UZDUŽNA ČVRSTOĆA BRODA

Konstrukcija broda 2 11 Uzdužna čvrstoća broda 1

UZDUŽNA ČVRSTOĆA BRODA (e:longitudinal strength of ship) 1. Grede Uzdužna čvrstoća broda se zasniva na promatranju brodskog trupa kao grede. To nije u svakom slučaju brodskog trupa prikladno i primjereno, ako ništa drugo i zbog toga što je greda dvodimenzionalni teoretski modela a brodski trup je trodimenzionalno tijelo u obliku tanko-stijenog kutijastog nosača. Ima slučajeva kada teorija grede iz opće nauke o čvrstoći može poslužiti za ocjenu čvrstoće trupa i rješavanju u nekim slučajevima presudnog problema sigurnosti broda, a to je uzdužna čvrstoća brodskog trupa. Ujedno je to i povijesno prva primjena nauke o čvrstoće u brodogradnji. 1.1. Obična greda na kopnu (e:simple girder) Greda je iznimno značajan tehnički pojam iz nauke o čvrstoći koji se zbog dovoljnog znanja o svojim svojstvima nastoji primijeniti u mnogim područjima tehnike. Ta su nastojanja prisutna i onda kada je potreban visoki stupanj idealizacije problema zanemarivanjem mnogih poteškoća koje problem zamagljuju. Svojstva realnih problema su najčešće složena, nedovoljno poznata te teoretski neobuhvatljiva u potpunosti poznatim i provjerenim postupcima koje pružaju teoretski modeli. Neprepoznavanje teoretskih modela u realnim uvjetima onemogućuju jednostavno rješavanje problema ili rješavanje uopće. Dakle svjesno se ide na teoretske modele čija je primjena jednostavna a rješenja potpuno poznata kao približenje nekom realnom problemu. Potom se rezultati mogu usklađivati i sa iskustvenim saznanjima. Najjednostavniji primjer je apsolutno kruta greda prizmatičnog presjeka od homogenog materijala duljine L, na dva zglobna oslonca opterećenu vlastitom težinom G i koncentriranom silom na sredini P, Sl. 1.

Slika 1. Apsolutno kruta greda od homogenog materijala prizmatičnog poprečnog presjeka na dva zglobna oslonca, opterećena vlastitom težinom i koncentriranom silom na sredini.

Za gredu se jednostavno određuju poprečne sile, momenti savijanja kako je prikazano na sl.1. 1.2. Obična neopterećena greda u običnoj, mirnoj tekućini Gredu se umjesto na dva oslonca može oslanjati i na mnogo oslonaca, pače beskonačno oslonaca, ali ne krutih nego elastičnih. Ukupna reakcija u tom beskonačnom broju elastičnih oslonaca mora biti jednaka ukupnom opterećenju. Takve uvjete beskonačnog broja oslonaca može na primjer pružiti tekućina u kojoj pluta greda. Tekućina je ta koja plutajućoj gredi daje potrebne oslonce, i to nebrojeno puno oslonaca, svaka čestica vode je zapravo elastični oslonac koji podupire gredu. Neka za primjer apsolutno kruta greda jednolikog presjeka od homogenog materijala slobodno pluta u tekućini poznate specifične težine γ, dakle djeluje samo vlastita težina grede bez drugih vanjskih utjecaja, sl. 2.


Slika 2.Apsolutno kruta greda težine G, prizmatičnog presjeka i dužine L, od homogenog materijala, slobodno pluta u

tekućini specifične težine γ Lako je zaključiti da na takvu gredu ne djeluju nikakve sile ni momenti, dakle nema ni naprezanja ni deformacija. To je jednostavna posljedica prvog zakona plovnosti G/L=γA, dakle toga što se sile i uzgona koje su jednoliko raspodijeljene po dužini broda uzajamno potiru sa također jednoliko raspodijeljenom težinom po duljini, odnosno u svakom je presjeku uzgon jednak težini. 1.3. Obična greda u običnoj, mirnoj tekućini opterećena koncentriranom silom u sredini Ako na istu gredu kao na Sl. 2. težine G iz prethodnog primjera, djeluje još i koncentrirana sila na sredini P, pojavit će se poprečne sile i momenti savijanja, kako je prikazano na sl. 3. u nastavku. Lako se može ustanoviti da je uronjena površina poprečnog presjeka prizmatične grede jednolikog presjeka jednaka

LGPA

γ+

= gdje je γ specifična težina tekućine u kojoj pluta greda.

Slika 3. Apsolutno kruta greda od homogenog materijala prizmatičnog poprečnog presjeka uronjena u tekućinu,

opterećena vlastitom težinom i koncentriranom silom na sredini. U ovom je primjeru očito da je moment savijanja na sredini apsolutno krute prizmatične grede jednolikog presjeka i od homogenog materijala uronjene u tekućinu ovisan samo o koncentriranoj sili P. Vlastitu težinu grede poništava uzgon. I ne samo to, nego je i moment savijanja uslijed koncentrirane sile, upola manji od momenta savijanja uslijed iste takve sile koja djeluje na gredu poduprtu na krajevima. Dakle, može se zamijetiti da voda djeluje na uronjenu gredu smanjujući opterećenja u usporedbi s gredom oslonjenom na dva uporišta na suhome.


1.4. Obična greda u mirnoj tekućini opterećena koncentriranim silama na krajevima Promotrimo još slučaj kada je koncentrirana sila P podijeljena tako da djeluje na krajevima plutajuće grede, umjesto na sredini kao što je u prethodnom primjeru, sl. 4.

Slika 4. Apsolutno kruta grda od homogenog materijala prizmatičnog poprečnog presjeka uronjena u tekućinu,

opterećena vlastitom težinom i koncentriranim silama na krajevima. I u ovom je primjeru moment savijanja na sredini apsolutno krute grede jednolikog presjeka i od homogenog materijala uronjene u tekućinu ovisan samo o koncentriranoj sili P na krajevima. Osim toga, poprečne sile i momenti savijanja slični su oblikom i iznosom kao kod grede na dva oslonca s jednolikim opterećenjem u iznosu q=P/L. Tekućina prihvaća brod smanjujući mu opterećenja. Većina brodova ne bi uopće mogla podnijeti da ih se postavi na kopnu na dva oslonca, jer bi jednostavno pukli. Zato je kod porinuća i dokovanja potrebno postaviti dovoljan broj potklada. 2. Brodski trup kao greda (e:ship hull girder) Ne može se svaki brod promatrati kao greda. Da bi to bilo moguće, odnosno da bi rezultati bili prihvatljivo točni, brod treba imati izraženu dimenziju duljine u odnosu na širinu i visinu. Kod teoretskih razmatranja grede u nauci o čvrstoći rezultati nisu više potpuno pouzdani ako duljina grede nije barem pet puta veća od visine, a teorija elastičnosti nalaže da se zadovoljavajuća točnost postiže tek kad je taj omjer preko deset. Kod mnogih, zapravo većine većih i velikih brodova taj je uvjet prisutan zbog funkcionalnih zahtjeva na brod. Tipičan brod ima jednu ili više paluba, dno, često i dvodno, bokove, nekad i dvostruke bokove, koji put i uzdužne pregrade, i svi se ti strukturni dijelovi protežu u uzdužnom smjeru. Može se zamisliti da se radi o šupljom tankostijenom nosaču, kutijastoj gredi, čiji gornji pojas čini paluba ili palube, a donji pojas čini dno, odnosno dvodno ako ga brod ima. Bokovi broda se mogu smatrati kao struk takve kutijaste grede. Osim toga, brod treba biti i dovoljno krut da se ne deformira previše, i time ne ugrozi pretpostavku o apsolutno krutoj gredi. Sama promjenljivost poprečnog presjeka broda nije velika smetnja u odnosu na najjednostavnije slučajeve grede kada se one smatraju prizmatičnima. Poprečni elementi konstrukcije broda, kao poprečne pregrade, jaki poprečnjaci i jaki poprečni okviri, s možda i prostornim prečkama i uporama, osiguravaju da se poprečni presjek broda ne mijenja previše, ili bolje reći, da se mijenja dovoljno malo a da ne utječe jako na uzdužnu čvrstoću. U tom smislu, poprečni elementi konstrukcije ne sudjeluju neposredno u uzdužnoj čvrstoći, ali je njihov posredni značaj velik. Jasno je da brod nije idealna greda, daleko od toga, ali ako se u ime poznate teorije ipak može postaviti takva pretpostavka. U tom se slučaju mora imati na umu da se svjesno radi o pojednostavljenom teoretsko modelu i da rezultate takve ekstrapolacije teoretskih modela na realne probleme prati ograničena točnost i ograničena primjenljivost. Rezultati takvih idealizacija se moraju provjeravati, mjeriti i ispitivati i to sve dokle dok se pronađe koliko se rezultati teoretskih modela podudaraju odnosno razilaze s rezultatima realnog zadatka. U tom se slučaju utvrđuju faktori koji popravljaju rezultate teorije na osnovi ispitivanja stvarnih problema. Potrebni su i dodatni faktori sigurnosti, koji će pokriti neznanje o tome koliko se teoretski model razlikuje od rezultata u naravi.


