 13) poskytuje transparentní návod, jak z výše uvedených rovností týkajícíchse obrázků 10, 11, 12 odvozovat další. Bezprostředně nahlédneme, že například podlevěty 6 užité na čtyřúhelník 𝐴𝐵𝐶𝐷 a rovnoběžník 𝑀𝑃𝑁𝑄

|𝐴𝐵|2 + |𝐵𝐶|2 + |𝐶𝐷|2 + |𝐷𝐴|2 = 2(|𝑀𝑁 |2 + |𝑃𝑄|2

)+ 4|𝐾𝐿|2 =

= 4(|𝑀𝑃 |2 + |𝑃𝑁 |2 + |𝐾𝐿|2

).

6S jistou nadsázkou hovoříme o „jehlanu“, i když všechny jeho vrcholy leží v rovině.


Obr. 13

Obrázek 13 též naznačuje alternativní důkaz věty 6 užitím Apollóniovy věty protrojúhelníky 𝐴𝐵𝐶, 𝐴𝐶𝐷 a 𝐵𝐷𝐾, kdy se jen sečtou příslušné rovnosti.

Podotkněme ještě, že všechny tyto rovnosti jsou ekvivalentní s Pýthagorovou větoua že v případě, kdy je v obrázku 13 úhel 𝐴𝐶𝐵 pravý a body 𝐷 a 𝑄 splývají s bodem 𝐶(a tedy |𝑃𝑄| = 1

2 |𝐴𝐵|), dostáváme užitím rovnosti

|𝐴𝐶|2 + |𝐵𝐶|2 + |𝐵𝐷|2 + |𝐴𝐷|2 = |𝐴𝐵|2 + |𝐶𝐷|2 + 4|𝑃𝑄|2

klasický vztah|𝐴𝐵|2 = |𝐵𝐶|2 + |𝐶𝐴|2.

Rovnost uvedená ve větě 6 byla ověřena pomocí komplexních čísel. Uvědomme si,že ji bylo možno dokázat dosazením vzdáleností bodů 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐾 a 𝐿 vyjádřenýchkartézskými souřadnicemi v eukleidovské rovině. Jedná se o rovnost reálných čísel

(𝑎 − 𝑏)2 + (𝑏 − 𝑐)2 + (𝑐 − 𝑑)2 + (𝑑 − 𝑎)2 = (𝑎 − 𝑐)2 + (𝑏 − 𝑑)2 + (𝑎 − 𝑏 + 𝑐 − 𝑑)2,

kterou užijeme dvakrát — pro první i druhé souřadnice uvažovaných bodů. Odtudvyplývá, že rovnost uvedená ve větě 6 platí v libovolném konečnědimenzionálním eu-kleidovském prostoru.

Věta 7 (Pýthagorova věta pro čtyři body v eukleidovském prostoru). Nechť𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 jsou (ne nutně různé) body v konečnědimenzionálním eukleidovském pro-storu a 𝐾, 𝐿 jsou středy úseček 𝐴𝐶 a 𝐵𝐷. Potom je

|𝐴𝐵|2 + |𝐵𝐶|2 + |𝐶𝐷|2 + |𝐷𝐴|2 = |𝐴𝐶|2 + |𝐵𝐷|2 + 4|𝐾𝐿|2.

Je zjevné, že platí rovněž všechny rovnosti uvedené za větou 6. Formulace věty 7dává ihned možnost rozšířit pýthagorejské vztahy pro libovolný počet bodů. Uvedemepříslušná tvrzení pro pět a šest bodů s příslušnými obrázky (obrázky 14 a 15).


Obr. 14

Obr. 15

Věta 8 (Pýthagorova věta pro pět bodů v eukleidovském prostoru). Nechť𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐸 jsou (ne nutně různé) body konečnědimenzionálního eukleidovskéhoprostoru. Nechť 𝑃 , 𝑄, 𝑅, 𝑆, 𝑇 jsou po řadě středy úseček 𝐴𝐶, 𝐵𝐷, 𝐶𝐸, 𝐷𝐴, 𝐸𝐵.Potom je

3(|𝐴𝐵|2 + |𝐵𝐶|2 + |𝐶𝐷|2 + |𝐷𝐸|2 + |𝐸𝐴|2

)= |𝐴𝐶|2 + |𝐵𝐷|2 + |𝐶𝐸|2+

+|𝐷𝐴|2 + |𝐸𝐵|2 + 4(|𝑃𝑄|2 + |𝑄𝑅|2 + |𝑅𝑆|2 + |𝑆𝑇 |2 + |𝑇𝑃 |2

).

Tuto rovnost získáme bezprostředním užitím věty 7 na „čtyřúhelníky“ 𝐴𝐵𝐶𝐷,𝐴𝐵𝐶𝐸, 𝐴𝐵𝐷𝐸, 𝐴𝐶𝐷𝐸 a 𝐵𝐶𝐷𝐸: sečteme příslušné rovnosti vyplývající z věty 7.

Stejně jako dříve můžeme vyjádřit rovnost z věty 8 v různých variacích. Napříkladsoučet čtverců délek úhlopříček, tj. součet |𝐴𝐶|2 + |𝐵𝐷|2 + |𝐶𝐸|2 + |𝐷𝐴|2 + |𝐸𝐵|2,lze snadno nahradit čtyřnásobkem součtu |𝐺𝐻|2 + |𝐻𝐾|2 + |𝐾𝐿|2 + |𝐿𝑀 |2 + |𝑀𝐺|2,kde body 𝐺, 𝐻, 𝐾, 𝐿, 𝑀 jsou středy úseček 𝐴𝐵, 𝐵𝐶, 𝐶𝐷, 𝐷𝐸, 𝐸𝐴. Tedy trojnásobek


Obr. 16

součtu čtverců nad stranami „pětiúhelníku“ 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸 je roven čtyřnásobku součtučtverců nad stranami „pětiúhelníků“ 𝑃𝑄𝑅𝑆𝑇 a 𝐺𝐾𝐿𝑀𝑁 .7

Formulace pýthagorejského tvrzení pro šest bodů je podobná. Jestliže v daném„šestiúhelníku“ 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 (viz obrázek 15) užijeme větu 7 pro „čtyřúhelníky“ 𝐴𝐵𝐶𝐷,𝐴𝐵𝐶𝐹 , 𝐴𝐵𝐸𝐹 , 𝐴𝐷𝐸𝐹 , 𝐵𝐶𝐷𝐸 a 𝐶𝐷𝐸𝐹 , dostaneme ihned následující větu.

Věta 9 (Pýthagorova věta pro šest bodů v eukleidovském prostoru). Nechť𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐸, 𝐹 jsou (ne nutně různé) body konečnědimenzionálního eukleidovskéhoprostoru. Nechť 𝑃 , 𝑄, 𝑅, 𝑆, 𝑈 , 𝑉 jsou po řadě středy úseček 𝐴𝐶, 𝐵𝐷, 𝐶𝐸, 𝐷𝐹 ,𝐸𝐴, 𝐹𝐵. Potom je

3(|𝐴𝐵|2 + |𝐵𝐶|2 + |𝐶𝐷|2 + |𝐷𝐸|2 + |𝐸𝐹 |2 + |𝐹𝐴|2

)+ 2

(|𝐴𝐷|2 + |𝐵𝐸|2 + |𝐶𝐹 |2

)=

= 2(|𝐴𝐶|2 + |𝐵𝐷|2 + |𝐶𝐸|2 + |𝐷𝐹 |2 + |𝐸𝐴|2 + |𝐹𝐵|2

)+

+ 4(|𝑃𝑄|2 + |𝑄𝑅|2 + |𝑅𝑆|2 + |𝑆𝑈 |2 + |𝑈𝑉 |2 + |𝑉 𝑃 |2

).

