Embed Size (px)
Citation preview
1
Zadatak 181 (Nataša, medicinska škola)
Kolika je prosječna brzina automobila tijekom putovanja ako se prvu polovicu vremena giba
brzinom 40 km/h, drugu polovicu vremena brzinom 60 km/h?
Rješenje 181
, 40 , , 60 , ?1 1 2 22 2
t km t kmt v t v v
h h= = = = =
Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz
,s v t= ⋅
gdje je v stalna, konstantna brzina kojom se tijelo giba, t vrijeme gibanja.
Srednja brzina tijela u vremenskom intervalu ∆t jest kvocijent dijela puta ∆s, što ga je tijelo prešlo za
to vrijeme i vremenskog razmaka ∆t:
.s
vt
∆=
∆
Srednja (ili prosječna) brzina tijela (pri nejednolikom gibanju) definira se:
,prijeđeni dio puta ukupni prijeđeni put
, ,pripadni
.dio vremena ukupno vrijeme gibanja
s sv v v v
t t
∆= = = =
∆
Neka je s1 dio puta koji je automobil prešao u prvoj polovici vremena, a s2 je dio puta koji je prevalio
u drugoj polovici vremena. Tada je:
( )1 2 1 21 2 1 1 2 2 2 2 2
t t tv v v vs s v t v ts
v v v v vt t t t t
⋅ + ⋅ ⋅ ++ ⋅ + ⋅= ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒
( ) 40 601 22 1 2 50 .
2 2
km kmv v v v kmh hv v
h
t
t
+⋅ + +⇒ = ⇒ = = =
Vježba 181
Kolika je prosječna brzina automobila tijekom putovanja ako se prvu polovicu vremena giba
brzinom 60 km/h, drugu polovicu vremena brzinom 40 km/h?
Rezultat: 50 km/h.
Zadatak 182 (Nataša, medicinska škola)
Kolika je prosječna brzina automobila tijekom putovanja ako se prvu polovicu puta giba
brzinom 40 km/h, a drugu polovicu puta brzinom 60 km/h?
Rješenje 182
, 40 , , 60 , ?1 1 2 22 2
s km s kms v s v v
h h= = = = =
Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz
,s
s v t tv
= ⋅ ⇒ =
gdje je v stalna, konstantna brzina kojom se tijelo giba.
Srednja brzina tijela u vremenskom intervalu ∆t jest kvocijent dijela puta ∆s, što ga je tijelo prešlo za
to vrijeme i vremenskog razmaka ∆t:
.s
vt
∆=
∆
Srednja (ili prosječna) brzina tijela (pri nejednolikom gibanju) definira se:
,prijeđeni dio puta ukupni prijeđeni put
, ,pripadni
.dio vremena ukupno vrijeme gibanja
s sv v v v
t t
∆= = = =
∆
2
Neka je t1 vrijeme za koje je automobil prešao prvu polovicu puta, a t2 vrijeme za koje je prevalio
drugu polovicu puta. Tada je:
1 11 21 22 2 21 2 1 21 2
s s s s sv v v v v
s s s st t t s
v v v vv v
= ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒+
+ ⋅ ++
22 2 1 21 11 1 2 1 1 2
2 1 2 1 21 2
v vv v v v
v v v v
v v
s
s
v vv v
⋅ ⋅⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = =
+ ++⋅ +
⋅
2 40 60
48 .
40 60
km km
kmh h
km km h
h h
⋅ ⋅
= =
+
Vježba 182
Kolika je prosječna brzina automobila tijekom putovanja ako se prvu polovicu puta giba
brzinom 60 km/h, drugu polovicu puta brzinom 40 km/h?
Rezultat: 48 km/h.
Zadatak 183 (Nataša, medicinska škola)
Prvu trećinu puta automobil vozi brzinom 50 km/h, a preostali dio puta brzinom 20 km/h.
Kolika je srednja (prosječna) brzina automobila tijekom putovanja?
Rješenje 183
1 1 2
, 50 , , 20 , ?1 1 2 1 23 3 3
km kms s v s s s s s s v v
h h= ⋅ = = − = − ⋅ = ⋅ = =
Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz
,s
s v t tv
= ⋅ ⇒ =
gdje je v stalna, konstantna brzina kojom se tijelo giba.
Srednja brzina tijela u vremenskom intervalu ∆t jest kvocijent dijela puta ∆s, što ga je tijelo prešlo za
to vrijeme i vremenskog razmaka ∆t:
.s
vt
∆=
∆
Srednja (ili prosječna) brzina tijela (pri nejednolikom gibanju) definira se:
,prijeđeni dio puta ukupni prijeđeni put
, ,pripadni
.dio vremena ukupno vrijeme gibanja
s sv v v v
t t
∆= = = =
∆
Neka je t1 vrijeme za koje je automobil prešao prvi dio puta s1, a t2 vrijeme za koje je prevalio
ostatak puta s2. Tada je:
1 2 21 21 2
3 3 3 31 21 2
1 2
s s s s sv v v v v
s s s st t ts s
v vv vv v
= ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒⋅+
⋅ ⋅ ++⋅ ⋅+
1
1 21 2 1 23 33 3 3 3 1 21 2 1 2
sv v v
s v vv v
s
sv v
⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒
+⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅
3
3 50 2031 1 2 25 .2 22 1 1 2 2 50 20
31 2
km kmv v kmh hv v
v v km kmv v h
h hv v
⋅ ⋅⋅ ⋅⇒ = ⇒ = = =
+ ⋅ ⋅ +⋅ +
⋅ ⋅
Vježba 183
Dvije šestine puta automobil vozi brzinom 50 km/h, a preostali dio puta brzinom 20 km/h.
Kolika je srednja (prosječna) brzina automobila tijekom putovanja?
Rezultat: 25 km/h.
