Embed Size (px)
DESCRIPTION
Výukový materiál Základy matematického modelování v geotechnice s využitím programu Plaxis, ISBN 978-80-214-4938-1. Autor: Juraj Chalmovský.
Citation preview
Základy matematického modelování v geotechnice s využitím programu Plaxis
Juraj Chalmovský
2
ZÁKLADY MATEMATICKÉHO MODELOVÁNÍ V GEOTECHNICE S VYUŽITÍM PROGRAMU PLAXIS
Juraj Chalmovský, Ing.
Text neprošel odbornou ani jazykovou úpravou. Za původnost a správnost odpovídá autor. Vydala: Sazba a grafická úprava: Počet stránek: 62 První vydání, Brno 2014
ISBN 978-80-214-4938-1
Fakulta stavební Vysokého učení technického v Brně zahájila 1. 6. 2012 řešení projektu „OKTAEDR – partnerství a sítě stavebnictví“. Projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky a je zaměřen na tvorbu a udržování partnerské sítě. Tato síť bude vzájemně propojovat Fakultu stavební Vysokého učení technického v Brně, významná výzkumná a vývojová pracoviště, partnery z oblasti podnikatelského sektoru i oborová sdružení. Cílem sítě je umožnit rozšíření vzájemné spolupráce, vytvoření nových podmínek pro přenos teoretických i praktických znalostí a zkušeností mezi výzkumem a stavební praxí. Partnery projektu „OKTAEDR – partnerství a sítě stavebnictví“ jsou:
• MOTRAN Research, s. r. o., • Českomoravský cement, a.s. • Centrum dopravního výzkumu, v. v. i., • OHL ŽS, a.s., • Vysoká škola báňská – Technická univerzita Ostrava, • ESOX, spol. s r.o., • Svaz vodního hospodářství ČR.
Registrační číslo projektu: CZ.1.07/2.4.00/31.0012 Název projektu: OKTAEDR – partnerství a sítě stavebnictví Realizace: 1. 6. 2012 – 31. 5. 2014
4
Obsah 1. Úvod, etapy matematického modelování v geotechnice ..................... 5
2. Stručná historie programu Plaxis ........................................................ 6
3. Plaxis 2D input.................................................................................... 8
3.1 Pracovní prostředí ........................................................................ 8
3.2 Konvence jednotek a souřadných os .......................................... 12
3.3 Rotačně symetrická, rovinně deformační úloha ......................... 13
3.4 Vkládání materiálů, základní přehled dostupných konstitučních modelů pro zeminy, aplikace SoilTestLab ........................................ 16
3.4.1 Vkládání nového materiálu a definování jeho vlastností ........................... 16
3.4.2 Základní přehled dostupných konstitučních modelů .................................. 24
3.4.3 Aplikace SoilTestLab .................................................................................. 34
3.5 Generování sítě konečných prvků .............................................. 36
3.6 Okrajové podmínky a vhodná volba hranic modelu .................... 40
4. Plaxis 2D Calculation ........................................................................ 41
4.1 Pracovní prostředí ...................................................................... 41
4.2 Způsob – mód výpočtu ............................................................... 42
4.3 Počáteční podmínky ................................................................... 44
4.4 Typ výpočtu ................................................................................ 45
4.5 Nastavení iteračního postupu ..................................................... 50
5. Plaxis 2D Output, Plaxis 2D Curves ................................................. 55
Použitá literatura ................................................................................... 59
5
1. Úvod, etapy matematického modelování v geotechnice Cílem předkládané příručky je stručný popis programu Plaxis 2D používaného
pro výpočty geotechnických konstrukcí deformační variantou metody konečných
prvků. Příručka se zaměřuje na verze Plaxis 2D 2011 a 2012 (Brinkgreve et al.,
2011 a 2012). Text je rozčleněn do jednotlivých celků podle popisovaných
programových částí. V každém celku jsou uvedeny nejdůležitější příkazy a
funkce. V relevantních částech jsou zmíněny některé zásady a pravidla užitečné
v průběhu procesu matematického modelování. V případě potřeby je text
doplněn teoretickými základy popisované problematiky. Pozornost je kromě
jiného věnována popisu dostupných konstitučních modelů, kterých vhodná
volba představuje důležitou část matematického modelování v geotechnice.
V každé kapitole jsou pak uvedeny reference na vhodnou literaturu, kde lze
získat podrobnější informace.
Proces matematického modelování lze rozdělit do několika vzájemně
navazujících kroků shrnutých v tab. 1-1. V tabulce je taktéž uvedena
programová část, kde se daný krok provádí
Tab. 1-1 Posloupnost kroků matematického modelování
ID Popis fáze Kde se provádí
1 Vytvoření geometrie modelu
Plaxis 2D Input
2 Zadání okrajových podmínek
3 Definování vstupních parametrů zemin
a strukturních prvků
4 Vygenerování sítě konečných prvků a její případná optimalizace (zahuštění)
5 Přiřazení vlastností jednotlivým částem
modelu
6 Definování / úprava počátečních
podmínek Plaxis 2D Calculation
7 Vytvoření fází výstavby 8 Výpočet
9 Analýza a export výsledků Plaxis 2D Output, Plaxis 2D Curves
6
2. Stručná historie programu Plaxis Vývoj programu Plaxis započal v první polovině 80 let. V roce 1974 byl zahájen
výzkumný projekt, kterého výsledkem byl program na bázi metody konečných
prvků – ELPLAST, který umožňoval elasto – plastické rovinně – deformační
výpočty s využitím 6 - uzlových trojúhelníkových konečných prvků. V roce 1981
byl původní program rozšířen o možnost výpočtu rotačně symetrických
(axisymetrických) úloh a jméno programu bylo upraveno do dnešní podoby
PLAXIS - "Plane Strain and Axisymetry". Pro potřeby přesnější simulace
penetračních zkoušek a dalších axisymetrických úloh byly vyvinuty 15 – uzlové
trojúhelníkové izoparametrické konečné prvky. Obr. 1-2 znázorňuje jeden z
úvodních výpočtů – axisymetrický model kruhového plošného základu.
Obr. 1-2 Pracovní diagram kruhového plošného základu jako výstup z numerického
výpočtu v programu Plaxis (převzato z Burd et al., 1999)
V roce 1985 odstartoval výzkumný program, kterého úkolem bylo kromě jiného
vytvořit verzi programu, která by byla použitelná pro standardní stolní počítač.
První verze programu byla vydána v roce 1987. Dalším vylepšením programu
bylo zavedení postupu, který automaticky upravuje velikost přírůstku zatížení
v průběhu nelineárního výpočtu (obr. 2-2). Baker, Brinkgreve (1990) zavedli do
programu 5 – uzlové nosníkové prvky ("beam elements"). Van Langen (1991)
zavedl použití kontaktních prvků. Kontaktní prvky jsou důležité při modelování
interakce konstrukcí (např. pažící základové) s okolním zemním prostředím a
7
zohledňují oslabení rozhraní konstrukce – zemina ve srovnání s rozhraním
zemina – zemina. Při použití těchto prvků je možné definovat pevnost kontaktu
nezávisle na okolní zemině. Významným pokrokem byl vývoj dílčího programu
pro zobrazování pracovních diagramů (Plaxis 2D Curves). Další podrobnosti o
posloupnosti vývoje programu lze dohledat např. v Burd (1999).
Od roku 1987 do roku 1995 bylo vydáno celkem 6 postupně vylepšovaných
verzí fungujících pod operačním systémem DOS. První verze programu určena
pro operační systém Windows 95 byla verze 7 vydaná v roce 1997.
Obr. 2-2 Automatická úprava velikosti kroku v průběhu nelineárního
výpočtu (převzato z van Langen 1991)
Rozšíření původního 2D programu do podoby programu Plaxis 3D Tunnel bylo
zveřejněno v roce 2001. Následovala aplikace Plaxis 3D Foundation vydaná
v roce 2004. Obě uvedené aplikace však nebyly plnohodnotnou 3D aplikací –
umožňovali rozšíření modelu v horizontálním směru (Plaxis 3D Tunnel) nebo ve
vertikálním směru (Plaxis 3D Foundation), šlo tedy o někdy také označované
2,5D programové aplikace. První plnohodnotná 3D aplikace (Plaxis 3D) byla
vydána v roce 2009. V době psaní této příručky byly aktuálními a dále
vyvíjenými verzemi aplikace Plaxis 2D 2012 a Plaxis 3D 2012.
8
3. Plaxis 2D input
3.1 Pracovní prostředí Programová část Plaxis 2D Input je určena především pro definování geometrie modelu, okrajových podmínek a generování sítě konečných prvků. Uspořádání pracovního prostoru je ukázáno na obr. 1-3.
Obr. 1-3 Pracovní prostor programu Plaxis 2D Input
Základní informace (obr. 2-3) týkající se typu použitého konečného prvku (6 uzlový / 15 uzlový), typu úlohy (rovinně deformační / rotačně symetrická) a rozměrů modelu se zadávají pomocí příkazu File → Project properties.
Obr. 2-3 Základní nastavení nového projektu
9
Základní nástrojová lišta se skládá z 6 dílčích částí:
Obr. 3-3 Nástrojová lišta Plaxis 2D Input Skupina A Definování geometrie modelu, zadávání strukturních a kontaktních prvků.
Tab. 1-3 Skupina příkazů A
Symbol Anglický název Popis, použití
Geometry line Tvorba modelu
Plate
Strukturní prvek používaný především pro modelování pažících
konstrukcí
Geogrid
Strukturní prvek používaný pro modelování geosyntetik a kořenů
kotev
Interface
Kontaktní prvek – interakce mezi konstrukcí a zeminou
Node – to – node anchor
Strukturní prvek používaný pro modelování táhla zemní kotvy
Fixed end anchor
Strukturní prvek používaný pro modelování rozpěr
Tunnel Návrhář tvaru tunelového ostění
Hinge and rotation spring
Kloubové spojení prvků typu „plate“
10
Skupina B Skupina obsahuje prvky ovlivňující proudění podzemní vody. Tab. 2-3 Skupina příkazů B
Symbol Anglický název Popis, použití
Drain
Předepsaná linie, kde dochází k redukci zvýšených pórových tlaků
Well
Bod, ve kterém je předepsán průtok – objem čerpané vody za jednotku času
Skupina C Okrajové podmínky Tab. 3-3 Skupina příkazů C
Symbol Anglický název Popis, použití
Standard fixities Standardní okrajové podmínky
Rotation fixities (plates) Zamezení pootočení kolem osy z
Standardní okrajové podmínky – Standard fixities přiřadí spodní hraně modelu
neposuvnou okrajovou podmínku jak v horizontálním tak vertikálním směru.
