Zalotay Péter - Digitális Technika

7/25/2019 Zalotay Pter - Digitlis Technika

1/57

Zalotay Pter

Digitlis technika

Elektronikus jegyzet

Kand Klmn Villamosmrnki Kar


2/57

Zalotay Pter: DI GITLI S TECHNI KA

Elmleti alapismeretek 1.fejezet

2.oldal

Tar talomjegyzk

Bevezets.................................................................................................................................... 3

1. A DI GITLI S TECHNI KA ELMLETI ALAPJAI ....................................................... 7

1.1. Logikai alapismeretek ..............................................................................................................7

1.2. Halmazelmleti alapfogalmak..................................................................................................7

1.3. A logikai algebra.......................................................................................................................9

Logikai vltozk, s rtkk ................................................................................................................ 9

1.4. A logikai algebra aximi.......................................................................................................10

1.5. Logikai mveletek...................................................................................................................11

Az S ( AND ) mvelet ..................................................................................................................... 11

A VAGY ( OR ) mvelet ................................................................................................................... 12

A TAGADS ( INVERS ) mvelete ................................................................................................. 13

1.6. A logikai mveletek tulajdonsgai ........................................................................................14

Ko mmu ta t i v i t s ( tnyez#k felcserlhet#sge ) ........................................................................ 14

Ass zo c i a t iv i t s ( a tnyez#k csoportosthatsga)..................................................................... 15

D i s z t r i b u t i v i t s ( a mveletek azonos rtkek ) ..................................................................... 15

1.7. A logikai algebra ttelei..........................................................................................................16

A k i t n t e t e t t elemekkel vgzett mveletek:................................................................................. 16

Az a z o n o s vltozkkal vgzett mveletek:..................................................................................... 16

A logikai t a g a d s r a vonatkoz ttelek: ......................................................................................... 16

Logikai kifejezs tagadsa: ................................................................................................................ 16

l t a l n o s ttelek: .......................................................................................................................... 17

Tovbbi ltalnos ttelek.................................................................................................................... 17

1.8. Algebrai kifejezsek................................................................................................................17

Az algebrai kifejezs b#vtse............................................................................................................ 18

1.9. Logikai fggvnyek.................................................................................................................20

Logikai feladatok lersa tblzattal................................................................................................... 21

Logikai fggvny felrsa az igazsgtblzatbl................................................................................ 24

Logikai fggvnyek matematikai, egyszerstett felrsi alakjai ....................................................... 27

Fggvnyek megadsa matematikai alakban ..................................................................................... 28

Kanonikus fggvny-alakok kztti talakts .................................................................................. 29

A logikai fggvnyek grafikus megadsa .......................................................................................... 30


3/57



3.oldal

Logikai vzlat..................................................................................................................................... 31

1.10. Grafikus brzols .............................................................................................................33

Karnaugh diagram.............................................................................................................................. 33

Id#fggvny megrajzolsa ................................................................................................................. 36

1.11. A logikai fggvnyek egyszerstse .................................................................................37

Algebrai egyszersts ....................................................................................................................... 38

Grafikus egyszersts Karnaugh tblzattal.................................................................................... 39

1.12. Aritmetikai alapfogalmak..................................................................................................44

Szm, szmjegy, szmrendszer .......................................................................................................... 45

Szmbrzolsi (szmrsi) formk.................................................................................................... 50

Szmok norml alakja ........................................................................................................................ 51

Binris szmok lebeg#pontos (float) alakja ....................................................................................... 52

Kdolt decimlis szmok ................................................................................................................... 54

Aritmetikai mveletek algoritmusai................................................................................................... 55

Bevezets

Az elektronikus jegyzet a BMF Kand Klmn Vil lamosmrnki Kar rvnyes

tantervben szerepl#Di gitlis techn ika I, tantrgy oktatsi anyagt tartalmazza. A jegy-

zet hrom f#rszben:

A digi tlis techni ka elmleti alapjai ,

A di gi tlis hlzatok, s

Digi tlis integrlt ramkrk, s alkalmazsuk

fejezetekben trgyalja a ktelez#tananyagot. A tananyag elsajttst segtik a tantermi

foglalkozsok sorn megoldott pldk, s otthoni feladatok. A gyakorlati kszsg

fejlesztst szolgljk laboratriumi gyakorlatok. Mindezekhez b#sges oktatsi

segdlet ll a nappali, a levelez#, s a tvoktatsos hallgatk rszre.

A digi tlistechnikamdszereivel az informci lekpzs, mveletvgzss az eredm-

nyek tovbbtsa ktrtk elemi informcik (bitek) sorozatval, digitlis szavakkaltrtnik. A klnbz# mveletvgzsek egyszer logikai dntsek sorozatra


4/57



4.oldal

vezethet#k vissza. Ugyancsak logikai mveleteket kell vgezni, pl. kt - klnbz#

mennyisg rtkt hordoz - informci kztti viszony (kisebb, nagyobb, egyenl#)

megllaptshoz.

Miel#tt a digitlis technika alapjairl rnnk, rviden ismerkedjnk meg a teljessg

ignye nlkl az e - technikt megalapoz legjelent#sebb szemlyek munkssgval.

George Boole (1815-1864) angol matematikus foglakozott legel#szr a formlis logika

algebrai szintlersval s alkotta meg a rla elnevezett algebrt, melyet 1847-ben a "

The Mathematical Analiysis of Logic " cmknyvben tett kzz.

C. Shannon mrnk-matematikus 1938 -ban megjelent 'Switching Theory' cm

knyvben adaptlta el#szr G. Boole algebrjt ktllapot kapcsolelemeket

tartalmaz logikai rendszerek lersra. Az informcielmlet megalaptsa is nevhez

fz#dik, az informci alapegysgt is tiszteletre rla neveztk el

Azta hihetetlen mrtk fejl#ds kvetkezett be a technika s ezen bell is a logikai

rendszerek fejl#dsben s alkalmazsban. Ez a fejl#ds mind az elmlet, a

rendszertechnika mind pedig a technolgia terletn igen gyors volt s termszetesen

ma is mg az. A technolgia fejl#dsn termszetesen itt els#sorban az ramkri

elemek s az ehhez kapcsold logikai illetve ramkri rendszerek szerelsnek

automatizlsra lehet gondolni. rdekes megfigyelni - vlemnyem szerint a technika

fejl#dsben egyedlll mdon - hogy voltak id#szakok amikor a technolgia

fejl#dse - konkrtan a nagy bonyolultsg integrlt ramkrk, a mikroprocesszorok

megjelense - kszletlenl rte az elmletet, szinte lehagyva azt.

A kvetkez# felsorols teljesen nknyes, de mindenkppen olyan tudomnytrtnetineveket tartalmaz akik igen nagy mrtkben el#segtettk a logikai rendszerek

elmletnek kidolgozst, fejl#dst,

Evarist Galois (1812-1832 ) Francai matematikus a modern algebra egyik gnak

megalaptja. Az ltala ltrehozott s rla elnevezett csoportelmlet adja a kdols

elmlet, a kriptogrfia elmleti httert. Rvid lete alatt hozta ltre ezt a nem ppen

knnyen elsajtthat elmletet, mg egyetemista korban prbajban meghalt.


5/57



5.oldal

Wilkes angol matematikus aki 1954 es vekben kifejlesztette a mikro-programozs

elmlett, amelyet a technolgia akkori szintjn mg igen kltsges lett volna

alkalmazni. Ez az elmlet tbbek kztt a szmtgpek kzponti vezrl#egysgnek

tervezshez adott univerzlis megoldst. Els#alkalmazsai kztt az igen npszerIBM

360 -as szmtgp is szerepelt.

1964-65 vekben Mealey s Moore mrnkk a logikai rendszerek tervezsnek egy

olyan zrt jl alkalmazhat elmlett adtk meg, mely a kor eszkzbzisnak megfelel#

alkalmazst tette lehet#v.

Az 1971-es vre tehet# az integrlt ramkri gyrtstechnolgia olyan mrtk

fejl#dse, hogy lehet#sgg vlt a szmtgpek kzponti egysgnek megvalstsa

egy vagy tbb tokban, vagyis megjelent a mikroprocesszor. Azta a fejl#ds mg

inkbb felgyorsult s szinte nincs az iparnak, a szrakoztat-iparnak, a kereskede-

lemnek, a mez#gazdasgnak, a szolgltatsoknak olyan terlete, ahol a nagy integ-

rltsg s olcs digitlis rendszerek ne terjedtek volna el. Kis tlzssal azt

mondhatnnk, hogy az utols egy kt vtized a digitlis technika korszaka volt s taln

mg marad is. Az integrlt ramkrk gyrtstechnolgijnak fejl#dst igen jl

mutatja az , hogy az 1972-es vek kzkedvelt I8080 tpus mikroprocesszora mg csak

megkzelt#en 4700 tranzisztort tartalmazott, mg ma a kereskedelemben lehet kapni

olyan Pentium alap mikroprocesszort s egyb rendszertechnikai elemeket tartalmaz

chipet mely 150 milli tranzisztorbl pl fel

Termszetesen nem csak mikroprocesszorokat fejlesztettek ki, de ms univerzlisan,

vagy nagy sorozatban hasznlhat ramkri kszletek is kialakultak:

memrik

programozhat logikai elemek: F PGA, stb.

berendezs or ientlt integrlt ramkrk

clramkrk, pl. Quar z rk

Az integrltsg mrtknek nvekedsvel egyre tbb funkci kerlt egy tokba ( chip-

be ), amely jelent#sen megnvelte a kivezetsek szmt is. Ezeknek a nyomtatott


6/57



6.oldal

ramkri lemezre val beltetsre a hagyomnyos technolgia nem volt alkalmas,

ezrt kifejlesztettk a felletszerelsi technolgikat ( angolul Surface Mount

Technology = SMT) s alkatrszeket ( angolul Surface Mountage Devices ) SMD.

Az egy chipben leintegrlt logikai funkcik olyan bonyolultakk vltak, hogy tesz-

telskre mr a hagyomnyos mdon nem volt lehet#sg, ezrt ki kellett fejleszteni j

megoldsokat erre a feladatra, s ezek a ma oly kzkedvelt szimulcis programok

illetve hardware ler nyelvek ( VHDL).

Nagyon kevs mszaki szakterletet lehet tallni, amelynek csak megkzelt#en is

akkora irodalma volna mint a digitlis techniknak illetve rendszereknek. Ugyanakkor

s ez taln ellentmondsnak tnik, hogy ritka az olyan szakterlet is amelyben olyan

rvid id# alatt lehet olyan tudsra szert tenni , mellyel mr egsz komoly logikai

rendszerek pthet#k fel. Az ellentmondst az oldja fel, hogy ma mr nem elegend#ha

egy rendszer mkdik, ez csak egy alapkvetelmny, de annak szmos esetben igen

nagy megbzhatsggal, knny szervizelhet#sggel, versenykpes ron kell megva-

lsulnia. s az ilyen "hiba tr#" rendszerek tervezse s szervizelse nagy tudst

ignyel.


7/57



7.oldal

1. A DIGITLIS TECHNIKA ELMLETI ALAPJAI

1.1. Logikai alapismeretek

Mint ahogyan azt a bevezet#ben is emltettk, a digitlis technikaa mszaki, technikai

folyamatok megvalstsraalkalmas berendezsek, automatk tervezshez szksges

elmlettel, mdszerekkel, sramkrkkelfoglalkozik.

A tervezend# kszlkek, berendezsek be-, s kimeneteinek jelei (logikai vltozi)

csak kt rtketvehetnek fel, s a dntseka formlis logi kbanhasznlt mveleteken

alapulnak. A vltozk teljes halmazt alkotnak, amelyet esemnytrnek is nevezhetnk.

