Warunki brzegowe w rozwiązywaniu problemów transportu ciepła imasy oraz problemów odkształceń

Łukasz Łach

Wydział Inżynierii Metali i Informatyki Przemysłowej

Kraków, 05 styczeń 2011 r.

Wykaz ważniejszych oznaczeń

T - temperatura,K - macierz funkcji rozkładu współczynnika przewodzenia ciepła,Q - prędkość generowania ciepła, jakie powstaje w wyniku

plastycznego odkształcania się metalu lub w wyniku przemian fazowych zachodzących w materiale,

ρ - gęstość metalu w temperaturze T,cp - ciepło właściwe w tejże temperaturze,α - współczynnik wymiany ciepła, Tα - temperatura otoczeniav - wektor prędkości.

Transport ciepła i masy

Większość zjawisk zachodzących w procesach przetwórstwa materiałów jest aktywowanych cieplnie, a zatem numeryczna symulacja tych procesów musi uwzględniać pole temperatury. Transport masy (dyfuzja) również odgrywa dominującą rolę w zmianach jakie zachodzą w strukturze odkształcanego i/lub poddawanego obróbce cieplnej materiału. Transport ciepła i masy opisany jest jednakowym równaniem różniczkowym cząstkowym, a różne są tylko współczynniki tego równania zależne od własności materiału.

Równanie Fouriera

Określanie pola temperatur możliwe jest poprzez rozwiązanie uogólnionego równania dyfuzji – równania Fouriera. Wielkością podlegającą dyfuzji jest w tym przypadku ciepło. W ogólnej postaci równanie to zapisane jest następująco:

gdzie: T - temperatura,K - macierz funkcji rozkładu współczynnika przewodzenia ciepła,Q - prędkość generowania ciepła, jakie powstaje w wyniku plastycznego odkształcania się metalu lub w wyniku przemian fazowych zachodzących w materiale,ρ - gęstość metalu w temperaturze T,cp - ciepło właściwe w tejże temperaturze,v – wektor prędkości.

Warunki brzegowe

Równanie przewodzenia ciepła musi spełniać odpowiednie warunki brzegowe. Brzeg odkształcanego materiału zmienia swoją temperaturę w wyniku:

konwekcji (unoszenia ciepła),promieniowania,przewodzenia.

Warunek ten jest przyjmowany, jeśli cały brzeg lub jego część posiada znaną temperaturę określoną poprzez znaną, zależną od czasu funkcję f(t):

Warunek brzegowy pierwszego rodzaju (warunek Dirichleta)

Rys.1. Przykład warunku brzegowego I rodzaju.

Warunek brzegowy drugiego rodzaju (warunek Neumanna)

Warunek jest przyjmowany, gdy znana jest funkcja określająca natężenie strumienia cieplnego na brzegu obszaru:

Rys.2. Przykład warunku brzegowego II rodzaju.

Warunek jest przyjmowany, gdy następuje swobodny, niczym nie skrępowany przepływ ciepła przez powierzchnię brzegową ciała. Opiera się on na bilansie natężenia strumieni cieplnych przepływających przez powierzchnię brzegową:

Warunek graniczny trzeciego rodzaju (warunek Fouriera)

gdzie: α - współczynnik wymiany ciepła, Tα - temperatura otoczenia

Rys.3. Przykład warunku brzegowego III rodzaju.

Stosowalność warunków brzegowych

W procesach przetwórstwa materiałów praktycznie nie występuje warunek brzegowy Dirichleta. Dlatego do celów śledzenia zmian temperatury wyrobów w trakcie tych procesów w wielu następujących po sobie operacjach bardzo często należy zastosować połączony warunek brzegowy drugiego i trzeciego rodzaju zadany na całym brzegu obszaru, w postaci:

W powyższym równaniu funkcja q może reprezentować strumień ciepła przekazywany do materiału w wyniku pracy sił tarcia na powierzchni styku z narzędziem:

gdzie: τ - naprężenie tarcia, Δv – prędkość poślizgu między odkształcanym materiałem i narzędziem.

Wprowadzanie warunków brzegowych w MES

Wprowadzenie warunków brzegowych następuje poprzez wykonanie odpowiednich modyfikacji macierzy współczynników układu równań oraz wektora prawych stron.

Macierz współczynników elementu

⇗

Globalna macierz współczynników

∥

⇗

⇗

Wprowadzanie warunków brzegowych w MES - przykład

⇗Wprowadzenie warunków Neumanna

Wprowadzenie warunków Dirichleta⇗

⇗

Warunki brzegowe – automaty komórkowe

(a) (b)

Rys.4. Początkowa struktura z różnymi warunkami brzegowymi: a) periodyczne, b) otwarte.

Cięcie i składanie modelu

Rys.5. Operacje cięcia oraz składania w widoku 3D.

Literatura

1. Zienkiewicz O.C., Taylor R.L, Finite Element Method, T. 1-3, Elsevier, 2000

2. Pietrzyk M., Metody numeryczne w przeróbce plastycznej metali, skrypt AGH 1303, Kraków, 1992

3. F. P. Incropera, D. P. DeWitt, Fundamentals of heat and mass transfer, New York: John Wiley&Sons, 2001.

Dziękuję za uwagę