2.1. Raspodjela težina broda po dužini (e:ship weight distribution) Čak ni idealno građeni brodovi nemaju jednoliki poprečni presjek i raspodjelu težina po duljini. Ne samo zbog konstrukcije trupa, nego i zbog razmještaja strojeva, uređaja, tereta, goriva, zaliha, posade i putnika, raspodjela težina po dužini broda je krajnje nejednolika i teška za odrediti, dodatno i zbog toga što se i tereti i zalihe, a time i gazovi broda stalno mijenjaju. Krivulja rasporeda težina broda je poseban, veliki problem u projektiranju broda u cijelosti ali ponajviše iz razloga uzdužne čvrstoće. Do potpuno točnih podataka o težinama se teško dolazi, a o rasporedu težina gotovo nikako. Već na prvom koraku se nailazi na potrebu za aproksimacijom težine i rasporeda težina. Te aproksimacije moraju biti takove da se mogu provesti u prihvatljivom vremenu i da budu a dovoljno točne da rezultati budu proračuna budu prihvatljivi. Ne smije se smetnuti sa uma, da se ne radi samo o težinama brodskog trupa, nego i putnika, tereta i zaliha koje se teško utvrđuju i inače, a osim toga se neprestano mijenjaju od putovanja do putovanja, a i za vrijeme svakog pojedinačnog putovanja. No na kraju ipak se mora naći upotrebljiva raspodjela težina broda po duljini i to za razne slučajeve krca u službi broda. Uzdužni elementi na brodu se relativno lako nadomještaju jednolikom razdiobom težine, tako da se težina podjeli s dužinom prostiranja. Poprečni elementi se obično računaju u raspodjeli težina tako što se njihova težina podjeli s razmakom poprečnih elemenata ili se smatraju koncentriranim težinama. Za neku poznatu težinu P, znanog težišta t i duljine prostiranja L, približno se može u općem slučaju konstruirati trapez koji aproksimira raspodjelu težina po dužini, tako da se odrede visine trapeza na pramčanom i krmenom kraju, Sl. 5: Slika 5. Trapezna raspodjela težina

6P PaL L

⋅= +

t

6P PbL L

⋅= −

t

Raspored težina broda se prikazuje krivuljom težina koja je obično izlomljena crta, ispod koje se prepoznaju pravokutnici, trapezi i trokuti kojima se želi približiti stvarnoj raspodjeli težina broda, Sl. 6.

L/2 L/2

t

ba

qt

Slika6. Raspodjela težine broda po dužini broda 2.2. Raspored uzgona broda po duljini (e:ship buoyancy distribution) Linije brodova nisu skladne zbog njegove čvrstoće, nego radi otpora, propulzije i ponašanja broda na valovima. Što se uzdužne i druge čvrstoće tiče, krasne ali složene forme broda predstavljaju samo dodatne poteškoće. Kada brod plovi sa svim svojim težinama, njega na površini održava sila uzgona, koja zapravo predstavlja sve brojne oslonaca koji su potrebni da bi greda plutala u tekućini. Raspodjela tih oslonaca po duljini broda nije jednolika i ovisi o formi broda. Osnovi uvjet koji mora biti zadovoljen na početku razmatranja uzdužne čvrstoće je prvi uvjet plovnosti izražen jednakošću težine i uzgona i podudaranjem težišta težine i težišta brodskim trupom istisnute tekućine. Ti uvjeti za prirodu ne predstavljaju nikakvu poteškoću, zato i jesu prirodni zakoni, ali inženjerima je to itekakav problem, jer ono što priroda postigne s lakoćom, a to je postavljanje broda na vodu uz zadovoljenje uvjeta plovnosti, inženjerima treba mnogo truda da brod postave u ravnotežni plovni položaj na vodi. Uzdužna se čvrstoća najprije utvrđuje za uvjete plovidbe na mirnoj vodi. Brodska se forma za potrebe uzdužne čvrstoće može prokazati arealama rebara, Sl. 7, za što se koriste Bonjeanove krivulje. Areale svakog rebra su površine rebara do određenog gaza, odnosno prve integrale površine rebara. Prikaz površina svih teoretskih rebara do svih predviđenih gazova se zove Bonjeanove krivulje.

qu=γAr

Slika.7. Raspored uzgona broda po dužini broda


2.3. Opterećenje brodskog trupa po dužini (e:ship longitudinal loading) Znajući težinu i težište broda, znajući uronjenu formu što je teško, ali ipak moguće, moguće je odrediti opterećenja broda kao razliku težina i uzgona za brod u ravnotežnom položaju na vodi, na svakom mjestu po dužini broda, Sl. 8. Nakon što je u brodskom trupu prepoznata greda mogu se primijeniti poznati teoretski modeli grede na nepoznati problem brodskog trupa. Problem se dalje rješava preko teoretske mehanike i numeričke matematike.

Slika. 8. Raspored opterećenja broda po dužini broda 2.4. Rješenje problema uzdužne čvrstoće broda kao krute grede (e:ship longitudinal strength) Prihvati li se da je brod greda, uz sve one pretpostavke i netočnosti koje su naprijed iznesene, moraju se za ovo razmatranje uvesti još jednu netočnost odnosno idealizacija koja se sastoji u tome da se brodski trup promatra kao apsolutno kruta greda da bi se mogli primijeniti najjednostavniji teoretski modeli iz nauke o čvrstoći. Elastična svojstva brodskog trupa se naknadno ipak moraju uzeti u obzir primjenom teorije elastičnsoti. 2.5. Brod kao apsolutno kruto tijelo (e:rigid body) Jednu od prvih idealizacija uz onu o općoj o gredi, čini teza o apsolutno krutom brodskom trupu, takvome trupu koji ne mijenja oblik pod djelovanjem opterećenja, što u stvarnosti nije moguće, čak i onda kada se neke promjene oblika ne mogu opažati vlastitim očima. 2.5.1. Poprečne sile i momenti (e:shear forces and bending moments) Na osnovi rasporeda težina i uzgona, određena su opterećenja brodskog trupa kao grede, a poprečne sile i momenti savijanja proizlaze kao jednostavna primjena poznate teorije grede:

∫=x

dxxqxQ0

)()( 0 0 0

( ) ( ) ( )x x x

M x Q x dx q x dxdx= =∫ ∫ ∫

Dakle, radi se o jednostavnim jednostrukim odnosno dvostrukim integralima, koje u jednostavnim slučajevima lako rješavaju, u složenim slučajevima teško, a u nekim slučajevima i nikako, Sl. 9. Problem integriranja opterećenja u uzdužnoj čvrstoći je težak ali rješiv, ali obično ne analitičkim postupcima nego numeričkim i to uz podršku račnala.


qx=qt-qu

∫=x

dxxqxQ )()(0

0 0 0

( ) ( ) ( )x x x

M x Q x dx q x dxdx= =∫ ∫ ∫

Poprečne sile=0

Infleksija momentaInfleksija momenta

1yx

Mw dxdx AE I

= − + +∫∫ x B

1yx

Mw dx Ax E I

ϕ ∂= = − +∂ ∫

Minimum poprečne sile

Maximum poprečne sile

Maximum momenta

Slika 9. Opterećenja, poprečne sile i momenti savijanja pri uzdužnom savijanju brodskog trupa 2.5.2. Numerički postupak proračuna uzdužne čvrstoće broda Postoji razni pristupi i metode numeričkog integriranja. Pristup “pješke” se sastoji da se u određenim tablicama unose podaci o apscisama i ordinatama a potom se ručno računa, pretežito zbraja i množi prema nekoj metodi, na primjer, trapeznom pravilu, Simpsonovom pravilu, Čebiševljevom pravilu, ili kombinacijama, sa pravim završetcima krivulja ili približnim, sve do dobivanja konačnog rezultata. Drugi je pristup, koji je danas potpuno prevladao, numerička integracija na elektroničkim računalima. Za to se više ne moraju pisati vlastiti novi programi za numeričko integriranje, nego je dovoljno primijenite neku gotovu rutinu. Numerička se integracija može provesti i primjenom spreed-sheeta, (Lotus, Excel itd.) ali je lakše i već uobičajeno primijeniti neke gotove programe za proračun uzdužne čvrstoće. Za provedbu standardnog proračuna uzdužne čvrstoće, potrebni su slijedeći podaci: 1. Glavne izmjere 2. Raspored težina 3. Površine rebara 4. Forma pramca i krme Rješenje problema na računalu se može opisati algoritmima, koji se pak mogu prikazati dijagramima toka. Tako će se u nastavku prikazati način proračuna uzdužne čvrstoće dijagramom toka (e:flowchart), Sl. 10. Raspodjela težina

Raspodjela isatisine

Određivanje gazova

NE

Poprečne sile Momenti savijanja

DA

Ravnotežni položaj ?