A kvetkez#kben el#szr sszefoglaljuk rviden a hasznlt halmazelmleti alap-

fogalmakat. Majd trgyaljuk a logikai algebra rendszert, valamint alkalmazsi

lehet#sgeit, mdszereit.

1.2.

Halmazelmleti alapfogalmak

Halmazon valamilyen kzs tulajdonsggal rendelkez# dolgok sszessgt rtjk. A

halmazhoz tartoz "dolgok sszessgt" a halmaz elemeinek nevezik. Az adott tulaj-

donsgokkal nem rendelkez#dolgok sszessge alkotja a komplemensvagy kiegszt#

halmazt.

A halmazok lehetnek vgesek vagy vgtelenek a halmazt alkot elemek szmtl

fgg#en. Kt specilis halmazt is definilnak: res halmaz melynek egyetlen elemesincs, s a teljes vagy univerzlis halmazt, amelyet valamely halmaz s ennek

komplemens- e alkot.

Egy halmaz ltalban tovbbi rszekre gy nevezett rszhalmazokra is oszthatunk,

mely gy jn ltre, hogy az adott halmazhoz mg tovbbi szkt#felttelt is rendelnk.

Pldul vegyk egyszersg kedvrt a termszetes szmok halmazt. A termszetes

szmok rszhalmazai lehetnek pl. a prmszmok, a 2-vel vagy a 3-al oszthat szmok

stb.


8/57



8.oldal

Azon rszhalmazt mely minden eleme rsze kt vagy tbb halmaznak, azt a kt halmaz

kzs rsznek (metszet) vagy latin kifejezssel lve a kt halmaz konjunkci - jnak

mondjuk.

A termszetes szmok kzl tartalmazza az Ahalmaz a 2-vel, a Bhalmazt pedig a 3-

mal oszthat szmokat. Azok a termszetes szmok melyek 2-vel s 3-mal is oszthatk

a kt halmaz kzsrszt ms szval metszettkpezik. ltalnosan teht az A halmaz

elemei 2i ahol i [1, ], a B halmaz 3j ahol j[1, ], s gy a kzs rsz halmazt a

6k ahol k [1, ] szmok kpezik. A kzs rsz jellsre a halmazelmletben a ,

vagy jelet hasznljk.(AB, vagy AB)

Azon elemekb#l felpl#halmazt mely tartalmazza mind az Amind pedig a B ( vagy

esetleg tbb halmaz ) elemeit a kt halmaz egyestett halmaznak vagy unijnak

nevezzk. Latin szval ez a mveletet a diszjunkci. El#bbi pldnknl maradva az

egyestett halmaz elmei 6i, 6i-2, 6i-3, 6i-4 ( i=1,2,3...). Az uni jellsre az U, vagy a

V jellseket hasznljk. (A U Bvagy A V B)

A halmazok s a rajtuk rtelmezett mveletek jl szemlltethet#k ( a J.Venn s Veitch

matematikusrl elnevezett ) diagramokkalis. A teljes halmaztegy ngyszggel, mg a

rszhalmazokategy zrt alakzattalclszeren egy krrel a Venndiagramban 1.bra -

vagy ugyancsak ngyszggeljellik a 2.bra szerinti Veitchdiagramban.

AB

Venndiagram

rszhalmazokmetszete

rszhalmazokegyestse

1. bra


9/57



9.oldal

A

B

D

C

Veitchdiagram

A

B

D

C

Metszet _AB C D

A

B

D

C

Egyests _ _ _

AUBUCUD

a. b. c.

2. bra

A Veitch diagramban minden vltoz IGAZ rtkhez a teljes halmaz (esemny-tr)

fele, mg a msik trfl ugyanezen vltoz tagadott rtkhez tartozik. (Az algebrai

lersnl a vltoz fl-hzsval jelljk a tagadst). Az bra ngyvltozs halmazt

brzol. A peremezsnl vonalak jelzik, hogy az egyes vltozk melyik trflen IGAZ

rtkek. A 2.b. brn a metszsnek (S mvelet) azt a vltozatt szemllteti, amelyik

mindegyik vltoz valamelyik rtknek kzs terlete. Ez metszi ki a legkisebb elemi

terletet, ezrt nevezik ezt minterm - nek. A 2.c brn az sszes vltoz valamely

rtkeihez tartoz egyttes terlet. Az egyestett terlet a legnagyobb rszterlet,

amelyet maxterm -nek neveznek. Mind a kt kitntetett terletb#l 2n en darab van,

ahol n a vltozk szma.

1.3. A logikai algebra

A logikaialgebra a Boolealgebra alapjaira pl. Kiegsztsekkel a digitlis rendszerek

tervezsre, elemzsre alkalmas algebrv fejl#dtt.

A tovbbiakban sszefoglaljuk a logikai algebra alapjait. A logikai ramkrk ks#bb

sorra kerl# ismertetsnl, valamint azok mkdsnek megrtshez az algebrai

alapok biztos ismerete elengedhetetlen.

Logikai vltozk, s rtkk

A logikai algebracsak ktrtklogikai vltozkhalmazra rtelmezett.


10/57



10.oldal

A logikaivltozk kt csoportba oszthatk, gymint

fggetlen-, s

fgg#vltozkra.

Mindkt csoport tagjait a latin ABC nagy betivel (A, B, C . . . X, Y, Z) jelljk.

ltalban az ABC els#felbe es#betkkel a fggetlen, az utols betk valamelyikvel,

pedig a fgg#vltozkat jelljk.

A vltozk kt logikai rtke az I G A Z , ill. a H A M I S rtk. Ezeket 1-el, ill. 0-val is

jellhetjk (IGAZ: 1; HAMIS: 0).

1.4. A logikai algebra aximi

Az aximk olyan el#re rgztett kiktsek, alaplltsok, amelyek az algebrai

rendszerben mindig rvnyesek, viszont nem igazolhatk. Ezen lltsok meghatrozzk

a halmaz elemeit, a mveleteket, azok tu lajdonsgai t. A ttelek, viszont az aximk

segtsgvel bizonythatk.

1.Az algebra ktrtkelemek halmazra rtelmezett.

2.A halmaz minden elemnek ltezik a komplemens -e is, amely ugyancsak

eleme a halmaznak, teht teljeshalmazt alkotnak.

3.Az elemek kztt vgezhet#mveletek

a konjunkci( logikai S ), illetve

a diszjunkci( logikai VAGY).

4.A logikai mveletek tu lajdonsgai:

kommutatvak ( a tnyez#k felcserlhet#k ),

asszoci atv ak (a tnyez#k csoportosthatk),

disztr ibutv ak (a kt mvelet elvgzsnek sorrendje felcse-rlhet#).


11/57



11.oldal

5.A halmaz kitntetettelemei az

egysgelem ( rtke a halmazon bell mindig IGAZ ), s a

nullelem ( rtke a halmazon bell mindig HAMIS ).

A logikai algebra a felsorolt aximkra pl. A logikai feladatok technikai

megvalstshoz a halmaz egy elemnek komplemenst kpez#mvelet is szksges.

Ezrt a mveletek kztt a logikai TAGADS (ms szhasznlattal nem, negci,

inver tls) is szerepel.

1.5.

Logikai mveletek

A logikai algebra a kvetkez# logikai mveleteket alkalmazza. A vltozk logikai

mveletekkel sszekapcsolva alkotnak egy logikai kifejezst.

S (konjunkci, AND)- logikai szorzs;

VAGY (diszjunkci, OR)- logikai sszeads;

NEM (negci, invertls, NOT)- logikai tagads.

A felsorolt mveletek kzl az S, ill. a VAGYmvelet kt-, vagy tbbvltozs. Ez azt

jelenti, hogy a vltozk legalbb kt eleme, vagy csoportjakztt rtelmezett logikai

kapcsolatot hatroz meg. A tagads egy vltozs mvelet, amely a vltozk, vagy

vltozcsopor tokbrmelyikre vonatkozhat.

A tovbbiakban ismerkedjnk meg az egyes logikai mveletek defincijval, s

tulajdonsgval.

Az S ( AND ) mvelet

A logikai vltozkkal vgzettSmveleteredmnye akkor scsak akkor IGAZ, ha

mindegyik vltoz rtke egyidejleg IGAZ. A logikai algebrban az S kapcsolatot

szorzssal jelljk (logikai szorzs).

(Megjegyzs: a logikai szorzs jelet - akr csak az Euklideszi algebrban - nem szokskitenni, gy a tovbbiakban mi is eltekintnk ett#l).


12/57



12.oldal

Az

KAB =

logi kai fggvnybenaz As a Ba fggetl en vltozk, a Kpedig a fgg#vltoz, vagy

eredmny. Jelentse pedig az, hogy a K akkor IGAZ, ha egyidejleg az A s a B is

IGAZ.

Fontos: a pldban szerepl#fggetl en vltozk egyedi vltozk, vagy egy-egy msik

logikai fggvny megoldsnak eredmnyei is lehetnek

Plda:

Ahhoz, hogy egy szobban a lmpa vilgtson, alapvet#en kt felttelnek kell

teljeslni:

- legyen hlzati feszltsg;

- a kapcsol bekapcsolt llapotban legyen.

Szban megfogalmazva: havan hlzati feszltsg sa kapcsol bekapcsolt, akkoralmpa vilgt. (Az egyb kvetelmnyek teljeslst, hogy az ramkr elemei jk

felttelezzk.) Ebben az egyszertechnikai pldban a hlzatifeszltsgs a kapcsol

llapotaa fggetlen-, a lmpa mkdse, pedig a fgg#vltoz. Mindhrom tnyez#

ktrtk.

A VAGY ( OR ) mvelet

A logikai vltozkkalvgzett VAGYmvelet eredmnye akkor IGAZ, ha a fggetlenvltozk kzl legalbb az egyikIGAZ.

Algebrai formban ezt a fggetlen vltozk sszegeknt rjuk le (logikai sszeads). Az

KBA =+

alak algebrai egyenl#sgben a K eredmny akkor IGAZ, ha vagy az A, vagy a B, vagy

mindkett#IGAZ.


13/57



13.oldal

Plda:

Erre a logikai kapcsolatra ismert technikai plda egy gpkocsi i rnyjelz#jnek

mkdst ellen#rz#lmpa. A vezet#el#tt a mszerfalon lev#lmpa vilgt, ha a kls#

irnyjelz#k kzl vagyajobboldali, vagy a baloldali jelz#lmpacsoport vilgt. Azt az

lltst, hogy jobb oldali jelzs van, jellje Js azt, hogy bal oldali a jelzs, pedig B. Az

eredmnyt, hogy a bels# ellen#rz# lmpa vilgt, jelljk L-lel. A mkdst ler

logikai egyenl#sg:

LJB =+

alak lesz.

A TAGADS ( INVERS ) mvelete

A logikai tagadst egyetlen vltozn, vagy csoporton vgrehajtott mveletknt rtel-

mezzk. Jelentse, pedig az, hogy haavltoz IGAZ, akkor atagadottja HAM ISs

fordtva. Algebrai lersban a tagadst a vltoz jele fl hzott vonallal jelljk. Ezek

szerint a

AK=

egyenl#sg azt jelenti, hogy a K akkor IGAZ, ha az AHAMIS. ( Szban A nem - nek,

A fellvonsnak vagy A tagadottnak mondjuk.)

Az

KBA =*

sszefggs azt rja le, hogy az eredmny (K) csak akkor igaz, ha az A*Blogikai S

mvelet eredmnye HAMISrtket ad.


