Download pdf - Fizicke Velicine i Jedinice Si Sistema Jedinica

7/12/2019 Fizicke Velicine i Jedinice Si Sistema Jedinica

http://slidepdf.com/reader/full/fizicke-velicine-i-jedinice-si-sistema-jedinica 1/24

Univerzitet u Novom Sadu

Tehnički fakultet "Mihajlo Pupin" Zrenjanin

Školska godina: 2004 / 2005

SEMINARSKI RAD

Predmet: Elektrotehnika sa elektronikom

Student: Profesor:Biga Branimir Dr Vjekoslav Sajfert prof.informatike (19/04-02) Asistent:

Mr Vojin Kerleta



Sadržaj:

1. Fizičke veličine i jedinice. SI sistem jedinica.......................................31.1. Fizičke veličine1.2. Vrednost veličine1.3. SI sistem jedinica

2. Merenje i rezultati merenja...................................................................72.1. Pojam merenja2.2. Vrste merenja2.3. Vrste grešaka prema izvorima2.4. Greške merenja

3. Obrada rezultata merenja....................................................................103.1. Predstavljanje rezultata merenja i zaokruživanje3.2. Obrada i procena tačnosti rezultata merenja3.3. Direktno merenje koje se ponavlja više puta3.4. Direktno merenje koje se ne ponavlja3.5. Indirektno merenje

4. Prikazivanje reultata merenja..............................................................164.1. Tabelarno prikazivanje rezultata4.2. Grafičko prikazivanje rezultata4.3. Pravila za crtanje grafika4.4. Linearizacija grafika

5. Merenje električne struje. Ampermetar..............................................195.1. Električni merni instrumenti5.2. Jačina struje5.3. Merenje električne struje ampermetrom

6. Literatura.............................................................................................23

2



1. Fizičke veličine i jedinice.SI sistem jedinica

1.1 Fizičke veličine

Svaki sistem može se opisati sa određenim brojem adekvatno odabranih ivišestruko definisanih fizičkih veličina. Do danas je poznato oko 800 veličina. Zasvaku od veličina imamo određen simbol i ime. Za svaku od njih postoji skupdefinisanih operacija na sistemu koje će dovesti do toga da će se toj veličini

pridružiti određena brojna vrednost. Ova operacija se naziva merenje. Veze međuveličinama mogu da ulaze u matematičke izraze i dalje sa njima možemo postupati

po pravilima matematičke logike.Neke od osnovnih veličina (u opštem smislu) su: dužina, masa, vreme,

gustina, snaga, otpornost, itd. Uticajna veličina je veličina koja sama nije predmet merenja ali ona ipak utiče na merenje ostalih veličina, utičući na brojevne vrednosti.

1.2 Vrednost veličine

Vrednost veličine A je određena proizvodom brojne vrednosti {A} i njene

merne jedinice [A]:

A={A}·[A]

Prava vrednost veličine je vrednost koja karakteriše veličinu potpunodefinisanu u uslovima koji su postojali kada je ova vrednost određena. Ona seobeležava indeksom t , prema engleskom nazivu true, npr. xt ,vt i idealizovan je

pojam. Ona nije poznata za opšte slučajeve. Sporazumno prava vrednost je pojam koji se uvodi umesto prave

vrednosti. Približna je pravoj vrednosti i razlika izmedju nje i prave vrednosti semože zanemariti. Ova vrednost se obeležava indeksom c i može se odrediti uodređenim slučajevima sa instrumentima određene tačnosti.

Osim ova dva pojma za fizičke veličine možemo definisati i pojamtrenutne vrednosti veličine (vrednost veličine u datom trenutku), i lokalnevrednosti veličine (vrednost veličine na odredjenom mestu).

Još jedna od bitnih razlika u odnosu na rezultate u matematici je u tomešto se matematičke veličine mogu izračunati barem proizvoljno tačno, a umerenjima fizičkih veličina se može jedino odrediti interval u kom se neka fizička

veličina nalazi. Ovo se najlakše može objasniti na primeru broja π. Ukoliko pogledamo njegovu vrednost u tablici zaključićemo da se njegova vrednost nalaziu intervalu:

3



3,141< π<3,142.

Dužina ovog intervala je 0,001. Ako se u obzir uzme i sledeća cifra onda je π u intervalu:

3,1415< π <3,1416.

Na ovaj način smo dužinu intervala skratili na 0,0001. Teorijski posmatrano ako se ovo sužavanje izvrši beskonačno mnogo puta onda će interval ukom se kreće vrednost biti 0, pa će odatle slediti da je vrednost broja π tačnoodredjena. U fizičkim i električnim merenjima situacija je mnogo složenija jer ne

postoji ni principijelna mogućnost da se interval u kom će se naći vrednost smanji.Kod fizičkih merenja postoji jedna vrsta veličine koja može biti apsolutno

tačno odredjena. To su veličine koje se mogu izmeriti neposrednim brojanjem i

rezultat mora biti pozitivan ceo broj, ali se u slučajevima kada je ovaj broj velik, amože se do njega doći i drugim metodama, često pribegava lakšem načinu pa se nedobije apsolutno tačna veličina ali je njena vrednost približna.