Slika. 10. Dijagram toka proračuna uzdužne čvrstoće broda za apsolutno kruto tijelo


2.6. Projektna opterećenja brodskog trupa na mirnoj vodi (e:still water loads) Ovo što je do sada govoreno, odnosi se na brod na mirnoj vodi. Pogađate da je to rijetki slučaj, sam u slučaju dobra vremena ili za boravka broda u luci. I pored toga što je mirna voda za brod rijetko ali poželjno stanje, takva se razmatranja na mirnoj vodi ipak moraju provoditi. Za svaki se brod provjeravaju sva predvidiva stanja krcanja, a najveća su opterećenja dobivaju kao gornje ovojnice svih poprečnih sila i momenata savijanja. Za brodove sa strojarnicom na krmi, momenti savijanja na mirnoj vodi mogu se ocijeniti (samo vrlo približno) prema empirijskim izrazima: Za progib trupa: 512dg1760M sw ./⋅∆⋅⋅= Nm

Za pregib trupa: 200Lg1760M sw /⋅∆⋅⋅= Nm gdje su: d -gaz broda u metrima L - duljina broda u metrima ∆ - istisnina u tonama g=9.81 m/s2 - konstanta gravitacije ili:

).(. 50CBLCM b52

ssw += gdje je:

m110L61za10462

L1106180C 2s <<

−+= −).(

m160L110za10925

L1605640C 2s <<

−+= −).(

m210L160za102500

L2105440C 2s <<

−+= −).(

m250L210za105440C 2s <<= −).(

m427L250za101786

250L5440C 2s <<

−+= −).(

Na osnovi višegodišnjih promatranja i mjerenja u službi više tipova brodova, došlo se do statističkih podataka o veličinama momenata savijanja i poprečnih sila na mirnoj vodi. Rezultati su izraženi u postocima najvećih dopuštenih iznosa momenata i poprečnih sila. Pretpostavljeno je da su statistička svojstva ista za iste tipove brodova, ali da se unutar tipova treba voditi računa o veličinama. Smatra se i da je moguće primijeniti normalnu razdiobu za veličine momenata i poprečnih sila na mirnoj vodi. Kod tankera i OBO-brodova se najveći iznosi javljaju u stanjima progiba (tlak u elementima palube, vlak u elementima dna), dok se kod brodova za sipke terete javljaju u stanjima pregiba (vlak na palubi, tlak u dnu). Tabela 1. Statistička svojstva momenata savijanja i poprečnih sila na mirnoj vodi MOMENTI SAVIJANJA POPREČNE SILE VRSTA BRODA SR.VR. ST:DEV. COV STANJE SR.VR. ST:DEV. COV % % % % % % SREDNJI TANKERI 42.12 15.10. 36 PROGIB 54.47 14.18 24 VELIKI TANKERI 67.37 15.00 22 PROGIB 69.75 11.86 17 SVI TANKERI 55.64 16.60 28 PROGIB 62.52 12.50 20 OBO BRODOVI 64.23 14.12 22 PROGIB 74.08 12.48 17 SIPKI TERET 28.47 19.88 70 PROGIB 47.73 24.32 51 SIPKI TERET -34.00 20.04 -60 PREGIB -53.73 29.03 54


2.7. Projektna opterećenja brodskog trupa na valovima Uzdu-na čvrstoća broda na valovima je ključni problem brodogradnje, kada se opet mora pribjeći specifičnim brodograđevnim znanjima uz opće teorije. Od ranije je poznat “kvazi-statički” pristup. Brod se postavlja na neki odabrani val, kao da se trenutno zaustavio na njemu. Tada se proračun uzdu-ne čvrstoće provodi kao i za mirnu vodu, samo što se umjesto ravne površine vode, primjeni valovita površina, i to obično i a brod na valnom brijegu i za brod na valnom dolu. Naravno da ni takav slučaj u naravi nije moguć, ali kvazi statički proračun daje neke smjernice o ponašanju brodskog trupa sa stajališta uzdu-ne čvrstoće. Moment savijanja uslijed djelovanja valova se prema S11 jedinstvenim IASC propisima za uzdužnu čvrstoću proračunava za svaki presjek uzduž brod u kNm prema:

2190 10w w bM MC L BC 3−= + ⋅ za pregibni moment savijanja 2110 ( 0.7) 10w w bM MC L B C −= − + ⋅ 3 za progibni moment savijanja

Moment savijanja za brodove u ograničenoj plovidbi se mogu umanjiti za: - područje plovidbe 6, 7, 8 za 40% - područje plovidbe 3, 4, 5 za 25% - područje plovidbe 2 za 10% Za lučke uvjete se izračunati momenti množe faktorom 0.1, a za uvjete odobalnih terminala s koeficijentom 0.5. Valni faktor se određuje ovako:

3/ 230010.75100w

LC −⎡= − ⎢⎣ ⎦⎤⎥ za 90 300L≤ ≤

10.75wC = za 300 350L≤ ≤3/ 235010.75

150wLC −⎡= − ⎢⎣ ⎦

⎤⎥ za 350 500L≤ ≤

Faktor uzdužne rasodjele M je definiran kako slijedi na slici:

M 1.0 0.65 0.4 1.0 2.7.1. Dugoročne prognoze momenata savijanja na valovima Momenti savijanja na valovima se mogu s prihvatljivom točnošću određivati na osnovi dugoročnih prognoza koje su posljedica plovljenja broda u određenim zonama plovidbe Dugoročni dinamički odzivi za veće brodove u oceanskim uvjetima mogu se prikazati kao na slijedećoj slici:

RQ

100 101 102 103 104 105 106 107 108

N

N – broj susreta s valovima Q – vjerojatnost premašivanja odziva/opterećenja RQ – dinamički odziv za zadanu razinu vjerojatnosti premašivanja Q


2.8. Ukupna opterećenja brodskog trupa kod uzdužnog savijanja Kao prihvatljivo se približenje, koristi postupak kada se izračunavaju opterećenja broda na mirnoj vodi za sva predvidiva stanja krcanja, i na njih se dodaju opterećenja uslijed gibanja broda na valovima, ali ne na jednom, neko posebno odabranom valu, nego se statističkim postupcima utvrđuju iznosi momenata savijanja na odabranim rutama broda, za određena područja plovidbe, za razne kutove susretanja broda i valova i za pretpostavljeno vrijeme korištenja broda, na primjer 20, 25 ili 30 godina mukotrpne službe. 2.9. Uzdužna čvrstoća prema klasifikacijskim društvima Svi se Registri bave uzdužnom čvrstoćom. Često se problemi vezani za uzdužnu čvrstoću označavaju kao primarna čvrstoća. Zbog ogromnog značaja, presudnog za sigurnost broda, uzdu-na čvrstoća je rijetko područje u kojem su se inače konkurentski Registri suglasili, i donesli zajedničke propise uzdužne čvrstoće, kroz udrugu IACS (International Association of Clasification Societies). Dakle, Registri su životno zainteresirani za dimenzioniranje konstrukcije brodskog trupa tako da zadovolji uvjete uzdužne čvrstoće. 2.9. Knjige krcanja Svakom brodu se još za vrijeme gradnje pripremaju knjige, koje poslije plove skupa sa brodom, u kojima su opisana sva moguća stanja krcanja broda, za koja su provedeni proračuni uzdužne čvrstoće uz proračune hidrostatike i stabiliteta. 6.7. Brodska računala Danas se umjesto knjiga krcanja koriste brodska računala koja imaju računalni program za uzdužnu čvrstoću, sa svim potrebnim podacima o brodu, tako da časnici na brodu mogu u svako doba provjeriti bilo koje stanje krcanja broda. Kod brodova za rasute terete je ugradnja računala obvezna, osobito za provjere redoslijeda krcanja važnih i za homogeno krcani teret kao i za alternativno krcanje teretnih prostora.


3. Odzivi brodskog trupa na vanjska opterećenja Kao odziv na vanjska opterećenja odnosno zahtjeve na konstrukciju javljaju se unutarnje sile, odnosno naprezanja i pomaci odnosno deformacije konstrukcije. Prihvaćanjem pretpostavke o brodu kao gredi moguće je iskoristiti teoriju elastične grede za određivanje naprezanja u presjeku grede uslijed savijanja, Sl. 11.

Slika 11. Diferencijalni element grede podvrgnut čistom savijanju

Na osnovi sličnosti trokuta, budući da se radi o malim veličinama, može se postaviti relacija između duljine i produljenja luka savijene grede, što je jednako relativnoj deformaciji:

Rz

ll

zl

Rl

=∆

=→∆

= ε

Na osnovi Hooke-ovog zakona, za naprezanje na osnovi relativnog produljenja se dobije slijedeći izraz:

zREEz

xxx =⋅= εσ )(

Na osnovi ravnoteže unutarnjih sila dobiva se relacija: 0)( =∫ dAz

Axσ

Na osnovi ravnoteže momenata dobiva se izraz:

xyx

xAxAx MI

REdAz

REzdAz === ∫∫ 2)(σ

Naprezanje se može odrediti iz gornjeg izraza kako slijedi:

zIM

z yx

xx =)(σ

Najveća naprezanja nastaju na gornjem i donjem rubu presjeka, za z=zg i z=zd:

yx

gx

gyx

xgx W

Mz

IM

zz === )(σ

yx

dx

dyx

xdx W

Mz

IM

zz === )(σ gdje su veličine

g

yxy

xg

zI

W = d

yxy

xd

zI

W = momenti otpora presjeka (e:section modulus).


