Ekonomická fakulta

Univerzity Mateja Bela

Banská Bystrica

Úrokový počet

Učebné texty ku kurzu:

Finančná matematika 1

(1. Bc. – FBI; 2. a 3. r. Bc. – CR, EMP, FBI, RRVS, VES)

Autor: doc. Ing. Vladimír Úradníček, Ph.D.

Tento učebný text, ani žiadnu jeho časť nemožno reprodukovať bez súhlasu autora. Text

neprešiel jazykovou úpravou.

Aktualizované vydanie – júl 2012

2

Dekurzívne úrokovanie

Pod úrokovaním rozumieme proces výpočtu úrokov.

Úrok je odmena (z hľadiska veriteľa) a cena úveru (z hľadiska dlžníka).

Úrok je odmena za

a) dočasnú stratu kapitálu;

b) riziko spojené so zmenami tohto kapitálu (napr. infláciou);

c) neistotu, že kapitál nebude splatený v danej lehote a výške.

Ak sa úroky pripisujú na konci úrokovacieho obdobia, potom ide o tzv. dekurzívne

(polehotné) úrokovanie. V prípade, ak sa úroky pripisujú na začiatku úrokovacieho obdobia,

potom hovoríme o anticipatívnom (predlehotnom) úrokovaní. V tomto učebnom texte

sa budeme zaoberať dekurzívnym úrokovaním.

Symbolika:

K0 – istina, resp. súčasná (začiatočná) hodnota kapitálu,

Kn – budúca hodnota kapitálu po n úrokových obdobiach,

n – počet úrokových periód, dĺžka úrokového obdobia, vyjadrená v jednotkách úrokovej

periódy

p – úroková sadzba v % (niekedy sa nazýva aj úroková miera) – udáva sa vždy s dĺžkou

zodpovedajúcej úrokovej periódy:

p.a. – per annum (vyskytuje sa najčastejšie) – ročná;

p.s. – per semestrem – polročná;

p.q. – per quartalem – štvrťročná;

p.m. – per mensem – mesačná;

p.sept. – per septimanam – týždenná a p.

i – úroková sadzba = - udáva sa s dĺžkou zodpovedajúcej úrokovej periódy1;

u – úrok, pričom platí ut = Kj i n , t = 0, 1, 2, ..., n; j = 0 v prípade tzv. jednoduchého

úrokovania, resp. t-1 v prípade zloženého úrokovania;

p.j. – peňažná jednotka.

Najčastejšie klasifikujeme dva základné typy úrokovania:

0

1 0 0 0. .(1 )

K

K K K i K i

I. Jednoduché úrokovanie II. Zložené úrokovanie

2 1 0 0 0 0

3 2 0 0 0 0

. 2 .(1 2 )

. 3 .(1 3 )

K K K i K K i K i

K K K i K K i K i

22 1 1 1 0

33 2 2 2 0

. .(1 ) .(1 )

. .(1 ) .(1 )

K K K i K i K i

K K K i K i K i

... ...

0.(1 )nK K in (1) 0.(1 )nnK K i (2)

1 Teória finančnej matematiky zvykne rozlišovať medzi pojmom úroková miera – v našej symbolike „p“ (chápe

sa ako úroková sadzba vyjadrená v %) a úroková sadzba – v našej symbolike „i“ (vyjadrená ako desatinné číslo).

Prax zvykne často používať oba pojmy ako synonymá, resp. v oboch prípadoch uprednostňuje pojem úroková

sadzba, pričom v prípade p je uvádzané ako „úroková sadzba v %“, t.j. v zmysle nami zavedenej symboliky.

p

100

3

Vidíme, že podstata rozdielu medzi oboma typmi úrokovaní spočíva v tom, či sa úrok počíta

vždy z istiny (zo začiatočnej hodnoty) kapitálu – jednoduché úrokovanie, resp. či sa úrok

počíta z hodnoty kapitálu na začiatku príslušnej úrokovej periódy, t.j. z istiny zvýšenej

o dovtedy vyplatenú sumu úrokov – zložené úrokovanie.

Môžeme povedať, že budúca hodnota kapitálu sa formálne rovná istine (začiatočnej hodnote)

kapitálu zvýšenej násobkom tzv. úrokovacieho faktora jednoduchého, resp. zloženého

úrokovania pre n úrokových periód.

Vzťah medzi jednoduchým a zloženým úrokovaním môžeme graficky znázorniť nasledovne:

Grafickým vyjadrením funkčného vývoja Kt v závislosti od t, kde t = 1, 2, ... , n je

a) v prípade jednoduchého úrokovania priamka , ktorá je rastúca

a pretína os Oy v K0.

b) v prípade zloženého úrokovanie rastúca exponenciála 0.(1 )ttK K i , pretínajúca os

Oy v K0.

Obrázok 1

Z obrázku 1 je zrejmé, že z hľadiska zhodnotenia vloženého kapitálu je v období do jedného

roku výhodnejšie jednoduché a v období nad jeden rok zložené úrokovanie. Rovnakým

spôsobom je zaužívaná v teórii konvencia, podľa ktorej – ak nie je uvedené inak – v úlohách

s časovým horizontom do jedného roku sa používa jednoduché úrokovanie a naopak

v úlohách s dlhším časovým horizontom sa aplikuje zložené úrokovanie.

Príklad 1:

Predpokladajme, že istá osoba vložila do banky 1 p.j. 1. 1. 1719 pri fixnej 6 % ročnej

úrokovej sadzbe raz na účet s jednoduchým úrokovaním a raz na účet so zloženým

úrokovaním. Ak abstrahujeme od možných menových reforiem, od akýchkoľvek poplatkov

a zdaňovania úrokov, vypočítajte, akú čiastku mali jeho dedičia na oboch účtoch

k 31.12.2019.

Riešenie:

K0 = 1, i = 0,06 p.a., n = 301.

