Elementy rachunku

prawdopodobieństwa

(Modele probabilistyczne)

Wykład 6 ciąg dalszy

Dr inż. Adam Deptuła

12

.03

.20

17

Wydzia

ł In

żynie

rii P

rodukcji

I L

og

isty

ki

Prawdopodobieństwo warunkowe

Zdarzenia niezależne

Definicja 6.

Niech SA i SB , .0)( AP

Prawdopodobieństwo warunkowe zdarzenia B pod

warunkiem zajścia zdarzenia A dane jest wzorem

)(

)()(

AP

BAPABP

Prawdopodobieństwo warunkowe pozwala określić

niezależność zdarzeń. Zdarzenia A i B , o dodatnich

prawdopodobieństwach, nazwiemy niezależnymi, jeśli

informacja o zajściu jednego z nich nie wpływa na

prawdopodobieństwo zajścia drugiego:

)()( BPABP oraz )()( APBAP

Definicja.

Zdarzenia A i B nazywamy niezależnymi, jeśli

)()()( BPAPBAP .

Zdarzenia kAAA ,...,, 21 , ,2k nazywamy niezależnymi,

jeśli dla każdego m , ,2 km dla dowolnych różnych

zdarzeń miii AAA ,...,,

21 z rodziny kAAA ,...,, 21 :

)(...)()...(121 mm iiiii APAPAAAP

Określenie.

Zdarzenia kAAA ,...,, 21 , 2k , nazywamy niezależnymi

parami, jeśli każde dwa zdarzenia spośród nich są

niezależne.

Uwaga: Z niezależności parami nie wynika niezależność

rodziny zdarzeń kAAA ,...,, 21 .

Natomiast niezależność rodziny zdarzeń implikujeniezależność parami.

Przykład. Urna zawiera 4 kule – zieloną, niebieską,

czerwoną i kulę zielono-niebiesko-czerwoną. Niech

1A = { w losowo wybranej kuli jest kolor zielony },

2A = { w losowo wybranej kuli jest kolor niebieski },

3A = { w losowo wybranej kuli jest kolor czerwony },

B = { losowo wybrana kula jest trójkolorowa }.

Pokaż, że zdarzenia 321 ,, AAA nie są niezależne, ale są

parami niezależne.

Wsk. 313221 AAAAAA = B .

Przykład. Niech },,,{ 4321 ssssS oraz zdarzenia

elementarne są jednakowo prawdopodobne.

},{ 211 ssA , },{ 312 ssA , },{ 413 ssA

321 ,, AAA są niezależne parami, ale

)( 321 AAAP = 0,25 )()()( 321 APAPAP = 0,125.

}{ 11 sB , },,{ 212 ssB 03 B .

321 ,, BBB nie są parami niezależne, ale

)( 321 BBBP = )()()( 321 BPBPBP .

Przykład. Układ czterech przekaźników połączony jest w

taki sposób, że: dwa pierwsze – szeregowo, połączone sąszeregowo z dwoma pozostałymi połączonymi równolegle.Przekaźniki pracują niezależnie, prawdopodobieństwo awariikażdego z nich wynosi 0,1. Oblicz niezawodność układuprzekaźników, tzn. prawdopodobieństwo poprawnej pracy.

iA = { przekaźnik i pracuje poprawnie }, i = 1,2,3,4.

D { układ pracuje poprawnie } =

4321 AAAA

421321 AAAAAAD .

421321 AAAAAAD .

Z twierdzenia 3 ( prawdopodobieństwo sumyzdarzeń) oraz definicji 7 ( niezależność zdarzeń ):

Niezawodność =

)()()( 421321 AAAPAAAPDP +

)( 4321 AAAAP = 433 9,09,09,0 =

0,8019.

Definicja 8.

Zdarzenia kBBB ,...,, 21 tworzą podział przestrzeni

zdarzeń elementarnych S ( układ zupełny zdarzeń ),jeśli 0ji BB dla ji , oraz

SBBB k ...21 .

Twierdzenie 5. ( o prawdopodobieństwie całkowitym).

Jeśli kBBB ,...,, 21 tworzą układ zupełny zdarzeń oraz

0)( iBP , ki ,...2,1 , to dla każdego zdarzenia A :

k

i

k

iiii BPBAPBAPAP

1 1

)()()()( .

D. )...()()( 21 kBBBAPSAPAP =

))(...)()(( 21 kBABABAP =

)()()(11

ii

k

ii

k

i

BPBAPBAP

.

Twierdzenie 6. ( reguła Bayesa’a ). Jeśli zdarzenia

kBBB ,...,, 21 tworzą podział przestrzeni S oraz

0)( iBP , ki ,...2,1 , to dla SA , takiego że 0)( AP ,

)(

)()()(

AP

BPBAPABP

mmm =

k

jjj

mm

BPBAP

BPBAP

1

)()(

)()(

gdzie mB jest dowolnym ustalonym zdarzeniem spośród

zdarzeń kBBB ,...,, 21 , km 1 .

