Vježba

Linearne kombinacije – određivanje ukupnog rezultata u psihološkim

mjerenjima

Sveučilište u Zagrebu Filozofski fakultet

Odsjek za psihologiju

Vježbe iz psihometrije

1) LINEARNE KOMBINACIJE1) LINEARNE KOMBINACIJE

1) 1) Linearne kombinacija predstavljaju najčešći Linearne kombinacija predstavljaju najčešći oblik formiranja ukupnog bruto rezultata u oblik formiranja ukupnog bruto rezultata u kompozitnim psihološkim mjerenjima. Tako kompozitnim psihološkim mjerenjima. Tako npr. ukupan rezultat u testu predstavlja neku npr. ukupan rezultat u testu predstavlja neku linearnu kombinaciju uratka u pojedinim linearnu kombinaciju uratka u pojedinim zadacima.zadacima.

Dijelovi kompozita mogu biti zadaci, Dijelovi kompozita mogu biti zadaci, subtestovi, i sl.subtestovi, i sl.

Komponente linearne kombinacije mogu biti Komponente linearne kombinacije mogu biti različite varijable: binarne , različite varijable: binarne , politomne,kontinuirane, standardizirane i dr.politomne,kontinuirane, standardizirane i dr.

Elementi matrice X definirani su x = (xij), i=1,...,N ; j=1,...,k . zadaci z1 z2 z3 z4 z5 ... zk Ui ______________________________________________________ 1 x11 x12 x13 x14 x15 ... x1k U1 2 x21 x22 x23 x24 x25 ... x2K U2 i 3 x31 x32 x33 x34 x35 ... x3K U3 s 4 x41 x42 x43 x44 x45 ... x4K U4 p 5 x51 x52 x53 x54 x55 ... x5K U5 i 6 x61 x62 x63 x64 x65 ... x6K U6 t 7 x71 x72 x73 x74 x75 ... x7K U7 ... ... … … … … … … N xN1 xN2 xN3 xN4 xN5 ... xNk UN _________________________________________________________ M M1 M2 M3 M4 M5 ... Mk Mu V V1 V2 V3 V4 V5 ... Vk Vu

1.1. ADITIVNE I SUPTRAKTIVNE LINEARNE 1.1. ADITIVNE I SUPTRAKTIVNE LINEARNE KOMBINACIJEKOMBINACIJE

S obzirom na aritmetičku operaciju kojom se izražava S obzirom na aritmetičku operaciju kojom se izražava ukupni rezultat razlikujemo aditivnu i suptraktivnu ukupni rezultat razlikujemo aditivnu i suptraktivnu linearnu kombinaciju. linearnu kombinaciju.

Kod aditivne linearne kombinacije ukupni rezultat se Kod aditivne linearne kombinacije ukupni rezultat se izražava kao zbroj (suma) rezultata u pojedinim izražava kao zbroj (suma) rezultata u pojedinim mjerenjima (zadacima). Opća formalna deskripcija mjerenjima (zadacima). Opća formalna deskripcija jednostavne linearne kombinacije izgleda ovako:jednostavne linearne kombinacije izgleda ovako:

  

UUii = X = Xi1i1 + X + X

i2i2 + X + Xi3i3 + ... + X + ... + X

ikik i = 1,...,Ni = 1,...,N

Kod suptraktivne linearne kombinacije ukupni Kod suptraktivne linearne kombinacije ukupni rezultat se izražava kao razlika (diferencija) rezultata rezultat se izražava kao razlika (diferencija) rezultata u, najčešće, dva pojedina mjerenja (zadatka).u, najčešće, dva pojedina mjerenja (zadatka).