3.1. Brodski trup kao elastično tijelo Budući da se brodski trup u stvarnosti elastično savija može se za daljnja razmatranja iskoristi teorija elastične grede. Teorija elastičnog savijanja grede proizlazi iz definicije radijusa zakrivljenosti iz diferencijalne matematike koja vrijedi uz određena zanemarivanja za male pomake:

2

2

2

2

2

11

xw

xw

xw

R

∂∂

−≈

∂∂

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

+

−=

Znajući radijus zakrivljenosti kod savijanja od ranije, dobiva se

x

x

EIM

xw

−=∂∂

2

2

Iz gornje se jednadžbe, koja predstavlja običnu diferencijalnu jednadžbu, znajući momente savijanja brodskog trupa, raspodjelu momenata tromosti poprečnog presjeka uzdužnih elemenata brodskog trupa i modula elastičnosti E, može integracijom odrediti kutove zaokreta

AdxIM

Exw

yx

+−=∂∂

= ∫1ϕ

i nakon još jedne integracije dobiva se progib kako slijedi

BAxdxdxIM

Ew y

x

++−= ∫∫1

U gornjim izrazima A i B su konstante integracije koje se određuju iz rubnih uvjeta. Sasvim je bjelodano da se ponovo trebaju koristiti postupci numeričke integracije, i to tako da se prvi put integrira krivulju momenta, kada se dobivaju kutovi nagiba, i drugi put kad se integrira ista tu krivulju i dobivaju se progibi brodskog trupa. U pogledu numeričkog pristupa, navedena integriranja se provode odmah nakon određivanja momenata savijanja, dakle u dijagramu toka na Sl. 10., dodaje se samo još jedan proces određivanje kutova zaokreta i progiba numeričkim integriranjem. Međutim, za to je potrebno odrediti raspored momenata tromosti poprečnih presjeka broda po dužini broda. To je jednostavan ali mukotrpan posao. Ponovnim deriviranjem gornjeg izraza

x

xx

x

EIQ

xEIM

xw

xxw

−=∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−∂=∂∂

=∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂ 3

32

2

Ponovnim deriviranjem gornjeg izraza

x

xx

x

EIq

xEIQ

xw

xxw

−=∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−∂=∂∂

=∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂ 4

43

3

Zadnja jednadžba se obično naziva diferencijalnom jednadžbom elastične linije grede. To je obična diferencijalna jednadžba, zapravo jednostavni diferencijalni izraz koja se rješava integriranjem. Kako brod ne promatramo kao kruto tijelo, nego kao elastično, uslijed njegovog progiba mijenja se oblik uronjenog dijela trupa i raspodjela uzgona, što dovodi do promjene opterećenja po jedinici duljine koja je razmjerna progibu i širini vodne linije (što je posljedica pretpostavke da su za male progibe bokovi broda paralelni), koje tada glasi ovako:

wbAqq xxtx γγ −−= Na osnovi zadnjeg izraza i prije određenih jednadžbi, uobičajeni prikaz diferencijalne jednadžbe elastične linije brodskog trupa kao grede je ovakav:

xtxyx Aqwb

xwEI γγ −=−

∂∂

4

4

Ova se pak diferencijalna jednadžba ne rješava jednostavnim integriranjem kao ona za tijelo nepromjenljiva oblika, nego ili postupkom grede na elastičnoj podlozi ili iterativno, kako će se u nastavku pokazati.


3.2. Obična greda u običnoj, mirnoj tekućini opterećena koncentriranim silama Promotrimo primjer plutajuće gredu iz prethodnog primjera, Sl. 12. Kutovi nagiba se određuju kako slijedi:

AxLxLP

EIAdx

IM

Exw

yx

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=+−=

∂∂

= ∫ 8611 23

ϕ

Iz rubnog uvjeta koji se postavlja prema tome kako se želi vidjeti kutove zaokreta grede, na primjer za x=0. ϕ=0, odakle slijedi A=0.

BxLxLP

EIBAxdxdx

IM

Ew y

x

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=++−= ∫∫ 1624

11 224

Da bi se odredio maksimalni progib na sredini, za progibe na krajevima se uzima w=0 za x=±L/2, odakle je: 4

25631 L

EIB −=

B je ujedno i maksimalni progib na sredini grede.

Slika 12. Elastična grda od homogenog materijala prizmatičnog poprečnog presjeka uronjena u tekućinu, opterećena vlastitom težinom i koncentriranim silama na krajevima – kutovi zaokreta i progibi


4. Izdržljivost brodskog trupa Izdržljivost brodskog trupa određuju materijali od kojeg je proizveden i načini na koje su materijal raspoređeni, dakle topologija i geometrija konstrukcije trupa. Materijal brodskog trupa bitno utječe na izdržljivost broda. Izdržljivost broda određuju mehanička svojstva materijala, a to su u prvom redu čvrstoća materijala, njegova elastična svojstva, udarna žilavost i otpornost na stvaranje pukotina. 4.1. Izdržljivost brodskog trupa na savijanje Poprečne sile i momenti uslijed savijanja trupa kao posljedica vanjskih opterećenja i opterećenja od tereta u službi broda predstavljaju zahtjeve na konstrukciju broda, koje brodski trup mora izdržati, dakle mora imati odgovarajuću izdržljivost. Pojednostavljeno, poprečnim silama se brod opire svojom površinom poprečnog presjeka, pri čemu raspodjela smičnih naprezanja po presjeku nije jednostavna, a momentima savijanja se opire momentima otpora poprečnog presjeka kao posljedica materijala trupa i geometrije presjeka. Izdržljivost brodskog trupa na uzdužno savijanje ovisi od materijala, neposredno od uzdužno usmjerenih elemenata poprečnog presjeka brodskog trupa u koji se ubrajaju svi elementi konstrukcije koji se dovoljno učinkovito prostiru po dužini broda, a posredno i od poprečnih elemenata koji osiguravaju oslonce uzdužnim elementima i održavanje potrebnog oblika brodskog trupa. 4.2. Slom brodskog trupa kao grede (e:colapse of beam) Slom grede na dva oslonca se očituje u međusobnom odnosu momenti savijanja i zakrivljenosti grede u sredini. Na slici 14(a), prikazan je mogući stvarni dijagram a na slici 14(b) idealizirani dijagram. Općenito bi se pojednostavljeni dijagram mogao prikazati idealizirano kao na sl. 15 za odnose momenta savijanja i zakrivljenosti. Takvo zamišljeno ponašanje materijala se naziva idealno elastično plastično ponašanje. Slom brodskog trupa se ne može objasniti jednostavno u nauci o čvrstoći, niti primjenom teorije elastičnosti, već je nužno pribjeći primjeni teorije plastičnosti.

Potpuno elastično

Potpuno plastično d Sl. 14(a). Stvarni moment Slika 14(b). Pojednostavljeni Slika 15. Idealizirano, potpuno elastično-plastično ovisno o zakrivljenosti prikaz ponašanje ovisno o zakrivljenosti Elastično i plastično se savijanje može promotriti na primjeru grede pravokutnog presjeka kao na sl. 16a i b.

b

d 1/2bdσ4/3 d

σo

d

Relativna deformacija ε

Elastično naprezanje σ

Slika16a. Elastično ponašanje


d

d

σo

αd (1+α)d

σo

d

bdσ

(1-α)bdσo

1/2αbdσ

4/3αd

(1-α)d b

Slika 16b. Elastično i plastično ponašanje u pravokutnom presjeku grede

Moment unutarnjih sila u presjeku u slučaju potpuno elastičnog ponašanja oEooE WbddbdM σσσ === 2

32

34

21

Moment unutarnjih sila za djelomično plastično ponašanje )311(

34

21)1()1( 22 ασασαασα −=++−= oooR bddbddbdM

Moment unutarnjih sila u slučaju potpuno razvijene plastičnosti oPooP WbddbdM σσσ === 2

Kombinirajući zadnja dva izraza )311( 2α−= PR MM

Slijedeća veličina se naziva faktor oblika (vrijedi samo za pravokutne presjeke): 5.123===

E

P

WWκ .

4.3. Formiranje plastičnog zgloba (e:plastic hinge) Na gredi pravokutnog presjeka na dva oslonca opterećenu koncentriranom silom u sredini, razvija se plastični zglob oblika prikazanog na sl. 17.

Slika 17. Formiranje plastičnog zgloba kod pravokutne grede na dva oslonca opterećene koncentriranom silom u sredini

Raspodjela momenata savijanja po duljini grede, pod pretpostavkom da je u sredini grede nastupio moment pune

plastičnosti MP, je linearna i može se izraziti kako slijedi: )1(LxMM Px −=

S druge strane, ako se ovaj moment usporedi sa momentom unutarnjih sila MR, dobiva se da je raspodjela plastičnosti

po duljini grede dana izrazom: xL3

=α

Plastična zona prestaje za α=1, što odgovara udaljenosti od sredine grede od x=L/3.


Razmotrimo sada ponovno istu tu običnu gredu na dva oslonca ali sada opterećenu kontinuiranim opterećenjem po duljini grede, sl. 18.

Slika 18. Formiranje plastičnog zgloba kod pravokutne grede na dva oslonca opterećene jednolikim opterećenjem po duljini grede

Raspodjela momenata savijanja po duljini grede, pod pretpostavkom da je u sredini grede nastupio moment pune

plastičnosti MP, je kvadratična i može se izraziti kako slijedi: )1( 2

2

LxMM Px −=

S druge strane, ako se ovaj moment usporedi sa momentom unutarnjih sila MR, dobiva se da je raspodjela plastičnosti

po duljini grede dana izrazom: 3Lx

=α

Plastična zona prestaje za α=1, što odgovara udaljenosti od sredine grede od 3/Lx = . Može se zamijetiti da je zona plastičnosti šira kod jednoliko opterećene grede nego kod grede s koncentriranom silom.


