BỘ GIÁO DỤC VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC

VÀ ĐÀO TẠO VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ

-----------------------------

Lê Thị Nga

LÝ THUYẾT HẤP DẪN TENSOR - VÔ HƯỚNG

VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG VŨ TRỤ HỌC

LUẬN VĂN THẠC SỸ

CHUYÊN NGÀNH VẬT LÝ LÝ THUYẾT VÀ VẬT LÝ TOÁN

Hà Nội - 2020

BỘ GIÁO DỤC VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC

VÀ ĐÀO TẠO VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ

-----------------------------

Lê Thị Nga

LÝ THUYẾT HẤP DẪN TENSOR - VÔ HƯỚNG

VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG VŨ TRỤ HỌC

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán

Mã số: 8440103

LUẬN VĂN THẠC SỸ

CHUYÊN NGÀNH VẬT LÝ LÝ THUYẾT VÀ VẬT LÝ TOÁN

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

Thầy hướng dẫn: TS. Nguyễn Anh Kỳ

Hà Nội – 2020

1

Lời cam đoan

Sau một thời gian nghiên cứu, dưới sự chỉ bảo và hướng dẫn tận tình

của thầy Nguyễn Anh Kỳ, tôi đã hoàn thành luận văn tốt nghiệp đúng thời

hạn. Đề tài luận văn có sự kế thừa những kết quả nghiên cứu trước đó. Tôi xin

cam đoan đây là những kết quả nghiên cứu của mình.

Hà Nội, tháng 4 năm 2020

Học viên Lê Thị Nga

2

Lời cảm ơn

Tôi chân thành cảm ơn thầy Nguyễn Anh Kỳ đã hết lòng ủng hộ, giúp

đỡ và hướng dẫn tôi trong quá trình làm luận văn.

Tôi chân thành cảm ơn Thạc sỹ Phạm Văn Kỳ đã luôn tận tình giúp đỡ,

chỉ bảo cho tôi.

Tôi chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong Viện Vật Lý đã luôn

sẵn sàng giúp đỡ, chỉ dẫn cho tôi trong suốt quá trình học tập tại Học Viện.

Tôi trân trọng cảm ơn Học viện Khoa học và công nghệ đã tạo mọi điều

kiện để tôi hoàn thành khóa học và luận văn này. Cảm ơn gia đình và bạn bè đã

động viên tôi trong quá trình học tập và làm luận văn.

Hà Nội 30/4/2020

Học viên Lê Thị Nga.

1

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 3

GIỚI THIỆU 4

CHƯƠNG 1. LÝ THUYẾT HẤP DẪN EINSTEIN 8

1.1. GIỚI THIỆU LÝ THUYẾT HẤP DẪN EINSTEIN 8

1.2. PHƯƠNG TRÌNH EINSTEIN 9

1.2.1. Tác dụng Hilbert- Einstein và tác dụng toàn phần 9

1.2.2. Phương trình Einstein trong chân không và với sự có mặt của

vật chất 11

CHƯƠNG 2. LÝ THUYẾT HẤP DẪN TENSOR – VÔ HƯỚNG 25

2.1. GIỚI THIỆU LÝ THUYẾT HẤP DẪN TENSOR – VÔ HƯỚNG 25

2.2. PHƯƠNG TRÌNH CỦA LÝ THUYẾT HẤP DẪN TENSOR – VÔ

HƯỚNG 31

2.2.1. Các phương trình của vũ trụ tensor – vô hướng 31

2.2.2. Mô hình hàm thế

22( )

2 2

mV e

43

CHƯƠNG 3. THẢO LUẬN CÁC KẾT QUẢ CỦA LUẬN VĂN 46

3.1. THẢO LUẬN 46

3.2. KẾT LUẬN 49

3.3. KIẾN NGHỊ 54

TÀI LIỆU THAM KHẢO 55

PHỤ LỤC 57

PHỤ LỤC A: LÝ THUYẾT BIẾN PHÂN 57

PHỤ LỤC B: CHỨNG MINH ĐẠI LƯỢNG T

LÀ TENSOR

NĂNG XUNG LƯỢNG CỦA VẬT CHẤT 63

3

MỞ ĐẦU

Lý do chọn đề tài

Lý thuyết tương dối tổng quát (hay còn gọi là lý thuyết tương đối rộng),

của A. Einstein là lý thuyết hấp dẫn cải tiến lý thuyết hấp dẫn của Newton, nên

còn gọi là lý thuyết hấp dẫn Einstein, có thể giải thích và tiên đoán chính xác

nhiều hiện tượng trong Vũ Trụ. Tuy nhiên, lý thuyết này với phương trình

Einstein không thể giải thích được một số vấn đề như sự giãn nở tăng tốc của

Vũ Trụ và một số vấn đề khác nữa. Do đó lý thuyết tương đối tổng quát cần

được mở rộng (cải tiến).

Lý thuyết hấp dẫn tensor - vô hướng là một trong những lý thuyết mở

rộng đơn giản nhất nhằm giải thích sự giãn nở tăng tốc của Vũ Trụ và một số

vấn đề khác của vật lý hiện đại.

Mục đích

Tìm hiểu lý thuyết tương đối tổng quát và lý thuyết hấp dẫn tensor - vô

hướng, trên cơ sở đó nghiên cứu sự giãn nở tăng tốc của Vũ Trụ và sự tiệm cận

của lý thuyết với lý thuyết của Einstein, từ đó đặt ra hướng nghiên cứu mới về

một số hiện tượng khác trong vụ trụ.

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Lý tương đối tổng quát và các lý thuyết hấp dẫn cải tiến, với trọng tâm là

lý thuyết hấp dẫn tensor - vô hướng và một số vấn đề vũ trụ học liên quan.

Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài nghiên cứu.

Đề xuất một phương án của lý thuyết hấp dẫn tensor - vô hướng. Kết quả

có thể cho ta cái nhìn chi tiết hơn về hiện thực thay đổi của Vũ Trụ, giải thích

được nguyên nhân một số hiện tượng xảy ra trong Vũ Trụ và có thể làm tiền đề

cho một số nghiên cứu mới về Vũ Trụ.

4

GIỚI THIỆU

Lý thuyết tương đối tổng quát là lý thuyết hấp dẫn được Albert Einstein

phát triển từ năm 1907 và được công bố cuối năm 1915, đầu năm 1916, thuyết

được xây dựng bằng con đường suy luận lý thuyết và về sau đã được nhiều thí

nghiệm và thực tế kiểm chứng [13, pp.316-367]. Thuyết tương đối tổng quát

miêu tả trường hấp dẫn như là một tính chất hình học của không gian và thời

gian (không thời gian). Trong lý thuyết này, do sự tương tác giữa vật chất và

không thời gian làm cho không-thời gian trở nên cong, không còn là không-thời

gian phẳng Minkowski. Thuyết tương đối tổng quát sử dụng hình học Riemann

để mô tả các hiện tượng vật lý trong không thời gian cong. Độ cong của không-

thời gian có liên hệ chặt chẽ trực tiếp với năng lượng và xung lượng (năng-xung

lượng) của vật chất và bức xạ, liên hệ này được xác định bằng phương trình

Einstein

4

1 8.

2

GR Rg T

c

Trong phương trình trên, vế trái là các tensor độ cong của không-thời gian, vế

phải là tensor năng-xung lượng của vật chất, như vậy có nghĩa là hình học của

không-thời gian được quyết định bởi chính vật chất chứa bên trong nó, vật chất

đã bẻ cong không-thời gian. Các phương trình vật lý có thể được viết dưới dạng

hiệp biến nên dạng của chúng không thay đổi dù không gian là phẳng hay

cong. Trong trường hợp trường hấp dẫn rất yếu, ta có thể coi không-thời gian là

phẳng và các bài toán được giải dựa trên nguyên lý tương đối hẹp. Khi trường

hấp dẫn là đáng kể (chưa đủ lớn tới mức để phải lượng tử hóa) và ảnh hưởng

của nó không thể bỏ quá thì các bài toán phải xét trong không-thời gian cong

(tức dựa trên lý thuyết tương đối tổng quát). Khi không có mặt vật chất, phương

trình Einstein nói trên có vế phải bằng 0 và mô tả trường hấp dẫn trong chân

không hay trường hấp dẫn tự do (ví dụ bên ngoài nguồn hấp dẫn).

Phương trình Einstein nói trên có thể thu được thông qua nguyên lý tác

dụng tối thiểu với mật độ Lagrangian của trường hấp dẫn là gL R . Phương

trình miêu tả khá tốt các quy luật và hiện tượng xảy ra đối với vật chất thông

5

thường. Tuy nhiên, đối với các quy luật của Vũ Trụ liên quan vật chất tối hay

năng lượng tối (tức hiện tượng Vũ Trụ giãn nở tăng tốc) [1, pp.5-8], phương

trình không còn có thể miêu tả đầy đủ và chính xác. Để giải quyết vấn đề năng

lượng tối, có đề xuất đưa vào hằng số Vũ Trụ trong mật độ Lagrangian của

trường hấp dẫn, lúc này Lagrangian có dạng [1, pp.5-8]

2gL R , khi đó

phương trình Einstein trở thành [13, pp.382]

4

1 8.

2

GR Rg g T

c

Tuy nhiên, đề xuất này về sau được làm rõ là không khả thi. Vậy thì, bản chất

năng lượng tối là gì? Trong vật lý thiên văn học và vũ trụ học, năng lượng tối là

một dạng năng lượng chưa biết rõ chiếm phần lớn Vũ Trụ và gây tăng tốc độ

giãn nở của Vũ Trụ. Thành phần Vũ Trụ ngày nay được cho là có khoảng

63,8% là năng lượng tối (dark energy), 26,8% là vật chất tối (dark matter)

và chỉ có khoảng 4,9% là vật chất thông thường

[https://vi.wikipedia.org/wiki/N%C4%83ng_l%C6%B0%E1%BB%A3ng_t%E

1%BB%91i]. Năng lượng tối được cho là một đặc tính ẩn của không-thời gian.