14/57



14.oldal

Plda:

A tagads mveletnek el#z#ek szerinti rtelmezse alapjn abban a pldban, amelyet

az S mvelet magyarzatra hoztunk az A (A nem) azt jelenti, hogy nincshlzati

feszltsg, ill. a B (B nem) jelenti azt, hogy a kapcsol nincs bekapcsolva. Az ered-

mny tagadsa ( K) azt fejezi ki, hogy a lmpa nem vilgt. Az el#z#ek alapjn a

gpkocsi irnyjelzst ellen#rz# lmpa mkdst ler sszefggsben is rtelme-

zhetjk a J -t (jobb oldali jelzs nincs), a B -t (bal oldali jelzs nincs) s az L - t

(ellen#rz#lmpa nem vilgt) jellsek technikai tartalmt.

1.6.

A logikai mveletek tulajdonsgai

A kvetkez#kben a logikai S, valamint logikai VAGY mveletek tulajdonsgait

elemezzk.

K ommu t a t i vi ts ( tnyez#k felcserlhet#sge )

A lert szemlltet# pldkat vegyk ismt el#. Azt lltottuk, hogy ha van hlzati

feszltsg, s a kapcsol bekapcsolt, akkor a lmpa vilgt. Az eredmny vltozatlan, haaz lltsok sorrendjt felcserljk, vagyis ha a kapcsol be van kapcsolva s van

hlzati feszltsg, akkor vilgt a lmpa. Ez a ltszlagos szjtk arra utal, - ami

ltalnosan igaz - hogy az Smveletekben a vltozk sorrendj e felcserlhet#, amely

algebrai formban az

BAAB =

azonossggal rhat le.

Az el#z#ekhez hasonlan meggy#z#dhetnk arrl is, hogy a VAGY mveletekben is

felcserlhet#-ek az egyes lltsok. rvnyes a

JBBJ +=+

azonossg.

Teht mindkt tbbvltozs logikai mvelet kommutatv.


15/57



15.oldal

A sszo c i a t i v i ts ( a tnyez#k csopor tosthatsga)

A kt logikai mvelet tovbbi tulajdonsga a mveleti tnyez#k csoportosthatsgais,

vagyis az asszociativi ts. Algebrai alakban az

)()()( ACBCABBCAABC ===

ill. az

)()()( CABCBACBACBA ++=++=++=++

azonossgok rjk le az asszociatv tulajdonsgot. A zrjel - a matematikai algebrhoz

hasonlan - a mveletvgzs sorrendjt rja el#. Eszerint a hromvltozs S, ill.

VAGY mveletet gy is elvgezhetjk, hogy el#bb csak kt vltozval kpezzk az S,

ill. a VAGY kapcsolatot, majd annak eredmnye s a harmadik vltoz kztt hajtjuk

vgre az el#rt mveletet.

D i szt r i bu t i v i ts ( a mveletek azonos rtkek )

A harmadik jelent#s tulajdonsg, hogy a logikai S, valamint a logikai VAGYazonos

r tk mvelet. Mindkett# disztributv a msikra nzve. Algebrai formban ez a

kvetkez#kppen irhat le:

ACABCBA +=+ )(

))(( CABABCA ++=+

Az els# azonossg alakilag megegyezik a matematikai algebra mveletvgzs

szablyval. A msodik azonossg csak a logikai algebrban rvnyes. Kifejezi azt,

hogy egy logikai szorzat (S kapcsolat) s egy llts VAGY kapcsolata gy is

kpezhet#, hogy el#szrkpezzk a VAGY mveletet a szorzat tnyez#ivel s az gy

kapott eredmnyekkel hajtjuk vgre az Smveletet.

A logikai mveletek megismert tulajdonsgai segtsgvel a logikai kifejezsek algebrai

talaktsa hajthat vgre, s gy lehet#sg van a legegyszerbb alak kifejezs

megkeressre. Ezt a ks#bbiekben mg rszletesebben fogjuk trgyalni.


16/57



16.oldal

1.7. A logikai algebra ttelei

A tovbbiakban felsoroljuk a fontosabb tteleket, azok rszletes bizonytsa nlkl.

A k i t n t et et t elemekkel vgzett mveletek:

1*1 = 1 0*0 = 0

1*A = A 0* A = 0

1+1 = 1 0+0 = 0

1+A = 1 0+A =A

Az azon os vltozkkal vgzett mveletek:

A*A = A AA * = 0

A+A = A AA + = 1

Fontos: hogy az A-val jelzett l ogikai vltoz nem csak egy vltoz, hanem egy logikaimveletcsoport eredmnyt is jel entheti .

A logikai t agadsr a vonatkoz ttelek:

AA = AA =

ltalnosan: a pros szm tagads nem vltoztatja meg az rtket, mg a pratlan

szm tagads azt az ellenkez#jrevltoztatja.

Logi kai kifejezs tagadsa:

BABA *)( =+ BABA +=*

Az el#z# kt ttel az un. De Morgan - ttelek, amelyek ltalnosan azt fogalmazzk

meg, hogy egy logikai kifejezs tagadsa gy is elvgezhet, hogy az egyes vltozkat


17/57



17.oldal

tagadjuk, s a logikai mveleteket felcserljk (VAGY helyett S, ill. S helyett

VAGY mveletet vgznk).

l t a l n os ttelek:

ABAA =+ )( AABA =+

E kt ttel a mveletek disztributv tulajdonsga s a mr felsorolt ttelek segtsgvel a

kvetkez#kppen bizonythat:

AB1AABAABAA =+=+=+ )()(

ABAABAAAABA =+=++=+ )())((

Tovbbi ltalnos ttelek

ABBAA =+ )(

BABAA +=+

BBAAB =+

BBABA =++ ))((

CAABCABCAB +=++

BAACCABA +=++ ))((

A legutbb felsorolt ttelek is bizonythatk az alaptulajdonsgok segtsgvel.

1.8. Algebrai kifejezsek

A tovbbiakban ismertetnk nhny mdszert, amelyeket az algebrai kifejezsek tala-

ktsnl gyakran hasznlunk.


18/57



18.oldal

Az algebrai kifejezs b#vtse.

Egy logikai szorzat rtke nem vltozik, ha a kifejezs s az 1-el logikai szorzatt

kpezzk (S).

1*ABAB=

Az 1-et, pedig felrhatjuk, pl. )( CC + alakban. Teht:

CABABCCCABAB +=+= )(

Egy logikai sszeads nem fog megvltozni, ha a kifejezs s a 0 logikai sszegtkpezzk (VAGY):

0EDED ++=+

A 0-t kifejezhetjk FF * alakban. A b#vtst vgrehajtva az

))((*)( FEDFEDFFEDED ++++=++=+

azonossgot kapjuk.

Ennl a b#vtsnl felhasznltuk a disztributivitst ler egyik algebrai sszefggst,

mely szerint

))(( CABABCA ++=+

Az el#z#ben ismertetett b#vtsi szably megfordtva egyszerstsre is felhasznlhat.

Plda:

Igazoljuk a ttelek kztt felsorolt

CAABCABCAB +=++

azonossgot!

Els# lpsknt a baloldal mindhrom tagjt kib#vtjk gy, hogy szerepeljen bennk

mindegyik fggetlen vltoz (A,B,C).

=+++++ )BB(CA)AA(BC)CC(AB

CBABCABCAABCCABABC +++++=


19/57



19.oldal

Az gy kapott hat szorzatot tartalmaz kifejezsben kett#- kett#azonos. Ezek kzl egy

- egy elhagyhat az A + A = A ttel analgijra (pl. ABC +. + ABC = ABC). Ezeket

jelltk egyszeres, illetve kett#s alhzssal.

Msodik lpsknt a b#vts fordtottjt vgezzk, vagyis ahol lehet az azonos

tnyez#ket, kiemeljk.

CAAB)BB(CA)CC(ABCBABCACABABC +=+++=+++

A zrjelekben lev#kifejezsek 1 rtkek.

Ezzel igazoltuk az eredeti azonossgot.

Algebrai kifejezs tagadsa ( a De Morgan - ttelek alkalmazsa).

=++++++++++

=++++++=

==++

)CBA()CCCBCACBBBBACAABAA(

)CBA()CBA()CBA(

)CBA()BCA()CBA(CBABCACBA

Az talaktsnl el#szr a De Morgan - ttelt hasznltuk (els# s msodik sor). A

kvetkez# lpsknt az els# kt zrjeles kifejezs logikai szorzatt (S mvelet)

kpeztk (az eredmny alhzva).

Az alhzott rszt clszer tovbb egyszersteni az 0AA = , s a 0BB = tnyez#k

elhagysval, illetve a CCC = helyettestssel. Majd tovbb is egyszersthet# a

C kiemelsvel.

=++++++=++++++ )1BABA(CBAAB)CCBCACBBACAAB(

CBAAB ++=

A zrjelben lev#kifejezs azonosan 1, mert a logikai sszeads egyik tagja 1. Trjnk

vissza az eredeti kifejezshez, amelynl a zrjelbe tett kifejezsek sszeszorzsa,

majd a lehetsges tovbbi talakts utn ( pl. az alhzott kifejezsek rtke 0 stb.)

kapjuk meg a vgeredmnyt.


20/57



20.oldal

CAB)BABA(C)C11(AB

0CBACABBC0ABCA0ABCCCBACAB

BCBBAABBCAABAABA)CBA)(CBAAB(

+=+++++=

=++++++++=+++

++++++=++++=

Plda:

Igazoljuk a

EDFFEDF +=+

azonossgot!

Els#megolds:

FEDF)ED(F)ED(FEFD +=++=+=+

Msodik megolds:

EDFED)E1D(FFEEDFDF

FEEDFFDF)FE)(FD()FE)(FD(FEFD

+=+++=+++

=+++=++==+

1.9. Logikai fggvnyek

A mszaki , technikai feladatok dnt# hnyada logikai dntsek sorozatra pl. A

logikai dntsek elemei az lltsok, amelyek rtkei, s logikai kapcsolatuk hatrozza

meg a dntsek eredmnyt. A feladatokat megvalst ramkrk, logikai hlzatok

bemeneteire kapcsolt az lltsoknak megfelel#- ktrtkjelek a fggetlen logikai

vltozk, mg a kimeneteken megjelen# ugyancsak ktrtk jelek a kvetkeztetsek

logikai rtke, s ezek a fgg# logikai vltozk. A fgg#-, s a fggetlen vltozk

kztti logikai kapcsolatot rjk le a logi kai fggvnyek. Minden fgg# vltozra

kimeneti rtkre felrhat egy-egy fggvny.

A logikai fggvny olyan egyenl#sg, amely vltozi ktrtkek, s ezek kztt csak

logikai mveleteket S, VAGY, TAGADS vgznk.


21/57



21.oldal

A fggvnyek megadsa lersa trtnhet

algebrai alakban,

tblzat segtsgvel,

matematikai jellsekkel,

graf ikus mdon,

id#fggvny formjban.

A felsorolt lersi mdok teljesen egyenrtkek, s egymsba trhatk!

A logikai kifejezsek, fggvnyek algebrai lersnak szablyait az 1.3. alfejezetben

ismertettk. Az albbiakban a tovbbi megadsi formkat, s ezek kapcsolatt

trgyaljuk.

Logi kai feladatok lersa tblzattal

A logikai formban megfogalmazhat, mszaki, szmtsi s irnytsi feladatokban

mindig vgesszm elemillts szerepel. Ezek mindig csak ktrtket vehetnek fel,

vagy IGAZ - ak, vagy HAMIS - ak. Ebb#l kvetkezik, hogy a fggetlen vltozk

lehetsges rtk-variciinak a szma is vges. Minden egyes varicihoz a fgg#

vltoz meghatrozott rtke tartozik.

A logikai kapcsolat lersnak tblzatos formja az igazsgtblzat. A tblzat

tartalmazza a fggetlen vltozk sszes kombinci-jt (rtk-varicijt) s az azokhoz

rendelt fgg#vltoz(k) rtkt, amit fggvnyrtknek is nevezhetnk. Az igazsg-tblzatban minden logikai vltoz IGAZ rtkt 1-el, mg a HAMIS rtket 0-val

jelljk.

sszefoglalva: az igazsgtblzat oszlopainak szma az sszes logikai vltoz

szmval (fgg#vltozk szma + fggetl en vltozk szma), sorainak szma pedig a

fggetl en vltozk lehetsges kombinciinak szmval egyezik meg.

