2-1
2. LINEARNA TEORIJA KRILA
2.1 Jednadžba potencijala poremećaja Primijenit ćemo teoriju malih poremećaja što pretpostavlja da je krilo tanko i pod malim napadnim
kutom. U tom slučaju izveli smo u poglavlju X parcijalnu diferencijalnu jednadžbu potencijala
poremećaja
( ) 0ˆˆˆ
1 2
2
2
2
2
22 =
∂∂
+∂∂
+∂∂
− ∞ zyxMa φφφ
Zato što sad promatramo supersonično strujanje ( 1>Ma ), odmah na početku pomnožit ćemo ovu
jednadžbu sa -1.
( ) 0ˆˆˆ
1 2
2
2
2
2
22 =
∂∂
−∂∂
−∂∂
−∞ zyxMa φφφ
U supersonici sa β označavamo
12 −= ∞Maβ
∞Vα
x
y
z
Slika 2-1
Kad smo izvodili parcijalnu diferencijalnu jednadžbu potencijala poremećaja postavili smo os x u
pravcu i smjeru brzine iz beskonačnosti. Sad ćemo postavit os y u ravni krila, a os z čini desni
trijedar s osama x i y kao na slici 2-1
2-2
2.1.1 Rubni uvjeti
Na gornjoj površini krila u presjeku krila consty = imamo profil, a na njegovoj gornjoj konturi
mora biti
uu Vx
Vz
ϑϑφφ∞∞ ≈⋅
∂∂
+=∂∂ tan
ˆˆ
i isto tako na donjoj konturi profila
dd Vx
Vz
ϑϑφφ∞∞ ≈⋅
∂∂
+=∂∂ tan
ˆˆ
2.2 Princip superpozicije Potpuno isto kao za ravansko optjecanje profila možemo postaviti princip superpozicije za
prostorno optjecanje krila.
Neka je zadano tanko krilo pod malim napadnim kutom sa simetričnim profilom koje ima u
supersoničnom optjecanju potencijal poremećaja ( )zyx ,,φ̂ . Taj potencijal ispunjava dva uvjeta :
• zadovoljava parcijalnu diferencijalnu jednadžbu:
0ˆˆ2
2
2
2
2
22 =
∂∂
−∂∂
−∂∂
zyxφφφβ ,
• zadovoljava rubne uvjete svim točkama na donjoj i gornjoj površini krila:
dd
d Vz
ϑφ
∞=∂∂ ˆ
i uu
u Vz
ϑφ
∞=∂∂ ˆ
.
Promatrajmo dva slučaja optjecanja krila.
Prvo: krilo nulte debljine (profil ploča), istog oblika kao zadano krilo, pod istim napadnim kutom
α , koje ima potencijal poremećaja ( )zyx ,,0̂φ . Taj potencijal mora zadovoljavati parcijalnu
diferencijalnu jednadžbu
0ˆˆ20
2
20
2
20
22 =
∂∂
−∂∂
−∂∂
zyxφφφ
β
i mora zadovoljavati iste rubne uvjete u svim točkama s donje i s gornje strane krila zato što je krilo
nulte debljine pa je kut tangente isti u svim točkama s donje i s gornje strane krila i jednak
napadnom kutu ploče. Odatle zaključujemo da je isti potencijal s donje i s gornje strane krila
ud 00ˆˆ φφ = , zato što zadovoljava istu parcijalnu diferencijalnu jednadžbu i iste rubne uvjete. Nema
potrebe da uvodimo indeks "d" i "u" .
2-3
αφ
∞−=∂∂
Vz0̂
Drugo: krilo istog oblika i simetričnog profila, bez napadnog kuta. Neka to krilo ima potencijal
poremećaja ( )zyxt ,,φ̂ koji zadovoljava parcijalnu diferencijalnu jednadžbu
0ˆˆ2
2
2
2
2
22 =
∂∂
−∂∂
−∂∂
zyxtt φφφ
β
i koji zadovoljava rubne uvjete s donje strane krila
δφ
∞−=∂∂ V
zd
tdˆ
i gornje strane krila
δφ
∞=∂∂ V
zu
tuˆ
Promatrajmo zbroj ta dva potencijala
tφφφ ˆ0̂ +=′
Evidentno je da on zadovoljava parcijalnu diferencijalnu jednadžbu jer je
( ) ( ) ( )
0
ˆˆˆˆˆˆ
ˆˆˆˆˆˆ
0
2
2
2
2
2
22
0
20
2
20
2
20
22
20
2
20
2
20
22
2
2
2
2
2
22
=
∂∂
−∂∂
+∂∂
+∂∂
−∂∂
−∂∂
=
∂+∂
−∂+∂
−∂+∂
=∂
′∂−
∂′∂
−∂
′∂
4444 34444 214444 34444 21zyxzyx
zyxzyx
ttt
ttt
φφφβ
φφφβ
φφφφφφβφφφβ
Zbrojimo dva granična uvjeta s donje strane
αδφφ
∞∞ −−=∂∂
+∂∂ VV
zz dt
d
dˆ
0̂
i isto tako s gornje strane krila
αδφφ
∞∞ −=∂∂
+∂∂ VV
zzt
u
uˆ
0̂
To znači da su ispunjeni uvjeti
( ) ( )αδφφ
−−=∂+∂
∞V
zd
tdˆ
0̂
( ) ( )αδφφ−=
∂+∂
∞V
zu
tu0ˆˆ
2-4
Prema slici 2-2 imamo vezu između kutova
( )αδϑ +−=d
αδϑ −=u
α uϑ
dδ
uδ
dϑ
Slika 2-2
pa gornje jednadžbe imaju oblik
( )d
d
td Vz
ϑφφ
∞=
∂+∂ ˆ
0̂
( )u
u
tu0 Vz
ϑφφ∞
=∂+∂ ˆˆ
što znači da je zbroj potencijala tφφ ˆ0̂ + rješenje optjecanja zadanog tankog krila sa zadanom
debljinom, sa zadanim profilom i zadanim napadnim kutom.
Na principu superpozicije razložit ćemo problem traženja potencijal poremećaja na dva
slučaja
• krilo zadanog oblika, nulte debljine (profil ravna ploča) pod napadnim kutom i
• krilo istog oblika, zadanog profila bez napadnog kuta
U prvom slučaju promatramo krilo nulte debljine (profil ravna ploča) pod napadnim kutom znamo
da je potencijal isti s donje i s gornje strane krila. Postavljamo izvore na jednom dijelu krila, tj.
područje D je onaj dio krila na kome se nalaze izvori ( )ηξςηξ ,,, w . Područje D trebaju biti sve one
točke iz kojih Machov konus obuhvata točku x, y, z u kojoj trebamo potencijal poremećaja. Gustoću
izvora označavamo sa f i ona je funkcija koordinata na krilu ( )ηξ ,f . Rubni uvjeti koje treba
zadovoljiti potencijal poremećaja, s gornje i donje strane ima isti oblik:
αφ
∞−=∂∂
Vz0̂ ,
2-5
a to znači da je potnecijal poremećaja isti s gornje i donje strane. Indeks "0" treba nas podsjetiti da
se radi o nultoj debljini . Taj rubni uvjet zadovoljavamo izborom funkcije ( )ηξ ,f tako da u svim
točkama površine krila gdje postoji potencijal poremećaja 0φ̂ , on bude zadovoljen. Ovaj slučaj krila
nulte debljine pod malim napadnim kutom zovemo noseće krilo (lifting wing).
