Zadatak 061 (Maturanti, HTT)3 2: :1 . 2 B B v x= Najprije izra čunamo obujam kocke: 3 3 3 3 27. a V Vk k V ak = ⇒ = ⇒ = = Budu ći da kocka i uspravna četverostrana piramida

1

Zadatak 061 (Maturanti, HTT) Pravilna četverostrana piramida ima sve bridove jednake duljine a = 4 cm. Nañi njezino

oplošje.

Rješenje 061 Ponovimo!

Jednakostraničan trokut ima sve tri stranice jednake duljine. Njegova površina računa se formulom

3.

2

4

aP

⋅=

Kvadrat je pravokutnik kojemu su sve stranice meñusobno jednake. Njegova površina računa se

formulom

2.P a=

Piramida je geometrijsko tijelo omeñena mnogokutima – osnovkom (bazom) i trokutima koji čine

pobočke (strane) piramide. Pobočke spajaju vrh piramide s bridom osnovke. Visina piramide

udaljenost je vrha piramide od ravnine njezine baze. Oplošje piramide računa se po formuli

,O B P= +

gdje je B površina baze, a P površina plašta.

Baza pravilne četverostrane piramide je kvadrat, pobočke su četiri trokuta sa zajedničkim vrhom, a

visina piramide prolazi kroz središte kvadrata. Svi su pobočni bridovi pravilne četverostrane piramide

jednake duljine.

v1v

aa

aa

2

površina baze, kvadrata

2 21 14 površina četiri trokuta 4 21.

2 2

B a

a v a vP O a O a a v

O B P

=

⋅ ⋅= ⋅ ⇒ = + ⋅ ⇒ = + ⋅ ⋅

= +

Budući da je baza piramide kvadrat, a pobočje čine četiri jednakostranična trokuta, oplošje piramide

iznosi:

2

2 2 23 3 32 2 2 2

4 4 34 44

4

B a

a a aP O a O a O a a

O B P

=

⋅ ⋅ ⋅= ⋅ ⇒ = + ⋅ ⇒ = + ⋅ ⇒ = + ⋅ ⇒

= +

( ) ( ) ( ) ( )22 21 3 4 1 3 16 1 3 .O a O cm O cm⇒ = ⋅ + ⇒ = ⋅ + ⇒ = ⋅ +

aa

a

a

aa

2

Vježba 061 Pravilna četverostrana piramida ima sve bridove jednake duljine a = 5 cm. Nañi njezino

oplošje.

Rezultat: ( ) 225 1 3 .O cm= ⋅ +

Zadatak 062 (Maturanti, HTT) Kocka duljine brida 3 cm i uspravna četverostrana piramida imaju zajedničku osnovku i

jednake volumene. Koliki je volumen dijela piramide koji se nalazi izvan kocke?


Razmjer ili proporcija je jednakost dvaju jednakih omjera. Ako je

a : b = k i c : d = k,

tada je razmjer ili proporcija

a : b = c : d.

Umnožak vanjskih članova razmjera a i d jednak je umnošku unutarnjih članova razmjera b i c.

.: :a b c d a d b c= ⇒ ⋅ = ⋅

Kocka (heksaedar) pravilan je poliedar. Omeñena je sa šest sukladnih strana koje su kvadrati.

Obujam kocke brida a iznosi

3.V a=

Kvadrat je pravokutnik kojemu su sve stranice meñusobno jednake. Njegova površina računa se

formulom

2.P a=

x

v

aa

B1

BB

aa

Piramida je geometrijsko tijelo omeñena mnogokutima – osnovkom (bazom) i trokutima koji čine

pobočke (strane) piramide. Pobočke spajaju vrh piramide s bridom osnovke. Visina piramide

udaljenost je vrha piramide od ravnine njezine baze. Baza je četverostrane pravilne piramide kvadrat, a

visina prolazi kroz središte kvadrata. Svi su pobočni bridovi pravilne četverostrane piramide jednake

duljine. Obujam pravilne četverostrane piramide računa se po formuli

2,

1

3V a v= ⋅ ⋅

gdje je v njezina visina.

Krnja piramida

Presiječemo li piramidu ravninom paralelnom s ravninom baze, dobit ćemo dva tijela, manju

piramidu s bazom B1 i ostatak koji nazivamo krnja piramida. Baze B i B1 slični su likovi s

koeficijentom sličnosti v

x pa vrijedi razmjer:

3

2: :

1.

2B B v x=

Najprije izračunamo obujam kocke:

33

3 27.3

a

V Vk kV a

k

=⇒ = ⇒ =

=

Budući da kocka i uspravna četverostrana piramida imaju jednake volumene, slijedi:

v1

v

a

aa

B1

B

327

31 12 2

27 271 /23 23

3

V

a

a v a vv

p kVV

a ap

=

⇒ ⇒ ⋅= = ⋅⋅ = ⇒ ⋅ ⋅ = ⇒= ⋅ ⋅

3 327 27 9.

2 23

v v v

a

⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ =

Izračunali smo visinu v uspravne četverostrane piramide.

B1

aa

a

v

v1

B

B1

aa

a

v

v1

4

Sa slika vidi se da visina v1 dijela piramide (male piramide) koja je izvan kocke iznosi:

9 , 39 3 6.

1 11

v av v

v v a

= =⇒ = − ⇒ =

= −

Uočimo krnju piramidu kojoj su B donja baza, a B1 gornja baza. Iz poznatog razmjera dobije se

površina gornje baze B1: 2

2 2 2 2 1/

2

2 2 1: :1 1 1 1 1 1 1 2

vB B v v B v B v B v B v B B

v v

= ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ ⇒ = ⋅⋅= ⋅ ⇒

2 26 362 21 3 9 4.

1 1 1 12 2 819

2 vB a B B B

v

B a⇒ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ ==

Konačno, obujam V1 dijela piramide (male piramide) koji se nalazi izvan kocke ima vrijednost:

4 , 61 1 1 3

4 6 8 .1 1 131 1 13

B v

V V cmV B v

= =

⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ == ⋅ ⋅

Vježba 062 Kocka duljine brida 3 dm i uspravna četverostrana piramida imaju zajedničku osnovku i

jednake volumene. Koliki je volumen dijela piramide koji se nalazi izvan kocke?

Rezultat: 8 dm3.

Zadatak 063 (Maturanti, HTT) Polovište visine pravilnog tetraedra spojeno je s dva vrha osnovke. Koliko iznosi kut izmeñu

tih spojnica?


( ) ( ) ,2

, , , .

n naa a an n n

a a a b a b a b a bnb b bb

= ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ =

2, 0.a a a= ≥

Pitagorin poučak

Trokut je pravokutan ako i samo ako je kvadrat duljine hipotenuze jednak zbroju kvadrata duljina

kateta.

Poučak o kosinusu (kosinusov poučak)

U trokutu ABC vrijede ove jednakosti

2 2 2 2 2 2 2 2 22 cos 2 cos 2, .s, coa b c b c b c a c a c a b a bα β γ= + − ⋅ ⋅ ⋅ = + − ⋅ ⋅ ⋅ = + − ⋅ ⋅ ⋅

Jednakostraničan trokut ima sve tri stranice jednake duljine. Za jednakostraničan trokut simetrale

kutova i stranica se poklapaju, a radijus opisane kružnice računa se po formuli

3,

3

ar

⋅=

gdje je a duljina stranice jednakostraničnog trokuta.

Tetraedar je geometrijsko tijelo koje ima 4 vrha, 6 bridova i 4 strane koje čine jednakostranični trokuti.