KnJU = 1.(1 + 0,06.301) = 19,06 p.j. a KnZU = 1.(1+0,06)301

= 41 406 206,59 p.j.

t 0 0K = K + K .i .t

0 1 t

Kt

K1

4

Pri riešení praktických úloh sa môžeme stretnúť spravidla s nasledovnými základnými typmi

časových štandardov2:

1. Štandard ACT/365 (resp. ACT/ACT) – anglická metóda;3

2. Štandard ACT/360 – francúzska (medzinárodná) metóda;

3. Štandard 30E/360 – nemecká (európska) metóda;

4. Štandard 30A/360 – americká metóda – je podobná nemeckej metóde, ale odlišuje sa

v prípadoch, keď v čitateli td = t2 - t1, kde t2 je 31 a zároveň t1 nie je 30 alebo 31

a v tomto prípade sa započítava aj 31. deň

(= v tomto vymedzenom prípade je počet dní rovný počtu dní pri nemeckej metóde

zvýšenému o + 1 deň);

5. Štandard ACT/ACT – americký dlhopisový štandard.

V prípade jednoduchého úrokovania je prirodzeným pravidlom, že sa používajú štandardy,

u ktorých počet úrokovaných dní zodpovedá ich skutočnému počtu (ACT). Počet dní určíme

tak, že urobíme ich jednoduchý súčet, pričom prvý deň sa nezapočítava. V menovateli

zlomku, kde je určený počet dní zmluvného úrokového obdobia môže byť 360, resp. 365 dní.

Na peňažných trhoch, kde prevládajú krátkodobé produkty sa používajú štandardy ACT/360

v prípade USD, Eura a všetkých ostatných kontinentálnych menách, resp. štandard ACT/365

v prípade GBP a menách, ktoré sú s anglickou librou zviazané. Ak používame zložené

úrokovanie môžeme sa stretnúť častejšie so štandardmi, ktoré majú v menovateli 360 dní. Pri

depozitných produktov bánk a na kontinentálnych kapitálových trhoch aj v USA sa väčšinou

vyskytujú štandardy 30E/360 a 30A/360.4Na dlhopisovom (kapitálovom) trhu USA ako aj na

eurodolárovom trhu sa pre prácu s kupónmi niektorých skupín dlhopisov používa štandard

ACT/ACT.

Príklad 2:

Máme dva kapitály. Jeden vo výške 100 000 € je uložený pri 1,6 % ročnej úrokovej miere

a druhý vo výške 96 000 € pri 10 % ročnej úrokovej miere. Vypočítajte, o koľko dní budú

mať oba kapitály rovnaké budúce hodnoty. Použite štandard ACT/360.

Riešenie:

t = 180 dní.

Vidíme, že vo vzťahu (2) je ročný úrokový faktor (1+i). Nárast kapitálu za sledované časové

obdobie nie je dôsledkom nejakého perpeta mobila, ale je spôsobený postupným narastaním

úrokov. Pozrime sa, že tento faktor je zároveň multiplikátorom ročného narastania úrokov

v prípade zloženého úrokovania. Inak povedané, pri ročnom pripisovaní úrokov, tvoria úroky

v prípade zloženého úrokovania geometrickú postupnosť s kvocientom (1+i). .

2 Bližšie pozri napr BEZVODA, V.- BLAHUŠ, P.: 2007. Finanční matematika a statistika. 4. upravené

a rozšírené vydanie. Praha : Bankovní institut vysoká škola, a.s., 2007. s. 15 – 18. ISBN 978-80-7265-116-0. 3 ACT = actual (skutočný)

4 Pri štandarde 30E/360 sa odporúča nestanovovať ako začiatok alebo koniec produktu posledný februárový deň.

t t100 000 . 1+0,016. = 96 000 . 1+0,10.

360 360

5

0

1 0 1 0 0 0

2 1 2 1 1 1 0

23 2 3 2 2 2 0

11 1 1 1 0

. .(1 )

. .(1 ).

. .(1 ) .

...

. .(1 ) .nn n n n n n

K

K K u K K i K i

K K u K K i K K i i

K K u K K i K K i i

K K u K K i K K i i

Príklad 3:

Kapitál je uložený v banke na 10 rokov. Pomer súčtu úrokov za prvé dva a posledné dva roky

je 0,789. Vypočítajte percentuálnu ročnú úrokovú sadzbu p.

Riešenie:

0 08 9

0 0

(1 )0,789

(1 ) (1 )

K i K i i

K i i K i i

0

80

. . 1 (1 )0,789

. .(1 ) . 1 (1 )

K i i

K i i i

8

8

1 10,789 1 0,03.

0,789(1 )i

p = 3 % p.a.

Zložené úrokovanie s konverziami

V praxi sa môžeme často stretnúť so situáciou, že úroky sa pripisujú viackrát (m-krát)

do roka. Vtedy hovoríme o zloženom úrokovaní s konverziami.

Doplníme, resp. korigujeme doteraz používanú symboliku nasledovne:

i(m)

je nominálna úroková miera pre m konverzií,

m je počet konverzií do roka = koľkokrát do roka sa pripisujú úroky (napr. ak m = 2, potom

ide o polročné úrokovanie; ak m = 4, ide o štvrťročné úrokovanie atď.).

Vzťah pre výpočet budúcej hodnoty kapitálu potom môžeme intuitívne odvodiť nasledovným

spôsobom:

Prvé pripisovanie úrokov bude v časovom horizonte 1/m roka. Hodnota kapitálu v tomto bode

sa vypočíta ako: ( ) ( )

1/ 0 1/ 0 0 0. .(1 ).m m

m mi i

K K u K K Km m

(3)

1 2

9 10

u + u= 0,789

u + u

6

Vo vzťahu (3) vidíme, že úrokový faktor, ktorý pripadá na jednu úrokovú konverziu je

( )mi1+

m

. Za jeden rok je celkový počet m úrokových konverzií, t.j. ročný úrokový faktor,

ktorý pripadá na jeden rok s m úrokovými konverziami je ( )

mmi

1+m

. (4)

Za celé úrokové obdobie n sa ročný úrokový faktor (4) vyskytuje celkom n krát. Potom

( )

mnm

n 0i

K = K . 1+m

. (5)

Ľahko sa môžeme presvedčiť, že vzťah (2) je len špecifickým prípadom vzťahu (5), ak sa

úrokuje len raz do roka.

