modeli geometrije

7/18/2019 modeli geometrije

http://slidepdf.com/reader/full/modeli-geometrije 1/26

Modeli geometrije

Sinisa Milicic

[email protected]

24.6.2004.

Molim da se sve uocene greske i primjedbe posalju na mail.

Ovaj dokument je javno dobro, te se smije neograniceno umnazati, mijenjati i koristiti.



2 Modeli geometrije 2

Sadrzaj

1. Euklidska ravnina 31.1. Uvod 31.2. Grupe u euklidskoj ravnini 5

1.2.1. Simetrije 5

1.2.2. Kompozicije dvije simetrije 6

1.2.3. Kompozicije tri simetrije 8

1.3. Gibanja i izometrije 91.4. Izometrije i afina preslikavanja 91.5. Kutevi 11

2. Sferna ravnina 122.1. Definicija 122.2. Metrika u sfernoj ravnini 132.3. Zrcaljenja i gibanja 13

2.4. Analiticka geometrija na sferi 153. Projektivna ravnina 18

3.1. Definicija 183.2. Odnos prema euklidskoj ravnini 183.3. Kolineacije 193.4. Metrika u projektivnoj ravnini 19

4. Hiperbolicka ravnina 224.1. Kvaziskalarni produkt 224.2. Hiperbolicka ravnina 224.3. Izometrije u hiperbolickoj ravnini 234.4. Odnos prema ostalim ravninama 25




1. EUKLIDSKA RAVNINA

1.1. Uvod

Baratmo sa poljem (

, +, ·). Takodjer znamo sto je 2

, vektorski prostor nad

. Definiramo skalarni produktza (x1, x2), (y1, y2) ∈

2:

DEF

1-1

Skalarni produkt

Neka su x = (x1, x2), y = (y1, y2) ∈ 2

. Definiramo skalarni produkt x y : 2

× 2

→

x y = x1y1 + x2y2.

Uz ove uvjete je 2

realni unitarni prostor, pa mozemo sloziti i normu.

DEF

1-2

Norma u 2

U unitarnom prostoru 2

definiramo funkciju ||.|| : 2

→

koju nazivamo norma koja preslikava

||x|| =

x x.

Uz tu normu ( 2

, ||.||) je normirani prostor.

DEF

1-3

Udaljenost tocaka

Za dvije tocke x, y ∈ 2

definiramo udaljenost tocaka d : 2

× 2

→

na sljedeci nacin:

d(x, y) = ||y − x||.

Struktura ( 2

, d) je metricki prostor.

DEF

1-4

Euklidska ravnina

Strukturu 2

, (

, +, ·), +, ·, . . , ||.|| , d

nazivamo euklidska ravnina i obiljezavamo sa E2

.

DEF

1-5

Potprostor geneririran vektorom

Neka je v ∈ 2

. Definirajmo skup S :=

λv : λ ∈

. Tada skup S nazivamo potprostor od 2

ipisemo v.

DEF

1-6

Pravac

Neka je E2, te neka je v ∈ 2

, v = Θ. Tada skup p =

T ∈ E2 : T − P ∈ v

nazivamo pravac

kroz tocku P sa smjerom v.

vP

Pravac je jednodimenzionalna linearna mnogostrukost.

DEF

1-7

Incidencija

Za tocku T ∈ 2

i pravac p kazemo da su incidentni ako je T ∈ P , pisemo

T I p.

DEF

1-8

Incidencijska struktura

Strukturu (T ,P, I) nazivamo incidencijska geometrija, gdje je T skup svih tocaka, P skup svihpravaca, a I relacija incidencije.

Jedan jako dobar primjer: T

je skup ljudi u predavaoni, P

su redovi klupa, T Ip znaci da osoba T sjedi u tomredu klupa.

Jedan prekrasan primjer (najmanja pro jektivna geometrija):




A B

C

G

D

E F

Skup tocaka T = {A,B,C,D,E,F,G}.

