matematiksus.files.wordpress.com · Web viewDenne opgave har til hensigt at lede ud i 3 matematik undervisningsforløb inden for emnet geometri for henholdsvis 1., 2. og 3. klasse

Deltagelsespligtig Studieopgave 1 Sus L. Lindahl LH233113Hold LH14-2-551

Deltagelsespligtig studieopgave 2Hold LH14-2-551Sus L. Lindahl LH233113

Der anvendes standarden APA 6. udgave for kildehenvisninger

Side 1 af 14


IndholdIndledning.......................................................................................................................................4

Problemformulering........................................................................................................................5

Fagteoretisk afsnit..........................................................................................................................5

Richard Lehrer............................................................................................................................5

Van Hieles, Piaget og Jerome Bruner.........................................................................................6

Piaget..............................................................................................................................................8

Fagdidaktisk afsnit........................................................................................................................10

Sammenhæng..........................................................................................................................11

Mål............................................................................................................................................12

Tegn..........................................................................................................................................13

Tiltag.........................................................................................................................................13

Evaluering.................................................................................................................................14

Konklusion og perspektivering......................................................................................................15

7. Perspektivering.........................................................................................................................16

Litteraturliste.....................................................................................................................................17

Bilag 1..............................................................................................................................................18

Bilag 2..............................................................................................................................................19

Side 2 af 14


IndledningDenne opgave har til hensigt at lede ud i 3 matematik undervisningsforløb inden for emnet geometri for henholdsvis 1., 2. og 3. klasse. Forløbene skal vise den progression, der sker over årene.

De første overvejelser går på, hvor igennem progressionen skal bestå. Hvis vi ser på undervisningen ud fra matematiklærerens tænkebobler ville progressionen kunne være inden for områderne matematiske kompetencer, matematiske arbejdsmåder og/eller matematiske emner/matematik i anvendelse.

Mange af de matematiske kompetencer, matematiske arbejdsmåder, matematiske emner og matematikken i anvendelse vi møder i matematikundervisningen for 1.-6. klasse er oftest indbyrdes afhængige af hinanden. På den måde understøtter kundskaber inden for emnet algebra også kundskaber inden for geometri og omvendt. Kundskaber inden for alle fire områder anses altså at være nødvendige for progression mod det endelige slutresultat – trinmålene for 9. klasse.

For at indsnævre undervisningens indhold vælger jeg at tage udgangspunkt i at progressionen i første omgang skal foregå inden for ét givent geometrisk emne. Emnet der er valgt er Areal.

Emnet areal springer i øjnene som et emne, der har relation til multiplikation. Samtidig stiller emnet store krav til at opbygge elevernes forkundskaber i forhold til at opnå forståelsen bag arealbegrebet. Dette skyldes at børnene ikke på samme måde som for andre emner inden for området måling møder begrebet naturligt i deres opvækst. Eksempelvis indgår i begrebet længde i børnenes spørgsmål: hvem der kan hoppe længst? eller hvem er højest? Hvor spørgsmålet om hvad der er størst? først og fremmest er mere abstrakt fordi svaret afhænger af, hvilken størrelse der henvises til. Er det længden, højden, rumfanget eller arealet? Dernæst sker vurderingen af en flades størrelse efter øjemål i forhold til andre fladers størrelser. (Hansen, Schou, Jess, & Skott, 2013, s. 116) Denne kompleksitet i begrebet areal er, hvad der inspirere mig til mit valg af emnet.

Side 3 af 14

Matematiklærerens tænkebobler (Fælles Mål 2009 Matematik, s. 35)Matematiklærerens tænkebobler (Fælles Mål 2009 Matematik, s. 35)Matematiklærerens tænkebobler (Fælles Mål 2009 Matematik, s. 35)Matematiklærerens tænkebobler (Fælles Mål 2009 Matematik, s. 35)


ProblemformuleringHvordan kan tre progressive undervisningsforløb tiltænkt 1. 3. og 6. klasse i emnet areal sammensættes med hensyntagen til især Richard Lehrers teori?

