1Ispitati tok i nacrtati grafik funkcije ( ) 13 22 4+ + = x x
yRjeenje : -3 -2 -1 1 2 3-6-4-224 ( ) 2xx y1 =Rjeenje : -2 -1 1
2-20-101020 2 ( ) 3322 =xx xyRjeenje : -2 2 4 6 8 10-20-10102030 (
) 415 22+ =xx xyRjeenje : -10 -5 5 10-30-20-10102030 3 ( ) 5 ( )( )
3 142 =x xx xyRjeenje : -2 2 4 6-20-10102030 ( ) 614 42 =xx
xyRjeenje : -2 2 4 6-15-10-551015 4 ( ) 7432=xx xyRjeenje : -2 2 4
6 8 10-20-10102030 ( ) 8 12 22+ =xx xyRjeenje : -2 2 4-15-10-551015
5 ( ) 911 222++ =xx xyRjeenje : -6 -4 -2 2 4 60.511.52 ( )
102214xxy= Rjeenje : -5 -2.5 2.5 5 7.5 10-20-15-10-551015 6 ( ) 11
24 43x xy =Rjeenje : -10 -5 5 10-30-20-10 ( ) 12 14 4 322+ ++ +=x
xx xyRjeenje : -4 -2 2 41234 7 ( ) 13 xx xy5 62 +=Rjeenje : -7.5 -5
-2.5 2.5 5 7.5-40-20204060 ( ) 14 4423+=xx xyRjeenje : -4 -2 2
4-2-112 8 Odrediti definiciono podruje(oblast definisanosti)
funkcije ( ) 1( ) 6 52+ = x x x f( ) 2 ( )122=xxx f( ) 3 ( ) ( ) 5
3 ln2+ = x x x f( ) 4 ( )23=xxx f( ) 5 ( )1ln2=xxx f( ) 6 (
)2ln=xxx f( ) 7 ( ) ( ) x x x x f + + = 3 log 22 ( ) 8 ( )( ) 3
log1=xx f( ) 9( )32 sin ln x x f = Matematika indukcija Matematikom
indukcijom dokazati identitete: ( ) 1( )( )61 2 13 2 12 2 2 2+ += +
+ + +n n nn L( ) 2 ( )23 3 3 3213 2 1((
+= + + + +n nn L( ) 3 ( )( )( )32 11 4 3 3 2 2 1+ += + + + + + n
n nn n L( ) 4 ( )( )( )67 2 12 5 3 4 2 3 1+ += + + + + + n n nn n
L( ) 5 ( )( )61 9 21 2 14 7 222+ += + + + + +n n nn n L( ) 6 ( )(
)( )122 3 11 4 3 3 2 2 122 2 2 2+ = + + + + n n nn n L9( ) 7( )( )
1 2 1 2 1 217 515 313 11+=+ + +++ nnn nL( ) 8( )( ) ( ) 4 4 4 317
616 515 41+=+ ++ +++ nnn nL( ) 9( )( )( )( ) 1 2 211 2 1 2 7 535
323 112 2 2 2++=+ + +++ nn nn nnL( ) 10 ( )( ) ( )( )((
+ + =+ ++ + + + 2 1121212 115 4 314 3 213 2 11n n n n nL( ) 11 (
) ( )2 2 211211 21447365431+ =+++ + + + +n n nnL( ) 12 1 222221 221
221 2221243221 = + +++++++ n nn nL( ) 13 12128 4
212111218141211++=++ +++++++++n naaaa a a an nL( ) 14( ) [ ] 1 3 1
2413 3 4 3 3 3 2 11 3 2+ = + + + + + n nn n L Dokazati da u skupu
prirodnih brojeva vrijede identiteti: ( ) 1 ( ) 9 mod 0 4 10 4 31 1
+ + n n 1 ( ) 2( ) 196 mod 0 4 28 22 3 +nn ( ) 3( ) 27 mod 0 28 18
10 + nn ( ) 4( ) 16 mod 0 9 8 91 +nn ( ) 5( ) 64 mod 0 9 8 32 2 +nn
( ) 6( ) 25 mod 0 4 5 6 4 + nn ( ) 7( ) 59 mod 0 8 5 26 51 2 2 + ++
+ n n n ( ) 8( ) 1053 mod 0 2 3 5 32 2 3 2 2 2 + + n n n n ( ) 9( )
54 mod 0 2 3 9 22 1 2 + +n nn ( ) 10 ( ) ( ) 11 mod 0 1 2 3 4 30 +n
n n n ( ) 12 ( ) ( ) 9 mod 0 1 4 1 41 + + + n nn n( ) 13 ( ) 25 mod
0 4 5 3 22 + +nn n ( ) 13 ( ) 17 mod 0 3 5 22 3 5 ++ + n n n ( ) 14
( ) 37 mod 0 5 3 21 3 4 5 + + + n n n 1 Napomena:oznaka npr.( ) 9
mod 0 je ekvivalentna oznaci djeljiv sa deve t . 10 Binomna formula
( ) 1 Odrediti x u razvoju binoma 7log1log10 10|||
\|+x xako etvrti lan binoma iznosi 3.500.000. ( ) 2Odrediti
vrijednost x u izrazu( )5log xx x +iji je trei lan razvoja jednak
1.000.000. ( ) 3 Nai vrijednost x u izrazu 6121 log1|||
\|++x xx iji je etvrti lan u razvoju binoma jednak 200. ( ) 4
Izraunati x u izrazu 9log7 21|||
\|+xxx tako da trei lan u razvoju binoma iznosi 36.000. ( ) 5 Za
