05 M Rades - Vibratii mecanice 1.pdf

Mircea Rade

Vibraii mecanice

Editura Printech

Prefa

Lucrarea se bazeaz pe cursurile de Vibraii mecanice predate la Universitatea Politehnica Bucureti, la facultatea I.M.S.T. (1972-2006), la cursul postuniversitar de Vibraii organizat n cadrul Catedrei de Rezistena materialelor (1985-1990), la Facultatea de Inginerie n Limbi Strine, Filiera Englez (1993-2007) i la un curs de masterat de la Facultatea de Inginerie Mecanic i Mecatronic.

Vibraiile mecanice au fost introduse n planul de nvmnt al facultilor cu profil mecanic ca un curs de sine stttor n 1974. Pentru a susine cursul, am publicat, sub conducerea profesorului Gh. Buzdugan, monografia Vibraiile sistemelor mecanice la Editura Academiei n 1975, urmat de dou ediii ale manualului Vibraii mecanice la Editura didactic i pedagogic n 1979 i 1982. n 1984 am publicat Vibration Measurement la Martinus Nijhoff Publ., Dordrecht, reprezentnd versiunea revizuit n limba englez a monografiei ce a aprut n 1979 la Editura Academiei.

Dup cum reiese din Cuprins, cursul este orientat spre aplicaii inginereti, fiind limitat la ceea ce se poate preda n 28 ore. Materialul prezentat conine exerciii rezolvate care susin seminarul, n cadrul cruia se utilizeaz programe cu elemente finite elaborate de autor i se prezint lucrri demonstrative de laborator, fiind utile i la rezolvarea temelor de cas. Cursul urmrete a) descrierea fenomenelor vibratorii ntlnite n practica inginereasc; b) modelarea sistemelor vibratoare i analiza acestora cu metoda elementelor finite; i c) narmarea studenilor cu baza fizic necesar n modelarea analitic i numeric a structurilor n vibraie i a mainilor, pentru elaborarea soluiilor inginereti ale problemelor de vibraii.

n volumul al doilea se vor prezenta vibraiile autontreinute, metode de calcul pentru probleme de valori proprii de ordin mare, estimarea pametrilor sistemelor vibratoare pe baza analizei funciilor rspunsului n frecven, analiza modal experimental i ncercrile la vibraii. Nu se trateaz dinamica sistemelor rotor-lagre i vibraiile discurilor i paletelor, acestea fiind studiate n cadrul cursului de Dinamica mainilor.

Decembrie 2008 Mircea Rade

Cuprins

Prefa i

Cuprins iii

1. Modelarea sistemelor vibratoare 1 1.1 Vibraii i oscilaii 1

1.2 Sisteme discrete i sisteme continue 2

1.3 Sisteme cu un grad de libertate 3

1.4 Micri vibratorii 4

1.5 Amortizarea vibraiilor 6

2. Sisteme cu un grad de libertate 9 2.1 Vibraii libere neamortizate 9

2.1.1 Sistemul mas-arc 9

2.1.2 Rigiditatea elementelor elastice 11

2.1.3 Sisteme torsionale 13

2.1.4 Metoda energetic 15

2.1.5 Metoda lui Rayleigh 16

2.2 Vibraii forate neamortizate 20

2.2.1 Excitarea masei cu o for arbitrar 20

2.2.2 Excitarea masei cu o for armonic 21

2.2.3 Bti 23

2.2.4 Curbe de rspuns n frecven 24

2.2.5 Rezonana 25

2.2.6 Trecerea prin rezonan 27

2.2.7 Rezonana cu amplitudine constant a deplasrii 27

2.2.8 Excitaia cu mase excentrice n rotaie 28

2.2.9 Antirezonana 29

2.2.10 Transmisibilitatea 30

2.2.11 Turaia critic a rotorului Laval 31

VIBRAII MECANICE iv

2.3 Vibraii libere amortizate 33

2.3.1 Amortizarea vscoas 34

2.3.2 Decrementul logaritmic 37

2.3.3 Factorul de pierderi 40

2.4 Vibraii forate amortizate 40

2.4.1 Vibraii staionare cu amortizare vscoas 41

2.4.2 Diagrama deplasare-for 44

2.4.3 Amortizarea structural 46

2.4.4 Metoda punctelor de semi-putere 47

2.4.5 Metoda masei adiionale 49

2.4.6 Rezolvarea prin algebra complex 50

2.4.7 Funciile rspunsului n frecven 51

2.4.8 Diagrama polar a receptanei pentru amortizare vscoas 55

2.4.9 Transmisibilitatea n sisteme amortizate 59

2.4.10 Teoria captorilor seismici 60

2.4.11 Precesia rotorului Laval cu amortizare extern 64

2.4.12 Amortizarea ereditar 66

2.5 Sisteme cu rigiditate cubic 71

2.5.1 Rigiditatea cubic 72

2.5.2 Rspunsul armonic 72

2.5.3 Curbele rspunsului n frecven 74

2.5.4 Fenomene de salt 79

2.6 Vibraii tranzitorii 80 2.6.1 Rspunsul la fore impulsive aplicate masei 80

2.6.2 Rspunsul la excitaie prin oc aplicat suportului 88

2.6.3 Spectrul rspunsului la oc 92

Probleme 94

3. Sisteme cu dou grade de libertate 99 3.1 Vibraii de translaie 100

3.1.1 Ecuaiile de micare 100

3.1.2 Vibraii libere. Moduri proprii de vibraie 101

3.1.3 Ortogonalitatea modurilor proprii 105

3.1.4 Coordonate modale 106

3.1.5 Rspunsul la excitaie armonic 108

CUPRINS v

3.2 Vibraii de torsiune 113


3.2.2 Sistemul disc-arbore-disc 114

3.2.3 Sisteme cu roi dinate 120

3.2.4 Sisteme ramificate 122

3.3 Vibraii de ncovoiere 124

3.3.1 Flexibiliti (coeficieni de influen) 124


3.3.3 Modurile proprii de vibraie 127

3.3.4 Vibraiile libere 129


3.4 Vibraii cuplate de translaie i rotaie 139



3.5 Pendule cuplate elastic 145 3.5.1 Ecuaiile de micare 145


3.5.3 Vibraii libere 147

3.6 Sisteme amortizate 150 3.6.1 Amortizarea vscoas proporional 150

3.6.2 Vibraii libere amortizate 151


3.6.4 Amortizorul vscos neacordat 162

3.6.5 Absorbitorul de vibraii amortizat 164

3.6.6 Amortizarea vscoas neproporional 173

Probleme 180

4. Sisteme cu mai multe grade de libertate 185 4.1 Sisteme cu mase concentrate 186 4.1.1 Bare cu mase concentrate 186

4.1.2 Structuri multietajate forfecate 195

4.1.3 Sisteme torsionale 197

4.1.4 Structuri cu subsisteme repetate 204

4.1.5 Sisteme discrete cu mai multe mase 206

VIBRAII MECANICE vi

4.2 Structuri plane din bare articulate 212

4.2.1 Coordonate i funcii de form pentru elementul truss 212

4.2.2 Matricile elementului n coordonate locale 214

4.2.3 Transformarea din coordonate locale n coordonate globale 215

4.2.4 Matricile elementului n coordonate globale 217

4.2.5 Asamblarea matricilor de rigiditate i de mas 218

4.2.6 Ecuaiile de micare i problema de valori proprii 220

4.3 Cadre plane 222

4.3.1 Analiza static a unei grinzi de seciune constant 222

4.3.2 Discretizarea cu elemente finite 223

4.3.3 Funcii de form statice pentru elementul de grind 225

4.3.4 Matricea de rigiditate a unui element de grind 227

4.3.5 Matricea de mas coerent a elementului de grind 229

4.3.6 Eforturi axiale 230

4.3.7 Matricile unui element de cadru n coordonate locale 230

4.3.8 Transformarea coordonatelor 231

4.3.9 Matricile elementului de cadru n coordonate globale 232

4.3.10 Asamblarea matricilor de rigiditate i de mas 233

4.4 Grilaje 236

4.4.1 Discretizarea cu elemente finite 236

4.4.2 Matricile elementului de grilaj n coordonate locale 237

4.4.3 Transformarea coordonatelor 239

4.4.4 Matricile elementului de grilaj n coordonate globale 240

4.5 Funcii de rspuns n frecven 243

4.5.1 Matricea FRF 243

4.5.2 Diagramele FRF 244

Probleme 249

5. Sisteme continue 261 5.1 Vibraiile laterale ale barelor zvelte 261

5.1.1 Ecuaia diferenial a micrii 261


5.1.3 Ortogonalitatea funciilor proprii 269

5.1.4 Grinzi continue 271

5.1.5 Condiii la limit naturale 273

CUPRINS vii


5.2 Vibraiile longitudinale ale barelor 285

5.3 Vibraiile torsionale ale barelor 288

5.4 Grinzi Timoshenko 290

6. Unde elastice 291 6.1 Propagarea undelor 291

6.2 Unde longitudinale n bare prismatice 294

6.2.1 Ecuaia undelor. Soluia lui dAlembert 294

6.2.2 Unde armonice 297

6.2.3 Unde n bara de lungime finit 302

6.2.4 Propagarea energiei prin unde 304

6.2.5 Atenuarea undelor 306

6.3 Unde transversale n bare prismatice 310

6.3.1 Viteza de faz i viteza de grup 310

6.3.2 Unde n bara rezemat pe mediu elastic 314

6.4 Unde n medii elastice 316

6.4.1 Ecuaiile undelor n trei dimensiuni 316

6.4.2 Unde longitudinale i unde transversale 318

6.4.3 Unde Rayleigh 321

6.4.4 Unde Love 327

6.5 Unde ghidate n plci 333 6.5.1 Unde Lamb n plci 333

6.5.2 Unde Love n plci 337

Bibliografie 339

Index 347

1. MODELAREA SISTEMELOR VIBRATOARE

Vibraiile sunt fenomene dinamice ntlnite n activitatea curent, de la btile inimii, alergatul i mersul pe jos, legnatul copacilor n btaia vntului i trepidaiile cldirilor la cutremure, la vibraiile instrumentelor muzicale, ale perforatoarelor pneumatice i benzilor transportoare oscilante.

De cele mai multe ori vibraii sunt denumite micrile nedorite care produc zgomote sau solicitri mecanice relativ mari. n acest caz intereseaz n special efectul vibraiilor asupra omului, mainilor i cldirilor. Modelarea fenomenelor vibratorii implic definirea structurii i parametrilor corpurilor n vibraie, a funciilor care descriu excitaia i a nivelelor rspunsului dinamic.

Acest capitol introductiv cuprinde definiii i clasificri, necesare pentru o imagine general a principalelor noiuni utilizate n studiul vibraiilor.

1.1 Vibraii i oscilaii

Conform Dicionarului explicativ al limbii romne (DEX1998), vibraia este o micare periodic a unui corp sau a particulelor unui mediu, efectuat n jurul unei poziii de echilibru. Oscilaia este variaia periodic n timp a valorilor unei mrimi care caracterizeaz un sistem fizic, nsoit de o transformare a energiei dintr-o form n alta.

Oscilaiile de natur mecanic, termic, electromagnetic etc. sunt fenomene dinamice caracterizate prin variaia n timp a unei mrimi de stare a sistemului, de obicei n vecintatea valorii corespunztoare unei stri de echilibru.