Rovnost uvedenou ve větě 9 můžeme opět nejrůznějším způsobem modifikovat.Poměrně zajímavou rovnost ukazuje obrázek 16: Součet čtverců nad stranami „šesti-úhelníku“ 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 je roven součtu čtverců nad stranami „šestiúhelníku“ 𝑃𝑄𝑅𝑆𝑈𝑉a trojúhelníků 𝑋𝑌 𝐾, 𝑌 𝑍𝐿 a 𝑍𝑋𝑀 . Přitom jsou body 𝑋, 𝑌, 𝑍, 𝐾, 𝐿, 𝑀 středy úse-ček 𝐴𝐷, 𝐵𝐸, 𝐶𝐹 , 𝐷𝐸, 𝐵𝐶, 𝐹𝐴.

Odvození řady dalších ekvivalentních rovností přenecháváme laskavému čtenáři,který — v případě, že se jedná o rovinný pětiúhelník či šestiúhelník — může tytorovnosti přeložit do řeči komplexních čísel.

Závěrem si nemůžeme odpustit uvést krásný důsledek věty 2 (viz obrázek 17) po-ukazující jednak na význam blízkého vztahu mezi trojúhelníky a rovnoběžníky, jednakna zbytečné používání kosinové věty, které často zakrývá podstatu problému a bráníplnému porozumění (viz [4] a [8]).

7Opět zde s jistou nadsázkou hovoříme o čtyřúhelnících, pětiúhelnících a šestiúhelnících, i kdyžjejich vrcholy nemusí ležet v rovině.


Obr. 17

Věta 10. Nechť 𝐴𝐵𝐶 je libovolný trojúhelník a 𝐴𝐵𝐶1𝐶2, 𝐵𝐶𝐴1𝐴2 a 𝐶𝐴𝐵1𝐵2čtverce nad jeho stranami. Potom

|𝐴1𝐵2|2 + |𝐵1𝐶2|2 + |𝐶1𝐴2|2 = 3(|𝐴𝐵|2 + |𝐵𝐶|2 + |𝐶𝐴|2).

Důkaz. Protože je (viz obrázek 17)

∠𝐴1𝐶𝐵2 + ∠𝐴𝐶𝐵 = ∠𝐵1𝐴𝐶2 + ∠𝐵𝐴𝐶 = ∠𝐶1𝐵𝐴2 + ∠𝐶𝐵𝐴 = 180∘,

jsou rovnoběžníky 𝐴𝐹2𝐵𝐶 a 𝐶𝐴1𝐹1𝐵2 shodné. Shodné jsou i rovnoběžníky 𝐵𝐷2𝐶𝐴a 𝐴𝐵1𝐷1𝐶2 a rovněž rovnoběžníky 𝐶𝐸2𝐴𝐵 a 𝐵𝐶1𝐸1𝐴2. Podle věty 2 je

|𝐵𝐶|2 + |𝐵1𝐶2|2 = 2(|𝐴𝐵|2 + |𝐴𝐶|2

),

|𝐴𝐶|2 + |𝐶1𝐴2|2 = 2(|𝐴𝐵|2 + |𝐵𝐶|2

),

|𝐴𝐵|2 + |𝐴1𝐵2|2 = 2(|𝐴𝐶|2 + |𝐵𝐶|2

).

Sečtením dostáváme výsledek. Všimněme si, že trojúhelníky 𝐴1𝐵2𝐶, 𝐵1𝐶2𝐴 a 𝐶1𝐴2𝐵mají stejný obsah jako trojúhelník 𝐴𝐵𝐶.


L i t e r a t u r a

[1] Bečvář, J.: Lineární algebra. Matfyzpress, Praha, 2000.[2] Bečvář, J.: Několik poznámek o ekvivalenci matematických vět. Učitel matematiky 19

(2011), 165–171.[3] Bečvář, J.: Eristické ekvivalence F. Kuřiny [online], [cit. 19. 10. 2017]. Dostupné z:

http://class.pedf.cuni.cz/NewSUMA/Default.aspx?ClanekID=200

[4] Dlab, V.: Důkladné porozumění elementární matematice. Učitel matematiky 17 (2009),169–182.

[5] Dlab, V.: Důkladné porozumění pojmu ekvivalence. Učitel matematiky 19 (2010), 9–13.[6] Dlab, V., Bečvář, J.: Od aritmetiky k abstraktní algebře. Serifa, Praha, 2016.[7] Eukleidovy Základy (Elementa). Přeložil František Servít. Jednota českých mathema-

tiků, Praha, 1907.[8] Kuřina, F.: Chvála „biflování“. Učitel matematiky 18 (2009), 49–52.[9] Kuřina, F.: O vyjadřování v matematice. Učitel matematiky 19 (2011), 95–98.

[10] Kuřina, F.: Ekvivalence (č. j.) nebo ekvivalence (č. mn.)? Učitel matematiky 20 (2011),30–32.

[11] Leischner, P.: Silvestrovské rozjímání o ekvivalenci geometrických vět. Učitel matema-tiky 19 (2011), 89–94.

[12] Leischner, P.: Omluva. Učitel matematiky 19 (2011), 163–164.[13] Maor, E.: The Pythagorean theorem. Princeton University Press, Princeton, 2007.[14] Saxe, K.: Beginning functional analysis. Springer, New York–Berlin–Heidelberg, 2002.


Pythagoras, Pytagoras, nebo Pythagoras?

Zdenek Halas, Praha

Abstrakt. Jak cıst a psat jmena antickych matematiku? V prıspevku jsou strucne shrnutyduvody, proc pri prepisu staroreckych slov vyznacovat vsechny delky. To je obvykle v odbor-nych textech zabyvajıcıch se antikou, mezi nez se radı i texty z dejin matematiky. Jelikozjsou takoveto prepisy casto odlisne od tvaru nabızenych laicke verejnosti v slovnıkove castiPravidel, uvadıme nektere vyhody, ktere prepisy s vyznacenymi delkami prinasejı (napr. jepak zrejme, jak tato slova spravne vyslovovat). Na zaver je pripojen seznam jmen vybranychantickych matematiku s vyznacenymi delkami vcetne 2. padu kvuli spravnemu sklonovanı.

Jak je tomu v Pravidlech?

Podle Pravidel ceskeho pravopisu je mozno psat vse kratce: Pythagoras, Archimedes,

Thales, Eukleides, . . . , viz tez [2]. Tyto jednoduche podoby urcene zejmena laickeverejnosti jsou uvedeny ve slovnıkove casti nekterych vydanı Pravidel. V nı vsak nejsouuvedeny vsechny prıpustne moznosti, navıc obsahuje jen velmi maly vyber z beznepouzıvanych antickych jmen. Skolnı vydanı [3] se dokonce omezuje jen na spojenıbezna ve skolske matematice a fyzice: pythagorejsky trojuhelnık, Pythagorova veta,

Archimeduv zakon, Thaletova veta, Euklidova i Eukleidova veta.

Je treba si uvedomit, ze Pravidla jsou v prostredı mimo skolu pouze prıruckoudeskriptivnı, nikoli preskriptivnekodifikacnı. V soucasne dobe je navıc vydavano vıceprırucek s nazvem Pravidla ceskeho pravopisu od ruznych autoru. I kdyz majı vetsinoudolozku MSMT, mohou se navzajem obsahove lisit. Preskriptivnekodifikacnı platnostpro skolnı prostredı majı pouze Pravidla ceskeho pravopisu [3], jejichz autory jsoupracovnıci Ustavu pro jazyk cesky AV CR.

Jak vznikajı Pravidla? Zjednodusene muzeme rıci, ze poucenym pozorovanım ja-zykove praxe. Sami tedy mame vliv na to, jak se bude obsah Pravidel vyvıjet.