Bočním hranám modelu je přiřazena okrajová podmínka neposuvná
v horizontálním směru. Libovolné okrajové podmínky lze zadat pomocí příkazů
Loads → Total fixities (neposuvné v obou směrech) nebo Loads →
Horizontal/Vertical fixities (neposuvné v horizontálním nebo vertikálním směru).
Skupina D Zadávaní zatížení formou bodového nebo liniového zatížení a formou předepsaného přetvoření.
11
Tab. 4-3 Skupina příkazů D
Symbol Anglický název Popis, použití
Prescribed displacement Předepsané přetvoření
Distributed load – load
system A Liniové zatížení – zatěžovací systém A
Distributed load – load
system B Liniové zatížení – zatěžovací systém B
Point load – load system
A Bodové zatížení – zatěžovací systém A
Point load – load system
B Bodové zatížení – zatěžovací systém B
Skupina E Přechod k části pro vkládání vstupních parametrů zemin a generování sítě konečných prvků. Tab. 5-3 Skupina příkazů E
Symbol Anglický název Popis, použití
Materials Databáze a definování nových materiálů
Generate mesh Vytvoření sítě konečných prvků
12
3.2 Konvence jednotek a souřadných os Seznam výchozích jednotek jednotlivých veličin je pro přehlednost uveden
v tab. 6-3. Přednastavené jednotky lze editovat v části General settings →
Model. Geometrie modelu je v případě rovinně deformační úlohy (Plane strain)
vytvářena v rovině x-y. Souřadná osa z je tedy kolmá na rovinu modelu.
V rotačně symetrické úloze (Axisymetry) představuje souřadnicová osa x
radiální směr a osa y pak osu symetrie modelu. Ve výstupech má tlakové
napětí/síla záporné znaménko, tahové napětí naopak kladné. Kladné směry
jednotlivých složek napětí spolu se souřadnicovým systémem jsou znázorněny
na obr. 4-3.
Tab. 6-3 Výchozí jednotky
Veličina Jednotka
Základní
jednotky
Délka [m]
Síla [kN]
Čas [den]
Geometrie Souřadnice [m]
Deformace [m]
Vlastnosti
materiálu
Modul pružnosti [kN/m2]= [kPa]
Koheze [kPa]
Úhel vnitřního tření [o]
Úhel dilatance [o]
Objemová hmotnost [kN/m3]
Propustnost [m/den]
Síly, napětí
Bodové zatížení [kN]
Liniové zatížení [kN/m]
Plošné zatížení [kN/m2]= [kPa]
Napětí [kN/m2]= [kPa]
Obr. 4-3 Souřadnicový systém, směry kladných hlavních napětí (převzato
z Brinkgreve et al., 2012)
13
3.3 Rotačně symetrická, rovinně deformační úloha
Rovinně deformační model se používá pro úlohy, ve kterých je tvar (řez)
konstrukce a působící zatížení stejné po délce konstrukce – ve směru osy z.
Deformace a přetvoření jsou v tomto směru nulové (obr. 5-3). Naopak,
normálové napětí ve směru osy z je nenulové.
�� � ����� � 0
� � ����� � � �� � 0
� � ����� � ���� � 0
(1-3)
(2-3)
(3-3)
Obr. 5-3 Rovinně deformační úloha (převzato z Potts, Zdravkovic, 1999)
Rotačně symetrické modely se používají pro konstrukce kruhového tvaru se
stejným průřezem v radiálním směru modelované konstrukce. Pro rotačně
symetrickou úlohu reprezentuje osa x poloměr a osa y koresponduje s osou
symetrie. V případě rotačně symetrické úlohy jsou výsledné síly v jednotkách
kN/rad, je tedy nutné tyto síly vynásobit 2π. Principiální rozdíl mezi rovinně-
deformační a axisymetrickou úlohou je schematicky znázorněn na obr. 6-3.
Obr. 6-3 Rovinně deformační, rotačně symetrická úloha (převzato z Brinkgreve et
al., 2010)
14
Rovinně deformační modely jsou vhodné pro výpočty dlouhých pažících
konstrukcí (např. podzemní stěny), násypových těles, základových pasů (obr. 7-
3).
Obr. 7-3 Příklady staveb vhodné pro rovinně deformační model (převzato
z Cheang, 2007)
Obr. 8-3 Příklad stavby nevhodné vhodné pro rovinně deformační model (převzato
z Cheang, 2007) Problematické je použití rovinně deformačních modelů pro výpočty záporového
pažení, pilotových stěn s velkou osovou vzdáleností, při výpočtech založení na
základových patkách. Příklad konstrukce nevhodné pro rovinně deformační
analýzu je uveden na obr. 8-3.
Rotačně symetrické modely je vhodné použít pro simulaci zatěžovacích
zkoušek jednotlivých pilot, kotev a kruhových základů. Axisymetrické úlohy však
nemohou být použity při analýze vodorovně zatížených pilot, skupiny pilot nebo
skupiny jiných základových prvků kruhového půdorysu. Příklady, ve kterých je
resp. není možné rotačně symetrické modely použít, jsou pak uvedeny na obr.
9-3 a 10-3.
Obr. 9-3 Příklady staveb vhodné pro rotačně symetrický model (převzato
z Cheang, 2007)
Obr. 10-3 Příklady staveb nevhodné vhodné pro rotačně symetrický model
(převzato z Cheang, 2007)
15
V případě, že počítaná konstrukce nesplňuje požadavky na rovinně deformační
nebo rotačně symetrický 2D model, je nutné přistoupit k tvorbě prostorového
matematického modelu. Příklady prostorových modelů pažících konstrukcí jsou
uvedeny na obr. 11-3. Výhodou prostorových modelů stavebních jam je, že
umožňují lépe zohlednit variabilitu geologie v prostoru stavební jámy, půdorysné
rozčlenění výkopu nebo postupnou aktivaci stabilizujících prvků (rozpěr nebo
kotev).
Obr. 11-3 Příklady prostorových modelů stavebních jam
16
3.4 Vkládání materiálů, základní přehled dostupných konstitučních modelů pro zeminy, aplikace SoilTestLab
3.4.1 Vkládání nového materiálu a definování jeho vlastností
Symbol Materials (tab. 5-3) slouží pro účely vkládání vstupních parametrů všech
součástí vytvořeného modelu (jak zemin, tak strukturních elementů). Zde je také
k dispozici databáze různých typů materiálu (obr. 12-3).
Obr. 12-3 Definování materiálů
Dále je zde možnost přejít do aplikace SoilTestLab umožňující simulace
laboratorních zkoušek pro účely kalibrace vstupních parametrů. Tato aplikace
byla v posledních verzích vylepšena o možnost optimalizace vstupních
parametrů na základě vložených výsledků z laboratorních zkoušek. Alternativně
lze pro vkládání vstupních parametrů využít také nabídky Materials v hlavním
menu. Materiálové vlastnosti lze definovat pro zeminy (Soils and interfaces),
deskové prvky (Plates), kořeny kotev a geosyntetika (Geogrids) a pro táhla a
rozpěry (Anchors). Přidáním nového materiálu se otevře okno pro zadávání jeho
vlastností. V případě materiálu typu Soil and interfaces je prostředí pro vkládání
zemin rozčleněno na 5 celků: General, Parameters, Flow parameters, Interfaces
a Initial.
17
V části General (obr. 13-3) se vkládají vstupní parametry, které nezávisí na
volbě konstitučního modelu. Jde především o objemové hmotnosti nad hladinou
����� resp. pod hladinou podzemní vody ���. Dále se zde volí použitý
konstituční model (stručný přehled konstitučních modelů bude uveden
v následující kapitole).
Obr. 13-3 Definování vstupních parametrů zemin
Důležitým vstupem je rozhodnutí zda-li má materiál odvodněné (drained) nebo
neodvodněné chování (Undrained), kdy může docházet k vzniku zvýšených
pórových tlaků vlivem zatěžování. Obecně platí, že neodvodněné chování
materiálu se používá v případech zemin s malou propustností ve vztahu k
rychlosti zatěžování. V případě neodvodněného chování materiálu je možné
zvolit tři varianty: Undrained A, Undrained B a Undrained C:
� Undrained A: Využívají se efektivní parametry tuhosti a pevnosti.
Efektivní parametry tuhosti jsou doplněny o objemový modul vody
��, rozlišují se efektivní a totální dráhy napětí. Neodvodněná
smyková pevnost není vstup ale výstup výpočtu. Vývoj pórových
18
tlaků v průběhu zatěžování je dominantním faktorem určujícím
průběh efektivní dráhy napětí a tím výslednou neodvodněnou
smykovou pevnost. Důležité je tedy zvolit takový konstituční
model, který správně predikuje efektivní dráhy napětí. Z praxe je
dobře známý případ kolapsu stavební jámy Nicoll Highway
v Singapuru (Puzrin et al., 2010), kdy částečně vlivem použití
nevhodného konstitučního modelu (Mohr – Coulomb model) došlo
k výraznému nadhodnocení neodvodněné smykové pevnosti
normálně konsolidovaných jílů. Tato situace je schematicky
znázorněna na obr. 14-3.