Giãn nở tăng tốc của Vũ Trụ là sự mở rộng với tốc độ ngày càng tăng. Có nhiều

bằng chứng chỉ ra rằng kể từ khi xảy ra Vụ Nổ Lớn (Big Bang), Vũ Trụ đã trải

qua hai giai đoạn tăng tốc [1, pp.5-8]: Giai đoạn tăng tốc đầu tiên là ở kỷ nguyên

lạm phát (inflation) trước khi có sự thống trị của bức xạ (radiation) và giai đoạn

tăng tốc thứ hai là ở kỷ nguyên của vật chất thống trị (chủ yếu là năng lượng

tối). Tuy nhiên, nếu cho rằng năng lượng tối liên quan đến hằng số Vũ Trụ

gắn liền với năng lượng chân không (các cặp hạt ảo sinh và hủy nhau liên tục

trong tíc tắc, tạo ra hấp dẫn) thì hiện nay, người ta ước tính tổng năng lượng tối

(theo các trạng thái lượng tử của chân không) toàn Vũ Trụ được một trị số lớn

hơn trị số quan sát đến 120 bậc [2, pp.177]. Sự sai lệch là quá lớn. Ngoài ra, nếu

cho rằng năng lượng tối là một trường thì trong tương lai xa, Vũ Trụ có thể bị

xé toạc hoặc bị co lại về một điểm. Mặt khác, nếu cho rằng trong Vũ Trụ chỉ có

vật chất thông thường thì sẽ không thể giải thích được hiện tượng giãn nở có gia

tốc của Vũ Trụ, điều đó có nghĩa rằng lý thuyết Einstein không đầy đủ đối với

những vùng rộng lớn của Vũ Trụ, nên cần được cải tiến. Hiện nay có nhiều lý

6

thuyết cải tiến được đề xuất, song chưa một lý thuyết nào thành công mỹ

mãn. Do vậy, chúng ta cần tiếp tục tìm cải tiến mới.

Lý thuyết hấp dẫn tensor - vô hướng [2, pp.231-236] là một trong những

lý thuyết đầu tiên được sửa đổi từ lý thuyết tương đối tổng quát và luôn được

các nhà khoa học nghiên cứu phát triển tích cực cho đến nay. Một trong những

mục tiêu của lý thuyết hấp dẫn tensor - vô hướng là giải thích sự giãn nở tăng

tốc của Vũ Trụ (tức vấn đề năng lượng tối). Một điểm rất đặc biệt và thú vị của

lý thuyết này là hằng số tương tác hấp dẫn Newton G = G(ϕ) thay đổi theo sự

giãn nở của Vũ Trụ (thay đổi theo thời gian) và khi t → ∞ thì G(ϕ) → constant

[5]. Ngày nay, ở giai đoạn muộn của Vũ Trụ, ta có thể coi hằng số tương tác hấp

dẫn Newton là không đổi (thay đổi theo thời gian rất chậm nên có thể bỏ qua)

và có giá trị G = 6. 67×10-11 Nm2kg-2). Đặc điểm này cũng có thể suy rộng ra

cho các hằng số tương tác khác, chẳng hạn như hằng số tương tác Cu-lông giữa

hai điện tích, hay các hằng số tương tác khác trong Mô hình chuẩn (tương tác

mạnh và tương tác điện-yếu).

Lý thuyết hấp dẫn tensor - vô hướng cũng có thể được dùng để miêu tả

khá tốt kỷ nguyên lạm phát (được A. Starobinsky, A. Linde và A. Guth đề xuất

đầu tiên ([16], [17], [18]) bắt đầu khoảng 10-36 giây sau Big Bang và kết thúc

vào thời điểm khoảng 10-32 sau Big Bang. Trong kỷ nguyên lạm phát , tuy giãn

nở Vũ Trụ diễn ra trong thời gian cực ngắn, nhưng với tốc độ giãn nở cực lớn,

kích thước Vũ Trụ tăng lên khoảng 1030 lần so với kích thước ban đầu (hiện tại,

Vũ Trụ quan sát được có đường kính khoảng 93 tỷ năm ánh sáng). Kỷ nguyên

lạm phát được đưa vào để giải thích tại sao ngày nay Vũ Trụ lại đồng nhất và

đẳng hướng, tại sao không-thời gian ngày nay của Vũ Trụ lại gần như phẳng,

v.v. Cũng vì thế, trường vô hướng được đưa vào như là động lực của lạm phát

và làm cho Vũ Trụ giãn nở với tốc độ cực lớn trong kỷ nguyên này (về vấn đề

này có thể tham khảo ([7], [9], [11]). Ngoài ra, lý thuyết hấp dẫn tensor - vô

hướng cũng được dùng để giải thích vật chất tối (xem, ví dụ, [11] và [14]). Lý

thuyết hấp dẫn tensor - vô hướng có thể dùng để miêu tả rất nhiều hiện tượng

khác trong Vũ Trụ học [2, pp.169-178].

7

Trọng điểm của lý thuyết hấp dẫn tensor - vô hướng là hàm thế của trường

vô hướng V(ϕ). Nó có thể được chọn thích hợp để phục vụ mục đích nhất định

nào đó, chẳng hạn như trong nghiên cứu vấn đề giãn nở tăng tốc của Vũ Trụ,

người ta có rất nhiều cách chọn dạng của hàm thế, trong luận văn này, ta đã chọn

hàm thế có dạng đơn giản mà mang lại kết quả khá thú vị. Trong phần trình bày

kết quả của luận văn, đại lượng a(t) được dùng để biểu diễn cho bán kính của

vũ trụ ở thời điểm t bất kỳ. Tham khảo [3] và [4], ta có thể tìm được các nghiệm

a(t) ứng với một số hàm thế được chọn. Hàm thế, như được chọn trong luận văn

này, có ý nghĩa như nguồn sản sinh năng lượng tối. Trong thời kỳ lạm phát, hàm

thế còn có ý nghĩa như nguồn sinh ra vật chất. Việc lựa chọn hàm thế của chúng

tôi dựa theo tiêu chí hàm có dạng đơn giản, có thể dễ dàng tính toán để cho kết

quả về những thông số cơ bản của Vũ Trụ như ta mong đợi và lựa chọn của

chúng tôi đã đáp ứng được tiêu chí đề ra. Chúng tôi hy vọng sự lựa chọn hàm

thế này có thể được kiểm chứng thông qua thực nghiệm và quan sát thực tế.

Sau khi hoàn thành nghiên cứu đề tài, chúng tôi đã thu được kết quả khá

thú vị (chi tiết sẽ được trình bày ở chương 3). Tuy nhiên, để đánh giá kết quả

nào phù hợp với thực tiễn tình hình Vũ Trụ hiện nay thì cần thêm một số kết quả

cụ thể về các thông số đo được qua quan sát và thực nghiệm, kết quả nghiên cứu

đề tài sẽ là cơ sở lý thuyết tốt để đánh giá, kiểm tra thực nghiệm, và cũng từ thực

nghiệm, kiểm tra độ chính xác của kết quả nghiên cứu này.

8

CHƯƠNG 1. LÝ THUYẾT HẤP DẪN EINSTEIN

1.1. GIỚI THIỆU LÝ THUYẾT HẤP DẪN EINSTEIN

Như đã nói ở phần giới thiệu, thuyết tương đối tổng quát là lý thuyết hình

học của lực hấp dẫn do nhà Vật lý Albert Einstein công bố đầu năm 1916 và

hiện được coi là lý thuyết miêu tả hấp dẫn thành công của vật lý hiện đại.

Thuyết tương đối tổng quát miêu tả trường hấp dẫn như là tính chất hình

học của không gian và thời gian (không-thời gian). Độ cong của không-thời gian

có liên hệ chặt chẽ với năng lượng và xung lượng của vật chất và bức xạ. Mối

liên hệ được xác định bằng phương trình Einstein – một hệ phương trình đạo

hàm riêng phi tuyến.

Nhiều tiên đoán và hệ quả của thuyết tương đối tổng quát khác biệt hoàn

toàn so với kết quả của vật lý cổ điển đặc biệt khi xét đến sự trôi của thời gian,

hình học của không gian, chuyển động của vật thể rơi tự do và sự lan truyền của

ánh sáng. Những khác biệt đó là gì? Là sự giãn của thời gian do hấp dẫn, sự dịch

chuyển đỏ do hấp dẫn của ánh sáng, sự chậm của thời gian do hấp dẫn, sự tồn tại

sóng hấp dẫn (không thể xảy ra trong thuyết hấp dẫn cổ diển của Newton), v.v....

Mặc dù cho đến nay đã có một số lý thuyết khác về lực hấp dẫn được nêu

ra, nhưng thuyết tương đối tổng quát vẫn là lý thuyết đơn giản nhất phù hợp với

thực nghiệm và quan sát thực tế. Tuy nhiên, vẫn còn tồn tại một số vấn đề chưa

có câu trả lời rõ ràng, tiêu biểu như các nhà vật lý chưa biết làm thế nào để kết

hợp thuyết tương đối rộng với các định luật của vật lý lượng tử nhằm tạo ra một

lý thuyết đầy đủ và nhất quán là thuyết hấp dẫn lượng tử.

Lý thuyết của Einstein có nhiều ứng dụng quan trọng trong vật lý thiên

văn và vũ trụ học như chỉ ra sự tồn tại của lỗ đen – những vùng mà không gian

và thời gian bị uốn cong đến mức ánh sáng cũng không thể thoát ra được. Thuyết

tương đối tổng quát có thể tiên đoán và miêu tả các tính chất của sóng hấp dẫn

và còn là cơ sở cho các mô hình vũ trụ học hiện tại về sự giãn nở không ngừng

của vũ trụ.

9

1.2. PHƯƠNG TRÌNH EINSTEIN

1.2.1. Tác dụng Hilbert- Einstein và tác dụng toàn phần

Trường hấp dẫn (tự do hoặc có mặt của vật chất) được mô tả bởi phương

trình Einstein. Phương trình Einstein cho trường hợp trường hấp dẫn tự do, hay

phương trình Einstein trong chân không

1

0,2

R Rg (1.1)

có thể thu nhận từ tác dụng Hilbert-Einstein

3

4 .16

g

cS R gd x

G

(1.2)

Nhưng khi có mặt của vật chất, động lực học của hệ vật lý «vật chất – trường

hấp dẫn» được mô tả bởi phương trình Einstein tổng quát hơn

4

1 8,

2

GR Rg T

c

(1.3)

thu nhận từ tác dụng toàn phần

34 41

16g m m

cS S S R gd x L gd x

G c , (1.4)

trong đó,

3

4

16g

cS R gd x

G là tác dụng của không thời gian,

41m mS L gd x

c là tác dụng của hệ vật chất,

G là hằng số hấp dẫn,

Lm là mật độ Lagrangian của vật chất,

R là độ cong vô hướng của không thời gian,

g là định thức của ma trận được lập bởi các lượng tenxơ metric vg .

