Uwaga: wywieszam te notatki z dobrodziejstwem inwentarza – w

-1 H. Toruńczyk, AF I∗ (jesień 010)

Uwaga: wywieszam te notatki z dobrodziejstwem inwentarza – w szeregu miejscodwołania do wcześniejszych wyników czy zadań są niewypełnione, by wymienić tylkoewidentne braki.

Konwencje a) Gdy mówimy o „podprzestrzeniach” przestrzeni wektorowych, mamyna myśli podprzestrzenie liniowe.

b) „Operatorami” nazywamy przekształcenia między przestrzeniami wektorowymi.„Funkcjonał” to operator o wartościach skalarnych. Jeśli nie powiedziano inaczej, do-myślnie zakładamy liniowość rozważanych operatorów (w tym funkcjonałów).

c) Przez F oznaczamy ciało skalarów rozważanych przestrzeni wektorowych, i za-kładamy zawsze, że F ∈ {R,C}.

§ 1. Zbiory wypukłe i funkcje wypukłe

1. Definicje i zadania wstępne.

Niech V będzie rzeczywistą lub zespoloną przestrzenią wektorową (=liniową).

Definicja. Odcinkiem (domkniętym) w V , o końcach x1, x2 ∈ V, nazywamy zbiór[x1, x2] = {tx1 + (1− t)x2 : t ∈ [0, 1]}.Zadanie 1. Udowodnić następujący aksjomat Pascha: gdy b′ ∈ [a, v] i a′ ∈ [b, v],to [a, a′] ∩ [b, b′] 6= ∅.Definicja. Zbiór X ⊂ V nazywamy wypukłym, gdy [x1, x2] ⊂ X dla każdych x1, x2 ∈X. Spośród wszystkich wypukłych nadzbiorów danego zbioru A ⊂ V istnieje naj-mniejszy (dlaczego?); nazywamy go uwypukleniem lub powłoką wypukłą zbioruA i oznaczamy conv(A).

Zadanie 2. a) conv(A) = {t1a1 + . . . tnan : n ∈ N, a1, . . . , an ∈ A, t1, . . . , tn ∈[0, 1] oraz

∑i ti = 1}.

b) Gdy zbiory A,B ⊂ V są niepuste, to conv(A ∪ B) = conv(convA ∪ convB), agdy są one ponadto wypukłe, to conv(A ∪B) =

⋃{[a, b] : a ∈ A, b ∈ B}.

Definicja. Funkcję p : X → [−∞,∞), gdzie X ⊂ V , nazywamy wypukłą, jeśli Xjest zbiorem wypukłym i p(tx1 + (1 − t)x2) ≤ tp(x1) + (1 − t)p(x2) dla x1, x2 ∈ X

i t ∈ (0,∞). (Przyjmujemy t · (−∞) = −∞ = (−∞) + s = (−∞) + (−∞) dlas ∈ R, t ∈ (0, 1). Wartość −∞ dopuszczamy ze względu na poniższe zadanie.)

Uwaga 1. a) Jeśli funkcja p : X → [−∞,∞) jest wypukła i zbiór X jest symetrycznywzględem 0V (tzn. −X = X), to p(0V ) = −∞ lub p(X) ⊂ R.

b) Gdy funkcje p : X → R i −p obie są wypukłe, to p jest funkcją R–afiniczną,tzn. p(ty + (1− t)z) = tp(y) + (1− t)p(z) dla y, z ∈ X i t ∈ [0, 1].


Uwaga 2. Przy A = {(x, t) ∈ X × R : t > p(x)} i A = {(x, t) ∈ X × R : t ≥ p(x)},wypukłość funkcji p : X → R jest równoważna wypukłości któregokolwiek ze zbiorówA lub A, a także temu by conv(A) ⊂ A, czy też by conv({(x, p(x)) : x ∈ X}) ⊂ A.Dowód jest polecany jako ćwiczenie, choć z uwagi dalej nie korzystamy.

Zadanie 3. Niech A ⊂ V ×R będzie zbiorem wypukłym, którego rzut na V oznaczmyprzez X. Wówczas funkcja p : X → [−∞,∞), określona wzorem p(x) = inf{c :(x, c) ∈ A}, jest wypukła.

Zadanie 4. Niech X ⊂ V będzie zbiorem wypukłym, takim, że 0V ∈ X. Wówczas:a) Zbiór V0 = {sx− ty : x, y ∈ X, s, t ∈ [0,∞)} jest powłoką liniową zbioru X.b) Każdą funkcję R–afiniczną ϕ0 : X → R taką, że ϕ0(0V ) = 0R, można przedłużyć

do funkcji R–liniowej ϕ : V → R. (Wskazówka: sprawdzić, że wzór sx − ty 7→sϕ0(x) − tϕ0(y) poprawnie określa przedłużenie na V0. Rozszerzenie na V uzyskaćkorzystając z twierdzenia z GALu: V = V0 ⊕ V1 dla pewnej podprzestrzeni V .)

2. Twierdzenia Kakutaniego, Mazura–Orlicza oraz wersja Mazura tw. Hahna–Banacha.

Twierdzenie 1 (Kakutaniego). Rozłączne, wypukłe podzbiory A i B rzeczywistej lubzespolonej przestrzeni wektorowej V można powiększyć do rozłącznych i wypukłychzbiorów A i B, których suma mnogościowa jest całą przestrzenią: A ∪ B = V .

Dowód. W zbiorze wszystkich par (P,Q) wypukłych podzbiorów przestrzeni V takich,że P ⊃ A i Q ⊃ B, wprowadźmy relację (P,Q) � (P ′, Q′) ⇔ P ⊃ P ′ i Q ⊃ Q′.Wśród par, dla których ponadto P ∩Q = ∅, istnieje na mocy lematu Kuratowskiego–Zorna para maksymalna (A, B). Pozostaje dowieść, że A ∪ B = V .

Przypuśćmy, że jest przeciwnie i niech v 6∈ A∪ B. Ponieważ (conv(A∪ {v}), B) �(A, B), więc z maksymalności pary (A, B) wynika, że conv(A ∪ {v}) ∩ B 6= ∅, a tymsamym [a, v] ∩ B 6= ∅ dla pewnego a ∈ A. (Korzystamy z zadania 2 b).) Tak samo,[b, v]∩ A 6= ∅ dla pewnego b ∈ B. Istnieją więc a, a′ ∈ A i b, b′ ∈ B takie, że a′ ∈ [b, v]i b′ ∈ [a, v]. Ale wtedy [a, a′] ⊂ A i [b, b′] ⊂ B wobec wypukłości zbiorów A i B, atakże [a, a′]∩ [b, b′] 6= ∅ na mocy zadania 1. Otrzymaliśmy sprzeczność, bo A∩ B = ∅,i to kończy dowód twierdzenia. �

Twierdzenie 2 (wersja twierdzenia S. Mazura i W. Orlicza). Gdy S ⊂ V × R jestzbiorem, którego rzut na V jest symetryczny względem 0V , to równoważne są warunki:

a) istnieje taka R–liniowa funkcja ϕ : V → R, że zbiór S leży nad jej wykre-sem, tzn. dla każdego punktu (x, c) ∈ S zachodzi c ≥ ϕ(x).

b)∑

γ tγcγ ≥ 0 dla każdych skończonych układów {(xγ, cγ)}γ∈Γ ⊂ S i {tγ}γ∈Γ ⊂(0,∞) takich, że

∑γ tγxγ = 0,

c) zbiór conv(S) jest rozłączny z półprostą {0V } × (−∞, 0).


Dowód. Gdy ϕ zaświadcza o prawdziwości a), to dla układów {tγ}γ∈Γ i {(xγ, cγ)}γ∈Γ

opisanych w b) zachodzi∑

γ tγcγ ≥∑

γ tγϕ(xγ) = ϕ(∑

γ tγxγ) = 0. Zatem a)⇒b), adowód implikacji b)⇒c) jest równie prosty. (Korzystamy z zadania 2a).)

Niech teraz spełniony będzie warunek c) i przyjmijmyA = conv(S∪{(0V , 0R)}), B ={0V }× (−∞, 0). Z c) wynika, że A∩B = ∅. (Wykorzystujemy to, A =

⋃{[(0, 0), s] :

s ∈ conv(S)} na podstawie zadania 2b).) Z twierdzenia Kakutaniego wynika więcistnienie rozłącznych zbiorów wypukłych A, B ⊂ V × R takich, że A ⊂ A, B ⊂ B iA ∪ B = V × R.

Oznaczmy przez X uwypuklenie rzutu zbioru S na V , a przez ϕ0 : X → [−∞,∞)funkcję x 7→ inf{c : (x, c) ∈ A}. Zbiór X jest wypukły i symetryczny względem 0V ;ponadto ϕ0(0V ) = 0 i wykres funkcji ϕ0 przebiega pod zbiorem S. Z zadań 3 i uwagi1a) wnosimy, że funkcja ta jest wypukła i nie przyjmuje wartości −∞. Ponieważ A i Bprzecinają prostą {x}×R wzdłuż dopełniających się zbiorów wypukłych, więc zachodziteż ϕ0(x) = sup{c ∈ R : (x, c) ∈ B}. Tym samym −ϕ0(x) = inf{c ∈ R : (x, c) ∈ B′},gdzie B′ = {(x,−c) : (x, c) ∈ B} nadal jest zbiorem wypukłym. Stąd jak wyżej wynikawypukłość funkcji −ϕ0. Na podstawie uwagi 1b) i zadania 4, funkcja ϕ0 : X → R jestR–afiniczna i daje się rozszerzyć do szukanej w a) funkcji R–liniowej ϕ : V → R. �

Twierdzenie 3 (wzmocnienie Mazura tw. Hahna–Banacha). Niech V0 będzie pod-przestrzenią rzeczywistej lub zespolonej przestrzeni liniowej V , a funkcje R–liniowaϕ0 : V0 → R i wypukła p : V → R niech spełniają warunek ϕ0 ≤ p|V0

. Wówczas ϕ0

można przedłużyć do R–liniowej funkcji ϕ : V → R takiej, że ϕ ≤ p.

Dowód. Niech S = {(v, p(v)) : v ∈ V } ∪ {(v, ϕ0(v)) : v ∈ V0}. Wystarczy dowieść,że zbiór S spełnia warunek b) twierdzenia 2. Istotnie, funkcja liniowa ϕ, istniejąca namocy tego twierdzenia, spełni warunki ϕ ≤ p oraz ϕ|V0

≤ ϕ0. Ostatni warunek, wrazz antysymetrią funkcjonałów ϕ|V0

i ϕ0, pociąga za sobą żądaną równość ϕ|V0= ϕ0.

Sprawdzenie warunku b): niech dane będą skończone układy wektorów {vi}i∈I ⊂ V

i {wj}j∈J ⊂ V0 oraz układy skalarów {si}i∈I , {tj}j∈J ⊂ (0,∞), takie, że∑

i sivi +∑j tjwj = 0; mamy sprawdzić, że c :=

∑i sip(vi) +

∑j tjϕ0(wj) ≥ 0. Przyjmijmy

v :=∑

i(si/s)vi i w :=∑

j(tj/t)wj, gdzie s :=∑

i si, t :=∑

j tj. Z wypukłości p iϕ0 otrzymujemy

∑i sip(vi) ≥ sp(v) i

∑j tjϕ0(wj) ≥ tϕ0(w), a z równości

∑i sivi +∑

j tjwj = 0 – że sv+tw = 0. Ponieważ tw =∑

j tjwj ∈ V0, więc i v = −(t/s)w ∈ V0,wobec czego c ≥ sp(v) + tϕ0(w) ≥ sϕ0(v) + tϕ0(w) = ϕ0(sv + tw) = ϕ0(0) = 0.

Wniosek 1. Jeśli funkcja wypukła p : V → R spełnia warunek p(0V ) ≥ 0, to p ≥ ϕ

dla pewnej R-liniowej funkcji ϕ : V → R.


3. Przedłużanie funkcjonałów zespolonych

Lemat 1. Gdy ψ : V → R jest funkcjonałem R–liniowym na zespolonej przestrzeniwektorowej V , to istnieje dokładnie jeden C–liniowy funkcjonał ϕ : V → C taki, żeψ = Reϕ; jest on zadany wzorem

ϕ(v) = ψ(v)− iψ(iv) dla v ∈ V. (1)

Ponadto, gdy p : V → R jest funkcją spełniającą warunek

p(λv) = p(v) dla wszystkich v ∈ V i λ ∈ C takich, że |λ| = 1, (2)

to (|ϕ| ≤ p) ⇔ (ψ ≤ p).

Dowód. Uzasadnienie początkowej części tezy pozostawione jest jako ćwiczenie. Dladowodu pozostałej części ustalmy v ∈ V i przyjmijmy λ = |ϕ(v)|/ϕ(v) jeśli ϕ(v) 6= 0,zaś λ = 1 jeśli ϕ(v) = 0. Wówczas ϕ(λv) = |ϕ(v)| ∈ R, skąd ψ(λv) = |ϕ(v)|.Ponieważ |λ| = 1, więc gdy zachodzi (2) i ψ ≤ p, to |ϕ(v)| ≤ p(λv) = p(v). �

Wniosek 1 (wersja tw. Sobczyka i Bohnenblusta). Niech V0 będzie podprzestrzeniązespolonej przestrzeni liniowej V , zaś funkcje wypukła p : V → R i C–liniowa ϕ0 :V0 → F niech spełniają warunek Reϕ0 ≤ p|V0

. Wówczas ϕ0 można przedłużyć dofunkcji C–liniowej ϕ : V → F takiej, że Reϕ ≤ p. Jeśli funkcja p spełnia warunek(2), to przedłużona funkcja ϕ spełnia warunek |ϕ| ≤ p. �

§ 2. Przestrzenie Banacha, unormowane, liniowo–metryczne

1. Definicje i przykłady

Definicja. Norma i metryka wyznaczona przez normę; przesuwalność tej metryki, wek-torowa przestrzeń unormowana; przestrzeń Banacha.

Gdy mówimy o podprzestrzeni przestrzeni unormowanej (V, || ||), rozpatrujemy jąz normą indukowaną przez || ||, chyba, że powiedziano inaczej.

Przykłady:a) `∞(Γ; F) = zbiór funkcji ograniczonych Γ → F, z normą „sup”: ||x|| = supγ∈Γ |x(γ)|.

(Dowód zupełności podany na Topologii I.) Często zamiast x(γ) piszemy xγ, traktującx = (xγ)γ∈Γ jako indeksowaną rodzinę skalarów. (Tak samo jest ze wprowadzonyminiżej przestrzeniami `p(Γ) i c0(Γ).)

b) Gdy X jest przestrzenią zwartą, to przez C(X; F) oznaczymy przestrzeń funkcjiciągłychX → F, również wyposażoną w normę „sup”. Jest to domknięta podprzestrzeńprzestrzeni `∞(X; F), a więc jest to przestrzeń Banacha.


c) Gdy X jest przestrzenią topologiczną, to przez Cc(X; F) oznaczmy przestrzeńfunkcji ciągłych f : X → F, których nośnik cl{x ∈ X : f(x) 6= 0} jest zwarty.Przez C0(X; F) oznaczymy zaś domknięcie tej przestrzeni w `∞(X; F); obie przestrze-nie Cc(X; F) i C0(X; F) rozpatrujemy z normą „sup”. Przestrzeń C0(X; F) jest wiecprzestrzenią Banacha, lecz Cc(X; F) nią nie jest np. gdy X = R lub X = N (dla-czego?).

d) Przestrzenie c wszystkich ciągów zbieżnych i jej podprzestrzeń c0 wszystkichciągów zbieżnych do 0, obie rozpatrywane z normą „sup”. (Gdy gra rolę to, czy ciągisą zespolone, czy rzeczywiste, zaznaczamy to oddzielnie.) c można utożsamić z przy-padkiem szczególnym przestrzeni C(X) dla X = {1, 2, . . . ,∞} z jedynym punktemskupienia, równym ∞; natomiast c0 jest przypadkiem szczególnym przestrzeni C0(X)dla przestrzeni dyskretnej X = N. Są to więc przestrzenie Banacha.

e) Ogólniej, oznaczamy przez c0(Γ; F) przestrzeń Banacha C0(Γ; F), gdzie zbiór Γwyposażony jest w topologię dyskretną. Wówczas (co należy sprawdzić) C0(Γ; F) ={(xγ) ∈ `∞(Γ; F) : #{γ ∈ Γ : |xγ| > ε} <∞∀ε > 0}, przy czym ||x|| = maxγ |xγ|.

f) Niech D oznacza otwarty dysk jednostkowy {z ∈ C : |z| < 1}, zaś H(D)–zbiórwszystkich funkcji ciągłych na dyskuD, które są holomorficzne wD. PrzestrzeńH(D)traktujemy jako podprzestrzeń przestrzeni unormowanej C(D). Podprzestrzeń ta jestdomknięta, na mocy twierdzenia Weierstrassa o granicy jednostajnej ciągu funkcjiholomorficznych, wobec czego H(D) jest przestrzenią Banacha.

g) Niech µ będzie przeliczalnie addytywną miarą na sigma–ciele Σ podzbiorów pew-nego zbioru T . W zbiorze skalarnych funkcji mierzalnych, określonych µ-p.w. na T ,wprowadźmy relacje równości µ–prawie wszędzie i oznaczmy przez M zbiór otrzyma-nych klas abstrakcji (tzn. [f ] = [g] jeśli takie funkcje f i g są określone i równe pozazbiorem miary zero). Dla takiej funkcji f przyjmijmy też:

||f ||p = || [f ] ||p :=( ∫

T

|f |pdµ)1/p

gdy p ∈ (1,∞)

||f ||∞ = || [f ] ||∞ := inf{M > 0 : |f(t)| ≤M dla µ−p.w. t ∈ T}oraz

Lp(µ; F) = Lp(T,Σ, µ; F) := {[f ] ∈M : ||f ||p <∞}Będziemy też dla krótkości pisać (co nie jest precyzyjne), że f ∈ Lp(µ), jeśli [f ] ∈Lp(µ). Odnotujmy, że gdy F = R, to w zbiorze rozważanych funkcji (i wyznaczonychprzez nie klas) mamy relację „f ≤ g µ-p.w.”, którą oznaczamy ≤.

Dla miary liczącej µ na pewnym zbiorze A (tzn. miary takiej, że µ({a}) = 1 dlakażdego punktu a ∈ A) otrzymujemy przy p ∈ [1,∞) następującą przestrzeń:

`p(A; F) = {f : A→ F : ||f ||p <∞}, gdzie ||f ||p =( ∑

a∈A

|f(a)|p)1/p


Natomiast przy p = ∞ otrzymujemy przestrzeń `∞(A; F) z przykładu a).

Na ogół zaznaczanie ciała skalarów F pomijamy; piszemy też LFp(µ) i CF(X) zamiast

Lp(µ; F) czy C(X; F) oraz `p zamiast `p(N), a także Lp(I) zamiast Lp(µ), gdy µ jestmiarą Lebesgue’a na odcinku I.

Twierdzenie 1. (LFp(µ), || ||p) jest dla dla p ∈ [1,∞] przestrzenią Banacha nad F.

2. Dowód twierdzenia 1 i związane z nim wyniki.

Lemat 1. Dla wektorowej przestrzeni unormowanej (V, || ||) równoważne są warunki:a) Gdy vn ∈ V dla n ∈ N i

∑n ||vn|| < ∞, to szereg

∑∞n=1 vn jest zbieżny w

przestrzeni V (czyli ciąg sum cząstkowych σn = v1 + · · ·+ vn ma w niej granicę).b) Gdy vn ∈ V i ||vn|| ≤ 2−n dla każdego n ∈ N, to szereg

∑∞n=1 vn jest zbieżny w V .

c) Norma || || jest zupełna.

Twierdzenie 2. Gdy p, q ∈ [1,∞] i 1p + 1

q = 1, to prawdziwe są:a) Nierówność Höldera: ||f · h||1 ≤ ||f ||p · ||h||q dla f ∈ Lp(µ) i h ∈ Lq(µ)b) Nierówność Minkowskiego: ||f + g||p ≤ ||f ||p + ||g||p dla f, g ∈ Lp(µ).

Twierdzenie 3 (Lebesgue’a o zbieżności monotonicznej). Niech ciąg mierzalnychfunkcji fn : T → R będzie monotonicznie µ–p.w. zbieżny do funkcji f . Jeśli

a) wszystkie funkcje fn są nieujemne, lubb) istnieje funkcja całkowalna g taka, że |fn| ≤ g dla każdego n,

to w R ∪ {+∞} istnieje tak całka∫

T fdµ, jak i granica limn

∫T fndµ, i są one równe.

Twierdzenie 4 (Lebesgue’a o zbieżności majoryzowanej w Lp). Niech funkcje fn (n ∈N) i g należą do LF

p(µ) i spełniają warunek |fn| ≤ g dla każdego n. Jeśli ciąg fn jestµ-p.w. zbieżny do pewnej funkcji f , to ||f − fn||p → 0 (i w szczególności f ∈ LF

p(µ)).

Dowód. Możemy (i będziemy) zakładać, że F = R -inaczej rozpatrzymy oddzielnieczęści rzeczywiste i urojone. Niech un(t) = inf{fi(t) : i ≥ n} i vn(t) = sup{fi(t) : i ≥n} dla t ∈ T i n ∈ N. Funkcje un i vn spełniają dla każdego n warunki un ≤ fn ≤ vn

i |un|, |vn| ≤ g. Ponieważ (vn − un)p ≤ 2pgp i ciąg vn − un jest monotonicznie zbieżny

do 0, więc ||un − vn||p → 0. To daje tezę, bo |f − fn| ≤ vn − un. �

Dowód zupełności normy || ||p. Niech funkcje vn ∈ Lp(µ) będą takie, że ||vn|| ≤1/2n dla n ∈ N; dowiedziemy, że szereg

∑n vn jest w Lp(µ) zbieżny. Przyjmijmy

gn =∑n

i=1 |vi|. Z nierówności Minkowskiego,∫

T gpn dµ ≤ (

∑ni=1 ||fi||p)p ≤ 1p; a że

g1 ≤ g2 ≤ ..., to funkcja g := limn gn : T → [0,∞] spełnia warunek |g|p ≤ 1.W szczególności, zbiór T0 := g−1(∞) jest miary 0. Dla t 6∈ T0 szereg

∑i vi(t)

jest bezwzględnie zbieżny do pewnej liczby v(t), a dla t 6∈ T0 przyjmijmy v(t) =0. Ponieważ |

∑ni=1 vi| ≤ g dla n = 1, 2, ..., więc z twierdzenia 4 wynika, że ||v −∑n

i=1 vi||p → 0 i v ∈ Lp(µ). To kończy dowód. �


Twierdzenie 5. Niech p ∈ [1,∞] i niech ciąg (fn) będzie w Lp(µ) zbieżny do f .Wówczas (fn) zawiera podciąg, który jest zbieżny µ-p.w. do f i ma tę własność, żedla każdego ε > 0 jest on do f zbieżny jednostajnie poza zbiorem miary < ε.

Dowód jest pozostawiony jako zadanie. (Wskazówka: obrać nk tak, by ||fnk||p <

1/22k dla k ∈ N.)

Zadanie 1. Dla r, s, t ∈ [1,∞] i funkcji µ–mierzalnych f, g, h udowodnić, żea) jeśli 1

t = 1r + 1

s , to ||f · g||t ≤ ||f ||r · ||g||s;b) jeśli 1

r + 1s + 1

t = 1, to ||fgh||1 ≤ ||f ||r|| · ||g||s · ||h||t;c) jeśli 1

t = cr + 1−c

s i c ∈ [0, 1], to ||f ||t ≤ ||f ||cr · ||f ||1−cs . (Jest to nierówność

Liapunowa.)

§ 3. Norma operatora liniowego, kilka operacji prowadzących do prze-strzeni Banacha i przestrzenie skończenie–wymiarowe.

1. Operatory liniowe ciągłe

Przekształcenia (operatory) liniowe. Gdy działają one pomiędzy prz. unormowanymi,można mówić o ich ciągłości. Normę operatora liniowego L : V → W określamywzorem

||L|| = sup{||L(v)||W : ||v||V ≤ 1} ∈ [0,∞]

Twierdzenie 1 (własności charakterystyczne ciągłych operatorów liniowych). NiechV i W będą wektorowymi przestrzeniami unormowanymi. Dla przekształcenia linio-wego L : V → W równoważne są warunki:

1) Przekształcenie L jest ciągłe.2) Przekształcenie to jest ciągłe w pewnym punkcie v0 ∈ V .3) Pewna kula BV (v0, r), r > 0, jest przez L przeprowadzana na zbiór ograniczony.4) L przeprowadza każdy ograniczony podzbiór przestrzeni V na ograniczony pod-

zbiór przestrzeni W .5) Istnieje stała C <∞ taka, że ||L(v)||W ≤ C||L(v)||W dla wszystkich v ∈ V (lub

równoważnie: taka, że przekształcenie L spełnia warunek Lipschitza z tą stałą, tzn.||L(v1)− L(v2)||W ≤ C||v1 − v2||V dla wszystkich v1, v2 ∈ V ). �

Uwaga 1. Prawdziwe są równości ||L|| = sup{||L(v)|| : ||v|| = 1} oraz

||L|| = inf{C : ||L(v)||W ≤ C||v||V dla wszystkich v ∈ V }.

Najmniejsza stała C w warunku 5) jest więc osiągana i jest równa ||L||.


Ze względu na równoważność warunków 4) i 1), ciągłe operatory liniowe nazywane sąteż ograniczonymi. Jest to uzasadnione i tym, że ciągłość operatora jest równoważnaskończoności jego normy (co wynika z twierdzenia).

Dla operatorów o wartościach skalarnych, nazywanych funkcjonałami, prawdziwejest takie kryterium ciągłości (które jednak zawodzi dla ogólniejszych operatorów):

Stwierdzenie 1. Funkcjonał liniowy na przestrzeni unormowanej jest ciągły wtedy itylko wtedy, gdy jego jądro jest podprzestrzenią domkniętą.