koje vrijednosti x u razvoju binoma nxx|||
\|+1212 zbir treeg i petog lana iznosi 135,ako je zbir binomnih
koeficienata prva tri lana 22. ( ) 6 zbir binomnih koeficienata
prvog,drugog i treeg lana razvoja binoma nxx ||
\|+231je 11.Nai lan koji sadri 2x . ( ) 7 Zbir binomnih
koeficienata prvog,drugog i treeg lana razvoja binoma nxx ||
\|+12je 46.Nai lan koji ne sadri x. ( ) 8 Odrediti x u izrazu
641442 2|||
\|+xxtako da trei lan razvoja binoma bude 240. ( ) 9 esti lan
razvoja binoma 8log 23 2 21|||
\|+xxx x je 5 600.Odrediti x. ( ) 10 Suma binomnih koeficijenata
drugog i treeg lana razvoja binomanx x|||
\|+615 2jednak je 153.Odrediti lan razvoja binoma koji ne sadri
x. ( ) 11 Deveti lan razvoja binoma 10log 2log 510|||
\| + x xxxxje 450.Odrediti x. ( ) 12 esti lan razvoja binoma ( )
( )( )73 log 2 3 10 log2 2 +x x je 21.Nai x. 11( ) 13 Koeficijent
treeg lana je za 44 vei od koeficijenata drugog lana razvoja binoma
nxx x ||
\|+41.Nai lan koji ne sadri x. ( ) 14 U razvijenom obliku binoma
1631|||
\|+xx nai lan koji sadri 3x . ( ) 15 U razvijenom obliku binoma
10002051||
\|+xx nai onaj lan koji ne zavisi od x. ( ) 16 Odrediti lan koji
ne sadri x urazvoju binoma( )nx x +1,ako je odnos binomnih
koeficijenata etvrtog i estog lana jednak 5 : 18. ( ) 17 Koji lan u
razvoju binoma 2133|||
\|+abba sadriai b na isti eksponent. ( ) 18
Odnosbinomnihkoeficienataetvrtogidrugoglanaurazvijenomoblikubinoma
nabb|||
\|+8 343 21je 187.Koji lan sadri 6b ? ( ) 19
Odnoskoeficijenatapetogitreeglanaurazvojubinoma nx xx x|||
\|5211 jednak je 14 : 3.Odrediti sedmi lan razvoja. Kompleksni
brojevi ( ) 1 Kompleksnebrojevei z + = 11ii z21232 =
prevestiutrigonomrtrijskioblik,a zatim izraunati: a)( )21202 1;zzz
z b) 52z( ) 2 Kompleksnebrojeve3 11i z + = ii z + =
32prevestiutrigonomrtrijskioblik,a zatim izraunati: a) 10212
1;|||
\|zzz z b) 41z12( ) 3 Primjenom Moivre-ove binomne formule2( )
nx i nx x i xnsin cos sin cos + = +dokazati da vrijedi: a)x x x cos
3 cos 4 3 cos3 = b)x x x3sin 4 sin 3 3 sin =( ) 4 Ako je 32sin32cos
i z + =dokazati da je: a) = +3 , 23 , 12sa djeljivo k je akosa
djeljivo nije k akoz zk k b) ( )( ) + + = + ++ +3 1 , 33 1 , 012 2
1sa djeljivo k je akosa djeljivo nije k akoz zk k ( ) 5 Rijeiti
jednainu: ( ) 0 5 3 3 53= + + i z ipri emu je z kompleksan broj
oblikaiy x z + = . ( ) 6 Rijeiti jednaine: a) ( ) 0 20 10 6 42= + i
z i zb) ( ) ( ) 0 7 1 22= + + + i z i zc)( ) 0 17 7 2 32= + + i z i
zd)( ) 0 6 5 22= + z i z( ) 7 Rijeiti jednainu: i z z 2 8 32 = pri
emu je z kompleksan broj oblikaiy x z + = . ( ) 8 Akojei z 3 21+ =
,Re( ) 211= z z ,Im 1311=|||
\|zz,odreditikompleksanbroj iy x z + = . ( ) 9 Akojei z 5 21 =
,Re11=|||
\|zz,Im( ) 291 = z z ,odreditikompleksanbroj iy x z + = . ( ) 10
Ako je26 = zi Re ( ) 10 = z ,odrediti kompleksan brojiy x z + = . (
) 11 Odrediti Re ( ) zi Im( ) zpri emu je1 425 31+=iz( ) 12
Izraunati 2 1 2 1z z z z +ako je dato:i z 3 21 =ii z + = 52 ( ) 13
Rijeiti kvadratnu jednainu: ( ) 0 2 2 12= + i x i x 2 Uenicima se
preporuuje da Moivre-ovu formulu dokau matematikom indukcijom.