A lehetsges rtkvaricik szmt (V-t) ltalnosan a V=2n

sszefggssel hatroz-hatjuk meg, ahol n az sszes fggetlen logikai vltoz szma.


22/57



22.oldal

Megjegyezzk, hogy ltalban csak egy fgg# vltozt tartalmaz igazsgtblzatot

runk fel. Azokban az esetekben, ha egy logikai kapcsolat-rendszerben tbb fgg#

vltoz van, clszerbb mindegyikre kln-kln felrni az igazsgtblzatot. Ezzel

ttekinthet#bb kpet kapunk.

A logikai alapmveletek igazsgtblzatait mutatja a 3. bra.

BAK= BAK += AK=

B A K B A K A K

0 0 0 0 0 0 0 1

0 1 0 0 1 1 1 0

1 0 0 1 0 1

1 1 1 1 1 1

3. bra

Plda:

rjuk fel a

BABAZ +=

logikai fggvny igazsgtblzatt! A 3.brn kvethet#a lert mveletsor.

Els#lpsknt az igazsgtblzat oszlopainak s sorainak a szmt hatrozzuk meg.

Mivel kt fggetlen-, (A,B) s egy fgg# vltoz (Z) van, az oszlopok szma 3.

(4.a.bra). A sorok szma a fggetlen vltozk szmbl (n=2) a V = 2n = 22 = 4 ssze-

fggsb#l szmolhat.

Msodik lpsknt az rtkvaricikat rjuk be. (4.b.bra).Clszer ezt gy

vgrehajtani, hogy az egyik oszlopban (pl. az A) soronknt vltjuk a 0, s az 1 berst.

A kvetkez#oszlopban (B) prosval vltogatjuk az rtkeket. (Nagyobb sorszmnl a

kvetkez#oszlopoknl ngyesvel, majd nyolcasval varilunk s.i.t.) A bersnak ez a

rendszeressge biztostja, hogy egyetlen varici sem marad ki.


23/57



23.oldal

B A Z B A Z B A Z

0 0 0 0 00 1 0 1 1

1 0 1 0 1

1 1 1 1 0

a. b. c.

4. bra

Harmadik l psaz egyes sorokba rand Z rtk meghatrozsa. Ezt gy vgezhetjkel, hogy a fggetlen vltozknak rtkeket adunk, s az adott fggvnyt kiszmtjuk.

1. sorban: A = 0, B = 0

Z = 0*1 + 1* 0 = 0

2. sorban: A = 1, B = 0

Z = 1*1 + 0* 0 = 1

3. sorban: A = 0, B = 1

Z = 0*0 + 1* 1 = 1

4.sorban: A = 1, B = 1

Z = 1*0 + 0*1 = 0

A plda szerinti logikai fggvny igazsgtblzata a 4.c.brn lthat.

Az el#z# plda egy sokszor hasznlt fggvny-kapcsolat, az un. K I ZR-VA GY

( XOR) mvelet. (Nevezik modul sszegnek is.) A mvelet eredmnye akkor 1, ha a

kt vltoz kzl az egyik 1. Tbb vltozval is vgezhet#modul - sszegzs, s

eredmnye akkor 1, ha pratlan szmfggetlen vltoz rtke 1.


24/57



24.oldal

Logi kai fggvny felrsa az igazsgtblzatbl

Az el#z# pontban megismerkedtnk az igazsg-tblzattal, amely a logikai

kapcsolatrendszer lersnak egyik formja. Plda segtsgvel mutattuk be, hogy ismert

logikai fggvnyb#l hogyan rhat fel a tblzatos alak.

Ebben a rszben azt trgyaljuk, hogy ha ismert az igazsgtblzat, hogyan lehet abbl

felrni a logikai fggvnyt.

Az igazsgtblzat egy sora a fggetlen vltozk adott kombincijt, s az ehhez

tartoz fggvny rtkt adja.

Az egy sorban lev#rtkeket az S mvelettel lehet sszekapcsolni. A klnbz#sorok

pedig klnbz#esetnek megfelel#varicikat rnak le. Teht egy adott id#pillanatban

vagy az egyik sor vagy egy msik sor varicija rvnyes. A sorok logikai kapcsolata

VAGY mvelettel rhat le. Vegyk pldaknt az 5.brn lthat igazsgtblzatot.

C B A K

0 0 0 00 0 1 1

0 1 0 1

0 1 1 1

1 0 0 0

1 0 1 0

1 1 0 1

1 1 1 0

5. bra

A tblzatbl ktfle alak fggvny rhat fel a kvetkez#llts alapjn:

A fggvnyrtk IGAZ

azokbana sorokban, amelyekben a fgg#vltoz 1, illetve

nemazokban a sorokban ahol fgg#vltoz 0.


25/57



25.oldal

Az llts els# fele szerint fel kell rni az 1 rtkhez tartoz sorok vltozkombinci-

inak VAGY kapcsolatt.

A msodik rsz szerint a 0 rtkhez tartoz sorokhoz tartoz vltozkombinciinak

VAGY kapcsolatt, majd az egyenl#sg mindkt oldalt tagadni kell.

A plda szerinti igazsgtblzatbl rjuk fel el#szr a fggetlen vltozk 1 rtkeihez

tartoz fggvny algebrai alakjt.

Az igazsgtblzat tartalmt a kvetkez#kppen olvassuk ki. A K jel fgg# vltoz

rtke 1 (IGAZ),

ha C = 0 s B = 0 s A = 1 (2.sor ),vagy

ha C = 0 s B = l s A = 0 (3.sor ),vagy

ha C = 0 s B = 1 s A = 1 (4.sor ), vagy

ha C = l s B = l s A = 0 (7.sor ).

Az A,B,C s K vltozk kztti logikai kapcsolat az el#bbiek szerint

BCACABCBACBAK +++=

alakban rhat fel.

A fggvny rendezett S-VAGY alak. Az S mvelettel sszekapcsolt rszekben

mindegyik vltoz szerepel egyenes (ponlt) vagy tagadott (neglt) alakban, vagyis a

Veitch diagramnl definilt minterm.

Az egyes minterm -ek kztt pedig VAGY mveleteket kell vgezni. Az ilyen

fggvnyalakot idegen szval diszjunktv kanonikus alaknak (teljes diszjunktv norml

formnak) nevezzk.

A felrs szablya a kvetkez#:

1. azokat a sorokat kell f igyelembe venn i, amelyeknl a fgg#vltoz rtke 1;


26/57



26.oldal

2. az egy sorban lev#fggetlen vltozk kztt S mveletet kell vgezni , ahol a

fggetl en vltoz igaz (egyenes, ms kifejezssel ponlt) alakban rand, ha rtke 1

s tagadott (neglt) alakban, ha rtke 0;

3. az egyes sorokat ler S mvelet rsz-fggvnyek VAGY mvelettel kap-

csoldnak egymshoz.

A kiindul llts msodik rsze szerint:

Azt nzzk meg, hogy mikor nem IGAZ (HAMIS) a kvetkeztets.

A K a kvetkez#kombinciknl (sorokban) 0, (vagyis K)

ha C=0 s B=0 s A=0 (1.sor ) vagy



ha C=1 s B=1 s A=1 (8.sor ).

A lert logikai kapcsolatot a

ABCCBACBACBAK +++=

fggvnnyel rhatjuk le. Ebb#l a K rtkt mindkt oldal tagadsval nyerhetjk.

ABCCBACBACBAK +++=

A baloldalon K-t kapunk. A jobb oldal talaktst a de Morgan - ttelek alkalmazsval

vgezhetjk el.

)CBA()CBA()CBA()CBA(

)ABC()CBA()CBA()CBA(K

++++++++=

==

A kapott fggvnyt elemezve, megllapthatjuk, hogy a fggvny VAGY-S alak. A

zrjeles VAGY mveletek mindhrom fggetlen vltozt (A,B,C) tartalmazzk

egyenes vagy tagadott alakban. Ezek maxterm -ek, melyeket a Veitch diagramnl

definiltunk. Az els#maxterm az igazsgtblzat els#sora szerinti llts - vagyis, hogy


27/57



27.oldal

az A=0 s B=0 s C=0 - tagadsa. A tovbbi tagokat vizsglva ltjuk, hogy ezek is egy-

egy olyan sornak a tagadsai, melyben K=0.

Az el#z#ek alapjn most mr megfogalmazhatjuk, hogy az igazsgtblzatbl gy is

felrhatjuk a feladatot ler logikai fggvnyt, hogy

1. azokat a sorokat vesszk f igyelembe, melyekben a fgg#vltoz rtke 0;

2. az egy sorban lev#fggetlen vltozk kztt VAGY kapcsolatot runk el#;

3. a fggetl en vltozt egyenes alakban rjuk, ha rtke 0 s tagadott alakban, ha

rtke 1;

4. az egyes sorokat ler VAGY fggvnyeket S mvelettel kell sszekapcsolni.

Azt a logikai fggvnyt, amely maxtermek logikai szorzata idegen szval konjunktv

kanonikus alaknak, rendezett VAGY-S fggvnynek (teljes konjunktv norml

alaknak) nevezzk.

Logikai f ggvnyek matematikai, egyszerstett felrsi alak jai

Mivel a logikai vltoznak kt rtke 0, illetve 1 lehet, ezrt ezt tekinthetjk egy

binris szmjegy -nek is.

A fggvny egy - egy maxterm jt, vagy minterm - jt, oly mdon is lerhatjuk, hogy

az hnyadik eleme a mintermek, illetve maxtermek rendezett sornak.

A sorszm kiszmolshoz els# lpsknt a vltozkhoz a binris szmrendszer egy-

egy helyrtkt kell hozzrendelnnk, vagyis slyozunk. Azrt tehetjk ezt, mert alogikai vltozk rtke 0, vagy 1 lehet, s a vltozk kombinciinak rtke formailag

egy binris szmot alkotnak.

A slyozs kivlasztsa utn az egyes kombincikban a ponlt vltoz helyre 1-t, mg

a neglt helyre 0-t runk. Az gy kapott szm lesz az adott maxterm, vagy minterm

sorszm-a ( slya). A szmolst binris szmrendszerben vgzzk, de az indexet

decimlisan fogjuk rni, mivel ez kevesebb helyet ignyel.


28/57



28.oldal

Plda:

Legyen a 012 2A,2B,2C slyozs. Ekkor a

ABC minterm slya: 5101212021 B012

==++

a ABC ++ maxterm slya: 2010202120 B012

==++ .

A mintermeket az vim jellssel helyettesthetjk, ahol az m jelzi, hogy a logikai

egysg minterm, a fels# index v a vltozk szmt, az als index i pedig a sorszmot

jelenti.

Hasonlan a maxterm -eket is helyettesthetjk a viM jellssel. Az indexek (v,i)

jelentse ugyan az, mg az M jelzi, hogy a logikai kifejezs maxterm.

A lertakat a pldban szerepl#kifejezsekre ( ugyanazon vltoz slyozsnl) a

3

5mABC

s a

32MABC ++

helyettestseket alkalmazhatjuk.

Fggvnyek megadsa matematikai alakban

Az ismertetett helyettestsekkel a diszjunktv, valamint konjunktv kanonikus alak

fggvnyek is rvidebben lerhatak. Vegyk pldnak az el#z#ekben felrt fggvnyek

alaki helyettestst az 012 2C,2B,2A vltoz slyozs alkalmazsval:

BCACABCBACBAK +++=

33

36

32

34 mmmmK +++=

)CBA)(CBA)(CBA)(CBA(K ++++++++=

30323637 MMMMK =


29/57



29.oldal

A fggvnyek felrsa tovbb is egyszersthet#oly mdon, hogy

megadj uk a fggvny alak -ot

a vltozk szmt, s

a fggvnyben szerepl#term ek sorszmai t.

