PARCIJALNE DIFERENCIJALNE JEDNAŽBE DRUGOG REDA - LINEARNE (PDJ)

Za danu funkciju se parcijalne derivacije definiraju s ),( yxuu =

xyxuyxxuyx

xu

x ∆−∆+

=∂∂

>−∆

),(),(lim),(0

(2.1.a)

i

yyxuyyxuyx

yu

y ∆−∆+

=∂∂

>−∆

),(),(lim),(0

(2.1.b)

Parcijalna diferencijalna jednadžba je jednadžba koja sadrži parcijalne derivacije nepoznate funkcije dviju ili više nezavisnih varijabli. Primjer 2.1.

Primjeri PDJ: a) 0=∂∂

−∂∂

yu

xu ;

b) ),(2

2yxf

xu=

∂∂

Općeniti oblik linearne PDJ drugog reda s konstantnim koeficijentima je

02

22

2

2=+

∂∂

+∂∂

∂+

∂∂ D

yuC

yxuB

xuA . (2.2)

Tip jednadžbe (2.2) određen je s predznakom izraza . Jednadžba (2.2) je ACB 42 −

a) eliptička za ; 042 <− ACBb) parabolička za ; 042 =− ACBc) hiperbolička za . 042 >− ACB

Zbog veoma raširene pojave jednadžbi ovakvog tipa u matematičkom modeliranju fizikalnih pojava, a time i u inženjerstvu, upoznat ćemo neke od numeričkih metoda koje se koriste pri rješavanju jednadžbi oblika (2.2). Numeričke se metode bitno razlikuju u zavisnosti o tipu jednadžbe.

ELIPTIČKE PDJ

Tipični predstavnici PDJ eliptičkog tipa su Laplaceova PDJ

02

2

2

2=

∂∂

+∂∂

=∆yu

xuu (2.3)

Poissonova PDJ

),(2

2

2

2yxf

yu

xuu =

∂∂

+∂∂

=∆ (2.4)

Kvaziharmonička PDJ

),( yxfyuk

yxuk

x yx =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂⋅

∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂⋅

∂∂

(2.5)

Ovdje je nepoznata funkcija, ),( yxuu = ),( yxff = vanjska sila, dok su i koeficijenti koji definiraju medij.

xk yk

PROBLEMI KOJI VODE NA PDJ ELIPTIČKOG TIPA 1. TORZIJA GREDE

Ω

T θ

y

Slika 2.1.

x

Ω

Ω∂ - rub područja

Promatramo gredu čiji je poprečni presjek jednak Ω . Pretpostavimo da djelovanje vanjske sile na jednom kraju grede prouzroči torziju. Moment sile T koji djeluje je jednak

. (2.6) ∫Ω

= dxdyyxGT ),(2 ψθ

Ovdje je G modul krutosti, a θ kut zaokreta. Funkcija ),( yxψψ = je funkcija koja zadovoljava Poissonovu jednadžbu

22

2

2

2−=

∂∂

+∂∂

=∆yxψψψ (2.7)

unutar područja , dok je Ω 0=ψ na rubu presjeka Ω ( 0=

Ω∂ψ ).

2. POLOŽAJ MEMBRANE

1p 2p

Ω

Slika 2.2. Označimo s odmak membrane iz ravnotežnog položaja u točki . Jednadžba koju ta funkcija zadovoljava je

),( yxuu = ),( yx

σ21

2

2

2

2 ppyu

xu −

−=∂∂

+∂∂ . (2.8)

Jednadžba (2.8) vrijedi za točke unutar područja Ω , dok vrijednosti za na rubu područja

),( yxuu =

Ω ( Ω∂u ) moraju biti zadane. Ovdje su i vrijednosti tlaka na

različitim stranama membrane, dok je σ njezina površinska napetost. 1p 2p

3. PODUPRTA PLOČA

y

nr

q

Ω

z

xSlika 2.3.