13zatimodreditiRe |||
\|21xxiIm |||
\|21xx.Priemusu 1x i 2x rjeenjakvadratne jednaine. ( ) 14
Koristeisetrigonometrijskimoblikomkompleksnogbroja,teodgovarajuim
formulama izraunati: a)10021|||
\| +=izb)|||
\|+=13 1iizc) ( )8sin cos 1 x i x z + + =d)33sin3cos 1 ||
\|+ + = i ze)38 = zf) 41 i z + =g)611iiz+=h)43 8 8 i z + =i) (
)51172162 12iiz+ = Razni tipovi jednaina Jednaine sa apsolutnom
vrijednou: ( ) 1 1 3 2 + + = x x x( ) 24 3 1 2 = + x x x( ) 3 2 2 2
1 3 1 = + + x x x x x( ) 4 1121=++ xxxx ( ) 5232 214 6=+ + + x xx x
14 Kvadratne jednaine: ( ) 1 U jednaini0 1 22 2= + + a ax
xodreditiaako se zna da je162221= + x x( ) 2 U jednaini( ) 0 6 7 4
52= + x x modrediti m tako da jedno rjeenje bude est puta vee od
drugog. ( ) 3U jednaini( ) 0 20 9 3 42= + + x x modrediti m tako da
vai3 22 1= x x . ( ) 4 Odrediti vrijednost parametra m R \ { }
2tako da jednaina ( ) ( ) 0 1 1 22= + + + + m x m x mima rjeenja:
a)realna i razliita b)realna i jednaka c)konjugovano kompleksna ( )
5 Odrediti kvadratnu jednainu ija su rjeenja brojevi:3 21+ = xi3 22
= x( ) 6 Ako su 1xi 2x rjeenja jednaine0 3 22= + x xodrediti
vrijednost izraza: a) 2221x x +b) ( )22 11x x c)32311 1x x+( ) 7 Za
koje vrijednosti parametraaje razlika korijena jednaine( ) 0 1 1
22= + + a x a xjednaka proizvodu njenih korijena? ( ) 8 Odrediti
vrijednost parametra m tako da korijeni jednaine( ) ( ) 0 4 4 2 12=
+ + + m x m x mbudu:a)pozitivni b)negativni ( ) 9 Odrediti
vrijednost parametra m za koje su korijeni jednaine( ) ( ) ( ) 0 1
3 1 2 12= + + + m x m x mrazliitog znaka pri emu je1 m . ( ) 10
Odrediti vrijednost parametraatako da funkcija( ) ( ) ( ) 4 , 6 2 2
42 + + = a a ax x a x fbude : a)pozitivna za svakoR x b)negativna
za svakoR x 15( ) 11 U zavisnosti od realnog parametra diskutovati
rjeenja jednaina3:
( )( )09 12 429 433 21))2 ; 0222242)4 4 )2 2 2 222 222=+ +++ + =
=+++ = +x ax aax ax ax adab bx ax xa b b a xa xb xb xa xcmmx mmm
xmmxbx m x m a Eksponencijalne jednaine: ( ) 131 3 7 25995 ||
\|= ||
\|x x ( ) 2 1 0 ; 14 1 2 3 2 1 < = + +a a a ax x x ( ) 3 2 22
10 16 4 = +x x ( ) 428215 . 61 202= ||
\|+ x x ( ) 5450 3 4 3 22 1= + x x ( ) 6 3 4 2 15 3 5 3 7+ + + +
= x x x x ( ) 70 27 3 4 35 2 8 4= + + + x x ( ) 80 16 4 2 10 = x x
( ) 97 42343 =xx ( ) 10( ) 6 2 5 24 2422= + +x xx x ( ) 110 80 9 27
4 31231 1 3= + +xx x ( ) 126 11 3 5 31= + + x x ( ) 130 27 81 12
812= + x x 3 Smatramo da su m, ai b parametri u odnosu na koje
treba vriti diskusiju,dok je x nepoznata. 16Logaritamske jednaine4:
( ) 1( ) ( ) 1 1 log 2 log = + + x x( ) 2 ( ) ( ) 2 3 ln 5 ln = + x
x( ) 3 ( )( ) 013log 3 1 log10 10=++ + xxx x( ) 41 log2log1 loglog
2+ = xxxx ( ) 5 ( ) 1 log 2 3 log 2 33 1+ = ++xx ( ) 6 ( ) ( ) [
]211 2 log log log3 2 4= x( ) 7( )12 log 7 log5 log 8 log= + xx ( )