5. Krajnja izdržljivost brodskog trupa (e:ultimate strength of the ship hull) Kod procjene sposobnosti preživljavanja broda neposredno nakon oštećivanja, ako brod još nije izgubljen, važno je poznavati strukturnu izdržljivost oštećenog broda. Graničnom izdržljivošću broda se smatra najmanja čvrstoća trupa, čije premašivanje uslijed povećanja opterećenja dovodi do sloma. Teorija elastičnosti ne daje odgovora o konačnom slomu brodskog trupa, nego samo o mogućem početku plastičnih deformacija na najnapregnutijim dijelovima trupa. Zbog toga je graničnu čvrstoću potrebno ocijeniti primjenom teorije plastičnosti na oštećeni brodski trup. Početne plastične deformacije su uvod u formiranje plastičnog zgloba prije konačnog sloma trupa. 5.1. Primjena teorije plastičnosti na savijanje brodskog trupa Pomoću teorije plastičnosti može se jednostavno ocijeniti opterećenje sloma brodskog trupa kao nosača. Za elastično i plastično ponašanje stvarnih materijala u uvjetima jedno-osnog statičkog i dinamičkog naprezanja, koriste se podaci iz vlačnih pokusa o naprezanjima R u funkciji o relativnim deformacijama ε. To su vlačna ili rastezna čvrstoća Rm, konačno naprezanje Rk, i dvije granice razvlačenja Re – donja Re

l i gornja Reh, slika 1. Primjena teorije plastičnosti se

zasniva na u praksi prihvatljivom i pokusima provjerenom teoretski idealiziranom elastično potpuno-plastičnom odnosu naprezanja R i relativnih deformacija ε za promatrani stvarni materijal, slika 19. R

Stvarni materijal

Elastični potpuno-plastični materijal

ε

Rm Rk Re

h

Re

l

Slika 19. Stvarni i idealizirani elastični potpuno-plastični materijali Brodski trup se promatra kao greda opterećena vanjskim vertikalnim momentom savijanja M, sl.20. Kada je djelujući vanjski vertikalni moment savijanja M postigao graničnu vrijednost unutarnjeg vertikalnog momenta otpora elastičnom savijanju Mo

e, dakle M= Moe, razvijaju se linearna naprezanja R po visini brodskog trupa.

Na najvećoj udaljenosti od neutralne linije poprečnog presjeka obzirom na elastično savijanje, u slučaju da je dostignut granični vertikalni moment otpora elastičnom savijanja M= Mo

e, koji nastaje uslijed unutarnjih sila u presjeku, djeluje naprezanje koje je jednako gornjoj granici razvlačenja primijenjenog materijala Re

h. Raspodjela naprezanja R je prema teoriji elastičnosti linearna po visini. Puni djelujući uzdužni vertikalni moment elastičnog savijanja M je onaj moment kod kojega je dostignuta gornja granica razvlačenja materijala Re

h u najnapregnutijim dijelovima trupa. Po definiciji tome se djelujućem vanjskom momentu M opire jednaki unutarnji vertikalni moment otpora elastičnom savijanju M=Mo

e. Nutarnji vertikalni moment otpora elastičnom savijanju se određuje na osnovi momenta tromosti presjeka brodskog trupa I, te gornje granice razvlačenja primijenjenog materijala Re

h. Prema definiciji iz teorije elastičnosti unutarnji moment otpora elastičnom savijanju je posljedica raspodjele naprezanja po poprečnom presjeku i određuje se prema slijedećem izrazu:

eoe WR

yIRM ⋅=⋅= h

emax

he

Napomena: kod nas je uobičajeno veličinu We nazivati momentom otpora presjeka. Prema stranim izvorima, moment otpora presjeka elastičnom savijanju je veličina koja se dobije kao umnožak gornje granice razvlačenja materijala Re

h i veličine We. Ako se prihvati da se vanjskom momentu uzdužnog savijanja opire moment unutarnjih sila, tada je ova definicija momenta otpora elastičnom savijanju fizikalno prihvatljiva. Veličina We se prema stranim izvorima naziva modul elastičnosti presjeka (e:section modulus). Porastom uzdužnog vertikalnog momenta savijanja M, preko iznosa unutarnjeg vertikalnog momenta otpora elastičnom savijanju Mo

e, dolazi do širenja plastičnih deformacija po visini u najnapregnutijim dijelovima brodskog trupa. Rezultat toga je da na većem dijelu presjeka brodskog trupa djeluje naprezanje jednako gornjoj granici razvlačenja materijala Re

h, ali nije još dosegnut vertikalni moment otpora plastičnom savijanju Mop , dakle, Mo

e ≤ M < Mop.

Slika 20. Elastični i plastični uzdužni vertikalni moment savijanja brodskog trupa

M – vertikalni uzdužni moment savijanja Rh

e

Rd

Naprezanja Plastičnost M M


Opterećenje sloma brodskog trupa kod uzdužnog opterećenja uslijed vertikalnog momenta savijanja je posljedica djelovanja vanjskog momenta M u iznosu koji dosiže vertikalni moment otpora plastičnom savijanju Mo

p, dakle uz uvjet M= Mo

p. Nosiva sposobnost trupa je iscrpljena kada na cijelom presjeku brodskog trupa djeluje naprezanje u visini gornje granice razvlačenja Re

h. Tada se može govoriti o potpunoj plastičnosti i mogućnosti za ostvarenja plastičnog zgloba kao početak stvarnog i potpunog sloma brodskog trupa. Kod savijanja brodskog prijelaz iz stanja elastičnosti u stanje plastičnosti je postupan. Prijelazno je stanje djelomične plastičnosti. Brodski trup će se dakle slomiti ne kada je dostignut vanjski granični uzdužni vertikalni moment elastičnog savijanja u iznosu nego kada na trup djeluje vanjski granični uzdužni vertikalni moment plastičnog savijanja veličine M=Mo

p. Za razliku od djelujućeg vanjskog uzdužnog vertikalnog graničnog momenta elastičnog savijanja kod kojega je dostignuta gornja granica razvlačenja materijala u najnapregnutijim dijelovima trupa, djelujući vanjski uzdužni vertikali moment plastičnog savijanja je onaj moment M kod kojega je dostignuta gornja granica razvlačenja materijala Re

h po cijeloj površini presjeka trupa. Djelujućem vanjskom graničnom uzdužnom vertikalnom momentu plastičnog savijanja M se opire unutarnji vertikalni moment otpora presjeka plastičnom savijanju Mo

p koji se na osnovi teorije plastičnosti određuje opet na osnovi samo geometrijskih karakteristika presjeka i gornje granice razvlačenja materijala Re

h. Jednostavno se dokazuje da je unutarnji vertikalni moment otpora plastičnom savijanju Mo

p jednak umnošku gornje granice razvlačenja materijala Re

h, polovice površine presjeka trupa A/2 i kraka sprega unutarnjih sila d, koji je jednak udaljenosti između težišta gornje i donje polovice površine poprečnog presjeka, prema slijedećem izrazu:

phe

he

op WRdARM ⋅=⋅=

2

Odnos između vertikalnog momenta otpora presjeka plastičnom savijanju Mop i vertikalnog momenta otpora presjeka

elastičnom savijanju Moe naziva se faktor oblika i označava sa ν.

Za uobičajene izvedbe brodova faktor oblika se kreće od ν=1.1 do ν=1.15., a definira se kako slijedi:

e

p

ehe

phe

he

he

oe

op

WW

WRWR

yIR

dAR

MM

=⋅

⋅=

⋅

⋅⋅==

max

2ν

Primjer proračuna momenata otpora elastičnom i plastičnom savijanju kao i faktora oblika za simetrični pravokutni kutijasti nosač dan je u prilogu. 5.2. Slom brodskog trupa (e:collaps of the ship hull) Do sloma brodskog trupa uslijed razvoja plastičnog zgloba može doći brzo, sl. 21. Kritična situacija obično nastupa odmah nakon oštećivanja srednjeg dijela broda, dok je brod još u uspravnom položaju, sl. 22. Kod nesimetričnog oštećenja trupa gotovo je uvijek prisutno i nesimetrično uzdužno savijanje pa čak i kada je brod u uspravnom položaju. Zbog toga se slijedeća razmatranja odnose na nesimetrično vertikalno elastično i plastično uzdužno savijanje nesimetrično oštećenog broda u uspravnom položaju na mirnoj vodi.

Slika 21. Slom trupa jednog broda za rasute terete i broda za tekuće terete

Možebitno djelovanje dodatnih momenata savijanja uslijed valova, može se ocijeniti i naknadno, ali ne nakon predugog vremena ako je brod na otvorenom moru, pod uvjetom da je ocijenjeno da brod ima nade za preživljavanje. U tom se slučaju preostali moment otpora presjeka plastičnom savijanju uspoređuje s ukupno djelujućim vanjskim momentima na mirnoj vodi Ms i na valovima Mw u ukupnom iznosu M=Ms+Mw. Kako vanjski vertikalni uzdužni moment savijanja djeluje uvijek okomito na vodnu liniju, to je i vertikalni moment otpora pune plastičnosti nesimetrično oštećenog presjeka potrebno odrediti obzirom na tu istu vodnu liniju. Rezultat toga neprijepornog zahtjeva je uvjet da krak sprega unutarnjih sila, dakle spojnica težišta gornje i donje polovine presjeka MORA ležati u ravnini okomitoj na vodnu liniju. Položaj raspolovnice površine poprečnog presjeka je tada posljedica gornjeg uvjeta. Sa sigurnošću se zna da se težište cijele površine mora nalaziti na polovici rastojanja između težišta gornje i donje polu-površine.