Promatramo ploču jednostavno poduprtu na rubovima, s površinskim opterećenjem q (Slika 2.3). Progib tako slobodno oslonjene ploče u smjeru z može se odrediti iz PDJ eliptičkog tipa

Dq

yz

yxz

xz

=∂∂

+∂∂

∂+

∂∂

4

4

22

4

4

42 (2.9)

koja vrijedi u unutarnjim točkama područja Ω , te rubnih uvjeta

0=Ω∂

z i 02

2=

∂∂

Ω∂nz . (2.10)

Parametar D definiran je s

( )2

3

12 σ−=

EtD ,

gdje je E Youngov modul elastičnosti, t debljina ploče, a σ Poissonov koeficijent. Ako definiramo novu varijablu

2

2

2

2

yz

xzzu

∂∂

+∂∂

=∆= , (2.11a)

jednadžba (2.9) može se zapisati u obliku

Dq

yu

xu

=∂∂

+∂∂

2

2

2

2 , (2.11b)

pa se problem (2.9) svodi na rješavanje dviju Poissonovih jednadžbi (2.11a) i (2.11b). Iz rubnih uvjeta (2.10) odredimo rubne uvjete koji pripadaju dobivenim jednadžbama tj.

0=Ω∂

u i 0=Ω∂

z . (2.12)

Naravno, najprije se rješava jednadžba (2.11b), a onda se dobiveno rješenje iskoristi za rješavanje jednadžbe (2.11a).

4. VISKOZNO STRUJANJE FLUIDA U CIJEVI

2p1p

L

z

xy

Ω

u(x,y)

Slika 2.4. Promatrajmo strujanje fluida u cijevi duljine L, pri čemu je na jednoj strani cijevi tlak

a na drugoj . Ako s označimo brzinu čestice fluida, pokazuje se da vrijedi jednadžba

1p 2p ),( yxu

Lpp

yu

xu 21

2

2

2

2 1 −=

∂∂

+∂∂

ν , (2.13)

dok je na rubu . Ovdje je ν dinamički koeficijent viskoznosti. 0=u Protok fluida izračunamo iz

( , )Q u x y dxdΩ

= ⋅∫ y .

5. NEVRTLOŽNO STRUJANJE IDEALNOG (ν = 0) I NESTLAČIVOG

FLUIDA Kod nevrtložnog strujanja idealnog (ν = 0) i nestlačivog fluida vrijedi:

rot v 0=r - uvjet nevrtložnosti div v 0=r - uvjet nestlačivosti.

Iz uvjeta nestlačivosti potom slijedi:

0=∆ϕ , (2.14) gdje je ϕ potencijal brzine, tj.

jx

ix

gradvrrr

∂∂

+∂∂

==ϕϕϕ .

Kod strujanja oko prepreke koja je opisana s područjem Ω , vrijedi da je brzina tangencijalna na rub područja Ω , tj. 0=⋅nv rr

, gdje je nr normala na rub.

To znači da je rubni uvjet u tom slučaju dan s

0=∂∂

nrϕ . (2.15)

model 3D0

model 2D0

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

=∂∂

+∂∂

+∂∂

=∂∂

+∂∂

zyx

yx

ϕϕϕ

ϕϕ

Primjeri: strujanje oko rotora, strujanje vode oko stupa, interakcija vode ili zraka sa konstrukcijom, ... 6. STACIONARNO PROVOĐENJE TOPLINE Primjer: greda sa jedne strane u vodi ili zemlji

1Γ

Ω

Slika 2.5.

Promatrajmo stacionarnu razdiobu topline ravne ptemperatura u proizvoljnoj točki Ω∈),( yx , Laplaceovu jednadžbu

02

2

2

2=

∂∂

+∂∂

=∆yT

xTT na

Pretpostavimo da je dijelu ruba 1Γ temperatura slučaju rubni uvjet jednak

01

TT =Γ

.

