matematiksus.files.wordpress.com · Web viewDeltagelsespligtig studieopgave 1. Hold LH14-2-551. Hanne G. Gross LH220594. Sus L. Lindahl LH233113. ... Matematik set som et kulturelt

Deltagelsespligtig Studieopgave 1 Hanne G. Gross LH220594Hold LH14-2-551 Sus L. Lindahl LH233113

Deltagelsespligtig studieopgave 1Hold LH14-2-551

Hanne G. Gross LH220594

Sus L. Lindahl LH233113

Side 1 af 11


IndholdDeltagelsespligtig studieopgave 1......................................................................................................1

Hold LH14-2-551................................................................................................................................1

1. Indledning...................................................................................................................................3

2. Problemformulering....................................................................................................................3

3. Teori............................................................................................................................................3

4. Fagteoretisk afsnit......................................................................................................................3

Allan Bishop................................................................................................................................3

Jerome Bruner............................................................................................................................4

Efraim Fischbein.........................................................................................................................4

Pernille Pind................................................................................................................................5

Richard Lehrer og Douglas Clements.........................................................................................5

5. Fagdidaktisk afsnit......................................................................................................................5

Sammenhæng............................................................................................................................6

Mål..............................................................................................................................................6

Tegn............................................................................................................................................6

Tiltag...........................................................................................................................................7

Evaluering...................................................................................................................................7

6. Konklusion..................................................................................................................................7

7. Perspektivering...........................................................................................................................8

Litteraturliste.......................................................................................................................................9

Bilag 1..............................................................................................................................................10

Bilag 2..............................................................................................................................................11

Side 2 af 11


1. IndledningVi har i vores praktik set, hvordan man i en 3. klasse har fået undervist i afstande og har i den forbindelse tænkt over, hvordan man sammensætter en undervisning, så det giver størst mulig læring for eleverne. Vores mål er, at vores undervisning skal være undersøgende og eksperimenterende blandt andet med brug af it og konkrete materialer. Det overordnede emne er altså geometri og derunder beskæftiger vi os især med lokalisering, afstande og bevægelse. Emnerne støder vi på i den globaliserede og industrialiserede dagligdag. Forståelsen for emnet kan således gøre det lettere for eleverne at begå sig i en verden, hvor vi ofte anvender begreber såsom lokalisering, afstande og bevægelse. Indholdet har en praktisk anvendelse, nogle opgaver i hverdagen vil endda være umulige at løse uden en grundlæggende forståelse for begreberne. Dette er også et traditionelt argument for matematikkens berettigelse som undervisningsfag generelt (Skott, Jess, & Hansen, 2013, s. 474)Læring af begreberne skaber derudover basis for et alment sprog, når der kommunikeres og dokumenteres om emnet geometri. Geometri og begreberne lokalisering, afstande, og bevægelse er altså del af vores kultur og berettigelsen som emne kan derfor begrundes med at det er en indførelse i den gældende kultur indenfor feltet i vort samfund. Matematik set som et kulturelt fænomen er en opfattelse, vi finder blandt didaktikere, hvilket vi vil komme ind på i de følgende afsnit.

2. ProblemformuleringHvordan kan man sammensætte et undervisningsforløb i lokalisering, afstand og bevægelse i en 3. klasse under hensyntagen til både didaktikere, psykologer og vores egne ideer om, at undervisningen skal foregå på en undersøgende og eksperimenterende måde med brug af blandt andet it og konkrete materialer?

3. TeoriTil brug for sammensætning af vores undervisningsforløb vil vi trække på den engelsk-australske matematikdidaktiker Allan Bishop (Hansen, Schou, Jess, & Skott, 2013, s. 29), og den israelske matematikdidaktiker Efraim Fischbein (Hansen, Schou, Jess, & Skott, 2013, s. 78). Ydermere ser vi på de to matematikdidaktikere Richard Lehrer og Douglas Clements (Hansen, Schou, Jess, & Skott, 2013, s. 102-106) forskellige syn på måleværktøj med mening og tager udgangspunkt i disse. Samtidig vil vi med de psykologiske briller anvende Bruners 3 faser om den kognitive udvikling (Hermansen, 2005, s. 54). Cand.scient i matematik og fysik Pernille Pind (Pind, 2009, s. 25) samt Fælles Mål vil vi anvende til at fastslå, hvad eleverne skal lære i indskolingen.