Pro psanı odbornych textu existuje deskriptivnekodifikacnı prırucka [5]1, v nızse doporucuje prepisovat v odbornych textech jmena a geograficke nazvy pochazejıcız jazyku, ktere neuzıvajı latinku, dle zavedenych transliteracnıch nebo transkripcnıchpravidel. Znaky ceske abecedy by pritom mely priblizne vystihovat jejich puvodnıvyslovnost, viz [5, kap. 6.2.1, s. 57]. U rectiny to znamena, ze muzeme respekto-vat kvantitu vokalu, tj. prepisovat recka jmena vcetne vyznacenych delek. Lze tedydodrzovat spravne delky nejen ve vyslovnosti, ale i v pısmu.

1Cılem teto prırucky tedy nenı predepisovat, jak jazyk uzıvat, ale popsat co nejpresneji aktualnı

jazykovou normu a na zaklade tohoto popisu poskytnout doporucenı a rady tem, kdo chtejı tuto normu

respektovat. Viz str. 496.

Mgr. Zdenek Halas, DiS., Ph.D., Matematicko-fyzikalnı fakulta UK, Sokolovska 83,186 75 Praha 8, e-mail: [email protected]

Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, rocnık 62 (2017), c. 4 295

Pouzıvajı se nekde prepisy s vyznacenymi delkami?

V nekterych oborech je pouzıvanı prepisu reckych jmen s vyznacenymi delkami napros-tou samozrejmostı. Naprıklad v klasicke filologii je prepis bez vyznacenych delek temernemyslitelny. Velmi pekne je o tom pojednano v prıloze venovane prepisu reckych jmenv ucebnici [1], jez je v soucasne dobe zakladnım textem vychovavajıcım nejen klasickefilology, ale i ty, jejichz obory majı vyznamnejsı stycne plochy s antikou.

Prepisy reckych jmen s korektne vyznacenymi kvantitami se pouzıvajı i v oborech,ktere se hloubeji zabyvajı nekterym z aspektu anticke kultury ci vedy, naprıklad vefilozofii, divadelnı vede ci historii matematiky. V ramci dejin matematiky vychazıuz ctvrt stoletı odborna edice Dejiny matematiky2 (vyslo vıce nez 60 svazku), v nızjsou delky u antickych jmen systematicky a spravne vyznacovany (napr. Pythagoras,

Eukleides, Archimedes, Thales, . . . ). Lze tedy rıci, ze v dejinach matematiky je zvykemuzıvat v odbornych textech prepisy reckych jmen s vyznacenymi delkami.

Otazka spravne vyslovnosti

Jak majı lide spravne vyslovovat recka jmena psana zcela bez delek? Jak ma zejmenamladez vedet, jak anticka jmena spravne vyslovovat, nejsou-li delky psany soustavnea spravne? Zde narazıme na problem: vetsinou necteme prısne kratce Pythagoras

ci Archimedes dle podoby uvedene v slovnıkove casti Pravidel. Pokud tedy delkynepıseme, tak odsuzujeme ctenare k tomu, ze si delku nekde primyslı, aby se muanticka jmena dobre vyslovovala. Bohuzel casto chybne.

Zejmena v ucebnicıch a popularizacnıch textech by se proto melo na psanı sprav-nych delek dbat, aby ctenari nezıskavali chybne povedomı o antickych jmenech pouzez vlastnı improvizovane vyslovnosti. Jsme-li schopni psat anticka jmena korektne s vy-znacenım delek, meli bychom tak z vychovnych duvodu take cinit.

Jsou delky v prepisu skutecne prepisem recke delky, nebo jen prızvuku?

Ano, jsou prepisem recke delky, nikoli reckych prızvuku, ktere v dnesnı dobe zpravidlanecteme. Uved’me si prıklad nekolika reckych jmen.

• Πυθαγόρας (Pythagoras): prızvuk je nad pısmenem”ο“, ve vyslovnosti se vsak

nijak neprojevı. Kvantity jsou ve slovnıcıch (napr. [4]) vyznaceny specialnımiznackami: Πυθαγόρας,3 spravna vyslovnost je tedy Pythagoras. Navıc je trebavyslovovat

”th“ (

”θ“, theta), ne pouhe

”t“ (

”τ“, tau), vyslovnost Pytagoras je

tedy chybna.

2Seznam monografiı vydanych v teto edici je dostupny na strancehttps://www.fd.cvut.cz/personal/becvamar/Edice/Edice.htm. Dıky projektu Czech Di-

gital Mathematics Library jsou dostupne take elektronicke verze vetsiny svazku edice:https://dml.cz/handle/10338.dmlcz/400597.

3Ve slovnıcıch a gramatikach se nekdy vyznacuje vyslovnost dlouha (α,”

a“) a kratka (α,”

a“).Ve starorectine je samohlaska a dvojhlaska na zacatku slova opatrena tzv. prıdechem: prıdechjemny (ἀ,

”a“) necteme, prıdech ostry (ἁ,

”ha“) cteme jako

”h“. Prızvuky jsou ve starorectine

tri: ostry (ά,”

a“) a tezky (ὰ,”

a“) necteme, samohlaska opatrena prutaznym prızvukem (ᾶ,”

a“) jedlouha, cteme ji tedy dlouze.

296 Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, rocnık 62 (2017), c. 4

• Θαλῆς (Thales): pısmeno”η“ oznacuje dlouhe e (eta). Ve slovnıku je uvedeno:

Θαλῆς, tj. s oznacenım kratkeho”

a“. Vyslovnost Thales (ci dokonce Tales) jetedy chybna.

• Εὐκλείδης (Eukleides): prızvuk nad dvojhlaskou”ει“ necteme; pısmeno

”η“ uz

samo oznacuje dlouhe e (eta), narozdıl od kratkeho e (”ε“, e psılon).

• Αρχιμήδης (Archimedes): vyslovnost Archimedes je evidentne chybna, obe po-slednı samohlasky jsou dlouha

”e“ (

”η“, eta). Ze slovnıkoveho tvaru plyne, ze

”i“ je kratke: Αρχιμήδης (Archimedes).

• ῞Ηρων (Heron): velke pısmeno”Η“ oznacuje dlouhe e (eta); navıc je opatreno

ostrym prıdechem, ktery cteme jako h, a ostrym prızvukem, jenz se ve vyslovnostineprojevı. Pısmeno

”ω“ oznacuje dlouhe o (o mega).

Pro zjistenı zapisu techto jmen se spravne vyznacenymi kvantitami vsak nenı potrebapracovat s reckym slovnıkem [4], zcela postacuje Encyklopedie antiky [6].

Samostatnym prıpadem je recke sluvko λῆμμα (lemma, 2. pad lemmatu, strednıhorodu), ktere znamena vytezek, to, co je prijato, v matematice pak pomocne tvrzenızprehlednujıcı dukaz. Opet si vsimneme pısmene

”η“, jez oznacuje dlouhe e (eta).

Euklidovsky, nebo eukleidovsky?

Prepis reckeho jmena Εὐκλείδης je Eukleides. V planimetrii tedy dokazujeme Euklei-dovy vety, zabyvame se eukleidovskou geometriı, pouzıvame paty Eukleiduv postulat,pocıtame vzdalenosti podprostoru eukleidovskeho prostoru.

Zadame-li heslo Euklides v [2], zadany retezec nebude nalezen, narozdıl od tvaruEukleides. Podoba Euklides vychazı z latinskeho prepisu reckeho Eukleides. Takoveprepisy byly zalozeny na recke vyslovnosti. Jenze v dobe, kdy se zacaly recke spisyprekladat do latiny, uz recka vyslovnost prosla mnoha zmenami, naprıklad dvojhlas-ka

”ει“ (ei) se zacala vyslovovat jako uzke

”i“. Tak vznikla latinska podoba Euclides

(cteme Euklıdes). Z latiny pak presel tento prepis i do cestiny. Dnes vsak nenı duvodpouzıvat pro recke jmeno latinskeho prepisu.

