Súbor riešených príkladov z numerickej matematiky s využitím

TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACHLETECKÁ FAKULTA

Katedra aerodynamiky a simulácií

SÚBOR RIEŠENÝCH PRÍKLADOV Z NUMERICKEJMATEMATIKY S VYUŽITÍM APLIKÁCIE MATH

Autori: Kristína BudajováHenrich Glaser-Opitz

Košice 2014

c©RNDr. Kristína Budajová, PhD., Ing. Henrich Glaser-Opitz, 2014

Oponenti: doc. RNDr. Zuzana Hajduová, PhD.RNDr. Július Czap, PhD.

Za odbornú a jazykovú stránku tohoto vysokoškolského učebného textu zodpovedajúautori.Rukopis neprešiel redakčnou ani jazykovou úpravou.Spracované programom LATEX.Vydavateľ: Technická univerzita v Košiciach-Letecká fakultaISBN 978-80-553-1727-4

PredhovorTáto zbierka úloh je napísaná ako doplňujúci učebný text k predmetu Aplikovaná matema-tika pre prvý ročník inžinierskeho štúdia na Leteckej fakulte Technickej univerzity v Koši-ciach. Daný predmet sa skladá z dvoch odlišných oblastí matematiky: numerických metód,ktorých cieľom je predstaviť základy numerického riešenia úloh a zo štatistiky. Táto zbierkaje súbor príkladov z numerických metód, kde každý príklad je obohatený o čiastkové vý-počty vypočítané pomocou aplikácie MATH. Aplikácia MATH pomôže skontrolovať ručneprepočítané príklady, tzn. študent vie ľahko zistiť, či a kde spravil akú chybu. Aplikáciana rozdiel od iných aplikácii zobrazuje všetky čiastkové výpočty potrebné k vypočítaniudaného príkladu. Študenti by po absolvovaní predmetu mali byť schopní numericky riešiťnelineárne rovnice a sústavy lineárnych rovníc, aproximovať dané body pomocou metódynajmenších štvorcov a interpolačných polynómov, používať vzorce numerickej integrácie.Oblasti, na ktoré sme sa zamerali boli vybraté na základe požiadaviek odborných katedier.Aplikácia MATH bola vytvorená ako súčasť tejto zbierky úloh. Je dostupná na webstránkehttps://sites.google.com/site/mathnumapp/.

Zbierka je písaná formou, ktorá by mala byť prístupná študentom. Snažili sme sa o zro-zumiteľnosť a aj keď by si všetky kapitoly zaslúžili omnoho obsiahlejší teoretický úvod,rozhodli sme sa, venovať teórii osobitne v učebnici Vybrané kapitoly z Aplikovanej mate-matiky pre leteckých inžinierov [2].

Táto učebnica je k dispozícii na CD a na webovom sídle KAaS LF TUKE.Touto cestou sa chceme poďakovať recenzentom RNDr. Júliusovi Czapovi, PhD. a doc.

RNDr. Zuzane Hajduovej, PhD. za starostlivé prečítanie a cenné pripomienky k učebnémutextu. V neposlednom rade tiež ďakujeme Mgr. Jánovi Bušovi, PhD. (ml.) za odporúčania,ktoré nám dal k formálnej úprave zbierky a tiež za pomoc pri písaní v programe LATEX.

Autori

3

Obsah

1 Numerické riešenia nelineárnych rovníc 101.1 Metóda bisekcie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2 Metóda prostej iterácie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.3 Metóda regula falsi (metóda tetív) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.4 Newtonova metóda (metóda dotyčníc) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361.5 Metóda sečníc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2 Numerické riešenie sústav lineárnych rovníc 552.1 Jacobiho metóda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3 Metóda najmenších štvorcov 603.1 Aproximácia priamkou . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.2 Aproximácia parabolou . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4 Numerické derivovanie 654.1 Vzorce pre numerické derivovanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5 Numerické riešenia určitých integrálov 695.1 Obdĺžniková metóda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 695.2 Lichobežníková metóda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 775.3 Simpsonova metóda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 855.4 Metóda Monte Carlo (Hit or Miss) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 965.5 Metóda Monte Carlo (priemerovacia) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1005.6 Metóda Monte Carlo pre dvojné integrály. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

4

Zoznam obrázkov

Obr 1.1 Prienik funkcií f(x) = x3 a g(x) = 4x− 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Obr 1.2 Prienik funkcií g(x) = ln(x) a h(x) = 1

x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Obr 1.3 Prienik funkcií g(x) = ex a h(x) = 9− x2. . . . . . . . . . . . . . . . . . 13Obr 1.4 Prienik funkcií g(x) = x3 a h(x) = 4− x2. . . . . . . . . . . . . . . . . . 15Obr 1.5 Prienik funkcií g(x) = x3 a h(x) = x+ 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17Obr 1.6 Graf funkcie f(x) = 3

√x+ 1 na intervale 〈0; 1,5〉. . . . . . . . . . . . . . 18

Obr 1.7 Graf funkcie f(x) = 13 · (x+ 1)−

23 na intervale 〈0; 1,5〉. . . . . . . . . . . 19

Obr 1.8 Prienik funkcií g(x) = x4 a h(x) = 3x2 − 4x+ 1. . . . . . . . . . . . . . . 20Obr 1.9 Graf funkcie f(x) = 1

4 · (−x4 + 3x2 + 1) na intervale 〈0, 1〉. . . . . . . . . 21

Obr 1.10 Graf funkcie f(x) = 14 · (−4x3 + 6x) na intervale 〈0, 1〉. . . . . . . . . . . 21

Obr 1.11 Prienik funkcií g(x) = 2,2x a h(x) = 2x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23Obr 1.12 Graf funkcie f(x) = 2x

2,2 na intervale 〈0, 3〉. . . . . . . . . . . . . . . . . . 24Obr 1.13 Graf funkcie f(x) = 1

2,2 · 2x · ln 2 na intervale 〈0, 1〉. . . . . . . . . . . . . 24

Obr 1.14 Graf funkcie f(x) = ln(2,2x)ln(2) na intervale 〈2, 3〉. . . . . . . . . . . . . . . . 26

Obr 1.15 Graf funkcie f(x) = 1ln 2 ·

12,2x · 2,2 na intervale 〈2, 3〉. . . . . . . . . . . . 27

Obr 1.16 Prienik funkcií g(x) = ex a h(x) = 3x2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28Obr 1.17 Graf funkcie f(x) = ex − 6x na intervale 〈−1,5; 1,5〉. . . . . . . . . . . . 30Obr 1.18 Priesečník funkcií g(x) = ex−1 a h(x) = sin(2x). . . . . . . . . . . . . . . 31Obr 1.19 Graf funkcie f(x) = 2 cos(2x)− ex−1 na intervale 〈0, 1〉. . . . . . . . . . . 33Obr 1.20 Prienik funkcií g(x) = x3 a h(x) = 5− 3x. . . . . . . . . . . . . . . . . . 34Obr 1.21 Graf funkcie f(x) = 3x2 + 3 na intervale 〈0,5; 1,5〉. . . . . . . . . . . . . 35Obr 1.22 Priesečník funkcií g(x) = ex a h(x) = 9− x2. . . . . . . . . . . . . . . . . 37Obr 1.23 Graf funkcie f(x) = 2x+ ex na intervale 〈−3, 2〉. . . . . . . . . . . . . . 37Obr 1.24 Graf funkcie f(x) = 2 + ex na intervale 〈−3, 2〉. . . . . . . . . . . . . . . 38Obr 1.25 Prienik funkcií g(x) = x3 a h(x) = 1− x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40Obr 1.26 Graf funkcie f(x) = 3x2 + 1 na intervale 〈0, 1〉. . . . . . . . . . . . . . . 41Obr 1.27 Graf funkcie f(x) = 6x na intervale 〈0, 1〉. . . . . . . . . . . . . . . . . . 42Obr 1.28 Prienik funkcií g(x) = x3 a h(x) = sin(x). . . . . . . . . . . . . . . . . . 43Obr 1.29 Graf funkcie f(x) = 3x2 − cos(x) na intervale 〈−1,5; 1,5〉. . . . . . . . . . 44Obr 1.30 Graf funkcie f(x) = 6x+ sin(x) na intervale 〈−1,5; 1,5〉. . . . . . . . . . 44Obr 1.31 Prienik funkcií g(x) = cos(x) a h(x) = −2 sin(x)− x2. . . . . . . . . . . 47Obr 1.32 Graf funkcie f(x) = − sin(x) + 2 cos(x) + 2x na intervale 〈−2,−1〉. . . . 49Obr 1.33 Prienik funkcií g(x) = 3x a h(x) = ex − sin(x). . . . . . . . . . . . . . . . 49Obr 1.34 Graf funkcie f(x) = 3 + cos(x)− ex na intervale 〈0, 3〉. . . . . . . . . . . 51Obr 1.35 Prienik funkcií g(x) = x4 a h(x) = x+ 10. . . . . . . . . . . . . . . . . . 52Obr 1.36 Graf funkcie f(x) = 4x3 − 1 na intervale 〈−2, 2〉. . . . . . . . . . . . . . 53

5

ZOZNAM OBRÁZKOV ZOZNAM OBRÁZKOV

Obr 3.1 Grafické znázornenie lineárneho modelu y = −1,3082 + 0,8543x. . . . . . 62Obr 3.2 Grafické znázornenie kvadratického modelu y = 1 + 3x+ 2x2. . . . . . . 63Obr 3.3 Grafické znázornenie kvadratického modelu y = −1,5714 + 3,1429x+ 2x2. 64

Obr 4.1 Numerický výpočet prvej derivácie funkcie f(x) = x3 + 4x2 v bode x = 2. 66Obr 4.2 Grafické znázornenie dotyčnice funkcie f(x) = x3 + 4x2 v bode x = 2. . . 67Obr 4.3 Numerický výpočet tretej derivácie funkcie f(x) = ln (x2 + 1) v bode x = 4. 67Obr 4.4 Numerický výpočet druhej derivácie funkcie f(x) = ex − 3x2 v bode x = 5. 68

Obr 5.1 Graf funkcie f(x) = 1x2+1 na intervale 〈−1, 3〉. . . . . . . . . . . . . . . . 70

Obr 5.2 Graf funkcie f(x) = 6x2−2(x2+1)3 na intervale 〈−1, 3〉. . . . . . . . . . . . . . . 71

Obr 5.3 Grafické znázornenie∫ 3−1

1x2+1dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

Obr 5.4 Graf funkcie f(x) = x2 − x+√x na intervale 〈1, 4〉. . . . . . . . . . . . . 73

Obr 5.5 Graf funkcie f(x) = 8√x5−x

4√x5 na intervale 〈1, 4〉. . . . . . . . . . . . . . . . 73

Obr 5.6 Grafické znázornenie∫ 4

1 (x2 − x+√x) dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

Obr 5.7 Graf funkcie f(x) = x√x2−15 na intervale 〈4, 8〉. . . . . . . . . . . . . . . . 75

Obr 5.8 Graf funkcie f(x) = 45x7−2025x5+30375x3−151875x√(x2−15)11 na intervale 〈4, 8〉. . . . . . 76


4x√

x2−15dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78Obr 5.10 Graf funkcie f(x) = sin3(x) na intervale 〈0, π〉. . . . . . . . . . . . . . . . 79Obr 5.11 Graf funkcie f(x) = −3 sin3(x) + 6 sin(x) cos2(x) na intervale 〈0, π〉. . . . 79Obr 5.12 Grafické znázornenie

∫ π0 sin3(x)dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

Obr 5.13 Graf funkcie f(x) = xcos2(x) na intervale

⟨0, π4

⟩. . . . . . . . . . . . . . . . 81

Obr 5.14 Graf funkcie f(x) = 4 sin(x) cos(x)+2x cos2(x)+6x sin2(x)cos4(x) na intervale

⟨0, π4

⟩. . . . 82

Obr 5.15 Grafické znázornenie∫ π

40

xcos2(x)dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

Obr 5.16 Graf funkcie f(x) = 1 + sin2(2x) na intervale⟨0, π2

⟩. . . . . . . . . . . . 84

Obr 5.17 Graf funkcie f(x) = 8 cos2(2x)− 8 sin2(2x) na intervale⟨0, π2

⟩. . . . . . . 86

Obr 5.18 Grafické znázornenie∫ π

20 1 + sin2(2x)dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

Obr 5.19 Graf funkcie f(x) = ln (1 + x2) na intervale 〈0; 1,2〉. . . . . . . . . . . . . 88Obr 5.20 Graf funkcie f(x) = −12x4−72x2+12

(1+x2)4 na intervale 〈0; 1,2〉. . . . . . . . . . . 88Obr 5.21 Grafické znázornenie

∫ 1,20 ln (1 + x2) dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

Obr 5.22 Graf funkcie f(x) = x ln(x2) na intervale 〈1, 2〉. . . . . . . . . . . . . . . 90Obr 5.23 Graf funkcie f(x) = 4

x3 na intervale 〈1, 2〉. . . . . . . . . . . . . . . . . . 91Obr 5.24 Grafické znázornenie

∫ 21 x ln(x2)dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

Obr 5.25 Graf funkcie f(x) = (ex + 1)3 e2x na intervale 〈0, 1〉. . . . . . . . . . . . . 93Obr 5.26 Graf funkcie f(x) = 625e5x + 768e4x + 243e3x + 16e2x na intervale 〈0, 1〉. 94Obr 5.27 Grafické znázornenie

∫ 10 (ex + 1)3 e2xdx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95


41√x−1dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98


0x√

1+3xdx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

6

ZOZNAM OBRÁZKOV ZOZNAM OBRÁZKOV


1e

1x

x2 dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101Obr 5.31 Grafické znázornenie

∫ 10 xe−xdx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103


0 ln (1 + x2) dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104Obr 5.33 Grafické znázornenie

∫ 10 (2x+ 1) e2xdx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

7

Zoznam tabuliek

Tab 1.1 Výpočet koreňa rovnice x · ln(x)− 1 = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . 12Tab 1.2 Výpočet záporného koreňa rovnice x2 − 9 + ex = 0. . . . . . . . . . . . . 14Tab 1.3 Výpočet kladného koreňa rovnice x2 − 9 + ex = 0 . . . . . . . . . . . . . 15Tab 1.4 Výpočet koreňa rovnice x3 + x2 − 4 = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16Tab 1.5 Výpočet koreňa rovnice x3 − x− 1 = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19Tab 1.6 Výpočet kladného koreňa rovnice x4 − 3x2 + 4x− 1 = 0. . . . . . . . . . 22Tab 1.7 Výpočet koreňa rovnice 2,2x− 2x = 0 z intervalu (0, 1). . . . . . . . . . 25Tab 1.8 Výpočet koreňa rovnice 2,2x− 2x = 0 z intervalu (2, 3). . . . . . . . . . 27Tab 1.9 Výpočet koreňa rovnice ex − 3x2 = 0 z intervalu (−1,5;−0,25). . . . . . 29Tab 1.10 Výpočet koreňa rovnice ex − 3x2 = 0 z intervalu (0,5; 1,5). . . . . . . . . 30Tab 1.11 Výpočet koreňa rovnice sin(2x)− ex−1 = 0 z intervalu (0; 0,5). . . . . . . 32Tab 1.12 Výpočet koreňa rovnice sin(2x)− ex−1 = 0 z intervalu (0,7; 1). . . . . . . 33Tab 1.13 Výpočet koreňa rovnice x3 + 3x− 5 = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35Tab 1.14 Výpočet koreňa rovnice x2 − 9 + ex = 0 z intervalu (−3,−2). . . . . . . 38Tab 1.15 Výpočet koreňa rovnice x2 − 9 + ex = 0 z intervalu (1, 2). . . . . . . . . 39Tab 1.16 Výpočet koreňa rovnice x3 + x− 1 = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42Tab 1.17 Výpočet najmenšieho koreňa rovnice x3 − sin(x) = 0. . . . . . . . . . . . 45Tab 1.18 Výpočet najväčšieho koreňa rovnice x3 − sin(x) = 0. . . . . . . . . . . . 46Tab 1.19 Výpočet koreňa rovnice cos(x) + 2 sin(x) + x2 = 0 z intervalu (−2,−1). . 48Tab 1.20 Výpočet koreňa rovnice 3x+ sin(x)− ex = 0 z intervalu (0, 1). . . . . . . 50Tab 1.21 Výpočet koreňa rovnice 3x+ sin(x)− ex = 0 z intervalu (1,5; 3). . . . . . 51Tab 1.22 Výpočet koreňa rovnice x4 − x− 10 = 0 z intervalu (−2,−1). . . . . . . 53Tab 1.23 Výpočet koreňa rovnice x4 − x− 10 = 0 z intervalu (1, 2). . . . . . . . . 54

