x 1. AB CD,EF GH และ FGHI 2 AB CD EF ˆ ˆ EF GH CD ˆˆ AB CD ˆˆ · 2014-10-02 · เป็นเส้นตัด จะได้ efc gef 55. ˆ ˆ = = ( มุมแย้ง

สาระท 3 เรขาคณต หนา 33

ศนยพฒนากลมสาระการเรยนรคณตศาสตร สพม.3 จงหวดนนทบร หนา 33

1. จากรป ถา AB CD,EF GH และ FGHI แลว จงหาคาของ x

2

แนวคด

1) AB // CD ม EF เปนเสนตด จะได ˆ ÊFC GEF 55= = ( มมแยง )

2) EF // GH ม CD เปนเสนตด จะได ˆ ÊFC GHF 55= =

( มมภายนอกและมมภายในทอยบนขางเดยวกนของเสนตด )

3) AB // CD ม HI เปนเสนตด จะได ˆ ÎHG GIH 45= = ( มมแยง )

4) ˆ ˆ ˆGHF GHI IHD 180+ + = ( มมตรงมขนาดเทากบ 180 องศา )

จะได ˆ55 GHI 45 180+ + =

ˆGHI 180 55 45 80= − − =

5) FG // HI ม GH เปนเสนตด จะได ˆ ˆFGH GHI 80x = = = ( มมแยงเทากน )

ดงนน x 80 402 2

= =

ตอบ ขอ 2

1. 25 องศา

2. 40 องศา

3. 55 องศา

4. 80 องศา



2. เดกคนหนงเดนทางออกจากโรงเรยนไปทางทศตะวนตก 7 เมตร เลยวไปทางทศเหนอ 20 เมตร

แลวตองเลยวไปทางทศตะวนออกอกกเมตร จงจะถงบานพอด ถาบานและโรงเรยนอยหางกน 25 เมตร

1. 15 เมตร 2. 22 เมตร 3. 27 เมตร 4. 29 เมตร

แนวคด

จากรป จะได

2 2 2x 25 20= −

2x 625 400= −

2x 225=

x 15=

ดงนน ตองเลยวทางทศตะวนออกอก เทากบ 7 + 15 = 22 เมตร

ตอบ ขอ 2

𝑥

20 ม. 25 ม.

20 ม.

7 ม.

น



3. กาหนดใหสามเหลยม ABC เปนรปสามเหลยมบนระนาบ (x, y) จด A มพกดเปน (–3, –3 ) จด B มพกด

เปน (4, –3) และจด C มพกดเปน (–2, a) จงหาคาของ a เมอทราบวาพนทสามเหลยมดงกลาว มคาเทากบ

28 ตารางหนวย

1. 5 2. 8 3. – 11 4. ถกทงขอ 1 และขอ 3

แนวคด

สราง CD ตงฉากกบ AB ทจด ( )2, 3− −

พนท 1ABC2

F = × สง × ฐาน

128 AB CD2

= × ×

128 7 CD2

= × ×

28 2

CD7×

=

CD 8= หนวย

นนคอ จด C จะตองหางจากพกด ( )D 2, 3− − 8 หนวยในแนวแกน y

จด C มพกดเปน ( )2, 11− − หรอ ( )2, 5− −

ดงนน ( )C 2,a− จะไดวา 11,5a = −

ตอบ ขอ 4

A(-3,-3) B(4,-3)

C(-2,a)

D(-2,-3)



13

58 C BA

18

513 C BA

4. ถากาหนดให ABC ม AB = 13 หนวย และ BC = 5 หนวย จงหาวา CA มความยาวทเปนไปไดกหนวย

1. CA > 8 2. – 8 < CA < 18 3. 8 < CA < 18 4. CA > – 18

แนวคด

1)

เนองจากการสรางสามเหลยมไดนน ผลรวมของดานทสน 2 ดาน จะตองมากกวาดานทยาวทสด

AC BC AB+ >

AC 5 13+ >

AC 8> หนวย

2)

AC AB BC< +

AC 13 5< +

AC 18< หนวย

นนคอ 8 AC 18< <

ตอบ ขอ 3

B

A

C

13



5. กาหนดให ACE และ BCD เปนสวนของเสนตรงตดกนทจด C สวนของเสนตรง AB และ DE ขนานกน

ถา AB = 2 ซม. , AC = 1.5 ซม. , DE = 4 ซม. , DC = AB , BC = X ซม. และ EC=Y ซม.

