Zadatak 061 (Lana, gimnazija) Promatra č ć č ć č - halapa · 2017. 2. 7. · Ta se pojava zove dilatacija vremena. Mehani čke veli čine (duljina, vrijeme, masa) nemaju apsolutno

1

Zadatak 061 (Lana, gimnazija)

Promatrač gleda raketu i ustanovi da je raketa duljine L skraćena 2%. Kojom se brzinom u odnosu na promatrača giba raketa?

Rješenje 061

,0l L= 2

2% 0.02 0.98 ,100

l L L L L L L L= − ⋅ = − ⋅ = − ⋅ = ⋅ v = ?

Specijalna teorija relativnosti • Svi zakoni fizike su invarijantni (nepromjenljivi, isti) u odnosu na svaki inercijski sustav. • Brzina elektromagnetskih valova u vakuumu je invarijantna (nepromjenljiva, ista) u odnosu na

svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi. Kontrakcija duljina jedan je od temeljnih zaključaka teorije relativnosti, prema kojemu se dimenzije tijela ne mogu apsolutno odrediti. Geometrijske izmjere ovise o stanju gibanja sustava u kojem se mjere.

21 ,0 2

vl l

c= ⋅ −

gdje je l0 vlastita duljina (duljina u sustavu koji se giba istom brzinom kao i mjereni predmet), l duljina mjerena iz sustava koji miruje, c brzina svjetlosti, v brzina gibanja predmeta. Kontrakcija dužine zbiva se samo u smjeru relativnog gibanja, a nema je u smjerovima okomitim na smjer gibanja.

2 2 2 21 0.98 1 0.9

18 1 / 0.98 10 2 2 2 2

v v v vl l L L L L

c c c cL= ⋅ − ⇒ ⋅ = ⋅ − ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ = −⋅− ⇒

22 2 2 2

2 2 20.98 1 0.98 1 0.98 1 1 0.982 2 2 2

2/v v v v

c c c c

⇒ = − ⇒ = − ⇒ = − ⇒ = − ⇒

2 2 22 21 0.9604 0.0396 0.0396 0.0396

2 2 22/

v v vv c

c c c

c⇒ = − ⇒ = ⇒ = ⇒ ⋅⋅ = ⇒

2 2 2 20.0396 0.0396 0.0396 0.2/ .v c v c v c v c⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅

Vježba 061 Promatrač gleda raketu i ustanovi da je raketa duljine L skraćena 3%. Kojom se brzinom u odnosu na promatrača giba raketa?

Rezultat: 0.24 .v c= ⋅

Zadatak 062 (Lana, gimnazija)

Kolikom se brzinom mora gibati neko tijelo da odgovarajuća vrijednost γ bude 1% veća od vrijednosti γ kada tijelo miruje? (brzina svjetlosti u praznini c = 3 · 108 m / s)

Rješenje 062

γ, 1

1% 0.01 1.01 ,1 100γ γ γ γ γ γ γ γ= + ⋅ = + ⋅ = + ⋅ = ⋅ c = 3 · 108 m / s, v = ?

Lorentzov faktor koristi se u specijalnoj teoriji relativnosti i definira 1

21 2

v

c

γ =

−

gdje je v brzina tijela, c brzina svjetlosti. Faktor se rabi u specijalnoj teoriji relativnosti za dilataciju vremena, kontrakciju dužine i relativističku masu.

2


svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi. Kada tijelo miruje brzina je jednaka nuli pa Lorentzov faktor γ ima vrijednost 1.

1

2 1 1 1 11.1 2 10 1 0 1

1 20

v

c

v c

γ

γ γ γ γ γ

=

⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ =−−

−=

Kada se tijelo giba brzinom v vrijednost Lorentzova faktora poveća se za 1% pa slijedi:

1.01 , 1 1.01 1 1.011 1 1

1 1 1 11.011 1 12 2 2 2

1 1 1 12 2 2 2

v v v v

c c c c

γ γ γ γ γ

γ γ γ

= ⋅ = = ⋅ =

= = =⇒ ⇒ ⇒ = ⇒

− − − −

2 21 1

1 12 21.01 .2/

1 01

v v

c c

a c b d

b d a c⇒ ⇒ = − ⇒ = −= ⇒ = ⇒

22 2 2 2

1 1 11 1 1

2 2 2 2 21.01 1.01 1.01

v v v

c c c

⇒ = − ⇒ = − ⇒ = − ⇒

2 2 2 2 2 21 1 1.01 1 1.01 1 1.01 12 2

2 2 2 2 2 2 21 1.01 1.01 1.01 1.0

2/

1

v v vv c

c c

c

c

⋅− − −

⇒ = − ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⋅ ⇒

1.0201 1 0.0201 0.0201 0.02012 2 2 2 2 2 2

1.0201 1.0201 1.0201 1.02/

01v c v c v c v c

−⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒

0.0201 2 8 70.14 0.14 3 10 4.2 10 .