Tab 2.1 Výpočet riešenia sústavy lineárnych rovníc. . . . . . . . . . . . . . . . . 58

Tab 3.1 Funkcia daná tabuľkou. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61Tab 3.2 Pomocné hodnoty pri výpočte matice sústavy. . . . . . . . . . . . . . . . 61Tab 3.3 Funkcia daná tabuľkou. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62Tab 3.4 Pomocné hodnoty pri výpočte matice sústavy. . . . . . . . . . . . . . . . 63Tab 3.5 Funkcia daná tabuľkou. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64Tab 3.6 Pomocné hodnoty pri výpočte matice sústavy. . . . . . . . . . . . . . . . 64

Tab 5.1 Výpočet integrálu∫ 3−1

1x2+1dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

Tab 5.2 Výpočet integrálu∫ 4

1 (x2 − x+√x) dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74


4x√

x2−15dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77Tab 5.4 Výpočet integrálu

∫ π0 sin3(x)dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

8

ZOZNAM TABULIEK ZOZNAM TABULIEK

Tab 5.5 Výpočet integrálu∫ π

40

xcos2(x)dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

Tab 5.6 Výpočet integrálu∫ π

20 1 + sin2(2x)dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

Tab 5.7 Výpočet integrálu∫ 1,2

0 ln (1 + x2) dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89Tab 5.8 Výpočet integrálu

∫ 21 x ln(x2)dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92


0 (ex + 1)3 e2xdx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94Tab 5.10 Výpočet integrálu

∫ 94

1√x−1dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97


0x√

1+3xdx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99


1e

1x

x2 dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100Tab 5.13 Výpočet integrálu

∫ 10 xe−xdx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102


0 ln (1 + x2) dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103Tab 5.15 Výpočet integrálu

∫ 10 (2x+ 1) e2xdx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

Tab 5.16 Výpočet dvojného integrálu∫ 4

1∫ 3−2 x

2yd ydx. . . . . . . . . . . . . . . . . 107Tab 5.17 Výpočet dvojného integrálu

∫ 40∫ 5

0√xyd ydx. . . . . . . . . . . . . . . . 108

Tab 5.18 Výpočet dvojného integrálu∫ 1

0∫ 1

0 ex+yd ydx. . . . . . . . . . . . . . . . . 108

9

1 Numerické riešenia nelineárnych rovnícV tejto kapitole sa budeme zaoberať riešením nelineárnej rovnice

f(x) = 0,

t.j. hľadaním reálneho čísla α ∈ R takého, že f (α) = 0.Najskôr zistíme koľko koreňov daná rovnica má, potom separujeme korene a nakoniec

ich aproximujeme.Pod separáciou koreňov rovnice f(x) = 0 rozumieme určenie intervalov, ktoré obsahujú

práve jeden koreň rovnice.Pod aproximáciou rozumieme spôsob hľadania približnej hodnoty koreňa α tejto rovnice

v intervale, v ktorom leží tento koreň.Väčšinou požadujeme aby približná hodnota aproximovala koreň α s vopred danou

presnosťou.Pri hľadaní koreňov je nápomocná nasledujúca vlastnosť spojitej funkcie:Ak hodnoty funkcie y = f(x) v koncových bodoch intervalu 〈a, b〉 nadobúdajú opačné

znamienka, tzn. že platí f(a) · f(b) < 0, tak existuje číslo α ∈ 〈a, b〉 také, že f(α) = 0, tedaje koreňom rovnice f(x) = 0.

Pri zisťovaní počtu a polohy koreňov je dobré preskúmať vlastnosti funkcie a načŕtnuťjej graf. V niektorých prípadoch je možné prepísať rovnicu f(x) = 0 na tvar g(x) == h(x), pričom grafy funkcií y = g(x) a y = h(x) vieme načrtnúť. Potom x-ové súradnicepriesečníkov grafov y = g(x) a y = h(x) sú korene rovnice f(x) = 0.

Príklad 1 Zistime počet koreňov rovnice x3−4x+1 = 0 a tiež, v ktorých intervaloch ležia.

Riešenie: Zadanú rovnicu prepíšeme napríklad x3 = 4x − 1 a pomocou aplikácie MATHvykreslíme grafy funkcií y = x3 a y = 4x− 1.

Z obr. 1.1 vidíme, že rovnica má 3 korene. Tieto korene sú x-ové súradnice priesečníkovfunkcií y = x3 a y = 4x−1. Navyše vidíme, že korene rovnice ležia v intervaloch α1 ∈ (0, 1),α2 ∈ (1, 2) a α3 ∈ (−3,−2).

1.1 Metóda bisekcieIde o metódu, ktorá sa v praxi často používa. Aby bolo možné metódu použiť musiabyť splnené nasledujúce podmienky. Prvou je, aby funkcia f(x) bola spojitá na zvolenomintervale a druhou, aby funkčné hodnoty v koncových bodoch zvoleného intervalu maliopačné znamienka, t.j. musí platiť f(a0) · f(b0) < 0. Ak sú obidve podmienky splnené,tak táto metóda vždy konverguje. Princíp metódy spočíva v poltení intervalu. Polohukoreňa zisťujeme rozpolením intervalu 〈ai, bi〉 a zistením, v ktorej časti koreň leží. Zmenšený

10

1.1 Metóda bisekcie Numerické riešenia nelineárnych rovníc

Obr. 1.1: Prienik funkcií f(x) = x3 a g(x) = 4x− 1.

interval, v ktorom koreň leží môžeme ďalej poltiť a tak zvyšovať presnosť výsledku. Z tohopostupu je zrejmé, že čím viac krát interval rozpoltíme, tým presnejší výsledok dostaneme.

Na výpočet k−tej aproximácie používame vzorec

xk = ak + bk2 .

Výpočet ukončíme, keď f(xk) = 0, vtedy xk je koreň rovnice f(x) = 0 alebo keď|ak − bk| < 2ε a potom xk je aproximácia koreňa α s presnosťou ε > 0.

Pre odhad chyby po k−tej aproximácii platí

EB = |xk − α| 5b− a2k+1 .

Príklad 2 Metódou bisekcie s presnosťou ε = 0,001 vypočítajme koreň rovnice f(x) == x · ln(x)− 1 = 0.

Riešenie: Najskôr urobíme grafický odhad koreňov pomocou aplikácie MATH pozri obr. 1.2,kde g(x) = ln(x) a h(x) = 1

x.

Grafy týchto funkcií majú jeden spoločný bod, ktorého x-ová súradnica je z intervalu(1, 2). Skutočne f(1) · f(2) < 0, čo znamená, že v danom intervale leží reálny koreň danejrovnice. Môžeme teda použiť metódu bisekcie.

Použitím aplikácie MATH dostaneme všetky čiastkové výpočty a jednoducho môžemeodsledovať postupné delenie nami zvoleného počiatočného intervalu, pozri tabuľku 1.1.

11


Obr. 1.2: Prienik funkcií g(x) = ln(x) a h(x) = 1x.

Tabuľka 1.1: Výpočet koreňa rovnice x · ln(x)− 1 = 0.

12


Obr. 1.3: Prienik funkcií g(x) = ex a h(x) = 9− x2.

Pretože (1,763671875 − 1,76171875) < 2 · 0,001 a f(1,76171875) · f(1,763671875) < 0môžeme aproximovať koreň pomocou

x9 = a9 + b9

2 = 1,7617875 + 1,7636718752 = 1,7626953125.

Všimnime si, akým spôsobom dochádza k výpočtu ak+1 a bk+1, v závislosti od znamienokpri funkčných hodnotách f(ak), f(bk) a f(xk).

Pre odhad chyby platí

EB 5b− a2k+1 = 2− 1

29+1 = 0,000976562.

Chyba vlastne predstavuje polovicu intervalu pri ktorom sme skončili delenie, keďže toje maximálna možná odchýlka od reálneho koreňa. Naša vypočítaná chyba je menšia akopožadovaná presnosť, teda zadanie sme splnili.

Príklad 3 Metódou bisekcie s presnosťou ε = 10−5 vypočítajme koreň rovnice f(x) == x2 − 9 + ex = 0.

Riešenie: Najskôr urobíme grafický odhad koreňov pomocou aplikácie MATH, pozri obr. 1.3,kde g(x) = ex a h(x) = 9− x2.

Grafy týchto funkcií majú dva spoločné body, ktorých x-ové súradnice sú z intervalov(−3,−2) a (1, 2). Skutočne f(−3) · f(−2) < 0 a f(1) · f(2) < 0, čo znamená, že v danýchintervaloch ležia reálne korene danej rovnice. Môžeme teda použiť metódu bisekcie.

13


Tabuľka 1.2: Výpočet záporného koreňa rovnice x2 − 9 + ex = 0.

Použitím aplikácie MATH vypočítame najskôr záporný koreň, pozri tabuľku 1.2 a po-tom kladný koreň, pozri tabuľku 1.3.

Záporný koreň má hodnotu x16 = −2,9916152954.Pre odhad chyby platí

EB 5b− a2k+1 = −2− (−3)

216+1 = 7,62939 · 10−6.

Hodnota kladného koreňa je x16 = 1,7695999146.Pre odhad chyby platí

EB 5b− a2k+1 = −2− (−3)

216+1 = 7,62939 · 10−6.

V oboch prípadoch bola splnená požadovaná presnosť výpočtu. To, že v oboch prípa-doch nám vyšla rovnaká chyba je spôsobené tým, že veľkosť počiatočného intervalu bolarovnaká a koreň sme našli po rovnakom počte delení daného intervalu.

Príklad 4 Pomocou metódy bisekcie riešme rovnicu f(x) = x3 + x2 − 4 = 0. Urobme 8krokov delenia intervalu a vypočítajme odhad chyby po 8. kroku.

Riešenie: Najskôr urobíme grafický odhad koreňov pomocou aplikácie MATH, pozri obr. 1.4,kde g(x) = x3 a h(x) = 4− x2.

14


Tabuľka 1.3: Výpočet kladného koreňa rovnice x2 − 9 + ex = 0

Obr. 1.4: Prienik funkcií g(x) = x3 a h(x) = 4− x2.

15

1.2 Metóda prostej iterácie Numerické riešenia nelineárnych rovníc

Tabuľka 1.4: Výpočet koreňa rovnice x3 + x2 − 4 = 0.

Grafy týchto funkcií majú jeden spoločný bod, ktorého x-ová súradnica je z intervalu(1, 2). Skutočne f(1) · f(2) < 0, čo znamená, že v danom intervale leží reálny koreň danejrovnice.

Použitím aplikácie MATH vypočítame koreň po 8. krokoch delenia nami zvolenéhopočiatočného intervalu, pozri tabuľku 1.4.

Koreň po 8. kroku je x8 = 1,314453125.Pre odhad chyby platí

EB 5b− a2k+1 = 2− 1

28+1 = 0,001953125.

Ak by bolo zadanie príkladu vypočítajme koreň rovnice s chybou ε = 0,002, vypočítaliby sme koreň s danou chybou po 8. krokoch delenia rovnakého počiatočného intervalu.

1.2 Metóda prostej iteráciePri metóde prostej iterácie sa rovnica f(x) = 0 nahradí ekvivalentnou rovnicou x = ϕ(x)(je to upravená rovnica f(x) = 0). Funkciu ϕ(x) nazývame iteračnou funkciou. Zvolí sapočiatočná aproximácia koreňa x0 rovnice a ďalšia aproximácia sa vypočíta podľa vzťahu

xk = ϕ(xk−1), pre k = 1, 2, . . . .

16


Obr. 1.5: Prienik funkcií g(x) = x3 a h(x) = x+ 1.

Výpočet zastavíme, keď f(xk) = 0, potom xk je koreňom rovnice alebo keď |xk − xk−1| 55 ε, kde ε > 0 je presnosť, a xk je potom hľadanou aproximáciou koreňa α.

Konvergencia metódy a pracnosť výpočtu závisia od vhodne zvolenej iteračnej funkciea na počiatočnej aproximácii.

Podmienky konvergencie tejto metódy sú:

1. funkcia ϕ(x) je na zvolenom intervale 〈a, b〉 spojitá a zobrazuje ho do seba, teda∀x ∈ 〈a, b〉 aj ϕ(x) ∈ 〈a, b〉,

2. existuje spojitá derivácia ϕ′(x) na intervale (a, b) a číslo λ ∈ 〈0, 1) také, že |ϕ′(x)| 5 λpre ľubovoľné x ∈ (a, b).

Pre odhad chyby pri tejto metóde po k-tej aproximácii platí

EPI = |xk − α| 5λ

1− λ |xk − xk−1| .

Príklad 5 Metódou prostej iterácie vypočítajme reálny koreň rovnice f(x) = x3−x−1 = 0s presnosťou ε = 0,005.

Riešenie: Najskôr urobíme grafický odhad koreňov pomocou aplikácie MATH, pozri obr. 1.5,kde g(x) = x3 a h(x) = x+ 1.

Grafy týchto funkcií majú jeden spoločný bod, ktorého x-ová súradnica je z intervalu(0; 1,5). Skutočne f(0) · f(1,5) < 0, čo znamená, že v danom intervale leží reálny koreňdanej rovnice.

17


Obr. 1.6: Graf funkcie f(x) = 3√x+ 1 na intervale 〈0; 1,5〉.

Potrebujeme vhodne zvoliť iteračnú funkciu. Danú rovnicu môžeme prepísať niekoľkýmispôsobmi a to x = 1 − x3 a x = 3

√x+ 1. Iteračná funkcia musí spĺňať podmienky 1. a 2..

Tieto podmienky sú splnené pre funkciu ϕ(x) = 3√x+ 1, lebo:

pre každé x ∈ 〈0; 1,5〉 platí3√x+ 1 ∈

⟨3√

1; 3√

2,5⟩⊆ 〈0; 1,5〉 , pozri obr. 1.6

a|ϕ′(x)| = 1

3 · (x+ 1)−23 5

13 = sup |ϕ′(x)| = λ, pozri obr. 1.7.

Na určenie približnej hodnoty koreňa teda použijeme iteračný predpis

xk = 3√xk−1 + 1.

Ako počiatočnú aproximáciu môžeme zvoliť ľubovoľné číslo z intervalu 〈0; 1,5〉. Čímbližšie sa bude toto číslo nachádzať pri koreni rovnice, tým menší počet krokov bude po-trebných na dosiahnutie potrebnej presnosti. Pre tento konkrétny prípad si zvolíme započiatočnú aproximáciu číslo x0 = 1,5.

Hodnoty jednotlivých aproximácii nájdeme v tabuľke 1.5.Vidíme, že hľadaný koreň má hodnotu x3 = 1,325879165.Pre odhad chyby platí

EPI = |x3 − α| 5λ

1− λ |x3 − x2| ≈13

1− 13|1,32588− 1,330856| ≈ 0,00248857.

