VLGN / Curs 01LD / CN-UGAL CURS VLGN-01 VIBRAII LOCALE N SISTEME CU UN GRAD DE LIBERTATE 1.1. Idealizarea structurii printr-un sistem cu un grad de libertate Structurile navale se pot idealiza prin elemente de bar i plac, avnd ca etape: 1)stabilirea liniilor i planelor teoretice i dimensiunile structurii;2)stabilirea gradelor de libertate ale sistemului mecanic echivalent; 3)stabilirea rigiditilor; 4)stabilirea maselor; 5)stabilirea forelor de excitaie (vibraii forate). a) Sistem cu vibraii transversale Fig.1.1.a n fig.1.1 se reprezint o grind pe care se afl un mecanism de mas m ce produce vibraii transversale forate, datorit forei de excitaie P(t). Linia teoretic a grinzii este reprezentat de axa neutr a profilului grinzii. Neglijnd masa proprie a grinzii, sistemul se poate considera c are masa concentrat m i c execut doar o micare pe vertical, rezultnd un sistem cu un singur grad de libertate u(t). Sconsidermunsistemasemntor,darcaresupusaciunii unei fore unitare F=1, vezi figura 1.1.b. Fig.1.1.b. Considernd relaia dintre fora F i deformaia elastic : F=k i relaia omolog pentru fora unitar F=1: 1=k, unde =(F=1) Pentru deplasarea unitar =1 se obine k=F(=1) iar caracteristicile elastice ale structurii sunt reprezentate de: k=coeficientul de rigiditate: fora aplicat grinzii necesar unei deplasri unitare pe direcia u(t); =coeficientul de flexibilitate (=1/k): deplasarea punctului de mas m produs de o for unitar aplicat pe direcia u(t). Pentrudeterminareacoeficienilorkiaplicmrelaiade calculMohr-Maxwell,undeM(x)estemomentuldatdefora real F iar m(x) este momentul dat de fora unitar F=1: ( ) ( ) ( )lll ll lEI 3b aF dx xaEIFdx xbEIFdx x m x MEI12 2a222 a02220= + = = (1.1) llEI 3b ab aEI 3F k2 21 F2 21= = = == = (1.2) nmodasemntor,pentruogrindncastrat,sepotcalculacaracteristicileelastice pentru ncrcarea din figura 1.1.c: 1VLGN / Curs 01LD / CN-UGAL Fig.1.1.c.Fig.1.2.Fig.1.3. Pentru acest caz se obin (tot prin Mohr-Maxwell): EIaaEIF kF3331 3 1= = = == = b) Sistem cu vibraii longitudinale(fig.1.2)EAuEAN kEANu1 N 1 ulll = = = = = = = (1.3) c) Sistem cu vibraii torsionale(fig.1.3) p1 Mp1 TpTGIGIM kGIMTlll = = = = = = = (1.4) 1.2. Ecuaia diferenial general a vibraiilor sistemelor mecanice cu un singur grad de libertate Fig.1.4 Amnotat:mmasasistemului,ccoeficientuldeamortizare,kcoeficientulde rigiditate. Conform principiului lui DAlambert privind echilibrul dinamic avem: ( ) t P ku u c u m = + + & & & (1.5) unde am considerat fora de amortizare proporional cu viteza( ) t u& . Cazuri particulare: a)vibraii libere amortizate:P( ) 0 ku u c u m 0 t = + + = & & &b)vibraii libere neamortizate:( ) 0 ku u m 0 c ; 0 t P = + = = & &c)vibraii forate neamortizate:( ) t P ku u m 0 c = + = & & 1.3. Vibraii libere neamortizate ale sistemelor mecanice cu un grad de libertate Dac fora excitatoare i coeficientul de amortizare P(t) i c sunt nule, din (1.5) se obine: ( ) 0 ku u m 0 c ; 0 t P = + = = & &0 u u20= + & &= = m1mk0 (1.6) undeeste pulsaia proprie a sistemului cu un grad de libertate. 02VLGN / Curs 01LD / CN-UGAL Soluia ecuaiei difereniale de micare este: ( ) ( ) + = + = t sin A t sin a t cos a t u0 0 2 0 1 (1.7) unde amplitudinea i diferena de faz se determin din condiiile iniiale la. , A 0 t = Fig.1.5 Pentru cazul concret din fig.1.5, dac aplicm asupra grinzii simplu rezemate o sarcin static, atunci aceasta se deformeaz cu sgeata staticmg G =stu .st ststugumgk ku G = = =0, stugf 212= = , gufTst22 1= = = (1.8) Deci pentru a cunoate pulsaia proprie , frecvena proprie f , sau perioada proprie de oscilaie T, este suficient s se cunoasc sgeata static dat de fora de greutate stu mg G = , astfel nct este posibil transformarea problemei dinamice ntr-una static. 1.4. Vibraii forate neamortizate ale sistemelor cu un grad de libertate ( ) ( ) t P ku u m 0 c ; 0 t P = + = & &( )mt Pu u20= + & &(1.9) 1.4.1. Rspunsul dinamic la aciunea unei fore perturbatoare oarecare aplicat masei m ( ) t f P ku u m0= + & & ( ) t fmPu u0 20= + & & (1.10) Considerm condiiile iniiale nule: 0 u 0 u 0 t0 0= = = &(1.11) Soluia ecuaiei neomogene (1.10) se poate obine din soluia ecuaiei omogene (1.7) unde se consider coeficienii a1 i a2 nu ca nite constante ci ca nite funcii variabile cu timpul t, adic: ( ) ( ) ( ) t0sin t2a t0cos t1a t u + =(1.7.a) Pentru a determina coeficienii a1 i a2 se procedeaz astfel: Se calculeaz prima derivat a lui u: ( ) ( ) t0sin2a t0cos1a t0cos2a t0sin1a0 u& & & + + + =Pentrucasoluiaparticular(1.7.a)sfiesoluieipentruecuaiaomogeneste necesar ca al doilea termen al derivatei s fie nul, adic:u&0 t0sin2a t0cos1a = + & &(1.12) Cu aceasta, prima derivat devine: ( ) t0cos2a t0sin1a0 u + = &Derivnd din nou, se obine: ( ) ( t cos a t sin a t sin a t cos a u0 2 0 1 0 0 2 0 120& & & & + + + = )(1.13) Introducnd (1.7.a) i (1.12) n (1.10) i innd cont c P0=kust, ikse obine: 20/ = m( ) t f u cos a t sin ast 0 0 2 0 1 = + & & (1.14) 3VLGN / Curs 01LD / CN-UGAL Cu ecuaiile (1.12) i (1.14) se formeaz un sistem de 2 ecuaii cu 2 necunoscute, care rezolvat produce: ( )( )= =t cos t f u at sin t f u a0 st 0 20 st 0 1&& care prin integrare produc: ( )( )= =t00 st 0 2t00 st 0 1tdt cos t f u atdt sin t f u a (1.15) nlocuind funciile a1 i a2 obinute n soluia (1.7.a) se obine: ( ) ( ) + =t00 0 st 0t00 0 st 0tdt cos t f t sin u tdt sin t f t cos u unlocuind variabila de integrare prin se obine: ( ) ( ) =t00 0 std t sin f u u(1.16) Notnd cu: ( ) ( ) ( ) =t00 0d t sin f t (1.17) aa-numitafunciesaufactordemultiplicaredinamic,sepoaterescriesoluianeomogen (1.16) sub forma: ( ) t u ust= , unde ust=P0/(m2)(1.18) 1.4.2. Rspunsul dinamic la aciunea unei fore armonice aplicat masei m ( ) t sinmPt fmPu u0 0 20 = = + & &(1.19) Fig.1.6 Aa cum se cunoate din teoria clasic a ecuaiilor difereniale neomogene, rspunsul dinamic stabilizat u admite soluia: ( ) t sin a t cos a t u2 1 + =(1.20) 4VLGN / Curs 01LD / CN-UGAL nlocuind (1.20) n (1.19) rezult: | | | | t sinmPt sin a t cos a t sin a t cos a02 120 2 12 = + + de unde prin identificarea coeficienilor ntre membrii stng i drept, rezult: ( )( ) m P a0 a0 22 2012 20= = kPu u a 0 a0st2 2020st 2 1= = = (1.21) Rspunsul dinamic stabilizat rezult cu urmtoarea expresie: ( ) ( ) ( ) ( ) = =||.|

\|= = =st d d 20stu u t sin u t u11t sin t t u t u(1.22) n fig.1.6 se reprezint grafic factorul de multiplicare dinamic. 1.4.3 Rspunsul dinamic la aciunea forelor ce nu sunt aplicate direct masei m Fig.1.7 Amnotatprin deplasareanseciuneaiprodusdeoforunitaraplicatn seciunea j. Pentru o for rspunsul dinamic este: ij( ) ( )j 0 ij stij stij ij j 0 j 0 jP u u k P t f P t P = = =(1.23) Prin analogie cu prima relaie din (1.22) ( ) ( ) ( ) t P t u t uij j 0 stij ij = = , unde ij=1/kij Considernd toate forele de excitaie( ) n , 1 j , t Pj= n faz i cu aceiailege de variaie n timp, aplicnd principiul suprapunerii efectelor obinem rspunsul dinamic total: ( ) ( ) ( ) = = = = =n1 jij j 0 sti stin1 jij iP u t u t u t u(1.24) 1.5. Vibraii libere amortizate ale sistemelor cu un singur grad de libertate ( ) 0 ku u c u m 0 c ; 0 t P = + + = & & & (1.25) Facem notaiile: mkmc220 = = (1.26)0 u u 2 u20= + + & & &cu ecuaia caracteristic: 2022 , 1202r 0 r 2 r = = + + (1.27) a) Cazul amortizrii subcritice 2 20 > Notm:0 2 , 12 20 0i r = = (1.28) de unde soluia are forma: ( ) ( ) ( ) + = + = t sin A e t sin a t cos a e t u0t0 2 0 1t(1.29) unde se determin din condiiile iniialeA , 0 t = . Pentrucazurilepracticecuamortizareslab,nctse neglijeaz deplasarea pulsaiei proprii ca urmare a amortizrii: 0 0202 2020 0 2 , 1r = = (1.32) i soluia ecuaiei de micare nu mai este periodic: ( ) ( ) t sh a t ch a e t u0 2 0 1t + = (1.33) Fig.1.8.b Diagramamicriiesteceadinfigura1.8.biseobservcnuesteomicare vibratorie.Sepotdecelatreicazuri,nfunciedevalorileposibilealecoeficienilora1ia2, toate cazurile avnd n comun tendina neoscilant ctre zero. 6VLGN / Curs 01LD / CN-UGAL c) Cazul amortizrii critice202 = m k 2 cmkm 2ccr 0 = = = (1.34) ( ) ( )2 1t2 , 1a t a e t u r + = = (1.35) Fig.1.8.c Diagrama de micare este cea din figura 1.8.c. Obs. n cazurile b) i c) nu mai avem un proces armonic ci unul aperiodic datorat unei amortizri excesive (sistemele nu vibreaz). 1.6. Vibraii forate armonice amortizate la sisteme cu un singur grad de libertate ( )t sin u u u 2 umkm 2cku Pt sin P ku u c u m t sin P t Pst202020 st 00 0 = + + = = = = + + =& & && & & (1.36) Considerm c n timp vibraia proprie tranzitorie se amortizeaz rapid i vom lua n consideraie numai soluia particular care are forma termenului de excitaie. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + = + = + = t sin A t u t cos A t u t sin A t u2& & & (1.37) ( )( ) ( ) t sin u sin t sin cos t cos A 2 sin t cos cos t sin Ast202 20 = + + Separnd termenii nsini cos t t i identificnd fa de membrul drept, avem: ( )( ) 0 cos A 2 sin Au sin A 2 cos A2 20st202 20= + = (1.38) Faza rspunsului dinamic are expresia (rezult din a doua relaie din (1.38)): 2022tg = (1.39) Ridicmlaptratceledourelaiidin(1.38)ileadunm,deundeobinem amplitudinea rspunsului dinamic: ( ) ( )2st402 202 2 2 2 2 222 202u cos sin A 4 sin A 4 cos A = + ( ) ( ) 0 cos sin A 4 cos A 4 sin A2 202 2 2 2 2 222 202= + + (1.40) ( ) | |2st402 222 202u 4 A = + 7VLGN / Curs 01LD / CN-UGAL ( ) ( ) + = +||.|

\|= = t sin * t411* * u A402 22202st(1.41) i funcia rspunsului dinamic: ( ) ( ) ( ) + = = t sin * u t u t ust st (1.42)undeeste funcia de multiplicare dinamic;( ) teste factorul de multiplicare dinamic ( ) . * * c Fig.1.9 S determinm n cele ce urmeaz maximul factorului de multiplicare dinamic* : max * ( ) min 42 222 20 + = 0 2 0dd2 202= + = (1.39) = =||.|

\|2cr2202cr0cc2 12120 0*max1 21||.|

\|= (1.40) Deoarece variaiile semnificative ale lui * au loc pentru valori mult subunitare ale lui /0 (vezi figura 1.9) se poate admite aproximaia: c m k = 20 *max (1.40.a) de unde,dac *max0 c.De asemenea, dup cum se observ din figura (1.9), cnd1*max c 8VLGN / Curs 02LD / CN-UGAL CURS VLGN-02 VIBRAII LOCALE N SISTEME CU NUMR FINIT DE GRADEDE LIBERTATE 2.1 Idealizarea structurii printr-un sistem cu un numr finit de grade de libertate nunelecazuripractice,pentrucalcululdevibraie,structurasistemcontinuuse idealizeaz printr-un sistem cu un numr finit de grade de libertate, prin concentrarea maselor ntr-un numr finit de seciuni caracteristice ale structurii. Vomexemplificapetreicazurisituaiaidealizriilasistemecuunnumrfinitde grade de libertate. a)Traversauneipuni,cearecareazemeintermediarereprezentatedecureniidepunte, mpreun cu fia adiional. Se consider doar vibraiile transversale cu 3 grade de libertate u1,u2,u3 n corespondena celor trei mase concentrate de la mijlocul segmentelor. Fig.2.1.a b) Cadrul unui ruf, cu masa concentrat la mijlocul traversei punii rufului, cu dou grade de libertate u1,u2 (q este masa real distribuit). Fig.2.1.b c)Planeuldepuntelaunpetrolierpentruzonatanculuidemarf.Longitudinaleleaufost consideratetopitenprofilulcurentuluicentral.Seconsidermasaplaneuluiconcentratn puncteledeinterseciedintrecurentulcentralCCcuceletreitraverseT1,T2,T3ivibraii doar transversale, avnd 3 grade de libertate. 1VLGN / Curs 02LD / CN-UGAL Fig.2.1.c

2.2. Ecuaia diferenial a vibraiilor elastice neamortizate exprimat cu ajutorul matricei de rigiditate Fig.2.2 NeglijmamortizareaiconformprincipiuluiluiDAlembertecuaiademicarea unei mase mi este (Fei este for elastic n seciunea i): ( )( )( ) t P u k u m t P F u mi jjij i i i ei i i= + = +& & & & (2.1) Pentru situaia din fig.2.2 avem: ( )( )( ) t P u k u k u k u mt P u k u k u k u mt P u k u k u k u m3 3 33 2 32 1 31 3 32 3 23 2 22 1 21 2 21 3 13 2 12 1 11 1 1= + + += + + += + + +& && && & (2.2) i sub form matriceal avem: | |{ } ||{ } ( ) { } t P u K u M = + & &(2.3) unde:| |matricea inerial;{ }3 , 13210 00 00 0==((((

