Upload
others
View
1
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
ŠTO JE TETIVNI ČETVEROKUT?TEOREMI
ODABRANI ZADACI
PRIČA O TETIVNOM ČETVEROKUTU
Stipe Vidak
Prirodoslovno-matematički fakultetMatematički odjel
Sveučilište u Zagrebu
6. svibnja 2015.
Stipe Vidak PRIČA O TETIVNOM ČETVEROKUTU
ŠTO JE TETIVNI ČETVEROKUT?TEOREMI
ODABRANI ZADACI
Sadržaj
1 ŠTO JE TETIVNI ČETVEROKUT?
2 TEOREMI
3 ODABRANI ZADACI
Stipe Vidak PRIČA O TETIVNOM ČETVEROKUTU
ŠTO JE TETIVNI ČETVEROKUT?TEOREMI
ODABRANI ZADACI
Zadatak (županijsko 1996, 1. razred)
U ravnini su dane dvije kružnice k1 i k2 na koje su povučene dvijeunutarnje zajedničke tangente u, u′ i dvije vanjske v, v ′. Dokaži dasjecišta tangenata u∩v, u∩v ′, u′∩v, u′∩v ′ leže na jednoj kružnici.
Hm, kako to riješiti...?
Stipe Vidak PRIČA O TETIVNOM ČETVEROKUTU
ŠTO JE TETIVNI ČETVEROKUT?TEOREMI
ODABRANI ZADACI
Zadatak (županijsko 1996, 1. razred)
U ravnini su dane dvije kružnice k1 i k2 na koje su povučene dvijeunutarnje zajedničke tangente u, u′ i dvije vanjske v, v ′. Dokaži dasjecišta tangenata u∩v, u∩v ′, u′∩v, u′∩v ′ leže na jednoj kružnici.
Hm, kako to riješiti...?
Stipe Vidak PRIČA O TETIVNOM ČETVEROKUTU
ŠTO JE TETIVNI ČETVEROKUT?TEOREMI
ODABRANI ZADACI
Stipe Vidak PRIČA O TETIVNOM ČETVEROKUTU
ŠTO JE TETIVNI ČETVEROKUT?TEOREMI
ODABRANI ZADACI
DefinicijaTetivni četverokut je četverokut kojemu se može opisati kružnica.
Stipe Vidak PRIČA O TETIVNOM ČETVEROKUTU
ŠTO JE TETIVNI ČETVEROKUT?TEOREMI
ODABRANI ZADACI
DefinicijaTetivni četverokut je četverokut kojemu se može opisati kružnica.
Stipe Vidak PRIČA O TETIVNOM ČETVEROKUTU
ŠTO JE TETIVNI ČETVEROKUT?TEOREMI
ODABRANI ZADACI
Sadržaj
1 ŠTO JE TETIVNI ČETVEROKUT?
2 TEOREMI
3 ODABRANI ZADACI
Stipe Vidak PRIČA O TETIVNOM ČETVEROKUTU
ŠTO JE TETIVNI ČETVEROKUT?TEOREMI
ODABRANI ZADACI
Teorem
Četverokut ABCD s kutevima α, β, γ, δ je tetivan ako i samo akovrijedi α+γ=β+δ= 180◦.
Stipe Vidak PRIČA O TETIVNOM ČETVEROKUTU
ŠTO JE TETIVNI ČETVEROKUT?TEOREMI
ODABRANI ZADACI
Teorem
Četverokut ABCD je tetivan ako i samo ako je mjera unutarnjegkuta kod vrha A jednaka mjeri vanjskog kuta kod vrha C.
Stipe Vidak PRIČA O TETIVNOM ČETVEROKUTU
ŠTO JE TETIVNI ČETVEROKUT?TEOREMI
ODABRANI ZADACI
Teorem (Tales)
Svaki obodni kut nad promjerom kružnice je pravi.
Stipe Vidak PRIČA O TETIVNOM ČETVEROKUTU
ŠTO JE TETIVNI ČETVEROKUT?TEOREMI
ODABRANI ZADACI
Teorem (o obodnom i središnjem kutu)
Središnji kut kružnice dvostruko je veći od pripadnog obodnog kuta(α= 2β).
Stipe Vidak PRIČA O TETIVNOM ČETVEROKUTU
ŠTO JE TETIVNI ČETVEROKUT?TEOREMI
ODABRANI ZADACI
TeoremSvi obodni kutovi nad istom tetivom kružnice imaju istu mjeru.
Stipe Vidak PRIČA O TETIVNOM ČETVEROKUTU
ŠTO JE TETIVNI ČETVEROKUT?TEOREMI
ODABRANI ZADACI
Teorem (potencija točke na kružnicu)
Pravci p, q i t prolaze točkom T koja se nalazi izvan kružnice k.Ako je p∩k = {A,B}, q∩k = {C ,D} i t∩k = {E }, onda vrijedi|TA| · |TB | = |TC | · |TD| = |TE |2.
