51
Skripte iz Linearne algebre, Predavanja profesora dr. Zorana Stojakovica, 2000/2001. by Danijel, v.1.1 2002. Uvodne napomene: Bez obzira na trud neke greske u tekstu uvek ostaju i opstaju i to treba imati u vidu. Ovaj tekst nije predvidjen da zameni predavanja, ili eventualnu knjigu iz ovog predmeta. Vec da ovoj i budu´ cim generacijama studenata PMF-a, pre svega C smerova, olaksa uenje ovog predmeta. Tekst je dozvoljeno neogranicno kopirati i stampati, za licnu upotrebu. Posebno zahvaljujem Jeleni Ilic i Zorici Janjic, cije su sveske bile osnova za pisanje ovog teksta. Tekst je pisan u LaTex-u i svi prilozi u vidu sugestija, komentara, ispravki su dobro- dosli, kao i ako neko zeli da preuzme brigu o narednim verzijama, moze da se javi za .tex fajl na mail [email protected]. 1. Vektorski prostori def: Neka je (V ,+) komutativna grupa, a (F,+,) polje. Ako je definisano preslikavanje pri cemu oznacavamo sa tako da: 1. 2. 3. 4. za svaki , V je onda vektorski prostor nad polje F u oznaci V(F). Elemente skupa V nazivamo vektori, ozn a,b,c,.. Elemente skupa F nazivamo skalari, ozn 1.1 Osobine vektorskih prostora Teorema: Neka je V(F) vektorski prostor nad poljem F tada vazi: 1.nula vektor je jedinstven 2.za svaki vektor suprotni vektor je jedinstven 3. 4.vazi zakon skracivanja za sabiranje vektora 5. 6. 1

Skripta Iz Linearne Algebre Pmf NS

Embed Size (px)

DESCRIPTION

skripta iz linearne algebre (pmf, novi sad)

Citation preview

Page 1: Skripta Iz Linearne Algebre Pmf NS

Skripte iz Linearne algebre,Predavanja profesora dr. Zorana Stojakovica,

2000/2001.by Danijel,v.1.1 2002.

Uvodne napomene: Bez obzira na trud neke greske u tekstu uvek ostaju i opstaju i totreba imati u vidu. Ovaj tekst nije predvidjen da zameni predavanja, ili eventualnuknjigu iz ovog predmeta. Vec da ovoj i buducim generacijama studenata PMF-a,pre svega C smerova, olaksa uenje ovog predmeta. Tekst je dozvoljeno neogranicnokopirati i stampati, za licnu upotrebu.Posebno zahvaljujem Jeleni Ilic i Zorici Janjic, cije su sveske bile osnova za pisanjeovog teksta.Tekst je pisan u LaTex-u i svi prilozi u vidu sugestija, komentara, ispravki su dobro-dosli, kao i ako neko zeli da preuzme brigu o narednim verzijama, moze da se javiza .tex fajl na mail [email protected].

1. Vektorski prostori

def: Neka je (V,+) komutativna grupa, a (F,+,�) polje. Ako je definisano preslikavanje� � � � � pri cemu oznacavamo ��� �� sa ��� tako da:

1.���� �� � ��� ��2.��� ��� � �� � ��3.����� � �����4.�� � �za svaki �� � � � , �� � � �� V je onda vektorski prostor nad polje F u oznaci V(F).Elemente skupa V nazivamo vektori, ozn a,b,c,..Elemente skupa F nazivamo skalari, ozn ���� ��

1.1 Osobine vektorskih prostora

Teorema: Neka je V(F) vektorski prostor nad poljem F tada vazi:1.nula vektor je jedinstven2.za svaki vektor suprotni vektor je jedinstven3.��� � � � � ���� � �4.vazi zakon skracivanja za sabiranje vektora5.��� � � � �� � �6.��� � � � �� � �

1

Page 2: Skripta Iz Linearne Algebre Pmf NS

7.��� � � ���� � � � � ���� � ����� � �����8.��� � � ���� � � � �� � ��� � � � ili � � �Dokaz:5. �� � ��� � �� � �� � ��� � � ��6. �� � �� � ��� � ��� �� � � � ��7.� � ���� ����� � ��� ����� � ����� � ������ � ��� ������ � ��� ����� � ����� � �����8.�� sledi iz 5 i 6�� �� � � � � � � � � � ����� � � � ������� � ����� ������� � � � � � � �

1.2 Podprostor

def: Neka je V(F) vektorski prostor, a � � ako je W vektorski prostor nad poljemF u odnosu na restriscije na W operacija definisanih nad V tada se W naziva podprostorvektorskog prostora V.

Teorema: Neka je W neprazan podskup V(F), W je podprostor vektorskog prostora Vakko vazi:

���� � � ������ � � ���� �� � Dokaz:Cesto se umesto gornjeg uslova koriste ekvivalentni

���� � � ��� � �

�� � � ���� � ��� �

�) ako je W potprostor tada vaze ova dva uslova i tada vazi teorema�) ��� �� � � � �� ��� �� � �� � �� � �, to tada vazi i za W, jer � � , � � i

�� � - (W,+) je Abelova grupa. �

def: U vektorskom prostoru V(F) vektor v�V je linearna kombinacija vektora ��� ��� � �� �� ako postoje skalari ��� � �� � � tako da je

� � ���� � � ����

def: Ako je u vektorskom prostoru V(F), � � , � � onda je lineal L(S) skupa S,skup svih linearnih kombinacija iz S. Ako je S=0 onda je L(S)={0}.

�� � � ��

������ � ���� � �� �� � � �

2

Page 3: Skripta Iz Linearne Algebre Pmf NS

Teorema: Ako je S podskup od vektorskog prostora V(F) onda je L(S) podprostor vek-torskog prostora V.

Dokaz:��� �����

��� ���� � �� �� ��� �� � ���

� ���� ���

� ���� � �� ����

� ���� ���

� ����� � �� � �

Teorema: Lineal L(S) je najmanji podprostor koji sadrzi skup SDokaz: Svaki drugi potprostor koji bi sadrzavao S mora sadrzati i L(S)�Posledica: Ako je u vektorskom prostoru, W podprostor, onda je L(W)=W

Teorema: Ako su S,T � V(F) onda je:1. � �� �2. � � � �� � � �� �3. �� � � ���� ��4. � ��� � � � � � � �� �� � � ��� �5. � � � � �� � � ��� ��Dokaz:4. � ��� �� �� � � ����� ��� �� � � ��� �� � �� �� ��� � � ���� ��� ��� � � �� �

�� �� � � ��� �

def: Ako je � � �� � onda kazemo da je L(S) generisan skupom S, a elemente skupaS nazivamo generatori podprostora L(S).

def: Ako u vektorskom prostoru V(F) postoji skup S tako da je L(S)=V onda kazemoda je V generisan tim nizom vektora. Ako je S konacan, onda se vektorski prostor nazivakonacno generisan vektorski prostor.

def: U vektorskom prostoru V(F) niz vektora ���� � ��� je linearno zavisan ako pos-toje skalari ��� � ��, od kojih je bar jedan razlicit od 0 tako da je ����� ����� � �.Niz vektora koji nije linearno zavisan je linearno nezavisan. ���� � � ���� � � ��� � � �� � �

1.3 Osobine linearno zavisnih nizova

1. Niz ���� � ��� je linearno zavisan akko je niz ������� � ������ linearno zavisan,gde je s proizvoljna permutacija skupa {1,...,n}

2. Niz vektora koji sadrzi nula vektor je linearno zavisan: ��� � ��� � � ��� � �3. Jednoclan niz vektora (a) je linearno zavisan akko je a=0.4.Niz vektora koji sadrzi linearno zavisan podniz je linearno zavisan: (a�, ..., a� , ..., a�)

3

Page 4: Skripta Iz Linearne Algebre Pmf NS

(a�� �a�) - linearno zavisni podniz ���� � � ���� � ������ ��� � �5. Svaki podniz linearno nezavisnog niza je linearno nezavisan6. Ako su u nizu ���� � ��� dva vektora jednaka onda je taj niz linearno zavisan.

def: Beskonacan niz vektora je linearno nezavisan ako je svaki njegov konacan podnizlinearno nezavisan.

def: Baza konacno generisanog vektorskog prostora V(F) je niz vektora koji je linearnonezavisan i koji generise V.

Teorema: Niz vektora u V(F) je baza akko je taj niz maksimalan linearno nezavisanniz.

Dokaz:�) Neka je ���� � ��� baza tada je linearno nezavisan niz, dokazujemo da je mak-

simalan. Pretpostavimo da nije, tj da je ���� � ��� �� linearno nezavisan, tada � � ������ ���� � �� ���� � � ���� � �� linearno zavisan.

�) ���� � ��� je max linearno nezavisan niz dokazujemo da je generator. ���� � ��� ��je linearno zavisan pa ���� � � ���� � �� � �, iz ovoga vidimo da ako � � � ��� � � �� � � kontradikcija � � � �� � � ���

� �� � � ��� �� �

Teorema: Niz vektora u V(F) je baza akko je taj niz minimalan niz generatora vek-torskog prostora.

Teorema: U vektroskom prostoru V(F) niz vektora ���� � ��� je baza akko se svakivektor � � � moze na jedinstven nacin prikazati u obliku

��� ����� �� � � .

Dokaz:�) Neka je ���� � ��� baza � � �

��� ���� Dokaz da se prikazuje na jedinstven

nacin: pretpostavimo suprotno � ���

� ���� ���

� ������� � ��� � ����� � � �

�� � ���; i=1,...,n�) Pretpostavimo da su ���� � ��� linearno zavisni ����� ����� � �; ��� � �

i ��� � � ��� � � kontradikcija sa jedinstvenoscu sledi da je niz vektora baza. �

def: Ako je ���� � ��� baza u V(F), x�V, � ���

� �����tada se skalari ��� � ��nazivaju koordinate vektora x u odnosu na bazu ���� � ���.

Teorema: Niz vektora ���� � ��� medju kojima nije nula vektor je linearno zavisanakko medju vektorima ���� � ��� postoji �� koji je jednak linearnoj kombinaciji vektora���� � �����

Dokaz:�) ���� � ��� linearno zavisan tada ���� � � ���� � �� ��� � �, �� � �,

� � � � �� � � i k�1 (� � �� ���� � �� �� � �)���� � � ���� � �� �� � ���

���� � �

������

�����) ocigledan�

4

Page 5: Skripta Iz Linearne Algebre Pmf NS

Teorema: Svaki niz generatora ne nula vektorskog prostora sadrzi podniz koji je bazatog vektorskog prostora.

Dokaz: Niz generatora ���� � ����dokaz da sadrzi podniz koji je baza. Ako je �� nulavektor izbacimo ga i dalje imamo niz generatora, gledamo sledeci element, ako je �� nulavektor ili �� � ��� izbacujemo ga. Na kraju dobijamo niz vektora ����� � ���� koji se nemogu predstaviti pomocu ostalih i nema nula vektora pa je ovo baza. �

Posledica svaki konacno generisan ne nula vektorski prostor ima bazu.

Teorema: Ako je u vektorskom prostoru V(F) ���� � ��� linearno nezavisan niz vek-tora, onda je on ili baza ili se moze dopuniti do baze.

Dokaz: Neka je ���� � ��� baza V. Niz ���� � ��� ��� � ��� takodje generise V i nemanula vektora. Ni jedan od vektora ��� � �� se ne moze predstaviti kao linearna kombinacijavektora levo od njega. Posmatramo vektore ��� � �� redom, ako se prvi moze izraziti kaolinearna kombinacija vektora levo od njega izbacujemo ga, pri cemu i dalje imamo nizgeneratora. Postupak nastavljamo sve dok ne dobijemo niz ���� � ��� ���� � ���� koji jelinearno nezavisan i generise V, pa je baza. �

Teorema: Ako je u V(F) ���� � ��� linearno nezavisan niz vektora, a ���� � ��� nizgeneratora vektorskog prostora V tada je � � �.

Dokaz: Ako u nizu ���� � ��� ima nula vektora izbacimo ih. Pretpostavimo da ihnema i posmatramo niz ���� ��� � ��� to je niz generatora vektorskog prostora V i linearnoje zavisan.

Postoji neki b� koji se moze izraziti kao linearna kombinacija vektora levo od njega, paga izbacimo. Dobijeni niz je ���� ��� � ����� ����� � ��� i dalje niz generatora.

