Upload
shawna
View
59
Download
0
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Matematiken i Per Nørgårds oändlighetsserie. Matematikbiennalen 2014 Hans Thunberg [email protected]. Per Nørgård. Dansk tonsättare , född 1932 En av de ledande i Norden i sin generation Nordiska rådets musikpris 1974 Sibeliuspriset 2006 Stockholms Konserthus tonsättarfestival 2012. - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
Per Nørgård– Dansk tonsättare , född 1932– En av de ledande i Norden i sin generation• Nordiska rådets musikpris 1974• Sibeliuspriset 2006 • Stockholms Konserthus tonsättarfestival 2012
Oändlighetsserien en metod att generera melodier
- med överflöd på symmetrier och fraktal struktur- med i princip oändlig utsträckning utan exakt upprepning
Konstruktion av en oändlighetsserie
- Välj ett tonförråd (”skala”)t ex stamtonerna (”de vita tangenterna”) - Välj två inledande toner
Nørgårds algoritm gör resten …..
Nørgårds algoritm + 1
- 1+ 1
- 2 + 2
- 2
- 3
+ 3
- 1
+ 3
+ 1
- 1
Differens efter n steg subtraheras resp. adderas efter 2n steg
Nørgårds algoritm, forts.
+ 13
+ 13
- 13
Enkel formel – Rika egenskaper
• Nya lägsta och högsta toner efter steg• Innehåller oändligt många transponerade
kopior av sig själv i långsammare tempo• Innehåller oändligt många spegelvända (”upp-
och-nervända”) transponerade kopior av sig själv
• Har fraktal struktur
Nya lägsta och högsta toner efter steg:
Var fjärde ton ger tillbaks den ursprungliga melodin
+ 1 - 2 + 3 - 1 - 1 - 2 + 5
- 1 + 2 - 3 + 1 + 1 + 2 - 5
Var annan ton ger melodin spegelvänd (”upp-och-ner”)
Var annan ton med start från andra tonen ger melodin transponerad
Var 8:e ton med start från den sjunde ger en transponerad spegelbildVar 8:e ton med start från den åttonde ger ett transponatosv
Klipp-och-Klistra Egenskapen
?
Modell: Nørgårdföljder
Talföljd , , , … }
Välj två inledande toner Välj begynnelsevärden och
Differens efter n steg subtraheras och adderas efter 2n steg
för ges av
där
Exempel
{ 𝑎2𝑛=𝑎2𝑛−2−𝑑𝑛
𝑎2𝑛+1=𝑎2𝑛−1+𝑑𝑛 där Välj t ex
𝑑1=𝑎1−𝑎0=3−1=2 {𝑎2=𝑎0−𝑑1=1−2=−1𝑎3=𝑎1+𝑑1=3+2=5
𝑑2=𝑎2−𝑎1=−1−3=−4 {𝑎4=𝑎2−𝑑2=−1+4=3𝑎5=𝑎3+𝑑2=5−4=1
𝑑3=𝑎3−𝑎2=5+1=6 {𝑎6=𝑎4−𝑑3=3−6=−3𝑎7=𝑎5+𝑑3=1+6=7
𝑑4=𝑎4−𝑎3=3−5=−2 {𝑎8=𝑎6−𝑑4=−3+2=−1𝑎9=𝑎7+𝑑4=7−2=5
osv …
Om är en Nørgårdföljd gäller
Sats 1. Succesiva min infaller på positioner Succesiva max infaller på positioner Dessa avtar/ökar aritmetiskt med
Sats 2. Den delföljd som börjar på position och består av element på avstånd är en translaterad spegelbild av .Den delföljd som börjar på position och består av element på avstånd är ett translat av .
Sats 3.Om de första elementen i har bestämts, kan ytterligare element bestämmas med klipp-och-klistra algoritmen.
