EletromagnetismoNewton Mansur
Cargas em movimento
๐ถ๐๐๐๐๐๐ก๐ ๐ =ฮ๐
ฮ๐ก
๐ท๐๐๐ ๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐ก๐ ๐ =๐
๐
๐ ๐๐ ๐๐ ๐กรช๐๐๐๐ ๐โ๐๐๐๐ ๐ =ฮ๐
๐
ฮ๐
๐
๐ฃ๐๐ = ๐ฮ๐
ฮ๐ = ๐๐ฃ๐ฮ๐
ฮ๐
๐ข
๐ข =ฮ๐
ฮ๐ก
๐ =ฮ๐
ฮ๐ก=๐๐ฃ๐ฮ๐
ฮ๐ก= ๐๐ฃ๐u = jS
๐ = ๐๐ฃu
๐๐ฃ = ๐๐
๐ = ๐๐u
๐ธ๐๐๐๐ก๐ ๐ฝ๐๐ข๐๐ ๐ = ๐๐
๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐๐๐๐ ๐ก๐ ๐๐๐๐๐ฃ๐ ๐ข
๐ท๐๐๐ ๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐ถ๐๐๐๐ ๐๐ฃ
๐ท๐๐๐ ๐๐๐๐๐ ๐๐ ร๐ก๐๐๐๐ ๐๐รฉ๐ก๐๐๐๐ ๐
๐ถ๐๐๐๐๐๐ก๐ ๐ =ฮ๐
ฮ๐ก
๐ท๐๐๐ ๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐ก๐ ๐ =๐
๐
๐ ๐๐ ๐๐ ๐กรช๐๐๐๐ รดโ๐๐๐๐ ๐ =ฮ๐
๐
๐ธ๐๐๐๐ก๐ ๐ฝ๐๐ข๐๐ ๐ = ๐๐
๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐๐๐๐ ๐ก๐ ๐๐๐๐๐ฃ๐ ๐ข
๐ท๐๐๐ ๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐ถ๐๐๐๐ ๐๐ฃ
๐ท๐๐๐ ๐๐๐๐๐ ๐๐ ร๐ก๐๐๐๐ ๐๐รฉ๐ก๐๐๐๐ ๐
๐ = ๐๐u
๐๐ข
ฯ= ๐น = ๐๐ธ
๐ข =๐ฯ
๐๐ธ =
๐
๐๐
๐ =๐๐2ฯ
๐๐ธ
๐ = ๐๐ธ
๐ =๐๐2ฯ
๐
๐ถ๐๐๐๐ข๐ก๐๐ฃ๐๐๐๐๐ ๐๐รฉ๐ก๐๐๐๐ ๐
๐ =ฮ๐
๐
๐
๐= ๐ =
ฮ๐
๐๐
๐
๐= ๐ =
๐
๐๐
ฮ๐
๐=
๐
๐๐ ๐ธ
๐ =๐
๐๐ ๐ธ = ๐๐ธ
๐ =๐๐
๐
๐ =1
๐
๐ ๐๐ ๐๐ ๐ก๐๐ฃ๐๐๐๐๐ ๐๐รฉ๐ก๐๐๐๐ ๐
๐ถ๐๐๐๐๐๐ก๐ ๐ =ฮ๐
ฮ๐ก
๐ท๐๐๐ ๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐ก๐ ๐ =๐
๐
๐ ๐๐ ๐๐ ๐กรช๐๐๐๐ รดโ๐๐๐๐ ๐ =ฮ๐
๐
๐ธ๐๐๐๐ก๐ ๐ฝ๐๐ข๐๐ ๐ = ๐๐
๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐๐๐๐ ๐ก๐ ๐๐๐๐๐ฃ๐ ๐ข
๐ท๐๐๐ ๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐ถ๐๐๐๐ ๐๐ฃ
๐ท๐๐๐ ๐๐๐๐๐ ๐๐ ร๐ก๐๐๐๐ ๐๐รฉ๐ก๐๐๐๐ ๐
๐ = ๐๐u
๐ = ๐๐ธ
๐ถ๐๐๐๐ข๐ก๐๐ฃ๐๐๐๐๐ ๐๐รฉ๐ก๐๐๐๐ ๐
๐ =1
๐
๐ ๐๐ ๐๐ ๐ก๐๐ฃ๐๐๐๐๐ ๐๐รฉ๐ก๐๐๐๐ ๐
๐ถ๐๐๐๐
๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐๐ ๐ ๐ 8920 ๐๐/๐3
๐๐๐ ๐ ๐ ๐๐กรด๐๐๐๐ 64
๐รบ๐๐๐๐ ๐๐ ๐ด๐ฃ๐๐๐๐๐๐ 6,022๐ฅ1023
64 ๐๐ ๐๐ ๐๐๐๐๐ โ 6,022๐ฅ1026 รก๐ก๐๐๐๐
๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐๐๐๐ =8920
64= 139 ๐๐๐๐๐ /
๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐ ๐๐ รก๐ก๐๐๐๐ = 139๐ฅ6,022๐ฅ1026