=i im diagmmmMmatricea de rigiditate;|| { }3 , 1 ,33 32 3123 22 2113 12 11==((((

=j iijkk k kk k kk k kKvectorul deplasrilor;{ } { }3 , 1321==)`=i iuuuuu vectorul forelor de excitaie.( ) { } ( ) { }3 , 1321==)`=i it PPPPt PPrin definiiecoeficientul de rigiditate reprezint fora necesar a fi aplicat pe direcia gradului de libertate i care s conduc la o deplasare unitar1ijkuj =pe gradul j de libertate. 2VLGN / Curs 02LD / CN-UGAL Conform teoremei reprocitii lucrului mecanic virtual rezult c matricea de rigiditate este simetric|| Kji ijk k = .n cazul vibraiilor libere, unde P(t)=0, ecuaia de micare (2.3) devine: | |{ } ||{ } 0 = + u K u M & & (2.4) 2.3. Ecuaia diferenial a vibraiilor elastice exprimat cu ajutorul matricei de flexibilitate Pentru structura din fig.2.2 se definete matricea de flexibilitate: | |((((

=33 32 3123 22 2113 12 11F (2.5) Prindefiniie ij coeficientuldeflexibilitatereprezintdeplasarea uipedireciagraduluidelibertateiprodusdeforaunitar 1 aplicat pe direcia gradului j de libertate, atunci cnd forele sunt nule pe restul gradelor de libertate (Pj =0 = j iP ) ca n figura alturat. Conformteoremeidereprocitatealucruluimecanicvirtualrezult c matricea de flexibilitate| | F este simetric ji ij = . Din definiia coeficienilor de rigiditate i flexibilitate rezult: { } ||{ }{ } | |{ }{ } ||| |{ } ||| | | | | | | |1K F I F K P F K PP F uu K P= = = == (2.6) Din relaiile (2.3),(2.6) rezult: ||| |{ } { } || ( ) { } t P F u u M F = + & &(2.7) sau, dezvoltat: )`((((

=)`+)`((((

((((

32133 32 3123 22 2113 12 1132132132133 32 3123 22 2113 12 110 00 00 0PPPuuuuuummm & && && & Notm matricea dinamic a sistemului: || ||| |((((

((((

= =32133 32 3123 22 2113 12 110 00 00 0mmmM F D (2.8) i ecuaia de micare n form matriceal devine: ||{ } { } | | ( ) { } t P F u u D = + & & (2.9) 2.4 Vibraii libere neamortizate ale sistemelor cu un numr finit de grade de libertate 2.4.1 Modurile normale de vibraie i frecvena vibraiilor libere neamortizate Ecuaia diferenial matriceal a vibraiilor elastice ale unei structuri cu un numr finit de grade de libertate (fig.2.2) induse de fore oarecare are forma: | |{ } ||{ } ( ) { t P u K u M = + & & } (2.10) i la vibraii libere( ) { } | |{ } ||{ } { } { }Tn 2 1u ... u u u 0 u K u M 0 t P = = + = & &(2.11) Analog sistemelor cu un grad de libertate, n cazul vibraiilor libere a sistemelor cu n grade de libertate, soluia sistemului este de forma: ( ) { } { } ( = t sin a t u ) (2.12) unde:{ }reprezint vectorul amplitudinilor.{ }Tn 2 1a ... a a a =3VLGN / Curs 02LD / CN-UGAL Soluia (2.12) a ecuaiilor de micare (2.11) are urmtoarele particulariti: a)toate masele sistemului execut micri periodice de pulsaie ; b)toate masele descriu micri n faz; c)configuraiasistemului,liniaelastic,noricemomentestedeterminatdevectorul amplitudinilor{ , numit vector modal.} aTeorem. Sistemul mecanic cu n grade de libertate ce respect particularitile enunate, poate executa moduri proprii diferite de vibraie, caracterizate printr-o pulsaie proprie iconfiguraiadatdevectorulmodurilorproprii n , 1 j =j { }ja ifaza j ,j=1,n,denumite modurile normale de vibraie. Deci pentru modul j=1,n de vibraie modul normal are expresia: ( ) { } { } ( ) ( ) ( ) n i t a t u t a t uj j ij ij j j j j, 1 , sin sin = = = (2.13) 2.4.2 Determinarea modurilor normale de vibraie ca o problem matematic de valori i vectori proprii Ecuaia matriceal a modurilor proprii (ecuaia modal) are expresia (vezi (2.4)): | |{ } ||{ } 0 u K u M = + & &( ) { } { } ( ) = t sin a t u|| | | ( ){ } 0 a M K2= (2.14) deundeobinemunsistemdeecuaiiliniariomogennai,i=1,ncunecuaiiicun+1 necunoscute (incluznd i pulsaia):( )( )( ) 0 a m k ... a k a k....... .......... .......... .......... .......... ..........0 a k ... a m k a k0 a k ... a k a m kn n2nn 2 2 n 1 1 nn n 2 2 2222 1 21n n 1 2 12 1 1211= + + += + + += + + + (2.15) Pentruaaveasoluiidiferitedeceabanal,fiindsistemomogen,punemcondiiaca determinantul s fie nul: || | | ( ) || | | ( ) 0 M K det 0 M K det2 2= = = (2.16) i care este echivalent cu o problem matematic de valori i vectori proprii. Rezolvarea problemei (2.16) se poate realiza prin proceduri standard de bibliotec de tipulmetodeideterminatuluisauCholescki+Jacobi,matricele|| | | M , K fiindsimetricei pozitivdefinite.nurmadezvoltriideterminantului(2.16)obinemoformechivalentce reprezint ecuaia modal caracteristic de gradul n n (polinomul caracteristic): 0 b b ... b b0 11 n1 nnn= + + + + (2.17) Ecuaia(2.17)arenrdcinin , 1 j ,j= idecisistemulmecaniccungradede libertate are n pulsaii proprii: n , 1 jj j= = (2.18) Dinrezolvarea ecuaiei matriceale: || | | ( ){ } n , 1 j 0 a M Kj2j= = (2.19) fiecrei pulsaii i corespunde un vector j { }janumit vector propriu. Sistemul(2.19)esteliniariomogencunnecunoscutelafiecare icudeterminatulnul.Pentrurezolvareasistemului(2.19)seadmiteovaloare arbitrar i rezolvm sistemul de ecuaii de gradul n-1 n. n , 1 i , aij=n , 2 =n , 1 j ,j= aj j 1 = i , aij4VLGN / Curs 02LD / CN-UGAL { } n , 1 j n , 2 ia...1a...aajijijnjj 2jnjj 2jj= == )` =)`=(2.20) ncazulvibraiilorlibere,deoareceamplitudinea j nuinflueneaznicipulsaia proprie i nici configuraia sistemului (forma de vibraie), considerm1j = i obinem astfel vectorii formelor modale de vibraie: { } { } ( ) { } { } ( ) n , 1 j t sin t u ... 1j j j j jTnj j 2 j= = = (2.21) undese determin din condiiile iniiale t=0. j j, Deci,unuisistemmecaniccungradedelibertateicorespundnpulsaiiproprii i n vectori propriin , 1 j ,j= { } n , 1 j ,j= i se poate demonstra c exist urmtoarea relaie de ordonare: n 2 1... < < < . Prin definiie primul mod de vibraie 1reprezint modul fundamental de vibraie. nfig.2.3amprezentatcele3formemodaledevibraie(3 2 1 < < )pentru sistemul mecanic cu 3 grade de libertate din fig.2.2. Fig.2.3 2.4.3. Proprietatea de ortogonalitate a formelor proprii de vibraie Teorem(independenamodurilorpropriidevibraie)Foreledeineriecareaparn timpul modului j de vibraie nu produc lucru mecanic n timpul modurilor de vibraie.j k Fig.2.4 5VLGN / Curs 02LD / CN-UGAL Considerm dou moduri normale de vibraie j i k distincte, cu pulsaiile proprii , avnd urmtoarele forme modale: k j, { }{ } { } { }Tnk k 2 kTnj j 2 j... 1 ... 1 = = (2.22) b .ntimpulvibraiilorlibereineamortizatesingureleforeceaparsuntcelede inerie Os{ }{}k jF , F. Corespunztor celor dou moduri de vibraie j,k forele de inerie au expresiile: ( ) { } | | ( ) { } { } ( ) { } | |{ }( ) { } | | ( ) { } { } ( ) { } | |{ }k k k k k k k kj j j j j j j jM F t F t u M t FM F t F t u M t F 22sinsin= = == = =& && & (2.23) undeamconsideratamplitudinile1k j= = iaru & afostnlocuitprinexpresia(2.21) dublu derivat. (t)j&Obs. Amplitudinile forelor de inerie{ }{}k jF , Fse pot considera c acioneaz static pe direcia gradelor de libertate ale sistemului mecanic, deformnd structura dup forma modal de vibraie asociat cu modul propriu respectiv. { } { } {} { }k k j jF F (2.24) Obs. innd cont de expresia ecuaiilor modale obinem (vezi (2.14) pentru analogie): || | | ( ) { } || | | ( ) { }{ } | |{ } ||{ } {} | |{ } ||{ }k k2k k j j2j jk k2k j j2jK M F K M F0 M K 0 M K = = = = = = (2.25) Conformteoremeidereprocitatealucruluimecanicvirtualavem:lucrulmecanic virtualefectuatdesistemuldeforele{ }jF pedeplasrile{ }k produsedesistemuldefore este egal cu lucrul mecanic virtual efectuat de sistemul de fore{ }kF { }kFpe deplasrile{ }jproduse de sistemul de fore{ }jF , adic: { } { } {} { } { } | | { } { } | | { }jT Tk2k kT Tj2j jTk kTjM M F F = = (2.26) | | | | { } | |{ }{ } | |{ } = = =iik ij i kTj jTkTm M M M M ( ){ } | |{ } 0 MkTj2k2j= Din (2.26) rezult prima relaie de ortogonalitate a modurilor normale de vibraie: { } | |{ } { } | |{ } 0 m M Mk j Mk j 0Mn1 i2ij i jTj jjkTj = === = (2.27.a) unde reprezint masa modal generalizat asociat modului j de vibraie. jMDin relaiile (2.25),(2.26),(2.27.a) obinem a doua relaie de ortogonalitate a modurilor normale de vibraie: { } | |{ } { } ||{ }kTj kTj2kK M = (datorit ecuaiei caracteristice [K]-2[M]=0) { } ||{ } { } ||{ } 0 k K M Kk j Kk j 0Kn1 in1j ij i jTj j2j jjkTj = = === = = ll l (2.27.b) unde reprezint constanta de elasticitate modal generalizat asociat modului j de vibraie. jK 6VLGN / Curs 03LD / CN-UGAL CURS VLGN-03 2.5. Determinarea modurilor normale de vibraie prin metoda iteraiei matriceale (metoda lui Stodola) 2.5.1. Determinarea modului fundamental de vibraie ( { }1 1, ) Ecuaia modurilor normale de vibraie , folosind matricea dinamic, are expresia: | | | | ( ){ } { } { } == = a10 a I D2(2.28) care provine din ecuaia (2.14) nmulit cu [F] i innd cont c [M][F]=[D] i [K][F]=[I]. La modul fundamental de vibraie avem (considerm 1=1): | | | | ( ){ } | |{ } { }1 1 1 1 1 1D 0 I D = = (2.29) iter 0 Admitem n prim aproximaie un vector modal de forma:(2.30) ( ){ }( ) ( ){ }T01 n02101... 1 = | |( ){ }( ){ }() ( ){ }( ) ( ) () ( )( )( )n iccc c Dii, 2 111111 111111111111111101= = = = = = Dac (){ }( ){ }0111 obinem soluia() 1111= , n caz contrar recurgem la urmtoarele iteraii. iter 1| |( ){ }( ){ }( ) ( ){ }( ) ( ) ( ) ( )( )( )n iccc c Dii, 2 121121 212112121121212111= = = = = = ..... iter m-1| |( ){ }( ){ }( ) ( ){ }( ) ( ) ( ) ( )( )( )n iccc c Dmmi mim m m m m m m, 2 11111 11 1 11 1 1 111= = = = = = i procesul iterativ are drept criteriu de convergen relaia: ( ){ }( ){ }( ) ( ){ } 0 max1 m1 im1 in , 1 i1 m1m1> < = = dat caz n care soluia este: ( ){ }( ){ }m1 1m111 = = Obs.:estedemonstratcsoluiaobinut1estevaloareamaximdincelensoluiii, i=1,...,naleecuaiei(2.28).nconsecin,1estepulsaiaminim,decireprezintmodul fundamental de vibraie. 2.5.2 Determinarea modului secund de vibraie ( { }2 2, ) Pentruseparareasoluieimoduluisecunddeprimulmoddevibraievomapelala condiia de ortogonalitate ntre modurile naturale de vibraie (demonstrat la cursul anterior): { } | |{ } { } 0...... 0 0... ... ... ...0 ... 00 ... 0... 02 1122212211 21 11 2 1= )`(((((

==i iniin nnTmmmmM i tiind c:112 11= = 1VLGN / Curs 03LD / CN-UGAL n , 2 immA Amm11 i1iin2 i2 i in2 i2 i11 i i= = = = = =(2.31) sau:12 32 3 22 2 12... 0n nA A A = = (2.31.a) Pe baza relaiei de ortogonalitate (2.31.a) putem scrie vectorul propriu pentru modul 2 de vibraie n forma urmtoare: { } { } | |{ }2 1 22 n2 i3222n 3 22 n2 i32222S......11 ... 0 0 0... ... ... ... ...0 ... 0 0 0... ... ... ... ...0 ... 1 0 00 ... 0 1 0A ... A A 0......1 = )`((((((((((

