x

y

z

xo

yo

Qo = Cx Cy

Tx tg a Cx en Qo

Ty tg a Cy en Qo

Tx y Ty determinan

un único plano: t

PLANO TANGENTE

a S en Qo

: x = xo

Tx

Qo

Ty

t

Cx x-curva

: y = yo

Cy y-curva

z

Cx

Ty

Qo Tx

t

Po (xo; yo)

S

en Po (xo ; yo )

Tx : Z – zo = B (y - yo) (recta en : x = xo )

ECUACIÓN DEL PLANO TANGENTE

Qo (xo; yo; zo) t

t = (a ; b ; c)

t :

Si c 0 , dividiendo por c se obtiene:t :

Tx = πt

Tx :

)xx( o

o

ooo

xx

)yy(B)xx(AzZ(1)

Z

y

z

y z

yyo

Δz=B

Tx

z

Δy=1zo

(x = xo)

Qo

Cx

x

n

a?; b? ; c?

A?; B?

n

n t

Qo

t

Tx

(x = xo)

= 0

por geom B = mTx B = fy (xo; yo )

por calc. dif. mTx = fy (xo ; yo)

( x = xo )

Ty ) Z – zo = A ( x – xo ) recta en π: y = yo

A = mTy

A = fx (xo; yo )

mTy = fx(xo; yo)

Tx ) Z – zo = B ( y - yo) recta en π: x = xo

B = fy (xo ; yo )

t : Z - zo = fx (xo ; yo ) . (x - xo) + fy (xo ; yo ) . (y - yo)

Ty

TxQo

t )

Idem:

t : Z = zo + fx (xo ; yo ) . (x - xo) + fy (xo ; yo ) . (y - yo)

¿ existen .las derivadas parciales de f en Po(0;0) ?? . Calculamos “por def.”

y = f (x) (función escalar) ; “ existe f´(xo) f continua en xo ”.

z = f (x; y) (campo escalar): “existen fx(Po) y fy(Po) f continua en Po”

Ejemplo 1: sea z = f (x; y)

V

F

existen fx(0;0) y fy(0;0)

Pero … f no es continua en (0; 0)Pero … f no es continua en (0; 0)

x

y

z

f (x; y) = 22 yx

y.x

(1) por la recta y = x :

f (x; x) = ½ , x 0 ; luego,

f (x; x) ½ cuando x 0 .

(2) por la recta y = ½ x :

Si (x; y) (0;0) … ¿qué hace f (x;y) ?? ¿tiene un “comportamiento definido??;

¿tiende a f (0; 0)?. O sea, ¿es continua en (0;0)?

x

y

z

x

y

z

1/21/2

2/52/5

y= ½ x

y= xConclusión: si (x; y) (0;0)

por rectas distintas ;

f (x;y) tiende a valores distintos.

no existe el límite de f

para (x; y) (0;0) ;

f no es continua en (0;0)

f (x; ½ x) = 2/5 , x 0 ; luego,

f (x; ½ x) 2/5 cuando x 0.

Vimos que:

“ existe f´(xo) f diferenciable en xo ” ( existe df (xo) )

DIFERENCIABILIDAD DE CAMPOS ESCALARES z = f (x; y)

Recuerdos:definimos “diferencial de f en xo”: df (xo) =

“ si f diferenciable en xo entonces. el diferencial y , dy ,

es una buena aproximación del incremento en y , y , con

Si y = f (x) es “derivable en xo” ; o sea, existe

ó; dy = f ´ (xO) . dx

y = f ´ (xo). x + . x , y = f ´ (xo). x + . x ,

con 0 para x 0con 0 para x 0

con 0 para x 0con 0 para x 0

“propiedad” del diferencial de f para 1-variable que “sugiere” la forma de definir diferencial de f para 2- variables.

z = f (x; y) , Po (xo ; yo) ; si existen fx(Po) y fy(Po), ¿ f será “diferenciable” en Po ?

¿¿ f diferenciable en Po ?? . Para seguir debemos definir diferenciabilidad de f.

Esto se hace llevando a 2- variables lo visto en 1-variable

Po (xo ; yo) .