Príklad 4:

Istá osoba uložila na účet do banky 700 € pri 2 % ročnej úrokovej miere a štvrťročnom

úrokovaní. Po dvoch rokoch si vybral 300 €. Koľko mala táto osoba na účte po ďalších troch

rokoch ? Predpokladáme, že banka počas celého obdobia ponechala 2 %-nú ročnú úrokovú

mieru so štvrťročným úrokovaním. Abstrahujeme od zdaňovania úrokov a rôznych

bankových poplatkov.

Riešenie:

Riešenie príkladu rozdelíme na dve časti. Najprv vypočítame zostatok na účte po prvých

dvoch rokoch. Od tohto zostatku odpočítame vybraných 300 €. Zvyšok budeme považovať za

novú istinu, z ktorej vypočítame budúcu hodnotu po troch rokoch. V obidvoch prípadoch

použijeme vzťah (5).

4.2

20,02

K = 700 . 1+ = 728,494

.

Potom 20K = 728,49 - 300 = 428,49.a

4.3

30,02

K = 428,49 . 1+ = 454, 92.4

Úlohu sme mohli riešiť aj pomocou finančnej funkcie softvérového produktu MS Excel:

Zvolíme finančnú funkciu FV (v anglickej verzii), resp. BUDHODNOTA (v českej verzii).

Postupne (v prípade úrokovania) zadáme parametre nasledovným spôsobom:

Rate(Sadzba)) = m

i

m; Nper (Pper) = nm ; PMT(Splátka )= nezadáva sa (používa sa len pri

rentovom počte); PV(Souč_hod) = -K0 ; Type (Typ) = nezadáva sa (používa sa len pri

rentovom počte).

7

Ekvivalentná a efektívna úroková sadzba

Miesto vzťahu (5) sme pri riešení predchádzajúceho príkladu mohli použiť aj vzťah (2) avšak

s tzv. ekvivalentnou úrokovou sadzbou ie.

Ekvivalentná úroková sadzba ie je taká úroková sadzba, ktorá pre úrokové obdobie n prinesie

rovnakú budúcu hodnotu kapitálu ako nominálna úroková sadzba i(m)

.

Odvodenie ekvivalentnej úrokovej sadzby je triviálne. Z rovnosti budúcich hodnôt

vo vzťahoch (2) a (5) vyplýva:

( )n)

mnm

0 e 0i

K . (1+i = K . 1+m

(m

m)

ei

i = 1+ - 1.m

(6)

Príklad 5:

Pre zadanie príkladu 4 ukážte, že budúca hodnota kapitálu po prvých dvoch rokoch bude

pomocou ekvivalentnej úrokovej sadzby rovnaká ako pri použití vzťahu (5).

Riešenie:

Najprv vypočítame ekvivalentnú úrokovú sadzbu ie pomocou vzťahu (6):

(m

m)

ei

i = 1+ - 1m

40,02

= 1+ - 1 = 0,02015054

.

Potom 22K = 700.(1 + 0,0201505) = 728,49 , čo je identický výsledok ako

v predchádzajúcom príklade.

Ekvivalentná úroková sadzba (6) je zároveň aj efektívnou úrokovou sadzbou pre danú výšku

nominálnej úrokovej sadzby i(m)

.

Čím vyšší je ročný počet konverzií pri danej fixovanej nominálnej úrokovej sadzbe, tým väčší

„efekt“ vo forme výnosu to prinesie pre vkladateľa.

Inak povedané – efektívna úroková sadzba je úroková sadzba, pri ktorej sa úroky pripisujú len

raz do roka a pre úrokové obdobie n prinesie rovnakú budúcu hodnotu kapitálu ako nominálna

úroková sadzba i(m)

.

Príklad 6:

Nech pre dve rôzne banky A a B je i(m )

= 0,10 p.a.. Viete, že banka A pripisuje úroky vždy na

konci polroka a banka B ich pripisuje štvrťročne. Vypočítajte efektívnu úrokovú sadzbu

banky A a banky B.

Riešenie:

A

2

e0,10

i = 1+ - 1 = 0,10252

a B

4

e0,10

i = 1+ - 1 = 0,10384

.

Z výsledkov vyplýva, že banka A „efektívne“ úrokuje s ročnou úrokovou sadzbou 10,25 %,

kým banka B s ročnou úrokovou sadzbou 10,38 %.

8

Spojité úrokovanie

V roku 1975 platil v USA zákon obmedzujúci výšku úrokov pre vklady uložených

v sporiteľniach a úverových združeniach na obdobie šiestich až desiatich rokov na 7,75 % p.a.

S cieľom získať nových klientov sa postupne zvyšoval počet konverzií, až nakoniec prišla istá

spoločnosť s ponukou tzv. spojitého úrokovania. Pri tomto type úrokovania rastie počet

konverzií m do nekonečna a dĺžka úrokového obdobia klesá k nule5.

Nech (

mlim m)i = r

je tzv. úroková intenzita6.

Potom (

mlim

mnm)

n 0i

K = K . 1+ =m

(

mlim

mnm)

0i

K . 1+ =m

mlim

m r. . mn

r m

01

K . 1+ =m

r

.

.

rmn

rnm0 0K . e = K .e

V prípade tzv. spojitého úrokovania sa budúca hodnota kapitálu po n rokoch vypočíta podľa

vzťahu:

rnn 0K = K .e (7)

Príklad 7:

Aká je súčasná hodnota kapitálu, ktorý za tri roky vzrastie na 2 500 € pri 5,5 % spojitom

úrokovaní ?

Riešenie:

Kn = 2 500 ; r = 0,055.

Zo vzťahu (7) vyplýva -rn0 nK = K .e = 2 500 .

-0,055.3e = 2 119,73.

Uvedený príklad by sme mohli riešiť aj pomocou MS Excel. Ako úrokovú sadzbu môžeme

potom použiť ekvivalentnú úrokovú sadzbu, ktorú získame z rovnosti:

n) rn0 e 0K .(1+i =K .e r

ei = e - 1 (8)

V našom príklade: 0,055

ei = e -1 = 0,05654 .

Potom môžeme použiť finančnú funkciu

PV(exp(0,055)-1;3;-;-2500;-) = 2 119,73.