Nizu dodajemo a�: ���� ��� ��� � ����� ����� � ��� je niz generatora i linearno je za-visan, neki b je linearna kombinacija vektora levo od njega, pa ga izbacujemo. Dobi-jeni niz ���� ��� ��� � ����� ����� � ���� ���� � ��� takodje je niz generatora. Postu-pak nastavljamo sve dok ne potrosimo jedan od ova dva niza. Da je n�m sledi da bi dobiliniz ���� � ��� posle m koraka i da je to niz generatora, a dodavanjem a���bi dobili niz���� � ����� koji je niz generatora i linearno zavisan, sto je kontradikcija, pa sledi da je� � �. �

Posledica: U vektorskom prostoru koji je generisan sa n vektora, svaki niz koji imavise od n vektora je linearno zavisan.

Teorema: U konacno generisanom vektorskom prostoru sve baze imaju isti broj vek-tora.

Dokaz: Neka su ���� � ��� i ���� � ��� baze, oba niza su generatori i linearno neza-visni. Po prethodnoj teoremi, ako je prvi linearno nezavisan, a drugi niz generatora sledi� � �, a ako je drugi linearno nezavisan, a prvi niz generatora sledi � � � � � ��. �

def: Broj vektora baze vektorskog prostora naziva se dimenzija tog vektorskog pros-tora, oznacava se sa d(V) ili dim(V). Po definiciji d({0})=0.

5

Page 6: Skripta Iz Linearne Algebre Pmf NS

def: Vektorski prostor koji ima bar jednu konacnu bazu i nula prostor nazivamo konacnodimenzioni vektorski prostori, a ostale beskonacno dimenzioni vektorski prostori.

1.4 Izomorfizam vektorskih prostora

def: Neka su V� i V� vektorski prostori nad istim posljem F. Tada je V� izomorfan saV� ako postoji bijekcija f: V� �V� tako da je:

���� � � � ����� � � �������� ��� � ����� � �����

funkcija f se naziva izomorfizam, pisemo �� �� ��.Ekvivalentni uslovi sa gornjom definicijom su:

���� � � ������� �� � ���� � ����

��� � � ���� � �������� � �����

Teorema: U skupu svih vektorskih prostora relacija biti izomorfan je relacija ekviva-lencije.

Osobine: V�, V�, vektorski prostori nad F, �� �� �� , f: V� �V�:1.����� � ��: ����� � ���� � ��� � ����� � ������ ����� � ��2. Ako je ���� � ��� linearno zavisan niz iz V� onda je ������� � ������ linearno

zavisan niz iz V�:��

� ���� � �� ��� � � ����

� ����� � ���� � ����� ������� � �

3.Slika linearno nezavisnog niza je linearno nezavisan niz. Pretpostavimo da nije, tada��� preslikava linearno zavisan niz u linearno nezavisan, sto je kontradikcija sa 2.

4.Niz generatora vektorskog prostora V� se izomorfizmom preslikava u niz generatoravektorskog prostora V�: �� � ����� � ���, ��� � ������ � ������� � �� � ���

� ���� � � � ���� � ����

� ����� ���

� �������5.Baza se izomorfizmom preslikava u bazu

Teorema: Dva konacno dimenzionalna vektorska prostora nad istim poljem su izomorfnaakko su iste dimenzije.

Dokaz:�� �� �� �� tada se baza preslikava u bazu i ����� � ������� pretpostavimo da su d(V�)=d(V�), V� ima bazu ���� � ���, V� ima bazu ���� � ���.

� � ��, � ���

� ����. Definisemo funkciju f:

�������

��

����

Ovo je dobro definisana funkcija posto dva razlicita vektora ne mogu imati istu sliku, fje i bijekcija, a proveravamo da li je izomorfizam: x,y�V�, x=

��� ��a�, y=

��� ��a�,

6

Page 7: Skripta Iz Linearne Algebre Pmf NS

���� �� � ����

���� ���

����� � ����

��� � ����� ���

��� � ����� ���

���� ���

����

� ���� � ����

����� � �����

����� � �����

����� � �����

1.5 Linearne mnogostrukosti

def: Neka je W podprostor vektorskog prostora V(F) i a vektor iz V. Skup vektora� � �� naziva se linearna mnogostrukost, a W je direktrisa mnogostrukosti �

� � � � � �� ��� � �

def: Dimenzija linearne mnogostrukosti � je dimenzija podprostora W i oznacava sed(�) ili dim(�). Jednodimenzione linearne mnogostrukosti zovemo prave, dvodimenzioneravni, a n-1-dimenzione u n-dimenzionom prostoru hiper-ravni.

Teorema: Ako je �=a+W linearna mnogostrukost i b� � tada je �=b+WDokaz: � � �� � � ���� � � ; �� � ��� � � �� � � �

Jednacine linearne mnogostrukosti:a�W, d(W)=1, � ���� � �� podprostor od V(F). � � ���� je proizvoljan vektor

mnogostrukosti.U R� jednacine linearne mnogostrukosti:�� � � ��, � � �� ��, � � ���� ��� ���, � � ���� ��� ���� � � ��� �� ��;Parametarske jednacine prave:

� � �� � ���

� � �� � ���

� � �� � ���

Kanonski oblik jednacine:�� ����

�� � ����

�� � ����

U F� � � � � ��, � � ���� � ���, � � ���� � ���, � � ���� � ���,

�� � �� � ���� � � �� � �

7

Page 8: Skripta Iz Linearne Algebre Pmf NS

Posle eliminisanja �� dobijamo kanonski oblik::�� � ��

��� �

�� � ����

� � �� , d(W)=k, ���� � ��� je baza od W, � �������������� � �� � ��� � �� ���� � � ���� - vektorska jednacinaParametarska: � � ���� � ���, � � ���� � ���, �� � ��

���� � � �

���� �:

� � � � ������ � � ���

���

1.6 Presek dve linearne mnogostrukosti

Teorema: Presek linearnih mnogostrukosti �� � ���� i �� � ���� je ili prazanskup ili linearna mnogostrukost �� � �� ��.

Dokaz: Ako �� � �� � �� ��� � �� � ��� tada �� � �� �� i �� � �� ��,� � �� � ��� � � �� � �� � �� � ��, �� � �, �� � � � �� � �� � � � �� ��� �� �� � �� � �� � �� �� ��

���� �� � ���� i ���� �� � ���� � ���� �� � �� ���� �� � �� � �� �� �� �

def: Linearne mnogostrkosti �� � �� � � i �� � �� � � su paralelne ako je�� � �� � � i ako je � � � ili � ��.

1.7 Presek i zbir podprostora

def: Vektorski prostor V(F), podprostori W� i W�.Presek � �� je podprostor, najveci koji se sadrzi i u � i u �

Unija � �� ne mora da bude podprostor (jeste ako � � ��

Suma � ����� � � ��� � ��� � ��

�� � �� � �� � �� � ��� � ��� � ��� � ��� � � ��

���� �� � �� � �� � � ��

� Suma je takodje podprostor, najmanji koji sadrzi oba � i �

� �� � � �� ��� � � �� ���� ��� � ���� � ��� ���

Teorema: Ako su W� i W� podprostori konacnog prostora V tada vazi:

���� � ���� � ��� ��� � ��� ���

Dokaz: ��� neka ima bazu ���� � ���, ona je linearno nezavisna i sadrzana u W� imoze se dopuniti do baze W�: ���� � ��� ��� � � �. Isto za W� dopunimo ���� � ��� ��� � ��.

Posmatramo niz ���� � ��� ��� � � � ��� � �� od ukupno k+l+j vektora. Dokazujemo

8

Page 9: Skripta Iz Linearne Algebre Pmf NS

da je to baza ���. Ocigledno da je niz generatora. Dokazujemo linearnu nezavisnost:��

���� � �

���� �

���� � �

���

� ���� ��

� ���� � ��� ���� leva strana dobijene jednacine pripada �,

a desna �, tako da imamo vektor koji pripada njihovom preseku, pa je ��

� ���� ���� ����, sto je linearna kombinacija vektora ���� � ��� ��� � ��, pa sledi �� � �

� � �� � � �� � �.���

� ���� ��

� ���� � �, a posto je ���� � ��� ��� � � � baza � �� � � �� ��� � � � � �, cime je dokazana linearna nezavisnost. �

def: Ako su �� �� podprostori od vektorskog prostora V, takvi da

� � �� � ���� ���� � ��� � ��� � � �� � �

tada se suma �� �� naziva direktna, oznacavamo sa: �

��

��

Teorema: Ako su � i � podprostori od V tada je suma W��W� direktna akko je���� � ���� � ��� ���.

Teorema: Ako su �� �� podprostori od V, onda je suma tih podprostora direktnaakko se svaki vektor x te sume moze na jedinstven nacin prikazati u obliku� � ������ ,�� � �, i=1,...k.

Dokaz:�� Ako �

��

��

� sledi iz definicije ��� � �

��

��

��� ���� ���� �� � �� i=1,...,k. Pretpostavimo da se x moze prikazati na dva nacina, dakle:� � �� � � �� � �� � � ��� ��� � � � .

� ��� � ���������������������, pri cemu svaki od sabiraka ����� ��� a ��� � , pa prema tome ��� � ���������������� � � � �, sto je kontradikcija sa � � � .

�� Svaki vektor se jedinstveno prikazuje � � �� � � ��. Pretpostavimo da sumanije direktna, tj da postoji vektor y, � � � � �� � ���� ���� � ���, tadaje: � � �� � � ���� � ���� � � ��� gde �� � �� � � �� � �� �� �� �� �.

� �������

�� ���������

� �������

� ���������

�� �������

� ��������

�� ������������

� �������

� ������������

�� ��������

� sto je kontradikcija sa pretpostavkom o jedinstvenosti. �

Teorema: Neka su �� �� podprostori vektorskog prostora V i ������ � � ���� �� baza

od �. Suma �� �� je direktna akko je ������ � � ���� �

� ����� � � �

��� �

� � ����� � � �

��� ��

baza te sume.Dokaz:za slucaj n=2, ���

�� Dokaz za � ima bazu ���� � ��� i � ima bazu ���� � � �, � � �. Tada

9

Page 10: Skripta Iz Linearne Algebre Pmf NS

je ���� � ��� ��� � � � niz generatora, proveravamo linearnu nezavisnost:��� ���� ��

� ���� � � ���

� ���� � ��

� ���, leva strana jednakosti pripada W�, a desna W�

���

� ���� � ��� � ���� � �, iz cega sledi �� � �, i=1,...,n, �� � �, i=1,...,l. Sledi da je

niz baza.�� ���� � ��� ��� � � � baza od ��� Pretpostavimo � � ��� i � � �. Tada

� ���

� ���� ��

� ����� sledi��

� ���� ��

� ���� � � � �� � �, i=1,...,n, �� � �,i=1,...,l � � � ��suma je direktna. �

1.8 Faktor prostor

def:Neka su dati vektorski prostor V(F) i njegov podprostor W. Vektor � � , formirase a+W.

��� � �� �� � � �

definisemo operacije:

�� � � � ��� � � ��� �� �

���� � � ���� �

ove operacije su dobro definisane.��� je u odnosu na ovako definisane operacije vektorski prostor nad F koji je nazvan

faktor prostor.

Teorema: Ako je W podprostor konacno dimenzionog prostora V, tada ����� � ���� �� �� �

Dokaz: Neka je ���� � ��� baza W, prosirujemo do ���� � ��� ����� � ��� sto jebaza V. Dokazacemo da je ����� �� � �� � � baza ��� .

�� � � �� - uvodimo oznaku radi jasnijeg zapisa�������� � � ���� � � ���������� � � ����� � � �������� � � ���� �

���

��� ���� ���

� ���� � �� � �, i=1,...,n, sto znaci da su linearno nezavisni.Proizvoljan vektor � � �� � �

��� ����

� � ��� � � � ���

� ����� ���

� ������� ���� su za i=1,...,k jednaki �, � � ������������� pa je dati niz, niz generatora i sledi da je baza. �

Teorema: Ako su U,W podprostori vektorskog prostora V takvi da je � � !� tadaje ! �� ��� .

Dokaz: Definisemo preslikavanje � ! � ��� , ��" � !���"� � "� .Dokazujemo da je f 1-1 preslikavanje:"�� "� � !� ��"�� � ��"��� "�� � "�� � "���� � "����� ��� �� � � "� � "� � �� � ��, leva strana pripada U, a desna W, pa je "� � "�Dokazujem da je f NA:

10

Page 11: Skripta Iz Linearne Algebre Pmf NS

� � ��� � � � "� �� " � !� � � �� � "�� � � "� � ��"�Dakle f je bijekcija.�� � � !� ���� �� � �� � � � �� � � � � ���� � ����� � ! , � � �� ����� � ��� � ���� � � �����f je homomorfizam. �

1.9 Dualni prostori

def: Ako je V vektorski prostor nad F tada ce funkcija � � � � za koju vazi

���� � � � ����� � � � ������ ��� � ����� � �����

biti linearna funkcionela.���� � � � ���� � �� � ���� � ����

��� � � ���� � � ������ � �����

Teorema: Skup V’ svih linearnih funkcionela prostora V(F) je vektorski prostor nad Fako se sabiranje i mnozenje vektora skalarom definisu:�� � #���� � ���� � #������ � � ���� � � �������� � �����

def: Vektorski prostor V’ se zove dualni vektorski prostor vektorskog prostora V

Teorema: Ako je V(F) vektorski prostor sa bazom ���� � ��� i ���� � ��� � �� tadapostoji jedna i samo jedna linearna funckionela � � � �� tako da je ����� � ��� i=1,...,n.