=)`= (2.32) undereprezintmatriceadeeliminareamoduluifundamentaldinrelaia(2.28)i respectiv printr-un proces iterativ analog cu (2.30) s determinm | |1S{ }2 2, . | |{ } { } | | | |{ } ( ) { }2 2 2 1 2 2 2S D D = = | | | || | | |{ } { }2 2 2 2 1 2D S D D = =(2.33) Obs. Se poate demonstra riguros matem tic c prin artificiul de calcul (2.33), plecnd delaoaproximaieiniialoarecarepentru a( ){ }02 algoritmulconvergelasoluiamodului secund de vibraie. iter 0 Se consider ( ){ }02un vector iniial oarecare: (2.34) iter 1| |( ){ }(){ }( ) ( ){ }( ) ( ) ( ) ( )()()n iccc c Dii, 2 , , , 1 ,11212 121121211212121202 2= = = = = = ..... iter m-1| |( ){ }( ){ }( ) ( ){ }( ) ( ) ( ) ( )( )( )n iccc c Dmmi mim m m m m m m, 2 , , , 1 ,1222 12 2 12 2 2 212 2= = = = = = i criteriul de convergen: ( ){ }( ){ }( ) ( ){ } 0 , max12 2, 112 2> < = = mimin im m caz n care soluia este: ( ){ }( ){ }mm2 222,1 = = 2.5.3 Determinarea modului al treilea de vibraie ( { }3 3, ) Vompunecondiiiledeortogonalitatealevectoruluipropriu{ }3 cuprimeledou moduri normale deja determinate: { } | |{ } { }| |{ } 0 M 0 M3T2 3T1= = 0 m 0 mn1 i3 i 2 i in1 i3 i 1 i i= = = = (2.35) Cum113 12 11= = = din (2.35) rezult: = = = =nii inii iB A23231 1 cu n immBmmAiii iii, 22211= = = (2.36) Scdem ecuaiile din (2.36) i obinem: 2VLGN / Curs 03LD / CN-UGAL ( ) n , 3 iA BB Ab b 0 A B2 2i ii 2n3 i3 i i 2 23n2 i3 i i i== = = = = (2.37) nlocuim (2.37) n prima relaie din (2.36) i grupnd obinem: ( ) n , 3 i A b A b b 1i i 2 2 i 1n3 i3 i i 1 13= + = = = = (2.38) Folosind relaiile (2.37),(2.38) putem scrie: { } { } | |{ }3 2 33 n3 i3323 n 2 23n 1 133 n3 i33233S......11 ... 0 0 0... ... ... ... ...0 ... 0 0 0... ... ... ... ...0 ... 1 0 0b ... b 0 0b ... b 0 0......1 = )`((((((((((

=)`= (2.39) unde|este matricea de eliminare a primelor dou moduri de vibraie din relaia (2.28).|2SDin relaiile (2.28),(2.39) obinem: | |{ } { } | | | ||2 3 3 3 3 3S D D D = = |o (2.40) Obs. Se poate demonstra rigur s matematic c prin artificiul de calcul (2.39), plecnd de la o aproximaie iniial oarecare pentru ( ){ }03algoritmul converge la soluia modului ter de vibraie. iter 0 Se consider ( ){ }03un vector iniial oarecare:(2.41) iter 1| |( ){ }( ){ }( ) ( ){ }( ) () () ()( )( )n iccc c Dii, 2 , , , 1 ,11313 131131311313131303 3= = = = = = ..... iter m-1| |( ){ }( ){ }( ) ( ){ }( ) ( ) ( ) ( )( )( )n iccc c Dmmi mim m m m m m m, 2 , , , 1 ,1333 13 3 13 3 3 313 3= = = = = = i criteriul de convergen: ( ){ }( ){ }( ) ( ){ } 0 max1 m3 im3 in , 1 i1 m3m3> < = = caz n care soluia este: ( ){ }( ){ }mm3 333,1 = = 2.6. Metoda analizei modale pentru determinarea rspunsului dinamic alstructurii Metoda analizei modale const n urmtoarele etape principale: Se determin modurile normale de vibraie caracterizate prin:{ } n , 1 j , ,j j= . Se calculeaz rspunsurile dinamice modale:( ) { } ( ) n , 1 j , t , x M , t uj j=. Se calculeaz rspunsul dinamic total prin sumarea rspunsurilor dinamice modale: ( ) { } ( ) { } ( ) ( = == =n1 jjn1 jjt , x M t , x M t u t u )(2.42) 2.6.1 Determinarea rspunsului dinamic produs de deplasri i de viteze iniiale Neglijndamortizarea,ostructurscoasdinpoziiadeechilibruprindeplasrii viteze iniiale execut vibraii libere descrise de ecuaia diferenial matriceal: | | ( ) { } | | ( ) { } 0 t u K t u M = + & &(2.43) 3VLGN / Curs 03LD / CN-UGAL Sistemul (2.43) admite n soluii particulare corespunztoare celor n moduri proprii de vibraie. ( ) { } { } ( ) n 1, j t sin t uj j j j j= =i, ca urmare, soluia general este suma soluiilor particulare: ( ) { } { } ( ) =jj j j j t sin t u (2.44) Constantelejj jse determin din condiiile iniiale.n , 1 , , = Pentru simplificarea scrierii putem nota: ( ) ( )j j j jt t = sin , cu care:{ } ( ) { } ( ) t t ujjj = , sau:( ) { } | | ( ) { } t t u =(2.45) unde:| | matricea formelor modale (matricea modal), i:{ } { } { } |n 2 1... = |}} vectorul coordonatelor principale modale.( ) { } ( ) ( ) ( ) {Tn 2 1t ... t t t = La0 t =avem condiiile iniiale n deplasri i viteze: ( ) { } { } ( ) { } {0 0u 0 u u 0 u & & = =(2.46) Din relaia (2.45) obinem: { } | | ( ) { } { } | || | ( ) { } { } | |{ } ( )== =nkk kTjTjTjt M t M t u M1 (2.47) Folosind proprietatea de ortogonalitate (2.27), relaia (2.47) devine: { } | | ( ) { } { } | |{ } ( ) ( ){ } | | ( ) { }{ } | |{ }( ){ } | | ( ) { }{ } | |{ }jTjTjjjTjTjj j jTjTjMt u MtMt u Mt t M t u M = = = &&(2.48) ( ) ( ) ( ) ( )j j j j j j j j jt cos t t sin t = = &{ } | |{ }jTj jM M = (2.49) Obs: Mj se numete mas asociat modului j de vibraie. Din relaiile (2.48),(2.49) avem: ( ){ } | |{ }( ){ } | |{ }jj0Tjj j j jjj0Tjj j jGMu Mcos 0EMu Msin 0== = == = && n , 1 j =(2.50) Ridicnd la ptrat i adunnd ntre ele relaiile (2.50) i apoi mprindu-le ntre ele se obin: jj jj 2j2j 2j jGEtgGE = + = ( )

( )( )t sin0t cos 0 t sinGt cos E tjjjj j jjjj j j+ = + = & (2.51) Fiecrui mod normal j de vibraie i vom asocia un sistem de fore de inerie: ( ) { } | | ( ) { } ( ) { } | | ( ) { } | |{ } ( ) t M t u M t F t u M t Fj j2j j j = = = & & & & { } | |{ }j2j jM F = (2.52) unde{ }jFeste amplitudinea forei de inerie pe modul j de vibraie. Fora{ }jF aplicatstaticmaselorpedireciilegradelordelibertatedeformeazstructura dupformaproprie{ }j iproducenseciunilexalestructuriisolicitrile:Mj(x),Tj(x),Nj(x), j=1,n (eforturile secionale modale moment, for tietoare i for normal). Solicitriledinamicepentrumoduljdevibraieseobinmultiplicndsolicitrile statice din forele de inerie cu funcia de timp , coordonat principal modal :( ) tj( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t x N t , x N t x T t , x T t x M t , x Mj j j j j j j j j = = = (2.53) i solicitarea dinamic total se obine prin metoda analizei modale, suprapunnd efectele: 4VLGN / Curs 03LD / CN-UGAL ( ) ( ) ( ) (( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) = == == = = = = = = =n1 jj jn1 jjn1 jj jn1 jjn1 jj jn1 jjt x N t , x N t , x Nt x T t , x T t , x Tt x M t , x M t , x M )(2.54) 2.6.2 Determinarea rspunsului dinamic produs de fore perturbatoare oarecare Fig.2.5 Considermcasuprastructuriidinfig.2.5acioneazunsistemdeforecuaceiai lege de variaie n timp i n faz. ( ) { } {} (t f P t P = )(2.55) Neglijm amortizarea i ecuaia diferenial matriceal de micare este: | | ( ) { } | | ( ) { } {} ( ) t f P t u K t u M = + & &(2.56) Analog vibraiilor libere, considerm c soluia dinamic total se poate descompune pe sistemul de vectori ortogonali format de cele n moduri proprii de vibraie: ( ) { } { } ( ) ( ) { } { } ( ) = = = =n1 jj jn1 jj jt t u t t u & & & &(2.57) Din relaiile (2.56),(2.57) obinem: { } | |{ } ( ) | |{ } ( ) {} ( ) = + = =t f P t K t Mn1 kk kn1 kk kTj& &{ } | |{ } ( ) { } | |{ } ( ) { } {} ( ) t f P t K t MTjn1 kk kTjn1 kk kTj = + = =& &(2.58) innd cont de relaiile de ortogonalitate (2.27), din relaia (2.58) obinem: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ } | |{ } { } | |{ } { } {} P P M K K M Mn , 1 j t fMPt t t f P t K t MTj j j2j jTj j jTj jjjj2j j j j j j j = = = == = + = + & & & & (2.59) icareesteunsistemdenecuaiidiferenialenecuplatennecunoscutelecoordonatele principale modale .( ) n , 1 j , tj=PrindefiniieMjiPjsuntdenumitemasmodalgeneralizatirespectivfor modal generalizat, asociate cu modul j de vibraie.Obs. Ecuaia diferenial din (2.59) pentru modul j de vibraie este analog cu ecuaia diferenial a vibraiilor forate cu un singur grad de libertate neamortizate (capitolul 1). Analogrezolvriiecuaieidiferenialelasistemulcuungraddelibertate,folosind transformataLaplaceiintegraladeconvoluiealuiDuhamel,avempentrucoordonatele principale modale urmtoarea soluie stabilizat: 5VLGN / Curs 03LD / CN-UGAL ( ) ( ) ( ) n , 1 j d t sin fMPtt0j j 2j jjj=((

= (2.60) determinate n ipoteza condiiilor iniiale nule{ } { } 0 u 0 u0 0= = & . Dacconsidermcondiiileiniialenenule{ } { } 0 u 0 u0 0 & ,atuncisoluiatotaln coordonate principale modale, incluznd componentele tranzitorie i stabilizat, are expresia: ( ) ( )( )( ) ( ) n , 1 j d t sin fMPt sin0t cos 0 tt0j j 2j jjjjjj j j=((

+ + = & (2.61) Obs.Dacforeledeexcitaiesuntarmonice( ) t sin t f = icondiiileiniialenule, atunci soluia (2.60) are expresia: ( ) t sin11MPt2j2j jjj ||.|

\|= (2.62) Ca i n cazul sistemelor cu un singur grad de libertate putem defini: funcia de multiplicare dinamic asociat modului j ( ) ( ) ( ) = t0j j jd t sin f t (2.63.a) i la excitaie armonic: ( ) t sin11t2jj ||.|

\|= (2.63.b) factorul de participare a modului j de vibraie la rspunsul dinamic total al structurii 2j jjjMP= (2.64) Dinrelaiile(2.57),(2.60),(2.63),(2.64)rspunsuldinamictotallavibraiiforate obinut prin metoda analizei modale are expresia: ( ) ( ) ( ) { } { } ( ) ( ) { } ( ) { } { } ( ) = = = = = = n1 jj j jn1 jj j j j j j j jt t u t u t t u t t(2.65) Obs.Se define te multiplicatorul dinamic al modului j de vibraie cu relaia:( ) { } { } { }j j jmaxj jtju t max = = (2.66) de unde rspunsul dinamic maxim total are expresia: {} { } { } = = = =n1 jj j jn1 jmaxj maxu u(2.67) Pentru a determina solicitarea dinamic corespunztoare modului j la vibraia forat ntr-oseciunexastructurii,seconsidersistemuldeforedeinerie{ } | |{ }j2j jM F =aplicatestaticstructuriipedireciilegradelordelibertate,careproduceforturilesecionale modaleM . Conform metodei analizei modale rspunsul dinamic total are expresia:( ) xj( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( = = = = =n1 jj j jn1 jj j j jt x M t , x M t , x M t x M t , x M )(2.68) Obs.Cumrspunsuldinamicpemodurilesuperioareestemaimicncomparaiecu rspunsul dinamic produs pe modurile inferioare, rspunsul dinamic total se poate determina prin 6VLGN / Curs 03LD / CN-UGAL aproximri succesive, oprind procesul de superpoziie modal n momentul cnd ponderea unui mod devine neglijabil fa de rspunsul produs de modurile de vibraie precedente (uzual5 n ). Fig.2.6 Obs.Dacforeledeexcitaienuacioneaztoatedirectasupramaselorsistemului (fig.2.6),atunci procedm astfel: ( ) ( ) { } { }Tm 0 k 0 01 0 k 0 kP ... P ... P P m , 1 k t f P t P = = =(2.69) Considermsistemulmecanicncrcatstaticcuvectorulfor{ }0P ifolosindmetoda Mohr-Maxwellobinemvectoruldeplasrilorstaticepedireciilegradelorde libertate ale sistemului. {0}Considermunsistemdeforeechivalente( ) ( ) n , 1 i t f F ti 0 iF = = aplicatexclusivasupra maselori care acioneaz pe gradele de libertate ale sistemului.n , 1 i , mi=Analogconsidermsistemulmecanicncrcatstaticcu{ } { }Tn 0 i 0 01 0F ... F ... F F ={ }0i care s produc aceleai deplasri statice pe direciile gradelor de libertate. Conform relaiei de echilibru static a sistemului mecanic, obinem relaia de echivalare: { } | |{ } { } | |{ }010 0 0F F K F = = (2.70) de unde sistemul ecuaiilor difereniale de micare are expresia: | | ( ) { } | | ( ) { } { } ( ) | |{ } ( ) t f K t f F t u K t u M0 o = = + & & (2.71) 7VLGN / Curs 04LD / CN-UGAL CURS VLGN-04 2.7Rspunsuldinamicalsistemelorcungradedelibertateprodusde foredeexcitaiearmonicecenuacioneazpedireciiledemicareale maselor (metoda forelor de inerie) Fig.2.7 Forele armonice de excitaie asupra sistemului mecanic din fig.2.7 au expresia: ( ) N , 1 k t sin P t P0 k k= = (2.72) ConformprincipiuluiluiDAlambert,asuprasistemuluidinamic(fig2.7)acioneaz forele i forele de inerie( ) N , 1 k , t Pk= ( ) n , 1 , t u m FI= = l & &l l l i avem: ( ) ( ) ( ) n , 1 i t P t F t uN1 kik kn1i I i= + = = = ll l (2.73) ( ) ( ) ( ) t sin t F t u t sin t sin P t Pi 0n1i I i i 0N1 kik 0 kN1 kik k + = = |.|

\| = = = = ll l (2.74) undes-anotatcu0icomponentelevectorului{0}aldeplasrilorechivalenteindusede forele de excitaie {P0} aplicate static asupra sistemului mecanic. Fiind vorba de un sistem mecanic liniar, neglijnd i amortizarea, masele mi execut o micare armonic stabilizat cu pulsaia egal cu a forelor perturbatoare, n faz. ( ) n , 1 i t sin a t ui i= =(2.75) ( ) ( ) n , 1 i t sin a m t u m t F2i i i i Ii= = = & &Din relaiile (2.74),(2.75) obinem: n , 1 i 0 a a m t sin t sin a m t sin ai 0 in1i2i 0n1i2i= = + + |.|