5 STEIGAUF, S.1999. Investiční matematika. Praha : Grada, 1999. s. 52. ISBN 80-7169-429-0.

6 Niekedy sa zvykne tiež používať na označenie úrokovej intenzity (úrokovej sadzby spojitého úrokovania)

symbol (pozri napr. Huťka, Peller; 2010).

9

Výpočet prítomnej hodnoty kapitálu K0 v závislosti od budúcej hodnoty Kn sa nazýva

diskontovanie.

Diskontovanie

Matematický diskont Obchodný (bankový) diskont

d = (ročná) diskontná sadzba

s určením zodpovedajúcej periódy

Jednoduché diskontovanie: Jednoduché diskontovanie:

n 0K = K .(1 + in)

(

n0

KK =

1 + in) (9)

JDB nD = K d n (10)

nM n 0 n

KD =K - K = K -

1 + in

JD0 n BK = K - D =

= JD

n n n nM

K + K i n - K K i n= D

1 + i n 1 + i n (11) n n=K - K dn =

= n 0 K .(1 - dn)= K (12)

Zložené diskontovanie: Zložené diskontovanie:

nn 0K = K .(1+i) n-1 n n nK = K - K .d.1 = K .(1-d)

(1 i)

n0 n

KK =

(13) n-2 n-1 n-1K = K - K .d=

2n-1 n= K .(1-d) = K .(1-d)

(1 i)

nM n 0 n n

KD =K - K = K -

3

n-3 nK = K .(1-d)

. . . . .

= ZD

-nn MK . 1 - (1+i) = D

(14) n0 nK = K .(1-d) (15)

ZD

nB n 0 n nD = K - K = K - K .(1-d) =

ZD

nn B= K . 1-(1-d) = D

(16)

10

Príklad 8 (príklad prevzatý od M. Kadlečkovej):

Finančná spoločnosť poskytuje na úvery 12 % ročnú diskontnú mieru. Občan si zobral

pôžičku 10 000 p.j. splatnú o 8 mesiacov. Akú sumu dostal občan od finančnej spoločnosti, ak

si spoločnosť účtuje ešte výdavky 0,5 % z celkovej sumy ?

Riešenie:

d = 0,12 p.a., n = 8, Kn = 10 000

Dosadíme do vzťahu (12):

0 n8

K = K .(1 - dn)= 10 000 . (1 - 0,12. ) = 9 20012

- paušálny poplatok na výdavky: 10 000 . 0,005 = 50

________________________________________________

Výsledná celková suma: 9 150 p.j.

Príklad 9:

Vypočítajte matematický a obchodný diskont zo sumy 10 000 p.j. pri rovnakej diskontnej

a úrokovej sadzbe 0,05 za dobu 4 rokov.

Riešenie:

Kn = 10 000 ; d = i = 0,05 ; n = 4

Postupne dosadíme do vzťahov (14), resp. (15):

ZD

-nM nD = K . 1 - (1+i) =

10 000 . (1 – 1,05

-4) = 1772,98

ZD

nB nD = K . 1-(1-d) =

10 000 . (1 – 0,95

4) = 1854,94.

Dá sa ukázať, že platí: Ak i = d, potom M BJD JDD D .

O platnosti tohto tvrdenia sa môžeme ľahko presvedčiť:

Nech i = d, potom BJD

M nJD

DinD = K . =

1 + in 1 + in.

Keďže výraz 1 + in v menovateli je vždy > 1, tak je zrejmé, že vždy platí M BJD JDD D .

V praxi však neplatí, že vo všeobecnosti i = d. Môžeme ale zaviesť pojem ekvivalencie medzi

úrokovou sadzbou i a diskontnou sadzbou d.

Ekvivalentné úrokové a diskontné sadzby

Hovoríme, že úroková sadzba i a diskontná sadzba d sú ekvivalentné, ak pre ľubovoľné

úrokové obdobie n dajú rovnaké prítomné, resp. budúce hodnoty.

11

Pre prípad jednoduchého diskontovania:

(

nn

K K .(1 - dn)

1 + in)

1+i n-1 1d n= / .

1 + i n n resp.

1 = 1 + i n

1 - d n

1 - 1 + d n 1

= i n /.1-d n n

e

id =

1 + i n (17) e

di =

1 - d n (18)

Pre prípad zloženého diskontovania:

n n

n nK .(1 i) K .(1 d)

1 = 1 - d

1 + i resp.

1 = 1 + i

1 - d

e

id =

1 + i (19) e

di =

1 - d (20)

Čitateľovi odporúčame, aby podobným postupom odvodil ekvivalentné úrokové a diskontné

sadzby pre všeobecnejší prípad (m )1i a

(m )2d , kde (m )1i , resp.

(m )2d sú nominálna úroková,

resp. diskontná sadzba pre konverzie m1, resp. m2.

Zohľadňovanie zdaňovania úrokov:

Dá sa ukázať, že ak chceme zohľadňovať zdaňovanie úrokov, potom „stačí“ v príslušnom

vzorci finančnej matematiky použiť miesto nominálnej úrokovej sadzby i(m)

„očistenú

zdanenú“ úrokovú sadzbu * ( ).(1 )mi i daňová sadzba . (21)

Fisherova rovnica:

Fisherova rovnica sa využíva pri stanovení reálnej úrokovej sadzby ireal , ktorá zohľadňuje

medziročnú infláciu. Ak ii je medziročná inflácia, vyjadrená v tvare desatinného čísla, potom

reálnu hodnotu kapitálu po jednom roku môžeme vyjadriť dvoma rôznymi spôsobmi. Buď

pomocou reálnej úrokovej sadzby ireal ako 1 0.(1 )real realK K i , (22)

alebo ako deflačný prepočet nominálnej hodnoty kapitálu po jednom roku

1 01

.(1 ).1

reali

K K ii

. (23)

12

Z (22) a (23) vyplýva

0 01

.(1 ) .(1 ).1

. (24)1

reali

ireal

i

K i K ii

i ii

i

Ak by sme chceli zohľadniť aj zdaňovanie úrokov, potom

*

* .1

ireal

i

i ii

i

(25)

