43. Vektor momenta sile za tačku

FABM F

A

Vektor momenta sile, koja

dejstvuje na neku tačku tela, za

proizvoljno izabranu tačku

predstavlja meru obrtnog

dejstva sile u odnosu na tu

proizvoljno izabranu tačku.

Intenzitet vektora momenta sile za tačku iznosi hFABFM F

A sin

Rastojanje h, koje leži u ravni

koju obrazuju napadna linija

sile i momentna tačka,

predstavlja najkraće rastojanje

između napadne linije sile i

momentne tačke, i naziva se

krakom sile za tačku A.

Ovde je tačka A momentna tačka a tačka B napadna tačka sile

F

44. Prostorni sistem spregova, vektor

rezultujućeg sprega i uslovi ravnoteže.

Sistem spregova može biti zamenjen

jednostavnijim ekvivalentnim

dejstvom koje čini rezultujući spreg.

iRR MMMMM

...21

Proizvoljni sistem spregova i

rezultujući spreg

kji iziyixi

MMMM

kji RzRyRxR

MMMM

ixRx MM

-vektor rezultujućeg sprega

iyRy MM

izRz MM

Telo na koje dejstvuje proizvoljan sistem spregova biće u ravnoteži ako je

vektor rezultujućeg sprega jednak nula vektoru, tj. ako su njegove projekcije

na sve tri koordinatne ose jednake nuli. To znači da analitički uslovi ravnoteže

proizvoljnog sistema spregova glase:

-vektor i-tog sprega

,0 ixM ,0 iyM 0izM

Primer 5.3 Odrediti vektor rezultujućeg sprega koji zamenjuje sledeći sistem

zadatih spregova: kji

3121 M kji

1322 M

kji

2233 M kj

224 M,

, ,

30322 ixRx MM

02213 izRz MM

22231 iyRy MM

jiR

23 M

1323 22

222

RzRyRxR MMMM

Primer 5.4

Za zadat sistem

spregova odrediti

rezultujući spreg.Podaci su: M1=1

kNm, M2=2 kNm,

M3=2 kNm,

M4=1 kNm,

M5=2 kNm,

=450, =600.

kNm2cos22 MM x

kNm2sin22 MM z

kNm1cos33 MM x

kNm3sin33 MM z,0,0

,0kNm,2

,0kNm,1

,0kNm,1

32

5555

4444

1111

yy

zxy

zyx

yxz

MM

MMMM

MMMM

MMMM

201120 ixRx MM

220000 iyRy MM

321 izRz MM

kNm,

kNm,

kNm, …

Primer 5.5

Poznate veličine: M, a, b i c.

Odrediti:M1, M2 i M3.

(Primer ravnoteže spregova)

Uvodimo jedinični vektor , normalan na ravan ABCn

n

MM

kabjacibc

ca

ba

kji

ACABN

0

0 222abacbcN

222

abacbc

kabjacibc

N

Nn

222

abacbc

kabjacibcn

M

MM

kji zyx

MMMM

MM

222abacbc

bcx

MM

222abacbc

acy

MM

222abacbc

abz

,

.

03 xix MMM

Uslovi ravnoteže:

02 yiy MMM

...............

01 ziz MMM

45. Izražavanje sprega preko momenta sile za

tačku (vektori).

1

11

F

AMFAB

M

1

11

F

BMFBA

M

2

22

F

CMFCD

M

2

22

F

DMFDC

M

Vektor sprega se može odrediti preko

vektora momenta sile za tačku

Jedini uslov koji moraju da

zadovolje tačke A, B, C i D je

da se nalaze na proizvoljnim

mestima napadnih linija sila:

,1F

,1F

,2F

.2F

46. Moment sile za osu

Moment sile za osu je skalarna

veličina koja predstavlja meru

obrtnog dejstva sile za tu osu.

Može se dobiti projektovanjem

na osu vektora momenta sile

za proizvoljnu tačku na toj osi.

Ovde, moment sile za x osu određuje

ma koji od narednih skalarnih proizvoda:

F

... iMiMiMM F

C

F

B

F

A

F

x

Sile koje su paralelne sa osom i sile čije napadne linije presecaju osu nemaju

obrtno dejstvo oko te ose, tj. momenti takvih sila za osu jednaki su nuli

)1

)2

0 iFDBiMM F

D

F

x

0 iPCAiMM P

C

P

x

00 iiFCBiMM F

C

F

x

00 iiPDAiMM P

D

P

x

Slučaj kada sila leži u ravni upravnoj na osuP

P

AF

F

A hPMhFM

,

P

P

A

P

x

F

F

A

F

x

hPiMM

hFiMM

Praktično se mement sile za osu,

kada sila leži u ravni upravnoj na

osu, određuje prikazom te ravni

u pravoj veličini tako što se

posmatra sa strane u koju je

usmerena osa

U takvom pogledu osa se vidi kao tačka a sila, njena napadna linija i najkraće

rastojanje između napadne linije sile i ose vide se u pravoj veličini. Predznak

momenta za osu je “+” ako, tako gledano, sila teži da obrne oko ose u

pozitivnom matematičkom smeru (suprotno od smera kazaljke na satu), dok je

predznak “-” ako sila teži da obrne oko ose u smeru kazaljke na satu. Sama

vrednost koja sledi iza predznaka jednaka je proizvodu intenziteta sile i kraka

sile. Krak sile predstavlja najkraće rastojanje između napadne linije sile i ose.