Zadatak 184 (Nataša, medicinska škola)
Prvu četvrtinu puta automobil vozi brzinom 30 km/h, a preostali dio puta brzinom 60 km/h.
Kolika je srednja (prosječna) brzina automobila tijekom putovanja?
Rješenje 184
1 1 3
, 30 , , 60 , ?1 1 2 1 24 4 4
km kms s v s s s s s s v v
h h= ⋅ = = − = − ⋅ = ⋅ = =
Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz
,s
s v t tv
= ⋅ ⇒ =
gdje je v stalna, konstantna brzina kojom se tijelo giba.
Srednja brzina tijela u vremenskom intervalu ∆t jest kvocijent dijela puta ∆s, što ga je tijelo prešlo za
to vrijeme i vremenskog razmaka ∆t:
.s
vt
∆=
∆
Srednja (ili prosječna) brzina tijela (pri nejednolikom gibanju) definira se:
,prijeđeni dio puta ukupni prijeđeni put
, ,pripadni
.dio vremena ukupno vrijeme gibanja
s sv v v v
t t
∆= = = =
∆
Neka je t1 vrijeme za koje je automobil prešao prvi dio puta s1, a t2 vrijeme za koje je prevalio
ostatak puta s2. Tada je:
1 3 31 21 2
4 4 4 41 21 2
1 2
s s s s sv v v v v
s s s st t ts s
v vv vv v
= ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒⋅+
⋅ ⋅ ++⋅ ⋅+
1
1 31 3 1 34 44 4 4 4 1 21 2 1 2
sv v v
s v vv v
s
sv v
⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒
+⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅
4 30 6041 1 2 48 .3 32 1 1 2 3 30 60
41 2
km kmv v kmh hv v
v v km kmv v h
h hv v
⋅ ⋅⋅ ⋅⇒ = ⇒ = = =
+ ⋅ ⋅ +⋅ +
⋅ ⋅
Vježba 184
Dvije osmine puta automobil vozi brzinom 30 km/h, a preostali dio puta brzinom 60 km/h.
Kolika je srednja (prosječna) brzina automobila tijekom putovanja?
Rezultat: 48 km/h.
4
Zadatak 185 (Karlo, tehnička škola)
Utrka na 100 m trči se na kružnoj stazi opsega 200 m. Trkači počinju trčati prema istoku, a
potom skreću prema jugu. Koliko iznosi pomak?
Rješenje 185
O = 200 m, p = ?
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta).
Polumjer ili radijus je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice. Duljina
polumjera označava se slovom r.
Promjer (dijametar) je duljina dužine koja prolazi kroz središte kružnice i čiji krajevi se nalaze na
kružnici. Ako znamo promjer kružnice d, možemo izračunati i opseg kružnice primjenjujući sljedeću
formulu:
.O d π= ⋅
Tijelo se giba ako mijenja svoj položaj u odnosu prema nekom drugom tijelu. Ako dimenzije tijela u
mislima sažmemo u jednu točku takvu točku zovemo materijalnom točkom. Trag koji bi materijalna
točka ostavljala pri gibanju zovemo stazom (putanjom). Duljina dijela staze što je materijalna točka
prijeđe zove se put. Put je dio staze koji tijelo prijeđe u određenom vremenskom intervalu i određen je
dvjema točkama na stazi. Najkraću udaljenost između početnog položaja P i završnog položaja K
zovemo pomakom. Pomak je usmjerena dužina između krajnjih točaka puta – početne P i završne K.
To je vektorska veličina orijentirana od početne točke P do završne točke K.
staza
y
x
put
staza
y
x
KP
y
x
pomak
put
staza
KP
5
Opseg kružne staze je 200 m. Budući da trkači pretrče 100 m, prešli su pola opsega kružnice. Tada je
iznos pomaka jednak promjeru kružnice, a orijentacija pomaka je smjer sjever – jug.
pZ I
J
S
1/
20063.99 .
p d O mO p O p p m
O dπ π
π π ππ⋅
=⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = = =
= ⋅
Vježba 185
Utrka na 100 m trči se na kružnoj stazi opsega 200 m. Trkači počinju trčati prema zapadu, a
potom skreću prema jugu. Koliko iznosi pomak?
Rezultat: 63.99 m, sjever – jug.
Zadatak 186 (Ljubica ☺☺☺☺, gimnazija)
Udaljenost između točaka A i B, koje se nalaze na ravnoj cesti, automobil prijeđe za 20 s, a
kamion za 30 s. Kada bi iz točke A i B istodobno jedan prema drugome krenuli automobil i kamion,
nakon kojeg bi se vremena susreli?
Rješenje 186
s, t1 = 20 s, t2 = 30 s, t = ?
Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz
,s
s v t vt
= ⋅ ⇒ =
gdje je v stalna, konstantna brzina kojom se tijelo giba.
Neka je s udaljenost između točaka A i B.
Automobil put s prijeđe za vrijeme t1 vozeći brzinom v1 pa vrijedi:
.1 1 1 1 1
1/
1 1
ss v t s v t v
t t⋅= ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ =
Kamion put s prijeđe za vrijeme t2 vozeći brzinom v2 pa vrijedi:
6
.2 2 2 2 2
1/
2 2
ss v t s v t v
t t⋅= ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ =
Kada bi iz točaka A i B automobil i kamion istodobno krenuli jedan prema drugome susreli bi se
nakon vremena t. Za to vrijeme automobil prevali put
,1 1
s v t= ⋅
a kamion
.2 2
s v t= ⋅
Budući da je ukupni put s, slijedi:
1 1
1 2 1
11
2
21 2 1 2
2
sv
t
sv
t
s ss s s v t v t s t t s s t s
t t t t+ = ⇒ ⋅ + ⋅ = ⇒ ⇒ ⋅ + ⋅ = ⇒ ⋅ ⋅ + = ⇒
=
=
1 1 1 1 2 1 1 21 1 1
1 2 1 1
/
2 1 2 2
: st t t t
s t s t t tt t t t t t t t
+ +⇒ ⋅ ⋅ + = ⇒ ⋅ + = ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒
⋅ ⋅
20 301 2 1 21 12 .20 30
1 2
1 22
/
21 1
t t t t s st t s
t t t t s
t
t t s
t+ ⋅ ⋅⇒ ⋅ = ⇒ = = =
⋅ +⋅
+ +
⋅
s2s1
v1
mjestosusreta v2
A B
s
v2 v1
BA
Vježba 186
Udaljenost između točaka A i B, koje se nalaze na ravnoj cesti, automobil prijeđe za 40 s, a
kamion za 60 s. Kada bi iz točke A i B istodobno jedan prema drugome krenuli automobil i kamion,
nakon kojeg bi se vremena susreli?
