Wykład 2

Elementy statystyki.

Statystyka opisowa.

1. Słownik podstawowych pojęć:

Populacja generalna-zbiorowość poddawana statystycznemu badaniu (np.

klienci sieci telekomunikacyjnych, telefony określonej marki, rozmowy

telefoniczne)

Cecha-własność elementów populacji generalnej

(np. czas korzystania z sieci na danym obszarze, liczba sprzedanych

telefonów danej marki w różnych miesiącach danego roku, parametry

technologiczne produkowanych urządzeń, liczba usterek itp.)

Cecha ilościowa-wyraża się ją liczbowo (ilość sprzedanych telefonów danej

marki, ilość usterek, długość rozmów, ilość pobrań pliku itp. )

Cecha jakościowa-trudna lub niemożliwa do zmierzenia

(np. wykształcenie klientów, miejsce zamieszkania, kolor obudowy

telefonów, itp.)

Cecha skokowa-wielkość cechy może być wyrażona przez skończoną liczbę

wariantów (np. ilość klientów, liczba wejść na stronę, itp.).

Cecha ciągła-wielkość cechy wyrażona przez elementy pochodzące z

przedziału liczbowego (np. czas dostępu do informacji, masa, natężenie

prądu itp.)

Próba (próbka)-podzbiór populacji generalnej otrzymany drogą losowania

(zależnego, niezależnego).

Losowanie zależne-każdy element może być wylosowany co najwyżej jeden

raz.

Losowanie niezależne-każdy element populacji generalnej może być

wylosowany wielokrotnie.

Oznaczenie próby:

x1, x2, x3,...,xn

n - liczność (liczebność) próby

mała próba (n≤30)

duża próba (n>30)

Wstępne opracowanie danych.

Szeregi statystyczne:

Szereg pozycyjny dla małej próby-

uporządkowujemy dane w ciąg niemalejący.

xxxxx nn )()1()3()2()1(...

Szereg punktowy dla dużej próby-

wyodrębniamy wielokrotnie powtarzające się wielkości.

xj nj

x1

x2

...

xk

n1

n2

...

nk

Przykład:

W dziale kontroli jakości bada się liczbę usterek w wylosowanym wyrobie.

W ciągu 100 dni było:

25 dni –brak usterek

35 dni- 1 usterka,

25 dni-2 usterki,

10 dni-3 usterki,

5 dni-4 usterki

Liczba

usterek

Liczba dni

0 25

1 35

2 25

3 10

4 5

Szereg rozdzielczy dla dużej , zróżnicowanej próby

10 Rozstęp: R=xmax-xmin

20 Liczba klas:

nknk4

3lub

30 Długość klasy:

l=R/k

klasy liczność klasy

xmin÷(xmin+l)

(xmin+l)÷ (xmin+2·l)

...

(xmax-l)÷xmax

n1

n2

...

nk

razem n

Przykład.

Niejaki J. M. Pawlak zebrał informacje na temat czasu, jaki upłynął od

odjazdu ostatniego pociągu metra do momentu wejścia na peron ( w

sekundach):

0,20,20,30,30,30,30,50,60,70,80,80,80,90,100,110,110,110,

120,130,130,130,140,150,150,150,165,170,170,170,190,

200,200,200,200,210,210,210,220,220,220,230,230,230,240,

250,250,250,250,250,260,260,270,270,270,280

n=56

Uporządkować dane w szereg rozdzielczy.

R=280, k=7, l=40

Nr klasy Klasa liczność

1 0-40 7

2 40-80 6

3 80-120 6

4 120-160 7

5 160-200 9

6 200-240 10

7 240-280 11

razem 56

Charakterystyki liczbowe z próby.

Miary pozycyjne:

Średnia z próby:

k

j

jj

k

j

jj

n

i

i

nxn

x

nxn

x

nxn

x

1

1

1

1

1

30,1

Uwaga:

to środek j-tej klasy

Miary rozproszenia:

Wariancja z próby:

k

j

jj

k

j

jj

n

i

i

nxxn

s

nxxn

s

nxxn

s

1

22

1

22

1

22

)(1

)(1

30,)(1

Odchylenie standardowe z próby-

pierwiastek kwadratowy z wariancji z próby ozn. s

Współczynnik zmienności:

%100x

sv

Graficzne przedstawienie danych-

histogram liczności.

10,0 11,8 13,6 15,4 17,2 19,0

Zmn1

0

2

4

6

8

10

12

14

Lic

zba o

bs.

xj nj

0 25

1 35

2 25

3 10

4 5

klasy liczność

10,0-11,8 13

11,8-13,6 10

13,6-15,4 8

15,4-17,2 7

17,2-19,0 2

1 2 3 4

35

25

10

5

Przykład.