1.0201

m mv c v c v

s s⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ = ⋅

Vježba 062

Kolikom se brzinom mora gibati neko tijelo da odgovarajuća vrijednost γ bude 2% veća od vrijednosti γ kada tijelo miruje? (brzina svjetlosti u praznini c = 3 · 108 m / s)

Rezultat: 7

0.197 5.91 10 .m

v c vs

= ⋅ ⇒ = ⋅

Zadatak 063 (Matija, srednja škola)

Mioni u laboratorijskome sustavu gibaju se brzinom 0.9 · c i imaju vrijeme poluraspada 1.44 · 10-5 s. Koliko je vrijeme poluraspada miona u sustavu u kojemu miruju? (brzina svjetlosti u praznini c)

Rješenje 063

v = 0.9 · c, T = 1.44 · 10-5 s, T0 = ?


svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi. Veza između vremenskog intervala ∆t0 u sustavu S0, koji se giba brzinom v u odnosu na sustav S, i

3

vremenskog intervala ∆t u sustavu S, određena je izrazom:

02

1 2

,t

t

v

c

∆∆ =

−

gdje je c brzina svjetlosti. Ta se pojava zove dilatacija vremena.

20 0 0 10 22 2 2

2/ 1 2

1 1 12 2 2

T T T vT T T T T

cv v v

v

c

c c c

= ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⋅ −

−

⋅

− −

− ⇒

2 2 20.9 0.95 5

1 1.44 10 1 1.44 10 10v c

T T s sc c

c

c

⋅ ⋅− −⇒ = ⋅ − = ⋅ ⋅ − = ⋅ ⋅ − =

5 2 6 51.44 10 1 0.9 6.28 10 0.63 10 .s s s

− − −= ⋅ ⋅ − = ⋅ ≈ ⋅

Vježba 063

Mioni u laboratorijskome sustavu gibaju se brzinom 0.95 · c i imaju vrijeme poluraspada 1.44 · 10-5 s. Koliko je vrijeme poluraspada miona u sustavu u kojemu miruju? (brzina svjetlosti u praznini c)

Rezultat: 6

4.50 10 .s−

⋅

Zadatak 064 (992, gimnazija)

Svemirski brod putuje brzinom 0.6 · c u odnosu prema Zemlji. Nakon kojeg će vremenskog intervala u sustavu broda putnikov sat zaostajati jednu sekundu za satom na Zemlji?

Rješenje 064

v = 0.6 · c, ∆t = 1 s, t0 = ?


svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi. Veza između vremenskog intervala ∆t0 u sustavu S0, koji se giba brzinom v u odnosu na sustav S, i vremenskog intervala ∆t u sustavu S, određena je izrazom:

0 02 2

1 12

,t t

t t

v v

cc

∆ ∆∆ = ⇒ ∆ =

− −

gdje je c brzina svjetlosti. Ta se pojava zove dilatacija vremena. Označimo slovima:

• t0 – vrijeme koje pokazuje putnikov sat u svemirskom brodu • t – vrijeme koje pokazuje sat na Zemlji.

Budući da putnikov sat zaostaje za ∆t za satom na Zemlji, vrijedi:

02 10 11 0 02 2

1 10

tt

tvt t t t

c v v

t t t c c

=

⇒ ∆ = − ⇒ ∆ = ⋅ − ⇒−

− −∆ = −

4

1/

11

2

1 11 10 0 2

1 11

2t t t t

v v

c c v

c

⇒ ⋅ − = ⋅∆ ⇒ ⋅ − =

−

−

∆ ⇒

−−

1 10 0 01 1 1

1 1 12 2 2

0.6 0.61 1 1

t s st t t

v c

c c

c

c

∆⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒

− − −

⋅ ⋅− − −

1 1 1 10 0 0 01 1 1 1

1 1 1 12 0.81 0.36 0.641 0.6

s s s st t t t⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒

− − − −−−

1 14 .0 0 01.25 1 0.25

s st t t s⇒ = ⇒ = ⇒ =

−

Vježba 064

Svemirski brod putuje brzinom 0.01 · c u odnosu prema Zemlji. Nakon kojeg će vremenskog intervala u sustavu broda putnikova ura zaostajati jednu sekundu za urom na Zemlji?

Rezultat: 20000 s.

Zadatak 065 (Stela, maturantica)

Blizanac A krene svemirskim brodom dok blizanac B ostane na Zemlji. Nakon nekog vremena ponovno se sastanu na Zemlji.

. Za blizanca A proteklo je više vremena. . Za blizanca B proteklo je više vremena.A B

C. Za oba je blizanca proteklo jednako vrijeme.

Rješenje 065

c – brzina svjetlosti u vakuumu



0 02 2

1 12

,t t

t t

v v

cc

∆ ∆∆ = ⇒ ∆ =

− −

gdje je c brzina svjetlosti. Ta se pojava zove dilatacija vremena. Mehaničke veličine (duljina, vrijeme, masa) nemaju apsolutno značenje već ovise od relativne brzine inercijskog sustava. Vremenski interval ∆t0 neće biti isti po trajanju za promatrača u drugom inercijskom sustavu S0 koji se giba brzinom v u odnosu na sustav S. U bržem sustavu vrijeme sporije teče. Blizanac A proveo je neko vrijeme u vrlo brzom svemirskom brodu koji se gibao brzinom bliskom brzini svjetlosti pa njemu vrijeme sporije teče. Vrativši se na Zemlju zatekao bi svog brata blizanca kao starca. Blizancu B proteklo je više vremena. Odgovor je pod B.