D. Z definicji prawdopodobieństwa warunkowego oraztwierdzenia o prawdopodobieństwie całkowitym mamy:

)()(

)(

)(

)()(

1jj

k

j

mmm

BPBAP

ABP

AP

ABPABP

.

Z twierdzenia 4 )()()( mmm BPBAPABP , skąd

otrzymujemy wzór Bayes'a:

)( ABP m =

k

jjj

mm

BPBAP

BPBAP

1

)()(

)()(

Przykład. Wiadomo, że 5% produkowanych elementów

ma wady. Podczas kontroli jakości 95% elementówdobrych klasyfikowanych jest jako elementy dobre, a 90%elementów wadliwych jako wadliwe.

(a) Jakie jest prawdopodobieństwo, że element jestwadliwy, jeśli został zaklasyfikowany jako wadliwy ?

(b) Jakie jest prawdopodobieństwo, że element jest dobry,jeśli został zaklasyfikowany jako dobry ?.

Niech 1B = {losowo wybrany element jest dobry},

2B = {losowo wybrany element jest wadliwy},

A = { losowo wybrany element zaklasyfikowany jakowadliwy}.

1B = {losowo wybrany element dobry jest dobry},

2B = {losowo wybrany element jest wadliwy},

A = { losowo wybrany element zaklasyfikowany jako

wadliwy}.

)( 1BP = 0,95, )( 2BP = 0,05, )( 1BAP 0,95,

)( 1BAP = 1 - 0,95 = 0,05, )( 2BAP =0,9.

)( 1BP = 0,95, )( 2BP = 0,05, )( 1BAP 0,95,

)( 1BAP = 1 - 0,95 = 0,05, )( 2BAP =0,9.

(a) )( 2 ABP = )()()()(

)()(

2211

22

BPBAPBPBAP

BPBAP

= 05,09,095,005,0

05,09,0

0,4865.

(b) )()'()()'(

)()'()'(

2211

111

BPBAPBPBAP

BPBAPABP

=

.9945,005,01,095,095,0

95,095,0

Przykład. W konferencji naukowej bierze udział 30 %

matematyków i 70 % informatyków. Wśród matematykówjest 50 % kobiet a wśród informatyków zaledwie 10 %stanowią kobiety. Wybrana losowo osoba jest (a) kobietą ,(b) mężczyzną. Jakie jest prawdopodobieństwo, żewybrana osoba jest matematykiem ?Określamy zdarzenia:

A {wybrana losowo osoba jest kobietą},1B { wybrana losowo osoba jest matematykiem},

2B { wybrana losowo osoba jest informatykiem},

3,0)( 1 BP , 7,0)( 2 BP , 5,0)( 1 BAP

1,0)( 2 BAP ,

1)'( 1BAP 055,01)( 1 BAP ,

1)'( 2BAP 9,01,01)( 2 BAP .

(a)

)( 1 ABP )()()()(

)()(

2211

11

BPBAPBPBAP

BPBAP

=

= .68,07,01,03,05,0

3,05,0

Interpretacja:Wśród kobiet dużo matematyków, zatem prawdop., żewybrana osoba jest matematykiem zwiększyło się, jeśliwiemy, że ta osoba jest kobietą.

3,0)( 1 BP 68,0)( 1 ABP

3,0)( 1 BP 19,0)'( 1 ABP

3,0)( 1 BP , 7,0)( 2 BP , 5,0)( 1 BAP

1,0)( 2 BAP ,

1)'( 1BAP 055,01)( 1 BAP ,

1)'( 2BAP 9,01,01)( 2 BAP .

(b)

)'( 1 ABP )()'()()'(

)()'(

2211

11

BPBAPBPBAP

BPBAP

=

= .19,07,09,03,05,0

3,05,0

Przykład. Test medyczny wykrywa określoną chorobę

(wynik dodatni testu ) z prawdopodobieństwem 0,99 uosoby chorej, natomiast u osoby zdrowejprawdopodobieństwo wyniku dodatniego (błędnej diagnozy)jest 0,02. Wiadomo, że szansa zapadnięcia na tę chorobęwynosi 1/1000. Obliczyć prawdopodobieństwo, że osoba jestrzeczywiście chora, jeśli wynik testu był dodatni.

1B = { losowo wybrana osoba jest chora },

2B = { losowo wybrana osoba jest zdrowa }.