Rezultat: 24 s.
Zadatak 187 (SFun, tehnička škola)
Jednu četvrtinu puta automobil se giba brzinom 15 m/s, a srednja brzina na cijelom putu je
20 m/s. Kolika je brzina automobila na drugom dijelu puta?
Rješenje 187
s, 1 1 3
, , 15 , 20 , ?1 2 1 1 24 4 4
m ms s s s s s s s v v v
s s= ⋅ = − = − ⋅ = ⋅ = = =
Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz
,s
s v t tv
= ⋅ ⇒ =
gdje je v stalna, konstantna brzina kojom se tijelo giba.
Srednja brzina tijela u vremenskom intervalu ∆t jest kvocijent dijela puta ∆s, što ga je tijelo prešlo za
to vrijeme i vremenskog razmaka ∆t:
7
.s
vt
∆=
∆
Srednja (ili prosječna) brzina tijela (pri nejednolikom gibanju) definira se:
,prijeđeni dio puta ukupni prijeđeni put
, ,pripadni
.dio vremena ukupno vrijeme gibanja
s sv v v v
t t
∆= = = =
∆
Neka je t1 vrijeme za koje je automobil prešao prvi dio puta s1, a t2 vrijeme za koje je prevalio
ostatak puta s2. Tada je:
1 3 31 21 2
4 4 4 41 21 2
1 2
s s s s sv v v v v
s s s st t ts s
v vv vv v
= ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒⋅+
⋅ ⋅ ++⋅ ⋅+
1
1 31 3 1 34 44 4 4 4 1 21 2 1 2
sv v v
s v vv v
s
sv v
⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒
+⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅
( )4 4 41 1 2 1 2 1 2
3 3 3 32 1 1 2 1 2 1
/1
1
3
24
2
2
v v v v v vv v v v
v v v v v v v v
v
v v
v
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒
+ ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ +⋅ ⋅ +
⋅ ⋅
( )4 3 4 3 4 31 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1
v v v v v v v v v v v v v v v v v⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ + ⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ − ⋅ = ⋅ ⋅ ⇒
( ) ( )3
14 3 4 32 1 1 2 1 4 4
1
11
21
/v v
v v v v v v v v vv
vvv
vv
⋅ ⋅⇒ ⋅ ⋅ − = ⋅ ⋅ ⇒ ⋅⋅ ⋅ − = ⋅ ⋅ ⇒ =
⋅⋅ −−=
3 20 15
22.5 .
4 15 20
m m
ms s
m m s
s s
⋅ ⋅
= =
⋅ −
Vježba 187
Jednu četvrtinu puta automobil se giba brzinom 10 m/s, a srednja brzina na cijelom putu je
15 m/s. Kolika je brzina automobila na drugom dijelu puta?
Rezultat: 18 m/s.
Zadatak 188 (Max, tehnička škola)
Automobil se giba po kružnoj cesti polumjera r (crtež). Kada automobil dođe iz položaja A u
položaj B koliki je njegov pomak?
. 2 . 2A r jugozapadno B r sjeveroistočno⋅ ⋅
. .C r jugozapadno D r sjeveroistočno
8
rZ I
J
S
B
A
Rješenje 188
r – polumjer kružnice, p = ?
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta).
Polumjer ili radijus je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice. Duljina
polumjera označava se slovom r.
Ako znamo polumjer kružnice r, možemo izračunati i opseg kružnice primjenjujući sljedeću formulu:
2 .O r π= ⋅ ⋅
Tijelo se giba ako mijenja svoj položaj u odnosu prema nekom drugom tijelu. Ako dimenzije tijela u
mislima sažmemo u jednu točku takvu točku zovemo materijalnom točkom. Trag koji bi materijalna
točka ostavljala pri gibanju zovemo stazom (putanjom). Duljina dijela staze što je materijalna točka
prijeđe zove se put. Put je dio staze koji tijelo prijeđe u određenom vremenskom intervalu i određen je
dvjema točkama na stazi. Najkraću udaljenost između početnog položaja P i završnog položaja K
zovemo pomakom. Pomak je usmjerena dužina između krajnjih točaka puta – početne P i završne K.
To je vektorska veličina orijentirana od početne točke P do završne točke K.
staza
y
x
put
staza
y
x
KP
y
x
pomak
put
staza
KP
9
p
S
J
IZr
B
A
O
Sa slike vidi se:
,OB r OA r= =
Pomak automobila iz položaja A u položaj B jednak je duljini hipotenuze pravokutnog trokuta BOA.
Pomoću Pitagorina poučka izračunamo duljinu hipotenuze:
2 2 2 2 2 2 2 2/AB OB OA AB OB OA AB OB OA= + ⇒ = + ⇒ = + ⇒
2 2 22 2.AB r r AB r AB r⇒ = + ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅
Dakle, pomak p iznosi:
2.2
p ABp r
AB r
=⇒ = ⋅
= ⋅
Smjer pomaka je jugozapadno.