Dokaz: � � � tada � ���

� $ ��� Definisemo funkciju ���������

� $��� Dobro jedefinisana proveravamo da li je linearna funkcionela.

� ���

� $��� i � ���� %���� �� � � �

����� ��� � �����

$��� � ���

%���� � ����

��$� � �%�����

���

��$ � � �%���� � ���

$ ��� � ���

%���

� ����� � �����

Sledi da je f linearna funkcionela i ����� � �� Treba dokazati jedinstvenost.Pretpostavimo ��� # � � �� ����� � #���� � ��, i=1,...,n� � #� tada ��� � � ����� � #���� � �

��� $���

11

Page 12: Skripta Iz Linearne Algebre Pmf NS

���� � ����� $���� �

��� $������ �

��� $���

#��� � #���� $���� �

��� $�#���� �

��� $���

�� � � #� sto je kontradikcija sa

pretpostavkom. �

Teorema: Ako je ���� � ��� baza vektorskog prostora V(F) tada u dualnom prostoruV’ postoji baza ���� � ���takva da je

����� �

�� � � ��� � � �

Dokaz: Na osnovu prethodne teoreme ove funkcionele postoje. Treba dokazati da cinebazu.

���� � � ���� � ��������� � � ������� � �� �� � �� pa vazi i za � � ��� � � � �� � �� � �

�� � �� ���� � ��� su linearno nezavisni vektori.Definisimo funkciju � � ���� � � ����� dakle ���� � ������� � � ��������

�� � �� ����� � ��Uzmimo proizvoljno � � �� � �

��� $ ����

����� � �����

� $���� ���

� $������� � $�� ovo vazi za � � �� � �

���� � ����

� $���� ���� $������ �

��� $ ��� �

��� �������� �

� ����� � ���

� ���� � ��� je baza. ��� � � ��� �� � � � � �� ��

1.10 Unitarni vektorski prostori

def: Neka je V vektorski prostor nad F gde je F=R ili F=C. Unutrasnji (skalarni)proizvod na V je svaka funkcija ( , ) koja preslikava ( , ) � �� � �� pri cemu sliku (x,y)oznacavamo sa (x,y), sa sledecim osobinama:���� �� � � � ���� � � �1.��� �� � ��� ��2.��� �� �� � ��� �� � ��� ��3.���� �� � ���� ��4.��� �� � �5.��� �� � ��� � � �

def: Vektorski prostor V(F) gde F=R ili F=C zajedno sa funkcijom koja definise un-utrasnji proizvod naziva se unitarni vektorski prostor.

Teorema: Neka je V(F) unitarni vektorski prostor, tada:���� �� � � � ���� � � �1.������ � ���� ��2.��� � � �� � ��� �� � ��� ��3.��� �� � ��� �� � �Dokaz:������� � ���� �� � ���� �� � ���� �� � ���� ��

12

Page 13: Skripta Iz Linearne Algebre Pmf NS

���� � � �� � �� � �� �� � ��� �� � ��� �� � ��� �� � ��� ������ �� � ��� � � �� � ��� �� � ��� ��� ��� �� � ��

def: U unitarnom vektorskom prostoru V(F) funkcija �� � � � definisana sa

��� ���� ��

naziva se norma na V. Broj ��� naziva se norma vektora x.

Teorema: (Schwarz-ova nejednakost ) U unitarnom vektorskom prostoru V, ��� � � ������ ��� � ��� ���

Dokaz: ��� ��� �� ��� � �

��� ��� �� ��� � ��� �� � �������� ���� �� � ������� �

� ��� ��� ���� ��� ���� �� � ����� �� �

ovo vazi za svako �, pa stavljamo � � ���������� � � � �

� ��� ������ ��

��� ����� ���

��� ��

��� ����� �� �

��� ����� ��

��� ������ �� �

� ��� ������ ��

��� ����� �� � �

� ��� ����� �� � ��� ����� ��� ���� ���� � ���� ���� � ��� ��� � ���� ����

Teorema: U unitarnom vektorskom prostoru V(F) za ��� � � �� �� � � vazi:1.��� � �2.��� � ��� � � �3.���� � ��� ���4.��� �� � ���� ���Dokaz:1.��� �

��� ��

3.���� ����� ��� �

����� �� �

����� �� � ��� ���

4.

��� ���� ��� �� �� �� � ��� �� � ��� �� � ��� �� � ��� �� �

� ��� �� � ��� �� � ��� �� � ��� �� � ��� �� � �� ��� �� � ��� �� �

� ��� �� � ����� ���� ��� �� � ���� � � ��� ���� ���� �

� ����� �����

� ��� �� � ���� ��� �

def: U euklidskom vektorskom prostoru ugao izmedju vektora x i y, razlicitih od 0, je

13

Page 14: Skripta Iz Linearne Algebre Pmf NS

realan broj �, � � � � &, takav da je

�'(� ���� ��

��� ���

def: U unitarnom vektorskom prostoru V vektori x,y� � su ortogonalni ako je (x,y)=0.

def: Vektor x iz unitarnog vektorskog prostora V naziva se normiran ako je ��� � �Normirati vektor znaci naci njemu kolinearan vektor koji je normiran.

def: Niz vektora u kome su svaka dva vektora ortogonalna naziva se ortogonalan niz.Ortogonalan niz vektora u kome j esvaki vektor normiran naziva se ortonormiran niz.Niz od jednog vektora je ortogonalan.

def: Baza koja je ortogonalan niz naziva se ortogonalna baza. Baza koja je ortonormi-ran niz naziva se ortonormirana baza.

Teorema: Ako je ���� � ��� ortonormirana baza u unitarnom vektorskom prostoru V,� � �� tada je � �

��� ��� �����

Dokaz: Uzmemo neko � ���

� ����, mnozimo � ,������ ��� �

��� ������ ��� �

��� ������ ��� � ��, � � �� � �

���� �� �

�� � � ��� � � �

� posto je baza ortonormirana.

Teorema: U unitarnom vektorskom prostoru V data je baza ���� � ��� � ���

� ���� i� �

��� ����, baza ���� � ��� je ortonormirana akko se unutrasnji proizvod moze zapisati

u obliku

��� �� ���

����

Dokaz:�� Ako je ���� � ��� ortonormirana ��� �� � �

��� �����

��� ����� �

��� ��

��

�� ���� �� �

�� � � ��� � � �

� baza je ortonormirana.

Teorema: U unitarnom vektorskom prostoru svaki niz nenula ortogonalnih vektora jelinearno nezavisan.

Dokaz: ���� � ��� niz ortogonalnih vektora, formiramo linearnu kombinaciju.���������� � � pomnozimo � � ���� svi sabirci, osim i-tog daju nulu� ������ ��� �

�� �� � �� � � �� � �, pa su vektori linearno nezavisni. �Posledica: svaki ortonormiran niz vektora je linearno nezavisan.

Teorema: (Gram-Schmidt ) Svaki konacno dimenzioni unitarni ne nula vektorski pros-

14

Page 15: Skripta Iz Linearne Algebre Pmf NS

tor ima ortogonalnu (ortonormiranu) bazu.Dokaz: Predpostavimo da ima bazu ���� � ���� formiramo novi niz vektora, �� � ��

i �� � �, formiramo

�� � �� ����� ���

���� �����

ako bi �� � �, onda bi �� i �� bili linearno zavisni, pa je �� � �. �� i �� su ortogonalnijer:���� ��� � ���� ����

��������������

���� ��� � �

Formiramo ��

�� � �� ����� ���

���� ����� �

���� ���

���� �����

vazi �� � � i �� je ortogonalan na �� i �� ���� ��� � ���� ��� �

��������������

���� ��� ���������������

���� ��� � �, ���� ��� � � jer su ortogo-nalni.

Formiramo ��� � � �� � ��

�� � �� �����

���

���� ���

���� �����

Proverom zakljucujemo da je ���� � ��� ortogonalna baza prostora V.Svaki vektor normiramo:)� �

������ �...,)� �

������ � pa dobijamo �)�� � )�� ortonormiranu bazu. �

def: Ako je S neprazan skup unitarnog vektorskog prostora V onda se � skup svihvektora koji su ortogonalni na svaki vektor iz S naziva ortogonalni komplement skupa S.

Teorema: Ako je S neprazan podskup od unitarnog vektorskog prostora V, tada je �podprostor od V.

Dokaz: � je uvek neprazan jer sadrzi 0.�� � � �� ��� � � ��� � � ���� ��� �� � ���� �� � ���� �� � �� ��� �� � � �

Teorema: Ako je W podprostor konacno dimenzionog unitarnog vektorskog prostoraV, onda je �� � � .

Dokaz: W ima bazu ���� � ���, tu bazu dopunicemo do baze V ���� � ��� ����� � ���.Primenjujemo Grant-Šmitov postupak i dobijamo tada novu bazu ���� � ��� koja je ortog-onalna baza V. Vektori ��� � �� se nalaze u ��� � �� jer su formirani od njih ��� � �� � i linearno su nezavisni, pa su baza W.

� � �� � ���

� ���� ���

� �������

��� ���� levi sabirak pripada W, a desni pomnoz-imo sa proizvoljnim � � � � �

��� ����

�����

��� ����� � ���

� �������

��� ����� � � ���

��� ���� � � � �� ��

� � �� � ��� �� � �� � � �� pa �� � ��

15

Page 16: Skripta Iz Linearne Algebre Pmf NS

� �� � � �

Posledica: Ako je W podprostor konacno dimenzionog unitarnog vektorskog prostoraV, onda je ��� ���

Teorema: Ako je W podprostor konacno dimenzionog unitarnog vektorskog prostoraV, onda je ���� �

Dokaz:� � � ��� � ����� �� � �� � � ���� � � ����

�� � � i � � ���� � �� �� � � ���� � ��� � i ���� � ������� � ��� �� ���� � �

def: Neka je u unitarnom vektorskom prostoru V, W podprostor takav da je�� ��� ako je � � � � � � � � �� � � � � � �� onda se vektor � naziva ortogonalnaprojekcija vektora � na podprostor W.

2. Linearne transformacije

def: Neka su ��, �� vektorski prostori nad poljem F. Preslikavanje * �� � �� zakoje vazi:

���� � � � ����� � � ���*���� ��� � �*��� � �*���

naziva se linearna transformacija �� u ��

���� � � ���*�� � �� � *��� �*���

��� � � ���� � ���*���� � �*���

Ako je �� � �� tada je A linearna transformacija ��

def: Neka je A linearna transformacija vektorskog prostora �� u �� Jezgro � � Alinearne transformacije je skup svih vektora iz �� koji se preslikavaju u nula vektor iz ��.

� �* � � � ���*��� � ��

def: Neka je A linearna transformacija vektorskog prostora V� u V� Slika Im A jeskup slika svih vektora iz ��

��* � � � ������ � ���*��� � ��

Teorema: Ako je A linearna transformacija vektorskog prostora �� u ��� onda je ker Apodprostor ��� a Im A od ��.

Dokaz: �� �� � � � �*� �� � � �

16

Page 17: Skripta Iz Linearne Algebre Pmf NS

*���� ��� � �*��� � �*��� � �� ��� �� � � �*�� � � ��� � � �� *���� *��� � ��**��� �*��� � *��� �� � ��*� jer �� � � ���*��� � *���� � ��*� jer �� � �� �

Teorema: Ako je A linearna transformacija konacno dimenzionog vektorskog prostora�� u ��� onda je �����)�*� � ����+�*� � �������

Dokaz: Neka je ���� � ��� baza vektorskog prostora kerA, mozemo ga prosiriti dobaze vektorskog prostora V� ���� � ��� ����� � ���

Posmatramo niz �*������� �*����� Fomiramo linearnu kombinaciju����*������ � � ��*���� � �� *��������� � � ����� � �

� ��������� ����� � � �* ���

��� ���� ���

� ���� � �� � �� � � �� � �� *������� �*���� su linearno nezavisni� � ��*� ��� � ���*��� � �� � �

��� ����

� � *��� � *���

� ����� ���

� ��*���� ���

��� ��*����� jer je *���� � ��� � �� � �

� ��* � ��*������� � *������ �*������� �*����� je baza ImA, pa je dim(imA)=n-k. �

def: Ako je A linearna transformacija konacno dimenzionih vektorskih prostora �� i�� tada se ����+�*� naziva rang, a �����)�*� nulitet linearne transformacije.