Dowód. Przypuśćmy, że jądro V0 funkcjonału ϕ : V → F jest podprzestrzenią do-mkniętą. Jeśli ϕ−1(1) 6= ∅, to dla dowolnego v ∈ ϕ−1(1) zachodzi ϕ−1(1) = v +V0. Zbiór ϕ−1(1) jest więc domknięty i nie zawiera zera, wobec czego pewna kulaB(0, r), r > 0, jest z nim rozłączna. Gdy więc x ∈ V i ||x|| = 1, to |ϕ(x)| ≤ 1/r, bow przeciwnym razie dla y = 1

ϕ(x)x mielibyśmy ϕ(y) = 1 i ||y|| ≤ r. Stąd zaś wynika, że||ϕ|| ≤ 1/r <∞, czyli funkcjonał ϕ jest ciągły. Implikacja przeciwna jest oczywista.

Definicja. Przekształcenie L ∈ L(V,W ) nazywamy izomorfizmem liniowo–topologicznym,gdy jest ono homeomorfizmem (równoważnie: gdy jest ono bijektywne i L−1 ∈ L(W,V )).Natomiast nazwiemy je zanurzeniem liniowo-topologicznym, gdy jest homeomor-fizmem na swój obraz L(V ). Zwrot „liniowo-topologiczny” będziemy często opuszczać.

Wniosek 1. Przekształcenie liniowe L : V → W wtedy i tylko wtedy jest zanurzeniem,gdy istnieją stałe 0 < c ≤ C <∞ takie, że

c||v||V ≤ ||L(v)||W ≤ C||v||V dla wszystkich v ∈ V.

Uwaga 2. Każde ciągłe przekształcenie liniowe na przestrzeni V jest wyznaczoneprzez swe obcięcie do jakiegokolwiek zbioru liniowo gęstego w V –tzn. takiego, któ-rego powłoka liniowa jest gęsta w V . (Dwa operatory liniowe, równe na jakimś zbiorze,są bowiem równe na jego powłoce liniowej; a gdy są ciągłe – to i na jej domknięciu.)Przykłady takich zbiorów są podane w zadaniach.

Wniosek 2. Operator ograniczony L0, określony na podprzestrzeni liniowej V0 prze-strzeni unormowanej i przyjmujący wartości w przestrzeni Banacha, można jedno-znacznie przedłużyć do operatora L, przyjmującego wartości w tej samej przestrzeniBanacha i określonego na domknięciu podprzestrzeni V0. Ponadto, ||L|| = ||L0||.

Wynika to z twierdzenia 1 i następującego rezultatu, udowodnionego na wykładzietopologii ogólnej: jednostajnie ciągłe przekształcenie, określone na podzbiorze A prze-strzeni metrycznej X i przyjmujące wartości w przestrzeni metrycznej zupełnej, możnaw sposób (jednostajnie) ciągły przedłużyć na clXA.


2. Przykład: konstrukcja całki względem F–miary addytywnej

Definicja. Niech M będzie rodziną podzbiorów pewnego zbioru T , taką, że ∅ ∈ M ijeśli P,Q ∈M, to P ∪Q ∈M i P \Q ∈M. (Wtedy też P ∩Q ∈M – dlaczego?)

a) F–miarą addytywną na M nazywamy1 każdą funkcję µ : M → F taką, żeµ(P ∪Q) = µ(P ) + µ(Q) gdy P ∩Q = ∅ i P,Q ∈ M. Wariacją całkowitą takiejF–miary nazywamy liczbę

||µ|| = supP

∑P∈P

|µ(P )|,

gdzie supremum bierzemy po wszystkich skończonych rodzinach P rozłącznych ele-mentów rodziny M.

b) Funkcję f : T → F nazywamy M–prostą, gdy przyjmuje tylko skończenie wielewartości i spełnia warunek f−1({λ}) ∈M, dla każdego niezerowego skalara λ.

Stwierdzenie 1. a) Zbiór funkcji M–prostych jest równy lin{1P : P ∈ M}, i wobectego jest podprzestrzenią liniową przestrzeni `∞(T ).

b) Na domknięciu Mb tego zbioru w `∞(T ) określony jest jedyny funkcjonał ϕµ :Mb → F taki, że ϕµ(1P ) = µ(P ) dla P ∈M.

c) Norma funkcjonału ϕµ jest równa ||µ||.

Dowód. Dowód a) pozostawiony jest jako zadanie. Oznaczmy następnie przez E zbiórwszystkich funkcji M–prostych i dla f ∈ E niech Cf = im(f) \ {0} i ϕ(f) =∑

λ∈Cfλ · µ

(f−1({λ})

). Nietrudno sprawdzić, że funkcjonał ϕ jest liniowy (jest to

kolejne zadanie) i

|ϕ(f)| ≤∑λ∈Cf

|λ||µ(f−1 ({λ})

)| ≤

(supλ∈Cf

|λ|) ∑

λ∈Cf

|µ(f−1 ({λ})

)| ≤ ||f || · ||µ||. (*)

Ponadto ||ϕ|| = ||µ||, bo dla każdej skończonej rozłącznej rodziny P ⊂ M funkcjaf =

∑P∈P Sgn(µ(P ))1P spełnia warunek ||f || = 1 i ϕ(f) =

∑P∈P |µ(P )|. Wobec

tego ϕ przedłuża się jednoznacznie do żądanego funkcjonału liniowego ϕµ. �

Funkcjonał ϕµ, a także jego obcięcia do dogodnych podprzestrzeni przestrzeni Mb,nazywamy całkowaniem względem addytywnej F–miary µ; zamiast ϕµ(f) piszemyteż

∫T fdµ lub

∫fdµ lub

∫f (gdy zbiór T czy F–miara µ są wiadome).

Zadanie 1. Gdy ograniczona funkcja f : T → F jestM–mierzalna, tzn. f−1(U) ∈ Mdla każdego zbioru otwartego U ⊂ F, to f ∈Mb.

1nie jest to nazwa przyjęta. W starszych książkach i pracach używano lepszej, lecz dłuższej: „addytywna funkcjazbioru” lub „miara uogólniona” (rzeczywista lub zespolona); w nowszych zaś pisze się „miara” w miejsce F–miary –czego tu nie będziemy robić, nawet gdy ciało F jest ustalone. Odnotujmy, że R–miara, nawet gdy jest nieujemna iσ–addytywna, różni się od „zwykłej” miary tym, że nie przyjmuje wartości ∞.


Uwaga 1. Jak w teorii całki Lebesgue’a można jeszcze określić całkę pewnych funkcjinieograniczonych (czego tu nie robimy). Bez σ–addytywności miary nie uzyskamyjednak twierdzeń Lebesgue’a z §2.2.

3. Pewne konstrukcje prowadzące do przestrzeni Banacha

a) Podprzestrzenie domknięte. Domknięta podprzestrzeń przestrzeni Banacha jestprzestrzenią Banacha. Również i przeciwnie, gdy podprzestrzeń wektorowej przestrzeniunormowanej jest przestrzenią Banacha, to jest ona domknięta. Np. przestrzeń cc ={(xn) ∈ `∞ : xn = 0 dla prawie wszystkich n} nie jest przestrzenią Banacha w normiesupremum, bo jest niedomkniętą podprzestrzenią przestrzeni `∞.

b) Przestrzeń operatorów ograniczonych, w tym przestrzeń sprzężona. Zbiór wszyst-kich liniowych operatorów ograniczonych z przestrzeni wektorowej unormowanej V dotakiejże przestrzeni W oznaczmy przez L(V ;W ). Jest on oczywiście podzbiorem prze-strzeni wszystkich przekształceń V → W .

Stwierdzenie 1. Gdy V i W są wektorowymi przestrzeniami unormowanymi, to i(L(V,W ), || ||) jest taką przestrzenią. Gdy ponadto W jest przestrzenią Banacha, toi L(V,W ) nią jest.

Zadanie 1. Norma operatorowa ma jeszcze następującą ważną własność: dla prze-kształceń liniowych K : U → V i L : V → W zachodzi ||L ◦K|| ≤ ||L|| · ||K||.

Ze stwierdzenia wynika w szczególności, że przestrzeń wszystkich ograniczonychfunkcjonałów liniowych V → F jest przestrzenią Banacha (nawet, gdy wektorowa prze-strzeń unormowana V nie jest zupełna). Przestrzeń ta odgrywa ważną rolę; nazywanajest ona przestrzenią sprzężoną do V i oznaczana (V ∗, || ||).

c) Zmiana normy na równoważną; obraz przy operatorze otwartym.

Stwierdzenie 2. Niech L ∈ L(V,W ), gdzie V i W są przestrzeniami unormowanymi.a) Jeśli przekształcenie L jest otwarte, a przestrzeń V jest zupełna, to i przestrzeń

W jest zupełna.b) Jeśli L(BV ) ⊃ rBW i L jest 1-1, to ||L−1|| ≤ 1/r.

Dowód. Z otwartości L wynika, że L(BV ) ⊃ rBW dla pewnego r > 0. Gdy więc wn ∈W i ||wn|| < 1/2n∀n, to dla każdego n ∈ N zachodzi r2nwn ∈ L(BV ), wobec czegown = L(vn) dla pewnego vn ∈ 1

2nrBV . Jeśli V jest przestrzenią Banacha, to szereg∑n vn jest zbieżny do pewnego v ∈ V , skąd i szereg

∑nwn jest zbieżny (do w = L(v)).

To dowodzi a), zaś b) jest oczywiste: gdy L−1(rBW ) ⊂ BV , to L−1(BW ) ⊂ 1rBV .


Definicja. Normy || || i || ||′ na przestrzeni wektorowej V są równoważne, gdy prze-kształcenie identycznościowe I : (V, || ||) → (V, || ||′) jest homeomorfizmem. Z wniosku1 wynika, że jest tak wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją stałe 0 < c ≤ C <∞ takie, że

c||v|| ≤ ||v||′ ≤ C||v|| dla wszystkich v ∈ V.

Wniosek 1. Gdy jedna z dwóch równoważnych norm na przestrzeni wektorowej jestzupełna, to druga też. Ogólniej, gdy dwie wektorowe przestrzenie unormowane sąliniowo–topologicznie izomorficzne i jedna z nich jest zupełna, to druga też. �

d) Przestrzeń ilorazowa. Niech V0 będzie podprzestrzenią wektorowej przestrzeniunormowanej (V, || ||V ). Przyjmijmy

[v] = v + V0 dla v ∈ V oraz V/V0 = {[v] : v ∈ V }

i wprowadźmy w V/V0 operacje liniowe wzorami

λ[v] = [λv] i [v1] + [v2] = [v1 + v2] dla v, v1, v2 ∈ V i λ ∈ F.

Przyjmijmy też (pierwsza równość to definicja, a dalsze–to jej przekształcenia):

|| [v] || := inf{||v′||V : v′ ∈ [v]} = dist(0, [v]) = dist(v, V0).

Stwierdzenie 3. Gdy podprzestrzeń V0 jest domknięta w V , to (V/V0, || ||) jest wek-torową przestrzenią unormowaną. Jest ona przestrzenią Banacha jeśli (V, || ||V ) jestprzestrzenią Banacha, bo naturalne rzutowanie V → V/V0 przeprowadza kulę jednost-kową w V na takąż kulę w V/V0.

Znaczenie przestrzeni ilorazowych dla badania przekształceń liniowych ujmuje

Stwierdzenie 4. Niech V0 będzie domkniętą podprzestrzenią liniową przestrzeni unor-mowanej V , a P : V → V/V0 – rzutowaniem ilorazowym V 3 v 7→ [v] ∈ V/V0.Wówczas ||P || = 1, przekształcenie P jest otwarte, i dla każdego przekształcenia li-niowego L : V → W spełniającego warunek ker(L) ⊃ V0 istnieje dokładnie jednoprzekształcenie Q : V/V0 → W takie, że L = Q ◦P ; jego norma jest równa ||L||. Gdyker(L) = V0, to Q jest monomorfizmem liniowym, a gdy ponadto przekształcenie Ljest otwarte i obraz L(BV ) kuli jednostkowej w V zawiera kulę rBW w W o promieniur > 0, to ||Q−1|| ≤ 1/r. �

e) Suma prosta. Gdy V i W są wektorowymi przestrzeniami unormowanymi, toprzestrzeń wektorową V × W (oznaczaną też przez V ⊕ W ) wyposażyć można wtopologię iloczynu kartezjańskiego. Dla każdej normy || || na V ×W , która wyznaczatę właśnie topologię, przestrzeń unormowaną (V ×W, || ||) nazywamy zewnętrznąsumą prostą lub iloczynem kartezjańskim przestrzeni V i W . Wybór normy || ||nie jest jednoznaczny. Dwie przykładowe normy to (v, w) 7→ max(||v||V , ||w||W ) lub(v, w) 7→ ||v||V + ||w||W ; istnieje też wiele innych, np. (v, w) 7→

√||v||2V + ||w||2W .


Stwierdzenie 5. Suma prosta dwóch przestrzeni Banacha jest przestrzenią Banacha.

f) Przestrzenie skończenie–wymiarowe. Każda skończenie–wymiarowa wektorowaprzestrzeń unormowana jest przestrzenią Banacha. Udowodnimy to w p.4.

4. Własności przestrzeni skończenie–wymiarowych

Twierdzenie 1. Gdy (V, || ||V ) jest wektorową przestrzenią unormowaną i n :=dimV <∞, to

a) Każdy funkcjonał liniowy ϕ : V → F jest ciągły.b) Każde przekształcenie liniowe przestrzeni V w wektorową przestrzeń unormo-

waną jest ciągłe.c) Każda norma na przestrzeni V jest równoważna normie || ||V .d) Przestrzeń V jest liniowo–topologicznie izomorficzna z przestrzenią (`

(n)2 , || ||2).

e) Każdy ograniczony i domknięty podzbiór przestrzeni (V, || ||V ) jest zwarty (rów-noważnie: każdy ograniczony ciąg w tej przestrzeni ma podciąg zbieżny).

f) Każda norma na przestrzeni V jest zupełna.

Wniosek 1. Skończenie–wymiarowa podprzestrzeń wektorowej przestrzeni unormowa-nej jest domknięta (bo jest zupełna).

Dowód twierdzenia. Stosujemy indukcję względem n. (Własności od a) do f) sąoczywiste gdy n = 0.) Dla niezerowego funkcjonału ϕ : V → F, podprzestrzeńker(ϕ) jest n − 1–wymiarowa. Z założenia indukcyjnego jest więc ona zupełna, awobec tego domknięta w V – co dowodzi ciągłości ϕ; patrz stwierdzenie 1 w p.1.Gdy przekształcenie L : V → W jest liniowe i przez w1, ..., wk oznaczymy bazęjego obrazu, to dla pewnych funkcjonałów liniowych ϕ1, ..., ϕk zachodzi tożsamośćL(x) =

∑ki=1 ϕi(x)wi (x ∈ V ), co wraz z a) daje b). Z b) wynika d), bo gdy

L : V → Fn jest izomorfizmem liniowym, to L i L−1 stają się na mocy b) ciągłejako przekształcenie między (V, || ||V ) a (Fn, || ||2). Gdy zaś b) zastosować do prze-kształcenia identycznościowego z (V, || ||V ) do (V, || ||), to otrzymamy c). Z d) wynikae), bo przekształcenia liniowe ciągłe przeprowadzają zbiory zwarte na zwarte, a ograni-czone na ograniczone, przy czym w (`

(n)2 , || ||2) domknięte zbiory ograniczone są zwarte.

Zaś z c) i e) wynika f), bo ciąg spełniający warunek Cauchy’ego w normie || || jestograniczony (w obu normach || || i || ||V ), wobec czego można wybrać z niego podciągzbieżny – skąd i wyjściowy ciąg Cauchy’ego jest zbieżny.

Uwaga 1. Własności od a) do f) przysługują tylko przestrzeniom skończonego wy-miaru. W odniesieniu do własności e) udowodnimy to niżej, wykazując niezwartośćkuli jednostkowej, a w odniesieniu do pozostałych – w zadaniach.


Twierdzenie 2. Gdy domkniętą kulę jednostkową wektorowej przestrzeni unormo-wanej można pokryć skończenie wieloma kulami o promieniach mniejszych od 1, toprzestrzeń ta jest skończonego wymiaru.

Dowód. Udowodnimy, że gdy w przestrzeni V pewne wypukłe otoczenie zera, C, możnapokryć k zbiorami 1

rC + v1, . . . ,1rC + vk, gdzie r > 1, to dimV ≤ logr k. Wystarczy

dowieść, że dla każdej skończenie-wymiarowej podprzestrzeni V ′ przestrzeni V zachodzidimV ′ ≤ logr k. Niech V ′ będzie taką podprzestrzenią i przyjmijmy W := V ′ +lin(v1, . . . , vk) oraz D := C ∩W . Ponieważ (1

rC+ v)∩W = 1r(C ∩W )+ v dla v ∈ W ,

więc zbiór D jest pokryty zbiorami 1rD + vi, i = 1, . . . , k. Dla n–wymiarowej miary

Lebesgue’a µ na W , gdzie n = dimW , zachodzi więc µ(D) ≤ kµ(1rD) = k

rnµ(D); a żeµ(D)6= 0 (bo IntW (D) 6= ∅), to logr k ≥ n ≥ dimV ′. �

§ 4. Funkcjonały liniowe ciągłe.

Odtąd często będziemy różne normy oznaczać tym samym symbolem || ||, a nazwy –skracać, np. „wektorowa przestrzeń unormowana” do „przestrzeń unormowana”, „izo-morfizm liniowo–topologiczny” do „izomorfizm”, a „funkcjonał liniowy”, „operator li-niowy” i „podprzestrzeń liniowa” do „funkcjonał”, „operator” i „podprzestrzeń”, odp.

1. Twierdzenie Hahna–Banacha i twierdzenia o oddzielaniu.

Twierdzenie 1 (Hahn, Banach dla F = R oraz Sobczyk, Bohnenblust dla F = C).Gdy V0 jest podprzestrzenią liniową rzeczywistej lub zespolonej przestrzeni unormowa-nej V , to każdy funkcjonał liniowy ϕ0 ∈ V ∗

0 można przedłużyć do funkcjonału ϕ ∈ V ∗

takiego, że ||ϕ|| = ||ϕ0||.

Uwaga 1. W twierdzeniu tym nie możemy na ogół funkcjonałów zastąpić przezoperatory prowadzące do ogólniejszej niż F przestrzeni Banacha; patrz zad. 5 w serii 5.

Wniosek 1. Dla każdego wektora v przestrzeni unormowanej V 6= {0} istnieje funk-cjonał ϕ ∈ V ∗ taki, że ||ϕ|| = 1 i ϕ(v) = ||v||.

Wniosek 2. Gdy V0 jest podprzestrzenią przestrzeni unormowanej V , to dla każdegowektora v 6∈ clV istnieje funkcjonał ϕ ∈ V ∗ taki, że ||ϕ|| = 1, ϕ(V0) = {0} iϕ(v) = dist(v, V0).

Twierdzenie 2 (Mazura i Eidelheita o oddzielaniu). Niech A i B będą rozłącznymi,wypukłymi podzbiorami rzeczywistej przestrzeni unormowanej V .

a) Jeśli któryś z tych zbiorów jest otwarty, to istnieje funkcjonał ϕ ∈ V ∗ taki, żeϕ(a) < ϕ(b) dla wszystkich a ∈ A i b ∈ B.


b) Jeśli oba zbiory A,B są domknięte, a któryś z nich jest zwarty, to istnieje funk-cjonał ϕ ∈ V ∗ taki, że supϕ(A) < inf ϕ(B).

Dowód. W a) najważniejszy jest przypadek, gdy zbiór B jest jednopunktowy, B ={b}. Możemy wtedy założyć, że 0 ∈ A (inaczej przesuwamy). Jeśli przez p oznaczyćfunkcjonał Minkowskiego zbioru A, a przez ϕ0 : Rb→ R funkcjonał określony wzoremϕ0(tb) = t, to zachodzi p(a) < 1 ≤ p(b) dla a ∈ A (w pierwszej nierówności grarolę otwartość A) oraz ϕ0(b) = 1. Stąd wynika, że ϕ0(tb) ≤ p(tb) dla t ∈ R, wobecczego istnieje liniowe przedłużenie ϕ : V → R funkcjonału ϕ0 takie, że ϕ ≤ p. Wtedyϕ(a) ≤ p(a) < 1 ≤ p(b) = ϕ(b) dla a ∈ A, skąd wynika i ciągłość ϕ (bo nieciągłefunkcjonały liniowe przyjmują na zborze otwartym wszystkie wartości).

Pozostała część dowodu a) oraz dowód b) opierają się na rozważeniu zbioru S =A−B. Jest on wypukły i nie zawiera zera, a przy założeniach poczynionych w a) jestotwarty. (Wykorzystujemy zadania domowe.) Na podstawie powyższego przypadkuszczególnego istnieje funkcjonał ϕ ∈ V ∗ taki, że ϕ(x) < ϕ(0) dla x = a − b ∈ S, codaje ϕ(a) < ϕ(b) dla a ∈ A i b ∈ B i kończy dowód części a).

Gdy zaś A i B są jak w b), to zbiór S jest domknięty, wobec czego jest rozłączny zpewną kulą otwartą K wokół zera. Na podstawie a) istnieje funkcjonał ϕ ∈ V ∗ taki,że ϕ(s) < ϕ(k) dla s ∈ S i k ∈ K. Funkcjonał ten nie jest stały; a że K = −K, toliczba ε = inf ϕ(K) jest ujemna. Stąd ϕ(a − b) ≤ ε dla a ∈ A i b ∈ B i ostateczniesupϕ(A) + |ε| ≤ inf ϕ(B). �

Uwaga 2. Gdy przestrzeń V jest zespolona, to można strukturę zespoloną zaniedbaći otrzymać w a) czy w b) R–liniowy funkcjonał ciągły. Można następnie skorzystaćz lematu 1 z §1.3 i i funkcjonał ten zapisać jako część rzeczywistą funkcjonału C–liniowego (i ciągłego). W rezultacie dla przestrzeni zespolonej obie tezy pozostanąsłuszne, byle tylko w nierównościach napisać w nich Re ϕ w miejsce ϕ.

Wniosek 3. Wypukły, domknięty podzbiór przestrzeni unormowanej V jest przecię-ciem pewnej rodziny otwartych półprzestrzeni {v ∈ V : Re ϕγ(v) < cγ}, γ ∈ Γ, a takżedomkniętych półprzestrzeni {v ∈ V : Reϕγ(v) ≤ cγ}, gdzie ϕγ ∈ V ∗ i cγ ∈ R dlakażdego γ ∈ Γ. Podobnie, każda domknięta podprzestrzeń liniowa przestrzeni V jestprzecięciem rodziny domkniętych hiperpłaszczyzn postaci ϕ−1(0), gdzie ϕ ∈ V ∗.

Dowód. Dla każdego punktu γ 6∈ A, gdzie A to rozważany zbiór wypukły, istniejefunkcjonał ϕγ ∈ V ∗ i liczba cγ między sup(Reϕγ(A)) i Reϕγ(γ). Przy Γ := V \ A iPγ := {v ∈ V : Reϕγ(v) < cγ} zachodzi więc A =

⋂γ∈Γ Pγ =

⋂γ∈Γ Pγ, bo A ⊂ Pγ i

γ 6∈ Pγ (γ ∈ Γ). Końcowej części dowodzimy tak samo, w oparciu o wniosek 2. �

Przykład 1. (Dopisane po kol. 24 I.) Podamy użyteczne zastosowanie twierdzeń o od-dzielaniu. Niżej V i W są przestrzeniami unormowanymi i BV = {v ∈ V : ||v|| ≤ 1}.


a) Dla L ∈ L(V,W ) i w ∈ W udowodnimy, że w ∈ cl(L(BV )) ⇔ |ψ(w)| ≤||ψ ◦ L|| ∀ψ ∈ V ∗. Istotnie, jeśli w 6∈ clL(BV ), to na podstawie uwagi 2 istniejefunkcjonał ψ ∈ W ∗ taki, że Reψ(w) > sup Reψ(L(BV )) = ||ψ ◦ L||. (Skąd wynikarówność?) To dowodzi implikacji ⇐, a przeciwna wynika z ciągłości ψ i definicji.

b) Twierdzimy, że dla ϕ1, ..., ϕn ∈ V ∗ i w1, ..., wn ∈ F równoważne są warunki:i) ∀ε > 0 zachodzi supi |ϕi(xε)− wj| < ε dla pewnego xε ∈ BV ;ii) |

∑i diwi| ≤ ||

∑i diϕi|| dla wszystkich d1, ..., dn ∈ F.

Jest to twierdzenie Helly’ego; wynika ono z a) przy V = Fn i L = (ϕ1, ..., ϕn),bo funkcjonał ψ ∈ (Fn)∗ jest postaci Fn 3 (yi) 7→

∑i diyi, dla pewnych d1, ..., dn ∈ F.

c)∗ Przy tych oznaczeniach, co w b), spytajmy o obraz kuli otwartej Bo. Jest onotwarty w swej powłoce liniowej W0 (dlaczego?), wobec czego dla w 6∈ L(Bo) zastoso-wać można do W0 twierdzenie 2a) i przedłużyć otrzymany funkcjonał (gdy w ∈ W0),lub też zastosować wniosek 2 (gdy w 6∈ W0), uzyskując funkcjonał ψ ∈ (Fn)∗ taki, że0 6= ||ψ ◦L|| ≤ |ψ(w)| wzgl. 0 = ||ψ ◦L|| < |ψ(w)|. Stąd dla L = (ϕ1, ..., ϕn) 6= 0 nie-trudno wywieść, że w ∈ L(Bo) o ile |

∑i diwi| < ||

∑i diϕi|| dla wszystkich d1, ..., dn

takich, że∑

i diϕi 6= 0; warunek ten jest też konieczny. (To nadal tw. Helly’ego.)

2. Postać funkcjonałów liniowych na pewnych przestrzeniach.

Twierdzenie 1 (o reprezentacji funkcjonałów na przestrzeniach Lp(µ)). Niech µ będzieσ–addytywną miarą na zbiorze T , zaś p, q ∈ [1,∞] będą wykładnikami sprzężonymi.Wówczas:

a) Każda funkcja g ∈ Lq(µ) wyznacza ciągły funkcjonał liniowy ϕg na przestrzeniLp(µ), zadany wzorem

ϕg(f) =

∫T

fgdµ dla f ∈ Lp(µ).

b) Otrzymane przekształcenie kanoniczne Lq(µ) 3 g 7→ ϕg ∈ Lp(µ)∗ jest dlap 6= 1 izometrycznym zanurzeniem liniowym przestrzeni Lq(µ) w Lp(µ)∗ .

c) Gdy p 6= 1 i p 6= ∞, to obrazem tego przekształcenia jest cała przestrzeń Lp(µ)∗.Jest tak i gdy p = 1 jeśli µ jest miarą liczącą na T lub T jest przeliczalną sumą zbiorówskończonej miary µ.