4. Fagteoretisk afsnitAllan BishopDen engelsk-australske matematikdidaktiker Allan Bishop (Hansen, Schou, Jess, & Skott, 2013, s. 29-31) har den grundlæggende opfattelse af matematik, at det er et kulturelt fænomen. Det skal forstås på den måde, at der verden over, undervises i de samme matematiske aktivitetstyper, men at det er kulturafhængigt på hvilken måde, der undervises på. Han er nået frem til, at der i alle kulturer undervises i 6 aktivitetstyper:

at tælle at lokalisere at måle at designe at spille (lege) at forklare

Side 3 af 11


Bishop siger, at det er vigtigt, at matematikundervisningen relaterer til de aktiviteter, som matematikken kommer fra og samtidig orienterer eleverne mod de resultater og forståelser, der er resultatet af den kulturelle udvikling. Han siger, det kræver, at matematikundervisningen ikke kun er at undervise i matematik, men at man må undervise om matematik, gennem matematik og med matematik. Det må altså være kendetegnende for matematikundervisningen, at den grundlæggende skal forstås som videreudvikling af sociale og kulturelt forankrede aktiviteter og som resultater af denne videreudvikling. Bishop foreslår, at matematikundervisning skal indeholde tre grundlæggende elementer:

et symbolsk element med begreber, som undervisningen kan tage udgangspunkt i. Det er afgørende, at eleverne udfører aktiviteter, der ligger bag begreberne, for at støtte udviklingen af dem. Det kan f.eks. være lokalisering med nord, syd, øst, vest. Det kan være design med f.eks. former og figurer. Det kan være måling f.eks. stor, lille, lang, kort.

et samfundsorienteret element, som er projektbaseret, og som støtter eleverne i, hvordan matematik kan anvendes i samfundsmæssige sammenhænge.

et kulturelt element, der er undersøgelsesbaseret. Der er her to faser: 1. En kreativ fase, hvor det er meningen, at man undersøger, opdager, eksperimenterer. 2. En fase, hvor resultaterne formuleres og skrives ned.

Jerome BrunerJerome Bruner er radikal socialkonstruktivist (Hermansen, 2005, s. 54-57), og han opererer med 3 faser i den kognitive udvikling:

Konkret tænkning - knytter sig til handlinger Ikonisk tænkning - knytter sig til billeder Symbolsk tænkning - knytter sig til symboler/abstrakte tegn

Den første fase er knyttet til motorisk aktivitet, som igangsættes på grundlag af reflekser, instinkter eller behov. Denne fase afløses af forestillingen eller billedet af virkeligheden. Erstatningen for forestillingen er symbolet eller det abstrakte tegn. Når vi, som voksne løser en opgave, sker det i en vekslen mellem disse niveauer. Når vi ikke kan klare opgaven på symbolsk niveau, så forsøger vi os på ikonisk eller konkret niveau. Jo flere erfaringer, eleven har, jo mere kan han løse på symbolniveau eller ikonisk niveau. Grundlaget for dette er naturligvis, at eleven har konkrete erfaringer, som er internaliseret gennem handlinger og billedmæssig aktivitet.

Med inspiration fra Vygotskij og den kulturhistoriske skole har blandt andet Bruner introduceret begrebet “scaffolding” (Guldbrandsen, 2009, s. 254), som man kan oversætte til “stilladsering”. Scaffolding bruges, når eleverne ikke kan klare en opgave helt på egen hånd. Her må man som lærer støtte eleven i processen/aktiviteten, indtil eleven selv er i stand til at udføre aktiviteten uden støtte.