Takav se rubni uvjet naziva Dirichletov (glavni, ki

2Γ

loče na području Ω . Ako je ),( yxTfunkcija T ),( yxT= zadovoljava

Ω . (2.16)

konstantna i jednaka . U tom je 0T

(2.17)

nematički) rubni uvjet.

Na području može biti zadan toplinski protok (fluks) q kroz rub domene. Vrijedi

relacija

2Γ

nTkq r∂∂

−= . Na taj način dobijemo rubni uvjet oblika

qk

nT

−=∂∂

Γ2

r . (2.18)

Rubni uvjet ovakvog oblika naziva se von Nuemannov (prirodni, dinamički) rubni uvjet. U slučaju toplinske izoliranosti na rubu 2Γ taj će rubni uvjet glasiti

02

=∂∂

ΓnTr .

U slučaju kada unutar dvodimenzionalne domene Ω postoje izvori i ponori, umjesto (2.16) vrijedi Poissonova jednadžba

),(2

2

2

2yxf

yT

xTT =

∂∂

+∂∂

=∆ , (2.19)

gdje je funkcija pomoću koje su ti izvori i ponori topline opisani. ),( yxf

Ostali problemi koji vode na PDJ: − difuzija − strujanje u poroznoj sredini − elektro i magnetostatika

MATEMATIČKI MODEL U prethodnim smo slučajevima mogli opaziti da matematički oblik postavljenih problema općenito glasi

( ) ( ) ( ) ( )

zadanonu

zadano

yx, za,,,

2

1

2

2

2

2

Γ

Γ

∂∂

Ω∈∀=∂

∂+

∂∂

=∆

u

yxfy

yxux

yxuu

(2.20)

NUMERIČKO RJEŠAVANJE Metoda konačnih razlika

Slika 2.6.

x∆x

y∆

y

Ω

Tražimo rješenje Laplaceove PDJ

0=∆u (2.21) na području Ω .

Slično kao i kod običnih diferencijalnih jednadžbi, prvi je korak diskretizacija numeričke domene. Definiramo numeričku mrežu s intervalima širine u smjeru osi x, te širine u smjeru osi y. Uvedimo oznaku

x∆y∆

),( yjxiuuij ∆⋅∆⋅= . (2.22) Numerički odrediti rješenje jednadžbe (2.21), znači odrediti vrijednosti koje zadovoljavaju (2.21) unutar područja

ijuΩ .

Slika 2.7.

Aproksimacije parcijalnih derivacija pomoću metode konačnih razlika su za ovako definirane oznake jednake

( )( ) ( ) ( )( )( )

( )2,1,,1

2),(

2

2

2

,1,2,1

x

uuu

xyjxiuyjxiuyjxiu

xu

jijiji

yjxi

∆

+−=

=∆

∆⋅∆⋅−+∆⋅∆⋅−∆⋅∆⋅+≅

∂∂

−+

∆⋅∆⋅ (2.23a)

( ).

22

1,,1,

),(2

2

y

uuu

yu jijiji

yjxi ∆

+−≅

∂∂ −+

∆⋅∆⋅

(2.23b)

Za aproksimacija jednadžbe (2.21) u točki hyx =∆=∆ ),( yjxi ∆∆ je

( ) 041,1,1,,1,12

),(2

2

2

2

),( =−+++≅∂∂

+∂∂

=∆ −+−+∆⋅∆⋅

∆∆ jijijijijiyjxi

yjxi uuuuuhy

uxuu .

Znači, za svaku točku numeričke mreže unutar područja Ω , vrijedi jednadžba

,1, 1, , 1 , 1 4 i ji j i j i j i ju u u u u+ − + −+ + + − = 0 (2.24) Za svaki (i,j), jednadžba povezuje vrijednosti rješenja u susjednim točkama mreže, točnije, u točkama uzorka koji je prikazan na Slici 2.7.