(lat. subtrahere = ukloniti)(lat. subtrahere = ukloniti)

  

UiUisupsup = X = X

i1i1 – X – Xi2i2

1.2. JEDNOSTAVNE I DIFERENCIJALNO 1.2. JEDNOSTAVNE I DIFERENCIJALNO PONDERIRANE LINEARNE KOMBINACIJEPONDERIRANE LINEARNE KOMBINACIJE

Kod jednostavnih linearnih kombinacija radi se o Kod jednostavnih linearnih kombinacija radi se o jednostavnom zbrajanju ili oduzimanju originalnih jednostavnom zbrajanju ili oduzimanju originalnih bruto rezultata u pojedinim mjerenjima (zadacima)bruto rezultata u pojedinim mjerenjima (zadacima)

UUii = X = Xi1i1 + X + X

i2i2 + X + Xi3i3 + ... + X + ... + X

ikik i = 1,...,Ni = 1,...,N

UUiizz = = zzi1i1 + + zzi2i2 + + zzi3i3 + ... + + ... + zzikik i = 1,...,Ni = 1,...,N

Kod diferencijalno ponderiranih lineKod diferencijalno ponderiranih lineararnih kombinacija nih kombinacija svaki pojedini rezultat množi se s odgovarajućim svaki pojedini rezultat množi se s odgovarajućim ponderom (zadanom konstantom, koeficijentom ponderom (zadanom konstantom, koeficijentom važnosti). važnosti). NNa taj način se svakom pojedinom a taj način se svakom pojedinom rezultatu pridaje različit značaj, odnosno različita rezultatu pridaje različit značaj, odnosno različita važnost u datoj linearnoj kombinacijivažnost u datoj linearnoj kombinaciji..

DDiferencijalno ponderirana linearna kombinacija iferencijalno ponderirana linearna kombinacija predstavlja općenitiji model od J.L.K. i ima slpredstavlja općenitiji model od J.L.K. i ima sljjedeći edeći oblik:oblik:

UUiDPiDP = X = Xi1i1 w w11 + + XXi2i2 w w22 + X+ X

i3i3 w w33+ ... + X+ ... + Xikikwwkk i = 1,...,Ni = 1,...,N

UUiDPiDP = = zzi1i1 w w11 + + z zi2i2 w w22+ + zzi3i3 w w33+ ... + + ... + zzikikwwkk i = 1,...,Ni = 1,...,N

pri čemu se definira vektor w = (wpri čemu se definira vektor w = (wjj) , j = 1,...,k) , j = 1,...,k

2. ARITMETIČKA SREDINA LINEARNE KOMBINACIJE2. ARITMETIČKA SREDINA LINEARNE KOMBINACIJE

Neka je ukupni rezultat u testu definiran kao Neka je ukupni rezultat u testu definiran kao

UUii = X = Xi1i1 + X + X

i2i2 + X + Xi3i3 + ... + X + ... + X

ikik i = 1,...,Ni = 1,...,N

N

UM i

u

N

XXX k )...( 21

N

X

N

X

N

X k...21kMMM ...21

2.1. ARITMETIČKA SREDINA JEDNOSTAVNE LINEARNE KOMBINACIJE2.1. ARITMETIČKA SREDINA JEDNOSTAVNE LINEARNE KOMBINACIJE

kjM j ,...,1,

2.1. ARITMETIČKA SREDINA JEDNOSTAVNE LINEARNE KOMBINACIJE2.1. ARITMETIČKA SREDINA JEDNOSTAVNE LINEARNE KOMBINACIJE

Aritmetička sredina jednostavne linearne kombinacije Aritmetička sredina jednostavne linearne kombinacije jednaka je zbroju aritmjednaka je zbroju aritmeetičkih sredina njezintičkih sredina njeziniih komponentih komponenti ..