A diszjunktv alakot a

v

(......),a

konjunktv alakot a

v

(......)formban rjuk.

A kt minta fggvny egyszerstett felrsa ( ugyanazon vltoz-slyozst alkal-

mazva):

=3

)6,4,3,2(K

=

3

)0,2,6,7(K

Kanon ikus fggvny-alakok kztti tal akts

Az el#z#ekben megismertk, hogyan lehet a logikai feladat igazsgtblzatbl felrni a

logikai fggvny kt kanonikus alakjt.

Az egyik kanonikus alak fggvny egyszerstett (indexelt) formja alapjn

nagyon egyszeren felrhat a m sik rendezett alak egyszerstett formja.

Az talakts menete a kvetkez#:

az ismert fggvny alapjn felrjuk az inverz fggvnyt (amely az alap fggvny

tagadottja), ezt a hinyz indexterm ek alkotjk,

pl. ha ismert a diszjunktv alak:

=

3

)6,4,3,2(K

=

3

)7,5,1,0(K


30/57



30.oldal

ismert a konjunktv alak:

=

3

)0,2,6,7(K =

3

)1,3,4,5(K

az inverz fggvny tagadsval nyerjk a msik alak rendezett fggvnyt. A

tagadskor a fggvny - tpusjele az ellenkez#je lesz, s mindegyik index ( i ) B-1 es

kiegszt#jt ( i ) kell vennnk a kvetkez#sszefggs alapjn:

i)12(i v =

A tagadsok elvgzse utn

=3

)7,5,1,0(K =3

)0,2,6,7(K

=3

)1,3,4,5(K =3

)6,4,3,2(K

megkaptuk a keresett alak fggvnyeket.

A logikai fggvnyek gr af ikus megadsa

A logikai fggvnyek gyakori brzolsi mdjai:

a logikai mveletek szimblumaival megrajzolt logikai vzlat,

skban, vagy trben a Veitch diagrambl szrmaztatott minterm -, s maxterm

diagram, illetve a Karnaugh diagramok segtsgvel,

az id#fggvnyben rajzolt grafikon formjban.


31/57



31.oldal

Logikai vzlat

A szimblumokkal trtn# brzols az ramkri megvalstst segt# megolds,

amelyet az elmlt fl vszzadban tbb vltozatban is szabvnyostottak. Az rvnyes

eurpai, s hazai szabvnyok kzs jellemz#i:

a szimblum kerete ngyszg,

a ngyszgbe rt jells utal a l ogikai funkcira,

a fggetlen vltozkat jelz#bemenetek a keret bal oldalhoz,

mg a fgg#vltozkat jelz#kimenetek a keret j obb oldalhoz csatlakoznak.

bemenetek kimenetek

A be-, s kimenetek jeleit ltalban a csatlakoz vezetkre kell rni. (Ett#l eltr#

felrssal az sszetett szimblumoknl tallkozunk.)

Nemzetkzileg a szabvnyostst az 1970 es vekben kezdtk el. Addig orszgonknt,

gyrt cgenknt szabvnyostott szimblumokat hasznltak. A mdokrl, s azok

vltozsrl a mellkletben adunk ttekintst. A 6.brn csak a logikai alapmveleteket

szemlltet#szimblumokat mutatjuk be.

logika

i

jell

s


32/57



32.oldal

Magyarorszgon TEXAS jellsek 1975-t#l

1950-60 1967-t#l szabvnyos

S( AND )

S-NEM( NAND )

VAGY( OR )

VAGY-NEM

( NOR )

NEM( INVERS)

KIZR-VAGY( XOR )

KIZR-VAGY-NEM( NXOR )mskpEGYENL%(EQUALENCIA)

6. bra


33/57



33.oldal

A fejezetben pldaknt felrt fggvny ktfle kanonikus alakjnak logikai vzlatt

mutatja a 7.a. s b. brk.

a. b.

7. bra

1.10.Grafikus brzols

Karnaugh diagram

A grafikus brzolsainak egyik vltozata, hogy logikai sk-, vagy trbeli geometriai

alakzatotrendelnk.

A fggvnyhez rendelt geometriai alakzat peremnadjuk meg a logikai vltozkjeleit.

Ezzel adjuk meg azt, hogy az alakzat melyik rszn IGAZ rtk ez a vltoz. (Az

alakzat msik rszn rtelemszeren a vltoz HAMIS rtk.). Ezt a jells-

rendszert peremezsneknevezzk. A binrisankdolt peremezsvltozatot nevezzk

Karnaugh tblzatnak. Hasznljk mg az oldal mellhzott vonallal trtn#

peremezst is. A tanulmnyainkban a Karnaugh tblzatot fogjuk hasznlni, mivel az

igazsgtblzatbl trtn#trs egyszerbb. A 8.bra hrom vltozs (A B C) logikai

fggvny megadshoz hasznlhat skbeli elrendezs ktfle peremezst mutatja.

BA

A C 00 01 11 10

C | 1

0

B8. bra


34/57



34.oldal

Mindkt vltozat formailag a Veitch diagrambl szrmaztatott. A klnbsgek a

vltozk megadsnak (a peremezsnek) mdjban, valamint abban van, hogy egy

elemi ngyszgmintermet

, vagymaxtermet

is jelkpezhet. Egy n vltozs fggvny

n2 db elemi ngyzetb#l ll tblzatban szemlltethet#.

Az eljrs a 8.bra alapjn kvethet#. A halmazt egy ngyszgben brzoljuk. Minden

vltoz IGAZ rtkhez a teljes terlet egyik felt, mg a HAMIS rtkhez pedig a

msik felt rendeljk. Az rtkeket a ngyszg szlre irt, vonallal(minterm / maxterm

tbla vagy diagram), illetve kdolssal(Karnaugh-diagram) adjuk meg. A tovbbiakban

a Karnaugh - diagramot hasznljuk. Tbb vltoz esetn a felezst gy folytatjuk, hogy

a vltozkhoz rendelt terleteket jl meg lehessen klnbztetni. A vltozk kdolst

(kijellst) gy kell vgezni, hogy az egyms melletti oszlopok, ill. sorokmindig csak

egyvltozban trjenekel egymstl. A Hamming - tvolsg 1.

A hromvltozs Karnaugh - tblzat oszlopaihoz a BA vltoz-pr lehetsges rtk-

kombincit rendeltk. Az oszlop-peremezst gy kell vgezni, hogy a szomszdos

oszlopok csak egyetlen vltoz-rtkben klnbzzenek. A harmadik vltoz C rtke

szerint kt sora van a tblzatnak. Az egyikben C=0, a msikban pedig C=1. Az egyeselemi ngyszgekhez teht a vltozk klnbz#rtkvarici tartoznak. A peremezs

megvltoztathat, de csak gy, hogy a szomszdos sorok, oszlopok egy vltozban

klnbzhetnek. ( A tblzat szls#oszlopai, illetve sorai mindig szomszdosak ).

A 9.brn a ngy vltozs Karnaugh diagram lthat

BA

DC 00 01 11 10

00

01

11

10

9. bra

A 10.brn az 5, a 11.brn pedig a 6 vltozs tblzatot lthatjuk. (Az brzolsi md

legfeljebb 6 vltozig alkalmazhat szemlletesen.)


35/57



35.oldal

Az t-vltozs tblzatot clszerkt ngy-vltozs tblzatbl gy kialaktani, hogy a

kt rsz peremezse csak az egyik vltozban - itt pl. a C tr el egymstl.

CBAED 000 001 011 010 100 101 111 110

00

01

11

10

10. bra

A 6 vltozs tblzatnl fgg#legesen duplzzuk meg a tblzat elemeit.

CBA

FED 000 001 011 010 100 101 111 110

000

001

011

010

100

101

111

110

11. bra

gy ngy egyforma 4 vltozs egysgeket kapunk. Az egyes rsz-tblzatokban ngy

vltozt (ABED) azonosan varilunk. Az eltrs vzszintesen a C, mg fgg#legesen az

F vltoz.

Az eddigiekben csak az brzols formai rszvel foglalkoztunk. Nzzk most meg a

logikai tartalmat is. A kt hozzrendels szerint beszlnk Kp ill. Ksdiagramrl. A p

index arra utal, hogy az elemi cellban logikai szorzat(produktum), mg az sa logikai

sszeget jelenti (summa). Teht a Kp jells az S-VAGY, mg a Ks a VAGY-S

mveletes teljes fggvnyalakot adja meg.


36/57



36.oldal

A logikai fggvnyt diszjunkt alakjt gy kell a Kp diagramban brzolni, hogy a

fggvnyben szerepl#mintermeketreprezentl cellkba 1-et runk.

A konjunkt alakot Ks diagramban brzoljuk oly mdon, hogy a megfelel# max-

termeketjelent#cellkba runk 1-t. ( A 0-t egyik vltozatban sem szoktk kirni, a cella

res).

A fejezetben mr lert plda Karnaugh diagramjai lthatk a 12.a. s b. brkon.

BA Kp BA Ks

C 00 01 11 10 C 00 01 11 10

0 1 1 1 0 1 1 11 1 1 1

a. b.

12. bra

I d#fggvny megraj zolsa

A fggvny minden vltozjnak id#beli lefolyst brzoljuk fzishelyesen egy-egy

derkszg koordinta rendszerben. A mdszert els#dlegesen az egyes digitlis

ramkrk vizsglatnl alkalmazzuk oly mdon, hogy a bemeneteket (fggetlen

vltozkat) ismert digitlis jelekkel gerjesztjk. Az ramkr kimenetn

oszcilloszkppal - mrt jel a fggvny rtknek vltozst adja meg. A be-, s

kimenetek jeleib#l a vizsglt ramkr logikai fggvnynek brmelyik alakja

meghatrozhat.

A fejezetben mr ismert logikai fggvny be-, s kimeneteinek id#fggvnyt mutatja a

13. bra. A bemeneteket binris kd szerint vltoz kombincisorozattal gerjesztjk

A szaggatott vonalak jelzik a gerjesztsek vltozsnak id#pontjait. A matematikai

lersnl hasznlt vltoz-slyozssal irtuk fel az egye kombinci binris sorszmt.

Ebb#l kzvetlenl kiovashat, hogy a K kimenet IGAZ rtklesz, ha a bemeneteket a

2, 3, 4, s 6 sorszm kombincik valamelyike gerjeszti.


37/57



37.oldal

13. bra

1.11. A logikai fggvnyek egyszerstse

Az igazsgtblzat alapjn felrt kanonikus alak fggvnyek a legtbb esetben

redundnsak, teht egyszersthet#ek. A redundancia azt jelenti, hogy a megadott

informci tbb, mint amennyi az egyrtelmfggvnylershoz szksges.

Az egyszersts sorn a logikai algebra megismert tteleinek felhasznlsval olyan

alakot nyerhetnk, amelyben kevesebb mvelet, s vagy kevesebb vltozszerepel. Az

egyszerstsre azrt van szksg, mert ez utn a feladatot megvalst logikai hlzat

kevesebb ramkrt, vagy programozott rendszer ( mikrogp ) programja kevesebbutastst tartalmaz

Az algebraimdszer mellett kidolgoztak grafikus, illetve matematikai egyszerstsi

eljrsokat is.

A felsorolt egyszerstsi (minimalizlsi) eljrsokat a fejezetben bemutatott

igazsgtblzattal lert logikai feladat segtsgvel ismertetjk.