Odgovor je pod A.
Vježba 188
Automobil se giba po kružnoj cesti polumjera r (crtež). Kada automobil dođe iz položaja A u
položaj B koliki je njegov pomak?
. 2 . 2A r jugozapadno B r sjeveroistočno⋅ ⋅
. .C r jugozapadno D r sjeveroistočno
S
J
IZr
A
B
Rezultat: B.
10
Zadatak 189 (Max, tehnička škola)
Automobil se giba po kružnoj cesti polumjera r (crtež). Kada automobil dođe iz položaja A u
položaj B koliki je put prešao?
3 1. 2 . . 2 .
2 2A r B r C r D rπ π π⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
rZ I
J
S
B
A
Rješenje 189
r – polumjer kružnice, s = ?
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta).
Polumjer ili radijus je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice. Duljina
polumjera označava se slovom r.
Ako znamo polumjer kružnice r, možemo izračunati i opseg kružnice primjenjujući sljedeću formulu:
2 .O r π= ⋅ ⋅
Tijelo se giba ako mijenja svoj položaj u odnosu prema nekom drugom tijelu. Ako dimenzije tijela u
mislima sažmemo u jednu točku takvu točku zovemo materijalnom točkom. Trag koji bi materijalna
točka ostavljala pri gibanju zovemo stazom (putanjom). Duljina dijela staze što je materijalna točka
prijeđe zove se put. Put je dio staze koji tijelo prijeđe u određenom vremenskom intervalu i određen je
dvjema točkama na stazi. Najkraću udaljenost između početnog položaja P i završnog položaja K
zovemo pomakom. Pomak je usmjerena dužina između krajnjih točaka puta – početne P i završne K.
To je vektorska veličina orijentirana od početne točka P do završne točke K.
staza
y
x
put
staza
y
x
KP
11
y
x
pomak
put
staza
KP
s
S
J
IZr
B
A
Sa slike vidi se:
,OB r OA r= =
Put s automobila iz položaja A u položaj B jednak je 3
4 opsega kružnice polumjera r.
24
3 3 3 32 .
4 4 2s O s r s r s rπ π π= ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅
Odgovor je pod B.
Vježba 189
Automobil se giba po kružnoj cesti polumjera r (crtež). Kada automobil dođe iz položaja A u
položaj B koliki je put prešao?
3 1. 2 . . 2 .
2 2A r B r C r D rπ π π⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
S
J
IZrB
A
Rezultat: D.
12
Zadatak 190 (Lora, gimnazija)
Automobil prijeđe prvu polovicu puta između dva grada brzinom 30 km/h, a drugu polovicu
brzinom 70 km/h. Kolika je srednja brzina?
Rješenje 190
, 30 , , 70 , ?1 1 2 22 2
s km s kms v s v
h hv= = = = =
Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijede izrazi
, ,s
s v t tv
= ⋅ =
gdje je v stalna, konstantna brzina kojom se tijelo giba.
Srednja brzina tijela u vremenskom intervalu ∆t jest količnik dijela puta ∆s, što ga je tijelo prešlo za to
vrijeme i vremenskog razmaka ∆t:
prijeđeni dio puta2 1
pripadni dio vremena2
, .
1
,s ss
v v vt t t
−∆= = =
∆ −
Svaki je dio puta automobil prešao za određeno vrijeme:
• na putu s1 gibao se brzinom v1 pa je proteklo vrijeme
1 2 21 1 1 1 211 1 1
1
s ss s
t t t tvv v v
= ⇒ = ⇒ = ⇒ =⋅
• na putu s2 gibao se brzinom v2 pa je proteklo vrijeme
2 2 2 .2 2 2 2 222 2 2
1
s ss s
t t t tvv v v
= ⇒ = ⇒ = ⇒ =⋅
Srednja brzina iznosi:
1 11 22 2
2 21 2 1 2
s s s sv v v v
s st t tsv v
v v
= ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒+
+ ⋅ +⋅ ⋅ ⋅ ⋅
1
1 1 11 11 1 2 1 2 1
2 2 2 22 2 1 2 1 2 1 21 2
v v v vv v v v
v v v v v vv v
s
s
⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒+ +
+⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅
2 30 7021 2 42 .
1 2 30 70
km kmv v kmh hv
km kmv v h
h h
⋅ ⋅⋅ ⋅⇒ = = =
++
Vježba 190
Automobil prelazi prvu polovicu puta između dva grada brzinom 70 km/h, a drugu polovicu
brzinom 30 km/h. Kolika je srednja brzina?
Rezultat: 42 .km
h
13
Zadatak 191 (Tibor, gimnazija)
Putnik u zračnoj luci giba se duž trake za prtljagu brzinom 2 km / h, a traka putuje brzinom
2 km / h. Za koje vrijeme putnik stigne do prtljage, ako je traka duga 36 m? Koliko će mu trebati
vremena ako ide uz traku?
Rješenje 191
vp = 2 km / h = [2 : 3.6] = 0.56 m / s, vt = 2 km / h = [2 : 3.6] = 0.56 m / s, s = 36 m,
t = ?, t1 = ?
Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijede izrazi
, ,s
s v t tv
= ⋅ =
gdje je v stalna, konstantna brzina kojom se tijelo giba.
vt
vp
Kada se putnik giba duž trake za prtljagu njegova je relativna brzina v jednaka zbroju brzina vp i vt.
.v v vp t= +
Vrijeme t za koje će stići do prtljage iznosi:
( ) ( ) ( ) 1/
v v vp ts v v t v v t
vs v v t sp p pt t t
s v vp tt
= +⇒ = + ⋅ ⇒ + ⋅ = ⋅
+⇒ + ⋅ = ⇒
= ⋅
3632.14 .