5

v

Vježba 065

Blizanac A krene svemirskim brodom dok blizanac B ostane na Zemlji. Nakon nekog vremena ponovno se sastanu na Zemlji.

. Za blizanca A proteklo je manje vremena. . Za blizanca B proteklo je manje vremena.A B

C. Za oba je blizanca proteklo jednako vrijeme.

Rezultat: A.

Zadatak 066 (Stela, maturantica)

Raketa se giba prema nepomičnoj motriteljici brzinom v u smjeru paralelnom duljini rakete. Nepomična motriteljica mjeri duljinu rakete i zaključuje da je ona duga 20 m. Dječak koji miruje u odnosu na raketu zaključit će da je duljina rakete:

. manja od 20 m . jednaka 20 m C. veća od 20 mA B

D. ispravno je ili A. ili C., ovisno od toga je li motriteljica

obavila mjerenje dok se raketa približavala ili dok se udaljavala

Rješenje 066

v. l0 = 20 m, c, l = ?



21 ,0 2

vl l

c

= ⋅ −

gdje je l0 vlastita duljina (duljina u sustavu koji se giba istom brzinom kao i mjereni predmet), l duljina mjerena iz sustava koji miruje, c brzina svjetlosti, v brzina gibanja predmeta. Kontrakcija dužine zbiva se samo u smjeru relativnog gibanja, a nema je u smjerovima okomitim na smjer gibanja. Ako štap ima vlastitu duljinu l0 u referentnom sustavu S0, za promatrača u drugom inercijskom sustavu S koji se giba brzinom v u odnosu na S0 u smjeru duljine štapa, štap će imati duljinu l. Duljina štapa je najveća u referentnom sustavu u kome štap miruje. Štap koji se relativno prema promatraču giba brzinom v izgleda kraći

0.l l<

Budući da dječak miruje u odnosu na raketu zaključit će da je njezina duljina veća od 20 m. Odgovor je pod C.

6

Vježba 066

Raketa se giba prema nepomičnoj motriteljici brzinom v u smjeru paralelnom duljini rakete. Nepomična motriteljica mjeri duljinu rakete i zaključuje da je ona duga 40 m. Dječak koji miruje u odnosu na raketu zaključit će da je duljina rakete:

. manja od 40 m . jednaka 40 m C. veća od 40 mA B

D. ispravno je ili A. ili C., ovisno od toga je li motriteljica

obavila mjerenje dok se raketa približavala ili dok se udaljavala

Rezultat: C.

Zadatak 067 (Max, gimnazija)

Kolikom se brzinom giba tijelo, ako je Lorentzov faktor γ = 4? (brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 · 108 m / s)

Rješenje 067

γ = 4, c = 3 · 108 m / s, v = ?

Lorentzov faktor:

2,

1

12

v

c

γ =

−

gdje je v brzina tijela, c brzina svjetlosti u vakuumu.

2 21 1 11 1

2 221

2

2/v v

c c

a c b d

b d cv

c

aγ

γ γ

= ⇒ ⇒ = − ⇒ = − ⇒

= ⇒ =

−

2 2 2 2 21 1 1 11 1 1 1

2 2 22

2 2 2/

2c

v v v v

c c c cγ γ γ γ

⇒ = − ⇒ = − ⇒ = − ⇒ = − ⇒ ⋅

1 1 12 2 2 2 21 1 12 2

/2

v c v c v c

γ γ γ

⇒ = ⋅ − ⇒ = ⋅ − ⇒ = ⋅ − ⇒

1 11 1 0.968 .

2 24v c v c v c

γ⇒ = ⋅ − ⇒ = ⋅ − ⇒ = ⋅

Vježba 067

Kolikom se brzinom giba tijelo, ako je Lorentzov faktor γ = 5?



Pri kojoj brzini rakete vremenski interval za mirnog motritelja na Zemlji postaje dva puta veći od vremenskog intervala putnika u raketi?

Rješenje 068

∆t = 2 · ∆t0, c, v = ?


svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi. Veza između vremenskog intervala ∆t0 u sustavu S0, koji se giba brzinom v u odnosu na sustav S, i

7

vremenskog intervala ∆t u sustavu S, određena je izrazom:

02

1 2

,t

t

v

c

∆∆ =

−


0 0 02 20 02 2 21 12

/0

2

1

12

t

t t tt t t

v v v

c c c

∆ ∆ ∆∆ = ⇒ ⋅ ∆ = ⇒ ⋅ =

−

⋅∆∆

⇒

− −

2 21 1 1

2 1 12 22 2 21

2

2

/a c b d

b

v v

c cv

c

d a c⇒ = ⇒ ⇒ = − ⇒ = − ⇒

−

= ⇒ =

2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 4 1

1 1 12 2 2 2 22 4 4 1 4 4

v v v v v

c c c c c

−⇒ = − ⇒ = − ⇒ = − ⇒ = − ⇒ = ⇒

2 23 3 3 3 322

/2 2 2 2

2 24 4 4 4 4/

v vv c v c v c

c c

c⇒ = ⇒ = ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅⋅ ⇒

3 0.866 .2

cv v c⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅

Vježba 068

Pri kojoj brzini rakete vremenski interval za mirnog motritelja na Zemlji postaje tri puta veći od vremenskog intervala putnika u raketi?