1.3 SI sistem jedinica

Sistem veličina je skup koji čini grupa osnovnih veličina i odgovarajućihizvedenih veličina i on obuhvata sve oblasti nauke. Osnovne veličine su one kojesu u datom sistemu nezavisne i ostale se mogu izraziti preko njih. Kao primer

imamo apsolutni merni sistemi u kom se sve veličine prikazuju preko dužine, masei vremena jer se u njemu ove tri veličine smatraju osnovnim. Merna jedinica

predstavlja vrednost neke veličine za koju je dogovoreno da ima vrednost 1.Oznaka merne jedinice je dogovorena oznaka za mernu jedinicu veličine.

U današnje vreme u upotrebi je uglavnom SI sistem jedinica koji je nameđunarodnoj konferenciji 1960. godine usvojen za međunarodni sistem jedinica.U tabelama su date osnovne (tabela 1.1) i izvedene (tabela 1.2.) veličine SIsistema.

FIZIČKA VELIČINA NAZIV JEDINICE OZNAKADužina Metar m

Masa Kilogram kg

Vreme Sekunda s

Jačina električne struje Amper A

Temperatura Kelvin K

Jačina svetlosti Kandela cd

Količina materije Mol mol

Tabela 1.1

4



Osnovne veličine u SI sistemu se definišu na sledeći način:

1) Kilogram (kg) je masa međunarodnog prototipa kilograma koji se čuva uMeđunarodnom birou za tegove.

2) Metar (m) je dužina putanje koju u vakuumu pređe svetlost za vreme od1/299 792 458 sekunde.3) Sekunda (s) je trajanje od 9 192 631 770 perioda zračenja koje odgovara

prelazu između dva hiperfina nivoa osnovnog stanja atoma cezijuma.

4)Amper (A) je jačina stalne struje koja protičući kroz dva ravna, paralelna i beskonačno duga provodnika zanemarljivo malog kružnog preseka, uvakuumu, međusobno udaljena jedan metar, izaziva između njih silu od 102 ⋅ njutna po metru dužine.

5) Kelvin (K) je termodinamička temperatura koja iznosi 1/273,16

termodinamičke temperature trojne tačke vode.Kao dopunske jedinice još se koriste i radijan kao jedinica za ugao u ravnii steradijan kao jedinica za prostorni ugao.

FIZIČKA VELIČINA NAZIV JEDINICE OZNAKAFrekvencija Herc Hz

Sila Njutn NPritisak/Napon Paskal Pa

Energija/Rad/Količina

Toplote

Džul J

Snaga/ Energijski fluks/Toplotni fluks

Vat W

Količina elektriciteta Kulon CElektrični napon Volt V

Električna kapacitivnost Farad FElektrična otpornost Om Σ

Električna provodnost Simens SMagnetni fluks Veber Wb

Magnetna indukcija Tesla TInduktivnost Henri H

Celzijusova temperatura stepen Celzijusa oCSvetlisni fluks Lumen lmOsvetljenost Luks lx

Aktivnost radioaktivnogizvora

Grej Gy

Tabela 1.2

5



Sve izvedene jedinice SI sistema se izvode iz osnovnih jedinica primenomrazličitih matematičkih izraza. Odavde se može zaključiti da su i izvedene veličinedefinisane pomoću osnovnih.

Imajući u vidu red vrednosti pojedinih veličina radi lakšeg zapisa velikih imalih vrednosti fizičkih veličina pribeglo se stavljanju predmetaka ispred oznaka.

Ovo je olakšalo kalkulisanje sa brojevnim vrednostima. Predmeci SI sistema datisu u tabeli 1.3.

Naziv Oznaka Vrednost Naziv Oznaka Vrednost

Eksa E 1018 Deci d 10-1

Peta P 1015 Centi c 10-2

Tera T 1012 Mili m 10-3

Giga G 109 Mikro µ 10-6

Mega M 106

Nano n 10-9

Kilo K 103 Piko p 10-12

Hekto H 102 Femto f 10-15

Deka Da 101 Ato a 10-18

Tabela 1.3

Državna zajednica Srbije i Crne Gore je zakonom o mernim jedinicama imerilima prihvatila medjunarodni SI sistem jedinica kao jedini merni sistem koji je

važeći na njenoj teritoriji.