Teorema: Ako je ���� � ��� baza vektorskog prostora ���� � i ako su ���� � ���proizvoljni vektori iz vektorskog prostora ���� � onda postoji tacno jedna linearna trasfor-macija * �� � �� tako da je *���� � ��� � � �� � �.

2.1 Operacije u skupu linearnih transformacija

def: Skup svih linearnih transformacija koje preslikavaju ���� � u ���� � zovemo ho-momorfizam,,'����� ���Ako se� �� � preslikava u� �� � to je endomorfizam-���� �.

def: Ako A,B� ,'����� ��� i � � �� �� � �� tada je �*�.������� *����.����

��*������� �*���� *�.��* � ,'����� ���

Teorema: �*�.�/ � ,'����� ���� ��� � � � vazi:1. *� �. �/� � �*�.� � /2. *� � � � �* � *3. *� ��*� � ��*� �* � �4. *�. � . �*5. ��*�.� � �*� �.6. ��� ��* � �*� �*

17

Page 18: Skripta Iz Linearne Algebre Pmf NS

7. ���*� � ����*8.1A=A1-4 daju Abelovu grupu (,'����� �����), sve zajedno ,'����� ��� je vektorski

prostor nad F.

def: Ako su A,B� -���� �� onda je �*.������� *�.�0��, �� � �� *. � -���� �

Teorema: �*�.�/ � -���� � vazi:1. *�./� � �*.�/2. *�. �/� � *. �*/3. �*�.�/ � */ �./�-���� ���� �� je prstenE-indenticko preslikavanje,4. *- � -* � *prsten sa jedinicom

def: Neka je A linearna transformacija vektorskog prostora V(F). A je regularna akopostoji transformacija . � � �� takva da je *. � .* � -. Ako B ne postoji onda jeA singularna. B kada postoji nazivamo inverzna transformacija za transformaciju A.

Teorema: Za funkciju � � , postoji g takvo da je �# � #� � � akko je fbijekcija.

Teorema: Linearna transformacija vektorskog prostora V je regularna akko je bijekcija.Regularne transformacije su automorfizmi. Ako je A regularna i B inverzna, onda je Bjedinstvena transformacija . � *��

Teorema: Ako je A regularna linearna transformacija, a B njena inverzna onda je i Blinearna transformacija.

Dokaz: *. � .* � -� �� � � �� �� � � �

.���� ��� � .���*.���� � ��*.����� � .�*�.����� �*�.������ �

� .*�.���� �.����� � .���� �.���� � �.��� � �.���

Teorema: Neka je A linearna transofmacija konacno dimenzionog vektorskog prostoraV(F), tada su sledeca tvrdjenja ekvivalentna:

1. A je regularna2. ��* � � (A je NA)3. � �* � ��4. A je 1-1 preslikavanje5. Ako je ���� � ��� baza V, onda je i �� ����� � � ����� baza

18

Page 19: Skripta Iz Linearne Algebre Pmf NS

Dokaz:� � � � A je bijekcija � A je NA� � � � �����)�*� � ����+�*� � ����� �� �����)�*� � �� �)�* � ��� � � � ��� �� � �*���� � *���� � *���� � *���� � � � *��� � ��� � � � �� � �� � � �*

� �� � ��� � � ���*���� � � ��*���� � �*����� � � ����� � �� vazi *��� � �, pa posto je A 1-1 sledi���� � � ���� � �� pa posto je ���� � ��� baza sledi �� � �� � � �� � �� �� ����� � � ����� linearno nezavisni, iz ����� ����� � � ����� � � sledi da je

baza.� � � � Dokazujemo da je A bijekcija:*���� � *����� �� �

��� ����� �� �

��� ����

*���

� ����� � *���� ������

��� ��*���� �

��� ��*�����

��� �������*���� �

�� �� � �� � �� � � �� � � � �� � �� � * je 1-1Proizvoljno � � ��� �

��� ��*���� � *�

��� ������

��� ���� � � � � � * je NA. �

Teorema: Ako su A i B regularne transformacije konacno dimenzionog vektorskogprostora V onda je i AB regularna linearna transfomacija i �*.��� � .��*��

Dokaz:�*.��.��*��� � *�..���*�� � -�.��*����*.� � .���*���*. � - �

Teorema: Ako je A linearna transformacija konacno dimenzionog vektorskog prostoraV(F) takva da postoji funkcija . � � � i *. � - onda je i .* � -, tj A je regularnalinearna transformacija, a B je inverzna linearna transformacija za A.

Dokaz: Ako je *. � - onda je B 1-1, a A je NA, po teoremi A je regularna linearnatransformacija, tada postoji 0 � -���� �� tako da je *0 � 0* � -.

*. � - � 0�*.� �0 � �0*�. � 0 � . � 0� tada *. � .* � -. �

Napomena: Ako je .* � -, a A je linearna transformacija, a B bilo koja funkcijatada A je 1-1, a B je NA, pa je isti dokaz, tako da u opstem slucaju*. � - �� .* � -.

3. Matrice

def: Matrica formata (tipa) � � � nad poljem F je pravougaona tablica elemenataiz F koja ima m vrsta i n kolona. Skraceno oznacavamo ��� ���� ili ����� elemente ��nazivamo elementi matrice.

19

Page 20: Skripta Iz Linearne Algebre Pmf NS

���

��� ��� � � � ������ ��� � � � ���...

......

��� ��� � � � ���

����

Matrice nad R i C zovemo realne, odnosno kompleksne matrice. Matricu formata��� ��� identifikovacemo sa a. Skup svih matrica formata��� nad poljem F oznacavamo����.

Kvadratna matrica reda n, je matrica formata n�n.

def: * � ��� ����, . � ������� dve matrice su jednake ako:su nad istim poljem, � � 1, � � 2, �� � �� , � � �� ��, � � �� � �.

def: * � �������, . � �������, zbir A+B je matrica/ � ��� ����, �� � ����� �� � �� � �, � � �� � �.

def: * � �������, � � � (mnozenje skalarom) proizvod �* je matrica . ��������, �� � ��� � � � �� � �� � � �� � �.

def: Matrica formata m�n:�

���

� � � � � �� � � � � �...

......

� � � � � �

����� ���� se naziva nula matrica.

Teorema: Za �*�.�/ � ���� i ��� � � � vazi:1. *� �. �/� � �*�.� � /2. *� � � � �* � *

3. *� ��*� � ��*� �* � �� ��*���� ����*

4. *�. � . �*5. ��*�.� � �*� �.6. ��� ��* � �*� �*7. ���*� � ����*8. �* � *Prve cetiri osobine daju da je (������) Abelova grupa, a svih osam, da je ���� vek-

torski prostor nad F.

Teorema: ��������� � ��.

def: * � ��� ����, . � ��� ���� proizvod AB je matrica / � ��� ����� �� ������ ����� , � � �� ��, � � �� � 1.

20

Page 21: Skripta Iz Linearne Algebre Pmf NS

def: Kvadratna matrica reda n:

���

� � � � � �� � � � � �...

......

� � � � � �

����

se naziva jedinicna matrica reda

n, -�-� � ����, �* � ����� *- � -* � *

3.1 Linearne transformacije i matrice

def: V(F), ���� � ��� baza, � � �� � ���

� ����� matrica formata � � �

���

����...��

����

naziva kordinatna kolona vektora x u odnosu na bazu ���� � ��� i oznacava sa ���� ,. � ���� � ���

� � � ��� je preslikavanje � � � ����� ovo preslikavanje je bijekcija.

Teorema: Ako je V(F) vektorski prostor sa bazom ���� � ��� onda za svako �� � � �i �� � � vazi: ��� �� � ��� � ��� i ���� � ����.

Dokaz: � ���

� ����� � ���

� ������ � �

��� ��� � �����

��� � ��� �

���

����...��

�����

���

����...��

�����

���

�� � ���� � ��...�� � ��

����

���� �� � ���� � ��������� � ����� �

Teorema: Ako je V(F) vektorski prostor sa bazom ���� � ��� onda je preslikavanje

� � � ����� definisano sa: ���� ��� ��� izomorfizam vektorskog prostora V u F���

Posmatramo vektorski prostor � �� � sa bazom ���� � ��� i linearno preslikavanje * �-���� �

� � �� � ���

� $��� � *��� ���

� $ �*����*�����*����� � *���� ovih n slika odredjuju linearnu transformaciju*���� � ����� � ����� � �����...*���� � ����� � ����� � �����

21

Page 22: Skripta Iz Linearne Algebre Pmf NS

def: Matricu reda n:

���

��� ��� � � � ������ ��� � � � ���

......

...��� ��� � � � ���

����

nazivamo matrica linearne trans-

formacije A u odnosu na bazu ���� � ��� i oznacavamo �*��� . � ���� � ���

Teorema: Ako je A linearna transformacija vektorskog prostora� �� �, sa bazom ���� � ������ � � , onda je �*���� � �*����

Dokaz:A, �*� � ��� �� �

��� $���� *��� �

��� $�*���� �

����� $�

���� ���� �

�����

����� $ ������

��� �

���

$�$�...$�

�����

�*�0�� �

���

����� $ ���������� $ �����

...����� $ �����

�����

���

��� ��� � � � ������ ��� � � � ���

......

...��� ��� � � � ���

����

���

$�$�...$�

����� �*����

Teorema: U vektorskom prostoru V(F), sa bazom ���� � ��� i *�. � -���� �� � ���*�.� � �*� � �.���*� � ��*��*.� � �*��.�

Teorema: U vektorskom prostoru V(F), sa bazom ���� � ��� i *�. � -���� �� � ��

� * ��� �*�� � -���� �� ���� je bijekcija��*�.� � ��*� � ��.����*� � ���*���*.� � ��*���.�

�-���� ���� �� �� �������� �� - prsteni

Teorema: �*�.�/ � ����

1. *�./� � �*.�/2. *�. �/� � *. �*/3. �*�.�/ � */ �./

def: Kvadratna matrica A je regularna ako postoji matrica B takva da je *. � .* �

22

Page 23: Skripta Iz Linearne Algebre Pmf NS

-. Matrica koja nije regularna naziva se singularna.

Teorema: Linearna transformacija konacno dimenzionog vektorskog prostora je regu-larna akko je regularna i njena matrica *. � .* � - �� �*��.� � �.��*� � �-�.

Teorema: Ako je A regularna linearna transformacija onda je �*��� � �*���, inverznamatrica.

Dokaz: �*��� � . � �*��� �

def: Determinanta matrice * � ���� je: �*� �

���������

��� ��� � � � ������ ��� � � � ���

......

...��� ��� � � � ���

���������

� � �*

Teorema: Kvadratna matrica [A] je regularna akko je �)3* � �Dokaz: [A] regularna �� A regularna linearna transformacija � � �* � �� �

�*��� � �� � � ��� ��*���� � �� ��� � ��� ��*�� � �

�*� � ��� �� ��� �

���

����...��

����

����� � � ����� � ������ � � ����� � �...����� � � ����� � �

�����

����� �� � � �� � �

3.2 Elementarne transformacije i matrice

def: Ako je * � ���� onda su elementarne transformacije te matrice:1. zamena mesta dve vrste ili kolone2. mnozenje svih elemenata jedne vrste (kolone) skalarom, razlicitim od nule3. dodavanje elemenata jedne vrste (kolone) prethodno pomnozenih nekim skalarom,

odgovarajucim elementima druge vrste (kolone)

def: Elementarne matrice su matrice dobijene od jedinicne matrice vrsenjem tacnojedne elementarne transformacije.

� -� - elementarna matrica kod koje su i-ta vrsta i j-ta vrsta zamenile mesta� -���� - i-ta vrsta je pomnozena skalarom k

23

Page 24: Skripta Iz Linearne Algebre Pmf NS

� -���� - j-ta vrsta je pomnozena skalarom k i dodata i-toj vrsti

def: * � ���� � ����� transponovana matrica je*� �

���

��� ��� � � � ������ ��� � � � ���

......

...��� ��� � � � ���

����

� -�

� promene se odnose na kolone� -

����

� -�

����

Teorema: Neka je * � ����. Ako je P matrica dobijena od jedinicne matrice reda m,vrsenjem jedne elementarne transformacije na vrstama, onda je PA matrica koja se dobijaod A vrsenjem te iste elementarne transformacije.

Ako je Q matrica dobijena od jedinicne matrice reda n vrsenjem jedne elementarnetransformacije na kolonama onda je AQ matrica koja se dobija od A vrsenjem te iste ele-mentarne transformacije.

Teorema: Elementarne matrice su regularne, a njihove inverzne matrice su takodjeregularne matrice.