\| = = = ll l lll l l (2.76) i cum matricea maselor, relaia (2.76) are urmtoarea form matriceal:| | {in , 1 im diag M== }| || | | | ( ){ } { } 0 a I M F02= + (2.77) unde:matriceadeflexibilitate;| | F | | M matriceainerial;{ } a vectorulamplitudinea deplasrilor;{vectorul deplasrilor echivalente induse de forele de excitaieaplicate static asupra sistemului mecanic. }0 { }0PNotm vectorul amplitudinilor forelor de inerie: { } | |{ } { } | |{ }21 2i i2i1J M a a M J n , 1 i a m J= = = = (2.78) Din relaiile (2.77),(2.78) obinem: | || | | | ( )| |{ } { } | | | | { } { } 0 J M1F 01J M I M F012 0 21 2= +|.|

\| = + (2.79) unde| | | | 0 M1F12|.|

\|det , respectiv s nu fie o pulsaie proprie (de rezonan). Din rezolvarea sistemului algebric liniar (2.79) rezult vectorul amplitudine a forelor de inerie i din (2.78) rezult vectorul amplitudine a deplasrilor{ } J { } a . Rspunsul dinamic are expresia final: ( ) { } { } t sin a t u =(2.80) 1VLGN / Curs 04LD / CN-UGAL 2.8 Vibraii torsionale libere neamortizate ale sistemelor cu un numr finit degrade de libertate 2.8.1. Deducerea ecuaiei difereniale pentru vibraia torsional Fig.2.8 Facem urmtoarele ipoteze: Se neglijeaz amortizarea sistemului mecanic. Vomluanstudiudoarvibraiagrinzilordeseciunecircularcareexecutdeformaii torsionale fr deplanare (torsiune liber nempiedicat). Masairespectivmomentuldeineriemasicseconsiderconcentratenceinvolani ( ).n , 1 i , J , mi i=Asupra volanilor acioneaz momentele torsionale de excitaie mTi(t). Coeficientulderigiditatelatorsiuneliber(seciunetransversalcircular,curs1,fig.1.3, relaiile (1.4)) are expresia: l lp1 T Tpp TGIM kGIGI M = = = == (2.81) AplicmprincipiulluiDAlambertpentruunvolantiiobinemecuaiadeechilibru dinamic (fig.2.8): ( )( )( )1 i i 1 Ti 1 Tii 1 i Ti TiTi 1 Ti Ti i ik Mk Mt m M M J + = =+ = & & ( ) ( ) t m k k JTi 1 i i 1 Ti i 1 i Ti i i( ) + = +& &(2.82) unde: 1 i1 pi1 TiipiTiGIkGIk= =l l Pentru volanii intermediari sistemul ecuaiilor de echilibru este: ( ) ( ) 1 n , 2 i t m k k k k JTi 1 i Ti i Ti 1 Ti 1 i 1 Ti i i = = + + + & & (2.83.a) Deoarece tronsoanele 0 i n nu se rsucesc, avnd capete libere (simpl rezemare) se poate scrie, pentru volantul 1 (tronsonul 0): ( ) 1 i t m k k J 0 M1 T 2 1 T 1 1 T 1 1 1 0 0 T= = + = = & & (2.83.b) i pentru volantul n (tronsonul n): ( ) n i t m k k J 0 MTn n 1 Tn 1 n 1 Tn n n 1 n n Tn= = + = = + & &(2.83.c) n relaiile (2.83) facem urmtoarele notaii: | | { }in , 1 iij i iiJ diag J n , 1 j , i j i 0 J n , 1 i J J== = = = =(2.84.a) 1 Tn nn 1 Tn 1 nn njj 1 1 T 12 1 T 11ijTi 1 ii Ti 1 Ti ii 1 Ti 1 iik k k k 2 n , 1 j 0 kn , 3 j 0 k k k k kn , 2 i j si 2 i , 1 j 0 k1 n , 2 i k k k k k k k + = = = == = = =+ = = = = = + = =(2.84.b) de unde|este matrice band simetric, cu limea de band LB=3:| K2VLGN / Curs 04LD / CN-UGAL | |(((((((((

+ ++=1 - Tn 1 - Tn1 - Tn 1 - Tn 2 - Tn 2 - TnT3 T3 T2 T2T2 T2 T1 T1T1 T1K K - 0 ... 0 0 0 0K - K K K ... 0 0 0 0...0 ... K - K K K - 00 ... 0 K - K K K -0 ... 0 0 K - KK(2.84.c) Dinrelaiile(2.83),(2.84)rezultsistemulecuaiilordiferenialedemicarelavibraii torsionale de forma: | | ( ) { } | | ( ) { } ( ) { } t M t K t JT= + & & (2.85) unde:|este matricea inerial a sistemului;| J | | Keste matricea de rigiditate a sistemului; ( ) { t } este vectorul rotirilor pe gradele de libertate ale sistemului; ( ) { } ( ) ( ) ( ) {TTn 2 T 1 T Tt m ... t m t m t M = } vectorul momentelor torsionale de excitaie. nmulind (2.85) cu [F]=[K-1] se ob ine:| | ( ) { } ( ) { } | | ( ) { } | | | | | | | || | J F D K F t M F t t D1T= = = + & & (2.86) unde [D] este numit matrice dinamic (la torsiune). La vibraii torsionale libere sistemul ecuaiilor difereniale de micare devine: ( ) { } = 0 t MT

| | ( ) { } | | ( ) { }| | ( ) { } ( ) { } 0 t t D0 t K t J= + = + & && & (2.87) careserezolvanalogvibraiilortransversale,folosindmetodebazatepedeterminarea valorilor i vectorilor proprii. 2.8.2. Vibraii torsionale libere neamortizate. Metoda Holzer Pentru exemplificarea metodei Holzer vom considera un caz particular, un sistem format din 4 mase i 5 tronsoane elastice. Fig.2.9 Din (2.87) sistemul de ecuaii difereniale de micare pentru cei 4 volani este: ( )( ) ( )( ) ( )( ) 0 k J0 k k J0 k k J0 k J3 4 3 T 4 44 3 3 T 2 3 2 T 3 33 2 2 T 1 2 1 T 2 22 1 1 T 1 1= + = + + = + + = + & && && && & (2.88) Fiind cazul vibraiilor libere, soluia sistemului (2.88) este de forma: t sin Ai i = (2.89) Din relaiile (2.88),(2.89) rezult (dup derivare dubl i simplificare cu sint): ( )( )( )( ) 0 A k A k J0 A k A k A k k J0 A k A k A k k J0 A k A k J3 3 T 4 3 T 424 3 T 2 2 T 3 3 T 2 T 323 2 T 1 1 T 2 2 T 1 T 222 1 T 1 1 T 12= + = + + = + + = + (2.90) 3VLGN / Curs 04LD / CN-UGAL icareesteechivalentcuecuaiamodalcaresepoaterezolvaiprinmetodegeneralede valori i vectori proprii. Pentru (2.90) vom aplica o schem de calcul recursiv cunoscut sub numele de metoda Holzer, constnd din urmtoarele calcule succesive: ( )( )3 3 2 2 1 1T323T31 122 223 323 42 2 1 1T222T21 122 222 3T11 121 2A J A J A JkAkA J A J A J A AA J A JkAkA J A J A AkA J A A+ + =+ + =+ =+ = = (2.91) Din (2.91) si ultima ecuaie din (2.90) obinem funcia obiectiv: ( ) 0 A J A J A J A J f4 423 322 221 12= + + + = (2.92) care pentru grinda liber la capete reprezint suma momentelor torsionale de inerie ce trebuie s fie egal cu zero la condiia de echilibru a vibraiilor torsionale libere. Varianta 1 Determinarea doar a unei pulsaii proprii 1.Se estimeaz pulsaia proprie( ) 02.Se consider (ca la orice caz de vibraie liber)1 A1 =3.Se calculeaz din (2.91) 4 3 2A , A , A4.Se calculeaz funcia obiectiv( ) fdin (2.92) 5.Seitereazpaii2-4, dinaproapenaproapepnce (iter ) ( )( ) iterf ,apelndla metoda njumtirii intervalului la selectarea valorilor pulsaiei. Varianta2Determinareamaimultor pulsaii proprii Ciclare dup valoarea pulsaiei| |max, 0 1 A1 = din (2.91) 4 3 2A , A , A( ) fdin (2.92) Sereprezintgraficulipunctele undecurbaintersecteazabscisareprezint pulsaiilepropriimaimicidect.Pentrurafinareasoluieilafiecarevaloaregsitse poate aplica algoritmul de la varianta 1. ( ) fmax Fig.2.10 Obs. ntr-o formulare general a metodei Holzer, relaiile (2.91),(2.92) devin: ( )( ) ( ) 0, 2 ,11211121111211 == = =====nii iijj jTiiTiijj ji iA J fn i A JkAkA JA AA (2.93) 4VLGN / Curs 04LD / CN-UGAL 2.9. Vibraii longitudinale ale sistemelor mecanice cu un numr finit degrade de libertate 2.9.1 Deducerea ecuaiilor difereniale la vibraii longitudinale neamortizate Fig.2.11 Coeficientul de rigiditate longitudinal are expresia: ll EAN kEANu1 u= = = = (2.94) AplicmprincipiulluiDAlambertpentruomasiiobinemecuaiadeechilibru dinamic (fig.2.11): ( )( )( )i 1 i 1 i 1 i1 i i i ii 1 i i i iu u k Nu u k Nt N N N u m = == + +& &( ) ( ) t N u k u k k u k u mi 1 i i i i 1 i 1 i 1 i i i= + + + & &(2.95) unde1 i1 i1 iiiiEAkEAk= =l l, ( ) t Ni fiind fora axial excitatoare. Din (2.95) obinem sistemul ecuaiilor de micare la vibraii longitudinale: ( ) ( ) 1 n , 2 i t N u k u k k u k u mi 1 i i i i 1 i 1 i 1 i i i = = + + + & & (2.96.a) 0 u1 n=+ ncastrare: ( ) ( ) n i t N u k k u k un n n 1 n 1 n 1 n n n= = + + & & m (2.96.b) 0 1 0u u 0 N = =capt liber:( ) 1 i t N u k u k u m1 2 1 1 1 1 1= = + & &(2.96.c) n relaiile (2.96) facem urmtoarele notaii: | | { }in , 1 iij i iim diag M n , 1 j , i j i 0 m n , 1 i m m== = = = = (2.97.a) n 1 n nn 1 n 1 nn1 12 1 11i 1 ii i 1 i ii 1 i 1 iik k k k kk k k k1 n , 2 i k k k k k k k+ = = = = = = + = = + (2.97.b) n rest, rezultnd matricea band [K] cu limea de band LB=3.0 kij =Din (2.96),(2.97) rezult urmtorul sistem de ecuaii difereniale la vibraii longitudinale: | | ( ) { } | | ( ) { } ( ) { } t N t u K t u M = + & &(2.98) | | | || | | | | | | | ( ) { } ( ) { } | | ( ) { } t N F t u t u D K F M F D1= + = =& &l l,[Dl]fiindmatriceadinamic pentru vibraii longitudinale. La vibraii libere, neamortizate, longitudinale( ) { } 0 t N =obinem: | | ( ) { } | | ( ) { }| | ( ) { } ( ) { } 0 t u t u D0 t u K t u M= += +& && &l (2.99) 2.9.2. Vibraii libere longitudinale. Metoda Holzer Deoarece se observ c ecuaiile de vibraie longitudinal sunt similare ca form cu cele de vibraie torsional, se poate lesne intui c se pot folosi aceleai metode de rezolvare. Considerm un caz particular cu 3 mase, pentru exemplificarea metodei Holzer: 5VLGN / Curs 04LD / CN-UGAL Fig.2.12 Din relaiile (2.99) sistemul ecuaiilor difereniale de micare pentru cele 3 mase este: ( )( ) ( )( ) 0 u 0 u k u u k u m0 u u k u u k u m0 u u k u m4 3 3 2 3 2 3 33 2 2 1 2 1 2 22 1 1 1 1= = + += + += +& && && & (2.100) i cu soluia sistemului de forma3 , 2 , 1 i t sin X ui i= = . Din (2.100) obinem: ( )( )( ) 0 X k X k k m0 X k X k X k k m0 X k X k m2 2 3 3 2 323 2 1 1 2 2 1 222 1 1 1 12= + + = + + = + (2.101) de unde rezult: ( )2 2 1 122221 122 222 31 112111 121 21X m X mkXkX m X m X XX mkXkX m X X1 X+ =+ = = == (2.102) ( ) 0 X k X m X m X m X k f3 3 3 322 221 124 3= + = = (2.103) adic suma forelor de inerie + fora din ncastrare = 0 . Analog cazului vibraiilor torsionale se rezolv prin algoritmii variantele 1,2 problema modurilor proprii de vibraie longitudinale. Obs. n cazul general a unui sistem mecanic cu n grade de libertate, relaiile (2.102), (2.103) au urmtoarele expresii: ( ) 01 , 2 ,1111121111211= =+ = = ==+== nijj jiiiijj ji iX fn i X mkXkX mX XX (2.104) 6VLGN / Curs 05LD / CN-UGAL CURS VLGN-05 VIBRAII MECANICE LOCALE N MEDII CONTINUE 3.1. Vibraii transversale 3.1.1 Ecuaia diferenial a vibraiilor elastice transversale ale unei bare cu mas distribuit Fig.3.1.1 n fig.3.1.1 am fcut urmtoarele notaii: ( ) = t , x pfora de excitaie pe unitatea de lungime; ( ) = xmasa pe unitate de lungime (neglijm ineria la rotaie); ( ) = t , x wsgeata din ncovoiere (se neglijeaz forfecarea). Aplicnd principiul lui DAlambert pe un element de lungime dx rezult: ( )( )( )( )( )( )( )0 dM M2dxt , x p2dxw x dx T M0 dT T dx t , x p dxtt , x wx T2 222= + += +& &(3.1.1) de unde neglijnd infiniii mici de ordinul doi i superior obinem: ( )( )( )TxMt , x pxTtt , x wx22=+= ( ) ( ) t , x ptwxxM2222 = (3.1.2) Derivnd dublu ecuaia fibrei medii deformate( ) M x w x2 2 = EI , i nlocuind n earelaia (3.1.2) se obine: ( )( )( )( )( ) t x, ptt x, wx xt x, wx EIx222222=+((

(3.1.3) i pentru o grind prismatic ecuaia de micare (ecuaia lui Euler) devine:ct EI =( )( )( )( ) t , x ptt , x wxxt , x wEI2244= +(3.1.4) 3.1.2 Vibraiile libere ale barei prismatice cu mas distribuit uniform ( ( ) ct x = ) prin metoda matricelor de transfer n cazul vibraiilor libere ecuaia diferenial de micare devine: ( )( ) ( )0tt , x wxt , x wEI 0 t , x p2244= + = (3.1.5) 1VLGN / Curs 05LD / CN-UGAL Aplicm metoda separrii variabilelor, propunnd o soluie de forma: ( ) ( ) (t x w t , x w = )(3.1.6) ( )( ) ( ) ( )( )( )( )( )2IV44x wx w EItt0 t x w tdxx w dEI = = = + & && &( ) ( ) ( ) ( ) + = = + t sin A t 0 t t2& & ecuaia temporal (3.1.7) ( )( ) = = =EIEI0 x wEI dxx w d224244 ecuaia n domeniu spaiu (3.1.8) Ecuaia caracteristic a ecuaiei difereniale (3.1.8) este de forma: = = i , r 0 r4 4(3.1.9) de unde soluia n domeniul spaiu are forma: ( ) x sin C x cos C x sh C x ch C x w4 3 2 1 + + + = (3.1.10) Vom exprimaC funcie de parametrii n origine (x=0). 4 3 2 1C , C , C ,Definim vectorul de stare la seciunea x: ( ) { }( )( )( )( )T w EI TdxdMM w EI wx Tx Mxx wx Z = = = = )`=(3.1.11) ( )( ) ( ) ( )( )( )( )( )( )( ) x cos C x sin C x ch C x sh CEIx Tx wx sin C x cos C x sh C x ch CEIx Mx wx cos C x sin C x ch C x sh C x x wx sin C x cos C x sh C x ch C x w4 3 2 134 3 2 124 3 2 14 3 2 1 + + = = + = = + + = = + + + = ( ) { })`(((((