จงหาคาของ X+Y

แนวคด

เนองจาก AB // DE

จะทาให 1. ˆ ˆC C= ( มมตรงขาม )

2. ˆ ˆD B= ( มมแยง )

3. ˆ Â E= ( มมแยง )

ดงนน ABC EDCF F

จะไดอตราสวนทเทากน ดงน

AB BC AC

DE DC EC= =

หาคา y

AC AB

EC DE=

1.5 2y 4

=

2y 1.5 4= ×

1.5 4

2y

×=

y 3=

หาคา x

x 22 4

=

2 2

4x

×=

1x =

ดงนน 1 3 4x y+ = =+

ตอบ ขอ 3

1. 3.0 ซม.

2. 3.5 ซม.

3. 4.0 ซม.

4. 4.5 ซม.



3

CD

E

A

3

D

E

6. จากรป มดาน AB = 6 เซนตเมตร AC = 10 เซนตเมตร DE = 3 เซนตเมตร ABC = CDE = 90

จงหาวา AD ยาวกเซนตเมตร

แนวคด

ABC EDCF F

AB ACDE EC

=

10 3

EC6×

=

EC 5= เซนตเมตร

2 2 2CD EC DE= −

2 2 2CD 5 3= −

2CD 25 9= −

2CD 16=

CD 4= เซนตเมตร

∴ AD AC CD= −

AD 10 4 6= − = เซนตเมตร

ตอบ ขอ 3

1. 8 เซนตเมตร 2. 7 เซนตเมตร

3. 6 เซนตเมตร 4. 5 เซนตเมตร



บาน

โรงเรยน

2.4 กม.

3.2 กม.x

7. คณครเดนทางออกจากบานไปทางทศตะวนออก เปนระยะทาง 2.4 กโลเมตร แลวเลยวขนไปทางทศเหนอ

อก 3.2 กโลเมตร ถงโรงเรยนพอด จงหาระยะหางระหวางบานกบโรงเรยน

1. 4.0 กโลเมตร 2. 4.5 กโลเมตร 3. 5.6 กโลเมตร 4. 6.7 กโลเมตร

แนวคด

( ) ( )222 2.34.2 +=x

00.16

24.1076.5=

+=

∴ 4=x กโลเมตร

ตอบ ขอ 1

8. ผลบวกของมมภายในของรป X เหลยม เปนสองเทาของผลบวกของมมภายในรปแปดเหลยม จงหาคา X

1. 12 2. 13 3. 14 4. 15

แนวคด

ผลบวกของมมภายในของรป x เหลยม ( )x 2 180= −

ผลบวกของมมภายในของรปแปดเหลยม 1,080=

( ) ( )x 2 180 2 1,080

x 2 12

x 14

− =

=

=

−

ตอบ ขอ 3

น



30

18

x

BC

A

9. ใหสามเหลยม ABC มดานยาวเปน จานวนเตมหนวย AB = 30 หนวย BC = 18 หนวย

แลว AC สนทสด จะยาวกหนวย

แนวคด

121830

>−>−>

ACAC

BCABAC

แต

481830

<+<+<

ACAC

BCABAC

∴ AC ทสนทสดจะยาว 13 หนวย

ตอบ 13 หนวย

10. รปหกเหลยมดงรป ขนาดของมมภายในทงหมดรวมกนเทากบขนาดของมมภายในรปสามเหลยม

รวมกนกรป

แนวคด

ผลบวกของมมภายในของรปหกเหลยม 720=

ผลบวกของมมภายในของรปสามเหลยม 180=

ดงนน ขนาดของมมภายในทงหมดรวมกน เทากบ ขนาดของมมภายในรปสามเหลยมรวมกน

180720 ÷=

= 4 รป

ตอบ ขอ 2

1. 5 รป

2. 4 รป

3. 3 รป

4. 2 รป



11. พจารณาภาพตอไปน

ภาพดานหนา ภาพดานขาง ภาพดานบน

เกดจากการนาลกบาศกขนาด 1 หนวย มาประกอบกนเปนรปเรขาคณต 3 มต ตามขอใด

แนวคด

ตวเลอกท 1 พจารณาภาพจากดานบน

เปนเทจ


เปนเทจ


เปนเทจ


เปนจรง

ตอบ ขอ 4



12. กาหนดรปสามเหลยมทมขนาดของดานยาว 3 , 5 , a เซนตเมตร ถา a เปนจานวนเตม

แลวจะมรปสามเหลยมทเปนไปไดกรป

แนวคด

ดานสน 2 รป บวกกนจะตองมากกวาดานยาว

กรณท 1 253

>>+

aa

กรณท 2

7,6,5,4,3828

853

=<<<>>+

aaa

aa

ตอบ 5 รป



a°4x°

a + 20°

x°

85°

20°D

F

E

C

A

B

13. จากรปถา มม BAC = 85 องศา มม ABD = 20 องศา มม BDC โตเปน 4 เทาของมม ACD แลวถาวามม ACD