Pravilni tetraedar je uspravna trostrana piramida čiji su svi bridovi jednake duljine. Nožište visine

tetraedra je središte opisane kružnice bazi (jednakostraničnom trokutu).

5

rx

x

a av

a

a

a

P

N

A B

C

V

Sa slike vidi se:

.AB BC CA AV BV CV a= = = = = =

3 1 1, , ,

3 2 2

ar AN x AP BP VN v NP VN v

⋅= = = = = = ⋅ = ⋅

a

a

a

vaa

P

N

C

BA

V

Uočimo pravokutan trokut ANV i pomoću Pitagorina poučka izračunamo visinu v tetraedra.

232 2 2 2 2 2 2 2

3

aNV AV AN v a r v a

⋅= − ⇒ = − ⇒ = − ⇒

( )22 2 2 23 3 3 62 2 2 2 2 2 2

2 9 9 93

a a a av a v a v a v

⋅ ⋅ ⋅ ⋅⇒ = − ⇒ = − ⇒ = − ⇒ = ⇒

22 26 66 62

.9 9

/39

a aa av v v v

⋅ ⋅⋅ ⋅⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ =

6

a av

a

a

a

P

N

A B

C

V

Uočimo pravokutan trokut ANP i pomoću Pitagorina poučka izračunamo duljinu x = │AP│.

( ) ( )2 22 2 2 2

3 63 62 2 2 2 2

2 23 6 3 6

a aa aAP AN NP x x

⋅ ⋅⋅ ⋅= + ⇒ = + ⇒ = + ⇒

2 2 2 2 2 2 2 23 6 22 2 2 2

9 3

3 6

9 366 3 6 3

a a a a a a a ax x x x

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +⇒ = + ⇒ = + ⇒ = + ⇒ = ⇒

3/

2 2 2 2 232 2 2 2

.6 2 2 26 2

a a a a a ax x x x x x

⋅ ⋅⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ =

ϕϕϕϕ

a

a

a

vaa

P

N

C

BA

V

Uočimo trokut ABP i pomoću kosinusovog poučka izračunamo kut φ izmeñu spojnica │AP│ i │BP│.

2 2 2 2 2 22 cos 2 cosAB AP BP AP BP a x x x xϕ ϕ= + − ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ = + − ⋅ ⋅ ⋅ ⇒

2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 cos 2 cos 2 2 co

1/

2s 2

2

a x x x x a x x a

x

ϕ ϕ ϕ⇒ = ⋅ − ⋅ ⋅ ⇒ ⋅⋅ ⋅ = ⋅ − ⇒ ⋅ ⋅ = ⋅⋅

− ⇒

7

22 22

2 222 2 222 2cos cos cos cos2 2 2 2

222

22

22

22

aa aa

a ax a

x a aa

ϕ ϕ ϕ ϕ

⋅ − ⋅ − ⋅ −⋅ −

⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒⋅

⋅ ⋅⋅

2 20 01

cos cos cos 0 cos 0 90 .2

i2 2

ila a

a a

πϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

− −⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = =

Vježba 063 Izračunaj oplošje i obujam (volumen) tetraedra s bridom duljine a.

Rezultat: 12 3

3 , 2.12

O a V a= ⋅ = ⋅ ⋅

Zadatak 064 (Ivana, gimnazija) Duljine bridova kvadra iznose 15 cm, 12 cm i 10 cm. Koliki je kut što ga prostorna dijagonala

kvadra zatvara s njegovom najmanjom stranom?


( ) ,2

.xx

x xy y

= =

Poučak o kosinusu (kosinusov poučak)

U trokutu ABC vrijede ove jednakosti

2 2 2 2 2 2 2 2 22 cos 2 cos 2, .s, coa b c b c b c a c a c a b a bα β γ= + − ⋅ ⋅ ⋅ = + − ⋅ ⋅ ⋅ = + − ⋅ ⋅ ⋅

2 2 2 2 2 2 2 2 2

cos cos cos,2

, .2 2

b c a c a b a b c

b c c a a bα β γ

+ − + − + −= = =

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Kvadar je uspravna četverostrana prizma kojoj je baza pravokutnik. Neka su a, b i c duljine bridova

kvadra.

c

b

a

d3

d2

d1

D

Duljine plošnih dijagonala kvadra

2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 1 2

.2

,d a b d a b d a c d a c= + ⇒ = + = + ⇒ = +

2 2 2 2 23 3

.d b c d b c= + ⇒ = +

Duljina prostorne dijagonale kvadra

2 2 2 2 2 2 2.D a b c D a b c= + + ⇒ = + +

Računamo kut α što ga prostorna dijagonala kvadra zatvara s njegovom najmanjom stranom.

8

αααα

a

D d3

a

b

c

Sa slike vidi se:

2 2 2 2 215 , 12 , 10 , ,

3a cm b cm c cm D a b c d b c= = = = + + = +

Uočimo trokut čije su stranice a, D i d3. Pomoću kosinusovog poučka dobije se kut α.

2 2 2 2 2 2 2 2 23cos cos

2 2 2 2 223 2

D d a a b c b c a

D da b c b c

α α+ − + + + + −

= ⇒ = ⇒⋅ ⋅

⋅ + + ⋅ +

2 2 2 2 2 22 2

cos cos2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

2 2b c b c b c

a b c b c a b c

a

b

a

c

α α+ + + + ⋅ + ⋅

⇒ = ⇒ = ⇒

⋅ + + ⋅ + + + ⋅ +

−

⋅

( ) ( )2 2 2 22

cos cos2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

22

b c b c

a b c b c a b c b c

α α⋅ + ⋅ +

⇒ = ⇒ = ⇒

⋅ + + ⋅ + ⋅ + + ⋅ +

22 2

2 2

cos cos2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

b cb c

a b c b c a b c b c

α α

++

⇒ = ⇒ = ⇒

+ + ⋅ + + + ⋅ +

2 22 2 2 2

cos cos cos2 2 22 2 2 2 2 2

2

2 2

b cb c b c

a b ca b bc b cc a

α α α

++ +

⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒

+ + ++ + ⋅ + +

2 2 2 212 10 144 1001 1 1

cos cos cos2 2 2 2 2 2 225 144 10015 12 10

b c

a b c

α α α+ + +− − −⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒

+ ++ + + +

244 01cos 43 50 '21''.

469α α−⇒ = ⇒ =

Vježba 064 Duljine bridova kvadra iznose 1.5 dm, 1.2 dm i 1 dm. Koliki je kut što ga prostorna dijagonala

kvadra zatvara s njegovom najmanjom stranom?

Rezultat: 43° 50' 21''.

Zadatak 065 (Ivana, gimnazija) Duljine bridova kvadra iznose 15 cm, 12 cm i 10 cm. Koliki je kut što ga najveći dijagonalni

presjek kvadra zatvara s njegovom najvećom stranom?

9


Sinus šiljastog kuta pravokutnog trokuta jednak je omjeru duljine katete nasuprot tog kuta i duljine

hipotenuze.

Kosinus šiljastog kuta pravokutnog trokuta jednak je omjeru duljine katete uz taj kut i duljine

hipotenuze.

Tangens šiljastog kuta pravokutnog trokuta jednak je omjeru duljine katete nasuprot tog kuta i duljine

katete uz taj kut.