๐ = 8,37๐ฅ1029 รก๐ก๐๐๐๐ /๐3
๐ข =๐
๐๐
๐ = 1๐ด ๐ = 1๐๐2 ๐ = 1๐ฅ106๐ด/๐2
=1๐ฅ106
8,37๐ฅ1029๐ฅ1,602๐ฅ10โ19= 7,5๐ฅ10โ6๐/๐
๐ข = 2,7๐๐/โ
ิฆ๐ฃ๐ต
ิฆ๐น
ิฆ๐น โ ๐ ิฆ๐ฃ ๐ต
ิฆ๐น โฅ ๐ต
ิฆ๐น โฅ ิฆ๐ฃ
ิฆ๐น = ๐ ิฆ๐
ิฆ๐น = ๐๐ธ
ิฆ๐น = ๐ ิฆ๐ฃ ร ๐ต
ิฆ๐ฃ๐ต
ิฆ๐ฃ ร ๐ต
ิฆ๐ฃ
ิฆ๐น
ิฆ๐น+ ิฆ๐นโ
ิฆ๐น = ๐ ิฆ๐ฃ ร ๐ต
๐น๐ = ๐๐ฃ๐ต = ๐๐ฃ2
๐
๐ =๐๐ฃ
๐๐ต๐
๐ต
๐ผ
๐ ๐
๐
๐ ิฆ๐น = ๐๐ ิฆ๐ฃ ร ๐ต
๐ ิฆ๐น
๐ ิฆ๐
ิฆ๐ฃ =๐ิฆ๐
๐๐ก๐ ิฆ๐น = ๐๐
๐ิฆ๐
๐๐กร ๐ต ๐ ิฆ๐น =
๐๐
๐๐ก๐ิฆ๐ ร ๐ต
๐ ิฆ๐น = ๐ผ๐ิฆ๐ ร ๐ต ๐๐ ิฆ๐ฃ โก ๐ผ๐ิฆ๐
๐ต๐ผ
๐ ิฆ๐น
๐ ิฆ๐
๐ ิฆ๐น = ๐ผ๐ิฆ๐ ร ๐ต
๐ ิฆ๐น
๐ ิฆ๐๐ ิฆ๐น
๐ ิฆ๐๐ ิฆ๐น
๐ ิฆ๐๐ฟ
ิฆ๐น = ๐ผ๐ฟ ร ๐ต
๐ต
๐ผ
๐ ิฆ๐น
๐ ิฆ๐
๐ ิฆ๐น = ๐ผ๐ิฆ๐ ร ๐ต
๐ ิฆ๐น๐ป
๐ ิฆ๐น๐ ๐ิฆ๐น
๐ ิฆ๐๐ ิฆ๐น๐ป
๐ ิฆ๐น๐
๐๐น = ๐ผ๐๐๐ต ๐๐น๐ป = ๐ผ๐๐๐ต๐๐๐ ๐
๐
๐
๐๐น๐ = ๐ผ๐๐๐ต๐ ๐๐๐
๐๐
๐๐ = ๐ ๐๐
๐๐น๐ = ๐ผ๐ ๐ต๐ ๐๐๐๐๐
๐น๐ = ๐ผ๐ ๐ตเถฑ0
๐
๐ ๐๐๐๐๐ ๐น๐ = 2๐ผ๐ ๐ต
๐
๐ต
๐ผ
๐ ิฆ๐น
๐ ิฆ๐
๐ ิฆ๐น = ๐ผ๐ิฆ๐ ร ๐ต
๐ ิฆ๐น๐ป
๐ ิฆ๐น๐
๐๐น = ๐ผ๐๐๐ต ๐๐น๐ป = ๐ผ๐๐๐ต๐๐๐ ๐
๐
๐
๐๐น๐ = ๐ผ๐๐๐ต๐ ๐๐๐
๐๐
๐๐ = ๐ ๐๐
๐๐น๐ = ๐ผ๐ ๐ต๐ ๐๐๐๐๐
๐น๐ = ๐ผ๐ ๐ตเถฑ0
๐ผ
๐ ๐๐๐๐๐ ๐น๐ = ๐ผ๐ ๐ต(1 โ ๐๐๐ ๐ผ)
๐ผ
๐น๐ป = ๐ผ๐ ๐ต๐ ๐๐๐ผ
๐ผ
๐ผ
๐ผ
๐ผ
๐ต
ิฆ๐น1
โ ิฆ๐น1
ิฆ๐น2โ ิฆ๐น2
๐
๐
ิฆ๐น = ๐ผ๐ฟ ร ๐ต ๐น1 = ๐ผ๐๐ต
๐น2 = ๐ผ๐๐ต
๐น๐ = 0
๐ผ
๐ผ๐ต
ิฆ๐น1
โ ิฆ๐น1
ิฆ๐น2
ิฆ๐น = ๐ผ๐ฟ ร ๐ต ๐น1 = ๐ผ๐๐ต
๐น2 = ๐ผ๐๐ต๐ ๐๐๐
๐น๐ = 0
๐
ิฆ๐
ิฆ๐ = ิฆ๐ ร ิฆ๐น
๐ผ
๐ = ๐๐น๐ ๐๐๐ผ =๐
2๐น1๐ ๐๐๐ผ =
1
2๐ผ๐๐๐ต๐ ๐๐๐ผ
๐๐ = ๐ผ๐๐๐ต๐ ๐๐๐ผ = ๐ผ๐๐ต๐ ๐๐๐ผ
ิฆ๐
๐ผ
ิฆ๐๐ = ๐ผ ิฆ๐ ร ๐ต ิฆ๐ = ๐ผ ิฆ๐ ิฆ๐๐ = ิฆ๐ ร ๐ต
ิฆ๐ โ ๐๐๐๐๐๐ก๐ ๐๐ ๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐รฉ๐ก๐๐๐
ิฆ๐
๐๐๐๐ ๐ ๐๐๐๐๐๐ ๐๐รฉ๐ก๐๐๐๐ เถป๐ธ๐ ิฆ๐ = 0 ๐ป. ๐ธ = 0
๐๐๐๐ ๐ ๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐รฉ๐ก๐๐๐ เถป๐ต๐ ิฆ๐ = 0 ๐ป. ๐ต = 0
๐ผ
๐ผ
๐ผ
๐ผ
๐ต
๐ผ
๐ผ๐ต
ิฆ๐น1
โ ิฆ๐น1
ิฆ๐น2
๐
ิฆ๐
๐ผ
๐ต
๐ผ
ิฆ๐๐ = ิฆ๐ ร ๐ต
๐ต
๐ต
๐ต
๐ต
๐บ
๐ต
๐บ
๐ต
๐บ
๐บ
๐ต
๐ต
๐บ
๐ต
๐บ
๐ญ
๐ญ
๐ผ
๐ฐ
๐ผ
๐ต
๐บ
๐ต
๐ต
๐ต
๐บ
๐บ
๐บ
๐ต
๐ผ
๐ต
๐ต
๐ต
๐ต
๐ต
๐ฐ