8( )( )( )( ) 2 7 3 log 3 5 log3 5 7 3= + + ++ +x xx x ( ) 9 ( ) (
) 1 2 log 1 9 4 log 2 log2 2+ + = + + x x ( ) 10 ( ) ( ) 1 2 log 1
log251315 9+ +=x x ( ) 11 ( )0 3 log log 32 log log3= + x xx
Trigonomerijske jednaine: ( ) 1 1 2 sin 2 cos 3 sin2 2= + x x x( )
2x x x2 2cos 3 sin 3 2 cos 5 = +( ) 30 cos 3 sin 5 2 sin 42 2= x x
x( ) 40 4 sin 3 sin 2 sin sin = + + + x x x x( ) 56 cos 5 cos sin 4
sin 32 2= + + x x x x( ) 60 cos 4 2 sin 5 sin 62 2= + x x x( ) 712
7 5 = + ctgx tgx( ) 81 cos sin 3 2 sin 3 cos2 2= + + x x x x( ) 92
cos 3 sin = x x( ) 1021cos sin = x x( ) 1121cos sin = x x( )
1241cos sin cos sin3 3= x x x x 4 Uenici posebnu panju trebaju
obratiti na definiciono podruje(oblast definisanosti) svake od
logaritamskih jednaina! 17( ) 13 x x x 2 sin211 cos sin3 3 = +( )
14 Data je jednaina0 cos 2 22= + + x xodrediti tako da rjeenja budu
konjugovano kompleksni brojevi. ( ) 15 Zadana je kvadratna
jednaina0 sin 2 22= + + x xodrediti tako da rjeenja budu
konjugovano kompleksni brojevi. ( ) 16 Ujednaini043sin 3 sin 22= +
x x odredititakodakorijenijednaine budujednaki. ( ) 17
Odreditisvevrijednostixuintervaluod0do2zakojejefunkcija ( ) ( ) 3
sin 3 1 2 sin 42+ + = x x x fpozitivna. ( ) 18
Koristeisepoznatimtrigonometrijskimformulamadokazatitrigonometrijske
identitete:
( )( )( )( ) ( )2sin 4 sin sin cos cos )2 cos cos2 sin
sin)sin2sincos 1cos 1sin)cos sin1cos1sin1 )2 2 22 2y xy x y x dy x
tgy x xy x xcx xxxxbx xtgxxctgxxa= + = + +=+++ =++
( ) cos sin4 2cos2 4sin 2 )35 cos 3 cos cos5 sin 3 sin sin)sin13
sin 3 cos sin cos1 cos 2 2 sin 2)2+ = ||
\| ||
\| +=+ + = +gtg fx x x x xx xe ( ) 19 Ako je 4 = +dokazati da je
tada( ) ( ) 2 1 1 = + + tg tg . Nejednaine Odrediti oblast rjeenja
datih nejednaina5: ( ) 1 2113 x( ) 8 ( ) 3 1> + x tg( ) 9 ( )213
1 sin < x( ) 10 223sin 2 > ||
\| x ( ) 11 0 cos sin > + x x( ) 12 ( ) ( ) 2 log 8 2 log7 7
> x x( ) 13 ( ) ( ) 2 3 log 2 log 122 2+ > + x x x( ) 14 ( )
( ) 1 1 log 4 3 log21221 < + x x x( ) 15 0 1 2 log 2 log2 + xx(
) 16 ( ) [ ] 0 5 log log2431> x Stereometrija ( ) 1 Ako
jeaosnovana ivica pravilne estostrane piramide,H visina i P povrina
odrediti zapreminu V,ako jea :H=3:2,P= ( ) 3 3 4 9 + . ( ) 2
Pravilnaetverostranaprizmaosnovneivicea
ivisinehpresjeenajesaravninom
kojaprolazikrozivicugornjebazeisnjomzatvaraugaood o30
.Izraunatipovrinui zapreminu donjeg dijela prizme. ( ) 3 Ako je H
visina pravilne etverostrane piramide,b njena bona ivica.Izraunati
njenupovrinu i zapreminu ako je dato:4 , 34 = = H b . ( ) 4 Baza
piramide je trougao ABC sa stranicamaa =27,b=18 i c=15.Bone
stranice SAB
iSACnormalnesunaravanbazeABC,astranaSBCobrazujesnjomugaood o45
.Odrediti zapreminu piramide.(S je vrh piramide) 19( ) 5
Bazaetverostraneprizmejetrapezijesuosnovicea =16ic=3tekracib=14i
d=15.Ako je visina prizme jednaka 10 kolika je povrina i zapremina?