= 43213 3 3 32 2 2 2CCCCx cos EI x sin EI x ch EI x sh EIx sin EI x cos EI x sh EI x ch EIx cos x sin x ch x shx sin x cos x sh x chx Z( ) { } ( ) | |{} C x B x Z = (3.1.11.a) ( ) { } ( ) | |{} {} ( ) | | ( ) { } 0 Z 0 B C C 0 B 0 Z 0 x1 = = =(3.1.12) ( ) | |(((((

=3 32 2EI 0 EI 00 EI 0 EI0 00 1 0 10 B( ) | | ( ) | | | | ( ) | |(((((((((

= = 32321 1EI 2102100EI 21021EI 2102100EI 210210 B I 0 B 0 B2VLGN / Curs 05LD / CN-UGAL nlocuind {C} din (3.1.12) n (3.1.11.a), obinem: ( ) { } ( ) | | ( ) | | ( ) { } ( ) { } ( ) | | ( ) { } ( ) | | ( ) | | ( ) | | 0 B x B x U 0 Z x U x Z 0 Z 0 B x B x Z1 1 = = = (3.1.13) unde|este numit matricea de transfer i, prin calcul direct, obinem:( ) x U |( ) | |( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )((((((((

=x F x F x F EI x F EIx F1x F x F EI x F EIx FEI1x FEI1x F x Fx FEI1x FEI1x F1x Fx U1 4 32232 1 4 32322 1 443322 1 (3.1.14.a) unde au fost folosite notaiile funciilor Krlov: ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) x sin x sh21x F x cos x ch21x Fx sin x sh21x F x cos x ch21x F4 32 1 = = + = + = (3.1.14.b) Dac considerm o bar cu capetele i-1,i de lungimelobinem: i{ } | |{1 i i iZ U Z= } | unde | | (3.1.15)( ) |i iU U l =Pe baza relaiei (3.1.15) se poate defini metoda matricelor de transfer pentru calculul modurilor proprii de vibraiei. Exemplu grind din trei tronsoane Fig.3.1.2

{ } | |{ } { } | |{ } | || |{ }{ } | |{ } | || || |{ } | |{ }0 0 1 2 3 2 3 30 1 2 1 2 2 0 1 1Z U Z U U U Z U ZZ U U Z U Z Z U Z= = == = = i din condiiile de margine| |0 T u u0 T u uT00UTM000 24 0 220 14 0 120033= + = + )`=)` (3.1.16) ( ) 0 u u u u14 22 24 12= = ecuaia frecvenelor proprii. Obs. Deoarece caracteristicile ineriale i geometrice sunt variabile pe fiecare tronson, n ecuaia matricelor de transfer (3.1.16) n loc de variabila se va folosi direct pulsaia. Exemplu grind simplu rezemat la capete i un singur tronson Fig.3.1.3 3VLGN / Curs 05LD / CN-UGAL ( ) { } ( ) | |)`=)`= = =====0011x0 xx0 xT00UT00Z 0 w 0 M l ll l ( ) ( )( ) ( ) 0 T F1F EI0 T FEI1F10 2 0 40 430 2= + = + l ll l( ) ( ) l l = =242222F1F10 detde unde pulsaiile proprii sunt: *2k kN kEI k k0 sin 0 sh sin |.|

\| = = = = l ll l l(3.1.17.a) Formele proprii rezult din relaiile: ( ) ( ) ( )0 430 2T x FEI1x F1x w =i pentru w(l)=0 rezult: ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) | | x F x Fx FEI 1Tx Fx w EI F FEI T4 20420020 242 200 =((

+ = = =ll ( ) ( )*k k0 0k0N k ,x ksin w , x w x ksinx sinx w = = = = l l (3.1.17.b) 3.1.3. Ortogonalitatea funciilor formelor proprii de vibraie Considerm dou moduri proprii de vibraie:( ) (x w , ; x w ,k k j j) . Ecuaiile difereniale corespunztoare celor dou moduri sunt, conform (3.1.8): ( ) ( )( ) ( ) 0 x w x w EI0 x w x w EIk2kIVkj2jIVj= = ( ) ( )( ) ( )k k k kj j j jt sin A tt sin A t + = + = (3.1.18) La vibraii libere acioneaz numai forele de inerie i pe elementul de lungime dx avem: ( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )dx t x w dxtt , x wt , x dFdx t x w dxtt , x wt , x dFk k2k2k2kj j2j2j2j = = = = ( ) ( )( ) ( )dx x w x dFdx x w x dFk2k kj2j j = =(3.1.19) Conform teoremei de reprocitate a lucrului mecanic virtual avem relaiile: ( ) ( ) x dF x w dLj k jk =i ( ) ( ) x dF x w dLk j kj =( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) = = = =l ll l0k j2k0k2k j kj0k j2j0j2j k jkdx x w x w dx x w x w Ldx x w x w dx x w x w LL ( ) ( ) ( ) 0 dx x w x w Lk j02k2j kj jk= =lde unde relaia de ortogonalitate are expresia: ( ) ( )k j Mk j 0dx x w x wjk j0== lMj este numit mas asociat modului j (3.1.20) 4VLGN / Curs 05LD / CN-UGAL 3.1.4Determinarea rspunsului dinamic produs de aciunea forelorperturbatoare oarecare.Metoda analizei modale Ecuaia diferenial a vibraiilor transversale forate, neamortizate este: ( ) ( )( ) ( )(t f x p t , x ptt , x wxt , x wEI2244= = +)) (3.1.21) Conform metodei analizei modale, soluia ecuaiei (3.1.21) este: ( ) ( ) (= =1 jj jt x w t , x w (3.1.22) unde: este funcia formei proprii de vibraie pentru modul j;( ) x wj( ) ( ) t tj j j = coordonata principal modal pentru modul j. Din relaiile (3.1.21),(3.1.22) obinem: ( ) ( ) ( ) ( ) | ( )( ) t f x p t x w t x w EI1 jj j jIVj= + =& & |(3.1.23) A fost gsit anterior relaia (vezi (3.1.8)): ( ) ( ) ( ) ( ) | | ( ) ( )( ) t f x p x w t t x w x w EIj1 jj2j j j2jIVj= + = =& &nmulind ultima relaie cu wj(x) i integrnd pe lungime ntre 0 i l i innd cont de ortogonalitatea modurilor proprii de vibraie (3.1.20) obinem: ( ) ( ) ( ) t fMPt tjjj2j j= + & & (3.1.24) unde: este masa asociat modului j( )j02jM dx x w = llucrulmecanicechivalentalforeiperturbatoareaferentvibraieide ordinul j ( ) ( )j0jP dx x w x p =lDeoarece avem de a face cu o ecuaie diferenial de acelai tip cu cea de la capitolul 1.4.1, putem folosi o soluie de form analog, i anume: ( ) ( ) t tj j j = (3.1.25) 2j jjjMP= factorul de participare al modului j de vibraie la rspunsul dinamic total ( ) ( ) ( ) = t0j j jd t sin f tfuncia de multiplicare dinamic Rspunsul dinamic total are expresia: ( ) ( ) (= =1 jj j jt x w t , x w ) (3.1.26) Obs.Pentrudeterminareasolicitrilordinamicesencarcstaticstructuracu amplitudinea forei de inerie( ) ( ) x w x dFj2j j =( ) x, care conduce la deformarea structurii dup funcia modal de form i rezult eforturile secionale modale, de unde rspunsul dinamic total are expresia: wj( ) ( ) x T , x Mj j( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( == = =1 jj j j1 jj j jt x T t , x T t x M t , x M )(3.1.27) 5VLGN / Curs 05LD / CN-UGAL 3.1.5Determinareamodurilorpropriidevibraietransversalealegrinziiprismatice prin integrarea direct a ecuaiei de micare, cu diverse condiii de margine n cele ce urmeaz considerm ecuaia de micare la vibraii libere transversale pentru grinda prismatic n formularea Euler din relaia (3.1.5), cu urmtoarele condiii de margine: simpl rezemare, margini libere, ncastrare perfect la extremiti (fig.3.1.4). x = - /2x = 0x = /2,EI,lllx1 2 Fig.3.1.4 Pe baza ecuaiei (3.1.5) rezult urmtoarea soluie la vibraii libere (analog cap.3.1.2): (3.1.28)( ) ( ) (t x w t , x w = )( ) ( ) ( ) ( ) + = = + t sin A t 0 t t2& & ( )( ) 0 x wEI dxx w d244= = = EIEI224

( ) x sin c x cos c x sh c x ch c x w i , r 0 r4 3 2 14 4 + + + = = = w EIdxdMT w EI M w = = = = ,| | 2 , 2 x l l a) Cazul simplei rezemri la extremiti 0 w2x= =l 0 M2x= =l02= ll2 = = EI 422l(3.1.29) Pebazasoluiei(3.1.28),rezulturmtoareleexpresiipentrumomentulncovoietor, fora tietoare, deplasare i rotaia la ncovoiere: ( ) x sin c x cos c x sh c x ch c x w4 3 2 1 + + + =( )x cos c x sin c x ch c x sh cw x4 3 2 1 + + ==(3.1.30) ( )x sin c x cos c x sh c x ch cwEIx M4 3 2 12 2 + = =( )x cos c x sin c x ch c x sh cwEIx T4 3 2 13 3 + + = =Pe baza relaiilor (3.1.29) i (3.1.30), rezult urmtorul sistem echivalent al condiiilor de margine: 0 sin c cos c sh c ch c4 3 2 1= + + + 0 sin c cos c sh c ch c4 3 2 1= + (3.1.31) 0 sin c cos c sh c ch c4 3 2 1= + 0 sin c cos c sh c ch c4 3 2 1= + ce se reduce la dou sisteme de ecuaii decuplate: pentru modurile proprii de vibraii simetrice (se adun ecuaia 1 cu ecuaia 2 i 3 cu 4): 0 cos c ch c0 cos c ch c3 13 1= = + 0 cos ch = ( )21 k 2+ = ( ) + = 1 k 2 l (3.1.31.a) pentru modurile proprii de vibraii anti-simetrice (se scade ecuaia 2 din ecuaia 1 i 4 din 3): 0 sin c sh c0 sin c sh c4 24 2= = + 0 sin sh = = k = k 2 l (3.1.31.b) 6VLGN / Curs 05LD / CN-UGAL Funciiledeformmodale,pebazarelaiilor(3.1.31)i(3.1.29)auurmtoarele expresii (modurile de vibraie depind de condiiile la capete care, i ele, depind de modurile de ncrcare): pentru modurile proprii de vibraii simetrice: Din:i din: ( ) 0 c c 0 0 w4 2= + = ( ) 0 c c 0 04 2T = = , deci c2=c4=0 De unde: (3.1.32.a)( ) x cos c x ch c x w3 1 + =( ) ( )( )llx 1 k 2cos x w 1 c ; 0 c N k 0 cos c ch c 2 wk 3 1*3 1 += = = = + =pentru modurile proprii de vibraii anti-simetrice: ( ) ( ) ( ) x sin c x sh c x w 0 c c 0 0 M 0 0 w4 2 3 1 + = = = = = (3.1.32.b) ( ) ( )llx k 2sin x w 1 c ; 0 c N k 0 sin c sh c 2 wk 4 2*4 2= = = = + =Obs.nurmatranslaieisistemuluidecoordonate2 X x l = , | | | | l l l , 0 X 2 , 2 x ,rezultpentrufunciiledeformmodaleurmtoareleexpresii echivalente: (3.1.32.a) ( )lX k 2sin X wk= i (3.1.32.b) ( )( )lX 1 k 2sin Xkw+=(3.1.33) Notnd q=2x/l, (3.1.32.a)i (3.1.32.b)devin: ( )( )2 q 1 2kcos q wk+=i,( ) q k sin q wk= | | 1,1 q (3.1.33.a) Dinrelaiile(3.1.33),(3.1.31),(3.1.28),ncazulgrinziisimplurezematlacapete rezult urmtoarele relaii pentru modurile proprii de vibraie:| l , 0 x | ( )=|.|

\| = = = EI2m fEI m X msin x w N m m22m2m m*ml l l l(3.1.34) ( ) 0 x w 0 m0= = Fig. 3.1.5.a.1. Diagrama w(q) pentru capete simplu rezemate, simetric 7VLGN / Curs 05LD / CN-UGAL Fig. 3.1.5.a.2. Diagrama w(q) pentru capete simplu rezemate, antisimetric b) Cazul grinzii cu extremitile libere 0 M2x= =l 0 T2x= =l02= l 0 w2x= =l0 w2x= =l (3.1.35) Pebazarelaiilor(3.1.30),(3.1.35)rezulturmtorulsistemechivalentalcondiiilorde margine: 0 sin c cos c sh c ch c4 3 2 1= + 0 sin c cos c sh c ch c4 3 2 1= + (3.1.36) 0 cos c sin c ch c sh c4 3 2 1= + + 0 cos c sin c ch c sh c4 3 2 1= + ce se reduce la dou sisteme de ecuaii decuplate: pentru modurile proprii de vibraii simetrice 0 sin c sh c0 cos c ch c3 13 1= + = = th cos sin|.|

\|+ =43kk|.|

\|+ = 43k 2 l(3.1.37.a) pentru modurile proprii de vibraii anti-simetrice 0 cos c ch c0 sin c sh c4 24 2= = = th cos sin |.|

\|+ =41kk|.|

\|+ = 41k 2 l (3.1.37.b) Funciile de form modale, pe baza relaiilor (3.1.37) i (3.1.30), au urmtoarele expresii: pentru modurile proprii de vibraii simetrice ( ) ( ) ( ) x cos c x ch c x w 0 c c 0 0 T 0 0 w3 1 4 2 + = = = = = ( )= = =chcosc c 0 cos c ch c 2 M3 1 3 1l|.|

\|+ =EI 243k f22kl ( )( )N kx2 chch121 x2 cos21x wkkkk k|.|

\||.|

\| =l l ((

2,2xl l(3.1.38.a) pentru modurile proprii de vibraii anti-simetrice ( ) ( ) ( ) x sin c x sh c x w 0 c c 0 0 M 0 0 w4 2 3 1 + = = = = =8VLGN / Curs 05LD / CN-UGAL ( )= = =shsinc c 0 sin c sh c 2 M4 2 4 2l|.|