Dowód. To, że ||ϕg|| ≤ ||g||q wynika z nierówności Höldera. Gdy p > 1, to nie-równość przeciwna wynika z rozważenia funkcji f := (Sgn ◦ g)|g|q−1, gdzie przyjmu-jemy Sgn(0) = 0 i Sgn(z) = |z|/z dla z ∈ C \ {0}; otrzymamy ||f ||p = ||g||q/p

q iϕg(f) = ||g||qq = ||f ||p||g||q. (Rachunki wykonano na ćwiczeniach.) Gdy p = 1 iT =

⋃n Tn, gdzie Tn ⊂ Tn+1 i µ(Tn) <∞ dla każdego n, to dla funkcji fn := 1Tn

·Sgngzachodzi ||fn||∞ ≤ 1 oraz ϕg(fn) =

∫Tn|g| → ||g||1, co dowodzi, że i wówczas


||ϕg|| ≥ ||g||p. Oparty na powyższym przypadek miary liczącej relegujemy do za-dania 1. Najtrudniejszą zaś część tezy c) (surjektywność przekształcenia kanonicznegow najważniejszych przypadkach) udowodnimy dopiero na dalszych wykładach.

Uwaga 1. i) Założenie p 6= ∞ jest dla części c) istotne nawet gdy T = N i µ jestmiarą liczącą. Istotnie, przestrzeń `1 jest ośrodkowa, a `∗∞ – nie (patrz problem 2 izadanie 4b) w -tej i 3-ciej serii zadań); nie mogą one więc być izometryczne. Opisprzestrzeni `∗∞ podamy w następnym twierdzeniu.

ii) Podobnie, konieczne są pewne założenia o mierze µ gdy p = 1. Np. dla miary nie-skończonej na zbiorze jednopunktowym, przekształcenie kanoniczne L∞(µ) → L1(µ)∗

nie jest różnowartościowe, bo L1(µ) = {0} = L1(µ)∗ i L∞(µ) ≈ F.

Oznaczenie. Za Dunfordem i Schwartzem, oznaczmy przez ba(Γ; F) zbiór tych ad-dytywnych F–miar µ na rodzinie 2Γ wszystkich podzbiorów danego zbioru Γ, którychwariacja całkowita ||µ|| jest skończona. (Patrz §3.2; „ba” od „bounded additive”.)

Twierdzenie 2. a) Każda F–miara µ ∈ ba(Γ; F) kanonicznie wyznacza „funkcjonałcałkowania” ϕµ ∈ `∞(Γ; F)∗, o normie równej wariacji całkowitej ||µ||.

b) Każdy funkcjonał ϕ ∈ `∞(Γ; F)∗ jest postaci ϕµ, dla pewnej F–miary µ ∈ba(Γ; F). Miara taka jest jedyna i jest wyznaczona wzorem µ(P ) = ϕ(1P ) dla P ⊂ Γ.

Dowód. Część a) wynika ze stwierdzenia 1 w §3.2. By uzyskać b) dowodzimy wpierw,że podany wzór definiuje F–miarę o wariacji całkowitej ≤ ||ϕ||, po czym zauważamy,że funkcjonał ϕµ jest wobec tego ciągły; a że jest równy ϕ na liniowo gęstym zbiorze{1P : P ⊂ Γ} ⊂ `∞(Γ), to ϕ = ϕµ. �

Wniosek 1. Jeśli za normę F–miary obrać jej wariację całkowitą, to (ba(Γ; F), || ||)jest przestrzenią Banacha, izometryczną z `∞(Γ; F)∗.

Definicja. Gdy M jest σ–ciałem zbiorów, to F–miarę µ : M → F nazywamy σ–addytywną, gdy dla każdego ciągu (Pn) rozłącznych elementów M, szereg

∑n µ(Pn)

jest zbieżny do µ(⋃

n Pn). Dla zadanej przestrzeni topologicznej X, przez B = BX

oznaczamy najmniejsze σ-ciało zbiorów, zawierające wszystkie zbiory domknięte w X.Jest to tzw. σ–ciało zbiorów borelowskich (w X). F–miarą borelowską naprzestrzeni X nazywamy σ–addytywną F–miarę BX → F. Można udowodnić, patrz§6.4, że wariacja całkowita ||µ|| takiej miary µ jest skończona.

Twierdzenie 3 (F. Riesza-Radona-Banacha). 2 Gdy X jest zwartą przestrzenią me-tryczną, to każda F–miara borelowska µ na X wyznacza funkcjonał liniowy ϕµ naC(X; F), będący całkowaniem względem µ; przy tym ||ϕµ|| = ||µ||. Każdy funkcjonałϕ ∈ C(X; F)∗ jest postaci ϕµ, dla pewnej (jedynej) F–miary borelowskiej µ.

2F. Riesz udowodnił to twierdzenie dla odcinka w 1911r., J. Radon w 1912r. dla X ⊂ Rn, a S. Banach w 1938r. wpodanej tu postaci. Natomiast S. Kakutani w 1941r. pozbył się założenia metryzowalności, patrz dalej.


Twierdzenie to jest prawdziwe w większej ogólności: można pominąć założenie me-tryzowalności, a przestrzenie zwarte zastąpić lokalnie zwartymi; jednak trzeba wtedyograniczyć się do tzw. (borelowskich) F–miar regularnych. Gdy przestrzeń jest zwartai metryzowalna, to każda skończona F–miara borelowska na niej jest regularna.

Zadanie 1. a) Dla każdego zbioru Γ dowieść surjektywności przekształcenia kanonicz-nego `q(Γ) → `p(Γ)∗, gdzie p ∈ [1,∞), jak następuje. Dla zadanego ϕ ∈ `p(Γ)∗ przyjąćaγ = ϕ(eγ), γ ∈ Γ; wówczas ϕ(x) =

∑γ aγxγ dla x = (xγ) mających skończony no-

śnik. Wywnioskować, że∑

γ∈Γ0|aγ|q ≤ ||ϕ||q dla zbiorów skończonych Γ0 ⊂ Γ, wobec

czego ||a||q ≤ ||ϕ|| <∞. W oparciu o to dowieść jak w tw. 2, że ϕa = ϕ.b) Na tej samej zasadzie udowodnić, że gdy ϕ ∈ c0(Γ)∗, to ϕ(x) =

∑aγxγ dla

pewnego a = (aγ)γ ∈ `1(Γ) i wszystkich x ∈ c0(Γ), i że wówczas ||ϕ|| = ||a||1.c) Dowieść podobnie, że gdy ϕ ∈ c∗, to ϕ(x) =

∑n∈N anxn+a0 limn xn dla pewnego

a ∈ `1(N ∪ {0}) i wszystkich x ∈ c, i że wówczas ||ϕ|| = ||a||1.Zadanie 2. Dowieść, że gdy µ(T ) < ∞, g jest funkcją mierzalną i

∫T |g|

qdµ =∞, to istnieją funkcje proste fn takie, że

∫gfn dµ ≥ n||fn||p ∀n, przy p = q

q−1 .

Zadanie 3. Udowodnić wprost, nie korzystając z tw.3, że każda funkcja g ∈ L1([a, b], λ),gdzie λ to miara Lebesgue’a, wyznacza wzorem C([a, b]) 3 f 7→

∫ b

a f(t)g(t)dt funk-cjonał liniowy na C([a, b]), o normie ||g||1. (Nie każdy funkcjonał jest tej postaci.)

§ 5. Wykorzystanie zupełności, I: zasady jednostajnej ograniczoności iotwartości; zastosowania

1. Twierdzenie Banacha-Steinhausa

Twierdzenie 1. Niech L ⊂ L(V,W ) będzie rodziną operatorów z przestrzeni BanachaV do przestrzeni unormowanej W . Wówczas albo supL∈L ||L|| <∞, albo też istniejegęsty zbiór G ⊂ V taki, że

supL∈L

||L(v)||W = ∞ dla każdego v ∈ G. (3)

Dowód. Dla n ∈ N niech

Gn =⋃L∈L

{v ∈ V : ||L(v)|| > n}

Każdy zbiór Gn jest otwarty, jako suma rodziny zbiorów otwartych L−1({w ∈ W :||w|| > n}). Są dwie możliwości:

a) Każdy zbiór Gn jest gęsty w V . Wtedy dla G =⋂

nGn zachodzi (3), przy czymzbiór G jest gęsty w V na podstawie twierdzenia Baire’a i zupełności przestrzeni V .


b) Istnieje liczba n ∈ N taka, że zbiór Gn jest rozłączny z pewną kulą B(v0, r).Wtedy dla v ∈ rBV zachodzi v0 + v 6∈ Gn, a więc ||L(v0) + L(v)|| ≤ n∀L ∈ L. Przyv = 0 daje to ||L(v0)|| ≤ n, wobec czego ||L(v)|| ≤ 2n dla v ∈ rBV i L ∈ L. Stąd wrozpatrywanym w b) przypadku mamy ||L|| ≤ 2n

r dla wszystkich L ∈ L. �

Uwaga 1. Niech założenia twierdzenia będą spełnione.a) Dowód pokazuje, że za G z tezy twierdzenia można obrać zbiór typu Gδ w V ,

tzn. taki, który jest przecięciem przeliczalnie wielu zbiorów otwartych w V .b) Z twierdzenia wynika, że jeśli rodzina L jest punktowo ograniczona, tzn. dla

każdego v ∈ V zachodzi supL∈L ||L(v)||W < ∞ , to jest ona normowo ograniczona –czyli supL∈L ||L|| < ∞. (Jest to zasada jednostajnej ograniczoności). Przykła-dem rodziny punktowo ograniczonej jest każdy ciąg operatorów Ln : V → W , któryjest punktowo zbieżny –tzn. taki, że dla każdego v ∈ V istnieje granica limn Ln(v).

Wniosek 1. Niech V i W będą przestrzeniami Banacha. Wówczas dla każdego ciąguoperatorów Ln ∈ L(V,W ) (n ∈ N) równoważne są warunki:

a) ciąg ten jest punktowo zbieżny;b) supn ||Ln|| < ∞ i granica limn Ln(v) istnieje dla każdego v z pewnego liniowo

gęstego zbioru E ⊂ V .Ponadto, gdy warunki te są spełnione, to operator L(v) = limn Ln(v) (v ∈ V ) jest

ograniczony; co więcej, ||L|| ≤ lim||Ln||. (Przez lim rozumiem granicę dolną lim inf.)

Dowód. Implikacja a) ⇒ b) wynika z uwagi 1. (Przyjmujemy E = V .) Gdy zaś zacho-dzi b) to nietrudno sprawdzić, że dla każdego wektora v ciąg (Ln(v))n spełnia warunekCauchy’ego i wobec tego jest zbieżny, jak również, że norma ||L|| operatora L z ostat-niego zdania tezy jest ograniczona przez supn ||Ln|| – a więc i przez supi ||Lni

||, dlakażdego ciągu n1 < n2 < .... Kresem dolnym tych ograniczeń jest lim||Ln||. �

2. Twierdzenia o otwartości i o wykresie domkniętym

Twierdzenie 1 (zasada otwartości Banacha–Schaudera). Ciągłe przekształcenie li-niowe jednej przestrzeni Banacha na drugą jest otwarte.

Dowód twierdzenia podamy dalej, zaś wpierw ustalimy pewne jego konsekwencje.

Wniosek 1 (twierdzenie Banacha o izomorfizmie). Ciągła bijekcja liniowa jednej prze-strzeni Banacha na drugą jest izomorfizmem (liniowo–topologicznym).

Wniosek 2. Gdy V i W są przestrzeniami Banacha, a przekształcenie T ∈ L(V,W )jest „na”, to przestrzeń W jest liniowo–topologicznie izmorficzna z V/ ker(T ).


Twierdzenie 2 (o wykresie domkniętym). Dla przekształcenia liniowego T : V → W ,gdzie V i W to przestrzenie Banacha, równoważne są warunki:

a) przekształcenie to jest ciągłe;b) dla każdego zbieżnego do zera ciągu wektorów vn ∈ V , jeśli ciąg (T (vn)) ma

granicę w W , to jest nią 0;c) wykres {(v, T (v)) : v ∈ V } przekształcenia T jest domknięty w V ×W .

Dowód. Niech warunek c) będzie spełniony; wówczas omawiany wykres S jest prze-strzenią Banacha, jako domknięta podprzestrzeń przestrzeni V ×W . Oznaczmy przezP : S → V i Q : S → W naturalne rzuty; są one liniowymi przekształceniamiciąglymi, przy czym P jest zarazem bijekcją. Na podstawie twierdzenia Banacha oizomorfiźmie przektszałcenie P−1 : V → S jest ciągłe. Tym samym ciagłe jest teżprzekształcenie T = Q ◦ P−1.

Zatem c)⇒a), zaś implikacje a)⇒b)⇒c) są łatwe.�

Dowód twierdzenia 1 (w postaci podanej przez J. Schaudera) wynika z dwóch le-matów. Niech V i W będą przestrzeniami unormowanymi. Przekształcenie linioweT : V → W nazwiemy niemal otwartym, jeśli domknięcie w W obrazu T (BV ) kulijednostkowej BV = {v ∈ V : ||v|| < 1} zawiera pewną kulę rBW , r > 0.

Lemat 1. Jeśli przestrzeń W jest zupełna, to każda surjekcją liniowa T : V → W

jest niemal otwarta.

Lemat 2. Jeśli przestrzeń V jest zupełna, to każde niemal otwarte przekształcenieT ∈ L(V,W ) jest otwarte.

Dowód lematu 1. Przyjmijmy C = T (BV ); ponieważ T jest surjekcją, więc W =⋃n nC i wobec tego W =

⋃n nC. Z zupełności przestrzeni W i twierdzenia Baire’a

wynika więc, że intC 6= ∅. Ponieważ jednak zbiór C jest wypukły i symetrycznywzględem zera, to zbiory C i intC też są takie. Stąd wynika, że 0 ∈ intC.

Dowód lematu 2. Niech T (BV ) ⊃ rBW . Wówczas dla każdego wektora w ∈ rBW iliczby δ > 0 istnieje wektor v ∈ BV taki, że ||w − T (v)|| < δ. Równoważnie:

∀w ∈ W ∀δ > 0 ∃v ∈ V taki, że ||T (v)− w|| ≤ δ i ||v|| ≤ ||w||/r (*)

Ustalmy teraz wektor w ∈ BW . Na podstawie (*) istnieje wektor v1 ∈ V taki, że||T (v1)−w|| < 1/2 i ||v1|| ≤ 1/r. Następnie, stosując (*) do wektora w′ = w− T (v1)stwierdzamy istnienie wektora v2 ∈ V takiego, że ||T (v2)+T (v1)−w|| < 1/4 i ||v2|| ≤1/2r. Indukcyjnie otrzymujemy dalsze wektory vn takie, że ||

∑ni=1 T (vi)−w|| < 1/2n i

||vn|| ≤ 1/2n−1r dla n ∈ N. Szereg∑

n vn jest zbieżny do pewnego wektora v, takiego,że T (v) = w i ||v|| ≤ 2/r. Wynika stąd, że obraz kuli 2

rBV zawiera kulę BW , a tymsamym przekształcenie T jest otwarte (obraz każdej kuli cBV zawiera kulę rc

2 BW ).


3. Przykłady zastosowań

A. Ciągłość rzutów liniowych.

Twierdzenie 1. Gdy przestrzeń Banacha V jest algebraiczną sumą prostą swych do-mkniętych podprzestrzeni Y, Z, to jej rzut liniowy na Y wzdłuż Z jest przekształceniemciągłym. (Równoważnie: istnieje wówczas stała C > 0 taka, że ||y|| ≤ C||y+z|| ≥ ||z||dla wszystkich y ∈ Y i z ∈ Z.)

Dowód. Niech xn = yn + zn, gdzie yn ∈ Y i zn ∈ Z dla n ∈ N. Jeśli xn → 0 i yn → y0,to zn → z0 := −y0, a także y0 ∈ Y i z0 ∈ Z wobec domkniętości Y i Z. Ponieważjednak Y ∩ Z = {0}, więc y0 = z0 = 0, co wobec twierdzenia o wykresie domkniętymdowodzi ciągłości rzutu liniowego x+ y 7→ y (x ∈ X, y ∈ Y ). �

Niech V będzie przestrzenią unormowaną. Nazwijmy jej podprzestrzeń Y dopeł-nialną w V , jeśli jest ona domknięta i istnieje domknięta podprzestrzeń Z ⊂ V taka,że V = Y ⊕ Z algebraicznie.

Wniosek 1. Podprzestrzeń przestrzeni Banacha wtedy i tylko wtedy jest w niej dopeł-nialna, gdy jest obrazem pewnego ciągłego rzutu liniowego tej przestrzeni.

Uwaga 1. a) Każda podprzestrzeń skończonego wymiaru, a także każda domkniętapodprzestrzeń Y ⊂ V taka, że dim(V/Y ) < ∞, jest dopełnialna w przestrzeni unor-mowanej V .

b) Istnieją niedopełnialne domknięte podprzestrzenie przestrzeni Banacha. Np.niedopełnialna jest podprzestrzeń c0 przestrzeni `∞. Nie jest mi jednak znane żadneproste uzasadnienie tego przykładu czy innych.

B. Uogólnienie Landaua twierdzenia o postaci funkcjonałów na `p.

Twierdzenie 2 (Landaua). Niech p ∈ [1,∞] i niech ciąg skalarów y = (yn) ma tęwłasność, że dla każdego x ∈ `p szereg

∑n xnyn jest zbieżny. Wtedy y ∈ `q, gdzie

wykładnik q jest sprzężony do p.

Dowód. Zdefiniujmy funkcjonały ϕn : `p → F wzorem ϕn(x) =∑n

i=1 xiyi. Z za-łożenia, ciąg (ϕn) jest zbieżny punktowo, skąd sup ||ϕn|| < ∞ na podstawie twier-dzenia Banacha-Steinhausa. Wiemy jednak, że ||ϕn|| = ||(y1, . . . , yn)||q, wobec czego||y||q = supn ||(y1, . . . , yn)||q <∞. �

C. Równoważność porównywalnych norm zupełnych.

Wniosek 2. Gdy jedna z dwóch zupełnych norm || || i || ||′ na przestrzeni wektorowejV jest ciągła względem drugiej, tzn. || || ≤ C|| ||′ dla pewnej stałej C <∞, to normyte są równoważne. �


Twierdzenie 3. ∗ Niech X będzie przestrzenią zwartą, zaś || || normą zupełną naC(X), w której wszystkie ewaluacje w punktach x ∈ X są ciągłe. Wówczas norma tajest równoważna normie || ||sup.

Dowód będzie w 3 krokach:1) Niech ϕx(f) = f(x); z założenia {ϕx}x∈X jest rodziną ograniczonych funk-

cjonałów na przestrzeni (C(X), || ||). Rodzina ta jest punktowo ograniczona, bo|ϕx(f)| ≤ ||f ||sup dla x ∈ X i f ∈ C(X).

2) Z twierdzenia Banacha–Steinhausa wynika więc istnienie stałej C > 0 takiej, że||ϕx|| ≤ C dla x ∈ X, lub równoważnie: |f(x)| ≤ C||f || dla x ∈ X i f ∈ C(X).

3) Ostatni warunek oznacza, że || ||sup ≤ C|| ||. A że obie normy || || i || ||sup sązupełne, to są równoważne. �

D. Kryterium ograniczoności zbioru.

Twierdzenie 4. Nieograniczony podzbiór przestrzeni unormowanej V jest przez pe-wien funkcjonał ϕ ∈ V ∗ przeprowadzany na zbiór nieograniczony.

Dowód. Niech A ⊂ V i przypuśćmy, że każdy zbiór ϕ(A), ϕ ∈ V ∗, jest ograniczonyw F. Każdy wektor a ∈ A wyznacza funkcjonał ψa na przestrzeni V ∗, zdefiniowanywzorem ψa(ϕ) = ϕ(a) dla ϕ ∈ V ∗. Z założenia, rodzina funkcjonałów {ψa : a ∈ A}jest punktowo ograniczona. Jest więc ona normowo ograniczona, tzn. istnieje stałaC <∞ taka, że ||ψa|| ≤ C dla każdego a ∈ A. Ale to oznacza, że |ϕ(a)| ≤ C||ϕ|| dlakażdego ϕ ∈ V ∗, i tym samym ||a|| ≤ C dla każdego a ∈ A, patrz wniosek 1 w §4.1.

E. Rozbieżność szeregów Fouriera.

Twierdzenie 5. Istnieje funkcja ciągła [0, 2π] → R o okresie 2π, której szereg Fo-uriera w danym punkcie x ∈ [0, 2π] jest rozbieżny.

Szkic dowodu. Oznaczmy zbiór takich funkcji przez C2π. Z AM I wiadomo, że n–tasuma częściowa szeregu Fouriera funkcji f ∈ C2π przyjmuje w punkcie x wartość równą

sfn(x) =

1

2π

∫ 2π

0f(t)Dn(x− t)dt, gdzie Dn(y) =

sin((n+ 0.5)y)

sin(0.5y).

(Do tego wzoru wrócimy w ....) Jeśli więc f 7→ sfn(x) traktować jako funkcjonał ϕn na

C2π, to na podstawie zadania 3 z §4.2 i okresowości funkcji Dn:

||ϕn|| =1

2π

∫ 2π

0|Dn(x− t)|dt =

1

2π

∫ 2π

0

∣∣sin((n+ 0.5)y)

sin(0.5y)

∣∣dy.Nietrudno jednak stwierdzić, że ostatnia całka dąży do ∞ gdy n→∞. (Szczegóły wksiążce Rudina, str. 113.) Z uwagi 1 b) w p. 1 wynika więc istnienie funkcji f ∈ C2π


takiej, że ciąg liczb |ϕn(f)| = |sfn(x)| jest nieograniczony – a więc ciąg sf

n(x) sumcząstkowych jest rozbieżny. �

Twierdzenie to jest interesujące przez to, że jak niedługo wykażemy, sumy częścioweszeregu Fouriera funkcji ciągłej lub, ogólniej, funkcji f ∈ L2([0, 2π]), są zbieżne wprzestrzeni L2([0, 2π]). Wiadomo też z AM I, że są one zbieżne w każdym punkciejeśli funkcja f jest przedziałami monotoniczna.

F. Ko–uniwersalność przestrzeni `1.

Twierdzenie 6. Gdy V jest ośrodkową przestrzenią Banacha, to istnieje ciągła sur-jekcja liniowa L : `1 → V .

Dowód. Obierzmy zbiór {vn}∞n=1, gęsty w kuli jednostkowej BV , i niech L(x) =∑xnvn

dla x = (xn) ∈ `1. Oczywiście, ||L(x)||V ≤∑|xn| · ||vn|| ≤

∑n |xn| · 1 = ||x||`1.

Przekształcenie L jest niemal otwarte, bo vn = L(en) ∈ L(B`1), skąd cl(L(B`1)) ⊃cl{vn}∞n=1 = BV . Na podstawie lematu 2 w p.2, jest ono otwarte i wobec tego „na”. �

§ 6. Wykorzystanie zupełności przestrzeni Hilberta

1. Istnienie punktu najbliższego w wypukłym zbiorze domkniętym. Związek z twier-dzeniem Frécheta–Riesza–Fischera.

Definicja. Przestrzenią pre-hilbertowską nazywamy rzeczywistą lub zespoloną prze-strzeń wektorową H, w której dla każdych v, w ∈ H wyróżniono skalar 〈v, w〉, tak, żedla v1, v2, v, w ∈ H spełnione są warunki:

1) 〈v1 + v2, w〉 = 〈v1, w〉+〈v2, w〉 i 〈λv, w〉 = λ〈v, w〉 dla każdego skalara λ;2) liczby zespolone 〈v, w〉 i 〈w, v〉 są wzajemnie sprzężone;3) 〈v, v〉 ∈ (0,∞) dla v 6= 0.

Gdy H jest taką przestrzenią, to przyjmujemy

||v|| =√〈v, v〉 dla v ∈ H. (4)

Ponadto, dla A,B ⊂ H piszemy A ⊥ B gdy 〈a, b〉 = 0 dla każdych a ∈ A i b ∈ B;zamiast {v} ⊥ {w} piszemy v ⊥ w. (Są to relacje symetryczne.) Układ wektorów{uγ}γ∈Γ nazywamy ortogonalnym, jeśli uγ 6= 0 i uγ ⊥ uγ′ dla γ, γ′ ∈ Γ, γ 6= γ′. Gdyponadto ||uγ|| = 1 ∀γ ∈ Γ, to nazywamy go ortogonalnym unormowanym lubortonormalnym.

Zadanie 1. Dla wektorów przestrzeni pre-hilbertowskiej H mają miejsce zależności:a) 〈

∑ki=1 λivi,

∑lj=1 µjwj〉 =

∑1≤i≤k,1≤j≤l λiµj〈vi, wj〉.

b) ||∑k

i=1 vi||2 =∑k

i=1 ||vi||2 + 2∑k

i,j=1 Re〈vi, vj〉.


c) tożsamość równoległoboku: ||v − w||2 + ||v + w||2 = 2(||v||2 + ||w||2).d) Gdy skończony układ {vγ}γ∈Γ jest ortogonalny i v =

∑γ∈Γ vγ, to ||v||2 =∑

γ∈Γ ||vγ||2 (równość Pitagorasa) i w szczególności dla γ ∈ Γ zachodzi ||v|| > ||vγ||lub v = vγ (nierówność Euklidesa).