U drugom slučaju promatramo tanko krilo bez napadnog kuta. Imamo različite uvjete s
donje i gornje strane krila, pa zbog toga određujemo odvojeno potencijal poremećaja s donje strane
i potencijal poremećaja s gornje strane krila. U slučaju simetričnog profila ta dva potencijala su ista
ali suprotnih znakova. Postavit ćemo izvore gustoće ( )ηξ ,df u točkama ηξ , na području D s donje
strane krila, tako da se točka u kojoj tražimo potencijal poremećaja x, y, z nalazi na donjoj strani
krila i u konusu s vrhom u izvoru ηξ , . Gustoću izvora određujemo iz rubnog uvjeta da potencijal
poremećaja donje strane krila zadovoljava jednadžbu:
dd
d Vz
δφ
∞−=∂∂ ˆ
.
Isti postupak treba ponoviti s gornje strane krila, a to znači postavit ćemo izvore u točkama ηξ ,
intenziteta ( )ηξ ,uf u području D s gornje strane krila, koji treba zadovoljiti rubne uvjete
udu
u Vz
δφ
∞=∂∂ ˆ
.
Taj dio D površine krila moramo izabrati tako da se točka zyx ,, nalazi u unutrašnjosti Machovog
konusa čiji vrh u izvoru, a gustoću ( )ηξ ,uf da zadovoljimo rubni uvjet, a to znači da se područje D
nalazi na površini krila koja je unutar konusa uz struju s vrhom u promatranoj točki.
Ukoliko krilo ima simetričan profil, treba odrediti potencijal samo s jedne strane krila jer je s
druge strane krila isti takav potencijal poremećaja, samo s promijenjenim znakom.
2.3 Rješenje parcijalne diferencijalne jednadžbe Rješenje parcijalne diferencijalne jednadžbe
( ) 0ˆˆˆ
1 2
2
2
2
2
22 =
∂∂
+∂∂
+∂∂
− ∞ zyxMa φφφ
možemo lako naći ako prethodno izvršimo smjene varijabla
1
1
21 1
zzyy
Maxx
==
−= ∞
2-6
Parcijalna diferencijalna jednadžba dobiva oblik
0ˆˆˆ21
2
21
2
21
2
=∂∂
+∂∂
+∂∂
zyxφφφ
Ova parcijalna diferencijalna jednadžba ima rješenje:
R1
=φ̂
gdje je
( ) ( ) ( )211
211
211
2 zyxR ςηξ −+−+−=
111 ςηξ ,, su koordinate proizvoljne točke u prostoru 111 zyx ,, . Da gornja funkcija zadovoljava
parcijalnu diferencijalnu jednadžbu uvjerit ćemo se na slijedeći način. Derivacijom
( ) ( ) ( )211
211
211
2 zyxR ςηξ −+−+−=
( )111
x2xRR2 ξ−=
∂∂
Rx
xR 11
1
ξ−=
∂∂ ,
pa je
Rx
R1
xR
R1
R1
xx11
21
211
ξφ −−=
∂∂
−=
∂∂
=∂∂ ˆ
( )111
3 xx
R ξφ−−=
∂∂ ˆ
.
Drugom derivacijom dobivamo
1x
Rxx
RR3 21
23
11
2 −=∂∂
+∂∂⋅
∂∂ φφ ˆˆ
( ) 1R
x3R
xR
xR31x
R 2
211
311112
21
23 −
−=
−−
−−−=
∂∂ ξξξφ̂
Analogno tome bit će i
( ) 1R
y3y
R 2
211
21
23 −
−=
∂∂ ηφ̂
( ) 1R
z3z
R 2
211
21
23 −
−=
∂∂ ςφ̂
Zbrajanjem ove tri jednadžbe je
2-7
( ) ( ) ( ) 1R
z31R
y31R
x3zyx
R 2
211
2
211
2
211
21
2
21
2
21
23 −
−+−
−+−
−=
∂∂
+∂∂
+∂∂ ςηξφφφ ˆˆˆ
( ) ( ) ( ) 03R
zyx3zyx
R 2
211
211
211
21
2
21
2
21
23 ≡−
−+−+−=
∂∂
+∂∂
+∂∂ ςηξφφφ ˆˆˆ
Ako je R1 rješenje parcijalne diferencijalne jednadžbe, onda je rješenje i
RC , gdje je C neka
konstanta. Tako konačno imamo:
( )( ) ( ) ( )2
112
112
11
111 ,,ˆςηξ
φ−+−+−
==zyx
CRCzyx .
To je potencijal izvora u točki 111 ,, ςηξ i intenziteta C . Kad ovo rješenja transformiramo u prostor
zyx ,, dobivamo jednadžbu za traženi potencijal poremećaja.
( )( ) ( ) ( )[ ]2222
,,ςηβς
φ−+−−−
=zyx
Azyx
gdje su ςηξ ,, koordinate izvora poremećaja, a A je intenzitet izvora. Te veličine, u općem slučaju,
treba izabrati tako da budu zadovoljeni rubni uvjeti.
U rješenju imamo na raspolaganju položaj izvora ςηξ ,, i intenzitet izvora A. Sa ta četiri
uvjeta nemoguće je zadovoljiti rubne uvjete u svim točkama gornje i donje površine krila. Zato smo
prinuđeni promatrati složeni potencijal poremećaja koji čini zbroj (integral) elementarnih
potencijala poremećaja koji se nalaze u točkama ςηξ ,, nekog područja D, a čiji je intenzitet
proporcionalan elementu volumena ςηξ dddf ⋅ . Koeficijent proporcionalnosti ( )ςηξ ,,f
nazivamo gustoća i on je funkcija položaja u kome promatramo elementarni izvor
( ) ( )( ) ( ) ( )[ ]∫∫∫
−+−−−=
D
dddzyx
fzyx ςηξςηβς
ςηξφ2222
,,,,
2.3.1 Machov konus
Prije nego što krenemo zadovoljiti rubne uvjete pogledajmo karakter ovog rješenja. Prvo, vidimo
da potencijal postoji samo ako je u nazivniku veličina pod korijenom pozitivna tj. ako je
( ) ( ) ( )[ ] 02222 >−+−−− ςηβς zyx
a to znači da je
( ) ( )[ ] ( )2
222
βςςη −
<−+−xzy
2-8
ξ
η
ς
x
y
z
µ
y
z
Slika 2-3
Kao što se vidi sa slika 2-3 i 2-4 geometrijski to znači da se točka zyx ,, u kojoj promatramo
potencijal poremećaja treba nalazi u unutrašnjosti tzv. Machovog konusa, koji ima tjeme u točki
izvora ςηξ ,, , čiji je kut u vrhu
βµ 1tan =
a osa konusa je u pravcu neporemećene brzine iz beskonačnosti ∞V kao na slici 2-3 i 2-5
η−y
ς−z( ) ( )22 ςη −+− zy
βξ−x
zyx ,,
Slika 2-4
Uočimo da jednadžba
2-9
( ) ( ) ( )[ ]2222 ςηβξ −+−=− zyx
istodobno predstavlja konus iz točke ςηξ ,, otvora β
µ 1arctan= niz struju, kao i konus istog
otvora iz točke zyx ,, uz struju kao na slici 2-6.