\|+ =EI 241k f22kl ( )( )N kx2 shsh121 x2 sin21x wkkkk k|.|

\|+|.|

\| =l l ((

2,2xl l(3.1.38.b) Obs.Schimbndvariabilacu| | 1,1 2x q = l ,rezultpentrufunciiledeform urmtoarele expresii echivalente: (3.1.38.a) ( ) ( )( ) ( )N kchq ch21q cos21q wkkkk k =,|.|

\|+ =43kk(3.1.39.a) (3.1.38.b) ( ) ( )( ) ( )N kshq sh21q sin21q wkkkk k+ =,|.|

\|+ = 41kk(3.1.39.b) Dinrelaiile(3.1.38),(3.1.39),unificndrelaiile,ncazulgrindcuextremitile libere rezult urmtoarele moduri proprii de vibraie: | | 1,1 q pentru modurile proprii de vibraii simetrice, m=2k+1=1,3,5,( ) ( )( ) ( )mm21 mm mchq ch21q cos21q w =(3.1.40.a) pentru modurile proprii de vibraii anti-simetrice, m=2k=0,2,4,6, ( ) ( )( ) ( )mm2mm mshq sh21q sin21q w+ =(3.1.40.b) cu frecvenele proprii: ( )41 m 2m+ = ( )*22mN mEI21 m 2 f + =l(3.1.40.c) bs. Pentru m=0 rezult o rotaie, oscilaia corpului rigid fr vibraii,.( ) t t wm= Fig. 3.1.5.b.1. Diagrama w(q) pentru capete libere, simetric 9VLGN / Curs 05LD / CN-UGAL Fig. 3.1.5.b.2. Diagrama w(q) pentru capete libere, antisimetric c) Cazul ncastrrii rigide la extremiti 0 w2x= =l 0 w2x= =l02= l (3.1.41) Pe baza relaiilor (3.1.30), (3.1.41) rezult urmtorul sistem echivalent al condiiilor de margine: 0 sin c cos c sh c ch c4 3 2 1= + + + 0 sin c cos c sh c ch c4 3 2 1= + (3.1.42) 0 cos c sin c ch c sh c4 3 2 1= + + 0 cos c sin c ch c sh c4 3 2 1= + + + care se reduce la dou sisteme de ecuaii decuplate: pentru modurile proprii de vibraii simetrice 0 sin c sh c0 cos c ch c3 13 1= = + = th cos sin|.|

\|+ =43kk lkk2= (3.1.43.a) pentru modurile proprii de vibraii anti-simetrice 0 cos c ch c0 sin c sh c4 24 2= + = + = th cos sin |.|

\|+ =41kk lkk2= (3.1.43.b) Funciile de form modale, pe baza relaiilor (3.1.43) i (3.1.30), au urmtoarele expresii: pentru modurile proprii de vibraii simetrice ( ) ( ) ( ) x cos c x ch c x w 0 c c 0 0 T 0 0 w3 1 4 2 + = = = = = (3.1.44.a) = =|.|

\|chcosc c 02w3 1l ( ) x chchcosx cos x wkkkk k = ((

2,2xl l pentru modurile proprii de vibraii anti-simetrice ( ) ( ) ( ) x sin c x sh c x w 0 c c 0 0 M 0 0 w4 2 3 1 + = = = = = (3.1.44.b) = =|.|

\|shsinc c 02w4 2l ( ) x shshsinx sin x wkkkk k = ((

2,2xl l 10VLGN / Curs 05LD / CN-UGAL Obs. Schimbnd variabila cu| | 1,1 2x q = l , rezult urmtoarele expresii:(3.1.44a) ( ) ( )( ) ( )N kchq ch21q cos21q wkkkk k+ = ,|.|

\|+ =43kk (3.1.45.a) (3.1.44b) ( ) ( )( ) ( )N kshq sh21q sin21q wkkkk k = ,|.|

\|+ = 41kk (3.1.45.b) Obs.Pentrucalculepracticefunciilordeformmodalepotfiaproximatecu urmtoarele expresii: ( ) ( )*k kN kx k 2sinkx wx k 2cos 121x w ((

l l l | | l , 0 x (3.1.46) care satisfac condiiile de margine eseniale: ( ) ( ) 0 w 0 w = = l;( ) ( ) 0 w 0 w = = l . Fig. 3.1.5.c.1. Diagrama w(q) pentru capete ncastrate, simetric Fig. 3.1.5.c.1. Diagrama w(q) pentru capete ncastrate, antisimetric 11VLGN / Curs 06LD / CN-UGAL CURS VLGN-06 3.2.Determinarea pulsaiei fundamentale a grinzilor prin metoda energetic Rayleigh 3.2.1. Metoda Rayleigh. Cazul grinzilor cu o singur deschidere La vibraii libere neamortizate (sistem conservativ energetic) avem: max p max c p cE E ct E E = = + (3.2.1) unde Ec este energia cinetic iar Ep este energia potenial. Fig.3.2.1 S-a demonstrat anterior c soluia vibraiilor libere ale grinzii pe un mod de vibraie este: ( ) ( ) t sin x w t , x w0 =(3.2.2) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = ||.|

\|= =l l l00 max p000pdx x q x w21E t sin dx x q x w21dx t , x w x q21E( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = ||.|

\|=((

=l l l0202max c2020202cdx x w x qg 2E t cos dx x w x qg 21dxtt , x wx21ENotmliniaelasticstaticdatdesarcina( ) x wst( ) ( )g x x q = (fordegreutate distribuit). Ipoteza DAlambert Considerm c ntre sgeata dinamic i sgeata static exist o relaie de liniaritate: ( ) ( ) x w x wst 0 (3.2.3) Notm: ( ) ( ) =l00 0 edx x w x q21Llucrul mecanic exterior dinamic cnd linia elastic este( ) x w0( ) ( ) =l0st estdx x w x q21Llucrul mecanic exterior static cnd linia elastic este( ) x wst( )dxdxx w dEI21L U202020 i 0((

= =lenergia intern de deformaie cnd linia elastic este( ) x w0 ( )dxdxx w dEI21L U202st2ist st((

= =l energia intern de deformaie cnd linia elastic este( ) x wst Pentru o grind elastic deformat avem condiiile de echilibru: ( ) ( )dx x w x q21L L Udxdxw dEI21dxdxw dEI21U L L E0st2est2ist2st2022st22022020 0 i 0 e max p = = = ==((

=((

= = = =ll l(3.2.4) 1VLGN / Curs 06LD / CN-UGAL i se ine cont astfel de energia total de deformaie a grinzii elastice la vibraii. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) == =l l l02st2202020st2max c max pdx x w x qg 2dx x w x qg 2dx x w x q21E E( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )== = llll02st0st1102st0st21dx x w x qdx x w x qg212fdx x w x qdx x w x qg(3.2.5) Obs.PrinaplicareametodeiRayleighs-aredusproblemadinamiclaoproblem staticdedeterminarealineielasticestatice( ) x wstceaparecaurmareaaciuniisarcinii gravitaionale( ) ( )g x x q = .Sepoateaplicanumailacalcululpulsaieifundamentalede vibraie (j=1), care de cele mai multe ori este suficient n condiii practice. 3.2.1.1. Grind simplu rezemat la capete cu mas uniform distribuit

Fig.3.2.2 ( )4 30 02x24qx12qx w EI EIw x EIw x2qx2qM(x) w EI + + = + = = l l ( ) ( ) ( )(((

|.|

\|+|.|

\| = = = = =4 34st30 0x x2xEI 24qx w24qw EI 0 w 0 w wl l ll ll| | ( ) ( ) ( )4 34st2 H HEI 24qw 1 , 0x + = = =ll ( )( )( )( ) ==EI2d wd wg21dx x wdx x wg21f2 102st10st02st0st1lll(3.2.6) regsindu-se soluia exact din relaia (3.1.17.a) particularizat pentru k=1. 3.2.1.2. Grind ncastrat elastic la capete, cu mas uniform distribuit Definim coeficientul ncastrrii elastice prin raportul: | | 1 , 0MMinc = (3.2.7) Prin metoda superpoziiei liniare a efectelor pe sistemul de baz (SB) avem: ( ) ( )11 2 0M xM Mx M x M ++ =l(3.2.8) unde este dat de sarcina q(x) aplicat pe SB.( ) x M0Sistemulfiindstaticnedeterminatsepuneproblemadeterminriimomentelor ncovoietoare sau a rotirilor n ncastrare. 2VLGN / Curs 06LD / CN-UGAL Fig.3.2.3 Fig.3.2.4 Folosim metoda Mohr-Maxwell pentru determinarea rotirilor n ncastrri fig.3.2.4. ( ) ( )dxEIx m x M0= l ( ) dxx1 M xM Mx MEI1011 2 01|.|

\| ((

++ = ll l ( ) ( ) = = llll l l00211 2 11dx x M x6mEI 6mEI 6MEI 3M (3.2.9.a) ( ) dxxM xM Mx MEI1011 2 02 ((

++ = ll l ( ) = + + = lll l l00222 2 12dx x M x6mEI 6mEI 3MEI 6M (3.2.9.b) ( ) ( ) M M M4qm mx x2qx M ct q x q2 122 122 20= = = = ||.|

\| = = =ll ll

EI 24qEI 2M32 2 1l l+ = = ncastrare perfect 12qM 02inc 2 1l = = = i n cazul ncastrrii elastice 12qM M2incl = = (3.2.10) ( ) ( )24qxx12qx24qx w EI EIw x EIw12q2qxx2qx w EI43 220 02 2+ + + = + + = l l l l ( ) ( ) ( ) = = = = = 124qw EI 0 w w 0 w w30 1 0ll( ) ( ) ( ) ( ) | 1 , 0x2 H HEI 24qw2 4 34st = + + + = = ll| (3.2.11) 3VLGN / Curs 06LD / CN-UGAL Din relaiile (3.2.5),(3.2.11) obinem pentru frecvena fundamental expresia: 2 2121 51 3135 42 EI 7221f + =l(3.2.12) = = EI 572 , 1f 021lsimpl rezemare = = EI 576 , 3f 121l ncastrare perfect 3.2.2. Metoda Rayleigh. Cazul grinzilor continue pe reazeme intermediare n cazul grinzilor continue cu mai multe deschideri relaia (3.2.5) se generalizeaz. ( ) ( ) ( ) = = = = = =i i i i i in1 ii max p max pn1 ii max c max c max p max c, 0 x x g x q E E E E E E l( ) ( )( ) ( )===n1 i0i i2sti i in1 i0i i sti i i1iidx x w x qdx x w x qg21fll(3.2.13) Obs. La vibraia liber asupra sistemului mecanic acioneaz doar forele de inerie. n metoda Rayleigh, unde am redus problema dinamic la una static, sgeile statice wst se obin dinncrcareadatpedeschidere(sarcinagravitaional( )g x ),darastfelaranjatncts obinem vibraie dup modul fundamental. 3.2.2.1. Grind continu cu 2 reazeme intermediare, simplu rezemat la capete Fig.3.2.5 Obs. Sgeile statice se determin uor dac cunoatem gradele de influen ale unui tronson de grind asupra celuilalt adiacent. Aceasta echivaleaz cu a considera c fiecare tronson este ncastrat elastic la capete, gradele de influen jucnd rolul de coeficieni de ncastrare elastic. stiw Obs. Considerm structura i ncrcarea simetrice. 0 I I q q 0 M M M M3 0 1 2 3 1 3 1 3 1 3 0 2 1= = = = = = = = = l l2222 222 122 1dr 11121 111 011 1st 1EI 6 4qEI 3MEI 6MEI 6 4qEI 6MEI 3M l l l l l l l l||.|

\| = ||.|

\| + + = dr 1 st 1 = 2211232 2131 11232 2131 122111EI 2 EI 3EI 24qEI 24qMEI 24qEI 24qEI 2 EI 3Ml ll ll l l l+= =||.|

\|+ 00 = 12qM12qM22 21 dr121 11 st1l l= += (3.2.14) 4VLGN / Curs 06LD / CN-UGAL 3.2.2.2. Grind continu cu 2 reazeme intermediare, ncastrat la capete Fig.3.2.6 0EI 6 4qEI 6MEI 3M31121 111 111 00= =||.|

\| = l l l l 2222 222 122 1dr 11121 111 111 0st 1EI 6 4qEI 6MEI 3MEI 6 4qEI 3MEI 6Ml l l ll l l l||.|

\| = ||.|

\| + + = , i din dr 1 st 1 = , 232 2131 12211111 021 1 1024EIq24EIq2EI 3EIM6EIM,8q2MMl l l l l l =||.|

\|+ + + = 2211232 2131 112EI 4EI24EIq48EIqMl ll l+= 12qM12qM112qM22 21dr 121 11st 121 100l l l= += =+= (3.2.15) 3.2.3. Factor de multiplicare ( ) ( )|.|

\| = = =lxf w x w ct q x qst 0 st=st 0w sgeata static maxim, f = funcie de form Din relaia (3.2.5) obinem: ( ) ( )( ) ( )|.|

\| |.|

\| ==llllll02 2st 00st 002st0st1dxxf w qdxxf w qg21dx x w x qdx x w x qg21f = st 01wg21f , unde|.|

\||.|

\|=llll020dxxfdxxf factorul de multiplicare(3.2.16) a) grind simplu rezemat la capete ( 0 = ):1,1284xsinxf0 = = =|.|

\|=l l (3.2.17.a) b) grind ncastrat la capete ( ):1 = 1,155342cos 121 xf1 = = |.|

\| |.|

\|=l l (3.2.17.b) Dinrelaiile(3.2.17)rezultcfactoruldemultiplicareareoslabvariaiecutipul condiiilordemargine| | 3 4 , 4 ,cuodiferendesub3%,deaceeapentrucalcule practice putem admite l lxsinxf=|.|

\| indiferent de condiiile de rezemare i deci: 5VLGN / Curs 06LD / CN-UGAL 4wg21fst 01(3.2.18) Obs.Pentrudeterminareasgeiistaticemaxime,seobinemainti i apoi extremul sgeii din st 0w( ) ( ) l , 0 x x wst ( ) 0 x wst= . Fig.3.2.7 Obs. n cazul grinzilor cu n deschideri i mas uniform distribuit, pentru frecvena fundamental putem utiliza urmtoarea expresie: ( ) ( )2dxxsin2dxxsin n , 1 i , 0 xxsin w x wi0iii 2 i0iiii iiii 0 i stii illlllll l=== =====4wwg21dxxsin w qdxxsin w qg21fn1 ii2i 0n1 ii i 0n1 i0iii 2 2i 0n1 i0iiii 01iillllll(3.2.19) 3.3. Vibraii torsionale 3.3.1.Ecuaiadiferenialavibraiilorelasticetorsionalealeuneibarede seciune circular Fig.3.3.1 Facem notaiile: ( t , x ))unghiul de rsucire ( t , x mT momentul excitaie de torsiune/ unitatea de lungime( ) ( ) x I x jp momentul de inerie masic / unitatea de lungime( ) 32 d x I4p =Aplicnd principiul lui DAlambert pe un element dx, obinem ecuaia de echilibru dinamic: ( ) ( ) ( ) ( t , x mxMtx j 0 dM M dx t , x m dxtx j MTT22T T T22T+= ) = + (3.3.1) Latorsiunealiberabarelorcuseciunecircular(frdeplanareaseciunilor transversale) avem: ( ) ( ) ( ) t , x mxx GIx tx j GI MT p22p T=((