6



2. Merenje i rezultati merenja

2.1 Pojam merenja

Merenje je skup eksperimentalnih operacija čiji je cilj odredjivanjevrednosti neke veličine. Zadatak svakog eksperimenta je da odredjenim veličinamadodelimo odredjene vrednosti. Da bi ovo postigli moramo posedovati jedinice zasvaku veličinu i postupak kojim ćemo toj veličini dodeliti neku vrednost. Ovo surazlozi zbog kojih je moguće praviti više sistema jedinica ali i imati više metoda zadolaženje do brojevne vrednosti. Dakle merenje se najlakše može definisati kao

proces kojim se neka veličina uporedjuje sa veličinom koja je izabrana za jedinicu i

merenjem se odredjuje koliko se puta ta jedinica sadrži u veličini koju želimo daizmerimo. Rezultat merenja je broj koji govori koliko odgovarajućih jedinica imamerena veličina. On se naziva brojna vrednost ili merni broj.

2.2 Vrste merenja

U merenju možemo razlikovati direktna merenja, indirektna merenja ikompleksna merenja. Direktna merenja su merenja kod kojih se vrednost mereneveličine dobija direktnim poređenjem sa jedinicom mere iste prirode kao što jemerenje dužine pomoću metra. Kod indirektnog merenja se merena veličina dobijamerenjem neke druge veličine koja je u funkcionalnoj zavisnosti sa veličinom.Primer za ovakvo merenje je merenje električne energije merenjem napona,struje ivremena. U kompleksnim merenjima se prvo odrede neke veličine koje su

povezane nekim algebarskim jednačinama. Nakon toga se reši sistem jednačinakoji je dobijen i traže se medjusobni odnosi tih veličina i merene veličine. Ovakvasu sva korelaciona merenja.

2.3 Vrste grešaka prema izvorima

Greške koje nastaju merenjem prema njihovim izvorima dele se na:-grube greške ili omaške-sistemske greške i-slučajne greške.

Grube greške ili omaške su greške koje pravi sam eksperimentator. Nastaju pogrešnim zapisivanjem podataka ili pogrešnim merenjem. U ovakvegreške spada i paralaksa kao tipičan primer omaške koja nastaje kada se vrednost

koju pokazuje merni instrument ne pročita dobro zbog položaja oka osobe koja čita podatke.

7



Slika 2.1

Sistematske greške su ili greške u instrumentima za merenje (greškeinstrumenata) ili greške koje se javljaju usled nemogućnosti pronalaženja metodakoje bi bile potpuno precizne za merenje nekih veličina. Ovakve su greške kao što

je pomerena skala na mernom instrumentu ili problem prilikom računanja ubrzanjasile Zemljine teže preko posmatranja slobodnog pada. Tada se dobije broj koji nemože biti tačan jer se prilikom računanja ne oduzimaju druge sile koje deluju naslobodni pad tela, kao što su centrifugalne sile ili sile koje potiču od drugihnebeskih tela (ovaj uticaj je mali ali ipak postoji).

Slučajne greške su statističke, neizbežne i najlakše ih je otkloniti većim brojem ponavljanja eksperimenta. One nastaju usled raznih uzroka: temperature,nestabilnog napona, pritiska, itd. Slučajne greške, kao ni sistemske, ne zavise odeksperimentatora.

2.4 Greške merenja

Svako merenje za cilj ima da se pomoću mernih instrumenata što preciznije odredi merena veličina. Razvojem mernih postupaka se teži da vrednostkoja se dobije merenjem bude što približnija pravoj vrednosti veličine. Ipak greškeu merenju su neminovne. U fizičkim i električnim merenjima greška nemanegativno značenje već je to neminovna pojava.

Apsolutna greška je odstupanje merene od stvarne vrednosti. Premadefiniciji apsolutnom greškom () ) veličine X (koja ne mora obavezno da budefizička) je:

8



) X=IX-xI

gde X predstavlja stvarnu vrednost a x merenu vrednost. U praksi nije mogućeznati stvarnu vrednost tako da se ovaj slučaj ne pojavljuje. Zato se traži vrednost) x>0, tako da apsolutna greška bude manja od nje, i onda kažemo da je to gornja

granica apsolutnog odstupanja:

) X=IX-xI ≤ ) x

Sledeći pojam koji se uvodi je relativna greška. Relativna greška jeapsolutna greška po mernoj jedinici i ona je data jednačinom:

X

X X

∆=∗

Za nju takođe važi da se zbog praktične nemogućnosti njenog računanjamoramo zadovoljiti procenom gornje granice relativnog odstupanja ∗ x. Gornjagranica relativnog odstupanja ∗ x od približne vrednosti x je svaki broj koji nijemanji od relativne greške:

x X X

X ∗≤∗=

∆

Ukoliko je poznata gornja granica apsolutnog odstupanja, možemoizračunati i gornju granicu relativnog odstupanja i obrnuto. Ovo je bitno za rad u

praksi jer se u nekim ispitivanjima lakše određuje jedna veličina a u drugim druga.