2.3.2 Područje D
Sve točke ςηξ ,, na površini krila (s gornje ili donje strane) u čijem se Machovom konusu nalazi
točka x, y, z čine područje D. To područje predstavlja presjek (gornje ili donje) površine krila i
konusa uz struju koji ima vrh u točki C slika 2-5. Zato što krilo nema debljinu i napadni kut je mali,
izvori koji se nalaze na površini krila imat će koordinatu ς koja je mali broj. Zanemarivanjem tog
malog broja bit će praktično izvori u koordinatnoj ravnini ηξ , tj. bit će od sada 0=ς . Za tako
izabrane izvore poremećaja ( 0=ς ) bit će potencijal u točki prostora
( ) ( )( ) ( )[ ]∫∫
+−−−=
D
ddzyx
fzyx ηξηβς
ηξφ2222
,,,ˆ
Kao što smo već rekli, područje D određeno je presjekom konusa iz točke C uz struju otvora µ i
površine krila kao na slici 2-5.
∞Vα
x
y
z
C
D
ςηξ ,,
zyx ,,
Slika 2-5
Da bi udovoljili rubne uvjete trebamo derivaciju potencijala po z u točki C na slici 2-5
2-10
( )( ) ( )[ ]∫∫
+−−−∂∂
=∂∂
D
ddzyx
fzz
ηξηβς
ηξφ2222
,ˆ
∞Vα
x
y
z
D
C
D
α
Slika 2-6
Varijabla z nali se pod korenom u pod integralnoj funkciji, ali ono što je posebno važno od nje ovisi
i veličina područja D. Kad se mijenja varijabla z mijenja se i područje D.
2.4 Parcijalna derivacija po z potencijala poremećaja
2.4.1 Smjena varijabla
Izvršimo smjenu varijabla. Na mjesto ηξ , uvodimo varijable vu, . Jednadžbe transformacije jesu:
ξ=u
( )( ) 222
arcsinzx
yvβξ
ηβ
−−
−=
Za 2
v π±= dobivamo koordinatnu liniju
( ) ( )ηββξ −=−− yzx 222
( ) ( ) 22222 zyx βηβξ =−−−
2-11
Slika 2-7 Područje D za razne vrijednosti z: 0800600400200z ....= i 1=β
a to je jednadžba hiperbole u koordinatnom sustavu ηξ , s ishodištem u točki projekcije točke C na
ravan krila, presjek konusa i ravnine paralelne s osom konusa koja predstavlja krilo) kao na slici 2-
7, koja za slučaj 0z = (kad je točka C na krilu) prelazi u dva pravca (presjek ravnine i konusa kad
ravnina prolazi kroz vrh konusa).
Za ovako izabrane nove koordinate bit će Jacobijeva determinanta:
( ) ( )[ ]2222
01
),(),(
zyx
vvvvv
uu
DvuD
+−−−
−=
∂∂
=∂∂
∂∂=
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
=ηβξ
βηηξ
ηξ
ηξηξ
.
Kako je veza između elemenata površine
( )( ) dvdudd
DvuD
=ηξηξ ,,
bit će potencijal poremećaja s novim varijablama
( ) ( )( ) ( )[ ] ( )∫∫∫∫ −=
+−−−=
DD22220 dvduf1dd
zyxfzyx ηξ
βηξ
ηβς
ηξφ ,,,,ˆ
2-12
2.4.2 Granice integracije
Polazimo od oblika potencijala u točki ( )zyxC ,, pomoću novih koordinata za izvore vu, u
području D :
( ) ( )∫∫−=D
dvdufzyx ηξβ
φ ,1,,
gdje su
ξ=u
( )( ) 222
arcsinzx
yvβξ
ηβ
−−
−=
Potrebno je odrediti granice područja D sa novim varijablama. Vidjeli smo da je područje područje
D ograničeno presjekom konusne površine
( ) ( ) ( )[ ]2222 ςηβξ −+−=− zyx
i jednadžbom krila
0=ς ,
Taj presjek ( ) 0, =ηξf je hiperbola koja ima jednadžbu
( ) ( )[ ]2222 zyx +−=− ηβξ .
Na toj krivulji nova varijabla v ima vrijednost
( )( )
( )( )
1sinarcsinarcsin22222
±=−
−=
−−
−= arci
y
y
zx
yvηβ
ηβ
βξ
ηβ
2π
±=v
S obzirom na jednadžbu ( )ηξ ,v , bit će v pozitivno kad je η>y i obrnuto. To znači da je 2v π=
na gornjoj granici područja D i obrnuto kao na slici 2-9.
2-13
∞Vx
y
z
C
D
2π
−=u
2π
=u 0=ξ
xzβ
x
z
µ
y
Slika 2-8
Granice integracije po drugoj varijabli u lako je odrediti ako je napadni rub bez strijele. U
tom je slučaju jednadžba napadnog ruba 0=ξ , pa je donja granica jednostavno
0=u ,
a gornja
zxu β−= .
To znači da se integracija u području D vrši po varijabli v od 2π do 2π− , a po varijabli u od 0
do zx β− .
( ) ( )∫ ∫− −
−=
zx
0
2
2
dudvf1zyxβ π
π
ηξβ
φ ,,,ˆ ,
2-14
Ako promijenimo granice prve integracije po v dobivamo konačnu formulu za potencijal
poremećaja:
( ) ( )∫ ∫−
−
=
zx
0
2
2
dudvf1zyxβ π
π
ηξβ
φ ,,,ˆ .
Uočimo važnu činjenicu da gornja granica za u ovisi o udaljenosti z točke C od površine krila jer je
zxu β−= .
2.4.2.1 Derivacija potencijala kad je napadni rub bez strijele
Da bi odredili derivaciju potencijala
( ) ( )∫ ∫−
−
∂∂
=∂∂ zx
0
2
2
dudvfz
1zyxz
β π
π
ηξβ
φ ,,,ˆ
uočimo da se varijabla z nalazi se u pod-integralnoj funkciji implicitno preko varijable
( ) ( ) 222 zxvyz βξβ
η −−−=sin
i eksplicitno u gornjoj granici. Primijenit ćemo formulu za derivaciju integrala po parametru od
koga ovise pod integralna funkcija i granice integracije
( )( )
( )
( ) ( ) ( )( )
( )
∫∫ ∂∂
+−=
∂∂ λ
λ
λ
λ
λλλ
λλ
λλλ
b
a
b
a
dxxFddaaF
ddbbFdxxF ,,,,
U ovom slučaju: x je u, parametar λ je koordinata z, funkcija pod integralom F je također integral
tj.
( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫−−−
−−−==≡
2
2
2222
2
2
2
dvzxvyufdvufdvfuFπ
π
π
π
π
π
βξβ
ηηξλ sin,,,,
Gornja granica je zxb β−≡ , a donja 0≡a . U našem slučaju. Da bi primijenili gornju jednadžbu
za derivaciju odredimo svaki član:
( ) ( ) ( )∫∫−−
−=
−+−−−≡
2
2
2
2
222 dvyzxfdvzzxxvyzxfzbFπ
π
π
π
ββββ
β ,sin,,
βλ
−=ddb
( ) K=zaF ,
2-15
0dda
=λ
( )( )
( )
( ) ( )∫ ∫∫ ∫∫−
−
−
−
∂∂
∂∂
=
∂∂
=∂∂ zx
0
2
2
zx
0
2
2
b
a
dxdvz
ufdxdvufz
dxxFβ π
π
β π
π
λ
λ
ηηηηλ
λ,,,
Zamjenom u gornju opću jednadžbu bit će u našem slučaju derivacija potencijala poremećaja po z
( )
∂∂
∂∂
+−⋅−=∂∂
∫ ∫∫−
−−
zx
0
2
2
2
2
dudvz
fdvyzxf1z
β π
π
π
π
ηη
βββ
φ ,ˆ
Mi tražimo tu derivaciju potencijala u točki C na površini krila, a na površini krila je 0=z . Na
površini krila je
( )0
2
2sin222
2
=−−
−−=
∂∂
zx
zvz βξ
ββ
η
pa je
( )∫−
=∂∂ 2
2
dvyxfz
π
π
φ ,ˆ
( )yxf , je u odnosu na varijablu v područja D nepromjenljivo pa je konačno
( ) πφ⋅=
∂∂ yxf
z,
ˆ
2.4.3 Derivacija potencija kad napadni rub ima strijelu
U slučaju strijele u lit [4] rezonira se na slijedeći način. Dio između osi x, napadnog ruba krila i
presjekom Machovog konusa s površinom krila označimo sa ∗D .