Ukoliko se u jednadžbi (2.24) za neki (i,j) pojavljuju točke koje se nalaze na rubu područja, njihove ćemo vrijednosti odrediti iz rubnih uvjeta. Za unutarnjih točaka mreže dobijemo sustav nm× nm ⋅ linearnih jednadžbi.Uočimo da sustav može biti veoma velik, ali je matrica koeficijenata prilično rijetka, što se pri rješavanju sustava može iskoristiti, te sustav rješavati koristeći iterativne metode. Primjer 2.2. Odrediti stacionarnu raspodjelu temperature na kvadratnoj ploči stranice duljine 12 cm, izrađenoj od homogenog materijala, pri čemu se rubovi drže na temperaturi od 0oC i 100oC (kao što je prikazano na Slici 2.8).

u=100 u=100u=100u=100

12

12 0

u0,1

u0,2

u2,0u1,0

u2,1

u2,2

u1,1

u1,2

u=0

Ω u=100 a) Zadani problem b) Točke mreže

Slika 2.8.

Za numeraciju točaka mreže kao što je prikazano na Slici 2.8b., te na osnovu zadanih rubnih uvjeta, pripadajući sustav koji proizlazi iz Laplaceove jednadžbe, a definiran je jednadžbama (2.24) jednak je

1004100420042004

221221

221211

222111

122111

−=−+−=+−−=+−−=++−

uuuuuuuuuuuu

.

Sustav možemo riješiti Gaussovom eliminacijom ili iterativno. Rješenje ovog sustava glasi:

5.872111 == uu i 5.622212 == uu . Točno rješenje zadanog problema glasi

1.882111 == uu i 9.612212 == uu . S obzirom da smo koristili prilično široku mrežu, dobiveno aproksimativno rješenje je prilično dobro.

Ukoliko na nakom području rješavamo Poissonovu jednadžbu

),( yxfu =∆ , (2.25)

uvrštavanjem konačnih razlika, dobijemo jednadžbe oblika

2,1, 1, , 1 , 1 4 i j iji j i j i j i ju u u u u f+ − + −+ + + − = h , (2.26)

gdje je ),( yjxiff ij ∆⋅∆⋅= . Uočimo, da je dobiveni sustav jednadžbi oblika

ˆu f=A , gdje je

2

4 1 11 4 1 1

1 4 11 4 1 1

1 1 1 4 1 11 1 4

1 4 11 1 4

1 1

h

− −⎛ ⎞⎜ ⎟− − −⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎜ ⎟− − −⎜ ⎟⎜ ⎟= − − − −⎜ ⎟

1

14

− − −⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎜ ⎟

− − −⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠

A , i

11

1

ˆ

n

nm

u

u

u

u

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜=⎜⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

M

M

M

M

⎟⎟

11

1

ˆ

n

nm

f

f

f

f

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

M

M

M

M

Primjer 2.3. Numeričko tretiranje Neumannovog (dinamičkog) rubnog uvjeta Odrediti temperaturu pravokutne ploče, za rubne uvjete zadane na Slici 2.9.

Slika 2.9. U svakoj točki mreže zapišemo jednadžbu koja proizlazi iz Laplaceove jednadžbe ili rubnih uvjeta. u točki 1. 02121 =−⇒= TTTT

u točki 2. °−=++−

⇒°+++

=

2044

20

7321

7132

TTTT

TTTT

u točki 3. °=−−+− 204 8432 TTTT u točki 4. °=−−+− 204 9543 TTTT u točki 5. 054 =−TT u točki 6. 076 =−TT u točki 7. 04 212876 =−−−+− TTTTT u točki 8. 04 313987 =−−−+− TTTTT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dobivamo linearni algebarski sustav od 25 nepoznanica (T1, T2, ..., T25) Matrični zapis:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

−−−−−

−

. . .02020200

T. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0...01410000...00141000...00014100...10001410...0000011

25

5

4

3

2

1

TTTTT

Primjer 2.4. - Torzija grede Odrediti kut zaokreta poprečnog profila grede pravokutnog poprečnog presjeka koji je prikazan na Slici 2.10.