Obr. 14-3 Nadhodnocení neodvodněné smykové pevnosti při použití MC
modelu ve srovnání s HS modelem
� Undrained B: Využívají se totální parametry pevnosti a efektivní
parametry tuhosti. Jako vstupní parametr je vyžadována
neodvodněná smyková pevnost ��. Pro sestavení matice tuhosti
program opět popři efektivních parametrech tuhosti využívá
objemový modul vody ��. Dochází tedy k výpočtu pórových tlaků a
rozlišování mezi efektivní a totální dráhou napětí. Výsledná
neodvodněná smyková pevnost však již není vstupní hodnotou a
nedochází k jejímu ovlivnění průběhem efektivní dráhy napětí.
19
� Undrained C: Využívají se jak totální parametry tuhosti, tak
pevnosti. Na rozdíl od předcházejících dvou případů není
rozlišováno mezi tuhostí skeletu a vody v pórech, jako vstup se
kromě neodvodněné smykové pevnosti ��, vyžaduje také totální
Youngův modul pružnosti ��. Nedochází tedy k výpočtu pórových
tlaků a rozlišování mezi efektivními a totálními dráhami napětí.
Tento typ chování materiálu je k dispozici pouze pro lineárně
elastický, Mohr – Coulombův a NGI-ADP konstituční model.
Při konsolidační analýze je vhodné použít typ chování materiálu Undrained A.
Neodvodněná smyková pevnost je v tomto případě funkcí efektivního napětí a
v průběhu konsolidace se bude měnit. Použití možnosti Undrained B a
Undrained C není pro účely konsolidační analýzy doporučeno. Schematicky
jsou všechny tři případy srovnány ve formě průběhu efektivních (ESP) a
totálních drah napětí (TSP) na obr. 15-3.
(a) (b) (c)
Obr. 15-3 Schematické srovnání průběhu ESP a TSP pro typ chování materiálu
Undrained A (a), Undrained B (b) a Undrained C (c)
V části Parameters se definují vstupní parametry, které jsou specifické pro daný
konstituční model. Přehled dostupných konstitučních modelů bude uveden
v následující kapitole.
Část Flow Parameters (obr. 16-3) je určena pro zadávání vstupů vztahujících se
k proudění vody v zemině. Zadává se zde hydraulická propustnost saturované
zeminy ve dvou směrech (�,��). Dále se zde definují vlastnosti částečně
nasycených (nesaturovaných) oblastí. Proudění vody v těchto oblastech je
20
definováno hydraulickým modelem Van Genuchten (1980) nebo jeho
zjednodušenou linearizovanou variantou Approximate Van Genuchten.
Obr. 16-3 Flow parameters – část Graphs
Obsahem obou modelů je formulace závislosti relativní propustnosti a stupně
saturace na negativním pórovém tlaku (sání) v nenasycené zóně (Soil Water
Characteristic Curves – SWCC). Vzhledem k tomu, že získání takových
závislostí vyžaduje specializované laboratorní vybavení (Fredlund et al., 2012),
je k dispozici knihovna vstupních dat obou hydraulických modelů. Rozhodujícím
kritériem knihovny je klasifikace (vzájemný poměr zrnitostních frakcí) zemin.
Uživatel má k dispozici 4 klasifikační systémy: Standard, Hypres, USDA,
Staring. Lze také použít alternativu User defined – zde se přímo zadávají
hodnoty vstupních parametrů hydraulického modelu. Podrobnosti o analýze
proudění v programu Plaxis lze nalézt např. v Galavi (2010).
Část Interfaces (obr. 17-3) je určena pro definování vstupních vlastností
kontaktních prvků, které se vkládají na rozhraní konstrukce - zemina. Jsou to
prvky, kterých skutečná tloušťka je nulová (Goodman et al., 1968). Je ale
možné měnit jejich tzv. virtuální tloušťku pomocí faktoru virtuální tloušťky.
Změna tohoto faktoru se projeví ve změně tuhosti kontaktního prvku.
21
Obr. 17-3 Definování vstupních parametrů kontaktních prvků
Kontaktní prvky (obr. 18-3) umožňují modelování elastického prokluzu jak ve
směru tangenciálním, tak kolmém na působící zatížení a jsou formulovány
s využitím Mohr – Coulombova konstitučního modelu. Pevnost kontaktního
prvku (�� , tan !�) je funkcí pevnosti okolní zeminy (�, tan !) a redukčního faktoru
"���#$ . Redukční faktor "���#$ je závislý na typu materiálu v kontaktu se zeminou
a zohledňuje oslabení tohoto kontaktu ve srovnání s rozhraním zemina –
zemina. Zde je nutné poznamenat, že parametr "���#$ ovlivňuje kromě
pevnostních parametrů (4-3), (5-3) také tuhost kontaktního prvku (6-3).
�� � "���#$� (4-3) tan!� � "���#$ tan ! (5-3)
%� � "���#$& % (6-3)
Novou funkcionalitou dostupnou od programové verze Plaxis 2D 2012 je
možnost použití parametru "���#$_$#� . Po dosáhnutí smykové pevnosti
kontaktního prvku, která je funkcí "���#$, dochází v následujícím kroku k poklesu
napětí na hodnoty odpovídající residuálním pevnostním parametrům podle
vztahu (7-3) a (8-3).
��_$#� � "���#$_$#��� (7-3) tan!�_$#� � "���#$_$#� tan!� (8-3)
22
Obr. 18-3 Kontaktní prvky pro 6-uzlové a 15-uzlové izoparametrické konečné
prvky používané programem Plaxis 2D (převzato z Brinkgreve et al., 2012)
Část Initial (obr. 19-3) je určena pro zadávání vstupních údajů
relevantních pro stanovení počátečních podmínek (efektivních horizontálních a
vertikálních napětí) v části Plaxis Calculations.
Obr. 19-3 Definování počátečních podmínek
Bez ohledu na konstituční model se zde definuje hodnota koeficientu zemního
tlaku v klidu �(. Tu je možné zadat manuálně nebo použít automaticky
vypočtenou hodnotu. Pro pokročilejší konstituční modely jsou k dispozici
parametry OCR a POP, které zahrnují do výpočtu počátečních podmínek faktor
překonsolidace. Overconsolidation ratio (OCR) je poměr mezi největší hodnotou
efektivního vertikálního napětí dosaženého v minulosti )*, a hodnotou
současného efektivního vertikálního napětí )��, (9-3). Preoverbunden pressure
(POP) je pak absolutní rozdíl mezi těmito složkami (10-3).
23
+," � -.,-//, (9-3)
0+0 � )*, � )��, (10-3)
Schematicky je rozdíl mezi OCR a POP znázorněn na obr. 20-3.
Obr. 20-3 Schematický rozdíl v průběhu napětí )*, při použití OCR a POP (převzato z
Brinkgreve et al., 2012)
Znalost vertikálního napětí )*, je nutná pro výpočet ekvivalentního
překonsolidačního napětí 1*#2 pomocí vztahů 11 až 13-3. Ekvivalentní
překonsolidační napětí pak určuje počáteční polohu objemové plochy plasticity
v pokročilých konstitučních modelech.
)3 � )*, (11-3)
)& � )4 � �(�5)*, (12-3)
1*#2 � 6)3 7 )& 7 )48 3⁄ (13-3)
24
3.4.2 Základní přehled dostupných konstitučních modelů Ve verzi Plaxis 2D 2012 je k dispozici celkem 10 konstitučních modelů. Další
konstituční modely lze do programu importovat jako tzv. „user defined soil
models“ formou .dll souborů. Stručný popis některých používaných
konstitučních modelů je uveden v následujícím textu. Podrobný popis
jednotlivých konstitučních modelů je mimo rámec tohoto textu. Reference na
jednotlivé modely budou uvedeny v textu.
• Lineárně elastický model: konstituční model je založený na Hookově
zákoně. Vstupní parametry jsou modul pružnosti � a Poissonovo číslo ;.
• Mohr – Coulomb model (MC): lineárně elastický – perfektně plastický
konstituční model. Použití tohoto modelu vyžaduje 5 vstupních
parametrů: modul pružnosti �$#< a Poissonovo číslo ; pro popis chování
zeminy v pružné oblasti, kohezi �, úhel vnitřního tření ! a úhel dilatance
=. Referenční modul pružnosti �$#< a referenční koheze �$#< jsou ve
výchozím nastavení konstantní, alternativně lze v části Parameters →
Advanced (obr. 21-3) nastavit jejich lineární nárůst s napětím. V obou
případech se definuje referenční hloubka, pro kterou platí hodnoty �$#< a
�$#< a hodnota jejich přírůstku na 1m. Průběh pracovního diagramu a
Mohr – Coulombova plocha plasticity v p – q rovině jsou znázorněny na
obr. 22-3.
Obr. 21-3 Nastavení lineárního nárůstu modulu pružnosti E a koheze c,
nastavení TCO
25
V části Parameters lze také zadat tzv. Tension Cut Off (TCO) – omezení
tahové pevnosti zeminy. Standardně se pro zeminy počítá s nulovou
hodnotou. TCO však lze s výhodou využít např. pro omezení tahové
pevnosti konstrukcí tvořených betonem nebo injektážní směsí
(podzemní stěny, trysková injektáž, vodorovně zatížené piloty, materiál
kořenů kotev atd.).
Obr. 22-3 Charakteristické znaky MC modelu (převzato z Wehnert, Vermeer,
2004)
• Hardening – Soil Model (HS): často využívaný pokročilý elasto –
plastický konstituční model s dvojitým objemovým a smykovým
zpevněním. Je potřeba zadat následující vstupní veličiny:
- úhel vnitřního tření φ
- kohezi c - referenční sečnový modul EA(BCD - referenční edometrický modul EECFBCD
- referenční modul pružnosti při zatížení a opětovném přitížení EGBBCD - Poissonovo číslo pro odtížení a opětovné přitížení νGB - exponent m řídící závislost deformačních parametrů na napětí σ3 a
σ4
- referenční napětí pBCD, na které se vztahují referenční hodnoty
tuhosti
- koeficient zemního tlaku v klidu K(MN pro podmínky normální
konsolidace
- RD, poměr qD/qR (obr. 23-3)
Jako kritérium porušení je zde opět použita Mohr – Coulombova
podmínka porušení definovaná pevnostními parametry. Základní vztah
26
popisující průběh osové deformace v závislosti na deviátoru napětí pro
prvotní zatížení a odvodněnou triaxiální zkoušku (14-3) vychází
z formulace Konder and Zelasko, (1963), kde qa je asymptotické
deviátorové napětí.