10

Trong không-thời gian phẳng thì vg là metric Minkowski (1, 1, 1, 1)vg diag

nên 1 0.g Trong trường hợp tổng quát (không-thời gian trong trường hấp

dẫn), metric là một hàm của tọa độ : ( ),v vg g x nhưng vẫn đảm bảo điều kiện

0.g

Ta có thể chứng minh rằng tác dụng (1.4) ở trên là bất biến, thật vậy,

Thứ nhất, mối liên hệ của các tenxơ mêtric giữa hai hệ quy chiếu bất kì

là

( ) ( )v v

x xg x g x

x x

, (1.5)

từ đây, sử dụng quy tắc nhân ma trận ta được

[ ( )] [ ][ ( )][ ] ,tg x J g x J (1.6)

trong đó,

[g(x)] là ma trận được lập từ các lượng vg ,

[J] là ma trận được lập từ các lượng ,vx

Jx

[J]t là ma trận chuyển vị của ma trận [J],

với chú ý, định thức của ma trận bằng định thức của ma tận chuyển vị (J = Jt),

do đó, khi lấy định thức hai vế của (1.3) ta được

2 .g x J g x , (1.7)

trong đó, g(x) và J tương ứng là định thức của các ma trận [g(x)] và [J] ;

Thứ hai, nếu sử dụng hệ quy chiếu quán tính địa phương tại điểm đang

xét x thì ta được ( ) 1g x , do đó từ (1.4) suy ra g(x)< 0 trên hệ bất kì, lúc

này, nhân hai vế của (1.4) với (−1) rồi lấy căn hai vế ta được

. ( ),g x J g x (1.8)

11

hay

1

( ) .g x g xJ

(1.9)

Như vậy, trong hệ quy chiếu quán tính địa phương tại điểm đang xét x , tác dụng

có dạng

34 41

( ) ( ) ( ) ( ) .16

m

cS R x g x d x L x g x d x

G c (1.10)

Theo công thức biến đổi tọa độ tích phân trong giải tích,

4 4d x J d x ,

lại do R(x) và L(x) là các đại lượng vô hướng, nên kết hợp (1.9) với (1.10) ta dễ

thấy

S S .

Vậy tác dụng (1.4) bất biến.

1.2.2. Phương trình Einstein trong chân không và với sự có mặt của

vật chất

a. Phương trình Einstein trong chân không

Trong chân không, phương trình Einstein được thu nhận từ tác dụng

của không-thời gian có dạng

3

4

16g

cS R g d x

G

(1.11)

3

4( )16

cR g R g d x

G

(1.12)

3

4[ ( ) ]16 2

v

v

c gR g g R d x

G g

(1.13)

12

34( ) ) .

16 2

v v

v v

c gR g g R g g R d x

G g

(1.14)

Trước hết, ta tính δg:

Các giáo trình đại số tuyến tính cho ta:

( , )vg g G

; , (1.15)

tổng trên chỉ lấy theo chỉ số ν, với G(µ,ν) là phần bù đại số của phần tử gµν nghĩa

là G(µ,ν) = (−1)µ+ν nhân với định thức còn lại sau khi đã bỏ đi hàng và cột chứa

gµν, trong các giáo trình đại số tuyến tính cũng cho ta

( , ) ,G gg (1.16)

từ (1.15), lấy biến phân ta được:

[ ( , )]g g G

(1.17)

[ ( , )]g G

gg

; . (1.18)

Biểu thức trên có lấy tổng theo α và β, vì µ có thể lấy bất kì do đó ứng với mỗi

số hạng α xác định thì ta có thể chọn µ = α, mặt khác G(α,ν) không chứa phần

tử gαβ vì vậy (1.18) có thể viết lại là

( , ) ,g

g G gg

(1.19)

(1.19) được lấy tổng theo ν, β và cả α dù nó lặp lại 4 lần, suy ra

( , ) ( , ) ,v vg G g G

kết hợp công thức trên với (1.16), ta được

,v

vg gg g

(1.20)

mặt khác

13

4,v

vg g

nên

0,v

vg g

hay:

0,v v

v vg g g g

vậy (1.20) có thể viết dưới dạng:

,v v

v vg gg g gg g

(1.21)

lúc này, thay (1.21) vào (1.14) ta được:

34( )

16 2

vv v v

g v v

gg gcS R g g R g g R d x

G g

(1.22)

341

( )16 2

v v v

v v v

cR g g R g g R g g g d x

G

(1.23)

3 34 41

( ) .16 16 2

v v

v v v

c cR g gd x R Rg g g d x

G G

(1.24)

Giờ ta tính δRµν [chú ý phụ lục (A.28)]:

µv µ

µ µv µ vvR

x x

(1.25)

( ) ( ) ( - ).

µv µ

µv µ vvx x

(1.26)

Xét lân cận của một điểm x xác định bất kỳ trong hệ quy chiếu A bất kỳ,

ta luôn tìm được hệ quy chiếu B sao cho tương ứng có một lân cận điểm x’ được

coi là quán tính. Ứng với mỗi điểm x khác nhau xác định trong hệ quy chiếu A,

ta luôn có một hệ quy chiếu B khác nhau. Nguyên lý trên gọi là nguyên lý quán

tính địa phương trong thuyết tương đối. Về mặt toán học, với mỗi điểm x xác

14

định của hệ quy chiếu A thì dạng toàn phương ds2 = gµν(x)dxµdxν (với hệ số hằng

số gµν(x) không đổi tại điểm đã cho), từ đó ta có thể chéo hóa dạng toàn phương

tại điểm đã cho để đưa về các lượng Minkowski đối với gµν (tức là gµν = diag (1,

−1, −1, −1)) – dạng quán tính. Về mặt vật lý thì điểm tương ứng x’ này là điểm

rơi tự do tại điểm đã cho x. Khi rơi tự do, lực quán tính và lực hấp dẫn triệt tiêu

lẫn nhau, do đó tại điểm x’ là quán tính. Như vậy, vùng lân cận điểm x’ của hệ

quy chiếu B được coi là quán tính địa phương, khi đó tại lân cận điểm này, ta có

0,µvg

x

(1.27)

1

( ) 0,2

µ µvv

µv v

g ggg

x x x

(1.28)

( ) 0,

( ) 0,

µv µv µv

µ v µ v µ v

(1.29)

thay (1.29) vào (1.26) thì đối với điểm quán tính địa phương ta có

( ) ( )

.µv µ

v vR

x x

(1.30)

Ta dễ dàng chứng minh đượcvR và µv

đều là các tensor. Thật vậy,

Thứ nhất, biến phân của vector

( ) ( ),v

v

xA x A x

x

là một vector, lấy biến phân hai vế ta được

( ) ( ) ( ) ( ),v v

v v

x xA x A x A x

x x

mặt khác [theo phụ lục (A.23)]

( ) 0,v

x

x

15

ta suy ra

( ) ( )v

v

xA x A x

x

. (1.31)

Vậy theo định nghĩa biến phân (A.15) hay (A.24) của phụ lục A, biến phân của

một vector cho ta một vector, tuy nhiên, nếu theo định nghĩa biến phân mở rộng

(A.9) thì do ( ) 0v

x

x

nên biến phân của một vector sẽ không phải là một

vector ;

Thứ hai, biến phân của một tensor là một tensor, ví dụ xét tensor vF là

tích của hai vector A và vB ,

,v vF A B

,v v vF A B A B

vì tích của hai vector cho ta một tensor, do đó vế phải công thức trên là một

tensor, và từ đó, vế trái cũng là một tensor, như vậy ta đã chứng minh được vR

là một tensor.

Thứ ba, mặc dù µv

không là một tensor nhưng biến phân của nó µv

lại là một tensor. Thật vậy, mối liên hệ của các đại lượng Kritôphen trên hai hệ

quy chiếu là

2

( ) ( ) ,v v

x x x x xx x

x x x x x x

(1.32)

mà theo phụ lục (A.23)

2

( ) 0,

( ) 0,

v

v

x x x

x x x

x x

x x x

do đó, lấy biến phân (1.32) ta được

16

( ) ( ),µv v

x x xx x

x x x

(1.33)

vậy ( )x

là một tensor.

Nếu xét tại điểm quán tính địa phương thì đạo hàm hiệp biến trở thành đạo hàm

thường, do đó tại điểm quán tính địa phương, công thức (1.30) có thể viết lại

( ) ( )v µv v µR

(1.34)

Trong đó là kí hiệu đạo hàm hiệp biến trong không thời gian cong.

Ta lại xét hai tenxơ vA và vB , nếu chúng bằng nhau trên hệ quy chiếu

x thì cũng sẽ bằng nhau trên mọi hệ quy chiếu x’. Thật vậy,

( ) ( ),v v

x xA x A x

x x

( ) B ( ).v v

x xB x x

x x

Vì ( ) ( )v vA x B x do đó từ hai công thức trên ta cũng được

( ) ( )v vA x B x , đó là điều cần phải chứng minh.

Như vậy, hai vế của (1.34) đều là tensor, do đó, nó không chỉ đúng cho

hệ quy chiếu quán tính địa phương mà còn đúng cho mọi hệ quy chiếu.

Nhân hai vế của (1.34) với vg (chú ý đến đạo hàm hiệp biến của vg

bằng không), ta có

( ) ( )v v v

v µv v µg R g g

( ) ( )v v

µv v µg g

( ) ( ),v

µv vµg g

từ đó, suy ra

17

( ),v v

v µv vµg R g g

(1.35)

Nếu đặt

)v

µv vµA g g , (1.36)

thì ta được:

,v

vg R A

(1.37)

mặt khác, theo tính chất của đạo hàm hiệp biến

( )

A ,A

Ax

(1.38)

trong đó

1

( ),2

g ggg

x x x

(1.39)

1 1 1

2 2 2

g ggg g g

x x x

(1.40)

1 1 1

2 2 2

g ggg g g

x x x

(1.41)

1

.2

gg

x

(1.42)

Tương tự (1.21) ta cũng có

,dg gg dg gg dg

(1.43)

trong đó

gdg dx

x

gdg dx

x

sẽ cho ta

18

.gg

ggx x

(1.44)

Thay (1.44) vào (1.42) ta được

1 1

,2

g

g x

(1.45)

và thay (1.45) vào (1.38) ta được

1 1

2

A gA A

x g x

(1.46)

( . )1

. .g A

xg

(1.47)

Như vậy,

( . )1

. .g A

Axg

(1.48)

Thay (1.48) vào (1.37) ta có

( . )1

,v

v

g Ag R

xg

(1.49)

với Aα được tính theo (1.36).

Ở vô cùng 0v

nên Aα =0, từ (1.49) ta thu được

4 4( )

µv

µv

g AR g gd x d x

x

(1.50)

g A dS

(1.51)

0, (1.52)

vậy số hạng thứ nhất của (1.24) bị triệt tiêu và ta có

19

341

( ) ,16 2

v

g v v

cS R Rg g g d x

G

(1.53)

lúc này, từ nguyên lý tác dụng tối thiểu 0gS , ta thu được phương trình

Einstein trong chân không

1

0.2

R Rg (1.54)

b. Phương trình Einstein với sự có mặt của vật chất

Khi có mặt của vật chất, phương trình Einstein được thu nhận từ biến phân

của tác dụng toàn phần có dạng

g mS S S

3

4 41

16m

cR gd x L gd x

G c

(1.55)

3

4 41,

16m

cR g d x L g d x

G c

(1.56)

trong đó, biến phân tác dụng của vật chất là

41

,m mS L gd xc

(1.57)

với

( ) ( )

( ); ; ( ); ,n

n v

m m

x g xL L x g x

x x

(1.58)

và ( )n x là các thế (điện từ, hàm sóng...) của vật chất.