18


Obr. 1.7: Graf funkcie f(x) = 13 · (x+ 1)−

23 na intervale 〈0; 1,5〉.

Tabuľka 1.5: Výpočet koreňa rovnice x3 − x− 1 = 0.

19


Obr. 1.8: Prienik funkcií g(x) = x4 a h(x) = 3x2 − 4x+ 1.

Vypočítaný odhad chyby je menší ako zadaná presnosť, teda zadanie sme splnili.

Príklad 6 Metódou prostej iterácie vypočítajme kladný koreň rovnice f(x) = x4−3x2+4x−1 == 0 s presnosťou ε = 0,001.

Riešenie: Najskôr urobíme grafický odhad koreňov pomocou aplikácie MATH, pozri obr. 1.8,kde g(x) = x4 a h(x) = 3x2 − 4x+ 1.

Grafy týchto funkcií majú dva spoločné body, ale iba jeden z nich má kladnú x-ovúsúradnicu a tá je z intervalu (0, 1). Skutočne f(0) · f(1) < 0, čo znamená, že v danomintervale leží kladný koreň danej rovnice.

Potrebujeme vhodne zvoliť iteračnú funkciu. Danú rovnicu môžeme prepísať niekoľkýmispôsobmi. Jedným z vyjadrení je napríklad x = −x4+3x2+1

4 . Iteračná funkcia musí spĺňaťpodmienky 1. a 2.. Tieto podmienky sú splnené pre funkciu ϕ(x) = −x4+3x2+1

4 , lebo:pre každé x ∈ 〈0, 1〉 platí

−x4 + 3x2 + 14 ∈

⟨14 ,

34

⟩⊆ 〈0, 1〉 , pozri obr. 1.9

a

|ϕ′(x)| = 14 ·(−4x3 + 6x

)< 0,707089 = sup |ϕ′(x)| = λ, pozri obr. 1.10.

20


Obr. 1.9: Graf funkcie f(x) = 14 · (−x

4 + 3x2 + 1) na intervale 〈0, 1〉.

Obr. 1.10: Graf funkcie f(x) = 14 · (−4x3 + 6x) na intervale 〈0, 1〉.

21


Tabuľka 1.6: Výpočet kladného koreňa rovnice x4 − 3x2 + 4x− 1 = 0.


xk = −x4k−1 + 3x2

k−1 + 14 .

Ako počiatočnú aproximáciu si môžeme zvoliť ľubovoľné číslo z intervalu 〈0, 1〉. Čímbližšie sa bude toto číslo nachádzať pri koreni rovnice, tým menší počet krokov bude po-trebných na dosiahnutie potrebnej presnosti. Pre tento konkrétny prípad si zvolíme započiatočnú aproximáciu číslo x0 = 0,5.

Hodnoty jednotlivých aproximácii nájdeme v tabuľke 1.6.Vidíme, že hľadaný koreň má hodnotu x9 = 0,3278426985.Pre odhad chyby platí

EPI = |x9 − α| 5λ

1− λ |x9 − x8| ≈0,707089

1− 0,707089 |0,327843− 0,328106| ≈ 0,00063487.


Príklad 7 Metódou prostej iterácie vypočítajme reálne korene rovnice f(x) = 2,2x−2x = 0s presnosťou ε = 0,00001.

Riešenie: Najskôr urobíme grafický odhad koreňov pomocou aplikácie MATH, pozri obr. 1.11,kde g(x) = 2,2x a h(x) = 2x.

22


Obr. 1.11: Prienik funkcií g(x) = 2,2x a h(x) = 2x.

Grafy týchto funkcií majú dva spoločné body, ktorých x-ové súradnice sú z intervalov(0, 1) a (2, 3). Skutočne f(0)·f(1) < 0 a f(2)·f(3) < 0, čo znamená, že v daných intervalochležia reálne korene danej rovnice.

Potrebujeme vhodne zvoliť iteračnú funkciu. Danú rovnicu môžeme prepísať niekoľkýmispôsobmi. Jedným z nich je aj x = 2x

2,2 . Iteračná funkcia musí spĺňať podmienky 1. a 2..Tieto podmienky sú splnené pre funkciu ϕ(x) = 2x

2,2 , lebo:pre každé x ∈ 〈0, 1〉 platí

2x2,2 ∈

⟨20

2,2; 21

2,2

⟩=⟨

12,2; 1

2,2

⟩⊆ 〈0, 1〉 , pozri obr. 1.12

a|ϕ′(x)| = 1

2,2 · 2x · ln 2 < 0,630134 = sup |ϕ′(x)| = λ, pozri obr. 1.13.


xk = 2xk−1

2,2 .

Ako počiatočnú aproximáciu môžeme zvoliť ľubovoľné číslo z intervalu 〈0, 1〉. Čím bližšiesa bude toto číslo nachádzať pri koreni rovnice, tým menší počet krokov bude potrebnýchna dosiahnutie potrebnej presnosti. Pre tento konkrétny prípad si zvolíme za počiatočnúaproximáciu číslo x0 = 0,5.

23


Obr. 1.12: Graf funkcie f(x) = 2x2,2 na intervale 〈0, 3〉.

Obr. 1.13: Graf funkcie f(x) = 12,2 · 2

x · ln 2 na intervale 〈0, 1〉.

24


Tabuľka 1.7: Výpočet koreňa rovnice 2,2x− 2x = 0 z intervalu (0, 1).

Hodnoty jednotlivých aproximácii vidíme v tabuľke 1.7.Proces bol ukončený v 17. kroku, lebo vypočítaná chyba bola menšia ako požadovaná

presnosť. Hľadaný koreň má hodnotu x17 = 0,7811136159.Pre odhad chyby platí

EPI = |x17 − α| 5λ

1− λ |x17 − x16| ≈0,630134

1− 0,630134 |0,781114− 0,781108| ≈ 9,84392·10−6.

Odhad chyby je menší ako zadaná presnosť, teda zadanie sme splnili.

Pre výpočet druhého koreňa je nutné zmeniť iteračnú funkciu, lebo pôvodná nespĺňa 1.podmienku konvergencie na danom intervale. Ľahko to vidno, lebo

2x2,2 ∈

⟨22

2,2; 23

2,2

⟩=⟨

42,2; 8

2,2

⟩* 〈2, 3〉 , pozri obr. 1.12.

Ďalšia možnosť ako môžeme vyjadriť x z pôvodnej rovnice je x = ln(2,2x)ln(2) . Skúsme overiť,

či môžeme funkciu ϕ(x) = ln(2,2x)ln(2) použiť ako iteračnú funkciu.

Pre každé x ∈ 〈2, 3〉 platí

ln(2,2x)ln(2) ∈

⟨ln(4,4)ln(2) ; ln(6,6)

ln(2)

⟩= 〈2,1375; 2,272247〉 ⊆ 〈2, 3〉 , pozri obr. 1.14

25

1.3 Metóda regula falsi (metóda tetív) Numerické riešenia nelineárnych rovníc

Obr. 1.14: Graf funkcie f(x) = ln(2,2x)ln(2) na intervale 〈2, 3〉.

a|ϕ′(x)| = 1

ln 2 ·1

2,2x · 2,2 < 0,721348 = sup |ϕ′(x)| = λ, pozri obr. 1.15.


xk = ln(2,2xk−1)ln(2) .

Ako počiatočnú aproximáciu môžeme zvoliť ľubovoľné číslo z intervalu 〈2, 3〉. Pre tentokonkrétny príklad zvolíme číslo x0 = 2,5.

Hodnoty jednotlivých aproximácii vidíme v tabuľke 1.8.Hľadaný koreň je x20 = 2,4013515617.Pre odhad chyby platí

EPI = |x20 − α| 5λ

1− λ |x20 − x19| ≈0,721348

1− 0,721348 |2,4013516− 2,4013539| ≈ 6,05848·10−6.


1.3 Metóda regula falsi (metóda tetív)Princíp metódy je podobný ako pri bisekcii. Postupne zužujeme interval (a, b), v ktoromsa nachádza koreň rovnice. Deliacim bodom ale nie je stred intervalu, ale priesečník tetivy,

26


Obr. 1.15: Graf funkcie f(x) = 1ln 2 ·

12,2x · 2,2 na intervale 〈2, 3〉.

Tabuľka 1.8: Výpočet koreňa rovnice 2,2x− 2x = 0 z intervalu (2, 3).

27


Obr. 1.16: Prienik funkcií g(x) = ex a h(x) = 3x2.

ktorá prechádza bodmi [a, f(a)] a [b, f(b)] a x-ovej osi. Metóda regula falsi je konvergentnápre všetky spojité funkcie.

Všeobecný vzťah na výpočet aproximácie koreňa je

xk = ak−1 −f(ak−1)

f(bk−1)− f(ak−1) · (bk−1 − ak−1),

pričom ak−1 a bk−1 sú koncové body „aktuálneho“ intervalu.Ak f(xk) a f(ak−1) majú rovnaké znamienka, tak xk = ak+1, inak xk = bk+1.Iteračný proces zastavíme, keď f(xk) = 0 a vtedy xk = α je koreň rovnice alebo keď

|f(xk)| 5 ε, kde ε > 0 je požadovaná presnosť a xk považujeme za hľadanú aproximáciukoreňa α.

Pre odhad chyby po k-tej aproximácii platí

ERF = |xk − α| 5f(xk)m

, kde m = minx∈〈a,b〉

{|f ′(x)|} .

Príklad 8 Metódou regula falsi vypočítajme všetky reálne korene rovnice f(x) = ex−3x2 == 0 s presnosťou ε = 0,001.

Riešenie: Najskôr urobíme grafický odhad koreňov pomocou aplikácie MATH, pozri obr. 1.16,kde g(x) = ex a h(x) = 3x2.

Grafy týchto funkcií majú dva spoločné body, ktorých x-ové súradnice sú z intervalov(−1,5;−0,25) a (0,5; 1,5). Skutočne f(−1,5)·f(−0,25) < 0 a f(0,5)·f(1,5) < 0, čo znamená,že v daných intervaloch ležia reálne korene danej rovnice.

28


Tabuľka 1.9: Výpočet koreňa rovnice ex − 3x2 = 0 z intervalu (−1,5;−0,25).

Môžeme teraz použiť metódu regula falsi na nájdenie koreňa. Pri tejto metóde budemepotrebovať aj funkčné hodnoty v bodoch ak, bk a xk, nie len ich znamienka.

V tabuľke 1.9 vidíme všetky funkčné hodnoty pomocou ktorých sa dopracujeme k hľa-danej aproximácii koreňa.

Výpočet ukončíme, keď vypočítaná chyba je menšia ako požadovaná presnosť. Ukážeme,že záporný koreň rovnice s danou presnosťou je x8 = −0,4587332998.


ERF = |x8 − α| 5|f(x8)|m

;m = minx∈〈−1,5,−0,25〉

{|f ′(x)|} .

Keďže funkcia f ′(x) = ex − 6x je na intervale 〈−1,5;−0,25〉 kladná a klesajúca, pozriobr. 1.17, tak m = |f ′(−0,25)| = 2,2788 a teda chyba riešenia je

ERF = |x8 − α| 50,0007750782

2,2788 ≈ 0,000340125.

Keďže vypočítaná chyba je menšia ako požadovaná presnosť x8 je naozaj hľadanouaproximáciou koreňa rovnice.

Pre kladný koreň je výpočet v tabuľke 1.10.Výpočet ukončíme, keď |f(xk)| 5 ε. Ukážeme, že kladný koreň rovnice s danou pres-

nosťou je x5 = 0,9099236469.Pre odhad chyby platí

ERF = |x5 − α| 5|f(x5)|m

;m = minx∈〈0,5,1,5〉

{|f ′(x)|} .

29


Obr. 1.17: Graf funkcie f(x) = ex − 6x na intervale 〈−1,5; 1,5〉.

Tabuľka 1.10: Výpočet koreňa rovnice ex − 3x2 = 0 z intervalu (0,5; 1,5).

30


Obr. 1.18: Priesečník funkcií g(x) = ex−1 a h(x) = sin(2x).

Keďže funkcia f ′(x) = ex − 6x je na intervale 〈0,5; 1,5〉 záporná a klesajúca, pozriobr. 1.17, tak m = |f ′(0,5)| = 1,35128 a teda chyba riešenia je

ERF = |x5 − α| 50,0002497254

1,35128 ≈ 0,000184807.

Keďže vypočítaná chyba je menšia ako požadovaná presnosť x5 je hľadanou aproximá-ciou koreňa rovnice.

Príklad 9 Metódou regula falsi vypočítajme všetky kladné korene rovnice f(x) = sin(2x)−ex−1 == 0 s presnosťou ε = 0,0001

Riešenie: Najskôr urobíme grafický odhad koreňov pomocou aplikácie MATH, pozri obr. 1.18,kde g(x) = ex−1 a h(x) = sin(2x).

Grafy týchto funkcií majú dva spoločné body, ktorých x-ové súradnice sú kladné čísla.Tieto body sú z intervalov (0; 0,5) a (0,7; 1). Skutočne f(0) · f(0,5) < 0 a f(0,7) · f(1) < 0,čo znamená, že v daných intervaloch ležia reálne korene danej rovnice.

Môžeme teraz použiť metódu regula falsi na nájdenie koreňa.V tabuľke 1.11 vidíme ako sa dopracujeme k hľadanej aproximácii koreňa.Výpočet ukončíme, keď |f(xk)| 5 ε. Ukážeme, že jeden kladný koreň rovnice s danou

presnosťou je x4 = 0,2445510284.Pre odhad chyby platí

ERF = |x4 − α| 5|f(x4)|m

;m = minx∈〈0;0,5〉

{|f ′(x)|} .

31


Tabuľka 1.11: Výpočet koreňa rovnice sin(2x)− ex−1 = 0 z intervalu (0; 0,5).

Keďže funkcia f ′(x) = 2 cos(2x)− ex−1 je na intervale 〈0; 0,5〉 kladná a klesajúca, pozriobr. 1.19, tak m = |f ′(0,5)| = 0,474074 a teda chyba riešenia je

ERF = |x4 − α| 50,0000337731

0,474074 ≈ 7,12401 · 10−6.

Chyba je menšia ako požadovaná presnosť, teda x4 je jednou z hľadaných aproximáciikoreňa danej rovnice.

Výpočet druhého kladného koreňa je v tabuľke 1.12.Výpočet ukončíme, keď |f(xk)| 5 ε. Ukážeme, že kladný koreň rovnice s danou pres-

nosťou je x3 = 0,9468891719.Pre odhad chyby platí

ERF = |x3 − α| 5|f(x3)|m

;m = minx∈〈0,7;1〉

{|f ′(x)|} .

Keďže funkcia f ′(x) = 2 cos(2x)−ex−1 je na intervale 〈0,7; 1〉 záporná a klesajúca, pozriobr. 1.19, tak m = |f ′(0,7)| = 0,400884 a teda chyba riešenia je

ERF = |x5 − α| 50,000018250,400884 ≈ 4,5512 · 10−5.

Chyba je menšia ako požadovaná presnosť, teda x5 je skutočne hľadanou aproximácioukoreňa rovnice.

Príklad 10 Metódou regula falsi vypočítajme všetky reálne korene rovnice f(x) = x3+3x−5 == 0 s presnosťou ε = 0,001.

32


Obr. 1.19: Graf funkcie f(x) = 2 cos(2x)− ex−1 na intervale 〈0, 1〉.

Tabuľka 1.12: Výpočet koreňa rovnice sin(2x)− ex−1 = 0 z intervalu (0,7; 1).

33


Obr. 1.20: Prienik funkcií g(x) = x3 a h(x) = 5− 3x.

Riešenie: Najskôr urobíme grafický odhad koreňov pomocou aplikácie MATH, pozri obr. 1.20,kde g(x) = x3 a h(x) = 5− 3x.