Efraim FischbeinDen israelske matematikdidaktiker Fischbein taler om sammenhængen mellem de mentale billeder, der skabes og de tilhørende matematiske geometriske definitioner. Det gælder specielt for geometri, at der for de matematiske begreber findes en visuel præsentation af begrebet. Geometrisk tænkning kan derfor karakteriseres ved en interaktion mellem de formelle begreber og det figurative. (Hansen, Schou, Jess, & Skott, 2013, s. 78)

Side 4 af 11


Pernille PindCand. scient i matematik og fysik Pernille Pind hævder i sin bog Matematik for alle, at de vigtigste ting ved læring om mål f.eks. er, at eleverne lærer begrebet måling, at de lærer at bruge de mest almindelige måleenheder, og at de lærer at måle længder mv. Det vil være naturligt at anvende førfaglige begreber som “større” og længere” (Pind, 2009, s. 223-225). Børns kropslige erfaringer er god baggrund for arbejdet med mål, og først sammenlignes konkrete genstande, hvorefter tal knyttes på, og så er man i gang med at måle. Så for nogle børn vil skridtlængde være det naturlige sted at starte, for andre vil målebegrebets standardenheder være det naturlige sted at starte. I indskolingen skal børnene lære at måle længder med linealer og målebånd. Måling af længder i lige stykker og afstande mellem punkter er nogle af de ting, børnene skal lære.

Richard Lehrer og Douglas ClementsPå trods af at disse to matematik didaktikere ikke er enige om, hvordan man bedst underviser i måling af afstande er de dog enige om de kendte læringsproblemer der er, når vi arbejder med længdemål. (Hansen, Schou, Jess, & Skott, 2013, s. 106)

Kendte læringsproblemer ved længdemåling, der uafhængige af det anvendte måleværktøj:

Eleverne anvender ikke identiske enheder. Det vil sige, de ikke har forstået, at enheden siger noget om længden der måles.

Eleverne udfylder ikke afstanden med den valgte enhed. Eleverne angiver ikke hvilken enhed, der bruges. De har ingen forståelse for, at tallet de

måler sig frem til fortæller noget om, hvor mange gange enheden bruges for at fylde afstanden ud med.

Når eleverne anvender linealen som måleværktøj kan de samme læringsproblemer komme til udtryk, og det er derfor vigtigt, at vi sikrer os at eleverne har en forståelse for at:

De markerede afstande er lige store Afstandene mellem stregerne er standardiserede - man er blevet enige om den afstand, vi

måler med. En opdeling i míndre enheder er nødvendig for at kunne måle enhver given afstand. Linealen har et nulpunkt, men vi behøver ikke at bruge det som startpunkt, hvis bare vi

tager højde for, hvor vi måler fra.

Side 5 af 11


5. Fagdidaktisk afsnit

Vi vil i vores undervisningsforløb tage udgangspunkt i SMTTE-modellen:

Figur 1 SMTTE modellen

Sammenhæng3. klasse med 24 elever, stor spredning. Vi vælger at tage udgangspunkt i konkret og ikonisk tænkning.

MålSpecifikke mål (Fælles Mål, 2009, Matematik, trinmål efter 3. klasse):Matematiske kompetencer:

tankegangskompetence problembehandlingskompetence repræsentationskompetence symbolbehandlingskompetence hjælpemiddelkompetence

Matematiske emner: tale om dagligdags ting og billeder i et uformelt geometrisk sprog med udgangspunkt i

beliggenhed gengive træk fra virkeligheden ved tegning foretage enkel måling af afstand undersøge og eksperimentere inden for geometri, bl.a. med brug af it og konkrete

materialer. Matematik i anvendelse:

bruge matematik i relevante hverdagssituationer arbejde eksperimenterende og undersøgende med inddragelse af konkrete materialer arbejde sammen med andre om løsning af praktiske problemstillinger indgå i dialog om matematik, hvor elevernes forskellige ideer inddrages

Almene målVære undersøgende og eksperimenterende inden for lokalisering, afstand og bevægelse blandt andet ved brug af it og konkrete materialer.

Side 6 af 11


TegnVi anser det som oplagt at sikre os, at eleverne er udover de tidligere beskrevne læringsproblemer ved længdemåling. De to første tegn der vedrører længdemåling tager derfor udgangspunkt i disse.