1 31
50 1 3
( )
2 ( )
σ σεσ σ−=
− −a
a
q
E qfq q≤ (14-3)
Při dosáhnutí deviátoru napětí S< (15-3) je splněna Mohr – Coulombova
podmínka porušení. Deviátor napětí S< se získá vynásobením
asymptotického deviátorového napětí koeficientem "<, který je menší
než 1. Hodnota parametru "< se obvykle pohybuje v intervalu 0,75 až
1,0. Pro většinu případů je možné použít "< � 0.9. Napětí S< je závislé
na pevnostních parametrech zeminy: na vrcholovém úhlu vnitřního tření
ϕp a soudržnosti.
6sin
( cot )3 sin
ϕϕ
ϕ= + ×
−p
f pp
q p c (15-3)
Obr. 23-3 Hyperbolická závislost pracovního diagramu zeminy pro HS model
(převzato z Brinkgreve et al., 2012)
27
Závislosti deformačních parametrů �A($#<, �V#W$#<, ��$$#< na napětí )3 a )4
jsou řízeny především exponentem X podle vztahů 16 až 18-3. Pro
hodnoty exponentu X menší než 1 mají tyto závislosti nelineární
charakter.
350 50
´ cos ´ ´sin ´
´ cos ´ sin ´
ϕ σ ϕϕ ϕ
× += × +
m
ref
ref
cE E
c p (16-3)
3´ cos ´ ´sin ´
´ cos ´ sin ´
ϕ σ ϕϕ ϕ
× += × +
m
refur ur
ref
cE E
c p (17-3)
3
0
´´ cos ´ sin ´
´ cos ´ sin ´
σϕ ϕ
ϕ ϕ
× + = × +
m
ncref
oed oedref
cK
E Ec p
(18-3)
Detailní informace týkající se HS modelu lze najít např. v Schanz et al.
(1999) nebo Obrzud and Truty (2011).
• Hardening soil model with small strain stiffness (HSS): původní
formulace HS modelu je doplněna o možnost zvýšení tuhosti zeminy
v oboru malých přetvoření. V oboru malých přetvoření je tuhost zeminy
výrazně vyšší, následovaná nelineárním poklesem s rostoucím
přetvořením. Ve srovnání s původním HS modelem jsou doplněny dva
dodatečné parametry:
- počáteční smykový modul resp. smykový modul při velmi malých
přetvořeních (ε<10Z − 6) %($#<. Tak jako pro kterýkoliv jiný parametr
tuhosti v základním modelu, také pro %($#< platí závislost na napětí (19-
3), řízena především exponentem X:
30 0
´ ´ cot ´
´ cot ´
σ ϕϕ
+ ×= + ×
m
ref
ref
cG G
p c (19-3)
- hodnota smykového přetvoření (,\, při které klesne počáteční
smykový modul %( na 72% původní hodnoty.
28
Použití konstitučních modelů zahrnujících zvýšenou smykovou tuhost
v oboru malých a velmi malých přetvoření může mít zásadní vliv na
deformační analýzu např. pažících konstrukcí (Miča et al., 2012).
Parametry tuhosti odvozené ze standardních laboratorních zkoušek jsou
obvykle platné jen v oboru velkých deformací. Deformace v okolí
geotechnických konstrukcí jsou však obvykle menší (obr. 24-3). Použití
deformačních parametrů odvozených ze standardních laboratorních
zkoušek v kombinaci s konstitučním modelem bez popisu zvýšení tuhosti
v oboru malých, velmi malých deformací vede často k významnému
nadhodnocení deformací konstrukce.
Detailní informace týkající se HS modelu lze najít např. v Benz (2006)
nebo Benz et al. (2009).
Obr. 24-3 Pokles smykové tuhosti s narůstající poměrnou smykovou deformací
(převzato z Benz, 2006)
• Soft Soil model (SS): konstituční model používaný pro normálně
konsolidované soudržné zeminy (�V#W$#< � 1 � 4^0_8 s vysokou mírou
stlačitelnosti. Jako kritérium porušení je opět aplikována Mohr -
Coulombova podmínka porušení. Model má v sobě zahrnutou lineární
závislost tuhosti na napětí a odlišnou tuhost při prvotním zatížení a
následném odtížení - opětovném přitížení. SS model vyžaduje 8
vstupních parametrů:
- úhel vnitřního tření !
- kohezi �
29
- úhel dilatance =
- modifikovaný součinitel stlačitelnosti při prvotním přitížení `∗(obr. 25-
3)
- modifikovaný součinitel stlačitelnosti při odtížení - opětovném
přitížení b∗(obr. 25-3)
- Poissonovo číslo pro odtížení a opětovné přitížení ;�$
- koeficient zemního tlaku v klidu �(�5 pro podmínky normální
konsolidace
- parametr ^ závislý na �(�5 ovlivňující tvar objemové plochy plasticity
Modifikované součinitele stlačitelnosti `∗, b∗ vyjadřují sklon linie
prvotního přitížení (NCL) a sklon linie odtížení-opětovného přitížení
(URL) v prostoru cd � ln1 (původní nemodifikované součinitele `, b byly
stanoveny pro prostor Z � ln 1). NCL a URL linie jsou pak definovány
vztahy 20-3 a 21-3.
Obr. 25-3 NCL, URL linie v prostoru cd � ln 1 (převzato z Wehnert, 2006)
cd � cd( � `∗ln f *´*h´i…NCL (20-3)
�d# � �d(# � `∗ln f *´*h´i…URL (21-3)
Podrobnější informace o SS modelu je možné najít např. v Neher et al.
(1999).
30
• Soft Soil Creep model (SSC): rozšíření původního SS modelu o časově
závislé chování zeminy (creep/dotvarování). Ve všech výše popsaných
konstitučních modelech je poloha plochy plasticity funkcí napětí.
V případě SSC modelu je ale poloha objemové plochy plasticity závislá
také na čase – po přírůstku zatížení objemová plocha plasticity dál
expanduje se snižující se rychlostí. Pro objemovou creepovou poměrnou
deformaci platí vztah (22-3), o∗ je modifikovaný creepový koeficient,
který je jediným dodatečným vstupním parametrem ve srovnání s SSC
modelem. Podrobný popis jednotlivých veličin lze najít např.
ve Waterman, Broere (2004).
Δ�d5 � o∗lnq1 7 rs3W�� f*tu*vhi
w∗xy∗z∗ { (22-3)
Creepový koeficient o∗ lze stejně tak jako součinitele `∗, b∗ získat ze
standardní edometrické zkoušky (obr. 26-3) za předpokladu, že zkouška
trvá dostatečně dlouho po vyvození zatížení.
(a) (b)
Obr. 26-3 Závislosti cd � ln 1 ´ (a), cd � ln | (b) pro kalibraci vstupních parametrů
`∗, b∗,o∗ (převzato z Waterman and Broere, 2005)
31
• Hoek-Brown Model (HB): tento konstituční model je určen pro popis
chování skalních hornin. Skalní horniny na rozdíl od zemin vykazují
malou závislost tuhosti na napětí. Závislost smykové pevnosti na napětí
je naopak významná. HB model je lineárně elastický perfektně plastický
konstituční model. Elastické chování před dosažením smykové pevnosti
je stejně jako v MC modelu řízeno modulem pružnosti � a Poissonovým
číslem ;. Standardní Mohr – Coulombova podmínka porušení
předpokládající lineární závislost mezi napětím a smykovou pevností je
nahrazena obecnou Hoek – Brownovou podmínkou (23-3) porušení
vycházející z práce Hoek and Brown (1980).
)3 � )4 7 )5� fX} -~-v� 7 �i� (23-3)
)3, )4 jsou hlavní napětí, )5� je pevnost materiálu v prostém tlaku.
Koeficienty X} a � jsou semi-empirické vstupní hodnoty závislé na typu
horniny. Hodnoty těchto koeficientů jsou závislé na indexu GSI
(Geological Strength Index). Hoek – Brownova podmínka porušení má
nelineární průběh (obr. 27-3), který je pro skalní horniny (vzhledem na
velké rozsahy napětí in – situ) vhodnější než u Mohr – Coulombovy
podmínky. HB model je formulován s využitím následujících parametrů:
- modul pružnosti �
- Poissonovo číslo ;
- pevnost horniny v prostém tlaku )5� - empirický parametr neporušené skalní horniny X� - index podle klasifikace GSI
- parametr � závisející na rozrušení skalní horniny
- úhel dilatance = při nulovém hlavním napětí )4´ - napětí )�´, při kterém je úhel dilatance nulový
Podrobnější informace o konstitučním modelu lze nalézt např. v Hoek et
al. (2002) nebo Schweiger and Nasekhian (2009).
32
Obr. 27-3 Hoek – Brownova podmínka porušení spolu s totálními a efektivními
dráhami napětí pro triaxiální zkoušky s různými komorovými tlaky (převzato
z Schweiger and Nasekhian, 2009)
• Jointed Rock Model: anizotropní lineárně elastický perfektně plastický
konstituční model určený pro popis chování vrstevnatých skalních celků.
Rozlišuje se elastická a plastická anizotropie. Elastická anizotropie se
projevuje rozdílnou tuhostí materiálu v různých směrech (obr. 28-3). Pro
popis chování ortotropního pružného materiálu je nutné definovat 5
nezávislých deformačních veličin: �3, �&, ;3, ;&, %&.
Obr. 28-3 Tuhost materiálu odlišná ve směru S a P
(převzato z Potts and Zdrakovic, 1999)
33
Plastická anizotropie zahrnuje použití různých pevnostních parametrů
v různých směrech. Lze tak modelovat dosáhnutí Mohr – Coulombovy
podmínky porušení ve třech směrech reprezentujících plochy odlučnosti.