0.56 0.56
s mt s
m mv vp ts s
⇒ = = =+
+
vp
Kada putnik ide uz traku brzinom vp vrijeme t1 za koje će stići do prtljage iznosi:
3664.29 .
1 1 1 10.56
1/
v
s ms v t v t s v t s t sp p p mvp
sp
= ⋅ ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ = =⋅ =
Vježba 191
Putnik u zračnoj luci giba se duž trake za prtljagu brzinom 4 km / h, a traka putuje brzinom
4 km / h. Za koje vrijeme putnik stigne do prtljage, ako je traka duga 72 m? Koliko će mu trebati
vremena ako ide uz traku?
Rezultat: 32.14 s, 64.29 s.
Zadatak 192 (Tina, gimnazija)
Kolikom brzinom mora letjeti zrakoplov i kojim smjerom da bi za vrijeme t = 1 h preletio u
pravcu sjevera put od s = 300 km, ako za vrijeme leta puše sjeveroistočni vjetar brzinom 35 km / h
pod kutom 40° prema meridijanu?
Rješenje 192
t = 1 h = 3600 s, s = 300 km = 3 · 105 m, vv = 35 km / h = [35 : 3.6] = 9.72 m / s,
α = 40°, vz = ?, β = ?
Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz
14
,s
s v t vt
= ⋅ ⇒ =
gdje je v stalna, konstantna brzina kojom se tijelo giba.
Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine. Te dužine zovemo stranice trokuta.
Poučak o kosinusu (kosinusov poučak)
U trokutu ABC vrijede ove jednakosti
2 2 22 cos
2 2 22 cos
2 2 22 cos .
a b c b c
b a c a c
c a b a b
α
β
γ
= + − ⋅ ⋅ ⋅
= + − ⋅ ⋅ ⋅
= + − ⋅ ⋅ ⋅
U trokutu ABC vrijedi sinusov poučak
sin sin s.
in
a b c
α β γ= =
pri čemu su a, b i c duljine stranica trokuta, α, β i γ unutarnji kutovi trokuta.
v
vv
vz
ββββ
αααα
αααα
istokzapad
sjever
C
A
O
B
Brzina v kojom bi zrakoplov preletio put od 300 km za 1 sat iznosi:
53 10
83.33 .3600
s m mv
t s s
⋅= = =
To je rezultantna brzina čije su komponente brzina zrakoplova vz i brzina vjetra vv.
Uočimo trokut OAB i uporabom kosinusovog poučka dobije se brzina vz.
2 2 2 2 2 22 cos 2 /cosv v v v v v v v v vz v v z v vα α= + − ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ = + − ⋅ ⋅ ⋅ ⇒
2 22 2 0
2 cos 83.33 9.72 2 83.33 9.72 cos 40m m m m
v v v v vz v vs s s s
α⇒ = + − ⋅ ⋅ ⋅ = + − ⋅ ⋅ ⋅ =
[ ]76.1476.1 3.64 274.1 .m km
s h⋅= = =
Iz trokuta OBC uporabom sinusovog poučka izračunamo smjer zrakoplova.
sin sinsin sin sin si
sin si
n
n/
v v vv vvz z
vz
v v
zv
β αβ α
α β α β
⋅⋅= ⇒ = ⇒ = ⋅ ⇒
15
9.721 1 0 0
sin sin sin sin 40 4 42 '.
76.14
m
vv s
mvzs
β α− −
⇒ = ⋅ = ⋅ =
Vježba 192
Kolikom brzinom mora letjeti zrakoplov i kojim smjerom da bi za vrijeme t = 2 h preletio u
pravcu sjevera put od s = 600 km, ako za vrijeme leta puše sjeveroistočni vjetar brzinom 35 km / h
pod kutom 40° prema meridijanu?
Rezultat: 274.1 km / h, 4° 28'.
Zadatak 193 (Medika, medicinska škola)
Koliki je promjer cijevi kojom se puni spremnik obujma 10 m3, ako voda istječe iz cijevi
stalnom brzinom 2 m / s? Punjenje spremnika traje 12 minuta.
Rješenje 193
V = 10 m3, v = 2 m / s, t = 12 min = 720 s, d = ?
Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz ,s v t= ⋅
gdje je v stalna, konstantna brzina kojom se tijelo giba.
Obujam uspravnog valjka, ako je zadan promjer d osnovke (baze) i visina h
4.
2d
V vπ⋅
= ⋅
s = v ⋅⋅⋅⋅ t
vd
Kapljice vode gibaju se jednoliko niz spremnik i za vrijeme t prijeđu put (visinu spremnika )
s v t= ⋅
pa obujam vode koja za to vrijeme napuni spremnik iznosi:
4/
22 2
424
4 4
dd d VV s
V v t V v t dv t
s tv t
v
ππ
ππ
π⋅
⋅ ⋅ ⋅= ⋅⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ = ⇒
⋅ ⋅= ⋅
⋅⋅ ⋅
/4 42
2V V V
d d dv t v t v tπ π π
⋅ ⋅⇒ = ⇒ = ⇒ = ⋅ =
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
310
2 0.094 9.4 .
2 720
mm cm
ms
sπ
= ⋅ = =
⋅ ⋅
Vježba 193
Koliki je promjer cijevi kojom se puni spremnik obujma 20 m3, ako voda istječe iz cijevi
stalnom brzinom 4 m / s? Punjenje spremnika traje 12 minuta.
Rezultat: 9.4 cm.
16
Zadatak 194 (Patrik, gimnazija)
Turist je putovao iz jednog grada u drugi biciklom i pješke. Prvu polovicu puta je prešao
biciklom vozeći brzinom v1 = 12 km / h, a drugu tako da je pola preostalog vremena vozio bicikl
brzinom v2 = 6 km / h, a pola vremena je išao pješice brzinom v3 = 4 km / h. Odredite njegovu srednju
brzinu na cijelom putu.
