Proseminář z matematiky pro fyziky

Mgr. Jan Říha, Ph.D.e-mail: riha@prfnw.upol.czhttp://www.ictphysics.upol.cz/Proseminar/index.html

Katedra experimentální fyzikyPřírodovědecká fakulta UP Olomouc

Podmínky zisku zápočtu

neúčast nejvýše na třech seminářích psát 3 písemné práce (asi dvacetiminutové,

každá s maximálním ziskem 10 bodů) zisk nejméně 20 bodů každou písemku napsat alespoň na 3 body odevzdat vyřešené domácí úlohy

Doporučená literatura BRABEC J., HRŮZA B.: Matematická analýza II. SNTL, Praha, 1989. BRABEC J., MARTAN F., ROZENSKÝ Z.: Matematická analýza I. SNTL, Praha, 1989. JIRÁSEK F., ČIPERA S., VACEK M.: Sbírka řešených příkladů z matematiky I., II. a III..

SNTL, Praha, 1989. LEA S. M.: Mathematics for Physicists. Brooks/Cole, 2004. KUČERA J., HORÁK Z.: Tenzory v elektrotechnice a ve fyzice. Nakladatelství ČSAV,

Praha, 1963. KVASNICA J.: Matematický aparát fyziky. Academia, Praha, 1989. ČECHOVÁ M., MARKOVÁ L.: Proseminář z matematiky A, B. UP Olomouc, 1990. KOLESÁROVÁ A., KOVÁČOVÁ M., ZÁHONOVÁ V.: Matematika I - Návody na

cvičenia s programovým systémom Mathematica. Slovenská technická univerzita v Bratislave, 2004.

KOLESÁROVÁ A., KOVÁČOVÁ M., ZÁHONOVÁ V.: Matematika II - Návody na cvičenia s programovým systémom Mathematica. Slovenská technická univerzita v Bratislave, 2002.

ZIMMERMAN, R. L., OLNES, F. I.: Mathematica for Physics. Addison-Wesley, 2002. WOLFRAM S.: The Mathematica Book. Wolfram Media, 2003. BAUMANN G.: Mathematica for Theoretical Physics. Springer-Verlag Heidelberg, 1993. DICK S., RIDDLE A., STEIN D.: Mathematica in the Laboratory. Cambridge University

Press, 1997.

T A B U L K O U G R A F E M F U N K Č N ÍM P Ř E D P IS E Mex p lic itn ě

p aram etrick yim p licitn ě

M o žno sti za d á n í funkc e

fHN

fDM

funkcehodnot Obor

funkceobor Definiční

.RN

RM

množiny prvek jeden právě

přiřazen množiny prvku každému je něhož podle

předpis, rozumíme proměnné reálné jednéfunkcí Reálnou

Vlastnosti funkce Ohraničená funkce (shora, zdola ohraničená)

Parita funkce

Periodická funkce

CxffDxRC :,

xfxffDxxf

xfxffDxxf

:

:

nazývá se Funkce

nazývá se Funkce

lichá

sudá

xfpxffDRxpRp :;0, Složená funkce

xu

zfy

xufy

zfyzxu

baxxuzf

z ... funkce vnitřní

... funkce vnější

. nazývá se funkcepak ,definovaná

funkce je kterém ve, funkcehodnotu

přiřadit lze Jestliže a funkcedány Jsou

funkcí složenou

,

,.

Vlastnosti funkce Prostá funkce

Inverzní funkce

212121 :, xfxfxxa,bxxfDa,b

xf

intervalu na nazývá se Funkce prostá

.

1

yfx

xfyxf

tvaru zapsat ve lze ji jestliže

, funkci nazveme funkcik funkcí Inverzní

Funkce rostoucí, klesající, nerostoucí, neklesající

212121 :,

intervalu na nazývá se Funkce

xfxfxxa,bxxfDa,b

xf

rostoucí

212121 :,

intervalu na nazývá se Funkce

xfxfxxa,bxxfDa,b

xf

klesající

Vlastnosti funkce Funkce rostoucí, klesající, nerostoucí, neklesající

212121 :,

intervalu na nazývá se Funkce

xfxfxxa,bxxfDa,b

xf

nerostoucí

212121 :,

intervalu na nazývá se Funkce

xfxfxxa,bxxfDa,b

xf

íneklesajíc

Přehled elementárních funkcí

C E L É L O M E N É

R A C IO N Á L N Í IR A C IO N Á L N Í

A L G E B R A IC K É

G O N IO M E T R IC K É

C Y K L O M E T R IC K É

E X P O N E N C IO N Á L N Í

L O G A R IT M IC K É

H Y P E R B O L IC K É

T R A N S C E N D E N T N Í

T Y P Y F U N K C Í

Celé racionální funkce Lineární funkce Kvadratická funkce

Kubická funkce atd.