38/57



38.oldal

A 14. brn lthat feladat igazsgtblzata:

C B A K

0 0 0 00 0 1 1

0 1 0 1

0 1 1 1

1 0 0 0

1 0 1 0

1 1 0 1

1 1 1 014. bra

Algebrai egyszersts

A logikai algebra trgyalsakor mr bemutattunk nhny talaktsi eljrst. Itt egy

jabb plda segtsgvel vgezzk el a feladat legegyszerbb alakjnak megkeresst.

a.Egyszersts a diszjunktvalak fggvnyb#l

BCACABCBACBAK +++=

El#szr keressk meg, hogy vannak-e kzs rszeket tartalmaz mintermek. Ezekb#l

emeljk ki a kzs rszeket!

)BB(CA)CC(BAK +++=

A zrjelekben lv#mennyisgek rtke 1, ezrt azok a logikai szorzatbl elhagyhatk.

A keresett, legegyszerbb fggvnyalak a kvetkez#:

CABAK +=

b.Egyszersts konjunktvalak rendezett fggvnyb#l

)CBA)(CBA)(CBA)(CBA(K ++++++++=

Hasonlan az el#z# egyszerstshez itt is vgezhetnk a disztributv tulajdonsg

alapjn - kiemelseket a maxterm- ekb#l.

)BB)CA(()CC)BA((K ++++=


39/57



39.oldal

A CC s BB tnyez#k rtke 0s ezrt a logikai sszegekb#l elhagyhatk. A keresett

legegyszerbb fggvnyalak teht:

)CA)(BA(K ++=

c. Igazoljuka kt alakbl kapott fggvnyek azonossgt, vagyis hogy igaz az

)CA)(BA(CABA ++=+

egyenl#sg.

Vgezzk el a jobb oldalon a beszorzst!

CBCABAAA)CA)(BA( +++=++

A kapott kifejezsben az els#tnyez#0. A negyedik tnyez#t szorozzuk 1-el.

ACBACBCABA)AA(CBCABA0 +++=++++

A kzs rszek kiemelse utn

CABA)B1(CA)C1(BA +=+++

a zrjeles kifejezsek elhagyhatk, mivel rtkk 1. A kapott eredmnnyel igazoltuk az

eredeti egyenl#sg azonossgt.

Ezzel bizonytottuk, hogy az igazsgtblzatbl a kt - ismertetett - mdszer brmelyi-

kvel ugyanazt a fggvnyt kapjuk.

sszefoglalva: megllapthatjuk, hogy az igazsgtblzatbl rendezett S-VAGY

(diszjunkti v kanonikus) alak vagy rendezett VAGY-S (konjunktv kanonikus) alak

logikai fggvnyt rhatunk fel. A kt alak azonos fggvnyt r le.

Grafi kus egyszersts Karnaugh tblzattal

A lert kiktsek betartsval - az el#z# fejezetben megismert - mindkt logikai

fggvnyalak (diszjunktiv, ill. konjunktv ) brzolhat, s egyszersthet#Karnaugh

diagram segtsgvel. A Karnaugh diagramok min ahogyan azt az el#

z#

fejezetbenmegismertk - az igazsgtblzatbl kzvetlenl felrhatk.


40/57



40.oldal

a.Kpdiagram hasznlata.

A Karnaugh diagram egyes celliba kell berni a fggetlen vltozk (A,B,C) megfelel#

kombinciihoz tartoz fgg#vltoz (K) rtket (15.bra).

Az A=0,B=0,C=0 kombincinl a K rtke 0, teht a BA=00 oszlop s C=0 sor ltal

meghatrozott cellba 0-t kell rni s gy tovbb.

BA Kp

C 00 01 11 10

0 1 1 1

1 1

15. bra

A 0 rtkeket nem fontos berni, ugyanis az egyszerstsnl csak az 1 rtkcellkat

vesszk figyelembe.

Vizsgljuk meg a diagram utols oszlopbanlv#ktcella tartalmt.

A fels#cella tartalma az CBA , mg az alscell BCA minterm. Mivel mindkt cella

rtke 1, azt jelenti, hogy mindkt minterm a fggvny tagja, s kzttk VAGY

kapcsolat van. A kt minterm -b#l ll fggvnyrsz egyszersthet#.

BA)CC(BABCACBA =+=+

A plda alapjn is bizonytottnak tekinthetjk, hogy ha kt lben rintkez# cellban

1 van, akkor ezek sszevonhatk, vagyis az a vltoz kiesik,amelyikben klnbzneka

cellk. Az sszevonhatsgot lefed#hurokkalszoks jellni (16.bra):

BA Kp

C 00 01 11 10

0 1 1 1

1 1

16. bra

BA CA


41/57



41.oldal

A lefedett (sszevont) cellk VAGY kapcsolata adja az egyszerstett fggvnyt:

CABAK +=

b.Ksdiagram hasznlata.

Az egyszerstett fggvnyalakoknl trgyaltakhoz hasonlan a Kps a Ksdiagramok

is felr ajzolhatk egymsbl.

Az trajzolsnl a per emezs, s a cella-rtkek komplemens -t kell rni, vagyis 0

helyett 1-e, s fordtva. A 17.brn lthat a plda Ks diagramja:

BA KsC 11 10 00 01

1 1

0 1 1 1

17. bra

A cellk most maxtermeket tartalmaznak, ezrt az egyszerstett fggvny az ssze-

vonsok (lefedsek) kztti S mvelettel rhat le:

)CA()BA(K ++=

c. Tbb cellasszevonsa.

A logikai fggvnyek kztt vannak olyanok is, melyeknl tbbszrs algebrai

sszevonsis vgezhet#.

Keressk meg a kvetkez# ngy (A,B,C,D) vltozs logikai fggvny legegyszerbb

alakjt!

A vltozkat slyozzuk az ,2D,2C,2B,2A 3210 szerint. A fggvny

egyszerstett alakja:

=4

)15,14,13,12,10,8(F

Rajzoljuk meg a fggvny Karnaugh tblzatt (18.bra).

AC +

AB +


42/57



42.oldal

BA (0) (1) (3) (2)

DC 00 01 11 10(0) 00

(4) 01

(12) 11 1 1 1 1

(8) 10 1 1

18. bra

A Karnaugh diagram egyszerstett alak fggvny alapjn trtn# felrajzolst

knnyti, ha az egyes sorok s oszlopok slyt decimlisan is jelljk. Ezt tettk a

zrjelbe rt szmokkal.

El#szr rjuk fel a harmadik sor rsz-fggvnyt algebrai alakban, mivel mindegyik

cellban 1 rtka fggvny.

CD)BB(CDBCDCDB

)AA(BCD)AA(CDBCDBAABCDBCDACDBA

=+=+=

=+++=+++

Az algebrai sorozatos kiemelsek utn kt vltoz (A,B) kiesett.

Ugyanezt kvessk vgig Karnaugh diagramon is. A 19.brn az els# egyenl#sgjel

utni kt kett#s sszevons lthat.

BA (0) (1) (3) (2)

DC 00 01 11 10

(0) 00

(4) 01

(12) 11 1 1 1 1(8) 10 1 1

19. bra

Mindkt lefedsnl kiesett az A vltoz. A kt hromvltozs rsz-fggvnyben kzs a

CD logikai szorzat, teht sszevonhat. A grafikus mdszernl ez egy kzs lefedssel

jellhet#(20.bra).

BCD

BCD


43/57



43.oldal

DC

DA

BA (0) (1) (3) (2)

DC 00 01 11 10

(0) 00(4) 01

(12) 11 1 1 1 1

(8) 10 1 1

20. bra

Hasonl ngyes csoportot alkotnak a 8,10,12,14 sorszm mintermek is, teht ssze-

vonhatk (21.bra).

BA (0) (1) (3) (2)

DC 00 01 11 10

(0) 00

(4) 01

(12) 11 1 1 1 1

(8) 10 1 1

21. bra

Az egyszerstett fggvny a kt rszfggvny logikai sszege, amely mg algebrailag

tovbb egyszersthet#:

)CA(DDCADF +=+=

Az utols egyszersts eredmnyeknt kaptuk a legkevesebb mvelettel megva-

lsthat alakot. A fggvny logikai vzlata lthat a 22.brn.

CD


44/57



44.oldal

22. bra

sszefoglals:

A grafikus fggvnyegyszersts szablyi:

a lefedhet#(sszevonhat) cellk szma 2n(n pozi tv egsz szm), ha azok

klcsnsen szomszdosak,

a klcsnsen szomszdos meghatrozst gy kell rteni, hogy a kiindu l celltl

kezdve a lben rintkez#szomszdos cel lkon keresztl 2nszm lps utn az

ki indulhoz ju tunk vissza,

a lefedett cellkbl a kitev#nek (n) megfelel#szm vltoz esik ki, amelyek a

lefeds al att vltoznak,

minden 1 -t tar talmaz cellt legalbb egyszer le kel l f edn i .

1.12.Aritmetikai alapfogalmak

A digitlis berendezsekben mr#egysgek, szmtmvek stb. gyakori feladat

aritmetikai mveletek vgzse. Az eddig megismert logikai mveletek vltozi

ktrtkek. A szmok binris kettes szmrendszerbenval brzolsnl is a 0, saz 1szmjegyeket hasznljuk. A ks#bbiekben igazoljuk, hogy az aritmetikai mveletek

elvgzse logikai mveletekkel lehetsges. Itt most sszefoglaljuk az albbi - alapvet#

ari tmetikai f ogalmakat:

szm, szmjegy, szmrendszer,

szmbrzolsi formk,

ari tmetikai alapmveletek algor itmusai.


45/57



45.oldal

Szm, szmjegy, szmrendszer

Rviden sszefoglaljuk a korbbi tanulsaikban mr megismert fogalmakat.

A szm:

A szm valaminek a szmossgt, mennyisgt, rtkt megadjelcsoport. A

jelcsoportok mind a hasznltjelek, mind ajellsi-rendszerfelptse szerint vltoztak

az id#folyamn.

A szmjegy:

A szmjegyeka szmknt hasznlt jelcsoport egyesjelei, amelyekhez konkrt rtket

rendeltek. Egy jellsi-rendszeren bell vges szm szmjegy van.

A szmrendszer:

A szmrendszer hatrozza meg, hogy a hasznltjelekb#lmilyen mdon, (algoritmus

szerint) kell lerni (brzolni) egy szmot. A szmrendszerek a korai id#szakokban

kultrnknt klnbztek. A tudomnyok, a technika fejl#dsnek eredmnyeknt

egysges szmrendszerekr#l beszlhetnk.

A RMAI szmrendszer

A mai napig szlesebb krben is ismert szmrendszert a rmaiak alkottk meg. A rmai

szmokban a kvetkez# 7 szmjegy (jel) ltezik (A zrjelbe rjuk a jelhez rendelt

rtket tzes szmrendszer szerinti jellssel.)

Szmjegyek s rtkk

I (1) X(10) C(100) M(1000)

V (5) L(50) D(500)

A szmjegyek megfelel# szablyok szerinti egyms utni rsval fejeztk ki a szm-

rtkeket. Tulajdonkppen a tzes vltszm, amely valsznleg ujjaink szmbl ered

megtallhat a szmrendszer logikjban. A szmalkots szablyt itt nem rszletezzk,

csak egy pldval illusztrljuk.

M C M L XX IV = 1974 10

A romai szmok segtsgvel rtkeket - korltozott terjedelemben ki lehet fejezni.

Szmtani mveletek ezekkel nem vgezhet#k.


46/57



46.oldal

A struk turltszmrendszerek

Pontosan nem ismert, hogy a mai rtelemben vett szmrendszerek alapjait mikor s hol

fektettk le. Az eurpai kultrban, s az abbl ptkez#kben hasznlt szmjegyek arab

eredetek.