Vibraiile sunt oscilaii ale sistemelor elastice, adic micri ale sistemelor mecanice datorite unei fore de readucere elastice. Astfel o bar elastic sau o coard vibreaz, n timp ce un pendul oscileaz.

Toate corpurile care au mas i elasticitate pot vibra. Un sistem vibrator are att energie cinetic, nmagazinat n masa n micare, ct i energie

VIBRAII MECANICE 2

potenial, nmagazinat n elementul elastic ca energie de deformaie. n timpul vibraiilor, are loc o transformare ciclic a energiei poteniale n energie cinetic i invers.

ntr-un sistem conservativ, n care nu exist disipare de energie, energia mecanic total este constant. n poziia de amplitudine maxim a deplasrii, viteza instantanee este zero, sistemul are numai energie potenial. n poziia de echilibru static, energia de deformaie este nul iar sistemul are numai energie cinetic. Energia cinetic maxim este egal cu energia de deformaie maxim. Egalnd cele dou energii se poate calcula frecvena proprie fundamental de vibraie. Acesta este principiul metodei lui Rayleigh.

Sistemele vibratoare sunt supuse amortizrii datorit pierderii de enegie prin disipare sau radiaie. Amortizarea produce descreterea amplitudinii vibraiilor libere, defazajul ntre excitaie i rspuns, precum i limitarea amplitudinii rspunsului forat al sistemelor vibratoare.

1.2 Sisteme discrete i sisteme continue

Numrul gradelor de libertate ale unui sistem vibrator este egal cu numrul coordonatelor independente necesare pentru a defini complet configuraia instantanee a sistemului.

Rezult c pentru a defini micarea tuturor particulelor unui sistem, numrul gradelor de libertate ar trebui s fie infinit. Totui, n probleme practice, se utilizeaz sisteme similare din punct de vedere dinamic, cu numr redus de grade de libertate.

Criteriile prin care se stabilete numrul gradelor de libertate ale unui sistem se bazeaz pe considerente practice. Astfel, unele dintre micrile posibile ale sistemului pot fi att de mici nct s nu prezinte interes. Grupuri de particule cu micri practic similare pot fi considerate corpuri rigide, ceea ce permite reducerea numrului coordonatelor necesare pentru descrierea micrii. Domeniul frecvenelor forelor excitatoare poate fi att de ngust nct numai una sau cteva dintre frecvenele proprii pot da natere la rezonane.

Aceste consideraii conduc la conceptul de mase concentrate care sunt corpuri rigide conectate prin elemente elastice cu masa neglijabil. Micrile descrise de astfel de sisteme discrete sau cu parametri concentrai sunt adesea aproximri suficient de bune ale vibraiilor reale pentru a satisface cerinele practice, oferind date utile proiectrii i valori privind limitele admisibile ale vibraiilor.

Atunci cnd elementele deformabile au mase distribuite comparabile cu masele componentelor modelate prin corpuri rigide, aproximarea se poate

1. MODELAREA SISTELOR VIBRATOARE 3

mbunti innd cont de masa elementelor elastice. Deobicei masa proprie este concentrat ntr-un numr arbitrar de puncte, n funcie de gradul de aproximare dorit.

Exist ns multe elemente de maini i structuri cu form att de simpl nct pot fi considerate sisteme cu numr infinit de grade de libertate. Astfel de sisteme continue sau cu parametri distribuii pot fi modelate ca bare, fire, plci, membrane, nveliuri sau combinaii ale acestora.

n aplicaiile inginereti, structurile cu form complicat sunt nlocuite prin modele matematice discrete. O metod eficient de discretizare este metoda elementelor finite. Sistemul cu numr infinit de grade libertate este nlocuit cu un sistem discret care are aceeai comportare dinamic. Structura real este divizat (ipotetic) n subdomenii bine definite (elemente finite) care sunt att de mici nct forma funciei cmpului de deplasri poate fi aproximat destul de precis, urmnd s se determine doar mrimea acesteia. Elementele individuale sunt apoi asamblate astfel nct deplasrile lor sunt compatibile la nodurile elementelor i n cteva puncte la interfaa lor, tensiunile interne sunt n echilibru cu forele aplicate reduse la noduri, i condiiile la limit sunt satisfcute. Erorile de modelare nclud alegerea unui tip neadecvat de element, funcii de form incorecte, reazeme nepotrivite i o reea de discretizare grosier.

1.3 Sisteme cu un grad de libertate

Un numr surprinztor de mare de probleme de vibraii care apar n practica inginereasc pot fi rezolvate cu o precizie acceptabil modelnd sistemul real ca un corp rigid rezemat elastic, a crui micare poate fi descris de o singur coordonat.

Cel mai simplu sistem vibrator const din corpul a crui micare este studiat i mediul nconjurtor, fa de care se msoar micarea. Analiza acestui sistem simplificat parcurge patru etape. n prima etap se stabilete partea sistemului care reprezint corpul rigid i cea care reprezint elementele deformabile. n etapa a doua se calculeaz parametrii dinamici ai corpului rigid i ai elementelor elastice. n etapa a treia se scriu ecuaiile de micare ale sistemului echivalent. Etapa a patra const din rezolvarea ecuaiilor de micare n condiiile date pentru vibraii libere sau forate. n ultimele dou etape se pot utiliza metode diferite, bazate pe expresiile energiilor cinetic i potenial ale sistemului.

Primele dou etape implic discernmnt i experien, care se dobndesc n practic, n procesul alegerii sistemelor echivalente, definirii micrii acestora i comparrii prediciilor cu rezultatele msurrilor pe sistemele reale. Verificarea i validarea modelelor pot impune reactualizarea parametrilor sistemului sau chiar a structurii modelului. Adecvarea soluiei depinde n mare msur de priceperea cu

VIBRAII MECANICE 4

care se aleg ipotezele simplificatoare de baz. Opiunea principal este ntre un model liniar i un model neliniar. Alegerea tipului amortizrii poate fi o surs de erori, deoarece amortizarea nu poate fi calculat la fel ca masa i rigiditatea.

Ultimele dou etape constau din aplicarea unor proceduri stabilite de matematicieni. Activitatea inginereasc propriu-zis se limiteaz la primele dou etape, n timp ce ultimele dou etape pot fi considerate ca aplicri directe ale unor reete de calcul.

n capitolul 2 se studiaz sisteme cu un grad de libertate. Sistemele discrete sunt analizate n capitolele 3 i 4. Capitolul 5 este dedicat vibraiilor barelor iar capitolul 6 este o introducere n studiul propagrii undelor n bare i medii elastice infinite.

1.4 Micri vibratorii

n funcie de cauza care produce sau susine micarea vibratorie, se pot distinge: a) vibraii libere, produse de un impact sau o deplasare iniial; b) vibraii forate, produse de fore exterioare sau excitaii cinematice; c) vibraii parametrice datorite variaiei, produse de o cauz extern, a unui parametru al sistemului; i d) vibraii autoexcitate produse de un mecanism inerent n sistem, prin conversia unei energii obinute de la o surs de energie constant n timp.

Un sistem elastic scos din poziia de echilibru stabil, apoi lsat liber, efectueaz vibraii libere. n prezena unor fore de frecare, energia mecanic este disipat, iar vibraia este amortizat dup un numr oarecare de cicluri. Frecvenele vibraiilor libere depind de masa, rigiditatea i amortizarea din sistem, fiind independente de condiiile iniiale ale micrii sau de fore exterioare sistemului. De aceea se numesc frecvene proprii sau frecvene naturale de vibraie. Inversele acestora se numesc perioade proprii de vibraie. Pentru un anumit sistem, ele au valori constante bine definite. Cnd toate particulele unui corp vibreaz ntr-o micare armonic sincron, deformata dinamic este definit de o form proprie de vibraie.

Vibraiile forate (ntreinute) sunt produse de fore perturbatoare care exist independent de micare. n general, sarcinile exterioare sau deplasrile sunt aplicate dinamic, deci sunt variabile n timp. Astfel de excitaii implic un transfer de energie de la sursa perturbatoare periodic la sistem. Dac transferul are loc periodic, constant pe fiecare ciclu, vibraia forat este staionar, de amplitudine constant. Dac transferul se face neuniform, vibraia are caracter tranzitoriu, amplitudinea variind pn la stabilirea unui regimn staionar sau pn la amortizarea complet.

Aplicarea brusc a unei perturbaii produce ocuri sau impacturi. ocul este o perturbaie prin care se transmite sistemului energie cinetic ntr-un interval de


timp scurt n comparaie cu perioada sa proprie de oscilaie. Rspunsul la un oc este deci, din momentul ncetrii aciunii, o vibraie liber. Excitaia tranzitorie este o perturbaie care dureaz mai multe perioade de vibraie proprie ale sistemului.

Vibraiile periodice i cele tranzitorii sunt fenomene deterministe, pentru care se pot stabili funcii de timp care s defineasc n orice moment valoarea instantanee a deplasrii. n multe aplicaii practice se ntlnesc vibraii aleatoare, cu caracter nedeterminist, la care valorile instantanee ale mrimilor care definesc micarea nu mai sunt predictibile. Se recurge la calculul probabilitilor i se lucreaz cu mrimi statistice sau valori medii, care n cazul proceselor staionare, ergodice i cu distribuie gaussian devin predictibile.

n general, cnd asupra unui sistem liniar i cu parametri invariabili n timp se aplic o perturbaie oarecare, micarea rezultant este suma a dou componente distincte: vibraia forat, descris de o funcie asemntoare funciei excitaiei i vibraia proprie, dependent doar de caracteristicile dinamice ale sistemului, a crei funcie de timp este de obicei o combinaie ntre o sinusoid i o exponenial.

n cazul unei perturbaii armonice sau aleatoare staionare, vibraia proprie se amortizeaz imediat dup nceputul micrii, rmnnd doar vibraia forat, care n anumite condiii poate produce rezonan.

Dac un sistem este acionat de o for exterioar periodic, a crei frecven este egal cu (sau apropiat de) una din frecvenele proprii ale sistemului, vibraia produs are amplitudini relativ mari chiar pentru amplitudini relativ mici ale forei perturbatoare. Se spune c sistemul este ntr-o stare de rezonan. Un exemplu este leagnul mpins la anumite intervale. Alte exemple includ vibraiile sistemelor cu roi dinate la frecvena de angrenare, vibraiile torsionale ale arborilor motoarelor cu ardere intern la frecvena aprinderilor din cilindri, vibraiile rulmenilor la frecvena trecerii bilelor peste un defect, etc.

Rezonana ia natere la frecvenele la care suma celor dou energii reactive recuperabile potenial i cinetic este nul, iar energia transmis sistemului este egal cu energia disipat prin frecri. Fenomenul apare cnd spectrul de frecvene al excitaiei acoper un domeniu ce cuprinde frecvenele proprii ale sistemului.

La rezonan o for de amplitudine constant produce un rspuns maxim, sau, pentru a menine un rspuns de amplitudine constant, este necesar o for minim.

Rezonana nseamn amplitudini mari ale micrii n anumite puncte sau pri ale sistemului n vibraie, nsoite de solicitri i tensiuni mari sau micri relative considerabile, care pot duce la ruperi prin oboseal, funcionare necorespunztoare, uzur, trepidaii, deci zgomot cu aciune nociv aspra omului.

