Concursul Gazeta Matematică și ViitoriOlimpici.ro

Concursul Gazeta Matematică și ViitoriOlimpici.ro

Problema 1.

Arătaţi că , , , 0 , 1x y z t are loc inegalitatea 1 1 1 1 2x y y z z t t x .

Poate avea loc egalitatea?

Soluţie :

A x M 1 – x D

1 – y t

N Q

y 1 – t

1 – z z

B P C

Fie un pătrat ABCD de latură 1. Pe laturile pătratului

considerăm punctele M, N, P, Q astfel încât

, , ,MA x NB y PC z QD t (ca în figură).

Scriind faptul că suma ariilor triunghiurilor AMN,

BNP, CPQ şi DQM este mai mică decât aria pătratului

ABCD, se obţine inegalitatea cerută.

Inegalitatea este strictă deoarece aria patrulaterului MNPQ este întotdeauna nenulă.