Kvadar je uspravna četverostrana prizma kojoj je baza pravokutnik. Neka su a, b i c duljine bridova

kvadra.

c

b

a

d3

d2

d1

D

Duljine plošnih dijagonala kvadra

2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 1 2

.2

,d a b d a b d a c d a c= + ⇒ = + = + ⇒ = +

2 2 2 2 23 3

.d b c d b c= + ⇒ = +

Duljina prostorne dijagonale kvadra

2 2 2 2 2 2 2.D a b c D a b c= + + ⇒ = + +

Računamo kut α što ga najveći dijagonalni presjek kvadra zatvara s njegovom najvećom stranom.

c

c

b

a

d3

αααα

Sa slike vidi se:

2 215 , 12 , 10 ,

3a cm b cm c cm d b c= = = = +

Uočimo pravokutan trokut čije su katete stranice b i c, a hipotenuza plošna dijagonala d3 i izračunamo

kut α.

1.inačica

101 1sin sin sin sin

2 2 2 2 2 23 12 10

c c c

db c b c

α α α α− −= ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒

+ + +

10 10 01 1sin sin 39 48 '20 ''.

144 100 244α α α− −⇒ = ⇒ = ⇒ =

+

10

2.inačica

121 1cos cos cos cos

2 2 2 2 2 23 12 10

b b b

db c b c

α α α α− −= ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒

+ + +

12 12 01 1cos cos 39 48 '20 ''.

144 100 244α α α− −⇒ = ⇒ = ⇒ =

+

3.inačica

10 01 139 48 '20 ''.

12

c ctg tg tg

b bα α α α− −

= ⇒ = ⇒ = ⇒ =

Vježba 065 Duljine bridova kvadra iznose 1.5 dm, 120 mm i 0.1 m. Koliki je kut što ga najveći dijagonalni presjek kvadra zatvara s njegovom najvećom stranom?

Rezultat: 39° 48' 20''.

Zadatak 066 (Ivana, gimnazija)

Presjek pravilne četverostrane piramide ravninom koja prolazi dijagonalom osnovke i

polovištem bočnog brida jednakostraničan je trokut površine 2

2 3 .cm⋅ Koliki je obujam te

piramide?


Pitagorin poučak:


kateta.

d a

a Kvadrat je pravokutnik kojemu su sve stranice sukladne. Ploština kvadrata izračunava se po formuli:

2.P a=

Dijagonala d izračunava se po formuli:

.2d a= ⋅

a

av

Jednakostraničan trokut ima sve tri stranice jednake duljine. Ploština jednakostraničnog trokuta

izračunava se po formuli

3.

2

4

aP

⋅=

Visina jednakostraničnog trokuta računa se po formuli:

3.

2

av

⋅=

11

Srednjice trokuta

Dužine koje spajaju polovišta stranica trokuta zovu se srednjice trokuta. Svaki trokut ima tri srednjice.

Svaka srednjica trokuta usporedna je sa suprotnom stranicom trokuta, a duljina joj je jednaka polovici

duljine te stranice.

pn

mc b

a

‌ ‌ , 2‌ ‌ ‌ ‌ , 2, 2 , , .a m c pb n b n ca m p= ⋅ = ⋅= ⋅

Četverostrana je piramida pravilna ako je baza kvadrat, a visina prolazi kroz središte kvadrata. Svi su

pobočni bridovi pravilne četverostrane piramide jednake duljine. Obujam se računa po formuli:

2.

1

3V a v= ⋅ ⋅

a

a

a

a

v

d

ddd

d

d

v

a

a

a

a

P

S

C

P

S

C

A B

D D

BA

V V

a

a

a

a

v

d

dd d

d

d

v

a

a

a

a

MM

P

S

C

P

S

C

A B

DD

BA

V V

Sa slika vidi se:

12

, 2AB BC CD DA a AC BD BP DP d a= = = = = = = = = ⋅

1 1 1 12 , ,

2 2 2 2SC AC a SV v SM SV v= ⋅ = ⋅ ⋅ = = ⋅ = ⋅

3 2 3 6.

2 2 2

d a aSP

⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = =

Budući da je presjek pravilne četverostrane piramide ravninom koja prolazi dijagonalom osnovke i

polovištem bočnog brida jednakostraničan trokut ∆DBP, iz njegove površine dobije se duljina stranice

osnovke piramide.

( )

23

24 2 22 3 2 3 32 2 3 2 3 2 3

4 42

43

2

dPDBP

a a ad a

PDBP

⋅=

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒

= ⋅

22 2

3 3 2 22 3 2 3 4 4 4 2.

2 2/ /

3

a aa a a a

⋅ ⋅⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ =⋅

Duljina stranice osnovke piramide je a = 2 cm.

U jednakostraničnom trokutu ∆DBP duljina visine SP iznosi:

32 2 3 6

6.22

2

2

, 22

dSP

SP SP SP

d a a

⋅= ⋅ ⋅ ⋅

⇒ = ⇒ = ⇒ =

= ⋅ =

Duljina visine SP je 6 .SP cm=

Uočimo pravokutan trokut ∆SCV. Budući da je točka P polovište stranice CV , slijedi da je srednjica

MP po iznosu jednaka:

1

1 1 1 1 122 2 2 2.

1 2 2 2 22 , 2

2

22

MP SC

SP SP SP

SC a a

= ⋅

⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅

= ⋅ ⋅ =

Duljina srednjice MP je 1

2 .2

MP cm= ⋅

Uočimo pravokutan trokut ∆SPM i uporabom Pitagorina poučka izračunamo duljinu visine piramide.

( )2 2

21 1 1 12 2 2 26 2 6 2

2 2 4 4SM SP MP v v= − ⇒ ⋅ = − ⋅ ⇒ ⋅ = − ⋅ ⇒

1 12 2 2 26 2 24 2 22 22/ 4 22.

4/

4v v v v v⇒ ⋅ = − ⋅ ⇒ = − ⇒ = ⇒ = ⇒⋅ =

Duljina visine pravilne četverostrane piramide ABCDV je 22 .v cm=

Obujam pravilne četverostrane piramide ABCDV iznosi:

( )2 , 22

1 42 32 22 22 .1 2 3 3

3

a cm v cm

V cm cm V cmV a v

= =

⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅= ⋅ ⋅

13

Vježba 066 Presjek pravilne četverostrane piramide ravninom koja prolazi dijagonalom osnovke i

polovištem bočnog brida jednakostraničan je trokut površine 2

12 .cm Koliki je obujam te

piramide?

Rezultat: 4 3

22 .3

V cm= ⋅

Zadatak 067 (Dada, HTT)

Bazen ima oblik kvadra dimenzija 25 m x 15 m x 2.5 m. Cijev koja puni bazen propušta 750

litara vode u minuti. Za koliko će vremena bazen biti pun?

A) za 12 sati i 50 minuta

B) za 15 sati i 47.5 minuta

C) za 19 sati i 37.5 minuta

D) za 20 sati i 50 minuta


3 3,

31 1000 1 .1m dm dm l= =

Obujam kvadra sa stranicama a, b i c dan je formulom

.V a b c= ⋅ ⋅

Računamo obujam bazena.

25

15 3 325 15 2.5 937.5 937.5 1000

2.5

a m

b mV m m m V m V dm

c m

V a b c

=

=⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ = ⇒ = ⋅ ⇒

=

= ⋅ ⋅

3937 500 937 500 .V dm V l⇒ = ⇒ =

Cijev koja puni bazen propušta 750 litara vode u minuti pa se bazen napuni za

[ ]1250 : 6937 500

1250 min 20.83333333 20 0.83333333

750

0

min

lt t h h h

l= ⇒ = = = = + =

[ ]0.8333333320 20 50 min0 .6h h= + =⋅

Odgovor je pod D.