S obzirom da se ispred krila u supersoničnoj struje ne mogu nalaziti izvori tu je gustoća izvora
0=f . zato je
( )∫∫∗
−=D
dvduf ηξβ
,10
2-16
y
D
x
2π
=u
π2
−=u
∗D0=ξ∗D
∞V
zx β−
Slika 2-9
To omogućuje da se ovaj dio područja ∗D doda bez posljedica području integracije, te umjesto da
se računa integral na području D računamo integral
( ) ( )∫∫∗+
−=DD
dvduf1zyx ηξβ
φ ,,,
koga opet možemo napisati u obliku
( ) ( )∫ ∫− −
−=
zx
0
2
2
dudvf1zyxβ π
π
ηξβ
φ ,,,ˆ
pa je dalje izvođenje isto, što znači da je i u ovom slučaju derivacija potencijala po varijabli z na
površini krila
( )yxfz
,ˆ
⋅=∂∂ πφ
2.5 Machove koordinate Više nas ne zanima potencijal poremećaja u prostoru već samo na površini krila. To znači da je od
sad 0=z . Imajući to u vidi i dobivenu vrijednost za intenzitet poremećaja bit će potencijal
poremećaja na krilu u točki yx, :
2-17
( ) ( )( ) ( )∫∫
−−−=
D222 yx
ddfyxηβς
ηξηξφ ,,ˆ .
S indeksom "0" želimo se podsjetiti da je to slučaj krila nulte debljine pod malim napadnim kutom.
2.5.1 Smjena
U daljem radu lakše ćemo izračunati ovaj integral ako koristimo koordinate duž Machovih pravaca
s tim da nam ishodište bude u točki C, a osi orijentirane uz struju kao na slici 2-11. Jednadžbe koje
povezuju stare koordinate izvora ηξ , s novim ρσ , imaju oblik
( ) ( )( ) ( )yx
yx−−−=−+−=
ηβξηξσηβξηξρ
,,
Kada je const=ρ prve jednadžbe je µβξ
η tan==1
dd , što znači da ove koordinatne linije imaju taj
nagib, a iz druge kad je const=σ nagib koordinatne linije je µβξ
η tan−=−=1
dd kao na slici 2-11.
ξ,x
η,y
2Ma =
00
==
ησ
ρ
σ
2=ρ
1=σ
03y .=
52x .=
Slika 2-10
2-18
Za const=ρ dobivamo jednu familiju Mahovih pravaca, a za const=σ drugu. Prvo pomoću tih
jednadžba transformacija određujemo Jacobijevu determinantu:
( )( ) β
ββ
ησ
ξσ
ηρ
ξρ
ηξσρ 2
11
−=+−−−
=
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
=∂∂
,, .
Element površine u području D s novim varijablama bit će:
( )( ) ηξβηξ
ηξσρσρ dd2dddd −=
∂∂
=,,
Poslije smjene varijabla u integralu za potencijal poremećaja
( ) ( )( ) ( )∫∫
−−−=
D2220
yxddfyx
ηβξ
ηξηξφ ,,ˆ
dobivamo:
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ][ ] [ ]ρσ
ηβξηβξηβξ⋅=
−+−⋅−−−=−−− yxyxyx 222
Tako je konačno u novim koordinatama potencijal poremećaja u točki C
( ) ( )∫∫=D
0ddfC
ρσσρσρφ ,ˆ
2.5.2 Napadni rub
Jednadžbu napadnog ruba u Mahovim koordinatama dobit ćemo kad u jednadžbu napadnog ruba
0tanΛ=ηξ izvršimo smjenu varijabla. Usvojili smo jednadžbe transformacije:
( )( )yx
yx−−−=−+−=
ηβξσηβξρ
pa su inverzne jednadžbe transfromacije:
2x ρσξ +−=
βσρη
2y −+=
Tako dobivamo jednadžbu napadnog ruba:
02y
2x Λ
−+=
+− tan
βσρρσ
0
0
0
0 yx2Λ+Λ−
++Λ−Λ
=tantan
tantan
ββσ
ββρ
2-19
ili
( ) hk +⋅−= σσρ
gdje su
0
0kΛ+Λ−
=tantan
ββ
0
0yx2hΛ+Λ−
=tantan
ββ
2.5.3 Kraj krila
Jednadžba vrha krila jest:
2b
=η
a ta ista jednadžba u Machovim koordinatama ima oblik:
2b
2y =
−+
βσρ .
2.6 Noseće krilo
2.6.1 Potencijal poremećaja
Promatramo krilo nulte debljine pod malim napadnim kutom. Potencijal poremećaja isti je s gornje i
donje strane krila. Parcijalna derivacija potencija poremećaja nosećeg krila mora zadovoljiti rubni
uvjet:
αφ∞−=
∂∂ V
z
ˆ.
Kako je ta parcijalna derivacija potencijala poremećaja ( )yxf ,⋅π dobivamo nepoznatu gustoću
απ∞−=
Vf
Prvo uočimo da je ta gustoća konstantna, tj ista u svim točkama.
U određivanju područja D najvažniju ulogu ima strijela napadnog ruba. Područje D bit će u
presjeku konusa s vrhom u točki C (u kojoj promatramo potencijal) i površine krila. S obzirom da je
vrh konusa (točka C) na površini krila, taj presjek su Mahovi pravci na površini krila iz točke C.
Oni predstavljaju bočno graniče područje D, a naprijed ga zatvara napadni rub krila i krajevi krila.
Zato veliku ulogu ima strijela napadnog ruba krila. Zbog toga razlikujemo dva tipa napadnog ruba:
• supersonični napadni rub - kad je napadni rub van Machovog konusa, tj. kad je strijela
krila 0Λ < µ−090 (slika 2-10 lijevo) i
2-20
• subsonični napadni rub - kad je napadni rub u Machovom konusu, tj. kad je 0Λ > µ−090
(slika 2.10 desno).
µµ−090
0Λ
x x
µ
µ−090
0Λ
Slika 2-11 Lijevo supersonično krilo 1>m , desno subsonični krilo 1<m
Bitna karakteristika napadnog ruba je njegova soničnost m. Soničnost m napadnog ruba je odnos
( )00
0
tantan90tan
Λ=
Λ−
=βµm
Taj odnos pokazuje u kolikoj mjeri je napadni rub supersoničan. Tako je za 1>m napadni rub
supersoničan slika 2-11 lijevo, a za 1<m subsoničan kao na slici 2-11 desno.
2.6.2 Koeficijent tlaka - supersonični napadni rub
Područje D, slika 2-12, u kojima su raspoređeni izvori s koordinatama σρ , , ograničeno je
pravcima r=ρ , s=σ , gdje su sr, koordinate točke C, i napadnim rubom. Uobičajeno da se
područje integracije ograničeno supersoničnim napadnim rubom i Mahovim pravcima kao na slici
2-11 označava sa D1 .