Kde zjistıme spravne delky?

Pro spravne psanı delek existuje v cestine spolehlivy slovnık uznavany klasickymifilology i ostatnımi, kterı se antikou zabyvajı: jedna se o Encyklopedii antiky [6]. Pokudchce nekdo pracovat prımo s reckym slovnıkem, existuje celosvetove uznavane dılo [4],v nemz jsou delky systematicky vyznacovany.

Alfabeta

Jelikoz v matematice casto pouzıvame pısmena recke alfabety, uved’me prepisy jejichnazvu.

alfa, beta, gamma, delta, e psılon, zeta, eta, theta, iota, kappa, lambda, my, ny,ksı, o mıkron, pı, ro, sıgma, tau, y psılon, fı, chı, psı, o mega


Nektere z techto nazvu jsou slozeninami, ktere lze snadno prelozit: e psılon —proste e, podobne y psılon — proste y (vyslovujeme tvrde, jako nemecke u), o mıkron— kratke o, o mega — dlouhe o.

Seznam antickych jmen

Na zaver pripojujeme prehled jmen antickych matematiku se spravne vyznacenymidelkami vcetne druheho padu, ktery usnadnı sklonovanı techto jmen.4

Antifon, -fontaApollonios, -nia z Perge (nesklonne; lze i pocestene: z Pergy; dılo: Koniky)Archimedes, -meda ze SyrakusArchytas, -yta (lze i pocestene: Archyty)Aristoteles, -la ze StageiryBryson, -naDemokritos, -ta z Abder5

Diofantos, -ta z AlexandrieDiokles, -klea (nikoliv Diokla)Dositheos, -theaEratosthenes, -na z Kyreny (lze i: z Kyreny)Eudemos, -ma z RhoduEudoxos, -xa z KniduEukleides, -da (nikoliv polatinstele Euklides ci Euklid)Eutokios, -kia z AskalonuHeron, -rona z AlexandrieHipparchos, -cha z NıkaieHippokrates, -ta z Chiu (Chios)Hypatie (pocestene; prıp. recky: Hypatia)Hypsikles, -klea (nikoliv Hypsikla)Klaudios Ptolemaios, -dia -maia (dılo: Mathematike syntaxis — Almagest)Konon, -na ze SamuMenaichmos, -maMenelaos, -laa z Alexandrie (dılo: Sfairika)Nıkomachos, -cha z Gerasy (dılo: Arithmetike eisagoge — Uvod do aritmetiky)Pappos, Pappa z Alexandrie (dılo: Synagoge — Sbırka)Platon, -tonaProklos, -kla z KonstantinopolePtolemaios, viz Klaudios PtolemaiosPythagoras, -gora (lze i pocestene: Pythagory) ze Samu (ostrov Samos)Serenos, -na z AntinoeieSimplikios, -kiaThales, -leta z Mıletu (nikoli 2. pad Thalese, jak pripoustı [2])Theaitetos, -ta z AthenTheon, -ona z AlexandrieTımaios, -maiaZenon, -ona z Eleje

4Sklonovanı antickych jmen je venovana kapitola 95.1.3 Anticka jmena v prırucce [5].5V rectine pomnozne, strednıho rodu; nekdy se uzıva pocestene: Abdera, 2. pad Abdery.

298 Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, rocnık 62 (2017), c. 4

Nazev slavneho Apolloniova dıla o kuzeloseckach Koniky, 2. pad Konik, si zaslouzıstrucny komentar. V zahranicnı literature se totiz nekdy objevuje prımy prepis reckehonazvu Konika, coz je tvar mnozneho cısla strednıho rodu; v cestine vsak takove slovovypada spıse jako podstatne jmeno zenskeho rodu v jednotnem cısle, coz je matoucı,a tak radeji davame prednost pocestenemu Koniky.

Zaverem

Chceme-li ctenari matematickeho textu usnadnit uzıvanı spravne vyslovnosti a dodrzo-vanı zvyklostı odbornych textu (o antice, dejinach matematiky, filozofii, . . . ), pıseme:Pythagorova veta, Eukleidovy vety, Thaletova veta, Heronuv vzorec, Zenonovy aporie,Diokleova kissoida, Menelaova veta, lemma. A chceme-li navratit recke alfabete ne-zkreslenou vyslovnost nazvu jednotlivych pısmen, vyslovujeme: beta, e psılon, o mega.

L i t e r a t u r a

[1] Horacek, F., Chlup, R.: Ucebnice klasicke rectiny. Academia, Praha, 2012.

[2] Internetova jazykova prırucka. Ustav pro jazyk cesky AV CR, 2008–2017 [online],[cit. 1. 12. 2017]. Dostupne z: http://prirucka.ujc.cas.cz/

[3] Martincova, O., a kol.: Pravidla ceskeho pravopisu. Skolnı vydanı vcetne Dodatku.Rozsırene vydanı se schvalovacı dolozkou MSMT. Ustav pro jazyk cesky AV CR, Fortuna,Praha, 2004.

[4] Montanari, F.: Vocabolario della Lingua Greca. Terza editione, Loescher, Torino, 2013.

[5] Pravdova, M., Svobodova, I. (eds.): Akademicka prırucka ceskeho jazyka. Academia,Praha, 2014.

[6] Svoboda, L. (ed.): Encyklopedie antiky. Academia, Praha, 1973.

Poznamka redakce:

Prıspevek Z. Halase spravne poukazuje na to, ze Pravidla ceskeho pravopisu nikomunic neprikazujı (jsou zavazna jen pri skolnım vyucovanı, majı-li dolozku MSMT). Re-dakce PMFA pojıma vetsinu potencialne konfliktnıch jazykovych situacı velmi pruznea prenechava jejich resenı volbe autoru. Presto se redakce vseobecne snazı o nezbytnoumıru jednotnosti ceskeho jazyka v casopise, srov. Smernice pro autory.


Zprávy

oznámení

PROF. MILOSLAV FEISTAUEROSLAVÍ 75. NAROZENINY

Prof. RNDr. Miloslav Feistauer, DrSc.,dr. h. c., profesor matematiky na Matema-ticko-fyzikální fakultě Univerzity Karlovy,oslaví dne 8. února 2018 své 75. naroze-niny. Narodil se v Náchodě v učitelské ro-dině, již od mládí se zajímal o matema-tiku a fyziku a rovněž se věnoval hudbě.Jeho snem bylo stát se stavitelem gotic-kých katedrál. Po ukončení jedenáctiletéstřední školy v roce 1960 se nicméně roz-hodl pro studium na MFF UK, se kte-rou je spojen celý jeho profesní život. Poabsolvování oboru aplikovaná matematikav roce 1965 působil dále na katedře apli-kované matematiky MFF UK jako vyso-koškolský učitel. Po třech letech se stalodborným asistentem, o rok později získaltitul RNDr. V roce 1972 obhájil vědeckouhodnost kandidáta věd a roku 1982 se naMFF UK habilitoval v oboru matematika.Vzhledem k tomu, že prof. Feistauer nebylnikdy politicky angažován, mu byl akade-mický titul docent udělen až o šest let poz-ději v roce 1988. V roce 1990 získal vědec-kou hodnost doktora věd a roku 1991 byljmenován profesorem matematiky v oborupřibližné a numerické metody. Na této po-zici působí dodnes. V letech 1986–1994 bylzaměstnán v Matematickém ústavu UK,kde spolupracoval s prof. Jindřichem Ne-časem v oblasti parciálních diferenciálníchrovnic. V roce 1994 se stal vedoucím ka-tedry numerické matematiky na MFF UKa v této funkci působil až do roku 2006.