Fagteoretisk afsnitSom problemformuleringen henviser til vil der særligt blive taget udgangspunkt i Richard Lehrers teorier om læringsAndre teorier har dog deres relevans, da det er tale om et progressivt forløb. Her tænkes på Van Hieles niveauer, Piagets stadier i den intellektuelle udvikling og Jerome Bruners teori om tre repræsentationsformer. En nærmere introduktion og begrundelse for valg af disse teoretiker følger herunder

Richard LehrerDa Richard Lehrers teorier fra 2003 omhandler måling er disse særligt relevante. Richard Lehrer beskriver otte aspekter om målebegrebet disse er:

En sammenhæng mellem enhed og egenskaben, der måles er nødvendig. Iteration af enheden er nødvendig. Målingen sker ved en udfyldning med enheder, der er uden huller eller udbredelse uden for

det måltes afgrænsning. Er de anvendte enheder ens, så er antallet af enheder måltallet for størrelsen. Standardisering af enheder er nødvendig for at lette kommunikation om måling. Der findes omvendt proportionalitet mellem enhedens størrelse og måltallet. Additivitet – størrelsen kan findes ved hjælp af summen, det måltes delstørrelser. Nulpunktets anvendelse

I forhold til andre teoretikere såsom Douglas Clements fokuserer Richard Lehrer på, at elevernes læring tager udgangspunkt i ikke-standardiserede enheder. Ulempen ved at tage udgangspunkt i ikke standardiserede enheder kan være at de uformelle billeddannelser kan skabe forvirring og fjerne fokus fra de standardiserede enheder. Samtidig kan det dog hos eleverne bekræfte nødvendigheden af fælles forståelser og definitioner, når vi kommunikerer om matematiske begreber.

Richard Lehrers teorier omkring måling herunder også måling af arealer er i god overensstemmelse med det syn vi finder i Fælles Mål 2009 Matematik, hvor følgende står nævnt: ”Indledende aktiviteter med måling af afstand, flade, rum og vægt med ikke-standardiserede og standardiserede enheder er vigtige aktiviteter i den indledende geometriundervisning. ” (undervisningsministeriet.dk, 2009, s. 57)

Side 4 af 14


Van Hieles, Piaget og Jerome BrunerI dette afsnit sættes van Hieles niveauer (Hansen, Schou, Jess, & Skott, 2013, s. 79) og Piagets stadier (Imsen, 2011, s. 204) og Jerome Bruners teori om tre de repræsentationsformer (Imsen, 2011, s. 239-240) overfor hinanden og sammenlignes.

Side 5 af 14


Side 6 af 14

Figur 3 Jerome Bruners 3 repræsentationsniveauer

Figur 2 van Hieles niveauerFigur 1 Piaget stadier

Formelt operationelle

periode(fra ca. 11 år)

Niveau 3Deduktiv tænkning

Det symbolskesystem (bl.a. sprog)


Overordnet set siger alle 3 teoretikere noget om, hvornår barnet er modent udviklingsmæssigt til en bestemt form for tænkning. Piaget er den eneste, der vælger at sætte aldersgrænser for niveauerne, men disse skal dog ikke opfattes som faste. Van Hieles niveauer beskriver kun barnets udvikling i forhold til forståelse af geometriske former hvor Bruner og Piaget er generelle uanset, hvilket emne vi arbejder med.

Fælles for dem alle ingen af stadierne eller niveauerne kan springes over. Den sensomotoriske periode hos Piaget og Bruners enaktive system kan sammenlignes. Barnet begynder at udvikle organiserede adfærdsmønstre denne grundlægges ud fra reflekser, instinkter eller behov. Her sker internaliseringen ved hjælp samspil med ting eksempelvis fysiske figurer.

