Proseminář z matematiky pro fyziky

Mgr. Jan Říhae-mail: riha@risc.upol.czwww.upol.cz/resources/ktf/honza/proseminar.html

Katedra teoretické fyzikyPřírodovědecká fakulta UP Olomouc

:

nazýváme funkcích primitivníech Množinu vš konstantu.

aditivní o liší vzájemněse které funkcí,ch primitivní mnoho nekonečně

přiřadit lze funkci danék proto nula, jekonstanty Derivace :Pozn.

integrálneurčitý

.xfxFa,bxxf

a,bxF

a,bxf

:platí jestliže , funkcik

je intervalu na definovaná funkce že

Říkáme, .intervalu na definovaná je funkceNechť

funkcí primitivní

cxFdxxf

konstanta integrační . . . . . . . . Rc

Výpočet neurčitého integrálu Základní integrály

,1

,

1

cn

xdxx

cxdx

nn

.01,)3

,,0,,1,

,

xnRn

babaxnZn

RxNn

,

, 2)

, 1)

,ln

,

,ln1

ca

adxa

cdx

cxdxx

xx

xx ee

,0,,0 nebo xx

10 aa ,

,sincos

,cossin

cxxdx

cxxdx

Základní integrály

,sin

1

,cos

1

2

2

cxdxx

cxdxx

cotg

tg Zkkx ,2

12

.1

1

,arccosarcsin1

1

2

2

cxcxdxx

cxcxdxx

arccotgarctg

1x

Zkkx ,

Neurčitý integrál součtu funkcí a reálného násobku funkce

pak , a Jestliže cxFdxxfcxFdxxf 2211

.,

,

122

2121

RkcxkFdxxfkdxxkf

cxFxFdxxfxf

Metoda per partes

vdxuuvdxvu

dxxvxuxvxudxxvxu ,

Substituční metoda

platí ,intervalu naPak ., je ,

přičemž ,,intervalu na derivacispojitou má funkcenechť a

,intervalu v funkcik funkcí primitivní je funkceNechť

baxtbax

baxt

tFtF

.cxFdxxxf

Rozklad lomené funkce na parciální zlomky

xQ

xPxf

m

n typu Funkce

Úlohy1. ,dxxxx2. ,3

22 dxx

3. ,1

13

dxx

x

4. ,cotg2xdx

5. ,1

53cos2

23

dx

xxx

6.

,1

3

2

dxx

x

7. ,sin2 xdxx

8. xdxln ,

9 . ,cos 2 xdx

10.

dxx

xx

4

323 ,

11 . ,lnsin dxx

12.

,4 2x

dx

Úlohy13.

dtt

32cos

,

14.

dtt

33sin

,

15. dtA t e , RA , ,

16.

,4 2

dxx

x

17. ,21 4

3

dx

x

x

18. ,1sin 2 dxxx

19. ,1

arctg2

2

dx

x

x

20. ,arcsin xdx

21. ,cose xdxax kde Ra ,

22. ,e23 dxx x

23.

,sin

gcot12

3

dxx

x

24. ,1e

e

x

xdx

baxxxxxxxxD nnii ,,...,,...,,max 111201 intervaludělení norma...

DxfxxfxfDn

iiii dělením s funkcesoučet integrální...

11,

bxxxxxa nn 1210 ...

baxxxxxxxxxxDn

iiinnii ,,,,...,,,...,,,,11112110 intervaludělení ...

.,

,

,0

baxf

baxf

xfDνD

intervalu na nazýváme funkci

do od nazýváme jipak

,lim limita vlastníli-Existuje

elnouintegrovat

funkce integrálurčitý

:Zapisujeme b

a

dxxf

Vlastnosti určitých integrálů

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

a

a

a

b

b

a

dxxfdxxf

dxxgdxxfdxxgxf

dxxf

dxxfdxxf

,

,0

,

pak intervalu na funkce elnéintegrovatjsou Nechť ,,,, Rbaxgxf

pak existujeNechť ,, bcaRc

b

a

b

a

b

c

c

a

b

a

dxxfdxxf

dxxfdxxfdxxf ,

Newtonova-Leibnitzova metoda

bab

a

xFaFbFdxxf

pak

na k funkcí primitivní je a intervalu na spojitá je Nechť ,,, baxfxFbaxf

b

a

ba

b

a

dxxvxuxvxudxxvxu

Metoda per partes

platíPak

.intervalu na , derivace spojité mají ,Nechť baxvxuxvxu ,

Metoda substituce

dttfdxxxfb

a

badxxdtxt , , ,

Výpočet obsahu rovinných obrazců

b

a

dxxfxgS

Výpočet objemu rotačních těles

b

a

dxxfV 2

dxxfdV 2

Úlohy1 . ,

4

1

02

x

dx

2 . ,4sin4

0

xdx

3 . ,sin2

0

4

xdx

4 . ,0

2 a

dxaxx Ra

5 . ,e1

0

x2 dxx

6 . ,1

1

3

dxx 3x-e

7 . ,4

0

2

xdxtg

8 . ,2sin0

3

xdxx

9 . ,2

sin2

0 xdx

2x-e

Úlohy10.

1

02

3

1dx

x

xarctg,

11. dxxx

2

0

23

4sin

,

12. Určete obsah plochy ohraničené grafy funkcí xy 2

5,

xy

1 .

13. Určete obsah plochy ohraničené grafy funkcí xy 3sin , xy 3cos a přímkou 0x .

14. Vypočítejte plochu omezenou čarami 26 xxy , 0y .

15. Zjistěte objem rotačního tělesa, které vzniklo otáčením sinusoidy v intervalu ,0 kolem osy

x.16. Zjistěte objem rotačního tělesa, které vzniklo otáčením obrazce omezeného čarami pxy 22

a hx , 0,0 hp .

17. Určete střední hodnotu SI střídavého proudu v průběhu poloviny periody.

18. .arcsin2

1

0 xdx