VIBRAII MECANICE 6

O rezonan este definit de o frecven, un nivel al rspunsului dinamic i o lime a curbei de rspuns n frecven. Evitarea regimurilor periculoase de vibraii din vecintatea rezonanelor se poate face prin: a) modificarea frecvenelor excitatoare; b) modificarea masei sau rigiditii sistemului vibrator, pentru variaia frecvenelor proprii; c) creterea sau adugarea amortizrii, i d) ataarea unui absorbitor dinamic de vibraii.

Dac micarea are loc n prezena unei surse de energie, pot apare autovibraii (vibraii autoexcitate). Micarea este ntreinut de o for periodic, creat sau determinat de micarea nsi, dei energia este furnizat n mod uniform de sursa exterioar. Cnd micarea se oprete, fora periodic dispare. Exemple cunoscute sunt vibraiile corzii de vioar produse de arcu, scritul cretei pe tabl sau al balamalei unei ui, iuitul mainilor unelte cnd sculele sunt ascuite necorespunztor, fluieratul tramvaiului la curbe, vibraiile liniilor electrice aeriene produse de vnt, etc.

n timpul vibraiilor la rezonan i al celor autoexcitate, sistemul vibreaz la o frecven proprie. n primul caz vibraiile sunt forate, deci au loc la frecvena excitatoare (sau multipli ntregi ai acesteia, n cazul sistemelor neliniare). n al doilea caz, frecvena este independent de orice stimul exterior.

Vibraiile parametrice sunt produse de variaia unui parametru dinamic al sistemului, rigiditatea sau ineria. Exemple sunt vibraiile transversale ale rotoarelor de seciune necircular, pendulelor de lungime variabil, sistemelor torsionale cu roi dinate, etc.

1.5 Amortizarea vibraiilor

Amortizarea reprezint disiparea energiei mecanice dintr-un sistem, deobicei prin transformare n energie termic. Pierderea energiei prin radiaie, uneori definit ca amortizare geometric, nu este tratat n aceast lucrare.

Mecanismele de amortizare frecvent utilizate sunt: a) frecarea uscat (coulombian), n care amplitudinea forei de amortizare este independent de vitez, b) amortizarea vscoas liniar, la care fora este proporional cu viteza, c) amortizarea vscoas proporional cu o putere a vitezei, i d) amortizarea structural (histeretic, intern) n care fora este proporional cu deplasarea. Amortizarea ereditar i cea dintre piesele cu jocuri sunt alte modele posibile.

Amortizarea coulombian sau amortizarea prin frecare uscat este un mecanism de amortizare neliniar, produs de fore de frecare care se opun micrii. Fora de amortizare coulombian are amplitudine constant, fiind independent de vitez, odat ce s-a depit fora de frecare static iniial. Energia disipat ntr-un ciclu de vibraie armonic este proporional cu amplitudinea deplasrii i independent de pulsaie.


Amortizarea vscoas liniar este produs de frecarea relativ a moleculelor unui fluid vscos, care produce fore proporionale i de sens contrar vitezei unui obiect care se mic n fluid. Energia disipat ntr-un ciclu de vibraie armonic este proporional cu frecvena i cu ptratul amplitudinii deplasrii. Este cel mai simplu model de amortizare, frecvent utilizat datorit simplitii matematice, n special pentru modelarea amortizrii externe, produse de micarea n mediul ambiant.

Amortizoarele cu ulei din suspensia automobilelor i motocicletelor produc fore proporionale cu o putere a vitezei relative. Amortizarea proporional cu o putere a vitezei este un mecanism neliniar, n care energia disipat ntr-un ciclu de vibraie armonic depinde att de pulsaie ct i de amplitudinea vibraiei.

S-a observat experimental c la multe materiale folosite curent n practic energia disipat ntr-un ciclu de vibraie armonic este proporional cu ptratul amplitudinii deplasrii dar este independent de pulsaie, deci modelul amortizrii vscoase liniare nu descrie corect comportarea acestor materiale. Aceeai constatare privete amortizarea produs de micarea relativ a elementelor asamblate prin nituire sau cu uruburi.

Amortizarea structural sau histeretic este mecanismul de frecare de alunecare care descrie aceast comportare. Fora de amortizare este proporional cu deplasarea relativ dar n faz cu vitez relativ. Acest model de frecare a fost postulat i este strict valabil doar n cazul vibraiilor armonice. El nu reprezint un mecanism de disipare a energiei realizabil fizic, deoarece n cazul solicitrii n regim tranzitoriu conduce la rezultate absurde. n acest caz, valoarea instantanee a forei de amortizare depinde nu numai de variaia n timp a deplasrii pn n momentul aplicrii forei, dar i dup acest moment (sistem necauzal). Totui, n regim armonic i pe domenii limitate de frecvene, modelul amortizrii structurale d rezultate bune, confirmate experimental pe structuri aeronautice.

Natura fizic a mecanismelor de amortizare este att de diferit, nct pentru descrierea lor s-au elaborat mai multe modele matematice, majoritatea fiind neliniare, deci implicnd dificulti de calcul. S-a recurs la conceptul de amortizare vscoas echivalent, prin care fora de amortizare neliniar se nlocuiete cu o for vscoas liniar, astfel nct energia disipat pe ciclu de amortizorul neliniar s fie egal cu cea disipat de un amortizor vscos echivalent, supus la o deplasare relativ de aceeai amplitudine.

Generaliznd noiunea de amortizare echivalent, calculul analitic al vibraiilor mecanice este simplificat prin folosirea cu precdere a dou modele de amortizare vscoas i structural. Se egaleaz deci energia disipat ntr-un ciclu de vibraie prin toate mecanismele de amortizare, inclusiv cea datorit radiaiei (prin unde, n medii continue infinite), cu energia disipat printr-un singur mecanism, vscos sau histeretic, ntr-un regim de vibraii cu aceeai amplitudine. Rezult astfel fie un coeficient de amortizare vscoas echivalent, fie un coeficient de amortizare structural echivalent, mrimi dependente n general de

VIBRAII MECANICE 8

pulsaie i amplitudinea deplasrii, cu care se lucreaz ca i cnd ar fi constante, urmnd s se determine experimental domeniile n care aceast ipotez este valabil.

2. SISTEME CU UN GRAD DE LIBERTATE

Sistemele vibratoare au mas i elasticitate. Cel mai simplu sistem vibrator const dintr-o mas ataat de un arc liniar. Cnd micarea poate fi descris de o singur coordonat, sistemul are un singur grad de libertate. Utiliznd acest model simplu, se pot introduce concepte de baz ca frecvena proprie, rezonana, btile i antirezonana. n timpul vibraiilor, energia mecanic se disipeaz prin amortizare. Aceasta limiteaz amplitudinea micrii la rezonan, descrete amplitudinea vibraiilor libere, i introduce defazaje ntre rspuns i excitaie. Msurarea amortizrii este important deoarece ea nu poate fi calculat ca celelalte dou proprieti, masa i rigiditatea.

2.1 Vibraii libere neamortizate

Vibraia liber a unui sistem mas-arc, care are loc n absena oricrei excitaii exterioare, este o micare armonic a crei frecven depinde exclusiv de masa i rigiditatea sistemului, fiind independent de condiiile iniiale ale micrii. Fiind o proprietate intrinsec (natural) a sistemului, aceasta se numete frecven proprie sau frecven natural. Calculul frecvenelor proprii se bazeaz pe valorile maselor i ale rigiditilor elementelor elastice.

2.1.1 Sistemul mas-arc

Sistemul din fig. 2.1 const dintr-un arc liniar de rigiditate k i o greutate W avnd masa gWm = , unde g este acceleraia gravitaiei. Greutatea este constrns s se deplaseze pe direcie vertical, fr s se roteasc. Rigiditatea k este egal cu fora care produce o variaie a lungimii arcului egal cu unitatea.

n fig. 2.1, a se arat arcul netensionat. Cnd masa m este ataat arcului (fig. 2.1, b), captul acestuia se deplaseaz n jos i se oprete n poziia de echilibru static, determinat de deformaia static st . n acest poziie, greutatea

VIBRAII MECANICE 10

mgW = care acioneaz n jos este echilibrat de fora din arc stk care acioneaz n sus (fig. 2.1, c), astfel nct sgeata static este

kgm

st = . (2.1) Dac masa este deplasat din poziia de echilibru static i lsat liber,

sistemul efectueaz vibraii libere. Pentru a scrie ecuaia micrii, originea deplasrilor dinamice se alege n poziia de echilibru static, astfel nct trebuie luate n considerare doar forele datorite deplasrii fa de aceast poziie.

Fig. 2.1

Alegnd sensul pozitiv n jos, fora elastic ce acioneaz asupra masei n poziia x este xk (fig. 2.1, d). Micarea masei este descris de legea a doua a lui Newton

xx km =&& , care poate fi scris

0=+ xx km && , (2.2) unde un punct deasupra literei denot derivarea n raport cu timpul.

Relaia (2.2) este o ecuaie diferenial de ordinul doi, omogen. Soluia general are forma

tCtC nn cossin 21 +=x , (2.3) unde

mkn = [rad/s] (2.4) este pulsaia proprie neamortizat a sistemului.

Frecvena proprie neamortizat este

mkfn 2

1= . [Hz] (2.5)

2. SISTEME CU UN GRAD DE LIBERTATE 11

Constantele arbitrare 1C i 2C se determin pe baza condiiilor iniiale ale micrii. n cazul general, sistemul poate porni din poziia 0x cu viteza 0v , astfel nct soluia general devine

txt nnn

cossin 00 += vx . (2.6)

O alt form a soluiei generale este

( ) += tA nsinx , (2.7) unde cele dou constante arbitrare sunt date de

( ) 2020 nA vx += , 0

0 arctgvxn = . (2.8)

Expresia (2.7) arat c vibraia liber a sistemului mas-arc este armonic i are loc la frecvena proprie nf . Mrimea A reprezint amplitudinea deplasrii fa de poziia de echilibru static iar este unghiul de faz. Pulsaia n definete frecvena vibraiei n radiani pe secund, 2 radiani corespunznd unui ciclu complet de vibraie.

Frecvena vibraiei este egal cu numrul de cicluri de micare n unitatea de timp. Inversul frecvenei proprii este perioada proprie de vibraie

nnfT 21 == . [sec] (2.9) Perioada vibraiei este egal cu timpul necesar micrii s se repete.

Frecvena proprie neamortizat se poate exprima n funcie de sgeata static utiliznd relaia (2.1)

stn

gf 21= , [Hz] (2.10)

unde 2sm9,81=g este acceleraia gravitaiei.

2.1.2 Rigiditatea elementelor elastice

Dei sistemul cu un grad de libertate este deobicei modelat printr-o mas ataat de un arc cilindric elicoidal, n multe sisteme practice elementul elastic poate lua diferite forme sau poate consta din mai multe arcuri legate ntre ele.

n fig. 2.2 rigiditile mai multor elemente elastice au fost calculate ca raport ntre fora aplicat i deplasarea punctului ei de aplicaie.

VIBRAII MECANICE 12

Fig. 2.2

n fig. 2.3 se prezint dou tipuri generale de combinaii de arcuri.

Fig. 2.3

La legarea n serie (fig. 2.3, a), n ambele arcuri acioneaz aceeai for. Dou arcuri liniare, de rigiditi 1k i 2k , acionate de greutatea W , se deformeaz static

+=+=

2121

11kk

WkW

kW

st .