Grafy týchto funkcií majú jeden spoločný bod, ktorého x-ová súradnica je z intervalu(0,5; 1,5). Skutočne f(0,5) · f(1,5) < 0, čo znamená, že v danom intervale leží reálny koreňdanej rovnice.

Môžeme teraz použiť metódu regula falsi na nájdenie koreňa.V tabuľke 1.13 vidíme ako sa dopracujeme k hľadanej aproximácii koreňa.Výpočet ukončíme, keď vypočítaná chyba je menšia ako požadovaná presnosť. Ukážeme,

že koreň rovnice s danou presnosťou je x4 = 1,1541598027.Pre odhad chyby platí

ERF = |x4 − α| 5|f(x4)|m

;m = minx∈〈0,5,1,5〉

{|f ′(x)|} .

Keďže funkcia f ′(x) = 3x2 +3 je na intervale 〈0,5; 1,5〉 kladná a rastúca, pozri obr. 1.21,tak m = |f ′(0,5)| = 3,75 a teda chyba riešenia je

ERF = |x4 − α| 50,00051634

3,75 ≈ 0,000137691.

Vypočítaná chyba je menšia ako požadovaná presnosť, takže x4 je hľadanou aproximá-ciou koreňa.

34


Tabuľka 1.13: Výpočet koreňa rovnice x3 + 3x− 5 = 0.

Obr. 1.21: Graf funkcie f(x) = 3x2 + 3 na intervale 〈0,5; 1,5〉.

35

1.4 Newtonova metóda (metóda dotyčníc) Numerické riešenia nelineárnych rovníc

1.4 Newtonova metóda (metóda dotyčníc)Newtonova metóda využíva k nájdeniu koreňov rovnice dotyčnice. V bode [xi, f(xi)] zo-strojíme dotyčnicu ku grafu funkcie y = f(x) a x−ová súradnica priesečníka tejto dotyčnices x−ovou osou je aproximáciou koreňa rovnice f(x) = 0.

Pre výpočet aproximácie sa používa jednoduchý vzťah

xk = xk−1 −f(xk−1)f ′(xk−1) , k = 1, 2, . . . .

Iteračný proces zastavíme, keď f(xk) = 0, potom xk je koreň rovnice alebo keď hodnotyf(xk−ε) a f(xk+ε) majú opačné znamienka, ε > 0 je požadovaná presnosť a xk považujemeza hľadanú aproximáciu koreňa α.

Pre odhad chyby koreňa po k-tej aproximácii pri Newtonovej metóde platí

EN = |xk − α| 5|f(xk)|m

,m = minx∈〈a,b〉

{|f ′(x)|} .

Newtonova metóda je jednou z najefektívnejších metód na riešenie nelineárnych rovníc.Nemusí ale konvergovať stále. Či Newtonova metóda bude konvergovať, alebo nebude voveľkej miere závisí od voľby počiatočnej aproximácie x0.

Podmienky, pri ktorých Newtonova metóda určite bude konvergovať sú: f ′(x) a f ′′(x) súspojité a nemenia znamienko na intervale 〈a, b〉 a počiatočná aproximácia je bod x0 ∈ 〈a, b〉,pre ktorý platí f(x0) · f ′′(x0) > 0.

Nasledujúci príklad sme riešili aj metódou bisekcie. Všimnime si ako sa zmenila rýchlosťnájdenia aproximácii koreňov.

Príklad 11 Newtonovou metódou vypočítajme korene rovnice f(x) = x2 − 9 + ex = 0s presnosťou ε = 10−5.

Riešenie: Najskôr urobíme grafický odhad koreňov pomocou aplikácie MATH, pozri obr. 1.22,kde g(x) = ex a h(x) = 9− x2.

Grafy týchto funkcií majú dva spoločné body, ktorých x-ové súradnice ležia v intervaloch(−3,−2) a (1, 2). Skutočne f(−3) · f(−2) < 0 a f(1) · f(2) < 0, čo znamená, že v danýchintervaloch ležia reálne korene danej rovnice.

Vypočítame teraz prvú a druhú deriváciu funkcie f(x) = x2 − 9 + ex:

f ′(x) = 2x+ ex, f ′′(x) = 2 + ex.

Na intervale 〈−3,−2〉 je f ′(x) < 0, pozri obr. 1.23 a f ′′(x) > 0, pozri obr. 1.24.Za počiatočnú aproximáciu x0 zvolíme bod z intervalu 〈−3,−2〉 taký, pre ktorý platí

f(x0)·f ′′(x0) > 0. Pre x0 = −3 platí f(−3)·f ′′(−3) > 0, takže ho použijeme ako počiatočnúaproximáciu.

V tabuľke 1.14 vidíme ako sa dopracujeme k hľadanému koreňu s danou presnosťou.

36


Obr. 1.22: Priesečník funkcií g(x) = ex a h(x) = 9− x2.

Obr. 1.23: Graf funkcie f(x) = 2x+ ex na intervale 〈−3, 2〉.

37


Obr. 1.24: Graf funkcie f(x) = 2 + ex na intervale 〈−3, 2〉.

Tabuľka 1.14: Výpočet koreňa rovnice x2 − 9 + ex = 0 z intervalu (−3,−2).

38


Tabuľka 1.15: Výpočet koreňa rovnice x2 − 9 + ex = 0 z intervalu (1, 2).

Výpočet ukončíme, keď f(xk − ε) a f(xk + ε) majú opačné znamienka. To nastalov tomto prípade už v druhom kroku. Vypočítaný koreň rovnice je x2 = −2,9916206302.


EN = |x2 − α| 5|f(x2)|m

,m = minx∈〈−3,−2〉

{|f ′(x)|}

Keďže funkcia f ′(x) = 2x+ex je na intervale 〈−3,−2〉 záporná a rastúca, pozri obr. 1.23,tak m = |f ′(−2)| = 3,86466 a teda chyba riešenia je

EN = |x2 − α| 51,49962 · 10−10

3,86466 ≈ 3,8803 · 10−11.

Poďme vypočítať druhý koreň rovnice.Na intervale 〈1, 2〉 je f ′(x) > 0, pozri obr. 1.23 a f ′′(x) > 0, pozri obr. 1.24, teda

derivácie nemenia znamienko.Pre výpočet druhého koreňa zvolíme počiatočnú aproximáciu x0 = 2 lebo platí f(2)·f ′′(2) >

> 0.Tabuľka 1.15 znázorňuje jednotlivé aproximácie koreňa.Výpočet ukončíme, keď f(xk − ε) a f(xk + ε) majú opačné znamienka. To nastalo

v tomto prípade už v treťom kroku. Vypočítaný koreň rovnice je x3 = 1,7696011133.

39


Obr. 1.25: Prienik funkcií g(x) = x3 a h(x) = 1− x.


EN = |x3 − α| 5|f(x3)|m

,m = minx∈〈1,2〉

{|f ′(x)|}

Keďže funkcia f ′(x) = 2x + ex je na intervale 〈1, 2〉 kladná a rastúca, pozri obr. 1.23,tak m = |f ′(1)| = 4,71828 a teda chyba riešenia je

EN = |x3 − α| 51,22928 · 10−7

4,71828 ≈ 2,60535 · 10−8.

Pre porovnanie, pri rovnakej zadanej presnosti výpočtu koreňa sme pri metóde bisekciepotrebovali 16 krokov, ale pri Newtonovej metóde nám stačili 2 a 3 kroky. Dokonca smesa pri Newtonovej metóde dopracovali k výsledku, ktorý sa vyznačoval značne menšouvypočítanou chybou. Newtonovu metódu môžeme považovať za efektívnejšiu čo sa týkapočtu krokov výpočtu, ale výpočet jednotlivých krokov je značne zložitejší.

Príklad 12 Newtonovou metódou vypočítajme korene rovnice f(x) = x3 + x − 1 = 0s presnosťou ε = 10−4.

Riešenie: Najskôr urobíme grafický odhad koreňov pomocou aplikácie MATH, pozri obr. 1.25,kde g(x) = x3 a h(x) = 1− x.

Grafy týchto funkcií majú jeden spoločný bod, ktorého x-ová súradnica leží v intervale(0, 1). Skutočne f(0) · f(1) < 0, čo znamená, že v danom intervale leží reálny koreň danejrovnice.

40


Obr. 1.26: Graf funkcie f(x) = 3x2 + 1 na intervale 〈0, 1〉.

Vypočítame teraz prvú a druhú deriváciu funkcie f(x) = x3 + x− 1:

f ′(x) = 3x2 + 1, f ′′(x) = 6x.

Na intervale 〈0, 1〉 je f ′(x) > 0, pozri obr. 1.26 a f ′′(x) > 0, pozri obr. 1.27, teda nemeniaznamienko.

Za počiatočnú aproximáciu x0 zvolíme bod z intervalu 〈0, 1〉 taký, pre ktorý platíf(x0) · f ′′(x0) > 0. Pre x0 = 1 platí f(1) · f ′′(1) > 0, takže ho použijeme ako počiatočnúaproximáciu.

V tabuľke 1.16 vidíme ako sa dopracujeme k hľadanému koreňu s danou presnosťou.Výpočet ukončíme, keď f(xk − ε) a f(xk + ε) majú opačné znamienka. To nastalo

v tomto prípade pri treťom kroku. Vypočítaný koreň rovnice je x3 = 0,6823395826.Pre odhad chyby platí

EN = |x3 − α| 5|f(x3)|m

,m = minx∈〈0,1〉

{|f ′(x)|}

Keďže funkcia f ′(x) = 3x2 + 1 je na intervale 〈0, 1〉 kladná a rastúca, pozri obr. 1.26,tak m = |f ′(0)| = 1 a teda chyba riešenia je

EN = |x3 − α| 52,82306 · 10−5

1 ≈ 2,82306 · 10−5.

Vypočítaný odhad chyby je menší ako požadovaná presnosť, teda sme splnili zadanie.

41


Obr. 1.27: Graf funkcie f(x) = 6x na intervale 〈0, 1〉.

Tabuľka 1.16: Výpočet koreňa rovnice x3 + x− 1 = 0.

42


Obr. 1.28: Prienik funkcií g(x) = x3 a h(x) = sin(x).

Príklad 13 Newtonovou metódou vypočítajme najmenší a najväčší koreň rovnice f(x) == x3 − sin(x) = 0 s presnosťou ε = 10−4.

Riešenie: Najskôr urobíme grafický odhad koreňov pomocou aplikácie MATH, pozri obr. 1.28,kde g(x) = x3 a h(x) = sin(x).

Grafy týchto funkcií majú tri spoločné body, ktorých x-ové súradnice ležia v intervaloch(−1,5;−0,6), (−0,6; 0,4) a (0,6; 1,5). Skutočne f(−1,5) · f(−0,6) < 0, f(−0,6) · f(0,4) < 0a f(0,6) ·f(1,5) < 0, čo znamená, že v daných intervaloch ležia reálne korene danej rovnice.Nás zaujíma najmenší a najväčší. Teda koreň z intervalu (−1,5;−0,6) a koreň z intervalu(0,6; 1,5). Z obr. 1.28 vidíme, že jeden koreň (prostredný) je x = 0.

Vypočítajme teraz prvú a druhú deriváciu funkcie f(x) = x3 − sin(x):

f ′(x) = 3x2 − cos(x), f ′′(x) = 6x+ sin(x).

Na intervale 〈−1,5;−0,6〉 je f ′(x) > 0, pozri obr. 1.29 a f ′′(x) < 0, pozri obr. 1.30, tedanemenia znamienko.

Pre najmenší koreň za počiatočnú aproximáciu x0 zvolíme bod z intervalu 〈−1,5;−0,6〉taký, pre ktorý platí f(x0) · f ′′(x0) > 0. Pre x0 = −1,5 platí f(−1,5) · f ′′(−1,5) > 0, takžeho použijeme ako počiatočnú aproximáciu.

V tabuľke 1.17 vidíme ako sa dopracujeme k hľadanému koreňu s danou presnosťou.Výpočet ukončíme, keď f(xk − ε) a f(xk + ε) majú opačné znamienka. To nastalo

v tomto prípade vo štvrtom kroku. Vypočítaný koreň rovnice je x4 = −0,9286439645.

43


Obr. 1.29: Graf funkcie f(x) = 3x2 − cos(x) na intervale 〈−1,5; 1,5〉.

Obr. 1.30: Graf funkcie f(x) = 6x+ sin(x) na intervale 〈−1,5; 1,5〉.

44


Tabuľka 1.17: Výpočet najmenšieho koreňa rovnice x3 − sin(x) = 0.


EN = |x4 − α| 5|f(x4)|m

,m = minx∈〈−1,5;−0,6〉

{|f ′(x)|}

Keďže funkcia f ′(x) = 3x2− cosx je na intervale 〈−1,5;−0,6〉 kladná a klesajúca, pozriobr. 1.29, tak m = |f ′(−0,6)| = 0,2546644 a teda chyba riešenia je

EN = |x4 − α| 52,4824 · 10−5

0,2546644 ≈ 0,000137838.

Na celom intervale (0,6; 1,5) je f ′(x) > 0, pozri obr. 1.29 a f ′′(x) > 0, pozri obr. 1.30,teda nemenia znamienko.

Pre najväčší koreň, koreň z intervalu 〈0,6; 1,5〉, zvolíme za počiatočnú aproximáciu bodx0 = 1,5 lebo pre neho platí f(1,5) · f ′′(1,5) > 0.

V tabuľke 1.18 vidíme ako sme sa dopracovali ku koreňu s požadovanou presnosťou.Výpočet ukončíme, keď f(xk − ε) a f(xk + ε) majú opačné znamienka. To nastalo

v tomto prípade pri štvrtom kroku. Vypočítaný koreň rovnice je x4 = 0,9286439645.Pre odhad chyby platí

EN = |x4 − α| 5|f(x4)|m

,m = minx∈〈0,6;1,5〉

{|f ′(x)|}

45

1.5 Metóda sečníc Numerické riešenia nelineárnych rovníc

Tabuľka 1.18: Výpočet najväčšieho koreňa rovnice x3 − sin(x) = 0.

Keďže funkcia f ′(x) = 3x2 − cos(x) je na intervale 〈0,6; 1,5〉 kladná a rastúca, pozriobr. 1.29, tak m = |f ′(0,6)| = 0,2546644 a teda chyba riešenia je

EN = |x4 − α| 52,4824 · 10−5

0,2546644 ≈ 0,000137838.

Oba korene spĺňajú podmienky, teda sme splnili zadanie.

Poznámka: Ak by sme mali vypočítať všetky korene danej rovnice, teda aj koreň z intervalu(−0,6; 0,4), pri overovaní podmienky konvergencie Newtonovej metódy by sme prišli na to,že f ′′(x) na tomto intervale mení znamienko. V takomto prípade je vhodné určiť početkrokov metódy a ak je prekročený, výpočet ukončiť a zvoliť inú počiatočnú aproximáciualebo použiť inú metódu riešenia.

1.5 Metóda sečnícMetóda sečníc je podobná ako metóda regula falsi. Vychádzame z intervalu 〈a, b〉, ktorýobsahuje koreň. Označíme x0 = a a x1 = b. Zostrojíme sečnicu, ktorá prechádza bodmi[x0, f(x0)] a [x1, f(x1)] a priesečník tejto sečnice s x-ovou osou označíme x2.

Vzorec, pomocou ktorého vypočítame (k + 1)−vú aproximáciu koreňa je

xk+1 = xk − f(xk) ·xk − xk−1

f(xk)− f(xk−1) , k = 1, 2, . . . .

46


Obr. 1.31: Prienik funkcií g(x) = cos(x) a h(x) = −2 sin(x)− x2.