๐๐ต๐ผ
๐ ๐
๐
๐๐ต๐ผ ๐๐ ิฆ๐ฃ ร ิฆ๐
๐ ิฆ๐
ิฆ๐
๐ฐ
X
๐ต โฅ ิฆ๐ฃ
๐ต โฅ ิฆ๐
ฦธ๐
๐๐ต๐ผ ๐๐ ิฆ๐ฃ ร ฦธ๐
๐๐ต๐ผ๐๐ ิฆ๐ฃ ร ฦธ๐
๐2
๐๐ต =๐04๐
๐๐ ิฆ๐ฃ ร ฦธ๐
๐2
๐๐ ิฆ๐ฃ โก ๐ผ๐ิฆ๐
๐๐ต =๐0๐ผ
4๐
๐ิฆ๐ ร ฦธ๐
๐2๐๐ต =
๐0๐ผ
4๐
๐ิฆ๐ ร ิฆ๐
๐3
๐ฟ๐๐ ๐๐ ๐ต๐๐๐ก โ ๐๐๐ฃ๐๐๐ก
๐ต
๐ผ๐ ิฆ๐
๐ผ
๐๐ต =๐0๐ผ
4๐
๐ิฆ๐ ร ฦธ๐
๐2๐ิฆ๐ โฅ ิฆ๐
ิฆ๐๐
๐๐ต =๐0๐ผ
4๐
๐๐
๐ 2๐ต =
๐0๐ผ
4๐
1
๐ 2เถฑ๐๐
๐ต =๐0๐ผ
4๐
๐ ๐ผ
๐ 2๐ต =
๐0๐ผ
4๐๐ ๐ผ
๐ผ๐ ๐
ิฆ๐
๐๐ต =๐0๐ผ
4๐
๐ ิฆ๐ฅ ร ฦธ๐
๐2
๐
๐๐ฅ
๐ฆ
๐๐ต
๐
๐๐ต =๐0๐ผ
4๐
๐๐ฅ ฦธ๐ ๐ ๐๐๐
๐2๐๐ต =
๐0๐ผ
4๐
๐๐ฅ
๐2๐ฆ
๐๐๐ต =
๐0๐ผ๐ฆ
4๐
๐๐ฅ
๐ฅ2 + ๐ฆ2 เต32
๐ต =๐0๐ผ๐ฆ
4๐เถฑโ๐
๐ ๐๐ฅ
๐ฅ2 + ๐ฆ2 เต32
0
๐ ๐
๐ต =๐0๐ผ
2๐๐ฆ
๐ต =๐0๐ผ๐ฆ
4๐
๐ฅ
๐ฆ2 ๐ฅ2 + ๐ฆ2๐โ๐
๐๐๐๐ ๐ ๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐ก๐๐ โ โ
๐ โ โ
๐ผ
๐
๐ต
๐ต =๐0๐ผ
2๐๐
๐ผ
๐
๐ต
๐ต =๐0๐ผ
2๐๐๐ต2๐๐ = ๐0๐ผ
๐ผ
๐ต1 ๐ต2๐๐ = ๐0๐ผ
๐ 1
๐ 2๐ต2
๐ต1๐ 1 = ๐ต2๐ 2 =๐0๐ผ
๐
๐ต1๐ 1 + ๐ต2๐ 2 +โฏ+ ๐ต๐๐ ๐ = ๐0๐ผ
๐ ิฆ๐
เถฑ๐ 1
๐ต. ๐ิฆ๐ + เถฑ๐ 2
๐ต. ๐ ิฆ๐ + โฏ+เถฑ๐ ๐
๐ต. ๐ ิฆ๐ = ๐0๐ผ
๐ิฆ๐
๐ ิฆ๐
๐ิฆ๐
๐ต
๐๐๐ ๐๐๐๐๐
๐๐ ๐๐๐๐ก๐ ๐๐๐๐๐๐ เถฑ ๐ต. ๐ ิฆ๐ = 0๐ต โฅ ๐ิฆ๐
๐ต โฅ ๐ิฆ๐
เถป๐ต. ๐ ิฆ๐ = ๐0๐ผ
๐ิฆ๐
๐ต. ๐ ิฆ๐
๐ผ
เถป๐ต. ๐ ิฆ๐ = ๐0๐ผ
๐ต
๐ต
๐ผ
เถฑ๐ด
๐ต. ๐ ิฆ๐ + เถฑ๐ต
๐ต. ๐ ิฆ๐ = ๐0๐ผ
๐ ิฆ๐
เถป๐ต. ๐ ิฆ๐ = 0
๐ด
๐ต
๐ถ
เถฑ๐ด
๐ต. ๐ ิฆ๐ + เถฑ๐ถ
๐ต. ๐ ิฆ๐ = ๐0๐ผ
เถฑ๐ต
๐ต. ๐ ิฆ๐ = เถฑ๐ถ
๐ต. ๐ ิฆ๐
๐ต
๐ต
๐ ิฆ๐ ๐ ิฆ๐ เถฑ๐ถ
๐ต. ๐ ิฆ๐ > 0
เถฑ๐ต
๐ต. ๐ ิฆ๐ < 0
เถฑ๐ต
๐ต. ๐ ิฆ๐ + เถฑ๐ถ
๐ต. ๐ ิฆ๐ = 0
๐ผ
เถป๐ต. ๐ิฆ๐ = ๐0๐ผ๐ผ๐๐ก
๐ต
๐ต
๐ผ๐ผ๐๐ก
๐ผ๐ธ๐ฅ๐ก
๐ฟ๐๐ ๐๐ ๐ด๐๐รจ๐๐
เถป๐ต. ๐ิฆ๐ = ๐0๐ผ๐ผ๐๐ก
๐ผ
๐
เถป๐ธ. ๐ิฆ๐ = 0
๐ผ
๐
๐ต
๐ผ
๐
๐ต
๐ต2๐๐ = ๐0๐ผ๐ผ๐๐ก
เถป๐ต. ๐ิฆ๐ = ๐0๐ผ๐ผ๐๐ก
๐ิฆ๐
๐ต โฅ ๐ิฆ๐
๐ต =๐0๐ผ๐ผ๐๐ก2๐๐
๐ต =๐0๐ผ
2๐๐
๐ผ
๐
๐ต
๐ผ
๐๐ต
๐ต2๐๐ = ๐0๐ผ๐ผ๐๐ก
เถป๐ต. ๐ิฆ๐ = ๐0๐ผ๐ผ๐๐ก
๐ิฆ๐
๐ต โฅ ๐ิฆ๐
๐ต =๐0๐ผ๐ผ๐๐ก2๐๐
๐ต =๐0๐ผ
2๐๐
๐๐ต
๐๐ต
๐ผ๐
๐ต
๐ผ
๐๐ต
๐ต2๐๐ = ๐0๐ผ๐ผ๐๐ก
เถป๐ต. ๐ิฆ๐ = ๐0๐ผ๐ผ๐๐ก
๐ิฆ๐
๐ต โฅ ๐ิฆ๐
๐ต =๐0๐ผ๐ผ๐๐ก2๐๐
๐๐ต
๐๐ต
๐ผ๐ผ๐๐ก๐ผ
=๐ด๐ผ๐๐ก๐ด
๐ผ๐ผ๐๐ก = ๐๐ด๐ผ๐๐ก
๐ผ๐ผ๐๐ก = ๐ผ๐๐2