A ma hasznlt szmrendszerek egy-egy alapszmraplnek, s a szmjegyek szmaaz

alapszm rtke. Felptsk, pedig az alapszm egsz szm hatvnya - helyrtk

szerint tagoldik. ltalnos lersa:

Z = ( x n-1Bn-1

+ x n-1Bn-1

+ ... + x 1B1

+ x 0 B0

) + (x -1B-1

+ x -2B-2

+ + x -pBp

)egsz rsz trt rsz

ahol, B a szmrendszer al apszma,

x i az i - ik helyrtk szmjegye( 0 ' x 'B-1 ),

n az egszrsz helyrtkeinek szma,

p a tr trsz helyrtkeinek a szma.

A leggyakrabbanhasznltszmrendszerek:

alapszm szmjegyek

Tzes(decimlis) B = 10 0, 1, 8, 9

Kettes(binris) B = 2 0, 1

Nyolcas(oktlis) B = 8 0, 1,6, 7

Tizenhatos(hexadecimlis) B = 16 0, 1, . 9, A, B, C, D, E, F

Ismert mdon a szmok felrsnl csak az egyes helyrtkekhez tartoz szmjegyeket

rjuk balrl-jobbra, a legnagyobb helyrtk szmjeggyel kezdve. A klnbz#

alapszmok, valamint a rszben azonos szmjegyek miatt, a szmoknl jelezni kell,

hogy az milyen szmrendszerben rtend#. A jelzst lehet a szm el#tt prefix-, vagy a


47/57



47.oldal

szm utn suffix megadni. Legtbb esetben a decimlis szmokat jelzs nlkl

rjk.

pl.

szmrendszer jel nlkl prefix suffix

decimlis: 1456 0d1456 1456 d 1456 10

binris - 0b100110 100110 b 1001102

oktlis - 0o273 273 q 273 8

hexadecimlis - 0x1A2D 1A2D h 1A2D 16

Megjegyzs: a jelz#kben, illetve szmjegyekknt hasznlt betk kis-, s nagybetk is

lehetnek. A hexadecimlisszmoknl, ha azok betvel kezd#dnek, akkor egy 0-t kell

rni a szm el, pl. 0A4CF.

A szmok komplemens-e (kiegszt#-je).

A szm komplemens -e (kiegszt#je) - mint a neve is utal r - az rtk, amely a szmotkiegszti a szmrendszer egy adott rtkhez. A definci szerint brmely rtkhez

szmolhatnnk a kiegszt#t, de gyakorlati jelent#sge csak az albbi kt vltozatnak

van.

A kiegszts trtnhet:

a szm nagysgrendjbe tartoz legnagyobbrtkhez, vagyis a (Bn1) -

hez,

a szmnl egy nagysgrenddelnagyobb legkisebb rtkhez, vagyis a Bn-

hez,

ahol Baz alapszm, s na nagysgrendek szma. Knnyen belthat, hogy a (Bn1)

rtket - brmely szmrendszerben - az ndb. legnagyobbszmjegyb#lll szm adja,

mg a B

n

rtkt a legalacsonyabb helyrtkt#l kezdve ndb. legkisebbszmjegyb

#l,

s az n+1.helyen az eggyelnagyobb szmjegyb#l ll szm adja.


48/57



48.oldal

Pl. n=5 esetn:

(Bn1) B

n

decimlis szmoknl: 99999d 100000d

binris szmoknl 11111b 100000b

hexadecimlis szmoknl: FFFFFh 100000h

Az els#meghatrozs szerintit nevezik (B-1)-es, mg a msodikat B-s komplemens -

nek. A B a szmrendszer alapszma (radix).

A Zszm (B-1)-es komplemens t Z - al, mg a B-s komplemens t Z -al jelljk.

A kiegszt#k definci szerinti - kiszmtsa klnbsg-kpzssel trtnik. Aszmts algoritmusa:

Z = (Bn1) Z

Z = Bn- Z

A vlasztott szmrendszer alapjn beszlhetnk:

a decimlis szmoknl kilences-, illetve tzes-, a

a binris szmoknl egyes-, s kettes-,komplemens r#l. (Ms alapszm esetn az elnevezs hasonlan adhat meg.)

Az tszmtst a kivonson kvl ms eljrsokkal is elvgezhetjk. El#bb vezessk

be a szmjegy - komplemens fogalmt, amely az adott szmjegy kiegszt# rtke a

legnagyobb szmjegyhez.

A Z szm (B-1)-es komplemens t megkapjuk, ha mindegyik helyrtken az adott

szmjegy kiegszt#jt rjuk:

Z = 356d Z = 643d

Z = 100110b Z = 011001b

Z = 3A2Bh Z = C5D4h

A Z szm B-s komplemens t ktfle mdon is megkaphatjuk, ha figyelembe vesszk,

hogy a ktfle kiegszt#klnbsge brmilyen B rtknl 1, mivel Bn (B

n1)=1.

a. Kpezzk a Z szm (B-1)-es komplemens t, s hozzadunk 1-et.

Z = Z + 1


49/57



49.oldal

Z = 356d Z = Z +1 = 643d + 1 = 644d

Z = 100110b Z = Z + 1 = 011001b + 1 = 011010b

Z = 3A2Bh Z = Z + 1 = C5D4

h + 1 = C5D5

h

b. A legkisebb helyrtkt#l kezdve a 0-kat lerjuk, az els#rtkes szmjegy

helyre a szmjegy-kiegszt#+ 1 rtket, mg a tovbbi szmjegyek helyre,

pedig azok kiegszt#jt rjuk.

Z = 356d Z = 644d

Z = 100110b Z = 011010b

Z = 3A2Bh Z = C5D5h

A digi tlis szmtgpek binris szmokkal vgeznek aritmetikai mveleteket . Anegatvel#jelszmoknl a kettes - komplemenshasznlata gyorsabb mveletvgzst

tesz lehet#v.

A klnbz#szmrendszerek kzttitszmts

A mszaki gyakorlatban leggyakrabban a decimlis, binris, s a hexadecimlis

szmrendszereket hasznljk. A kvetkez#kben rviden ttekintjk az tszmtsok

algoritmust. Az emberek szmra legfontosabb a decimlis forma, mivel minden

kzrdekszmlers ebben a formban trtnik. A szmok gpitrolsa, s az azokkal

vgzett mveletek szinte kizrlag binrisrendszerben trtnik.

ltalnosan az egyes szmrendszerek kztti vltst (tszmtst) az j rendszer alap-

szmvaltrtn#sorozatososztssalvgezhetjk el.

El#szr a decimlis binristalaktst ismteljk t. Szmtsuk ki a 107d rtk binris

megfelel#jt.

107 1 20

53 1 2126 0 2213 1 236 0 2

43 1 251 1 260

Teht 107d = 1101011b


50/57



50.oldal

Gyakran van szksg a binris hexadecimlis tszmtsra is, mivel a szmts-

technikai megjelents legtbbszr a ki sebb helyf oglalsrdekben a binris helyett

a hexadecimlis alakot hasznlja.

Az talaktsnl 16 al trtn#sorozatos osztst oly mdon vgezhetjk, hogy a binris

szm legkisebb helyrtkt#l kezd#d# ngy-ngy szmjegye helyett rjuk be a

megfelel#hexadecimlisszmjegyet. Szmtsuk t az el#z#plda rtkt hexadecimlis

alakra.

107d = 0110| 1011 b = 6Bh

6 B

Az utbbi tszmts a lertak szerint - knnyen elvgezhet# fejben is. Csupn a

hexadecimlis szmjegyek binris megfelel#jt kell kiszmtani, vagy megjegyezni.

Szmbrzolsi (szmrsi ) formk

Az el#z#ekben csak a szm lersnak vltozatairl adtunk a teljessg ignye nlkl

ismtl#ttekintst.

A mszaki, s egyb gyakorlatban is legtbbszr klnbz#el#jel mennyisgek

mr#szmait kell felrni, s azokkal mveletet vgezni. A kvetkez#kben tmren a

teljessg ignye nlkl sszefoglaljuk azokat az el#jegyes szmlersi (szm-

brzolsi) formkat, amelyeket a szmtsainkban hasznlunk.

El#jelesabszolt-rtkesbrzols

A szmlers ilyen formjt hasznljuk a htkznapi gyakorlatban a nyomtatott, s

egyb dokumentumokban. A szm pozitv, vagy negatvvoltt nem szmjeggyel, hanema +, vagy a rsjel lel adjuk meg a szm el#tt. A szm rtkt mindkt esetben

abszolt-rtkvelrjuk. (Ez megfelel a szmegyenesen jobbra-balra trtn#brzols-

nak.)

El#jegyesszmbrzols

A digitlis szmtgpek mind a szmjegyeket, mind a klnbz#rsjeleketktrtk

bitekkel troljk. Az rsjelek kdoltformja 8 bitetfoglal le. A helytakarkossg, vala-


51/57



51.oldal

mint egyszerbb mveletvgzsi clbl is, az el#jelet is egy bittel az el#jegy el

adjk meg. A mszaki gyakorlatban 0a pozitv, az 1pedig a negatvszm el#jegy -e

gy beszlnk az el#jegyes szmbrzolsrl. A szmrsz megadsi mdja szerint

megklnbztetnk:

el#jegyes abszolt - rtkes, valamint

el#jegyes komplemens-es

formkat.

Az abszolt-rtkes lers tulajdonkppen az el#jeles brzols gpi vltozata. Ilyen

alak szmokkal a mveletvgzs viszonylag sszetett algoritmus szerint vgezhet#. A

kijellt, s az elvgzend#mvelet (sszeads, vagy kivons) a tnyez#k el#jeleit#l is

fgg. A tnyleges mveletvgzs el#tt dnts sorozatot kell vgezni.

A komplemenses brzolsoknl a pozitvszmokat a szmrsz abszolt rtkvel,

mg a negatv szmokat, pedig a szmrsz valamelyik kiegszt#jvel (komplemens-

vel) adjuk meg.

pl. rjuk fel a +107d, illetve a 107dszmokat a klnbz#szmbrzolsi formban!

El#jeles decimlis 107 -107

El#jegyes abszolutrtk -es 0 1101011 1 1101011

1-es komplemens - 0 1101011 1 0010100

2-es komplemens - 0 1101011 1 0010101

Szmok norml alakja

A mszakigyakorlatban, f#leg a szmtgpek szleskrelterjedse el#tt a klnbz#szmtsi mveletek elvgzst knnytette az a szmok norml alakban trtnt meg-

adsa.

A norml alak kt rszben adja meg a szmot, mgpedig a szmrszben, s az

exponencilisrszben.

A szmrszben a trtvessz#el#ttcsak egyetlen a legnagyobb helyrtk szmjegyet

rjuk, mg a tbbi szmjegy trtrszknt szerepel. Utna kell lerni az exponencilis


52/57



52.oldal

rszt, mint szorz tnyez#t, amely az alapszm(B) n -ik hatvny. Az nkitev#hatrozza

meg, hogy a az brzolt szm milyen nagysgrend.

Plda. 3,1023 * 104

= 3 10235,234 * 10-2= 0,05234

25 90,12 = 2,59012 * 103

Az alap s a norml alakok kztti trs a pldkbl egyrtelm. Az n kitev#formailag

azt a szmot jelenti, amennyivel a tizedes-vessz#tjobbra, vagy balra kell vinni. Az

irnyt a kitev#el#jeleadja.

Binris szmok lebeg

#

pontos (float) alakja

A skalr szmok lebeg#pontos (float) brzolsa, s trolsa - az IEEE-754 sz.

szabvnynak megfelel#en - 4 bjtban (32 bi t)trtnik.

Az brzolsi forma, a norml alak szmbrzolsnak a binris szmrendszerben

trtn#alkalmazsa.

A lebeg#pontos szm kt rsze az aktulis szmot megad un. mantissza, s a

nagysgrendet megad kitev#, vagy mskp exponent.