Stwierdzenie 1. Niech H0 będzie podprzestrzenią przestrzeni pre-hilbertowskiej H iniech v ∈ H. Wówczas:

a) Jeśli istnieje wektor h0 ∈ H0 taki, że v − h0 ⊥ H0, to ||h0|| ≤ ||v|| i ||v −h0|| < ||v − g|| dla każdego wektora g ∈ H0 \ {h0}. Ostatnia nierówność wyznacza h0

jednoznacznie.b) Jeśli H0 = lin(uγ)γ∈Γ, gdzie (uγ)γ∈Γ jest skończonym układem ortogonalnym, to

wektor h0 ∈ H0 o powyższych własnościach istnieje i jest zadany wzorem

h0 =∑γ∈Γ

〈h, uγ〉||uγ||2

uγ (5)

Dowód. a) Zachodzi ||h0|| ≤ ||v|| i ||v − h0|| < ||v − g|| dla g ∈ H0 \ {h0} napodstawie nierówności Euklidesa zastosowanych do układów ortogonalnych h0, v − h0

i v − h0, h0 − g, odpowiednio. (Zauważamy też, że ||h0|| < ||v|| o ile v 6= h0.)b) Zdefiniujmy teraz h0 wzorem (5). Nietrudno sprawdzić, że wtedy 〈v−h0, w〉 = 0

gdy w jest którymkolwiek z wektorów uγ. Na podstawie zadania 1a) jest tak więc idla wszystkich w ∈ lin{uγ}γ∈Γ = H0. �

Stwierdzenie 2. Dla v, w ∈ H prawdziwe sąa) nierówność Cauchy’ego–Buniakowskiego–Schwarza: |〈v, w〉| ≤ ||v|| · ||w||;b) nierówność Minkowskiego: ||v + w|| ≤ ||v||+ ||w||.

W szczególności, || || jest normą na H.

Dowód. a) Wystarczy rozpatrzeć przypadek, gdy w 6= 0. Wtedy jednak stosującstwierdzenie 1 do układu ortonormalnego {w} otrzymujemy h0 = 〈v, w〉w/||w||2 oraz||v|| ≥ ||h0|| = |〈v, w〉|/||w|| – co jest równoważne tezie a).

b) ||v+w||2 = ||v||2+||w||2+2Re〈v, w〉 ≤ ||v||2+||w||2+2||v||·||w|| = (||v||+||w||)2.

Definicja Gdy powyższa norma jest zupełna, to przestrzeńH nazywamy przestrze-nią Hilberta.

Zasadniczy przykład przestrzeni Hilberta: przestrzeń L2(µ), z iloczynem skalarnym〈f, g〉 =

∫fgdµ. (Poprawność definicji wynika z nierówności Höldera, a zupełność – z

twierdzenia 1 z §2.1, bo wzór (4) wyznacza normę identyczną ze zdefiniowaną w §2.)

Twierdzenie 1 (o istnieniu punktu najbliższego; przypadek przestrzeni Hilberta).Niech Y będzie wypukłym, domkniętym podzbiorem przestrzeni Hilberta H i niech h ∈H. Wówczas istnieje jedyny element y0 zbioru Y taki, że ||h− y0|| = dist(h, Y ).)


Dowód. Bez zmniejszenia ogólności możemy założyć, że h = 0. Przyjmijmy dla ε > 0

Yε = Y ∩ (d+ ε)B, gdzie d = dist(0, Y ) i B = {v : ||v|| ≤ 1}.

Oszacujemy średnicę zbioru Yε, w następujący sposób. Gdy y1, y2 ∈ Yε, to (y1+y2)/2 ∈Y , skąd ||y1 + y2||/2 ≥ d. Z tożsamością równoległoboku daje to

||y1 − y2||2 ≤ 2(||y1||2 + ||y2||2)− 4d2 ≤ 4(d+ ε)2 − 4d2 = 4(2dε+ ε2)

Zatem diamYε ≤ 2√

2dε+ ε2 → 0 gdy ε→ 0.Na podstawie twierdzenia Cantora, zbiór

⋂n Y1/n składa się z dokładnie jednego

punktu, który oznaczmy y0. Z definicji zbiorów Y1/n i liczby d wynika, że ||y0|| =d. Jest to jedyny element zbioru Y o tej własności, bo każdy inny musi należeć dorozpatrywanego przecięcia, zawierającego tylko jeden punkt.�

Wniosek 1. Gdy H0 jest domkniętą podprzestrzenią przestrzeni Hilberta H, to dlakażdego wektora h ∈ H istnieje jedyny wektor h0 ∈ H0 taki, że h− h0 ⊥ H0.

Dowód. Niech h0 ∈ H0 będzie elementem H0, najbliższym h; wtedy 0 jest elementemH0, najbliższym h − h0. (Wynika to stąd, że przesunięcie H 3 x 7→ x − h0 ∈ H jestizometrią, przeprowadzającąH0 naH0.) Gdy więc u ∈ H0\{0}, to 0 jest też elementempodprzestrzeni Fu, najbliższym h− h0. Wraz ze stwierdzeniem 1b), zastosowanym doukładu {u}, daje to równość 0 = 〈h − h0, u〉u/||u||2. Zatem h − h0 ⊥ u dla każdegowektora u ∈ H0, a jednoznaczność h0 wynika z części a) stwierdzenia 1. �

Twierdzenie 2 (Frécheta–Riesza–Fischera). Niech H będzie przestrzenią prehilber-towską. Wówczas:

1) Każdy element v ∈ H wyznacza wzorem ψv(h) = 〈h, v〉 funkcjonał ψv ∈ H∗

taki, że ψv = ||v||.2) Zachodzi ψv+w = ψv + ψw i ψλv = λψv dla v, w ∈ H i λ ∈ F.3) Gdy przestrzeń H jest zupełna, to każdy funkcjonał ψ ∈ H∗ jest postaci ϕv, dla

jedynego wektora v ∈ H.

Dowód. Części 1) i 2) wynikają z definicji i nierówności CBS. Dla dowodu 3) ustalmyϕ ∈ H∗. Gdy ϕ = 0 przyjmujemy v = 0; niech więc ϕ 6= 0. Wtedy H0 = kerϕ jestdomkniętą podprzestrzenią przestrzeni H, różną od H, i z wniosku 1 wynika istnieniewektora u 6= 0 takiego, że u⊥H0. Ponieważ kerψu ⊃ kerϕ i ψu 6= 0, to z zadania 1 zserii 1 wynika, że ψu = λϕ dla pewnego skalara λ 6= 0. Zatem ϕ = ψv dla v = λ

−1u.

Jedyność wektora v jest konsekwencją tego, że jeśli ψv = ψw, to ψv−w = 0, skąd||v − w|| = 0. (Korzystamy z 1) i 2).) �

Wniosek 2. Wzór H 3 v 7→ ψv ∈ H∗ wyznacza izometrię przestrzeni Hilberta H naprzestrzeń H∗. Izometria ta jest liniowa gdy F = R, zaś antyliniowa (tzn. spełniawarunek 2) twierdzenia) gdy F = C; nazwiemy ją antyizomorfizmem Riesza.


Wniosek 3 (o reprezentacji funkcjonałów na L2(µ), por. tw. 1 w §4.2.). Każdy funk-cjonał ograniczony na przestrzeni L2(µ) jest postaci f 7→

∫fgdµ, dla pewnej funkcji

g ∈ L2(µ).

Wniosek 4. a) Dla dowolnego podzbioru X przestrzeni pre-hilbertowskiej H, zbiór

X⊥ := {h ∈ H : h⊥X} =⋂{x⊥ : x ∈ X}

jest domkniętą podprzestrzenią liniową przestrzeni H.b) (twierdzenie o rozkładzie ortogonalnym). Gdy przestrzeń H jest zupełna

(tzn. jest przestrzenią Hilberta), to dla dowolnej jej domkniętej podprzestrzeni liniowejH0 zachodzi H = H0 ⊕H⊥

0 .

Dowód. a) wynika z domkniętości zbiorów x⊥ = kerψx (x ∈ X), a b) – z wniosku 1.

Zadanie 2. Udowodnić, że gdy H0 jest podprzestrzenią liniową przestrzeni Hilberta,to (H⊥

0 )⊥ = clH0.

2. Dwa zastosowania twierdzenia Frécheta–Riesza–Fischera.

A. Postać funkcjonałów na przestrzeni L1(µ). Dla p = 1 i σ-skończonej miary µ dowie-dziemy teraz surjektywności zanurzenia Lq → L∗p z twierdzenia 1 z §4.2. (Przypadekmiary liczącej zbadano w zadaniu 1 w §4.2.) Ustalmy więc ϕ ∈ L1(µ)∗.

i) Niech wpierw miara µ będzie skończona. Wtedy identycznościowe włożenieL2(µ) ↪→ L1(µ) jest poprawnie określone i ciągłe, skąd funkcjonał ϕ|L2(µ) jest cią-gły na L2(µ). Istnieje więc funkcja g ∈ L2(µ) taka, że ϕ(f) =

∫fg dµ dla wszystkich

f ∈ L2(µ). (Korzystamy z wniosku 3 z p.1.)Twierdzimy, że ||g||∞ ≤ ||ϕ||. Istotnie, gdy zbiór mierzalny A i stała M są takie, że

µ(A) > 0 i |g|A| ≥ M , to funkcja f0 := 1A · Sgn g ∈ L∞(µ) ⊂ L1(µ) spełnia warunki∫f0g dµ =

∫A |g| dµ ≥Mµ(A) i |

∫f0g dµ| = |ϕ(f0)| ≤ ||ϕ|| · ||f0||1 ≤ ||ϕ||µ(A), co

łącznie daje M ≤ ||ϕ||.Zatem g ∈ L∞(µ), wobec czego funkcjonał ϕg(f) =

∫fg dµ jest poprawnie okre-

ślony i ciągły na L1(µ); a że jest on równy ϕ na zbiorze L2(µ), gęstym w L1(µ), więcwynika stąd żądana równość ϕg = ϕ.

ii) Niech teraz miara µ będzie σ–skończona, tzn. T =⋃Tn, gdzie zbiory T1 ⊂

T2 ⊂ . . . są mierzalne i skończonej miary. Jak już wiemy, istnieją funkcje gn ∈ L∞(µ)takie, że gn(t) = 0 dla t 6∈ Tn, |gn(t)| ≤ ||ϕ|| dla t ∈ Tn oraz ϕ(f · 1Tn

) =∫fgn dµ

dla wszystkich f ∈ L1(µ). Ze względu na swą jedyność, dla k < l funkcje gl i gk sąrówne p.w. na Tk. Istnieje więc funkcja mierzalna g, na każdym zbiorze Tk równap.w. funkcji gk. Oczywiście, g ∈ L∞(µ) i ϕg(f) = ϕ(f) dla każdej funkcji f ∈ L1(µ),


znikającej poza pewnym ze zbiorów Tk, k ∈ N. Funkcje takie jednak tworzą zbiórliniowo gęsty w L1(µ), co jak w i) powoduje, że ϕ = ϕg. �

Uwaga 1. Nieznaczna zmiana oszacowania w kroku i) pozwala uzyskać analogicznetwierdzenie dla wszystkich p ∈ [1, 2) (w przypadku σ–skończonej miary µ). Nie umiemjednak na tej drodze rozpatrzeć przypadku, gdy p ∈ (2,∞).

B. Twierdzenie Radona–Nikodyma i twierdzenie Lebesgue’a o rozkładzie.

Twierdzenie 1 (Radona–Nikodyma). Niech µ i ν będą skończonymi, σ–addytywnymimiarami nieujemnymi, określonymi na wspólnym σ–ciele podzbiorów zbioru T . Jeśli

µ(A) = 0 ⇒ ν(A) = 0 dla A ⊂ T, (6)

to istnieje nieujemna funkcja h ∈ L1(µ) taka, że∫T

fdν =

∫T

fh dµ dla f ∈ L∞(µ). (7)

Uwaga 2. Gdy zachodzi (6) to piszemy ν � µ i mówimy, że miara ν jest absolutnieciągła względem µ. Zaś zależność (7) zapisywana jest symbolicznie dν = hdµ, afunkcja h nazywana bywa gęstością miary ν względem miary µ. Nietrudno zauważyć,że dwie takie gęstości są równe p.w. oraz że tożsamość (7) jest równoważna temu, by

ν(A) =∫

A h dµ dla każdego zbioru mierzalnego A. (8)

Ponieważ w (7) wystarczające jest rozpatrzenie rzeczywistych funkcji f , więc przyj-mujemy F = R.

Dowód twierdzenia (metodą von Neumanna; por. [Rudin ARiZ, str. 134]). Niechλ := µ+ ν oraz ϕ(f) :=

∫T fdµ dla f ∈ L1(λ). Wtedy

|ϕ(f)| ≤ ||f ||L1(µ) ≤ ||f ||L1(λ), wobec czego ϕ ∈ L1(λ)∗ i ||ϕ|| ≤ 1.

Istnieje więc funkcja mierzalna g : T → [−1, 1] taka, że ϕ(f) =∫

T fg dλ, tzn.∫T fdµ =

∫T fgd(µ+ν) dla f ∈ L1(λ). (Wykorzystaliśmy twierdzenie, udowodnione

w p. A).) Równoważnie:∫T

fgdν =

∫T

f(1− g)dµ dla f ∈ L1(λ) (9)

By stąd wywnioskować (7), przy h := (1− g)/g, rozpatrzmy zbiory

S = {t ∈ T : g(t) ≤ 0}, Tn = {t : 1 ≤ 1/g(t) < n} (n ∈ N)


Dla f ∈ L1(λ) zachodzi fg · 1Tn

∈ L1(λ), a zatem i∫

Tfg · 1Tn

· gdν =∫

Tfg (1− g)1Tn

dµ.(Umawiamy się, że c

0 · 0 = 0 dla c ∈ R.) A że 1Tn(t) ↗ 1T\S, więc stąd i twierdzenia

Lebesgue’a o zbieżności monotonicznej wynika, że przy h = 1g(1− g) zachodzi∫

T\Sfdν =

∫T\S

fhdµ dla nieujemnych funkcji f ∈ L1(λ). (10)

Ponadto, biorąc w (9) f = 1S wnosimy, że µ(S) = 0, skąd i ν(S) = 0. To powoduje,że w (10) możemy T \ S zastąpić przez T . Daje to (7) dla nieujemnych funkcji f , bowobec ν � µ mamy L∞(µ) = L∞(λ) ⊂ L1(λ). Pozostaje w (7) przedstawić f jakoróżnicę funkcji nieujemnych i zauważyć, że dla f = 1T z (7) wynika, że h ∈ L1(µ). �

Uwaga 3. Pomińmy założenie, że ν � µ . Z równości (9) wynika nadal, że µ(S) = 0,zaś miary νa i νs, zdefiniowane dla zbiorów mierzalnych A wzorami

νs(A) = ν(A ∩ S), νa(A) =

∫A\S

hdµ = ν(A \ S)

są takie, że ν = νa + νs, νa � µ i νs(T \ S) = 0. Istnienie zbioru S takiego, żeµ(S) = 0 i νs(T \ S) = 0 wyrażamy mówiąc, że miara νs jest singularna względemµ. Rozumowanie von Neumanna pozwala więc uzyskać i twierdzenie Lebesgue’a orozkładzie: gdy skończone miary µ i ν są określone na tym samym σ–ciele zbiorów,to ν jest sumą dwóch miar, z których jedna jest względem µ absolutnie ciągła, a druga–singularna. �

Uwaga 4. Twierdzenie Radona–Nikodyma można rozszerzyć na przypadek, gdy ν

jest F–miarą (nadal σ–addytywną; funkcja h przyjmuje teraz wartości w F). Wynikato stąd, że taka F–miara ν jest kombinacją liniową „prawdziwych” miar skończonych,absolutnie ciągłych względem µ jeśli ν � µ. Ten ostatni fakt, który wystarcza udo-wodnić dla F = R, nie jest jednak oczywisty; patrz „Dodatek” do tego paragrafu.

Zadanie 1. Dowieść, że gdy dla zadanej funkcji h ∈ L1(µ) zdefiniujemy F–miarę νwzorem (8), to ||ν|| =

∫|h|dµ i miara ν jest przeliczalnie addytywna.

3. Istnienie punktu najbliższego w przypadku przestrzeni jednostajnie wypukłych; za-stosowanie do opisu Lp(µ)∗ dla p ∈ (1,∞).

Powiemy, że przestrzeń unormowana (V, || ||) (a także jej norma || || czy kula {v ∈ V :||v|| ≤ 1}) jest jednostajnie wypukła, jeśli istnieje funkcja δ : (0, 1) → (0, 1) taka,że z warunków ||v|| = ||w|| = 1 i ||v − w|| > ε wynika ||(v + w)/2|| < 1− δ(ε).

Przestrzeń Hilberta jest jednostajnie wypukła, co wynika z łatwo z tożsamości rów-noległoboku. Jednostajnie wypukłe są też przestrzenie Lp(µ) dla p ∈ (1,∞), na


podstawie znacznie trudniejszych nierówności Clarksona. Twierdzenie o istnieniupunktu najbliższego w domkniętym zbiorze wypukłym X ⊂ V pozostaje słuszne gdyprzestrzeń V jest jednostajnie wypukła. Szczegóły są omówione w zadaniach serii 7 i8. Pozwala to zakończyć dowód twierdzenia 1 z §4.2 dla p 6= 1, w następujący sposób.

Dowód surjektwności zanurzenia kanonicznego Lq → L∗p dla p ∈ (1,∞). Niech ϕ ∈Lp(µ)∗ \ {0} i niech wpierw F = R. Obierzmy f ∈ Lp(µ) \ ker(ϕ) dowolnie. Jakpowiedziano wyżej, istnieje w ker(ϕ) wektor f0, najbliższy wektorowi f . Zastępującf przez f − f0 uzyskujemy to, że f0 = 0. Gdy v ∈ ker(ϕ), to 0 pozostaje wektoremnajbliższym wektorowi f w zbiorze Rv, wobec czego funkcja R 3 s 7→ ||f − sv||pprzyjmuje w zerze swe minimum. Ale pochodna w zerze tej funkcji istnieje i jestrówna

∫gv dla pewnej niezależnej od v funkcji g ∈ Lq(µ) \ {0}; patrz zadanie w serii

8. Tak więc∫gv = 0 ∀v ∈ ker(ϕ) – czyli ker(ϕ) ⊂ ker(ϕg), gdzie ϕg(v) :=

∫gv

dla v ∈ Lp(µ). Jak w dowodzie twierdzenia Frecheta–Riesza-Fischera wynika stąd, żeϕ = λϕg = ϕλg dla pewnego skalara λ.

Gdy F = C i ϕ ∈ Lp(µ), to na podstawie powyższego istnieją funkcje rzeczywisteg1, g2 ∈ Lq(µ) takie, że (Reϕ)(v) =

∫g1v i (Imϕ)(v) =

∫g2v dla v ∈ LR

p (µ). Przyh := g1 + ig2 zachodzi więc h ∈ Lq(µ) i ϕ(v) =

∫hv dla wszystkich v ∈ Lp(µ). �

Uwaga 1. Twierdzenie 1 z §4.2 jest więc już w pełni udowodnione, przy czym dowóddla p > 1 był odmienny, niż dla p = 1, i wykorzystywał niełatwe nierówności dowo-dzone na ćwiczeniach. Przy założeniu σ–skończoności miary µ można podać dowódpomijający te nierówności, jak następuje. (Por. Rudin ARiZ, str. 140–142.) Niechϕ ∈ Lp(µ)∗ i przyjmijmy wpierw, że miara µ jest skończona. Wzór ν(A) = ϕ(1A) za-daje wówczas σ–addytywną F–miarę na σ–ciele zbiorów mierzalnych. Zgodnie z uwagą4 w p.2 istnieje więc funkcja g ∈ L1(µ) taka, że ν(A) =

∫A gdµ dla każdego takiego

zbioru A. Równość ϕ(f) =∫fg zachodzi więc dla funkcji charakterystycznych zbio-

rów mierzalnych, a tym samym i dla wszystkich funkcji prostych. W związku z tym|∫fg| ≤ ||f ||p · ||ϕ|| dla funkcji prostych f ∈ Lp(µ). Z zadania 2 w §4.2 wynika więc,

że ||g||q <∞. To wystarcza do stwierdzenia, że ϕ = ϕg, i do rozszerzenia uzyskanegowyniku na przypadek σ–skończonej miary µ (jedno i drugie jak w p.2A).

4. Dodatek do §6: F–miary jako kombinacje liniowe miar skończonych.

Niech ν będzie addytywną F–miarą na rodzinie zbiorów M. Dla A ∈ M zdefiniujmyF–miarę ν|A naM wzorem ν|A(B) = ν(A∩B) (B ∈M). Całkowitą wariację tej miarynazywamy wariacją miary ν na zbiorze A i oznaczmy przez |ν|(A). 3 Oczywiście,

|ν(A)| ≤ |ν|(A) ≤ ||ν||, gdzie ||ν|| to całkowita wariacja miary ν. (11)3oznaczenie to jest powszechnie przyjęte, choć |ν| nie oznacza tu wartości bezwględnej miary ν.


Zadanie 1. Funkcja A 7→ |ν|(A) ∈ [0, ||ν||] jest addytywna na M. Jest też onaprzeliczalnie addytywna, o ile tylko ν ma tę własność. Wariacja całkowita miary |ν|jest taka, co miary ν.

Uwaga 1. Gdy F = R i ||ν|| < ∞, to ν okazuje się być różnicą dwóch funkcji,|ν| i |ν| − ν, które obie są nieujemne i addytywne (odp. σ–addytywne, jeśli ν matę własność); obie są też absolutnie ciągłe względem zadanej nieujemnej miary λ,jeśli ν � λ.

W przypadku σ-addytywnym powyższe założenie ||ν|| <∞ jest zawsze spełnione:

Twierdzenie 1. Gdy M jest σ–ciałem zbiorów i F–miara ν na M jest σ–addytywna,to ||ν|| <∞.

(Dowód na końcu „dodatku”.) Wraz z uwagą 1 uzasadnia to uwagę 4 z p.2 o praw-dziwości twierdzenia Radona–Nikodyma w przypadku, gdy ν jest F-miarą. To zaśprowadzi do poniższych klasycznych wyników z teorii miary.

Uwaga 2. Niech założenia twierdzenia 1 będą spełnione. Wyznaczona przez ν miaraµ := |ν| jest przeliczalnie addytywna i skończona; ponadto ν � µ (por. (11)). Istniejewięc funkcja h ∈ L1(µ) taka, że ν(A) =

∫A hdµ dla A ∈M. Ze względu na nierówność

(11) zachodzi |h| ≤ 1 p.w. (względem miary µ); a że ||µ|| = ||ν||, to z zadania 1 w p.2otrzymujemy |h| = 1 p.w. Możemy zakładać, że równość ta zachodzi wszędzie (a niep.w.). Gdy więc F = R, to im(h) ⊂ {−1, 1}.

Twierdzenie 2. Niech ν będzie σ–addytywną R–miarą na σ–ciele M podzbiorówzbioru T . Wówczas mają miejsce rozkłady Hahna zbioru T i Jordana miary ν:

a) T = T+ ∪ T−, gdzie zbiory T+, T− ∈M są rozłączne i

ν(A) ≥ 0 gdy A ⊂ T+ i ν(A) ≤ 0 gdy A ⊂ T− (A ∈M).

b) ν = ν+ − ν−, gdzie miary ν+, ν− są nieujemne i ||ν|| = ν+(T ) + ν−(T ).

Dowód. Przy oznaczeniach uwagi i ε = ± , przyjmujemy Tε := h−1(ε1) oraz νε := ν|Tε.

Dowód twierdzenia 1. Wystarczy dowieść, że ||Re ν|| <∞ i ||Im ν|| <∞ i wobectego możemy założyć, że F = R. Przypuśćmy, że liczba ||ν|| = |ν|(T ) jest nie-skończona. Skonstruujemy indukcyjnie wstępujący ciąg zbiorów An ∈ M takich, że|ν(An)| ≥ n i |ν|(T \An) = ∞ dla każdego n. W tym celu niech A0 = ∅, a gdy znamyjuż zbiór An−1, to przyjmijmy A = T \ An−1 i korzystając z tego, że |ν|(A) = ∞,obierzmy zbiór mierzalny B′ ⊂ A taki, że |ν(B′)| > |ν(A)|+s, gdzie liczbę s określimyponiżej. (Dowód istnienia zbioru B′, dla każdego s, pozostawiony jest jako zadanie.)Przy B′′ = A\B′ zachodzi |ν(B′′)| ≥ |ν(B′)|− |ν(A)| > s, przy czym |ν|(B) = ∞ dlapewnego zbioru B ∈ {B′, B′′}. (Wynika to stąd, że |ν|(B′) + |ν|(B′′) = |ν|(A) = ∞.)


Gdy więc przyjmiemy An = T \ B, to warunek |ν(An)| ≥ n uzyskamy z nierówności|ν(An)| ≥ |ν(B)| − |ν(T )| o ile tylko zadbamy o to, by s = |ν(T )|+ n.

Ciąg (ν(An))∞n=1 nie ma granicy w R, wbrew temu, że z założenia powinien być

zbieżny do ν(⋃

nAn) ∈ R. Sprzeczność ta dowodzi, że ||ν|| <∞. �

§ 7. Rola układów ortogonalnych w przestrzeni Hilberta

1. Ogólne rozwinięcie Fouriera i jego związek z rzutem ortogonalnym

Rzutem ortogonalnym wektora v ∈ H na podprzestrzeń H0 przestrzeni HilbertaH nazwaliśmy wektor h0 ∈ H0 taki, że v − h0 ⊥ H0. W § 6.1 dowiedziono, żegdy podprzestrzeń H0 jest domknięta, to h0 istnieje i jest też jedynym elementempodprzestrzeni H0 takim, że ||v − h0|| = dist(v,H0). Przypomnijmy też, że sumąukładu (tγ)γ∈Γ liczb tγ ≥ 0 nazywamy kres górny sum skończonych jego podukładów.Gdy

∑γ∈Γ tγ <∞, to tγ 6= 0 tylko dla przeliczalnie wielu γ ∈ Γ (dlaczego?).

Definicja. Mówimy, że szereg∑

γ∈Γ vγ wektorów przestrzeni unormowanej V jest zbieżnybezwarunkowo (lub: że jest sumowalny), jeśli zbiór Γ0 = {γ ∈ Γ : vγ 6= 0} jestprzeliczalny i szereg

∑∞i=1 vγi

jest zbieżny do wektora, który nie zależy od ponumero-wania γ1, γ2, . . . elementów zbioru Γ0.

Przykład 1. Szereg∑

n en/n w przestrzeni `2 jest zbieżny bezwarunkowo, lecz sumanorm jego wyrazów jest nieskończona. Patrz też dalej zadania 1–3.

