Matematica
Bodea AndreeaPROPRIETATI:
FUNCTIE: relatia care asociaza fiecarui element din prima multime un singurelement din cea de a doua multime.F:ABA= domeniul ( multimea in care functia ia argumente)B=codomeniul(multimea in care functia ia valori)Codomeniu nu inseamna imaginea functiei!MONOTONIE: O functie este monotona daca este crescatoare sau descrescatoare. O functie este strict monotona daca este s. crescatoare sau s. descrescatoare.
Functie crescatoare: f:A B, , x1 f(x1) f(x2)
Functie strict crescatoare: f:A B, , x1 f(x1 ) < f(x2)
Functie descrescatoare: f:A B, , x1 f(x1) f(x2)
Functie strict descrescatoare: f:A B, , x1 f(x1) > f(x2)
Graficul unei functii crescatoareGraficul unei functii descrescatoare
Graficul funciei: este o multime de perechi ordonateGf= { (x,y) | f(x)=y}
Imaginea funciei:Imaginea unei funcii este o submulime a lui B alctuit din toate valorile . Se noteaz Im sau .Im sauIm
Multime simetrica:
A simetrica : x exista -xParitatea functiei:
Exemplu: Funcia par f(x)=x2
Definitie : O funcie cu valori reale, unde , se numete par dac . Graficul unei funcii pare este simetric fa de axa Oy.
Exemplu: Funcia impar f(x)=x3
Definitie : O funcie cu valori reale se numete impar
dac sau , f(-x) = -f(x), x
Graficul unei funcii impare este simetric fa de origine.
Functie periodica:
f:AR(Ase numete periodic de perioad T avem x+T i f(x+T)=f(x). Cea mai mic perioad strict pozitiv se numete perioada principal.Daca o functie admite o perioada T atunci ea admite ca perioada orice multiplu intreg de T.INJECTIVITATE- asociaz elementelor diferite din domeniu elemente diferite din codomeniu
1. cu x
2. cu f(xInterpretare geometric: O funcie f este injectiv dac i numai dac orice paralel la axa Ox intersecteaz graficul funciei f n cel mult un punct.
SURJECTIVITATE- i se asociaz elemenului din codomeniu un element din domeniu1.Funcia este surjectiv, dac , atunci astfel nct f(x)=y.Interpretare geometric: O funcie f este surjectiv dac orice paralel la Ox printr-un punct de pe Oy intersecteaz graficul funciei f n cel puin un punct.
BIJECTIVITATE- dac este i injectiv i surjectiv1.
Funcia este bijectiv dac pentru orice y B exist un singur x A a.. (x) =y (ecuaia (x)=y,are o singur soluie,pentru orice y din B)Interpretare geometric: O funcie f este bijectiv dac i numai dac orice paralel la axa Ox printr-un punct de pe Oy intersecteaz graficul funciei f n exact un punct.
COMPUNEREA A DOUA FUNCTII:Fie f:AB, g:BC
Inversa unei funcii:O functie este inversabila daca si numai daca este bijectiva.
f:AB => :BA, (fof -1)(x)= (f -1of)(x)= x
FUNCTIA DE GRADUL I
Definiie: f:RR,f(x)=ax+b,a, a,b
Monotonie: Dac a>0 f este strict cresctoare Dac a0; ax+b0;,0, a1. Funcia se numete funcie exponenial de baz a.Monotonia: dac a>1, atunci f este strict cresctoare dac 00 atunci f(x)>1; x0 funcia logaritmic este strict cresctoare; 01, atunci ; 0 xn
Monotonia funcieix
- -1 0 1 +x
- -1 0 1 +
x2k
+ 1 0 1 +x2k+1
+ - 1 0 1 +
Strict descr. pe (-,0)
Strict cresc. pe [0,+)Strict cresctoare pe R
Semnul funcieix
- 0 +x
- 0 +
x2k
+ + + + + 0 + + + + +x2k+1
+ - - - - 0 + + + + +
BijectivitateNuDa
Functia putere cu exponent pozitiv, impar, nenulFunctia putere cu exponent natural, par, nenul
Functia putere cu exponent intreg negativ, par
Functia putere cu exponent intreg negativ, impar
FUNCTIA RADICALDefiniie:
a) Funcia f: R R, f(x)= , nN*, se numete funcia radical de ordin impar.