Određivanja vertikalnog momenta otpora oštećenog presjeka plastičnom savijanju za uspravni brod se obično rješava numerički iterativnim postupkom za određivanje položaja raspolovnice oštećene površine presjeka pod uvjetom da se spojnica težišta gornje i donje polu-površine nalazi u ravnini okomitoj na vodnu liniju. Teorija za određivanje momenta otpora pune plastičnosti za nagnuti neoštećeni i nesimetrično oštećeni brod dana je u literaturi. Faktor sigurnosti od sloma brodskog trupa može se izraziti kako slijedi:

νλ ⋅== fWW

RR

e

p

d

he

c

Prema HRB, dopuštena radno naprezanja pri uzdužnom savijanju brodskig trupa na osnovu kojeg se određuje zahtijevani modul presjeka u području sredine broda za uzdužnu čvrstoću iznose Rd=175/k N/mm2. Prema tome je faktor sigurnosti za običan brodograđevni čelik jednak f=235/175=1.3428.

Slika 22. Slom i potonuće tankera «Prestige» pred španjolskom obalom

5.3. Granični moment savijanja brodskog trupa (e:the ultimate bending moment of the ship's hull girder) Klasifikacijska društva sve više vode računa o graničnoj čvrstoći brodskog trupa. Neka su klasifikacijska društva razvila svoja posebna pravila, dok su društva okupljena u IACS-u stvorila jedinstvena pravila uzdužne čvrstoće broda koja uključuju i provjeru granične čvrstoće trupa. Lom pojedinih strukturnih elemenata i strukture trupa broda u cjelini je nelinearna pojava bilo zbog geometrijske nelinearnosti (uslijed izvijanja ili drugog značajnog pomaka), bilo zbog nelinearnosti materijala (popuštanje i plastična deformacija). Glavni načini loma čeličnih strukturnih elemenata prikazani na osnovi ovisnosti opterećenja q i defleksije δ su lokalna plastična deformacija (krivulja 1, Sl 23), izvijanje nosača i opločenja (krivulj2 i 3, Sl 23) i lom zbog nastanka pukotina.

Slika 23. Krivulje ovisnosti opterećenja q i defleksije δ za razne načine loma strukturnih elemenata

Sadašnji važeći zahtjevi na uzdužnu čvrstoću broda vezani su uz projektne kriterije oslonjenim uglavnom na teoriji elastičnosti a dodatno preporučena provjera granične čvrstoće trupa nalaže primjene i nelinearnih teorija čvrstoće. Pri razmatranju problema čvrstoće trupa potrebno je voditi računa o odgovarajućem modeliranju brodskog trupa, odabiru postupka analize i pri tome valja procijeniti utjecaje nedostatnosti postupaka proračuna i početnih netočnosti na graničnu čvrstoću (početne deformacije, zaostala naprezanja zbog zavarivanja itd.). Mnogi se čimbenici koji utječu na graničnu čvrstoću i opterećenja ne mogu uvijek točno odrediti već se mora računati s neizvjesnostima njihovih djelovanja i to ne samo za neoštećena stanja nego i za stanja pri oštećenjima brodova. Imajući u vidu složene probleme granične čvrstoće broda komisija ISSC – a je predložila praktične metode kojima se može procijeniti granična čvrstoća. Procjena granične čvrstoće brodskog trupa konvencionalnih formi može se obaviti bilo u projektnom stadiju da bi se postigao što racionalniji projekt, ili za postojeće strukture uzimajući u obzir trošenja tijekom službe.


5.4. Praktični proračuni granične čvrstoće Do sada nije izveden postupak koji bi omogućio potpunu i točnu analizu sloma brodskog trupa na potpuno zadovoljavajući način. Posljednjih se godina metoda konačnih elemenata prilagođavala za rješavanje nelinearnih problema čvrstoće brodskog trupa koji uključuju obje nelinearnosti, geometrijske i materijalne uvođenjem inkrementalnog i iterativnog pristupa korištenjem krivulja opterećenje – defleksija. Ovaj pristup omogućava analizu istovremene pojave izvijanja i popuštanja, moguće ga je primijeniti ne samo na pojedine elemente strukture, nego i na kompletnu strukturu koja uključuje interaktivni slom nekoliko elemenata zbog kombiniranog izvijanja i popuštanja ali je cijeli postupak vremenski i numerički previše zahtjevan. Iz praktičnih se razloga još uvijek koriste pojednostavljeni i približni postupci sa raznim ograničenjima posebno prilagođeni baš za brodski trup. Prvo moguće pojednostavljenje se postiže idealizacijom geometrije brodskog trupa tako da se odrede dijelovi strukture za koje se mogu razviti i primijeniti približne metode analize granične čvrstoće, uz nužno zanemarenije uzajamnih utjecaja dijelova. Drugo moguće pojednostavljenje se zasniva na zasebnim analizama izvijanja i pojave plastičnih zglobova. Međutim, oba pojednostavljenja zanemaruju mogućnost istovremenog pojavljivanje više načina sloma, na različitim mjestima strukture te mogućnost njihove kombinacije i uzajamnih utjecaja. Pod slomom brodskog trupa se pojednostavljeno smatra gubitak krutosti grede na savijanje, smik ili torziju, pri čemu se uzima da je modul trupa prizmatičan, a poprečna struktura okomita na uzdužnu, te da velika ravninska krutost opločenja onemogućuje značajnije uzdužne pomake spojeva. U okvirima ovih pretpostavki može se zamisliti da se opći slom može dogoditi samo u uzdužnom smjeru i to slomom dovoljnog broja uzdužnih elemenata brodske grede što uzrokuje velik gubitak krutosti na savijanje, smik ili torziju i/ili u poprečnoj ravnini uslijed sloma dovoljnog broja elemenata da se stvori mehanizam u poprečnom orebrenju što smanjuje potporu elementima uzdužne čvrstoće. Uvođenjem ograničenja da su svi poprečni presjeci dovoljno čvrsti tako da bi svi uzdužni elementi doživjeli slom između dva poprečna presjeka, uzdužni i poprečni tipovi sloma postaju neovisni te se mogu analizirati odvojeno što dodatno olakšava postupak. Za uzdužni globalni slom brodskog trupa promatranog kao idealna greda prevladavajuće opterećenje je moment savijanja M, a glavni je odziv savijanje grede, što može biti izraženo pomoću zakrivljenosti grede χ. , Sl. 24. Svi ostali uzdužni odzivi mogu se predstaviti korekcijama ili modifikacijama glavnog odziva.

Slika 24. Ovisnost momenta savijanja o zakrivljenosti trupa

Granični moment savijanja Mult –nastupa kad se dovoljan broj elemenata unutar pojedinog segmenta brodskog trupa slomi bilo zbog vlačnog ili tlačnog opterećenja što se očituje u ekstremnoj vrijednosti na krivulji momenta savijanja ovisno o zakrivljenosti trupa, Sl. 24. Tijekom globalnog sloma razni paneli nalaze se u različitim stupnjevima slamanja i unutar svakog panela glavni efekt opterećenja je produženje ili skraćenje koje gredi nameće moment savijanja kao rezultat zakrivljenosti χ. Uzdužna se deformacija prije nastanka oštećenja određuje na osnovi teorije elastičnog savijanje grede. Budući da je svaki panel izložen procesu loma što uključuje popuštanje, izvijanje ili oboje, odgovarajuća raspodjela naprezanja preko presjeka kritičnog segmenta vrlo je nelinearna. Čak i unutar svakog panela odnos između srednjeg naprezanja i deformacije varira kako opterećenje raste. Svejedno, smatra se da raspored deformacija ostaje približno linearan sve do sloma grede. Prema tome, granične vrijednosti elemenata koje imaju najveću važnost u uzdužnom slomu su vrijednosti granične deformacije ULTε ukrepljenih panela. Za svaki panel granična deformacija

je količina nametnute tlačne deformacije koja uzrokuje slom tog panela. ULTεZa globalni slom u poprečnom smislu glavni efekt opterećenja je moment savijanja u nosačima koji čine poprečno orebrenje, posebno momenti na krajevima i sredini nosača. Taj efekt ima tri različite granične vrijednosti; kritični moment savijanja za savojno – torzijsko izvijanje te momenti i čije vrijednosti uzrokuju plastični zglob u nosaču te plastični mehanizam u pojasu nosača, zbog popuštanja pojasa. Slom se događa kada slomovi

CRM PM FYM


individualnih elemenata oslabe poprečno orebrenje koje više ne može pružati adekvatnu potporu glavnim uzdužnim elementima. To se uglavnom događa kada se u poprečnom orebrenju stvori plastični mehanizam. Prema pravilima (e:Rules for Classification of Steel Ships) registra BV za brodove jednake ili dulje od 150 m, potrebno je provjeriti graničnu izdržljivost savijanja brodskog trupa (e:the hull girder ultimate bending capacity) na bilo kojem presjeku trupa, prema slijedećem zahtjevu:

Rmu

MM γγ≥

Granični moment savijanja (e:ultimate bending moment) je uHu MM = za pregib (e:hogging) i za

progib (e:sagging), sl. 21. Parcijalni faktori sigurnost (e:partial safety factors) su određeni iskustveno kao uSu MM =

031R .=γ

and 021m .=γ tako da uračunavaju neizvjesnosti (e:uncertainties) obzirom na otpor trupa (e:resistance) i materijal. Momenti savijanja u pregibu i progibu trupa sw definiraju kao težinski zbroj momenata savijanja na mirnoj vodi (e:still water) i momenata savijanja na valovima (e:wave bending moments) wwss MMM ⋅+⋅= γγ gdje su e 01s .=γ i