( ) 6 Izraunatizapreminuiprostornudijagonalukvadraakojedatoa
:b=1:6;b:c=1:3; P=264. ( ) 7
PovrinapravilneetverostranepiramidejeP=384,aosnovnaivicaseodnosiprema
visini piramide kao 3:2.Izraunati njenu zapreminu. ( ) 8
Ukvadruijesuivicea = 14 3 ,b= 11 3 ,c= 70
povuenesudijagonaleizjednog tjemena u stranama koje se u tom mjestu
sustiu,a krajnje take dijagonala su meusobno spojene.Kolika je
povrina i zapremina nastale trostrane piramide? ( ) 9
Pravilnaetverostranaprizmaosnovneivicea
ivisinehpresjeenajesaravninom
kojaprolazikrozivicugornjebazeisnjomzatvaraugaood o60
.Izraunatipovrinui zapreminu donjeg dijela prizme. ( ) 10 Ako je D=
33prostorna dijagonala pravilne etverostrane prizme,a osnovna ivica
2 kolika je povrina i zapremina? ( ) 11
Visinapravilneestostranepiramideiznosi 32osnovneivice,dokjepovrina
3 18 .Kolika je zapremina pomenute piramide? ( ) 12 Pravilna
trostrana piramida ima osnovnu ivicua =34 i omota koji je dva puta
vei od baze.Kolika je visina piramide? ( ) 13 Tri metalne kocke
ivica 3,4,5 izliju se u jednu.Kolika je ivica dobijene kocke? ( )
14
Dijagonalnipresjekkvadrajekvadratpovrine400,aosnovneiviceseodnosekao
3:4.Izraunati prostornu dijagonalu te povrinu i zapreminu. ( ) 15
Pravilnaetverostranapiramidaimavisinu3ipovrinu144.Izraunatiosnovnuivicu,bonu
ivicu i bonu visinu. ( ) 16 Najvea prostorna dijagonala pravilne
estostrane prizme je D=10,a bone strane su kvadrati.Izraunati
zapreminu prizme. ( ) 17
DatajepravilnaetverostranazarubljenapiramidaijajepovrinaP=128.Visina
piramide je H=6,a razlika osnovnih ivica je5 = c a .Odrediti
osnovne ivice piramide,te izraunati njenu zapreminu. ( ) 18 Visina
pravilne etverostrane zarubljene piramide je H=7,a osnovne ivice
su10 = ai 2 = c .Izraunati bonu ivicu zarubljene piramide. ( ) 19
Bazaprizmejepravouglitrougaoijesekateteodnosekao3:4,apovrinamuje
P=96.Kako se odnose zapremine upisanog i opisanog valjka? ( ) 20
Izraunati povrinu valjkaste cijevi koja ima unutranji prenik jednak
10,a vanjski 12 ija je visina dvadeset puta vea od debljine cijevi.
( ) 21Obim vee baze prave trostrane zarubljene piramide iznosi 36,a
stranice manje baze su12 , 9 , 62 2 2= = = c b a
.AkojenjenavisinaH=10izraunatipovrinuizapreminu zarubljene
piramide. ( ) 22U zarubljenoj etverosranoj piramidi,ije se baze
odnose 16:1,nalazi se prizma koja ima sa piramidom zajedniku visinu
i manju bazu.Kako se odnose zapremine oba tijela? 20( ) 23 Valjakje
presjeen sa ravni koja je paralelna sa osom valjka i udaljena od
nje za 2r pri emu je r poluprenik baze valjka.Kako se odnose
zapremine ta dva tijela koja nastaju presijecanjem valjka? ( ) 24
Povrinauspravnogvaljkaje 32
.Poluprenikbazepremavisinivaljkaseodnosi kao 1:3.Odrediti zapreminu
valjka. ( ) 25 Pravilna etverostrana piramida osnovne ivice 20 i
visine 24 presjeena je paralelno sa bazom po sredini
visine.Izraunati povrinu i zapreminu nastalih dijelova. ( ) 26
Kolike su osnovne ivice pravilne zarubljene estostrane piramide ako
je njena visina H=6,a suma baza iznosi3 30i zapremina3 84 = V ? ( )
27 Povrina osnog presjeka valjka iznosi 8 ,a povrina baze je 12
.Odrediti povrinu presjeka valjka paralelnog sa njegovom osom i na