V praxi môžeme často pri odhade reálnej ročnej úrokovej sadzby „zanedbať“ menovatele

vzťahov (24), resp. (25) a reálnu ročnú úrokovú sadzbu stanoviť ako * *, . .real i real ii i i resp i i i

Výpočet celkovej priemernej úrokovej sadzby:

Celková priemerná úroková sadzba sa z m individuálnych úrokových sadzieb vypočíta ako

vážený aritmetický priemer individuálnych úrokových sadzieb podľa vzťahu:

m

j j j_

j 1

m

j jj 1

i K t

i

K t

. (26)

Zmiešané úrokovanie:

Ak potrebujeme vypočítať budúcu hodnotu kapitálu, ktorý sme vložili počas roku, pričom

do konca bežného roka zostáva t1 dní, kapitál sme mali na účte následne celých N rokov

a vybrali sme ho v ďalšom nasledujúcom roku po t2 dňoch, potom môžeme (pri štandarde

ACT/365) použiť:

1) presný výpočet: N1 2n 0

t tK K (1 i ) (1 i) (1 i )

365 365 , (27)

2) približný výpočet:

1 2t N 365 t

365n 0K K (1 i)

. (28)

Prehľady úrokových sadzieb komerčných bánk v SR, publikovaných a pravidelne

aktualizovaných nájdete napríklad na stránke http://totalmoney.etrend.sk/ . Z uvedenej

databázy vyberáme nasledovný prehľad.

13

Úroky z termínovaných vkladov v eurách Pravidelne aktualizovaný prehľad úrokových sadzieb - termínované vklady 03.07.2012 / eTREND Úrokové sadzby a úrokové výnosy pre vklad 5000 € 1

mesiac 3

mesiace 6

mesiacov 12

mesiacov 24

mesiacov 36

mesiacov

Termínovaný vklad

0,10 % 0,34 €

0,15 % 1,52 €

1,00 % 20,25 €

2,00 % 81,00 €

2,50 % 202,50 €

3,00 % 364,50 €

Termínovaný vklad s

viazanosťou

0,50 % 1,69 €

1,00 % 10,12 €

1,50 % 30,38 €

3,00 % 121,50 €

3,50 % 283,50 €

3,70 % 449,55 €

mVKLAD

- 2,30 % 23,29 €

2,60 % 52,65 €

3,10 % 125,55 €

- -

Termínovaný vklad

0,15 % 0,51 €

0,30 % 3,04 €

2,50 % 50,84 €

3,00 % 122,86 €

3,30 % 274,26 €

3,50 % 443,31 €

Termínovaný vklad

0,40 % 1,35 €

1,25 % 12,66 €

1,45 % 29,36 €

2,70 % 109,35 €

3,30 % 267,30 €

3,80 % 461,70 €

FIX Konto

0,50 % 1,69 €

0,70 % 7,09 €

1,10 % 22,28 €

2,70 % 109,35 €

3,40 % 275,40 €

3,50 % 425,25 €

Termínovaný vklad

0,10 % 0,34 €

1,00 % 10,12 €

1,30 % 26,33 €

1,80 % 72,90 €

2,20 % 178,20 €

2,50 % 303,75 €

Termínovaný vklad

štandardný

0,20 % 0,68 €

0,60 % 6,08 €

1,00 % 20,25 €

1,50 % 60,75 €

1,70 % 137,70 €

2,20 % 267,30 €

Termínovaný vklad

0,30 % 1,01 €

1,00 % 10,12 €

2,00 % 40,50 €

2,40 % 97,20 €

3,10 % 251,10 €

3,40 % 413,10 €

Termínovaný vklad

0,50 % 1,69 €

0,80 % 8,10 €

1,30 % 26,33 €

2,20 % 89,10 €

2,40 % 194,40 €

3,00 % 364,50 €

Termínovaný vklad v EUR

0,10 % 0,34 €

1,20 % 12,16 €

2,00 % 40,64 €

3,00 % 122,86 €

3,00 % 248,74 €

3,10 % 390,78 €

VKLAD (k ÚČTU v ZUNO)

0,80 % 2,70 €

1,00 % 10,12 €

1,80 % 36,45 €

2,60 % 105,30 €

2,80 % 226,80 €

3,00 % 364,50 €

(Dostupné 10.7.2012 na http://financie.etrend.sk/osobne-financie/uroky-z-terminovanych-vkladov-v-

eurach.html).

14

Úročenie termínovaných vkladov

Banka/Viazanosť

v mesiacoch 1 3 6 12 24 36

ČSOB 0,1 0,15 1,0 2,0 2,5 (2,9) 3,0 (3,2)

Fio 1,1 1,25 1,35 1,45 1,55 1,85

mBank - 2,3 2,6 3,1 - -

OTP Banka 0,15 0,3 2,5 (2,6) 3,15 (3,35) 3,5 (3,75) 3,5

Poštová banka 0,4 (0,7) 1,25 1,45 2,7 3,7 (4,0) 3,9 (4,2)

Prima banka 0,5 1,0 1,5 3,0 3,5 3,7

Privatbanka 0,5 0,7 1,1 2,3 3,6 3,7

Slovenská

sporiteľňa 0,1 (0,2) 1,0 (1,4) 1,3 (1,7) 1,8 (2,2) 2,2 (2,3) 2,5 (3,0)

Tatra banka 0,2 (0,3) 0,8 (1,3) 1,0 (1,5) 1,5(2,0) 1,7 (2,5) 2,2 (3,0)

UniCredit 0,3 1,0 2,3 (2,5) 2,8 (3,0) 3,5 (3,7) 3,5 (3,75)

Volksbank 0,5 0,8 1,3 2,2 2,4 3,0

VÚB 0,1 1,2 (1,3) 1,4 (1,7) 2,5 (2,2) 3,0 3,1(3,35)

Zuno 0,8 (1,0) 1,0 (1,8) 1,8 (2,5) 2,6 (3,4) 2,8 (3,2) 3,0 (3,5)

Pozn.: prvý údaj k 5. júnu, údaj v zátvorke k 10. aprílu 2012

PRAMEŇ: TotaMoney.sk

(Dostupné 10.7.2012 na http://financie.etrend.sk/osobne-financie/sadzby-na-vkladoch-

klesaju.html ).