For Piagets præoperationelle periode gælder det, at skemaer, der tidligere primært befandt sig på et praktisk plan opbygges nu også på det mentale plan. Dette kalder Bruner for det ikoniske system for, hvilket det gælder at barnet kan danne visuelle forestillinger som kan manipuleres på det indre plan. Internalisering kan ske ved hjælp af ikoner for det der før var konkret eksempelvis en tegning af en figur.

For den konkrete-operationelle periode og det symbolske system gælder det, at tænkningen bliver reversibel, hvilket betyder at det bliver muligt at forstå konstansbegrebet fuldt ud. Her kan de tidligere ikoner erstattes af symboler eksempelvis er ordet rektangel et symbol.

Piagets formelt-operationelle periode karakteriseres ved at tænkningen ikke længere foregår ved manipulering af internaliserede handlinger men i stedet ved manipulering af idéer og antagelser. Dette muliggør en videnskabelig tænkemåde. I praksis er det dog ikke alle afgangselever i folkeskolen der vil opnå dette niveau (Imsen, 2011, s. 209)

Piaget og Bruner er uenige om hvor stor vægt sprogets betydning har for læring og tænkning.Bruner lægger stor vægt på sprogets betydning mens Piaget advarer mod pædagogik der lægger for stor vægt på sprog.

Side 7 af 14


Fagdidaktisk afsnitJeg har valgt hovedsageligt at tage udgangspunkt i SMTTE-modellen for planlægningen af forløbene.

Hiim og Hippes relationsmodel ville også være relevant at anvende, da den til forskel for SMTTE modellen også har aspekterne læringsproces og rammefaktorer med. Læringsprocessen for undervisningsforløbene behandles under det forudgående fagteoretiske afsnit. Derudover vil rammefaktorerne blive behandlet sammen med aspektet Sammenhæng som vi finder i SMTTE-modellen.SMTTE-modellen behandler i modsætning til Hiim og Hippes relationsmodel til gengæld aspekterne Tiltag og Tegn. Hvilket gør de opstillede mål mere konkrete i handlinger og observationer, der skal sikre målets opfyldelse. Det er denne konkretisering af målene, der er grundlaget for valg af modellen.

Figur 4 SMTTE modellen

Sammenhæng1.-6. klasse med 25 elever, hvis faglige niveau er meget forskelligt. Forløbet skal som udgangspunkt kunne anvendes for alle 1., 3. og 6. klasser, som dog har tilgang og kendskab til anvendelsen af GeoGebra.Derudover forudsættes det, at andre emner inden for matematikken såsom genkendelse af geometriske figurer, flytning og multiplikation bliver behandlet på strategiske tidspunkter i løbet af de 6 år, da disse emner underbygger og forudsætter forståelsen af arealbegrebet.

Side 8 af 14


MålFor overskuelighedens skyld har jeg valgt at præsentere de specifikke mål, som der vil være særligt fokus på for forløbene set ved hjælp af matematiklærerens tænkebobler.

Overordnet set skal undervisningen lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med geometri:

undersøge metoder til beregning af areal i konkrete situationer (undervisningsministeriet.dk,2009, s. 7)

Side 9 af 14

Lære arealbegrebet at kende gennem enkel måling og undersøgende metoder

Arealer

1., 3. og 6. klasse

Matematiske emner Matematik i anvendelse

Deltage i udvikling af metoder

Undersøge, begrunde og generalisere

ProblembehandlingModelleringHjælpemiddel

Matematiske kompetencer

Matematiske arbejdsmåder


TegnRichard Lehrers aspekter ved måling skal danne grundlag for tegn på at eleverne opnår de opstillede mål.

Tiltag

Se bilag 1 for en mere detaljeret beskrivelse af enkeltdelene.

EvalueringEvalueringen skal vurdere om eleverne når de opstillede mål altså en resultatevaluering derudover skal der også foretages en procesevaluering.