Rigiditatea echivalent, reprezentnd efectul combinat al arcurilor 1k i

2k , este

21

111

kk

Wkst

S+

== . (2.11)

Un sistem cu n arcuri legate n serie are o rigiditate echivalent Sk dat de

nS k...

kkk1111

21+++= . (2.12)

La legarea n paralel (fig. 2.3, b) deformaia ambelor arcuri este aceeai iar suma forelor din arcuri este egal cu greutatea aplicat W :

stst kkW 21 += . Astfel, pentru arcuri legate n paralel, rigiditatea echivalent este

21 kkWk

stP +== . (2.13)

n general, un sistem cu n arcuri n paralel are o rigiditate echivalent

nP k...kkk +++= 21 . (2.14) Regulile de compunere a rigiditilor arcurilor sunt aceleai cu cele

utilizate la calculul capacitii totale a condensatoarelor legate n serie sau n paralel n circuitele electrice.

2.1.3 Sisteme torsionale

Se consider sistemul torsional din fig. 2.4 care const dintr-un disc cu un moment de inerie masic J, 2mkg , ataat de o bar sau un fir de rigiditate la rsucire K, radmN . Sistemul este constrns s efectueze vibraii unghiulare n jurul axei verticale.

Dac poziia instantanee a discului este dat de unghiul , cuplul care acioneaz asupra discului este K astfel nct legea a doua a lui Newton pentru micarea unghiular este

KJ =&& , care se mai scrie

VIBRAII MECANICE 14

0=+ KJ && , (2.15) unde un punct deasupra literei denot derivare n raport cu timpul.

Fig. 2.4

Ecuaia (2.15) a fost stabilit de Ch. O. Coulomb n 1784. Soluia general are forma

( ) tCtCt nn cossin 21 += , unde

JKn = [rad/s] (2.16) este pulsaia proprie neamortizat a sistemului torsional.

Frecvena proprie neamortizat este

JKfn 2

1= . [Hz] (2.17)

Din Rezistena materialelor se tie c o bar de diametru d i lungime l , dintr-un material cu modulul de elasticitate transversal G, solicitat de un moment

tM se rsucete cu un unghi p

tIG

M l= , unde 32 4dI p = este momentul de inerie

polar al seciunii transversale a barei. Rigiditatea la rsucire (torsional) este deci

lpt IGMK == .

Exist o analogie direct ntre sistemele n vibraii de translaie i cele n vibraii torsionale. Arcurile i masele din primul caz sunt nlocuite de arcuri torsionale i discuri rigide care au moment de inerie masic polar.


2.1.4 Metoda energetic

Dac vibraia este armonic, atunci frecvena poate fi calculat printr-o metod energetic. Cnd nu exist disipare de energie, sistemul se numete conservativ. n orice moment, energia unui sistem conservativ este suma constant a energiilor potenial i cinetic

.constTU =+ (2.18) Energia potenial maxim, care apare n poziia de elongaie maxim,

unde masa st pe loc un moment, trebuie s egaleze energia cinetic maxim, care apare atunci cnd masa trece prin poziia de echilibru static, cu vitez maxim.

Fora din arc este xk , iar lucrul mecanic efectuat pe o deplasare infinitezimal xd este xxk d . Energia potenial din arc, acumulat cnd un capt

al acestuia este deplasat pe o distan x , este 20

21d xkxxkU

x

== . Presupunnd o micare armonic de forma tAx nsin= , energia potenial maxim este

2

21 AkUmax = .

Energia cinetic este n orice moment 221 vmT = . Viteza este

tA nn cos=v , astfel c energia cinetic maxim este 2221 AmT nmax = .

Egalnd energiile maxime maxmax TU = , rezult 222 21

21 AmAk n= de

unde se obine pulsaia proprie mkn = , independent de amplitudinea A .

Exemplul 2.1 S se determine pulsaia proprie a oscilaiilor fluidului ntr-un tub n form

de U (fig. 2.5).

Rezolvare . Fie l lungimea total a coloanei de fluid, A - aria seciunii transversale a tubului i - densitatea fluidului.

Presupunnd c particulele de fluid au aceeai vitez n orice moment,

energia cinetic are expresia 221 xAT &l= . Dac fluidul oscileaz n tub, lucrul

mecanic efectuat este acelai ca i cnd o coloan de fluid de lungime x ar fi transferat din partea stng n partea dreapt a tubului, lsnd restul fluidului nemicat.

VIBRAII MECANICE 16

Energia potenial instantanee este 2xAgU = . nlocuind expresiile celor dou energii n condiia ca variaia n timp a energiei totale s fie nul

( ) 0dd =+UTt

i simplificnd cu x& , se obine ecuaia diferenial a micrii fluidului 02 =+ xgx l&& .

Fig. 2.5

Pulsaia proprie

lgn 2= este independent de natura fluidului utilizat, de forma i aria seciunii transversale a tubului.

2.1.5 Metoda lui Rayleigh

Metoda lui Rayleigh este o aplicaie a metodei energetice la sisteme cu mas/elasticitate distribuit. Metoda este utilizat pentru a reduce un sistem cu parametri distribuii la un sistem echivalent mas-arc i pentru a determina pulsaia proprie fundamental a acestuia.

Energiile cinetic i potenial se calculeaz presupunnd orice form deformat care satisface condiiile la limit geometrice. Dac se alege deformata real sistemului, atunci formula lui Rayleigh va da pulsaia proprie adevrat a sistemului. Pentru orice alt curb, pulsaia dat de aceast metod va fi mai mare dect cea corect. Aceasta se explic prin faptul c orice deviaie de la curba adevrat implic nite constrngeri suplimentare, deci o rigiditate mai mare i o


pulsaie mai nalt. n continuare, metoda lui Rayleigh este aplicat vibraiilor de ncovoiere ale barelor.

Fie o bar cu modulul de rigiditate la ncovoiere IE (unde E este modulul de elasticitate longitudinal i I este momentul de inerie axial al seciunii transversale) i masa pe unitatea de lungime A (unde este densitatea materialului i A este aria seciunii transversale). Se presupune c deplasarea lateral este armonic, cu frecvena 1 , sincron n toate punctele n lungul barei

( ) ( ) txt,xy 1cosv= . Energia potenial instantanee este

xxyIE

IEdxMU d

21

2

2

2

22

==

unde s-a utilizat ecuaia diferenial liniarizat (4.65) a liniei elastice a barei ( )22 xyIEM = . Valoarea sa maxim este

xx

IEUmax d21

2

2

2

= v .

Energia cinetic instantanee este

= = xd2121 2212

yAdmtyT ,

cu valoarea maxim

= xv d21 221 ATmax . Egalnd energia potenial maxim cu energia cinetic maxim, se obine

formula lui Rayleigh pentru pulsaia proprie fundamental

( )

=xv

v

d

d

2

22221

A

xxIE

. (2.19)

Exemplul 2.2 S se determine pulsaia proprie fundamental a barei n consol din fig.

2.6.

VIBRAII MECANICE 18

Rezolvare . Se alege forma deformat aproximativ

= l2cos10xvv .

Aceast funcie satisface condiiile la limit 0=x , 0=v , 0dd =xv , i l=x , 0dd 22 =xv , ns nu satisface condiia l=x , 0dd 33 =xv (for

tietoare nul), deci este o funcie admisibil aproximativ.

Fig. 2.6

Energia potenial maxim este 2034

64 v

lIEUmax = . Energia cinetic

maxim este

= 2

432

021 lvATmax , sau 0,232

20

21 = lv ATmax .

Egalnd cele dou energii, se obine pulsaia proprie fundamental (n rad/s)

AIE

213,6638

l= .

Soluia adevrat (5.16) este AIE

213,515l

= , deci valoarea obinut cu formula lui Rayleigh este cu 4 % mai mare.

Dac funcia admisibil se alege deformata static a barei n consol acionat de o for aplicat la capt, la care se neglijeaz greutatea proprie

=

32

0 321

llxxvv ,

energia potenial maxim este 20203 2

123 vv kIEUmax == l i energia cinetic

maxim este ( ) 2012021 211403321 vv redmax mAT == l . Egalnd cele dou energii, pulsaia proprie fundamental dat de formula

lui Rayleigh este


( ) AIE

mk

AIE

red 23

13,5675

140333

lll === ,

care este numai cu 1,47 % mai mare dect valoarea adevrat (5.16).

Relaia de mai sus arat c, pentru deformata aproximativ considerat, bara cu mas uniform distribuit are aceeai pulsaie proprie ca o bar fr mas distribuit dar cu o mas concentrat ( ) lA14033 n captul liber. Aceasta se numete masa redus a barei.

Exemplul 2.3 S se determine pulsaia proprie fundamental a barei libere la capete din

fig. 2.7.

Fig. 2.7

Rezolvare . Se alege deformata aproximativ de forma

ax = lsin0vv .

Constanta a trebuie determinat din condiia de conservare a cantitii de micare pentru bara liber la capete

( ) ( ) ( )( ) 0d000

=== llldxvv AdxAmasaviteza ,

de unde rezult 2 0v=a . Utiliznd forma deformat

=2sin0 l

xvv ,

din ecuaia (2.19) se obine pulsaia proprie fundamental a barei

AIE

2122,6l

= .

VIBRAII MECANICE 20

Valoarea adevrat (5.21, a) este AIE

2122,4l

= deci discrepana este doar 0,9 %.

2.2 Vibraii forate neamortizate

Vibraiile forate sunt produse de fore exterioare variabile n timp sau deplasri impuse. Dac asupra masei acioneaz o for armonic de amplitudine constant i frecven variabil, atunci cnd frecvena excitatoare se apropie de frecvena proprie a sistemului, deplasarea masei crete nelimitat. Aceast condiie se numete rezonan i este caracterizat de vibraii puternice. La sisteme neamortizate, frecvenele de rezonan sunt egale cu frecvenele proprii ale sistemului i, n majoritatea cazurilor, funcionarea la rezonan trebuie evitat. La sisteme amortizate, rspunsul la rezonan are amplitudine finit.

Un leagn mpins la anumite intervale efectueaz oscilaii la rezonan. Funcionarea utilajelor de compactare a terenului i a betonului, a transportoarelor oscilante, a uneltelor i a ciururilor vibratoare este adesea bazat pe rezonan. Totui principala problem cu rezonana este legat de efectele duntoare ale acesteia. Funcionarea la rezonan implic deplasri i tensiuni mari, care produc oboseal i ruperi, efecte nocive sau disconfort utilizatorilor, i o descretere a preciziei produselor. Zgomotul produs de o main casnic sau de un subansamblu al unui automobil poate fi o piedic n vnzarea acestora.

Dac fora armonic este aplicat arcului, deplasarea punctului de excitaie descrete la zero la frecvena proprie a sistemului. Aceast condiie se numete antirezonan. n general, aceasta este o proprietate local, dependent de punctul de aplicaie a excitaiei.