Profesně se prof. Feistauer vždy zabý-val především vývojem a analýzou nume-

rických metod pro řešení parciálních di-ferenciálních rovnic. V letech 1987–1988publikoval s prof. Alexandrem Ženíškemv prestižním časopise Numerische Mathe-

matik dva články o numerickém řešení ne-lineárních eliptických problémů druhéhořádu metodou konečných prvků. V oboučláncích se vyšetřuje vliv numerické inte-grace a aproximace křivočaré hranice(tzv. variační zločiny) na chybu výsled-ného přibližného řešení. Tyto průkopnicképráce byly odborníky na metodu koneč-ných prvků vysoce oceňovány. Od začátkudevadesátých let se prof. Feistauer spo-lečně se svými spolupracovníky zabývalvývojem a analýzou moderních efektiv-ních metod pro řešení Eulerových a Na-vierových–Stokesových rovnic popisují-cích proudění stlačitelných tekutin a neli-neárních konvektivně-difuzních problémů.Vedle toho se věnoval teorii metody ko-nečných objemů a některým problémůmz oblasti nelineárních parciálních diferen-ciálních rovnic. Během posledních let vý-znamně přispěl k teorii a aplikacím ne-spojité Galerkinovy metody, která spojujevýhody metody konečných objemů a me-tody konečných prvků. Výsledky práceprof. Feistauera nalezly využití i v prů-myslu díky dlouhodobé spolupráci se Ško-dou Plzeň v oblasti vývoje elementů par-ních turbín. Můžeme např. uvést separá-tor vodních kapiček z mokré páry pro1 000 MW turbínu v jaderné elektrárněTemelín. Prof. Feistauer je spoluautorempatentu pro tento separátor. Atraktivníoblastí výzkumu prof. Feistauera jsouinterakce proudících tekutin a elastickýchstruktur, které mají mnoho důležitýchaplikací, např. simulaci vibrací křídel le-tadel či proudění vzduchu v lidských hla-sivkách. V této oblasti prof. Feistauer spo-lupracuje se svými kolegy z Ústavu termo-mechaniky AV ČR.

Díky svým výsledkům získal pověstsvětově uznávaného odborníka. Je auto-


Prof. Feistauer při přebírání čestného doktorátu Technické univerzity v Drážďanech (fotoMichal Křížek)

rem či spoluautorem 91 článků v časopi-sech a více než stovky odborných a vě-deckých prací publikovaných ve sbornícíchmezinárodních konferencí. V roce 1993 vy-šla jeho rozsáhlá monografie Mathemati-

cal Methods in Fluid Dynamics (LongmanScientific & Technical, Harlow) a ro-ku 2003 následovala monografie Mathema-

tical and Computational Methods for

Compressible Flow (Oxford UniversityPress), na jejíž přípravě se podíleli dalšídva spolupracovníci. Konečně v roce 2015vyšla jeho třetí monografie Discontinuous

Galerkin Method — Analysis and Appli-

cations to Compressible Flow (Springer--Verlag), kterou sepsal společně s jednímspoluautorem.

Prof. Feistauer přednesl referáty na ví-ce než 180 konferencích (z toho 64 zva-ných plenárních přednášek) a realizoval150 přednášek na zahraničních univerzi-tách. Za zmínku stojí, že přednesl refe-

ráty na 15 konferencích v Matematickémústavu v Oberwolfachu. Působil také jakohostující profesor na univerzitách v Ně-mecku, Francii, Rakousku a ve Spojenýchstátech. Byl iniciátorem a hlavním organi-zátorem konferencí Numerical Modelling

in Continuum Mechanics pořádanýchv Praze a dále členem programových a vě-deckých výborů řady mezinárodních kon-ferencí. Od roku 1997 je stálým členemprogramového výboru významných mezi-národních konferencí ENUMATH věnova-ných numerické matematice a organizova-ných každý druhý rok v evropských měs-tech.

Pedagogická činnost prof. Feistauerana MFF UK je ovlivněna jeho úspěšnouvědeckou činností. Vedle kurzovních před-nášek z numerické matematiky vede před-nášky z matematických metod v mecha-nice tekutin a matematického modelovánía semináře z mechaniky kontinua a nume-


rické matematiky. Významně se zasloužilo rozvoj numerické matematiky a mate-matického modelování na MFF UK. Jehopřednášky jsou studenty vysoce hodnoce-ny. Vychoval řadu absolventů a doktoran-dů fakulty, kteří byli oceněni v různýchdomácích a mezinárodních soutěžích. Řa-da jeho bývalých žáků se stala význam-nými odborníky, kteří mnohdy již ve funk-ci docentů a profesorů na univerzitáchv ČR i v zahraničí navazují na práci svéhoučitele a naplňují jeho záměry a cíle.

V letech 1994–2012 byl prof. Feistauerčlenem vědecké rady MFF UK. Dále pů-sobil a pracuje v různých komisích a orgá-nech na fakultě, ale také mimo ni. Je čle-nem rady doktorského studijního obo-ru 4M6 na MFF UK, byl členem vědeckérady Fakulty strojní ČVUT v Praze a vě-decké rady Fakulty chemicko-inženýrskéVŠCHT v Praze, mnoho let praco-val v oborové komisi Grantové agenturyČeské republiky. Byl či je členem řadyvědeckých společností (ČSM, JČMF,GAMM, ISIMM, AMS, ECMI a EURO-MECH) a redakčních rad pěti mezinárod-ních časopisů. Jeho vědecká a pedagogickáčinnost byla oceněna fakultní medailíMFF UK 1. a 2. stupně a stříbrnou me-dailí UK. V roce 2004 byl zvolen členemUčené společnosti ČR. Ve stejném rocemu byla udělena Cena ministra školství,mládeže a tělovýchovy za mimořádné vý-sledky výzkumu, vývoje a inovací. V ro-ce 2006 byl prof. Feistauerovi udělen titulčestný doktor Technické univerzity v Dráž-ďanech. V roce 2017 byl zvolen členemAkademického senátu MFF UK.

Ačkoliv nelze pochybovat, že hlavnínáplní života prof. Feistauera je jeho vě-decká práce, je nutno zmínit, že má téžřadu dalších zálib. Jeho velkou láskou jehudba, přičemž hraje na housle a violua též hudbu skládá. Jelikož i mnoho ji-ných matematiků našlo v hudbě zalíbení,prof. Feistauer příležitostně hraje se svými

kolegy, ať již na fakultě či například přiněkterých matematických konferencích.Prof. Feistauer také rád maluje obrazy,zejména krajiny z okolí své chalupy v Pav-ličkách.

Prof. Feistauer je již 47 let ženats manželkou Jaroslavou, rovněž matema-tičkou, je otcem dvou dcer a má pět vnou-čat. Jeho dcera Jana je absolventkou VŠE,dcera Petra vystudovala hudbu na konzer-vatoři a Univerzitě Karlově a nyní je pro-fesionální violistkou.

Prof. Feistauer je bezpochyby jednouz nejvýraznějších osobností české matema-tiky. Připojujeme se k jeho přátelům, spo-lupracovníkům a studentům, kteří muupřímně blahopřejí k významnému jubileua přejí mu především pevné zdraví, pocitradosti z tvůrčí práce a další léta aktivníčinnosti na MFF UK.