15

Úroky z hypotekárnych úverov Pravidelne aktualizovaný prehľad úrokových sadzieb - hypotéky 03.07.2012 / eTREND Suma: 60 000 € na 25 rokov, fixácia: 5 rokov

Úrok od (do)

Fixácia Poplatok za poskytnutie

Mesačná splátka

Preplatenie Max. LTV

Praktická hypotéka

účelová

4,33 % (4,47) %

5 rokov 450,00 € 330,74 € 39 670,93 € 100 %

Úver na

prefinancovanie bývania

4,35 % (5,35) %

5 rokov 210,00 € 331,41 € 39 633,51 € 75 %

Hypotéka

4,55 % 5 rokov 420,00 € 338,19 € 41 878,37 € 100 %

HYPOÚVER INVEST

4,59 % (5,39) %

5 rokov 540,00 € 340,07 € 42 561,58 € 80 %

VARIO hypotéka

4,59 % 5 rokov 450,00 € 340,07 € 42 471,58 € 70 %

HypoPlus+

4,60 % (7,70) %

5 rokov 1 500,00 € 336,91 € 42 574,27 € 80 %

Hypotekárny úver

4,70 % (7,30) %

5 rokov 490,00 € 344,34 € 43 791,15 € 70 %

OTPhypo úver

4,79 % 5 rokov 450,00 € 346,85 € 44 505,68 € 90 %

Flexihypotéka

4,79 % (7,09) %

5 rokov 480,00 € 346,75 € 44 505,68 € 100 %

16

Spotrebný úver

Variant

4,80 % (7,70) %

5 rokov 490,00 € 347,79 € 44 826,45 € 100 %

mHYPOTÉKA

4,89 % (5,08) %

5 rokov 0 € 346,92 € 44 075,84 € 80 %

HypotékaTB

4,95 % (7,95) %

5 rokov 480,00 € 352,51 € 46 232,51 € 100 %

Úver na bývanie

5,39 % 5 rokov 599,00 € 368,01 € 51 002,43 € 100 %

Aktualizácia údajov: 02. 07. 2012 - Zdroj: banky

Vysvetlivky: Úrokové sadzby sú v ročnom vyjadrení.

Mesačná splátka je počítaná ako anuitná splátka.

(Dostupné 10.7.2012 na http://financie.etrend.sk/osobne-financie/uroky-z-hypotekarnych-

uverov.html ).

Úrokové sadzby ECB

Sadzba hlavné refinančné operácie (obchody) sa považuje za základnú úrokovú sadzbu

ECB podľa § 17 ods 1 Zákona o zavedení meny euro v Slovenskej republike

(Zákon č. 659/2007 Z. z. a ďalších všeobecne záväzných právnych predpisov SR).

Platné od

Jednodňové

refinančné

operácie

Hlavné

refinančné

operácie

Jednodňové

sterilizačné

operácie

11.7.2012 1,50 % 0,75 % 0,00 %

14.12.2011 1,75 % 1,00 % 0,25 %

9.11.2011 2,00 % 1,25 % 0,50 %

13.7.2011 2,25 % 1,50 % 0,75 %

13.4.2011 2,00 % 1,25 % 0,50 %

13.5.2009 1,75 % 1,00 % 0,25 %

8.4.2009 2,25 % 1,25 % 0,25 %

11.3.2009 2,50 % 1,50 % 0,50 %

21.1.2009 3,00 % 2,00 % 1,00 %

1.1.2009 3,00 % 2,50 % 2,00 %

(Dostupné 10.07.2012 na http://www.nbs.sk/sk/statisticke-udaje/udajove-kategorie-

sdds/urokove-sadzby/urokove-sadzby-ecb ).

17

Makroekonomické predikcie vybraných bánk

a. Predikcie na dané obdobie predstavujú priemer a rozpätie odhadov jednotlivých

ukazovateľov od analytikov 7 vybraných bánk v SR (Slovenská sporiteľňa, Všeobecná

úverová banka, Tatra banka, UniCredit Bank Slovakia, ING Bank, Československá

obchodní banka, a Poštová banka).

b. Údaje budú aktualizované mesačne, do 25 dní po skončení referenčného mesiaca.

Makroekonomické predikcie vybraných bánk sú pre čitateľa dostupné na

http://www.nbs.sk/_img/Documents/_Statistika/VybrMakroUkaz/MakroPredVybrBank/MPV

B_t-2012.pdf (dostupné 10.07.2012).

Príklady k úrokovému počtu7:

Úloha 1:

Investovali ste dva kapitály. Prvý z nich, vo výške 5 100 € ste vložili na termínovaný vklad,

ktorý je úrokovaný ročnou úrokovou mierou 3 % a druhý, vo výške 4 850 € ste investovali

do produktu, ktorý sa úrokuje pri 18 % ročnej úrokovej miere. Vypočítajte, o koľko dní budú

mať oba investované kapitály rovnakú budúcu hodnotu. Použite jednoduché úrokovanie

a štandard ACT/360. Abstrahujeme od prípadného zdaňovania úrokov a rôznych bankových

poplatkov. (125 dní)

Úloha 2:

Istej osobe ste požičali 10 000 € pri p % ročnej úrokovej miere na tri mesiace. Po ich uplynutí

Vám ich uvedená osoba vrátila aj s úrokom a Vy ste všetko vložili hneď na účet, ktorý máte

úrokovaný pri (p – 5) % ročnej úrokovej miere. Na tomto účte ste mali po uplynutí ďalších

4 mesiacoch 10 480,50 €. Vypočítajte úrokovú mieru p. Použite jednoduché úrokovanie

a abstrahujte od prípadného zdaňovania úrokov a rôznych bankových poplatkov.

(p = 11 %)

Úloha 3:

Občan si uložil do banky pri polročnom úrokovaní a 2,50 % ročnej nominálnej úrokovej

miere čiastku 3 000 €. Po troch rokoch si z tohto konta vybral sumu 1 000 €. Koľko mal

na účte po uplynutí ďalších dvoch rokov, ak v uvedenom období banka zvýšila nominálnu

úrokovú mieru na 3 % p.a. a pripisovala úroky na konci každého štvrťroka ? Použite zložené

úrokovanie a abstrahujte od prípadného zdaňovania úrokov a rôznych bankových poplatkov.

