Click here to load reader

WYKŁAD 3 : ANALIZA ODKSZTAŁCEŃ

  • View
    59

  • Download
    0

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Biomechanika przepływów. WYKŁAD 3 : ANALIZA ODKSZTAŁCEŃ. WYKŁAD 3 : ANALIZA ODKSZTAŁCEŃ. Czym jest odkształcenie ?. Jedną z metod podejścia jest traktowanie odkształcenia jako „odwzorowanie” pierwotnego stanu ciała na stan ciała odkształconego. . - PowerPoint PPT Presentation

Text of WYKŁAD 3 : ANALIZA ODKSZTAŁCEŃ

Slajd 1

WYKAD 3 : ANALIZA ODKSZTACEBiomechanika przepyww

Czym jest odksztacenie ?Jedn z metod podejcia jest traktowanie odksztacenia jako odwzorowanie pierwotnegostanu ciaa na stan ciaa odksztaconego. W Mechanice Orodkw Cigych (MOC) konfiguracja ciaa staego opisana jest przez cigymodel matematyczny, ktrego punkty geometryczne identyfikuje si z pooeniami czstekmaterialnych danego ciaa. Gdy takie ciao zmienia sw konfiguracj wskutek pewnychoddziaywa fizycznych, zakadamy, e zmiana ta jest ciga; znaczy to i punkty bdcessiadami przed odksztaceniem pozostaj ssiadami i po odksztaceniu.

Pknicia ktre prowadz do powstawania nowych powierzchni granicznych musz bytraktowane oddzielnie i wymagaj oddzielnego opisu !!!!

WYKAD 3 : ANALIZA ODKSZTACE

(a1,a2,a3)Niech ukad wsprzdnych a1, a2, a3 bdzie tak wybrany, e punkt P w danej chwili czasu jest okrelony za pomoc wsprzdnych ai . W nastpnym momencie ciao odksztaca si.Czyli przechodzi do nowejkonfiguracji. Punkt P przechodzi do punktu Q zewsprzdnymi xi. wzgldemnowego ukadu wsprzdnych(x1,x2,x3)(w oglnoci mog by to ukady krzywoliniowe)Zaoymy e , zmiana konfiguracji ciaa jest ciga oraz odwzorowanie punktu P na Qjest zalenoci jednoznaczn.Prawo transformacji:

(3.1)

WYKAD 3 : ANALIZA ODKSZTACEJeli P, P`, i P`` s punktami ssiednimi tworzcymi trjkt w konfiguracji pierwotnej i jeliw wyniku odksztacenia przechodz one w punkty Q, Q`, Q``, to zmiana powierzchni i ktwomawianego trjkta jest cakowicie okrelona jeli znamy zmiany dugoci bokw trjkta.Odksztacenia ciaa maj fizyczny zwizek z napreniami. Opis zmian odlegoci midzy dwoma dowolnymi punktami ciaa jest kluczem do analizy odksztace !!!!Rozwamy nieskoczenie may element liniowy czcy punkt P(a1,a2,a3) z punktemP`(a1 + da1, a2 + da2, a3 + da3 ). Kwadrat dugoci ds0 odcinaka PP` w konfiguracji pierwotnejjest dany przez zaleno Pitagorasa ( przestrze jest Euklidesowa)

lub w notacji tensorowej

gdzie aij obliczone dla punktu P jest euklidesowym tensoremmetrycznym dla ukadu wsprzdnych ai

WYKAD 3 : ANALIZA ODKSZTACEPrzypomnienie : ANALIZA TENSOROWAOznaczenia i umowa sumacyjnaW rachunku tensorowym szeroko stosuje si oznaczenia wskanikowe. Zbir n zmiennych x1, x2,,xn oznacza si zwykle xi, i=1,,n. Rwnanie paszczyzny w przestrzeni 3-wymiarowej x1,x2,x3 ma posta (ai, i p to stae):

Mona to zapisa krcej:

Jeszcze krtszy jest zapis przy uyciu tzw. konwencji sumacyjnej

WYKAD 3 : ANALIZA ODKSZTACEKonwencja ta brzmi : Powtrzenie jakiegokolwiek wskanika ( niezalenie czy jest to wskanikdolny czy grny) w pewnym wyraeniu oznacza sumowanie wzgldem tego wskanika wcaym jego zakresie. Wskanik wzgldem ktrego odbywa si sumowanie nosi nazw wskanika niemego. Wskanik wzgldem ktrego nie ma sumowania, nosi nazw wskanikawolnego. Koniec Przypomnienia : ANALIZA TENSOROWAGdy punkty P i P` po odksztaceniu przechodz w punkty Q(x1,x2,x3) i Q`(x1 + dx1, x2 + dx2, x3 + dx3) kwadrat dugoci ds n owego elementu QQ` wynosi:

albo

korzystajc z rwna (3.1) odpowiednie przyrosty moemy wyznaczy z:

gdzie gij obliczone dla punktu Q jest euklidesowym tensoremmetrycznym dla ukadu wsprzdnych xi

WYKAD 3 : ANALIZA ODKSZTACECzyli kwadraty dugoci odpowiednio wynios:

Rnica midzy kwadratami dugoci elementw moe by zapisana, po kilku zmianachwskanikw niemych jako:

albo:

WYKAD 3 : ANALIZA ODKSZTACEOkrelmy teraz tensor odksztacenia:

tak, e

(3.2)(3.3)