๐๐ 2
๐ต =๐0๐ผ
2๐
๐
๐ 2
๐ท = ๐๐ธ ๐ท =๐
4๐๐2เท๐๐
๐ป =๐ ิฆ๐ฃ ร ฦธ๐
4๐๐2๐ป =๐ต
๐๐๐ป =
๐ผ๐ิฆ๐ ร ฦธ๐
4๐๐2
เถป๐ป. ๐ิฆ๐ = ๐ผ๐ผ๐๐ก
๐ป โ ๐ถ๐๐๐๐ ๐๐๐๐รฉ๐ก๐๐๐
๐ต โ ๐ท๐๐๐ ๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐น๐๐ข๐ฅ๐ ๐๐ข ๐ผ๐๐๐ขรงรฃ๐ ๐๐๐๐รฉ๐ก๐๐๐
๐ โ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐รฉ๐ก๐๐๐
๐ฅ
๐ฆ
๐ง
1 2
34
เถป๐ป. ๐ิฆ๐
๐ป0๐ฆ
๐ป0๐ฅ
๐ป0
๐ป0 = ๐ป0๐ฅ ิฆ๐๐ฅ + ๐ป0๐ฆ ิฆ๐๐ฆ + ๐ป0๐ง ิฆ๐๐ง
๐ป0๐ง
1 โ 2 ๐ป. โิฆ๐ = ๐ป๐ฆ1โ2โ๐ฆ
๐ป๐ฆ
= (๐ป0๐ฆ +๐๐ป๐ฆ
๐๐ฅ
โ๐ฅ
2)โ๐ฆ
3 โ 4 ๐ป. โิฆ๐ = ๐ป๐ฆ3โ4(โโ๐ฆ) = (๐ป0๐ฆ โ๐๐ป๐ฆ
๐๐ฅ
โ๐ฅ
2)(โโ๐ฆ)
4 โ 1 ๐ป. โิฆ๐ = ๐ป๐ฅ4โ1โx = (๐ป0๐ฅ โ๐๐ป๐ฅ๐๐ฆ
โ๐ฆ
2)โ๐ฅ
2 โ 3 ๐ป. โิฆ๐ = ๐ป๐ฆ2โ3(โโ๐ฅ) = (๐ป0๐ฅ +๐๐ป๐ฅ๐๐ฆ
โ๐ฆ
2)(โโ๐ฅ)
1 โ 2 โ 3 โ 4 ๐ป. โิฆ๐ =๐๐ป๐ฆ
๐๐ฅโ๐๐ป๐ฅ๐๐ฆ
โ๐ฅโ๐ฆ
๐ฅ
๐ฆ
๐ง
1 2
34
เถป๐ป. ๐ิฆ๐
๐ป0๐ฆ
๐ป0๐ฅ
๐ป0๐ป0๐ง
๐ป๐ฆ
๐ป.โิฆ๐ =๐๐ป๐ฆ
๐๐ฅโ๐๐ป๐ฅ๐๐ฆ
๐๐ง
โ๐ฅ โ 0 โ๐ฆ โ 0
๐ป.๐ิฆ๐ =๐๐ป๐ฆ
๐๐ฅโ๐๐ป๐ฅ๐๐ฆ
๐๐๐ง
เถป๐ป. ๐ิฆ๐ = เถฑ๐๐ป๐ฆ
๐๐ฅโ๐๐ป๐ฅ๐๐ฆ
๐๐๐ง
เถป๐ป. ๐ิฆ๐ = เถฑ๐๐ป๐ฆ
๐๐ฅโ๐๐ป๐ฅ๐๐ฆ
ิฆ๐๐ง. ๐๐๐ง ิฆ๐๐ง
เถป๐ป. ๐ิฆ๐ = เถฑ๐๐ป๐ง๐๐ฆ
โ๐๐ป๐ฆ
๐๐งิฆ๐๐ฅ . ๐๐๐ฅ ิฆ๐๐ฅ
เถป๐ป. ๐ิฆ๐ = เถฑ๐๐ป๐ฅ๐๐ง
โ๐๐ป๐ง๐๐ฅ
ิฆ๐๐ฆ . ๐๐๐ฆ ิฆ๐๐ฆ
๐ฅ
๐ฆ
๐ง
๐ ิฆ๐
๐ป
เถป๐ป. ๐ิฆ๐ = เถฑ๐๐ป๐ง๐๐ฆ
โ๐๐ป๐ฆ
๐๐งิฆ๐๐ฅ +
๐๐ป๐ฅ๐๐ง
โ๐๐ป๐ง๐๐ฅ
ิฆ๐๐ฆ +๐๐ป๐ฆ
๐๐ฅโ๐๐ป๐ฅ๐๐ฆ
ิฆ๐๐ง . ๐ ิฆ๐
๐
๐ =๐๐ป๐ง๐๐ฆ
โ๐๐ป๐ฆ
๐๐งิฆ๐๐ฅ +
๐๐ป๐ฅ๐๐ง
โ๐๐ป๐ง๐๐ฅ
ิฆ๐๐ฆ +๐๐ป๐ฆ
๐๐ฅโ๐๐ป๐ฅ๐๐ฆ
ิฆ๐๐ง
๐ = ๐ป ร ๐ป
เถป๐ป. ๐ิฆ๐ = เถฑ ๐ป ร ๐ป . ๐ ิฆ๐
เถป๐ป. ๐ิฆ๐ = เถฑ๐. ๐ ิฆ๐
เถป๐ป. ๐ิฆ๐ = ๐ผ๐ผ๐๐ก เถฑ ๐ป ร ๐ป . ๐ิฆ๐ = ๐ผ๐ผ๐๐ก = เถฑ ิฆ๐. ๐ ิฆ๐
ิฆ๐
๐ป ร ๐ป = ิฆ๐
เถป๐ต. ๐ิฆ๐ = ๐0๐ผ๐ผ๐๐ก
เถป๐ธ. ๐ิฆ๐ = 0
เถป๐ธ. ๐ ิฆ๐ =๐
๐0
เถป๐ต. ๐ ิฆ๐ = 0
๐ป. ๐ธ =๐
๐0
๐ป. ๐ต = 0
๐ป ร ๐ต = ๐0ิฆ๐
๐ป ร ๐ธ = 0
๐ป.๐ท = ๐
๐ป.๐ป = 0
๐ป ร ๐ป = ิฆ๐
๐ป ร ๐ท = 0
๐ป ร ๐ธ = 0 ๐ป ร ๐ท = 0
๐ป. ๐ต = 0
๐ป ร ๐ธ = 0 ๐ป ร ๐ป๐ = 0 ๐ธ = โ๐ป๐
๐ ิฆ๐ = ๐๐ ิฆ๐ + ๐0 ๐ป๐ ิฆ๐ = ๐ป๐๐ ิฆ๐
๐ป. (๐ป ร ิฆ๐ด) = 0 ๐ต = ๐ป ร ิฆ๐ด
๐ป ร ๐ป๐ฟ = 0 ิฆ๐ด ิฆ๐ = ิฆ๐ด๐ ิฆ๐ + ๐ป๐ฟ ๐ป ร ิฆ๐ด ิฆ๐ = ๐ป ร ิฆ๐ด๐ ิฆ๐