Resultatevaluering: Opgaver indsamles og evalueres i forhold til målet for den konkrete opgave. Der skal være opfølgende samtaler på klassen efter hver aktivitet.

Procesevaluering:Der føres løbende logbog over processens forløb. Iagttagelser der kan lede til forbedring af forløbene noteres.

Side 10 af 14

Beregne arealet af rektangler og trekanter

Arealet af en cirkel

Beregne arealet af cirkler

Beregne fladen af centicubes

Optælling af arealGeoGebra ”Sømbræt”

Udfyldning af retvinklede figurer

Sammenligning af arealerUdfyldning af rektangler

Udfyldning med ikke-standardiserede enheder

Dæk arealet

Figur 5 Oversigt undervisningsforløbene


Konklusion og perspektiveringJeg har skitseret 3 undervisningsforløb om emnet areal med fokus på progression og Richard Lehrers teori om læringsmål for emner, der omhandler måling.

Richard Lehrer er anvendt i forhold til de tegn der skal være fokus på i forhold til at eleverne opnår den ønskede læring.

I forbindelse med aspektet progression er teoretikerne van Hieles, Piaget og Jerome Bruner blevet behandlet og sammenlignet med henblik på at fremhæve, hvilke aspekter der skal tages i betragtning for, at progression kan finde sted. Deres stadier er således taget i betragtning i forbindelse med forløbenes opbygning og indhold således, at det svarer til elevernes formodede niveau på de forskellige klassetrin. Opgaverne til 1. klasse tager derfor udgangspunkt i anvendelsen af konkrete materialer. Opgaverne til 3. klasse tager udgangspunkt i en mere ikonisk tænkning og bygger videre på det tidligere lærte. For 6. klasse er lægger opgaverne op til en mere symbolsk tankegang, dog stadig med udgangspunkt i noget mere konkret.

Piaget og Bruner er uenige om, hvorvidt forståelsen eller sproget kommer først. Min egen konklusion er, at de to på samme måde som andre kundskaber ikke kan adskilles fra hinanden, men udvikles i takt med hinanden i parallelt forløb.

Det kan diskuteres om inddeling i stadier er for stift og rigid et system i forhold til praksis. Enkelte elever kan være at finde på andre niveauer end hvor systemet foreskriver de burde være. I sådanne tilfælde er det vigtigt finde elevens niveau og bygge videre derfra. Her kan det siges at Jerome Bruners teori om scaffolding (Imsen, 2011, s. 226) og Vygotskys teori om den proximale udviklingszone (Imsen, 2011, s. 224-225) er relevante at tage i betragtning

Litteraturliste

Side 11 af 14


Alinea A/S. (25. april 2014). Hentet fra Elevunivers Matematik 2. klasse figurer - Dæk arealet: http://www.elevunivers.dk/index.php?option=com_wrapper&Itemid=4508

Guldbrandsen, L. M. (2009). Opvækst og psykologisk udvikling. København: Akademisk Forlag.

Hansen, Schou, Jess, & Skott. (2013). Matematik for lærerstuderende - Geometri 1.-6. klasse. Frederiksberg: Samfundslitteratur.

Hermansen, M. (2005). Læringens Univers. Århus N: Forlaget Kliim.

Hjelmborg, M. D. (2013). Vurdering af læremidler i matematik. I M. W. Andersen, & P. Weng, Håndbog om matematik i grundskolen - Læring undervisning og vejledning (s. 380-389). København: Dansk psykologisk forlag.

Pind, P. (2009). Matematik for alle. København: Pind og Bjerre.

Professionshøjskolen Metropol. (november 2009). APA vejledning. Hentet fra (http://www.phmetropol.dk/~/media/Files/Om%20Metropol/Biblioteket/Vejledninger/APA%20vejledning%20nov%2009.ashx)

Skott, J., Jess, K., & Hansen, H. C. (2013). Matematik for lærerstuderende- Delta - fagdidaktik. Frederiksberg: Forlaget Samfundslitteratur.