WYKAD 3 : ANALIZA ODKSZTACETensor odksztacenia (strain tensor) Eij zosta wprowadzony przez Greena i Sain-Venanta i nosi nazw tensora odksztacenia Greena.Tensor odksztacenia (strain tensor) eij zosta wprowadzony przez Cauchy`ego dla nieskoczenie maych odksztace oraz przez Almansiego i Hamela dla odksztace skoczonych i znany jest jako tensor odksztace Almansiego.Przez analogi do terminologii stosowanej w hydrodynamice Eij jest czsto nazywany tensorem odksztacenia we wsprzdnych Lagrangea, podczas gdy eij nazywany jesttensorem odksztacenia we wsprzdnych Eulera.Tensory Eij i eij s tensorami symetrycznymi to jest:

WYKAD 3 : ANALIZA ODKSZTACEZ rwna (3.2) i (3.3) wynika fundamentalne stwierdzenia e, koniecznym i dostatecznym warunkiem na to by odksztacenie ciaa byo ruchem sztywnym ( to znaczy by skadao siz translacji i obrotu bez zmian odlegoci midzy poszczeglnymi czstkami) jest, by wszystkie skadowe tensora odksztacenia Eij lub eij byy rwne zeru w caym obszarze ciaaW powyszym opisie wykorzystywalimy dwa ukady wsprzdnych ai i xiIstniej dwa szczeglnie korzystne sposoby wyboru wsprzdnych:Uywamy jednego i tego samego ukadu prostoktnych wsprzdnych kartezjaskich zarwno dla pierwotnej konfiguracji jak te dla konfiguracji ciaa odksztaconego.w tym przypadku tensor metryczny jest nadzwyczaj prosty:

WYKAD 3 : ANALIZA ODKSZTACEII. Znieksztacamy ukad odniesienia w konfiguracji ciaa odksztaconego w taki sposb abywsprzdne x1, x2, x3 danej czsteczki miay te same wartoci liczbowe jak w konfiguracjipierwotnej tj. a1, a2, a3.W tym przypadku:

i rwnania (3.2) i (3.3) redukuj si do postaci:

Wszystkie informacje o odksztaceniu s zawarte w zmianie tensora metrycznego przy przejciuod ukadu odniesienia dla konfiguracji pierwotnej do znieksztaconego ukadu odniesieniadla konfiguracji kocowej. Tak wybrane wsprzdne nosz nazw wsprzdnych unoszenialub wsprzdnych wewntrznych.

WYKAD 3 : ANALIZA ODKSZTACEZnaczenie poszczeglnych skadowych tensora odksztacenia. ( wybr I) Tensor odksztacenia w prostoktnych wsprzdnych kartezjaskichJeli korzystamy z tego samego kartezjaskiego prostoliniowego i ortogonalnego ukaduwsprzdnych do opisu zarwno konfiguracji pierwotnej jak te kocowej to:

a1, x1a2, x2a3, x3(a1, a2, a3)(x1, x2, x3)Wprowadmy wektor przemieszczeniau ze skadowymi:

wwczas:

WYKAD 3 : ANALIZA ODKSZTACE

oraz tensory odksztacenia redukuj si do prostej postaci:

WYKAD 3 : ANALIZA ODKSZTACEPodstawmy oznaczenia nieskrcone ( x, y, z zamiast x1, x2, x3 oraz u, v, w zamiast u1, u2, u3)

Jeli skadowe przemieszczenia ui s takie, i ich pierwsze pochodne s na tyle mae, e kwadraty i iloczyny pochodnych czstkowych ui mona zaniedba wwczas eij redukuje sido tensora nieskoczenie maego odksztacenia Cauchy`ego

W przypadku przemieszcze nieskoczenie maych znika rnica midzy tensorami odksztacenia Lagrange`a i Eulera

WYKAD 3 : ANALIZA ODKSZTACEGeometryczna interpretacja skadowych nieskoczenie maego odksztacenia

Niech x, y, z bd wsprzdnymi prostoktnego ukadu wsprzdnych. Rozwamy element dxZmiana kwadratu dugoci tego elementu wskutek odksztacenia wynosi rw. (3.2):

W tym szczeglnym ds = dx a ds0 rni si od ds tylko o nieskoczenie ma wielko drugiego rzdu. Std:

i przedstawia to wyduenie wzgldne

WYKAD 3 : ANALIZA ODKSZTACE

Rozwamy nieskoczenie may element o bokach dx i dy. suma

przedstawia zmian konta xOy bdcego pierwotnie katem prostym

W praktyce inynierskiej podwjneskadowe odksztacenia eij nosznazw odksztace postaciowych

WYKAD 3 : ANALIZA ODKSZTACEPrzypadek 3 nosi nazw odksztacenia czysto postaciowegoWielko

nosi nazw elementarnego obrotu elementu dxdy. Nazwa tak ajest sugerowana przezprzypadek 4 bo jeli:

to

i z jest istotnie katem obrotu elementu prostoktnegojako ciaa sztywnego.

WYKAD 3 : ANALIZA ODKSZTACE

Jeli tensor odksztacenia znika w punkcie P, mona dowie, e dla pola nieskoczeniemaych odksztace nieskoczenie may obrt otoczenia punktu P jako ciaa sztywnegoprzedstawia wektor iWemy punkt P` z otoczenia punktu P. Niech wsprzdne punku P i P` bd odpowiednioxi i xi + dxi. Przemieszczenie P` wzgldem P wynosi:

(vorticity tensor)tensor obrotu

WYKAD 3 : ANALIZA ODKSZTACE