Dokaz:-�-� � - � -��

� � -�-����-��

�� � � - � -��

� ��� � -���� �

-�����-���� � - � -��� ��� � -����� �

def: Rang po vrstama matrice je maximalni broj linearno nezavisnih vektora vrsta tematrice.

Rang po kolonama matrice je maximalni broj linearno nezavisnih vektora kolona tematrice.

Rang po minorima matrice je broj r, takav da postoji minor reda r, razlicit od nule, asvi minori reda veceg od r du jednaki nuli.

Rang po kolonama matrice jednak je dimenziji prostora kolona. Rang po vrstama ma-trice jednak je dimenziji prostora vrsta.

Teorema: Vrsenjem elementarnih transformacija na matrici ne menja se njen rang povrstama, kolonama i po minorima.

Dokaz: za rang po kolonama, * � ���� � ����

1. *-�

� - ne menja se2. -�*

24

Page 25: Skripta Iz Linearne Algebre Pmf NS

��

�������������

������...��...���...���

��������������

����

�������������

������...��...���...���

��������������

� ��

����� � � ����� � ������ � � ����� � �...����� � � ����� � �

�����

����skup resenja

se ne menja3. *-

���� ���� � ����� ���� ����� � ��� ���� � � ����� � � �����ne menja se

4. -����* Nista se ne menja5. *-

���� ���� � ����� �� � �� � ����� � �������� � ����� �� � ��� ����� � ��� � ����� � ����� ��� ����� � ��� - dimenzija

ostaje ista6. -����* sistem prevodi u ekvivalentan sistem, pa se nista ne menja. �

Teorema: Za svaku matricu rang po kolonama jednak je njenom rangu po vrstama i pominorima.

Dokaz: * � ��� � � ����

Za A=0 tvrdjenje vazi.* � ��onda postoji �� � �� tada �� dovedemo transformacijama na mesto 1,1

-��*-� �

���

��� ��� � � � ������ ��� � � � ���...

......

��� ��� � � � ���

����� ��� � �� � �

Primenjujemo transformacije -������������ � -����

���

��� � i dobijamo

-���������� �-����

���

��� �. �

���

��� ��� � � � ���� ���� � � � ����...

......

� ���� � � � ����

����

Analognim transformacijama matricu svodimo na C=

���

��� � � � � �� ��� � � � ���...

......

� ��� � � � ���

����

Postupak ponavljamo za blok unutar matrice C i u konacnom broju koraka dobijamo

25

Page 26: Skripta Iz Linearne Algebre Pmf NS

4 �

�����

�� � � � � �� ��...

. . .� ��

� �

������

prvih r kolona cine linearno nezavisan niz, i rang po vrstama i po minorima je takodjer.

Matrica D moze dalje da se transformise i da se dobije:

� �

�����

� � � � � �� �...

. . .� �

� �

�������

�-� �� �

Teorema: Rang linearne transformacije konacno dimenzionog vektorskog prostora jed-nak je rangu njene matrice.

Dokaz: * � -���*�� vektorski prostor V, sa bazom ���� � ���� matricu linearnetransformacije �*�.

Svaki vektor � � ��* se moze prikazati na sledeci nacin,� � *���, � � �� � ���� ����� � *��� �

��� ��*����� sledi da je +�* � ��*����� � *����� i to je podprostor

od V.� � � ���� � �� ����

���*������ � �*������ to je slika u F.posmatramo kolone matrice �*� � ��*������ � �*���������*�� � �������*������ � �*���������*� � ������*� � ������*����� � *������ � �������*������ � �*������� �

���*�� �

Teorema: Kvadratna matrica je regularna akko je njen rang jednak redu.Dokaz: Ako je A regularna � � �* � �� ��*� � � �

Teorema: Kvadratna matrica je regularna akko se moze elementarnim transfomacijamasvesti na jedinicnu matricu.

def: Nulitet matrice reda n, ranga r, je n-r.

Teorema: Nulitet linearne transformacije konacno dimenzionog vektorskog prostorajednak je nulitetu njene matrice.

Dokaz: Nulitet linearne transformacije je���)�*�, po teoremi

26

Page 27: Skripta Iz Linearne Algebre Pmf NS

���)�*� � ��� �� ��+�*� � �� ���*�� � �� �. �

Teorema: Svaka regularna matrica jednaka je prozivodu elementarnih matrica.Dokaz: A je regularna matrica, pa se moze svesti na jedinicnu.-�-�*-�- � -� * � �-�-�����-�- ���� * � -��

� -��� -

��-�

���

Teorema: Ako je A proizvoljna kvadratna matrica, a E elementarna transformacija istogreda, onda je �AE�=�A��E�.

Dokaz:1. �*-�� � ��*�, �-�� � ��2. �*-����� � ��*�, �-����� � �3. �*-����� � �*�, �-����� � � �

Teorema: Za svako *�. � ���� vazi �*.� � �*��.�Dokaz:1. B je regularna. Po teoremi moze da se napise kao proizvod elementarnih matrica

. � -�� �-�

�*.� � �*-�-�-�� � �*-�-�����-�� � � �*��-���-�� �

� �*��-�-���-�� � �*��-�-�� � �*��.�

2. B je singularna. Pretpostavimo da je AB regularna, tada �0� 0�*.� � -, tj�0*�. � -�B je regularna, sto je kontradikcija, pa je AB singularna matrica i �*.� � �i �*��.� � �. �

Posledica: Ako je A regularna matrica onda �*��� � �*���Dokaz: **�� � - � �*��*��� � �� �*��� � �

��� � �*��� �

def: Matrica A je ekvivalentna sa matricom B ako se A moze elementarnim transfor-macijama svesti na B, oznaka * � .

Teorema: Matrica A je ekvivalentna sa matricom B akko postoje regularne matrice P iQ takve da je PAQ=B.

Dokaz:�) Neka je * � . � -�-�*�-�- � .,5 � -�-�� 6 � -�- - P i Q su regularne i � 5*6 � ..�) 5*6 � ., svaka regularna matrica je jednaka proizvodu elementarnih matrica� -�-�*�-�- � . � * � . �

Teorema: Ekvivalencija matrica je relacija ekvivalencije.

Teorema: Dve matrice istog reda su ekvivalentne akko imaju isti rang.Dokaz:

27

Page 28: Skripta Iz Linearne Algebre Pmf NS

�� ��*� � ��.� � � � * �

�-� �� �

�� . � * � .

3.3 Teoreme o rangu matrice

Teorema: Ako *�. � ���� onda ��*�.� � ��*� � ��.�Dokaz:* � ���� � ���� �� � ����, ��*� � ������� � ����,. � ���� � ���� �� � ����� ��.� � ������� � �����*�. � ��� � ��� � �� � ���� ��*�.� � ������ � ��� � �� � �������� � ��� � �� � ��� � ����� � ��� � ����� � ���iz teoreme �� � � � � �� � � � � �� � � ��� �� �� � � � � �� � � ��� �dobijamo:

������ � ��� � �� � ���� � ������� � ��� ������ � ���� �

� ������� � ���� � ������� � ����

� ��*�.� � ��*� � ��.���*�.� � ��*� � ���.� � ��*� � ��.�. �

Posledica: Ako A,B� ���� onda je ��*�.� � ���*�� ��.��Dokaz: ��*� � ��*�. �.� � ��*�.� � ��.���*�.� � ��*�� ��.���*�.� � ��. �*� � ��.�� ��*� � ����*�� ��.��

�� ��*�.� � ���*��

��.����*�.� � ��*� ��.�� � ���*�� ���.�� � ���*�� ��.�� �

Teorema: Ako * � ����� . � ����� onda je ��*.� � ������*�� ��.��Dokaz: * � ��� �� . � ��� �

*. �

���

��� ��� � � � ������ ��� � � � ���...

......

��� ��� � � � ���

����

���

.�

.�

...

.�

�����

���

���.� � ���.� � � ���.�

���.� � ���.� � � ���.�

...���.� � ���.� � � ���.�

����

.� � � ���, � � �� � � � ��.�� �.�� � �����.� � ���.� � � ���.�� � ���.� � ���.� � �

���.�� � ��� � � ��� �� ��.� � ��*.�

*. ��*� *� � � � *�

���

��� ��� � � � ������ ��� � � � ���...

......

��� ��� � � � ���

����� ����*� � � ���*�� � ���*� � � ���*��

28

Page 29: Skripta Iz Linearne Algebre Pmf NS

*� � ����, � � �� � �

napomena: *������ �

���

������������...������

����� ���

���

������...���

����� ���*�

5 � ��*�� �*�� � �����*� � � ���*�� � ���*� � � ���*�� � ���5 � � ����� ��*� � ��*.� �

Teorema: Rang matrice se ne menja ako se ona pomnozi sa regularnom matricom.Dokaz: Regularna matrica je jednaka prozivodu elementarnih matrica, a mnozenjem

sa elementarnim matricama, rang se ne menja. �

Teorema: Ako * � ����� . � ����� onda je ��*.� � ��*� � ��.�� �Posledica: Za kvadratne matrice, nulitet 7�*��� ��*.� � �� ��*� � � � ��.�� 7�*.� � 7�*� � 7�.�

3.4 Promena baze

Imamo vektorski prostor V(F) sa dve baze ���� � ��� i ���� � ���� � �� � �

��� $��� �

��� %���

�� � ����� � � ������� � ����� � � �����...�� � ����� � � �����

� ���

� %��� ���

��� %���

��� ����� ���

������

��� %������� ���

� $ ���

���

$�$�...$�

�����

���

��� ��� � � � ������ ��� � � � ���

......

...��� ��� � � � ���

����

���

%�%�...%�

����

Dobili smo ���� � �������� a mozemo dobiti i obrnuto: ���� � ����������� � ������� � ���������� � ������ � -pa su ��� i ��� regularne i jedna drugoj inverzne�*���� � �*�����*������ � �*����� � ����*����� � ����*������ � ����*���������� vazi za svako

x� �� �*�� � ����*������odnosno �*�� � ����*���

���� ili �*�� � ����*���

����

29

Page 30: Skripta Iz Linearne Algebre Pmf NS

Posledica: Determinanta matrice linearne transformacije je invarijantna u odnosu napromenu baze.

Dokaz: ��*��� � �������*��������� � � �������*���������� � ��*��� �

3.5 Adjungovana matrica

def: Ako je * � ���� kvadratna matrica reda � � � i ako je sa *� � ������8�

oznacen kofaktor elementa ��u determinanti �*�, onda se matrica

*� �

���

*�� *�� � � � *��

*�� *�� � � � *��

......

...*�� *�� � � � *��

����

naziva adjungovana matrica matrice A, ozn *��*.

Teorema: Ako je * � ���� kvadratna matrica reda � � � onda je **� � *�* ��*�-

Dokaz:

**� �

���

��� ��� � � � ������ ��� � � � ���...

......

��� ��� � � � ���

����

���

*�� *�� � � � *��

*�� *�� � � � *��

......

...*�� *�� � � � *��

�����

���

��� ���*�� � � �

��� ���*����

� ���*�� � � ���

� ���*��

......��

� ���*�� � � ���

� ���*��

�����

���

�*� � � � � �� �*� � � � �...

......

� � � � � �*�

����� �*�-

Napomena za � � �

����� ���*� � ���*� � � ���*� �

�����������������

��� ��� � � � ���...

......

��� ��� � � � ���...

......

��� ��� � � � ���...

......

��� ��� ���

�����������������

� �

Posledica: �*�� � �*����

Dokaz: �*��*�� � �*�� �

30

Page 31: Skripta Iz Linearne Algebre Pmf NS

Teorema: Ako je A kvadratna matrica reda � � � onda vazi:1. ��*� � � � �� ��*�� � �2. ��*� � � � �� ��*�� � �3. ��*� � � � ��*�� � �Dokaz:1. po definiciji ranga preko minora: ��*� � �� �� *� � �� ��*�� � �2. r(A)=n-1** � �*�- � �

* �

������

� � � � �� �

. . . �... �

...� � � � �

�������

� -����

Posto su ekvivalentne, postoje regularne matrice P,Q tako da je 5 -���6 � *5 -���6*� � � 5��-��� 6*�����

� �� 6*� � . � ��� �

������

� � � � �� �

. . . �... �

...� � � � �

�������

���

��� ��� � � � ������ ��� � � � ���...

......

��� ��� � � � ���

�����

�����

��� ��� � � � ������ ��� � � � ���

......

...����� ����� � � � ������ � � �

�������

zato je 6*� � . �

�����

� � � � � �� � � � � �...

......