Pro každý směr je nutné zadat pevnostní parametry: �� , !� , =�. Taktéž je
možné pro každou plochu zadat jinou tahovou pevnost )�� (obr. 29-3).
Obr. 29-3 Lokální podmínka porušení na jedné ze tří rovin (převzato
z Brinkgreve et al., 2011)
• Modified Cam-Clay Model (MCC): konstituční model vycházející z teorie
kritických stavů. V modelu je zahrnuta logaritmická závislost mezi číslem
pórovitosti Z( a efektivním středním napětím 1´. Pro linii prvotního
zatížení (NCL) a zatěžovací – odtěžovací linii (URL) je tato závislost
definována podle vztahu (24-3) resp. (25-3), kde ` a b jsou součinitelé
stlačitelnosti při prvotním přitížení resp. při odtížení – opětovném
přitížení.
Z � Z( � �` ln f*´*hi…�,� (24-3)
Z � Z( � �b ln f*´*hi…�"� (25-3)
Významným rozdílem oproti původnímu Cam-Clay modelu je elipsovitý
tvar plochy plasticity (obr. 30-3) definovaný rovnicí (26-3), kde ^ je
směrnice tangenty linie kritických stavů v p – q rovině a 15 je izotropní
překonsolidační napětí.
� � 2��� 7 1´61 � 158 (26-3)
34
Obr. 30-3 Plocha plasticity MCC modelu (převzato z Barlett,
2010)
Pro použití konstitučního modelu je potřeba definovat 5 vstupních
parametrů:
- Poissonovo číslo při odtížení a opětovném přitížení ;�$
- součinitel stlačitelnosti při prvotním zatížení `
- součinitel stlačitelnosti při odtížení – opětovném přitížení b
- směrnici tangenty linie kritických stavů v p – q rovině ^
- počáteční číslo pórovitosti Z���� Další informace o MCC modelu lze najít např. v Potts and Zdrakovic
(1999), Barlett (2010).
• User defined model: program Plaxis umožňuje import dalších, uživateli
vytvořených konstitučních modelů formou .dll souborů. V České
republice je tak možné využít např. hypoplastický model (Mašín, 2005;
Mašín 2008). V Rakousku jsou v této podobě již několik let vyvíjeny tzv.
multilaminate soil models (Galavi, 2007; Scharinger, 2007; Schädlich,
2012).
3.4.3 Aplikace SoilTestLab Aplikace SoilTestLab je užitečným nástrojem pro kalibraci vstupních parametrů
konstitučních modelů a proto zde bude v krátkosti popsána. Do aplikace lze
projít přímo z okna pro vkládání vstupních parametrů (obr. 12-3). Pracovní
prostor aplikace je znázorněn na obr. 31-3. Aplikace umožňuje simulace
laboratorních zkoušek. Výsledky simulace lze přímo zkopírovat nebo uložit do
35
.vlt souborů. Soubory lze také otevřít v textovém editoru. Lze také současně
vytvořit víc .vlt souborů pro vzájemná srovnání.
Obr. 31-3 Pracovní prostor aplikace SoilTestLab
Aplikace poskytuje možnost simulace následujících typů laboratorních zkoušek
- Triaxial: je možné si vybrat mezi neodvodněnou a odvodněnou
variantou triaxiální zkoušky. Dále se volí, jestli se jedná o zatěžování
v tlaku nebo v tahu. Z hlediska konsolidace před samotným
smýkáním je možné vybrat mezi izotropní konsolidací a K0
konsolidací.
- Oedometer
- CRS (constant rate of strain consolidation test)
- DSS (direct simple shear test): opět lze volit mezi neodvodněnou,
odvodněnou zkouškou a izotropní, K0 konsolidací.
- General: obecný typ zkoušky. Lze zadat různé počáteční napětí a
následné přírůstky zatížení ve směru souřadných os. Opět lze volit
mezi odvodněným a neodvodněným typem zkoušky. V praxi lze tento
typ zkoušky použít např. pro modelování pravé triaxiální zkoušky
nebo naopak zkoušky v prostém tlaku.
36
3.5 Generování sítě konečných prvků
Generování sítě konečných prvků představuje důležitý krok při tvorbě
matematického modelu. Je zde nutné dodržovat některá pravidla (Potts,
Zdravkovic, 1999):
1. V případě modelování zakřivených geometrických prvků je vhodné
použít prvky s vyšším řádem interpolace posunutí.
2. Diskontinuity, rozhraní materiálů (geologických vrstev) atd. je vhodné
využít jako přirozené hranice pro rozdělení kontinua na menší podoblasti
a pro dodatečné zhuštění sítě konečných prvků (obr. 32-3).
(a)
(b)
Obr. 32-3 Sít konečných prvků v blízkosti tunelového ostění (a) a zakřiveného
geologického rozhraní (b) (převzato z Potts, Zdravkovic, 1999)
3. Podoblasti v blízkosti analyzované konstrukce je vhodné dodatečně zahustit.
4. Při tvorbě sítě konečných prvků je vhodné se vyvarovat dlouhým úzkým
prvkům. Poměr délky stran trojúhelníkových konečných prvků by měl být
menší než 3. Vnitřní úhly trojúhelníkových prvků � by měli být v rozmezí
15 až 165 stupňů (Karstunen, 2012).
Pro generování sítě konečných prvků je možné použít také příkazů nabídky
Mesh v hlavním menu. Ta kromě samotného příkazu ke generování sítě –
Generate obsahuje další řadu příkazů k editaci sítě:
• Basic element type – nastavení typu konečného prvku
37
Je možné použít dva trojúhelníkové izoparametrické typy prvků – 6
uzlový a 15 uzlový prvek. 6 uzlový prvek umožňuje kvadratickou
interpolaci posunutí, obsahuje 3 integrační body. 15 uzlový prvek
poskytuje interpolaci posunutí 4 řádu a numerická integrace je
prováděna přes 12 integračních bodů.
Obr. 33-3 Základní typy konečných prvků používaných programem Plaxis
(převzato z Karstunen, 2012)
15 uzlové prvky jsou vhodnější pro výpočty stupně stability pomocí tzv.
phi/c redukce (bude popsáno dále). Použití 6 – uzlových prvků
v kombinaci s nedostatečně hustou sítí může vést k nadhodnocení
vypočteného stupně stability. Významný vliv hustoty sítě a typu
konečného prvku na vypočítaný stupeň stability násypového tělesa
demonstruje graf na obr. 34-3. Pro nejhrubší síť a 6 uzlové prvky je
vypočtený stupeň stability �̂< � 2,25, zatímco pro nejjemnější síť
nezávisle na typu prvku je vypočtený stupeň stability �̂< � 1,38. Za
zmínku stojí také fakt, že s rostoucí hustotou je vliv sítě méně významný.
38
Obr. 34-3 Závislost dosaženého stupně stability na počtu konečných prvků
Použití 6 – uzlových prvků v kombinaci s axisymetrickou úlohou a
nedostatečně hustou sítí může také vést k výpočtu nadhodnocených
únosností např. piloty nebo kruhového základu. Vliv hustoty sítě a typu
konečného prvku v axisymetrických modelech plošného základu (obr.
35-3, 36-3) detailně analyzoval např. Sloan and Randolph (1983).
• Global coarseness – nastavení hustoty sítě konečných prvků platné pro
celý model
Je možné využít 5 stupňů hustoty sítě od velmi hrubé až po velmi
jemnou (Very coarse, Coarse, Medium, Fine, Very fine).
• Refine global – zjemnění sítě v celém modelu
• Refine cluster, Refine line, Refine around point – zjemnění sítě části
modelu v určité oblasti, v okolí linie nebo bodu
• Reset all – zruší veškeré nastavení hustoty sítě a aktuálně vygenerovanou síť
39
Obr. 35-3 Vliv hustoty sítě na výpočet kruhového plošného základu (převzato
ze Sloan and Randolph, 1983)
Obr. 36-3 Vliv typu konečného prvku na výpočet kruhového plošného základu
(převzato ze Sloan and Randolph, 1983)
Po vygenerování sítě konečných prvků přechází program do postprocesoru
Plaxis 2D Output. Zde je možné si vygenerovanou síť prohlédnout a
zkontrolovat. V posledních verzích programu byly přidány funkce pro zobrazení
relativní kvality sítě a velikosti prvků. Podrobněji budou možnosti postprocesoru
popsány v kap. 5.
40
3.6 Okrajové podmínky a vhodná volba hranic modelu Okrajové podmínky se zadávají pomocí příkazů v hlavní nabídce, část Loads.
Je možné definovat 3 druhy okrajových podmínek:
1. Horizontal fixities – je zabráněno vodorovným posunům,
2. Vertical fixities – je zabráněno vertikálním posunům,
3. Total fixities – je zabráněno jak horizontálním, tak vertikálním posunům.
Pro standardní okrajové podmínky (u bočních hran modelu je zabráněno
vodorovnému posunutí, u spodní hrany modelu je zabráněno oběma složkám
posunutí) lze využít jejich automatické vložení přes hlavní nabídku nebo
nástrojovou lištu.
Při stanovování velikosti matematického modelu je nutné vyloučit výrazný vliv
okrajových podmínek na výsledky výpočtu. Optimální velikost modelu je mimo
jiné závislá na druhu analýzy: deformační analýza, analýza vnitřních sil,
průsaková analýza, stabilitní analýza. V případě deformačních analýz může
blízkost okrajové podmínky způsobit např. podhodnocení horizontálních
deformací pažící konstrukce. V případě stabilitních analýz může dojít k ovlivnění
tvaru smykové plochy a s tím spojeného výpočtu nesprávného stupně stability.
Na obr. 37-3 je uveden příklad doporučených rozměrů modelu pažící
konstrukce.