udaljenosti 1 od ose. ( ) 28 Utrostranuprizmuijesuosnovneivice15 ,
14 , 13 = = = c b a upisanjeiokonje opisan valjak.Kako se odnose
zapremine valjka? ( ) 29 Zapremina etverostrane zarubljene piramide
je V=3904,a visina H=48,suma njenih baza je 164.Kolike su baze
piramida? ( ) 30
Izraunatipovrinuizapreminupravilneestostranepiramideakosujojosnovne
ivice 33 2, 3 4 = = c a ,a visina zarubljene piramide H=12. ( ) 31
Zapreminetrijucilindara(valjaka)seodnosekao1:4:9,asumazapreminaje
56 . Koliki su poluprenici baza svakog od valjaka ako su im svima
jednake visine H=1. ( ) 32 Ukockustranicea
jeupisaniokonjeopisanvaljak.Kakoseodnosezapremine valjaka? ( ) 33
Izraunatipoluprenikbazer,povrinuivisinuHpravoguspravnogkonusaijaje
zapremina V= 3 9a povrina omotaa dvaput vea od povrine baze. ( ) 34
Kupaivaljakimajujednakeomotae.Kodkonusaje15 : 8 : = H r akodvaljka
17 : 1 : = H R .Kako se odnose zapremine oba tijela? ( ) 35
Zadanajepravilnaetverostranazarubljenapiramidaijesuosnovneivice 2 ,
2 4 = = b a ibonaivica2 8 34 = s .Kolikajebonastranicazarubljenog
konusakomejejednabazakrugopisanokokvadratastranicea
,adrugabazakrugupisan u kvadrat stranice b. ( ) 36 Poluprenici baza
uspravnog zarubljenog konusa su R=11,r=2 a visina H=12.Iz tog
konusaizrezanjeiodstranjenkonusijijevrhucentrumanjebaze,aizvodnicesu
paralelenesaizvodnicamazadanogkonusa.Kolikajepovrina,akolikazapremina
preostale geometrijske figure? ( ) 37
Osnipresjekuspravnekupejepravouglitrougao.Kolikajepovrinaizapremina
uspravne kupe ako je obim baze 6 . ( ) 38 Visina zarubljenog konusa
je H=24,a bona strana i poluprenici baza se odnose kao
s:R:r=5:4:1.Kolika je povrina i zapremina kupe? 21( ) 39 U
unutranjostijednakostraninog valjka postavljene su dvije kupetako
da se baza
jednogkonusapoklapasabazomvaljka,abazadrugogkonusasadrugombazom
valjka.Visinasvakogodkonusaje
32visinevaljka.Kolikijepoluprenikkruniceu kojoj se presijecaju
omotai konusa? ( ) 40 Jednakostraninitrougaostranicea
rotiraokoosekojajeparalelnasvisinom,a
udaljenajeodnajbliegtjemenatrouglaza
2a.Naipovrinuizapreminurotacionog tijela. ( ) 41
Bonastranauspravnogkonusa6 = b nagnutajepremabazizaugaood o45
.Izraunati povrinu i zapreminu konusa. ( ) 42 Kolika je zapremina
uspravnog zarubljenog konusa ija je bona strana b=5,razlika
poluprenika baza R-r=3,a povrina omotaa jednaka sumi povrina obiju
baza? ( ) 43 Uspravna kupa iji je poluprenik baze r=9,a visine h=12
presjeena je paralelno sa bazom tako da presjek dijeli visinu u
odnosu 1:2 raunajui od vrha.Izraunati zapreminu i omotae dobivenih
dijelova. ( ) 44 Trougaoijesustranice14 , 13 , 15 = = = c b a
rotiraokostranicec.Izraunati povrinu i zapreminu obrtnog tijela. (
) 45 Konusivaljakimajujednakeomotae.Kodkonusajer:h=8:15akodcilindra
R:H=1:17.Kako se odnose zapremine oba tijela? ( ) 46
Kolikajepovrinauspravnezarubljenekupeijajezapremina 52 = V ,zbir
poluprenika baza R+r=7,te visina H=4? ( ) 47
Jednakokrakitrapezijesuosnovice6i2,nagibniugaopremaosnovici o45
rotira oko manje osnovice .Odrediti povrinu i zapreminu nastalog
rotacionog tijela. ( ) 48
Uuspravnomzarubljenomkonusudonjabazaje36puta,aomota70putavaod
gornje baze.Koliki je ugao koji bona ivica zaklapa sa bazom konusa?