101w .=γ parcijalni faktori sigurnosti koji pokrivaju neizvjesnosti u poznavanju momenata brodskog trupa na mirnoj vodi i na valovima. Klasifikacijska društva se za sada oslanjaju na skupinu inkrementalno – iterativnih postupaka analize progresivnog sloma s izračunatim krivuljama naprezanje – deformacija (eng. load – end shortening curves) uključenih u jedinstvene propise uzdužne čvrstoće IACS – a. Inkrementalni se dio postupka očituje u postupnom povećavanju zamišljene zakrivljenosti trupa broda promatranog kao greda. Iterativnim se putem u svakom koraku postupka dobiva novi položaj neutralne osi. Na kraju svakog koraka računa se ukupni odzivni moment savijanja zbrajanjem doprinosa momentu savijanja unutarnjih sila svakog pojedinog uzdužnog elementa u promatranom poprečnom presjeku. Rezultat postupka je krivulja momenta savijanja M u ovisnosti o zakrivljenosti c, a granični moment predstavlja vršne vrijednosti krivulje, u slučaju progiba (negativni predznak) i pregiba (pozitivni predznak). 5.4.1. Krivulje naprezanje-deformacije Sa šest vrsta krivulja koje predočavaju odnos naprezanja i deformacija σ – ε zvanih „load – end shortening curves“ IACS [2], opisuje se ponašanje tri vrste elemenata pri procesu sloma brodskog trupa: kruti kutevi (eng. hard corner), poprečno ukrepljena opločenja i uzdužno ukrepljeni paneli, ovisno o tlačnom ili vlačnom opterećenju, odnosno o položaju elementa u odnosu na neutralnu os poprečnog presjeka trupa broda. ELASTO – PLASTIČNI SLOM Krivulja elastično – plastičnog sloma opisuje ponašanje produljenih poprečno ili uzdužno ukrepljenih panela. Na primjer, taj način sloma prati panel dna pri progibu ili panel palube pri pregibu. Po ovom se načinu slamaju i kruti spojevi kao što su spojevi bočnih nosača dvodna s opločenjem dna ili pokrova dvodna. Naprezanje je pozitivno za produljenje, a negativno za skraćenje. Izraz koji daje naprezanje elementa glasi: 2

eHR , N/mm⎡ ⎤σ = Φ ⋅ ⎣ ⎦ , gdje je:

Φ : Granična funkcija definirana kako slijedi: 1 za 1 za 1 1

1 za 1

Φ = − ε < −Φ = ε − < ε <Φ = ε >

ε : Relativna deformacija: E

Y

εε =

ε

Eε : Deformacija elementa: i izε = χ ⋅

Yε : Deformacija popuštanja materijala: eHY

RE

ε =

eHR : Naprezanje tečenja materijala:

2eH

2eH

2eH

R 235 N/mm za B klasu čelika

R 315 N/mm za AH32 klasu čelika

R 355 N/mm za AH36 klasu čelika

=

=

=

E: Modul elastičnosti: 2E 206000 N/mm za čelik=


Krivulja naprezanja – deformacije za elasto – plastični slom prikazana je na slici 25.

Slika 25. Izgled krivulje σ – ε za elasto – plastični način sloma

GREDNO – ŠTAPNO IZVIJANJE Krivulja gredno – štapnog izvijanja opisuje slom skraćenih uzdužno ukrepljenih panela. Na primjer, na taj se način slamaju panel palube pri progibu ili panel dna pri pregibu. Na temelju rasporeda težina duž broda određuje se moment savijanja na mirnoj vodi.

Izraz naprezanja za gredno – štapno izvijanje: 2S E PC

S P

A 10 b t , N/mmA 10 s t+ ⋅ ⋅ ⎡ ⎤σ = Φσ ⎣ ⎦+ ⋅ ⋅

, gdje je:

Φ : Granična funkcija, kako je definirana ranije.

Cσ : Kritično naprezanje, [N/mm2]:

eHEC E

eH eHC eH E

E

R za 2

R RR 1 za 4 2

σσ = σ ≤ ε

ε⎛ ⎞Φ ε

σ = − σ > ε⎜ ⎟σ⎝ ⎠

ε : Relativna deformacija, kako je definirana anije.

Eσ : Eulerovo naprezanje štapnog izvijanja, [N/mm2]: 2 4EE 2

E

IE 10A l

−σ = π

EI : Moment tromosti običnih ukrepa, [cm4], s pridruženom širinom oplate E1b .

E1b : Širina pridružene oplate, [m]: E1 E

E

E1 E

sb za 1

b s za 1

= β >β

= β ≤

3 eHE

P

Rs 10t E

εβ =

EA : Površina presjeka, [cm2], običnih ukrepa s pridruženom širinom oplate Eb .

SA : Površina presjeka struka uzdužnjaka, [cm2]

s: Razmak uzdužnjaka, [m], : Debljina pridružene oplate, [mm] Pt

Eb : Širina pridružene oplate, [m]: E E2E E

E E

2.25 1.25b s za 1.25

b s za 1 .25

⎛ ⎞= − β >⎜ ⎟β β⎝ ⎠= β ≤

Izgled krivulje naprezanja – deformacije za ovaj način loma prikazan je na slici 26.

Slika 26. Izgled krivulje σ – ε za slom putem gredno – štapnog izvijanja


TORZIJSKO IZVIJANJE Po torzijskom se izvijanju također mogu slamati skraćeni uzdužno ukrepljeni paneli koji trpe lateralno – savojna opterećenja, Sl. 27.

Izraz koji daje naprezanje elementa: 2S C P CP

S P

A 10 s t , N/mmA 10 s t⋅σ + ⋅ ⋅ ⋅σ ⎡ ⎤σ = Φ ⎣ ⎦+ ⋅ ⋅

, gdje je:

Φ : Granična funkcija, kako je definirano ranije.


eHEC E

eH eHC eH E

E

R za 2

R RR 1 za 4 2

σσ = σ ≤ ε

ε⎛ ⎞Φ ⋅ ⋅ε

σ = − σ ≤ ε⎜ ⎟⋅σ⎝ ⎠

Eσ : Eulerovo naprezanje torzijskog izvijanja, [N/mm2]: ε : Relativna deformacija, kako je definirana ranije.

CPσ : Naprezanje izvijanja sunosive širine opločenja, [N/mm2]: CP eH E2E E

CP eH E

2.25 1.25 R za 1.25

R za 1 .25

⎛ ⎞σ = − β >⎜ ⎟β β⎝ ⎠σ = β ≤

Eβ : Koeficijent definiran u točci 4.2.2.



Slika 27. Izgled krivulje σ – ε za slom putem torzijskog izvijanja

LOKALNO IZVIJANJE STRUKA OBIČNIH UKREPA SASTAVLJENIH OD POJASNIH PROFILA Ovaj način slamanja prate skraćeni uzdužno ukrepljeni paneli.

Izraz za naprezanje elementa: 3

2E P W W E PeH 3

P W W E P

10 b t h t b tR , 10 s t h t b t

⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ N/mm⎡ ⎤σ = Φ ⋅ ⎣ ⎦⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅, gdje je:

Φ : Granična funkcija, kako je definirano ranije.

Eb : Širina pridružene oplate, [m], kako je definirana ranije.

Wh : Visina struka, [mm], : Debljina struka, [mm] Wt

WEh : Efektivna visina struka, [mm]: WE W W2E E

WE W W

2.25 1.25h h za >1.25

h h za 1.25

⎛ ⎞= − β⎜ ⎟β β⎝ ⎠= β ≤

Eβ : Koeficijent definiran ranije.

3 W eW

W

h R10t E

ε ⋅β = H

ε : Relativna deformacija, kako je definirano ranije. s: Razmak uzdužnjaka, [m], : Debljina pridružene oplate, [mm] Pt


LOKALNO IZVIJANJE STRUKA OBIČNIH UKREPA SASTAVLJENIH OD RAVNIH PROFILA Također ovaj način slamanja prate skraćeni uzdužno ukrepljeni paneli, Sl. 28.

Izraz za naprezanje elementa: 2P CP S C

S P

10 s t A , N/mmA 10 s t

⋅ ⋅ ⋅σ + ⋅σ ⎡ ⎤σ = Φ ⎣ ⎦+ ⋅ ⋅, gdje je:

Φ : Granična funkcija, kako je definirana ranije.

CPσ : Naprezanje izvijanja sunosive širine opločenja, [N/mm2], definirano ranije.


eHEC E

eH eHC eH E

E

R za 2

R RR 1 za 4 2

σσ = σ ≤ ε

ε⎛ ⎞Φ ⋅ ⋅ ε

σ = − σ ≤ ε⎜ ⎟⋅ σ⎝ ⎠

Eσ : Eulerovo lokalno naprezanje izvijanja, [N/mm2]: 2

WE

W

t160000h

⎛ ⎞σ = ⎜ ⎟

⎝ ⎠

ε : Relativna deformacija, kako je definirano ranije.