Slika 2.10. Matematički model:

0u 2

=

Ω−=∆

Ω∂ψψ

Numerički model:

21,1,,1,1, 24 hjijijijiji =−−−− −+−+ ψψψψψ

Za numeraciju točaka mreže kao što je to prikazano na Slici 2.10. dobijemo sustav jednadžbi

točka 1. 2421 2004 h=−−−− ψψψ

točka 2. 25312 204 h=−−−− ψψψψ

točka 3. 2263 2004 h=−−−− ψψψ

točka 4. 21754 204 h=−−−− ψψψψ

točka 5. 224865 24 h=−−−− ψψψψψ

................................... itd.

Kut zaokreta: ( )∫

=

A

dxdyyxGT,2 ψ

θ

Numeričko tretiranje nepravilnog ruba domene

Q

P O

AB

Slika 2.11. Pretpostavimo da su A i B točke koje se nalaze na rubu domene, te da su nam poznate vrijednosti i . Osim toga, pretpostavimo da A i B nisu točke odabrane numeričke mreže. Pretpostavimo da je

Au Buhyx =∆=∆ , te da je udaljenost točaka A i B

od točke O jednaka ah i bh , 1,0 << ba , respektivno. Tražimo aproksimaciju Laplaceove jednadžbe u točki . Jasno je da jednadžbu (2.24) nećemo moći primijeniti, jer neke od točaka koje se pojavljuju u toj jednadžbi ne leže niti unutar niti na rubu promatranog područja. Pokušajmo umjesto toga iskoristiti poznate vrijednosti i .

O

Au Bu

Iz razvoja funkcije u u Taylorov red slijedi K

K

+∂∂

+∂∂

−=

+∂∂

+∂∂

+=

OOP

OOA

xuh

xuhuu

xuah

xuahuu

2

22

0

2

22

0

21

)(21

odnosno O

OpA xuhaauaauu 2

22)1(

21)1(

∂∂

+++≅+ iz čega slijedi aproksimacija

druge parcijalne derivacije po x u točki O

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

++

+≅

∂∂

OPAO

ua

ua

uaahx

u 11

1)1(

1222

2

.

Na sličan se način dobije i aproksimacija

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

++

+≅

∂∂

OPAO

ub

ub

ubbhy

u 11

1)1(

1222

2

.

Uvrštavanjem dobivenih aproksimacija slijedi da kod nepravilnog ruba domene, za točke koje se nalaze u blizini ruba (u situaciji kao na Slici 2.11), diskretizacija Laplaceovog operatora ima oblik

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +−

++

++

++

+≅∆ O

QPBAO

uab

bab

ua

ubb

uaa

uh

u11)1()1(

22 .

Laplaceov operator u polarnom koordinatnom sustavu Ukoliko uvedemo polarni koordinatni sustav i promatramo funkciju ),( ϕruu = , pri čemu vrijedi veza ϕcosrx = , ϕsinrx = , Laplaceov operator glasi

2

2

2

2

2

2

2

2 1ϕ∂∂

+∂∂

+∂∂

=∂∂

+∂∂

=∆u

ru

rru

yu

xuu .

Laplaceov operator u polarnim koordinatama ćemo koristiti ako je područje unutar kojeg rješavamo Laplaceovu ili Poissonovu jednadžbu lakše opisati pomoću polarnih koordinata (npr. kružno područje, kružni vjenac i sl.). U tom slučaju metodu konačnih razlika možemo primijeniti na derivacije u polarnim koordinatama. Ponovno ćemo dobiti sustav jednadžbi (koji je nešto složeniji nego u pravokutnom koordinatnom sustavu), koji ćemo moći riješiti nekom od numeričkih metoda.

Ω