� � ���� ��� � � � ���

������� pa je ��6*�� � �

Posto je Q regularna matrica, pa se pri mnozenju sa njom rang ne menja sledi ��*�� � �Posto je ��*� � � � � postoji bar jedan minor reda �� � razlicit od 0, pa *� � �� ��*�� � �3. �*�� � �*���� � � �

Teorema: Ako su A,B kvadratne matrice reda � � ��onda je �*.�� � .�*�

Dokaz: samo za regularne matrice*.�*.�� � �*.�- *�

*�*.�*.�� � �*��.�*� � �*�.�*.�� � �*��.�*�

� .�*.�� � �.�*� .�

� .�.�*.�� � �.�*�.� � �.��*.�� � �.�*�.� � �*.�� � .�*� �

31

Page 32: Skripta Iz Linearne Algebre Pmf NS

Teorema: Ako je A kvadratna matrica reda � � ��onda je:a) � � �, �*��� � *b) � � �, �*��� � �*����*Dokaz:a) proveromb) �*� � � - A regularna*��*��� � �*��- *� **��*��� � �*����* � �*��� � �*����*�*� � � - A je singularana, pa je ��* � � � � �� �� ���*���� � �� �*��� � �� �*����* � �*��� � � �

3.6 Postupci za odredjivanje inverzne matrice

1. **� � �*�- � *�� � ����*

2. *0 � -� 0 � �0�� 0�� �0��� - � �-��-�� �-��� 0��-� � ����� � ��� � �

*�0��0�� �0�� � �-�� -�� �-��*0� � -��*0� � -�� �*0� � -� - sistem od n jednacina3. -�-�*-�- � -* � �-�-�����-�- ��� � *�� � -�- -�-�4.Teorema: Svaka regularna matrica moze se samo elementarnim transformacijama vrste

dovesti na jedinicnu matricu.Dokaz:

* �

���

��� ��� � � � ������ ��� � � � ���...

......

��� ��� � � � ���

����

Postoji ��� � �� jer je A regularna. Pa transformisemo tako da taj element dodje napoziciju 1,1

-��* � . �

���

��� ��� � � � ������ ��� � � � ���

......

...��� ��� � � � ���

����

Vrsimo sledece transformacije, da bi u prvoj koloni osim u prvoj vrsti dobili 0.

-�����������-����

�������. � .

���

��� ��� � � � ���� �

�� � � � ��

��...

......

� ��

�� � � � ��

��

����� i jos transformaciju

32

Page 33: Skripta Iz Linearne Algebre Pmf NS

-��������

-�������.

� / �

���

� ��

�� � � � ��

��

� ��� � � � ���...

......

� ��� � � � ���

����

Posmatramo elemente ���� � ���, oni ne mogu svi biti 0, jer bi inace prve dve kolonebile linearno zavisne, pa postupak ponovimo za drugu kolonu i dobijamo:

4�

�����

� ��

�� ��

�� � � � ��

��

� � ��� � � � ���� � ��� ���...

......

� � ��� � � � ���

������� i onda-�����

���4 �

�����

� � ��� � � � ���� � ��� � � � ���� � ��� ���...

......

� � ��� � � � ���

�������

postupak nastavljamo sve dok ne dobijemo E. �

-�-�* � - � *�� � -�-�Da bi dobili *�� na E primenjujemo one matrice koje kada istim redom primenimo na

A dobijamo E: �*�-� � �-�*���

3.7 Polinomne matrice

def: Polinom je beskonacni niz elemenata polja ���� ��� � kod koga je samo konacnomnogo elemenata razlicito od 0.���� �� �� � ��� ��� �� �� � � �� ���� ��� � ��� �� � � ������� ����

F- polje� �9�-skup svih polinoma po 9 u polju F.n - stepen polinoma. Ako je �� � � polinom je normalizovan.Teorema: Ako ��9�� #�9� � � �9�� #�9� � �� onda jedinstveno postoje polinomi :�9�,

��9�, tako da ��9� � :�9�#�9� � ��9�, �)#���9�� ; �)#�#�9�� ili ��9� � �.

def: ��9� � � � #�9� je trivijalna faktorizacija

def: Polinom ��9� � � �9� je nesvodljiv nad F ako je njegova jedina faktorizacija nadF trvijalna.

Teorema: (Bezuova ) Ostatak pri deljenju polinoma ��9� polinomom 9� � je ����.Dokaz: ��9� � :�9��9� �� � �, za 9 � � � ���� � � �

def: Za ��9�� #�9� � � �9� koji nisu istovremeno jednaki nula polinomu, najveci za-jednicki deljitelj, NZD je polinom ��9� takav da:

1. ��9����9� i ��9��#�9�2. ��9� je normalizovan polinom3. svaki zajednicki deljitelj polinoma ��9� i #�9� je delitelj i ��9�.

33

Page 34: Skripta Iz Linearne Algebre Pmf NS

Teorema: Ako su ��9�� #�9� � � �9�koji nisu istovremeno jednaki nula polinomu, ondapostoji tacno jedan njihov zajednicki delitelj ��9� i postoje polinomi (�9� i 3�9� takvi daje:

��9� � ��9�(�9� � #�9�3�9�

Euklidov algoritam: Jedan polinom delimo drugim i dobijamo kolicnik i ostatak, tadadelilac postaje deljenik, a ostatak delilac.

Teorema: Svaki ��9� � � �9�, gde ��9� � � moze se predstaviti u obliku ��9� ��2��9�2��9�, � � �� 2��9�� � � �� � � su normalizovani nesvodljivi polinomi.

def: Preslikavanje �� ��� � � �9� naziva se polinomna matrica formata �� ��� � �� ����

���

����9� ����9� � � � ����9�����9� ����9� � � � ����9�...

......

����9� ����9� � � � ����9�

����

* � ����

*9 � 9*Matricni polinomi:*�9� � *�9� � �*�9�*� � 9�*� � � 9*� �*�� *� � ����� � �

�� �� � �

��9�� 9 � � � �� ����*�9�, umesto 9 stavimo matricu C, 9 � / � ����

def:*�/� � �*�/ �*� � *�/�/�*� � � /*� �*� � * �/�

Teorema: Ako su*�9� � *�9���*�9�*� i.�9� � .�9���.�9�.��ma-

tricni polinomi takvi da je �.�� � �, onda jedinstveno postoje polinomi6�9����9��6 �9�i � �9� takvi da je:

*�9� � 6�9�.�9� ���9�*�9� � .�9�6 �9� �� �9�Pri cemu �)#���9�� ; �)#�.�9�� ili ��9� � � i �)#�� �9�� ; �)#�.�9�� ili

� �9� � �.

Teorema: Ako je *�9� polinomna matrica i . � ���� onda je desni ostatak deljenja*�9� sa 9- �., � � *�.�� a � � * �.� levi.

Dokaz: *�9� � 6�9��9- �.� ��

34

Page 35: Skripta Iz Linearne Algebre Pmf NS

*�9� � �6�9� �6���9

��� � �6�9�6���9- �.� ��

*�9� � 6�9��� � �6��� �6�.�9� � � �6� �6�.�9�6�. ��

*��.� � 6�.����6���.��6�.�����6�.�6�.

��6�.�� � �

a * �.� � .���6� � �.�6�. �� �

def: Ako je* � ���� onda se matrica 9-�* naziva karakteristicna matrica matriceA.

def: Ako je * � ���� onda se polinom �9- � *� naziva karakteristicni polinommatrice A. Za matricu reda n karakteristican je normalizovan polinom n-tog stepena.

def: Ako je* � ���� onda se �9-�*� � � naziva karakteristicna jednacina matriceA.

def: Ako ��9� � � �9� i ��9� � ��9� � � ��9 � �� i ako je * � �����onda je

��*� � ��*� � � ��*� ��-

Teorema: (Calyley-Hamilton ) Ako je * � ���� matrica ciji je karakteristicni polinom��9� � ��9� � � ��9� �� onda je ��*� � �.

Dokaz: **� � �*�-�9- �*��9- �*�� � �9- �*�- � ��9�- � � � ��*� � � �

3.8 Elementarne transformacije polinomnih matrica

def: Elementarne transformacije polinomnih matrica su sledece transformacije:1. zamena mesta dve vrste (kolone)2. mnozenje svih elemenata vrste (kolone) skalarom razlicitim od nule3. dodavanje elemenata jedne vrste (kolone) prethodno pomnozenih nekim polinomom

odgovarajucim elementima neke druge vrste (kolone)

def: Elementarna matrica je matrica dobijena od jedinicne primenom jedne elemen-tarne transformacije.

Teorema: Svaka elementarna matrica ima inverznu matricu koja je takodje elementarnamatrica.

def: Matrica *�9� je ekvivalentna sa .�9�� ako se *�9�moze elementarnim transfor-macijama svesti na .�9�

Teorema: *�9� � .�9� akko postoji 5 �9��6�9� jednake proizvodu elementarnihmatrica tako da je 5 �9�*�9�6�9� � .�9�.

35

Page 36: Skripta Iz Linearne Algebre Pmf NS

Teorema: Ekvivalencija polinomnih matrica je relacija ekvivalencije.

3.9 Rang polinomnih matrica

def: Rang je format maksimalnog minora razlicitog od nule.

Teorema: Ekvivalentne matrice imaju isti rang.

Teorema: Ako je *�9� polinomna matrica ranga r onda je ona na � �9� ekvivalentna samatricom ��9� � ���#����9�� � ���9�� �� � ��� gde su ���9�� � ���9� normalizovanipolinomi tako da ���9�������9�� � � �� � � � �.

Dokaz: Ako *�9� � � dokaz je jasan.Ako *�9� � � posmatramo sve ekvivalentne matrice i uocimo element najmanjeg

stepena, a onda ga elementarnim transformacijam dovedemo na mesto 1,1.

*�9� � .�9� �

���

����9� ����9� � � � ����9�����9� ����9� � � � ����9�

......

...����9� ����9� � � � ����9�

�����

����9� � 2�9�����9����9�� gde je stepen ��9�manji od stepena ����9� ili je ��9� � �.

-����2�9��. �

���

����9� ����9� � � � ����9���9� ����9� � � � ����9�

......

...����9� ����9� � � � ����9�

����

Posto je ����9� element sa najmanjim stepenom� ��9� � �� ����9������9�� analognosvi elementi u prvoj vrsti i u prvoj koloni su deljivi sa ����9�, pa ih elementarnim transfor-macijama svodimo na 0 i dobijamo:

.�9� � /�9� �

���

����9� � � � � �� ����9� � � � ����9�...

......

� ����9� � � � ����9�

����

-��/�9� �

���

����9� ����9� � � � ����9�� ����9� � � � ����9�...

......

� ����9� � � � ����9�

����� posto smo matricu sveli na prethodni

oblik, analogno sledi da su ����9�����9�� �� � � �� � �� i rezultati elementarnih trans-formacija nad njima ce biti deljivi sa ����9�.

Sa matricom /�9� nastavimo isti postupak sve dok ne dobijemo:

36

Page 37: Skripta Iz Linearne Algebre Pmf NS

/�9� � 4�9� �

�����������

����9� � � � � �� ����9� � � � �

� �. . .

...... ����9�

...�

. . .� � � � � �

������������

� polinome normal-

izujemo deljenjem vrsti koeficijentima vodecih clanova polinoma i dobijamo:

*�9� � � �9� �

�����������

���9� � � � � �� ���9� � � � �

� �. . .

...... ���9�

...�

. . .� � � � � �

������������

� sto je i trazeno.

def: Matrica ��9� iz prethodne teoreme naziva se Smitova kanonicka (normalna)matrica za matricu *�9�

def: Ako je *�9� polinomna matrica onda je ����9� NZD svih minora formata � � �od A.

Teorema: Ako su *�9� i .�9� ekvivalentne polinomne matrice onda je ����9� �����9�, � � �� � �.

Ako su svi minori jednaki nuli onda je ����9� � �

*�9� � ��9� �

�����������

���9� � � � � �� ���9� � � � �

� �. . .

...... ���9�

...�

. . .� � � � � �

������������

���9� � ���9����9� � ���9����9�...���9� � ���9����9����9� � �� � � � � �� � �

37

Page 38: Skripta Iz Linearne Algebre Pmf NS

���9� � ���9�

���9� ���������

...���9� �

����������

Za datu matricu A, svi ��� � �� su fiksni i onda se mogu dobiti jedinstveno odredjeni��� � ��, znaci Smitova matrica za A je jedinstvena.

def: Ako je ��9� � ���#����9�� � ���9�� matrice *�9�, polinomi ���9�� � ���9�su invarijantni faktori. Oni koji su jednaki jedan su trivijalni.

Teorema: Matrice *�9� i .�9� su ekvivalentne akko imaju iste invarijantne faktore.