Ta có thể viết biến phân tác dụng của vật chất dưới dạng

20

)1[

( vvm m

m vv

L g L g gS g

gc g x

x

4]

nnm m

nn

L g L gd x

x

x

(1.59)

Trước hết, ta tính tích phân của hai số hạng đầu trong (1.59), ta đặt

4

1

)1[

(]

vvm m

m vv

L g L g gS g d x

gc g x

x

)( )1[ ( )

(v vm m

vv

L g L gg g

gc g x

x

4)

( )](

.v m

v

L gg d x

gx

x

(1.60)

Xét số hạng ở giữa của (1.60), áp dụng định lý Stokes,

4 ,V S

Ad x A dS

x

ta được

4( ) ,

m m

g gV Sx x

L g L gg d x g dS

x

mặt khác, áp dụng điều kiện biên 0vg trên mặt S, ta thấy số hạng tích phân

này bị triệt tiêu.

Vậy, tổng tích phân của hai số hạng đầu trong (1.59) cho ta

21

4

1

) )1[ ( )]

( (.v vm m

m vv

L g L gS g g d x

gc g x

x

(1.61)

Nếu ta đặt

(2 mm

v vv

L g L gT

gg xg

x

(1.62)

( )2 2

( ) ( )mmm vv v

g L gLL g

gg g xg g

x

(1.63)

( )2 2

2 ( ),mmm vv v

g L gLL

gg g xg g

x

(1.64)

sẽ có

4

1

1,

2mS T g g d x

c

(1.65)

ở đây, g là định thức của ma trận được lập nên từ các lượng vg .

Và nếu ta gọi định thức của ma trận được lập nên từ các lượng vg là h thì vì

vg g

(kí hiệu Conecker) nên hai ma trận được lập nên từ các lượng gµv

và gμν là nghịch đảo của nhau, khi đó

g.h =1

Ta lại có

1

1,v v

v v

ghdg d dg dgh g g

(1.66)

22

so sánh (1.66) với (1.44), ta suy ra được

.vv

ggg

g

(1.67)

Sử dụng (1.66) ta tính được

1

2v v

g g

g gg

(1.68)

1

2vgg

g

(1.69)

1

.2

vg g (1.70)

Thay (1.70) vào (1.64), ta có

( )22 ( ),mm

v m v vv

L gLT L g

gg xg

x

(1.71)

trong đó, hầu hết các trường hợp L phụ thuộc vào gμν nhưng không phụ thuộc

vào vg

x

nên

2 mv m v v

LT L g

g

(1.72)

Bây giờ, tính tích phân của hai số hạng cuối trong (1.59), ta đặt

4

2

( ) ( )1[ ]

nnm m

m nn

L g L gS d x

c x

x

( ) ( )1[ ( )n nm m

nn

L g L g

c x

x

23

4( )

( )]d .n m

n

L gx

x

x

(1.73)

Xét số hạng ở giữa của (1.71), ta áp dụng định lý Stokes đưa về tích phân mặt

4 ,V S

Ad x A dS

x

ta được

4( ) ,

n n

m mn n

V Sx x

L g L gd x dS

x

mặt khác, áp dụng điều kiện biên 0n trên mặt S, số hạng tích phân này bị

triệt tiêu, khi đó,

4

2

( ) ( )1.n nm m

m nn

L g L gS d x

c x

x

(1.74)

Như vậy, biến phân tác dụng của vật chất tính được là

1 2g m g m mS S S S S S

34

4

1 8( )

16 2

v

v v v

c GR Rg T g g d x

G c

4( ) ( )1

( ) ,n

nm m

n

x

L g L gd x

c x

(1.75)

lúc này, từ nguyên lý tác dụng tối thiểu 0S và vg ,

n tùy ý (tùy theo

phép biến đổi tọa độ R: Tịnh tiến, quay,...), ta thu được phương trình Einstein

với sự có mặt của vật chất và phương trình chuyển động của vật chất trong

không-thời gian cong, đó là

24

4

1 8,

2 vv v

GR Rg T

c

(1.76)

( ) ( )

( ) 0.m m

nn

L g L g

x

x

(1.77)

Phương trình (1.76) là phương trình hấp dẫn Einstein với sự có mặt của vật chất,

trong đó Tμν là tenxơ năng-xung lượng của vật chất mà ta sẽ chứng minh ở phụ

lục B. Phương trình Einstein thể hiện sự phụ thuộc của tensor độ cong không-

thời gian vào tensor năng-xung lượng của vật chất, hay nói cách khác là hình

học không-thời gian được quyết định bởi chính vật chất chứa trong không-thời

gian đó. Ta còn có thể biến đổi phương trình (1.76) về dạng khác như sau: Vì g

không phụ thuộc tường minh vào ψn nên

( ) 0,n

m m

n

x

L Lg g

x

( ) 0,n n

m m m

n

x x

gL L Lg g

x x

1( ) 0,

2n n

m m m

n

x x

L L L gg g

x x g

1

( ) 0,2

n n

m m m

n

x x

L L L g

x x g

thay (1.46) vào ta được

( ) 0.

n n

m m m

n

x x

L L L

x

(1.78)

Phương trình (1.78) là phương trình chuyển động của vật chất trong không-thời

gian cong, nó khác với phương trình trong không-thời gian phẳng mà ta đã biết.

25

CHƯƠNG 2. LÝ THUYẾT HẤP DẪN TENSOR – VÔ HƯỚNG

2.1. GIỚI THIỆU LÝ THUYẾT HẤP DẪN TENSOR – VÔ HƯỚNG

Lý thuyết hấp dẫn tensor - vô hướng đã được nói trong phần giới thiệu ở

trên và trong lý thuyết này, tác dụng tổng quát có dạng

𝑆 = ∫ 𝑑4𝑥√−𝑔 [𝑝(𝜑)𝑅 +𝜔(𝜑)

𝜑𝑔𝜇𝑣𝛻𝜇𝜑𝛻𝑣𝜑 − 𝑉(𝜑)] +

1

𝑐∫ 𝐿𝑀√−𝑔 𝑑4𝑥,

trong đó, các số hạng liên kết cặp p(φ), ω(φ) và hàm thế V (φ) là tự do, ta có thể

tùy ý chọn chúng sao cho quá trình tính toán đạt được các kết quả phục vụ được

mục đích mong muốn.

Lý thuyết với p(φ) = constant, được gọi là lý thuyết hấp dẫntensor - vô

hướng với cặp tối thiểu (minimally coupled), ngược lại nó được gọi là lý thuyết

không tối thiểu. Nếu chọn p(φ) = φ/2 và ω(φ) = constant, ta sẽ được lý thuyết

Brans-Dicke, lý thuyết này được ra đời từ rất sớm, nó là khởi đầu cho các lý

thuyết hấp dẫntensor - vô hướng.

Trong luận văn này, ta chỉ xét tác dụng của lý thuyết hấp dẫn tensor - vô

hướng dưới dạng đơn giản nhất như sau (viết trong hệ đơn vị 8 1G c ),

𝑆 = ∫ 𝑑4𝑥√−𝑔 [1

2𝑅 +

1

2𝑔𝜇𝑣𝛻𝜇𝜑𝛻𝑣𝜑 − 𝑉(𝜑)] + ∫ 𝐿𝑀√−𝑔 𝑑4𝑥, (2.1)

ở đây LM là mật độ Lagrangian của vật chất thông thường.

Lấy biến phân của tác dụng (2.1) theo các tensor metric gμν chúng ta thu được

phương trình Einstein mở rộng có dạng

1 1

( ) T2 2

v v v v v vR g R g g V

, (2.2)

nếu lấy biến phân của tác dụng (2.1) theo hàm vô hướng φ thì ta thu được phương

trình Klein-Gordon có dạng

( ) 0,V (2.3)

trong đó là đạo hàm hiệp biến,

và ( )

( )dV

Vd

.

26

Cụ thể, ta tìm được (2.2) và (2.3) xuất phát từ (2.1) như sau:

Ta viết lại (2.1) dưới dạng

4 41 1

( )2 2

MS R g V gd x L gd x

, (1)

hay

4 41

,2

MS R L gd x L gd x

(2)

trong đó,

1

( ).2

L g V (3)

Nếu ta đặt

41

2g MS R L gd x

và

4

mS L gd x

thì như ta đã biết trong chương 1, nếu lấy biến phân theo các tensor metric g

cho số hạng Sg sẽ được

41 1

2 2( ) ,gS R Rg T g gd x

(4)

còn số hạng S lấy biến phân theo các tensor metric g

chúng ta thực hiện tương

tự sẽ được

4 ,mS L gd x

hay

27

4 .m

L g L gS g g d x

g g

(5)

Từ đó ta được

4 ,

( ) ( )m

L g L g L gS g g g d x

g g g

(6)

số hạng thứ hai triệt tiêu khi sử dụng định lý Stokes với điều kiện biên

0g , mặt khác nếu coi số hạng L không chứa g

thì số hạng thứ ba

cũng triệt tiêu. Vậy ta còn

4

m

L gS g d x

g

(7)

4 ,

LgL g g d x

g g

(8)

mặt khác, như ta đã tính ở chương 1,

1 1 1

,22 2

g ggg g g

g gg g

(9)

từ đó, ta có

41

2m

LS L g g g d x

g

(10)

41

,2

T g g d x

(11)

với

2 .L

T L gg

(12)

28

Sử dụng (3) vào (12), ta có

1( ) ,

2T g V g

do đối với hàm vô hướng thì đạo hàm hiệp biến cũng bằng với đạo hàm thường,

nên

1

( ) ,2

T g V g

(13)

ap dụng nguyên lý tác dụng tối thiểu

0,g mS S S

ta chứng minh được phương trình (2.2),

1 1

( ) .2 2

R Rg g V g T

(14)

Để thu được phương trình Klein-Gordon (2.3), ta lấy biến phân (2.1) theo hàm

, lúc này

4

mS L gd x , (15)

với

1

( ),2

L g V

lấy biến phân theo hàm sẽ được

4( ) ,( )

m

L g L gS d x

(16)

mặt khác

( )

,L g L V

g g

(17)

29

và

( ) ( )( ) ( )

L g L g

(18)

.( ) ( )

L g L g

(19)

Sử dụng điều kiện biên 0 và áp dụng định lý Stokes, ta được

( )( ) ( )

L g L g

(20)

( )

Lg

(21)

( ) ,( ) ( )

L Lg g

(22)

ta cũng có

1

2

( ) ( )

gL

(23)

1

2 ( ) ( )g g

(24)

1

2g g

(25)

1

2g g

(26)

,g

(27)

30

suy ra

( )L g

g g g g

(28)

( ) ,g g

(29)

cũng dễ thấy

,22

g gg g

gg

(30)

,2

g

g

,g g

(31)

vậy (29) sẽ được viết lại:

( )L g

g g

(32)

,g

(33)

do đó,

4( )

,m

VS g d x

(34)

vậy, nếu lấy biến phân theo , ta được kết quả,

4( )

,V

S g d x

(35)

áp dụng nguyên lý tối thiểu 0S , chúng ta có

( )

0,V

(36)

31

vì là vô hướng nên đạo hàm hiệp biến cũng bằng đạo hàm thường, do đó,

( )

0.V

(37)

Mặt khác, theo định nghĩa,

,A A A

ta được

( )

0,V

(38)

vậy, ta chứng minh được phương trình Klein-Gordon (2.3)).