Rješenje 194
1,
1 2s s= ⋅ v1 = 12 km / h, v2 = 6 km / h, v3 = 4 km / h, v = ?
Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz
,s v t= ⋅
gdje je v stalna, konstantna brzina kojom se tijelo giba.
Srednja brzina tijela u vremenskom intervalu ∆t jest količnik dijela puta ∆s, što ga je tijelo prešlo za to
vrijeme i vremenskog razmaka ∆t:
.s
vt
∆=
∆
Ako je taj kvocijent stalan za svaki ∆s i odgovarajući ∆t duž nekog puta s, onda kažemo da se na tom
putu tijelo giba jednoliko te vrijedi
.s
vt
=
Neka su s1, s2, s3 putovi koje je prešao turist brzinama v1, v2 vozeći bicikl i v3 hodajući. Vrijeme za
koje on prvu polovicu puta prevali biciklom vozeći brzinom v1 iznosi:
1
1 2 .1 1 1 2
1 1 1
ss st t t
v v v
⋅
= ⇒ = ⇒ =⋅
Druga polovica puta jednaka je zbroju putova s2 i s3.
1.
2 3 2s s s+ = ⋅
Budući da je pola preostalog vremena t2 turist vozio bicikl brzinom v2, a pola t3 je hodao brzinom v3
vrijedi:
1 1 1
2 3 2 2 3 3 2 3 2 2 3 22 2 2s s s t tv t v t s v t v t s+ = ⋅ ⇒ ⋅ + ⋅ = ⋅ ⇒ ⇒ ⋅ + ⋅ = ⋅ ⇒=
( ) ( )( )
1 1.
2 2 3 2 2 3 22 2
1/
22 32 3
v v
st v v s t v v s t
v v⇒ ⋅ + = ⋅ ⇒ ⋅ ⋅
++ = ⋅ ⇒ =
⋅ +
Računamo srednju brzinu v.
( )2
1 2 3 1 2 22
2
21 2 3
3
s s s sv v v v
s st t t t t t
v
t
v v
t= ⇒ = ⇒ ⇒ = ⇒ = ⇒+ + + ⋅
+ ⋅⋅ ⋅ +
=
( )1 1
2 221 1 2 32 3 1 2 3
22
s s sv v v
s s s s
sv v v vv v v v v
⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒
+ ⋅ + ⋅ +⋅ ⋅ +⋅ + ⋅ +
( )
1 1
1 1 21 1 2 3 1
2 22 1 2 3 1 2 31 2 3
v v vv v v
v v
s
s v v v vv v v
⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒+ + ⋅
+⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ +⋅ +
17
( )
( )1
2 12 6 42
1 2 31 7.06 .2 22 3 1 2 3 1 6 4 2 12
21 2 3
km km km
v v v kmh h hv v
v v v km km kmv v v h
h h hv v v
⋅ ⋅ +⋅ ⋅ +⇒ = ⇒ = = =
+ + ⋅ + + ⋅+ + ⋅
⋅ ⋅ +
Vježba 194
Turist je putovao iz jednog grada u drugi biciklom i pješke. Prvu polovicu puta je prešao
biciklom vozeći brzinom v1 = 12 km / h, a drugu tako da je pola preostalog vremena hodao brzinom
v2 = 4 km / h, a pola vremena je vozio bicikl brzinom v3 = 6 km / h. Odredite njegovu srednju
brzinu na cijelom putu.
Rezultat: 7.06 km / h.
Zadatak 195 (Tomislav, tehnička škola)
Iz mjesta A u mjesto B čija je međusobna udaljenost 3 km pješači čovjek gibajući se stalnom
brzinom 3 km / h. Mjesto B, istodobno kad i pješak napušta mjesto A, napušta pčela brzinom 6 km / h
gibajući se pravocrtno prema pješaku (crtež). Nakon što se pčela i pješak susretnu, pčela se vraća
natrag u mjesto B pa ponovno kreće prema pješaku, sve dok pješak konačno ne stigne u mjesto B.
a) Koliko vremena treba čovjeku da dođe do mjesta B?
b) Koliki ukupni put prijeđe pčela dok pješak ne stigne iz mjesta A u mjesto B?
Rješenje 195
s = 3 km, v1 = 3 km / h, v2 = 6 km / h, t = ? s2 = ?
Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz
,s v t= ⋅
gdje je v stalna, konstantna brzina kojom se tijelo giba.
s
A Bv1
v2
v2
v1
BA
a)
Vrijeme potrebno, da čovjek prijeđe put od mjesta A do mjesta B gibajući se stalnom brzinom v1,
iznosi:
31 .
1 1 11
/
3
1
1
s kms v t v t s v t s t h
kmv
h
v⋅= ⋅ ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ = = =
b)
Za to vrijeme t pčela se giba stalnom brzinom v2 i prijeđe ukupni put
6 1 6 .2 2
kms v t h km
h= ⋅ = ⋅ =
Vježba 195
Iz mjesta A u mjesto B čija je međusobna udaljenost 4 km pješači čovjek gibajući se stalnom
brzinom 4 km / h. Mjesto B, istodobno kad i pješak napušta mjesto A, napušta pčela brzinom 8 km / h
gibajući se pravocrtno prema pješaku (crtež). Nakon što se pčela i pješak susretnu, pčela se vraća
natrag u mjesto B pa ponovno kreće prema pješaku, sve dok pješak konačno ne stigne u mjesto B.
a) Koliko vremena treba čovjeku da dođe do mjesta B?
18
b) Koliki ukupni put prijeđe pčela dok pješak ne stigne iz mjesta A u mjesto B?
Rezultat: 1 h, 8 km.