(2 369,65 €)

Úloha 4: Aká je súčasná hodnota kapitálu, ktorý za dva roky vzrastie na 2 590 € pri 3,5 % ročnej

nominálnej úrokovej miere a spojitom úrokovaní ? Abstrahujeme od zdaňovania úrokov

a rôznych bankových poplatkov. (2 414,90 €)

Úloha 5:

Na účet v banke, ktorý je úrokovaný pri 4 %-ročnej spojitej intenzite úrokovania ste vložili

kapitál vo výške 7 500 €. Určte budúcu hodnotu tohto kapitálu po uplynutí 28 mesiacov.

Abstrahujeme od zdaňovania úrokov a rôznych bankových poplatkov. (8 233,71 €)

7 Všetky úroky sú pripisované na konci úrokového obdobia.

18

Úloha 6: Na akú sumu vzrastie kapitál 15 000 € pri 2 % ročnej úrokovej miere v období od 20.2.2009

do 15.7.2014. Použite štandard ACT/365. Abstrahujte od zdaňovania úrokov a rôznych

bankových poplatkov.

(16 693,21 €; resp. cca 16 692,01 € pri štandarde ACT/365, resp. cca 16 692,92 € pri

štandarde ACT/ACT)

Úloha 7:

20. novembra 2011 ste vložili na účet do banky sumu 700 €. Ak banka úrokuje Váš vklad

nominálnou úrokovou mierou 2,5 % p.a., akú sumu budete mať na účte 12. februára 2015. Pri

výpočte zohľadnite zdaňovanie úrokov 19 %-nou daňovou sadzbou počas celého obdobia

vkladu a abstrahujte od rôznych bankových poplatkov. Použite štandard ACT/365.

(746,86 €; resp. cca 746,83 € pri štandarde ACT/365, resp. cca 746,87 € pri štandarde

ACT/ACT)

Úloha 8:

Kapitál K0 je vložený do banky pri ročnej úrokovej sadzbe i na dobu n rokov. Výška úroku

za druhý rok bude 157,50 €, za tretí rok 165,375 € a celkový úrok za n rokov 1 020,287 €

Vypočítajte i, K0 a n. Použite zložené úrokovanie a abstrahujte od prípadného zdaňovania

úrokov a rôznych bankových poplatkov. (i = 0,05; K0 = 3 000 €; n = 6)

Úloha 9:

Podnikateľ má dlžobu s nominálnou hodnotou 5 000 €, ktorá je v tejto hodnote splatná

od dnes presne o 1 rok. Po uplynutí ôsmych mesiacov ju chce predčasne splatiť. Koľko

zaplatí, ak bola pri tejto pôžičke aplikovaná 9,70 % ročná úroková miera ? Použite

jednoduché úrokovanie, resp. diskontovanie a abstrahujte od prípadných akýchkoľvek

poplatkov, príp. sankcie za predčasné splatenie. (4 852,63 €)

Úloha 10:

Podnikateľ si pri 15 % ročnej úrokovej sadzbe požičal kapitál, ktorý v lehote splatnosti

o 1 rok bude mať hodnotu 71 300 €. Vďaka úspešným obchodom vrátil pôžičku už

po 10 mesiacoch. Koľko zaplatil, ak si veriteľ účtoval penále 0,5 % zo sumy, ktorá

bola vyplatená v čase poskytnutia pôžičky za každý mesiac, o ktorý bol dlh predčasne

splatený? Abstrahujte od prípadných iných poplatkov. Použite jednoduché úrokovanie,

resp. diskontovanie. (70 370 €)

Úloha 11:

Vložili ste kapitál vo výške K0 do banky na obdobie 7 rokov. Ak viete, že pomer súčtu

úrokov za prvé dva a posledné dva roky bol 0,73, potom vypočítajte ročnú úrokovú mieru,

ktorou bol daný kapitál počas celého obdobia úrokovaný. Abstrahujeme od prípadného

zdaňovania úrokov a rôznych bankových poplatkov. Použite zložené úrokovanie. (i = 0,065)

Úloha 12:

Podnikateľ má z minulosti tri dlžoby s nasledovnými nominálnymi hodnotami:

1. dlžoba je vo výške 10 000 € a je splatná v tejto výške od dnes presne o 1 rok;

2. dlžoba je vo výške 15 000 € a je splatná v tejto výške od dnes presne o 3 roky;

3. dlžoba je vo výške 27 000 € a je splatná v tejto výške od dnes presne o 6 rokov.

Podnikateľ chce všetky dlžoby vyrovnať jedinou splátkou pri 9,75 % ročnej úrokovej miere

od dnes presne o štyri roky. Vypočítajte koľko zaplatí. Abstrahujeme od zdaňovania úrokov

a prípadných rôznych bankových poplatkov. (52 097,78 €)

19

Úloha 13:

Osoba A vystavila 30.8.2011 osobe B zmenku, ktorá v tento deň mala hodnotu 2 500 USD

s ročnou úrokovou sadzbou 10 % p.a. Dátum splatnosti zmenky bol 16.12.2011. Dňa 6.9.2011

osoba B eskontovala zmenku na banku, ktorá účtuje ročnú diskontnú sadzbu 9,85 %. Akú

čiastku osoba B dostala od banky ? Nepredpokladáme žiadne ďalšie poplatky a ani prípadné

zdaňovanie úrokov. Použite jednoduché úrokovanie, resp. diskontovanie a štandard ACT/360.