Obr. 37-3 Doporučené rozměry matematického modelu pažící konstrukce
41
4. Plaxis 2D Calculation
4.1 Pracovní prostředí Programová část Plaxis 2D Calculation je určená především pro vytvoření a
editaci fází výstavby. Dále je zde možné provést nastavení vlastnosti výpočtu a
iteračního postupu, nastavení ukládání dat na disk. Pomocí nástrojové lišty lze
spustit výpočet, vybrat uzly a napěťové body pro pozdější tvorbu grafů a po
ukončení výpočtů projít do programové části Plaxis 2D Curves pro prohlížení
výpočtu nebo definovat způsob výpočtu
Základní pracovní prostředí Plaxis 2D Calculation se skládá ze 4 částí: General,
Parameters, Multipliers, Preview. V části General (obr. 1-4) je uveden seznam
fází výpočtu spolu s jejich vlastnostmi a identifikačními údaji.
Obr. 1-4 Plaxis 2D Calculation – část General
V části Parameters (obr. 2-4) se definují vlastnosti iteračního postupu, způsob
zatížení, časový interval pro konsolidační analýzu, maximální počet kroků
v rámci jedné výpočetní fáze, maximální počet kroků výpočtu ukládaných na
42
disk a limity pórových tlaků. Je zde také možné zvolit příkaz pro vynulování
deformací na začátku dané fáze výstavby – Reset displacement to zero.
Obr. 2-4 Plaxis 2D Calculation – část Parameters
4.2 Způsob – mód výpočtu Způsob – mód výpočtu se zadává při prvním vstupu do programové části Plaxis
2D Calculation (obr. 3-4) nebo jej lze dále měnit v nástrojové liště této
programové části.
Obr. 3-4 Volba způsobu – módu výpočtu
43
Je možné zvolit 3 módy – způsoby výpočtu:
• Classical mode – platí zde standardní Terzaghiho princip efektivních a
totálních napětí (Terzaghi, 1943), kde ) je totální napětí, )#<< je efektivní
napětí a �� je pórový tlak:
)#<< � ) � �� (1-4)
Objemová tíha materiálu je definovaná pomocí objemové tíhy zeminy
nad hladinou podzemní vody ����� resp. pod hladinou podzemní vody
���. Pórové tlaky v tomto způsobu výpočtu se rozdělují na pórové tlaky
vypočtené na základě zadané hladiny podzemní vody nebo proudění
(Steady state pore pressures) a zvýšené pórové tlaky (excess pore
pressures). První typ pórových tlaků vyplývá z počátečních podmínek
(Initial conditions) a jejich následných úprav v rámci definování
jednotlivých výpočetních fáz. Zvýšené pórové tlaky vznikají v důsledku
neodvodněného zatěžování materiálu v průběhu výpočtu typu Plastic
nebo Consolidation.
• Advanced mode – využívá se zde Bishopova teorie napětí (Bishop,
1954). Pro efektivní napětí platí vzorec (2-4), kde ��,�� je tlak vzduchu
(plynu) resp. kapaliny v pórech a � je parametr vztahující se ke stupni
nasycení zeminy.
)#<< � 6) � ��8 7 �6�� � ��8 (2-4)
Pro objemovou tíhu zeminy je funkcí stupně nasycení �$ a platí vztah:
� 61 − �$)����� + �$��� (3-4)
Stupeň nasycení zeminy je závislý na hodnotě negativního pórového
tlaku (sání) – tato závislost se nazývá Soil Water Characteristic Curve
(SWCC). V programu Plaxis je možné využít závislost mezi sáním –
stupněm nasycení a relativní propustností vycházející z práce Van
Genuchten (1980).
44
• Flow mode – tento způsob výpočtu je určen pouze k analýze proudění
(průsakové analýze). Lze použít dva typy výpočtu:
� Groundwater flow steady state – ustálené (časově konstantní)
proudění,
� Groundwater flow transient – neustálené (časově proměnné)
proudění.
4.3 Počáteční podmínky Způsob výpočtu počátečních podmínek (obr. 4-4) se definuje v části General →
Calculation type a existují dvě varianty: K0 consolidation a Gravity loading.
Obr. 4-4 Nastavení typu výpočtu počátečních podmínek
• K0 procedure – používá se v případě rovinného terénu s paralelními
rozhraními geologických vrstev rovnoběžnými s povrchem terénu.
Horizontální napětí jsou vypočteny na základě zadané hodnoty zemního
tlaku v klidu K0 (4-4). Pro MC model program automaticky spočítá K0 (5-
4) podle Jáky (1944).
), � �()��, (4-4)
�( � 1 � sin!, (5-4)
Pro pokročilejší konstituční modely (např. HS, SS model) je pro
automatický výpočet K0 použit vztah (6-4). Hodnotu K0 lze ale libovolně
upravit při zadávání vstupních parametrů zemin v části Initial (obr. 19-3).
�(, � �(�5+," � ���3���� 6+," � 18 7 �h�v���� ����x�������-//� (6-4)
45
• Gravity loading – počáteční stav napjatosti je vytvořen zatížením vlastní
tíhou zeminy v první výpočetní fázi. V případě MC modelu je výsledné K0
závislé na Poissonově čísle ;. Pro jednoosé zatížení a elastický materiál
je vztah mezi K0 a ν následující:
; � �( 1 7 �(� (7-4)
V případě potřeby je nutné definovat samostatné soubory vstupních
hodnot zemin s vhodně zvoleným ;, tak aby byly vypočteny reálné
počáteční podmínky. Gravity loading je nutné využít především v případě
ukloněného terénu – typickým případem je stabilitní analýza svahů.
Reprezentativní případy, kdy je nutné tento typ počátečních podmínek
zvolit jsou schematicky znázorněny na obr. (5-4)
Obr. 5-4 Případy kdy je nutné zvolit typ počátečních podmínek Gravity loading
4.4 Typ výpočtu Typ výpočtu se definuje v části General → Calculation type (obr. 6-4). Pro
způsob – mód výpočtu Standard (kap. 4.2) je možné vybrat z následujících typů
výpočtů: Plastic, Plastic drained, Consolidation (EPP), Safety a Dynamic.
Obr. 6-4 Nastavení typu výpočtu
46
• Výpočet typu Plastic: používá se pro elastoplastickou deformační
analýzu, při které se neuvažuje se změnou pórových tlaků v čase.
Nemůže docházet k disipaci pórových tlaků (konsolidaci).
∆� ≠ 0;∆) ≠ ∆)´ (8-4)
Časový interval sice může být zadán, nicméně kromě použití v SSC
modelu (kap. 3.4.2) s ním není uvažováno. Tento typ výpočtu se
používá pro neodvodněnou analýzu – tzn. rychlá výstavba násypu nebo
hloubení pažící konstrukce v zeminách s malou propustností. V tomto
případě musí být při zadávání vstupních parametrů zemin použito
neodvodněné chování materiálu (Undrained A / Undrained B /
Undrained C). Blíže jsou všechny tři varianty popsány v kapitole 3.4.1.
Naopak výpočet typu Plastic lze spolu s odvodněným typem chování
materiálu (Drained) použít pro odvodněnou analýzu – např. výpočet
konečného sednutí násypu nebo deformace pažící konstrukce
v dlouhodobém časovém horizontu. Rozhodnutí jestli se přiklonit
k odvodněné nebo neodvodněné analýze však nemusí být vždycky
jednoznačné. Vermeer and Meier (1998) stanovili pro případy
stavebních jam limit pro neodvodněnou analýzu. Využili k tomu teorii
konsolidace a časový faktor �d (9-4), kde �d je součinitel stlačitelnosti, |
je čas, � je propustnost, �V#W je oedometrický modul, � je objemová
tíha vody a � je drenážní dráha.
�d =5
¡�| =
¢£¤t¥
¦§¡�| (9-4)
Podle zmíněných dvou autorů je možné hloubku vetknutí pažící
konstrukce pod dno stavební jámy považovat za drenážní dráhu.
Neodvodněnou analýzu lze pak použít, jestli je pro časový faktor
�d < 0.1 stupeň konsolidace U maximálně 10%.
Dále je zde možné využít tzv. Updated mesh analysis – geometrie sítě
konečných prvků je průběžně upravován na základě vypočtených
deformací. Tato volba se využívá při výpočtech, ve kterých dochází ke
vzniku velkých deformací (penetrační zkouška, instalace štěrkových
47
pilířů, provádění roztlačovaných pilot, deformační analýza vysokých
násypových těles na stlačitelném podloží, atd.).
• Výpočet typu Plastic drained: používá se pro elastoplastickou
deformační analýzu, vypočtené pórové tlaky jsou zde ale zanedbány.
Veškerá změna napětí se projeví v efektivních napětích.
∆� � 0;∆) = ∆)´ (10-4)
Tento typ výpočtu je totožný s výpočtem typu Plastic, ve kterém je
použita volba Ignore undrained behaviour dostupná ve skupině
regulačních parametrů (obr. 2-4). Tento typ výpočtu lze opět využít
např. pro výpočet konečného sedání násypového tělesa bez nutnosti
podrobného modelování fáz výstavby.
• Výpočet typu Consolidation (EPP): používá se v případech, kdy je nutné
analyzovat vývoj pórových tlaků v průběhu výstavby konstrukce.
V zásadě je možné použít dva přístupy. První variantou je, že výstavba
konstrukce (např. vrstvení násypu nebo odkop na dílčí kotevní úroveň)
je přímo zahrnuta ve fázi typu Consolidation (EPP) se zadanou dobou
výstavby v části Parameters (obr. 2-4). Druhou alternativou je, že
výstavba konstrukce je zahrnuta ve fázi výstavby typu Plastic, po které
následuje fáze typu Consolidation se zadaným časovým intervalem
umožňujícím disipaci zvýšených pórových tlaků z předcházející fáze.
