Upload
shomi89
View
89
Download
3
Tags:
Embed Size (px)
Citation preview
Profesor Zorica Mladenovic
Ekonomski fakultet Beograd, april 2010.
VEKTORSKI AUTOREGRESIONI MODELI VAR MODELI
II SEMESTAR DOKTORSKIH STUDIJA
Ekonomskog fakulteta Univerziteta u Beogradu
Zorica Mladenović
Literatura
•Ključne reference
•Enders (2004), Applied Econometric Time Series, Wiley.
• Hamilton (1994), Time Series Analysis, Princeton University Press.
•Lutkepohl (2005), New Introduction to Multiple Time Series
Analysis , Springer.
•Juselius (2006), The Cointegrated VAR Model, Oxford University Press.
•Pomoćna referenca
•Mladenović i Nojković (2008), Analiza vremenskih serija:
primeri iz srpske privrede, EF, Beograd.
Profesor Zorica Mladenovic
Ekonomski fakultet Beograd, april 2010.
Neophodni termini analizeNeophodni termini analize
•Vremenska serija
•Stacionarnost
•Beli šum
•Autoregresioni modeli (AR) i
modeli pokretnih proseka (MA)
•Linearni proces
•Operator docnje L
•Vektorska vremenska serija
UvodUvod
•Cilj ekonometrijske analize:
•ocena strukturnih odnosa u ekonomiji
•Strukturni odnosi se uobičajeno modeliraju prema:
• Sistemu simultanih jednačina
• VAR modelu
•Postoje dva tipa VAR modela:
•Standardni (klasični) VAR model
•Strukturni VAR model
•Podela odgovara distinkciji na redukovanu i strukturnu formu sistema simultanih jednačina.
Profesor Zorica Mladenovic
Ekonomski fakultet Beograd, april 2010.
Polazna forma VAR modelaPolazna forma VAR modela
(standardni model)(standardni model)
( ) ×=
=
×−
×−
×−
ostalo
matrica onakovarijaci
nn parametara matrice
modela greska slucajna1,n šum, beli vektorski
1,n serija, vremenska vektorska
,0
,nn,ts,'aaE
,...,,
a
Y
st
p21
t
t
Ω
ΦΦΦ
Ovo je VAR model reda p, a dimenzije n.
tptp2t21t1t aY...YYY ++++= −−− ΦΦΦ
Polazna forma VAR modelaPolazna forma VAR modela
(standardni model)(standardni model): svojstva: svojstva
•Dinamički odnosi su u potpunosti zastupljeni (promenljiva je funkcija sopstvenih i pomaknutih vrednosti ostalih promenljivih u sistemu).
•Ne postoji apriorna podela na endogene i egzogene promenljive.
•Ne postavljaju se ograničenja na parametre modela (izuzev ograničenja o njihovoj linearnosti).
Profesor Zorica Mladenovic
Ekonomski fakultet Beograd, april 2010.
Polazna forma VAR modelaPolazna forma VAR modela: : osnovno ograniosnovno ograničenječenje
•Opterećenost modela parametrima
•Često je neophodno uvesti određene pretpostavke o parametrima modela:
p21 ΦΦΦΩ ,...,,,
PPooččeetaktak
Sims(1980) “Macroeconomics and Reality” Econometrica, 48
Uopštenje jednodimenzione analize na vektorsku vremensku seriju
...
dohodak V stopa, kamatna novca, ponuda
2211
t
tptpttt
t
t
t
t
tt
aYYYcY
V
X
Z
Y
XZ
+Φ++Φ+Φ+=
=
===
−−−
≠
=Ω==
τ
ττ
t
taaEaE tt
0)'(0)(
iΦ su matrice)1(
333231
232221
131211
1
=Φ
φφφ
φφφ
φφφ
Jedna od jednačina sistema
tpt
p
pt
p
pt
p
tttt
aVXZ
VXZcZ
1
)(
13
)(
12
)(
11
113)1(
112)1(
111)1(
1 ...
+++
+++++=
−−−
−−−
φφφ
φφφ
Svaka jednačina ima isti broj parametara
Profesor Zorica Mladenovic
Ekonomski fakultet Beograd, april 2010.
