Upload
others
View
1
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Seminarski rad
Mentor: Student:
dr Đorđe Herceg Anita Pustai
Novi Sad, 13.01.2013.
Definicija i konstrukcija parabole
Istorijski razvoj
Apolonios Pergejski živeo je od 262. do 190. god. pre nove ere. Rođen je u Pergi u Pamfiliji, gradu u severo- zapadnom delu Male Azije. Došao je kao mlad u Aleksandriju i vaspitao se kod Euklidovih učenika. Pretpostavlja se da je predavao u Aleksandriji i Pergi i postao jedan od najvećih matematičara tog doba.
Napisao je traktat ( delo od 8 knjiga ) o paraboli, elipsi i hiperboli. Nazivi ovih krivih potiču upravo od Apolonija a koriste se i danas.
Definicija:
Parabola je skup svih tačaka u ravni sa osobinom da je rastojanje ma koje tačke M tog skupa od jedne stalne tačke F te ravni ( žiže ) – jednako rastojanju te tačke M od jedne stalne prave i iste ravni ( direktrise ) koja ne prolazi kroz tačku M.
Jednačina parabole:
Koordinatni sistem određujemo na sledeći način:osu Ox postavimo kroz žižu F, normalno na direktrisu d i to u pravcu od d ka F, a osu Oy normalno na Ox, kroz sredinu odsečka koji spaja žižu sa direktrisom.Neka je P parabola kod koje rastojanje između žiže F i direktrise d iznosi p. Tada, u ovako definisanom koordinatnom sistemu, jednačina direktrise glasi: x=−p
2 ,
a žiža F ima koordinate ( p2 , 0 ).Neka je M = ( x,y ) proizvoljna tačka parabole P
Teorema:
Tačka M = ( x,y ) pripada paraboli P ako i samo ako njene koordinate zadovoljavaju jednačinu:
y2=2 px
Dokaz: (⇒) Označimo sa N podnožje normale iz tačke M na direktrisu. Kako je M = ( x,y ) proizvoljna tačka parabole P, po definiciji, dužine duži FM i NM su jednake. Imamo:
|FM|=√( x− p2 )2
+ y2 ;
|NM|=|x+ p2|.
Iz jednakosti |FM| = |NM| sledi:
√(x− p2)2
+ y2=|x+ p2|,
odakle se, posle kvadriranja, dobija:
x2 – px + p2
4 + y2 = x2 + px + p2
4 ,
tj. y2 = 2px.
(⇐) Neka su brojevi x i y zadovoljavaju jednačinu y2 = 2px. Dokažimo da se tačka M = ( x,y ) nalazi na jednakom Rastojanju od prave d čija je jednačina x=−p
2 i tačke
F = ( p2 , 0 ), tj. dokažimo da tačka M pripada paraboli P. Na prvom mestu primetimo da važi:
|FM|=√( x− p2 )2
+ y2 ;
|NM|=|x+ p2|.
Međutim, imamo y2 = 2px , pa je
|FM| =√(x− p2)2
+ y2 = √(x+ p2)2
= |x+ p2|=
= |x+ p2|=|NM|
što značida je rastojanje tačke M od tačke F jednako rastoranju tačke M od prave d, tj. da tačka M pripada
paraboli P.
Napomena:
Promena položaja koordinatnog sistema u odnosu na žižu i direktrisu parabole, menja se i njena jednačina.Na primer, paraboli odgovara jednačina:
y2=−2 px (p > 0)
x2=2 py (p > 0)
x2=2 py (p > 0)
Konstrukcija parabole:
Zadata je direktrisa d,žiža F i osa parabole.
• d ⊥ o, d ∩ o = {D }
• konstruišemo središte duži |DF| = p (npr. tačka O),|DO|= |OF|= p2
• konstruišemo paralelnu pravu sa direktrisom čije je rastojanje od direktrise najmanje p2
• konstruišemo kružnicu k(F , p2 )• paralelna prava dodiruje kružnicu u tački O, ta tačka se naziva teme
parabole
Analogno, konstruišemo kružnice ( čiji su poluprečnici proizvoljni ali veći od p2 ) i više paralelnih prava sa direktrisom( čija su rastojanja jednaka sa poluprečnicima) i tako dobijene presečne tačke određuju parabolu.
Zadaci :1. Odrediti parametar, žižu i jednačinu direktrise parabole y=x2 !
Reš:
2. Napisati jednačinu parabole čije je teme koordinatni početak, ako se zna da je osa simetrija jednaka x osi i žiža ima sledeće koordinate (0;3)!
Reš:
Napomena:
Ako je osa parabole paralelna sa y osom, a teme parabole nije u koordinatnom početku, nego ima sledeće koordinate: T(u;v), tada je jednačina parabole:
y= 12 p
(x−u)2+v
Neka je parametar parabole p=2, teme u tački T(3;-1). Tako je žiža F(3;0), a jednačina:
y= 14(x−3)2−1
gde je v-direktrisa.