Teorema: Matrica *�9� jednaka je proizvodu elementarnih matrica akko je �*� � � ��� � � �

Dokaz:�� *�9� � -��9� -��9��*�9�� � � -��9��� -��9�� � �*�9�� � ���� � � � ��� �*�9�� � � � �� ��*� � ��5 �9��6�9� tako da 5 �9�*�9�6�9� � ��9� � ���#����9�� � ���9���5 �9��� �� ���

�*�9�� �6�9��� �� ���

� ���9�� � ����9������9�� � �����

���9� � � ���9� � �� posto su svi konstante i normalizovani su� 5 �9�*�9�6�9� � - � *�9� � 5���9�6���9� �

Teorema: *�9� ima inverznu matricu nad � �9� akko je �*�9�� konstanta razlicita odnule.

Dokaz:�� vazi po prethodnoj teoremi.�� *�9� ima inverznu matricu *���9� tako da je*�9�*���9� � - � �*�9���*���9�� � �� oba moraju biti konstante razlicite od 0

� �*�9�� � � �

def: Matrica A� ���� je slicna sa matricom B� ���� ako postoji regularna matricaP� ���� takva da vazi: * � 5��.5� pisemo *

�� . Vazi * �

� . � * � .

Teorema: Relacija slicnosti je relacija ekvivalencije.

Teorema: Matrice A,B� ���� su slicne akko su njihove karakteristicne matrice 9-�*i 9- �. ekvivalentne. * �

� . �� 9- �* � 9- �.Dokaz:�� * � 5��.5 � 9- �* � 9- � 5��.5 � 9- �* � 5���9- �.�5

38

Page 39: Skripta Iz Linearne Algebre Pmf NS

�� 9- �* � 9- �.� uvodimo oznaku * � 9- �** � 5 .65 � *������ 6 � � *� �� ��� � � �����9�� � i �� su nultog stepena jer

je * prvog stepena, pa ���� � ����

* � 5 .6 � � *�� ���� .� � *� �� � *�� . � *� *�� . � ��� . � *��� . � �

� *�� . � *� *�� .�6� � *� � �5 � *��� . � *��� . � �

� *�� . � *� *�� .6������� �

� *�� . � *� 5 .��������

� *� *�� . � *��� . � �

� *��5�� *� *6�� � *� *�� . � *��� . � �

� *���5�� �6�� � ��� . �� �� �

� *��� . �

� * � */ *��� . � � 9- �* � �9- �*�/�9��9- �*� ����9- �.� ��stepen sa leve strane jednacine je jedan, a sa desne je veci ili jednak dva, sto je kon-

tradikcija� /�9� � �� 9- �* � ���9- �.� � � 9- �* � 9�� � ���. �

9- � 9�� � � �� � ���* � ��. �

� * � ��� . � � *�� .

def: Ako je * � ���� onda se invarijantni faktori matrice 9- � * nazivaju invari-jantne slicnosti.

Teorema: Dve matrice su slicne akko imaju redom jednake invarijantne slicnosti.

Teorema: Karakteristicni polinom matrice * � ���� jednak je proizvodu njenih invar-ijantnih slicnosti.

Dokaz: 9-�* svedemo na� ,5 �9��9-�*�6�9� � ��9� � ���#����9�� � ���9���5 �9��� �� ���

��9- �*�� �6�9��� �� �

��

� ���9����9�� ������9- �*�� � ���9����9�

proizvod polinoma sa desne strane je normalizovan, kao i polinom ��9- � *�� ����� � �

� ��9- �*�� � ���9����9� �

Posledica: Slicne matrice imaju jednake karakteristicne polinome.

def: Ako je * � ���� normalizovan polinom najmanjeg stepena ��9� takav da je��*� � � naziva se minimalni polinom matrice A.

Teorema: Ako je * � ���� i ��9� � � �9� onda je ��*� � � akko je polinom ��9�deljiv minimalnim polinomom ��9� matrice A.

Dokaz:

39

Page 40: Skripta Iz Linearne Algebre Pmf NS

�� ��*� � �� za ��9�, ��9�, postoje 2�9� i ��9� tako da ��9� � 2�9���9� � ��9�.za 9 � * ��*� � 2�*���*� � ��*�� ��*� � �� ��9� � �� ��9����9�����9����9�� ��9� � 2�9���9�9 � * ��*� � 2�*���*�� ��*� � � �

Posledica 1: Karakteristicni polinom matrice je deljiv njenim minimalnim polinomom.Posledica 2: Za datu matricu minimalan polinom postoji jedinstveno.Dokaz: Pretpostavimo da su ���9� i ���9� minimalni polinomi, tada ���9�����9�,

ali i ���9�����9�� ���9� � ���9� �

Teorema: Minimalni polinom matrice * � ���� jednak je invarijantnoj slicnosti na-jveceg stepena te matrice. ���9� � ���9��

Dokaz: �9- �*� ����9������9�� �� �������

���9� � �����9����9�

Dokazano je da je �����9� NZD svih minora formata ��� ��� ��� �� �9- �*�� � �����9�.�9�� �����9� smo izvukli iz svih minora.�9- �*��9- �*�� � �9- �*�- � �����9��9- �*�.�9� � �����9����9�-� �9- � *�.�9� � ���9�-� po teoremi analognoj bezuovoj � ���*� � � �

���9� � 2�9���9�� �9- �*�.�9� � 2�9���9�-� iz ��*� � �� ��9�- � �9- �*�/�9�� �9- �*�.�9� � 2�9��9- �*�/�9�� .�9� � 2�9�/�9�� 2�9� je skalar i sledi

da 2�9���<4�.� � �� 2�9� � �� ���9� ���9� �

def: Neka je ��9� � 9� � ����9��� � � ��9 � �� normalizovan polinom nad

poljem F.

Matrica /���9�� �

�����

����� � � � � � ������ � � �

......

. . ....

��� � � ���� � � � � � �

������se naziva prateca matrica poli-

noma ��9�

Teorema: Karakteristican i minimalan polinom pratece matrice /���9�� je ��9�Dokaz:

9-�/���9�� �

�����

9� ���� �� � � � � ����� 9 �� �

......

. . ....

�� � � 9 ���� � � � � � 9

������

vrste od prve do n-1. mnozimo

sa �9���,�9���,...,�9 redom i dodajemo n-toj vrsti:

40

Page 41: Skripta Iz Linearne Algebre Pmf NS

9- � /���9�� �

�����

9� ���� �� � � � � ����� 9 �� �

......

. . ....

�� � � 9 ����9� � � � � � �

������

�9- � /���9��� �

�����������

9� ���� �� � � � � ����� 9 �� �

......

. . ....

�� � � 9 ����9� � � � � � �

�����������

� ���������9�������� �

��9�Treba dokazati da je ��9�minimalan polinom.Po teoremi � ��9� � ���9����9�Po teoremi � ��9� � ���9�Po teoremi � �����9� � ���9������9�� ��9� � �����9���9�� �����9� � �� ��9� � ��9� �

Teorema: Neka su karakteristicni i minimalni polinom matrice A jednaki ��9�, a min-imalni i karakteristicni polinom matrice B jednaki #�9� Matrice A i B su slicne akko��9� � #�9�

Dokaz:9- �* � ���#��� �� � ��9��9- �. � ���#��� �� � #�9��

���������� *

� .

3.10 Karakteristicni koreni i vektori

def: Neka je V(F) vektorski prostor i A linearna transformacija vektorsog prostora V.Ako su � � �� � � �� 9 � � takvi da je *��� � 9�� onda se � naziva karakteristicnivektor, a 9 karakteristicni koren linearne transformacije A.

def: Neka je * � ���� Ako su � � ����� � � �� 9 � � takvi da je *� � 9�� onda se� naziva karakteristicni vektor, a 9 karakteristicni koren matrice A.

*��� � 9� �� �*���� � 9���*� � 9�� � � -� � �9- �*�� � �

def: Skup svih karakteristicnih korena naziva se spektar i oznacavamo ga sa =�*�

def: Ako je A linearna transformacija, a 9� jedan njen karakteristicni koren, onda seskup vektora ��9�� � ��*��� � 9��� naziva invarijantni podprostor transformacije

41

Page 42: Skripta Iz Linearne Algebre Pmf NS

A koji odgovara korenu 9�.

Teorema: Ako je A linearna transformacija vektorskog podprostora V, onda je ��9��invarijantni podprostor vektorskog prostora V.

Dokaz: �� � � ��9��� �� � � �*������� � *�����*���� � �*�����*��� � �9����9�� � 9�������� �

Teorema: Ako je A matrica reda n, a 9� koren visestrukosti k njene karakteristicnejednacine, onda je rang matrice ��9�- �*� � �� �� a ���� ��9��� � �.

Teorema: Ako su 9�� � 9� svi karakteristicni koreni matrice A reda n, pri cemu su uprethudnom nizu visestruki koreni navedeni onoliko puta kolika im je visetrukost, onda je:

a) �*� � 9�9�b) 3�* � 9� � � 9�Dokaz:

�9- �*� �

���������

9� ��� ���� � � � �������� 9� ��� � � � ����...

......

���� ���� � � � 9� ���

���������

� 9� � ���� � � ����9��� �

� ������*���9� � ��9

� � ����9��� � � ��9� ��

���� � ���9-�*� � �9�9���9�9���9�9�� � 9���9���9��9

����������9�9�� ���� � � ���� � 9� � � 9� � 3�* � �*� � 9�9� �

3.11 Kanonicke forme slicnih matrica

Teorema: Matrica A reda n je slicna sa dijagonalnom matricom akko A ima n linearnonezavisnih karakteristicnih vektora.

Dokaz:�� Iz pretpostavke, postoji regularna matrica P tako da je5��*5 �4 � ���#���� � ���

9- �4 �

���

9� �� � � � � �� 9� �� � � � �...

......

� � � � � 9� ��

����� �9- �4� � �9� ����9� ���

znaci karakteristicni koreni za D su ��� � ��� karakteristicni vektori su )�� � )��

���

�� � � � � �� �� � � � �...

......

� � � � � ��

����

���

��...�

����� ��

���

��...�

����� 4)� � ��)�� � � �� � �

Slicne matrice imaju iste karakteristicne korene

42

Page 43: Skripta Iz Linearne Algebre Pmf NS

*5)� � 54)� � 5��)� � ��5)�� � � �� � � � 5)�� � 5 )� su karakteristicnivektori matrice A

)�� � )� su linearno nezavisni i P je regularna � 5)�� � 5)� je linearno nezavisanniz.

�� A ima karakteristicne vektore ��� � �� i oni su linearno nezavisni,*�� � 9���� � � �� � �� �� � ����

5 � ���� � ��� � ����

*5 � *���� � ��� � �*��� � *��� � �9���� � 9���� � ���� � ���

���

9� � � � � �� 9�...

. . .� 9�

����

� �� �!

54P mora biti regularno, i vazi 5��*5 � 4 �

def: Matrica oblika

���

*�� *�� � � � *��*�� *�� � � � *��

......

...*�� *�� � � � *��

����� k�1, gde su*��� � � �� � � kvadratne

matrice, *� � �� � � �� naziva se kvazi-dijagonalna matrica.* � ���#�*�� � *��. � ���#�.�� � .��*�. � ���#�*� �.�� �*� �.��� � �� �* � ���#��*�� � �*��*.=���#�*�.�� � *�.��*� � ���#�*�

� � �*�� �

ako je A regularna matrica *�� � ���#�*��� � �*��� �ako je 1�9� � � �9� 1�*� � ���#�1�*��� � 1�*���

Teorema: Ako je * � ���#�*�� �*�� i . � ���#�.�� �.�� i ako su dijagonalniblokovi kvazi dijagonalne matrice A slicni odgovarajucim dijagonalnim blokovima matriceB, onda su i matrice A i B slicne. tj 5��� *�5� � .�� � � �� � � � 5��*5 � .�5 � ���#�5�� � 5��

Teorema: Kvazi dijagonalna matrica * � ���#�*�� � *�� slicna je sa matricom . ����#�*��� �*���� gde je ��� � �� proizvoljna permutacija indeksa �� � �.

Dokaz: na konkretnom primeru

* �

��

� � � �� � � �� � � �� � � �

��� � . �

��

� � � �� � � �� � � �� � � �

���

43

Page 44: Skripta Iz Linearne Algebre Pmf NS

-��-�-��-��*-��-��-�-�� �

��

� � � �� � � �� � � �� � � �

���

Znamo da je -��� � -��

5 � -��-��-�-��� 5�� � �-��-��-�-����� � -��

�� -��� -

���� -

���� � -��-�-��-���

Dakle . � 5��*5Analogno za opsti slucaj. �

Teorema: Neka je A matrica cije su netrivijalne invarijantne slicnosti ���9�� � ���9�Matrica A je slicna sa matricom . � ���#�/����9�� � /����9�� Matrica B se nazivaprva kanonicka forma klase matrica slicnih sa A.

Dokaz: Invarijantne slicnosti za /����9�� su �� � �� ���9��*

� . � 9- �* � 9- �.

9- �. �

���

9- �/����9�� � � � � �� 9- � /����9��...

