Matematiken bakom Per Nrgrds ondlighetsserie

Matematiken iPer Nrgrds ondlighetsserieMatematikbiennalen 2014

Hans Thunbergthunberg@math.kth.se

Per NrgrdDansk tonsttare , fdd 1932En av de ledande i Norden i sin generationNordiska rdets musikpris 1974Sibeliuspriset 2006 Stockholms Konserthus tonsttarfestival 2012

Ondlighetsserien en metod att generera melodier

- med verfld p symmetrier och fraktal struktur- med i princip ondlig utstrckning utan exakt upprepningKonstruktion av en ondlighetsserie- Vlj ett tonfrrd (skala)t ex stamtonerna (de vita tangenterna) - Vlj tv inledande toner

Nrgrds algoritm gr resten ..

Nrgrds algoritm+ 1- 1+ 1

- 2 + 2 - 2

- 3 + 3- 1

+ 3 + 1 - 1

Differens efter n steg subtraheras resp. adderas efter 2n steg

Nrgrds algoritm, forts.

+ 13+ 13- 13Enkel formel Rika egenskaper

Var fjrde ton ger tillbaks den ursprungliga melodin

+ 1- 2+ 3- 1- 1- 2 + 5- 1+ 2- 3+ 1+ 1+ 2 - 5Var annan ton ger melodin spegelvnd (upp-och-ner)Var annan ton med start frn andra tonen ger melodin transponerad

Var 8:e ton med start frn den sjunde ger en transponerad spegelbildVar 8:e ton med start frn den ttonde ger ett transponatosv

Klipp-och-Klistra Egenskapen

?

Vlj tv inledande toner

Differens efter n steg subtraheras och adderas efter 2n steg

Exempelosv ModelltestBrja med specialfall (det enklaste!)osv En ekvivalent men enklare modell

Bevis:

BevisInduktion i det stora trdet

Bevis sats 3, steg I: Nstan alla likheter rvs frn raden ovanfrBevis sats 3, steg II: Bevis av likhet vid tv nya positioner - trdklttring

Generalisera till det generella falletThue-Morse fljdenOm istllet AAABBBTack fr er uppmrksamhet!