Iteračný proces zastavíme, keď f (xk+1) = 0 a potom xk+1 je koreňom rovnice, alebokeď |xk+1 − xk| 5 ε, alebo |f(xk+1)| 5 ε, kde ε > 0 je presnosť a xk+1 považujeme zahľadanú aproximáciu koreňa α.

Pre odhad chyby koreňa po (k + 1)−vej aproximácii pri metóde sečníc platí

ES = |xk+1 − α| 5|f(xk+1)|

m,m = min

x∈〈a,b〉{|f ′(x)|} .

Metóda sečníc je rýchlejšia ako metóda regula falsi, ale nemusí vždy konvergovať. Keďženevieme hneď určiť či metóda sečníc konverguje pre danú rovnicu je vhodné zadať maxi-málny počet krokov. Ak tento počet krokov prekročíme a koreň rovnice nenájdeme, tak tútometódu ukončíme. Potom je dobré zvoliť buď inú počiatočnú aproximáciu, alebo zmeniťmetódu výpočtu.

Príklad 14 Metódou sečníc vypočítajte najmenší koreň rovnice f(x) = cos(x)+2 sin(x)+x2 == 0 s presnosťou ε = 0,001.

Riešenie: Najskôr urobíme grafický odhad koreňov pomocou aplikácie MATH, pozri obr. 1.31,kde g(x) = cos(x) a h(x) = −2 sin(x)− x2.

Grafy týchto funkcií majú dva spoločné body, ktorých x-ové súradnice ležia v intervaloch(−2,−1), (−1, 0). Skutočne f(−2) · f(−1) < 0, f(−1) · f(0) < 0, čo znamená, že v danýchintervaloch ležia reálne korene danej rovnice.

Môžeme teraz použiť metódu sečníc na nájdenie koreňov.

47


Tabuľka 1.19: Výpočet koreňa rovnice cos(x) + 2 sin(x) + x2 = 0 z intervalu (−2,−1).

V tabuľke 1.19 vidíme ako sa dopracujeme k hľadanému koreňu z intervalu (−2,−1)s danou presnosťou.

Výpočet ukončíme, keď |f(xk+1)| 5 ε. Vypočítaný koreň rovnice je x8 = −1,2709766895.Pre odhad chyby platí

ES = |x8 − α| 5|f(x8)|m

,m = minx∈〈−2,−1〉

{|f ′(x)|} .

Keďže funkcia f ′(x) = − sin(x)+2 cos(x)+2x je na intervale 〈−2,−1〉 záporná a rastúca,pozri obr. 1.32, tak m = |f ′(−1)| = 0,0779244 a teda chyba riešenia je

ES = |x8 − α| 50,0000500083

0,0779244 ≈ 0,000641755.

Vidíme, že vypočítaná chyba je menšia ako požadovaná presnosť, teda zadanie smesplnili.

Príklad 15 Metódou sečníc vypočítajme všetky reálne korene rovnice f(x) = 3x+sin(x)−ex == 0 s presnosťou ε = 0,001.

Riešenie: Najskôr urobíme grafický odhad koreňov pomocou aplikácie MATH, pozri obr. 1.33,kde g(x) = 3x a h(x) = ex − sin(x).

48


Obr. 1.32: Graf funkcie f(x) = − sin(x) + 2 cos(x) + 2x na intervale 〈−2,−1〉.

Obr. 1.33: Prienik funkcií g(x) = 3x a h(x) = ex − sin(x).

49


Tabuľka 1.20: Výpočet koreňa rovnice 3x+ sin(x)− ex = 0 z intervalu (0, 1).

Grafy týchto funkcií majú dva spoločné body, ktorých x-ové súradnice ležia v intervaloch(0, 1), (1,5; 3). Skutočne f(0) · f(1) < 0, f(1,5) · f(3) < 0, čo znamená, že v danýchintervaloch ležia reálne korene danej rovnice.

V tabuľke 1.20 vidíme ako sa dopracujeme k hľadanému koreňu z intervalu (0, 1) s danoupresnosťou.

Výpočet ukončíme, keď |f(xk)| 5 ε. Vypočítaný koreň rovnice je x5 = 0,3604614817.Pre odhad chyby platí

ES = |x5 − α| 5|f(x5)|m

,m = minx∈〈0,1〉

{|f ′(x)|} .

Keďže funkcia f ′(x) = 3 + cos(x) − ex je na intervale 〈0, 1〉 kladná a klesajúca, pozriobr. 1.34, tak m = |f ′(1)| = 0,82202 a teda chyba riešenia je

ES = |x5 − α| 50,0000995177

0,82202 = 0,000121065.

V tabuľke 1.21 vidíme ako sa dopracujeme k hľadanému koreňu z intervalu (1,5; 3)s danou presnosťou.


ES = |x7 − α| 5|f(x7)|m

,m = minx∈〈1,5;3〉

{|f ′(x)|} .

50


Obr. 1.34: Graf funkcie f(x) = 3 + cos(x)− ex na intervale 〈0, 3〉.

Tabuľka 1.21: Výpočet koreňa rovnice 3x+ sin(x)− ex = 0 z intervalu (1,5; 3).

51


Obr. 1.35: Prienik funkcií g(x) = x4 a h(x) = x+ 10.

Keďže funkcia f ′(x) = 3 + cos(x)− ex je na intervale 〈1,5; 3〉 záporná a klesajúca, pozriobr. 1.34, tak m = |f ′(1,5)| = 1,41095 a teda chyba riešenia je

ES = |x7 − α| 50,0000259268

1,41095 ≈ 1,83754 · 10−5.

Príklad 16 Metodou sečníc vypočítajme všetky reálne korene rovnice f(x) = x4−x−10 == 0 s presnosťou ε = 0,001.

Riešenie: Najskôr urobíme grafický odhad koreňov pomocou aplikácie MATH, pozri obr. 1.35,kde g(x) = x4 a h(x) = x+ 10.

Grafy týchto funkcií majú dva spoločné body, ktorých x-ové súradnice ležia v intervaloch(−2,−1), (1, 2). Skutočne f(−2) · f(−1) < 0, f(1) · f(2) < 0, čo znamená, že v danýchintervaloch ležia reálne korene danej rovnice.

V tabuľke 1.22 vidíme ako sa dopracujeme k hľadanému koreňu z intervalu (−2,−1)s danou presnosťou.

Výpočet ukončíme, keď |f(xk)| 5 ε. Vypočítaný koreň rovnice je x7 = −1,6974715072.Pre odhad chyby platí

ES = |x7 − α| 5|f(x7)|m

,m = minx∈〈−2,−1〉

{|f ′(x)|} .

Keďže funkcia f ′(x) = 4x3 − 1 je na intervale (−2,−1) záporná a rastúca, tak m == |f ′(−1)| = 5, pozri obr. 1.36 a teda chyba riešenia je

52


Tabuľka 1.22: Výpočet koreňa rovnice x4 − x− 10 = 0 z intervalu (−2,−1).

Obr. 1.36: Graf funkcie f(x) = 4x3 − 1 na intervale 〈−2, 2〉.

53


Tabuľka 1.23: Výpočet koreňa rovnice x4 − x− 10 = 0 z intervalu (1, 2).

ES = |x7 − α| 50,0000076833

5 ≈ 1,536 · 10−6.

V tabuľke 1.23 vidíme ako sa dopracujeme k hľadanému koreňu z intervalu (1, 2) sdanou presnosťou.


ES = |x5 − α| 5|f(x5)|m

,m = minx∈〈1,2〉

{|f ′(x)|} .

Keďže funkcia f ′(x) = 4x3−1 je na intervale 〈1, 2〉 kladná a rastúca, takm = |f ′(1)| = 3,pozri obr. 1.36 a teda chyba riešenia je

ES = |x5 − α| 50,0007775256

3 ≈ 0,000259175.

54

2 Numerické riešenie sústav lineárnych rov-níc

Sústava rovníca11x1 + a12x2 + a13x3 + · · ·+ a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + a23x3 + · · ·+ a2nxn = b2

a31x1 + a32x2 + a33x3 + · · ·+ a3nxn = b3

...an1x1 + an2x2 + an3x3 + · · ·+ annxn = bn

kde aij, bi ∈ R, i, j = 1, 2. . . . , n, xi sú neznáme, sa nazýva sústava n lineárnych rovníc o nneznámych.

Táto sústava sa dá napísať aj v maticovom tvarea11 a12 a13 . . . a1na21 a22 a23 . . . a2n... ... ... . . . ...an1 an2 an3 . . . ann

·x1x2...xn

=

b1b2...bn

alebo symbolicky, pomocou matíc A, X, B do jednej maticovej rovnice

A ·X = B, kde

A =

a11 a12 a13 . . . a1na21 a22 a23 . . . a2n... ... ... . . . ...an1 an2 an3 . . . ann

,X =

x1x2...xn

,B =

b1b2...bn

.Existuje mnoho priamych (Gaussova eliminačná metóda, použitie Cramerovho pravidla)a iteračných metód na riešenie sústav lineárnych rovníc. My sa budeme zaoberať najjed-noduchšou numerickou metódou a to Jacobiho iteračnou metódou.

2.1 Jacobiho metódaPracujeme so sústavou

a11x1 + a12x2 + a13x3 + · · ·+ a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + a23x3 + · · ·+ a2nxn = b2

55

2.1 Jacobiho metóda Numerické riešenie sústav lineárnych rovníc

a31x1 + a32x2 + a33x3 + · · ·+ a3nxn = b3...

an1x1 + an2x2 + an3x3 + · · ·+ annxn = bn

Z prvej rovnice vyjadríme x1, z druhej x2 atď. až z n-tej rovnice xn. Dostaneme

x1 = (b1 − a12x2 − a13x3 − . . .− a1nxn)/a11

x2 = (b2 − a21x1 − a23x3 − . . .− a2nxn)/a22

...

xn = (bn − an1x1 − an2x2 − . . .− ann−1xn−1)/ann

Zvolíme si počiatočnú aproximáciu ~x(0) =(x

(0)1 , x

(0)2 , . . . , x(0)

n

)T. Ak nie je nultá aproximácia

daná, môžeme za nultú aproximáciu položiť

~x(0) =(b1

a11,b2

a22, . . . ,

bnann

)T.

Ďalšie aproximácie vypočítame podľa iteračného predpisu

x(k+1)1 = (b1 − a12x

(k)2 − a13x

(k)3 − . . .− a1nx

(k)n )/a11

x(k+1)2 = (b2 − a21x

(k)1 − a23x

(k)3 − . . .− a2nx

(k)n )/a22

...x(k+1)n = (bn − an1x

(k)1 − an2x

(k)2 − . . .− ann−1x

(k)n−1)/ann.

Takýmto spôsobom sa za určitých podmienok dopracujeme k riešeniu sústavy.Riešenie ukončíme keď sa dostaneme k aproximácii s danou chybou, alebo keď nájdeme

skutočné riešenie, alebo keď prekročíme stanovený maximálny počet krokov.Jacobiho metódou nemusíme nájsť riešenie stále. Podmienka, pri ktorej Jacobiho me-

tóda vždy konverguje je, že matica sústavy ktorú riešime je riadkovo diagonálne domi-nantná (ak v každom riadku matice je absolútna hodnota prvku na diagonále väčšia akosúčet absolútnych hodnôt ostatných prvkov v danom riadku) alebo stĺpcovo diagonálnedominantná (ak v každom stĺpci matice je absolútna hodnota prvku na diagonále väčšiaako súčet absolútnych hodnôt ostatných prvkov v danom stĺpci).

Pre odhad chyby po k−tej aproximácii pri Jacobiho metóde platí: ak ‖α‖ < 1, tak

EJ =∥∥∥x(k) − x̄

∥∥∥ 5 ‖α‖1− ‖α‖

∥∥∥x(k) − x(k−1)∥∥∥ ,

kde x̄ je skutočné riešenie sústavy,∥∥∥x(k)1 − x

(k−1)1

∥∥∥ = max{∣∣∣x(k)

1 − x(k−1)1

∣∣∣ , ∣∣∣x(k)2 − x

(k−1)2

∣∣∣ , . . . , ∣∣∣x(k)n − x(k−1)

n

∣∣∣} .56


Definícia 1 Nech α je matica typu (n, p). Nezáporné reálne číslo ‖α‖ definované

‖α‖∞ = ‖α‖r = maxi=1,2,...,n

p∑j=1|αij|

resp.

‖α‖1 = ‖α‖s = maxj=1,2,...,p

n∑i=1|αij|

nazývame riadková norma, resp. stĺpcová norma.

Poznámka: V našom prípade vyzerá matica α nasledovne

α =

−a12a11

−a13a11

. . . −a1na11

−a21a22

−a23a22

. . . −a2na22... ... . . . ...

− an1ann

− an2ann

. . . −ann−1ann

Nie stále ale vieme sústavu upraviť tak, aby bola riadkovo, resp. stĺpcovo diagonálne

dominantná. Hlavne, keď ide o sústavu s veľkým počtom neznámych. V takomto prípadeje dobré zvoliť maximálny počet krokov po prekročení ktorých výpočet ukončíme alebosústavu ináč upravíme, alebo použijeme inú metódu na výpočet.

Príklad 17 S presnosťou ε = 0,001 riešme sústavu Jacobiho iteračnou metódou.

x1 − 9x2 + x3 = −79x1 − x2 + x3 = 9

−x1 − x2 + 10x3 = 8

Riešenie: Upravíme sústavu tak, aby bola diagonálne dominantná, (stačí, že vymenímeprvú rovnicu s druhou rovnicou).

9x1 − x2 + x3 = 9x1 − 9x2 + x3 = −7

−x1 − x2 + 10x3 = 8

Skutočne je riadkovo diagonálne dominantná, lebo platí

|9| > |−1|+ |1| , |−9| > |1|+ |1| , |10| > |−1|+ |−1| .

Preto je konvergencia metódy zaručená. Vytvoríme iteračné vzorce Jacobiho metódy.

x(k+1)1 = 1

9x(k)2 −

19x

(k)3 + 1

x(k+1)2 = 1

9x(k)1 + 1

9x(k)3 + 7

9x

(k+1)3 = 1

10x(k)1 + 1

10x(k)2 + 8

10

57


Tabuľka 2.1: Výpočet riešenia sústavy lineárnych rovníc.

‖α‖ = max{1

9 + 19; 1

9 + 19; 1

10 + 110

}= 2

9 < 1

Za počiatočnú aproximáciu zvolíme napr. ~x(0) =(1, 7

9 ,810

)T.

Ďalšie aproximácie vypočítané pomocou iteračných vzorcov sú v tabuľke 2.1.Aj keď platí∣∣∣x(3)

1 − x(2)1

∣∣∣ = |0,9999695168− 1| < 0,001,∣∣∣x(3)2 − x

(2)2

∣∣∣ = |0,9997256516− 0,9972565158| = 0,0024691356 > 0,001,∣∣∣x(3)3 − x

(2)3

∣∣∣ = |0,9997256516− 0,9975308642| = 0,0021947874 > 0,001,tak za zastavovacie kritérium môžeme brať odhad chyby, ktorý je:

EJ =∥∥∥x(k) − x̄

∥∥∥ 5 ‖α‖1− ‖α‖

∥∥∥x(k) − x(k−1)∥∥∥ .

V tomto prípade je to

EJ =∥∥∥x(k) − x̄

∥∥∥ 5 29

1− 29· 0,0024691356 = 0,0007054674 < 0,001.

Riešením danej sústavy lineárnych rovníc je vektor

~x(3) = (0,9999695168; 0,9997256516; 0,9997256516)T .

58


Ak by sme zvýšili presnosť alebo počet krokov, prišli by sme k riešeniu

~x(n) = (1, 1, 1)T ,

čo je aj skutočné riešenie danej sústavy.