ิฆ๐ด ิฆ๐ โ ๐๐๐ก๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐ก๐๐
๐ป. ๐ธ =๐
๐0๐ธ = โ๐ป๐ ๐ป. (โ๐ป๐) =
๐
๐0๐ป2๐ = โ
๐
๐0
๐ป ร ๐ต = ๐0ิฆ๐ ๐ต = ๐ป ร ิฆ๐ด
๐ป ร ๐ป ร ิฆ๐ด = ๐ป. ๐ป. ิฆ๐ด โ ๐ป2 ิฆ๐ด ิฆ๐ด ิฆ๐ = ิฆ๐ด๐ ิฆ๐ + ๐ป๐ฟ
๐ป. ิฆ๐ด ิฆ๐ = ๐ป. ิฆ๐ด๐ ิฆ๐ + ๐ป. ๐ป๐ฟ ๐ป. ิฆ๐ด ิฆ๐ = ๐ป. ิฆ๐ด๐ ิฆ๐ + ๐ป2๐ฟ
๐ป. ิฆ๐ด๐ ิฆ๐ = โ๐ป2๐ฟ ๐ป. ิฆ๐ด ิฆ๐ = 0
๐ป ร ๐ป ร ิฆ๐ด = โ๐ป2 ิฆ๐ด = ๐ป ร ๐ต = ๐0ิฆ๐ ๐ป2 ิฆ๐ด = โ๐0ิฆ๐
Teorema de Helmholtz
1
4๐๐ป2เถฑ
ิฆ๐บ(ิฆ๐โฒ)
ิฆ๐ โ ิฆ๐โฒ๐๐ฃโฒ =
1
4๐เถฑ ิฆ๐บ(ิฆ๐โฒ)๐ป2
1
ิฆ๐ โ ิฆ๐โฒ๐๐ฃโฒ = เถฑ ิฆ๐บ(ิฆ๐โฒ)๐ฟ(ิฆ๐ โ ิฆ๐โฒ)๐๐ฃโฒ = ิฆ๐บ(ิฆ๐)
๐ ๐ =1
4๐เถฑ
ิฆ๐บ(ิฆ๐โฒ)
ิฆ๐ โ ิฆ๐โฒ๐๐ฃโฒ ๐ป2๐ ๐ =
1
4๐๐ป2เถฑ
ิฆ๐บ(ิฆ๐โฒ)
ิฆ๐ โ ิฆ๐โฒ๐๐ฃโฒ
๐ป2๐ ๐ = ิฆ๐บ ๐ ๐ ิฆ๐ =1
4๐เถฑ๐ปโฒ2๐ ิฆ๐โฒ
ิฆ๐ โ ิฆ๐โฒ๐๐ฃโฒ ๐ ิฆ๐ =
1
4๐เถฑ๐ปโฒ2๐ ิฆ๐โฒ
ิฆ๐ โ ิฆ๐โฒ๐๐ฃโฒ
ิฆ๐น = โ๐ป๐ + ๐ป ร ๐ ๐ป โ ิฆ๐น = โ๐ป2๐
๐ป ร ิฆ๐น = ๐ป ร ๐ป ร ๐ = ๐ป โ ๐ป โ ๐ โ ๐ป2๐ ๐ป โ ๐ = 0 ๐ป ร ิฆ๐น = โ๐ป2๐
๐ป โ ิฆ๐น = โ๐ป2๐ = ๐ท
๐ป ร ิฆ๐น = โ๐ป2๐ = ิฆ๐บ
๐ธ ิฆ๐ =1
4๐เถฑ๐ปโฒ2๐ธ ิฆ๐โฒ
ิฆ๐ โ ิฆ๐โฒ๐๐ฃโฒ ๐ธ = โ๐ป๐ + ๐ป ร ๐
๐ต ิฆ๐ =1
4๐เถฑ๐ปโฒ2๐ต ิฆ๐โฒ
ิฆ๐ โ ิฆ๐โฒ๐๐ฃโฒ ๐ต = โ๐ป๐ + ๐ป ร ิฆ๐ด
๐ธ =1
4๐เถฑ๐ปโฒ2๐ธ ิฆ๐โฒ
ิฆ๐ โ ิฆ๐โฒ๐๐ฃโฒ
๐ธ = โ๐ป. ๐ ๐ = โ1
4๐เถฑ
๐ป. ๐ธ
ิฆ๐ โ ิฆ๐โฒ๐๐ฃโฒ + ๐0 = โ
1
4๐๐0เถฑ
๐
ิฆ๐ โ ิฆ๐โฒ๐๐ฃโฒ + ๐0
ิฆ๐ด = โ1
4๐เถฑ
๐ป ร ๐ต
ิฆ๐ โ ิฆ๐โฒ๐๐ฃโฒ + ิฆ๐ด0 = โ
๐04๐
เถฑิฆ๐
ิฆ๐ โ ิฆ๐โฒ๐๐ฃโฒ + ิฆ๐ด0
๐ต =1
4๐เถฑ๐ปโฒ2๐ต ิฆ๐โฒ
ิฆ๐ โ ิฆ๐โฒ๐๐ฃโฒ =
1
4๐เถฑ๐ป. ๐ป. ๐ต โ ๐ป ร ๐ป ร ๐ต
ิฆ๐ โ ิฆ๐โฒ๐๐ฃโฒ
๐ต = ๐ป ร ิฆ๐ด
๐ = โ1
4๐๐0เถฑ๐
๐๐๐ฃ + ๐0 ิฆ๐ด = โ
๐04๐
เถฑิฆ๐
๐๐๐ฃ + ิฆ๐ด0
๐ป
1
2
๐ป1
โ๐
โ๐
โโโโ
๐ป1๐
๐ป1๐ก
๐ป2๐ป2๐
๐ป2๐ก
๐ด
๐ต๐ถ
๐ท
เถฑ๐ดโ๐ต
๐ป. ๐ิฆ๐ = โ๐ป2๐โโ
2โ ๐ป1๐
โโ
2
เถฑ๐ตโ๐ถ
๐ป. ๐ิฆ๐ = โ โ๐ป2๐กโ๐
เถฑ๐ถโ๐ท
๐ป. ๐ิฆ๐ = โ โ๐ป1๐โโ
2โ โ๐ป2๐
โโ
2
เถฑ๐ทโ๐ด
๐ป. ๐ิฆ๐ = โ๐ป1๐กโ๐
โ๐ป2๐โโ
2โ ๐ป1๐
โโ
2+ ๐ป2๐กโ๐ + ๐ป2๐
โโ
2+ ๐ป1๐
โโ
2โ ๐ป1๐กโ๐ =
๐ผ
๐ด
โโ โ 0 ๐ป2๐ก โ ๐ป1๐ก = ๐พ