2.2.1 Excitarea masei cu o for arbitrar

Fie fora F(t) cu o variaie arbitrar n timp (fig. 2.8).

n intervalul de timp infinitezimal d , fora ( )F poate fi considerat constant. Suprafaa haurat reprezint un impuls infinitezimal ( ) dF care produce o variaie de vitez

( )m

Fx dd =& . Rspunsul masei m produs de impulsul diferenial, de-a lungul ntregii

istorii de solicitare pentru >t , este


( ) ( ) = t

mFx n

nsin1dd , (2.20)

i poate fi dedus din (2.6) considernd c la =t , deplasarea 00 =x i viteza x&d=0v . Se poate considera c ntreaga istorie de solicitare const dintr-o

succesiune de astfel de impulsuri infinitezimale, fiecare producnd un rspuns diferenial de forma (2.20).

Fig. 2.8

Pentru un sistem liniar, rspunsul total se poate obine nsumnd toate rspunsurile difereniale produse n timpul istoriei de solicitare, deci integrnd expresia (2.20) dup cum urmeaz

( ) ( ) ( ) =t

nn

tFm

tx0

dsin 1 . (2.21)

Relaia (2.21) este cunoscut sub numele de integrala lui Duhamel pentru un sistem neamortizat.

2.2.2 Excitarea masei cu o for armonic

Sistemul mas-arc din fig. 2.9, a este excitat de o for armonic ( ) tFtf cos0= de amplitudine constant 0F i pulsaie perturbatoare , aplicat masei.

Pe baza diagramei forelor din fig. 2.9, b, se scrie legea a doua a lui Newton

tFkm cos0+= xx&& , care devine ecuaia diferenial a micrii

VIBRAII MECANICE 22

tFkm cos0=+ xx&& . (2.22) Soluia general a ecuaiei liniare neomogene (2.22) este suma soluiei

(2.3) a ecuaiei cu membrul drept zero i a soluiei particulare. n regim staionar,

soluia particular se alege de aceeai form ca excitaia

( ) tXt cos=Px , (2.23) unde X este amplitudinea rspunsului forat.

Fig. 2.9

nlocuind soluia particular (2.23), ecuaia (2.22) devine

tFtXktXm coscoscos 02 =+ , n care se poate simplifica tcos , rezultnd

( ) 02 FXmk = , sau ( ) 22

02

0

11 nstX

kmkF

mkF

X === . (2.24)

n expresia (2.24)

kF

X st0= (2.25)

este sgeata static a arcului produs de fora (constant) 0F iar mkn = este pulsaia proprie neamortizat (2.4).

La pulsaii n , soluia general a ecuaiei (2.22) este


( ) ( ) tXtCtC

n

stnn cos1cossin 221 ++=tx . (2.26)

Fiind suma a dou componente armonice de pulsaii diferite, soluia (2.26) nu reprezint o micare armonic.

Dac deplasarea iniial este 0x i viteza iniial este 0v , atunci din ecuaia (2.26) se obine

( ) ( ) 022 10 xXCx

n

st =+= , ( ) 010 v== nCx & , deci rspunsul total este

( ) ( ) ( ) tXtXxttx

n

stn

n

stn cos1cos1sin 220 +

+= n0v . (2.27)

Pentru condiii iniiale nule, 000 == vx , rspunsul (2.27) devine ( ) ( ) ( )tt

Xtx nn

st coscos1 2 = . (2.28)

2.2.3 Bti

Diferena cosinusurilor din relaia (2.28) se poate exprima sub form de produs

( ) ( ) ttX

mn

st sinsin12

2=tx , (2.29) unde

2 += nm i 2

= n . Atunci cnd devine foarte mic, deoarece m este relativ mare,

produsul din expresia (2.29) reprezint o oscilaie modulat n amplitudine. Micarea armonic cu pulsaia mai mare m este modulat n amplitudine de micarea armonic cu pulsaie mai joas (fig. 2.10). Micarea rezultant, care este o oscilaie rapid cu amplitudinea variabil lent, este cunoscut sub numele de bti.

Terminologia deriv din acustic. Cnd dou coarde de pian pentru aceeai not sunt puin dezacordate, se aude un sunet a crui intensitate crete i scade periodic (bti). Btile dispar cnd corzile sunt acordate la unison, i se aude o singur frecven.

VIBRAII MECANICE 24

Fig. 2.10

Btile se pot auzi ntr-un avion bimotor, cnd cele dou motoare au turaii puin diferite. Ele apar n centrale electrice la pornirea unui generator. Puin nainte de conectarea generatorului la reea, frecvena curentului produs de generator este puin diferit de frecvena reelei. Zgomotul produs de generator i zgomotele produse de celelalte generatoare i transformatoare au nlimi diferite i se pot auzi btile.

2.2.4 Curbe de rspuns n frecven

Este interesant de examinat n detaliu dependena de frecven a amplitudinii rspunsului staionar

( ) stn XX 211

= . (2.30)

Valoarea absolut a coeficientului lui stX n membrul drept al relaiei (2.30) se numete factor de amplificare dinamic.

n fig. 2.11, a s-a reprezentat variaia amplitudinii X n funcie de pulsaia excitatoare . La pulsaii n < ordonatele sunt pozitive, fora i deplasarea masei sunt n faz, n timp ce la pulsaii n > ordonatele sunt negative, fora i deplasarea masei sunt defazate 0180 (fig. 2.11, b). n timp ce pentru n < masa este sub poziia de echilibru static cnd fora acioneaz n jos, pentru n > masa este deasupra poziiei de echilibru cnd fora acioneaz n jos.


Fig. 2.11

Deobicei relaia de faz intereseaz mai puin, iar curba de rezonan este prezentat ca n fig. 2.11, c cu modulul amplitudinii pe axa ordonatelor. Aceast diagram este denumit curba de rspuns n frecven.

2.2.5 Rezonana

La 1=n , cnd pulsaia perturbatoare coincide cu pulsaia proprie a sistemului, amplitudinea devine infinit (deoarece sistemul este neamortizat). Acest fenomen este numit rezonan, iar pulsaia proprie este uneori numit pulsaia de rezonan.

Atunci cnd n = fora elastic i fora de inerie se echilibreaz reciproc iar fora excitatoare produce creterea nelimitat a amplitudinii micrii sistemului neamortizat. Sistemele amortizate au amplitudini finite la rezonan iar defazajul ntre for i deplasare este 090 (fig. 2.28).

Se consider cazul n care, pornind din repaus, sistemul mas-arc este solicitat de o for tF ncos0 , unde n este pulsaia proprie. Atunci cnd

VIBRAII MECANICE 26

devine exact egal cu n , soluia (2.27) nu mai este valabil. nlocuind ( ) nFF cos0= n ecuaia (2.21) se obine

( ) ( ) =t

nnn

tmFtx

0

0 dsin cos ,

( )

= t t

nnnnn ttmFtx

0 0

2

n

0 dsin coscosd cossin ,

( ) ttmF

tx nn

P sin20= . (2.31)

Astfel, atunci cnd este excitat la rezonan, amplitudinea sistemului neamortizat crete liniar n timp. Deoarece excitaia este o funcie cosinus iar rspunsul este o funcie sinus, ntre ele exist un defazaj de 090 .

Fig. 2.12

Soluia total pentru condiii iniiale nenule este n acest caz

( ) ttmFtxt n

nnn

n sin2cossin

00

0 ++= vtx . (2.32)

Variaia n timp a deplasrii la rezonan ( )tx este prezentat n fig. 2.12 pentru condiii iniiale nule. Se observ c ( )tx crete nelimitat, dar aceast cretere nu este instantanee ci necesit un anumit timp, funcie de masa i rigiditatea sistemului.


2.2.6 Trecerea prin rezonan

Pentru majoritatea sistemelor vibratoare, valoarea staionar a amplitudinii deplasrii se atinge relativ repede, viteza cu care se realizeaz contnd mai puin.

Totui, atunci cnd un sistem vibrator este accelerat prin rezonan, deci cnd frecvena excitatoare este baleiat cu o anumit vitez tdd = , nu mai este timp suficient pentru atingerea valorii staionare a deplasrii i amplitudinea la rezonan este finit chiar n cazul sistemelor neamortizate. Astfel, la trecerea prin rezonan, intereseaz rspunsul la o for cu frecven variabil.

n acest caz, nfurtoarea rspunsului are un maxim ca un vrf de rezonan, uneori urmat de bti. Dac frecvena excitatoare crete (fig. 2.13), atunci frecvena la care apare rspunsul maxim este mai mare dect cea obinut n condiii staionare, amplitudinea maxim este mai mic i limea curbei de rezonan este mai mare. Dac frecvena excitatoare scade, frecvena la care apare rspunsul maxim este mai mic dect cea obinut n condiii staionare. n fig.

2.13, fora are o variaie ( )

+=22

1sin 20 tFtf cu .const=

Fig. 2.13

Efectul vitezei de baleiaj depinde de amortizarea din sistem. Cu ct amortizarea este mai mic, cu att este necesar mai mult timp pentru atingerea nivelului staionar al rspunsului. Figura 2.13 este trasat pentru amortizare nul.

2.2.7 Rezonana cu amplitudine constant a deplasrii

Rezonana este o stare n care fie o deplasare maxim este produs de o for cu amplitudine constant, fie o for minim este necesar pentru a menine o anumit deplasare constant.

VIBRAII MECANICE 28

Cnd amplitudinea forei F este variabil i amplitudinea deplasrii 0X este meninut constant, relaia (2.24) se poate scrie

( )[ ]20 1 nXkF = . (2.33) n fig. 2.14 se prezint variaia valorii absolute a forei n funcie de

pulsaia excitatoare, pentru const.X =0 Pentru un sistem neamortizat, fora aplicat la rezonan este zero, deoarece fora elastic este echilibrat de fora de inerie.

Fig. 2.14

Rezonana este o stare n care o excitaie minim este necesar pentru a produce un rspuns dinamic maxim.

2.2.8 Excitaia cu mase excentrice n rotaie

n multe cazuri practice, vibraiile apar sub aciunea forelor centrifuge produse de mase excentrice n rotaie. Spre deosebire de forele cu amplitudine constant, considerate anterior, forele produse de mase excentrice n rotaie au amplitudini proporionale cu ptratul pulsaiei. Aceste fore au forma

tem 2 cos1 , fiind proiecia vertical a forelor centrifuge ce acioneaz asupra maselor 21m n rotaie cu viteza unghiular i excentricitatea e (fig. 2.15, a).

Amplitudinea vibraiilor forate produse de aceast for se poate obine nlocuind 0F cu

2em 1 n relaia (2.24). Rezult

( )( )

( ) 22

2

21

2

21

11 nn

ne

kemmkem

X

=== . (2.34)


n expresia (2.34) m este masa total n vibraie care include i masa 1m .

a b

Fig. 2.15

n fig. 2.15, b se prezint variaia valorii absolute a amplitudinii X din relaia (2.34) n funcie de pulsaia , pentru .conste = Diagrama pornete de la zero, tinde la infinit la rezonan i descrete la valoarea e la pulsaii nalte.

2.2.9 Antirezonana

Fie sistemul mas-arc nerezemat din fig. 2.16, acionat de o for armonic aplicat la baz. Ecuaiile de micare au forma

( ) tFxkm cos0122 == xx&& . Amplitudinea deplasrii punctului de aplicaie al forei este

( )( ) 2

20

2

20

11

n

nkF

mmk

kFX

== .

n cazul unei fore de amplitudine constant .constF =0 , valoarea absolut a amplitudii deplasrii are o valoare minim egal cu zero la pulsaia proprie.