9



3. Obrada rezultata me renja

3.1 Predstavljanje rezultata merenjai zaokruživanje

Svaki rezultat merenja se prikazuje u obliku zagrade u kojoj se pišerezultat merenja ± gornja granica apsolutnog odstupanja, a izvan zagrade se pišu

jedinice. Kod računanja sa kalkulatorom javlja se problem oko broja decimala. Zaovo je bitno da znamo da se nepreciznost koju smo dobili ne moze kompenzovatinikakvim matematičkim operacijama. Rezultati merenja su približni brojevi. Oni seuglavnom pišu kao decimalni brojevi iako su beskonačni. Cifre koje se zadržavaju

u decimalnom zapisu nazivaju se značajnim ili važećim ciframa. To su sve cifrekoje se zadrže osim nula koje se nalaze na prvim mestima. Iz ovog razloga ufizičkim merenjima se brojevi zapisuju preko stepena broja 10. Na primer broj0,001230 bi se u rezultatima fizičkih merenja zapisao kao 1,230·10 -3 . Kada serezultat zapiše na ovaj naćin onda se odmah može videti i broj značajnih cifara.

Niz merenja iste veličine ne daje uvek iste rezultate a to je posledicaslučajnih grešaka. Sigurne cifre u rezultatu su one cifre koje se ponavljaju u svimmerenjima, a one cifre koje se menjaju se nazivaju nesigurnim. Rezultat merenja seizražava pomoću svih sigurnih cifara i najviše jedne nesigurne (prve). Ukoliko

poznajemo broj sigurnih cifara i sigurne cifre onda se odmah može odrediti preciznost merenja čak i ako nije navedena greška. Zavisnost relativne greškemerenja u odnosu na broj sigurnih cifara i njihovih vrednosti je predstavljena utabeli 3.1.

Relativna greška u %

Prva sigurna cifra

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1

2

3

50

5

0,5

25

3

0,3

17

2

0,2

13

1,3

0,13

10

1

0,1

9

0,9

0,09

8

0,8

0,08

7

0,7

0,07

6

0,6

0,06

Tabela 3.1.

Kao primer uzmimo grešku broja 12,3. Ukoliko on ima dve sigurne cifre

onda je relativna greška oko 5 %.Prema konvenciji, gornja granica apsolutnog odstupanja se zaokružuje na jednu (ili u izuzetnim slučajevima dve) značajnu cifru, a u rezultatu zadržimo samo

10



jednu nesigurnu cifru. Na primer vrednost m=(13,763452±0,04951)g pisaćemo kaom=(13,76±0,05) g.Zaokruživanje je često potrebno prilikom obrade rezultata merenja. Ono se vrši

prema sledećim pravilima:- ako je na prvom zanemarenom mestu cifra veća ili jednaka 5 a iza nje ima

značajnih cifara različitih od 0, poslednja zadržana cifra se uvećava za 1;- ako je cifra na prvom zanemarenom mestu manja od 5 onda se prethodnacifra ne menja;

- ako je prva cifra koja se zanemaruje 5 a iza nje nema značajnih cifararazličitih od 0, onda se poslednja zadržana cifra uvećava za 1 ukoliko je onaneparna ili ostaje nepromenjena ukoliko je parna.

Ako se pridržavamo ovih pravila onda ćemo gršku svesti na vrednost koja je manja od polovine poslednje zadržane decimale.Ova pravila važe samo za zaokruživanje rezultata merenja, dok se kod

zaokruživanja gornje granice apsolutnog odstupanja na jednu znaćajnu cifru touvek vrši na više. Tako bi se gornja granica apsolutnog odstupanja vrednosti211,0: =∆aa zaokru`ila na 3,0=∆a a ne na 2,0=∆a .U eksperimentima se često koriste tablice u kojima nema gornjih granica

apsolutnog odstupanja iako ove vrednosti nisu tačne. Kao gornja grnica apsolutnogodstupanja se u tim slučajevima uzima polovina vrednosti poslednje decimale koja

je navedena.

3.2 Obrada i procena tačnosti

rezultata merenja

Procena tačnosti rezultata je jedan od velikih problema prilikom obraderezultata svakog merenja. Ovaj termin se u praksi često zamenjuje sa terminomizračunavanje greške rezultata. Ukoliko se ne navede sa kojom tačnošću je merenaneka veličina onda takav rezultat neće imati nikakav naučni znažaj. Postoji višestandardnih postupaka za procenu tačnosti rezultata merenja.