จะมขนาดกองศา

แนวคด

( )85 a 20 4x a x 360+ + + + + =

85 a 20 180 x 360+ + + + = ; ( )4x a 180+ =

360 180 85 20a x+ = − − −

75a x+ =

จาก 4x a 180+ =

; ( ) ( )4x 180 75a a x+ + = −−

3 105x =

35x =

ตอบ ขอ 4

1. 20 องศา 2. 25 องศา 3. 30 องศา 4. 35 องศา

1

2

2 - 1



14. จากรป � ABCD เปนรปสเหลยมจตรส BEC เปนรปสามเหลยมดานเทา จงหาวามม EAD โตกองศา

แนวคด

จาก F BEC เปน F ดานเทา

จะได ADCDABOEBCBE =====

จาก ABBE = ทาให F ABE เปน F หนาจว

จาก 60ˆˆˆ === ECBCBECEB (F ดานเทา)

จะได 30=EBA (มมทกมมของรปสเหลยมจตรสเปนมมฉาก) 90ˆˆ == ABEEBC

จาก F ABE เปน F หนาจว มมทฐานยอมเทากน

จาก ผลรวมของมมภายในของรปสามเหลยมเทากบ 180

จะได 180ˆˆˆ =++ BAEAEBABE

ดงนน 75ˆˆ =+ BAEAEB (มมทฐานของรปสามเหลยมหนาจวเทากน)

จาก 75ˆ =BAE

จะได 15ˆ =DAE (มมทกมมของรปสเหลยมจตรสเปนมมฉาก)

ตอบ ขอ 4

1. 45 องศา 2. 30 องศา

3. 20 องศา 4. 15 องศา



15.

แนวคด

ตอบ ขอ 1

ลากเสนตรงเสนหนงตดรปตนแบบ ขางบน ออกเปน 2 สวน

แลวเลอนขนานสวนหนงไปประกอบกบอกสวนหนง

เปนรปในขอใดตอไปนได



16.

1. 2 5 นว 2. 5 2 นว 3. 5 นว 4. 5 3 นว

แนวคด

ผลบวกของมมภายในของ F ABC จะได

4518041802

=

=

=++

xxxxx

225

45cos55

45cos

=

=

=

FC

FC

FC

25

2252

2

=

=

= FCBC

ตอบ ขอ 2

จากรป AD ขนานกบ BC สวนของเสนตรง AB และ AC

ยาวเทากบ 5 นว มม BAC มขนาดเปน 2 เทาของมม CAD

ถามวา BC ยาวกนว



17.

แนวคด

จาก ∆ABC ≅ ∆BDE

จะไดวา AD = BE

BD = BC

ดงนน CE = BE – BC

= 12 – 5

= 7 หนวย

ตอบ ขอ 3

18. รปทรงมมฉาก ประกอบดวยลกบาศกขนาด 1 ลกบาศกเซนตเมตร จานวน 8 ลก ถกแบงเปน 2 สวน

คอสวน A และสวน B สวน A ประกอบดวยลกบาศก 5 ลก ดงรป สวน B ไมไดใหรปไว

จงหาวา สวน B มพนทผวกตารางเซนตเมตร

แนวคด

พนทดานหนา = 3 ตารางเซนตเมตร

พนทดานหลง = 3 ตารางเซนตเมตร

พนทดานขวา = 2 ตารางเซนตเมตร

พนทดานซาย = 2 ตารางเซนตเมตร

พนทดานบน = 2 ตารางเซนตเมตร

พนทดานลาง = 2 ตารางเซนตเมตร

ดงนน ผลรวมของพนทผว = 3 + 3 + 2 + 2 + 2 + 2 = 14 ตารางเซนตเมตร

ตอบ 14 ตารางเซนตเมตร

จากรป รปสามเหลยม ABC และ BDE เทากนทกประการ

ม BE ตงฉากกบ AD ท B ดาน AB และ BD ยาว

12 และ 5 หนวย ตามลาดบ ถามวา CE ยาวกหนวย

1. 5 หนวย 2. 6 หนวย

3. 7 หนวย 4. 8 หนวย



19. จากรป AB ขนานกบ CD ใหขนาดของมม ÂBE , มม ÊCD , มม ˆBEC เทากบ a, b, c องศา ตามลาดบ