59

3 Metóda najmenších štvorcovMetóda najmenších štvorcov sa používa keď chceme popísať hodnoty, ktoré sme získali akovýsledok experimentu. Takto získané výsledky môžu byť zaťažené chybami merania, pretoby nebolo vhodné použiť interpoláciu, lebo interpolačná funkcia by tieto chyby kopírovalaa toho sa chceme vyvarovať. Okrem toho povaha experimentov nevylučuje možnosť nie-koľkých meraní pri nezmenenej hodnote x, t.j. nemusia byť všetky uzlové body navzájomrôzne. Vzhľadom k týmto okolnostiam nie je dobré žiadať, aby aproximačná funkcia na-dobúdala v uzlových bodoch dopredu dané hodnoty. V mnohých prípadoch máme nejakúpredstavu o povahe funkcie, ktorej hodnoty sme namerali, napr. môže ísť o lineárnu alebokvadratickú závislosť. Potom hľadáme medzi všetkými funkciami tohto známeho typu takú,ktorá čo najpresnejšie popisuje zadané body.

3.1 Aproximácia priamkouMáme body [xi, yi], i = 1, 2 . . . , n a hľadáme aproximujúcu priamku y = b0 + b1x.Pre koeficienty tejto priamky platí

y0 ≈ b0 + b1x0

y1 ≈ b0 + b1x1...

yn ≈ b0 + b1xn

To môžeme v maticovom zápise napísať

Y = XB, kde Y =

y1y2...yn

, X =

1 x11 x2... ...1 xn

, B =(b0b1

).

Vektor B môžeme vyjadriť nasledovneB =

(XTX

)−1XTY.

Príklad 18 Funkciu danú tabuľkou 3.1 aproximujme, v zmysle metódy najmenších štvor-cov, priamkou.

Riešenie: Po dosadení vstupných údajov do aplikácie MATH dostaneme tabuľku 3.2.Rovnica priamky bude mať rovnicu y = −1,3082259663 + 0,8543111992x. Na riešenie

sa vieme pozrieť aj graficky obr. 3.1.

60

3.2 Aproximácia parabolou Metóda najmenších štvorcov

Tabuľka 3.1: Funkcia daná tabuľkou.i 1 2 3 4 5 6xi 40 64 34 15 57 45yi 33 46 23 12 56 40

Tabuľka 3.2: Pomocné hodnoty pri výpočte matice sústavy.

3.2 Aproximácia parabolouMáme body [xi, yi], i = 1, 2 . . . , n a hľadáme aproximujúcu parabolu y = b0 + b1x + b2x

2.Pre koeficienty tejto paraboly platí

y0 ≈ b0 + b1x0 + b2x20

y1 ≈ b0 + b1x1 + b2x21

...yn ≈ b0 + b1xn + b2x

2n

To môžeme v maticovom zápise napísať

Y = XB, kde Y =

y1y2...yn

, X =

1 x1 x2

11 x2 x2

2... ...1 xn x2

n

, B =

b0b1b2

.

Vektor B môžeme vyjadriť nasledovne

61


Obr. 3.1: Grafické znázornenie lineárneho modelu y = −1,3082 + 0,8543x.

B =(XTX

)−1XTY.

Príklad 19 Aproximujme, v zmysle najmenších štvorcov, funkciu danú tabuľkou 3.3, pa-rabolou.

Tabuľka 3.3: Funkcia daná tabuľkou.i 1 2 3 4xi 0 1 2 3yi 1 6 15 28

Riešenie: Po dosadení vstupných údajov do aplikácie MATH dostaneme tabuľku 3.4 sovšetkými pomocnými výpočtami. Rovnica paraboly bude mať rovnicu y = 1 + 3x + 2x2.Na riešenie sa vieme pozrieť aj graficky, pozri obr. 3.2.

Príklad 20 Aproximujme údaje v tabuľke 3.5 parabolou.

Riešenie: Po dosadení vstupných údajov do aplikácie MATH dostaneme tabuľku 3.6 sčiastkovými výpočtami.

Rovnica paraboly bude mať rovnicu y = −1,5714285714 + 3,1428571429x + 2x2. Nariešenie sa vieme pozrieť aj graficky, pozri obr. 3.3.

62



Obr. 3.2: Grafické znázornenie kvadratického modelu y = 1 + 3x+ 2x2.

63


Tabuľka 3.5: Funkcia daná tabuľkou.i 1 2 3 4 5 6xi -2 -1 0 1 2 3yi 0 -2 -2 2 15 25


Obr. 3.3: Grafické znázornenie kvadratického modelu y = −1,5714 + 3,1429x+ 2x2.

64

4 Numerické derivovanieV tejto kapitole sa budeme zaoberať otázkou, ako vypočítať deriváciu funkcie, pre ktorúje analytický výpočet príliš zložitý.

Základnou myšlienkou numerického derivovania je nahradiť funkciu interpolačným po-lynómom, alebo inou aproximáciou a derivovať aproximujúcu funkciu.

Ako sme už spomenuli, budeme sa zaoberať otázkou ako vypočítať hodnotu deriváciedanej funkcie v nejakom bode približne, a to pomocou známych funkčných hodnôt v ur-čitých bodoch. Môžeme na to použiť interpolačný polynóm. Hodnotu derivácie funkcienahradíme hodnotou derivácie interpolačného polynómu. Teda ak Pn(x) je interpolačnýpolynóm stupňa n daný funkciou f(x) a uzlovými bodmi x0, x1,...,xn, položíme

f ′(x) = P ′n(x).

Podobne pre derivácie vyšších rádov (nie viac ako n), môžeme položiť

f (k)(x) = P (k)n (x).

4.1 Vzorce pre numerické derivovanieUvedieme iba najjednoduchšie vzťahy, ktoré sa používajú pre výpočet numerickej deriváciev uzlových bodoch. Čím vyššia mocnina kroku h sa v ňom vyskytuje, tým lepší výsledokdostaneme (bližší k skutočnej hodnote), lebo h je obyčajne veľmi malé číslo 0 < h << 1a pre také čísla platí h > h2 > h3 > . . . .

Zderivovaním interpolačného polynómu druhého stupňa, ktorý je daný troma uzlovýmibodmi x− h, x a x+ h dostaneme vzorec pre prvú deriváciu

f ′(x) = f(x+ h)− f(x− h)2h .

Pomocou druhej derivácie toho istého polynómu dostaneme vzorec pre druhú deriváciufunkcie v bode x

f ′′(x) = f(x+ h)− 2f(x) + f(x− h)h2 .

Vzorce pre tretiu a štvrtú deriváciu sú

f ′′′(x) = f(x+ 2h)− 2f(x+ h) + 2f(x− h)− f(x− 2h)2h3 ,

f IV (x) = f(x+ 2h)− 4f(x+ h) + 6f(x)− 4f(x− h) + f(x− 2h)h4 .

Poznámka: Aplikácia je vyvinutá tak, že počíta f ′(x) a f ′′(x) pre h = 10−6 a f ′′′(x) a f IV (x)pre h = 10−3.

65

4.1 Vzorce pre numerické derivovanie Numerické derivovanie

Obr. 4.1: Numerický výpočet prvej derivácie funkcie f(x) = x3 + 4x2 v bode x = 2.

Príklad 21 Vypočítajme prvú deriváciu funkcie f(x) = x3 + 4x2 v bode x = 2.

Riešenie: V tomto prípade zadávame predpis funkcie do aplikácie MATH jednoducho, pozriobr. 4.1.

Hodnota prvej derivácie danej funkcie je 28. Použili sme vzťah pre výpočet prvej deri-vácie, a to

f ′(x) = f(x+ h)− f(x− h)2h .

Výsledok sa zhoduje aj s analytickým výpočtom:

f ′(x) = 3x2 + 8x, f ′(2) = 3 · 22 + 8 · 2 = 28.

Pri použití prvej derivácie je možné deriváciu aj vizualizovať, keďže prvá derivácia jez geometrického hľadiska smernica dotyčnice ku grafu funkcie v danom bode. Obr. 4.2znázorňuje dotyčnicu funkcie f(x) = x3 + 4x2 v bode x = 2.

Príklad 22 Vypočítajme tretiu deriváciu funkcie f(x) = ln (x2 + 1) v bode x = 4.

Riešenie: Pre výpočet sme použili vzťah

f ′′′(x) = f(x+ 2h)− 2f(x+ h) + 2f(x− h)− f(x− 2h)2h3 .

Zadanie predpisu funkcie do aplikácie ako aj výpočet je na obr. 4.3.Hodnota tretej derivácie v danom bode je 0,0423364.Numerickú hodnotu môžeme jednoducho porovnať s hodnotou tretej derivácie vypočí-

tanej analyticky v bode x = 4.

f ′(x) = 2xx2 + 1 f ′′(x) = 2− 2x2

(x2 + 1)2 f ′′′(x) = 4x (x4 − 2x2 − 3)(x2 + 1)4

66


Obr. 4.2: Grafické znázornenie dotyčnice funkcie f(x) = x3 + 4x2 v bode x = 2.

Obr. 4.3: Numerický výpočet tretej derivácie funkcie f(x) = ln (x2 + 1) v bode x = 4.

67


Obr. 4.4: Numerický výpočet druhej derivácie funkcie f(x) = ex − 3x2 v bode x = 5.

Hodnota tretej derivácie v bode x = 4 je

f ′′′(4) = 4 · 4 (44 − 2 · 42 − 3)(42 + 1)4 = 0,0423364.

Dostali sme rovnaký výsledok ako po numerickom derivovaní.

Príklad 23 Vypočítajme druhú deriváciu funkcie f(x) = ex − 3x2 v bode x = 5.

Riešenie: Pre výpočet sme použili vzťah

f ′′(x) = f(x+ h)− f(x) + f(x− h)h2 .

Numerický výpočet je na obr. 4.4.Hodnota druhej derivácie v bode x = 5 je 142,435.Numerickú hodnotu môžeme jednoducho porovnať s hodnotou tretej derivácie vypočí-

tanej analyticky v bode x = 5.

f ′(x) = ex − 6x f ′′(x) = ex − 6

Hodnota druhej derivácie v bode x = 5 je

f ′′(5) = e5 − 6 = 142,413.

Rozdiel medzi hodnotou derivácie, ktorú sme počítali analyticky a medzi numerickouderiváciou je spôsobený zvolenou hodnotou h.

68

5 Numerické riešenia určitých integrálovPokiaľ nevieme nájsť primitívnu funkciu k funkcii f(x), používame numerický výpočeturčitého integrálu. Vzorce sa dajú jednoducho odvodiť na základe geometrickej interpretácieurčitého integrálu. K rovnakým vzorcom sa dopracujeme použitím vzorcov pre interpoláciu.

Ide o výpočet určitého integrálu∫ ba f(x)dx, pri ktorom sa používa konečný počet funkč-

ných hodnôt funkcie na intervale 〈a, b〉. V ďalšom budeme predpokladať, že funkcia je nauvedenom intervale spojitá.

My sa budeme zaoberať troma metódami na numerický výpočet určitých integrálova to:

• obdĺžnikovou metódou,

• lichobežníkovou metódou,

• Simpsonovou metódou.

5.1 Obdĺžniková metóda

Obdĺžniková metóda je najjednoduchšia z hľadiska výpočtu. Môžeme používať tieto vzťahy:∫ b

af(x)dx ≈ h

(f

(x0 + h

2

)+ f

(x1 + h

2

)+ · · ·+ f

(xn−1 + h

2

)), kde h = b− a

n,

n je počet delení intervalu 〈a, b〉 a x0 = a, x1 = x0 + h,. . . , xn = b.Pre odhad chyby platí

|EO| 5(b− a)3

24n2 ·M2,

kdeM2 = max

x∈〈a,b〉{|f ′′(x)|} .

Poznámka: V ďalšom budeme používať

M2 = maxx∈〈a,b〉

{|f ′′(x)|} .

Príklad 24 Vypočítajme pomocou obdĺžnikovej metódy integrál∫ 3

−1

1x2 + 1dx,

interval rozdeľme na n = 10 častí a odhadnime chybu.

69

5.1 Obdĺžniková metóda Numerické riešenia určitých integrálov

Obr. 5.1: Graf funkcie f(x) = 1x2+1 na intervale 〈−1, 3〉.

Riešenie: Funkcia f(x) = 1x2+1 je spojitá na intervale 〈−1, 3〉, pozri obr. 5.1, teda môžeme

počítať integrál.Interval 〈−1, 3〉 rozdelíme na 10 rovnakých častí, kde každá časť bude mať veľkosť

h = 3−(−1)10 = 0,4 a použijeme vzorec pre výpočet určitého integrálu pomocou obdĺžnikovej

metódy pre x0 = −1, x1 = −0,6, . . . , x9 = 3.∫ b

af(x)dx ≈ h

(f

(x0 + h

2

)+ f

(x1 + h

2

)+ · · ·+ f

(xn−1 + h

2

))

∫ 3

−1

1x2 + 1dx ≈ 0.4 (f(−0,8) + f(−0,4) + f(0) + f(0,4) + · · ·+ f(2,8)) ≈

≈ 0,4 · 5,1844 ≈ 2,07376.

Všetky funkčné hodnoty môžeme vidieť v tabuľke 5.1.Na výpočet odhadu chyby pri obdĺžnikovej metóde potrebujeme vypočítať maximum

absolútnej hodnoty druhej derivácie funkcie na danom intervale. Pozri obr. 5.2.

M2 = maxx∈〈−1,3〉

{∣∣∣∣∣( 1x2 + 1

)′′∣∣∣∣∣}

= maxx∈〈−1,3〉

{∣∣∣∣∣ 6x2 − 2(x2 + 1)3

∣∣∣∣∣}

= 2.

Potom pre odhad chyby platí

|EO| 5(3− (−1))3

24 · 102 · 2 ≈ 0,0533381.

70


Tabuľka 5.1: Výpočet integrálu∫ 3−1

1x2+1dx.

Obr. 5.2: Graf funkcie f(x) = 6x2−2(x2+1)3 na intervale 〈−1, 3〉.

71


Obr. 5.3: Grafické znázornenie∫ 3−1

1x2+1dx.

Grafické znázornenie∫ 3−1

1x2+1dx môžeme vidieť na obr. 5.3.


1

(x2 − x+

√x)

dx

s presnosťou ε = 10−4.

Riešenie: Funkcia f(x) = x2 − x +√x je spojitá na celom intervale 〈1, 4〉, pozri obr.5.4,

teda môžeme vypočítať integrál.Keďže máme danú presnosť, potrebujeme dopočítať počet delení daného intervalu. Po-

užijeme na to vzorec:

|EO| < ε 5(b− a)3

24 · n2 ·M2.

Graf funkcie f(x) = 8√x5−x

4√x5 , pozri obr. 5.5, je druhá derivácia funkcie f(x) = x2−x+

√x,

takže pre M2 platí

M2 = maxx∈〈1,4〉

{∣∣∣∣(x2 − x+√x)′′∣∣∣∣} = max

x∈〈1,4〉

{∣∣∣∣∣8√x5 − x

4√x5

∣∣∣∣∣}≈ 1,97.

Potom pre počet delení platí

n =

√(4− 1)3

24 · 10−4 · 1,97 ≈ 149.

72


Obr. 5.4: Graf funkcie f(x) = x2 − x+√x na intervale 〈1, 4〉.

Obr. 5.5: Graf funkcie f(x) = 8√x5−x

4√x5 na intervale 〈1, 4〉.

73


Tabuľka 5.2: Výpočet integrálu∫ 4

1 (x2 − x+√x) dx.

Interval 〈1, 4〉 rozdelíme na 149 rovnakých častí, kde každá časť bude mať veľkosťh = 4−1

149 = 3149 a použijeme vzorec na výpočet určitého integrálu pomocou obdĺžnikovej

metódy.∫ b

af(x)dx ≈ h

(f

(x0 + h

2

)+ f

(x1 + h

2

)+ · · ·+ f

(xn−1 + h

2

))

∫ 4

1

(x2 − x+

√x)

dx ≈ 3149 (f(1,0100671141) + f(1,0302013423) + · · ·+ f(3,97987)) ≈

≈ 3149 · 916,346 ≈ 18,4499.