Teglskov, R., & Kristensen, B. (2011). Multi 2A. København: Gyldendal.

undervisningsministeriet.dk. (01. 01 2009). Fælles Mål 2009 - Matematik. Hentet fra http://www.uvm.dk/Service/Publikationer/Publikationer/Folkeskolen/2009/Faelles-Maal-2009-matematik

Side 12 af 14


Bilag 1

1. klasse 1. Dæk arealetEleverne får adgang til hjemmesiden www.elevunivers.dk, hvor de skal lave øvelser hvor geometriske figurer skal dækkes af mindre geometriske figurer. (Alinea A/S, 2014)

http://www.elevunivers.dk/index.php?option=com_wrapper&Itemid=4508

2. Udfyldning af arealer med ikke standardenhederEleverne skal hver især udfylde et omrids af deres hånd med en enhed de selv vælger. Det kan være enheder de kender fra dagligdagen såsom: perler, knapper, bønner, legoklodser el. lign.

3. Udfyldning af rektanglerEleverne skal udfylde rektangler med udklippede ens kvadrater.

4. Sammenligning af arealerEleverne skal i grupper af tre sammenligne rektanglers størrelser og komme frem til et fælles gæt på, hvilket rektangel der har det største areal. De får udleveret en kasse af forskellige geometriske figurer til udfyldning.

3. klasse1. Udfyldning af retvinklede figurerEleverne skal udfylde figurer, der kan opdeles i flere rektangler med udklippede ens kvadrater

2. GeoGebra ”søm-bræt”Eleverne skal i grupper af to lave forskellige øvelser i GeoGebra, hvor gitteret skal fungere som ”søm-bræt”. Eksempler på øvelser:Eleverne skal konstruere et kvadrat, hvorefter de skal konstruere et rektangel, der har et dobbelt så stort areal og en trekant, hvis areal er halvt så stort.Eleverne skal tegne et grundplan af et sommerhus med et givent areal. (Da GeoGebra angiver arealet af et tegnet polygon, behøver eleverne ikke at ræsonnere sig frem til en løsning, men kan prøve sig frem ved at tegne flere forslag.)Der følger efter disse øvelser en samtale på klassen, hvor der samles op på, hvilke iagttagelser eleverne har gjort under øvelserne. Læreren stiller spørgsmål som belyser hvordan grupperne er kommet frem til deres løsninger.

3. Optælling af areal Eleverne får udleveret ark, der viser figurer indtegnet i på kvadreret papir. Ud fra tegningen skal eleverne komme med deres bud på, hvad arealet er og skrive eller tegne en forklaring på, hvordan de er kommet frem til resultatet.

6. klasse1. Beregne fladen af centicubesEleverne skal i grupper af 3 beregne fladerne af forskellige simple figurer bygget af centicubes

2. Beregne arealet af rektangler og trekanterEleverne får udleveret et ark med rektangler og trekanter og skal bestemme arealet af figurerne

Side 13 af 14

http://www.elevunivers.dk/index.php?option=com_wrapper&Itemid=4508


3. Arealet af en cirkelEleverne får udleveret cirkler med forskellige diameter. Hver enkelt elev har til opgave at klippe den op i 1/16 dele og lime delene op på karton som vist på den udleverede illustration. Herefter måler og angiver eleverne højde og bredde for det tilnærmede rektangel.Fælles på klassen stiller læreren spørgsmål til sammenhængen mellem det tilnærmede rektangels højde og grundlinje og cirklens radius og omkreds. Dialogen skal lede ud i tydeliggørelse af den generelle formel for en cirkels areal.

4.Eleverne får udleveret ark med opgaver, der vedrører beregning af cirklers areal.

Side 14 af 14

Documents

matematiksus.files.wordpress.com · Web viewDenne opgave har til hensigt at lede ud i 3 matematik undervisningsforløb inden for emnet geometri for henholdsvis 1., 2. og 3. klasse