Modelltest ger
1, 3, -1, 5, 3, 1, -3, 7, -1, 5, 1, 3, 5, -1, -5, 9, 3, 1, -3, 7, 1, 3, -1, 5, -3, 7, 3, 1, 7, -3, -7, 11, …
Succesiva min och max:1, 3, -1, 5, 3, 1, -3, 7, -1, 5, 1, 3, 5, -1, -5, 9, 3, 1, -3, 7, 1, 3, -1, 5, -3, 7, 3, 1, 7, -3, -7, 11, …
Translat och translaterade speglingar:1, 3, -1, 5, 3, 1, -3, 7,
1, -1, 3, -3, -1, 1, 5 -5, 3 -3, 1, -1, -3, 3, 7, -7, …
3, 5, 1, 7, 5, 3, -1, 9, 1, 7, 3, 5, 7, 1, -3, 11, …
5, 7, 3, 9, 7, 5, 1, …
-3, -5, -1, -7, …Klipp-och-klistra:
1, 3, -1, 5, 3, 1, -3, 7, -1, 5, 1, 3, 5, -1, -5, 9, 3, 1, -3, 7, 1, 3, -1, 5, -3, 7 3, 1, 7, -3, -7, 11, …
Börja med specialfall (det enklaste!)
𝑑1=𝑐1−𝑐0=𝑐1 {𝑐2=𝑐0−𝑑1=−𝑐1=−1𝑐3=𝑐1+𝑑1=2𝑐1=2
𝑑2=𝑐2−𝑐1=−𝑐1−𝑐1=−2𝑐1 {𝑐4=𝑐2−𝑑2=−𝑐1+2𝑐1=𝑐1=1𝑐5=𝑐3+𝑑2=2𝑐1−2𝑐1=0
𝑑3=𝑐3−𝑐2=2𝑐1+𝑐1=3𝑐1 {𝑐6=𝑐4−𝑑3=𝑐1−3𝑐1=−2𝑐1=−2𝑐7=𝑐5+𝑑3=0 𝑐1+3𝑐1=3𝑐1=3
𝑑4=𝑐4−𝑐3=𝑐1−2𝑐1=−𝑐1 {𝑐8=𝑐6−𝑑4=−2𝑐1+𝑐1=−𝑐1=−1𝑐9=𝑐7+𝑑4=3𝑐1−𝑐1=2𝑐1=2
osv …
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
0 1 -1 2 1 0 -2 3 -1 2 0 1 2 -1 -3 4 1 0
Påstående 1:
Påstående 2:
Bevis: , . Om Påstående 1 är sant för fås
Påstående 2 bevisa på motsvarande sätt.
En ekvivalent men enklare modell …
, 𝑑𝑛=𝑐𝑛−𝑐𝑛−1
𝑐0=0 ,𝑐1=1
𝑐0=0 ,𝑐1=1
, ,
Sats 1. Succesiva min infaller på positioner Succesiva max infaller på positioner Dessa avtar/ökar aritmetiskt med
Bevis:
Sats 3.Om de första elementen i har bestämts, kan ytterligare element bestämmas med klipp-och-klistra algoritmen.
BevisInduktion i det stora trädet …
Bevis sats 3, steg I: Nästan alla likheter ärvs från raden ovanför
Bevis sats 3, steg II: Bevis av likhet vid två nya positioner - trädklättring
Sats 2. (i) Den delföljd som börjar på position och består av element på avstånd är en translaterad spegelbild av .(ii) Den delföljd som börjar på position och består av element på avstånd är ett translat av .
Bevis: Induktivt bevis genom att använda rekursionsformlerna.
Observera att för följer (i) ur , vilket också direkt ger att
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
0 1 -1 2 1 0 -2 3 -1 2 0 1 2 -1 -3 4 1 0
Generalisera till det generella falletOm är den Nørgårdföljd som ges av
och är en godtycklig Nørgårdföljd gäller att
.
(följer av att rekursionsekvationerna är linjära)
Sats 1 - 3 gäller därmed för varje Nørgårdföljd.
Thue-Morse följdenOm istället
{ 𝑎2𝑛=𝑎2𝑛− 2+𝑑𝑛
𝑎2𝑛+1=𝑎2𝑛−1−𝑑𝑛
där
fås med den s k Thue-Morse följden
0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 …..
01100110
A A AB B B …
…
Tack för er uppmärksamhet!