U području integracije
• za neko određeno σ , varijabla ρ se mijenja od 0 njene vrijednosti u točki C do
vrijednosti na napadnom rubu
hk +⋅−= σρ
• izabrana vrijednost σ može biti od vrijednosti 0 u točki C do vrijednosti u točki A na
napadnom rubu. Kako je u točki A 0A =ρ bit će Aσ iz jednadžbe napadnog ruba
kh
A =σ
2-21
y
D
x
Cµµ
A
B
Aσσ =
hk +⋅−= σρ
∞V
const=σ
σ
ρ
LEρ
Slika 2-12
Dvostruki integral na području D svodi se tako na dvije sukcesivne integracije:
( ) σρρ
σβπαφ
σ
dd12VC
kh
0 00
LE
∫ ∫
= ∞ˆ
Poslije prve integracije dobivamo
hk22d hk
00
LE
+−==+−
∫ σρρρ σ
σ
S tim rezultatom bit će:
( ) ∫−
−= ∞kh
00 dkhVC σ
σσ
βπαφ̂
Ovaj integral se rješava smjenom:
ϑσ 2hk sin= .
Nove granice integracije bit će:
• kad je 0=σ onda je 0=ϑ
2-22
• kad je kh
−=σ bit će 2πϑ =
ρϑϑσ dkh2d cossin=
( )k
h2
Vdk
h2VdkhVC2
0
2kh
00 ⋅==
+−= ∞∞∞ ∫∫ β
αϑϑβπασ
σσ
βπαφ
π
cosˆ
0
0yx2hΛ+Λ−
=tantan
ββ
( )0
00
yxk
VCΛ+Λ−
⋅−= ∞
tantanˆ
βαφ
Kako je
0
0
k1
Λ−Λ+
=tantan
ββ
bit će
( ) ( )00
220 yxVC Λ−Λ+
−= ∞ tantan
ˆβ
αφ
Vidimo da ovaj potencijal postoji samo ako je 0tanΛ>β ili 1>m , a to znači ako je rub
supersoničan. U tom slučaju kad je napadni rub supersoničan ( 1>m ) u području D1 bit će
koeficijent tlaka
( )
Λ−−−=
Λ−⋅
Λ−−
∂∂
−=∂∂
−= ∞
∞
∞
∞∞ 0220
022
0
tan2tan
tan2ˆ2
β
α
β
αφ VV
yxVxVxV
C p
022 tan
2Λ−
=β
αpC
Do istog zaključka možemo doći promatrajući krilo beskonačnog razmaha sa istom
strijelom. Kad napadni rub nema strijelu onda znamo da je koeficijent tlaka :
12
2
22−
−=−
∞∞∞
∞
MaVpp α
ρ
2-23
y
D
x
Λ
Cµµ
∞V
0cosΛ∞V
Slika 2-13
Kad napadni rub ima strijelu onda u području D1 koeficijent tlaka možemo izračunati istom
jednadžbom ali u presjeku okomitom na rub kao na slici 2-12. U tom presjeku, napadni je kut
0cosΛα , a brzina iz beskonačnosti 0cosΛ∞V . S tim vrijednostima bit će koeficijent tlaka u
području D1 određen jednadžbom:
( ) ( ) 1Ma
2
2V
pp2
0
02
0 −Λ
Λ=Λ
−
∞∞∞
∞
coscos
cos
α
ρ
pa je
( ) 022
02
2022
02
0
02
02 tan1
2
cos1
21cos
cos2
1cos
coscos
2
2Λ−−
=
Λ−
=−Λ
Λ=
−Λ
ΛΛ=
−
∞∞
∞∞∞∞
∞
MaMaMaMaVpp ααα
α
ρ
Tako konačno nalazimo istu jednadžbu za koeficijent tlaka u području D1 pod uvjetom da je prednji
rub supersoničan
U slučaju kad napadni rub nema strijelu ( 00 =Λ )
( ) xVyxβα
φ ∞−=,0̂
Koeficijent tlaka na temelju linearizirane jednadžbe:
βα
βαφ 22ˆ2 0 −=−=
∂∂
−= ∞
∞∞
VVxV
C p .
2-24
Toliki je koeficijent tlaka u svim točkama iz kojih Mahove linije isijecaju napadni rub bez strijele
kao što je to slučaj s cijelim krilo na slici 2-14.
µµµµ
∞V
x
y
Slika 2-14
Kao što nam je poznato taj koeficijent tlaka je isti kao na krilu beskonačnog raspona tj. u
slučaju ravanskog optjecanja profila u supersonici. To je logično jer se utjecaj krajeva krila osjeća
samo u Mahovim konusima na kraju krila, a kako krilo ne ulazi u te konuse onda je u svim točkama
koeficijent tlaka isti kao da je krilo beskonačnog raspona.
2.6.3 Koeficijent tlaka - subsonični napadni rub
Kad je napadni rub subsoničan ( 1<m ) onda dio krila u konusu ispred točke C možemo podijeliti na
dva dijela: prvi na krilu D' (zatamnjeno), i drugi ispred krila D" (više zatamnjeno) kao na slici 2-15.
x
y
B
M
A
′
A′
B′
C
C′ E
E′ ρ
σ
Slika 2-15
2-25
U slučaju krila nulte debljine pod napadnim kutom u dijelu D" koji se nalazi u Mahovom konusu,
ali ispred subsoničnog napadnog ruba, postoji apriori potencijal poremećaja, jer se točke nalaze u
Mahovom konusu iz točke M. Evvard (1950) i Krasiljščikova (1951) postavili su princip
određivanja potencijala poremećaja u točki C na dijelu krila D" za taj slučaj [6]. Princip je ilustriran
na slici 2-16. Prema Evvardu i Krasiljščikovoj u točkama na dijelu BEMB potencijal poremećaja
jednak je nuli.
Taj potencijal poremećaja u točkama C' na dijelu BEMB (slika 2-15) ispred krila u
supersoničnoj struji zraka treba biti jednak nuli zato što se efekt s gornje strane i donje strane
poništavaju jer su gustoće na gornjoj i donjoj površini krila jednake ali suprotnih znakova.
( ) ( ) 0ddf21C
CAMEC0 =
⋅=′ ∫∫
′′′′
σρσρσρ
βφ ,ˆ
Rastavimo dvostruki integral na dva integrala
( ) ( ) 0ddg21ddf
21
BMECBBAMB
=⋅
+⋅ ∫∫∫∫
′′′′′′′
σρσρσρ
βσρ
σρσρ
β,,
Poznata je gustoća ( )σρ ,f u prvom integralu na području BAMB ′′′ . Nepoznata gustoća ( )σρ ,g
na drugom dijelu CBMEC ′′′′ mora biti takva da anulira vrijednost prvog integrala. To je točno sve
dok se točka C' nalazi u dijelu BEMB (ispred napadnog ruba, više zatamnjeno na slici 2-15).
Spustimo točku C' u krajnji položaj B (slika 2-16), još uvijek mora biti zadovoljen gornji uvjet, a to
znači da je gustoća ( )σρ ,g u dijelu BEMB takva da se integrali
( ) ( ) 0ddgddf
BEMBBMNB
=⋅
+⋅ ∫∫∫∫ σρ
σρσρσρ
σρσρ ,,
x
y
B
M
A
consts =
constr =C
E
N
Slika 2-16
2-26
međusobno poništavaju. Zato područje integracije za točku C čini samo dio CBNAC (zatamnjeni
dio) na slici 2-16 kad se radi o krilu nulte debljine pod napadnim kutom. Znači kad se u konusu iz
točke C nalazi subsonični napadni rub MB kao na slici 2-16, područje integracije određeno je
Mahovim pravcem iz točke C do presjeka sa napadnim rubom A, zatim supersoničnim dijelom
napadnog ruba AN, Mahovim pravcem NB i konačno opet Machovim pravcem BC kao na slici 2-16.