Strukturni Strukturni VAR(1)VAR(1)
t 10 12 t 11 t 1 12 t 1 yt
t 20 21 t 21 t 1 22 t 1 xt
y b b x y x
x b b y y x
− −
− −
= − + γ + γ + ε
= − + γ + γ + ε
• Slučajne greške modela (strukturni šokovi) εyt i εxt su procesi beli šum sa standardnim devijacijama redom σy and σx i korelacijom 0.
• Promenljive y i x su endogene.
• Šok εyt utiče na y direktno a na x indirektno.• Model ima 10 parametara za ocenjivanje.
Neka je dat strukturni VAR dimenzije 2: Yt=(yt, xt)’, reda 1:
Od strukturnog do standardnog Od strukturnog do standardnog VARVAR modelamodela
• Strukturni VAR model nije u redukovanoj formi.• Podsećanje: u redukovanoj formi y i x su funkcije isključivo od
prethodnih vrednosti y i x.• Da bi se iz strukturne dobila redukovana forma VAR model
zapisujemo u matričnom obliku:
10 112 11 12
20 121 21 22
0 1 1
1
1
t t yt
t t xt
t t t
y b yb
x b xb
BY Y
εγ γ
εγ γ
ε
−
−
−
= + +
= Γ + Γ +
Profesor Zorica Mladenovic
Ekonomski fakultet Beograd, april 2010.
Od strukturnog do standardnog Od strukturnog do standardnog VARVAR modela IImodela II
• Množenje sa B-1 omogućava dobijanje standardnog VAR(1)modela:
• Došli smo do redukovane forme koja je spremna za ocenjivanje.
0 1 1
1 1 1
0 1 1
0 1 1
t t t
t t t
t t t
BY Y
Y B B Y B
Y Y a
ε
ε
−
− − −
−
−
= Γ + Γ +
= Γ + Γ +
= Φ + Φ +
Teme:Teme:
1. Uslov stabilnosti VAR modela
2. Ocene parametara modela
3. Određivanje reda VAR modela
4. Uzročnost
5. Funkcija impulsnog odziva
6. Dekompozicija varijanse greške predviđanja
7. Strukturni VAR model
Profesor Zorica Mladenovic
Ekonomski fakultet Beograd, april 2010.
TemTemaa::
1. Uslov stabilnosti VAR modela
2. Ocene parametara modela
3. Određivanje reda VAR modela
4. Uzročnost
5. Funkcija impulsnog odziva
6. Dekompozicija varijanse greške predviđanja
7. Strukturni VAR model
Uslov stabilnostiUslov stabilnosti sistemasistema
Uslov stacionarnosti Uslov stacionarnosti YYtt
≠
==−−−−
+=
+=−−−−
+=−−−− −−−
ji0
ji1]L....LL
ij
L)L(
acY)L(
acY)L...LLI(
acY...YYY
ijp)p(
ij2)2(
ij)1(
ij
tt
ttp
p2
21
tptp2t21t1t
δφφφδ
Φ
Φ
Φ
ΦΦΦ
ΦΦΦ
ij[
je (L) odElement
docnjeoperatoru po polinom matricninxn je
VAR(p) za je stabilan ako su svih pxn korena (rešenja) donje jednačine strogo veći od jedan po modulu:
tY
c)...I(
.0x...xxI
1p21n
pp
221n
−−−−−=
=−−−−
ΦΦΦµ
ΦΦΦ
Profesor Zorica Mladenovic
Ekonomski fakultet Beograd, april 2010.
Uslov stabilnosti Uslov stabilnosti IIII
( )
( )
( ) ∑−
=−
−
−
−
++++++=
++++=
++++=++==
++==
++=
+=−
1t
0iit
i10
t1
1t1
211nt
2110211n
210112112
1011
t1t1t
t1t1t
aYc...IYt
aaYcI
aaYccaYcY,2t
aYcY,1t
aYcY
acYY
ΦΦΦΦΦ
ΦΦΦ
ΦΦΦ
Φ
Φ
Φ
M
Članovi kompletno su određeni sa tYY ,...,1 .,...,1,0 taaY
Uslov stabilnosti IIUslov stabilnosti IIII
( ) ∑=
−−−+
−
Φ+Φ+Φ++Φ+Φ+=
+=Φ−
+=
j
iit
i
jt
jj
nt
ttt
aYcIY
acYY
jt
011
1
11
2
11
11
...