. . .� 9- � /����9��

�����

������������������������

� � � � � �� �...

. . .� ���9�

� � � � �

� � � � � �� �...

. . .� ���9�

.... . .

� � � � � �� �...

. . .� ���9�

�������������������������

���������

� � � � � �

�. . .

�... ���9�

. . .� ���9�

����������

� 9- �*

44

Page 45: Skripta Iz Linearne Algebre Pmf NS

� * � . �

Teorema: Ako je ���9� minimalni polinom matrice *�� � � �� � �, onda je mini-malni polinom matrice . � ���#�*�� �*�� najmanji zajednicki sadrzalac za polinome���9�� � ���9�

Dokaz: 1�9� � � �9�� 1�.� � ���#�1�*��� � 1�*���1�.� � ��� 1�*�� � �� � 1�*�� � �� ���9��1�9�� � ���1�9�� �� � �< ����9�� ����9�� �

def: Neka je *�9� � �����9�� ako su ���9�� � ���9� invarijantni faktori matrice*�9�i ���9� � 1����� �9�1

��������9�� � � �� � �, gde su 1���9�� � 1����9� nesvodljivi nad F

normalizovani polinomi, onda se svaki od polinoma 1���� �9� sa nenula eksponentom )�

naziva elementarni delitelj matrice *�9�Elementarni delitelji matrice * � ���� su elementarni deljitelji njene karakteristicne

matrice 9- �*Sistem elementarnih delitelja matrice *�9� (ili A) je sistem u kome se svaki elemen-

tarni deljitelj pojavljuje onoliko putako koliko puta se pojavljuje kao faktor u invarijantnimfaktorima (ili invarijantnim slicnostima) te matrice.

Teorema: Dve matrice su slicne akko imaju jednake sisteme elementarnih delitelja.

Teorema: Matrica * � ���� ciji je sistem elementarnih delitelja #��9�� � #��9��slicna je sa matricom - � ���#�/�#��9��� � /�#��9��� Matrica E se naziva drugakanonicka foma klase matrice slicnosti sa A.

Dokaz:���9� � #���9�#���

�9�� ��� ��� � �� � (�Po teoremi: /����9�� njene invarijantne slicnosti su �� � �� ���9��Minimalni polinom od G je ���9� � #���9�#���

�9�� invarijantne slicnosti su �� �� � #���9�#����9�

� �� ������

� /����9�� � > � ���#�/�#���9��/�#���

�9���Po teoremi: ako su blokovi slicni, onda su i matrice slicne�sledi: druga kanonicka forma

je slicna sa prvom. �

def: Matrica* � ���� je razloziva akko je jedina njena netrivijalna invarijantna slic-nost oblika 1��9� gde je 1�9� normalizovan, nesvodljiv na F polinom.

Teorema: Matrica * � ���� cija je jedina netrivijalna invarijantna slicnost polinom1��?� slicna je sa matricom:

45

Page 46: Skripta Iz Linearne Algebre Pmf NS

, �

�����

/�1�9�� � � � � � �� /�1�9�� � �...

. . . . . ....

/�1�9�� �� � � � � /�1�9��

������

Na dijagonali ima k blokova /�1�9��� a N je kvadratna matrica, istog formata kaoi /�1�9��� koja u donjem levom uglu ima jedinicu, a ostalo nule. Matrica H se nazivahiperprateca matrica polinoma 1��9�

Dokaz: Invarijantne slicnosti matrice A su: �� � �� 1��9�

�9- �,� �

�����������

9- � /�1�9�� �� � � � � �� 9- �/�1�9�� �� �...

. . . . . ....

9- � /�1�9�� ��� � � � � 9- � /�1�9��

�����������

� �9- � /�1�9���� � 1��9�

� Invarijantne slicnosti matrice H su �� � �� 1��9�� *�� , �

Teorema: Ako je* � ���� matrica ciji je sistem elementarnih delitelja #��9�� � #��9�onda je ona slicna sa matricom � � ���#�,�� �,��� gde je ,� hiperprateca matricapolinoma #��9�� � � �� � (. Matrica R se naziva racionalna kanonicka forma klasematrica slicnih sa A.

Dokaz: invarijantne slicnosti matrice/�#��9�� su �� � �� #��9� � 1��9�� /�#��9����

,�

*��

���

/�#��9�� � � � � �� /�#��9��...

. . .� /�#��9��

������

���

,� � � � � �� ,�

.... . .

� ,�

����

Za � � C

#��9� � �9� ����

������

� � � � � � �� � �

. . . . . .... � �� � �

�������

� ordanova kanonicka forma.

46

Page 47: Skripta Iz Linearne Algebre Pmf NS

4. Kvadratne forme

def: Polinom ����� � ���, ��� � �� � � je kvadratna forma k-tog stepena nad Fako je svaki clan tog polinoma stepena k.

Posmatracemo kvadratne forme oblika: ����� � ��� � ��*�� A je simetricna matrica,nad poljem karakteristke razlicite od 2. Karakteristika polja je najmanji prirodan broj takoda ��� � � � � � �� � �� �� �

� �

def: Matrica * � ���� je kongruentna sa matricom . � ���� ako postoji regularna

matrica P tako da je . � 5�

*5� oznacavamo *�� .

*�� . � *�.

Teorema: Kongruencija matrica je relacija ekvivalencije.

Teorema: Matrica kongruentna sa simetricnom matricom je takodje simetricna.Dokaz: * � 5

.5� . � .�

�*�

� �5�

.5 ��

� 5 �.�5 � 5�

.5 � * �

Teorema: Dve matrice su kongruentne akko se jedna moze dobiti od druge vrsenjemkonacnog broja parova elementarnih transformacija, pri cemu se svaki par sastoji od jedneelemetnarne transformacije na vrstama i iste takve transformacije na kolonama, a u svakomparu je svejedno koju transformaciju prvo vrsimo.

Dokaz: * � 5�

.5� 5 i 5�

su regularne i 5�

� -�-�* � -�-�.-

�-�

� � �-���-��-�.-�

��-�

���-�

�� �

Teorema: Simetricna matrica * � ���� ranga r kongruentna je nad F sa dijagonalnommatricom koja na dijagonali ima tacno r elemenata razlicitih od nule.

Dokaz: * � ��� �� ako * � � ocigledno vazi* � �1. ���� � �

* �

��

���

��� � izvrsimo transformacije da dovedemo taj element na poziciju

1,1: -��*-�

��

2. ������� � �� ��� �� � � �� posto je matrica simetricna �� � ��

47

Page 48: Skripta Iz Linearne Algebre Pmf NS

* �

����

��

��

������ izvrsimo transformacije -�*-

� i dobijemo na poziciji

i,i ��� � �, sto spada pod prvi slucaj.

*�� . �

���

��� ��� � � � ������ ��� � � � ���

......

...��� ��� � � � ���

����� izvrsimo transformacije-���� ���

����.-

�����������

-�����������.-

����������� �

���

��� � � � � ���� �

�� � � � ��

��...

......

��� ��

�� � � � ���

����, analogno nastavimo sa trans-

formacijama:

.�� / �

���

��� � � � � �� ��� � � � ���...

......

� ��� � � � ���

����� isto uradimo i sa blokom gde su elementi �� i

dobijamo:

*��4 �

�����������

�� � � � � �� �� � � � �

. . ....

... ��...

�. . .

� � � � � �

������������

Teorema: Realna simetricna matrica A ranga r kongruentna je nad poljem realnih

brojeva sa matricom

-� � �� �-��� �� � �

� � gde su -� i -��� jedinicne matrice reda p,

odnosno r-p, a nenegativan ceo broj p je jednoznacno odredjen matricom A.Dokaz: Koristeci prethodnu teoremu imamo:

48

Page 49: Skripta Iz Linearne Algebre Pmf NS

*�� 4 �

�����������

�� � � � � �� �� � � � �

. . ....

... ��...

�. . .

� � � � � �

������������

� parovima elementarnih transforma-

cija -���-�

� , premestamo elemente tako da dobijemo matricu F:

*�� � �

���������������

�� � � � � �

�. . . � � � �

������

......

. . ....

���

. . .� � � � � �

����������������

� �� � �� � � �� � 1,

�� ; �� � � 1� �� � �I sad vrsimo transformacije-��

�����-

�������� � � �� � 1, odnosno-�� ��

��� �-�

������� ��

� � 1� �� � �:

*�� > �

���������������

� � � � � �

�. . . � � � �

���

......

. . ....

���

. . .� � � � � �

����������������

� ���#��� � �� �� ��

���� ���� �� ����

� �� � �� � 5�

*5Sada dokazujemo jedinstvenost.Pretpostavimo da *

�� , � ���#��� � �� �� �

���� ���� �� ����

� �� � ��� 1 � 2 i postoji regu-

larna matrica Q, tako da , � 6�

*6� pretpostavimo da je 1 � 2Posmatramo � � �

*�� izvrsimo smenu � � 5�

49

Page 50: Skripta Iz Linearne Algebre Pmf NS

���

����...��

�����

���

1�� 1�� � � � 1��1�� 1�� � � � 1��

......

...1�� 1�� � � � 1��

����

���

����...��

�����

�� � 1���� � � 1������ � 1���� � � 1����

...�� � 1���� � � 1����

� � ��

*� � �5���

*5� � ��

5�

*5� � ��

>� � ��� � ��� � � ��� � ����� � � ���

uvodimo smenu � � 6�

� � ��

*� � �6���

*6� � ��

6�

*6� � ��

,� � ��� � � ��� � ����� � � ���

��� � ��� � � ��� � ����� � � ��� � ��� � � ��� � ����� � � ���

� � 5���� � � 6���� 5�� � ����� 6�� � ������ � ����� � � ������ � �� � ����� � � ������� � ����� � � ������ � �� � ����� � � �����pa prethodna jednacina postaje:������ � � ������

� � � ������ � � ��������

��������� � � ��������� � � ������ � � ������

� �� ������ � � ������

� � � ������ � � ��������

��������� � � ��������� � � ������ � � ������

Formiramo sistem linearnih jednacina:����� � � ����� � �

����� � � ����� � �

��

�2

������� � � ������� � �

����� � � ����� � �

��

�� � 1

2� �� 1 � 2� �� 1 ; �, jer q;p, pa ovaj homogen sistem ima netrivijalna resenja,jer ima vise nepoznatih nego jednacina, znaci postoji resenje �$�� � $�� � ��� � �� Kadubacimo u jednacinu, dobijamo:����"� � � ���"��

� � � ����$� � � ���$����

�������$� � � �����$��� � � ����$� � � ���$��

� � �dobijamo da mora biti:���$� � � ���$� � �

���$� � � ���$� � �

� odnosno da je �$�� � $�� resenje sistema 5��� � �� sto

je kontradikcija, jer je matrice P regularna, pa je i 5��regularna i �5��� � �, i onda ovajednacina ne moze imati netrivijalna resenja, sledi da P=Q. �

def: Nenegativan ceo broj p iz prethodne teoreme naziva se indeks realne simetricnematrice A, odnosno indeks realne forme �

*�

Teorema: Dve realne simetricne matrice su kongruentne akko imaju isti indeks i istirang.

Dokaz:

50

Page 51: Skripta Iz Linearne Algebre Pmf NS

*��

-� � �� �-��� �� � �

� �� .

def: Neka je A realna simetricna matrica reda n, ranga r i indeksa p. Matrica A senaziva pozitivno definitna ako je p=n.

Negativno definitna ako p=0, n=r.Pozitivno semidefinitna ako r;n, p=r.Negativno semidefinitna ako r;n, p=0.Kvadratna forma �

*� je pozitivno definitna ako je A pozitivno definitna, itd...Za pozitivno definitnu kvadratnu formu vazi, � � �

*�� *�� -� postoji P, tako da

5�

*5 � - izvrsimo smenu � � 5�� � �

*� � �5���

*5� � ��

5�

*5� � ��

-� � ��� � � ��� � �� za x� �Za negativno definitnu � � �

*� � ���� � � ��� ; �Za pozitivno semidefinitnu � � �

*� � ��� � � ��� � �

Za negativno semidefinitnu � � ��

*� � ���� � � ��� � �

Teorema: Realna simetricna matrica * � ���� je pozitivno definitna akko su joj sviglavni minori veci od nule.

��� � ��

������� ������ ���

���� � �� � �*� � �

Teorema: Realna simetricna matrica * � ����, reda n je negativno definitna akko jojglavni minori naizmenicno menjaju znak, a ��� ; �

��� ; ��

������� ������ ���

���� � ��

������

��� ��� ������ ��� ������ ��� ���

������; �� � ������*� � �

def: Kompleksna matrica A je hermitska ako * � *�

Kvadratna forma oblika � ���

*�, gde je A hermitska matrica, je hermitska forma.

51