=(3.3.2.a) La vibraii libere obinem:( ) ( )( ) ( )22p22Txt , xGItt , xx j 0 t , x m = =(3.3.2.b) 6VLGN / Curs 06LD / CN-UGAL 3.3.2. Vibraii torsionale libere ale barei circulare cu mas uniform distribuit ( ) ( )22p22xt , xjGItt , x = (3.3.3)i prin metoda separrii variabilelor obinem: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )( )( )2 p pxxjGIttt xjGIt x t x t , x = = = = & && &( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 xGIjx t sin A t 0 t tp2 2= + + = = + & & (3.3.4) ( ) ( )jGIGIj0 x xpp2 2 2 = = = + ecuaia caracteristic( ) x sin C x cos C x i r 0 r2 1 2 , 12 2 + = = = +(3.3.5) Definim vectorul de stare la seciunea x,( ) ( ) x GI x Mp T =: ( ) { }( )( )( ) { } ( ) | |{ } C x B x ZCCx cos GI x sin GIx sin x cosx Mxx Z21p p T= )`((

=)` =(3.3.6) Exprimm vectorul n raport cu parametrii n origine{ } C ( ) { } 0 Z : ( ) { } ( ) | |{ } { } ( ) | | ( ) { } 0 Z 0 B C C 0 BM0 Z10 T0 = =)` =( ) | | ( ) | |(((

= ((

=p1pGI100 10 BGI 00 10 B( ) { } ( ) | | ( ) | | ( ) { } ( ) | | ( ) { 0 Z x U 0 Z 0 B x B x Z1= =}( ) | |((((

=x cos x sin GIGIx sinx cosx Upp(3.3.7) Pentru un tronson i-1,i avem relaia: { } | |{ } | | ( ) | |i i 1 i i iU U Z U Z l = =(3.3.8) i care ne permite s definim metoda matricelor de transfer la vibraii torsionale libere. Exemplu: grind simplu rezemat la capete Condiii de margine0 Mx0 x T===l. * pk k0pp1N kjGIk k0 sin0cos sin GIGIsincos0= = = )`((((

=)`l lll lll i funciile form:( ) ( )*p Tk kN kx ksinkGI x Mx kcos x |.|

\| == l l l (3.3.9) Exemplu: grind ncastrat la capete Condiii de margine0x0 x= ==l. * pk k0 Tpp1 TN kjGIk k0 sinM0cos sin GIGIsincosM0= = = )`((((

=)`l lll lll 7VLGN / Curs 06LD / CN-UGAL i funciile form:( ) ( )*p Tk kN kx kcoskGI x Mx ksin x |.|

\| == l l l(3.3.10) Obs. Rspunsul dinamic total la vibraia liber este: ( ) ( ) ( )( ) ( ) (k k kkTk Tk k kkkt sin A x M t , x Mt sin A x t , x + = + = )(3.3.11) 3.3.3. Determinarea rspunsului dinamic produs de aciunea momentelor detorsiune perturbatoare oarecare. Metoda analizei modale ( ) ( )( ) ( ) (t f x m t , x mxt , xGItt , xjT T22p22= = ))(3.3.12) Conform metodei analizei modale avem: ( ) ( ) (= = 1 jj jt x t , x( ) ( ) ( ) x GI x x jj p j2j = (3.3.13) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) | | ( ) ( ) ( ) = =l& &0j T1 jj j p j jx x t f x m t x GI x x x jRelaia de ortogonalitate este: ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 0 dx x x x j dx x x x j dx x x x jk j02k2j j k02k k j02j= = l l l ( )( ) ( )k j 0 Mk j 0dx x x x jjk j0= = l(3.3.14) Din relaiile (3.3.12),(3.3.13),(3.3.14) obinem: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = + l& &0j T jjjj2j jdx x x m P t fMPt t (3.3.15) cu soluia avnd expresia: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = = d t sin f tMPt tjt0j j2j jjj j j j (3.3.16) Rspunsul dinamic total are expresia: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) === = =1 jj j Tj T j p Tj1 jj j jt x M t x, M x GI x M , t x t x, (3.3.17) Obs. Practic se limiteaz dezvoltarea modal pn la5 n . 3.4. Vibraii longitudinale 3.4.1. Ecuaia diferenial a vibraiilor elastice longitudinale a unei grinzi cumasdistribuit Fig.3.4.1 8VLGN / Curs 06LD / CN-UGAL Conform principiului lui DAlambert, din echilibrul dinamic al unui element dx obinem: ( ) ( ) ( ) ( )( )( )( ) t , x pxNtt , x ux Ax A x 0 N dxtux dx t , x p dN N2222+= = = + +(3.4.1) ntre deformaii i eforturi secionale avem relaia: xuEA NANExux x x x= = = = (3.4.2) Din relaiile (3.4.1),(3.4.2) rezult: ( )( )( ) ( )( )At , x pxu Etut , x pxux EAx tt , x ux A222222= +((

=(3.4.3.a) i la vibraii libere neamortizate:0xu Etu2222=(3.4.3.b) 3.4.2 Vibraii longitudinale libere ale grinzii cu mas uniform distribuit n ecuaia (3.4.3.b) aplicm metoda separrii variabilelor: ( ) ( ) ( )( )( )( )( )ct A ct Ax ux u Ettt x u t , x u2= = = = = =& & ( ) ( ) ( ) ( ) + = = + t sin A t 0 t t2& &(unde prinAs-a notat amplitudinea micrii) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 x u x uE0 x uEx u2 2 22= + = = + cu soluia:( ) x sin C x cos C x u2 1 + =( ) ( ) ( x cos C x sin C EA x u EA x N2 1) + = = (3.4.4) Se definete vectorul de stare: ( ) { }( )( )( ) { } ( ) | |{ } C x B x ZCCx cos EA x sin EAx sin x cosx Nx ux Z21= )`((

=)`= (3.4.5) ( ) { } ( ) | |{ } { } ( ) | | ( ) { } ( ) { } ( ) | | ( ) { } ( ) | | ( ) | | ( ) | | 0 B x B x U 0 Z x U x Z 0 Z 0 B C C 0 B 0 Z1 1 = = = =( ) | | ( ) | | ( ) | |(((

= (((

= ((

=x cos x sin EAEAx sinx cosx UEA100 10 BEA 00 10 B1 (3.4.6) Obs. Pentru un tronson i-1,i avem{ } | |{ }1 i i iZ U Z=conducnd la metoda matricelor de transfer pentru analiza vibraiilor longitudinale libere. Exemplu: grind simplu rezemat la capete Condiii de margine0 Nx0 x===l. *k k0 1N kE k k0 sin0ucos sin EAEAsincos0u= = = )`(((

=)`l lll lll i funciile form:( ) ( )*k kN kx ksinkEA x Nx kcos x u |.|

\| ==l l l(3.4.7) Exemplu: grind ncastrat la capete Condiii de margine0 ux0 x===l. 9VLGN / Curs 06LD / CN-UGAL *k k0 1N kE k k0 sinN0cos sin EAEAsincosN0= = = )`(((

=)`l lll lll i funciile form:( ) ( )*k kN kx kcoskEA x Nx ksin x u |.|

\| ==l l l(3.4.8) Obs. Rspunsul dinamic total la vibraia liber este: ( ) ( ) ( )( ) ( ) (k k kkkk k kkkt sin A x N t , x Nt sin A x u t , x u + = + =)(3.4.9) 3.4.3. Determinarea rspunsului dinamic la vibraii longitudinale produs de aciunea forelor perturbatoare oarecare. Metoda analizei modale ( ) ( )( ) ( ) t f x pA1xt , x u Ett , x u2222=(3.4.10) Conform metodei analizei modale avem: ( ) ( ) (= =1 jj jt x u t , x u ) ( ) ( ) x u x uEj2j j = (3.4.11) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )=((

=l& &0j1 jj j j jx u x t f x pA1t x uEx x uRelaia de ortogonalitate este: ( ) ( ) ( )k j 0 Mk j 0dx x u x u xjk j0= = l(3.4.12) Din relaiile (3.4.10),(3.4.11),(3.4.12) obinem: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= = + l& &0j jjjj2j jdx x u x p P t fMPt t (3.4.13)( ) =l02j jdx x u A Mcu soluia avnd expresia: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = = d t sin f tMPt tjt0j j2j jjj j j j (3.4.14) Rspunsul dinamic total are expresia: ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )== = = =1 jj j j j j1 jj j jt x N t , x N x u EA x Nt x u t , x u(3.4.15) 10VLGN / Curs 07LD / CN-UGAL CURS VLGN-07 3.5. Vibraia plcilor izotrope 3.5.1. Ecuaia diferenial a vibraiilor plcilor subiri izotrope Fig.3.5.1 Ecuaia diferenial Sophie-Germain are expresia: ( ) ( ) ( ) ( )( ) t , y , x ptt , y , x wsyt , y , x wy xt , y , x w2xt , y , x wD22442 2444= +((

+ +(3.5.1) ( ) ( )( )Dt , y , x pt , y , x wDst , y , x wy y x2x4 4 2442 2444=+ = =+ +& &unde ( )231 12EsD =este rigiditatea cilindric a plcii, iar s este grosimea acesteia. Ecuaiadiferenial(3.5.1)afostobinutfolosindprincipiulDAlambertiipoteza Kirchhoffpentruplcisubiriizotrope:toatepuncteleaflatenaintededeformaiepeo normallaplanulmedian,seregsescdupdeformaie,peonormallasuprafaamedian deformat. De unde rezult c putem studia doar deformaiile suprafeei mediane (z=0). 3.5.2. Vibraiile libere ale plcilor izotrope ( ) = 0 t , y , x p ( ) ( ) 0 t , y , x wDst , y , x w4=+ & & (3.5.2) ( ) ( ) ( )( )( )( )( )24y , xy , xsDttt y , x t , y , x w = = =& & ( ) ( ) ( ) ( ) + = = + t sin A t 0 t t2& &( ) ( )sDDs0 y , xDsy , x22424 = = = (3.5.3) Pentruplacasimplurezematpecontur,considerndncovoierecilindricpedou direcii, admitem soluia: ( )by nsinax msin A y , xmn mn = (3.5.4) Din relaiile (3.5.3),(3.5.4) avem: 2, 0 22 22 44 2 2 4mnmn mn mnfsDbnambnbnamam=(((

|.|

\|+|.|

\|= = (((

|.|

\|+|.|

\||.|

\|+|.|

\|(3.5.5) Rspunsul dinamic la vibraie liber este: 1VLGN / Curs 07LD / CN-UGAL ( ) ( ) ( + ) = =m nmn mn mnm nmnt sinby nsinax msin A t , y , x w t , y , x w (3.5.6) unde se determin din condiiile iniiale la t=0. mn mn, A 3.5.3. Proprietatea de ortogonalitate a funciilor formelor proprii de vibraie Considermdoumoduripropriidevibraie ij ij mn mn, ; , ilavibraiilibereasupra elementului de plac de arie dx dy acioneaz forele de inerie corespunztoare celor dou moduri: ( ) ( )dxdy y , x s dxdy y , x s dxdytwsij2ij mn2mn22 Conform teoremei de reprocitate a lucrului mecanic virtual avem: ( ) ( ) ( ) ( ) = a0b0mn ij2ija0b0ij mn2mndxdy y , x y , x s dxdy y , x y , x sde unde rezult relaia de ortogonalitate: ( ) ( )ij mn mnij mna0b0ij mn0 M0dxdy y , x y , x s = = (3.5.7) 3.5.4. Rspunsul dinamic produs de o for perturbatoare oarecare p(x,y,t). Metoda analizei modale ( ) ( ) ( )(t f y , x pD1t , y , x wDst , y , x w4=+ & & ) (3.5.8) Conform metodei analizei modale, rspunsul dinamic general l admitem de forma: ( ) ( ) ( )mn2mn mn4m nmn mns D t y , x t , y , x w = = (3.5.8) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) =((

+ a0b0mnm nmn mn mn mn4y , x t fDy , x pt y , xDst y , x & &i innd cont de relaiile de ortogonalitate (3.5.7) obinem: ( ) ( ) ( ) t fMPt tmnmnmn2mn mn= + & & (3.5.9) *N n , m unde: masa modal mn( ) =a0b02mn mndxdy y , x s M lucrul mecanic al forelor exterioare pe modul mn( ) ( ) =a0b0mn mndxdy y , x y , x p PEcuaia (3.5.9) avnd aceeai form cu ecuaia (1.10), Cap. 1.4.1. Rspunsul dinamic la aciunea unei fore perturbatoare oarecare aplicat unei mase m, se poate admite existena unei soluii de form similar: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = = d t sin f tMPt tmnt0mn mn2mn mnmnmn mn mn mn(3.5.10) unde:= mn factorul de participare al modului mn la rspunsul dinamic total funcia factorului de multiplicare dinamic a modului mn.( ) = tmnRspunsul dinamic total este: ( ) ( ) ( ) = =m nmn mn mnm nmnt y , x t , y , x w t , y , x w ( )(3.5.11) 2VLGN / Curs 07LD / CN-UGAL Obs.Pentruanalizadinamicaaltorformedeplacialtecondiiidemarginese recomand utilizarea metodei elementului finit FEM sau metoda energetic Rayleigh (cap.3.6). 3.6.Vibraiile libere ale planeelor ortotrope. Determinarea modurilor proprii de vibraie prin metoda energetic Rayleigh Pentru modelul analitic al unui planeu ortotrop la vibraii libere considerm formularea plcilor subiri (Kirchhoff), cuplat cu formularea Euler a elementelor de grind. Aceste elemente de plac i membran se consider a fi solicitate la ncovoiere pur. Drept condiii de margine se consider cazurile: simpl rezemare pe tot conturul, margini libere, margini cu ncastrare perfect. 3.6.1 Vibraiile libere pentru un planeu ortotrop cu simpl rezemare pe contur yxbaicjsI1I2l Fig.3.6.1 nfig.3.6.1seconsiderunplaneuortotrop,avndsistemuldecoordonate , ce include urmtoarele elemente:| | | b , 0 y ; , 0 x l |plac cu dimensiunile, grosime s, rigiditatea la ncovoiereb x l ( )2 31 / 12 Es = D ;elementelongitudinalederigidizare:EI1rigiditatealancovoiere,A1ariatransversal,cj poziia n sens transversal pentru un element n raport cu axa OX ; elementetransversalederigidizare:EI2rigiditatealancovoiere,A2ariatransversal,ai poziia n sens longitudinal pentru un element n raport cu axa OY; Materialulplaneuluiseconsiderizotropicavnd:Emodululdeelasticitate, coeficientul Poisson i densitatea . Lavibraiilibere,rspunsuldinamicpemodurileglobalealeplaneuluimxn,pe direcia vertical OZ, are urmtoarea expresie: ( ) ( ) t sin y , x w t , y , x wmn mn _ d mn =(3.6.1.1) unde mn este pulsaia proprie la modul global m x n; wd_mn(x,y) este funcia de form modal, la modul global m x n, care va fi aproximat, n funcie de condiiile de margine pe conturul planeului, cu funcii de form modale obinute la analiza vibraiilor libere a elementelor de grind (vezi relaia 3.1.33). Pentru a calcula pulsaia proprie mn la modul global de vibraie m x n pentru un planeu ortotropic vom utiliza o metod energetic, bazat pe formularea Rayleigh. La echilibrul dinamic valorile maxime ale energiei totale de deformaie i energia cinetic total sunt egale: mn max c mn maxE U = (3.6.1.2) n cazul planeului ortotropic din fig.3.6.1, se calculeaz energia pe fiecare element structural: 3VLGN / Curs 07LD / CN-UGAL elemente structurale longitudinale (3.6.1.3.a) ( )( )( )( )( )2mnjc y22mn _ d21jc y22mn21mn _ 1t sin dxxy , x w2EIdxxt , y , x w2EIUj j (((