1 je Neka
Ako su karakteristične vrednosti matrice po modulu strogo manje od 1, tada je niz absolutno sumirajući. To znači da beskonačna suma konvergira ka:
Dodatno, element konvergira ka nuli dovoljno brzo, što znači da se može ignorisati.
1Φ
,...,,iΦi 101 =
∑∝
= 0i
i1Φ
∞→Φ −−+
jY jtj
,11
1
( ) .j,I...I 11n
j1
211n ∞→−→
++++ −ΦΦΦΦ
Profesor Zorica Mladenovic
Ekonomski fakultet Beograd, april 2010.
Uslov stabilnosti IUslov stabilnosti IVV
( )( )
( ) ,...3,2,1t,c...I,aY
ac...IY
acYY
211n
0iit
i1t
0iit
i1
I
211nt
t1t1t
11n
=+++=+=
++++=
+=−
∑∞
=−
∑∞
=−
−
−
−
ΦΦµΦµ
ΦΦΦ
Φ
Φ
444 3444 21
Ako su karakteristične vrednosti matrice po modulu strogo manje od 1, proces iskazan kroz VAR(1) model je precizno definisan kao stohastički.
Zaključak: uslov stabilnosti Karakteristične vrednosti matrice po modulu su strogo manje od 1.
1Φ
1Φ
U tom slučaju postoji odgovarajuća vektorska reprezentacija pokretnih sredina beskonačnog reda
Ovo je fundamentalna reprezentacija za analizu reakcije vremenske serije na uticaj slučajnog šoka.
)(MA ∞
...]LLI[)L(
a)L(...aaaY
221n
t2t21t1tt
21
1
+++=
+=++++= −−
ΨΨΨ
ΨµΨΨµ
ΦΦ
Uslov stabilnostiUslov stabilnosti VV
Profesor Zorica Mladenovic
Ekonomski fakultet Beograd, april 2010.
Uslov stabilnosti VUslov stabilnosti VII
Matrična algebra: svih n karakterističnih vrednosti kvadratne matrice su strogo manje od jedan ako i samo ako je ispunjen uslov:
1Φ
444 3444 21
44 344 21
jedan. od manja strogosu modulu po jednacine, resenja Inverzna
jedan. od vecastrogomodulu posu ,,..., jednacine, Resenja
:znaci To
svako za
,,...,gg
1n
xx
1n
1n
n1
n1
x
1g,0gI
noAlternativ
0xI
1x0xI
==−
=−
≤≠−
Φ
Φ
Φ
Zapisujemo model u formi odstupanja od srednje vrednosti
tptp2t21t1t a)Y(...)Y()Y(Y +µ−Φ++µ−Φ+µ−Φ=µ− −−−
Grupišemo članove kao:
( )npnp
'tt1tt
1np
t
t
npnpn
n
n
p1p21
1np1pt
1t
t
t
0......0
0......0
0...0
H,,0
t,HuuE,uF
0
0
a
u
0I...00
00...I0
00...0I
...
F
Y
Y
Y
×
−
××
−
×+−
−
= =
=+=
=
=
−
−
−
=
Ωτ
ηη
ΦΦΦΦ
µ
µ
µ
η
τ ostalo
MMMMM
M
STABILAN PROCES:SVE KARAKTERISTIČNE VREDNOSTI MATRICE F SU MANJE OD JEDAN PO MODULU
Uslov stabilnosti Uslov stabilnosti
VAR(pVAR(p)) VAR(1)VAR(1)
Profesor Zorica Mladenovic
Ekonomski fakultet Beograd, april 2010.
Uslov stabilnosti: primer 1Uslov stabilnosti: primer 1
( )( ) stabilan. je proces dati 1 od vecastrogomodulu po resenja svasu Kako
4858.15,1525.2,2003.04.010.5x-1
:nulom sa amoizjednacav tedeterminanVrednost
3.012.00
3.01.011.0
005.01
3.02.00
3.01.01.0
005.0
100
010
001
odtu determinan racunamo :istabilnost uslov oProveravam
3.02.00
3.01.01.0
005.0
:1 reda a 3, dimenzije VARdat je Neka
3212
1
−===⇒=−−
−−
−−−
−
=
−
+
+= −
xxxxx
xx
xxx
x
x
aYY ttt µ
Primer 1: grafički prikaz
-4
-2
0
2
4
50 100 150 200 250 300
X
-4
-2
0
2
4
50 100 150 200 250 300
Y
-4
-2
0
2
4
50 100 150 200 250 300
Z
Profesor Zorica Mladenovic
Ekonomski fakultet Beograd, april 2010.