2.2. PHƯƠNG TRÌNH CỦA LÝ THUYẾT HẤP DẪN TENSOR – VÔ

HƯỚNG

2.2.1. Các phương trình của vũ trụ tensor – vô hướng

Như ta đã biết metric vũ trụ Friedman- Lemaitre- Robertson- Walker

(FLRW) là

2 2 2 2 2 2( )( ),ds dt a t dx dy dz (2.4)

đại lượng a(t) đôi khi được gọi là bán kính vũ trụ, tuy nhiên không hẳn là như

thế, ý nghĩa của a(t) được hiểu như

( )

( ) ,( )

a tH t

a t (2.5)

với H(t) là thông số Hubble và khi đó tốc độ giãn nở của vũ trụ được thể hiện

qua quy luật Hubble: Nếu hai vật cách nhau một khoảng d, khi vũ trụ giãn nở

thì tốc độ lùi ra xa nhau của chúng là

,Hd (2.6)

từ (2.4), lại kết hợp

32

,ds g dx dx

ta có

2

00 11 22 331, ( ),g g g g a t

suy ra

00 11 22 33

2

11, ,

( )g g g g

a t

mà

1

,2

g g g g

và

0g khi ,

nên

1

.2

g g g g

Với 0,

0 00

0 0 0

1.

2g g g g

Khi 0, ta có

0 00

0 00 0 0 0 0

1,

2g g g g

từ đó tính được

0 00

00 0 00 0 00 0 00

10,

2g g g g

33

0 00

01 00 0 10 0 01

10,

2xg g g g

0 00

02 00 0 20 0 02

10,

2yg g g g

0 00

03 00 0 30 0 03

10.

2zg g g g

Khi 1, ta có

0 00

1 01 0 0 1

1,

2xg g g g

từ đó tính được

0 00

10 0 01 10 0 10

10,

2xg g g g

0 00

11 01 10 0 11

1

2x xg g g g

21(a (t))

2t

11,a

ga

0 00

12 01 20 12

10,

2y x tg g g g

0 00

13 01 30 0 13

10.

2z xg g g g

34

Khi 2, ta có

0 00

2 02 0 0 2

1,

2yg g g g

từ đó tính được

0 00

20 0 02 00 0 20

10,

2yg g g g

0 00

21 02 10 0 21

10,

2x yg g g g

0 00

22 02 20 22

1

2y y tg g g g

21( ( ))

2t a t

22 ,a

ga

0 00

23 02 30 0 23

10.

2z yg g g g

Khi 3, ta có

0 00

3 03 0 0 3

1,

2zg g g g

từ đó tính được

0 00

30 03 30 0 30

10,

2t zg g g g

0 00

31 03 10 0 31

10,

2x zg g g g

35

0 00

32 03 20 0 32

10,

2y zg g g g

0 00

33 03 30 0 33

1,

2z zg g g g

33.a

ga

Với 1,

1 11

1 1

1.

2xg g g g

Khi 0, ta có

1 11

0 10 0 1 0

1,

2xg g g g

từ đó tính được

1 11

00 0 10 0 01 00

10,

2xg g g g

1 11

01 10 0 11 01

1

2x xg g g g

21( )

2t a

,a

a

1 11

02 10 0 21 02

10,

2y xg g g g

36

Khi 1, ta có

1 11

1 11 1 1

1,

2x xg g g g

từ đó tính được

1 11

10 11 01

1

2t x xg g g g

,a

a

1 11

11 11 11 11

10,

2x x xg g g g

1 11

12 11 21 12

10,

2y x xg g g g

1 11

13 11 31 13

10.

2z x xg g g g

Khi 2, ta có

1 11

2 12 1 2

1,

2y xg g g g

từ đó tính được

1 11

20 0 12 01 20

10,

2y xg g g g

1 11

21 12 11 21

10,

2x y xg g g g

1 11

22 12 21 22

10,

2y y xg g g g

37

1 11

23 12 31 23

10.

2z y xg g g g

Khi 3, ta có

1 11

3 13 1 3

1.

2z xg g g g

từ đó tính được

1 11

30 0 13 01 30

10,

2z xg g g g

1 11

31 13 11 31

10,

2x z xg g g g

1 11

32 13 21 32

10,

2y z xg g g g

1 11

33 13 31 33

10.

2z z xg g g g

Với 2,

2 22

2 2

1.

2yg g g g

Khi 0, ta có

2 22

0 20 0 2 0

1,

2yg g g g

từ đó tính được

2 22

00 0 20 0 02 00

10,

2yg g g g

38

2 22

01 20 0 12 01

10,

2x yg g g g

2 22

02 20 0 22 02

1

2y yg g g g

,a

a

2 22

03 20 0 32 03

10.

2z yg g g g

Khi 1, ta có

2 22

1 21 2 1

1,

2x yg g g g

từ đó tính được

2 22

10 0 21 02 10

10,

2x yg g g g

2 22

11 21 12 11

10,

2x x yg g g g

2 22

12 21 22 12

10,

2y x yg g g g

2 22

13 21 32 13

10.

2z x yg g g g

Khi 2, ta có

2 22

2 22 2 2

1,

2y yg g g g

từ đó tính được

39

2 22

20 0 22 02 20

1

2y yg g g g

,a

a

2 22

21 22 12 21

10,

2x y yg g g g

2 22

22 22 22 22

10,

2y y yg g g g

2 22

23 22 32 23

10.

2z y yg g g g

Khi 3, ta có

2 22

3 23 2 3

1,

2z yg g g g

từ đó tính được

2 22

30 0 23 02 30

10,

2z yg g g g

2 22

31 23 12 31

10,

2x z yg g g g

2 22

32 23 22 32

10,

2y z yg g g g

2 22

33 23 32 33

10.

2z z yg g g g

40

Với 3,

3 33

3 3

1.

2zg g g g

Khi 0, ta có

3 33

0 30 0 3 0

1,

2zg g g g

từ đó tính được

3 33

00 0 30 0 03 00

10,

2zg g g g

3 33

01 30 0 13 01

10,

2x zg g g g

3 33

02 30 0 23 02

10,

2y zg g g g

3 33

03 30 0 33 03

1

2z zg g g g

.a

a

Khi 1, ta có

3 33

1 31 3 1

1,

2x yg g g g

từ đó tính được

3 33

10 0 31 03 10

10,

2x yg g g g

41

3 33

11 31 13 11

10,

2x x yg g g g

3 33

12 31 23 12

10,

2y x yg g g g

3 33

13 31 33 13

10.

2z x yg g g g

Khi 2, ta có

3 33

2 32 3 2

1,

2y yg g g g

từ đó tính được

3 33

10 0 31 03 10

10,

2x yg g g g

3 33

21 32 13 21

10,

2x y yg g g g

3 33

22 32 23 22

10,

2y y yg g g g

3 33

23 32 33 23

10.

2z y yg g g g

Khi 3, ta có

3 33

3 33 3 3

1,

2z yg g g g

từ đó tính được

3 33

30 0 33 03 30

1

2z yg g g g

42

,a

a

3 33

31 33 13 31

10,

2x z yg g g g

3 33

32 33 23 32

10,

2y z yg g g g

3 33

33 33 33 33

10.

2z z yg g g g

Như vậy, đối với metric (2.4) ta tính được các thành phần khác không cho các

đại lượng Kritôphen,

ij ij

o ag

a , (2.7)

,i i

oj j

a

a (2.8)

ở đây i, j là các chỉ số thuần túy không gian, từ đó các tensor cong hạng hai khác

không sẽ là

0

0 3a

Ra

, (2.9)

2

22 ,i i

j j

a aR

a a

(2.10)

tensor cong vô hướng,

2

26 6 ,

a aR

a a (2.11)

từ đây, khai triển (2.2) ta được hai phương trình tương ứng với các phương trình

Friedman sau (chú ý tất cả các đại lượng lúc này là hàm chỉ của thời gian t, và

43

bỏ qua số hạng nhỏ của tensor năng- xung lượng của vật chất thông thường Tµν

so với tensor năng- xung lượng của trường vô hướng),

22

2

16 2 ( ) ,

2

aV

a

(2.12)

và

22

2

12 ( ) .

2

a aV

a a (2.13)

Từ phương trình Klein- Gordon (2.3), ta có thể khai triển được dạng khác như

sau

3 ( ) 0.a

Va

(2.14)

Ba phương trình (2.12), (2.13) và (2.14) chỉ có hai phương trình độc lập, nếu

thay (2.12) vào (2.13), ta có

21 1

( ) ,3 3

aV

a (2.15)

nếu thay (2.12) vào (2.14), ta được phương trình chỉ với ẩn φ,

23

3 ( ) ( ) 02

V V . (2.16)

Trong các phương trình trên, ta thấy có sự xuất hiện của hàm ( )V , đó là hàm

thế của trường vô hướng, sau đây, ta sẽ khảo sát hàm thế này với mô hình được

chọn khá đơn giản.

2.2.2. Mô hình hàm thế 2

2( )2 2

mV e

Trong luận văn này, ta sẽ đưa ra một hàm thế mà từ đó có thể giải thích

được sự giãn nở tăng tốc của vũ trụ và sau cùng còn cho một số kết quả thú vị

khác, ta xét hàm thế được biểu diễn dưới dạng

44

22( ) ( ) ,

2 2

mV e (2.17)

trong đó,

2/3

0

3 32 1 ( )

4m

và 00, ,m là các hằng số thỏa mãn

3/2

0

41 ,

23 3

m

1 ,23

m

khi đó các phương trình vũ trụ tensor - vô hướng (2.12) và (2.13) trở thành

2 22

23 1 ( ),

6 2

a mV

a

(2.18)

2 22

22 ( ) 1 ,

6 2

a a mV

a a

(2.19)

và với chú ý

2

3 ( )( ) ( ) ,

1

d VV V

d m

phương trình (2.16) trở thành

22 2

2

1 31 1 3 ( ) 1 ( ) 0.