Drugim riječima područje integracije ne može biti ograničeno subsoničnim napadnim rubom.
Usvajamo da je gustoća izvora na dijelu krila D2 ista kao na dijelu krila D1.
( )πασρ ∞−=
Vf ,
2.6.4 Utjecaj kraja krila na uzgon
Ovaj princip se primjenjuje na bočne rubove krila. Promjenu koeficijenta tlaka pod utjecajem
krajeva krila, možemo odrediti pomoću ovog principa. Npr. trapezno krilo kao na slici 2-16.
Dio krila na kome se osjeća utjecaj kraja D2 na slici 2-17 ispunjen je točkicama, a čisti dio
krila je D1 u kome se ne osjeća utjecaj kraja krila. U tom djelu D1 već smo odredili koeficijent
tlaka. U nekoj točki C u dijelu D2, područje integracije je zatamnjeni dio.
( ) ∫∫∞−=D
0dd
2VC
ρσσρ
πβαφ̂
Granice integracije:
x
y
C
µ
A
B
N
ρ
σ
y2b−
0yx Λ− tan
1D2D
Slika 2-17
2-27
Za neku vrijednost koordinate ρ ( od 0 do vrijednosti u točki B na vrhu krila), koordinata σ se
mijenja od 0 do vrijednosti na prednjem rubu. Vidjeli smo da je jednadžba prednjeg ruba
hk +⋅−= σρ
u kojoj je
1m1mk
0
0
+−
=Λ+Λ−
=tantan
ββ
0
0yx2hΛ+Λ−
=tantan
ββ
pa je vrijednost σ pa prednjem rubu krila za izabrano ρ
kh
LEρσ −
=
Dvostruki integral se svodi na sukcesivne integracije
( ) ∫ ∫∫∫
−=−= ∞∞
B LE
0 0D0 dd1
2Vdd
2Vsr
ρ σ
ρσσ
ρπβα
ρσσρ
πβαφ ,ˆ
U točki B koordinata 0B =σ , pa je
−= y
2b2B βρ .
Prva integracija daje rezultat:
kh22d LE
LE
00
−==∫
ρσσσ σ
σ
U drugoj integraciji treba izračunati:
∫∫ ∫ −−
=
BB LE
00 0
dk
h2dd1 ρρ σ
ρρρρ
σσ
ρ
Ovaj integral rješava se smjenom:
ϑρ 2h sin=
ϑϑϑρ dh2d cossin=
Granice integracije za novu varijablu bit će od 0=ϑ (kad je 0=ρ ) do h
BB
ρϑ arcsin= (kad je
Bρρ = ).
( )BBB
0
0
2
0
kh2
42
2kh4
dkh4d
kh2
B
BB
ϑϑϑ
ϑϑ
ϑϑρρρ
ϑ
ϑρ
cossin
sin
cos
+=
+=
=−
∫∫
2-28
Tako dobivamo traženi potencijal u točki C
( ) ( )BBB0 hk
1VC ϑϑϑπβαφ cossinˆ +⋅⋅−= ∞
Poslije zamjene vrijednosti
hB
Bρϑ arcsin=
dobivamo jednadžbu za potencijal poremećaja u obliku koji ćemo koristiti dalje.
( )
−⋅+⋅⋅−= ∞
h1
hhkhVC BBB
0ρρρ
πβαφ arcsinˆ
( ) ( )
−+⋅⋅−= ∞
hh
hkhVC BBB
0ρρρ
πβαφ arcsinˆ
Traženi koeficijent tlaka određen je jednadžbom
xV2C 0
p ∂∂
−=∞
φ .
S obzirom da potencijal poremećaja o x -u ovisi posredno preko funkcije ( )xh ( Bρ ne ovisi o -u).
( ) ( )( )
−−−
+−
−⋅+
−+−=
∂∂ ∞
2
BBBB
B
B
B
BBB0
h
hhh2
h1
hh21
hhh
hkV
h
ρρρρ
ρ
ρ
ρρρρ
πβαφ arcsin
ˆ
jer je hh2
1hdh
d BB ρρ−= .
( )( )
( )
−−
−+
−−
−+−=
∂∂ ∞
hh
h2h21
hh
hkV
hBB
BB
B
B
BBBB0 ρρρρ
ρρ
ρρρρπβ
αφ arcsinˆ
hkV
hB0 ρ
πβαφ arcsin
ˆ⋅−=
∂∂ ∞
Kako je
0
2xh
Λ+=
∂∂
tanββ
bit će
h2
kV
xh
hxB
0
00 ρβπ
αφφ arcsintan
ˆˆ⋅
Λ+−=
∂∂⋅
∂∂
=∂∂ ∞
Sa k označili smo odnos:
2-29
0
0kΛ+Λ−
=tantan
ββ
Poslije zamjene
h12V
xB
022
0 ρβπ
αφ arcsintan
ˆ
Λ−⋅−=
∂∂ ∞ .
Poslije zamjene parcijalne derivacije potencijala po x, dobivamo koeficijent tlaka u točki C
⋅
Λ−−⋅−=
∂∂
−= ∞
∞∞ h12V
V2
xV2C B
022
0p
ρβπ
αφ arcsintan
ˆ
h22C B
022p
ρπβ
α arcsintan
⋅Λ−
=
Odnos Machove koordinate i parametra h dan je jednadžbom:
( )0
0
0
0
B
yx
y2b
yx2
y2b2
h Λ−
−Λ+=
Λ+Λ−
−
=tan
tan
tantan β
ββ
βρ
pa je
( )0
00
22p yx
y2b
22CΛ−
−Λ+⋅
Λ−=
tantanarcsin
tanβ
πβα
x
y
C
µ
A
B
Nρ
σ
1D
2D3D
Slika 2-18
2-30
Ako točka C leži na vršnoj tetivi onda je 0y2b
=− , pa je koeficijent tlaka 0C p = . Ako točka C leži
na Machovom pravcu 0=σ , onda je hB =ρ što se vidi na slici 2-18, jer se točka B nalazi na
presjeku napadnog ruba i vršne tetive. Tad je koeficijent tlaka
022
022p
2122CΛ−
=⋅Λ−
=tan
arcsintan β
απβ
α
jednak konstantnoj vrijednosti koeficijenta tlaka u području D1 .
2.6.5 Pravokutno krilo
Promatramo pravokutno krilo kao na slici 2-18 za koje je
µtanc2b >
S2b2
>µtan
2A >β
Podsjetimo se da su jednadžbe transformacije između Machovih koordinata i Deckartovih u
područja izvora:
2x ρσξ +−=
βρση
2y −−=
b
c 1D
ρ
σ
B
A N
2D2
µ
C
γ
µtanc
Slika 2-19
2-31
2.6.5.1 Potencijal poremećaja na D2
Jednadžba napadnog ruba AN u slučaju pravokutnog krila je jednostavna: 0=ξ , ili u Machovim
koordinatama:
2x0 ρσ +−=
x2+−= σρ .
Jednadžba je vršne tetive 2b
=η , a u Machovim koordinatama
βσρ
2y
2b −
+= .