=((

== =l l ( )( )( ) | |( )( )2mnjc y2mn _ d 12mnjc y2mn1 mn _ 1 ct cos dx y , x w A2dxtt , y , x w21Ej j =((

== =l l ( )( )=(((

=jc y22mn _ d21mn max_ 1dxxy , x w2EIUjl ; ( ) | |( )==jc y2mn _ d 12mnmn max_ 1 cdx y , x w A2Ejl elemente structurale transversale (3.6.1.3.b) ( )( )( )( )( )2mniba x22mn _ d22iba x22mn22mn _ 2t sin dyyy , x w2EIdyyt , y , x w2EIUi i (((

=((

== = ( )( ) | | ( )2mni) b (a x2mn _ d 22mni) b (a x2mn2 mn _ 2 ct cos dy y , x w A2dytt , y , x w21Ei i =((

== = ( )( )=(((

=iba x22mn _ d22mn max_ 2dyyy , x w2EIUi ;( ) | |==i) b (a x2mn _ d 22mnmn _ 2 cdy y , x w A2Ei elementulde plac (3.6.1.3.c) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )2mnb22mn _ d22mn _ d2b22mn22mn2mn _ 3t sin dxdyyy , x wxy , x w2Ddxdyyt , y , x wxt , y , x w2DU (((

+==((

+= ll ( )( ) ( )( ) | |( ) ( )( )2mn2bmn _ d2mn2bmnmn _ 3 ct cos dxdy y , x w2sdxdytt , y , x w2sE =((

= l l ( ) ( )( ) ( ) (((

+=l b22mn _ d22mn _ d2mn max_ 3dxdyyy , x wxy , x w2DU;( ) | |( ) ( )dxdy y , x w2sE2bmn _ d2mn mn max_ 3 c =l astfel nct pe baza (3.6.1.3), relaia (3.6.1.2) devine: mn mn max_ 3 c mn max_ 2 c mn max_ 1 c mn max_ 3 mn max_ 2 mn max_ 1E E E U U U + + = + + (3.6.1.4) n cazul condiiei de simpl rezemare pe contur, pe baza relaiei (3.1.33), funciile de form modale pentru planeul ortotrop pot fi aproximate cu urmtoarele expresii, la modul global m x n: ( ) | | | b , 0 y , 0 x |by nsinx msin w y , x wmn mn _ d = ll (3.6.1.5) by nsinx msinmwxw2mn 2mn _ d2|.|

\| =l l; by nsinx msinbnwyw2mn 2mn _ d2|.|

\| =l Pe baza funciilor de form modale (3.6.1.5) rezult: (3.6.1.6) ((

||.|

\| |.|

\| =(((

=bc n 2cos 14mw dxxwj42mn c y202mn _ d2jlll ; ((

||.|

\| ==bc n 2cos 14w dx wj 2mn c y02mn _ djll ((

|.|

\| |.|

\| =(((

=li42mn a x2b02mn _ d2a m 2cos 14bbnw dyywi; ((

|.|

\| ==li 2mn a xb02mn _ da m 2cos 14bw dy wi 4VLGN / Curs 07LD / CN-UGAL 22 22mn20b02mn _ d22mn _ d2bn m4bw dxdyywxw(((

|.|

\| +|.|

\| =(((

+ lll ;4bw dxdy w2mn0b02mn _ dll= Din(3.6.1.3),(3.6.1.4),(3.6.1.6)rezultpentrupulsaiaproprielamodulglobalmxn urmtoarea expresie: 22 22mn2i4i2mn22j4j2mn1bn m4bw2D 2 a msin4bbnw2EIb2bc nsin4b mw2EI(((

|.|

\| +|.|

\| + |.|

\| |.|

\| +||.|

\| |.|

\| lll ll ll (((

+ |.|

\| + ||.|

\| = 4bw2s 2 a msin4bw2Ab2bc nsin4bw2A2mni2i 2mn2j2j 2mn1 2mnll ll l mnmnmn= mnmn mnmn212f==(3.6.1.7) *N n , m unde: 22 2i2i42j2j41 mnbn mDa msin2bnEIbc nsinb2 mEI(((

|.|

\| +|.|

\| + |.|

\| |.|

\| +||.|

\| |.|

\| = l l l l sa msin2Abc nsinb2Ai2i2j2j1 mn + |.|

\| +||.|

\| = l l Obs. n cazul cmpului de plac structural izotrop frecvena proprie la modul m x n este: 0 A A 0 EI EI2 1 2 1= = = = 22 2mnbn mD(((

|.|

\| +|.|

\| = lsmn = sDbn m21f2 2mn(((

|.|

\| +|.|

\| =l (3.6.1.8) *N n , m n fig. 3.6.3.a-c, se prezint cteva dintre funciile de form modale n cazul planeului ortotrop simplu rezemat pe contur. 3.6.2 Vibraiile libere ale planeelor ortotrope, cu diverse condiii de margine yxbaicjsI1I2l-/2 /2- /2 /2l lbb Fig.3.6.2 nfig.3.6.2considermstructuraaceluiaiplaneuortotrop,considerndnoulsistemde 5VLGN / Curs 07LD / CN-UGAL coordonate: ((

((

2b,2by ;2,2xl l i cu diverse condiii de margine. Determinarea modurilor proprii de vibraie se realizeaz pe baza metodei energetice n formularea Rayleigh (3.6.1.2). Rspunsul dinamic la modul global m x n poate fi scris pe baza relaiei generale: ( ) ( ) (y x w y , x wn m mn mn _ d = )(3.6.2.1) | | | 1 , 1|by 21 , 1x 2t = =l ;( ) ( )2m222m2dtt d 2dxx d |.|

\|=l;( ) ( )2n222n2ddb2dyy d |.|

\|= Din (3.6.1.3),(3.6.2.1), energia total de deformaie maxim a planeului ortotrop are expresia: mn max_ 3 mn max_ 2 mn max_ 1 mn max_U U U U + + =(3.6.2.2) ( )=((

||.|

\|((

|.|

\|=(((

=1122m2jj 2n31c y2222mn _ d2j1mn max_ 1dtdtt dbc 222EIdxxw2EIUjlll ( )=((

||.|

\|((

|.|

\|=(((

=1122n2ii 2m32a x2 b2 b22mn _ d2i2mn max_ 2ddd a 2b22EIdyyw2EIUil ( ) ( ) ( ) ( ) | | = + =(((

+= 222 b2 b2n m n m222 b2 b22mn _ d22mn _ d2mn max_ 3dxdy y x y x2Ddxdyywxw2DUllll( )( ) ( )( )+ ((

|.|

\||.|

\|+ ((

|.|

\||.|

\|= 112n2 112m3 112n112m23ddddt t2 b22Dd dtdtt d2b 22D ll( )( )( )( ) |.|

\||.|

\|+ ddddt tdtt db2 2Dn112n2m112m2l Din (3.6.1.3),(3.6.2.1), energia total cinetic maxim a planeului ortotrop are expresia: mn max_ 3 c mn max_ 2 c mn max_ 1 c mn max_ cE E E E + + = (3.6.2.3) ( ) = ||.|

\|((

|.|

\|= =112mjj 2n 12mn22c y2mn _ dj12mnmn max_ 1 cdt tbc 22A2dx w A2Ejlll ( ) = ||.|

\|((

|.|

\|= =112nii 2m 22mn2 b2 ba x2mn _ dj22mnmn max_ 2 cda 22bA2dy w A2Eil ( ) ( ) |.|

\||.|

\|= =112n112m2mn222 b2 b2mn _ d2mnmn max_ 3 cd dt t2b2s2dxdy w s2Elll DinanalizaexpresiilorU ilamodulglobalmxnrezulturmtorii termeni integrali: (3.6.2.4) mn max_ mn max_ cE( )( )( )( ) ((

=((

= = = ii 2m 4m112112m23m m112m22m2m 1m2a f dt,dtt df dt, t dtt df dt, t fl( )( ) ( )( )

=((

= = = jj 2n 4n2112n23n n112n22n112n 1nb2c g , dd dg , d d dg , d g (( Din(3.6.2.2),(3.6.2.3),(3.6.2.4)rezultpentrufrecvenelepropriialeplaneului ortotrop urmtoarele relaii: (((

+|.|

\|+|.|

\|+ + = = n 2 m 2 n 3 m 12n 1 m 32n 3 m 432n 4 m 331mn max_ mng f 2 g fbg fbbD 2g fbEI 4g fEI 4Ull l l 6VLGN / Curs 07LD / CN-UGAL ((

+ + = =n 1 m 1 n 1 m 42n 4 m 11mn mn2mn mn max_ cg f2sg fAg fbA4bEll mnmnmnmnmnmn mn max_ c mn max_21f E U= = =(3.6.2.5) Obs.ncazulplciiizotropenrelaia(3.6.2.5)seconsider:i (fr elemente de rigidizare). 0 I I2 1= =0 A A2 1= = a) Calculul funciilor integrale pentru cazul planeului cu margini libere pe contur funcii de form modale simetrice (k=1,3,5,) Pe baza relaiilor (3.1.40),(3.6.2.4) rezult:( )( ) ( )( ) ( )| | 1 , 1 tcht ch21t cos21t w41 k 2kk21 kk k k = += ( ) ( )( )( t shch 21t sin2t wkkk21 kkkk = ) ;( ) ( )( )( ) t chch 21t cos2t wkk2k21 kk2kk = ( )k 211 dt t cos11k2 = ;( )k 2k 2 sh1 dt t ch11k2+ = ; ( ) ( ) 0 dt t ch t cos11k k= ( ) ( )( )( )( )( ) ( ) + = = 11k kk21 k11k2k21 k 11k2112k k 1dt t ch t cosch121dt t chch 41dt t cos21dt t w( ) ( ) ( )( )( ) + = = 11k2k22k1 k 11k22k11k k k 2dt t chch 41dt t cos2dt t w t w( ) | | ( )( )( )( )( ) ( ) + + = = 11k kk21 k4k11k2k24k1 k 11k24k112k k 3dt t ch t cosch12dt t chch 41dt t cos2dt t w( )( )( )bc 2t ora 2tcht ch21t cos21jpip2p kp k21 kp k k 4= =(((

= l { }n m kg , f cu expresiile: (3.6.2.6.a) ( )((

++((

= kk k2kk 12 sh211ch 4121121;((

+ =kk 12k k 2211 ;k 14k k 3 = ( )( )( )( )41 k 2bc 2t ora 2tcht ch21t cos21kjpip2p kp k21 kp k k 4+ = = =(((

= l funciile de form anti-simetrice (k=2,4,6,) Pe baza relaiilor (3.1.40),(3.6.2.4) rezult:( )( ) ( )( ) ( )| | 1 , 1 tsht sh21t sin21t w41 k 2kk2kk k k + = += ( ) ( )( )( t chsh 21t cos2t wkkk2kkkk + = );( ) ( )( )( ) t shsh 21t sin2t wkk2k2kk2kk + = ( )k 211 dt t sin11k2+ = ;( )k 2k 2 sh1 dt t sh11k2+ = ; ( ) ( ) 0 dt t sh t sin11k k= 7VLGN / Curs 07LD / CN-UGAL ( ) ( )( )( )( )( ) ( ) + + = = 11k kk2k11k2k2k 11k2112k k 1dt t sh t sinsh121dt t shsh 41dt t sin21dt t w( ) ( ) ( )( )( ) + = = 11k2k22kk 11k22k11k k k 2dt t shsh 41dt t sin2dt t w t w( ) | | ( )( )( )( )( ) ( ) + + = = 11k kk2k4k11k2k24kk 11k24k112k k 3dt t sh t sinsh12dt t shsh 41dt t sin2dt t w( )( )( )bc 2t ora 2tsht sh21t sin21jpip2p kp k2kp k k 4= =(((

+ = l { }n m kg , f cu expresiile: (3.6.2.6.b)( )((

+ +((

+ = kk k2kk 12 sh211ch 4121121;((

=kk 12k k 2211 ;k 14k k 3 = ( )( )( )( )41 k 2bc 2t ora 2tsht sh21t sin21kjpip2p kp k2kp k k 4+ = = =(((

+ = l n fig. 3.6.4.a-c, se prezint cteva dintre funciile de form modale n cazul planeului ortotrop cu margini libere pe contur. b) Calculul funciilor integrale pentru cazul ncastrrii planeului pe contur Analog cazului cu margini libere, pe baza (3.1.45),(3.6.2.4) rezult relaiile: funcii de form modale simetrice (k=1,3,5,) (3.6.2.7.a) ( )( ) ( )( ) ( )| | 1 , 1 tcht ch21t cos21t w41 k 2kk21 kk k k + = += ( )((

++((

= kk k2kk 12 sh211ch 4121121;((

+ =kk 12k k 2211 ;k 14k k 3 = ( )( )( )( )41 k 2bc 2t ora 2tcht ch21t cos21kjpip2p kp k21 kp k k 4+ = = =(((

+ = l funciile de form anti-simetrice (k=2,4,6,) (3.6.2.7.b) ( )( ) ( )( ) ( )| | 1 , 1 tsht sh21t sin21t w41 k 2kk2kk k k = += ( )((

+ +((

+ = kk k2kk 12 sh211ch 4121121;((

=kk 12k k 2211 ;k 14k k 3 = ( )( )( )( )41 k 2bc 2t ora 2tsht sh21t sin21kjpip2p kp k2kp k k 4+ = = =(((

= l

n fig. 3.6.5.a-c, se prezint cteva dintre funciile de form modale n cazul planeului ortotrop ncastrat pe contur. c) Calculul funciilor integrale pentru cazul simplei rezemri pe contur Analogcazuluicumarginilibere,pebaza(3.1.33),(3.6.2.4),folosindformularea general rezult: 8VLGN / Curs 07LD / CN-UGAL funcii de form modale simetrice (k=1,3,5,) (3.6.2.8.a) ( ) ( ) | | 1 , 1 t t cos t w2kk k k == ( ) = = = = pp k2k 44k k 32k k 2 k 1t cos 1;bc 2t ora 2tjpip= =l funciile de form anti-simetrice (k=2,4,6,) (3.6.2.8.b) ( ) ( ) | | 1 , 1 t t sin t w2kk k k == ( ) = = = = pp k2k 44k k 32k k 2 k 1t sin 1;bc 2t ora 2tjpip= =l Fig.3.6.3.a.1(XYZ) m x n : 1 x 1cazul planeului simplu rezemat pe contur Fig.3.6.3.a.2(XZ)m : 1 cazul planeului simplu rezemat pe contur Fig.3.6.3.a.3(YZ)n : 1cazul planeului sim