Slučaj kada sila zauzima proizvoljan položaj u odnosu na osu

xF

x

F

x

F

x MMM

hFMMF

x

F

x

Moment proizvoljne sile

određene svojim projekcijama X, Y

i Z i koordinatama x, y i z njene

napadne tačke:

F

ZYX

zyx

kji

FrM F

O

izYyZ

kyXxYjxZzX

zYyZM F

x

xZzXM F

y

yXxYM F

z

47. Moment sprega za osu (prostorni problemi).

Pod pojmom “moment sprega za neku osu” podrazumevaće se mera obrtnog

dejstva sprega u odnosu na tu osu.

Moment sprega za neku osu jednak je projekciji vektora tog sprega na tu osu.

Dakle, za spreg čiji je vektor kji zyx

MMMM veličine

istovremeno predstavljaju, kako njegove projekcije na koordinatne ose, tako i

momente tog sprega za iste ose.

zyx MMM i,

Primer 5.9

.45,2

,2,1

0

3

21

kNm

kNmkNm

M

MMPodaci su:

Odrediti momente spregova

za koordinatne ose?

kNm2sin33 MM y

.................

kNm2cos33 MM z

48. Redukcija proizvoljnog prostornog sistema sila i spregova na tačku

koordinatnog početka. Glavni vektor i glavni moment.

Glavni vektor

Glavni moment

kZjYiXF gggg

kji zgygxgg

MMMM

cosgggg FF MM

gg

gg

F

F

M

M

cos

gzggyggxggg ZYXF MMMM

U opštem slučaju, svaki

proizvoljni prostorni sistem sila

i spregova (slika 1) može da se

svede na torzer (slika 2)

sačinjen od dva vektora. Jedan

od ta dva vektora je sila

(glavni vektor), a drugi je spreg

(glavni moment)

gF

gM

To se postiže redukcijom svake od

sila na tačku koordinatnog početka

O. (slike 3 i 4)

Ugao između ta dva vektora

određuje kosinusna teorema.

49. Projekcije glavnog vektora i glavnog momenta proizvoljnog

prostornog sistema sila i spregova na koordinatne ose.

iF

Oiii MFrF

)(M

ig FF

jig F MMM

)(

Og M

M

igigig ZZYYXX ,,

xixj

F

xxg MM i MM

yiyj

F

yyg MM i MM

zizj

F

zzg MM i MM

Projekcije glavnog vektora se dobijaju

projektovanjem vektorske jednakosti

na koordinatne ose

Glavni moment čine spregovi koji su

rezultat redukcije sila i zadati

spregovi

)( iF

M

jM

Projekcije glavnog momenta

su:

Primer 10.1

Za zadat proizvoljan prostorni

sistem sila i spregova (Sl.1) sile

su definisane vektorima:

,2211 kjiF

,1422 kjiF

,2113 kjiF

kjr

111

jir

212

kjr

133

Projekcije sila su u kilonjutnima ([kN]) a koordinate napadnih tačaka sila u

metrima ([m]).Vektori spregova koji pripadaju zadatom sistemu su:

,22221 ki

M kji

7192 M

Projekcije spregova u kilonjutnmetrima ([kNm]).

Odrediti: glavni vektor, glavni moment tačku za koordinatnog početka O i ugao

između glavnog vektora i glavnog momenta?

kN2121 ig XX

kN1142 ig YY

kN1212 ig ZZ

kjiFg

112

kN2112222gF

1111 YzZyYzZy xjiiiixg MM

xxYzZyYzZy 2133332222 MM

2340122121 kN2292211

1111 ZxXzZxXz yjiiiiyg MM

yyZxXzZxXz 2133332222 MM

1111202011 01020

1111 XyYxXyYx zjiiiizg MM

zzXyYxXyYx 2133332222 MM

1022411120 kN172213

kig

122 M kNm31022 22

2

gM

mkN311102222

gg F

M

0602

1

23

3cos

gg

gg

F

F

M

M

50. Svođenje proizvoljnog prostornog sistema sila i spregova (odnosno

torzera) na dinamu. Centralna osa. U kojim slučajevima se proizvoljni

prostorni sistem sila i spregova može svesti na rezultantu.