Svemirski brod vlastite duljine 300 m prođe za 0.750 µs pokraj promatrača na Zemlji. Kolika je brzina broda za promatrača na Zemlji? (c ≈ 3 · 108 m / s)

. 0.8 . 0.7 . 0.6 . 0.5A v c B v c C v c D v c≈ ⋅ ≈ ⋅ ≈ ⋅ ≈ ⋅

Rješenje 069

l0 = 300 m, ∆t = 0.750 µs = 7.5 · 10-7 s, c = 3 · 108 m / s, v = ?



21 ,0 2

vl l

c

= ⋅ −


8

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz

,s v t= ⋅

gdje je v stalna, konstantna brzina kojom se tijelo giba.

2 22/2 1 10 02 210 2

l v t

v vv t l v t lv

l l c cc

= ⋅ ∆

⇒ ⋅ ∆ = ⋅ − ⇒ ⋅ ∆ = ⋅ − ⇒= ⋅ −

( ) ( ) ( )

22 2 2

2 2 22 2 2 2 21 10 0 0 02 2 2

v v vv t l v t l v t l l

c c c

⇒ ⋅ ∆ = ⋅ − ⇒ ⋅ ∆ = ⋅ − ⇒ ⋅ ∆ = − ⋅ ⇒

( ) ( )22

2 22 2 2 2 200 0 02 2

lvv t l l v t l

c c

⇒ ⋅ ∆ + ⋅ = ⇒ ⋅ ∆ + = ⇒

( )

( ) ( )

12 2

22 2 20 0/2

2 002

22

202

l lv t l v

t

c

t

c

c ll

⇒ ⋅ ∆ + = ⇒ = ⇒

∆ +

⋅

∆ +

( ) ( ) ( )

2 2 22 20 0 0

2 2 22 2 20 0

/

0

l l lv v v

l l lt t t

c c c

⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒

∆ + ∆ + ∆ +

( )( )

300 80 2.4 102 2

2 0 2 30077.5 10

83 10

l m mv

sl

t mc s

m

s

⇒ = = = ⋅ =

∆ + −⋅ +

⋅

8 82.4 10 : 3 1 0.8 .0 c⋅ ⋅= = ⋅

Vježba 069

Svemirski brod vlastite duljine 0.3 km prođe za 0.750 µs pokraj promatrača na Zemlji. Kolika je brzina broda za promatrača na Zemlji? (c ≈ 3 · 108 m / s)

. 0.8 . 0.7 . 0.6 . 0.5A v c B v c C v c D v c≈ ⋅ ≈ ⋅ ≈ ⋅ ≈ ⋅

Rezultat: A. Zadatak 070 (Ante, srednja škola)

Čestica se giba brzinom 3

.4

v c= ⋅ Koliko puta je masa čestice veća od njezine mase u

mirovanju?

Rješenje 070

3

0.75 ,4

v c c= ⋅ = ⋅ ?0

m

m=

Specijalna teorija relativnosti

9

• Svi zakoni fizike su invarijantni (nepromjenljivi, isti) u odnosu na svaki inercijski sustav. • Brzina elektromagnetskih valova u vakuumu je invarijantna (nepromjenljiva, ista) u odnosu na

svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi. Jedan je od osnovnih rezultata specijalne teorije relativnosti promjena mase s brzinom:

2

2

,0

1

mm

v

c

=

−

gdje je m masa tijela u gibanju, m0 masa mirovanja, v brzina tijela i c brzina svjetlosti u vakuumu.

0 02 2 2

1 1 12 2 2 1

200 0 0 0 011

0

01 2

m m

v v v

m m m mc c

m

c

mm m m m m vm

c

− − −

= ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒

−

1 1 1

2 2 20 0 00.75 0.75

1 1 1

m m m

m m mv c

c c

c

c

⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒

⋅ ⋅− − −

11.5.

20 01 0.75

m m

m m⇒ = ⇒ ≈

−

Vježba 070

Čestica se giba brzinom 1

.4

v c= ⋅ Koliko puta je masa čestice veća od njezine mase u

mirovanju?

Rezultat: 1.03.

Zadatak 071 (Ante, srednja škola)

Kolikom se brzinom giba tijelo, čija je masa za mirnog promatrača m = 4.0 kg, ako je masa tog tijela u mirovanju m0 = 2.4 kg?

Rješenje 071

m = 4.0 kg, m0 = 2.4 kg, v = ?


svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi. Jedan je od osnovnih rezultata specijalne teorije relativnosti promjena mase s brzinom:

2

2

,0

1

mm

v

c

=

−

gdje je m masa tijela u gibanju, m0 masa mirovanja, v brzina tijela i c brzina svjetlosti u vakuumu.

10 02 2 2

01 1 12 2

1

2

/0

m m mm m

m

a c b d

m bv v v

c c c

d a c= ⇒ = ⇒ = ⇒ ⇒

− −

⋅ = ⇒ =

−

10

2/

22 22 2 2 20 0 0 01 1 1 1

2 2 2 2

m m m mv v v v

m m m mc c c c⇒ = − ⇒ = − ⇒ = − ⇒ = − ⇒

2 2 22 22 20 0 01 1 12 2

2/

m m mv vv c

m m mc

c c⋅⇒ = − ⇒ = − ⇒ = ⋅ − ⇒

2 2 22 2 20 0 01 / 1 1

m m mv c v c v c

m m m⇒ = ⋅ − ⇒ = ⋅ − ⇒ = ⋅ − =

22.4

1 0.8 .4.0

kgc c

kg= ⋅ − = ⋅

Vježba 071

Kolikom se brzinom giba tijelo, čija je masa za mirnog promatrača m = 400 dag, ako je masa tog tijela u mirovanju m0 = 240 dag?

