WYKŁAD 3 : ANALIZA ODKSZTAŁCEŃ

WYKŁAD 3 : ANALIZA ODKSZTAŁCEŃ

Biomechanika przepływów

Czym jest odkształcenie ?

Jedną z metod podejścia jest traktowanie odkształcenia jako „odwzorowanie” pierwotnegostanu ciała na stan ciała odkształconego.

W Mechanice Ośrodków Ciągłych (MOC) konfiguracja ciała stałego opisana jest przez ciągłymodel matematyczny, którego punkty geometryczne identyfikuje się z położeniami cząstekmaterialnych danego ciała. Gdy takie ciało zmienia swą konfigurację wskutek pewnychoddziaływań fizycznych, zakładamy, że zmiana ta jest ciągła; znaczy to iż punkty będącesąsiadami przed odkształceniem pozostają sąsiadami i po odkształceniu.

Pęknięcia które prowadzą do powstawania nowych powierzchni granicznych muszą byćtraktowane oddzielnie i wymagają oddzielnego opisu !!!!


(a1,a2,a3)

Niech układ współrzędnych a1, a2, a3 będzie tak wybrany, że punkt P w danej chwili czasu jest określony za pomocą współrzędnych ai . W następnym momencie ciało odkształca się.

Czyli przechodzi do nowejkonfiguracji. Punkt P przechodzi do punktu Q zewspółrzędnymi xi. względemnowego układu współrzędnych(x1,x2,x3)

(w ogólności mogą być to układy krzywoliniowe)

Założymy że , zmiana konfiguracji ciała jest ciągła oraz odwzorowanie punktu P na Qjest zależnością jednoznaczną.

Prawo transformacji: 321 ,, aaaxx ii 321 ,, xxxaa ii

(3.1)


Jeśli P, P`, i P`` są punktami sąsiednimi tworzącymi trójkąt w konfiguracji pierwotnej i jeśliw wyniku odkształcenia przechodzą one w punkty Q, Q`, Q``, to zmiana powierzchni i kątówomawianego trójkąta jest całkowicie określona jeśli znamy zmiany długości boków trójkąta.

Odkształcenia ciała mają fizyczny związek z naprężeniami. Opis zmian odległości między dwoma dowolnymi punktami ciała jest kluczem do analizy odkształceń !!!!

Rozważmy nieskończenie mały element liniowy łączący punkt P(a1,a2,a3) z punktemP`(a1 + da1, a2 + da2, a3 + da3 ). Kwadrat długości ds0 odcinaka PP` w konfiguracji pierwotnejjest dany przez zależność Pitagorasa ( przestrzeń jest Euklidesowa)

23

22

21

20 dadadads lub w notacji tensorowej jiij dadaads 20

gdzie aij obliczone dla punktu P jest euklidesowym tensoremmetrycznym dla układu współrzędnych ai

jiji

a ijij 01


Przypomnienie : ANALIZA TENSOROWA

Oznaczenia i umowa sumacyjna

W rachunku tensorowym szeroko stosuje się oznaczenia wskaźnikowe. Zbiór n zmiennych x1, x2,…,xn oznacza się zwykle xi, i=1,…,n.

Równanie płaszczyzny w przestrzeni 3-wymiarowej x1,x2,x3 ma postać (ai, i p to stałe):

pxaxaxa 33

22

11

Można to zapisać krócej: pxai

ii

3

1

Jeszcze krótszy jest zapis przy użyciu tzw. konwencji sumacyjnej

pxa ii


Konwencja ta brzmi : Powtórzenie jakiegokolwiek wskaźnika ( niezależnie czy jest to wskaźnikdolny czy górny) w pewnym wyrażeniu oznacza sumowanie względem tego wskaźnika wcałym jego zakresie. Wskaźnik względem którego odbywa się sumowanie nosi nazwę wskaźnika niemego. Wskaźnik względem którego nie ma sumowania, nosi nazwę wskaźnikawolnego.

Koniec Przypomnienia : ANALIZA TENSOROWA

Gdy punkty P i P` po odkształceniu przechodzą w punkty Q(x1,x2,x3) i Q`(x1 + dx1, x2 + dx2, x3 + dx3) kwadrat długości ds n owego elementu QQ` wynosi:

23

22

21

2 dxdxdxds albo jiij dxdxgds 2

korzystając z równań (3.1) odpowiednie przyrosty możemy wyznaczyć z:

jj

ii da

axdx

321 ,, aaaxx ii 321 ,, xxxaa ii

j

j

ii dx

xada

gdzie gij obliczone dla punktu Q jest euklidesowym tensoremmetrycznym dla układu współrzędnych xi


Czyli kwadraty długości odpowiednio wyniosą:

mim

j

i

iijjiij dxdx

xa

xaadadaads

20

mim

j

i

iijjiij dada

ax

axgdxdxds

2

Różnica między kwadratami długości elementów może być zapisana, po kilku zmianachwskaźników niemych jako:

jiijji

dadaaax

axgdsds

20

2

albo:

jiji

ij dxdxxa

xaagdsds

20

2


Określmy teraz tensor odkształcenia:

ij

jiij a

xaxE

21

jiijij x

axae

tak, że jiij dadaEdsds 22

02

jiij dxdxedsds 220

2

(3.2)

(3.3)


Tensor odkształcenia (strain tensor) Eij został wprowadzony przez Greena i Sain-Venanta i nosi nazwę tensora odkształcenia Greena.

Tensor odkształcenia (strain tensor) eij został wprowadzony przez Cauchyègo dla nieskończenie małych odkształceń oraz przez Almansiego i Hamela dla odkształceń skończonych i znany jest jako tensor odkształceń Almansiego.