Vježba 067 Bazen ima oblik kvadra dimenzija 12.5 m x 30 m x 2.5 m. Cijev koja puni bazen propušta 750

litara vode u minuti. Za koliko će vremena bazen biti pun?

A) za 12 sati i 50 minuta

B) za 15 sati i 47.5 minuta

C) za 19 sati i 37.5 minuta

D) za 20 sati i 50 minuta

Rezultat: D.

14

Zadatak 068 (Mirna, gimnazija)

Kvadar, čija baza je kvadrat, ima obujam V = 1800 cm3 i visinu c = 8 cm. Nañi oplošje

kvadra.


Četverokut koji ima dva para usporednih stranica zove se paralelogram. Paralelogram kome su

unutarnji kutovi pravi zove se pravokutnik. Pravokutnik s jednakim stranicama zove se kvadrat.

Ploština kvadrata, duljine stranice a, izračunava se po formuli

2.P a=

Kvadar je uspravna četverostrana prizma kojoj je baza pravokutnik. Ako su a, b, c duljine njegovih

bridova, onda je:

• obujam V a b c= ⋅ ⋅

• ( )oplošje 2 .O a b a c b c= ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅

Ako je baza kvadra kvadrat duljine stranice a i visina kvadra je c, tada je:

• 2

obujam V a c= ⋅

• ( )2oplošj .2e O a a c= ⋅ ⋅ + ⋅

c

aa

Računamo duljinu brida a baze kvadra.

22 2 2 2

1800 8 8 1800 8 1800 225/1800 , 8

: 8V a c

a a a aV c

= ⋅⇒ = ⋅ ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ = ⇒

= =

2225 225 15/ .a a a⇒ = ⇒ = ⇒ =

Oplošje kvadra iznosi:

( ) ( ) ( ) 22 2 2 15 15 2 8 30 15 16 30 31 930 .O a a c O O O O cm= ⋅ ⋅ + ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⇒ = ⋅ + ⇒ = ⋅ ⇒ =

Vježba 068 Kvadar, čija baza je kvadrat, ima obujam V = 3600 cm3 i visinu c = 16 cm. Nañi oplošje

kvadra.

Rezultat: 1410 cm2.

Zadatak 069 (Mirna, gimnazija)

Mljekara pakira mlijeko u ambalažu u obliku kvadra sa stranicama 5, 10, 20. Kolika bi bila

ušteda da ga pakira u obliku kocke?


Kocka (heksaedar) spada u pravilne poliedre. Kocka brida a ima:

• obujam3

V a=

• oplošje2

.6O a= ⋅

15

Kvadar je uspravna četverostrana prizma kojoj je baza pravokutnik. Ako su a, b, c duljine njegovih

bridova, onda je:

• obujam V a b c= ⋅ ⋅

• ( )oplošje 2 .O a b a c b c= ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅

Stoti dio nekog broja naziva se postotak. Piše se kao razlomak s nazivnikom 100. Postotak p je broj

jedinica koji se uzima od 100 jedinica neke veličine.

Na primjer,

9 81 4.5 5479 % , 81 % , 4.5 % , 547 % , .

100 100 100%

1100 00

pp= = = = =

Kako se računa postotak broja a od broja b? Odgovor je: 0%.10a

b⋅

Obujam kvadra sa zadanim stranicama iznosi:

5 10 20 1000.V a b c V V= ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ =

Istu količinu mlijeka mljekara može pakirati u ambalažu u obliku kocke čija duljina brida iznosi:

333 3 33

1000 13

000 1000 10 10.100

/0

V aa a a a a

V

=⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ =

=

Računamo oplošje kvadra i kocke.

Oplošje kvadra

( )( ) ( )

5 , 10 , 202 5 10 5 20 10 20 2 50 100 200 700.

2

a b cO O O

O a b a c b c

= = =⇒ = ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⇒ = ⋅ + + ⇒ =

= ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅

Oplošje kocke

10 26 10 6 100 600.

26

aO O O

O a

=⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ =

= ⋅

Uočimo da je ušteda u ambalaži

700 – 600 = 100

kvadratnih jedinica. U postotku to je:

100100% 0.143 100% 14.3%.

700⋅ = ⋅ =

Vježba 069 Mljekara pakira mlijeko u ambalažu u obliku kvadra sa stranicama 20, 10, 5. Kolika bi bila

ušteda da ga pakira u obliku kocke?

Rezultat: 14.3%.

Zadatak 070 (Željka, srednja škola)

Kolika je visina uspravne trostrane prizme obujma 192 cm3 čija je osnovka trokut sa

stranicama duljina 15 cm, 13 cm, 4 cm?


1 2, 0, , .

n m n m n na a a a a a a a

+ ⋅= ⋅ = = ≥

Obujam (volumen) prizme s bazom (osnovkom) ploštine B i visinom v iznosi:

.vV B= ⋅

Heronova formula

Ploština trokuta ABC kojemu su zadane duljine stranica a, b, c glasi

( ) ( ) ( ),P s s a s b s c= ⋅ − ⋅ − ⋅ −

16

gdje je s poluopseg trokuta

2.

a b cs

+ +=

Ploštinu osnovke izračunat ćemo pomoću Heronove formule.

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

15 , 13 , 415 13 4

22

a cm b cm c cmcm cm cm

sa b cs

B s s a s b s cB s s a s b s c

= = =+ +

=+ + = ⇒ ⇒

= ⋅ − ⋅ − ⋅ − = ⋅ − ⋅ − ⋅ −

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

3216

2

cms cms

B s s a s b s cB s s a s b s c

==

⇒ ⇒ ⇒ = ⋅ − ⋅ − ⋅ − = ⋅ − ⋅ − ⋅ −

( ) ( ) ( )16 16 15 16 13 16 4B cm cm cm cm cm cm cm⇒ = ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⇒

4 4 1 2 1 416 1 3 12 16 3 12 2 3 2 3B cm cm cm cm B cm B cm⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ ⇒

6 2 4 3 2 22 3 2 3 24 .B cm B cm B cm⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ =

Iz obujma izračunamo visinu v prizme.

3192

v v v v v2

4

/ .1

8

2

V cmV B V B cm

B cmB= ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⇒ = ⇒ =⋅

v

v

v

Bc b

a

Vježba 070 Kolika je visina uspravne trostrane prizme obujma 8640 cm3 čija je osnovka trokut sa

stranicama duljina 12 cm, 39 cm, 45 cm?

Rezultat: 40 cm.

Zadatak 071 (Jo, gimnazija)

Osnovka piramide je pravokutnik površine 100 cm2. Dvije su pobočke okomite na osnovku

piramide, a od ostalih jedna s osnovkom zatvara kut od 30º, a druga 60º. Koliko je oplošje piramide?


( ),1

, , , .2

1

aa nn m n ma a a a a a a n

b b

+= ⋅ = = = =

17

( ) , , .

n na a a c a d b cn n n

a b a b nb b d b db

⋅ + ⋅⋅ = ⋅ = + =

⋅

Pitagorin poučak:


kateta.

Tangens šiljastog kuta pravokutnog trokuta jednak je omjeru duljine katete nasuprot toga kuta i duljine

katete uz taj kut.