Skup P = {{A,D,B} , {A,F,C } , {A,G,E } , {B , E , C } , {B,G,F } , {C,G,D} , {D , E , F }}.

Relacija incidencije je ocita.

Neka su P, Q ∈ E2, P = Q. Postoji jedinstven pravac p, takav da je P Ip i QI p. PROP

I

DEF

1-9Funkciju α : t ∈

→ (1 − t)P + tQ ∈ E2, P , Q ∈ E

2 nazivamo parametrizacija pravca.

d(α(t1), α(t2)) = |t1 − t2||P − Q|. PROP

II

DEF

1-10

Neka je T ∈ P Q. Kazemo da je T izmedju tocaka P i Q ako je T ∈ α> 0, 1.

DEF

1-11Segment P Q je skup α> [0, 1].

Tocka T je imedju tocaka P i Q ako i samo ako je d(P, T ) + d(T, Q) = d(P, Q). PROP

III

DEF

1-12

Poloviste segmenta P Q je tocka S ∈ P Q takva da je d(P, S ) = d(S, Q).

Poloviste postoji i jedinstveno je. PROP

IV

DEF

1-13

Za dva vektora {w, v} kazemo da cine ortogonalni par ako je v w = 0 (u tom sluca ju jos kazemoda su okomiti i pisemo w ⊥ v, odnosno v ⊥ w). Ako su jos i duljine |v| = |w| = 1, tada kazemo dacine ortonormirani par.

Neka je {v, w} ortonormirani par i x ∈ 2

. Tada vrijedi da je x = x v v + x w. PROP

V

Neka je P ∈ E2, te {v, n} ortonormirani par. Tada je pravac P + v =

T ∈ E2 : P − T n = 0

. PROPVI

Neka su a, b, c ∈

. Tada je skup

(x, y) ∈ 2

: ax + by + c = 0

1. pravac, ako je a2 + b2 = 02. ∅ ako je a2 + b2 = 0, c = 03. E2 ako je a2 + b2 = 0 i c = 0.

PROP

VII

DEF

1-14

Za dva pravca p, q kazemo da su okomiti i pisemo p ⊥ q ako su vektori smjera okomiti.

Neka su A, B,C ∈ E3. Pravci AC ⊥ BC ako i samo ako je |AC |2 + |BC |2 = |AB|2.

PROP

VIII
















Osnovni teorem o kolneacijama

Ako su dane dije trojke nekolinearnih tocaka, P,Q, R ∈ E2 i P , Q, R ∈ E2, tada postoji jedinstvenoafino preslikavanje T takvo da je T P = P , T R = R i T Q = Q.

PROP

LXXXI

Ako kolineacija ima tocke O, E 1 i E 2 fiksne, ona je identiteta. PROP

LXXXII

Svaka kolineacija u euklidskoj ravnini je afino preslikavanje. PROP

LXXXIII

1.5. Kutevi

DEF

1-42Zraka ili polupravac s pocetnom tockom P i vektorom v je skup P + αv, α ∈

+.

DEF

1-43

Kut je unija dvije zrake sa istim pocetkom.

DEF1-44

Mjera kuta odredjenog jedinicnim vektorima u i v je broj ←cos (u v).

Neka je α mjera kuta u, v. Tada je ili u = Rαv ili v = Rαu. PROP

LXXXIV






















Rotacija razlicita od centralne simetrije ili identitete ima jedinstvenu fiksnu tocku i jedinstveni fiksnipravac. Ta tocka je pol tog pravca.

PROP

CXCVII

Svako zrcaljenje je centralna simetrija i obrnuto. PROP

CXCVIII

Svaka klizna simetrija je rotacija. PROPCXCIX

Svaka izometrija je rotacija u projektivnoj ravnini. PROP

CC

DEF

3-14

Projektivna ravnina sa metrikom nazivamo eliptickom ravninom.

Definicija segmenta? Mjere kuta? Trokut?












E2c2 = a2 + b2, S2 cos c = cos a cos b, H2

ch c = ch a ch b. PROP

CCXLVII

Documents

modeli geometrije