2 4 2 2 2

mV V

m

(2.20)

Khi giải phương trình (2.20), ta được nghiệm có dạng

45

3

( ) 2ln ,2

t t Cm

(2.21)

thay (2.21) vào phương trình (2.18) ta được nghiệm của phương trình vũ trụ,

22

0

3( ) exp ln ,

3 2

ma t a t C

m

(2.22)

ở đây a0 ≠ 0 và C là các hằng số, từ đây, ta dễ dàng tính được

323 2

32

lnm

m

m t CaH

a t C

, (2.23)

2 2 3 323 2 2

232

ln ln.

m m

m

m t C t Ca

a t C

(2.24)

46

CHƯƠNG 3. THẢO LUẬN CÁC KẾT QUẢ CỦA LUẬN VĂN

3.1. THẢO LUẬN

Nếu dịch chuyển gốc tính thời gian 2

13

mt t C

ta sẽ được các

nghiệm biểu diễn dưới dạng

22

0

3( ) exp ln 1 ,

3 2

ma t a t

m

(3.1)

323 2

32

ln 1( ) ,

1

m

m

m taH t

a t

(3.2)

2 2 3 323 2 2

232

ln 1 ln 1,

1

m m

m

m t ta

a t

(3.3)

322

2232

ln 1( ) .

1

m

m

ta aH t

a a t

(3.4)

Như chúng ta đã biết, vũ trụ giãn nở khi 0a , vũ trụ tăng tốc khi 0a

, vũ trụ được gọi là giãn nở tăng tốc khi thỏa mãn cả hai điều kiện 0a và

0a . Từ phương trình (3.2) chúng ta thấy vũ trụ bắt đầu giãn nở ( 0)a khi

( 0)t , vì vậy t trong các công thức trên chính là thời gian với mốc tính thời

gian khi vũ trụ bắt đầu giãn nở. Từ đây ta thấy hệ số 0 (0)a a trong công thức

(3.1) chính là bán kính ban đầu của vũ trụ ở thời điểm 0t .

Tại thời điểm ban đầu 0t , ta có

0(0) 0,a a (3.5)

(0) 0,H (3.6)

47

(0) .H (3.7)

Ta thấy (0) 0H , do đó theo công thức Hubble (0) H(0)d 0 , tức là tốc độ

giãn nở ban đầu ( 0)t của vũ trụ bằng không (không như mô hình hằng số vũ

trụ mà ở đó H luôn là hằng số, tức là vũ trụ giãn nở với tốc độ ban đầu khác

không). Mặt khác từ (3.7) ta thấy cần phải có

0. (3.8)

Như vậy, từ (3.4) ta thấy thông số Hubble H của vũ trụ theo mô hình này, ban

đầu tăng theo thời gian khi:

2

0 ( 1)3

mt e

, (3.9)

đạt cực đại

max

2

3

mH

tại

2

( 1)3

mt e

, (3.10)

sau đó H sẽ giảm khi

2

( 1)3

mt e

, (3.11)

và 0H khi t . Từ (3.5) ta thấy bán kính vũ trụ ở thời điểm ban đầu là khác

không, kích thước vũ trụ ban đầu có thể tính được theo mô hình này như sau:

Tuổi của vũ trụ (thời gian từ lúc vũ trụ bắt đầu giãn nở đến ngày

nay) được xác định theo phương trình (3.3) là

48

323 2

32

ln 1( ) ,

1

m

m

mH

(3.12)

trong đó ( )H là thông số Hubble ngày nay (nó được đo theo định luật Hubble

Hd ), do đó từ (3.12) ta có thể tính được tuổi của vũ trụ (mô hình hằng số

vũ trụ với H const không cho ta cách tính trực tiếp được tuổi vũ trụ như

vậy).

Bán kính ban đầu của vũ trụ ao có thể được tính từ phương trình

(3.1),

22 3

( ) exp ln 1 ,3 2

o

ma a

m

(3.13)

với bán kính vũ trụ ngày nay ( )a có thể xác định được thông qua các dữ liệu

hình học. Như vậy, sau khi đã tính được tuổi của vũ trụ theo phương trình (3.12),

ta sẽ tính được bán kính ban đầu ao của vũ trụ, nó là một đại lượng khác không.

Từ (3.3) chúng ta thấy :

1. Nếu

280 ,

3

m (3.14)

Vũ Trụ sẽ giãn nở tăng tốc ( 0, 0)a a với mọi t.

2. Nếu

28,

3

m (3.15)

Vũ Trụ giãn nở tăng tốc ( 0, 0)a a trong khoảng thời gian ban đầu,

2 283

243

20 exp 1 ,

3

m mt

m

(3.16)

sau đó sẽ giãn nở giảm tốc ( 0, 0)a a trong khoảng thời gian

49

2 2 2 28 83 3

2 24 43 3

2 2exp 1 exp 1 ,

3 3

m mm mt

m m

(3.17)

và cuối cùng Vũ Trụ lại giãn nở tăng tốc ( 0, 0)a a khi

2 283

243

2exp 1 .

3

m mt

m

(3.18)

Và cũng để tiện so sánh các số liệu thời gian giữa các công thức (3.16), (3.17)

và (3.18) so với các công thức (3.9), (3.10) và (3.11), chúng ta chú ý rằng

2 2 2 28 83 3

2 24 43 3

1 .m m

m m

(3.19)

Ta thấy khi t thì và hàm thế ( ) 0V , tuy nhiên cũng

dễ thấy 0 . Như vậy lý thuyết này sẽ tiệm cận về lý thuyết Einstein khi

t . Ở đây chúng ta tìm được một mô hình hàm thế ( )V dưới dạng pha trộn

giữa dạng exponential và dạng đa thức, các nghiệm vũ trụ của mô hình này đều

được biểu diễn dưới dạng tường minh theo thời gian.

3.2. KẾT LUẬN

Để có cái nhìn tổng quan về quy luật chuyển động của vũ trụ trong mô

hình hàm thế ( )V dưới dạng pha trộn giữa dạng exponential và dạng đa thức,

và cho những điều đã thảo luận ở trên, ta có thể tóm tắt như sau :

Nếu ta đặt max

2,

3

mH

e

1

2( 1) ,

3

mt e

50

2 283

2 243

2exp 1 ,

3

m mt

m

2 283

3 243

2exp 1 ,

3

m mt

m

ta sẽ có hai sơ đồ tương ứng với hai miền giá trị của µ như sau:

1. Nếu

280 ,

3

m sự giãn nở tăng tốc của Vũ Trụ có thể mô tả theo sơ đồ sau,

2. Nếu

28,

3

m sự giãn nở tăng tốc của Vũ Trụ có thể mô tả theo sơ đồ sau,

với lưu ý:

1. Tuổi của vũ trụ được tính theo phương trình (3.12).

2. Bán kính ban đầu của vũ trụ ao được tính theo phương trình (3.13).

3. Lý thuyết tensor - vô hướng này sẽ tiệm cận về lý thuyết Einstein khi

t .

0

Hmax

∞

0

t3 t

2

ao≠ 0

a(t)

H(t

)

∞ t1 0 t

t

H(t) 0

t

∞

0

ao≠ 0 a(t)

∞ 0 t1

Hmax

51

Ở trên ta đã khảo sát các quy luật biến đổi của Vũ Trụ trong mô hình này,

đó là các số hạng đặc trưng như 𝐻(𝑡), 𝑎(𝑡), tuổi của vũ trụ. Như ta thấy mô hình

này cho các quy luật biến đổi của Vũ Trụ phụ thuộc vào hai tham số β > 0 và μ

> 0, các tham số này được tìm dựa vào các số liệu thực nghiệm. Nguồn gây ra

các quy luật đó là trường vô hướng 𝜙(𝑡) (hay 𝜑(𝑡)), bây giờ ta sẽ khảo sát các

quy luật biến đổi của trường vô hướng này cũng như nguồn gốc của nó.

Từ biểu thức tensor năng xung lượng 𝑇𝜇𝜈(𝜑)

ở trên ta dễ thấy, mật độ năng lượng

của trường vô hướng là

𝜀(𝜑) = 𝑇00(𝜑)

=1

2�̇�2 + 𝑉(𝜑)

=𝛽2

6𝜇(

𝜙

2− 1) �̇�2 + 𝑉(𝜙),

trong đó các hàm

𝜙(𝑡) = 2 𝑙𝑛 (√3

2

𝜇

𝛽𝑡 + 1),

𝑉(𝜙) =2𝛽2𝑙𝑛2(√

3

2

𝜇

𝛽𝑡+1)−𝜇𝑙𝑛(√

3

2

𝜇

𝛽𝑡+1)+𝜇

(√3

2

𝜇

𝛽𝑡+1)

2 ,

và ta có

𝜀(𝜑) = 2𝛽2

𝑙𝑛2 (√3

2

𝜇

𝛽𝑡 + 1)

(√3

2

𝜇

𝛽𝑡 + 1)

2 ,

kết hợp với (3.2) ta thấy

𝜀(𝜑)(𝑡) = 3𝐻2(𝑡).