Aceast condiie este definit ca o antirezonan, deoarece sistemul se comport total diferit de rezonan, unde amplitudinea este infinit. n general, antirezonana are loc la o pulsaie la care o for de amplitudine maxim produce un rspuns de amplitudine minim.

Spre deosebire de rezonan, care este o proprietate global a unui sistem n vibraie, independent de poziia punctului de aplicaie a excitaiei, antirezonana este o proprietate local, care depinde de poziia punctului de aplicaie a excitaiei.

VIBRAII MECANICE 30

Fig. 2.16

n absena amortizrii, pulsaia de antirezonan a sistemului mas-arc excitat la baz este aceeai ca pulsaia de rezonan a sistemului rezemat la baz i excitat prin mas. Dac se ataeaz o a doua mas la baz, n punctul de aplicaie al excitaiei, se obine un sistem mas-arc-mas al crui rspuns n punctul de aplicare a excitaiei are pe lng antirezonan i o rezonan.

2.2.10 Transmisibilitatea

Dac la baza sistemului mas-arc se aplic o deplasare impus (excitaie cinematic) tXx cos 11 = , atunci micarea transmis masei tXx cos 22 = este definit de raportul amplitudinilor

( ) 212

11

nXX

= . (2.35)

Raportul 12 XXTR = se numete transmisibilitate i este reprezentat grafic n fig. 2.17 n funcie de pulsaia adimensional n .

Pentru valori 2>n , transmisibilitatea este subunitar ( )1 . Elementul elastic dintre mas i baza n vibraie poate fi proiectat astfel nct s asigure un anumit grad de izolare, impunnd o anumit valoare TR . Aceasta arat n ce msur micarea masei izolate este redus fa de cazul n care masa ar fi montat direct pe baza vibrant.


Fig. 2.17

2.2.11 Turaia critic a rotorului Laval

Fie rotorul din fig. 2.18, compus dintr-un disc rigid, dispus la mijlocul unui arbore de mas neglijabil, rezemat la capete n lagre rigide, denumit rotorul Laval. Centrul de greutate G al discului se afl la o distan radial e de centrul su geometric C. Linia centrelor lagrelor intersecteaz planul discului n punctul O.

Cnd arborele este rotit n jurul axei lagrelor, discul se rotete n planul su n jurul centrului geometric C. Asupra discului acioneaz o for centrifug

2Grm , unde este viteza unghiular de rotaie, m este masa discului

concentrat n G i OGrG = . Aceast for produce ndoirea arborelui, despre care se spune c este ntr-o stare de dezechilibru. Arborele reacioneaz cu o for de readucere elastic Crk aplicat n C, unde k este rigiditatea arborelui msurat n dreptul discului i OCrC = .

Neglijnd efectul greutii proprii i al amortizrii, discul este solicitat numai de aceste dou fore. Pentru a fi n echilibru, cele dou fore trebuie s fie coliniare, egale i de sens contrar

( )ermrk CC += 2 . Rezolvnd n funcie de Cr , se obine

( )( ) 2

2

2

2

1 nn

Ce

mkemr

== , (2.36)

unde mkn = este pulsaia proprie a vibraiilor transversale ale rotorului la vitez unghiular nul.

VIBRAII MECANICE 32

Aceast expresie reprezint raza orbitei punctului C n precesie n jurul axei lagrelor cu viteza unghiular . Deoarece simultan discul se rotete n jurul punctului C cu aceeai vitez unghiular, micarea arborelui se numete precesie sincron.

Fig. 2.18

Raza orbitei circulare a punctului G este

( ) 21 nCGeerr =+= . (2.37)

n fig. 2.19 se prezint grafic variaia razelor Cr (linie continu) i Gr (linie ntrerupt) n funcie de viteza unghiular .

Fig. 2.19


La o vitez unghiular n 2 punctul 2G se rotete n interiorul punctului 2C . La viteze unghiulare foarte mari, n >> , raza

Cr devine egal cu excentricitatea e, iar punctele O i G coincid, discul avnd o precesie n jurul centrului su de greutate.

La n = , razele Cr i Gr cresc nelimitat. Turaia ncrn 30= se numete turaia critic a arborelui. Relaiile (2.36) i (2.37) arat c viteza unghiular critic a arborelui este egal cu pulsaia proprie a vibraiilor de ncovoiere ale rotorului.

Variaia brusc a poziiei relative a punctelor O, C i G la turaia critic se datorete neglijrii amortizrii. La sistemele amortizate, cnd turaia arborelui variaz, segmentul CG se rotete continuu fa de OC, astfel nct punctul cel mai ndeprtat (high spot) nu mai coincide cu punctul greu (heavy spot). La turaia critic, unghiul ntre cele dou segmente este 090 (v. 2.4.11) .

Dei exist o analogie evident ntre expresiile (2.36) i (2.37) pe de o parte, i rspunsul staionar al unui sistem liniar mas-arc (2.30) i (2.34) pe de alt parte, micarea forat a arborelui n rotaie nu este o vibraie propriu-zis. n arbore nu apar tensiuni ciclice, acesta se ncovoaie i ndoitura este constant la turaie constant. Deformaia de ncovoiere este maxim atunci cnd viteza unghiular este egal cu pulsaia vibraiilor de ncovoiere ale arborelui pe care acesta le-ar efectua dac nu s-ar roti i ar executa doar vibraii laterale libere neamortizate.

2.3 Vibraii libere amortizate

n timpul vibraiilor, energia mecanic se disipeaz prin frecri sau alte rezistene. n prezena amortizrii, amplitudinea vibraiilor libere scade n timp iar pentru a menine constant amplitudinea vibraiilor trebuie aplicate fore exterioare. n general, disiparea de energie este denumit amortizare. Ea este produs de frecarea intern n materiale, de frecarea ntre componentele unei structuri, de interaciunile fluid-structur, de radiaie i de micarea n cmpuri electrice sau magnetice.

Cel mai simplu mecanism de amortizare se datorete micrii ntr-un mediu vscos. Fora de amortizare vscoas este proporional cu viteza. Experiena a artat c n structuri aeronautice disiparea de energie este mai bine reprezentat de amortizarea structural. Amortizarea structural sau histeretic este descris de o for de amortizare n faz cu viteza dar proporional cu deplasarea. Pentru a descrie mai bine comportarea unor sisteme vibratoare reale, s-

VIBRAII MECANICE 34

au imaginat mecanisme mai complicate de amortizare, cum ar fi amortizarea ereditar.

2.3.1 Amortizarea vscoas

Sistemul din fig. 2.20, a const dintr-un arc liniar de rigiditate k, o mas m i un amortizor vscos. Fora din amortizor este proporional cu viteza i de semn opus. Factorul de proporionalitate se numete coeficient de amortizare vscoas, c, avnd uniti ( )smN .

Fig. 2.20

n cazul vibraiilor libere, ecuaia diferenial a micrii se obine utiliznd diagrama forelor din fig. 2.20, b i legea a doua a lui Newton

xx kxcm = &&& , care mai poate fi scris

0=++ xx kxcm &&& . (2.38) Presupunnd soluii de forma tsx e= , se obine ecuaia caracteristic

02 =++mks

mcs , (2.39)

care are dou rdcini

mk

mc

mcs

=

2

21, 22. (2.40)

Soluia general pentru vibraiile libere amortizate este

( ) tsts eCeCtx 21 21 += , (2.41) n care constantele de integrare se determin din condiiile iniiale ale micrii.

Ca o mrime de referin, se alege amortizarea critic definit de valoarea coeficientului c pentru care radicalul din expresia (2.40) este zero


nc

mk

mc ==2

,

sau nc mmkc 22 == . (2.42) Amortizarea din sistem poate fi definit printr-o mrime adimensional,

egal cu raportul ntre coeficientul de amortizare real i cel critic

ccc= , (2.43)

denumit raport de amortizare (sau fraciune din amortizarea critic)

Cu aceast notaie, relaia (2.40) devine

ns

= 1 221, . (2.44) n continuare se consider cele trei cazuri distincte pentru natura

rdcinilor (2.44), care pot fi reale diferite, complexe sau reale egale.

Cazul I: Sistem amortizat subcritic, 1 < Pentru 1 < , expresia (2.44) se poate scrie

ns

= 221, 1i . (2.45)

nlocuind rdcinile (2.45) n soluia (2.41) rezult

( )

+= ttt nnn eCeCetx 22 1i21i1 ,

sau, utiliznd formula lui Euler sinicosei += , dup transformri se obine ( ) += teAtx ntn 2 1sin . (2.46)

Expresia (2.46) arat c micarea este oscilatorie cu amplitudine descresctoare. Descreterea amplitudinii n timp este proporional cu tne , dup cum se arat cu linii ntrerupte n fig. 2.21.

Pulsaia oscilaiei amortizate

nd 21= (2.47) este mai mic dect pulsaia proprie neamortizat n i se numete pulsaie proprie amortizat sau pseudopulsaie. Dac 1 , d tinde la zero i micarea nu mai este oscilatorie.

VIBRAII MECANICE 36

Relaia (2.44) se poate scrie

ds i21, = (2.48) unde

n = (2.49) este un factor de amortizare egal cu viteza de descretere a amplitudinii (panta tangentei la nfurtoarea exponenial la 0=t ), deci o constant de atenuare.

Fig. 2.21

Se pot stabili urmtoarele relaii

22

+

=d

, 22

+== dn . (2.50)

Fig. 2.22


Cazul II: Sistem amortizat supracritic, 1 > Pentru 1 > , nlocuind rdcinile (2.44) n (2.41) rezult

( ) tt nn eCeCtx + += 121122

.

Micarea nu mai este oscilatorie (Fig. 2.22) fiind denumit aperiodic.

Fig. 2.23

Cazul III: Sistem amortizat critic, 1 = Amortizarea critic marcheaz tranziia de la micri oscilatorii la micri

aperiodice. n acest caz limit, soluia general este

( ) ( ) tntCCtx += e21 . Micarea este similar celei cu amortizare supracritic (fig. 2.23) dar

revine la repaus n timpul cel mai scurt fr oscilaii. Aceast proprietate este utilizat la aparatele electrice cu ac indicator, a cror parte mobil este amortizat critic pentru a reveni ct mai repede pe valoarea msurat.

2.3.2 Decrementul logaritmic

O modalitate de determinare a amortizrii ntr-un sistem n vibraie este msurarea vitezei de descretere a amplitudinii oscilaiilor. Aceasta se exprim convenabil prin decrementul logaritmic, definit ca logaritmul natural al raportului a dou amplitudini succesive. n cazul amortizrii vscoase, acest raport este constant, indiferent de amplitudinile utilizate n calcul.

Se consider vibrograma unei vibraii amortizate (fig. 2.24), descris de expresia (2.46).

VIBRAII MECANICE 38

Fig. 2.24

Sinusoida cu amplitudini descresctoare este tangent la nfurtoarea exponenial n puncte situate puin la dreapta punctelor cu valori extreme ale amplitudinii, unde funcia sinus este egal cu 1. ntruct aceast diferen este practic neglijabil, raportul a dou amplitudini succesive poate fi nlocuit cu raportul ordonatelor exponenialei calculate la distan de o perioad de oscilaie

( ) dndnn

TTt

te

eAeA

xx

2

1 == +

,

unde perioada vibraiei amortizate este

dndT

2

1

22

=

= .