A = {u losowo wybranej osoby test da wynik dodatni}

001,0)( 1 BP , ,999,0)( 2 BP

99,0)( 1 BAP , .02,0)( 2 BAP

)( 1 ABP )()()()(

)()(

2211

11

BPBAPBPBAP

BPBAP

=

= .047,0999,002,0001,099,0

001,099,0

)( 2 ABP = )(1 1 ABP = 0,953.

Interpretacja.Powyższy pozornie paradoksalny rezultat wynika stąd, żechoroba bardzo rzadka i testowi poddana losowo wybranaosoba z populacji gdzie średnio na 1000 osób 999 jestzdrowych, zajście zdarzenia A nie wpłynęło znacznie na

zmianę prawdopodobieństw zdarzeń 21 , BB .

A = { diagnoza choroby }, B2 = { osoba zdrowa }

999,0)( 2 BP 953,0)( 2 ABP

02,0)( 2 BAP

ZMIENNE LOSOWE

),(: SX

Przykłady.

rzut parą kostek sześciennych: })6,...,2,1{,:),{( jijiS

jisXjisX )(),(:

rzut monetą: }1,0{S , gdzie 0 = orzeł, 1 = reszka

ssXsX 1)(: (=liczba orłów)

n - krotne powtórzenie doświadczenia Bernoulli’egoz prawdopodobieństwem sukcesu p, ( sukces = 1,

porażka = 0 ): }}1,0{:),...,,({ 21 in xxxxsS

n

in i

xsXxxxsX1

21 )(),...,,(: (liczba sukcesów).

czas obsługi klienta, }0:{ TxxS

xxXxX )(:.

Definicja. Zmienną losową nazywamy funkcję

rzeczywistą, określoną na przestrzeni zdarzeń

elementarnych S, taką że dla dowolnego ),( x

})(:{ xsXSs jest zdarzeniem.

Zmienna losowa jest dyskretna, jeśli jej zbiór

wartości jest przeliczalny ( dyskretny): np. { 0, 1,

2,... }, {0, 1, 2, 3 }. Zmienna losowa jest ciągła, jeśli zakres ( zbiór ) jej

wartości jest nieskończony i nieprzeliczalny („ciągły”),

np. ),( , [ ),0 , [ 2,2 ].

Dyskretne zmienne losowe

Przykład. Niech zmienna losowa X będzie liczbą orłów w

trzykrotnym rzucie monetą. Wówczas:

S = {OOO, OOR, ORO, ROO, RRO, ROR, ORR, RRR}

X = 3 2 2 2 1 1 1 0

Zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne:moneta symetryczna i rzuty niezależne

Możemy wyznaczyć prawdopodobieństwa tego, żezmienna losowa przyjmie wartości: 0, 1, 2, 3:

Notacja: }))(:({ xsXSsP = )( xXP

x 0 1 2 3

P(X=x) 8

1

8

3

8

3

8

1

Definicja.

Rozkładem prawdopodobieństwa dyskretnej zmiennejlosowej X nazywamy zbiór par uporządkowanych

))(,( xXPx , gdzie x przebiega zakres wartości X

Funkcją prawdopodobieństwa ( rozkładu ) dyskretnejzmiennej losowej X nazywamy funkcję:

)()( xXPxp , gdzie x przebiega zakres wartości X.

Stwierdzenie. Niech ,...},{: 21 xxSX . Wówczas

1)(1

iixp .

D. Z definicji funkcji prawdopodobieństwa i aksjomatów

prawdopodobieństwa:

1)(})(:{()()(1 11

SPxsXSsPxXPxpi i

iii

i

Definicja.

Dystrybuantą zmiennej losowej X nazywamy funkcję:

)()( xXPxF , ),( x .

]1,0[),(: F ( wartości dystrybuanty są

prawdopodobieństwami )

Dla dyskretnej zmiennej losowej

)()(:

ixxi

xpxFi

.

xxi

ii

xXPxXPxF

:

}){()()( =

xxi xxi

iii i

xpxXP: :

)()( .

)()(:

ixxi

xpxFi

.

x 0 1 2 3

p(x) 8

1

8

3

8

3

8

1

Przykład. Trzykrotny rzut monetą symetryczną.

8/1)0()0( XPXP

8/48/38/1)1()0()1( XPXPXP

8/78/38/4)2()1()2( XPXPXP

Dla 0x F(x) = 0)0()( PxXP

Dla 10 x F(x) = p(0) = 1/8

Dla 21 x F(x) = p(0) + p(1) = 4/8

Dla 32 x F(x) = p(0) + p(1) + p(2) = 7/8

Dla 3x F(x) = p(0) + p(1) + p(2) + p(3) = 1.

)(xF =

1

8/7

8/4

8/1

0

dla

3

32

21

10

0

x

x

x

x

x

1 2 3 x

y

1/8

4/8

7/8

1

Wykres dystrybuanty F