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

Ploština pravokutnog trokuta iznosi:

P = a ⋅⋅⋅⋅ b

2

c

b

a

Ploština pravokutnika izračunava se po formuli:

b

a

P = a ⋅⋅⋅⋅ b

60°°°°

30°°°°

n

mv

b

a B

D

C

A

V

Sa slike vidi se:

0 0, , , , , 60 , 30AB CD a BC DA b VD v VA m VC n VAD DCV= = = = = = = ∠ = ∠ =

Osnovka piramide je pravokutnik ABCD ploštine 100 cm2 pa vrijedi:

100.100

P a bABCD

a bP

ABCD

= ⋅⇒ ⋅ =

=

Uočimo pravokutan trokut ∆DCV i pomoću funkcije tangens dobije se:

18

/3 30 0 0 0

30 30 30 30 .3 3

VD v vtg tg tg v a tg v a v a

Da

C a a= ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅⋅

Uočimo pravokutan trokut ∆ADV i pomoću funkcije tangens dobije se:

0 0 0 060 60 60 6/ 0 3 3 .

VD v vtg tg tg v b tg v b v b

DA b bb= ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅⋅

Iz sustava jednadžbi izračuna se duljina osnovnih bridova a i b.

metoda 3/

komparacije

33 3

3 3 3 .3

33 3

3

v aa b a b a b

v b

= ⋅⇒ ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ =⋅ ⋅

= ⋅

Budući da je osnovka piramide pravokutnik ABCD ploštine 100, vrijedi:

metoda/ : 3

supstitucij

100 1002 2 23 100 3 100 3 100

3e3

a bb b b b b

a b

⋅ =⇒ ⇒ ⋅ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ = ⇒

= ⋅

ra100 cionalizacija/

na

100 100 102

zivn3 3 ika3 3b b b b⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ ⇒

( )

10 3 10 310.

2 333

3

3b b b

⋅ ⋅⇒ = ⋅ ⇒ = ⇒ =

Tada je a jednak:

metoda3

supstitucije

10 310 3 10 3

3 10 3.33

33

ba a a

a b

⋅⋅ ⋅=

⇒ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅

= ⋅

Računamo visinu│VD│= v piramide ABCDV.

( )metoda

supstitucije

2310 310 3 10 3

310 3 3 3 3

3

v b

v v v

b

= ⋅⋅⋅ ⋅

⇒ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⇒ = ⇒⋅=

3

3

1010.v v

⋅⇒ = ⇒ =

Računamo duljinu bočnog brida │VA│= m. Uočimo pravokutan trokut ∆ADV i po Pitagorinu poučku

dobije se:

210 32 2 2 2 2 2 2 2

103

VA DA VD m b v m⋅

= + ⇒ = + ⇒ = + ⇒

( )22

10 3 100 3 100 1002 2 2 2100 10

30 100 100

2 9 393

m m m m⋅ ⋅ ⋅

⇒ = + ⇒ = + ⇒ = + ⇒ = + ⇒

100 100 100 300 400 400 4002 2 2 2

3 1 3 3 3/

3m m m m m

+⇒ = + ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒

( )

racionalizacija 3

nazivni

400 20 3 20 320 20.

2 33 3 3k3

a 3m m m m m

⋅ ⋅⇒ = ⇒ = ⇒ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⇒ =

Računamo duljinu bočnog brida │VC│= n. Uočimo pravokutan trokut ∆DCV i po Pitagorinu

19

poučku dobije se:

( ) ( )2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2

10 10 3 100 10 3VC VD CD n v a n n= + ⇒ = + ⇒ = + ⋅ ⇒ = + ⋅ ⇒

2 2 2 2100 100 3 100 300 400 400 40/ 0 20.n n n n n n⇒ = + ⋅ ⇒ = + ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ =

Oplošje piramide ABCDV jednako je zbroju ploštine osnovke (pravokutnik ABCD) i ploština četiri

pravokutna trokuta ∆ADV, ∆DCV, ∆ABV i ∆BCV.

O P P P P PABCDV ABCD ADV DCV ABV BCV

= + + + + =

2 2 2 2 2 2 2 2

DA VD CD VD AB VA BC VC b v a v a m b nAB BC a b

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= ⋅ + + + + = ⋅ + + + + =

( )10 3 20 3 10 31 1

100 10 10 3 10 10 3 202 2 3 3 3

a b b v a v a m b n⋅ ⋅ ⋅

= ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ =

10 3 10 3 10 10 3 20 3 10 31 10 20100

2 3 1 1 1 3 3 1

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= + ⋅ ⋅ + + ⋅ + ⋅ =

( )2

200 3100 3 100 3 200 31100

2 3 1 3 3

⋅⋅ ⋅ ⋅= + ⋅ + + + =

100 3 100 3 200 3 100 3 100 3 200 31 200 3 1 200100 100

2 3 1 3 3 2 3 1

3

3 3

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅= + ⋅ + + + = + ⋅ + + + =

100 3 100 3 200 3 100 3 300 3 200 31 1100 200 100 200

2 3 1 3 2 3

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅= + ⋅ + + + = + ⋅ + =

( )600 3 31 1 1

100 200 100 200 100 200 200 32 3 2

600

3 2

⋅ ⋅= + ⋅ + = + ⋅ + = + ⋅ + ⋅ =

( ) 2100 100 100 3 200 100 3 100 2 3 .cm= + + ⋅ = + ⋅ = ⋅ +

Vježba 071 Osnovka piramide je pravokutnik ploštine 1 dm

2. Dvije su pobočke okomite na osnovku

piramide, a od ostalih jedna s osnovkom zatvara kut od 30º, a druga 60º. Koliko je oplošje piramide?

Rezultat: ( ) 2100 2 3 .cm⋅ +

Zadatak 072 (Ema, gimnazija)

Koliki je obujam pravilne krnje četverostrane piramide ako su duljine njezinih osnovnih

bridova jednake a i b (a > b), a duljina visine piramide v? (Zadatak iz ''Moskovskog papirusa'')


, .2

, 0x y x y x x x⋅ = ⋅ = ≥

d a


20

2.P a=

Obujam krnje piramide

Obujam krnje piramide s bazama B1 i B2 i visinom v iznosi:

( )v

1 1 2 2.

3V B B B B= ⋅ + ⋅ +

bb

a

a

v

B2

B1

Budući da su osnovke (baze) krnje piramide kvadrati duljina stranica a i b, njezin obujam iznosi:

( )( )

2 2,

1 2 v v2 2 2 2 2 2.

v 3 31 1 2 23

B a B b

V a a b b V a a b b

V B B B B

= =

⇒ = ⋅ + ⋅ + ⇒ = ⋅ + ⋅ +

= ⋅ + ⋅ +

Vježba 072 Koliki je obujam pravilne krnje četverostrane piramide ako su duljine njezinih osnovnih

bridova jednake 3 dm i 2 dm, a duljina visine piramide 6 dm?

Rezultat: 38 dm3.

Zadatak 073 (Ivica, gimnazija)

Duljina stranice osnovke pravilne četverostrane piramide je 128 cm, a duljina visine je 48 cm.

Izračunajte duljinu visine pobočke, te kut kojeg čine osnovka i pobočka.


d a


2.P a=

Piramida je geometrijsko tijelo omeñena mnogokutom (n – terokutom) i s n trokuta. Mnogokut koji

omeñuje piramidu zovemo osnovka ili baza piramide, a svaki trokut zovemo pobočka piramide.

Dužinu koja spaja vrh piramide s njegovom ortogonalnom projekcijom na ravninu osnovke zovemo

visina piramide.

Pitagorin poučak:


kateta.

Tangens šiljastog kuta pravokutnog trokuta jednak je omjeru duljine katete nasuprot toga kuta i duljine

katete uz taj kut.