Eleverne skal kunne udmåle den samme afstand med forskellige enheder Eleverne skal være i stand til at måle en afstand i cm og meter med lineal Eleverne skal kunne forklare en rute med førfaglige udtryk. Eleverne skal være i stand til at lokalisere i én dimension.

Tiltag1. Eleverne skal på en taltavle i skolegården bevæge sig i forskellige retninger: frem, tilbage,

venstre og højre. De får udleveret små sedler med instruktion og skal nu parvis henholdsvis gå ruten og diktere ruten. De skiftes til.

2. Næste øvelse på taltavlen i skolegården er, at de får udleveret en instruktion med to tal. Det første tal er startposition, det næste tal er endestation. De skal nu undersøge, hvilken vej de vil gå (bevæge sig), for at komme hen til endestationen. Herefter: Hvilken vej er den korteste? Hvilken vej er den længste?

3. Eleverne skal individuelt lave en øvelse som den i skolegården, men nu på papir. Det er vigtigt, at eleverne bliver orienteret om, at i skolegården brugte de felterne. På papiret skal de anvende stregerne til at tælle med, de kender det fra deres lineal. Det er afstanden mellem to punkter. Der er to øvelser, og nu er det de faglige begreber nord, syd, øst og vest, som de skal anvende. I første øvelse skal de sejle fra punkt A og følge en rute, så de når til skatteøen. Ruten er angivet i cm, så her er der endnu en dimension koblet på opgaven. I den næste øvelse skal de starte fra samme udgangspunkt som før, men nu skal de navigere til Stjerneøen. Her skal de både have styr på cm og retning. Det er vigtigt, at eleverne stilladseres, idet, der både er udtryk som “kurs” og “naviger” og også de faglige begreber som nord, syd, øst og vest. Opgaven er lagt som bilag 1.

4. Næste lektion skal eleverne arbejde med pc. De skal arbejde med en form for labyrint (Turtle geometry - Maze) på linket: http://nlvm.usu.edu/en/nav/frames_asid_178_g_1_t_3.html?open=activities&from=topic_t_3.html

5. For denne lektion gælder det at eleverne i grupper på 4 skal arbejde konkret med et målebånd og bevægelse i forskellige retninger. Der vil være 3 forskellige opgaver. Hver gruppe skal løse én opgave, men der vil være to grupper, som får samme opgave. Opgave 1: mål og tegn afstanden fra klasseværelset til lærerværelset. Opgave 2: Mål og tegn afstanden fra klasseværelset til biblioteket. Opgave 3: Mål og tegn afstanden fra klasseværelset til håndarbejdslokalet. De skal måle ruten og tegne dette på et ternet papir. Ruten skal tegnes, så 1 cm på papiret = 1 meter i virkeligheden. Eleverne skal have en grundig introduktion til opgaven, og støttes mest mulig i processen.

6. I den sidste lektion skal eleverne fortsætte i de tidligere grupper. Grupperne skal arbejde med pc og programmet GeoGebra. Eleverne skal tegne et skattekort, som viser startpunkt og slutpunkt samt ruten mellem punkterne. Ruten mellem punkterne vises ved hjælp af linjestykker med en given afstand og angives i cm. Eleverne har forinden modtaget en introduktion til GeoGebra og har evt. tidligere arbejdet med det i forbindelse med tegning og genkendelse af geometriske figurer. Eleverne får udleveret en instruktion der fortæller dem, hvordan de skal løse opgaven. Opgaven er lagt som bilag 2Herefter skal eleverne indtegne den rutebeskrivelse de lavede i lektion 5.

Side 7 af 11

http://nlvm.usu.edu/en/nav/frames_asid_178_g_1_t_3.html?open=activities&from=topic_t_3.html

http://nlvm.usu.edu/en/nav/frames_asid_178_g_1_t_3.html?open=activities&from=topic_t_3.html


Evaluering De løste opgaver skal afleveres, så vi kan se, at de har forstået opgaverne. Herefter skal opgaverne sættes ind i deres logbog. Ruten fra klasseværelset til lærerværelset skal fremlægges for de andre hold på klassen.