Decrementul logaritmic este

22

1

1

2ln

=== dn Tx

x . (2.51) Pentru 1


Dac amplitudinile succesive sunt reprezentate grafic n funcie de indicele ciclului pe o scar logaritmic, punctele se vor nscrie n lungul unei linii dreapte dac amortizarea este vscoas, aa cum s-a presupus n ecuaia (2.38).

n practic, se traseaz nti nfurtoarele care trec prin punctele de amplitudine maxim, respectiv minim (fig. 2.25, a). Se msoar apoi distana vertical ntre cele dou nfurtoare, n dreptul punctelor de maxim i minim ale vibrogramei. Aceste distane se reprezint grafic pe o scar logaritmic n funcie de numrul de semicicluri de vibraie, apoi prin punctele obinute se traseaz o linie dreapt (fig. 2.25, b). Panta acestei drepte este utilizat apoi pentru calculul raportului de amortizare.

Fig. 2.25

Pentru 1

VIBRAII MECANICE 40

nxxn = 2lnln 0 , deci raportul de amortizare este egal cu panta dreptei mprit la 2 (sau la , dac se msoar ordonatele maximelor i minimelor ca n fig. 2.25).

2.3.3 Factorul de pierderi

O msur convenabil a amortizrii este factorul de pierderi definit ca raportul ntre energia disipat ntr-un ciclu de vibraie (sau energia ce trebuie suplinit sistemului pentru a menine vibraii de amplitudine constant) U i energia potenial maxim U, acumulat de sistem n ciclul respectiv

UU

= . (2.52)

n general, factorul de pierderi depinde de frecvena i amplitudinea vibraiilor, putnd fi calculat i pentru sisteme neliniare i sisteme cu parametri dependeni de frecven.

Dac 1x i 2x sunt dou amplitudini consecutive ntr-o vibraie liber amortizat, atunci energia acumulat n elementul elastic la aceste deplasri

maxime este 211 21 xkU = , respectiv 222 2

1 xkU = . Pierderea de energie mprit la energia iniial este

2111 22

1

2

1

2

1

21 =

== e

xx

UU

UUU

unde este decrementul logaritmic. Prin urmare, pentru amortizri mici, factorul de pierderi este aproximativ egal cu dublul decrementului logaritmic

2 . (2.52, a)

2.4 Vibraii forate amortizate

n timpul vibraiilor forate amortizate, rspunsul este defazat n urma excitaiei datorit disiprii de energie prin amortizare. Rspunsul are amplitudine finit la rezonana de faz i este defazat 090 n urma excitaiei. Amplitudinea micrii la rezonan este dependent de amortizare iar limea curbei de rezonan este direct proporional cu amortizarea din sistem. n cazul vibraiilor armonice, diagrama deplasare-for este o bucl de histerezis nchis, care pentru sisteme cu amortizare vscoas este o elips a crei suprafa este o msur a energiei disipate prin amortizare.


2.4.1 Vibraii staionare cu amortizare vscoas

Se consider sistemul mas-arc-amortizor fixat la baz, solicitat de o for armonic tF cos0 aplicat masei (fig. 2.26, a).

Fig. 2.26

Pe baza diagramei forelor din fig. 2.26, b ecuaia diferenial a micrii se poate scrie sub forma

tFkxcm cos0=++ xx &&& . (2.53) Soluia complet a ecuaiei (2.53) const din suma soluiei (2.46) a ecuaiei

omogene (2.38) i o soluie particular care are forma funciei excitaiei din membrul drept.

Datorit amortizrii, soluia omogen se anuleaz n scurt timp, rmnnd doar soluia particular care descrie o micare armonic avnd aceeai frecven ca fora excitatoare i un defazaj fa de aceasta

( ) ( ) = tXtx cos . (2.54) Amplitudinea deplasrii X i defazajul dintre deplasare i for se obin

nlocuind soluia (2.54) n ecuaia (2.53).

Deplasnd toi termenii n membrul drept, se obine

( ) ( ) ( ) 0coscossincos 02 =++ tFtXktXctXm . Termenii din ecuaia de mai sus reprezint proiecii ale vectorilor for pe o

ax (orizontal) rotit cu unghiul t fa de vectorul forei excitatoare (fig. 2.27). Vectorul forei 0F este rotit cu un unghi naintea vectorului deplasare

X . Fora elastic Xk are sens opus deplasrii, n timp ce fora de inerie Xm 2

VIBRAII MECANICE 42

este n faz cu deplasarea. Fora de amortizare Xc este rotit cu 090 fa de fora elastic. n timpul vibraiei, vectorii au poziii relative fixe i se rotesc mpreun cu viteza unghiular n sens trigonometric. Diagrama vectorilor rotitori (fazori) din fig. 2.27 este trasat pentru o pulsaie excitatoare inferioar pulsaiei de rezonan.

Fig. 2.27

nsumnd proieciile vectorilor pe direcia deplasrii i pe direcia perpendicular pe aceasta, se obin ecuaiile de echilibru dinamic

cos02 FXmXk = , sin0FXc = . (2.55) O component a forei excitatoare echilibreaz fora de amortizare n timp

ce cealalt component este necesar pentru echilibrarea forei reactive, egal cu diferena ntre fora elastic i fora de inerie.

Rezolvnd pentru X i se obine amplitudinea vibraiilor forate

( ) ( ) ( )[ ] ( ) 2 2 2222 0 21 nnstX

cmk

FX +

=+

= , (2.56)

i tangenta unghiului de faz

( ) 22 12tg

n

n

mkc

== , (2.57)

unde

mkn = i mkc 2 = . Amplitudinea adimensional i unghiul de faz sunt reprezentate grafic n

fig. 2.28 pentru .constF =0 i cteva valori are raportului de amortizare .


Diagramele amplitudine-frecven se numesc curbe de rezonan sau curbe de rspuns n frecven. O astfel de curb ncepe din punctul de ordonat stX , atinge valoarea maxim la pulsaia de rezonan, descrete trecnd prin valorile corespunztoare pulsaiei proprii amortizate (2.47) i pulsaiei proprii neamortizate (2.4), tinznd asimptotic spre zero odat cu creterea pulsaiei.

Fig. 2.28

Unghiul de faz dintre fora excitatoare i deplasare variaz de la zero, la pulsaie nul, devine 090 la pulsaia proprie neamortizat, apoi tinde asimptotic la

0180 pe msura creterii pulsaiei. La amortizri reduse, se observ o variaie rapid a defazajului la trecerea prin pulsaia proprie.

n cazul amortizrii subcritice, curba rspunsului n frecven (fig. 2.28, a) are un vrf de rezonan, care se spune c apare la frecvena (pulsaia) de rezonan. Pentru valori 7070 ,> , vrful de rezonan este complet aplatisat. Sistemele amortizate supracritic nu au rezonane.

Este important de notat c rezonana amplitudinii este definit la pulsaia 221= nr la care apare valoarea maxim 212

= stmax XX a

rspunsului staionar.

VIBRAII MECANICE 44

Prin definiie, rezonana fazei apare la pulsaia proprie neamortizat

n = (cnd defazajul este 090 ) la care amplitudinea deplasrii este 2st

rezXX = .

Pentru valori mici ale amortizrii cele dou rezonane coincid.

Fig. 2.29

Diagrama vectorial a forelor la rezonana de faz este prezentat n fig. 2.29. Fora elastic echilibreaz fora de inerie a masei, iar fora excitatoare compenseaz doar fora de amortizare. ntre mas i arc are loc un schimb continuu de energie cinetic i potenial. Fora exterioar ce trebuie aplicat pentru a menine sistemul n vibraie staionar este cea necesar pentru a suplini energia disipat prin amortizare.

La rezonan, energia reactiv (din arc i mas) este zero iar energia activ (efectiv disipat) este maxim. Din acest motiv la rezonan este necesar o for minim pentru a menine o anumit amplitudine a deplasrii. Pe o diagram a rigiditii dinamice (fora necesar pentru a produce o deplasare egal cu unitatea n punctul de aplicaie) n funcie de pulsaia excitatoare, rezonana este marcat de un minim (ca n fig. 2.14).

2.4.2 Diagrama deplasare-for

Se consider (pentru simplificarea prezentrii) deplasarea armonic n regim staionar de forma

( ) tXtx cos= , (2.58) defazat cu un unghi fa de fora excitatoare aplicat masei

( ) ( ) += tFtf cos0 . (2.59)


Relaiile (2.58) i (2.59) sunt ecuaiile parametrice ale unei elipse. Eliminnd timpul ntre cele dou expresii rezult

20

20

2

2

2sincos2 =+

Ff

Xx

Ff

Xx . (2.60)

Diagrama deplasare-for este o bucl de histerezis de form eliptic (fig. 2.30), parcurs n sens trigonometric.

Fig. 2.30

Aria suprafeei acestei elipse este o msur a energiei disipate ntr-un ciclu de vibraie. Aceasta este egal cu lucrul mecanic efectuat de fora (2.59) pe deplasarea (2.58)

( ) ( )tttFXttxfxfWd

dsincosd

ddd

2

00

2

0 +=== ,

sin 0 XFWd = . Utiliznd a doua ecuaie (2.55), expresia de mai sus devine

2 XcWd = . (2.61) Pentru a produce lucru mecanic, fora de amortizare tXxcfd sin== &

trebuie s fie defazat cu 090 fa de deplasarea ( ) tXtx cos= . Dac deplasarea i fora sunt msurate cu traductoare de vibraii i

semnalele acestora sunt aplicate pe plcile de deflecie ale unui osciloscop (deplasarea n ordonat i fora n abscis) imaginea obinut pe ecran este o figur Lissajous. La frecvene joase figura este o linie dreapt, a crei pant depinde de raportul amplitudinilor celor dou semnale (fig. 2.31, a). Pe msura creterii pulsaiei, linia dreapt devine o elips (fig. 2.31, b) a crei semiax mare crete cu

VIBRAII MECANICE 46

pulsaia. La pulsaia proprie neamortizat (fig. 2.31, c) semiaxa mare a elipsei este vertical i de amplitudine mare. La creterea n continuare a pulsaiei, semiaxa mare continu s se roteasc dar descrete n amplitudine (fig. 2.31, d). Limea elipsei descrete pn cnd, la pulsaii mult deasupra rezonanei, elipsa degenereaz din nou ntr-o linie dreapt aproape paralel cu axa orizontal (fig. 2.31, e).

Fig. 2.31

La rezonana fazei, n = , 090= , kFX res 20= , semiaxa mare a elipsei este vertical iar energia disipat prin amortizare este

20 resnresd XcXFW == . (2.62)

Energia disipat ntr-un ciclu de vibraie prin amortizare vscoas este proporional cu pulsaia excitatoare (ec. 2.61).

2.4.3 Amortizarea structural

Experiene cu structuri aeronautice i diferite materiale arat c energia disipat ntr-un ciclu de vibraie este independent de pulsaie i proporional cu ptratul amplitudinii deplasrii. Valorile amortizrii n structuri inginereti sunt relativ mici chiar la frecvene de rezonan nalte (de ordinul 050020 ,, = ). De asemenea, dac toat amortizarea ar fi vscoas, atunci clopotele mici, care produc sunete nalte, ar reaciona la lovire cu un sunet nfundat, n locul unui clinchet. De aici rezult c amortizarea vscoas, adoptat iniial datorit simplitii matematice, trebuie nlocuit printr-un model n care energia disipat prin amortizare este independent de frecven. Acest tip de amortizare se numete amortizare structural sau histeretic.