Aritmetiki i geometrijski niz ( ) 1
Odreditiaritmetikiigeometrijskinizakosuimprvilanovijednaki,petilanovi
jednaki,a drugi lan aritmetikog niza je za 12 vei od treeg lana
geometrijskog niza. ( ) 2 Tri broja iji je zbir 93 ine geometrijski
niz.Isti brojevi se mogu uzeti za prvi,drugi i sedmi lan
aritmetikog niza.Nai te brojeve. ( ) 3 Zbir tri broja je 114.Oni se
mogu uzeti kao tri uzastopna lana geometrijskog niza ili kao
prvi,etvrti i dvadeset peti lan aritmetikog niza.Nai te brojeve. (
) 4 etiribrojainearitmetikiniz.Akoseodsvakogbrojaoduzmeredom2,7,9,5
dobijeni brojevi obrazuju geometrijski niz.Odrediti taj niz. 22 ( )
5
Naietiribrojaodkojihprvatriinegeometrijski,aposljednjatriinearitmetiki
niz,ako je zbir prva tri jednak 14,a zbir srednjih 12. ( ) 6 Tri
broja iji jezbir 26 obrazuju geometrijski niz.Ako se tim brojevima
doda redom 1,6,3 dobiju se tri broja koja obrazuju aritmetiki
niz.Odrediti te brojeve. ( ) 7
Zbirtribroja,kojisuuzastopnilanovigeometrijskogniza,je21.akotreibroj
umanjimo za 3,dobiju se tri uzastopna lana aritmetikog
niza.Odrediti te brojeve. ( ) 8
Zbirtribroja,kojisuuzastopnilanoviaritmetikogniza,je18.Akoprvibroj
poveamoza1,atreiza2,dobijusetriuzastopnalanageometrijskogniza.Odreditite
brojeve. ( ) 9
Tribrojasulanovigeometrijskogniza.Akodrugibrojuveamoza2,dobijusetri
lanaaritmetikogniza.Akosadatreilandobivenogaritmetikognizauveamoza
9,dobije se novi geometrijski niz.Odrediti te brojeve. ( ) 10 Tri
broja su lanovi geometrijskog niza.Trei od njih je jednak 12.Ako
umjesto broja 12 uzmemo broj 9,dobiju se tri lana aritmetikog
niza.Odrediti te brojeve. ( ) 11 Dokazati:ako 2 2, , c b ab
formirajuaritmetikiniz,tadaa b c b 2 , , formiraju geometrijski
niz. Analitika geometrija ( ) 1 Da li date tri take( ) ( ) ( ) 4 ,
5 ; 2 , 1 ; 0 , 3 C B A lee na istoj pravoj? ( ) 2 Izraunati
povrinu etverougla ija su tjemena( ) ( ) ( ) ( ) 5 , 3 ; 3 , 2 ; 3
, 4 ; 1 , 5 D C B A . ( ) 3 Napisati jednainu prave koja prolazi
kroz dvije take( ) ( ) 3 , 1 ; 2 , 4 B A . ( ) 4
Pravaprolazikroztaku( ) 7 , 3 M ipoloviduijesukrajnjetake( ) 4 , 2
A i ( ) 2 , 8 B .Kako glasi jednaina te prave i pod kojim uglom
sijee datu du? ( ) 5 Date su jednaine stranica trougla: 0 20 8 50 8
5= + + = = + y x BCy x ACy x AB Odrediti jednainu bilo koje teine
linije. ( ) 6 Napisati jednainu prave koja prolazi takom( ) 3 , 2
Ai paralelna je sa pravom2 3 = x y . ( ) 7Napisati jednainu prave
koja prolazi takom( ) 2 , 8 Bi normalna je na pravu0 1 2 = + y x .
( ) 8 Trougluijasutjemena( ) ( ) ( ) 4 , 1 ; 0 , 2 ; 1 , 4 C B A
odreditijednainuproizvoljnevisine. 23( ) 9 Odrediti najkrae
rastojanje take( ) 1 , 2 Aod prave0 5 4 3 = + + y x . ( ) 10 Date
su jednaine dva prenika kruga: 0 12 3 20 14= + = +y xy x Kako glasi
jednaina toga kruga kada se zna da on prolazi kroz koordinatni
poetak. ( ) 11 Nai koordinate presjenih taaka prave1 + = x yi
krunice252 2= + y x . ( ) 12 Odrediti duinu tetive koju prava0 5 2
= + y xodsijeca na krunici502 2= + y x . ( ) 13
Podkojimseuglomizkoordinatnogpoetkaviditetivakruga 0 25 2 142 2= +
+ y x y x koja lei na pravoj25 2 7 = y x . ( ) 14 U taki( ) 0 , 3
> y Anapisati jednainu tangente na krunicu252 2= + y x . ( ) 15
Iz take( ) 1 , 7 Apovui tangente na krunicu252 2= + y x . ( ) 16
Napisati jednainu tangente krunice0 36 12 102 2= + + y x y xkoja je
paralelna pravoj0 10 3 4 = + y x . ( ) 17
Napisatijednainutangentekrunice0 15 8 62 2= + + y x y x
kojajenormalna napravux y 3 = . ( ) 18 Pod kojm se uglom sijeku