52

Như vậy, nếu kí hiệu

𝜀𝑚𝑎𝑥(𝜑)

=2𝛽2

𝑒2 ,

và áp dụng định luật Hubble

𝑣 = 𝐻. 𝑑𝑙 = �̇�√𝑑𝑥2 + 𝑑𝑦2 + 𝑑𝑧2 = 𝑢√𝑑𝑥2 + 𝑑𝑦2 + 𝑑𝑧2,

tr𝑜𝑛𝑔 đó

𝑢 = 𝑎 ̇ 𝑣à �̇� = �̈�,

ta có bảng biến thiên sau

Nhiều bằng chứng cho thấy Vũ Trụ đã trải qua hai thời kì tăng tốc, đó là kỷ

nguyên lạm phát và kỷ nguyên vật chất (năng lượng tối) ngày nay. Như vậy ta

thấy mô hình Vũ Trụ với 𝜇 > 8𝛽2

3 phù hợp với điều này ít nhất là về mặt định

tính (chúng tôi sẽ tính toán thêm về mặt định lượng trong các kỷ nguyên lạm

phát, kỷ nguyên bức xạ và kỷ nguyên vật chất trong thời gian tới). Trong mô

t 0 ∞ t1 t2 t3

𝜀(𝜑)

𝜀𝑚𝑎𝑥(𝜑)

0 0

𝑎(𝑡) và

𝑢(𝑡) của mô

hình

0 < 𝜇 ≤8𝛽2

3

H(t)

𝐻𝑚𝑎𝑥

0 0

∞

𝑎(𝑡) và

𝑢(𝑡) của mô

hình

𝜇 >8𝛽2

3

∞

∞

𝑢(𝑡2)

𝑢(𝑡3)

∞

53

hình Vũ Trụ của lý thuyết này, từ sơ đồ trên ta có thể nói rằng kỷ nguyên lạm

phát kéo dài đến thời gian t2, kỷ nguyên vật chất (năng lượng tối) bắt đầu từ thời

gian t3, mà ta có thể tính toán chúng khi biết các tham số β và μ. Ta cũng thấy

trong mô hình này mật độ năng lượng của trường vô hướng 𝜀(𝜑) = 0 ở thời điểm

ban đầu t = 0, như vậy ban đầu trường vô hướng chưa xuất hiện. Sau đó mật độ

năng lượng của trường vô hướng tăng cực đại 𝜀𝑚𝑎𝑥(𝜑)

ở thời điểm t2 (thời điểm kết

thúc lạm phát) và sau đó giảm dần rồi biến mất khi 𝑡 ⟶ ∞. Điều này cho ta thấy

năng lượng của trường vô hướng đã biến đổi qua lại với năng lượng của trường

hấp dẫn (năng lượng của không-thời gian). Sự biến đổi qua lại giữa năng lượng

của không-thời gian với năng lượng của trường vô hướng, đặc biệt là sự xuất

hiện rồi biến mất của năng lượng trường vô hướng trong mô hình này, chứng tỏ

rằng trường vô hướng trong mô hình này có nguồn gốc từ chính hình học của

không-thời gian, vì năng lượng dưới dạng vật chất (hay năng lượng của trường

các hạt cơ bản) không thể biến mất hoàn toàn như vậy. Mô hình này đã khẳng

định thêm cho ý kiến trường vô hướng có nguồn gốc từ chính hình học của

không-thời gian của lý thuyết hấp dẫn-f(R).

Để kết thúc chúng tôi đưa ra về mặt ước lượng của năng lượng của trường vô

hướng như sau: Đầu tiên chúng ta chú ý rằng hệ đơn vị chúng ta đang làm việc

là 8𝜋𝐺 = 𝑐 = 1, trong hệ đơn vị này xuất phát từ hệ 𝐸 = 𝑚𝑐2 và bán kính chân

trời sự kiện của Hố Đen 𝑟 =2𝑚𝐺

𝑐2, ta thấy các đại lượng năng lượng [E], khối

lượng [m], chiều dài [r] và thời gian [t] là cùng thứ nguyên

[𝐸] = [𝑚] = [𝑟] = [𝑡],

từ đó ‘mật độ Lagrang’ (Lagrangian) có thứ nguyên là

[𝐿] = [𝐸]−2 = [𝑉(𝜑)],

và do 𝐿 =1

2𝑚2𝜑2 − 𝑉(𝜑) nên thứ nguyên của φ là

[𝜑] = [𝐸]−2.

Trong mô hình này 𝑉(𝜙) = 𝑉(𝜑) = (𝛽2

2𝜙2 −

𝜇

2𝜙 + 𝜇)𝑒−𝜙, như đã nói, hàm

ϕ không có thứ nguyên, do đó,

54

[𝛽] = [𝐸]−1,

[𝜇] = [𝐸]−2.

Như đã thấy ở trên ta có

𝜀(𝜑)(𝑡) = 3𝐻2(𝑡),

công thức này là trong hệ thống đơn vị 8𝜋𝐺 = 𝑐 = 1. Để viết nó trong hệ đơn

vị SI, ta dùng phương pháp chỉnh thứ nguyên và dễ dàng thu được

𝜀(𝜑)(𝑡) = 3𝑐2𝐻2(𝑡)

8𝜋𝐺,

tuy nhiên, công thức này là hiển nhiên vì như tã đã biết trong Vũ Trụ phẳng k=0

thì theo phương trình Einstein, số hạng mật độ năng lượng tổng quát (của dạng

dạng 𝑇𝜇𝜈) sẽ là công thức đó. Nếu áp dụng bằng số c = 299792458 m/s; G =

6.67259 × 10−11 𝑘𝑔−1𝑚3𝑠−2 và 𝐻(𝜏) = 0.226 × 10−17𝑠−1, ta được mật độ

năng lượng của trường vô hướng (trong hệ SI) ngày nay là

𝜀(𝜑)(𝜏) = 0.8 × 10−9 (𝑘𝑔

𝑚𝑠2=

𝐽

𝑚3),

đây chính mật độ năng lượng tối đo được bằng thực nghiệm để Vũ Trụ tăng tốc

như ngày nay. Chúng ta cần các sự tính toán khác để cho thấy lý thuyết phù hợp

định lượng với thực nghiệm (như đã nói ở trên, lý thuyết đã cho thấy sự phù hợp

về mặt định tính với thực nghiệm) mà cụ thể là chúng ta cần xác định hai hằng

số β và μ, để thông qua chúng, ta có thể tính toán định lượng các đại lượng vật

lý khác của Vũ Trụ.

3.3. KIẾN NGHỊ

Thực hiện các thí nghiệm (quan sát) để kiểm chứng các hệ quả mà lý

thuyết đã đạt được.

Có thể dùng mô hình này để nghiên cứu thêm một số hiện tượng và bài

toán khác trong Vũ Trụ.

Đưa ra thêm các mô hình lý thuyết khác.

55

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] A. De Felice and S. Tsujikawa, “f(R) theories”, Living Rev. Rel. 13, 3 (2010),

pp.5-8 [arXiv:1002.4928[gr-qc]].

[2] S. Capozziello, M. De Laurentis, Extended theories of gravity.

Phys. Rept. 509, 167 (2011) [arXiv:1108.6266 [gr-qc]].

[3] S. Capozziello and M. Roshan, “Exact cosmological solutions from Hojman

conservation quantities,” Phys. Lett. B 726 (2013) 471 [arXiv: 1308.3910 [gr-

qc]].

[4] M. Paolella and S. Capozziello, “Hojman symmetry approach for scalar–tensor

cosmology,” Phys.Lett. A 379, 1304 (2015) [arXiv: 1503.00098 [gr-qc]].

[5] S. Kamilya and B. Modak, “Noether symmetry study in general scalar tensor

theory,” Gen. Rel.Grav. 36, 673 (2004).

[6] A. Naruko, D. Yoshida and S. Mukohyama, “Gravitational scalar-tensor

theory”, Class. Quant. Grav. 33, no. 9, 09LT01 (2016) [arXiv:1512.06977 [gr-

qc]].

[7] S. Watson, “An Exposition on inflationary cosmology,” astro-ph/0005003.

[8] A. De Felice and S. Tsujikawa, “f(R) theories”, Living Rev. Rel. 13, 3 (2010)

[arXiv:1002.4928[gr-qc]].

[9] R. Emami, H. Firouzjahi, S. M. Sadegh Movahed and M. Zarei, “Anisotropic

Inflation from ChargedScalar Fields,” JCAP 1102, 005 (2011) [arXiv:

1010.5495 [astro-ph.CO]].

[10] S. Capozziello, R. De Ritis, C. Rubano and P. Scudellaro, “Exact solutions in

Brans-Dicke matter cosmologies”, Int. J. Mod. Phys. D 5, 85 (1996).

[11] A. D. Linde, “The Inflationary Universe,” Rept. Prog. Phys. 47, 925 (1984).

[12] R. de Ritis, G. Marmo, G. Platania, C. Rubano, P. Scudellaro and C.

Stornaiolo, “New approach to find exact solutions for cosmological models with

a scalar field”, Phys. Rev. D 42, 1091 (1990).

56

[13] L. D. Landau and E. M. Lifshitz, “The clasical theory of fields”, vol. 2,

Elsevier, Oxford, 1994.

[14] I. Leanizbarrutia, A. Rozas-Fernández and I. Tereno, “Cosmological

constraints on a unified darkmatter-energy scalar field model with fast

transition,” Phys. Rev. D 96, no. 2, 023503 (2017) [arXiv: 1706.01706 [astro-

ph.CO]].

[15] L. Arturo Urena-López, “Scalar fields Cosmology: dark matter and inflation,”

Journal of Physics: Conference Series 761 (2016) 012076. [14] S. Capozziello,

R. De Ritis, C. Rubano and P. Scudellaro, “Exact solutions in Brans-Dicke

mattercosmologies,” Int. J. Mod. Phys. D 5, 85 (1996).

[16] A. Starobinsky, "Spectrum of relict gravitational radiation and the early state

of the Universe". Journal of Experimental and Theoretical Physics Letters. 30

(1979), 682.

[17] A. D. Linde, “Particle physics and inflationary cosmology”, Harwood

academic publishers, Chur, Switzerland, 1990; Contemp. concepts phys. 5

(1990) 1 [hep-th/0503203].

[18] A. Guth, “Theinflationary Universe: The quest for a new theory of cosmic ori-

gins”,Addison Wesley, Reading, MA, 1997.

[19] Nguyễn Anh Kỳ và Phạm Văn Kỳ, "Các bài giảng về các lý thuyết hấp dẫn và

vũ trụ học".

[20] Phạm Văn Kỳ, “Luận văn thạc sĩ Vật lý”, Viện Vật lý, Viện Hàn lâm Khoa

học và công nghệ Việt Nam, 2014.

57

PHỤ LỤC

PHỤ LỤC A: LÝ THUYẾT BIẾN PHÂN

Xét phép biến đổi R,

,Rx x (A.1)

cảm sinh phép biến đổi D(R) tác động trên hàm sóng theo quy tắc

(R) (x) (x),D (A.2)

suy ra

( ) ( )

( ) ,x x

D Rx x

(A.3)

với ( )x là hàm sóng trên hệ tọa độ mới x’. Tổng quát hơn, ta có

( ) ( )

( ) , ( ), , ( ), ,x x

D R f x x f x xx x

(A.4)

( ) ( )

(R) f , ( ), , ( ), ,x x

RD x x f x xx x

(A.5)

đại lượng ( )

, ( ),x

f x xx

có thể là một hàm, một hàm hợp hoặc một phiếm

hàm được các toán tử R, D(R) tác dụng vào. Hàm sóng ( )x có thể là: thế ( )A x

của trường điện từ, tensor metric ( )g x của không thời gian cong…

* PHIẾM HÀM:

+ Hàm số là cho tương ứng một số ta được một số, ví dụ:

( )y f x (A.6)

+ Phiếm hàm là tương ứng mỗi hàm số cho ta một số, ví dụ:

2 2 ( ), ( ) ( ) ,

b

a

xf x x x x dx

x

(A.7)

58

Như vậy, tương ứng với mỗi hàm ( )x xác định nào đó, ta lại có một giá

trị tích phân xác định.