Vít Dolejší, Petr Knobloch

SETKÁNÍ V LABI

Ve dnech 24.–26. listopadu 2017 zorga-nizovala Jednota českých matematikůa fyziků v hotelu Labe v Pardubicích set-kání studentů, aktivních učitelů, vědcůa všech dalších, kteří pečují o talenty a vě-nují se popularizaci matematiky a fyziky.Šlo vlastně o rozšíření tradiční soutěžnípřehlídky popularizačních činů ve fyzice,kterou poprvé uspořádala Česká fyzikálníspolečnost JČMF právě před deseti lety.Letošní šesté setkání bylo rozšířené zejmé-na o popularizátory matematiky, o orga-nizátory odborných soutěží a olympiáda v neposlední řadě i o studenty. A takéo čas — víkendové setkání nabídlo dosta-tek času pro všechny, kteří si chtěli nefor-málně promluvit nebo prostě jen odpoči-nout ve společnosti lidí podobných zájmů.Vedle soutěží, olympiád a koresponden-čních seminářů byly krátce prezentoványnapříklad následující projekty: Pohádková


fyzika, Kroužek fyziky při MFF UK, Fy-zika všemi smysly, Hrajeme si i hlavouz Hradce Králové, péče o talentované žákyna Gymnáziu Teplice, Heuréka, Elixír doškol, Science to go, Young Minds, K já-dru vědy, ÚDiF, Věda fotogenická, Astro-nomia či Astronomické expedice v Úpici.Během setkání byly také předány dvě me-daile České fyzikální společnosti JČMF,a to Ing. Rudolfu Dvořákovi, DrSc., zajeho přínos k popularizaci aerodynamikya doc. RNDr. Jiřímu Langerovi, CSc., zajeho dlouhodobý přínos ve výuce filoso-fie přírodních věd. U obou oceněných bylvyzdvižen i jejich loňský nezištný příspě-vek k připomínce významu Ernsta Machapro Prahu. Přestože se letos v Pardubicíchnesešli zdaleka všichni aktivní populari-zátoři, šlo o velmi inspirativní, užitečnéa přitom příjemné setkání šedesáti účast-níků, za jehož organizaci patří hlavní po-děkování kol. Jiřímu Dolejšímu a za ma-teriální zajištění pak Jednotě českých ma-tematiků a fyziků. Za všechny účastníkymohu prohlásit, že bychom si opravdu přá-li, aby se podobná setkání mohla konatkaždý rok.

Jan Mlynář, předsedaČeské fyzikální společnosti JČMF

XIII. SEMINÁŘ Z HISTORIEMATEMATIKY PRO VYUČUJÍCÍNA STŘEDNÍCH ŠKOLÁCH

Třináctý seminář z historie matema-tiky pro vyučující na středních školách,který byl zaměřen na vývoj matematikyve středověké Evropě v pozdním středo-věku a renesanci, proběhl ve dnech 21. až24. srpna 2017 v Poděbradech. Organizá-tory byli J. Bečvář, M. Bečvářová, Z. Ha-las, M. Hykšová, M. Melcer, M. Otavováa I. Sýkorová. Semináře se zúčastnilo té-měř pět desítek osob (učitelé základních,středních a vysokých škol a doktorandi).Přednášky se konaly v poděbradském

zámku v reprezentativním sále Ústavu ja-zykové a odborné přípravy UK, účastnícibyli ubytováni v moderně vybavených ko-lejích UK. Odborný program sestávalz celkem třinácti přednášek. Doplnila jejvýstavka o vývoji a proměnách malířskétvorby Leonarda da Vinci (N. Pajerová),prohlídka funkční poděbradské hydroelek-trárny, která byla letos zařazena do se-znamu našich národních kulturních pamá-tek (Francisovy turbíny, rekonstruovanéprostory strojovny a budovy hydroelek-trárny), a naučná procházka po histo-rii a současnosti Poděbrad (M. Melcer).Účastníci semináře se prošli po lázeňskékolonádě, odvážlivci ochutnali několik lé-čivých pramenů.

Ve středu večer se konal v zámecké za-hradě tradiční společenský večer s boha-tými diskusemi nejen o vyslechnutýchpřednáškách, dražbou starší matematickéliteratury a krátkým hudebním vystoupe-ním O. Hykše a M. Hykšové (elektricképiano a flétna).

Účastníci získali monografii Ireny Sý-korové Matematika ve staré Indii (ediceDějiny matematiky 59, MatfyzPress, Pra-ha, 2016, 344 stran), dva starší svazky téžeedice, informační materiály o krásách Po-děbrad a jejich okolí a nakonec osvědčenío absolvování semináře.

O úspěšný průběh akce se zasloužilinejen organizátoři, ale i zaměstnanci Ústa-vu jazykové a odborné přípravy UK, ze-jména M. Melcer a jeho rodina. Poděko-vání patří i všem přednášejícím a účastní-kům semináře.

XIV. seminář z historie matematikypro vyučující na středních školách je plá-nován na srpen roku 2019 (informace podáM. Bečvářová, [email protected]).Podrobné informace o minulých seminá-řích jsou na webové stráncewww.fd.cvut.cz/personal/becvamar/

seminar_ss/

Jindřich Bečvář


ZE �IVOTA JÈMF

JUBILEA

60 let

RNDr. Dana Vodáková(Jihlava)2. 1. 2018RNDr. Vladimír Puš, CSc.(Praha)3. 1. 2018

Ing. Libor Hlaváč, Ph.D.(Ostrava)19. 1. 2018Doc. RNDr. Petr Lachout, CSc.(Praha)21. 1. 2018

Doc. RNDr. Jaroslav Beránek, CSc.(Brno)7. 2. 2018PaedDr. Bohuslav Rothanzl

(Praha)15. 2. 2018

Ing. Jana Šafusová, CSc.(Praha)17. 2. 2018

RNDr. Ivana Dvořáková

(Středočeská pobočka)25. 2. 2018RNDr. Jana Randíková(Středočeská pobočka)2. 3. 2018doc. RNDr. Miroslava Černochová, CSc.(Praha)19. 3. 2018Dr. Jana Kubanová, CSc.(Pardubice)21. 3. 2018

65 let

RNDr. Vratislava Mošová, CSc.(Brno)6. 1. 2018Mgr. Tomáš Kühn

(Hradec Králové)8. 1. 2018

RNDr. Jaroslav Švrček, CSc.(Olomouc)9. 1. 2018RNDr. Andrej Kugler, CSc.(Praha)11. 1. 2018

Doc. RNDr. Jaromír Kuben, CSc.(Brno)14. 1. 2018RNDr. Marta Míková

(Plzeň)17. 1. 2018

Prof. RNDr. Josef Janyška, DSc.(Brno)23. 1. 2018RNDr. František Lustig, CSc.(Praha)26. 1. 2018

Prof. RNDr. Josef Diblík, DrSc.(Brno)30. 1. 2018


RNDr. Jitka Kühnová, Ph.D.(Hradec Králové)2. 3. 2018RNDr. Josef Zach(Praha)3. 3. 2018Jiří Vrbický

(Ostrava)10. 3. 2018Dr. Vladimír Dřízal(Praha)14. 3. 2018Doc. RNDr. Jiří Dolejší, CSc.(Praha)16. 3. 2018Prof. Ing. Jaromír Pištora, CSc.(Ostrava)20. 3. 2018Prof. Ing. Nikolaj Ganev, CSc.(Praha)24. 3. 2018RNDr. Jan Kolouch(Středočeská pobočka)25. 3.,2018

70 letProf. RNDr. Zdeněk Ryjáček, DrSc.(Plzeň)6. 1. 2018RNDr. Zbyněk Šourek, CSc.(Praha)11. 1. 2018