Twierdzenie 1. Niech (uγ)γ∈Γ będzie unormowanym układem ortogonalnym w prze-strzeni Hilberta H i niech v ∈ H. Wówczas szereg

∑γ〈v, uγ〉uγ jest bezwarunkowo

zbieżny do rzutu h0 wektora v na podprzestrzeń H0 := lin{uγ}γ∈Γ (tzn. na domknięciepowłoki liniowej zbioru {uγ : γ ∈ Γ}). Ponadto, ||h0|| =

√∑γ |〈v, uγ〉|2.

Dowód. Przyjmijmy dla wygody λγ = 〈v, uγ〉 dla γ ∈ Γ. Na podstawie stwierdzenia 1 z§6.1, gdy Γ′ jest skończonym podzbiorem zbioru Γ, to rzut wektora v na podprzestrzeńlin{uγ}γ∈Γ′ jest równy

∑γ∈Γ′ λγuγ, a jego norma nie przekracza ||v||; ponadto, norma

ta jest równa√∑

γ∈Γ′ |λγ|2 na podstawie równości Pitagorasa. Z dowolności zbioruskończonego Γ′ ⊂ Γ wynika, że

∑γ∈Γ |λγ|2 ≤ ||v||2, wobec czego zbiór Γ0 = {γ ∈ Γ :

λγ 6= 0} jest przeliczalny. Gdy zbiór ten jest skończony, to przyjmując wcześniej Γ′ =Γ0 otrzymujemy tezę; niech więc Γ0 = {γ1, γ2, . . . } i niech σn =

∑ni=1 λγi

uγi. Wtedy

dla dowolnych n ≤ k < l zachodzi ||σk − σl||2 =∑l

i=k+1 |λγi|2 ≤

∑∞i=n |λγi

|2 → 0 gdyn → ∞ –czyli ciąg (σn) spełnia warunek Cauchy’ego. Ponieważ przestrzeń HilbertaH jest zupełna, a podprzestrzeń H0 jest domknięta, to istnieje h0 = limn σn ∈ H0.Dla γ = γi ∈ Γ0 zachodzi też 〈h0, uγ〉 = limn〈σn, uγi

〉 = λγi= 〈h, uγ〉 i podobnie


〈h0, uγ〉 = 0 = 〈h, uγ〉 dla γ ∈ Γ \ Γ0. Zatem wektor h − h0 jest ortogonalny dokażdego z wektorów uγ, a więc i do domknięcia H0 ich powłoki liniowej.

Wektor h0 jest wobec tego rzutem ortogonalnym wektora v na H0 i tym samymnie zależy od obranej do jego konstrukcji numeracji γ1, γ2, . . . zbioru Γ0. Na koniec||h0||2 = limn ||σn||2 = limn

∑ni=1 |λγi

|2 =∑

γ∈Γ0|λγ|2 =

∑γ∈Γ |λγ|2. �

Szereg∑

γ∈Γ〈v, uγ〉uγ nazywamy (ogólnym) rozwinięciem Fouriera wektorav ∈ H względem układu ortonormalnego {uγ}γ∈Γ przestrzeni Hilberta H, zaś skalary〈v, uγ〉 – współczynnikami Fouriera wektora v względem tego układu. Okazuje sięwięc, że współczynniki te wyznaczają zarówno normę rzutu wektora v na lin{uγ}γ∈Γ,jak i (wraz z wektorami uγ) sam ten rzut.

Przez rozwinięcie Fouriera wektora v względem nieunormowanego układu ortogo-nalnego (vγ) rozumiemy rozumiemy jego rozwinięcie względem układu ( 1

||vγ ||vγ).

Wniosek 1. Przy oznaczeniach twierdzenia prawdziwa jest nierówność Bessela∑γ |〈v, uγ〉|2 ≤ ||v||2, zaś równość

∑γ |〈v, uγ〉|2 = ||v||2 jest równoważna każdemu

z warunków v ∈ H0 czy v =∑

γ〈v, uγ〉uγ (zbieżność jest bezwarunkowa).

Dowód. Ze stwierdzenia 1a) z §6.1 i jego dowodu wynika, że ||h0|| ≤ ||v|| i ||h0|| =||v|| ⇔ v = h0 ⇔ v ∈ H0. �

Wniosek 2. Niech układ (un)n∈N będzie ortonormalny. Dla ciągu skalarów cn równo-ważne są warunki:

a) szereg∑

n cnun jest zbieżny,b) szereg

∑n cnun jest zbieżny bezwarunkowo,

c)∑

n |cn|2 <∞.

Dowód. Implikacja c)⇒a) wynika z dowodu twierdzenia, a b)⇒a) jest oczywista. Gdyzaś zachodzi a) i v :=

∑n cnun, to v ∈ lin(un)n∈N i cn = limk→∞

∑ki=1 ci〈ui, un〉 =

〈v, un〉 dla n ∈ N, wobec czego z wniosku 1 wynika równość∑

n |cn|2 = ||v||2 < ∞ ibezwarunkowa zbieżność szeregu

∑n cnun do v. �

Zadanie 1. a) Dowieść, że szereg∑

γ∈Γ vγ wektorów przestrzeni Banacha V , spełnia-jący warunek

∑γ ||vγ|| <∞, jest bezwarunkowo zbieżny.

b) Dowieść, że gdy dim(V ) < ∞, to prawdziwa jest też implikacja przeciwna.(Wskazówka: twierdzenie Riemanna z AM I.)

Zadanie 2. Niech v i vγ (γ ∈ Γ) będą wektorami przestrzeni unormowanej V . Do-wieść równoważności warunków:

a) Szereg∑

γ vγ jest bezwarunkowo zbieżny do v;b) Dla każdej liczby ε > 0 istnieje zbiór skończony Γε ⊂ Γ taki, że ||

∑γ∈Γ′ vγ−v|| <

ε dla każdego zbioru skończonego Γ′ ⊂ Γ, zawierającego Γε.


Zadanie 3. Szereg∑

n vn w przestrzeni Banacha V jest zbieżny bezwarunkowo wtedyi tylko wtedy, gdy spełniony jest pewien z następujących warunków:

a) dla każdych k1 < k2 < . . . , szereg∑∞

n=1 vknjest zbieżny;

b) dla każdych εn = ±1, szereg∑∞

n=1 εnvn jest zbieżny;c) ∀ε > 0 ∃N ∈ N takie, że gdy {εN , . . . , εM} ⊂ {1,−1}, to ||

∑Mk=N εkvk|| < ε.

2. Izometryczność przestrzeni Hilberta z przestrzenią `2(Γ).

Definicja. Bazą ortonormalną (odp. ortogonalną) przestrzeni Hilberta H nazy-wamy ortonormalny (odp. ortogonalny) układ wektorów, który jest w H liniowo gęsty.

Twierdzenie 1 (własności charakterystyczne baz ortonormalnych). Dla ortonormal-nego układu (uγ)γ∈Γ wektorów przestrzeni Hilberta H równoważne są warunki:

a) układ (uγ) jest liniowo gęsty w H i wobec tego jest bazą ortonormalną;b) prawdziwa jest tożsamość Parsevala:

∑γ |〈v, uγ〉|2 = ||v||2, ∀v ∈ H;

c) przekształcenie H 3 v 7→ (〈v, uγ〉)γ∈Γ, przyporządkowujące każdemu wektorowiv ∈ H układ jego współczynników Fouriera względem (uγ)γ∈Γ, jest poprawnie określonąizometrią liniową przestrzeni H na `2(Γ);

d) 〈v, w〉 =∑

γ∈Γ〈v, uγ〉〈uγ, w〉 dla v, w ∈ H (po prawej zbieżność bezwarunkowa);e) 0 jest jedynym wektorem, ortogonalnym do każdego wektora uγ (inaczej: {uγ :

γ ∈ Γ}⊥ = {0});f) v =

∑γ∈Γ〈v, uγ〉uγ dla każdego wektora v ∈ H (zbieżność jest bezwarunkowa).

Dowód. Implikacje a)⇒b)⇒f) wynikają z wniosku 1 w p.1, a f)⇒e) jest oczywista.e)⇒a). Jeśliby H 6= H0 = lin{uγ}γ∈Γ, to dowolny wektor v ∈ H⊥

0 \ {0} zaświad-czałby o nieprawdziwości e).

b)⇒c). Rozważane w c) przekształcenie (oznaczmy je przez L) jest liniowe i napodstawie twierdzenia z p.1 przyjmuje wartości w `2(Γ). Gdy zachodzi b), to jest onoizometrycznym zanurzeniem. Ponieważ L(uγ) = eγ dla każdego γ, a układ (eγ)γ∈Γ

jest liniowo gęsty w `2(Γ), więc podprzestrzeń im(L) jest gęsta w przestrzeni `2(Γ).Jest ona też domknięta, bo jest izometryczna z przestrzenią zupełną, i wobec tego jestrówna `2(Γ) – co kończy dowód tej implikacji.

c)⇒d). Ze względu na tożsamości polaryzacyjne, liniowa izometria L zachowujeiloczyn skalarny, tzn. 〈v, w〉 = 〈L(v), L(w)〉`2(Γ) dla v, w ∈ H. Pozostaje uwzględnićdefinicję iloczynu skalarnego w `2(Γ) i to, że 〈w, uγ〉 = 〈uγ, w〉.

d)⇒b) Należy w d) przyjąć v = w, by otrzymać b). �

Przekształcenie L : H → `2(Γ) z punktu c) nazywać będziemy izometrią Fo-uriera, wyznaczoną przez bazę ortonormalną (uγ). (Nie jest to nazwa przyjęta.) Jak


odnotowano, L przeprowadza wektory uγ danej bazy ortonormalnej przestrzeni H, nawektory eγ standardowej bazy przestrzeni `2(Γ).

Stwierdzenie 1. Każda przestrzeń Hilberta ma bazę ortonormalną. Gdy przestrzeńjest ośrodkowa, to baza jest przeliczalna lub skończona i można ją otrzymać przy po-mocy ortogonalizcji Grama–Schmidta.

Dowód. Na podstawie lematu Kuratowskiego–Zorna, w badanej przestrzeni istniejemaksymalny układ ortonormalny. Układ ten spełnia on warunek e) twierdzenia 1. �

Wniosek 1 (o izometrycznej reprezentacji przestrzeni Hilberta). Każda przestrzeńHilberta H nad ciałem F jest liniowo izometryczna z pewną przestrzenią `F2(Γ). Je-śli przestrzeń H jest ośrodkowa, to za Γ obrać można zbiór postaci {1, . . . , n} (gdydim(H) = n <∞) lub N, i możliwości te są parami rozłączne. �

Zadanie 1. Ciężarem przestrzeni Hilberta (ogólniej: przestrzeni topologicznej) na-zywamy kres dolny mocy jej gęstych podzbiorów. Dowieść, że

a) Moc bazy ortogonalnej jest skończona lub równa ciężarowi przestrzeni.b) Dla nieskończenie–wymiarowych przestrzeni Hilberta H1, H2 nad tym samym

ciałem równoważne są warunki: i) przestrzenie te są liniowo izometryczne, ii) prze-strzenie H1, H2 są homeomorficzne, iii) przestrzenie te są tego samego ciężaru.

3. Przykłady baz i układów ortogonalnych

1. Układy funkcji trygonometrycznych i wykładniczych w L2([0, 2π]).a) Układ funkcji {1/

√2π} ∪ { 1√

πsin(nt)}∞n=1 ∪ { 1√

πcos(nt)}∞n=1 jest bazą ortonor-

malną w L2([0, 2π]).b) Układ funkcji { 1√

2πeint}n∈Z jest bazą ortonormalną w LC

2 ([0, 2π]).Najłatwiej jest dowieść ortonormalności dla układu b) i wywnioskować ją dla a).

Liniową gęstość układu z a) udowodniono na AM I; z niej zaś wynika liniowa gęstośćukładu b). W a) i niżej ciało skalarów jest obojętne.

2. Układy Haara i Rademachera.a) Oznaczmy przez P rodzinę przedziałów postaci P = [k/2n, (k + 1)/2n), gdzie

0 ≤ k < 2n i n = 0, 1, . . . . Dla każdego przedziału P = [a, b) ∈ P oznaczmy przezhP funkcję równą (b− a)−1/2 na [a, (a+ b)/2), równą −(b− a)−1/2 na [(a+ b)/2, b) irówną 0 na [0, 1] \ P . Układem Haara na [0, 1] nazywamy zbiór funkcji {1} ∪ {hP :P ∈ P}. Jest on bazą ortonormalną w L2([0, 1]): ortonormalność otrzymujemy zdefinicji, zaś liniowa gęstość łatwo wynika stąd, że jego powłoka liniowa zawiera funkcjęcharakterystyczną każdego przedziału z P .


b) Dla każdej liczby całkowitej n ≥ 0 przyjmijmy rn =∑

0≤i<2n(−1)ifn,i, gdziefn,0, . . . , fn,2n−1 to indykatory kolejnych przedziałów z P o długości 2−n (w kolejności,w jakiej początki przedziałów położone są na osi). Tak więc r0 = 1, zaś np. r2 jestfunkcją, która na przedziałach [0, 1/4), [1/4, 2/4), [2/4, 3/4), [3/4, 1) przyjmuje kolejnowartości 1,−1, 1,−1. Zbiór funkcji {rn}∞n=0 to układ Rademachera na [0, 1]. Jeston ortonormalny (co łatwo sprawdzić), lecz nie jest liniowo gęsty w L2([0, 1]) –np.funkcja f2,2 + f2,3 jest ortogonalna do każdej funkcji układu.

3. Wielomiany Czebyszewa. Jak wiadomo z GALu, cos(nt) możemy wyrazić w po-staci pn(cos t), dla jedynego wielomianu pn ∈ R[t], nazywanego n–tym wielomianemCzebyszewa. Układ tych wielomianów jest bazą ortogonalną przestrzeni HilbertaH = L2([−1, 1], dt/

√1− t2), bo przy izometrii H 3 f 7→ f ◦ cos ∈ L2([0, π]) odpo-

wiada on układowi (cos(nt))n≥0, będącemu takąż bazę przestrzeni L2([0, π]).4. Wielomiany Legendre’a powstają w wyniku ortogonalizacji Grama-Schmidta

w przestrzeni L2([−1, 1]), zastosowanej do ciągu 1, t, t2, . . . ; za warunek normującyprzyjmuje się, by wartość każdego z nich w punkcie 1 wynosiła 1. (Norma tych wie-lomianów jest na ogół różna od 1.) Patrz zadanie.... , a wykresy obejrzeć można podhttp://en.wikipedia.org/wiki/Legendre_polynomials.

e) Wielomiany Hermite’a i Laguerre’a. Wielomiany Hermite’a powstają w wynikuortogonalizacji Grama-Schmidta w przestrzeni L2(R, e−t2dt), zastosowanej do ciągu1, t, t2, .... Przy zmianie R na (0,∞), a e−t2dt na e−tdt, otrzymujemy wielomianyLaguerre’a. Tworzą one bazy ortogonalne rozważanych przestrzeni Hilberta.

§ 8. Sprzężenie (operatorów i przestrzeni)

1. Sprzężenie „banachowskie” i zanurzenie w drugą sprzężoną.

Przypomnijmy, że przestrzenią sprzężoną do przestrzeni unormowanej V nazy-wamy przestrzeń Banacha V ∗ = L(V,F) wszystkich ograniczonych funkcjonałów naV ; rozpatrujemy ją z normą operatorową. Dla operatora T ∈ L(V,W ) definiujemyoperator T ∗ : W ∗ → V ∗ wzorem

T ∗(ϕ) = ϕ ◦ T dla ϕ ∈ W ∗ (12)

Nazywamy go operatorem sprzężonym do T .

Przykład 1. a) Gdy V jest podprzestrzenią liniową przestrzeniW , to operatorem sprzę-żonym do inkluzji V ↪→ W jest operator obcięcia r : W ∗ → V ∗, r(ϕ) = ϕ|V dlaϕ ∈ W ∗. Zauważmy też, że operator r jest otwarty i przeprowadza kulę jednostkowąw W ∗ na kulę jednostkową w V ∗ (tw. Hahna–Banacha!).

b) Gdy P : V → V/V0 jest rzutowaniem na przestrzeń ilorazową, to P ∗ jest zanu-rzeniem izometrycznym. (Istotnie, P przekształca kulę BV na kulę jednostkową prze-


strzeni V/V0, wobec czego ||P ∗(ϕ)|| = ||ϕ|| dla każdego funkcjonału ϕ ∈ (V/V0)∗.)

Ponadto, im(P ∗) = {ϕ ∈ V ∗ : ϕ|V0= 0}, co wynika łatwo ze stwierdzenia 4 w §3.3.

Stwierdzenie 1 (o podstawowych własnościach sprzężenia). Przyporządkowanie T 7→T ∗ jest liniowym włożeniem izometrycznym przestrzeni L(V,W ) w L(W ∗, V ∗), tzn.ma ono następujące własności:

(λS + T )∗ = λS∗ + T ∗ i ||T ∗|| = ||T || dla S, T ∈ L(V,W )), λ ∈ F.

Ponadto:(T ◦ L)∗ = L∗ ◦ T ∗ dla L ∈ L(U, V ) i T ∈ L(V,W ).

W szczególności, jeśli istnieje T−1 ∈ L(W,V ), to istnieje (T ∗)−1 ∈ L(V ∗,W ∗) i(T ∗)−1 = (T−1)∗. �

Zadanie 1. (Patrz też zadania 4 i 5 w serii 10.) Gdy T ∈ L(V,W ), to:a) (obraz T jest gęsty w W ) ⇔ kerT ∗ = {0}b) (T jest zanurzeniem)⇒ (T ∗ jest „na”)c) (przekształcenie T jest otwarte)⇒(T ∗ jest zanurzeniem).

Operację sprzęgania przestrzeni i operatorów można iterować, tworząc ciągi prze-strzeni V, V ∗, V ∗∗ := (V ∗)∗, . . . i operatorów L,L∗, L∗∗ := (L∗)∗, . . . . Kanonicznewłożenie JV : V → V ∗∗ określamy poprzez zdefiniowanie dla v ∈ V funkcjonałówJV (v) na przestrzeni V ∗ wzorem

JV (v)(ϕ) = ϕ(v). (13)

Stwierdzenie 2. JV : V → V ∗∗ jest liniowym zanurzeniem izometrycznym. �

Uwaga 1. Możemy więc zawsze traktować V , z dokładnością do izometrii, jako pod-przestrzeń liniową przestrzeni V ∗∗. Gdy V jest przestrzenią Banacha, to podprzestrzeńta jest domknięta, bo jest izometryczna z przestrzenią zupełną.

Wniosek 1 (o uzupełnianiu przestrzeni unormowanych). Każdą przestrzeń unormo-waną V można zanurzyć liniowo–izometrycznie jako gęstą podprzestrzeń przestrzeniBanacha. (Za tę ostatnią można obrać domknięcie zbioru im(JV ) w V ∗∗.) �

Zadanie 2. a) Udowodnić, że złożenie (JV )∗ ◦ JV ∗ jest identycznością na V ∗, gdzieJV : V → V ∗∗ i JV ∗ : V ∗ → V ∗∗∗ to zanurzenia kanoniczne.

b) Udowodnić, że dla T ∈ L(V,W ) zachodzi równość T ∗∗◦JV = JW ◦T (równoważ-nie: T ∗∗|V = T , gdy traktować V iW jako podprzestrzenie w V ∗∗ iW ∗∗, odpowiednio).

Definicja. Przestrzeń unormowaną V nazywamy refleksywną, gdy kanoniczne zanu-rzenie izometryczne JV : V → V ∗∗ jest „na”.


Uwaga 2. a) Przestrzeń refleksywna jest zupełna, bo przestrzenie postaci W ∗ sązupełne i zupełność jest zachowywana przez izomorfizmy przestrzeni unormowanych.

b) Przestrzeń refleksywna V jest izomorficzna z V ∗∗, lecz implikacja przeciwna niejest prawdziwa. Odpowiedni przykład jest znany pod nazwą „przestrzeni Jamesa”.

c) Z GALu wiadomo, że przestrzenie skończonego wymiaru są refleksywne. Przykła-dem nierefleksywnej przestrzeni Banacha jest c0, bo c∗0 ≈ `1, `

∗1 ≈ `∞, a nieośrodkowa

przestrzeń `∞ nie jest izomorficzna z c0. Ogólniej, przestrzenie L1(µ), L∞(µ) i C0(X)są refleksywne wtedy i tylko wtedy, gdy są skończonego wymiaru. (Dowód pomijam.)

Zadanie 3. W oparciu o twierdzenie 1 z §4.2 o postaci funkcjonałów na przestrzeniachLp(µ) dowieść, że dla p ∈ (1,∞) przestrzenie te są refleksywne.

Twierdzenie 1. a) Przestrzeń Banacha wtedy i tylko wtedy jest refleksywna, gdyrefleksywna jest jej sprzężona.

b) Jeśli przestrzeń jest refleksywna, to refleksywna jest też każda jej domkniętapodprzestrzeń i każdy jej obraz przy ciągłym i otwartym przekształceniu liniowym.

Dowód. i) Gdy operator T ∈ L(V,W ) jest otwarty, to na mocy zadania 1 c),b), T ∗ jestzanurzeniem, zaś T ∗∗ jest „na”. Wobec tego z zadania 2b) wynika, że jeśli JV jest „na”,to JW też. Dowodzi to końcowej części tezy b) i w szczególności tego, że refleksywnośćjest niezmiennikiem izomorfizmu.

ii) Skorzystamy teraz z równości (JV )∗ ◦ JV ∗ = IdV ∗ z zadania 2a). Wynika z niej,że epimorficzność JV ∗ jest równoważna monomorficzności (JV )∗. Ta z kolei jest namocy zadania 1a) równoważna temu, by obraz JV był gęsty w V ∗∗; a że obraz tenjest domknięty (por. uwagę 1), więc ostatecznie epimorficzność JV ∗ jest równoważnaepimorficzności JV . To dowodzi tezy a).

iii) Na koniec, gdy V0 jest podprzestrzenią przestrzeni V , to V ∗0 jest obrazem V ∗ przy

otwartym operatorze R : V ∗ → V ∗0 ; patrz przykład 1. Gdy więc ponadto przestrzeń

V jest refleksywna i V0 = clV0, to z i) i ii) wynika kolejno refleksywność V ∗, V ∗0 i V0.

2. Sprzężenie hermitowskie

Stwierdzenie 1. Gdy T ∈ L(H1, H2), gdzie H1 i H2 są przestrzeniami Hilberta, tokażdemu wektorowi w ∈ H2 odpowiada jedyny wektor T h(w) ∈ H1 taki, że

〈T (v), w〉2 = 〈v, T h(w)〉1 dla każdego wektora v ∈ H1. (14)

Dowód. Wynika to stąd, że przy ustalonym w ∈ H2, lewa strona jest funkcjonałemograniczonym na przestrzeni H1. Jest to więc mnożenie skalarne przez jednoznaczniewyznaczony wektor, który przyjmujemy za T hw. �


Definicja. Wyznaczone powyższym stwierdzeniem przekształcenie T h : H2 → H1 na-zywamy hermitowskim sprzężeniem operatora T ∈ L(H1, H2). 4

Stwierdzenie 2 (o podstawowych własnościach sprzężenia hermitowskiego). Przytych oznaczeniach,

a) T ∗◦R2 = R1◦T h, gdzie Ri : Hi → H∗i oznacza antyizomorfizm Riesza (i = 1, 2),

zaś T ∗ : H∗2 → H∗

1 to sprzężenie operatora T , rozpatrywane w p.1.b) operator T h jest liniowy i mają miejsce równości (T h)h = T i ||T h|| = ||T ||, a

także (λS + T )h = λSh + T h i (T ◦ L)h = Lh ◦ T h. (Tu S, T ∈ L(H1, H2), λ ∈ F iL ∈ L(H0, H1), gdzie H0 też jest przestrzenią Hilberta).

c) T h wtedy i tylko wtedy jest izomorfizmem, gdy jest nim T .

Dowód. a) Wykażemy, że dla dowolnych w ∈ H2 i v ∈ H1 funkcjonały T ∗(R2(w)) iR1(T

h(w)) przyjmują na wektorze v tę samą wartość. Jednak R2(w) = ψw (oznaczeniaz tw. 2 w §6.1), więc T ∗(R2(w)) = ψw ◦ T i dalej T ∗(R2(w))(v) = ψw(T (v)) =〈T (v), w〉 = 〈v, T h(w)〉. Podobnie R1(T

h(w))(v) = ψTh(w)(v) = 〈v, T h(w)〉.Tezy b) i c) wynikają z równości T h = R−1

1 ◦ T ∗ ◦ R2 i stwierdzenia 1 w p.1– wyłączywszy równość (T h)h = T , która wynika stąd, że tożsamość 〈T (v), w〉2 =〈v, T h(w)〉1 zarówno wyznacza T h, jak i zaświadcza (po zespolonym sprzęgnięciu obustron), że T spełnia warunek definiujący (T h)h. �

Zadanie 1. Niech T ∈ L(H1, H2), gdzie H1 i H2 to przestrzenie Hilberta. Dowieść, żea) ker(T h) = im(T )⊥ i ker(T h)⊥ = cl(im(T )).b) T jest izometrią wtedy i tylko wtedy, gdy T h = T−1; w szczególności jeśli T jest

izometrią, to T h również.c) ||T ||2 = ||TT h|| = ||T hT ||.

Zadanie 2. Niech H0 będzie domkniętą podprzestrzenią niezmienniczą operatoraT ∈ L(H). Udowodnić, że

a) H⊥0 jest podprzestrzenią niezmienniczą operatora T h.

b) Dla operatora T0 ∈ L(H0), indukowanego przez T na H0, zachodzi równośćT h

0 = P ◦ T h|H0

, gdzie P jest rzutem ortogonalnym na H0.

§ 9. Własności spektralne zwartych operatorów normalnych

1. Operatory zwarte.

Niech V będzie przestrzenią Banacha. Operator liniowy K : V → V nazywamy zwar-tym lub pełnociągłym, jeśli przeprowadza każdy ciąg ograniczony na ciąg, mający

4Oznaczenie Th nie jest powszechnie stosowane i dalej też je zarzucimy. I hermitowskie, i banachowskie sprzężenieoperatora T często oznaczane jest przez T ∗; niekiedy zaś pisze się T ∗ w miejsce Th, a T# czy T ′ w miejsce T ∗.


punkt skupienia. Natomiast operator K nazwiemy skończenie–wymiarowym, jeślidimK(V ) <∞.