เถป๐ป. ๐ิฆ๐ = ิฆ๐
๐ป2๐ก โ ๐ป1๐ก =๐ผ
โ๐
๐ต2๐ก๐0
โ๐ต1๐ก๐0
= ๐พ
๐ป
1
2
๐ต1๐ต1๐
๐ต1๐ก
๐ต2๐ต2๐
๐ต2๐ก
๐ต1๐
๐ต2๐
เถป๐ต. ๐ ิฆ๐ = 0
๐ต2๐๐ด โ ๐ต1๐๐ด = 0
๐ต2๐ โ ๐ต1๐ = 0
๐ป2๐ โ ๐ป1๐ = 0
๐ป2๐ก โ ๐ป1๐ก = ๐พ
๐ต2๐ก โ ๐ต1๐ก = ๐0๐พ
โ
โ โ 0
ิฆ๐ ิฆ๐
Plano espesso infinito
d
ิฆ๐ ิฆ๐
Plano espesso infinito
d
๐ ๐ฉ
๐ ๐ฉ
๐ฉ
๐ ๐ฉ
๐ ๐ฉ
๐ฉ
๐ฉ
๐ฉ๐ฉ
๐ฉ
๐ฉ
๐ ิฆ๐
๐ ิฆ๐
๐ ิฆ๐
๐ ิฆ๐
๐ ิฆ๐
๐ ิฆ๐
d
L
เถป๐ต. ๐ิฆ๐ = ๐0๐ผ๐ผ๐๐ก 2๐ต๐ฟ = ๐0๐๐ฟ๐ ๐ต =1
2๐0๐๐
๐ฉ
ิฆ๐ ิฆ๐
Plano espesso infinito
d
๐ ๐ฉ
๐ ๐ฉ
๐ฉ
๐ ๐ฉ
๐ ๐ฉ
๐ฉ
๐ฉ๐ฉ
๐ฉ
๐ ิฆ๐
๐ ิฆ๐
๐ ิฆ๐
๐ ิฆ๐2y
L
y
x
เถป๐ต. ๐ิฆ๐ = ๐0๐ผ๐ผ๐๐ก 2๐ต๐ฟ = ๐0๐2๐ฆ๐ฟ ๐ต = ๐0๐๐ฆ
๐ต = โ๐0๐๐ฆ เท๐ฅ
ิฆ๐ ิฆ๐
Plano espesso infinito
d
y
๐ป2 ิฆ๐ด = โ๐0ิฆ๐Dentro
๐2๐ด๐ฅ๐๐ฅ2
+๐2๐ด๐ฅ๐๐ฆ2
+๐2๐ด๐ฅ๐๐ง2
เท๐๐ฅ +๐2๐ด๐ฆ
๐๐ฅ2+๐2๐ด๐ฆ
๐๐ฆ2+๐2๐ด๐ฆ
๐๐ง2เท๐๐ฆ +
๐2๐ด๐ง๐๐ฅ2
+๐2๐ด๐ง๐๐ฆ2
+๐2๐ด๐ง๐๐ง2
เท๐๐ง = โ๐0๐ฝ เท๐๐ง
๐2๐ด๐ง๐๐ฆ2
= โ๐0๐ฝ ๐ด๐ง ๐ฆ = โ๐0๐ฝ๐ฆ2
2+ ๐ถ๐ฆ + ๐ท ๐ต = ๐ป ร ิฆ๐ด
๐ป ร ิฆ๐ด =๐๐ด๐ง๐๐ฆ
เท๐๐ฅ = โ๐0๐ฝ๐ฆ + ๐ถ เท๐๐ฅPara y=0 B=0 => C=0
D=0 Referรชncia
ิฆ๐ด = โ๐0๐ฝ๐ฆ2
2เท๐๐ง
๐จ
ิฆ๐ ิฆ๐
Plano espesso infinito
d
y
๐ป2 ิฆ๐ด = 0Fora ๐2๐ด๐ง
๐๐ฆ2= 0 ๐ด๐ง ๐ฆ = ๐ธ๐ฆ + ๐น
๐จ
๐ธ๐
2+ ๐น = โ๐0๐ฝ
๐2
8
No contorno
๐ด๐ง ๐ท๐๐๐ก๐๐ ๐ฆ โ๐
2= ๐ด๐ง ๐น๐๐๐ ๐ฆ โ
๐
2
ิฆ๐ด = โ๐0๐ฝ๐
2๐ฆ โ
๐
4เท๐๐ง
๐จ
๐จ
๐๐ด๐ง ๐ท๐๐๐ก๐๐๐๐ฆ
๐ฆ โ๐
2=๐๐ด๐ง ๐น๐๐๐
๐๐ฆ๐ฆ โ
๐
2๐ธ = โ๐0๐ฝ
๐
2๐น =
1
8๐0๐ฝ๐
2
๐ผ๐
๐ต
๐ผ
๐
๐ป2 ิฆ๐ด = โ๐0ิฆ๐Dentro
1
๐
๐
๐๐๐๐๐ด๐ง๐๐
= โ๐0๐ ๐๐๐ด๐ง๐๐
= โ๐0๐๐2
2+ ๐ถ
๐ด๐ง = โ๐0๐๐2
4+ ๐ถ๐๐๐ + ๐ท
๐ ๐๐๐ก๐๐๐๐๐๐ ๐รฃ๐ ๐๐๐ฃ๐๐๐๐ ๐๐ ๐ = 0 ๐๐๐กรฃ๐ ๐ถ = 0
๐ ๐๐๐๐รช๐๐๐๐ ๐ท = 0
๐ผ๐
๐ป2 ิฆ๐ด = 0Fora1
๐
๐
๐๐๐๐๐ด๐ง๐๐
= 0 ๐๐๐ด๐ง๐๐
= ๐ธ
๐ด๐ง = ๐ธ๐๐๐ + ๐น
๐๐ ๐๐๐๐ก๐๐๐๐ ๐ด๐ท๐๐๐ก๐๐ ๐ = ๐ด๐น๐๐๐ ๐ โ๐0๐๐ 2
4= ๐ธ๐๐๐ + ๐น
๐๐ ๐๐๐๐ก๐๐๐๐๐
๐๐๐ด๐ท๐๐๐ก๐๐ ๐ =
๐
๐๐๐ด๐น๐๐๐ ๐ โ๐0
๐๐
2=๐ธ
๐
๐ธ = โ๐0๐๐ 2
2๐น = ๐0
๐๐ 2
2(๐๐๐ โ
1
2)
๐ผ
๐
Fora ิฆ๐ด = โ๐0๐๐ 2
2๐๐
๐
๐ +1
2ฦธ๐ง
Dentro ิฆ๐ด = โ๐0๐๐2
4ฦธ๐ง ๐ต = ๐ป ร ิฆ๐ด = โ
๐๐ด๐ง๐๐