Uslov stabilnosti: primer 2Uslov stabilnosti: primer 2
( )
stabilan. je model :jedan od vecastrogomodulu posu resenja triSva
i od Moduo i
:nulom sa amoizjednacav tedeterminanVrednost
odtu determinan racunamo :istabilnost uslov oProveravam
:2 reda a 2, dimenzije VARdat je Neka
.545.526.455.3:xx,1
i26.455.3x,i26.455.3x,3.1x0x025.0x21.0x1
x025.0
00x
5.04.0
1.05.0
10
01
aY025.0
00Y
5.04.0
1.05.0Y
2232
32132
2
t2t1tt
=+−=
−=+==⇒=−+−
−
−
+
+
+= −−µ
Primer 2: grafički prikaz
-2
0
2
4
6
8
10
50 100 150 200 250 300
X
-4
-2
0
2
4
6
50 100 150 200 250 300
Y
Profesor Zorica Mladenovic
Ekonomski fakultet Beograd, april 2010.
Primer 3: nestabilan VARoba rešenja: jedan
-200
0
200
400
600
800
50 100 150 200 250 300
X
-4
0
4
8
12
16
20
24
50 100 150 200 250 300
Y
( ) .1xx0x10x11.0
01
10
01det
aY11.0
01Y
212
t1tt
==⇒=−⇒=
−
+
+= −
:nulom sa amoizjednacavtu Determinan
µ
TemTemaa::
1. Uslov stabilnosti VAR modela
2. Ocene parametara modela
3. Određivanje reda VAR modela
4. Uzročnost
5. Funkcija impulsnog odziva
6. Dekompozicija varijanse greške predviđanja
7. Strukturni VAR model
Profesor Zorica Mladenovic
Ekonomski fakultet Beograd, april 2010.
Ocena parametara Ocena parametara VARVAR modelamodela
Metod obiMetod običčnih najmanjih kvadrata nih najmanjih kvadrata
Metod maksimalne verodostojnostiMetod maksimalne verodostojnosti
( )
[ ]
[ ]
[ ] [ ] [ ]
1T
1t
'tXtX
T
1t
'tXtYˆ
ta
1)1nptX
1ntY
1)1np'ptY...1tY1tX
tYnTY,...,1Y,0Y,...,1-pYpT
?nn,
)1npn,p21c
,Ω0:Nt,ataptYpΦ...2tY2Φ1tY1ΦctY
)1npn
−
∑=
∑=
=
+
×+
=
×
×+−−=
++
×
+×=
+−++−+−+=
+×
'A :ocenaONK
(
A'
:formi nojkondenzovau VAR
( vektor :je Neka
clanova od svaki za : vrednosti Poznato
matrica onaKovarijaci
( ... A' :nagiba parametara Matrica
,ONK kvadrata,najmanjih obicnih metoda Primena
(
Ω
ΦΦΦ
( )
( )[ ] [ ]
( ) ( )
( ) ( )
∑=
−−
∑=
−−
+−−∑=
−−
−−−+−−
+−−=
+−−−
−+−=
−−−+−=
=
+=
==
++++
=
T
1tt
1t
1
T
1ttt
1tt
1
1p1tt
T
1t
ttt
'pt1ttp21
ptp2t21t11p1tt
1p1tt
T
1t
,,...,,c
1p1,011T,T
a'a2
1log
2
T)2log(
2
Tn
XY'XY2
1log
2
T)2log(
2
Tn
parametri;Y,...,YYflogparametril
aX'AY
Y...Y1X,c'A
,Y...YYcN:Y,...,YY
parametri;Y,...,YYf
parametri;Y,...,YYY,...,YYf
p1
ΩΩπ
ΩΩπ
ΦΦΦ
ΩΦΦΦ
Π
ΩΦΦ
A'A'
:jnosti verodostofunkcije Log.