b) Funcia f: [0,+) [0,+), f(x)= nN*, se numete funcia radical de ordin par.Funcia
f: [0,+) [0,+), f(x)= n N*
f: R R, f(x)= , n N*
Intersecia cu axele de coordonate Ox i OyO(0,0)O(0,0)
ParitateNuf(-x)=-f(x) funcie impar
Simetria graficului GfNuGf simetric fa de O
Monotonia funcieix
- 1 +x
- -1 0 1 +
0 1 +
- - 1 0 1 +
Strict cresctoare pe [0,+)Strict cresctoare pe R
Semnul funcieix 0 +x
- 0 +
0+ + + + + + + + +
- - - - - 0 + + + + +
BijectivitateDa Da
Funcia invers
f-1: [0,+) [0,+), f-1(x) = x2nf: R R,f-1(x) = x2n+1
FUNCTIA RADICAL DE ORDIN PAR
FUNCTIA RADICAL DE ORDIN IMPAR
CERCUL TRIGONOMETRIC
FUNCTIA SINUS
Definitie: Functia sinus este functia definita pe R cu valori in R prin care apartine lui R I se asociaza un numar notat sin.
Grafic:Periodicitate: Functia sinus este o functie periodica de perioada 2k unde k apartine lui Z sin (+2k) =sinxParitate: Functia sinus este o functie impara adica sin(-x)= -sin(x)Semnul functiei sinus:CaranulIIIIIIIV
Functia sinus++--
Monotonia functiei sinus:CadranulIIIIIIIV
Functia sinus
Intersectia cu axele : Intersectia cu axa ox se face in punctele x=k ( k Z ). Intersectia cu axa oy se face in punctul 0(0;0). Functia sin:R[-1;1] nu este injectiva pe R , deci nu este bijectiva si prin urmare nu este inversabila pe R. In schimb , functia f:[-/2 , /2][-1 ,1] ,f(x) = sin x este bijectiva , deci este inversabila si inversa ei este arcsinus.
FUNCTIA COSINUS
Definitie: Functia cosinus este functia definita pe R cu valori in R prin care apartine lui R i se asociaza un numar notat cos.Grafic:
Periodicitate: Functia cosinus este o functie periodica de perioada 2k unde k apartine lui Z cos(+2k) =cosxParitate: Functia cosinus este o functie para adica cos (-x)= cos(x)Semnul functiei cosinus:CaranulIIIIIIIV
Functia cosinus+--+
Monotonia functiei cosinus:CadranulIIIIIIIV
Functia cosinus
Intersectia cu axele: Intersectia graficului cu axa ox se face in punctele x=/2+k , k Z.Intersectia cu axa oy se face in punctul (0,1).Functia cos:R[-1,1] nu este injectiva pe R , deci nu este bijectiva si nu este inversabila pe R. In schimb , functia f:[0,][-1,1] , f(x) = cos x este bijectiva si deci inversabila si inversa ei este arccosinus.
FUNCTIA TANGENTA
Definitie: Tangenta unui unghi notata tg este raportul dintre sinusul unghiului si cosinusul acestuia.
Grafic:
Periodicitate: Functia tangenta este o functie periodica de perioada k tg(+k) =tg pt. oricare apartine lui R din care scadem Paritate: Functia tangenta este o functie impara tg(-x)=-tg(x)Semnul functiei tangenta:CadranulIIIIIIIV
Functia tangenta+-+-
Monotonie: Functia tangenta este strict crescatoare pe intervale de forma Intersectia cu axele: Intersectia graficului cu axa ox se face in punctele de abscisa x= k(k Z).Intersectia cu axa oy se face in punctul 0(0,0).Functia tg :R\{(2k+1)/2}R nu este bijectiva si deci nu este inversabila.In schimb f: (-/2,/2)R , f(x)=tg(x) este bijectiva si este inversabila si inversa ei este arctangenta.
FUNCTIA COTANGENTA
Definitie: Cotangenta unui unghi notata ctg este raportul dintre cosinusul unghiului si sinusul acestuia.
