Matematiken bakom Per Nrgrds ondlighetsserie
Matematiken iPer Nrgrds ondlighetsserieMatematikbiennalen
2014
Hans [email protected]
Per NrgrdDansk tonsttare , fdd 1932En av de ledande i Norden i
sin generationNordiska rdets musikpris 1974Sibeliuspriset 2006
Stockholms Konserthus tonsttarfestival 2012
Ondlighetsserien en metod att generera melodier
- med verfld p symmetrier och fraktal struktur- med i princip
ondlig utstrckning utan exakt upprepningKonstruktion av en
ondlighetsserie- Vlj ett tonfrrd (skala)t ex stamtonerna (de vita
tangenterna) - Vlj tv inledande toner
Nrgrds algoritm gr resten ..
Nrgrds algoritm+ 1- 1+ 1
- 2 + 2 - 2
- 3 + 3- 1
+ 3 + 1 - 1
Differens efter n steg subtraheras resp. adderas efter 2n
steg
Nrgrds algoritm, forts.
+ 13+ 13- 13Enkel formel Rika egenskaper
Var fjrde ton ger tillbaks den ursprungliga melodin
+ 1- 2+ 3- 1- 1- 2 + 5- 1+ 2- 3+ 1+ 1+ 2 - 5Var annan ton ger
melodin spegelvnd (upp-och-ner)Var annan ton med start frn andra
tonen ger melodin transponerad
Var 8:e ton med start frn den sjunde ger en transponerad
spegelbildVar 8:e ton med start frn den ttonde ger ett
transponatosv
Klipp-och-Klistra Egenskapen
?
Vlj tv inledande toner
Differens efter n steg subtraheras och adderas efter 2n steg
Exempelosv ModelltestBrja med specialfall (det enklaste!)osv En
ekvivalent men enklare modell
Bevis:
BevisInduktion i det stora trdet
Bevis sats 3, steg I: Nstan alla likheter rvs frn raden
ovanfrBevis sats 3, steg II: Bevis av likhet vid tv nya positioner
- trdklttring
Generalisera till det generella falletThue-Morse fljdenOm
istllet AAABBBTack fr er uppmrksamhet!