:formi nojkondenzovau VAR
...
:uzorka jnosti verodostoFunkcija
:MMV (uslovni), jnosti verodostomaksimalne Metod
48476
Profesor Zorica Mladenovic
Ekonomski fakultet Beograd, april 2010.
Odnos dva metoda: ocene su identične
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
0'aX)ˆ(tr'aX)'ˆ(tr
X)'ˆ('atrX)'ˆ('a
:Napomena
X)'ˆ('a2X)'ˆ()ˆ('Xa'a
X)'ˆ(a'X)'ˆ(a
XX'ˆX'ˆY'XX'ˆX'ˆY
XY'XY
XXXYˆ
ttt
1t
tt
1
tt
1t
tt
1t
t t tt
1tt
1tt
1t
T
1ttt
1tt
T
1ttttt
1tttt
T
1ttt
1tt
1T
1t
'tt
T
1t
'tt
=
−=
−=
=
−=−
−
−+−−+=
=−+−+=
=−+−−+−=
−−
=
∑−
∑−
∑−
∑−
∑ ∑ ∑−−−
∑=
−
∑=
−
∑=
−
−
∑=
∑=
AAAA
AAAA
nulijednak iskalar jeelement poslednji
AAAAAA
AAAA
A'AAA'AA
A'A'
: vrednostminimizira koja Ocena :MMV
A :ONK
ΩΩ
ΩΩ
ΩΩΩ
Ω
Ω
Ω
( ) ( )
A.A zarednost najmanju v ima izraz Gornji
definitna. pozitivno takodjeje matrica definitna pozitivno je Kako
AAAA
AA
1-
=
→
−−+
=
−−
∑ ∑−−
∑=
−
ˆ
X)'ˆ()ˆ('Xa'amin
X'Y'X'Ymin
t tt
1tt
1t
T
1ttt
1tt
ΩΩ
ΩΩ
Ω
Ocena kovarijacione matrice Ω izvedena za dato A
∑=
∑=
−
∑=
−−
=⇒=−⇒=∂
∂
−+−=
T
1t
T
1ttttt1
T
1tt
1t
1
'aaT
1ˆ0'aa2
1'ˆ
2
T0
)ˆ,(
a'a2
1log
2
T)2log(
2
Tn)ˆ,(
ΩΩΩ
Ω
ΩΩπΩ
A
izraz. gornji amaksimizir
kojamatricu definitnu pozitivno simetricnu naci :Cilj
A
l
l
Profesor Zorica Mladenovic
Ekonomski fakultet Beograd, april 2010.
Ocena kovarijacione matrice
T
.ji,n,...,1j,i,aaT
1ˆ
ˆ
Ti
.n,...,1i,aT
1ˆ
ˆ
ˆ
ˆ...ˆ
ˆ...ˆˆ
'aaT
1ˆ
T
1tjtitij
T
1t
2itii
T
1t
nn
n222
n11211
tt
uzorka obimompodeljen jednacine dve svake iz reziduala proizvodaZbir
:dijagonale glavne van matrice onekovarijaci Elementi
uzorka obimom podeljena jednacine iz kvadrata suma Rezidualna
:dijagonali glavnoj na matrice onekovarijaci Elementi
2
2
2
2
≠==
==
==
∑=
∑=
∑=
σ
Ω
σ
Ω
σ
σσ
σσσ
ΩMO
TemTemaa::
1. Uslov stabilnosti VAR modela
2. Ocene parametara modela
3. Određivanje reda VAR modela
4. Uzročnost
5. Funkcija impulsnog odziva
6. Dekompozicija varijanse greške predviđanja
7. Strukturni VAR model
Profesor Zorica Mladenovic
Ekonomski fakultet Beograd, april 2010.