Proizvoljan prostorni sistem sila i spregova u opštem slučaju, kada je

,0

gF ,0

gM ,90,180,0 000

može da bude sveden na dinamu, koju čine dva vektora čiji pravci su isti.

Prava u prostoru na kojoj leži dinama nosi naziv centralna osa. Jedan od

vektora koji čine dinamu je glavni vektor čija napadna linija je centralna

osa. Drugi vektor, koji će biti označavan sa , je spreg čiji naziv je

“moment diname”.

gF

CM

nCg MMM

g

gzggyggxg

g

g

gCF

ZYX

F

F MMMMM

Spreg se zamenjuje spregom sila ( ) koji leži u ravni (Sl.3), upravnoj

na vektor tog sprega.nM

gg FF

,

Sila , koja pripada tom spregu sila, ima za napadnu liniju centralnu osu.

Vektor položaja , ma koje tačke centralne ose, ima oblikgF

r

kzjyixr

gde su x, y i z, osim što su projekcije vektora , i tekuće koordinate

centralne ose.r

Uklanjanjem sila i , koje dejstvuju u tački O i premeštanjem sprega

na centralnu osu dobija se dinama, prikazana na slici 4.gF

gF

CM

Ovo je projekcija momenta diname na gF

Spreg , izražen preko momenta sile za tačku ima oblik:nM

ggg

gn

ZYX

zyx

kji

Fr

M jZxXziYzZy gggg

kXyYx gg

Vektor momenta diname ima oblik:CM

kji zCyCxCngC

MMMMMM

gde su njegove projekcije određene izrazima

ggxgxC YzZy MM

ggygyC ZxXz MM

ggzgzC XyYx MM

Pošto su vektori diname i kolinearni važi vektorska jednakost CM

gF

gde je p koeficijent proporcionalnosti koji se naziva parametrom diname.

*,gC Fp

M

Projektovanjem ove vektorske jednačine na osu koja je istog pravca i smera

kao glavni vektor , dobija se skalarna jednačina na osnovu

koje se dobija sledeća formula koja određuje parametar diname: gF

gC FpM

2

g

gzggyggxg

g

C

F

ZYX

Fp

MMMM

Znajući parametar diname, jednačine koje određuju centralnu osu (što je

prava u prostoru) dobijaju se projektovanjem vektorske jednačine (*) na

koordinatne ose. Te projekcije, odnosno jednačine centralne ose imaju oblik:

gggxg XpYzZy M

gggyg YpZxXz M

gggzg ZpXyYx M

Svaka od dobijenih jednačina, posmatrana

zasebno, predstavlja jednačinu ravni, koja

sadrži centralnu osu a upravna je na jednu od

koordinatnih ravni.

Prva od tih jednačina predstavlja ravan upravnu na zOy ravan, druga na zOx

a treća na xOy. Presek svih triju ravni je prava u prostoru koja predstavlja

centralnu osu.

S obzirom da su samo dve ravni, koje se seku, dovoljne da odrede pravu u

prostoru, jasno je da centralnu osu mogu da odrede bilo koje dve od ovih

jednačina. U cilju skiciranja centralne ose najpogodnije je da se, u skladu sa

jednačinama, odrede koordinate dveju njenih tačaka (obično se bira da su to

tačke prodora centralne ose kroz dve od tri koordinatne ravni). S obzirom da

dve tačke određuju pravu, skiciranjem tih tačaka, centralna osa je određena.

Primer 10.2 Svesti na dinamu proizvoljan prostorni sistem sila i spregova koji

dejstvuje na prikazanu laku prizmu.

kN211 ig XX

kN211 ig YY

kN112 ig ZZ

kjiFg

122

kN3122 222gF

0211 542 FFFxgM

211 531 FFFygM yF M26kNm1

kNm5.632 32 zzg FF MM

kjg

5.61 M

kNm5.13

5.62

g

gg

CF

F

MM

m2

1

3

5.1

g

C

Fp

M

Jednačine centralne ose su:

22

1210 zy 012 zy

22

1121 xz 022 zx

12

1225.6 yx 03 yx

Odredimo sada sve koordinate tačke

A, u kojoj centralna osa prodire xOy

ravan.

Pošto tačka A pripada xOy ravni

njena z koordinata jednaka je nuli,

dakle, .0Az

012 zy

022 zx

03 yx

Za ,0Az iz

m1 Ay

Za ,0Az iz

m2 AxA(2,1,0)

Pošto tačka B pripada zOy ravni njena x koordinata jednaka je nuli, dakle, .0Bx

Za iz ,0Bx 022 zx

m1 Bz

Za iz ,0Bx

B(0,3,1)m3 By