3.3 Direktno merenje koje se ponavlja više puta

Ukoliko su slučajne greške veše od tačnosti instrumeta onda se pribegavadirektnom merenju. Kada se jedno merenje ponovi n puta onda kao rezultatmerenja možemo navesti svih n rezultata, ali imajući u vidu da taj broj može bitivelik ovo se u praksi ne praktikuje. U praksi se uvodi jedna vrednost koja sadržisve informacije o merenju. To je srednja vrednost:

∑=

=+++=n

i

in sx

n x x x

n x

1

21

1)...(

1

Ova vrednost se ne mora poklapati sa nijednim od rezultata pojedinihmerenja ali se ona smatra najboljom tj. najverovatnijom, ali pod uslovom da na

11



rezultat nisu uticale sistematske greške. Kada se u merenju pojavi sistematskagreška onda ova vrednost nije najbolja. Takođe ne smemo izgubiti iz vida dasrednja vrednost nije tačna vrednost nego je samo najverovatnija od svih. Ovaosobina je potvrđena na više načina.

Ako se definiše devijacija pojedinačnog merenja kao:

S ii x x D −=

vidimo da njena vrednost može biti pozitivna i negativna. Zbir devijacija možemodobiti kao:

sin

n

i

i xn x x x D D D D ⋅−+++=+++=∑=

...... 2121

1 .Ako član s xn ⋅ zamenimo iz polazne jednačine:

01

=∑=

n

i

i D

Iz ove formule vidimo da je zbir svih devijacija jednak nuli. To je usuštini i razlog iz kog se srednja vrednost smatra najboljom. Kada na rezultat utičusamo slučajne greške, onda su pozitivna i negativna odstupanja jednako verovatna

pa se poništavaju. Ovu osobinu poseduje isključivo srednja vrednost.Kada smo utvrdili da je srednja vrednost najverovatnija, i razloge iz kojih

je to tako, onda nastaje problem oko pronalaženja tačne srednje vrednosti. Uovome će nam pomoći još jedna uvedena veličina a to je standardna devijacija koja

je opisana reelacijom:

( ) ∑=

−=−++−+−=n

i

i sn s s s sx x

n x x... x x x x

n D

1

21

11

Kod tačnijih merenja su male i pojedinačne devijacije i srednja devijacija, pa će ova veličina dobro karakterisati niz merenja. Slične osobine ima i standardnadevijacija ili standardno odstupanje od srednje vrednosti:

( ) .1

1σ

2∑ −−

= i s x xn

Ova veličina ima sledeći smisao: ako se merenje ponovi, 2/3 dobijenihvrednosti će biti u intervalu σxXσx ss +≤≤− sa verovatnoćom 66 %.

Zatim se još definiše i gornja granica apsolutnog odstupanja koja jenajveće odstupanje od srenje vrednosti (najveća devijacija od srednje vrednosti):

i si x x D D −== maxmax

12



Za ovu vrednost se sve češće koristi statistička greška, koja se dobija kadase standardna devijacija podeli kvadratnim korenom broja merenja:

n

σΔ

x

stat=

3.4 Direktno merenje koje se ne ponavlja

Kada je tačnost instrumenta manja od statističkih grešaka, onda semerenje ne ponavlja. Dakle kada se u nekoliko uzastopnih merenja ponavlja istirezultat onda se prekida merenje i za gornju granicu apsolutnog odstupanja seuzima tačnost mernog instrumenta kojim se vrši merenje. Nominalne tačnostinekih instrumenata su date u tabeli 3.2.

Merilo Nominalna tačnostMetalni metar 1mm Nonijus 0,02 mm

Mikrometar 0,01 mmHronometar 0,2 s

Terazije 0,01gTermometri 1oC-0,1oC

Tabela 3.2.

3.5 Indirektno merenje

Gornja granica apsolutnog odstupanja veličine koja se dobija sabiranjemdirektno merenih veličina. Ako se pri merenju tačnih vrednosti A i B dobiju a i b.S=A+B, s=a+b , a Aa ∆≤− i b Bb ∆≤− . Procenimo gornju granicu apsolutnog

odstupanja zbira S s s −=∆ :

( ) ( ) ( ) ( ) ba Bb Aa Bb Aa B AbaS s ∆+∆≤−+−≤−+−=+−+=−

Gornja granica apsolutnog odstupanja zbira nije veća od zbira gornjihgranica apsolutnih odstupanja pojedinih sabiraka. Ako se zadrži znak jednakosti,dobije se dobra procena tačnosti koja se može proširiti na zbir većeg brojasabiraka:

ba s ∆+∆=∆onda dalje sledi:

naaa s ∆++∆+∆=∆ ...21

13



ili ako je naaa ∆==∆=∆ ...21 :an s ∆⋅=∆

Kada imamo puno sabiraka, obrazac daje pesimističku procenu jer se unjegovom izvodjenju uzima da su sva odstupanja istog znaka. U praksi su

odstupanja uglavnom različitih znakova. Ako je broj sabiraka većih od 3 ondagornja granica apsolutnog odstupanja raste linearno sa njihovim korenom:

( )33 >∆⋅=∆ nan s

Gornja granica apsolutnog odstupanja jednog od sabiraka često višestruko premauje vrednost apsolutnog odstupanja bilo kojeg od ostalih. Onda je gornjagranica apsolutnog odstupanja zbira jednaka najvećoj gornjoj granici apsolutnogodstupanja sabiraka.