Uwaga 1. a) Operator K wtedy i tylko wtedy jest zwarty, gdy przeprowadza kulęjednostkową przestrzeni V w zbiór prezwarty, tzn. taki, którego domknięcie jestzwarte. W szczególności operator zwarty jest ograniczony (bo zbiory zwarte są takie).

b) Ciągły operator skończenie–wymiarowy jest zwarty; patrz twierdzenie 1e) w §3.4.c) Niech K = K1K2, gdzie operatory Ki są ciągłe. Jeśli pewien z operatorów

K1, K2 jest zwarty (odp. skończenie – wymiarowy), to K też jest taki.

Zadanie 1. i) Udowodnić powyższe tezy c) i d).ii) (Przypomnienie wiadomości z topologii). Podzbiór S zupełnej przestrzeni me-

trycznej (Y, d) wtedy i tylko wtedy jest prezwarty, gdy jest całkowicie ograniczony,tzn. dla każdej liczby ε > 0 istnieje zbiór skończony Sε ⊂ Y taki, że dist(x, Sε) < ε

dla każdego punktu x ∈ S.iii) Zbiór operatorów zwartych na przestrzeni Banacha V jest domkniętą podprze-

strzenią liniową przestrzeni L(V, V ), rozpatrywanej z normą operatorową.

Stwierdzenie 1. ∗5 a) Przestrzeń własna operatora zwartego, odpowiadająca niezero-wej wartości własnej, jest skończonego wymiaru.

b)∗∗ Wartości własne operatora zwartego tworzą ciąg zbieżny do zera lub skończony.

Dowód. a) Niech Vλ oznacza przestrzeń własną operatora zwartego zwartego K, odpo-wiadającą wartości własnej λ 6= 0. Obraz, przy K, kuli o promieniu 1/|λ| zawiera kulęjednostkową w Vλ. Ze zwartościK i twierdzenia 2 w §3.4 wynika więc, że dim(Vλ) <∞.

Część b) nie będzie dalej użyta i jej dowód pomijam.

Stwierdzenie 2. ∗ Zwarty operator na przestrzeni Hilberta jest granicą (w normieoperatorowej) ciągłych operatorów skończenie – wymiarowych.

Dowód. Oznaczmy rozważany zwarty operator przez K. Dla danej liczby ε > 0obierzmy skończoną ε–sieć S obrazu K(BH) kuli jednostkowej BH , i niech P oznaczarzutowanie ortogonalne na podprzestrzeń linS. Ponieważ dla w ∈ K(BH) zachodzidist(w, linS) ≤ dist(w, S) ≤ ε, więc zachodzi też ||w − P (w)|| ≤ ε. Tym samym||K − PK|| ≤ ε, gdzie operator PK jest skończenie–wymiarowy. �

Uwaga 2. ∗ O przestrzeni Banacha V mówimy, że ma własność aproksymacji, jeślistwierdzenie 2 jest prawdziwe przy przestrzeni Hilberta zastąpionej przez V . Wszyst-kie poznane na tym wykładzie przestrzenie Banacha mają tę własność, i przez 35 lat

5przy najbliższych rezultatach, pojedyńcze gwiazdki nie oznaczają ich trudności, lecz to, że mogą z braku czasu byćna wykładzie pominięte, bo nie grają roli w dowodzie twierdzenia z następnego punktu, a dla operatorów normalnychna przestrzeni Hilberta łatwo z niego wynikają. Twierdzenie 1 będzie użyte tylko gdy ker(λI − L) = {0}, a w tymprzypadku jego dowód nie zależy od stwierdzenia 1.


otwarte było ważne pytanie, stawiane w różnych wersjach przez S. Mazura i A. Gro-thendiecka, czy ma ją każda przestrzeń Banacha. (Okazało się, co udowodnił Per Enflo,że nie każda. T. Szankowski uprościł przykład Enflo: może nim być przestrzeń L(`2)operatorów na przestrzeni Hilberta `2.)

Twierdzenie 1. Gdy K jest zwartym operatorem na przestrzeni Banacha, to dlaλ 6= 0 operator λI−K przeprowadza domknięte podprzestrzenie liniowe na domknięte.

Dowód. Niech wpierw podprzestrzeń W będzie taka, że W ∩ ker(λI −K) = {0}. Po-każemy, że gdy {xn}∞n=1 ⊂ W i λxn−Kxn → y, to y ∈ (λI−K)(W ). Są 2 przypadki:

a) sup ||xn|| < ∞. Wobec zwartości K można wtedy z (Kxn) wybrać podciągzbieżny (Kxni

). Gdy przyjąć z := limiKxni, to xni

→ x := 1λ(y + z). Z ciągłości K i

domkniętościW wynika więc, że x ∈ W, z = Kx i y = λx−Kx ∈ (λI−K)(W ), czegonależało dowieść. Poniżej przyda się też obserwacja, że ||x|| = 1 jeśli ||xn|| = 1 ∀n.

b) sup ||xn|| = ∞. Przechodząc do podciągu możemy założyć, że ||xn|| → ∞.Przy x′n = xn/||xn|| zachodzi więc λx′n −Kx′n → 0, skąd λx −Kx = 0 dla pewnegox ∈ W \ {0}; patrz wyżej. Jest to sprzeczne z tym, że W ∩ ker(λI −K) = {0}.

Gdy zaś przestrzeńW∩ker(λI−K) nie jest równa {0}, to na podstawie stwierdzenia1 jest ona skończonego wymiaru i wobec tego ma pewne domknięte dopełnienie W ′

do przestrzeni W . A że λI −K przeprowadza W i W ′ na ten sam zbiór, to możemyzastąpić W przez podprzestrzeń W ′, dla której już W ′ ∩ ker(λI −K) = {0}. �

2. Zwarte operatory normalne na przestrzeni Hilberta

Niech H będzie przestrzenią Hilberta. Operator T ∈ L(H) := L(H,H) nazwiemy sa-mosprzężonym, jeśli T = T h, zaś normalnym jeśli T ◦ T h = T h ◦ T . (Operatorysamosprzężone i izometrie liniowe są więc normalne, por. zadanie 1 w §8.2.)

Przykład 1 (podstawowy). Niech (uγ)γ∈Γ będzie bazą ortonormalną przestrzeni Hil-berta H i niech (cγ)γ∈Γ ∈ `∞(Γ; F). Wówczas istnieje dokładnie jeden operatorT ∈ L(H) taki, że T (uγ) = cγuγ∀γ ∈ Γ. Zachodzi przy tym

Tx =∑

γ

cγ〈x, uγ〉uγ dla x ∈ H (zbieżność bezwarunkowa) (15)

oraz Thx =∑

γ cγ〈x, uγ〉uγ i ||T||=supγ |cγ|. Operator T jest normalny; jego zbioremwartości własnych jest {cγ : γ ∈ Γ}. Operator T jest samosprzężony wtedy i tylkowtedy, gdy cγ ∈ R ∀γ, unitarny wtedy i tylko wtedy, gdy |cγ| = 1 ∀γ, zaś zwartywtedy i tylko wtedy, gdy (cγ) ∈ c0(Γ). Ponadto, dla każdego skalara λ, zbiór {uγ :γ ∈ Γ i cγ = λ} jest bazą ortonormalną przestrzeni własnej {x ∈ H : Tx = λx}.


(Przykład ten poprzez izometrię Fouriera sprowadza się do przypadku, gdy H =`2(Γ) i uγ = eγ. Wtedy Tx = (cγxγ)γ∈Γ dla x = (xγ) ∈ `2(Γ), zaś dyskusjaomawianych własności nie sprawia żadnego kłopotu.) �

Wniosek 1. Niech T ∈ L(H). Jeśli istnieje baza ortonormalna (uγ)γ∈Γ przestrzeniH, złożona z wektorów własnych operatora T , to dla pewnego układu (cγ) ∈ `∞(Γ)zachodzi tożsamość (15). Bazą ortonormalną przestrzeni własnej ker(λI − T ) jestwtedy {uγ : cγ = λ}, dla każdego skalara λ; jeśli zaś dodatkowo operator T jestzwarty, to (cγ) ∈ c0(Γ), a jeśli jest samosprzężony, to cγ ∈ R ∀γ ∈ Γ.

Dowód. Dla γ ∈ Γ istnieją skalary cγ takie, że Tuγ = cγuγ. Ponieważ ||uγ|| = 1, więc|cγ| ≤ ||T || ∀γ ∈ Γ, wobec czego stosuje się opis z przykładu 1.

Udowodnimy, że dla zwartego operatora normalnego żądana baza istnieje:

Twierdzenie 1 (o diagonalizacji zwartych operatorów normalnych). Gdy K jest zwar-tym operatorem normalnym na zespolonej przestrzeni Hilberta H 6= {0}, to istniejebaza ortonormalna tej przestrzeni, złożona z wektorów własnych operatora K.

Dowód oparty jest na zadaniu i dwóch lematach.

Zadanie 1. a) Gdy operator T ∈ L(H) jest normalny, to ||Tx|| = ||T hx|| ∀x ∈ H.b)∗ Implikacja odwrotna też ma miejsce. (Nie wykorzystamy jej; wkazówka: w

ostatniej tożsamości przyjąć x = y + z.)

Lemat 1. Niech operatory S, T ∈ L(H) będą normalne.a) Jeśli ShT = TSh, to operator S + T też jest normalny.b) Tx = λx⇔ T hx = λx, dla λ ∈ F i x ∈ H.c) Wektory własne operatora T , odpowiadające różnym wartościom własnym, są

ortogonalne.

Dowód. a) Równość (Sh + T h)(S + T ) = (S + T )(Sh + T h) wynika stąd, że ShS =ShS, T hT = T hT , ShT = TSh i T hS = ST h (ostatnią równość otrzymujemy z po-przedniej przez jej hermitowskie sprzęgnięcie).

b) Z a) i zadania 1a) wynika tożsamość ||(T − λI)x|| = ||(T h − λI)x||, a z niej b).c) Gdy Tvi = λivi dla i = 1, 2, to 〈Tv1, v2〉 = λ1〈v1, v2〉 i 〈Tv1, v2〉 = 〈v1, T

hv2〉 =〈v1, λ2v2〉 = λ2〈v1, v2〉 (wykorzystaliśmy b)). Jeśli więc λ1 6= λ2, to 〈v1, v2〉 = 0. �

Lemat 2. Gdy operator K na zespolonej przestrzeni Hilberta H 6= {0} jest zwarty inormalny, to ma pewien wektor własny.

Dowód tego lematu będzie celem następnego punktu.

Dowód twierdzenia. Obierzmy maksymalny układ ortonormalny B ⊂ H, złożony zwektorów własnych operatora L, i niech H0 := linB. Twierdzimy, że:


a) H0 jest podprzestrzenią niezmienniczą każdego z operatorów K i Kh.Wynika to stąd, że K(B) ⊂ B i Kh(B) ⊂ B, patrz lemat 1b).

b) H0 = H.Istotnie, podprzestrzeń H1 := H⊥

0 też jest niezmiennicza względem K i Kh, na podsta-wie zadania 2a) w §8.2. Indukowany operator K1 := K|H1

∈ L(H1) jest więc normalny.(Patrz zadanie 2b) w §8.2). Jest on też zwarty i nie ma wektora własnego, co wynikaz maksymalności układu B. Z lematu 2 wynika więc, że H1 = {0}, tzn. H0 = H.

Dowiedliśmy tezy twierdzenia: B jest szukaną bazą ortonormalną przestrzeni H0 =H, złożoną z wektorów własnych operatora K. �

Uwaga 1. Założenie, że przestrzeń jest zespolona, jest w twierdzeniu istotne (rozważyćobroty płaszczyzny R2). Jednak gdy operator K jest samosprzężony, to teza pozostajeprawdziwa i w przypadku rzeczywistym. Wynika to stąd, że wówczas rozszerzonyoperator K na zespolonej przestrzeni Hilberta H ⊕ iH ma tylko rzeczywiste wartościwłasne, i są one wartościami własnymi operatora K. W związku z tym jeśli K nie mawektora własnego, to H = {0}, co umożliwia powtórzenie dowodu twierdzenia. �

Zadanie 2. Dowieść, że założenia lematu 2 są istotne: operatory K ∈ L(`2) i T ∈L(L2([0, 1])), zdefiniowane wzorami K(x) = (0, x1, x2/2, x3/3, . . . ) i (Tf)(t) = tf(t),nie mają wektorów własnych; przy tym operator K jest zwarty, a T – samosprzężony.

3. Spektrum operatora i dowód lematu 2 z p.2.

Zamiast L(V, V ) piszemy L(V ) i dla S ∈ L(V ) przyjmujemy S0 := I. Przez GL(V )oznaczmy zbiór wszystkich liniowo–topologicznych automorfizmów przestrzeni unor-mowanej V (inaczej: zbiór wszystkich odwracalnych elementów półgrupy L(V )).

Stwierdzenie 1. Niech V będzie przestrzenią Banacha i S ∈ L(V ).a) Jeśli ||S|| < 1, to szereg

∑∞n=0 S

n jest w (L(V ), || ||) zbieżny do (I − S)−1.b) Zbiór GL(V ) jest otwarty w przestrzeni Banacha L(V ). Co więcej, gdy S0 ∈

GL(V ), to GL(V ) zawiera też otwartą kulę w L(V ) o środku S0 i promieniu 1/||S−10 ||.

Jeśli operator S należy do tej kuli , to S−1 =∑∞

n=0[S−10 (S0− S)]nS−1

0 (szereg zbieżnyw normie przestrzeni L(V )).

Dowód. a) jest powtórzeniem wzoru na sumę postępu geometrycznego, a b) wynika zrówności S = S0− (S0− S) = S0(I − S−1

0 (S0− S)), z której przy ||S−10 (S0− S)|| < 1

otrzymujemy żądaną tożsamość, na podstawie a). �

Definicja. Niech T ∈ L(V ). Skalar λ nazywamy wartością regularną operatora T ,gdy λI−T ∈ GL(V ); w przeciwnym razie λ nazwiemy wartością osobliwą lub spek-tralną operatora T . Zbiór wszystkich wartości spektralnych oznaczamy przez σ(T ) i


nazywamy spektrum lub widmem operatora T . Przypomnijmy też, że λ jest warto-ścią własną operatora T , gdy ker(λI − T ) 6= {0}. (Jest to więc wartość spektralna).

Wniosek 1. Niech T ∈ L(V ), gdzie V jest przestrzenią Banacha. Wówczas:a) Gdy λ0 6∈ σ(T ) to dla λ dostatecznie bliskich λ0 mamy λ 6∈ σ(T ) i (λI−T )−1 =∑∞n=0(λ0 − λ)n(λ0I − T )−n−1. Podobnie, λ 6∈ σ(T ) i (λI − T )−1 =

∑∞n=0 λ

−n−1T n

gdy |λ| > ||T ||.b) σ(T ) jest zwartym podzbiorem ciała skalarów F i |λ| ≤ ||T || dla λ ∈ σ(T ).

Dowód. b) wynika z a), zaś a) ze stwierdzenia 1b), przy S0 = λ0I − T i S = λI − T ,oraz z równości (λI − T ) = λ(I − 1

λT ) i stwierdzenia 1a). �

Liczbę sup{|λ| : λ ∈ σ(T )} nazywamy promieniem spektralnym operatora T ioznaczamy r(T ). Jest to promień najmniejszego koła domkniętego w F, o środku w 0 izawierającego zwarty zbiór σ(T ). Oczywiście, |λ| = r(T ) dla pewnego λ ∈ σ(T ).

Twierdzenie 1 (podstawowe o spektrum). Dla każdego operatora T na zespolonejprzestrzeni Banacha V 6= {0},

a) spektrum σ(T ) jest niepuste;b) zachodzi limk||T k||1/k ≤ r(T ) ≤ ||T ||. (Tu lim oznacza granicę górną.)

Dowód. Na zbiorze C \ σ(T ) rozpatrywać będziemy funkcję λ 7→ Rλ := (λI − T )−1.Z wniosku 1b) wynika, że jej złożenie z dowolnym funkcjonałem ϕ ∈ L(V )∗ jest funk-cją analityczną, bo w otoczeniu każdego punktu λ0 rozwija się w szereg potęgowy.(Współczynnikami są liczby −ϕ((T − λ0I)

−n−1).)Ad a). Z równości Rλ(λI − T ) = I wynika, że λRλ = I + RλT , wobec czego

|λ| · ||Rλ|| ≤ 1 + ||Rλ|| · ||T || i dalej ||Rλ|| ≤ 1/(|λ| − ||T ||) gdy |λ| > ||T ||. Tymsamym dla ϕ ∈ L(V )∗ funkcja analityczna λ 7→ ϕ(Rλ) dąży do 0, gdy λ → ∞.Jeśliby σ(T ) = ∅, to z twierdzenia Liouville’a wynikałoby, że funkcja ta jest stała;stąd wobec dowolności funkcjonału ϕ ∈ L(V )∗ funkcja λ 7→ Rλ też byłaby stała.(Korzystamy z twierdzenia Hahna–Banacha.) To jednak nie ma miejsca, bo funkcjaλ 7→ R−1

λ = λI − T nie jest stała gdy V 6= {0}.Ad b). Przypomnijmy, że gdy funkcja holomorficzna h rozwija się na otoczeniu

okręgu |λ| = r w szereg Laurenta∑

n∈Z anλn, to dla każdego k ∈ N zachodzi |a−k| ≤

rk sup{|h(λ)| : |λ| = r}. (Należy funkcję λk−1h(λ) scałkować po okręgu |λ| = r.) Gdyr > r(T ) i h(λ) = ϕ(Rλ) dla pewnego ϕ ∈ L(V )∗, to a−k = ϕ(T k−1), co wynikaz wniosku 1 i niezależności ak od r. Wobec tego |ϕ(T k−1)| ≤ rk||ϕ||Mr, gdzie stałaMr = sup{||Rλ|| : |λ| = r} zależy od r, lecz nie od k czy ϕ.

Dla każdego k obierzmy teraz ϕ = ϕk tak, by ϕ(T k) = ||T k|| i ||ϕ|| = 1. Uzyskamy||T k|| ≤ rk+1Mr, skąd limk||T k||1/k ≤ limk(r

k+1Mr)1/k = r. Wobec dowolności liczby

r > r(T ) kończy to dowód pierwszej nierówności, a druga wynika z wniosku 1b). �


Uwaga 1. ∗ Okazuje się, że w tezie b) można pierwszą nierówność zastąpić równością,zaś granicę górną lim – granicą:

Zadanie 1. ∗ a) Korzystając z równości λkI − T k = (λI − T )A = A(λI − T ), gdzieA =

∑k−1i=0 λ

iT i, dowieść że λI − T ∈ GL(V ) jeśli λkI − T k ∈ GL(V ). (Wskazówka:twierdzenie Banacha o izomorfizmie z §5.2.)

b) Lącząc to z wnioskiem 1a) otrzymać nierówność r(T ) ≤ infk ||T k||1/k i uwagę 1.

Lemat 1. Gdy operator T na przestrzeni Hilberta H jest normalny, to ||T n|| = ||T ||ndla n ∈ N. Przy zespolonym ciele skalarów i H 6= {0} zachodzi więc r(T ) = ||T ||.

Dowód. Wobec twierdzenia 1b) wystarczy dowieść pierwszej części tezy. W tym celustosujemy indukcję względem n i stwierdzamy, że gdy x ∈ H i ||x|| = 1, to||T nx||2 = 〈T nx, T nx〉 = 〈T hT nx, T n−1x〉 ≤ ||T hT nx|| · ||T n−1x|| == ||T n+1x|| · ||T n−1x|| ≤ ||T ||n+1 · ||T n−1||,

gdzie ostatnia równość wynika z normalności operatora T . Stąd ||T n||2 ≤ ||T n+1|| ·||T n−1||, co z założeniem indukcyjnym o ||T n−1|| i o ||T n|| daje ||T ||n+1 ≤ ||T n+1||;nierówność zaś przeciwna jest oczywista. �

Lemat 2. Niech operator K na przestrzeni Hilberta będzie zwarty i normalny. Wów-czas zbiór σ(K) \ {0} składa się tylko z wartości własnych operatora K.

Dowód. Przypuśćmy, że λ 6= 0 nie jest wartością własną; dowiedziemy, że λ 6∈ σ(K)(czyli λI − K ∈ GL(V )). W tym celu zauważmy, że obraz operatora λI − K jestdomknięty (twierdzenie z p.1), i tym samym jest równy (ker(λI−K)h)⊥, na podstawiezadania 1 z §8.2. A że (λI−K)h = λI−Kh, to z lematu 1b) wynika, że obraz ten jestrówny {0}⊥ = H. Operator λI −K należy więc do GL(V ) na podstawie twierdzeniaBanacha o izomorfizmie, bo jest surjekcją i ma zerowe jądro. �

Możemy teraz udowodnić brakujący lemat 2 z p.2. Jeśli H 6= {0}, a operatorK ∈ L(H) jest zwarty i normalny, to na podstawie lematów 1 i 2 istnieje wartośćwłasna tego operatora gdy ||K|| 6= 0, a istnieje ona też i gdy K = 0. �

Zadanie 2. Przy oznaczeniach przykładu 1 z p.2 dowieść, że σ(T ) = cl{cγ : γ ∈ Γ}.Wywnioskować, że każdy zwarty podzbiór ciała F jest widmem pewnego operatoranormalnego na przestrzeni `F2 .

4. Uzupełnienia

A. Twierdzenie spektralne dla niezwartych operatorów normalnych (informacja).

Przykład 1. Każda funkcja g ∈ L∞(µ) wyznacza wzorem

Mg(f) = fg dla f ∈ L2(µ)


operator mnożenia Mg ∈ L(L2(µ)); przy tym ||Mg|| = ||g||∞ i (Mg)h = Mg.

Operator Mg jest więc normalny, a jest samosprzężony wtedy i tylko wtedy, gdy g(t) ∈R dla p.w. t.

Definicja. Operatory Si ∈ L(Hi), gdzie H1 i H2 to przestrzenie Hilberta, nazywamyunitarnie podobnymi, jeśli istnieje (surektywna) izometria liniowa U : H1 → H2

taka, że S2U = US1.

Zadanie 1. Twierdzenie 1 z p.2 jest równoważne następującemu: każdy zwarty ope-rator normalny na przestrzeni Hilberta jest unitarnie podobny do pewnego operatoramnożenia na (pewnej) przestrzeni `2(Γ).

Twierdzenie 1. Każdy operator normalny na zespolonej przestrzeni Hilberta jest uni-tarnie podobny do pewnego operatora mnożenia na (pewnej) przestrzeni L2(µ).

Dowód tego uogólnienia twierdzenia 1 z p.2 wykracza poza ramy wykładu.

B. Przedstawienie zwartych operatorów na przestrzeni Hilberta H.Każdy operator T na przestrzeni Hilberta H jest złożeniem pewnego operatora

samosprzężonego S i zanurzenia izometrycznego U : S(H) → H. Dowód można podaćw oparciu o powyższe twierdzenie; jednak gdy operator T jest zwarty, to wystarcza dotego twierdzenie 1 z p.2. W tym przypadku operator S będzie zwarty. (Patrz zadanie4 z serii 13.) Gdy ponownie skorzystać z twierdzenia i wniosku z p. 3 by napisać Sx =∑

γ λγ〈x, uγ〉uγ, i przyjąć za (vγ)γ∈Γ bazę ortonormalną taką, że vγ = Uuγ gdy λγ 6= 0,to stwierdzimy, że Tx =

∑γ λγ〈x, uγ〉vγ. Jest to rozkład Schmidta operatora

zwartego T . W nim, (λγ) ∈ c0(Γ), a (uγ) i (vγ) są bazami ortonormalnymi w H;można też uzyskać, by λγ ∈ [0,∞) ∀γ ∈ Γ. Nie jest tu wymagane, by F = C (wynikato z podanego uzasadnienia i uwagi 1 z p.2.)

C. Alternatywa Fredholma.Z twierdzenia diagonalizacyjnego z p.2 wynika bez kłopotu tzw. „alternatywa Fre-

dholma” dla normalnych operatorów zwartych na zespolonej przestrzeni Hilberta; patrzzadanie 3 w serii 13. Atlernatywa ta jest prawdziwa i dla (wszystkich) operatorów zwar-tych, działających na zespolonej przestrzeni Banacha, lecz dowód w takiej ogólnościjest trudniejszy. Przedstawienie prowadzącej do niego tzw. teorii Riesza–Schauderamożna znaleźć np. w „Analizie Funkcjonalnej” Rudina, str. 116 - 123.


§ 10. Słabe topologie

1. Preliminaria: ogólne własności topologii wyznaczonej przez rodzinę funkcjonałówliniowych.

Niech Φ będzie rodziną funkcji, określonych na zbiorze X i przyjmujących wartości wprzestrzeni topologicznej Y . W rodzinie tych topologii na X, w których każda funkcjaϕ ∈ Φ jest ciągła, istnieje topologia najsłabsza, którą oznaczymy T (X,Φ) i nazwiemyΦ–topologią na X. Gdy (co dalej zakładamy) Y ∈ {R,C}, z naturalną topologią,to bazą otwartych otoczeń punktu x0 ∈ X w T (X,Φ) jest rodzina zbiorów postaci

N(x0,Φ0, ε) =⋂

ϕ∈Φ0

{x ∈ X : |ϕ(x)− ϕ(x0)| < ε} (16)

gdzie Φ0 przebiega skończone podzbiory zbioru Φ, zaś ε – liczby dodatnie.Zakładać będziemy tu, że X jest przestrzenią wektorową, a każda funkcja ϕ ∈ Φ

jest liniowa. Wówczas N(x0,Φ0, ε) = x0 + N(0,Φ0, ε), skąd topologia T (X,Φ) jest„przesuwalna” – czyli niezmiennicza względem przesunięć.