Resultatet fra de hold, der har samme rute holdes op mod hinanden og eventuelle forskelligheder diskuteres og afklares på klassen.

6. KonklusionVi har sammensat et undervisningsforløb med øje for, hvad førnævnte matematikdidaktiker (Allan Bishop, Efraim Fischbein, Richard Lehrer og Douglas Clements) den amerikanske psykolog og radikal socialkonstruktivist Jerome Bruner samt den danske cand. scient i matematik og fysik Pernille Pind siger om læring og undervisning. Allan Bishop foreslår, at matematikundervisning skal indeholde tre grundlæggende elementer. Et symbolsk element med begreber, hvilket vi har taget udgangspunkt i i øvelse 1-4, hvor eleverne skal bevæge sig i forskellige retninger samt i øvelser 3 og 5, hvor de skal foretage en måling. Et samfundsorienteret element, hvilket vi opnår f.eks i øvelse 3, hvor eleverne skal lave en opgave, hvor de kommer fra punkt A til B. Selve udformningen af opgaven med et skib gør den funktionel. Det sidste element, som Bishop nævner, er et kulturelt element. I øvelse 5 opnår eleverne netop dette, idet de skal være undersøgende og eksperimenterende i deres rutevalg, og hvor resultaterne skal formuleres og nedfældes på papir. Samtidig skal resultatet fremlægges for klassen. Bishops sætning: “man må undervise om matematik, gennem matematik og med matematik” tænker vi, at vi kommer godt omkring ved i vores undervisningsforløb. Jerome Bruner opererer også med tre faser, det er dog indenfor det kognitive. Vi har valgt at medtænke konkret tænkning og ikonisk tænkning, som knytter sig til henholdsvis handlinger og billeder. Dette har vi gjort ud fra vores målgruppe elever i 3. klasse, som er 9-10 år, og derfor knap nok er kommet i den fase, hvor de tænker abstrakt. Det kan dog diskuteres om det, at de i øvelse 5 skal tænke 1 meter i virkeligheden = 1 cm på papiret er for abstrakt for målgruppen, men netop derfor er det vigtigt, at de især i denne opgave bliver stilladseret. Vi anvender Efraim Fischbein teori idet vi bruger forskellige visuelle repræsentationsformer i de forskellige opgaver, som i sammenhæng med de faglige begreber skal skabe det mentale begrebsbillede hos eleven. For hver af opgaverne er de visuelle repræsentationer sidestillet med de faglige begreber der er i spil. Der er en fysisk vekslen mellem begreberne og det visuelle, hvorved en vekselvirkning mellem de to repræsentationer opnås.Nogle af de vigtigste punkter i Pernille Pinds mening om måling, har vi tænkt ind i opgaverne, så der både er måling i cm og meter, og på den måde lærer eleverne om begrebet måling. Vi starter samtidig undervisningsforløbet ud med, at de bruger deres egen krop til at finde afstande med, og går så over i at anvende målebegrebets standardenheder, så vi tilgodeser eleverne i begge grupper. Richard Lehrer og Douglas Clement anvender vi i forhold til at kunne kende de tegn, der sikrer den ønskede læring i undervisningen i forhold til længdemåling og anvendelse af linealen som værktøj. Tegnene vil vise om eleverne har den nødvendige forståelse og om de er udover de kendte læringsproblemer for disse områder. De to teoretikere har forskellig opfattelse i forhold til tidlig anvendelse af linealen som måleværktøj fælles for dem er dog, at man kan komme udover læringsproblemerne ved også at fokusere på, hvad meningen er med at måle og meningen bag måleværktøjet. Meningen bag målingen gør vi synlig for eleverne ved at anvende både uformelle og formelle måleenheder. De belyste læringsproblemer ved brug af linealen kan undervejs i forløbet anvendes til at spørge ind til, hvad eleverne egentlig aflæser på linealen og hvordan de vil bruge et andet punkt end nulpunktet til at måle med. Disse spørgsmål er særligt relevante for opgaverne i lektion 5.