Obliczyć charakterystyki liczbowe dla szeregów statystycznych:

a)3,5,6,6,7,8,8,9,9,9

średnia:

wariancja:

s2=

+

odchylenie standardowe: s≈1,9

współczynnik zmienności:

v=

b)

Liczba

usterek xi

Liczba dni

ni

xini (xi- 2ni

0 25 0 25

1 35 35 0

2 25 50 25

3 10 30 40

4 5 20 45

razem 100 135 135

=1,35

s2=1,35 s

v=

%

c)

Nr klasy Klasa liczność Środek

klasy

1 0-40 7 20 140 129472

2 40-80 6 60 360 55296

3 80-120 6 100 600 18816

4 120-160 7 140 980 1792

5 160-200 9 180 1620 5184

6 200-240 10 220 2200 40960

7 240-280 11 260 2860 118976

razem 56 8760 370496

v=

Wnioskowanie statystyczne.

Wartości każdej cechy elementów należących do populacji generalnej możemy

rozważać jako wartości pewnej zmiennej losowej.

Gdy mówimy o zmiennej losowej to myślimy zwykle o jej rozkładzie

prawdopodobieństwa.

W statystyce mówimy krótko, że rozważana populacja ma rozkład

prawdopodobieństwa.

Z kolei jeśli z populacji pobieramy próbę n - elementową to wartości

x1, x2, …,xn przedstawiają układ pewnych liczb rzeczywistych.

Jeśli próbę będziemy uważać za jedną ze wszystkich możliwych prób to

x1, x2, …,xn możemy uznać za zmienne losowe ( bo przy każdym wyborze próby

przybierają one różne wartości) o jednakowych rozkładach.

Stąd oznaczymy je X1, X2, …, Xn.

Wówczas dowolna funkcję tych zmiennych losowych

nazywamy statystyką.

Jest to więc zmienna losowa będąca funkcją z próby i ma określony rozkład.

Nazywamy go krótko rozkładem z próby. Znajomość rozkładów statystyk

odgrywa bardzo ważna rolę we wnioskowaniu statystycznym.

Rozkłady z próby.

1. Rozkład średniej arytmetycznej

Z populacji o rozkładzie normalnym losujemy n – elementową

próbę i przez X1, X2, …, Xn oznaczamy kolejne wyniki w próbie, będące

zmiennymi losowymi.

Statystyka

tj. średnia arytmetyczna ma rozkład

.

Wniosek:

Średnia arytmetyczna podlega mniejszej zmienności niż pojedyncze

wyniki i zmienność ta maleje wraz ze wzrostem liczebności próby n.

2. Rozkład chi-kwadrat

Z populacji o rozkładzie normalnym losujemy n – elementową

próbę i przez X1, X2, …, Xn oznaczamy kolejne wyniki w próbie, będące

zmiennymi losowymi.

Statystyka

gdzie

ma rozkład zwany rozkładem chi-kwadrat o n-1 stopniach swobody.

Gęstość ma dość skomplikowany wzór.

Wykres przyjmuje różny kształt w zależności od liczby stopni swobody.

W zastosowaniach statystycznych korzystamy z prawdopodobieństw

postaci:

przy danej wielkości i określonej liczbie stopni swobody:

Wartości dla r=1,2,…,30 i dla niektórych wartości zostały

stablicowane (podobnie jak dystrybuanta rozkładu normalnego).

(tablica z książki S. Ostasiewicz, Z. Rusnak, U. Siedlecka,

„Statystyka. Elementy teorii i zadania.)

3. Rozkład t-Studenta.

Z populacji o rozkładzie normalnym losujemy n – elementową

próbę i przez X1, X2, …, Xn oznaczamy kolejne wyniki w próbie, będące

zmiennymi losowymi.

Statystyka

gdzie

zwana statystyką Studenta ma rozkład Studenta o n-1 stopniach

swobody.

Kształt funkcji gęstości jest zbliżony do gęstości rozkładu normalnego.

W praktyce korzystamy z prawdopodobieństwa

Wielkości te są stablicowane dla określonej liczby stopni swobody i

niektórych wielkości .

(tablica z książki S. Ostasiewicz, Z. Rusnak, U. Siedlecka,

„Statystyka. Elementy teorii i zadania.)

t -t

1-

Estymacja parametrów.

Jednym z głównych zagadnień wnioskowania statystycznego jest

estymacja (oszacowanie). Estymacja polega na szacowaniu wartości

parametrów bądź postaci rozkładu populacji na podstawie próby.

Estymacja może być:

a) parametryczna, gdy na podstawie próby chcemy oszacować jeden lub

kilka parametrów populacji, której rozkład jest znany;

b) nieparametryczna, gdy nie jest znana postać dystrybuanty rozkładu

populacji.

Jeśli wartość parametru ( nieznaną) możemy oszacować jedną liczbą

odpowiadającą przypuszczalnej wartości parametru to mówimy o

estymacji punktowej.

W estymacji punktowej do oszacowania parametru posługujemy się

odpowiednią statystykę Zn będącą funkcją zmiennych losowych X1, X2, …,

Xn n- elementowej próby.

Statystykę Zn służącą do oszacowania nieznanego parametru nazywamy

estymatorem.