Všetky funkčné hodnoty potrebné na výpočet integrálu sú v tabuľke 5.2.Grafické znázornenie

∫ 41 (x2 − x+

√x) dx môžeme vidieť na obr. 5.6.


4

x√x2 − 15

dx

s presnosťou ε = 0,1.

Riešenie: Funkcia f(x) = x√x2−15 je spojitá na celom intervale 〈4, 8〉, pozri obr. 5.7, teda

môžeme vypočítať integrál.

74


Obr. 5.6: Grafické znázornenie∫ 4

1 (x2 − x+√x) dx.

Obr. 5.7: Graf funkcie f(x) = x√x2−15 na intervale 〈4, 8〉.

75


Obr. 5.8: Graf funkcie f(x) = 45x7−2025x5+30375x3−151875x√(x2−15)11 na intervale 〈4, 8〉.

Keďže máme danú presnosť, potrebujeme dopočítať počet delení daného intervalu. Po-užijeme na to vzorec:

|EO| < ε 5(b− a)3

24 · n2 ·M2.

Druhú deriváciu funkcie f(x) = x√x2−15 na intervale 〈4, 8〉 môžeme vidieť na obr. 5.8,

teda pre M2 platí

M2 = maxx∈〈4,8〉

{∣∣∣∣∣(

x√x2 − 15

)′′∣∣∣∣∣}

= maxx∈〈4,8〉

∣∣∣∣∣∣45x7 − 2025x5 + 30375x3 − 151875x√

(x2 − 15)11

∣∣∣∣∣∣ ≈ 180,004.


n =

√(8− 4)3

24 · 0,1 · 180,004 ≈ 70.

Interval 〈4, 8〉 rozdelíme na 70 rovnakých častí, kde každá časť bude mať veľkosť h == 8−4

70 = 235 a použijeme vzorec na výpočet určitého integrálu obdĺžnikovou metódou.∫ b

af(x)dx ≈ h

(f

(x0 + h

2

)+ f

(x1 + h

2

)+ · · ·+ f

(xn−1 + h

2

))∫ 8

4

x√x2 − 15

dx ≈ 235 (f(4,0285714286) + f(4,0857142867) + · · ·+ f(7,94286)) ≈

≈ 235 · 106,107 ≈ 6,06324.

76

5.2 Lichobežníková metóda Numerické riešenia určitých integrálov


4x√

x2−15dx.

Všetky funkčné hodnoty potrebné na výpočet hodnoty integrálu sú v tabuľke 5.3.Grafické znázornenie

∫ 84

x√x2−15dx môžeme vidieť na obr. 5.9.

Poznámka: Príklady Pr. 25 a Pr. 26 by sme určite nepočítali ručne, kedže počet deleníintervalu bol v jednom prípade 149 a v druhom 70. Pomocou aplikácie MATH, je to jed-noduché, preto sme zaradili do zbierky aj tieto príklady.

5.2 Lichobežníková metóda

Obdĺžniková metóda sa na výpočet určitých integrálov takmer nepoužíva. Presnejší výsle-dok nám dáva lichobežníková metóda. Môžeme pri nej používať tieto vzorce:∫ b

af(x)dx ≈ h

2 (f(x0) + 2f(x1) + 2f(x2) + · · ·+ 2f(xn−1) + f(xn)) , kde h = b− an

,

n je počet delení intervalu 〈a, b〉 a x0 = a, x1 = x0 + h, x2 = x1 + h,. . . , xn = b.Pre odhad chyby platí

|EL| 5(b− a)3

12n2 ·M2,

kdeM2 = max

x∈〈a,b〉{|f ′′(x)|} .


77



4x√

x2−15dx.


{|f ′′(x)|} .

Príklad 27 Vypočítajme pomocou lichobežníkovej metódy integrál∫ π

0sin3(x)dx


Riešenie: Funkcia f(x) = sin3(x) je spojitá na celom intervale 〈0, π〉, pozri obr. 5.10, tedamôžeme vypočítať integrál.


|EL| < ε 5(b− a)3

12 · n2 ·M2.

Graf druhej derivácie funkcie f(x) = sin3(x) môžeme vidieť na obr. 5.11, teda pre M2platí

M2 = maxx∈〈0,π〉

{∣∣∣∣(sin3(x))′′∣∣∣∣} = max

x∈〈0,π〉

{∣∣∣−3 sin3(x) + 6 sin(x) cos2(x)∣∣∣} = 3.


n =

√(π − 0)3

12 · 0,1 · 3 ≈ 9.

78


Obr. 5.10: Graf funkcie f(x) = sin3(x) na intervale 〈0, π〉.

Obr. 5.11: Graf funkcie f(x) = −3 sin3(x) + 6 sin(x) cos2(x) na intervale 〈0, π〉.

79


Tabuľka 5.4: Výpočet integrálu∫ π

0 sin3(x)dx.

Interval 〈0, π〉 rozdelíme na 9 rovnakých častí, kde každá časť bude mať veľkosť h == π−0

9 = π9 a použijeme vzorec na výpočet určitého integrálu lichobežníkovou metódou.∫ b

af(x)dx ≈ h

2 (f(x0) + 2f(x1) + 2f(x2) + · · ·+ 2f(x8) + f(x9)) .

∫ π

0sin3(x)dx ≈

π92 (f(0) + 2f(0,3488) + · · ·+ 2f(2,791111) + f(π)) ≈

≈ π

18 · 7,64477 ≈ 1,33359.

Všetky funkčné hodnoty potrebné na výpočet určitého integrálu sú v tabuľke 5.4.Grafické znázornenie

∫ π0 sin3(x)dx môžeme vidieť na obr. 5.12.

Príklad 28 Vypočítajme pomocou lichobežníkovej metódy integrál∫ π4

0

x

cos2(x)dx


Riešenie: Funkcia f(x) = xcos2(x) je spojitá na celom intervale

⟨0, π4

⟩, pozri obr. 5.13, teda

môžeme vypočítať integrál.Keďže máme danú prenosť, potrebujeme dopočítať počet delení daného intervalu. Po-

užijeme na to vzorec:

|EL| < ε 5(b− a)3

12 · n2 ·M2.

80


Obr. 5.12: Grafické znázornenie∫ π

0 sin3(x)dx.

Obr. 5.13: Graf funkcie f(x) = xcos2(x) na intervale

⟨0, π4

⟩.

81


Obr. 5.14: Graf funkcie f(x) = 4 sin(x) cos(x)+2x cos2(x)+6x sin2(x)cos4(x) na intervale

⟨0, π4

⟩.

Graf druhej derivácie funkcie f(x) = xcos2(x) môžeme vidieť na obr. 5.14, teda pre M2

platí

M2 = maxx∈〈0,π4 〉

{∣∣∣∣∣(

x

cos2(x)

)′′∣∣∣∣∣}

= maxx∈〈0,π4 〉

{∣∣∣∣∣4 sin(x) cos(x) + 2x cos2(x) + 6x sin2(x)cos4(x)

∣∣∣∣∣}≈ 20,567.


n =

√√√√(π4 − 0)3

12 · 0,01 · 20,567 ≈ 10.

Interval⟨0, π4

⟩rozdelíme na 10 rovnakých častí, kde každá časť bude mať veľkosť h =

=π4−010 = π

40 a použijeme vzorec na výpočet určitého integrálu pomocou lichobežníkovejmetódy. ∫ b

af(x)dx ≈ h

2 (f(x0) + 2f(x1) + 2f(x2) + · · ·+ 2f(x9) + f(x10)) .

∫ π4

0

x

cos2(x)dx ≈π402

(f(0) + 2f(0,0785398) + · · ·+ 2f(0,7068582) + f(π4 )

)≈

≈ π

80 · 11,2286 ≈ 0,440948.

82



40

xcos2(x)dx.


40

xcos2(x)dx.

83


Obr. 5.16: Graf funkcie f(x) = 1 + sin2(2x) na intervale⟨0, π2

⟩.

Všetky funkčné hodnoty potrebné na výpočet určitého integrálu sú v tabuľke 5.5.Grafické znázornenie

∫ π4

0x

cos2(x)dx môžeme vidieť na obr. 5.15.

Príklad 29 Vypočítajme pomocou lichobežníkovej metódy integrál∫ π2

01 + sin2(2x)dx.

Pre počet delení intervalu n = 15 a odhadnime chybu.

Riešenie: Funkcia f(x) = 1 + sin2(2x) je spojitá na celom intervale⟨0, π2

⟩, pozri obr. 5.16,

teda môžeme vypočítať integrál.Interval

⟨0, π2

⟩rozdelíme na 15 rovnakých častí, kde každá časť bude mať veľkosť h =

= (π2−0)15 = π

30 a použijeme vzorec pre výpočet určitého integrálu lichobežníkovou metódou.∫ b

af(x)dx ≈ h

2 (f(x0) + 2f(x1) + 2f(x2) + · · ·+ 2f(x14) + f(x15)) .

∫ π2

01 + sin2(2x)dx ≈

π302

(f (0) + · · ·+ 2f (1,4660762667) + f

(π

2

))≈

≈ π

60 · 45 ≈ 2,35619.

84

5.3 Simpsonova metóda Numerické riešenia určitých integrálov


20 1 + sin2(2x)dx.

V tabuľke 5.6 sú vypočítané všetky funkčné hodnoty potrebné na výpočet určitéhointegrálu.

Na výpočet odhadu chyby pri lichobežníkovej metóde potrebujeme vypočítať maxi-mum druhej derivácie funkcie na danom intervale. Graf druhej derivácie funkcie f(x) == 1 + sin2(2x) je na obr. 5.17.

M2 = maxx∈〈0,π2 〉

{∣∣∣∣(1 + sin2(2x))′′∣∣∣∣} = max

x∈〈0,π2 〉

{∣∣∣8 cos2(2x)− 8 sin2(2x)∣∣∣} = 8.


|EL| 5

(π2 − 0

)3

12 · 152 · 8 ≈ 0,0114835.

Grafické znázornenie∫ π

20 1 + sin2(2x)dx môžeme vidieť na obr. 5.18.

5.3 Simpsonova metódaDaný interval rozdelíme na párny počet podintervalov a na každom intervale nahradíme pô-vodnú funkciu parabolou (interpolačným polynómom 2. stupňa). Môžeme pri nej používať

85


Obr. 5.17: Graf funkcie f(x) = 8 cos2(2x)− 8 sin2(2x) na intervale⟨0, π2

⟩.


20 1 + sin2(2x)dx.

86


tieto vzorce:∫ b

af(x)dx ≈ h

3 (f(x0) + 4f(x1) + 2f(x2) + · · ·+ 4f(x2m−1) + f(x2m)) , kde h = b− an

,

n = 2m je počet delení intervalu 〈a, b〉 a x0 = a, x1 = x0 + h, x2 = x1 + h, . . . , xn = b.Pre odhad chyby pri Simpsonovej metóde platí

|ESM | 5(b− a)5

180n4 ·M4,

kdeM4 = max

x∈〈a,b〉

{∣∣∣f IV (x)∣∣∣} .



{∣∣∣f IV (x)∣∣∣} .

Príklad 30 Vypočítajme pomocou Simpsonovej metódy integrál∫ 1,2

0ln(1 + x2

)dx,

kde počet delení intervalu je n = 6 a odhadnime chybu.

Riešenie: Funkcia f(x) = ln (1 + x2) je spojitá na celom intervale 〈0; 1,2〉, pozri obr. 5.19,teda môžeme vypočítať integrál.

Interval 〈0; 1,2〉 rozdelíme na 6 rovnakých častí, kde každá časť bude mať veľkosť h == (1,2−0)

6 = 0,2 a použijeme vzorec pre výpočet určitého integrálu Simpsonovou metódou.∫ b

af(x)dx ≈ h

3 (f(x0) + 4f(x1) + 2f(x2) + 4f(x3) + 2f(x4) + 4f(x5) + f(x6)) .

∫ 1,2

0ln(1 + x2

)dx ≈ 0,2

3 (f(0) + 4f(0,2) + 2f(0,4) + 4f(0,6) + 2f(0,8) + 4f(1) + f(1,2)) ≈

≈ 0,23 · 6,33764 ≈ 0,422509.

Na výpočet odhadu chyby pri Simpsonovej metóde potrebujeme vypočítať maximumz absolútnej hodnoty štvrtej derivácie funkcie na danom intervale. Graf štvrtej deriváciefunkcie f(x) = ln (1 + x2) môžeme vidieť na obr. 5.20.

M4 = maxx∈〈0;1,2〉

{∣∣∣∣(ln(1 + x2))IV ∣∣∣∣} = max

x∈〈0;1,2〉

{∣∣∣∣∣−12x4 − 72x2 + 12(1 + x2)4

∣∣∣∣∣}

= 12.

Všetky funkčné hodnoty potrebné na výpočet určitého integrálu sú v tabuľke 5.7.Potom pre odhad chyby platí

|ES| 5(1,2− 0)5

180 · 64 · 12 ≈ 0,000127998.

Grafické znázornenie∫ 1,2

0 ln (1 + x2) dx môžeme vidieť na obr. 5.21.

87


Obr. 5.19: Graf funkcie f(x) = ln (1 + x2) na intervale 〈0; 1,2〉.

Obr. 5.20: Graf funkcie f(x) = −12x4−72x2+12(1+x2)4 na intervale 〈0; 1,2〉.

88


Tabuľka 5.7: Výpočet integrálu∫ 1,2

0 ln (1 + x2) dx.

Obr. 5.21: Grafické znázornenie∫ 1,2

0 ln (1 + x2) dx.

89


Obr. 5.22: Graf funkcie f(x) = x ln(x2) na intervale 〈1, 2〉.

Príklad 31 Vypočítajme pomocou Simpsonovej metódy integrál∫ 2

1x ln(x2)dx

s presnosťou ε = 10−5.

Riešenie: Funkcia f(x) = x ln(x2) je spojitá na celom intervale 〈1, 2〉, pozri obr. 5.22, tedamôžeme vypočítať integrál.


|ES| < ε 5(b− a)5

180 · n4 ·M4.

Graf štvrtej derivácie funkcie f(x) = x ln(x2) môžeme vidieť na obr. 5.23. Pre M4 platí

M4 = maxx∈〈1,2〉

{∣∣∣∣(x ln(x2))IV ∣∣∣∣} = max

x∈〈1,2〉

{∣∣∣∣ 4x3

∣∣∣∣} = 4.


n =4

√(2− 1)5

180 · 10−5 · 4 ≈ 8.


8 = 0,125 a použijeme vzorec na výpočet určitého integrálu pri Simpsonovej metóde.∫ b

af(x)dx ≈ h

3 (f(x0) + 4f(x1) + 2f(x2) + · · ·+ 2f(x6) + 4f(x7) + f(x8)) .

90


Obr. 5.23: Graf funkcie f(x) = 4x3 na intervale 〈1, 2〉.

∫ 2

1x ln(x2)dx ≈ 0,125

3 (f(0) + 4f(0,125) + 2f(0,25) + · · ·+ 2f(1,75) + 4f(1,875) + f(2)) ≈

≈ 0,1253 · 30,5422 ≈ 1,27259.

Všetky funkčné hodnoty potrebné na výpočet určitého integrálu sú v tabuľke 5.8.Pre odhad chyby platí

|ES| 5(2− 1)5

180 · 84 · 4 ≈ 5,42671 · 10−6.

Grafické znázornenie∫ 2

1 x ln(x2)dx môžeme vidieť na obr. 5.24.