เท๐ = ๐0๐๐
2เท๐
๐ต = ๐ป ร ิฆ๐ด = โ๐๐ด๐ง๐๐
เท๐ = ๐0๐๐ 2
2๐เท๐
xy
z
ิฆ๐
๐ฅ
๐ฆ
๐ง
xy
z
ิฆ๐โฒ๐ฅ
๐ฆ
๐ง
ิฆ๐
๐
๐ =1
4๐๐0
๐
๐ ๐ =1
4๐๐0เถฑ
๐(ิฆ๐โฒ)
ิฆ๐ โ ิฆ๐โฒ๐๐ฃโฒ + ๐0๐ป2๐ = โ
๐
๐0
๐ป2 ิฆ๐ด = โ๐0ิฆ๐ ิฆ๐ด =๐04๐
เถฑิฆ๐ฝ( ิฆ๐โฒ)
ิฆ๐ โ ิฆ๐โฒ๐๐ฃโฒ + ิฆ๐ด0
ิฆ๐
ิฆ๐ด =๐04๐
เถฑิฆ๐ฝ(ิฆ๐โฒ)
ิฆ๐ โ ิฆ๐โฒ๐๐ฃโฒ
๐ ๐โฒ
ิฆ๐
๐
๐๐งโ
๐
๐
0
๐
ิฆ๐ฝ ิฆ๐โฒ =1
2๐๐โฒ๐ผ๐ฟ(๐โฒ) ฦธ๐ง
เถฑ ิฆ๐ฝ ิฆ๐โฒ ๐โฒ๐๐โฒ๐๐โฒ = ๐ผ
ิฆ๐ โ ิฆ๐โฒ = ๐2 + ๐งโฒ2 ิฆ๐ด =๐04๐
เถฑิฆ๐ฝ(ิฆ๐โฒ)
๐2 + ๐งโฒ2๐๐ฃโฒิฆ๐ฝ ิฆ๐โฒ ๐๐ฃโฒ =
1
2๐๐โฒ๐ผ๐ฟ(๐โฒ)๐โฒ๐๐โฒ๐๐โฒdzโฒ
ิฆ๐ด =๐04๐
เถฑโ๐
๐ 1
๐2 + ๐งโฒ2
1
2๐๐โฒ๐ผ๐ฟ(๐โฒ)๐โฒ๐๐โฒ๐๐โฒdzโฒ ฦธ๐ง =
๐04๐
๐ผ เถฑโ๐
๐ 1
๐2 + ๐งโฒ2dzโฒ ฦธ๐ง
๐
ิฆ๐ด =๐04๐
๐ผ ๐๐ ๐งโฒ + ๐2 + ๐งโฒ2๐โ๐
=๐04๐
๐ผ ๐๐๐ + ๐2 + ๐2
โ๐ + ๐2 + ๐2
๐๐๐ก๐ ๐๐ข๐ ๐๐๐๐ ๐ข๐ ๐๐๐ ๐ ๐๐๐ โ ๐๐๐๐๐๐๐ก๐ ๐๐ข ๐๐๐๐๐๐๐ก๐ ๐รฃ๐ ๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐ข๐๐๐๐ ๐๐๐ก๐๐๐๐๐๐ ๐ฃ๐๐ก๐๐ ๐๐๐ ๐ก๐ ๐๐๐๐๐
qz
R
x
y
z
๐๐ต =๐0๐ผ
4๐
๐ิฆ๐ ร ฦธ๐
๐2
i
๐๐๐ ๐ ๐๐๐๐ก๐๐๐ ๐ รณ ๐ ๐๐๐๐ ๐๐ต๐ง
ิฆ๐
๐ิฆ๐
๐๐ต๐๐ต๐ง
๐ช๐๐๐๐๐ด๐๐๐รฉ๐๐๐๐ ๐ ๐ ๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐
๐๐ต =๐0๐ผ
4๐
๐๐
๐2๐ิฆ๐ โฅ ฦธ๐ ๐๐ต๐ง =
๐0๐ผ
4๐
๐๐
๐2๐ ๐๐๐
๐๐ต๐ง =๐0๐ผ
4๐
๐๐
๐2๐
๐=๐0๐ผ
4๐
๐ ๐๐
๐3=๐0๐ผ
4๐
๐ ๐๐
๐ 2 + ๐ง2 เต32
๐ต๐ง = เถฑ๐0๐ผ
4๐
๐ ๐๐
๐ 2 + ๐ง2 เต32
๐ต๐ง =๐0๐ผ
4๐
๐ 2๐๐
๐ 2 + ๐ง2 เต32=๐0๐ผ
2
๐ 2
๐ 2 + ๐ง2 เต32
๐๐ต =๐0๐ผ
4๐
๐ิฆ๐ ร ิฆ๐โฒ
๐โฒ3
๐ช๐๐๐๐๐ด๐๐๐รฉ๐๐๐๐ ๐ ๐ ๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐
ิฆ๐โฒ = ิฆ๐ โ ๐
ิฆ๐ = ๐ฅ ฦธ๐ + ๐ฆ ฦธ๐ + ๐ง๐
๐ = ๐ ๐๐๐ ๐ ฦธ๐ + ๐ ๐ ๐๐๐ ฦธ๐
x
y
z
i
ิฆ๐โ
๐ิฆ๐
ิฆ๐
๐ ๐
ิฆ๐โฒ = (๐ฅ โ ๐ ๐๐๐ ๐) ฦธ๐ + (๐ฆ โ ๐ ๐ ๐๐๐) ฦธ๐ + ๐ง๐
๐ิฆ๐ = โ๐ ๐๐๐ ๐๐๐ ฦธ๐ + ๐ ๐๐๐๐๐ ๐ ฦธ๐
๐ิฆ๐ ร ิฆ๐โฒ
= โ๐ ๐๐๐ ๐๐๐ ๐ฆ โ ๐ ๐ ๐๐๐ ๐ โ ๐ ๐๐๐ ๐๐๐๐ง โ ฦธ๐ + ๐ ๐๐๐๐๐ ๐ ๐ฅ โ ๐ ๐๐๐ ๐ โ๐
+ ๐ ๐๐๐๐๐ ๐ ๐ง ฦธ๐๐ิฆ๐ ร ิฆ๐โฒ = ๐ ๐ง๐๐๐ ๐๐๐ ฦธ๐ + ๐ ๐ง๐ ๐๐๐๐๐ ฦธ๐ + ๐ (๐ โ ๐ฆ๐ ๐๐๐ โ ๐ฅ๐๐๐ ๐)๐๐๐
๐๐ต =๐0๐ผ
4๐
๐ ๐ง๐๐๐ ๐๐๐ ฦธ๐ + ๐ ๐ง๐ ๐๐๐๐๐ ฦธ๐ + ๐ (๐ โ ๐ฆ๐ ๐๐๐ โ ๐ฅ๐๐๐ ๐)๐๐๐