U točki B na vršnoj tetivi 0B =σ , pa je
−= y
2b2B βρ
Za potencijal poremećaja u točki C područje integracije bit će CBNAC. Prvo ćemo integrirati po σ
za fiksno ρ . U toj integraciji σ se mijenja od 0 do prednjeg ruba AN. U drugoj integraciji mijenja
se ρ od 0 do vrijednosti u točki B. Potencijal poremećaja bit će
( ) ∫ ∫
−=
−∞
B
0
x2
00 dd1
2VC
ρ ρ
ρσσ
ρπβαφ̂
Poslije prve integracije dobivamo:
ρσσσ ρρ
−==−
−
∫ x222d x2
0
x2
0
a poslije druge integracija : ( )
∫∫ ∫−
=
BB
00 0
dx22dd1 ρρ ρσ
ρρρρ
σσ
ρ
Ovaj integral rješavamo smjenom:
ϑρ 2x2 sin= .
Granice nove varijable su od 0=ϑ (kad je 0=ρ ) do
x2B
Bρϑ arcsin=
kad je Bρρ = . Diferencijal nove varijable jest:
ϑϑϑρ dx4d cossin= ,
pa je traženi integral
2-32
( )
( )B2
B
0
0 0
22
2
0 0
1x4
42
2x8
dx8dx4x2
x2x22dd1
B
B BB
ϑϑϑ
ϑϑ
ϑϑϑϑϑϑϑρ
σσ
ρϑ
ϑ ϑρ ρσ
sinsin
sin
coscossinsin
sin
−⋅+=
+=
=−
=
∫ ∫∫ ∫
S tim rezultatom integracije potencijal poremećaja ima oblik
( ) ∫ ∫
−=
−∞
B
0
x2
00 dd1
2VC
ρ ρ
ρσσ
ρπβαφ̂
( )( ) ( )B
2B
0 00 1x2Vdd1
2VC
B
ϑϑϑπβαρ
σσ
ρπβαφ
ρ ρσ
sinsinˆ −⋅+−=
−= ∞∞ ∫ ∫
Vratimo varijablu ρ .
( )
( )
+−=
−⋅+=
∫ ∫
x2x2x22
x21
x2x2x4dd1
BBB
BBB
0 0
B
ρρρ
ρρρρσσ
ρ
ρ ρσ
arcsin
arcsin
pa je konačno potencijal poremećaja
( )
+−−= ∞
x2x21x2VC B
BB0
ρρ
ρπβαφ arcsinˆ
gdje je
−= y
2b2B βρ
Važno je uočiti da veličina Bρ nije funkcija x-a. Drugim riječima potencijal poremećaja ovisi o x-u
eksplicitno.
2.6.5.2 Koeficijent tlaka na D2
Da bi odredili traženi koeficijent tlaka u točki C, potrebna nam je derivacija potencijala po x-u, jer
je koeficijent tlaka određen jednadžbom:
xV2C 0
p ∂∂
−=∞
φ
gdje je
2-33
( )
+−−= ∞
x2x2x2VC B2
BB0ρρρ
πβαφ arcsinˆ
Derivacijom ovog potencijala poremećaja dobivamo
( )
−++
−−=
∂∂ ∞
x2dxd
x21
1x2x2
2x22
2Vx
B
B
B
BB
B0 ρρ
ρρρ
ρπβαφ arcsin
ˆ
Lakše ćemo naći derivaciju posredne funkcije preko logaritma
( )x2
xf Bρ=
( ) ( )x221xf B lnlnlnln −−= ρ
x2dx
fdf
−=
( )x2x2
1xfx2
1dxdf Bρ−== .
Pa je tražena derivacija potencijal poremećaj
x22V
x2x21
x21
1x2x2
21x2
1Vx
BB
B
B
B
0 ρπβ
αρρ
ρ
ρπβαφ arcsinarcsin
ˆ∞∞ −=
−−+
−−=
∂∂
zato što se prvi i treći član u zagradi krate. Tako će biti
x222
x22V
V2
xV2C BB0
pρ
πβαρ
πβαφ arcsinarcsin
ˆ⋅=
⋅−−=
∂∂
−= ∞
∞∞
Sa slike 2_20 vidimo da je odnos
µγ
µ
βρ
tantan
tan=
−=
−
=1
x
y2b
x2
y2b2
x2B
Zato jednadžba za koeficijent tlaka u točki C područja 2D može biti
µγ
πβα
tantanarcsin22Cp ⋅=
2-34
y
x
C
γ
y2b−
x µ
µtanx
−− y
2bx
β
Slika 2-20
Prvo što konstatiramo da je koeficijent tlaka u točki C ovisan samo o kutu γ , što znači da on
konstantan duž pravaca iz napadne točke vršne tetive. Za točku C na vršnoj tetivi bit će 0=γ pa je
duž vršne tetive 0C p = , a duž Machovog pravca iz napadne točke vršne tetive µγ = , pa je u tim
točkama
βα
πβα 2122Cp =⋅= arcsin
isti kao u točkama područja D1 .
2.6.5.3 Koeficijent normalne sile i njeno hvatište
−=
−=−=
⋅−=
βββµ
A11S
cbc1ScS
2cc2bcS
22
1tan
( )( ) 3
cc2b2c4b3
3c
c2bbc2b2bx1 µ
µµµ
tantan
tantan
−−
=−+−+
= → 2A24A3
31
c2b2c4b3
31
cx1
−−
=−−
=ββ
µµ
tantan
( )γ
χγ 2
2
2d
2ccdc
21dS
costan ⋅=⋅=
2-35
c32x2 = →
32
cx2 =
b
c
µ
γγd
1D
2D2
Slika 2-21
+= ∫∫∫∫∞∞
21 D22p
D11p
2
dSC2dSC22VN ρ
+= ∫∫∫∫∞∞
21 D22p2
D11p1
2
0 dSC2xdSC2x2VM ρ
βα2C 1p ±=
µγ
πβα
tantanarcsin22C 2p ⋅±=
⋅+= ∫∫∫∫∞∞
21 D2
D1
2
dS2222dS222VN
µγ
πβα
βαρ
tantanarcsin
⋅+= ∫∫∫∫∞∞
21 D22
D11
2
0 dS222x2dS22x2VM
µγ
πβα
βαρ
tantanarcsin
+= ∫∞∞
µ
γγ
µγ
πβαρ
02
2
1
2 d2c22S4
2VN
costantanarcsin
2-36
+= ∫∞∞
µ
γγ
µγ
πβαρ
02
2
211
2
0d
2c2x2Sx4
2VM
costantanarcsin
+== ∫
∞∞
µ
γγ
µγ
πβα
ρ 02
21
2Nd
cbc2
SS4
S2VNC
costantanarcsin
+== ∫
∞∞
µ
γγ
µγ
πβα
ρ 02
22
1120m
dcx
cbc2
SS
cx4
cS2VNC
costantanarcsin
+−= ∫
µ
γγ
µγ
πββα
02N
dA
2A114C
costantanarcsin
+
−−
−= ∫
µ
γγ
µγ
πββ
ββα
020m
d32
A2
2A24A3
31
A114C
costantanarcsin
Integral rješavamo uvođenjem nove varijable ϑ na mjesto γ smjenom:
ϑγβ =tanarcsin
Donja granica integracije kad je 0=γ bit će 0=ϑ , a gornja µϑ bit će određena jednadžbom:
µϑµβ =tanarcsin
2πϑµ =
Deriviranjem jednadžbe smjene:
ϑγβ 2sintan =
ϑϑϑγ
γβ d2d2 cossin
cos=
ϑϑβγ
γ d21d2 sin
cos=
Zamjenom ovih vrijednosti u integral dobivamo:
( )βπϑϑϑ
βϑϑϑ
βγγ
µγ ππµ
44212
21d21d 2
0
22
002 =+−== ∫∫
sinsinsincostan
tanarcsin
2-37
−=
⋅+−=
ββα
βπ
πββα
A1
2114
4A2
A114CN
−=
+
−−
−=
ββα
βπ
πββ
ββα
A1
23
34
432
A2
2A24A3
31
A114C 0m
1A22A3
31
A1
2114
A1
23
34
CC
Cx
N
0mC
−−
=
−
−
==ββ
ββα
ββα
Usporedimo ovaj teoretski rezultat s mjerenjima. Na dijagramu slika 2-22 prikazana je krivulja
odnosa gradijenta koeficijenta i vitkosti krila u funkciji βA . Po linearnoj teoriji krila prema
dobivenoj jednadžbi za koeficijent normalne sile, taj odnos je:
−=
ββα
A1
211
A4
ACN
Ne zaboravimo da ovaj rezultat važi samo za 2A >β .