Grafic:
Periodicitate: Functia cotangenta este o functie periodica de perioada k ctg(+k)=ctg unde oricare apartine lui R|{k| k apartine lui Z}Paritate: Functia cotangenta este o functie impara ctg(-x)=-ctg(x)Semnul functiei cotangenta:CadranulIIIIIIIV
Functia cotangenta+-+-
Monotonie: Functia cotangenta este strict descrescatoare pe intervale de forma (o;)Intersectia cu axele: Intersectia cu ox se face in punctele de abscisa x=(2K+)/2 ,k Z. Intersectia cu oy nu se face. Functia ctg:R\{k| k Z}R nu este bijectiva si deci nu este inversabila , in schimb f: (0,)R este inversabila si inversa ei este arccotangenta.
FUNCTIA ARCSINUS
Definitie: Functia inversa a restrictiei bijective a functiei sinus la intervalul[-/2;+/2] , anume f:[-/2;+/2] - > [-1;+1], f(x) = sin x, se numeste arcsinus. Deci:
Grafic:
Paritate: Functia arcsin este impara.
Monotonia: F.strict cresctoare pe
Valori extreme: Min f(x)= Max f(x)=
Semnul : arcsinx0 pentru
arcsinx0 pentru Functia arcsinus este bijectiva si deci inversabila si inversa sa este functia
sinx:
FUNCTIA ARCCOSINUS
Definitie: Functia inversa a restrictiei bijective a functiei cosinus la intervalul [0;] , anume f:[0;] - > [-1;+1], f(x) = cos x,se numeste arccosinus. Deci:
Grafic:
Paritate: Functia arccos este impara.
Monotonia: F.strict descresctoare pe
Valori extreme: Min f(x)= 0 Max f(x)=
Semnul : arccos x0 pentru x [-1,1] Functia arccos este bijectiva si deci inversabila si inversa sa este functia
cosx:
FUNCTIA ARCTANGENTA
Definitie: Functia inversa a restrictiei bijective a functiei tangentala intervalul (-/2;+/2) , anume f:(-/2;+/2) - > R, f(x) = tgx, se numeste arctangenta. Deci:
Grafic:
Paritate: Functia arctg este impara.Monotonia: Functie strict cresctoare pe R.
Valori extreme:
Semnul: arctgx < 0 pentru x (-,0)
arctgx > 0 pentru x (0, ) Functia arctg este bijectiva si deci inversabila si inversa sa este functia
tgx:
FUNCTIA ARCCOTANGENTA
Definitie: Functia inversa a restrictiei bijective a functiei cotangenta la intervalul (0;) , anume f:(0;) - > R, f(x) = ctgx, se numeste arccotangenta. Deci:
Grafic:
Paritate: Functia arcctg este impara.Monotonia: Functie strict descresctoare pe R.
Valori extreme:
Semnul: arcctgx > 0 pentru x R Functia arcctg este bijectiva si deci inversabila si inversa sa este functia
ctgx:
FORMULE ALGEBRAFormule de calcul prescurtat a
(a+b)
(a-b)
a
aPuteri:Radicali:
Formule logaritmi:
log log alogax=x
loga x= log anxn , x,a>0, a1, n
Schimbarea bazei: log, logProgresii aritmetice
Definiie: Se numete progresie aritmetic un ir de numere reale a n care diferena oricror doi termeni consecutivi este un numr constant r, numit raia progresiei aritmetice: a
Se spune c numerele a sunt n progresie aritmetic dac ele sunt termenii consecutivi ai unei progresii aritmetice.
Teorem: irul este progresie aritmetic
Termenul general: a
Proprietate: Numerele a,b,c sunt n progresie aritmetic
Suma primilor n termeni: SProgresii geometrice:
Definiie : Se numete progresie geometric un ir de numere reale b n care raportul oricror doi termeni consecutivi este un numr constant q, numit raia progresiei geometrice:, q
Se spune c numerele b sunt n progresie geometric dac ele sunt termenii consecutivi ai unei progresii geometrice.
Teorem: irul este progresie geometric
Termenul general: b
Proprietate: Numerele a,b,c sunt n progresie geometric
Suma primilor n termeni: S,q sau S q = 124