A kitev# 8 bites, amely 0 255 kztti rtk adhat meg. A kettes komplemens -

brzols az rtk 127-el trtn# eltolsa - lehet#v teszi, hogy negatv kitev#j

rtket is lehessen megadni, s ezzel a +128 s - 127 az rtkkszlet szls#rtkei.

A szm 24 biten fejezhet# ki, de ebb#l tnylegesen csak 23-at, a trt-vessz#t kvet#

rszt tartalmazza a mantissza. A norml alak szmbrzolsban csak egy, a 0-tl

klnbz# szmjegy lehet az egsz rszben. A binris szmoknl ez az 1, amit nem

fontos megadni, mivel ez minden szmnl azonos. gy lehet a 24 bites szmot 23 biten

megadni.

A ngy bjtban 32 biten - brzolt szm legnagyobb helyrtkbit a szm el#jegy -e

(signum).

A lertak szerint trolt lebeg#pontos szm felptse az albbi:

SEEE EEEE EMMM MMMM MMMM MMMM MMMM MMMM


53/57



53.oldal

ahol:

S az el#jegy bit, amely 0 rtke a pozitv, az 1, pedig a negatv szmot jelzi,

E a 8 bites kitev#,

M a 23 bites mantissza.

Plda:

A -12,5rtkdecimlis szm lebeg#pontos brzolsban 0xC1480000lesz ( a 32 bit

helyett a rvidebb hexadecimlis formt rtuk).

rtelmezzk az brzolsi elv ismeretben az adott szmot.

Forma SEEEEEEE EMMMMMMM MMMMMMMM MMMMMMMMBinris 11000001 01001000 00000000 00000000

Hex.dec. C1 48 00 00

A legnagyobb helyrtkbit (S) 1, teht a szm negatv.

Az kvetkez#nyolc bit (E-k) 10000010a kitev#t adja, ha ebb#l levonjuk az eltolst, a

127-t. A binrisan lert exponens decimlis rtke 130, amelyb#l levonva 127-t 3-at

kapunk, amely a tnyleges kitev#.

Az utols 23 bit a mantissa (M-ek):

10010000000000000000000

Mivel ez csak a trtvessz#utni rsz, ezrt mg hozz kell rnunk az egsz-rszt, vagyis

1-t. Az gy kapott rtk:

1.10010000000000000000000

amelyet szorozni kell 23-al. Ekkor kapjuk meg a lebeg#pontosan felrt szm abszolt-

rtkt:

1100.10000000000000000000b

A szm egsz rsze: 1100b binrisan, s tszmtva

(1 23) + (1 2

2) + (0 2

1) + (0 2

0) = 12

decimlis rtk.

A trtvessz#t kvet#binris rsz: .100b , tszmtva

(1 2-1)+ (0 2-2) + (0 2-3) + = 0.5


54/57



54.oldal

decimlis rtk.

A kt rsz sszege, s az el#jel adja a lebeg#pontosan brzolt szm decimlis rtkt.

Teht igazoltuk, hogy, 0xC1480000 a -12.5 szm lebeg#pontos (float) formj

megadsa.

Kdol t decimlis szmok

A tzes szmrendszerbeli szmok kzvetlenlersa, trolsa kdolt vltozatban is

trtnhet. Miutn a szmtgpekben csak ktrtk elemi informcik (bit-ek)

trolhatk, ezrt a tz szmjegy csak tbb bi t-b#l ll kd-al helyettesthet#(rhat le).

A tzes szmrendszer szmjegyeinek megadshoz legkevesebb 4 bitb#l ll kd

szksges, mivel 3 bittel csak 8 rtk klnbztethet# meg, viszont tz rtket kell

megklnbztetnnk. A 4 bites binris kd viszont 16 klnbz# informcit hor-

dozhat, ezrt 10 rtkhez rendelik a decimlis szmjegyeket, s hat rtket nem

hasznlnak.

A 4 bites sszerendels, vagy ms nven kdols az albbi tblzatban bemutatott -

hrom vltozatt hasznljk.

BCD Aiken 3 tbbletes (Stibi tz)8 4 2 1 2 4 2 1 (8 4 2 1 )-3

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 12 0 0 1 0 2 0 0 1 0

Nem

0 0 1 03 0 0 1 1 3 0 0 1 1 0 0 0 1 1

4 0 1 0 0 4 0 1 0 0 1 0 1 0 0

5 0 1 0 1 0 1 0 1 2 0 1 0 1

6 0 1 1 0 0 1 1 0 3 0 1 1 07 0 1 1 1 0 1 1 1 4 0 1 1 18 1 0 0 0 1 0 0 0 5 1 0 0 09 1 0 0 1 1 0 0 1 6 1 0 0 1

1 0 1 0

N

emhasznlt

1 0 1 0 7 1 0 1 01 0 1 1 5 1 0 1 1 8 1 0 1 11 1 0 0 6 1 1 0 0 9 1 1 0 01 1 0 1 7 1 1 0 1 1 1 0 11 1 1 0 8 1 1 1 0 1 1 1 0

Nemhasznlt

1 1 1 1 9 1 1 1 1

haszn

1 1 1 1

A bemutatott kdok kzl a BCD-kd (Binary Coded Decimal), s az Aiken-kdslyozottak, ami azt jelenti, hogy az egyes bitek rtke 2 hatvnyaivalkifejezhet#. A


55/57



55.oldal

Stibitz-kd eltolt-slyozs, ami azt jelenti, hogy a kd binrisrtke 3-al tbbmint a

hozz rendelt decimlis rtk. Az utbbi kt kd szimmetrikus felpts, ugyanis a

szaggatott vonaltl, - mint szimmetria tengelyt#l egyenl# tvolsgra lv# kdok

egyms 1-es kiegszt#i. Ez a tulajdonsg felhasznlhat hibajelzsre.

A BCD-kdota szmtstechnikbanhasznljk tzes szmrendszerben trtn#szm-

brzolshoz, illetve szmolshoz. Az egy szmjegyet ler 4 bit-et dekd-nak

nevezzk. A 8 bites bjt-ban kt dekdrhat, vagyis 0 99decimlis rtket trolhat.

Pl. 38d= 0011 1000BCD

A mikroprocesszorok tbbsgnek utastskszlete lehet#v teszi a BCD szmokkal

val szmolst is. Erre a 2. flves tananyagban trnk vissza.

Tbb bites kdokkal is lerhatk a decimlis szmjegyek. Itt csak az t-bi tes un.

Johnsson- kdot mutatjuk be.

0 0 0 0 0 01 0 0 0 0 12 0 0 0 1 1

3 0 0 1 1 14 0 1 1 1 15 1 1 1 1 16 1 1 1 1 07 1 1 1 0 08 1 1 0 0 09 1 0 0 0 00 0 0 0 0 0

Az t bit 32rtk kifejezst tenn lehet#v. Ebben az esetben csak tzhezrendeltnk

rtkes i nformcit. A kd teht redundns. A tovbbi 22 rtk hibajelzsre, esetleg

hibajavtsrais hasznlhat.

A hibajelz#, sjavt kdokkal az informci-elmlet egy kln ga - a kdols-

elmlet foglalkozik rszletesen. Ide tartoznak a klnbz# tmrtsi, ti tkostsi s

vi sszafej tsistb. eljrsok kidolgozsa, algoritmizlsa.

Ar itmetikai mveletek algori tmusai

A megismert szmbrzolsi formk kzl a mikroprocesszoros rendszerekben (mik-rogp - ekben) ltalban a binrisketteskomplemens- vltozatot hasznljk. Miutn


56/57



56.oldal

az aritmetikai mveletek az sszeads, s a kivons mveleteire vezethet#vissza, ezrt

itt egy pldn keresztl vizsgljuk meg e kt mvelet elvgzsnek szablyait.

Vegyk a 96, s a 43 abszolt-rtk szmok kztti mveleteket. Mind az

sszeadsnl, mind pedig a kivonsnl ngy-ngy mveletet kell elvgeznnk.

Az adott szmok binris kettes komplemens rtkei:

96 0 1 1 0 0 0 0 0 - 96 1 0 1 0 0 0 0 0

43 0 0 1 0 1 0 1 1 -43 1 1 0 1 0 1 0 1

Szaggatott vonallal az el#jegy bitet hatroltuk el.

Az elvgzend# mveleteket lthatk az albbiakban. Mindkt mveletnl

helyrtkenknt - a legkisebb helyrtk kivtelvel hrom szmjegyet (bit -et) adunk

ssze, illetve vonunk ki. Ezek a kt szm azonoshelyrtkszmjegyei (bit -jei), illetve

az el#z#helyrtken keletkez#tvi tel (CyCarry), illetvethozat(BwBorrow) bitek. Az

utbbi rtkeket a negyedik sorba - egy kiss eltolva - rtuk, jelezve ezzel a helyrtk-

vltst.

A kettes komplemens-brzols szmok esetben mindig a ki jelltmveletet azsszeadst, vagy a kivonst kell vgezni gy, hogy az el#jegy bitet is szmbitknt

kezeljk. A pldban flkvr szmmal jelltk az utols szmjegynl, s az el#jegy

bitnlkeletkezetttvi tel / thozatbiteket.

sszeads

96 0 1 1 0 0 0 0 0 96 0 1 1 0 0 0 0 0

+ 43 0 0 1 0 1 0 1 1 + -43 1 1 0 1 0 1 0 1139 1 0 0 0 1 0 1 1 53 0 0 1 1 0 1 0 1

0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0

-96 1 0 1 0 0 0 0 0 -96 1 0 1 0 0 0 0 0

+ 43 0 0 1 0 1 0 1 1 + -43 1 1 0 1 0 1 0 1

-53 1 1 0 0 1 0 1 1 -139 0 1 1 1 0 1 0 1

0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0


57/57



Kivons

96 0 1 1 0 0 0 0 0 96 0 1 1 0 0 0 0 0

- 43 0 0 1 0 1 0 1 1 - -43 1 1 0 1 0 1 0 153 0 0 1 1 0 1 0 1 139 1 0 0 0 1 0 1 1

0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1

-96 1 0 1 0 0 0 0 0 -96 1 0 1 0 0 0 0 0

- 43 0 0 1 0 1 0 1 1 - -43 1 1 0 1 0 1 0 1

-139 0 1 1 1 0 1 0 1 -53 1 1 0 0 1 0 1 1

0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1

A pldk elvgzse utn megllapthatjuk a szablyokat:

Mindkt mveletnl az eredmnyt is kettes komplemens- formban

kapjuk. A pozitvszm el#jegy -e 0, s a szmrsz abszoltrtk, mg a

negatvszm el#jegy-e 1, s a szmrsz a szm kettes komplemens-e.

H ibtlaneredmnyt kapunk, ha a kt utolstvi tel/thozatbit (az utols

szmjegynl, illetve az el#jegynl) 00, vagy 11.

H ibsaz eredmny, ha csak az egyik helyen keletkeziktvi tel/thozatbit.

Ilyenkor ari tmetikai tlcsorduls van. Ez azt jelenti, hogy a keletkezett

eredmny nem fr el a szmrsznek fenntartott helyen, (kicsi a kapacits)

vagyis az eredmny nagyobb, mint a 7 bittel megadhat legnagyobb rtk.

A hiba a trol-hely kapacitsnak nvelsvelkszblhet#ki.

A kt tlcsorduls-bit XOR (modul 2) mveletnek eredmnye az un.

Overflow bit (OF), amit aritmetikai tlcsor duls bitnek is neveznek.

Minden mikroprocesszor un. Status, vagy Flagbitjei kztt szerepel az OF

bit.

A kettes komplemens szmbrzols el#nye teht az hogy gyorsabb a mvelet

Documents

Zalotay Péter - Digitális Technika