Zadatak 196 (Dragan, gimnazija)
Kondukter u autobusu giba se brzinom 1 m / s s obzirom na putnike koji sjede. Brzina
autobusa je 54 km / h. Kolikom će brzinom kondukter proći pokraj promatrača koji se nalazi uz cestu
ako se giba:
a) u smjeru gibanja autobusa
b) suprotno smjeru gibanja autobusa?
Rješenje 196
v1 = 1 m / s, v2 = 54 km / h = [54 : 3.6] = 15 m / s, vus = ?, vss = ?
Gibanje je svuda oko nas. Nema apsolutnog mirovanja. To je jedno od osnovnih svojstava materije.
Gibanje je neprekidno mijenjanje položaja tijela (ili njegovih čestica) prema okolišu. Gibanje tijela
uvijek promatramo u odnosu prema okolišu. S različitih stajališta isto gibanje pokazuje nam se
različito pa gdjekad čak i kao mirovanje. Referentni sustav je koordinatni sustav u kojem promatramo
gibanje. Referentni sustav je vezan uz ono tijelo za koje se uvjetno dogovorimo da miruje i spram
kojeg se promatra gibanje nekih drugih tijela.
Uočimo da se autobus giba brzinom v2 prema koordinatnom sustavu vezanom za Zemlju. Kondukter
hoda po autobusu u smjeru njegova gibanja brzinom v1 s obzirom na sustav vezan za autobus. Brzina
konduktera mjerena u autobusu je v1, ali mjerena sa tla izvan autobusa bit će drugačija.
Relativna brzina konduktera kojom će proći pokraj promatrača koji se nalazi uz cestu iznosi:
• ako se giba u smjeru gibanja autobusa
15 1 162 1
m m mv v vus
s s s= + = + =
vus = v2 + v1
v2
v1
• ako se giba suprotno smjeru gibanja autobusa
15 1 14 .2 1
m m mv v vss
s s s= − = − =
19
v1
v2
vss = v2 - v1
Vježba 196
Kondukter u autobusu giba se brzinom 2 m / s s obzirom na putnike koji sjede. Brzina
autobusa je 54 km / h. Kolikom će brzinom kondukter proći pokraj promatrača koji se nalazi uz cestu
ako se giba:
a) u smjeru gibanja autobusa
b) suprotno smjeru gibanja autobusa?
Rezultat: 17 m / s, 13 m / s.
Zadatak 197 (Dragana, gimnazija)
Motorni čamac giba se brzinom 7 m / s na mirnoj vodi. Pomoću njega putuje se rijekom od
mjesta A do mjesta B čija je međusobna udaljenost 2 km. Kolika je brzina rijeke, ako čamac
udaljenost od A do B i natrag prijeđe za 10 minuta?
Rješenje 197
v1 = 7 m / s, s = 2 km = 2000 m, t = 10 min = 600 s, v2 = ?
Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz
,s
s v t tv
= ⋅ ⇒ =
gdje je v stalna, konstantna brzina kojom se tijelo giba.
Gibanje je svuda oko nas. Nema apsolutnog mirovanja. To je jedno od osnovnih svojstava materije.
Gibanje je neprekidno mijenjanje položaja tijela (ili njegovih čestica) prema okolišu. Gibanje tijela
uvijek promatramo u odnosu prema okolišu. S različitih stajališta isto gibanje pokazuje nam se
različito pa gdjekad čak i kao mirovanje. Referentni sustav je koordinatni sustav u kojem promatramo
gibanje. Referentni sustav je vezan uz ono tijelo za koje se uvjetno dogovorimo da miruje i spram
kojeg se promatra gibanje nekih drugih tijela.
Kada čamac putuje niz rijeku (od A do B) njegova je relativna brzina vAB jednaka zbroju brzina v1 i v2
,1 2
v v vAB
= +
a potrebno vrijeme na putu s iznosi
.1 1
1 2
s st t
v v vAB
= ⇒ =+
Kada čamac putuje uz rijeku (od B do A) njegova je relativna brzina vBA jednaka razlici brzina v1 i v2
,1 2
v v vBA
= −
a potrebno vrijeme na putu s iznosi
20
.2 2
1 2
s st t
v v vBA
= ⇒ =−
Budući da je motorni čamac udaljenost od A do B i natrag prešao za vrijeme t, slijedi:
1 21 2 1 2 1 2 1
1
2
/s s s s
t t t t tv v v v v v v v s
+ = ⇒ + = ⇒ + = ⇒+
⋅− + −
( ) ( )1 1 1 2 1 2 1 1
2 21 2 1 2 1 2
2 2
1 2 1 2
v v v v v vt t t
v v v v s
v
s sv v v v v v
v− + + +⇒ + = ⇒ = ⇒ = ⇒
+ − ⋅ −
+
+ −
−
( ) ( )2 2 2 2
/2 21 1 2
1 1 22 2 2 21 2 1 2
1 2
v vt tv s t v v
s ss v v
v v v v
⋅ ⋅⇒ = ⇒ = ⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ −⋅
− −⋅ − ⇒
( )2 22 2 2 2 2 21 12
1 1 2 1 2 2/
1
1 v s v sv s t v v v v v v
tt t
⋅ ⋅⋅
⋅ ⋅⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ − ⇒ = − ⇒ = − ⇒
/2 22 2 21 1
2 1 2 1
v s v sv v v v
t t
⋅ ⋅ ⋅ ⋅⇒ = − ⇒ = − =
2 2 7 2 000
7 1.53 .600
mm
m ms
s s s
⋅ ⋅
= − =
A Bs
vBA = v1 - v2
v2
v1
v1
v2
vAB = v1 + v2
sBA
Vježba 197
Motorni čamac giba se brzinom 7 m / s na mirnoj vodi. Pomoću njega putuje se rijekom od
mjesta A do mjesta B čija je međusobna udaljenost 4 km. Kolika je brzina rijeke, ako čamac
udaljenost od A do B i natrag prijeđe za 20 minuta?