Rezultat: 0.8 .c⋅

Zadatak 072 (Ivica, srednja škola)

Odredi energiju koja odgovara masi protona koji miruje. (masa protona m = 1.6726 · 10-27 kg, brzina svjetlosti u praznini c = 3 · 108 m / s)

Rješenje 072

m = 1.6726 · 10-27 kg, c = 3 · 108 m / s, E = ?


svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi. U specijalnoj teoriji relativnosti Einstein je pokazao da se masa i energija ne mogu očuvati odvojeno već se može govoriti samo o očuvanju ukupne mase i energije sustava. Ekvivalentnost mase i energije dana je relacijom

.2

E m c= ⋅ u kojoj je m masa tijela, a c brzina svjetlosti. Elektronvolt je jedinica za energiju. Energiju 1 eV dobije čestica nabijena istim električnim nabojem kao što ga ima elektron (1.602 · 10-19 C) kada prođe električnim poljem razlike potencijala 1 V:

191 1.602 0 .1eV J

−= ⋅

22 27 8 10

1.6726 10 3 10 1.50534 10m

E m c kg Js

− −= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ =

10 191.50534 10 : 1.602 1

89.4 10 0 .eV

− −⋅= =⋅ ⋅

Vježba 072

Odredi energiju koja odgovara masi protona koji miruje. (masa protona m = 1.6726 · 10-30 t, brzina svjetlosti u praznini c = 3 · 108 m / s)

Rezultat: 8

9.4 10 .eV⋅

11

Zadatak 073 (Ivica, srednja škola)

Kolikoj promjeni mase odgovara promjena energije 4.19 J? (brzina svjetlosti u praznini c = 3 · 108 m / s)

Rješenje 073

∆E = 4.19 J, c = 3 · 108 m / s, ∆m = ?


svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi. U specijalnoj teoriji relativnosti Einstein je pokazao da se masa i energija ne mogu očuvati odvojeno već se može govoriti samo o očuvanju ukupne mase i energije sustava. Ekvivalentnost mase i energije dana je relacijom

.2

E m c= ⋅ u kojoj je m masa tijela, a c brzina svjetlosti.

22

1/ 2

2 2 EE m c m c E c E m

cc

m∆

∆ = ∆ ⋅ ⇒ ∆ ⋅ = ∆ ⇒ ∆ ⋅ ⇒ ∆ =⋅= ∆ =

4.19 174.66 10 .2

83 10

Jkg

m

s

−= = ⋅

⋅

Vježba 073

Kolikoj promjeni mase odgovara promjena energije 8.38 J? (brzina svjetlosti u praznini c = 3 · 108 m / s)

Rezultat: 17

9.31 10 .kg−

⋅

Zadatak 074 (Arijana, srednja škola)

Astronaut leti u raketi brzinom jednakom 0.8 · c relativno prema Zemlji. Nakon što je u raketi prošlo 30 godina, koliko je vremena proteklo na Zemlji?

Rješenje 074

v = 0.8 · c, ∆t0 = 30 god, ∆t = ?


svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi. Specijalna teorija relativnosti



02

1 2

,t

t

v

c

∆∆ =

−


12

0 0 0 02 2 2 2

0.8 0.81 1 1 12

t t t tt t t t

v v c

c c

c

cc

∆ ∆ ∆ ∆∆ = ⇒ ∆ = ⇒ ∆ = ⇒ ∆ = ⇒

⋅ ⋅− − − −

300 0 0 0 50 .2 0.6 0.61 0.64 0.361 0.8

t t t t godt t t t god

∆ ∆ ∆ ∆⇒ ∆ = ⇒ ∆ = ⇒ ∆ = ⇒ ∆ = = =

−−

Vježba 074

Astronaut leti u raketi brzinom jednakom 0.8 · c relativno prema Zemlji. Nakon što su u raketi prošle 24 godine, koliko je vremena proteklo na Zemlji?

Rezultat: 40 god. Zadatak 075 (Roby, gimnazija)

Odredite energiju mirovanja, masu, brzinu i količinu gibanja elektrona kinetičke energije 6.55 · 10-13 J. (masa elektrona m0 = 9.11 · 10-31 kg, brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 · 108 m / s)

Rješenje 075

Ek = 6.55 · 10-13 J. m0 = 9.11 · 10-31 kg, c = 3 · 108 m / s, E0 = ?, m = ?, v = ?, p = ?


svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi. Specijalna teorija relativnosti


svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi. Jedan je od osnovnih rezultata specijalne teorije relativnosti promjena mase s brzinom. Masa tijela koje se giba veća je od mase tijela koje miruje.

