3 3 1

313

4

2

1

2 1

2

1 4

4

3 Bolsjer3.1 Manglende muligheder

3-2 Vis systematisk fremgangsmådeVis en systematisk fremgangsmåde, der sikrer, at alle fordelinger bliver medtaget.

Tælletræet er en god og anerkendt metode til systematisk opstilling af kombinationer (John Schou, 2013, s. 147).

3.3 Fordeling af 7 bolsjer blandt 4 børnFremstil en tilsvarende tabel, der viser fordelingen af syv bolsjer blandt fire børn, når alle stadig skal have mindst et bolsje.

Fordeling Antal muligheder1114 41123 121222 4

1

1 52 43 34 25 1

2

1 42 33 24 1

31 32 23 1

41 22 1

5 1 1

3.4 Forklar hvorfor argumentation ikke er gyldigHvis otte bolsjer skal fordeles mellem tre børn, kunne man forestillende sig følgende beregningsmetode:

Vi har i forvejen fordelt syv af bolsjerne, og det gav 15 fordelinger.

For hver af disse 15 fordelinger kan det ekstra bolsje gives til Petter, Margreta eller Magnus, så der er i alt 3*15 = 45 muligheder.

Forklar, hvorfor denne argumentation ikke er gyldig.

Argumentationen er ikke gyldig, da vi tæller nogle af de samme kombinationer flere gange. Eksempelvis bliver kombinationen: 124 til 224, hvis vi giver det ekstra bolsje til det første barn og kombinationen 214 bliver også til 224, hvis vi giver det ekstra bolsje til det barn nr. 2.

3.5 Gennemfør og begrund gyldighedEn anden argumentation, der benytter de 15 fordelinger, der allerede er fundet, er:

1

1

1 42 33 24 1

21 32 23 1

31 22 1

4 1 1

2

11 32 23 1

21 22 1

3 1 1

31

1 22 1

2 1 14 1 1 1

I hver af de 15 fordelinger giver vi det ekstra bolsje til Petter, så han får mindst to. Nu mangler vi blot at tilføje de fordelinger, hvor Petter kun får et bolsje. Det giver alle de mulige fordelinger af otte bolsjer.

Gennemfør beregningen, og begrund, at denne argumentation er gyldig.

Antal kombinationer hvor Petter får ét bolsje:

Antal kombinationer i alt: 15+6=21

Denne argumentation holder, da antallet af kombinationer, hvor Petter får 2 i situationen med 8 bolsjer svarer til antallet af kombinationer, hvor Petter får 1 i situationen med 8.

Fordi vi har et bolsje mere har vi også en kombinationsmulighed mere hver gang Petter får 1,2,3,4,5 og 6 bolsjer.

3.6Skitser situationen, og begrund, at antallet af måder at fordele otte bolsjer mellem tre børn, kan beregnes ved K(7,2).

I denne situation skal vi udtrække to bunker ud af 7 bolsjer. Vi trækker kun to bunker, da den sidste bunke bliver givet af de første to bunker. Vi har mulighed for at lave vores to bunker ud af 7 bolsjer, da der minimum skal være et bolsje i den sidste bunke. En sådan situation kaldes en uordnet stikprøve uden tilbagelægning (samfundslitteratur.dk, s. 15).

1

1 62 53 44 35 26 1

Hvis vi placerer vores bolsjer på en række, hvor vi skal placere to skillevægge i mellem dem, kan vi se at trækningerne af vores bunker symboliseres af delelinjerne – vi deler rækken to gange. Samtidig viser antallet af mellemrum imellem bolsjerne, hvor delelinjerne kan placeres – det giver 7 mellemrum. Ved kun at placere vores delelinjer i mellemrummene sørger vi igen for, at der altid er mindst ét bolsje i hver bunke.

Vi kan finde antallet af kombinationer ved en uordnet stikprøve på følgende måde:

K (n , r )= n!(n−r )!∗r !

Hvor n er antallet af muligheder vi trække vores bunke af og r er antallet af bunker vi trækker.

Dette giver følgende:

K (7,2 )= 7 !(7−2 )!∗2 !

K (7,2 )=5040240

K (7,2 )=21 kombinationer

Litteraturlisteemu.dk. (2014). Geometri og måling 4.-6. klasse. Hentet fra Geometri og måling 4.-6. klasse:

http://www.emu.dk/omraade/gsk-l%C3%A6rer/ffm/matematik/4-6-klasse/geometri-og-m%C3%A5ling

emu.dk. (2014). Vejledning for faget matematik. Hentet fra Vejledning for faget matematik: http://www.emu.dk/modul/vejledning-faget-matematik#afsnit-4-kompetenceomraader-i-matematik

John Schou, K. J. (2013). Matematik for lærerstuderende - Stokastik 1.-10. klasse. Frederiksberg: Samfundlitteratur.

samfundslitteratur.dk. (u.d.). Stokastik 1.-10. klasse Supplerende materialer - Kombinatorik-kapitel. Hentet fra Stokastik 1.-10. klasse Supplerende materialer - Kombinatorik-kapitel: http://samfundslitteratur.dk/files/samfundslitteratur.dk/95059_kombinatorik_3k.pdf