Ovo pravilo vrijedi za sve vrste linearnih kombinacija.Ovo pravilo vrijedi za sve vrste linearnih kombinacija.

kbinu pppM ...21)(

2.2. ARITMETIČKA SREDINA JEDNOSTAVNE LINEARNE 2.2. ARITMETIČKA SREDINA JEDNOSTAVNE LINEARNE

KOMBINACIJE BINARNIH VARIJABLIKOMBINACIJE BINARNIH VARIJABLI

Aritmetička sredina ukupnih rezultata u testu sastavljenom Aritmetička sredina ukupnih rezultata u testu sastavljenom od binarnih zadataka, jednaka je zbroju indeksa lakoće, od binarnih zadataka, jednaka je zbroju indeksa lakoće, odnosna zbroju proporcija ispitanika koji rješavaju pojedini odnosna zbroju proporcija ispitanika koji rješavaju pojedini zadatak.zadatak.

kjp j ,...,1,

00...00

2.3. ARITMETIČKA SREDINA JEDNOSTAVNE LINEARNE 2.3. ARITMETIČKA SREDINA JEDNOSTAVNE LINEARNE

KOMBINACIJE Z-VRIJEDNOSTIKOMBINACIJE Z-VRIJEDNOSTI

AAritmetička sredina linearne kombinacije sačinjene od ritmetička sredina linearne kombinacije sačinjene od varijabli izraženih u z-vrijednostima jednaka je nuli:varijabli izraženih u z-vrijednostima jednaka je nuli:

zkzzUz MMMM ...21

Neka je ukupni rezultat u testu definiran kao Neka je ukupni rezultat u testu definiran kao

UUii = X = Xi1i1 -- X Xi2i2 i = 1,...,Ni = 1,...,N

N

UM i

u N

XX )( 21

N

X

N

X 21

21 MM

2.4. ARITMETIČKA SREDINA SUPTRAKTIVNE JEDNOSTAVNE 2.4. ARITMETIČKA SREDINA SUPTRAKTIVNE JEDNOSTAVNE LINEARNE KOMBINACIJELINEARNE KOMBINACIJE

Dakle, aritmetička sreDakle, aritmetička sreddina suptraktivne linearne ina suptraktivne linearne kombinacije jednaka je razlici aritmetičkih sredina kombinacije jednaka je razlici aritmetičkih sredina članica linearne kombinacije.članica linearne kombinacije.

Neka je ukupni rezultat u testu definiran kao Neka je ukupni rezultat u testu definiran kao

UUiDPiDP = X = Xi1i1 w w11 + + XXi2i2 w w22 + ... + X+ ... + X

ikikwwkk i = 1,...,Ni = 1,...,N

N

UM DPi

DPu)(

)(

N

wXwXwX kk )...( 2211

N

Xw

N

Xw

N

Xw kk...2211

kkMwwMwM ...2211

2.5. ARITMETIČKA SREDINA DIFERENCIJALNO PONDERIRANE 2.5. ARITMETIČKA SREDINA DIFERENCIJALNO PONDERIRANE LINEARNE KOMBINACIJELINEARNE KOMBINACIJE

kjwMM jjDPU ,...,1,)(

2.5. ARITMETIČKA SREDINA DIFERENCIJALNO PONDERIRANE 2.5. ARITMETIČKA SREDINA DIFERENCIJALNO PONDERIRANE LINEARNE KOMBINACIJELINEARNE KOMBINACIJE

Aritmetička sredina Aritmetička sredina diferencijalno ponderirane diferencijalno ponderirane linearne linearne kombinacije jednaka je zbroju aritmetičkih sredina njezinih kombinacije jednaka je zbroju aritmetičkih sredina njezinih komponenti, pomnoženih s pripadajućim ponderima, tj. sumi komponenti, pomnoženih s pripadajućim ponderima, tj. sumi ponderiranih aritmetičkih sredina.ponderiranih aritmetičkih sredina.