Gornja granica relativnog odstupanja zbira se računa kao:

n

n

aaa

aaa

+++

∆++∆+=

...

...Δδs

21

21

Gornja granica apsolutnog odstupanja veličine koja se dobija kao razlikadirektno merenih veličina. Kada su a∆ i b∆ gornje granice apsolutnog odstupanjadirektno merenih veličina a i b respektivno. Daljim sređivanjem ove jednačinedoći će se do krajnje jednačine za gornju granicu relativnog odstupanja (za n

merenja):

n21 δ...δδδ aaa p +++=

Procena tačnosti merenja za četiri osnovne računske operacije je prostijaod slučaja kada se za nalaženje rezultata merenja moraju izračunavati vrednostisloženijih izraza. Nalaženje analitičkih izraza za procenu tačnosti u slučajevima ukojima se u formulama pojavljuju trigonometrijske, eksponencijalne ili drugefunkcije je veoma komplikovano. U tabeli 3.3. nalaze se samo sređeni oblici izrazaza procenu tačnosti merenja.

14



Oblik zavisnosti Gornja granicaapsolutnogodstupanja

Gornja granicarelativnog odstupanja

15



Zbir naaa s +++= ...21

naaa s ∆++∆+∆=∆ ...21

s

s s

∆=δ

Razlikad=a-b

bad ∆−∆=∆

d

d d

∆=δ

Proizvodnaaa p ⋅⋅⋅= ...21

p p p δ⋅=∆ naaa p δ...δδδ 21 +++=

Koli~nik b

aq =

qqq δ⋅=∆ baq δδδ +=

Logaritamskafunkcija

y =ln x

δx=∆

=∆ x

x y

x

x

y

y y

ln

δδ =

∆=

Trigonometrijske

funkcije y=sin x

x x y ∆⋅=∆ cos x x y ∆⋅= ctgδ

Trigonometrijskefunkcije

y=cos x

x x y ∆⋅=∆ sin x x y ∆⋅= tgδ

Trigonometrijskefunkcije

y=tg x

( x x y ∆+=∆2tg1 ( ) x x x y ∆⋅+= ctgtgδ

Eksponencijalnefunkcije y=a x

xaa y x∆⋅⋅=∆ ln xa y ∆⋅= lnδ

Eksponencijalnefunkcije

y=e x

x y x ∆⋅=∆ e x y ∆=δ

Stepena funkcija y=xm

xmx y m∆⋅=∆

−1 xm y δδ ⋅=

Tabela 3.3.

4. Prikazivanje rezultata merenja

16



Tražena veličina se uglavnom određuje indirektnim putem. Često se zarezultat traži prikazivanje nekog oblika zavisnosti a ne samo jedan broj kaorezultat. Ono što je zajedničko u oba slučaja je to da se oba puta ponavlja nizdirektnih merenja. Taj niz možemo da prikazujemo tabelarno i grafički.

4.1 Tabelarno prikazivanje rezultata

Tabela je šema koja služi za pregledno i sistematsko upisivanje većeg broja podataka. Rubrike se pripremaju pre merenja i popunjavaju se tekstom i brojnim vrednostima koje predstavljaju vrednosti izmerenih podataka.

Kao primer uzmimo slučaj kada želimo da ispitamo da li se od dateopruge može napraviti dinamometar za merenje intenziteta sila u opsegu od 0,02do 0,2 N. Opteretićemo oprugu tegovima poznate mase i čitati vrednosti izduženjasa merne hartije koju smo postavili iza opruge. Pokušaćemo da isključimo sve

greške merenja (koje može izolovati eksperimentator). Nakon toga moramoizračunati opseg u kom će se kretati mase opterećenja. Računanjem se dobije da jetraženi opseg 2 do 20 g ( g=1030 cm/s2). Rezultati se mogu videti u tabeli 4.1.

Redni broj

merenja1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

m[g] 2,0 5,0 7,0 10,0 11,0 12,0 14,0 15,0 17,0 19,0l [mm] 14 37 50 73 81 89 120 110 123 140

Tabela 4.1.

Naravno, moraju se napomenuti vrednosti za tačnost merenja a one iznose2 mm za dužinu i 0,1 g za tačnost upotrebljenih tegova. Zatim se još mora proveritida li je istezanje u datom intervalu proporcionalno opterećenju:

mk l ⋅=Ovo možemo videti ili kada za svaki par računatih vrednosti računamo k

ili preko grafika.