baxy 2

Lomené racionální funkce

bax

ky

Iracionální funkce

3 xy

Goniometrické funkce

xy sin

Goniometrické funkce

xy cos

Goniometrické funkce

xx

xy tg

cos

sin

Goniometrické funkce

xx

xy cotg

sin

cos

Cyklometrické funkce

2

,2

,1,1 ,arcsin

fHfDxy

Cyklometrické funkce

,01,1 fHfDxy , ,arccos

Cyklometrické funkce

2,

2

fHRfDxy , ,arctg

Cyklometrické funkce

,0 fHRfDxy , ,arccotg

Exponenciální funkce

1 ,0 , aaay x

Logaritmická funkce

1 ,0 ,log aaxy a

Hyperbolické funkce

2

eecosh ,

2

eesinh

xxxx

xyxy

Hyperbolické funkce

xx

xx

xx

xx

x

xxy

x

xxy

ee

ee

sinh

coshcotgh ,

ee

ee

cosh

sinhtgh

Úlohy1 . R o z h o d ně t e , z d a j s o u f u n k c e m i r e l a c e :a ) 01;,1 xyRRyxf ,

b ) 0,1;,2 yyxRRyxf ,

c ) 0222;, 223 yxyxRRyxf .

2 . U rč e t e d e f i n i č n í o b o r y f u n k c í

a ) xx

yf

1

:1 ,

b ) 6

34: 23

2

xxxyf ,

c ) xyf 2cos:3 ,

d ) xyf lnlnln:4 .

3. Sestrojte grafy funkcía) xxyg 232:1 ,

b) 3:2 xyg ,

c) 23 sgn: xyg ,d) 2

4 ,max: xxyg .

e)

3

4sin31 ttf ,

Úlohy3 . S e s t r o j t e g r a f y f u n k c í

f )

3

22sin22 ttf ,

g ) 12

3cos2

13

ttf ,

h ) tAtf sin4 , RA ,, ,

i ) tAtf cos5 , RA ,, ,

j ) t6 etf ,

k ) -2t7 etf ,

l ) 3e2 5-t8 tf ,

m ) tAtf e9 , RA ,, ,

n ) tAtf t sine10 , RA ,,, .

4. Rozhodněte, zda jsou si rovny funkce hgf ,, .

xxyf

2

1: ,

22

1:

xxyg ,

xxyh1

11: .

5. Rozhodněte, zda jsou sudé nebo liché funkce:a) 54: 24

1 xxyf ,

b) xxyf sin2tg:2 ,

c) 1:3 xyf ,

d) 1:4 xyf .

Úlohy6 . Z j i s tě t e , z d a j s o u d a n é f u n k c e p e r i o d i c k é , a v k l a d n é m př í p a d ě u r č e t e p e r i o d u :

a ) 4

cos3

s in:xx

yf

,

b ) xyg s in: ,

c ) 2s in: xyh ,

d ) 3

3tg-2

tg2:xx

y .

7 . D o k až t e , ž e f u n k c e 1

2:

x

xyf j e n a i n t e r v a l u ,1 r o s t o u c í .

8 . R o z h o d ně t e , z d a j s o u o m e z e n é , s h o r a o m e z e n é n e b o z d o l a o m e z e n é f u n k c e d a n é v z o r c i :a ) ,,472 2 xxxy ,

b ) 2,2,432 xxxy ,

c )

,,1

12

2

xx

xy .

9 . D o k až t e , ž e k d a n ý m f u n k c í m e x i s t u j í f u n k c e i n v e r z n í a n a j dě t e j e :a ) 5,2,1: 2 xxyf ,

b ) 3,3

2:

Rx

x

xyg ,

c ) 5,,2710: 2 xxxy ,

d ) ,5,2710: 2 xxxy .