Przez analogię do terminologii stosowanej w hydrodynamice Eij jest często nazywany tensorem odkształcenia we współrzędnych Lagrangea, podczas gdy eij nazywany jesttensorem odkształcenia we współrzędnych Eulera.

Tensory Eij i eij są tensorami symetrycznymi to jest:

jiij EE

jiij ee


Z równań (3.2) i (3.3) wynika fundamentalne stwierdzenia że, koniecznym i dostatecznym warunkiem na to by odkształcenie ciała było ruchem sztywnym ( to znaczy by składało sięz translacji i obrotu bez zmian odległości między poszczególnymi cząstkami) jest, by wszystkie składowe tensora odkształcenia Eij lub eij były równe zeru w całym obszarze ciała

W powyższym opisie wykorzystywaliśmy dwa układy współrzędnych ai i xi

Istnieją dwa szczególnie korzystne sposoby wyboru współrzędnych:

I. Używamy jednego i tego samego układu prostokątnych współrzędnych kartezjańskich zarówno dla pierwotnej konfiguracji jak też dla konfiguracji ciała odkształconego.

w tym przypadku tensor metryczny jest nadzwyczaj prosty:

ijijij ag


II. Zniekształcamy układ odniesienia w konfiguracji ciała odkształconego w taki sposób abywspółrzędne x1, x2, x3 danej cząsteczki miały te same wartości liczbowe jak w konfiguracjipierwotnej tj. a1, a2, a3.

W tym przypadku: ii ax i

iax

iixa

i równania (3.2) i (3.3) redukują się do postaci:

ijijijij ageE 21

Wszystkie informacje o odkształceniu są zawarte w zmianie tensora metrycznego przy przejściuod układu odniesienia dla konfiguracji pierwotnej do zniekształconego układu odniesieniadla konfiguracji końcowej. Tak wybrane współrzędne noszą nazwę współrzędnych unoszenialub współrzędnych wewnętrznych.


Znaczenie poszczególnych składowych tensora odkształcenia. ( wybór I)

Tensor odkształcenia w prostokątnych współrzędnych kartezjańskich

Jeśli korzystamy z tego samego kartezjańskiego prostoliniowego i ortogonalnego układuwspółrzędnych do opisu zarówno konfiguracji pierwotnej jak też końcowej to:

jiji

ag ijijij 01

a1, x1

a2, x2

a3, x3

(a1, a2, a3) (x1, x2, x3)

Wprowadźmy wektor przemieszczeniau ze składowymi:

iii axu

wówczas:


iii au

ax

ii

i xu

xa

oraz tensory odkształcenia redukują się do prostej postaci:

ijj

ji

iij

jiij a

uau

ax

axE

2

121

jij

i

i

j

au

au

au

au

21

i

ji

iij

jiijij x

uxu

xa

xae

21

21

jij

i

i

j

xu

xu

xu

xu

21


Podstawmy oznaczenia nieskrócone ( x, y, z zamiast x1, x2, x3 oraz u, v, w zamiast u1, u2, u3)

222

21

xw

xv

xu

xuexx

yw

xw

yv

xv

yu

xu

xv

yuexy 2

1

Jeśli składowe przemieszczenia ui są takie, iż ich pierwsze pochodne są na tyle małe, że kwadraty i iloczyny pochodnych cząstkowych ui można zaniedbać wówczas eij redukuje siędo tensora nieskończenie małego odkształcenia Cauchyègo

j

i

i

jij x

uxu

e21 W przypadku przemieszczeń nieskończenie małych znika

różnica między tensorami odkształcenia Lagrangeà i Eulera


Geometryczna interpretacja składowych nieskończenie małego odkształcenia

Niech x, y, z będą współrzędnymi prostokątnego układu współrzędnych. Rozważmy element dx

Zmiana kwadratu długości tego elementu wskutek odkształcenia wynosi rów. (3.2):

220

2 2 dxedsds xx 0

2

02

dsdsdxedsds xx

W tym szczególnym ds = dx a ds0 różni się od ds tylko o nieskończenie małą wielkość drugiego rzędu. Stąd:

xxedsdsds 0 i przedstawia to wydłużenie względne


Rozważmy nieskończenie mały element o bokach dx i dy.

suma xv

yu

przedstawia zmianę konta xOy będącego pierwotnie katem prostym

xv

yuexy 2

1

W praktyce inżynierskiej podwójneskładowe odkształcenia eij nosząnazwę odkształceń postaciowych


Przypadek 3 nosi nazwę odkształcenia czysto postaciowego

Wielkość

yu

xv

z 21

nosi nazwę elementarnego obrotu elementu dxdy. Nazwa tak ajest sugerowana przezprzypadek 4 bo jeśli:

yu

xv

to 0xyei ωz jest istotnie katem obrotu elementu prostokątnegojako ciała sztywnego.


i

j

j

iij x

vxvV

21

Jeśli tensor odkształcenia znika w punkcie P, można dowieść, że dla pola nieskończeniemałych odkształceń nieskończenie mały obrót otoczenia punktu P jako ciała sztywnegoprzedstawia wektor ωi

Weźmy punkt P` z otoczenia punktu P. Niech współrzędne punku P i P` będą odpowiednioxi i xi + dxi. Przemieszczenie P` względem P wynosi:

jj

ii dx

xudu

j

i

j

j

ij

i

j

j

ij

j

ii dx

xu

xudx

xu

xudx

xudu

21

21

i

j

j

iij x

vxv

21 (vorticity tensor)

tensor obrotu


Documents

WYKŁAD 3 : ANALIZA ODKSZTAŁCEŃ