2

2

,0

1

mm

v

c

=

−

gdje je m masa tijela u gibanju, m0 masa mirovanja, v brzina tijela i c brzina svjetlosti. Ako tijelo u stanju mirovanja ima masu m0, a kad se giba brzinom v masu m, onda je njegova kinetička energija

( )12 2 2 2

0 0 0 0 21 2

,E E E E m c m c E m m c E m ck k k k

v

c

= − ⇒ = ⋅ − ⋅ ⇒ = − ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅

−

gdje je: 2

E m c= ⋅ ukupna energija tijela mase mirovanja m0 koje se giba brzinom v, 2

0 0E m c= ⋅ energija mirovanja tijela.

13

Relativistička količina gibanja čestice mase mirovanja m0 koja se giba brzinom v je

02

1 2

.m

p m v p v

v

c

= ⋅ ⇒ = ⋅

−

• Energija mirovanja elektrona iznosi: 2

2 31 8 149.11 10 3 10 8.199 10 .0 0

mE m c kg J

s

− −= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅

• Masa elektrona kinetičke energije Ek iznosi:

2 2 20 0 0 0E E E E m c E m c E E m c E E

k k k k= − ⇒ = ⋅ − ⇒ ⋅ − = ⇒ ⋅ = + ⇒

12 00 2/ 2

c

E Ekm c E E m

kc

+⇒ = ⇒⋅⋅ + = =

13 146.55 10 8.199 10 30

8.189 10 .2

83 10

J Jkg

m

s

− −⋅ + ⋅ −

= = ⋅

⋅

• Brzina elektrona kinetičke energije Ek iznosi:

1 121 10 02 2

1 12 2

E m c E Ek k

v v

c c

= ⋅ ⋅ − ⇒ = ⋅ − ⇒

− −

1 11 10 2 2

01 1

1/

02 2

EkE E

k Ev v

c c

E⇒ = ⋅ − ⇒ = −⋅ ⇒

− −

1 1 1 1012 2 210 0 0

1 1 12 2 2

E E E Ek k k

E E Ev v v

c c c

+⇒ + = ⇒ + = ⇒ = ⇒

− − −

2 20 01 12 2

0

2/

0

E Ev v

E E E Ec ck k

a c b d

b d a c= ⇒⇒ ⇒ = − ⇒ = −

+= ⇒

+

( ) ( )

2 2 22 2 20 0 01 1 1

2 2 2 2 20

0 0

E E Ev v v

E E c c ck E E E Ek k

⇒ = − ⇒ = − ⇒ = − ⇒+

+ +

( )

( )

( )( ) ( )

2 222 21 0 00

2 2 2 21

2

0 0

2E E EEv v ka b a

c cE E

a b

Ek

b

Ek

+ −⇒ = − − = − ⋅ +⇒ = ⇒ ⇒

+ +

14

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

2 2 20 0 0 0 02 2 2 2

0

0 0

0

E E E E E E E E Ev vk k k k

c cE E E E

E E

k k

+ − ⋅ + + ⋅ + ⋅⇒ = ⇒

−

+

+= ⇒

+

( )

( )

( )

( )

2 22

/2 20 0

2 2 2 20 0

E E E E E Ev vk k k k

c cE E E Ek k

c⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅

⇒ = ⇒ = ⇒

+ +

⋅

( )

( )

( )

( )

2 22 2 2 20 02 2

0 0

/E E E E E E

k k k kv c v c

E E E Ek k

⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒

+ +

( )

( )

( )22 02 02

00

E E EE E E k kk kv c v c

E EkE E

k

⋅ + ⋅⋅ + ⋅⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ =

++

( )13 13 146.55 10 6.55 10 2 8.199 10

8 83 10 2.98 10 .

13 146.55 10 8.199 10

J J Jm m

s sJ J

− − −⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ = ⋅− −

⋅ + ⋅

• Količina gibanja elektrona kinetičke energije Ek iznosi:

( )( )

02

2 0

0

2 002

0

E E EE E k

E Ekm

c

E E Ek k

v cE

kkp m v p cE

k

E

c

k

E

⋅ + ⋅+= ⋅ ⇒ ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒

+=

⋅ + ⋅= ⋅

+

+

( ) ( )2 202

0

00E E EE E

k cE E

E E Ek k k k

p p

kcc

⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅⇒

+= ⇒ =

+⋅ ⋅ =

( )13 13 146.55 10 6.55 10 2 8.199 10

212.44 10 .

83 10

J J Jm

kgm s

s

− − −⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

−= = ⋅ ⋅

⋅

Vježba 075

Odredite masu elektrona koji ima kinetičku energiju 3.2 · 10-13 J. (masa elektrona m0 = 9.11 · 10-31 kg, brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 · 108 m / s)

Rezultat: 30

4.47 10 .kg−

⋅

Zadatak 076 (Roby, gimnazija)

Pri kojoj će brzini čestice relativistička kinetička energija biti dva put veća od energije mirovanja? (brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 · 108 m / s)

Rješenje 076

Ek = 2 · E0, c = 3 · 108 m / s, v = ?


svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi.

15


svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi. Jedan je od osnovnih rezultata specijalne teorije relativnosti promjena mase s brzinom. Masa tijela koje se giba veća je od mase tijela koje miruje.