Twierdzenie 1. Przy tych oznaczeniach i założeniach,a) (X, T (X,Φ)) jest przestrzenią liniowo–topologiczną, tzn. działania

X ×X 3 (x1, x2) 7→ x1 + x2 ∈ X i F×X 3 (λ, x) 7→ λx ∈ Xsą ciągłe, gdy na X rozpatrywać topologię T (X,Φ), a na X × X i na F × X –odpowiadające jej topologie produktowe.

b) Przestrzeń ta jest lokalnie wypukła, tzn. ma bazę, złożoną ze zbiorów wypu-kłych.

c) Gdy ponadto Φ jest podprzestrzenią liniową przestrzeni wszystkich funkcji X →F, to (X, T (X,Φ))∗ = Φ, tzn. zbiór ciągłych funkcjonałów liniowych na przestrzeni(X, T (X,Φ)) jest równy Φ.

Dowód. a) Ciągłość dodawania wektorów w (0X , 0X) wynika stąd, że N(0,Φ0, ε) ⊃N(0,Φ0, ε/2) + N(0,Φ0, ε/2), a ciągłości w (0F, 0X) drugiej operacji dowodzimy po-dobnie. Ciągłość w innych punktach wynika teraz z przesuwalności topologii.

b) Zbiory N(x0,Φ0, ε) są wypukłe, jako przecięcia wypukłych zbiorów ϕ−1({λ ∈F : |λ− ϕ(x0)| < ε}), ϕ ∈ Φ0.

c) Wobec definicji topologii T (X,Φ) trzeba tylko udowodnić, że jeśli funkcjonałliniowy ψ jest T (X,Φ)–ciągły, to należy do Φ. W tym celu zauważmy, że z ciągłościψ wynika istnienie otoczenia U = N(0,Φ0, ε) takiego, że |ψ(x)| < 1 dla wszystkichx ∈ U . Gdy x ∈

⋂ϕ∈Φ0

ker(ϕ), to Rx ⊂ U , skąd |ψ(nx)| < 1∀n ∈ N i tym samymψ(x) = 0. Wraz z zadaniem 1 z pierwszej serii zadań daje to ψ ∈ linΦ0 ⊂ Φ. �

Uwaga 1. X jest w Φ–topologii przestrzenią regularną wtedy i tylko wtedy, gdy Φoddziela punkty, tzn. gdy dla każdego x ∈ X \ {0} istnieje funkcja ϕ ∈ Φ taka, żeϕ(x) 6= 0. Warunek ten będzie poniżej zawsze spełniony. �


2. Przypadek Φ = X∗: słaba topologia na przestrzeni unormowanej.

Zakładać odtąd będziemy, że X jest przestrzenią unormowaną. Topologię T (X,X∗)na X nazywamy słabą topologią na X lub w-topologią na X lub X∗–topologiąna X. Jest to najsłabsza topologia na X, w której ciągłe są wszystkie funkcjonałyϕ ∈ X∗. A że są one ciągłe w topologii normowej na X, to ta ostatnia jest silniejsza(na ogół ostro) od topologii słabej.

Uwaga 1. Gdy dim(X) = ∞, to 0 nie ma na ogół przeliczalnej bazy otoczeń w słabejtopologii, w związku z czym topologia ta nie jest metryzowalna, zaś słabe domknięcieniekoniecznie da się opisać przez (przeliczalne) ciągi słabo zbieżne. Tym niemniej, ciągite pozostają użyteczne. Przypomnijmy, że ciąg x1, x2, . . . nazywamy zbieżnym do x0

w topologii T , jeśli każde T –otoczenie punktu x0 zawiera prawie wszystkie wyrazyciągu (xn). Poniższe fakty były już omawiane na ćwiczeniach (w serii 7 zadań):

Stwierdzenie 1 (charakteryzacja słabej ciągowej zbieżności). Dla przestrzeni unor-mowanej X równoważne są warunki:

a) ciąg (xn) jest słabo zbieżny do x0 (tzn. jest zbieżny do x0 w topologii T (X,X∗));b) ϕ(xn) → ϕ(x0) dla każdego funkcjonału ϕ ∈ X∗;c) supn ||xn|| < ∞ i ϕ(xn) → ϕ(x0) dla wszystkich ϕ z pewnego (równoważnie:

każdego) liniowo gęstego zbioru E ⊂ X∗.

Dowód. Równoważność warunków a) i b) wynika z definicji (sprawdzenie pomijam).Natomiast równoważność warunków b) i c) wynika z wniosku 1 w §5.1, zastosowa-

nego do przekształceń Ln : X∗ → F, zadanych wzorem Ln(ϕ) = ϕ(xn) dla ϕ ∈ X∗.(Wniosek stosuje się, bo X∗ jest przestrzenią Banacha.) �

Przykład 1. a) Gdy X = c0 lub X = `p, gdzie p ∈ (1,∞), to ciąg punktów xn ∈ X

wtedy i tylko wtedy jest słabo zbieżny do x0 ∈ X , gdy sup ||xn|| < ∞ i ciąg (xn)jest zbieżny do x0 po współrzędnych (tzn. supn ||xn|| < ∞ i limn xn(k) = x0(k) dlakażdego k ∈ N, gdzie x(k) oznacza k–tą współrzędną wektora x ∈ X).

Istotnie, X∗ można utożsamić z `q dla odpowiedniej liczby q ∈ [1,∞). Przy E ={e1, e2, . . . } ⊂ `q tezę otrzymujemy z równoważności c)⇔a) w stwierdzeniu 1.

b) Ciąg punktów xn ∈ c wtedy i tylko wtedy jest słabo zbieżny do x0 ∈ c , gdysup ||xn|| < ∞ i ciąg (xn) jest zbieżny do x0 po współrzędnych oraz spełnia waruneklimxn → limx0. Dowód jest jak w a), lecz tym razem E = {e, e1, e2, . . . }, gdziee = (1, 1, . . . ). (Patrz §4.2.)

c) Gdy X = C(S) dla pewnej przestrzeni zwartej S, to ciąg funkcji fn ∈ C(S)wtedy i tylko wtedy jest zbieżny do funkcji f0 ∈ C(S), gdy jest ograniczony i zbiegado f0 punktowo (tzn. supn ||fn|| <∞ i fn(s) → f0(s)∀s ∈ S).

Istotnie, każdy funkcjonał ϕ ∈ C(S) jest, na podstawie twierdzenia Riesza (–Radona–Banacha–Kakutaniego), całkowaniem względem pewnej F–miary, będącej kom-


binacją σ–addytywnych miar skończonych. Jeśli więc ciąg funkcji fn jest ograniczonyi zbiega punktowo do f0, to z twierdzenia Lebesgue’a o zbieżności majoryzowanej wy-nika, że ϕ(fn) → ϕ(f0). Dowodzi to implikacji ⇐, a przeciwna wynika ze stwierdzenia1, bo ewaluacje f 7→ f(s) są funkcjonałami ciągłymi na C(S). �

Uwaga 2. Ograniczony ciąg (xn) może nie być zbieżny słabo w X, mimo że dlakażdego funkcjonału ϕ ∈ X∗ ciąg (ϕ(xn)) jest zbieżny. Za przykład może służyć ciąg(e1 + · · ·+ en)n∈N w przestrzeni c0 (a także w c).

Z definicji topologii słabej, jest ona słabsza od normowej, wyznaczonej przez normęprzestrzeni X. Każdy zbiór w–domknięty jest więc domknięty normowo. Implikacjaprzeciwna jest prawdziwa dla zbiorów wypukłych:

Twierdzenie 1 (Mazura). Każdy wypukły, domknięty podzbiór przestrzeni unormo-wanej jest w niej słabo domknięty.

Dowód. Na podstawie wniosku 3 z §4.1, rozważany zbiór wypukły jest przecięciemrodziny półprzestrzeni postaci {x ∈ X : Re ϕ(x) ≤ c}, gdzie ϕ ∈ X∗ i c ∈ R. Każdaz tych półprzestrzeni jest zbiorem w–domkniętym w X, bo ϕ jest funkcją ciągłą ww–topologii. �

Wniosek 1 (twierdzenia Mazura, c.d.). a) Domknięcia zbioru wypukłego, w topolo-giach słabej i normowej, są identyczne.

b) Punkt, należący do słabego domknięcia zbioru A, jest normową granicą ciągu(skończonych) wypukłych kombinacji elementów zbioru A.

Dowód. a) Z twierdzenia wynika, że normowe domknięcie jest zbiorem domkniętym wtopologii słabej, zawierającym oczywiście wyjściowy zbiór – a więc zawierającym isłabe domknięcie tegoż. Przeciwna inkluzja wynika stąd, że topologia słaba jest słabszaod normowej (wobec czego domknięcie słabe zawsze zawiera domknięcie normowe).

b) Rozważany punkt należy do słabego domknięcia zbioru convA. Z a) wynikawięc, że należy on i do normowego domknięcia tego zbioru. �

3. Słaba wstecz topologia na przestrzeni sprzężonej.

Przestrzeń sprzężona X∗ do przestrzeni unormowanej też jest przestrzenią unormo-waną, więc można na niej rozpatrywać topologię słabą T (X∗, X∗∗). Można jednak naniej rozpatrywać i topologię T (X∗, JX(X)), najsłabszą, w której ciągłe są wszystkieewaluacje X∗ 3 ϕ 7→ ϕ(x) ∈ F, gdzie x ∈ X. Przy naturalnym utożsamieniu każdegowektora x ∈ X z ewaluacją JX(x) w x, zaś przestrzeni X z jej obrazem JX(X) ⊂ X∗∗,możemy też oznaczać tę topologię przez T (X∗, X). (Stosujemy oznaczenia z §7.1,zgodnie z którym JX : X → X∗∗ jest kanonicznym włożeniem, przyporządkowującym


każdemu x ∈ X ewaluację w x.) Topologia ta nazywana jest słabą wstecz topologiąna X∗, lub też słabą z gwiazdka topologią czy w∗–topologią na X∗. Gwiazdkaprzypomina to, że w∗–topologia jest określona na przestrzeni Y tylko gdy jest onasprzężona; co więcej, istotne jest, dla jakiej przestrzeni X zachodzi Y = X∗.

Uwaga 1. W odniesieniu do ciągów, w∗–zbieżność jest po prostu zbieżnością punk-tową funkcjonałów; gdy więcX jest przestrzenią Banacha, to stosuje się do niej wniosek1 z §5.1, oparty na tw. Banacha–Steinhausa.

Przykład 1. Nietrudno teraz dowieść, że ciąg {yn} ⊂ `1(N) = c∗0 wtedy i tylko wtedyjest w przestrzeni c∗0 zbieżny do 0 słabo wstecz (czyli punktowo), gdy jest zbieżny do0 po współrzędnych i supn ||yn|| < ∞. Natomiast jeśli `1(N ∪ {0}) traktować jakoc∗, to w∗–zbieżność (yn) do 0 ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy prócz warunkusupn ||yn|| <∞ spełnione są następujące dwa:

∑∞k=0 yn(k) → 0 oraz yn(k) → 0 ∀k ≥

1. (Utożsamienia `1(N ∪ {0}) z c∗ i `1(N) z c∗0 opisano w zadaniu 1 w §4.2.)

Na przestrzeni X∗ mamy więc trzy topologie: w∗–topologię (słabą wstecz), w–topologię (słabą) i topologię normową. Z nich pierwsza jest najsłabsza, zaś ostatnia –najsilniejsza; na ogół pierwsze dwie nie są metryzowalne.

Uwaga 2. a) Gdy przestrzeń X jest refleksywna, to słaba wstecz topologia na X∗

jest równa słabej (bo JX(X) = X∗∗).b) Warunek Hausdorffa jest przez w∗–topologię nadal spełniony, p. uwaga 1 w p.1.

Twierdzenie 1 (Banacha–Alaoglu). Domknięta kula jednostkowa w przestrzeni X∗

jest zwarta w słabej wstecz topologii tej przestrzeni.

Potraktujmy X∗ jako podzbiór zbioru FX wszystkich funkcji ϕ : X → F (włączającw to nieliniowe i nieciągłe). W FX wprowadzamy najsłabszą topologię, w której ciągłesą wszystkie ewaluacje ϕ 7→ ϕ(x), x ∈ X; oczywiście, na X∗ topologia ta indukujew∗–topologię. Odnotujmy, że BX∗ = D ∩

⋂{Sλ,x1,x2

: λ ∈ F, x1, x2 ∈ X}, gdzieSλ,x1,x2

= {ϕ ∈ FX : ϕ(x1 + λx2)− ϕ(x1)− λ · ϕ(x2) = 0} , orazD = {ϕ ∈ FX : |ϕ(x)| ≤ ||x|| ∀x ∈ X}.

Każdy ze zbiorów Sλ,x1,x2jest domknięty w FX , bo funkcja FX 3 ϕ 7→ ϕ(x1+λx2)−

ϕ(x1)− λ · ϕ(x2) jest ciągła, jako kombinacja ewaluacji w punktach x1, x2 i x1 + λx2.Wykażemy, że ponadto zbiór D jest zwarty. To zakończy dowód, bo część wspólnarodziny zbiorów domkniętych, z których pewien jest zwarty, jest zbiorem zwartym.

W tym celu utożsamijmy FX z iloczynem kartezjańskim∏

x∈X Fx tylu kopii ciałaskalarów F, ile punktów liczy zbiórX. (Prowadzi do tego utożsamienie każdej funkcji ϕz punktem (ϕ(x))x∈X ∈

∏x∈X Fx.) Przy tej interpretacji, ewaluacji funkcji w punkcie

x0 odpowiada rzutowanie∏

x Fx → Fx0, a rozważanej przez nas topologii na FX–

topologia produktowa na∏

x∈X Fx, najsłabsza, w której wszystkie takie rzutowania


są ciągłe. Zbiór D okazuje się zaś być iloczynem kartezjańskim zwartych zbiorów{λ ∈ F : |λ| ≤ ||x||}, x ∈ X, zwartym na podstawie twierdzenia Tichonowa. �

Wniosek 1. Każdą przestrzeń unormowaną X można liniowo–izometrycznie zanurzyćw przestrzeń C(S) funkcji ciągłych na pewnej zwartej przestrzeni S (zależnej od X).

Dowód. Za S przyjmijmy (domkniętą) kulę jednostkową BX∗ przestrzeni X∗, rozpatry-waną ze słabą wstecz topologią, a szukane zanurzenie F : X → C(S) zadajmy wzoremF (x)(ϕ) = ϕ(x) dla x ∈ X i ϕ ∈ S = BX∗. Funkcja F (x) jest ciągła na S, z definicjiw∗–topologii na X∗; ponadto, ||F (x)||sup = ||x|| ∀x ∈ X, patrz stwierdzenie 2 w §8.1.

Uwaga 3. Metodami topologicznymi nietrudno dowieść, że gdy przestrzeń X jestośrodkowa, to istnieje ciągłe surjektywne przekształcenie u : [0, 1] → S na otrzymanąprzestrzeń S. Przyporządkowanie każdej funkcji f ∈ C(S) jej złożenia f ◦u ∈ C([0, 1])jest liniowo–izometrycznym zanurzeniem przestrzeni C(S) w C([0, 1]). To, wraz zwnioskiem 1, prowadzi do twierdzenia Banacha – Mazura: ośrodkowa przestrzeńBanacha jest liniowo izometryczna z pewną podprzestrzenią przestrzeni C([0, 1]).

Twierdzenie 2 (Goldstine’a). Obraz kuli BX = {x ∈ X : ||x|| ≤ 1} przy zanurzeniuJX : X → X∗∗ jest w słabej wstecz topologii przestrzeni X∗∗ gęsty w kuli BX∗∗.

Dowód. Ustalmy bazowy zbiór otwarty N badanej topologii: N = {z ∈ X∗∗ : |z(ϕi)−z0(ϕi)| < ε dla i = 1, ..., n}, gdzie n ∈ N, ϕ1, ..., ϕn ∈ X∗, ε > 0 i z0 ∈ BX∗∗. Bydowieść, że N ∩ JX(BX) 6= ∅ zauważmy, że przy ci := z0(ϕi) zachodzi |

∑i dici| ≤

||∑

i diϕi|| ∀d1, ..., dn ∈ F. Z twierdzenia Helly’ego z przykładu 1b) w §4.1 wynikawięc, że maxi |ci − ϕi(x)| < ε dla pewnego x ∈ BX – a zatem z ∈ N dla z := JX(x).

4. Zastosowanie słabej topologii do badania refleksywności.

Uwaga 1. Zanurzenie kanoniczne JX : X → X∗∗ przekształca homeomorficznieprzestrzeń X, rozpatrywaną z w–topologią, na zbiór JX(X) ⊂ X∗∗, rozpatrywany zw∗–topologią. (Traktujemy X∗∗ jako przestrzeń sprzężoną do X∗.)

Twierdzenie 1 (charakteryzacja przestrzeni refleksywnych). Następujące warunki sąrównoważne dla przestrzeni unormowanej X:

a) przestrzeń ta jest refleksywna;b) domknięta kula BX = {x ∈ X : ||x|| ≤ 1} jest zwarta w słabej topologii na X;c) każda scentrowana rodzina6 podzbiorów kuli BX , które są domknięte i wypukłe,

ma niepuste przecięcie.6tzn. taka, że każda jej skończona podrodzina ma niepuste przecięcie.


Dowód. a)⇒b). Na podstawie twierdzenia Banacha–Alaoglu, kula BX∗∗ jest zwartaw w∗–topologii na przestrzeni X∗∗ (która traktujemy jako sprzężoną do X∗). Jeśliprzestrzeń X jest refleksywna, to JX(BX) = BX∗∗ i zwartość kuli BX w w–topologiiwynika z uwagi 1.

b)⇒c). Każdy ze zbiorów rozważanej rodziny jest zarazem w–domknięty na pod-stawie twierdzenia Mazura. Jeśli więc kula BX jest w–zwarta, to mamy do czynieniaze scentrowaną rodziną domkniętych, niepustych podzbiorów przestrzeni zwartej, a tama niepuste przecięcie.

non a)⇒non c). Gdy przestrzeń X nie jest refleksywna, to istnieje punkt y ∈BX∗∗ \ JX(BX). Oznaczmy przez C rodzinę wszystkich jego w∗–domkniętych, wy-pukłych otoczeń w X∗∗. Każde z tych otoczeń jest zarazem domknięte w bogatszejtopologii normowej, a jego przecięcie z JX(BX) jest na mocy twierdzenia Goldstine’aniepuste. Rodzina C jest też zamknięta ze względu na skończone przecięcia. Wobectego {J−1

X (C) ∩ BX : C ∈ C} jest rodziną podzbiorów kuli BX , zaświadczającą onieprawdziwości warunku c). (Jej przecięcie jest puste, bo ze względu na własnośćHausdorffa słabej wstecz topologii mamy

⋂C = {y}, gdzie y 6∈ JX(BX).) �

Wniosek 1. Gdy przestrzeń X jest refleksywna, to każdy funkcjonał ϕ ∈ X∗ osiągaswą normę.

Dowód. Funkcjonał ϕ jest ciągły w słabej topologii na X, więc jego moduł osiąga nazwartej kuli BX (rozpatrywanej z tą topologią) swój kres górny.

Uwaga 2. ∗ R. C. James udowodnił, że odwrócenie wniosku 1 też jest prawdziwe.

Wniosek 2 (twierdzenie Milmana). Jednostajnie wypukła przestrzeń Banacha jestrefleksywna.

Dowód. Wykażemy prawdziwość warunku c) twierdzenia. Niech C będzie rozważaną wtym warunku rodziną zbiorów i niech r0 będzie kresem dolnym zbioru promieni r > 0takich, że rBX ∩C 6= ∅ ∀C ∈ C. (Jednym z takich promieni jest 1.) Wówczas rodzina{C ∩ rBX : r > r0, C ∈ C} nadal ma przypisane C własności, lecz zawiera zbioryo dowolnie małej średnicy. (Patrz zadanie 2 w serii 8.) Ponieważ przestrzeń X jestzupełna, przecięcie tej rodziny jest niepuste, i tym samym

⋂C 6= ∅. �

Uwaga 3. Z twierdzenia Milmana i nierówności Clarksona (z serii 7 zadań) wynika re-fleksywność przestrzeni Lp(µ) dla p ∈ (1,∞). Wraz z poniższym zadaniem daje to ko-lejny dowód surjektywności kanonicznego zanurzenia Lq(µ) → Lp(µ)∗ dla p ∈ (1,∞):

Zadanie 1. Dla p ∈ (1,∞) i q := p/(p − 1) oznaczmy przez Sp : Lq(µ) → Lp(µ)∗

i Jq : Lq(µ) → Lq(µ)∗∗ kanoniczne włożenia. Udowodnić, że S∗q ◦ Jq = Sp. Stąd i zrefleksywności przestrzeni Lq(µ) uzyskać surjektywność przekształcenia Sp.


§ 11. Tematy egzaminu ustnego z AF I∗

1. Przestrzenie unormowane i Banacha, przestrzeń operatorów z normą operatorową,przestrzeń sprzężona, przestrzenie ilorazowe, charakteryzacje przestrzeni skończenie–wymiarowych (wśród unormowanych).

2. Podstawowe przykłady przestrzeni Banacha: c0, c, `p(A), Lp(µ), C(X). Zupeł-ność tych przestrzeni, przestrzenie sprzężone do nich.

3. Twierdzenia Kakutaniego i Hahna–Banacha; twierdzenia o oddzielaniu.4. Przestrzenie Hilberta. Istnienie punktu najbliższego w zbiorze wypukłym do-

mkniętym (również w przypadku przestrzeni jednostajnie wypukłych). Rola układówortonormalnych, w tym rozwinięcie w szereg Fouriera względem takiego układu, nie-równość Bessela i tożsamość Parsevala, izomorfizm z przestrzenią `2(A). TwierdzenieRiesza–Fischera–Frecheta o postaci funkcjonałów, antyizomorfizm Riesza i refleksyw-ność przestrzeni Hilberta. Przykłady układów i baz ortonormalnych.

5. Zastosowania geometrii prz. Banacha w teorii miary (poprzez tw. Riesza-Fischera) i do dowodu surjektywności zanurzenia kanonicznego Lq(µ) → Lp(µ)∗, dlaodpowiednich p i q.

6. Sprzężenie operatora; własności i porównanie ze sprzężeniem hermitowskim.7. Wykorzystanie zupełności przestrzeni Banacha: twierdzenie Banacha–Steinhausa,

twierdzenie o otwartości, twierdzenie o wykresie domkniętym.8. Operatory zwarte i ich podstawowe własności. Spektrum operatora, wzór na

promień spektralny; niepustość spektrum w przypadku zespolonym. Diagonalizacjazwartych operatorów normalnych na przestrzeni Hilberta.

9. Słabe topologie na przestrzeniach unormowanych i ich sprzężonych, twierdzeniaMazura, Banacha–Alaoglu i Goldstine’a. Charakteryzacja przestrzeni refleksywnych,refleksywność przestrzeni Lp(µ) dla p ∈ (1,∞) (ogólniej: przestrzeni jednostajniewypukłych), zachowywanie refleksywności przy przejściu do podprzestrzeni, ciągłegoobrazu liniowego lub przestrzeni sprzężonej. Warunki charakteryzujące słabą zbieżnośćciągów w podstawowych przypadkach.

10. Rozrzucone wiadomości z wykładów i ćwiczeń: wyznaczanie funkcjonału C–liniowego na przestrzeni zespolonej przez R–liniowy, izomorfizm przestrzeni (`∞(A))∗ iba(A), przykłady funkcjonałów nie osiągających normy i nierefleksywność przestrzenic0, c, C(I), `1, `∞ (ogólniej: L1(µ) i L∞(µ)), zanurzanie przestrzeni unormowanej wC(S) i `∞(Γ), a ośrodkowej– w C(I), istnienie ciągłej surjekcji liniowej przestrzeni`1 na każdą ośrodkową przestrzeń Banacha, zastosowania twierdzeń wymienionych wtematach 3 i 7. Twierdzenie Plancherela, wzór Wienera wiążący transformatę Fouriera–Plancherela z funkcjami Hermite’a.


§ 12. Dodatek∗: twierdzenie Riesza–Radona–Banacha–Kakutaniego o po-staci funkcjonałów na C(X).

(Ten materiał jest informacyjny i nieobowiązujący – przy 12 wykładach zabrakło czasuna omówienie go. Ujęcie jest bliskie książce Rudina ARiZ, lecz wykorzystuje tw. Cara-theodory’ego i zadanie z ćwiczeń.) Niech X będzie przestrzenią lokalnie zwartą, tzn.taką, której każdy punkt należy do wnętrza pewnego zwartego podzbioru przestrzeni.Przez Cc(X) oznaczamy przestrzeń tych funkcji ciągłych f : X → F ∈ {R,C}, któ-rych nośnik supp(f) = cl{x ∈ X : f(x) 6= 0} jest zwarty; zamiast Cc(X) piszemyteż CF

c (X), gdy ciało F chcemy uwidocznić. Funkcjonały liniowe na Cc(X) opisujetwierdzenie reprezentacyjne Riesza. Są dwa ważne przypadki: funkcjonałów ciągłych(wówczas F = R lub F = C, zaś na Cc(X) rozpatrujemy normę supremum) i funkcjona-łów nieujemnych (tu F = R). Jeśli przestrzeń X jest niezwarta, funkcjonał nieujemnyna Cc(X) może być nieograniczony; tak więc żaden z przypadków nie obejmuje dru-giego. W obu, twierdzenie wyraża funkcjonał przez całkę względem miary na σ-cieleB podzbiorów borelowskich zbioru X – czyli na najmniejszym σ-ciele zbiorów wX, zawierającym wszystkie zbiory otwarte.

1. Funkcjonały nieujemne na CRc (X).

Funkcjonał liniowy ϕ : CFc (X) → F nazywamy nieujemnym, gdy ϕ(f) ∈ [0,∞) dla

f ≥ 0. W dalszej części tego punktu przyjmujemy F = R. Funkcjonał nieujemny jestzarazem monotoniczny: ϕ(f1) ≤ ϕ(f2) jeśli f1 ≤ f2. Nieujemna miara bore-lowska na X to przeliczalnie addytywna funkcja µ : B → [0,∞]; słowo „nieujemna”możemy opuszczać, bo rozpatrujemy teraz tylko miary nieujemne.