21


( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

1, .

a

n a dbnc b c

d

⋅= =

⋅

a

2 αααα

v1

v

a

a

N P

C

A B

D

V

Sa slike vidi se:

128 , 48 , ,1 2

aAB BC CD DA a cm VN v cm VP v NP= = = = = = = = =

NPV α∠ =

a

2 αααα

v1

v

a

a

N P

C

A B

D

V

Budući da je pobočka VBC piramide ABCDV jednakokračan trokut, nožište je njegove visine v1

ujedno i polovište P stranice .BC

Uočimo pravokutan trokut ∆VNP kojemu su katete v i ,2

a a hipotenuza v1. Prema Pitagorinu poučku

vrijedi:

2 2322 2 2 2 2 2 2 2 2 2

12 12 161 1 12 2

aVP VN NP v v v v= + ⇒ = + ⇒ = + ⇒ = + ⇒

2 2 2144 256 400 400 400 20.

1 1 1 1 1/v v v v v⇒ = + ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ =

22

Duljina visine pobočke je 20 cm.

Traženi kut je kut α pri vrhu P promatranog pravokutnog trokuta ∆VNP. Stoga je:

2 211

2 2

v

VN v v vtg tg tg tg tg

a aNP a aα α α α α

⋅ ⋅−= ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒

2 481 036 52 '12 ''.

128tgα α

⋅−⇒ = ⇒ =

Vježba 073 Duljina stranice osnovke pravilne četverostrane piramide je 32 cm, a duljina visine je 12 cm.

Izračunajte duljinu visine pobočke, te kut kojeg čine osnovka i pobočka.

Rezultat: 20 cm, 36º 52' 12''.

Zadatak 074 (Snježana, srednja škola) Oplošje pravilne četverostrane piramide je 96 cm

2, a duljina osnovnog brida je 6 cm. Koliki je

obujam piramide?


d a


2.P a=

Trokut je dio ravnine omeñen sa tri dužine. Te dužine zovemo stranice trokuta.

ββββ ββββ

αααα

vbvb

va

bb

a

Trokut koji ima dvije sukladne stranice zove se jednakokračan trokut. Sukladne stranice su kraci, a treća stranica zove se osnovica ili baza trokuta. Ploština jednakokračnog trokuta izračunava se po

formuli

, .2 2

b va va bP P⋅⋅

= =

Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90º). Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete,

a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta. Pitagorin poučak:

Trokut ABC je pravokutan ako i samo ako je kvadrat duljine hipotenuze jednak zbroju kvadrata

duljina kateta. Piramida je geometrijsko tijelo omeñena mnogokutom (n – terokutom) i s n trokuta. Mnogokut koji


23

Dužinu koja spaja vrh piramide s njegovom ortogonalnom projekcijom na ravninu osnovke zovemo

visina piramide.

Oplošje pravilne četverostrane piramide izračunava se po formuli

2 22

1,14

2

a vO B P O a O a a v

⋅= + ⇒ = + ⋅ ⇒ = + ⋅ ⋅

gdje je a duljina stranice osnovke (kvadrata), a v1 duljina visine pobočke (jednakokračnog trokuta). Obujam pravilne četverostrane piramide izračunava se po formuli

1 1 2

3 3,V B v V a v= ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅

gdje je a duljina stranice osnovke (kvadrata), a v duljina visine piramide.

Iz oplošja piramide izračunamo duljinu visine v1 pobočke.

62

96 96 6 2 6 96 36 12 36 12 961 1 1

22

1

a

O v v v

O a a v

=

= ⇒ = + ⋅ ⋅ ⇒ = + ⋅ ⇒ + ⋅ = ⇒

= + ⋅ ⋅

12 96 36 12 60 / : 1212 60 5.1 1 1 1

v v v v⇒ ⋅ = − ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ =

Duljina visine pobočke je v1 = 5 cm.

a

a

vv1

a

2

N P

C

BA

D

V

Sa slike vidi se:

6 , , 5 , 31 2

aAB BC CD DA a cm VN v VP v cm NP cm= = = = = = = = = =





vrijedi:

2 262 2 2 2 2 2 2 2 2 2

5 5 31 2 2

aVN VP NP v v v v= − ⇒ = − ⇒ = − ⇒ = − ⇒

2 2 225 9 16 16 16 4./v v v v v⇒ = − ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ =

Duljina visine piramide je v = 4 cm.

Računamo obujam piramide.

24

( )

61 12 2 3

4 6 4 36 4 48 .3 3

1 2

3

a cm

v cm V cm cm V cm cm V cm

V a v

=

= ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ =

= ⋅ ⋅

Vježba 074 Oplošje pravilne četverostrane piramide je 9600 mm

2, a duljina osnovnog brida je 60 mm.

Koliki je obujam piramide?

Rezultat: 48000 mm3.

Zadatak 075 (Snježana, srednja škola)

Pravilnoj četverostranoj piramidi osnovni je brid dug 9 2⋅ m, a bočni brid dug je 15 m.

Izračunaj oplošje i obujam te piramide.


( ) ( ),2 2 2

,2

, .aa

a a a b a b a b a bb b

= ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅

, , .1

n a c a d b c a b a bn

b d b d n n n

⋅ − ⋅ −= − = − =

⋅


( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

d a


2.P a=

Trokut je dio ravnine omeñen sa tri dužine. Te dužine zovemo stranice trokuta.

ββββ ββββ

αααα

vbvb

va

bb

a

Trokut koji ima dvije sukladne stranice zove se jednakokračan trokut. Sukladne stranice su kraci, a

treća stranica zove se osnovica ili baza trokuta. Ploština jednakokračnog trokuta izračunava se po

formuli

, .2 2

b va va bP P⋅⋅

= =

Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90º). Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete,

25

a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta.

Pitagorin poučak:

Trokut ABC je pravokutan ako i samo ako je kvadrat duljine hipotenuze jednak zbroju kvadrata

duljina kateta. Piramida je geometrijsko tijelo omeñena mnogokutom (n – terokutom) i s n trokuta. Mnogokut koji


Dužinu koja spaja vrh piramide s njegovom ortogonalnom projekcijom na ravninu osnovke zovemo visina piramide.

Oplošje pravilne četverostrane piramide izračunava se po formuli

2 22

1,14

2

a vO B P O a O a a v

⋅= + ⇒ = + ⋅ ⇒ = + ⋅ ⋅

gdje je a duljina stranice osnovke (kvadrata), a v1 duljina visine pobočke (jednakokračnog trokuta).

Obujam pravilne četverostrane piramide izračunava se po formuli

1 1 2

3 3,V B v V a v= ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅

gdje je a duljina stranice osnovke (kvadrata), a v duljina visine piramide.

bbb

b

a

a

vv1

N P

C

BA

D

V

Sa slike vidi se:

9 29 2 ,

2 2

aAB BC CD DA a BP NP

⋅= = = = = ⋅ = = =

15 , ,1

VA VB VC VD b VN v VP v= = = = = = =



Računamo duljinu visine v1.

bbb

b

a

a

vv1

N P

C

BA

D

V

26

Uočimo pravokutan trokut ∆VBP kojemu su katete v1 i ,2

a a hipotenuza b. Prema Pitagorinu poučku

vrijedi:

( )222 9 29 22 2 2 2 2 2 2 2 2

15 151 1 1 22 2 2

aVP VB BP v b v v

⋅⋅= − ⇒ = − ⇒ = − ⇒ = − ⇒

( )22

9 2 81 2 162 225 1622 2 2 2 215 225 225

1 1 1 12 4 4 1 42

v v v v⋅ ⋅

⇒ = − ⇒ = − ⇒ = − ⇒ = − ⇒

738900 162 738 738 7382 2 21 1 1 1 14 4 4 4 4

/v v v v v−

⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒

djelomično

korjenovanj

738 9 82 9 82 3 82.