4.2 Grafičko prikazivanje rezultata

Na grafiku se sve može uočiti vizuelno a grafik može poslužiti i za poredjenje više krivih. Tačke dobijene merenjem se prikazuju na grafiku u vidu preseka krakova krstića gde ti krstići predstavljaju gornju granicu apsolutnogodstupanja u merenju. Na slici 4.1. vidi se grafik za prethodni primer.

17



Slika 4.1

Sa grafika se može videti da sve tačke osim one za 14 g leže na (približno)istom pravcu. Kada naidjemo na ovakvu situaciju onda možemo zaključiti da je rečo gruboj grešci pa je potrebno ponoviti merenje. Ukoliko ovo nije moguće onda seta tačka jednostavno zanemaruje. Prava se povlači tako da što približnije odgovarasvim tačkama, ali ona ne mora da prolazi kroz nijednu od tačaka.

U konkretnom primeru sa grafika možemo da zaključimo da se od oprugekoja je poslužila za merenje može napraviti dinamometar.

4.3 Pravila za crtanje grafika

Radi razumljivosti nacrtanog grafika, prilikom njegove izrade moraju se poštovati određena pravila. Većina grafika se crta na milimetarskom papiru salinearnom podelom, u pravougaonom koordinatnom sistemu. Veličina papirazavisi od opsega, broja sigurnih cifara. Nezavisno promenljiva se nanosi na apscisua zavisna na ordinatu. Ose se, na svojim krajevima, oboležavaju sa simbolommerne veličine i jedinicama u uglastoj zagradi. Numeričke vrednosti treba daomogućavaju lako čitanje svih vrednosti sa grafika. Zato se obeležavaju samookrugle cifre. Kriva treba da prolazi preko celog papira. Razmere se mogu

razlikovati samo na apscisi i ordinati, a ne i na samim linijama. Vrednost podeokatreba da bude 1, 2, 5 ili 10 da bi se rezultati lakše čitali. Ostale vrednosti takodje unekim slučajevima se mogu uzeti za vrednost podeoka ali se ovo treba izbegavati.

Grafik poseduje naslov koji govori šta on predstavlja, i legendu. Tačke semogu predstaviti na razne načine, ali one moraju biti lako uočljive. Takodje je

potrebno da se naznači gornja granica apsolutnog odstupanja. Akoeksperimentalnih tačaka na grafiku nema onda se radi o grafiku koji je dobijenteorijski.

Krive se povlače tako da odgovaraju svim tačkama a to u nekim

slučajevima nije lako. Povlačenje krive bez preloma i prekida se zoveinterpolacija. Čak i u ovom slučaju treba pokušati da se obuhvate sve tačke. Kroz

Istezanje oprugeu f-ji opterećenja

Δm=0,1g Δl=2mm

l[mm]

m[g]

18



takve skupove tačaka može se povući više krivih koje će se razlikovati, pa jerešenje ipak donekle proizvoljno.

Ako se kriva mora produžiti u oblast gde nema eksperimentalnih tačakaonda se radi o procesu ekstrapolacije. Delovi krive koji nastaju ekstrapolacijom se

predstavljaju isprekidanom linijom i mora se paziti da rezultat koji daje taj deo

krve ne bude besmislen.Koeficijent pravca prave linije je tangens ugla koji ona gradi sa apscisom.U fizičkim merenjim se na ose nanose razne veličine pa nisu definisanegeometrijske veličine (osim ako obe ose predstavljaju dužinu). U fizičkimmerenjima se kod računanja strmine moraju uzati u obzir i njene dimenzije.Strmina se može odrediti tako što sa grafika pročitamo dva para vrednosti koje nisudobijene merenjem i izračunamo količnik njihovih razlika.

12

12

mm

l l k

−

−=

Kada izračunamo strminu eksperimentalne krive možemo doći i dokoeficijenta strmine opruge.

4.4 Linearizacija grafika

Postoje slučajevi kada tačke ne grafiku ne izgledaju kao da teže ka istoj pravoj. Tada se pristupa transformacijama koje će od krive napraviti pravu.Linearizacija je proces nalaženja transformacija

( ) y x f X ,1= ; ( ) y x f Y ,2=koje će zavisnost

0),( = y x F

da svedu na linearni oblik B AX Y += .

Linearizacija se ne može izvršiti na svim graficima, a na nekima se možeizvršiti na više različitih načina. Linearizaciju je lakše izvršiti ukoliko nam je

poznata teorijska zavisnost izmedju veličina koje su predstavljene na grafiku. U

nekim slučajevima se bez njih ne može ni izvršiti linearizacija.

19



5. Merenje ja č ine struje. Ampermetar

5.1 Električni merni instrumenti

U posebnu grupu mernih instrumenata spadaju merni instrumenti kojimere električne veličine. Oni se koriste za merenje različitih parametara kojifigurišu u električnim kolima i električnim mrežama.