• Výpočet typu Safety: je určený pro výpočty stupňů stability svahů,
zářezů, násypových těles. Lze ho také využít pro zhodnocení vnější a
vnitřní stability pažících konstrukcí. Pro získání stupně stability se
využívá tzv. Phi/c reduction přístup. V průběhu výpočtu jsou postupně
redukovány vstupní parametry pevnosti: úhel vnitřního tření ! a koheze
�. Pokles pevnostních parametrů je řízen pomocí celkového násobku
∑ ª̂« (safety factor multiplier):
∑ ª̂« =sRM¬��.�
sRM¬�t¥�vt¥=
5��.�
5�t¥�vt¥=
��,��.�
��,�t¥�vt¥ (11-4)
48
Veličiny s indexem input jsou vstupní veličiny zadávané při definování
materiálů, index reduced pak označuje redukované hodnoty. Na začátku
výpočtu typu Safety je tedy ∑ ª̂« � 1,0. Redukování pevnostních
parametrů v průběhu výpočtu je řízeno postupným snižováním ∑ ª̂«
v předem zadaném počtu kroků. Pokles ∑ ª̂« v prvním kroku je
definován pomocí Incremental multipliers Msf (obr. 7-4) v záložce
Parameters a je přednastaven na hodnotu 0,1.
Obr. 7-4 Nastavení prvotního poklesu ∑ ª̂« – výpočet typu Safety
Stupeň stability SF je pak možné zapsat následujícím způsobem:
�® � *#d�V��¯��#$�á±�*#d�V��*ř�*V$�š# � ∑ ª̂« 1ř´1µ¶�šZ (12-4)
Počet kroků se zadává v položce Additional steps v regulačních
parametrech (obr. 2-4). Počet kroků musí být dostatečný pro plný vývoj
poruchy (smykové plochy). Po ukončení výpočtu je vhodné si zobrazit
závislost mezi ∑ ª̂« a výpočetním krokem Calculation step
v programové části Plaxis 2D Curves (kap. 5) a zkontrolovat zdali došlo
k ustálení ∑ ª̂«. Příklad výstupu výpočtu typu Safety při stabilitní
analýze sypaného zemního tělesa spolu se závislostí ∑ ª̂« –
Calculation step je ilustrován na obr. 8-4 a 9-4.
49
Obr. 8-4 Tvar smykové plochy po ukončení výpočtu typu Safety (znázornění
smykových poměrných deformací γs)
Obr. 9-4 Ustálení výsledného stupně stability ∑MSF po
dostatečném počtu kroků
• Výpočet typu Dynamic se používá při analýze šíření vlnění přes zemní
prostředí a jeho vlivu na okolní konstrukce. V rámci tohoto typu výpočtu
je možné analyzovat interakci zemního prostředí a konstrukce při
dynamickém zatížení (např. harmonické kmitání zařízení na plošném
základě nebo beranění pilot), stabilitu zemních těles při dynamickém
zatížení, chování konstrukce při seismickém zatížení atd.
50
4.5 Nastavení iteračního postupu Nastavení iteračního postupu (obr. 10-4) se definuje v části Parameters →
Iteration procedure. Lze zvolit mezi automatickým nebo manuálním nastavením.
Obr. 10-4 Nastavení iteračního postupu
• Tolerated error – je maximální možná hodnota celkové (globální)
chyby/odchylky. Definice celkové chyby/odchylky je znázorněna na obr. 11-4.
Obr. 11-4 Schematické znázornění nerovnováhy mezi vnějším zatížením a vnitřními
silami (převzato z Karstunen, 2012)
Veličinu S# je možno definovat jako vnější zatížení, S5 je pak vnitřní
reakce materiálu na dané zatížení řízená použitým konstitučním
(materiálovým) modelem. Celkovou chybu je pak možné zapsat pomocí
vztahu:
51
�Z·�µ á�¸�¹_ � ‖2t�2v‖‖2t‖ (13-4)
Přednastavená hodnota tolerované chyby je 0,01 (1%). Hodnotu lze
změnit, ve většině případů by však tolerovaná chyba neměla
přesáhnout 0,05 (5%).
• Over relaxation – úprava iteračního postupu umožňující zmenšení počtu
iterací v jednom výpočetním kroku. Úpravu lze popsat jako umělé
zvýšení nevyvážených sil (rozdíl ‖S# � S5‖) pomocí zadaného faktoru
(násobku). Přednastavená a maximální hodnota faktoru je 1,2 resp. 2,0.
Pro zeminy s malým úhlem vnitřního tření (např. ! ¨ 20V) je možné
použít hodnotu 1,5 (Brinkgreve et al., 2011). Schematicky je význam
tohoto faktoru znázorněn na obr. 12-4.
Obr. 12-4 Over relaxation factor (převzato z Karstunen, 2012)
• Maximum iterations – definuje maximální počet iterací v jednom kroku.
Standardní hodnota je 50. Parametr může být měněn v rozsahu 1 až
100.
• Desired minimum, Desired maximum – těmito parametry lze ovlivnit kdy
v průběhu výpočtu dojde ke změně velikosti výpočetního kroku (obr. 13-
4). V případě, že je daný výpočetní krok vyřešen při počtu iterací
menším než je hodnota Desired minimum, velikost výpočetního kroku je
52
zdvojnásobena. Naopak, jestliže počet iterací v rámci jednoho kroku
přesáhne hodnotu Desired maximum, velikost kroku je snížena na
polovinu.
Obr. 13-4 Úprava velikosti výpočetního kroku (převzato z van Langen 1991)
Je také možné nastavit specifickou kombinaci těchto dvou parametrů –
Desired minimum = 2 a Desired Maximum je totožné s parametrem
Maximum iterations. Při tomto nastavení je velikost kroku v průběhu
výpočtu fixovaná. Fixace výpočetního kroku může být výhodná např.
v případě, kdy provádíme simulaci zatěžovací zkoušky piloty pomocí
předepsané deformace. Fixace kroku umožní porovnání výsledků (např.
mobilizované tření na plášti) více výpočtů při stejných vyvozených
deformacích. Přednastavené hodnoty obou parametrů jsou 6 (Desired
minimum) a 15 (Desired maximum). Podle doporučení (Brinkgreve et
al., 2006) lze pro získání plynulého pracovního diagramu zatěžovaných
konstrukcí v zeminách s velmi malým úhlem vnitřního tření použít
hodnoty 3 a 7. Pro zeminy s vysokým úhlem vnitřního tření je
doporučené nastavení 7 a 15 a současné zvýšení maximálního počtu
iterací na 75.
• Arc – length control – speciální úprava iteračního postupu. Při použití
této funkce není hodnota vnějšího zatížení v rámci jednoho výpočetního
kroku konstantní. Vnější zatížení se s rostoucím počtem kroků snižuje.
Schematicky je rozdíl mezi standardním iteračním postupem a
s postupem s využitím funkce Arc – length control znázorněn na obr.
14-4.
53
Obr. 14-4 Základní iterační postup versus postup s využitím arc – length control (převzato z Brinkgreve et al., 2006)
Postup s využitím funkce Arc – length control je přednastaven v typech
výpočtu Plastic a Safety (kap. 4.4). Význam této funkce je velký při
úrovních zatížení blízkých mezním hodnotám. Použití základního
postupu může vést k situaci, kdy zvolený přírůstek ztížení v daném
kroku je příliš velký a program nemůže nalézt řešení odpovídající
zadané povolené chybě. Použití postupu s Arc – length control vede
k dosažení řešení a k výpočtu přesnější hodnoty mezní únosnosti.
Výpočet bez použití Arc – length control může vést k nadhodnocení
vypočtené únosnosti nebo stupně stability, proto je doporučeno tuto
funkci vždy použít ve výpočtu typu Safety. V programu Plaxis je navíc
implementováno automatické rozpoznání poruchy – v případě, že
hodnota vypočtené síly (únosnosti) s použitím funkce Arc – length
control klesá v pěti krocích po sobě, výpočet je ukončen. Při výpočtech
zabývajících se povrcholovým poklesem napětí/únosnosti je tedy nutné
tuto funkci vypnout.
• First time step – je první časový přírůstek v konsolidační analýze. Jeho
hodnota by neměla být menší než kritická hodnota. V případě použití
menšího
časového kroku může docházet k výkyvům ve zvýšených pórových
tlacích (Vermeer and Verruijt, 1991). Velikost kritického časového kroku
za předpokladu 1D konsolidace (vertikální proudění), rovnoměrné sítě
konečných prvků, homogenního zemního prostředí a pro 6 resp. 15
uzlové prvky je dána vztahy (14-4) a (15-4), kde � je objemová
hmotnost vody,» je Poissonovo číslo, �� je propustnost ve vertikálním
54
směru, � je Youngův modul pružnosti, ¼ je rozměr (výška) konečného
prvku. Z uvedených vzorců vyplývá, že při jemnější síti konečných prvků
je hodnota kritického časového kroku menší. Program uvažuje jako
první časový přírůstek maximální hodnotu kritického časového kroku
vypočtenou pro všechny konečné prvky v matematickém modelu.
∆| � ½�¦§63�&¾863¿¾8À(¢/£63�¾8 15 − ��·µ é1¶ �� (14-4)
∆| =½�¦§(3�&¾)(3¿¾)
Â(¢/£(3�¾)6 − ��·µ é1¶ �� (15-4)
55
5. Plaxis 2D Output, Plaxis 2D Curves Části Plaxis 2D Output a Plaxis 2D Curves tvoří post-procesor programu.
Účelem obou aplikací je zobrazení výsledků výpočtů. Část Plaxis 2D Curves je
pak určena pro tvorbu grafů. Základní pracovní prostředí části Plaxis 2D Output
je znázorněno na obr. 1-5. Součástí prostředí je opět hlavní nabídka a
specializovaná nástrojová lišta. Vylepšením, ve srovnání s verzí Plaxis 9.0, je
možnost volby výpočetní fáze pro zobrazení výsledků přímo v aplikaci Plaxis 2D
Output. Není tedy nutné otevírat každou výpočetní fázi samostatně.
Obr. 1-5 Prostředí aplikace Plaxis Output
Vlastnosti sítě konečných prvků lze kontrolovat v části hlavní nabídky Mesh. Lze
zde zobrazit relativní kvalitu sítě (Mesh → Quality) nebo plochy prvků (Mesh →
Area). Tyto dvě funkce jsou opět vylepšením verze 9.0 a představují užitečný
nástroj pro kontrolu kvality sítě konečných prvků. K zobrazení deformací a
napětí je určena část hlavní nabídky Deformations a Stresses. Sumarizace
typů/složek deformací a napětí, které jsou k dispozici pro zobrazení, je uvedena
56
v tab. 1-5 a 2-5. Pomocí příkazů Tools → Cross section je možné vytvořit
libovolný řez pro zobrazení složek deformací.