Príklad 32 Vypočítajme pomocou Simpsonovej metódy integrál∫ 1

0(ex + 1)3 e2xdx,

kde počet delení intervalu je n = 10 a odhadnime chybu.

Riešenie: Funkcia f(x) = (ex + 1)3 e2x je spojitá na celom intervale 〈0, 1〉, pozri obr. 5.25,teda môžeme vypočítať integrál.

91



1 x ln(x2)dx.


1 x ln(x2)dx.

92


Obr. 5.25: Graf funkcie f(x) = (ex + 1)3 e2x na intervale 〈0, 1〉.


10 = 0,1 a použijeme vzorec na riešenie určitého integrálu pomocou Simpsonovejmetódy.∫ b

af(x)dx ≈ h

3 (f(x0) + 4f(x1) + 2f(x2) + · · ·+ 2f(x8) + 4f(x9) + f(x10)) .

∫ 1

0(ex + 1)3 e2xdx ≈ 0,1

3 (f(0) + 4f(0,1) + 2f(0,2) + · · ·+ 2f(0,8) + 4f(0,9) + f(1)) ≈

≈ 0,13 · 2759,33 ≈ 91,9777.

Na výpočet odhadu chyby pri Simpsonovej metóde potrebujeme vypočítať maximumštvrtej derivácie funkcie na danom intervale. Graf štvrtej derivácie funkcie f(x) = (ex + 1)3 e2x

môžeme vidieť na obr. 5.26. Pre M4 platí

M4 = maxx∈〈0,1〉

{∣∣∣∣((ex + 1)3 e2x)IV ∣∣∣∣} = max

{∣∣∣625e5x + 768e4x + 243e3x + 16e2x∣∣∣} ≈ 139689,462.

Všetky funkčné hodnoty potrebné na výpočet daného určitého integrálu sú v tabuľke 5.9.


|ES| 5(1− 0)5

180 · 104 · 139689,462 = 0,0776053.


0 (ex + 1)3 e2xdx môžeme vidieť na obr.5.27.

93


Obr. 5.26: Graf funkcie f(x) = 625e5x + 768e4x + 243e3x + 16e2x na intervale 〈0, 1〉.


0 (ex + 1)3 e2xdx.

94



0 (ex + 1)3 e2xdx.

95

Monte Carlo integrovanieČasto sa stáva, že jedinou možnosťou ako určiť hodnotu určitého integrálu je použitienejakej numerickej metódy. Numerickými metódami na výpočet určitých integrálov sme sazaoberali v predchádzajúcej kapitole. Tieto a podobné metódy ale zlyhajú predovšetkýmpreto, že v praxi je potrebné integrovať funkciu viacerých premenných a numerická chybatýchto metód spravidla rastie exponenciálne s počtom premenných. Existuje ale metódanazývaná integrovanie Monte Carlo, ktorá síce konverguje pomalšie pre integrovanie funkciís menším počtom premenných ako iné metódy, ale nie je zaťažená chybami pri vyššom počtepremenných. Metóda Monte Carlo je založená na náhodných výberoch.

V tejto kapitole sa zameriame na tri metódy a to:

• Metóda Monte Carlo (Hit or Miss) pre výpočet určitého integrálu∫ ba f(x)dx,

• Metóda Monte Carlo (priemerovacia) pre výpočet určitého integrálu∫ ba f(x)dx,

• Metóda Monte Carlo (priemerovacia) pre výpočet dvojných určitých integrálov.

5.4 Metóda Monte Carlo (Hit or Miss)Hit or Miss Monte Carlo integrovanie je založené na tom, že odhaduje integrál pomocounáhodného výberu bodov z intervalu 〈a, b〉 a vyhodnocuje, či spĺňajú určitú podmienku.Pracujeme s obdĺžnikom, ktorého výška je h, h 5 fmax, kde fmax je maximálna funkčnáhodnota funkcie f(x) na intervale 〈a, b〉 a šírka je b− a. Tento obdĺžnik ohraničuje funkciuf(x) na intervale 〈a, b〉. Pri tejto metóde náhodne vyberieme n bodov z daného obdĺžnika.Potom odhadovanú hodnotu integrálu vypočítame ako∫ b

af(x)dx ≈ ns

n· (b− a)h,

kde ns je počet bodov, ktoré sú pod krivkou funkcie f(x) a n je počet všetkých náhodnevybratých bodov.

Pre odhad chyby pri tejto metóde platí

EHoM 5(b− a)h

n

√ns −

n2s

n.

Príklad 33 Vypočítajme hodnotu určitého integrálu∫ 9

4

1√x− 1dx

metódou Hit or Miss pre n = 1000.

96

5.4 Metóda Monte Carlo (Hit or Miss) Numerické riešenia určitých integrálov


41√x−1dx.

Riešenie: Funkcia f(x) = 1√x−1 je definovaná na intervale 〈4, 9〉, pozri obr. 5.28, teda

môžeme integrovať.Body, v ktorých sa počítajú funkčné hodnoty sa vyberú náhodne z intervalu 〈4, 9〉.V ta-

buľke 5.10 je zaznamenaný náhodný výber bodov s príslušnými funkčnými hodnotami.Keďže ide o náhodný výber, každé ďalšie spustenie aplikácie a teda výpočet môže vyzeraťinak, ale bude s podobným výsledkom.

Odhadovaná hodnota integrálu podľa tejto metódy je∫ 9

4

1√x− 1dx ≈ ns

n· (b− a)h = 671

1000 · (9− 4) · 1 = 3,355.


EHoM 5(b− a)h

n

√ns −

n2s

n≈ 0,0742898.


41√x−1dx je na obr. 5.28.


0

x√1 + 3x

dx


97



41√x−1dx.

Riešenie: Funkcia f(x) = x√1+3x je definovaná na intervale 〈0, 5〉, pozri obr. 5.29, teda

môžeme integrovať. Body, v ktorých sa počítajú funkčné hodnoty sa vyberú náhodne z in-tervalu 〈0, 5〉. V tabuľke 5.11 sú zaznamenané náhodne vybrané body a k nim prislúchajúcefunkčné hodnoty.

Odhadovaný výsledok integrálu podľa tejto metódy je∫ 5

0

x√1 + 3x

dx ≈ nsn· (b− a)h = 644

1000 · (5− 0) · 1,24934 ≈ 4,02286.


EHoM 5(b− a)h

n

√ns −

n2s

n≈ 0,0945839.


0x√

1+3xdx je na obr. 5.29.


1

e 1x

x2 dx


Riešenie: Funkcia f(x) = e1x

x2 je definovaná na intervale 〈1, 2〉, pozri obr. 5.30, teda môžemeintegrovať.

98



0x√

1+3xdx.


0x√

1+3xdx.

99

5.5 Metóda Monte Carlo (priemerovacia) Numerické riešenia určitých integrálov


1e

1x

x2 dx.

Body v ktorých sa počítajú funkčné hodnoty sa vyberú náhodne z intervalu 〈0, 5〉. V ta-buľke 5.12 sú zaznamenané náhodne vybrané body s príslušnými funkčnými hodnotami.

Odhadovaný výsledok integrálu podľa tejto metódy bude

∫ 2

1

e 1x

x2 dx ≈ nsn· (b− a)h = 391

1000 · (2− 1) · 2,71828 ≈ 1,06285.


EHoM 5(b− a)h

n

√ns −

n2s

n≈ 0,0419461.


1e

1x

x2 dx je na obr. 5.30.

5.5 Metóda Monte Carlo (priemerovacia)Priemerovacia metóda Monte Carlo je založená na teórii priemerovania, čo znamená, žeurčitý integrál je daný priemernou hodnotou funkčných hodnôt f(x) na intervale 〈a, b〉.Pre výpočet tejto priemernej hodnoty vyberieme n bodov xi v náhodnom poradí z inter-valu 〈a, b〉 a vypočítame príslušné funkčné hodnoty f(xi). Odhadovanú hodnotu integrálu

100



1e

1x

x2 dx.

vypočítame podľa vzorca∫ b

af(x)dx ≈ (b− a) 1

n

n∑i=1

f(xi).

Pre odhad chyby pri tejto metóde platí

EA 5(b− a)n

√√√√ n∑i=1

(f(xi))2 − (∑ni=1 f(xi))2

n.


0xe−xdx

priemerovacou metódou Monte Carlo pre n = 100.

Riešenie: Funkcia f(x) = xe−x je definovaná na celom intervale 〈0, 1〉, pozri obr. 5.31, tedamôžeme integrovať.

Body, v ktorých sa počítajú funkčné hodnoty sa vyberú náhodne z intervalu 〈0, 1〉. Ta-buľka 5.13 obsahuje náhodne vybrané body s príslušnými funkčnými hodnotami. Keďže ideo náhodný výber, každé ďalšie spustenie výpočtu bude pravdepodobne iné, ale s podobnýmvýsledkom.

101



0 xe−xdx.

Odhadovaný výsledok bude∫ 1

0xe−xdx ≈ (b− a) 1

n

n∑i=1

f(xi) ≈ 0,267782.

Odhad chyby vypočítame podľa uvedeného vzťahu a jeho hodnota je nasledovná

EA 5(b− a)n

√√√√ n∑i=1

(f(xi))2 − (∑ni=1 f(xi))2

n≈ 0,0107568.


0 xe−xdx je na obr. 5.31.


0ln(1 + x2

)dx


Riešenie: Funkcia f(x) = ln (1 + x2) je definovaná na celom intervale 〈0, 1〉, pozri obr. 5.32,teda môžeme integrovať. Body, v ktorých sa počítajú funkčné hodnoty sa vyberú náhodnez intervalu 〈0, 1〉. Tabuľka 5.14 obsahuje náhodne vybrané body s príslušnými funkčnýmihodnotami. Odhadovaný výsledok bude

102



0 xe−xdx.


0 ln (1 + x2) dx.

103



0 ln (1 + x2) dx.

∫ 1

0ln(1 + x2

)dx ≈ (b− a) 1

n

n∑i=1

f(xi) ≈ 0,262889.

Odhad chyby vypočítame podľa uvedeného vzťahu

EA 5(b− a)n

√√√√ n∑i=1

(f(xi))2 − (∑ni=1 f(xi))2

n≈ 0,0196184.


0 ln (1 + x2) dx je na obr. 5.32.


0(2x+ 1) e2xdx


Riešenie: Funkcia f(x) = (2x+ 1) e2x je definovaná na celom intervale 〈0, 1〉, pozri obr. 5.33,teda môžeme integrovať. Body, v ktorých sa počítajú funkčné hodnoty sa vyberú náhodnez intervalu 〈0, 1〉. Tabuľka 5.15 obsahuje náhodne vybrané body s príslušnými funkčnýmihodnotami.


0(2x+ 1) e2xdx ≈ (b− a) 1

n

n∑i=1

f(xi) ≈ 9,53161.

104

5.6 Metóda Monte Carlo pre dvojné integrály. Numerické riešenia určitých integrálov


0 (2x+ 1) e2xdx.

Odhad chyby vypočítame podľa uvedeného vzťahu a jeho hodnota je nasledovná

E 5(b− a)n

√√√√ n∑i=1

(f(xi))2 − (∑ni=1 f(xi))2

n≈ 0,168638.


0 (2x+ 1) e2xdx je na obr. 5.33.

5.6 Metóda Monte Carlo pre dvojné integrály.Priemerovacia metóda Monte Carlo sa veľmi často využíva ak máme vypočítať hodnotuviacrozmerného určitého integrálu. My sme sa zamerali na dvojný integrál.

Princíp je rovnaký ako pri jednorozmernom integrále, čo znamená, že určitý integrálje daný priemernou hodnotou funkčných hodnôt f(x, y), kde x ∈ 〈a, b〉 a y ∈ 〈c, d〉. Prevýpočet tejto priemernej hodnoty vyberáme n bodov xi v náhodnom poradí z intervalu〈a, b〉 a n bodov yi v náhodnom poradí z intervalu 〈c, d〉 a pomocou príslušných funkčnýchhodnôt f(xi, yi) vypočítame odhadovanú hodnotu dvojného integrálu podľa vzorca

∫ b

a

∫ d

cf(x, y)d ydx ≈ (b− a)(d− c) 1

n

n∑i=1

f (xi, yi) .

105



0 (2x+ 1) e2xdx.


EDA 5 (b− a)(d− c) 1n

√√√√ n∑i=1

(f (xi, yi))2 − (∑ni=1 f (xi, yi))2

n.

Príklad 39 Vypočítajme hodnotu dvojného integrálu∫ 4

1

∫ 3

−2x2yd ydx

pre n = 1000.

Riešenie: Dvojice xi a yi sú vyberané náhodne z intervalov 〈1, 4〉 a 〈−2, 3〉. Náhodný výbers prislúchajúcimi funkčnými hodnotami môže vyzerať ako v tabuľke 5.16.


1

∫ 3

−2x2yd ydx ≈ (b− a)(d− c) 1

n

n∑i=1

f (xi, yi) ≈ 52,487.

Pre odhad chyby potom platí

EDA 5 (b− a)(d− c) 1n

√√√√ n∑i=1

(f (xi, yi))2 − (∑ni=1 f (xi, yi))2

n≈ 5,81603.

Presnosť výpočtu sa mení s každým náhodným výberom a rastie so zvyšovaním počtukrokov.

106


Tabuľka 5.16: Výpočet dvojného integrálu∫ 4

1∫ 3−2 x

2yd ydx.


0

∫ 5

0

√xyd ydx

pre n = 10000.

Riešenie: Dvojice xi a yi sú vyberané náhodne z intervalov 〈0, 4〉 a 〈0, 5〉. Náhodný výbers prislúchajúcimi funkčnými hodnotami môže vyzerať ako v tabuľke 5.17.


0

∫ 5

0

√xyd ydx ≈ (b− a)(d− c) 1

n

n∑i=1

f (xi, yi) ≈ 40,1576.


EDA 5 (b− a)(d− c) 1n

√√√√ n∑i=1

(f (xi, yi))2 − (∑ni=1 f (xi, yi))2

n≈ 0,206451.


0

∫ 1

0ex+yd ydx

n = 10000.

107



0∫ 5

0√xyd ydx.


0∫ 1

0 ex+yd ydx.

108


Riešenie: Dvojice xi a yi sú vyberané náhodne z intervalov 〈0, 1〉 a 〈0, 1〉. Náhodný výbers prislúchajúcimi funkčnými hodnotami môže vyzerať ako v tabuľke 5.18.


0

∫ 1

0ex+yd ydx ≈ (b− a)(d− c) 1

n

n∑i=1

f (xi, yi) ≈ 2,95086.


EDA 5 (b− a)(d− c) 1n

√√√√ n∑i=1

(f (xi, yi))2 − (∑ni=1 f (xi, yi))2

n≈ 0,0120388.

109

Literatúra[1] Š. Berežný: Numerická matematika, KM FEI TUKE, Košice (2012), ISBN 8-80-553-

1067-1.

[2] K. Budajová, V. Mislivcová: Vybrané kapitoly z aplikovanej matematiky pre leteckýchinžinierov, KAaS LF TUKE, Košice (2014), ISBN 978-80-553-1736-6.

[3] J. Buša, V. Pirč, Š. Schrötter: Numerické metódy, pravdepodobnosť a matematická šta-tistika, KM FEI TUKE, Košice (2006), ISBN 80-8073-632-4.

[4] F. Olejník, V. Mislivcová: Matematika 1, Elfa, Košice (2006).

110

NÁZOV: Súbor riešených príkladov z numerickej matematikys využitím aplikácie MATH

AUTORI: Budajová Kristína, Glaser-Opitz HenrichVYDAVATEĽ: Technická univerzita v KošiciachROK: 2014VYDANIE: prvéROZSAH: 110ISBN: 978-80-553-1727-4

Documents

Súbor riešených príkladov z numerickej matematiky s využitím