Stipe Vidak PRIČA O TETIVNOM ČETVEROKUTU
ŠTO JE TETIVNI ČETVEROKUT?TEOREMI
ODABRANI ZADACI
Sadržaj
1 ŠTO JE TETIVNI ČETVEROKUT?
2 TEOREMI
3 ODABRANI ZADACI
Stipe Vidak PRIČA O TETIVNOM ČETVEROKUTU
ŠTO JE TETIVNI ČETVEROKUT?TEOREMI
ODABRANI ZADACI
Zadatak (županijsko 1996, 1. razred)
U ravnini su dane dvije kružnice k1 i k2 na koje su povučene dvijeunutarnje zajedničke tangente u, u′ i dvije vanjske v, v ′. Dokaži dasjecišta tangenata u∩v, u∩v ′, u′∩v, u′∩v ′ leže na jednoj kružnici.
Stipe Vidak PRIČA O TETIVNOM ČETVEROKUTU
ŠTO JE TETIVNI ČETVEROKUT?TEOREMI
ODABRANI ZADACI
Stipe Vidak PRIČA O TETIVNOM ČETVEROKUTU
ŠTO JE TETIVNI ČETVEROKUT?TEOREMI
ODABRANI ZADACI
Stipe Vidak PRIČA O TETIVNOM ČETVEROKUTU
ŠTO JE TETIVNI ČETVEROKUT?TEOREMI
ODABRANI ZADACI
Zadatak (državno 2014, 1. razred)
Dužina AB je promjer kružnice sa središtem O. Na kružnici je danatočka C takva da je OC okomito na AB. Na kraćem luku ÙBCodabrana je točka P. Pravci CP i AB sijeku se u točki Q, a točkaR je sjecište pravca AP i okomice kroz Q na pravac AB.Dokaži da je |BQ| = |QR |.
Stipe Vidak PRIČA O TETIVNOM ČETVEROKUTU
ŠTO JE TETIVNI ČETVEROKUT?TEOREMI
ODABRANI ZADACI
BA
C
O
P
Q
R
Stipe Vidak PRIČA O TETIVNOM ČETVEROKUTU
ŠTO JE TETIVNI ČETVEROKUT?TEOREMI
ODABRANI ZADACI
Zadatak (državno 2010, 2. razred)
Upisana kružnica dodiruje stranice AB i AC trokuta ABC utočkama M i N. Neka je P sjecište pravca MN i simetrale kuta^ABC. Dokaži da je BP ⊥CP.
Stipe Vidak PRIČA O TETIVNOM ČETVEROKUTU
ŠTO JE TETIVNI ČETVEROKUT?TEOREMI
ODABRANI ZADACI
A B
C
I
M
N
K
P
Stipe Vidak PRIČA O TETIVNOM ČETVEROKUTU
ŠTO JE TETIVNI ČETVEROKUT?TEOREMI
ODABRANI ZADACI
Zadatak (državno 2014, 2. razred)
Neka su p i q dva paralelna pravca. Kružnica k dodiruje pravac p utočki A i siječe pravac q u različitim točkama B i C. Neka je Ttočka na pravcu p i neka dužine TB i TC sijeku kraći luk �ACredom u točkama K i L, različitima od B i C .Dokaži da pravac KL prolazi polovištem dužine AT .
Stipe Vidak PRIČA O TETIVNOM ČETVEROKUTU
ŠTO JE TETIVNI ČETVEROKUT?TEOREMI
ODABRANI ZADACI
p
q
k
A
B C
T
K
L
P
Stipe Vidak PRIČA O TETIVNOM ČETVEROKUTU
ŠTO JE TETIVNI ČETVEROKUT?TEOREMI
ODABRANI ZADACI
Zadatak (državno 2015, 1. razred)
Kružnice k1 i k2 sijeku se u točkama A i B. Pravac l siječe kružnicuk1 u točkama C i E , a kružnicu k2 u točkama D i F tako da setočka D nalazi između C i E , a točka E između D i F . Pravci CA iBF sijeku se u točki G , a pravci DA i BE u točki H.Dokaži da je CF ∥HG.
Stipe Vidak PRIČA O TETIVNOM ČETVEROKUTU
ŠTO JE TETIVNI ČETVEROKUT?TEOREMI
ODABRANI ZADACI
G
k1k2
l
A
B
C
DE
F
H
Stipe Vidak PRIČA O TETIVNOM ČETVEROKUTU
ŠTO JE TETIVNI ČETVEROKUT?TEOREMI
ODABRANI ZADACI
HVALA VAM NA PAŽNJI!
Stipe Vidak PRIČA O TETIVNOM ČETVEROKUTU