Tab. 1-5 Zobrazení výsledků: celek Deformations
Část Veličiny
Deformovaná síť konečných prvků -
Celkové deformace |�|, �� , �
Deformace výpočetní fáze |1�|, 1�� , 1�
Přírůstek deformací |Δ�|, Δ��, Δ�
Celkové poměrné přetvoření
v kartézské souřadnicové
soustavě
� , ��� , �
Poměrné přetvoření výpočetní
fáze v kartézské souřadnicové
soustavě
1� , 1��� , 1�
Přírůstek poměrného přetvoření
v kartézské souřadnicové
soustavě
� , ��� , �
Celkové poměrné přetvoření �3, �&, �4, (�3 + �4) 2⁄ , (�3 − �4) 2⁄ , �d , � …
Poměrné přetvoření výpočetní
fáze 1�d, 1�
Přírůstek poměrného přetvoření Δ�d , Δ�
57
Tab. 2-5 Zobrazení výsledků: celek Stresses
Skupina Veličiny
Efektivní napětí v kartézské
souřadnicové soustavě )´ , )´�� , )´�� , )´�
Totální napětí v kartézské
souřadnicové soustavě ) , )�� , )�� , )�
Hlavní efektivní napětí, invarianty
napětí, smykové napětí
)´3, )´&, )´4, ()´3 + )´4) 2⁄ , 1´, S, Ä$#± , įV}
į�…
Hlavní totální napětí, invarianty
napětí )3, )&, )4, ()3 + )4) 2⁄ , 1, S
Stavové proměnné závisí na použitém konstitučním modelu
Pórové tlaky 1�5��d#¿��5��V�, 1�5��d# , 1#5#�� , 1��#�W�¿��5��V�
1��#�W� , ���|´µÅ
Proudění vody |S|, S , S�, �_|�¶_|´µÅ, �$#±
Plastické body
dosažení Mohr – Coulombovy podmínky,
objemové a smykové zpevňování, dosažení
tahové pevnosti
Vlastnosti prvků „fixed – end
anchor“ -
Vlastnosti prvků „node to node
anchor“ -
Vlastnosti prvků „wells“ -
Vlastnosti prvků „drains“ -
Od verze Plaxis 2012 je také možné v rovinném řezu standardními plošnými
prvky vypočítat vnitřní síly (provádí se integrace napětí podél řezu na zadané
šířce). To lze s výhodou využít např. pro stanovení vnitřních sil v podzemní
stěně modelované plošnými prvky. V poslední verzi (Plaxis AE) je tato
funkcionalita rozšířena i pro ostění tunelů. Pro grafické zobrazení výsledků lze
využít tři možnosti: View → Contour lines, Shadings, Stress points labels.
Číselné zobrazení výsledků je možné provést pomocí tabulek Tools → Table.
Data lze libovolně seřadit a zkopírovat např. do textového editoru. Informace o
sledované veličině v požadovaném bodě lze získat pomocí příkazu Tools →
Hint box (obr. 2-5).
58
Obr. 2-5 Hint box
Pomocí příkazů Tools → Curves manager lze projít do aplikace Plaxis 2D
Curves. Zde je možné na základě předem vybraných uzlů a napěťových bodů
sestrojovat libovolné grafické závislosti. Pro osy grafu lze volit mezi veličinami
(obr. 3-5) společnými pro celý projekt (Project), deformacemi v uzlech
(Deformations), napětími a rychlostmi proudění v integračních bodech
(Stresses).
Obr. 3-5 Volba veličin na jednotlivých osách grafu – aplikace Plaxis
2D Curves
59
Použitá literatura
[1] BARTLETT, S. F. Modified Cam Clay (MCC) Model - course materials. 2010.
[2] BENZ, T. Small-Strain Stiffness of Soils and its Numerical Consequences: Ph.D. thesis. Geotechnical Institute - Stuttgart University, 2007.
[3] BENZ, T., VERMEER, P. A., SCHWAB, R. A small-strain overlay model. Int. J. Numer. Anal. Meth. Geomech., 2009, vol. 33, p. 25–44.
[4] BISHOP, A. The principle of effective stress. Teknisk Ukeblad, Norwegian Geotechnical Instistute, 1959, vol. 106, no. 39, p. 859–863.
[5] BRINKGREVE, R. B. J., SWOLFS, W. M., ENGIN, E. PLAXIS 2D 2010 - Users Manual. 2010.
[6] BRINKGREVE, R. B. J., SWOLFS, W. M., ENGIN, E. PLAXIS 2D 2011 - Users Manual. 2011.
[7] BRINKGREVE, R. B. J., SWOLFS, W. M., ENGIN, E. PLAXIS 2D 2012 - Users Manual. 2012.
[8] BRINKGREVE, R. B. J. et al., Plaxis 3D Foundation v. 1.5 Manual. 2006
[9] BURD, H. J. The history of PLAXIS. In Beyond 2000 in Computational Geotechnics – 10 Years of PLAXIS International. 1999.
[10] FREDLUND, D. G., RAHARDJO, H., FREDLUND, M. D. Unsaturated Soil Mechanics in Engineering Practice. 2012. ISBN 78-1-118-13359-0.
[11] CHEANG, W. W. L. Plaxis Vietnam Seminar. 2007.
[12] GALAVI, V. A multilaminate model for structured clay incorporating inherent anisotropy and strain softening: Ph.D. thesis. Gruppe Geotechnik Graz: Graz University of Technology, Austria, 2007.
[13] GOODMAN, R. E., TAYLOR, R. L., BREKKE, T. L. A model for the mechanics of jointed rock. Journal of Geotechn. Engng, ASCE, 1968, vol. 94, no. SM 3, p. 637–659.
[14] HOEK, E., CARRANZA-TORRES, C., CORKUM, B. Hoek–Brown failure criterion—2002 edition. In Proceedings of the North American rock mechanics Symposium, Toronto.. 2002,
[15] JAKY, J. The coefficient of earth pressure at rest. J. Soc. Hung. Eng. Arch. (Magyar Mernok es Epitesz-Egylet Kozlonye), 1944, p. 355–358.
[16] KARSTUNEN, M. Numerical Methods of Geotechnics - course materials, 2012.
60
[17] MAŠÍN, D. A hypoplastic constitutive model for clays. International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics, 2005, vol. 29, no. 4, p. 311–336.
[18] MAŠÍN, D. Vývoj a aplikace hypoplastických konstitučních modelů. Geotechnika, 2008, no. 2, p. 3–9.
[19] MIČA, L., CHALMOVSKÝ, J., FIALA, R., RAČANSKÝ, V. Numerická analýza pažení stavebních jam. 2011. ISBN 978-80-7204-773-4.
[20] NEHER, H. P., WEHNERT, M., BONNIER, P. G. An evaluation of soft soil models based on trial embankments. Computer Methods and Advances in Geomechanics, 2001, vol. 1, p. 373–378.
[21] OBRZUD, R., TRUTY, A. The Hardening Soil model – a practical guidebook. Technical report Z_Soil.PC 100701. 2011.
[22] POTTS, D. M., ZDRAVKOVIĆ, L. Finite Element Analysis in Geotechnical Engineering: Volume One - Theory. 1999. ISBN 978-0-7277-2753-4.
[23] PUZRIN, A. M., ALONSO, E. E., PINYOL, N. M. Geomechanics of Failures. 2010. ISBN 978-90-481-3531-8.
[24] SCHANZ, T., VERMEER, P. A., BONNIER, P. G. The hardening soil model: Formulation and verification. In Beyond 2000 in Computational Geotechnics – 10 Years of PLAXIS International. 1999.
[25] SCHARINGER, F. A multilaminate model for soil incorporating small strain stiffness: Ph.D. thesis. Gruppe Geotechnik Graz: Graz University of Technology, Austria, 2012.
[26] SCHÄDLICH, B. A. Multilaminate Constitutive Model for Stiff Soils: Ph.D. thesis. Gruppe Geotechnik Graz: Graz University of Technology, Austria, 2012.
[27] SLOAN, S. W., RANDOLPH, M. F. Numerical prediction of collapse loads using finite element methods. International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics, 1982, vol. 6, no. 1, p. 47–76.
[28] SCHWEIGER, H. F., NASEKHIAN, A. Validation Report of Hoek-Brown Model Implemented in Plaxis. 2009.
[29] TERZAGHI, K. Theoretical Soil Mechanics. 1943. ISBN 978-0-4718-5305-3.
[30] VAN GENUCHTEN, M. T. A Closed-form Equation for Predicting the Hydraulic Conductivity of Unsaturated Soils. Soil Science Society of American Journal, 1980, vol. 44, p. 892–898.
[31] VAN LANGEN, H. Numerical analysis of soil structure interaction: Ph.D. thesis. Delft: University of Technology, 1991.
61
[32] VERMEER, P. A., VERRUIJT, A. An accuracy condition for consolidation by finite elements.International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics, 1981, vol. 5, p. 1–14.
[33] VERMEER, P., MEIER, C. P. Stability and deformations in deep excavations in cohesive soils. Intl. Conf. on Soil-Structure Interaction in Urban Civil Engineering, Darmstadt Geotechnics. 1998.
[34] WATERMAN, D., BROERE, W. Practical Application of the Soft Soil Model. Plaxis Bulletin 15,16, 2004.
[35] WEHNERT, M. Ein Beitrag zur drainierten und undrainierten Analyse in der Geotechnik: Ph.D. thesis. Geotechnical Institute - Stuttgart University, 2006.
[36] WEHNERT, M., VERMEER, P. A. Numerical analyses of load tests on bored piles. In Proceedings of the Ninth International Symposium on 'Numerical Models in Geomechanics - NUMOG IX'. 2004, p. 505–511.
62
Ing. Juraj ChalmovskýISBN 978-80-214-4938-1Brno