Rezultat: 1.53 m / s.
Zadatak 198 (Franjo, srednja škola)
Pokraj promatrača prolazi vlak brzinom 36 km / h. Lokomotiva je pored njega prošla točno u
16 h, a zadnji vagon 15 s poslije. Izračunaj duljinu vlaka.
Rješenje 198 v = 36 km / h = [36 : 3.6] = 10 m / s, ∆t = 15 s, d = ?
21
Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz
,s v t= ⋅
gdje je v stalna, konstantna brzina kojom se tijelo giba.
Budući da je vlak pored promatrača prolazio stalnom brzinom v za vrijeme ∆t njegova duljina iznosi:
10 15 150 .m
d v t s ms
= ⋅ ∆ = ⋅ =
v
d
16 h
v
d
16 h 15 s
Vježba 198
Pokraj promatrača prolazi vlak brzinom 36 km / h. Lokomotiva je pored njega prošla točno u
17 h, a zadnji vagon 15 s poslije. Izračunaj duljinu vlaka.
Rezultat: 150 m.
Zadatak 199 (Luka, srednja škola)
Vozač za 1 h prijeđe polovinu puta, a potom ubrza za 15 km / h i drugu polovinu prijeđe za 45
min. Kojom je brzinom vozač vozio prvu polovinu puta?
Rješenje 199
t1 = 1 h, 1
,1 2
s s= ⋅ ∆v = 15 km / h, 1
,2 2
s s= ⋅ t2 = 45 min = 3
,5
60 4
4h=
v1 = ?
Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz
,s v t= ⋅
gdje je v stalna, konstantna brzina kojom se tijelo giba.
Za prvu polovinu puta vrijedi:
.1 1 1
s v t= ⋅
Na drugoj polovini puta vozač je vozio brzinom
2 1v v v= + ∆
pa za prijeđeni put vrijedi:
( ) .2 2 2 2 1 2
s v t s v v t= ⋅ ⇒ = + ∆ ⋅
Dalje slijedi:
( )1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 2 1 1 1 2 2s s v t v v t v t v t v t v t v t v t= ⇒ ⋅ = + ∆ ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ + ∆ ⋅ ⇒ ⋅ − ⋅ = ∆ ⋅ ⇒
( ) ( ) 1
1 1 2 2 1 1 2 2/
1 2
v t t v t v tt
vt
t t⇒ ⋅ − = ∆ ⋅ ⇒ ⋅= ∆ ⋅−
⋅ − ⇒
22
315
42 45 .1 3
1 2 14
kmhv t kmhv
t t hh h
⋅∆ ⋅⇒ = = =
−−
Vježba 199
Vozač za 1 h prijeđe polovinu puta, a potom ubrza za 20 km / h i drugu polovinu prijeđe za 45
min. Kojom je brzinom vozač vozio prvu polovinu puta?
Rezultat: 60 km / h.
Zadatak 200 (Ante, srednja škola)
Brod brzine c u mirnoj vodi ploveći rijekom brzine v prijeđe udaljenost d od mjesta A do B i
odmah natrag od B do A. Kolika je srednja brzina broda?
Rješenje 200
c, v, d, ?v =
Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz
,s s
v tt v
= ⇒ =
gdje je v stalna, konstantna brzina kojom se tijelo giba.
Gibanje je svuda oko nas. Nema apsolutnog mirovanja. To je jedno od osnovnih svojstava materije.
Gibanje je neprekidno mijenjanje položaja tijela (ili njegovih čestica) prema okolišu. Gibanje tijela
uvijek promatramo u odnosu prema okolišu. S različitih stajališta isto gibanje pokazuje nam se
različito pa gdjekad čak i kao mirovanje. Referentni sustav je koordinatni sustav u kojem promatramo gibanje. Referentni sustav je vezan uz ono tijelo za koje se uvjetno dogovorimo da miruje i spram
kojeg se promatra gibanje nekih drugih tijela.
d
cv
A B
Kada brod plovi niz rijeku (od A do B) njegova relativna brzina jednaka je zbroju brzine broda c i
brzine rijeke v.
.v c vAB
= +
Vrijeme plovidbe od mjesta A do B jednako je:
.1 1
d dt t
v c vAB
= ⇒ =+
d
BA
vc
Kada brod plovi uz rijeku (od B do A) njegova relativna brzina jednaka je razlici brzine broda c i
23
brzine rijeke v.
.v c vBA
= −
Vrijeme plovidbe od mjesta B do A jednako je:
.2 2
d dt t
v c vBA
= ⇒ =−
Srednja brzina broda iznosi:
2 2 2 2
1 1 1 11 2
d d dv v v v
d dt td
c v c v c v c
d
v c vd
c v
⋅ ⋅ ⋅ ⋅= ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒
++ ⋅ + ⋅ +
+ − + − + −
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
1 1 2
2 2
v v v vc v c v c c c
c v c v c v c v c v c
v
v
v
v c
⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒− + + + ⋅
++ − + ⋅ − + ⋅ − −
− +
( )2 1
2 21 2 21 1 1
2
2 2 2 2 2 2
2
2
c vv v v v v c v
c c c c c
c v c v c v
−⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⋅ − ⇒
⋅ ⋅
− − −
2 2 21 12
1 1 1 .2 2 2
2v v vv c v c v c
c c c cc⇒ = ⋅ ⋅ − ⇒ = ⋅ ⋅ − ⇒ = ⋅ −
Vježba 200
Brod brzine 2 · v u mirnoj vodi ploveći rijekom brzine v prijeđe udaljenost d od mjesta A do B
i odmah natrag od B do A. Kolika je srednja brzina broda?
Rezultat: 3
.2
v v= ⋅