(๐2 + ๐ 2 โ 2๐ฅ๐ ๐๐๐ ๐ โ 2๐ฆ๐ ๐ ๐๐๐)32
๐๐๐ ๐๐๐ข๐ ๐ ๐๐ ๐ ๐๐๐๐ก๐๐๐ ๐๐๐รญ๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐ ๐ ๐๐๐ฅ๐ ๐๐ ๐ก๐๐๐๐ ๐๐ ๐ง ๐๐กรฉ ๐๐ข๐๐ฅ ๐๐ข ๐ฆ ๐ ๐๐๐ ๐ง๐๐๐, ๐๐๐๐๐๐๐ก๐๐๐๐ ๐ ๐๐๐๐ก๐
๐ช๐๐๐๐๐ด๐๐๐รฉ๐๐๐๐ ๐ ๐ ๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐
ิฆ๐โฒ = ิฆ๐ โ ๐
๐โฒ2= ๐2 + ๐ 2 โ 2๐๐ ๐๐๐ ๐
ิฆ๐ด =๐04๐
เถฑิฆ๐
๐โฒ๐๐ฃโฒ
ิฆ๐ด =๐0๐
4๐เถป
1
๐2 + ๐ 2 โ 2๐๐ ๐๐๐ ๐๐ิฆ๐โฒq
x
y
z
i
ิฆ๐โ
๐ิฆ๐โฒ
ิฆ๐
๐ ๐
ิฆ๐๐๐ฃโฒ = ๐๐ิฆ๐โฒ
1
๐2 + ๐ 2 โ 2๐๐ ๐๐๐ ๐=
1
๐๐ ๐
2
+ 1 โ 2๐ ๐๐๐๐ ๐
=1
๐
๐=0
โ๐
๐
๐
๐๐(๐๐๐ ๐)
ิฆ๐ด =๐0๐
4๐
๐=0
โ1
๐๐+1เถป๐ ๐๐๐(๐๐๐ ๐)๐ิฆ๐โฒ
๐๐๐๐ก๐๐โ๐ ๐ ๐ ๐๐๐๐ก๐๐ ๐๐ ๐๐๐ก๐๐๐๐๐, ๐๐๐๐ ๐๐ ๐ก๐๐๐๐๐ก๐ ๐ ๐๐๐ฃ๐ ๐๐๐๐ ๐๐ข๐๐๐๐ข๐๐ ๐ก๐๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐๐๐,
๐๐๐ ๐ ๐ ๐๐๐ ๐๐๐๐๐ข๐๐๐ รฉ ๐๐๐๐๐ ๐๐ข๐ ๐ รฉ ๐๐๐๐ ๐ก๐๐๐ก๐
ิฆ๐ด =๐0๐
4๐
๐=0
โ
๐๐เถป1
๐ ๐+1๐๐(๐๐๐ ๐)๐ิฆ๐โฒ ๐ < ๐
๐ช๐๐๐๐๐ด๐๐๐รฉ๐๐๐๐ ๐ ๐ ๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐
q
x
y
z
i
ิฆ๐โ
๐ิฆ๐โฒ
ิฆ๐
๐ ๐
ิฆ๐ด =๐0๐
4๐
1
๐เถป๐ิฆ๐โฒ +
1
๐2เถป๐ ๐๐๐ ๐๐ิฆ๐โฒ +
1
๐3เถป๐ 2(
3
2๐๐๐ 2๐ โ
1
2)๐ิฆ๐โฒ + โฏ
Monopoloเถป๐ิฆ๐โฒ = 01
๐2เถป๐ ๐๐๐ ๐๐ิฆ๐โฒ Dipolo
1
๐3เถป๐ 2(
3
2๐๐๐ 2๐ โ
1
2)๐ิฆ๐โฒ Quadrupolo
๐๐๐๐ ๐ โซ ๐ ิฆ๐ด~๐0๐
4๐
1
๐2เถป๐ ๐๐๐ ๐๐ิฆ๐โฒ
เถป๐ ๐๐๐ ๐๐ิฆ๐โฒ = เถป ฦธ๐ โ ๐ ๐ิฆ๐โฒ = โ ฦธ๐ ร เถป๐ ิฆ๐ดโฒ ๐๐๐ ๐ เถป๐ ิฆ๐ดโฒ = ิฆ๐ ๐๐๐๐๐๐ก๐ ๐๐ ๐๐๐๐๐๐
ิฆ๐ด =๐0๐
4๐
1
๐2โ ฦธ๐ ร เถป๐ ิฆ๐ดโฒ =
๐04๐
1
๐2โ ฦธ๐ ร ิฆ๐ ิฆ๐ด =
๐04๐
ิฆ๐ ร ฦธ๐
๐2
๐๐๐๐ฃ๐๐๐๐ ๐๐ ๐ ๐๐๐๐๐๐
๐ > ๐
๐ต = ๐ป ร ิฆ๐ด =1
๐๐ ๐๐๐
๐๐ ๐๐๐๐ด๐
๐๐โ๐๐ด๐๐๐
เท๐๐ +1
๐
1
๐ ๐๐๐
๐๐ด๐๐๐
โ๐๐๐ด๐
๐๐เท๐๐ +
1
๐
๐๐๐ด๐๐๐
โ๐๐ด๐๐๐
เท๐๐
ิฆ๐ด =๐04๐
ิฆ๐ ร ฦธ๐
๐2=๐04๐
๐
๐2๐ ๐๐๐ เท๐๐
q
x
y
z
i
ิฆ๐โ
๐ิฆ๐โฒ
ิฆ๐
๐ ๐
ิฆ๐
๐ต =1
๐๐ ๐๐๐
๐๐ ๐๐๐๐ด๐
๐๐เท๐๐ โ
1
๐
๐๐๐ด๐
๐๐เท๐๐
๐ต =1
๐๐ ๐๐๐
๐04๐
๐
๐2๐๐ ๐๐2๐
๐๐เท๐๐ โ
1
๐
๐04๐
๐๐ ๐๐๐๐
๐๐
1
๐เท๐๐
๐ต =๐04๐
๐
๐32๐๐๐ ๐ เท๐๐ + ๐ ๐๐๐ เท๐๐
๐ต =๐04๐
1
๐33 ิฆ๐. เท๐๐ เท๐๐ โ ิฆ๐