2

2

,0

1

mm

v

c

=

−

gdje je m masa tijela u gibanju, m0 masa mirovanja, v brzina tijela i c brzina svjetlosti. Ako tijelo u stanju mirovanja ima masu m0, a kad se giba brzinom v masu m, onda je njegova kinetička energija

2 20 0 ,E E E E m c m c

k k= − ⇒ = ⋅ − ⋅

gdje je: 2

E m c= ⋅ ukupna energija tijela mase mirovanja m0 koje se giba brzinom v, 2

0 0E m c= ⋅ energija mirovanja tijela.

2 22 2 2 3 30 0 0 0 0 0 0E E E E E E E E E E m c m c

k= ⋅ ⇒ − = ⋅ ⇒ = ⋅ + ⇒ = ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ ⋅ ⇒

22 2 03 3 30 0 021 2

/ :m

m c m c m mc m

v

c

⇒ ⋅ = ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒

−

10 3 302 2/

1 12 2

: 0

mm

v v

a c bm

a c

c

d

d

c

b=⇒ = ⋅ ⇒⇒

− −

=⇒ = ⇒

2 2 2 21 1 2 1 1

1 1 1 12 2 2 23 3 9/

9

v v v v

c c c c

⇒ − = ⇒ − = ⇒ − = ⇒ − = − ⇒

( )2 2 2 2

1 1 1 9 8 82 2 2 29 1 9

2/

9 9

v v v v

c c c c

c−

⇒ − = − ⇒ − = ⇒ − ⋅⇒ − = − −= − ⇒

8 4 28 8 82 2 2 2 2

9 9 9 3 3/v c v c v c v c v c

⋅⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒

2 2 2 2 8 83 10 2.83 10 .

3 3

m mv c

s s

⋅ ⋅⇒ = ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅

Vježba 076

Pri kojoj će brzini čestice energija mirovanja biti dva put manja od relativističke kinetičke energije? (brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 · 108 m / s)

Rezultat: 8

2.83 10 .m

s⋅

16

Zadatak 077 (Ivan, gimnazija)

Koliku će duljinu štapa mjeriti miran promatrač sa Zemlje ako se štap nalazi u letjelici koja se giba pored Zemlje brzinom 0.8 · c? Vlastita duljina štapa iznosi 10 cm. Štap je položen svojom duljinom u smjeru gibanja letjelice.

. 0 . 6 . 10 . 16.67A cm B cm C cm D cm Rješenje 077

v = 0.8 · c, l0 = 10 cm, l = ?



21 ,0 2

vl l

c= ⋅ −


2 2 22 0.8 0.81 1 1 10 0 0 02

c

c

v v cl l l l l l l l

c cc

⋅ ⋅ = ⋅ − ⇒ = ⋅ − ⇒ = ⋅ − ⇒ = ⋅ − ⇒

21 0.8 10 1 0.64 10 0.36 10 0.6 6 .0l l cm cm cm cm⇒ = ⋅ − = ⋅ − = ⋅ = ⋅ =

Odgovor je pod B

Vježba 077

Koliku će duljinu štapa mjeriti miran promatrač sa Zemlje ako se štap nalazi u letjelici koja se giba pored Zemlje brzinom c? Vlastita duljina štapa iznosi 10 cm. Štap je položen svojom duljinom u smjeru gibanja letjelice.

. 0 . 6 . 10 . 16.67A cm B cm C cm D cm

Rezultat: A. Zadatak 078 (Rada, gimnazija)

Dva svemirska broda gibaju se jedan prema drugom. Promatrač na Zemlji izmjeri brzinu prvog broda 0.75 · c, a drugog 0.85 · c. Kolika je brzina drugog broda u odnosu na prvi? (c je brzina svjetlosti)

Rješenje 078

v1 = 0.75 · c, v2 = 0.85 · c, vr = ?


svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi. U specijalnoj teoriji relativnosti brzina približavanja jedne rakete drugoj (relativna brzina) je:

1 2

1 212

,v v

vr v v

c

+=

⋅+

17

gdje je v1 brzina prve rakete, v2 brzina druge rakete, c brzina svjetlosti.

0.75 0.85 1.6 1.61 220.75 0.85 0.6375 0.63751 2 11 1 122 2

2

2

v v c c c cv v v vr r r rv v c c

c

c

c

cc c

+ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅= ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅++ + +

1.6 1.60.977 .

1 0.6375 1.6375

c cv v v cr r r

⋅ ⋅⇒ = ⇒ = ⇒ = ⋅

+

vr = v1 + v2

1 + v1 ⋅⋅⋅⋅ v2

c2

v2v1

Vježba 078

Dvije rakete gibaju se jedna prema drugoj brzinama 0.75 · c u odnosu na promatrača koji miruje. Odredite brzinu približavanja raketa na temelju klasične i relativističke formule slaganja brzina.

Rezultat: Klasična teorija: ... 1.51 2v v v c= + = = ⋅ .

Relativistička teorija: 1 2 ... 0.96 .1 21 2

v vv c

v v

c

+= = = ⋅

⋅+

Zadatak 079 (Rada, gimnazija)

Pokraj mirnog promatrača prolazi jezgra brzinom 0.8 · c. U jednom trenutku jezgra emitira česticu brzinom 0.7 · c. Brzina je zadana u odnosu na jezgru. Kolika je brzina čestice za mirnog promatrača? Brzina jezgre ne mijenja se emitiranjem čestice. (c je brzina svjetlosti)

Rješenje 079

v1 = 0.8 · c, vr = 0.7 · c, v2 = ?


svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi. U specijalnoj teoriji relativnosti brzina približavanja jedne rakete drugoj (relativna brzina) je:

1 2

1 212

,v v

vr v v

c

+=

⋅+

gdje je v1 brzina prve rakete, v2 brzina druge rakete, c brzina svjetlosti.