OdreOdređđivanje reda VAR modelaivanje reda VAR modela
1. Testiranje značajnosti parametara
• Test količnika verodostojnosti• Direktna provera značajnosti pojedinih parametara
2. Informacioni kriterijumi
TestTest kolikoliččnika verodostojnosti nika verodostojnosti
Maksimum funkcije verodostojnosti za dobijene ocene
[ ] [ ]
2
Tnˆlog2
T)2log(
2
Tn)ˆ,ˆ(
2
TnTItr
2
1ˆTˆtr2
1
'aaˆtr2
1aˆ'atr
2
1aˆ'a
2
1
aˆ'a2
1ˆlog2
T)2log(
2
Tn)ˆ,ˆ(
1
n1
T
1ttt
1T
1tt
1t
T
1tt
1t
T
1tt
1t
1
−+−=
===
=
=
=
−+−=
−
−
∑=
−∑=
−∑=
−
∑=
−−
ΩπΩ
ΩΩ
ΩΩΩ
ΩΩπΩ
A
A
l
l
1pp;pp
)p(VAR:H
)p(VAR:H
0101
11
00
+= od veceje
Postavljamo sledeće hipoteze
Profesor Zorica Mladenovic
Ekonomski fakultet Beograd, april 2010.
2
Tnˆlog2
T)2log(
2
Tnl,ˆ,ˆ
p:H
2
Tnˆlog2
T)2log(
2
Tnl,ˆ,ˆ
p:H
11
*11
11
10
*o0
o0
−+−=
−+−=
−
−
ΩπΩ
ΩπΩ
A
: reda VAR se ocenjuje hipoteza istinita je Ako
A
: reda VAR se ocenjuje hipoteza istinita je Ako
1
0
)pp(nbrojm:LR
ˆlogˆlogTˆlogˆlogT
)(2H
Hlog2LR
0122
m
101
01
1
*01
*
1
0
−=≡
−=−=
−=−=
−−
aogranicenj
) verod.(f.
) verod.(f.
:jnosti verodostokolicnikaTest
χ
ΩΩΩΩ
ll
modelu. VAR celomu ukupno
jednacini svakoju ukupno
upromenljivsvaku na aogranicenj :jednacini svakoj U
)pp(n
)pp(n
pp
012
01
01
−
−
−
TestTest kolikoliččnika verodostojnosti II nika verodostojnosti II
( ) ( )
hipoteza. nulta odbacuje
put prvi po se kojoju fazom zavrsava se Testiranje 3.
itd. docnje, 3H docnje, 2H
docnje, 4H docnje, 3H :primer Na
unazad lnosekvencija sprovodi se Testiranje 2
vrednostiapriorne od se Polazi 1.
:TESTIRANJA ALGORITAM
jednacini svakoju parametara broj
: Simsa jaModifikaci
:jnosti verodostokolicnikaTest
10
10
::
::
.
p
np1k
ˆlogˆlogkTLR
ˆlogˆlogTLR
ˆlogˆlogTˆlogˆlogT)(2LR
1
1
10
10
101
01
1*
01*
+=
−−=
−−=
−=−=−= −−
ΩΩ
ΩΩ
ΩΩΩΩll
TestTest kolikoliččnika verodostojnosti IIInika verodostojnosti III
Profesor Zorica Mladenovic
Ekonomski fakultet Beograd, april 2010.
Test značajnosti pojedinih parametara
•U slučaju kada je VAR model stabilan, a slučajna komponenta vektorski proces beli šum sa višedimenzionom normalnom raspodelom metodom ONK dobijaju se nepristrasne i konzistentne ocene parametara koje su normalno raspodeljene.
•Moguće je primeniti standardnu teoriju statističkog zaključivanja.
•Možemo koristiti standardnu t i F statistiku.
InformaInformacioni kriterijumi u cioni kriterijumi u VARVAR modelu modelu
• Kao i kod jednodimenzionog AR modela, i kod višedimenzionog VAR modela, funkcija informacionog kriterijuma (IC) se koristi za izbor optimalnog broja docnji.
• Optimalan broj docnji jeste ona vrednost p kojom se minimizira funkcija IC(p)
• Akaikeov, Švarcov i Hana-Kvinov
•Primena ima smisla jedino ako su reziduali VAR modela neautokorelisani sa aproksimativno normalnom raspodelom.
( )( )
( )( )T
np2
n
ln2ˆlnHQC
T
np2
nˆlnSC
T
np2
n
2ˆlnAIC
+
+=
+
+=
+
+=
Tln
Tln
sistema parametara brojukupan
Ω
Ω
Ω
48476