Michaela Koblížková(České Budějovice)17. 1. 2018RNDr. Tomáš Lešner

(Praha)18. 1. 2018

Prof. RNDr. Jan Štěpán, CSc.(Olomouc)19. 1. 2018

Prof. RNDr. Josef Tošenovský, CSc.(Ostrava)27. 1. 2018RNDr. Ivan Volný, CSc.(Praha)12. 2. 2018Prof. RNDr. Jiří Wiedermann, DrSc.(Praha)28. 2. 2018RNDr. Vlastimil Ježek(Jihlava)9. 3. 2018RNDr. Dag Hrubý

(Brno)15. 3. 2018Doc. RNDr. Zdeněk Chvoj, DrSc.(Praha)16. 3. 2018Doc. RNDr. Milada Kočandrlová, CSc.(Praha)21. 3. 2018Doc. RNDr. Jiří Mls(Praha MO)26. 3. 2018

75 let

Doc. RNDr. Růžena Kolářová, CSc.(Praha)4. 1. 2018Zdeňka Chudá

(Pardubice)8. 1. 2018

Mgr. Jiří Kosek(Praha)17. 1. 2018Mgr. Eva Jiroušková

(Hradec Králové)22. 1. 2018

Mgr. Jaromír Vostrý(Praha)1. 2. 2018


Prof. RNDr. Miloslav Feistauer, DrSc.,dr. h. c.(Praha)8. 2. 2018Prof. RNDr. Jan Kalvoda, DrSc.(Praha)12. 2. 2018Doc. RNDr. Karel Zvára, CSc.(Praha)17. 2. 2018Doc. RNDr. Kristína Smítalová, CSc.(Opava)1. 3. 2018Doc. RNDr. Miroslav Pardy, CSc.(Brno)13. 3. 2018Ing. Jiří Hošek, DrSc.(Praha)26. 3. 2018

80 let

Ing. Petr Jan Pajas

(Praha)2. 1. 2018PaedDr. Marie Ausbergerová

(Plzeň)12. 2. 2018prom. ped. Blanka Stachová

(Ostrava)24. 2. 2018PaedDr. Eva Benešová

(Jihlava)28. 2. 2018Prof. PhDr. Petr Piťha, DrSc.(Praha)26. 3. 2018

85 let

Prof. RNDr. Ing. Josef Šikula, DrSc.(Brno)14. 1. 2018

Ing. Jiří Janta, CSc.(Praha)20. 2. 2018Mgr. Ladislav Šimek(Liberec)25. 2. 2018Doc. RNDr. Josef Hošek, CSc.(Olomouc)8. 3. 2018RNDr. Karel Závěta, CSc.(Praha FO)19. 3. 2018

90 let

Gerhard Novotný

(Praha)25. 3. 2018

95 let

RNDr. Antonín Fingerland, CSc.(Praha)13. 1. 2018

Jubilantům srdečně blahopřejepředsednictvo výboru JČMF


novéknihy

ZDENĚK POUSTA: JAROSLAV CÍ-

SAŘ. ASTRONOM A DIPLOMAT

V MASARYKOVÝCH SLUŽBÁCH

Vyšehrad, Praha, 2016, 346 stran,

ISBN 978-80-7429-702-1

Půvabná knížka Zdeňka Pousty je vě-nována životním osudům Jaroslava Císa-ře, astronoma, diplomata, publicisty, pře-kladatele a básníka, který je téměř zapo-menutou postavou naší vědecké, politickéa kulturní historie. Vyšla jako 22. svazekedice Velké postavy českých dějin. Pestrý,mimořádně bohatý a vzrušující příběh té-to renesanční osobnosti je napsán krásnoučeštinou, s níž se dnes bohužel setkávámejen výjimečně. Běh života Jaroslava Cí-saře je zasazen do širokého kontextu po-litických a kulturních událostí. Jeho se-psání vyžadovalo dlouhodobé a náročnébádání v archivech a knihovnách, shro-máždění velkého množství různorodýchinformací, jejich vyhodnocení a pečlivézpracování.

Připomeňme krátce základní fakta. Ja-roslav Císař se narodil roku 1894 v Jem-nici na Moravě. Po maturitě na brněnské

obchodní akademii se roku 1912 vydal stu-dovat astronomii a matematiku do USA.V červnu 1917 získal bakalářský titul naCollege of the City of New York.

Krátce po začátku první světové válkyse s velkým nasazením angažoval v českémprotirakouském odboji. Stál u zrodu a bo-hatých aktivit Českého národního sdru-

žení asi sedmi set tisíc našich krajanův USA, organizoval vytvoření českého

praporu kanadské armády. Ze zdravotníchdůvodů však do bojů v Evropě nasazennebyl.

V Americe patřil Jaroslav Císař meziblízké spolupracovníky T. G. Masaryka,od května 1918 do konce března 1920 byljeho osobním tajemníkem. Má velké zá-sluhy na vzniku Československa, podílelse mimo jiné na anglickém překladu Ma-sarykova Prohlášení nezávislosti českoslo-

venského národa jeho prozatímní vládou

(tzv. Washingtonská deklarace). Spolus Masarykem se v prosinci 1918 vrátil do-mů, nějaký čas jako prezidentův tajemníkdokonce bydlel na Pražském hradě. Svoupráci se snažil sladit se studiem na Filo-zofické fakultě UK.

Od dubna 1920 do června roku 1927působil na našem vyslanectví v Londýně,současně navštěvoval přednášky z astro-nomie a astrofyziky na Londýnské univer-zitě a na Royal College of Science. Ro-ku 1924 publikoval ve filozofické revuiMind studii Space and Time. An Essay

in the Foundation of Physics, k níž napsalpředmluvu světoznámý matematik a filo-zof Alfred North Whitehead (1861–1947).Jaroslav Císař se v Londýně stal členemRoyal Astronomical Society a Mathemati-

cal Association.

Českou verzi své studie Space and

Time podal již roku 1923 jako disertačnípráci pod názvem Prostor a čas. Studie

o noetických základech fysiky, posuzovali jiFrantišek Záviška (1879–1945) a Karel Vo-rovka (1879–1929). Po úspěšné obhajobě


složil rigorózní zkoušky a v říjnu roku 1923byl na Karlově univerzitě promován dok-torem přírodních věd.

Na jaře roku 1927 se Jaroslav Císařvrátil do vlasti. Svému švagru JaroslavuStránskému (1884–1973) pomáhal v Brněs vedením Lidových novin, byl jedním zezakladatelů časopisu Věda a život (vychá-zel v letech 1934 až 1949), který redigovalaž do roku 1939.

Začátkem druhé světové války odešeldo Londýna. Angažoval se v odboji, snažilse v Británii burcovat veřejné mínění protimnichovské dohodě. Byl ředitelem Česko-

slovenského studijního ústavu při minis-terstvu zahraničních věcí, organizovalSdružení československých badatelů v ci-

zině, publikoval, přednášel, redigoval ča-sopis Centre European Observer. Dvakráttýdně hovořil v českém vysílání BBC podpseudonymem Jaroslav Skalák.

Na počátku roku 1948 se Jaroslav Cí-sař vrátil domů. Po „Vítězném únoru“ bylz Ministerstva zahraničních věcí vyhozen.Nedlouho poté dostal nabídku asistentské-ho místa na St. Andrews University. Jakočelný představitel prvního i druhéhoodboje však měl problémy s vydáním ces-tovního pasu. Prezidium České akademiepro vědy a umění sice doporučilo vydánípasu na základě dobrozdání ViktoraTrkala (1888–1956) a Eduarda Čecha(1893–1960), ale bez pozitivního výsledku.Nakonec byl pas Císařovi vydán na přímýpokyn Klementa Gottwalda. Od roku 1949pak Jaroslav Císař pracoval a přednášel naevropských i světových univerzitách. Jehostudijní pobyt ve Skotsku se protáhl aždo roku 1967, kdy se Císař kvůli zdra-votním problémům manželky Antoníny(1884–1968) přestěhoval na Maltu. Od še-desátých let navštěvoval Československo,v roce 1980 se vrátil do vlasti natrvalo.Zemřel roku 1983 v Brně.