Po

( z = f (x; y) - f (xo; yo) )

;

Demostración:

f diferenciable en (xo; yo)

Luego:

zlim)0;0()y;x(

f continua en (xo; yo)

f continua en (xo; yo)

lim)0;0()y;x( ( )

00 00

00 00

0zlim)0;0()y;x(

q.e.dq.e.d

= 0

0)y;x(f)yy;xx(f oooo)0;0()y;x(

lim

Definida “diferenciablidad de f ” , volvemos a la pregunta:

¿¿ existencia de fx(Po) y fy(Po) f “diferenciable” en Po ??.

Para contestarla necesitamos algunos resultados, que vemos ahora.

)y;x(f)yy;xx(f oooo)0;0()y;x(

lim

SISI

!!! (ej 1.)!!! (ej 1.)

!! ABSURDO!!ABSURDO!!

Teo 2Teo 2

Es decir, que el “ incremento de f ” es aproximadamente igual al “ diferencial total de f ”.

1)

2)

3) f diferenciable (TEO 2)

= +

“despreciable”

el dz

z = x 2 + 3 x y – y2

=

23 0.05 -0.042 3

d z = 0.65

( z = f (x; y) = x 2 + 3 x y – y2 ) Δz = f (2+Δx ; 3+Δy ) - f (2;3)

(TEO 2) f diferenciableRECUERDOS

(x; y)

x

y

z

D

yo

xy

(xo;yo )

zo

(xo;yo) zo= f (xo;yo) Po S

(x ; y) z = f (x ;y ) Q S

zo

Po

(x ; y)

t

S

Q z

T z dz

xo

Δz = z - zo

s

z

(x ; y) z tal que T(x;y;z ) t

Pero

z ≈ zo + dz

z

z - zo

(x; y)

(xo;y)(xo;yo)

zo

Δz

Q

(x;y; zo)

(x;y;z)

zo

(x;y; z)

ε

ss

P+ +

z

+ + + ε Po

dz

T

dz+ +

P+

V = V(r; h) con V(r; h) = hr 231

r = 10

rv = 10 + Δr

εr = | r - rv | = |Δr |

εr (máx.) = 0.1 |Δr| ≤ 0.1

h = 25

hv = 25 + Δh

εh = | h - hv | = | Δh |

εh (máx.) =0.1 |Δh| ≤ 0.1Se informa: r = 10 ± 0.1 Se informa: h = 25 ± 0.1

V = V(10 ;25) = 2600

Vv = V(10 + Δr ; 25 + Δh)

εV = | V - Vv |

εV = | ΔV | ≈ | dV |

r=10r=10 ΔrΔr

h=25h=25

ΔhΔh

| | | |

≈ 63 (cm3) ≤

| dV | ≤ 63

εV (máx.) = 63

| || | ≤ | |

V = V(r; h) con V(r; h) = hr 231

r = 10

rv = 10 + Δr

εr (máx.) = 0.1 |Δr| ≤ 0.1

h = 25

hv = 25 + Δh

εh (máx.) =0.1 |Δh| ≤ 0.1

εV = |ΔV| ≈ |dV| ≤ 63 εV (máx.) = 63

Vv = V ± 63

| Vv - V| ≤ 63

V- 63 ≤ Vv ≤ V + 63

V=V(10;25) ≈ 2600 2537 ≤ Vv ≤ 2663

r=10r=10 ΔrΔr

h=25h=25

ΔhΔh

| | ≈ 63 (cm3) ≤| |

εrel =

ε% =

024.02600

63

Vmáx

4.2100

.rel

%

V = V(r; h) con V(r; h) = hr 231

r = 10

rv = 10 + Δr

εr (máx.) = 0.1 |Δr| ≤ 0.1

h = 30

hv = 30 + Δh

εh (máx.) =0.1 |Δh| ≤ 0.1

εV = |ΔV| ≈ |dV| ≤ 15 εV (máx.) = 15

Vv = V ± 15

| Vv - V| ≤ 15

V- 15 ≤ Vv ≤ V + 15

V=V(10;25) ≈ 208 193 ≤ Vv ≤ 223

r=10r=10 ΔrΔr

h =6h =6

ΔhΔh

| | ≈ 15 (cm3) ≤| |

εrel =

ε% =

072.0208

15

Vmáx

2.7100

.rel

3

.40

%