Električni merni instrumenti se moraju koristiti veoma pažljivo. Prilikomnjihovog korišćenja moramo pažljivo izabrati metod pomoću kog ćemo vršitimerenje i prenošenje date vrednosti koju smo izmerili na na merenu veličinu.Takodje se mora paziti prilikom prikazivanja rezultata merenja. Metoda merenja se

bira tek nakon što se zaključi kakva je priroda objekta merenja, brzine merenja,tačnosti i referentnih uslova u kojima će se vršiti merenje. Da bi pre početkamerenja znali kolika je tačnost merenja mernog instrumenta, električni merniinstrumenti se razvrstavaju u grupe prema njihovoj tačnosti. Ove podele vrše raznemetrološke institucije.

Elektromehanički merni instrumenti su preteča današnjim električnimmernim instrumentima. Kod ovih instrumenata se fizičke veličine transformišu uelektrični pomeraj. U današnje vreme su razvijena mikroelektronska kola pa se sanjima došlo do novijih i modernijih električnih mernih instrumenata.Upotrebljavaju se analogni i digitalni električni merni instrumenti, a u nekimslučajevima se mogu sresti merni instrumenti koji su kombunacije ove dve vrste

instrumenata.

5.2 Jačina struje

Jačina ili intenzitet struje je prva i najvažnija karakteristika električnestruje. To je skalarna veličina koja opisuje kretanje električnih naelektrisanja krozneku površinu. Ukoliko je u pitanju vremenski konstantna jačina struje onda se onaobeležava sa I. Struja takodje ima i smer. Jedinica jačine struje u SI sistemu je

[I]=A (amper). Naziv je dobila po francuskom fizičaru Amperu (Ampere).

5.3 Merenje električne struje ampermetrom

Jačinu struje merimo uredjajem koji se zove ampermetar. Ampermetar se prilikom merenja vezuje na red sa kolom čija struja treba da se izmeri. Prilikomuključenja mernog instrumenta moramo težiti da što manje izmenimo parametre

koji figurišu u kolu u kom se vrši merenje. Ako su ove promene male onda jetačnost velika. Ampermetar se u kolo vezuje po šemi koja je data na slici 5.1.

20



Slika 5.1.

Neka je Ra ukupna otpornost ampermetra. Kada taj ampermetar uključimou neko kolo onda on izaziva pad napona na ampermetru I RU aa =

i izaziva pad snage2

I R P aa

=

Ampermetar takodje deluje i na umanjenje ukupne struje. Vrednost struje pre uključivanja ampermetra je:

a R

I ξ

='

i ona opada do vrednosti

a R R

I +

=ξ

Iz ove jednačine se jasno vidi da se mora težiti ka smanjenju otpornostiampermetra.

Kada merimo jačinu struje moramo paziti da ne predjemo jačinu strujekoja može da se izmeri ampermetrom koji uključujemo u kolo, jer bi u suprotnomdošlo do oštećenja instrumenta. Merni opseg instrumenta se može povećati ako se

paralelno sa njim u kolo veže i otpornik male otpornosti R s. Ovaj otpornik se

stavlja da bi se sprečilo da kroz instrument prodje struja koja je veća od njegovestruje punog skretanja i naziva se šant. Vezivanje se vrši kao na slici 5.2.

I R a

R

A

21



Slika 5.2

Za ovo kolo na osnovu I Kirhofovog pravila možemo napisati

I-I a-I S =0a zatim i

RS I S -Ra I a=0na osnovu II Kirhofovog pravila.

Na osnovu ova dva izraza dobijamo izraz za struju kroz potrošač I ufunkciji struje kroz ampermetar I a

a

S

a I R

R I

+= 1

Iz ovoga dalje sledi da ako imamo poznatu unutrašnju otpornostinstrumenta Ra i otpornost šanta RS , onda na osnovu struje koja se meriampermetrom I a možemo da odredimo jačinu struje I kroz potrošač.

OdnosS

a

R

R+1 zovemo mo ć multiplikacije ampermetra i mera je za

proširenje mernog opsega ampermetra. Pomoću ovoga jedan ampermetar se možekoristiti za merenja u velikom intervalu. Ovo se vidi na slici 5.3.

I Ia R

a

I s R

s

U R

A

22



Slika 5.3

I R a

P R s1

R s2

R

R s3

A

23



Literatura

1. Dimitrijević dr. Božidar “Električna merenja”, Naučna knjiga, Beograd,1990.

2. Sajfert dr Vjekoslav “Praktikum iz fizike”, Tehnički fakultet „Mihajlo Pupin”,Zrenjanin, 2002.

3. Sajfert dr Vjekoslav “Elektrotehnika sa elektronikom”, Tehnički fakultet„Mihajlo Pupin”, Zrenjanin, 2003.