Nếu phép biến đổi R là vô cùng bé thì ta có Rx x rất gần giá trị x ;

( ) ( ) (x)D R x cũng rất gần giá trị ( )x và khi đó hai cách định nghĩa biến

phân cho các đại lượng như sau:

I. Biến phân mở rộng

Biến phân mở rộng của đại lượng ( )

, ( ),x

f x xx

được ký hiệu f và

định nghĩa như sau,

( ) ( ) ( ), ( ), ( ) , ( ), , ( ),

x x xf x x RD R f x x x x

x x x

(A.8)

Áp dụng (A.5),

( ) ( ) ( )

, ( ), , ( ), , ( ), .x x x

f x x f x x f x xx x x

(A.9)

Với định nghĩa trên ta được

,x x x (A.10)

( ) ( ) ( ),x x x (A.11)

( ) ( ) ( )

,x x x

x x x

(A.12)

2 2 ( )( )

b

a

xx x dx

x

2 2 2 2( ) ( )

( ) ( ) .b b

a a

x xx x dx x x dx

x x

(A.13)

Trong luận văn này, chúng ta không dùng định nghĩa biến phân được định

nghĩa theo cách ở trên mà ta sẽ dùng định nghĩa biến phân sau.

59

II. Biến phân

Biến phân của một đại lượng ( )

, ( ),x

f x xx

được định nghĩa như

sau,

( ) ( ) ( ), ( ), ( ) , ( ), , ( ), ,

x x xf x x D R f x x f x x

x x x

(A.14)

áp dụng (A.4), ta có

( ) ( ) ( )

, ( ), , ( ), , ( ), .x x x

f x x f x x f x xx x x

(A.15)

Với định nghĩa trên ta được

0,x (A.16)

( ) ( ) ( ),x x x (A.17)

( ) ( ) ( )

,x x x

x x x

(A.18)

2 2 2 2( ) ( )( ) ( )

b b

a a

x xx x dx x x dx

x x

2 2 ( )

( )b

a

xx x dx

x

(A.19)

2 2 ( )

( ) .b

a

xx x dx

x

(A.20)

Nếu ( )

, ( ),x

f x xx

là hàm hợp thì từ (A.15), (A.16) và (A.18) ta có

( ) ( ) ( )

, ( ), , ( ) ( ),x x x

f x x f x x xx x x

60

( )

, ( ), ,x

f x xx

suy ra

( )

( )( ) ,

( ) x

x

f f xf x

x x

(A.21)

từ đây ta thấy biến phân có dạng tương tự như vi phân theo các biến ( )

( );x

xx

chỉ là ( )d x được thay bởi ( )x và ( )x

dx

được thay bởi

( ),

x

x

do đó, tương tự như vi phân ta có công thức biến phân của tích hai hàm,

(f g) f g g f . (A.22)

Với hàm f(x) không phụ thuộc tường minh vào ( )x và ( )x

x

thì theo định

nghĩa biến phân (A.15) ta có

( ) 0,f x (A.23)

tổng quát hơn (A.15) ta có thể định nghĩa biến phân cho đại lượng có dạng

2

2

( ) ( ) ( ), ( ), , ,..., ,...

n

n

x x xf x x

x x x

như sau,

2

2

( ) ( ) ( ), ( ), , ,..., ,...

n

n

x x xf f x x

x x x

2

2

( ) ( ) ( ), ( ), , ,..., ,... ,

n

n

x x xf x x

x x x

(A.24)

từ đây ta suy ra

2 2 2

2 2 2

( ) ( ) ( ),

x x x

x x x

(A.25)

61

( ) ( ) ( )

,n n n

n n n

x x x

x x x

(A.26)

và ta có

(x) (x)

(x) (x)(x) ... ...,

(x)n

n

n

n

xx

f f ff

x x

(A.27)

do đó, công thức (A.22) vẫn thỏa mãn.

Mặt khác, ta thấy theo định nghĩa (A.15) hay (A.24) thì toán tử biến phân chỉ

tác động lên biến mà không tác động lên biến x, do đó ta dễ thấy

.f

fx x

(A.28)

Công thức (A.28) chỉ đúng với biến phân được định nghĩa ở mục này, nó không

đúng đối với “biến phân mở rộng” được định nghĩa ở mục trước đó.

Theo định nghĩa thì ta thấy biến phân của một phiếm hàm,

2

2

( ) ( ) ( ), ( ), , ,..., ,...

n

n

x x xf x x

x x x

2

2

( ) ( ) ( ), ( ), , ,..., ,...

nb

na

x x xF x x dx

x x x

(A.29)

là

2

2

( ) ( ) ( ), ( ), , ,..., ,...

n

n

x x xf f x x

x x x

2

2

( ) ( ) ( ), ( ), , ,..., ,...

n

n

x x xf x x

x x x

2

2

( ) ( ) ( ), ( ), , ,..., ,...

nb

na

x x xF x x dx

x x x

(A.30)

62

2

2

( ) ( ) ( ), ( ), , ,..., ,...

nb

na

x x xx x dx

x x x

2

2

( ) ( ) ( ), ( ), , ,..., ,... ,

nb

na

x x xF x x dx

x x x

(A.31)

suy ra

.b

af F dx (A.32)

63

PHỤ LỤC B:

CHỨNG MINH ĐẠI LƯỢNG T

LÀ TENSOR NĂNG XUNG LƯỢNG

CỦA VẬT CHẤT

Như đã nói bây giờ ta đi chứng minh đại lượng T là tensor năng xung

lượng của vật chất. Nhân hai vế (1.76) với g ta được

4

1 8,

2

GR R T

c

(B.1)

suy ra

4

1 8,

2

GR R T

c

tức là

4

82 ,

GR R T

c

và 4

8,

GR T

c

(B.2)

trong đó

0 1 2 3

0 1 2 3.T T T T T T

Thay (B.2) vào (B.1), ta có

4

8 1.

2

GR T T

c

(B.3)

Các phương trình (1.73), (B.1), (B.3) là tương đương nhau và đều là phương

trình Einstein.

Lấy đạo hàm hiệp biến theo chỉ số hai vế (B.1) ta được

4

1 8,

2

GR R T

c

(B.4)

64

4

1 8.

2

GR R T

c

(B.5)

Tiếp theo ta có đẳng thức Bawngsski,

0,R R R

(B.6)

thật vậy,

,Rx x

(B.7)

suy ra

22

,Rx x x x x x

số hạng cuối có dạng ...x

do đó khi sử dụng hệ quy chiếu quán tính

địa phương thì vì 0

nên số hạng cuối triệt tiêu.

Vậy, đối với hệ quy chiếu quán tính địa phương, ta có

22

,Rx x x x x

(B.8)

2 2

,Rx x x x x

(B.9)

2 2

,Rx x x x x

(B.10)

cộng vế với vế của ba biểu thức trên lại với nhau, ta được

0,R R Rx x x

65

mặt khác, tại điểm quán tính địa phương, đạo hàm hiệp biến trở thành đạo hàm

thường, do đó tại điểm quán tính địa phương, công thức trên cũng có thể viết

lại,

0,R R R

(B.11)

mà vế trái của công thức trên là một tensor nên nó đã bằng không trên một hệ

thì nó cũng bằng không trên mọi hệ, tức là công thức (B.11) không chỉ đúng tại

điểm quán tính địa phương mà nó còn đúng cho mọi điểm, do đó, đây là công

thức tổng quát.

Nhân hai vế của (B.11) với g

ta được

0,g R g R g R

vì 0g

nên

0,

0,

g R g R g R

g R g R g R

mà

,R R

(B.12)

,R R

(B.13)

suy ra

0,

0,

g R g R g R

g R g R g R

mặt khác

,R g R g R

(B.14)

R g R g R

, (B.15)

66

nên

0,R g R R

(B.16)

ngoài (B.14) ta còn có

R g R

, (B.17)

thật vậy, như ta đã biết định nghĩa tensor độ cong bậc 4 là

,R g R

(B.18)

với các tính chất

,R R (B.19)

,R R (B.20)

.R R (B.21)

Nhân hai vế của (B.18) với g ta có

,g R g g R

(B.22)

,g R R

(B.23)

,g R R

(B.24)

suy ra

,g R R R

(B.25)

nhân hai vế của (B.24) với g ta được

,g R g g R g g R

từ (B.19) và (B.20) suy ra

.g R g g R

67

Theo (B.25) ta có

,g R g R R

như vậy, ta đã chứng minh được (B.17). Thay (B.17) vào (B.16), ta có

2 0,R R

(B.26)

1

0,2

R R

(B.27)

so sánh (B.27) với (B.5), suy ra

0.T

(B.28)

Như vậy, nếu xét trong không thời gian phẳng mà ở đó đạo hàm hiệp biến trở

về đạo hàm thường thì (B.28) trở thành,

0,T

x

(B.29)

suy ra

4 0,

0,

Td x

x

T dS

mặt lấy tích phân là mặt cong vô cùng bất kỳ bao toàn bộ không thời gian. Vì

vậy, nếu giả sử ta lấy mặt S có dạng là một mặt trụ với trục là trục thời gian và

hai mặt đáy 1 , 2 vuông góc với trục thời gian, mặt bên hình trụ là vô cùng thì

công thức trên trở thành (tại mặt bên vô cùng 0T

)

1 2

0,T dS T dS

dấu trừ xuất hiện ở tích phân thứ hai là vì các pháp tuyến với hai siêu mặt đáy

sẽ ngược hướng nhau. Mặt khác, hai mặt 1 2, là mặt loại thời gian, nên

68

0 , 0idS dxdydz dx dS

với 1,2,3i , do đó, công thức trên trở thành

0 0

1 2( ) ( ) 0,T t dxdydz T t dxdydz

suy ra

0 ( ) ,T t dxdydz const

do đó 0T là vector năng xung lượng của vật chất, hay T

là tensor năng xung

lượng của vật chất.

Định luật bảo toàn năng xung lượng của vật chất chỉ đúng trong không

thời gian phẳng (B.29), còn trong không thời gian cong (B.28), phương trình

này không thể hiện định luật bảo toàn.

Như vậy trong không thời gian cong năng xung lượng của vật chất không

được bảo toàn, điều đó có nghĩa là chính bản thân không thời gian cũng phải

mang năng lượng (năng lượng trường hấp dẫn), và do tương tác giữa vật chất

với không thời gian nên tổng năng xung lượng của không thời gian với năng

xung lượng của vật chất mới được bảo toàn.

Ý kiến của thầy hướng dẫn Học viên

Nguyễn Anh Kỳ

Lê Thị Nga