1 1 1 12 2 2 2ev v v v

⋅ ⋅ ⋅⇒ = ⇒ ⇒ = ⇒ = ⇒ =

Oplošje pravilne četverostrane piramide iznosi:

( ) ( )

22

12 23 82 3 822

9 2 9 2 2 9 2 9 2 92 22

3 82

1 2

2

O a a v

a O O

v

= + ⋅ ⋅

⋅ ⋅= ⋅ ⇒ = ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⇒

⋅=

81 2 9 2 3 82 162 27djelomič

2 82 162 27no

korjenovanj4

e16O O O⇒ = ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ = + ⋅ ⋅ ⇒ = + ⋅ ⇒ ⇒

162 27 4 41 162 27 4 41 162 27 2 41O O O⇒ = + ⋅ ⋅ ⇒ = + ⋅ ⋅ ⇒ = + ⋅ ⋅ ⇒

( ) 2162 54 41 54 3 41 .O O m⇒ = + ⋅ ⇒ = ⋅ +

Računamo duljinu visine v piramide ABCDV.

bbb

b

a

a

vv1

N P

C

BA

D

V



vrijedi:

2 223 82 9 22 2 2 2 2 2

1 2 2 2

aVN VP NP v v v

⋅ ⋅= − ⇒ = − ⇒ = − ⇒

27

( ) ( )2 22 2

3 82 9 2 9 82 81 2 738 1622 2 22 2 4 4 4 42 2

v v v⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⇒ = − ⇒ = − ⇒ = − ⇒

738 162 5762 2 2 2144 14 1

4 4/4 2.v v v v v

−⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ =

Obujam pravilne četverostrane piramide iznosi:

( ) ( )1 2

2 21 1 123 9 2 12 9 2 12 81 2 12

3 3 39 2 , 12

V a vV V V

a v

= ⋅ ⋅⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ ⇒

= ⋅ =

1 32 12 27 28 12 6481 .

3V V V m⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ =

Vježba 075

Pravilnoj četverostranoj piramidi osnovni je brid dug 9 2⋅ m, a bočni brid dug je 150 dm.

Izračunaj obujam piramide.

Rezultat: 648 m3.

Zadatak 076 (Vedran, maturant) Duljine bridova kvadra u omjeru su 1 : 2 : 3. Dokažite da je površina njegova pobočja devet

puta veća od površine njegove osnovke.

Rješenje 076 Ponovimo! Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.

( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

Površina pravokutnika duljina stranica a i b izračunava se po formuli

.P a b= ⋅

Omjer je količnik dviju istovrsnih veličina

: ili ,a

a b k kb

= =

gdje je:

a – prvi član omjera, b – drugi član omjera,

k – vrijednost (količnik) omjera.

Vrijednost omjera ne mijenja se ako se prvi i drugi broj pomnože ili podijele istim brojem.

( ) ( ): :a b a n b n= ⋅ ⋅

( ) ( ): : : .:a b a n b n=

Razmjer ili proporcija je jednakost dvaju jednakih omjera. Ako je

a : b = k i c : d = k,

tada je razmjer ili proporcija

a : b = c : d.

Umnožak vanjskih članova razmjera a i d jednak je umnošku unutarnjih članova razmjera b i c.

.: :a b c d a d b c= ⇒ ⋅ = ⋅

Ako postoji n jednakih omjera

:1 1

a b k=

:2 2

a b k=

:3 3

a b k=

28

...

: ,a b kn n =

produženi razmjer je

: : : ... : .: : : ... :1 2 3 1 2 3

a a a a b b b bn n=

Iz omjera duljina bridova kvadra slijedi:

: : 1 : 2 : 3 2 .

3

a k

a b c b k

c k

=

= ⇒ = ⋅

= ⋅

c

ba

D C

G

F

A B

H

E

c

ba

D C

G

F

H

BA

E

Površina pobočja kvadra jednaka je zbroju površina pravokutnika ABFE, BCGF, GHDC i HEAD.

2 21 1 1

P P P P P P a c a c b c b c P a c b cABFE DCGH BCGF ADHE

= + + + ⇒ = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⇒

( ) ( ) 22 2 3 2 6 3 18 .

1 1 1 1P c a b P k k k P k k P k⇒ = ⋅ ⋅ + ⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅

c

ba

D C

G

F

H

BA

E

Površina osnovke kvadra jednaka je površini pravokutnika ABCD.

22 2 .

2 2 2 2P P P a b P k k P k

ABCD= ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅

Računamo omjer površine pobočja kvadra P1 i površine osnovke kvadra P2.

2181 1 9.

222 2

P Pk

P Pk

⋅= ⇒ =

⋅

Vježba 076 Duljine bridova kvadra u omjeru su 1 : 3 : 9. Dokažite da je površina njegova pobočja dvadeset i četiri puta veća od površine njegove osnovke.

Rezultat: ( )2 9 31 24.3

2

P k k k

P k k

⋅ ⋅ ⋅ + ⋅= =

⋅ ⋅

Zadatak 077 (Ante, maturant) Zadana je pravilna četverostrana piramida kojoj duljine svih bridova iznose a cm. Kolika je

mjera kuta izmeñu baze (osnovke) i strane (pobočke)?

0 0 0 0. 35 15 '52 '' . 45 27 '12 '' . 54 44 '08 '' . 60 12 '06 ''A B C D


29

Piramida je tijelo omeñeno mnogokutima: osnovkom (bazom) i trokutima koji čine pobočke (strane)

piramide. Visina piramide udaljenost je vrha piramide od ravnine njezine baze. Četverostrana je

piramida pravilna ako je baza kvadrat, a visina prolazi kroz središte kvadrata.

Trokut je dio ravnine omeñen s tri dužine. Te dužine zovemo stranice trokuta. Visine su trokuta dužine kojima je jedan kraj vrh trokuta, a drugi sjecište okomice (koja prolazi

promatranim vrhom) s pravcem na kojem leži suprotna stranica trokuta.

Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90º). Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete, a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta.

Jednakostraničan trokut ima sve tri stranice jednake. Duljina visine jednakostraničnog trokuta čija je

duljina stranice a iznosi:

3.

2

av

⋅=

Kosinus šiljastog kuta pravokutnog trokuta jednak je omjeru duljine katete uz taj kut i duljine hipotenuze.

aa

a

a

a

a

a

a

αααααααα

a

a

a

a

a

a

PN

CD

PN

CD

A B BA

V V

Sa slika vidi se:

3, ,

2 2

aaAB BC CD DA VA VB VC VD a NP VP

⋅= = = = = = = = = =

( ),NP VPα = ∠

Baza (osnovka) piramide ABCDV je kvadrat ABCD pri čemu je N njegovo središte. Strane (pobočke)

piramide su jednakostranični trokuti ∆VAB, ∆VBC, ∆VCD i ∆VDA. Uočimo da je kut α izmeñu osnovke ABCD i pobočke VBC jednak kutu izmeñu pravaca NP i VP.

a

a

a

a

a

a

a

αααα

PN

CD

BA

V

Traženi kut lako pronalazimo pomoću pravokutnog trokuta ∆VNP gdje je │NP│ duljina njegove

katete, a │VP│ duljina hipotenuze. Mjera kuta iznosi:

1

12 1cos cos cos cos cos3

2

2

3 3

12

3

aa

NP

V aP aα α α α α= ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒

⋅ ⋅

11 0cos 54 44 '08 ''.

3α α

−⇒ = ⇒ =

30

Odgovor je pod C.