Slika 2-22
2-38
Slika 2-23
2.7 Problem otpora Problem otpora je optjecanje tankog krila bez napadnog kuta. U tom slučaju iz rubnog uvjeta s
gornje ili donje strane krila dobivamo jednadžbu za gustoću:
( ) δπ ∞=⋅ Vyxf , .
gdje je δ nagib tangente (na gornjoj ili donjoj površini krila) u odnosu na tetivu, jer je tetiva u
pravcu brzine s obzirom da nema napadnog kuta. Zato što δ nije konstanta, ni gustoća nije
konstantna. Pri razmatranju problema otpora obično se promatra tanko krilo sa simetričnim
profilom. Kako je ( )yx,δ poznata funkcija geometrije krila, ova jednadžba nam određuje raspored
gustoće izvora na jednoj strani površine krila. S obzirom da je funkcija ( )yx,δ poznata u
Deckartovim koordinatama polazimo od jednadžbe za potencijal poremećaja na krilu
( ) ( )( ) ( )∫∫
−−−=
D
ddyx
fyx ηξηβς
ηξφ222
,,ˆ
S dobivenom gustoćom bit će taj potencijal poremećaja na jednoj strani krila
2-39
( ) ( )( ) ( )∫∫
−−−= ∞
D
ddyx
Vyx ηξηβς
ηξδπ
φ222
,,ˆ
Obično u supersonici promatramo simetrične profile i to:
• profila u obliku dva luka (trigonometrijska, kružna ili parabolična),
• profila oblika romba ili
• profil dijamanta.
U slučaju profila oblika romba ili dijamanta može se područje integracije podijeliti na dijelove u
kojima je kut tangente konstantan.
Područje integracije kad je točka C na dijelu krila D1 ostaje isto kao u slučaju nosećeg krila
(slika 2-12), ali područje integracije kad je točka C na dijelu krila D2 kao na slici 2-23 različito je od
područja integracije za problem uzgona. U problemu otpora kad je točka u dijelu krila D2 područje
integracije ograničeno Machovim pravcima iz točke C i napadnim rubom bio on supersoničan ili
subsoničan, kao na slici 2-23.
x
y
BP
Q
MA
constr =
consts =
µ µ
Slika 2-24
2.7.1 Utjecaj kraja krila
Tako kad određujemo potencijal poremećaja u točki C na dijelu D2 onda je područje integracije kao
na slici 2-23 koje se razlikuje od onog sa slike 2-17 kad smo tražili uzgon.
Potencijal poremećaja u točki C koja se nalazi na dijelu D2 u kome se osjeća utjecaj kraja
krila bit će
2-40
( ) ∫∫∞=CBMAC
dd2VC
ρσσρδ
πβφ̂
Pretpostavimo da je profil dijamant ili romb onda je moguće područje integracije podijeliti na
dijelove u kojima je nagib tangente konstantan. Radi jednostavnijeg izlaganja pretpostavimo
najjednostavniji profil, klinasti profil. Tad je nagib tangentne konstantan
Područje integracije (zatamljeno na slici 2-24) možemo prikazati kao zbir dva područja
CBMAC=CBNAC+BMNB
onda se i integral može rastaviti na dva djela
( )
+== ∫∫∫∫∫∫ ∞∞
BMNBCBNACCBMAC
dddd2Vdd
2VC
ρσσρ
ρσσρ
πβδ
ρσσρ
πβδφ̂
Prvi dvostruki integral na području CBNAC već smo riješili u slučaju nosećeg krila. To znači da
nam je potencijal poremećaja klinastog krila jednak zbroju potencijala poremećaja krila nulte
debljine pod napadnim kutom δα = i dodatnim potencijalom poremećaja
( ) ( ) ∫∫∞+=BMNB
0dd
2VCC
ρσσρ
πβδφφ ˆˆ
x
y
C
µ
A
B
Nρ
σ
M
Slika 2-25
Ovaj dvostruki integral u dodatnom potencijalu
2-41
∫ ∫∫∫
=
M
B
LE
t
dd11dd
BEMB
ρ
ρ
σ
σ
ρσσρρσ
σρ
gdje su granice prve integracije 43421
a
y2b2t
−−= βρσ i
kh
LEρσ −
= , a granice druge integracije od
vrijednosti Bρ varijable ρ u točki B, do vrijednosti Mρ varijable ρ u točki M.
2.7.2 Otpor pravokutnog krila klinastog profila
U slučaju pravokutnog krila klinastog profila vidjeli smo da jednadžba napadnog ruba 0=ξ u
Machovim koordinatama ima oblik:
ρσ −= x2LE ,
a jednadžba vršne tetive 2b
=η u Machovim koordinatama ima oblik:
43421a
y2b2t
−−= βρσ
Potencijal poremećaja u točki C na dijelu krila D2 bit će
( )
+== ∫∫∫∫∫∫ ∞∞
BMNBCBNACCBMAC0
dddd2Vdd
2VC
ρσσρ
ρσσρ
πβδ
ρσσρ
πβδφ̂
x
y
C
A
B
ρσ
MN
tσ
LEσ
Slika 2-26
2-42
Prvi dvostruki integral na području CBNAC izračunali smo u slučaju nosećeg pravokutnog krila
x2x21x2dd B
BB
CBNAC
ρρ
ρρσσρ arcsin+−=∫∫
Drugi dvostruki integral svodi se na dvije sukcesivne integracije:
∫ ∫∫∫ =M
B
LE
t
dd1dd
BMNB
ρ
ρ
σ
σ
ρσσ
ρρσσρ
Tako dobivamo potencijal poremećaja u točki C na dijelu D2 . Derivacijom tog potencijala
poremećaja po koordinati x (i množenjem sa ∞− V2 ) dobivamo koeficijent tlaka
−−
Λ−=
µγ
πβ
δtantan1
21arcsin21
tan2
022pC
Ono što je bitno i što pada u oči u točkama na kraju krila ( 0=γ ) bit će koeficijent tlaka
022
022 tan4
21221arcsin21
tan2
Λ−=
−=
−
Λ−=
β
δππβ
δπβ
δpC
dva puta manji od vrijednosti na dijelu krila D1 . Znači tlak opada pod utjecajem kraja krila, ali ne
do 0 već do pola svoje vrijednosti, za razliku od slučaj krila nulte debljini pod napadnim kutom kad
je u istom dijelu krila D2 od iste vrijednosti opao do nule.