ขอใดตอไปน มคาเทากบ 180 องศา

1. a + b + c 2. a + b – c 3. a - b + c 4. b + c – a

แนวคด

จากรป มม 180 bx = −

มม 180y a= −

มมภายใน BEF 180F =

นนคอ y c 180x + + =

( ) ( )180 180 180b a− + − =

360 180a b c− − + + =

180a b c− − + = −

ดงนน 180a b c+ =−

ตอบ ขอ 2

A B

C D

E

a c

b



20. กาหนดรปทรงสามมต 2 รปให

รปท 1 รปท 2

รปในขอใดทไมไดใชรปทรงสามมต 2 รปมาประกอบกน

1. 2.

3. 4.

แนวคด

1. 2.

3. 4.

ตอบ ขอ 1



7 เซนตเมตร

7 เซนตเมตร

21. รปตอไปน ประกอบดวยสวนของเสนตรง 2 เสนยาวเทากบ 7 เซนตเมตร และขนานกนดวย

ปดดวยสวนโคงของวงกลม 2 สวนโคง แตละสวนโคงยาวเปน 1 ใน 4 ของเสนรอบวงของวงกลม

ซงมรศม 7 เซนตเมตร เชนกน ( ให 227

π ≈ ) จงหาวารปดงกลาวมพนทกตารางเซนตเมตร

แนวคด

พนทผวขางของทรงกระบอก = 2 rhπ

= 22

2 7 77

× × ×

= 308 ตารางเซนตเมตร

เนองจากสวนโคงยาวเปน 14

ของเสนรอบวงของวงกลม

นนคอพนทของรปดงกลาวเทากบ 14

ของพนทผวขางของทรงกระบอก

ดงนน พนทของรป = 2 rh

4π

= 3084


ตอบ ขอ 4

1. 38.5 ตารางเซนตเมตร

2. 44 ตารางเซนตเมตร



7 ซม.

7 ซม.

r = 7 ซม.



4 ซม.

3 ซม.

5 ซม. G

E

F

C

D

B

A

3 ซม.5 ซม.

4 ซม. F

CB D

E

A

22. จากรปทกาหนด AB = 5 เซนตเมตร DC = 3 เซนตเมตร และ AB ขนานกบ DC และตอ ED ไปพบ BC

ท F ทาให BF = FC EG แบงครงมม AEF EG = 4 เซนตเมตร จงหาพนทของรปหาเหลยม ABCDE

แนวคด

หาพนทของรปสามเหลยมมมฉาก AED = 12

× ฐาน × สง

= ( )1 AB CD GE2

× + ×

= ( )1 5 3 42

× + ×

= 1 8 42

× ×


ดงนน พนทของรปสามเหลยม ABCDE เทากบ 16 ตารางเซนตเมตร

ตอบ ขอ 2







23. รปตอไปนแสดงการมองลกบาศกทวางซอนกน โดยมองจากดานบน ดานหนา และดานขางทางขวา

จงหาวามลกบาศกอยางนอยทสดกลก

ดานบน ดานหนา ดานขางทางขวา

1. 9 ลก 2. 10 ลก 3. 11 ลก 4. 12 ลก

แนวคด

3 4 3 10+ + = ลกบาศก

ตอบ ขอ 2

3 4 3



C

A

B

4 ซม

D

24. จากรป สามเหลยมมมฉาก ABD มมม ABD เปนมมฉาก โดยขนาดของมม ACB และมม ADB เทากบ 30

และ 15 องศา ตามลาดบ AB = 4 เซนตเมตร จงหาวา CD ยาวกเซนตเมตร

แนวคด

tan 15° = BD4

BD = 27.04

BD ≈ 14.81

tan 30° = BC4

BC = 58.04

BC ≈ 6.90 CD = BD - BC ≈ 14.81 – 6.90 ≈ 7.91

ตอบ CD ยาวประมาณ 7.91 เซนตเมตร

Documents

x 1. AB CD,EF GH และ FGHI 2 AB CD EF ˆ ˆ EF GH CD ˆˆ AB CD ˆˆ · 2014-10-02 · เป็นเส้นตัด จะได้ efc gef 55. ˆ ˆ = = ( มุมแย้ง