Vježba 077 Zadana je pravilna četverostrana piramida kojoj duljine svih bridova iznose 13 cm. Kolika je

mjera kuta izmeñu baze (osnovke) i strane (pobočke)?

0 0 0 0. 35 15 '52 '' . 45 27 '12 '' . 54 44 '08 '' . 60 12 '06 ''A B C D

Rezultat: C.

Zadatak 078 (Tin, srednja škola)

Plastična posuda oblika kvadra napunjena je vodom. Stranice su duljine 25 cm, 20 cm i 18 cm.

Koliko je litara vode u posudi? (1 litra = 1 dm3)

. 90 . 16.2 . 9 . 1.62A litara B litre C litara D litre


31 10 .1 1,dm cm litra dm= =

Kvadar je uspravna prizma kojoj je baza pravokutnik. Ako su a, b i c duljine bridova kvadra iz jednog

vrha, obujam kvadra jednak je

.V a b c= ⋅ ⋅

[ ]25 2.5

20 2.0 2.5 2.0 1.8

18 1.8

a cm a dm

b cm b dm V dm dm dm

c cm c dm

V a b c

= =

= ⇒ = ⇒ ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒

= =

= ⋅ ⋅

39 9 .V dm V litara⇒ = ⇒ =

Odgovor je pod C.

Vježba 078 Plastična posuda oblika kvadra napunjena je vodom. Stranice su duljine 50 cm, 10 cm i 18 cm.

Koliko je litara vode u posudi? (1 litra = 1 dm3)

. 90 . 16.2 . 9 . 1.62A litara B litre C litara D litre

Rezultat: C.

Zadatak 079 (Lana, srednja škola)

Koliki je obujam kvadra ako mu je zadana duljina jednog brida a = 4.5 cm, duljina dijagonale

baze d = 7.9 cm i kut φ = 28° 38' koji prostorna dijagonala zatvara s bazom kvadra?


Pitagorin poučak: Trokut ABC je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak

zbroju kvadrata nad katetama.

Tangens šiljastog kuta pravokutnog trokuta jednak je omjeru duljine katete nasuprot tog kuta i duljine

katete uz kut.

Kvadar je uspravna prizma kojoj je baza pravokutnik. Kvadar ima 8 vrhova, 12 bridova i 6 strana. Sve

strane kvadra su pravokutnici. Ako su a, b i c duljine bridova kvadra iz jednog vrha, obujam kvadra

jednak je.

.V a b c= ⋅ ⋅

31

D

d

c

b

a

ϕϕϕϕ

GH

C

F

A B

D

E

Sa slike vidi se:

,AB EF DC HG a BC AD FG EH b= = = = = = = =

( ), , , ,AE BF CG DH c BD d BH D DG BH ϕ= = = = = = ∠ =

D

d

c

b

a

ϕϕϕϕ

GH

C

F

A B

D

E

Uočimo pravokutan trokut ∆ABD kojemu su duljine kateta bridovi kvadra a i b, a duljina hipotenuze

duljina dijagonale baze d. Uporabom Pitagorina poučka dobije se duljina brida b.

( ) ( )2 22 2 2 2 2 2 2 2

/ 7.9 4.5b d a b d a b d a b cm cm= − ⇒ = − ⇒ = − ⇒ = − ⇒

6.5 .b cm⇒ =

D

d

c

b

a

ϕϕϕϕ

GH

C

F

A B

D

E

Uočimo pravokutan trokut ∆DBH kojemu su duljine kateta brid kvadra c i duljina dijagonale baze d.

Pomoću funkcije tangens dobije se duljina brida c.

07.9 28 38 ' 4.3/ .

DH c ctg tg tg c d tg c cm tg c cm

BD d ddϕ ϕ ϕ ϕ= ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ =⋅

Obujam kvadra iznosi:

4.5

6.5 34.5 6.5 4.3 125.8 .

4.3

a cm

b cmV cm cm cm V cm

c cm

V a b c

=

=⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ =

=

= ⋅ ⋅

Vježba 079 Koliki je obujam kvadra ako mu je zadana duljina jednog brida a = 45 mm, duljina dijagonale

baze d = 79 mm i kut φ = 28° 38' koji prostorna dijagonala zatvara s bazom kvadra?

Rezultat: 125800 mm3.

32

Zadatak 080 (Ilija, srednja škola)

Oplošje pravilne trostrane prizme je 2

20 3 ,O cm= ⋅ a osnovni brid je a = 4 cm. Izračunajte

visinu i obujam prizme.


( )2

, .1

nn a a= =

Jednakostraničan trokut ima sve tri stranice jednake duljine. Njegova ploština računa se po formuli

3.

2

4

aP

⋅=

Trapez je četverokut kojemu su barem dvije stranice usporedne (paralelne).

Paralelogram je trapez kojemu su suprotne stanice usporedne.

Pravokutnik je paralelogram koji ima barem jedan kut pravi (90°).

Ploština pravokutnika izračunava se po formuli

.P a b= ⋅

Prizma je geometrijsko tijelo omeñeno dvama sukladnim poligonima (mnogokutima) i

paralelogramima. Osnovke (baze) prizme su poligoni, a paralelogrami čine pobočje. Ako je osnovka

pravilan poligon i ako je prizma uspravna, ona je pravilna. Prizma kojoj je pobočni brid okomit na

osnovku zove se uspravna. Duljina visine prizme jednaka je udaljenosti izmeñu ravnina u kojima leže

osnovke.

v vv

a

a

a

Oplošje prizme izračunava se po formuli

2 ,O B P= ⋅ +

gdje je B ploština osnovke, a P ploština pobočja.

Za pravilnu uspravnu trostranu prizmu vrijedi:

23

2 34

.a

O a v⋅

= ⋅ + ⋅ ⋅

Obujam prizme izračunava se po formuli

,V B v= ⋅

gdje je B ploština osnovke, a v visina.

Za pravilnu uspravnu trostranu prizmu vrijedi:

23

.4

aV v

⋅= ⋅

Računamo visinu v prizme.

33

2

2 2 23 3 4 3

2 3 20 3 2 3 44 4

2 3

4 4

3

0O

a

O B P

a aB O a v v

P a v

= ⋅ +

⋅ ⋅ ⋅= ⇒ = ⋅ + ⋅ ⋅ ⇒ ⇒ ⋅ = ⋅

= ⋅+ ⋅ ⋅ ⇒

= ⋅ ⋅

=

4 320 3 2 12 20 3 2 4 3 1

2

42 20 3 8 3 12v v v

⋅⇒ ⋅ = ⋅ + ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ + ⋅ ⇒

8 3 12 20 3 12 20 3 8 3 12 12 3v v v⇒ ⋅ + ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ − ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒

12 12 3 3 3 1/ : 1 . .2 73v v v cm v cm⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ = ⇒ = ⇒ ≈

Obujam prizme iznosi:

2 23 4 3 4 3 3

2 33

24

434 4 14

a

v

V B va

V v V VaB

= ⋅⋅ ⋅ ⋅

⇒ = ⋅ ⇒ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒⋅=

=

=

( )2 3

4 3 4 3 12 12 .V V V V cm⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⇒ =

Vježba 080

Oplošje pravilne trostrane prizme je 2

20 3 ,O cm= ⋅ a osnovni brid je a = 0.4 dm.

Izračunajte visinu prizme.

Rezultat: 1.73 cm.

Documents

Zadatak 061 (Maturanti, HTT)3 2: :1 . 2 B B v x= Najprije izra čunamo obujam kocke: 3 3 3 3 27. a V Vk k V ak = ⇒ = ⇒ = = Budu ći da kocka i uspravna četverostrana piramida