Side 8 af 11


Samlet konklusion er at teoretikerene er særdeles anvendelige i et undervisningsforløb. Vi må herved konkludere, at det er muligt at lave et undervisningsforløb, hvor både didaktikere, psykolog og vi som lærere tilgodeses, men hvor det vigtigste er, at det er elevernes læring, der er i fokus.

7. PerspektiveringGennem forløbet får eleverne skabt definitioner fra hverdagen samt forenklede matematiskedefinitioner, som, vi mener, kan danne et godt grundlag for den senere forståelse af formelle matematiske definitioner omhandlende lokation, afstande og bevægelse. Her tænker vi specielt på emner såsom vinkler, flytninger, arealberegninger og koordinatsystemet.Vinkler kan blive introduceret i forbindelse med, at der skal angives andre retninger end de 4 verdenshjørner. At en længde kan inddeles i forskellige enheder er gjort håndgribeligt for dem i forbindelse med længdemålingen denne viden kan der bygges videre på i forhold til inddelingen af en cirkel i grader.Forståelsen for en parallelforskydning og arealberegninger afhænger meget af, at eleverne har en forståelse for længde, punkt og enhedsbegreberne, som eleverne her bliver gjort bekendt med.Når koordinatsystemet introduceres i de ældre klasser kan de mere uformelle begreber verdenshjørner udskiftes med retninger i x- og y-aksen. Begreberne punkter og liniestykker er introduceret og kan overføres til, når de arbejde i koordinatsystemer.Samlet set synes vi altså at forløbet har sin berettigelse set i forhold til anvendelse af spiralprincippet, så denne undervisning danner grundlag for den fremtidige undervisning indenfor området.

LitteraturlisteGuldbrandsen, L. M. (2009). Opvækst og psykologisk udvikling. København: Akademisk Forlag.

Hansen, Schou, Jess, & Skott. (2013). Matematik for lærerstuderende - Geometri 1.-6. klasse. Frederiksberg: Samfundslitteratur.

Hermansen, M. (2005). Læringens Univers. Århus N: Forlaget Kliim.

Hjelmborg, M. D. (2013). Vurdering af læremidler i matematik. I M. W. Andersen, & P. Weng, Håndbog om matematik i grundskolen - Læring undervisning og vejledning (s. 380-389). København: Dansk psykologisk forlag.

Pind, P. (2009). Matematik for alle. København: Pind og Bjerre.

Skott, J., Jess, K., & Hansen, H. C. (2013). Matematik for lærerstuderende- Delta - fagdidaktik. Frederiksberg: Forlaget Samfundslitteratur.

Teglskov, R., & Kristensen, B. (2011). Multi 2A. København: Gyldendal.

undervisningsministeriet.dk. (01. 01 2009). Fælles Mål 2009 - Matematik. Hentet fra http://www.uvm.dk/Service/Publikationer/Publikationer/Folkeskolen/2009/Faelles-Maal-2009-matematik

Side 9 af 11


Bilag 1

Side 10 af 11


Bilag 2Indstillingerne for tegneblokken er sat op til at vise gitter.

Delopgave 1

1. Sæt jeres startpunkt A i et af gitterpunkterne2. Skatten findes i slutpunktet B. Tegn ruten som ses på billedet

Delopgave 2

I skal tegne en rute som passer til beskrivelsen

1. Sæt jeres startpunkt A i et af gitterpunkterne2. Gå 2 cm mod øst3. Gå 3 cm mod syd4. Gå 1 cm mod øst5. Gå 2 cm mod nord6. Gå 1 cm mod øst7. Gå 3 cm mod syd8. Gå 3 cm mod vest9. Gå 1 cm mod nord 10. Gå 1 cm mod vest. Skatten findes her!

Løsning (denne vil først blive vist til eleverne efter løsningen af opgaven)

Side 11 af 11

Documents

matematiksus.files.wordpress.com · Web viewDeltagelsespligtig studieopgave 1. Hold LH14-2-551. Hanne G. Gross LH220594. Sus L. Lindahl LH233113. ... Matematik set som et kulturelt