linije: 52 2= + y xi 5 3 = y x( ) 19 Pod kojim se uglom sijeku
linije: 32 2= + y x i( ) 4 12 2= + y x( ) 20 Nai duinu tetive koju
parabolax y 42=odsijeca na pravoj4 2 = x y . ( ) 21 U taki( ) 0 , 1
> y Anapisati tangentu na parabolux y 42= . ( ) 22
Upresjenimtakamaprave8 4 = y x iparabolex y 162= povuitangentena
parobolu i nai rastojanje presjene taketangenata od fokusa
parabole. ( ) 23Iz take( ) 9 , 3 Apovui tangente na parabolux y
242= . ( ) 24 Na parabolux y 122= povui tangentu koja je paralelna
sa pravom5 + = x y . ( ) 25 Napisati jednainu tangente parabolex y
162=koja je naormalna na pravu0 6 2 = + + y x . ( ) 26 Pod kojim se
uglom sijeku linije: 6 2 = y xi x y 22=( ) 27 Nai duinu tetive koju
prava6 2 + = x yodsijeca na elipsi36 22 2= + y x . ( ) 28
Kolikajepovrinapravougaonikaijatjemenaleeupresjenimtakamaelipse 144
92 2= + y x
ikoncentrinogkrugaijijepoluprenikjednakgeometrijskojsredinipoluosa
elipse? ( ) 29U taki( ) 0 , 4 > y Anapisati tangentu na elipsu20
42 2= + y x . ( ) 30 Iztake( ) 0 , 12 M povuitangentenaelipsu36 32
2= + y x teodreditinjene jednaine.Pod kojim se uglom sijeku linije:
1 82 2= + y y xi 192 16 32 2= + y x24( ) 31 U taki( ) 9 , 0 < x
Mnapisati jednainu tangente na hiperbolu144 92 2= y x . ( ) 32
Upresjenimtakamaprave10 2 = + y x ihiperbole12 4 32 2= y x povui
tangente na hiperbolu,napisati njihove jednaine i nai ugao pod
kojim se one sijeku. ( ) 33 Kroz taku( ) 0 , 2 < y Mna
hiperboli2 22 2= y x povui normalu na hiperbolu. ( ) 34 Kako glase
jednaine tangente koje su povuene iz take( ) 5 , 3 Mna hiperbolu3
32 2= y x . ( ) 35 Napisatijednainutangentenahiperbolu180 9 52 2= y
x kojajeparalelnasa pravomx y = . ( ) 36 Pod kojim se uglom sijeku
linije: x y 92=i 12 32 2= y x( ) 37 Odrediti ugao pod kojim data
prava sijee krunicu 0 13 4 3 = + y x i0 20 7 92 2= + + + y x y x( )
38 Napisati jednainu zajednikih tangenata krivih: 4 100 252 2= + y
xi 1 32 2= y x( ) 39 Date su krive12 32 2= y xix y 162= . a)kako
glase jednaine njihovih zajednikih tangenata b)kolika je povrina
trapezaiji su vrhovi dodirne take tangenata ( ) 40 Prava0 12 2 = +
y xsijee parabolux y 42= .Odrediti: a)ugao izmeu tangenti u
timtakama b)jednainu tangente parabole koja je paralelnasa datom
pravom c)jednainu krinice opisane oko trougla ija su tjemena
presjene take date prave i parabole i presjeka tangenata povuena na
parabolu u tim takama d)ugao pod kojim se sijeku data parabola i
krunica. ( ) 41 Utakamapresjekaprave0 5 3 = + y x ikrunice0 5 6 22
2= + + + y x y xkonstruisane su tangente na krunicu.Odrediti:
a)povrinutrouglaijasudvatjemenapomenutepresjenetake,atreepresjek
tangenti b)ugao izmeu tangenti c)jednainu krunice opisane oko tog
dobijenog trougla ( ) 42 Prava0 4 2 = + + y xdodiruje parabolupx y
22= .Odrediti: a)jednainu parabole b)jedanine zajednikih tangenata
parabole i krunice0 9 22 2= + x y
xc)ugaoizmeudatepraveionezajedniketangenteparaboleikrunice,kojasax
osom gradi otar ugao. ( ) 43 Date su krive22 2= + y xix y 82= .Nai:
a)jednainu zajednikih tangenata b)povrinu etverougla ija tjemena
lee u takama dodira tangenata 25( ) 44 Iz take( ) 2 , 2
Tkonsruisati tangente na parabolu ija je direktrisa d: x=-4
a)napisati jednaine tangenata b)nai ugao pod kojim se parabola vidi
iz take T
c)izraunatipovrinutrouglaodredjenogpresjekomtangenataitakamadodira
tangenata i krive. 6 6 Za dodatne informacije ili konsultacije
uenici neka se obrate predmetnim nastavnicima. Author: prof.Selmir
Dadanovi