Slika 28. Izgled krivulje σ – ε za slom putem lokalnog izvijanja struka običnih ukrepa

IZVIJANJE OPLOČENJA Ovaj izraz opisuje način slamanja putem izvijanja poprečno ukrepljene oplate:

22

eH 2 2E E E

s 2.25 1.25 s 1R 0.1 1 1 , N/mml l

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎡ ⎤⎢ ⎥σ = − + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎣ ⎦β β β⎝ ⎠⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦, gdje je:

s: Razmak rebara, [m], l: Duljina ploče, [m]

Eβ : Koeficijent definiran ranije. 5.4.2. Inkrementalno-iteraivni postupak Narinuta zakrivljenost trupa χ izaziva uzdužne deformacije svakog strukturnog elementa trupa čije vrijednosti ovise o vertikalnom položaju elementa a naprezanje kojemu je podvrgnut pojedini element određuje se u nelinearnom elasto – plastičnom području pomoću krivulja „load – end shortening curves“ svakog elementa. Za svaki narinuti korak povećanja zakrivljenosti trupa χ, raspored naprezanja svih elemenata koji čine poprečni presjek trupa određuju položaj trenutne neutralne osi budući da u pojedinom koraku odnos naprezanja i deformacije σ – ε nije linearan. Nova neutralna os koja se odnosi na promatrani korak određuje se iterativnim putem, tako da se odredi ravnoteža između naprezanja koja djeluju u elementima strukture. Kada je određena neutralna os i prema tome respored naprezanja, moment savijanja Mi oko nove neutralne osi, koji odgovara zakrivljenosti u promatranom koraku χi, dobije se zbrajanjem doprinosa momentu savijanja svakog elementa posebno. Slijedeći su glavni koraci inkrementalno – iterativnog pristupa proračunu graničnog momenta savijanja: 1. Podjela poprečnog presjeka na elemente ukrepljenih panela 2. Određivanje neutralne osi za nedeformiranu strukturu 3. Definicija odnosa naprezanje – deformacija za sve elemente 4. Početak postupka određivanjem početne zakrivljenosti 5. Određivanje odgovarajućeg naprezanja za svaki element 6. Nalaženje nove neutralne osi postavljanjem uvjeta ravnoteže preko cijelog presjeka 7. Račun ukupnog momenta savijanja zbrajanjem doprinosa svih elemenata momentu savijanja


Početna se zakrivljenost dobije iz izraza: gdje je 0 Y0.01χ = ⋅ε Yε deformacija popuštanja.

Deformacija popuštanja: eHY

RE

ε = .

Postavljanje ravnoteže naprezanja preko cijelog poprečnog presjeka trupa izvodi se tako da sila koju uzrokuje naprezanje u elementima iznad neutralne osi bude jednaka sili koju izaziva naprezanje u elementima ispod neutralne osi. Jednadžba uvjeta ravnoteže: , [N], gdje je i indeks elemenata ispod, a j indeks elemenata iznad neutralne osi. Kada je izračunata neutralna os za pojedini korak, zbrajaju se doprinosu naprezanja svih elemenata presjeka ukupnom momentu savijanja, prema izrazu:

i i j jA AΣ σ = Σ σ

[ ]U Ui i i NOiM A (z z ) , N= Σσ − m

Algoritam numeričkog rješenja preuzet je od IACS – a, a prikazan je na Sl. 29. Iz slike su vidljivi inkrementalni i iterativni dijelovi procedure.

Slika 29. Algoritam numeričkog rješenja proračuna graničnog momenta savijanja, [2]

Granični momenti savijanja poprečnog presjeka brodskog trupa prema Smith-ovom inkrementalno-iterativnom postupku zasnovanom na teoriji grede, određuju se kao maksimalne vrijednosti krivulje izdržljivosti na moment čistog savijanja M u ovisnosti od zakrivljenosti χ brodskog trupa promatranog kao grede na odabranom poprečnom presjeku, sl. 30. Krivulja χ−M na sl. 30, se određuje na osnovi inkrementalno-iterativnog postupka (e:incremental-iterative

procedure). U svakom koraku iteracije j inkrementalnog postupka moment se savijanja izračunava za nametnuti

kut rotacije jM

jχ poprečnih presjeka brodskog trupa oko vodoravne neutralne osi za prirast jχ∆ relativno prema

prethodnom koraku, u iznosu od j1jj χχχ ∆= +− .

Time postignute relativne aksijalne deformacije jε uslijed narinutog prirasta rotacije presjeka jχ∆ , izazivaju produljenja i skraćena uzdužnih elemenata brodskog trupa ovisno o njihovom položaju po visini poprečnog presjeka trupa broda. Lokalna naprezanja izazvana u svakom strukturnom elementu za narinutu rotaciju i za narinutu rotaciju u koraku j se određuju iz krivulja opterećenja u ovisnosti od deformacija krajeva elemenata (e:load-end-shortening curves)

jiR ,

ε−R prema klasifikacijskim društvima (e:Classification Societies), koje uzimaju u obzir


nelinearno-plastična svojstva (e:non-linear elasto-plastic characteristics) za moguće mehanizme sloma korištenjem rubnih funkcija (e:edge function) definiranih u slijedećem obliku . Φ h

ejiji RR ⋅Φ= )(, χPostupak razmatra krivulje opterećenja u ovisnosti od deformacija (e:load-end-shortening curves) za elastično plastični slom produljenih poprečno orebrenih panela i običnih okrepa (e:elasto-plastic collapse of lengthened transversely framed plating panel or ordinary stiffeners), kao i obično izvijanje grede(e:beam column buckling), izvijanje uslijed uvijanja (e:torsional buckling) i lokalno izvijanje skraćenih pojaseva običnih ukrepa (e:web local buckling for shortened flanged ordinary stiffeners) i izvijanje opločenja skraćenih poprečno orebrenih panela (e:plate buckling of shortened transversely framed plating). Novi položaj neutralne linije (e:neutral axes) za inkrementalni prirast zakrivljenosti jχ , kao i granični moment

savijanja brodskog trupa (e:ultimate bending moment of a hull girder) određuju se kao [ ])j

EIM30

u M(χM maxe

j ±≤≤

=χ

na

osnovi iterativnog postupka (e:iterative procedure) do postizanja ravnoteže među svim djelujućim naprezanjima u strukturnim elementima brodskog trupa eji N21iR ,...,,,, = koristeći geometrijska svojstva uzdužni elemenata poprečnog presjeka trupa prema slijedećoj jednadžbi:

∑∑∑===

⋅Φ⋅⋅Γ=⋅⋅Γ⋅Φ⋅=⋅⋅=e

ei

eji

e N

1ii

A

iiiihe

N

1iiii

R

jihe

N

1iiijij zARzARzARM(χ )()()

,

, χχ )

Iz gornje je jednadžbe očito da se rubna funkcija Φ može primijeniti bilo kao lokalni korekcioni faktor za popravke naprezanja obzirom na granicu popuštanja (e:yield stress) ili kao korekcioni faktor za popravke površina poprečnih presjeka pojedinih uzdužnih elemenata.

heR

-1-0,8-0,6-0,4-0,2

00,20,40,60,8

1

-3 -2 -1 0 1 2 3

Zakrivljenost -

Gra

ničn

i mom

ent s

avija

nja

- Mu

/ M

p

M e

Pregib

Progib

+1.75-1.25

M uS

M uH

FχFχ− Eχ

Eχχ /

Slika 30. Krivulja izdržljivosti trupa na moment čistog savijanja u ovisnosti od zakrivljenost trupa χ


Primjer: Određivanje momenta otpora plastičnom savijanju za neoštećeni i oštećeni simetrični kutijasti nosač Promatra se simetrični kutijasti nosač u neoštećenom i oštećenom stanju, sl. 31. Ovaj je primjer odabran zbog jednostavnosti i sličnosti s brodskim trupom. Zbog jednostavnijeg računa i bolje preglednosti u izrazima se koristi pretpostavka da je debljina stjenke t znatno manje u usporedbi sa širinom i visinom B. a) Neoštećeni presjek b) Oštećeni presjek

Slika 31. Oštećeni i neoštećeni simetrični kutijasti nosač, t << B

t

A/2

A/2

d B

B

t

A/2

A/2 c

d B

B

a. Neoštećeni presjek Ukupna površina neoštećenog presjeka: , Statički moment gornje i donje polupovršina

obzirom na horizontalnu simetralu presjeka:

BttBBA 4)2( 22 ≈−−=

BAtBBtBBBtS A 283

43

422

22

2/1≈=+=

Krak para sila: BA

Sd A

434 2/1 ≈=

Moment otpora presjeka plastičnom savijanju: ABtBWdAM pppppop 8

323

22 σσσσ ≈≈==

Moment tromosti presjeka: 2344

61

32

12)(

12ABtBtBBI ≈≈

−−=

Moment otpora presjeka elastičnom savijanju: ABtBWy

IM ppeppoe 3

1341 2

max

σσσσ ≈≈==

Moduli presjeka obzirom na elastičnost i plastičnost: ABtBWABtBW pe 83

23,

31

34 22 ≈≈≈≈

Faktor oblika za neoštećeni presjek: 125.189=≈≈ o

e

op

M

Mν

b. Oštećeni presjek Ukupna površina oštećenog presjeka: , Statički moment gornje i donje polupovršina BtA 3≈

obzirom na horizontalnu simetralu presjeka: BAtBBtBBBtS A 385

85

4222

2/1≈=+=

Krak para sila: BA

Sd A

654 2/1 ≈= Na vodoravnoj udaljenosti: c=B/6

6Bc =

Moment otpora presjeka plastičnom savijanju: ABtBWdAM pppppop 12

545

22 σσσσ ≈≈==

Moment tromosti presjeka: 23233

367

127

42

122

12ABtBBBtBttBI ≈≈++≈

Moment otpora presjeka elastičnom savijanju: ABtBWy

IM ppeppoe 18

7671 2

max

σσσσ ≈≈==

Moduli presjeka obzirom na elastičnost i plastičnost: ABtBWABtBW pe 125

45,

187

67 22 =≈≈≈≈

Faktor oblika za oštećeni presjek: 0714.11415

=≈≈ oe

op

M

Mν

Documents

UZDUŽNA ČVRSTOĆA BRODA