3. VARIJANCA LINEARNE KOMBINACIJE3. VARIJANCA LINEARNE KOMBINACIJE

Neka je ukupni rezultat u testu definiran kao Neka je ukupni rezultat u testu definiran kao

UUii = X = Xi1i1 + X + X

i2i2 i = 1,...,Ni = 1,...,N

U tom slučaju, kako je ranije dokazano, vrijedi:U tom slučaju, kako je ranije dokazano, vrijedi:

MMuu = = MM11 + + MM22

N

MUV iuu

2)(

3.1. VARIJANCA JEDNOSTAVNE LINEARNE KOMBINACIJE3.1. VARIJANCA JEDNOSTAVNE LINEARNE KOMBINACIJE

3.1.VARIJANCA LINEARNE KOMBINACIJE3.1.VARIJANCA LINEARNE KOMBINACIJE

N

MUV iuu

2)(

N

MMXX i

22121 )()(

N

MMXX i

22121 )(

N

MXMX i

22211 )()(

N

dd i2

21 )(

N

dddd i)2( 2221

21

3. 1.VARIJANCA LINEARNE KOMBINACIJE3. 1.VARIJANCA LINEARNE KOMBINACIJE

N

dd

N

d

N

d iii )(2

)()( 2122

21

1221 2cVV

211221 2 rVV

3.1. VARIJANCA LINEARNE KOMBINACIJE3.1. VARIJANCA LINEARNE KOMBINACIJE

ijiu cVV 2

Varijanca jednostavne aditivne linearne kombinacije bilo Varijanca jednostavne aditivne linearne kombinacije bilo kojeg broja varijabli određena je izrazom:kojeg broja varijabli određena je izrazom:

jiijiu rVV 2

Pri čemuPri čemu

i = 1,...,k , j = 1,...,k , i < ji = 1,...,k , j = 1,...,k , i < j

3.1. VARIJANCA LINEARNE KOMBINACIJE3.1. VARIJANCA LINEARNE KOMBINACIJE

Prema tome varijanca linearne kombinacije jednaka je Prema tome varijanca linearne kombinacije jednaka je zbroju pojedinih varijanci članica, uvećanom za zbroju pojedinih varijanci članica, uvećanom za dvostruku sumu raznoimenih kovarijanci članica linearne dvostruku sumu raznoimenih kovarijanci članica linearne kombinacije.kombinacije.

raznoimenih kovarijanci u uzorku od k članica ima raznoimenih kovarijanci u uzorku od k članica ima

2

)1( kk

C – Matrica varijanci - kovarijanciC – Matrica varijanci - kovarijanci

33231

23221

13121

Vcc

cVc

ccV

V1 V2 V3 V1 V2 V3

V1V1

V2V2

V3 V3

Varijanca Varijanca predstavlja sumu svih elemenata matrice predstavlja sumu svih elemenata matrice varijanci-kovarijanci za neki skup članica linearne varijanci-kovarijanci za neki skup članica linearne kombinacije.kombinacije.

ijiu cVV 2 Pri čemuPri čemu

i = 1,...,k , j = 1,...,k , i < ji = 1,...,k , j = 1,...,k , i < j

R – korelacijska matricaR – korelacijska matrica

V1 V2 V3 V1 V2 V3

V1V1

V2V2

V3 V3

Varijanca se može izračunati iz korelacijske matrice Varijanca se može izračunati iz korelacijske matrice članica linearne kombinacije, te iz vektora koji sadrži članica linearne kombinacije, te iz vektora koji sadrži standardne devijacijestandardne devijacije

3

2

1

3231

2321

1312

1

1

1

rr

rr

rr

jiijiu rVV 2Pri čemuPri čemu

i = 1,...,k , j = 1,...,k , i < ji = 1,...,k , j = 1,...,k , i < j

3.2. VARIJANCA JEDNOSTAVNE LINEARNE KOMBINACIJE BINARNIH 3.2. VARIJANCA JEDNOSTAVNE LINEARNE KOMBINACIJE BINARNIH VARIJABLIVARIJABLI

jjiiijiiu qpqprqpV 2

Varijanca jednostavne aditivne linearne kombinacije Varijanca jednostavne aditivne linearne kombinacije

binarnih varijablibinarnih varijabli određena je izrazom: određena je izrazom:

Pri čemuPri čemu

i = 1,...,k , j = 1,...,k , i < ji = 1,...,k , j = 1,...,k , i < j

3.3. VARIJANCA JEDNOSTAVNE LINEARNE KOMBINACIJE Z-3.3. VARIJANCA JEDNOSTAVNE LINEARNE KOMBINACIJE Z-VRIJEDNOSTI VRIJEDNOSTI

iju rkV 2

Varijanca jednostavne aditivne linearne kombinacije Varijanca jednostavne aditivne linearne kombinacije

varijabli izraženih u z-vrijednostimavarijabli izraženih u z-vrijednostima::

Što odgovara sumi svih elemenata korelacijske matrice Što odgovara sumi svih elemenata korelacijske matrice zadane članicama linearne kombinacijezadane članicama linearne kombinacije

Pri čemuPri čemu

i = 1,...,k , j = 1,...,k , i < ji = 1,...,k , j = 1,...,k , i < j

Neka je ukupni rezultat u testu definiran kao Neka je ukupni rezultat u testu definiran kao

UUii = X = Xi1i1 -- X Xi2i2 i = 1,...,Ni = 1,...,N

U tom slučaju, kako je ranije dokazano, vrijedi:U tom slučaju, kako je ranije dokazano, vrijedi:

MMuu = = MM11 -- MM22

N

MUV iuu

2)(

3.4. VARIJANCA SUPTRAKTIVNE LINEARNE KOMBINACIJE3.4. VARIJANCA SUPTRAKTIVNE LINEARNE KOMBINACIJE

3.4. VARIJANCA SUPTRAKTIVNE LINEARNE KOMBINACIJE3.4. VARIJANCA SUPTRAKTIVNE LINEARNE KOMBINACIJE

N

MUV iuu

2)(

N

MMXX i

22121 )()(

N

MMXX i

22121 )(

N

MXMX i

22211 )()(

N

dd i2

21 )(

N

dddd i)2( 2221

21

3.4. VARIJANCA SUPTRAKTIVNE LINEARNE KOMBINACIJE3.4. VARIJANCA SUPTRAKTIVNE LINEARNE KOMBINACIJE

N

dd

N

d

N

d iii )(2

)()( 2122

21

1221 2cVV

211221 2 rVV

Dakle varijanca suptraktivne linearne kombinacije Dakle varijanca suptraktivne linearne kombinacije jednaka je zbroju varijanci članica umanjenom za jednaka je zbroju varijanci članica umanjenom za dvostruku sumu kovarijanci varijabli članicadvostruku sumu kovarijanci varijabli članica

3.5. VARIJANCA DIFERENCIJALNO PONDERIRANE LINEARNE 3.5. VARIJANCA DIFERENCIJALNO PONDERIRANE LINEARNE KOMBINACIJE KOMBINACIJE

jijiijiiu wwrwVV 22

Varijanca Varijanca diferencijalno ponderiranediferencijalno ponderirane linearne kombinacije linearne kombinacije

određena je izrazom:određena je izrazom:

Pri čemuPri čemu

i = 1,...,k , j = 1,...,k , i < ji = 1,...,k , j = 1,...,k , i < j

Primjer kombinirane aditivne i suptraktivne linearne kombinacijePrimjer kombinirane aditivne i suptraktivne linearne kombinacije

Neka je ukupni rezultat u testu definiran Neka je ukupni rezultat u testu definiran prema modeluprema modelu

UUii = X = Xi1i1 + X + X

i2i2 - - XXi2i2

U tom slučaju, varijanca linearne kombinacije jednaka je:U tom slučaju, varijanca linearne kombinacije jednaka je:

322331132112321 222 rrrVVVVu

Kraj treće vježbeKraj treće vježbe