Jej wartość zn odpowiadającą realizacji próby x1, x2, …, xn nazywamy

oceną parametru. Ocenę tę przyjmujemy jako oszacowanie (z wartości)

parametru.

Estymator jest więc zmienną losową, a ocena to konkretna liczba

odpowiadająca danej realizacji próby.

Najstarszą metodą punktowego szacowania nieznanego parametru jest

tzw. metoda momentów.

Polega ona na szacowaniu parametrów przez odpowiednie

charakterystyki z próby. I tak:

Estymatorem wartości oczekiwanej jest średnia z próby:

Estymatorem wariancji jest wariancja z próby

Trzeba zauważyć, że dla każdej próby wartości oszacowań są

różne i nie możemy w sposób bezpośredni powiedzieć jaki błąd

popełniamy przy tej ocenie.

Stąd inny sposób estymacji nazywamy estymacją przedziałową.

Polega ona na określeniu przedziału, który zawiera prawdziwą wartość

parametru.

Przedział liczbowy (losowy), który zawiera prawdziwą wartość parametru

z określonym z góry prawdopodobieństwem 1- nazywamy przedziałem

ufności.

Wartość 1- nazywamy współczynnikiem ufności, a poziomem

istotności ( błąd estymacji). Długość przedziału ufności zwiększa się wraz

ze wzrostem współczynnika ufności.

Interpretacja przedziału ufności:

z prawdopodobieństwem 1- prawdziwa wartość parametru znajduje się

w tym przedziale.

Przy tworzeniu przedziałów ufności korzysta się z rozkładu statystyki,

która jest estymatorem rozpatrywanego parametru lub go zawiera.

W przypadku małych prób korzysta się z rozkładów z próby, a dla dużych

prób z rozkładów granicznych ( najczęściej jest to rozkład normalny).

Przedziały ufności dla średniej.

Model I.

Populacja generalna ma rozkład normalny Wielkości

szacujemy na podstawie małej próby.

Skorzystamy z faktu, że statystyka

ma rozkład Studenta o n-1 stopniach swobody.

Dla tego rozkładu

1ttP

Stąd

111

11

1

n

StX

n

StXP

tnS

XtP

tttP

Ostatecznie przedział ufności ma postać:

n

i

i

n

i

i xxn

sxn

x

n

stx

n

stx

1

2

1

)(1

,1

1,

1

Natomiast t odczytujemy z tablic rozkładu Studenta

dla danego i n-1 stopni swobody.

Model II.

Populacja generalna ma rozkład normalny Wielkości

szacujemy na podstawie dużej próby.

Skorzystamy z faktu, że statystyka

ma dla dużych n rozkład normalny N(0,1).

Dla tego rozkładu

1uuP

Po przekształceniach, analogicznych jak dla modelu I, przedział ufności

ma postać:

n

i

i

n

i

i xxn

sxn

x

n

sux

n

sux

1

2

1

)(1

,1

,

Natomiast u odczytujemy z tablic rozkładu Studenta dla danego i

największej liczby (np. 120) stopni swobody.

Istnieją tablice przygotowane tak, że istnieje wiersz opatrzony liczbą

stopni swobody

Przykład:

W pewnym doświadczeniu chemicznym bada się czas całkowitego

zakończenia pewnej reakcji chemicznej. Czas ma rozkład normalny.

Dokonano 12 doświadczeń i otrzymano 46 [s] i odchylenie

standardowe s=13 [s]. Przyjmując współczynnik ufności 1-=0,99

oszacować metodą przedziałową oczekiwany czas zakończenia rekcji.

Rozwiązanie:

Korzystamy z modelu I.

Ustalamy n-1=11, szukamy t dla rozkładu Studenta przy 11 stopniach

swobody i =0,01.

Otrzymujemy: t=3,106.

Wystarczy teraz dane z przykładu i ustaloną wartość „tablicową” wstawić

do wzoru. Otrzymujemy rozwiązanie:

17,58;83,33

17,1246;17,1246

11

13106,346,

11

13106,346

z prawdopodobieństwem 0,99.

Przykład.

W celach antropometrycznych dokonano na wylosowanych niezależnie

400 studentach z pewnego miasta pomiaru długości stopy. Długość ta ma

rozkład normalny. Otrzymano z tej próby =26,4 [cm] oraz s=1,7 [cm].

Oszacować za pomocą przedziału ufności przy współczynniku ufności 0,9

średnią długość stopy studentów z tego miasta.

Rozwiązanie:

Korzystamy z modelu II.

Ustalamy n=400, szukamy u dla rozkładu Studenta przy największej

liczbie stopni swobody i =0,1.

Otrzymujemy: u=1,658.

Wystarczy teraz dane z przykładu i ustaloną wartość „tablicową” wstawić

do wzoru. Otrzymujemy rozwiązanie:

54,26;26,26

14,04,26;14,04,26

400

7,1658,14,26;

400

7,1658,14,26

z prawdopodobieństwem 0,9.