( )1 2 1 2 21 21 2 1 1

2 211 2 1 21 1 2 1 22 21 2

v v v vc v vv v

v v v vr r r rv v v vc v v c v v

c cc

+ +⋅ ++

= ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒⋅ ⋅

+ ⋅ + ⋅+ +

( )2 2 2 2

1 2 1 22 2

1 2 1 2

2/ 1 2

c v c v c v c vv vr r

c v v c vv

vc v

⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅⇒ = ⇒ = ⇒

+ ⋅ +⋅ + ⋅

⋅

18

( )2 2 2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2v c v v c v c v v c v v v c v c vr r r⇒ ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ ⇒ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅ ⇒

( ) ( )2 2 2 2 21 2 2 1 2 1 1v v v c v c v v c v v v c c v vr r r r⇒ ⋅ ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ − = ⋅ − ⇒

( ) ( )( )2

2 2 12 1 1 2 2

1

1/

21

c v vrv v v c c v v vr r

vv v cr v cr

⋅⋅

⋅ −⇒ ⋅ ⋅ − = ⋅ −

⋅−⇒ = ⇒

−

( )2 2 20.8 0.7 0.1 0.1 0.1

2 2 2 22 2 2 20.7 0.8 0.56

2

20.44 0.44

c c c c c c c cv v v v

c c c c

c

cc c

⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒

⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ − − ⋅ − ⋅

0.10.227 .2 20.44

cv v c

⋅⇒ = ⇒ = − ⋅

−

Vježba 079

Pokraj mirnog promatrača prolazi jezgra brzinom 0.8 · c. U jednom trenutku jezgra emitira česticu brzinom 0.6 · c. Brzina je zadana u odnosu na jezgru. Kolika je brzina čestice za mirnog promatrača? Brzina jezgre ne mijenja se emitiranjem čestice. (c je brzina svjetlosti)

Rezultat: 0.417 .c− ⋅

Zadatak 080 (Vesna, gimnazija)

Da bi znale odrediti relativne brzine, rakete sa strane imaju nacrtane mjerne štapove duljine 1 m. Promatrač u raketi A izmjeri da je štap na raketi B dug 0.93 m. Kolika je relativna brzina kojom se rakete mimoilaze? Koju će duljinu štapa na raketi A izmjeriti promatrač u raketi B? (c je brzina svjetlosti)

Rješenje 080

l0 = 1 m, l = 0.93 m, c, v = ?



21

2,

vl l

c= ⋅ −�

gdje je l0 vlastita duljina (duljina u sustavu koji se giba istom brzinom kao i mjereni predmet), l duljina mjerena iz sustava koji miruje, c brzina svjetlosti, v brzina gibanja predmeta. Kontrakcija dužine zbiva se samo u smjeru relativnog gibanja, a nema je u smjerovima okomitim na smjer gibanja. Neka je v relativna brzina kojom se rakete mimoilaze. Tada vrijedi:

2 2 2 21 1 1 1 2

2 2 21

/2

/l

v v l v l vl l l l

l lc c c c

= ⋅ − ⇒ = ⋅ − ⇒ = − ⇒ = − ⇒⋅� �

� ��

2 2 2 22 22 21 1

2/1 1

2l v v l v l v l

l l c l c lc c

⇒ = − ⇒ = − ⇒ = − ⇒ = − ⇒

� � � �

19

2 2 2 20.93

1 1 1 1 0.3/ 7 .1

v l v l l mv c c c

c l c l mc

l

⇒ = − ⇒ = − ⇒ = ⋅ − = ⋅ − = ⋅ ⋅

� � �

Duljina štapa na raketi A koju izmjeri promatrač u raketi B jednaka je duljini štapa na raketi B koju izmjeri promatrač u raketi A. Provjerimo to računski!

2 2 22 0.37 0.371 1 1 1

2v v c

l l l l l l l lc c

c

cc

⋅ ⋅ = ⋅ − ⇒ = ⋅ − ⇒ = ⋅ − ⇒ = ⋅ − ⇒

� � � �

2 21 0.37 1 1 0.37 0.93 .l l m m⇒ = ⋅ − = ⋅ − =�

Vježba 080

Da bi znale odrediti relativne brzine, rakete sa strane imaju nacrtane mjerne štapove duljine 10 dm. Promatrač u raketi A izmjeri da je štap na raketi B dug 93 cm. Kolika je relativna brzina kojom se rakete mimoilaze? Koju će duljinu štapa na raketi A izmjeriti promatrač u raketi B? (c je brzina svjetlosti)

Rezultat: 0.37 , 0.93 .c m⋅

Documents

Zadatak 061 (Lana, gimnazija) Promatra č ć č ć č - halapa · 2017. 2. 7. · Ta se pojava zove dilatacija vremena. Mehani čke veli čine (duljina, vrijeme, masa) nemaju apsolutno