Připojme ještě několik slov o Císařověliterární činnosti. Roku 1930 uveřejnil pod

názvem Mitsou aneb Jak dívky zrají k dů-

vtipu (Fr. Borový, Praha) překlad novelyfrancouzské spisovatelky Sidonie-Gabriel-le Colette (1873–1954). Krátce poté pře-ložil světově známé příběhy Alice in Won-

derland a Through the Looking-Glass and

What Alice Found There, které roku 1871vydal pod pseudonymem Lewis Carrollanglický matematik Charles LutwidgeDodgson (1832–1898), profesor Universityof Oxford. Císařův překlad vycházel v le-tech 1928 a 1929 v Dětském koutku Li-dových novin pod názvem Alenčina dob-

rodružství v říši divů a za zrcadlem, ro-ku 1931 pak vyšel knižně (2. vydání,Fr. Borový, Praha, 1947) s původními ilu-stracemi Johna Tenniela (1820–1914). Poroce 1948 již Císařův překlad vyjít ne-směl.1 Znovu byl vydán až roku 1996, opěts Tennielovými ilustracemi (Aurora, Pra-ha), další vydání jsou z let 1999, 2004a 2012. Roku 1982 Jaroslav Císař publiko-val sbírku básní A Foolish Dream by Jaro-

slav (Oxford, Prague) věnovanou památcemanželky.

Poustova překrásná knížka přináší řa-du velmi zajímavých fotografií, obsahujebohatý poznámkový aparát, výběrovoubibliografii Jaroslava Císaře, šest stranpramenů a jmenný rejstřík.

Sepsání knížky věnované životnímupříběhu Jaroslava Císaře je mimořádně zá-služným činem. Spolu se Zdeňkem Pous-tou bych si přál, aby Jaroslav Císař zaujal

čtenáře tak, jak já sám jsem byl do jeho

osudu přátelsky vtažen.

Jindřich Bečvář

1 Nový překlad vytvořili manželé Skoumalovi,Aloys (1904–1988) a Hana (1903–1999). JejichAlenka vycházela v letech 1961, 1970, 1983, 1985a 1994.


Časopis PMFA lze zakoupit v knihovně Matematického ústavu AV ČR,Žitná 25, Praha 1 a v nakladatelství MatfyzPress, http://matfyzpress.cz.

SMĚRNICE PRO AUTORY

Časopis Pokroky matematiky, fyziky a astronomie uveřejňuje články psané v českém neboslovenském jazyce zaslané redakci časopisu; o jejich otištění rozhoduje redakční rada zpra-vidla na základě jednoho či více recenzních posudků. Příspěvky, jejichž obsah nebo formaneodpovídá zaměření časopisu, mohou být zamítnuty bez recenzního řízení.

Redakce přijímá články jen v elektronické podobě. Nejvhodnější jsou příspěvkynapsané v jakékoli standardní formě TEXu, nejlépe v LATEXu. Autoři mohou použít stylPMFA, který je k dispozici na adrese www.cs.cas.cz/hanka/pmfa/styl. Přijatelné jsou téžtexty připravené dalšími běžně rozšířenými programy, jako je např. MS Word.

Příspěvky se zasílají výkonné redaktorce dr. Pavle Pavlíkové na e-mailovou adresu

[email protected].

V průvodním dopise autor uvede název příspěvku v češtině a v angličtině, své jméno a příjmeníse všemi tituly, adresu pracoviště nebo bydliště včetně PSČ, e-mailovou adresu a telefon. Jevyžadováno prohlášení, že text dosud nebyl publikován ani souběžně zaslán k posouzení dojiného časopisu.

V případě překladu autor dodá redakci kopii cizojazyčného originálu včetně přesné citacezdroje. Není-li to zřejmé z textu, doplní též adresu zahraničního autora, resp. prohlášení o jehosouhlasu s překladem; rovněž tak adresu vlastníka copyrightu, pokud je třeba o copyrightpožádat.

Úprava rukopisu: Na začátku je uveden název příspěvku a pod ním jméno autora spolus názvem města (obce), kde autor pracuje, resp. bydlí. Vzor:

Některé zajímavosti z teorie grafůJan Vrchol, Brno

Každý článek začíná abstraktem o délce maximálně 150 slov, který stručně a výstižněshrnuje obsah textu.

Odkazy na literaturu se v textu číslují, čísla se píší v hranatých závorkách. Položky v sezna-mu literatury na konci článku se uvádějí v abecedním pořadí podle příjmení autorů či editorů.Odkaz na knihu obsahuje příjmení autora, iniciály křestního jména, název knihy, vydavatele,místo a rok vydání, např. [1] Andrle, P.: Nebeská mechanika. Academia, Praha, 1987. Odkazna článek v časopise musí obsahovat příjmení autora, iniciály křestního jména, název článkua standardní zkratku časopisu, svazek, ročník a stránky, např. [2] Wiles, A.: Modular elliptic

curves and Fermat’s Last Theorem. Ann. of Math. 141 (1995), 443–551.

Odkazy na elektronické zdroje musí kromě toho obsahovat text [online], navíc by mělyuvádět další informaci o zdroji jako DOI nebo kdy byl zdroj naposled otevřený nebo odkudje dostupný, např. [3] Green, J.: Periodic stripe formation. Nature Genetics (2012) [online],DOI: 10.1038/ng.1090 nebo [4] Ris, A.: Alan Turing [online], [cit. 9. 10. 2013]. Dostupné z:http://www.turing.org.uk.

Obrázky autor přiloží vždy jako samostatné soubory. Pro fotografie se doporučuje formátJPEG, pro čárovou grafiku jsou preferovány vektorové formáty EPS nebo PDF. Přijatelné jsoui bitmapové formáty s bezeztrátovou kompresí, např. PNG, TIFF aj. U obrázků a zejménau fotografií je nutno uvést jejich autora. Redakce předpokládá, že autor článku má souhlasautora obrázků s jejich publikací v PMFA.

Příspěvky nesplňující výše uvedená pravidla budou autorům vráceny k přepracování.

Jazyková úprava: Redakce zajišťuje odbornou jazykovou úpravu rukopisu. Ta můžezahrnovat i drobné stylistické úpravy.

Obsah (Contents)

Jan Bednár: „Chladná“ moderní elektronová mikroskopie(“Cold” Electron Microscopy) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .237

Martina Becvárová, Jirí Veselý: Plimpton 322 — prelomový objev?

(Plimpton 322 — A Breakthrough Discovery?) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

Jirí Dvorák: O detech, cápech a kauzalite (On Babies, Storks and Causality) . . 264

Jan Šlégr, Filip Studnicka: Problém ohnuté kolejnice a kouzlo numerickématematiky (The Railroad Track Problem and the Magic of Numerical

Mathematics) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275

Jindrich Becvár, Vlastimil Dlab: Bohatství pýthagorejských tvrzení vcetne

Pýthagorovy vety pro ctyri i více bodu v prostoru (Abundance of

Pythagorean Statements Including Pythagoras’s Theorems for Four andMore Points in Space) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283

Zdenek Halas: Pythagoras, Pytágoras, nebo Pýthagorás?(How to Write Greek Names Correctly) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295

Zprávy a oznámení (News and Announcements) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300

Jubilea (Jubilees) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304

Nové knihy (New Books) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307

Cena 60,– Kc

Rocní predplatné pro cleny JCMF 180,– Kc

Documents

Pokroky matematiky,Pokroky matematiky, fyziky a astronomie Ročník 62 (2017) číslo 4 Vydává Jednota českých matematiků a fyziků a Jednota slovenských matematikov a fyzikov