Twierdzenie 1. Gdy ϕ jest nieujemnym funkcjonałem liniowym na Cc(X) i prze-strzeń X jest lokalnie zwarta, to istnieje dokładnie jedna nieujemna miara borelowskaµ na X taka, że:

i) ϕ(f) =∫

X fdµ dla f ∈ Cc(X), orazii) spełnione są następujące warunki regularności miary:

µ(E) = inf{µ(G) : G ⊃ E i zbiór G jest otwarty w X}, ∀E ∈ B (17)

µ(G) = sup{µ(K) : K ⊂ G i zbiór K jest zwarty}, dla otwartych zbiorów G ⊂ X.

(18)

Uwaga 1. a) Warunki (17) i (18) powodują, że gdy E ∈ B i µ(E) < ∞, to istniejązbiory otwarte Gn ⊃ E i zwarte Kn ⊂ E takie, że µ(Gn \Kn) < 1/n, n = 1, 2, . . . .Tak samo jest, gdy E ∈ B jest sumą przeliczalnie wielu zbiorów skończonej miary.


Istotnie, na podstawie (17) istnieje zbiór otwarty Gn taki, że µ(Gn \ E) < 1/2n,zaś na podstawie (18) – zbiór zwarty L ⊂ Gn taki, że µ(Gn \ L) < 1/2n. Wtedyµ(L \E) < 1/2n, więc ponownie korzystając z (17) uzyskujemy zbiór otwarty H taki,że L \ E ⊂ H ⊂ G oraz µ(H) < 1/2n. Latwo widzieć, że Kn := L \H jest zbioremzwartym i µ(Gn \Kn) < 1/n.

b) Warunek (17) wyrażamy mówiąc, że miara µ jest zewnętrznie regularna, zaś(18) – że jest ona regularna wewnętrznie na zbiorach otwartych. Z a) wynika, żemiara borelowska, spełniająca warunki (17) i (18), jest zarazem regularna wewnętrzniena zbiorach (sigma-) skończonej miary. Dalsze uwagi o regularności miar zawarte sąw „Analizie rzeczywistej i zespolonej” Rudina na str. 56–58. �

Dowód twierdzenia. I. Jednoznaczność miary µ. Warunki (18) i (17) wyznaczająmiarę µ poprzez jej wartości na zbiorach zwartych. Pozostaje dowieść, że dla zwartegozbioru K, liczba µ(K) jest wyznaczona przez funkcjonał ϕ. W tym celu odnotujmy, żegdy G ⊃ K jest zbiorem otwartym, to istnieje funkcja f ∈ Cc(X) taka, że 1K ≤ f ≤1G. (Korzystamy z lematu Urysohna oraz istnienia zbioru zwartego L ⊂ G takiego,że K ⊂ intL; to ostatnie jest konsekwencją lokalnej zwartości przestrzeni X.) Zatemµ(K) ≤

∫X fdµ ≤ µ(G) na podstawie nieujemności miary µ; a że

∫X fdµ = ϕ(f),

więc z (17) wynika brakująca zależność: µ(K) = inf{ϕ(f) : f ∈ Cc(X) i f ≥ 1K}.II. Istnienie miary µ. Funkcję charakterystyczną zbioru S ⊂ X oznaczamy przez

1S. Inne funkcje na przestrzeni X oznaczamy literami f, g, h i zakładamy, że są oneciągłe i mają zwarty nośnik (czyli należą do Cc(X), co niekiedy jawnie podkreślamy).Dla E,G ⊂ X przyjmijmy:

µ0(G) = sup{ϕ(f) : f ∈ Cc(X) i 0 ≤ f ≤ 1G} (19)

µ(E) = inf{µ0(G′) : G′ ⊃ E i G′ jest zbiorem otwartym} (20)

Obie funkcje µ0 i µ są monotoniczne, co powoduje, że

µ(G) = µ0(G) gdy G jest zbiorem otwartym. (21)

Korzystając z tego dowodzimy kolejno, że:

a) Gdy 1G ≤ f i zbiór G jest otwarty, to µ(G) ≤ ϕ(f). Co za tym idzie, µ(E) <∞dla każdego zbioru E o zwartym domknięciu.

Istotnie, ponieważ f ′ ≤ f jeśli 0 ≤ f ′ ≤ 1G, więc z definicji liczby µ0(G) i mono-toniczności funkcjonału ϕ wynika, że ϕ(f) ≥ µ0(G) = µ(G). Ponadto, gdy cl(E) jestzbiorem zwartym, to jak w części I dowodu istnieje funkcja f ∈ Cc(X) taka, że f ≥ 1G

dla pewnego otoczenia G zbioru E, skąd µ(E) ≤ µ(G) ≤ ϕ(f) <∞.

b) Spełniony jest warunek (18); co więcej, gdy zbiór G jest otwarty i s < µ(G),to µ(supp(fs)) ≥ ϕ(fs) > s dla pewnej funkcji fs ∈ Cc(X) takiej, że 0 ≤ fs ≤ 1 i


supp(fs) ⊂ G.Istnieje bowiem funkcja gs ∈ Cc(X) taka, że 0 ≤ gs ≤ 1G i ϕ(gs) > s. Dalej, jak w

części I dowodu istnieje nieujemna funkcja h ∈ Cc(X), która jest dodatnia na pewnymotoczeniu zbioru supp(gs). Mnożąc h przez odpowiednią stałą możemy też uzyskać,że ϕ(h) < ϕ(gs) − s. Niech fs = max(0, gs − h); wtedy ϕ(fs) ≥ ϕ(gs) − ϕ(h) > s

oraz supp(fs) ⊂ G. Ponieważ dla Gs = {x : fs(x) > 0} zachodzi µ(Gs) = µ0(Gs) ≥ϕ(fs) > s, więc tym bardziej µ(supp(fs)) > s i fs ma wszystkie żądane własności.

c) Gdy zbiory G1, . . . , Gn są otwarte, to µ(G1 ∪ · · · ∪Gn) ≤∑n

i=1 µ(Gi).Możemy założyć, że n = 2. Niech G = G1 ∪ G2. Ustalmy liczbę s < µ(G) oraz

funkcję f taką, że 0 ≤ f ≤ 1G, supp(f) ⊂ G i ϕ(f) > s. (Korzystamy z b).)Następnie, w oparciu o lemat Urysohna, obierzmy funkcję h tak, by h(x) = 1 dlax ∈ supp(f) \G2, h(x) = 0 dla x 6∈ G1 oraz 0 ≤ h ≤ 1. Ponieważ funkcje g1 = fh ig2 = f−g1 spełniają warunki gi ≤ 1Gi

, więc µ(G1)+µ(G2) ≥ ϕ(g1)+ϕ(g2) = ϕ(f) > s

– co wobec dowolności liczby s < µ(G) dowodzi tezy.

d) µ jest miarą zewnętrzną Caratheodory’ego, tzn. µ(∅) = 0 oraz

µ(E) ≤∑

i

µ(Ei) gdy E,E1, E2, · · · ⊂ X i E ⊂⋃i

Ei.

Niech bowiem ε będzie dowolną liczbą dodatnią i zbiory otwarte Gi ⊃ Ei będątakie, że µ(Gi) ≤ µ(Ei) + 2−iε dla i = 1, 2 . . . . Zbiór G =

⋃iGi jest otwarty i

zawiera E; ponadto, gdy K ⊂ G jest zbiorem zwartym, to z jego otwartego pokrycia{Gi}∞i=1 można wybrać pokrycie skończone G1, . . . , Gn. Zatem µ(K) ≤ µ(

∑ni=1Gi) ≤∑n

i=1 µ(Gi) ≤∑∞

i=1(µ(Ei)+2−iε), co wraz z (18) daje∑∞

i=1 µ(Ei)+ε ≥ µ(G) ≥ µ(E).Pozostaje więc skorzystać z dowolności liczby ε > 0.

e) Gdy G jest zbiorem otwartym, zaś E dowolnym, to µ(E) ≥ µ(E∩G)+µ(E \G).Możemy założyć, że µ(E) <∞, bo inaczej teza jest oczywista. Rozważymy wpierw

przypadek, gdy zbiór E również jest otwarty. Obierzmy dowolne liczby s < µ(E∩G) it < µ(E \G). Z b) wynika istnienie funkcji f i zbioru zwartego K takich, że ϕ(f) > s,przy czym supp(f) ⊂ K ⊂ G ∩ E i 0 ≤ f ≤ 1. Wówczas µ(E \K) ≥ µ(E \G) > t,wobec czego istnieje funkcja g ≤ 1G\K taka, że ϕ(g) > t. Ponieważ f + g ≤ 1E orazϕ(f + g) > s+ t, więc żądana nierówność wynika z (21) i dowolności liczb s i t.

Gdy zbiór E nie jest otwarty, to dla dowolnej liczby r > µ(E) istnieje zbiór otwartyE ′ taki, że E ′ ⊃ E i µ(E ′) < r. Ponieważ r > µ(E ′) ≥ µ(E ′ ∩ G) + µ(E ′ \ G) ≥µ(E ∩G) + µ(E \G), więc pozostaje skorzystać z dowolności liczby r > µ(E).

f) Twierdzenie Caratheodory’ego orzeka, że skoro µ jest miarą zewnętrzną, toM :={G : µ(E) ≥ µ(E∩G)+µ(E \G) dla każdego zbioru E ⊂ X} jest σ-ciałem zbiorów,na którym µ jest σ-addytywna. Z e) wynika, że M zawiera wszystkie zbiory otwarte,


a zatem i wszystkie zbiory borelowskie – bo B jest najmniejszym σ-ciałem zbiorów,zawierającym wszystkie zbiory otwarte. Funkcja µ|B jest więc σ-addytywna.

g) Gdy f ∈ Cc(X), to ϕ(f) =∫

X fdµ.Możemy założyć bez straty ogólności, że f ≥ 0, bo f jest różnicą dwóch funkcji

nieujemnych o zwartych nośnikach. Dla i = 0, 1, . . . przyjmijmy

Gi = {x ∈ X : f(x) > i} oraz fi = min(1,max(f − i, 0))

Funkcja f ∈ Cc(X) jest ograniczona, wobec czego Gn = Gn+1 = · · · = ∅ dla pewnegon ∈ N, zaś każdy ze zbiorów Gi jest otwarty i ma zwarte domknięcie – a więc iskończoną miarę µ(Gi). Latwo widzieć, że

f =n∑

i=0

fi oraz 1Gi+1≤ fi ≤ 1Gi

Z a) i definicji liczby µ(Gi) wynika, że 0 ≤ ϕ(fi)−∫

X 1Gi+1dµ ≤ µ(Gi)− µ(Gi+1). A

że też 0 ≤∫

X fidµ−∫

X 1Gi+1dµ ≤ µ(Gi)− µ(Gi+1), to |

∫X fidµ−ϕ(fi)| ≤ 2(µ(Gi)−

µ(Gi+1)). Dodanie tych nierówności stronami wykazuje, że |∫

X fdµ−ϕ(f)| ≤ 2µ(G0).Zastąpmy teraz funkcję f przez k · f ; otrzymamy k · |

∫X fdµ−ϕ(f)| ≤ 2µ(G0) dla

k = 1, 2, . . . Zatem |∫

X fdµ− ϕ(f)| = 0, bo µ(G0) <∞.

Zakończyliśmy dowód twierdzenia: z (20) i (21) wynika (17), a innych części tezydowiedziono w b), f) i g). �

Uwaga 2. Ze wzorów (19) i (21) oraz nieujemności rozważanego funkcjonału ϕ wynikałatwo, że jego norma (skończona lub nie) jest równa µ(X). �

2. Ciągłe funkcjonały liniowe na Cc(X).

Obecnie, F = R lub F = C, zaś X nadal jest przestrzenią lokalnie zwartą.Miarą regularną na X, o wartościach w F, nazywamy każdą σ–addytywną F–

miarę µ : B → F (por. §3.2 i §4.2), spełniającą następujący warunek regularności:(r) gdy B ∈ B i ε > 0, to |µ(B \ F )| < ε dla pewnego zbioru zwartego F ⊂ B.

Za Dunfordem i Schwartzem, zbiór tych miar oznaczmy przez rca(X) (od „regularcountably additive”).

Istotne jest to, że gdy µ ∈ rca(X), to wariacja całkowita ||µ|| jest skończona. (Gratu rolę tylko σ–addytywność; patrz §6.4.) Ponieważ każda funkcja f ∈ Cc(X) jestograniczona i B–mierzalna, więc jej całka

∫fdµ jest określona; patrz §3.2 (stwierdzenie

i zadanie). Funkcjonał Cc(X) 3 f 7→∫fdµ oznaczmy przez ϕµ.

Zadanie 1. Dla każdej miary µ ∈ rca(X) zachodzi ||ϕµ|| = ||µ|| <∞. (Wskazówka:użyć regularności, by w definicji wariacji zbiory borelowskie zastąpić zwartymi.)


Twierdzenie 1. Każdy funkcjonał ϕ ∈ (Cc(X))∗ jest postaci ϕµ, gdzie µ ∈ rca(X).

Dowód. Na podstawie zadania 7 w serii 12 istnieje funkcjonał liniowy ψ : Cc(X) → Ftaki, że |ϕ(f)| ≤ ψ(|f |) ≤ ||ϕ|| · ||f ||sup dla wszystkich f ∈ Cc(X). (Por. Rudin, str.144-5.) W szczególności, funkcjonał ψ jest nieujemny i spełnia ||ψ|| ≤ ||ϕ|| <∞.

Jak wiemy z p.1, istnieje na X nieujemna regularna miara borelowska ν taka, żeψ(f) =

∫X fdν dla f ∈ CR

c (X). Gdy przestrzeń Cc(X) rozważać z normą indukowanąprzez L1(ν), to funkcjonał ϕ ma normę ≤ 1, bo |ϕ(f)| ≤ ψ(|f |) =

∫X |f |dν =

||f ||L1(ν). Możemy więc ϕ z zachowaniem normy przedłużyć na L1(ν) i z twierdzenia,opisującego postać funkcjonałów liniowych na L1(ν), wywnioskować istnienie funkcjih ∈ L∞(ν) takiej, że ϕ(f) =

∫X fhdν dla f ∈ Cc(X). (Twierdzenie to stosuje się, bo

ν(X) = ||ψ|| <∞; patrz uwaga 2 w p.1.) Definiujemy miarę µ wzorem µ(B) =∫

B hdνdla B ∈ B (krótszy zapis, to dµ = hdν). Pozostaje skorzystać z poniższego zadania:

Zadanie 2. Gdy h ∈ L∞(ν) i miara borelowska ν na X jest skończona i regularna,to F–miara dµ = hdν jest regularna i

∫fdµ =

∫fhdν dla f ∈ Cc(X).

Uwaga 1. Miara µ w twierdzeniu jest przez ϕ wyznaczona jednoznacznie, bo gdyϕµ1

= ϕµ2= ϕ, to ϕµ = 0 dla µ = µ1−µ2 ∈ rca(X) – co daje µ = 0, patrz zadanie 1.

Treści kolokwium i egzaminu dalej.


Egzamin pisemny z Analizy Funkcjonalnej 1* 24 I 2011

Proszę o to, by a) rozwiązania różnych zadań zapisywać na różnych kartkach, a te podpisać; b) niekorzystać z notatek czy książek; c) dawać wyczerpujące i zrozumiałe wyjaśnienia, w tym dotyczącewykorzystywanych rezultatów.

1. Z poniższych kilkunastu zadań proszę wybrać sześć. Za każde można dostać do 17p.2. Wśród rozwiązywanych mogą się znaleźć zadania opatrzone tą samą cyfrą (np. 1-A i 1-C), ale

każde takie powtórzenie powoduje stratę 7p.3. Egzamin ustny może zahaczać prócz teorii o źle rozwiązane lub nierozwiązywane zadania.

1-A Niech H = LR2 ([0, 1]) i niech operatory Tα : H → H będą zadane wzorami (Tαf)(x) =√

αxα−1f(xα) dla α > 1 i x ∈ [0, 1]. Dowieść, że:a) Każdy operator Tα jest unitarny; wyznaczyć też wzorem jego sprzężenie hermitowskie T h

α .b) Rodzina (Tα)α>1 jest punktowo zbieżna do identyczności, gdy α→ 1, tzn. limα→1 ||Tαf−f ||2 =

0 dla f ∈ H.c) Nie istnieje granica limα→1 Tα, gdy przestrzeń L(H) rozpatrywać w normie operatorowej.

1-B Niech podprzestrzenie X, Y ⊂ `R2 zdefiniowane będą tak:

X = {x = (xn) ∈ `2 : x2n = 0 ∀n ∈ N}, Y = {y = (yn) ∈ `2 : y2n−1 = ny2n ∀n ∈ N}

a) Dowieść, że podprzestrzenie te są domknięte, a suma X + Y jest gęsta w `2.b) Wskazać z ∈ `2 \ (X + Y ) i dowieść, że zbioru X − z nie można oddzielić od Y funkcjonałem

ciągłym, tzn. nie istnieją ϕ ∈ `∗2 \ {0} i c ∈ R takie, że ϕ(X − z) ⊂ (−∞, c] i ϕ(Y ) ⊂ [c,∞).

1-C Niech X i Y będą (liniowymi) podprzestrzeniami przestrzeni Banacha Z. Powiemy, żepodprzestrzenie te spełniają warunek (*), jeśli inf{||x− y|| : x ∈ X, y ∈ Y i ||x|| = ||y|| = 1} > 0.

a) Dowieść, że warunek (*) jest spełniony, gdy dimX <∞ i X ∩ cl Y = {0}, jak również, gdy Zjest przestrzenią Hilberta i X⊥Y .

b) Dowieść, że warunek (*) jest spełniony wtedy i tylko wtedy, gdy ||x|| + ||y|| ≤ C||x + y|| dlapewnej stałej C > 0 i wszystkich x ∈ X, y ∈ Y .

c) Dowieść, że jeśli warunek (*) jest spełniony, to podprzestrzeń X + Y jest domknięta wtedy itylko wtedy, gdy domknięte są podprzestrzenie X i Y .

2-A a) Niech Y0 = {ϕ ∈ X∗ : ϕ(X0) = {0}}, gdzie X0 jest (liniową) podprzestrzenią przestrzeniunormowanej X; niech też ψ ∈ X∗. Dowieść istnienia funkcjonału ϕ0 ∈ Y0 takiego, że ||ψ − ϕ0|| =dist(ψ, Y0).

b) Wyrazić wzorem odległości funkcji f ∈ L2([−1, 1]) od podprzestrzeni He := {f : f(t) = f(−t)}iHo = {f : f(t) = −f(−t)}. Wyznaczyć przy pomocy tego wzoru dist(f,He) dla funkcji f(t) = t3+t4.

2-B Niech V będzie przestrzenią Banacha, a operatory Ln ∈ L(V ) niech będą takie, że przyVn := ker(Ln) zachodzi cl(

⋃n Vn) = V i Vn ⊂ Vn+1 ∀n ∈ N. Dowieść równoważności warunków:

a) sup ||Ln|| <∞;b) istnieje stała C <∞ taka, że ||Lnx|| ≤ C · dist(x, Vn) dla wszystkich n ∈ N i x ∈ V .c) dla każdego wektora x ∈ V istnieje stała C(x) taka, że ||Lnx|| ≤ C(x) · dist(x, Vn) ∀n ∈ N.

2-C Dla operatora liniowego L : X → C([0, 1]), gdzie X jest przestrzenią Banacha, dowieśćrównoważności warunków:

a) operator ten jest ciągły;b) każdy funkcjonał X 3 x 7→

∫ b

a(Lx)(t)dt, gdzie 0 < a < b < 1, jest ciągły.


3-A Niech (ui)i∈N i (vi)i∈N będą układami wektorów przestrzeni HilbertaH, takimi, że∑

i ||ui||2 <∞ i układ (vi) jest ortonormalny i liniowo gęsty. Dowieść, że:

a) Wzór Lx :=∑∞

i=1〈x, vi〉ui (x ∈ H) poprawnie określa operator liniowy L : H → H, przy czym||L||2 ≤

∑i ||ui||2.

b) Gdy ponadto∑

i ||ui||2 < 1, to układ (vi − ui)i∈N jest liniowo gęsty w H.

3-B Niech X i Y będą przestrzeniami Banacha i L ∈ L(X, Y ) będzie zanurzeniem, którego obrazjest dopełnialny, tzn. L jest homeomorfizmem na swój obraz L(X) i L(X) ⊕ A = Y dla pewnejdomkniętej podprzestrzeni A ⊂ Y . Dowieść istnienia liczby ε > 0 takiej, że każde przekształcenieL′ ∈ L(X, Y ), spełniające warunek ||L− L′|| < ε, też jest zanurzeniem z dopełnialnym obrazem.

4-A Niech T będzie zwartym i normalnym operatorem liniowym na zespolonej przestrzeni Hil-berta H, takim, że ||T || ≤ 1. Udowodnić, że ciąg operatorów Sn = 1

n(I + T + · · · + T n−1) jest

punktowo zbieżny, a jego granica jest rzutem ortogonalnym na podprzestrzeń {h ∈ H : Th = h}.4-B Niech operator liniowy T na zespolonej przestrzeni Hilberta H będzie zwarty i normalny.a) Dowieść, że jeśli dodatkowo T = T ∗ i ||T || ≤ 1, to istnieje nieujemny pierwiastek z I−T 2 (tzn.

istnieje operator S ∈ L(H) taki, że S2 = I − T 2 i 〈Sx, x〉 ≥ 0 ∀x ∈ H). Dowieść też, że operator Smożna obrać tak, by operatory T ± iS były unitarne.

b) Wywnioskować, że wyjściowy operator T jest kombinacją liniową ≤ 4 operatorów unitarnych.

5-A Ustalmy ciąg (an) liczb zespolonych i dla każdego ciągu (xn) takich liczb przyjmijmy Lx =(a1x1, a2x2, ...). Udowodnić równoważność warunków:

a) Lx ∈ `2 dla wszystkich x ∈ `3;b)

∑|an|6 <∞;

c) wzór `3 3 x 7→ Lx poprawnie określa zwarty operator L : `3 → `2.

5-B Dla operatora T ∈ L(V ), gdzie V to przestrzeń Banacha, dowieść równoważności warunków:a) Operator T jest zwarty i ma domknięty obraz;b) Operator T jest skończenie–wymiarowy, tzn. dimT (V ) <∞.

6-A a) Udowodnić, że gdy przestrzeń unormowana X jest nieskończonego wymiaru, to każdeotoczenie zera w słabej topologii zawiera podprzestrzeń liniową nieskończonego wymiaru.

b) Niech S = {x ∈ `2 : ||x|| = 1} (sfera jednostkowa w przestrzeni Hilberta `2) i A = {x = (xn) ∈S : x1 ≥ 0}. Czym jest domknięcie zbioru A w słabej topologii przestrzeni `2?

6-B Niech T ∈ L(X,Y ), gdzie X i Y to przestrzenie Banacha.a) Dowieść, że gdy przestrzeń X jest refleksywna i zbiór C ⊂ X jest wypukły, ograniczony i

domknięty w (X, || ||), to jego obraz T (C) jest domknięty w (Y, || ||).b) Czy założenie refleksywności jest istotne?

6-C Dowieść, że zbiór zwarty w słabej topologii jest normowo ograniczony.


Kolokwium z Analizy Funkcjonalnej 1* 5 I 2011r.

Z poniższych sześciu zadań należy wybrać pięć. Proszę o to, bya) nie korzystać z notatek czy książek;b) dawać wyczerpujące i zrozumiałe wyjaśnienia, w tym dotyczące wykorzystywa-

nych rezultatów.

1. Niech Q = [0, 1]2 ⊂ R2 będzie kwadratem jednostkowym, a µ – miarą Le-besgue’a na kole D ⊂ R2 o środku w (10, 1) i promieniu 2. Dowieść istnienia sta-łej C takiej, że

∫D fdµ ≤ C · supq∈Q |f(q)| dla każdego rzeczywistego wielomianu

f(x, y) =∑2011

i,j=0 cijxiyj dwóch zmiennych, stopnia ≤ 2011 względem tych zmiennych.

2. Niech H będzie przestrzenią Hilberta, zaś operatory liniowe K,L : H → H niechspełniają warunek 〈Kx, y〉 = 〈x, Ly〉 dla wszystkich x, y ∈ H. Dowieść, że operatoryte są ciągłe.

3. Dla każdego n ∈ N niech Tn ⊂ [0, 1] będzie zbiorem skończonym i niech cn : Tn →R. Dowieść równoważności warunków:

i) równość∫ 1

0 f(t)dt = limn→∞∑

t∈Tncn(t)f(t) zachodzi dla każdej funkcji ciągłej

f : [0, 1] → R;ii) supn

∑t∈Tn

|cn(t)| <∞ i limn→∞∑

t∈Tncn(t)t

k = 1k+1 dla k = 0, 1, ...

4. Niech H := L2(R) oraz In := [n, n+ 1] dla n ∈ Z. Przyjmijmy

X := {f ∈ H :

∫In

f = 0 ∀n ∈ Z}, Y := {f ∈ H : f jest stała p.w. na In, ∀n ∈ Z}

Dowieść, żea) X i Y są domkniętymi podprzestrzeniami przestrzeni H, a ta jest ich ortogonalną

sumą prostą: H = X⊥©Y .b) Wyrazić wzorem rzut ortogonalny na X i takiż rzut na Y .

5. Niech V i W będą przestrzeniami unormowanymi i BV := {v ∈ V : ||v|| ≤ 1}.a) Udowodnić, że gdy L ∈ L(V,W ) i w0 ∈ W , to

w0 ∈ cl(L(BV )) ⇔ |ψ(w0)| ≤ ||ψ ◦ L|| ∀ψ ∈ W ∗

b) Dowieść, że dla ϕ1, ..., ϕn ∈ V ∗ i c1, ..., cn ∈ F równoważne są warunki:i) ∀ε > 0 ∃x ∈ BV t.że

∑ni=1 |ϕj(x)− cj| < ε;

ii) |∑

j djcj| ≤ ||∑

j djϕj|| dla wszystkich d1, ..., dn ∈ F.

6. Udowodnić, że gdy p ∈ [1,∞), to ciąg funkcji Rademachera, zdefiniowanychwzorem rk(x) = Sgn(sin(2kπx)) dla x ∈ [0, 1] i k ∈ N, jest przy k →∞ słabo zbieżnydo zera w Lp([0, 1]).

Documents

Uwaga: wywieszam te notatki z dobrodziejstwem inwentarza – w