Utilizarea termenului amortizare histeretic este nepotrivit, deoarece toate mecanismele de amortizare conduc la o bucl de histerezis. De aceea n continuare se prefer termenul amortizare structural. Acesta implic o for de sens opus care este n faz cu viteza ns, spre deosebire de amortizarea vscoas, are o amplitudine care nu este proporional cu viteza ci cu deplasarea. Coeficientul de amortizare este invers proporional cu pulsaia, astfel c fora de amortizare este xh & (n loc de xc& ). Ecuaia (2.53) devine

tFkxhm cos0=++ xx &&& , (2.63) unde h este un coeficient de amortizare structural. Includerea pulsaiei n coeficientul vitezei x& implic faptul c soluiile sunt valabile numai la aceast pulsaie. Ecuaia de micare se mai poate scrie utiliznd o rigiditate complex

hkk i+= (fiindc s-a pus condiia de a avea o soluie armonic), sub forma ( ) teFhkm i0i =++ xx&& . (2.64)

Deoarece c este nlocuit prin h , energia disipat pe ciclu este 2 XhWd = , (2.65)

fiind independent de pulsaie.

Expresiile (2.56) i (2.57) devin

( ) ( )[ ] 2222220 1 gX

hmk

FXn

st

+=

+=

, (2.66)

( ) 22 1tg ng

mkh

== , (2.67)

unde khg = este factorul de amortizare structural.

2.4.4 Metoda punctelor de semi-putere

Curba de rezonan a sistemului mas-arc-amortizor poate fi utilizat pentru determinarea raportului de amortizare (fig. 2.32).

La n = amplitudinea la rezonan este 2st

rezXX = . Pentru valori mici

ale amortizrii, vrful M coincide cu punctul care marcheaz rezonana fazei.

VIBRAII MECANICE 48

Punctele B i C, de ordonat ( ) rezX22 se numesc punctele de semi-putere. Aceasta deoarece ptratul amplitudinii este ( ) 221 rezX , deci puterea disipat prin amortizare la pulsaiile acestor puncte 1 i 2 , este jumtate din puterea disipat la rezonan.

Fig. 2.32

nlocuind n expresia (2.56) se obine

( )( ) ( ) 2222

21

12

1 21

nn +=

,

de unde rezult ecuaia

( ) ( ) ( ) ( ) 081212 2224 =+ nn . Soluiile ecuaiei sunt pulsaiile de semi-putere

( ) ( ) 222 21 1221 +=,n , care pentru amortizri mici 1


21

22

21

222

+ (2.68)

sau

nnnn

1212122

21

22

222

+= ,

deci raportul de amortizare este dat de expresia

n

2 , (2.69)

n care 12 = este limea de band a curbei de rezonan. Pe baza formei curbei de rezonan determinate experimental este dificil de

stabilit dac amortizarea este ntr-adevr de tip vscos. Dac se consider un singur grad de libertate i micarea este armonic, atunci este convenabil utilizarea conceptului de amortizare vscoas echivalent. n acest caz, coeficientul de amortizare vscoas are o astfel de valoare nct energia disipat ntr-un ciclu de deplasare armonic cu o anumit amplitudine i frecven, este aceeai ca cea disipat prin mecanismul real de amortizare, n acelai ciclu de deplasare. n relaia (2.43) coeficientul c este atunci coeficientul de amortizare vscoas echivalent.

2.4.5 Metoda masei adiionale

n vecintatea unei rezonane izolate, comportarea unui sistem vibrator oarecare se aseamn rspunsului unui sistem cu un grad de libertate. Masa i rigiditatea sistemului echivalent pot fi determinate experimental prin metoda masei adiionale.

Fig. 2.33

Se traseaz experimental dou curbe de rspuns n frecven, una pentru sistemul real, cealalt pentru sistemul n care s-a adugat o mas adiional

VIBRAII MECANICE 50

cunoscut am (fig. 2.33). Pulsaiile proprii 1n i 2n se determin n punctele cu amplitudine maxim a deplasrii.

Din relaiile corepunztoare (2.4) 21nmk = , (2.70)

( ) 22nammk += , (2.71) se poate obine masa echivalent

( ) 12 221 = nn amm , (2.72)

apoi, din relaia (2.70), rigiditatea echivalent k.

De notat c rspunsul la rezonan al sistemului cu masa ataat este mai mare deoarece pentru sistemul real

km

cF

cF

kFX

nrez

0

1

0

1

021

1===

iar pentru sistemul cu masa ataat

kmm

cF

cF

kFX a

nrez

+=== 02

0

2

021

2 . Dac pulsaia de lucru este n vecintatea valorii 1n , atunci amplitudinea

rspunsului forat al sistemului poate fi micorat adugnd o mas am .

2.4.6 Rezolvarea prin algebra complex

n cazul excitaiei armonice, fora care acioneaz asupra masei sistemului din fig. 2.26 se poate scrie

( ) teFtf i0= , (2.73) astfel nct soluia staionar (2.54) devine

( ) teXtx i= , (2.74) unde

IR XXeXX ii +== (2.75)

este amplitudinea complex a deplasrii.

n relaia (2.75), X este modulul, este unghiul de faz, RX este componenta real (n faz) i IX este componenta imaginar (n cuadratur)


cosXX R = , sinXX I = , (2.76) 22IR XXX += , RI XX=tg . (2.77)

n cazul amortizrii structurale, ecuaia micrii (2.63) devine

teFkxhm i

0=++ xx &&& . (2.78) nlocuind (2.73) i (2.74) n (2.78) se obine

( ) 02 i FXkhm =++ . Amplitudinea complex X are expresia

( ) gX

hmkFX

n

st

i1i 220

+=+= , (2.79)

unde mkn = i khg = , astfel nct ( )

( )[ ] stnn

R Xg

X222

2

1

1

+=

,

( )[ ] stnI XggX

2221 +=

(2.80)

( )[ ] stn XgX 22211

+=

, ( )21tg n

g

= . (2.81)

Eliminnd pulsaia ntre expresiile componentelor RX and IX rezult 2

22

21

21

=+

+ stRstI XgXXgX . (2.82)

Acest cerc este locul geometric al vrfului vectorului deplasrii n planul complex.

2.4.7 Funciile rspunsului n frecven

Dup cum rspunsul este o deplasare, vitez sau acceleraie, exist mai multe funcii de rspuns n frecven (FRF) definite ca rapoarte complexe rspuns/excitaie sau excitaie/rspuns. Urmtoarele definiii sunt aproape general acceptate i chiar standardizate :

deplasare / for = receptan,

vitez / for = mobilitate,

acceleraie / for = acceleran (inertan),

VIBRAII MECANICE 52

for / deplasare = rigiditate dinamic,

for / vitez = impedan mecanic,

for / acceleraie = mas aparent.

Fig. 2.34

Datorit caracterului armonic al mrimilor considerate, aceste funcii conin de fapt aceeai informaie despre sistemul n vibraie, putndu-se stabili relaii simple ntre ele.


n general, se folosesc trei tipuri de diagrame:

a) diagrame Bod ale modulului FRF n funcie de frecven i ale unghiului de faz al FRF n funcie de frecven;

b) diagrame ale prii reale a FRF n funcie de frecven i ale prii imaginare a FRF n funcie de frecven;

c) diagrame Nyquist ale prii imaginare a FRF n funcie de partea real a FRF, cu marcarea frecvenei n lungul curbei.

Pentru un sistem cu amortizare structural, n fig. 2.34 se prezint diagramele receptanei 0FX= pentru o valoare dat a factorului de amortizare. Rezonana apare n punctul M, iar punctele de semi-putere sunt notate B i C.

Diagrama Nyquist (fig. 2.34, e) este un cerc. Ea conine ntr-un singur grafic informaia asupra amplitudinii i unghiului de faz. n vecintatea rezonanei scara frecvenelor este dilatat, astfel nct rspunsul ntre punctele de semi-putere este reprezentat pe un semicerc, indiferent de nivelul amortizrii. Scderea amortizrii duce la creterea diametrului cercului (pentru aceeai scar a amplitudinii) i la expandarea scrii frecvenelor.

Rezonana este indicat de maxime n diagramele (fig. 2.34, a) i I (fig. 2.34, d), i prin puncte de inflexiune (pant maxim sau valoare maxim a derivatei n raport cu 2 ) n diagramele (fig. 2.34, b) i R (fig. 2.34, c). Vrful n diagrama I este mai ascuit dect n diagrama . La rezonan,

090= i 0=R . n diagrama Nyquist (fig. 2.34, e), rezonana apare la intersecia cercului cu axa imaginar, n punctul unde viteza de variaie a lungimii arcului de cerc n raport cu frecvena este maxim. Aceasta se bazeaz pe observaia c derivata

( ) ( ) ( ) 222222222 11

d

d1

d

d

kgkh

s

nnn

=

+== (2.83)

are o valoare maxim la rezonan. Dac sistemul este excitat cu o for armonic iar receptana este reprezentat grafic prin puncte, corespunztoare unor creteri egale ale pulsaiei , atunci lungimea arcului s ntre dou puncte succesive este maxim la rezonan. Aceast proprietate formeaz baza teoretic a metodei dezvoltate de Kennedy i Pancu (1945) pentru localizarea rezonanei.

Factorul de amortizare structural se poate calcula cu relaia (Broadbent i Hartley, 1958)

21

22

21

22

+=g (2.84)

VIBRAII MECANICE 54

unde 1 i 2 sunt pulsaiile punctelor de extrem din diagrama ( ) R sau ale capetelor diametrului BC, trasat perpendicular pe OM, n diagrama Nyquist.

Rigiditatea se poate calcula pe baza valorii receptanei rez la rezonan

rezrez XF

ggk 0111 == . (2.85)

Deoarece n planul complex viteza este defazat 090 naintea deplasrii i acceleraia este defazat 090 naintea vitezei, diagramele Nyquist ale mobilitii i acceleranei sunt rotite 090 i respectiv 0180 n sens trigonometric fa de diagrama polar a receptanei.

Diagrama Nyquist a mobilitii IR MMFXM ii 0 +== , care nu este un cerc, este prezentat n fig. 2.35, a, fiind descris de urmtoarea ecuaie

( ) 02 2222 =++ mkg MMmkgMMM IRRIR .

a b

Fig. 2.35

Diagrama Nyquist a acceleranei IRFX i02 +== este prezentat n fig. 2.35, b, fiind un cerc de ecuaie

22222

41

21

21

mgg

mgm IR+=

+

.

n ambele figuri s-au marcat punctele de semi-putere B i C, i punctul de amplitudine maxim a rspunsului R.


2.4.8 Diagrama polar a receptanei pentru amortizare vscoas

Receptana este exprimat prin raportul ntre amplitudinea complex a deplasrii X i amplitudinea forei armonice 0F . Utiliznd, n locul lui , notaia general pentru o funcie de rspuns n frecven ( )iH , n cazul amortizrii vscoase se obine

( )nn

mcmkF

XH 2i1

i1i 222

0 +=+== . (2.86)

La sisteme cu amortizare vscoas, diagrama Nyquist a receptanei nu ma

Documents

05 M Rades - Vibratii mecanice 1.pdf