(2 503,84 €)

Úloha 14:

Spoločnosť predáva dve zmenky pri 9,5 % ročnej úrokovej miere. Zmenka A s nominálnou

hodnotou 3 500 € je splatná od dnes o tri mesiace a zmenka B s nominálnou hodnotou 5 100 €

je splatná od dnes o osem mesiacov. Vypočítajte, aký celkový diskont si „zrazí“ bankár

a koľko za obe zmenky zaplatí. Abstrahujeme od rôznych bankových poplatkov. Použite

štandard ACT/360. (384,96 €; 8 215,04 €)

Úloha 15:

Spoločnosť predáva dve zmenky pri 9,5 % ročnej diskontnej miere. Zmenka A s nominálnou

hodnotou 3 500 € je splatná od dnes o tri mesiace a zmenka B s nominálnou hodnotou 5 100 €

je splatná od dnes o osem mesiacov. Vypočítajte, aký celkový diskont si „zrazí“ bankár

a koľko za obe zmenky zaplatí. Abstrahujeme od rôznych bankových poplatkov. Použite

štandard ACT/360. (406,12 €; 8 193,88 €)

Úloha 16:

Spoločnosť predáva dve zmenky pri 9,5 % ročnej úrokovej miere. Zmenka A s nominálnou

hodnotou 3 500 € je splatná od dnes o tri roky a zmenka B s nominálnou hodnotou 5 100 € je

splatná od dnes o osem rokov. Vypočítajte, aký celkový diskont si „zrazí“ bankár a koľko za

obe zmenky zaplatí. Abstrahujeme od rôznych bankových poplatkov. Použite štandard

ACT/360. (3 466,71 €; 5 133,29 €)

Úloha 17:

Spoločnosť predáva dve zmenky pri 9,5 % ročnej diskontnej miere. Zmenka A s nominálnou

hodnotou 3 500 € je splatná od dnes o tri roky a zmenka B s nominálnou hodnotou 5 100 € je

splatná od dnes o osem rokov. Vypočítajte, aký celkový diskont si „zrazí“ bankár a koľko za

obe zmenky zaplatí. Abstrahujeme od rôznych bankových poplatkov. Použite štandard

ACT/360. (3 710,87 €; 4 889,13 €)

Úloha 18:

a) Nájdite ekvivalentnú diskontnú sadzbu k úrokovej sadzbe uvedenej v úlohe 14

aplikovateľnú pre každú zmenku osobitne. (dA = 0,092796; dB = 0,0891342)

b) Nájdite ekvivalentnú úrokovú sadzbu k diskontnej sadzbe uvedenej v úlohe 15

aplikovateľnú pre každú zmenku osobitne. (iA = 0,097311; iB = 0,101423)

c) Nájdite ekvivalentnú diskontnú sadzbu k úrokovej sadzbe uvedenej v úlohe 16

aplikovateľnú pre každú zmenku osobitne. (dA = dB = 0,086757991)

d) Nájdite ekvivalentnú úrokovú sadzbu k diskontnej sadzbe uvedenej v úlohe 17

aplikovateľnú pre každú zmenku osobitne. (iA = iB = 0,104972)

Úloha 19:

Podnikateľ si požičal dňa 16.9.2011 čiastku 3 000 € pri 9,5 % ročnej úrokovej miere a dňa

24.10.2011 si požičal 5 700 €. Obe pôžičky boli splatné dňa 28.12.2011. Vypočítajte ročnú

úrokovú mieru, ktorou bola úrokovaná druhá pôžička, ak viete, že celková priemerná ročná

úroková miera za obe pôžičky bola 10,6 %. Použite štandard ACT/365. (11,52 %)

20

Úloha 20:

Vypočítajte výšku matematického a obchodného diskontu zo sumy 3 000 € pri identickej

diskontnej a úrokovej sadzbe vo výške 0,08 za obdobie 3 rokov. Abstrahujeme od rôznych

bankových poplatkov. (DM = 618,50 €; DB = 618,50 €)

Úloha 21:

Bankár kúpil 3. 8. zmenku v nominálnej hodnote 21 780 € pri 12 % ročnej diskontnej miere.

Keby sa pri obchodovaní bol použil miesto obchodného diskontu matematický diskont, potom

by bola zrážka o 1,50 € menšia. Vypočítajte dátum splatnosti zmenky, ak viete, že pri jej

obchodovaní sa používal štandard ACT/360 a v zadaní úlohy sa predpokladala rovnosť

úrokovej a diskontnej sadzby. Použite jednoduché diskontovanie. Abstrahujeme od rôznych

bankových poplatkov. (25 dní, t.j. 28.8.)

Úloha 22:

Dňa 26.3.2012 kúpil bankár dve zmenky pri rovnakej ročnej diskontnej sadzbe a za každú

z nich vyplatil rovnakú čiastku. Zmenka A mala nominálnu hodnotu 5 700 € a bola splatná

25.5.2012, zmenka B mala nominálnu hodnotu 5 772 € a bola splatná 6.7.2012. Vypočítajte

veľkosť diskontnej sadzby. Použite štandard ACT/360. Abstrahujeme od rôznych bankových

poplatkov. (0,105)

Úloha 23:

Zmenka splatná od dnes presne o tri roky v nominálnej hodnote 5 600 € je nahradená

zmenkou splatnou od dnes presne o päť rokov. Ročná diskontná sadzba je 0,1125. Vypočítajte

nominálnu hodnotu novej zmenky. Abstrahujeme od rôznych bankových poplatkov.

(7 109,70 €)

Úloha 24:

Banka ponúka ročný termínovaný vklad úrokovaný sadzbou 2,2 % p.a. Daň z úrokov je

19 % a očakávaná inflácia je 3 %. Aká je reálna úroková miera na tento vklad ?

(ir = – 0,78 %, ir* = – 1,18 %)

Úloha 25:

Istý podnik dostal v roku 2011 tri rôzne úvery:

1. úver získal 5.2.2011 vo výške 1500 € pri nominálnej úrokovej sadzbe 6 % p.a., splatný

27.11.2011;

2. úver získal 3.5.2011 vo výške 1300 € pri nominálnej úrokovej sadzbe 7 % p.a., splatný

28.12.2011 a

3. úver získal 26.6.2011 vo výške 3000 € pri nominálnej úrokovej sadzbe 13 % p.a., splatný

2.10.2011.

Vypočítajte celkovú priemernú nominálnu úrokovú sadzbu za všetky tri úvery. Použite

štandard ACT/365. (8,262 % p.a.)

Úloha 26:

12.10.2011 ste vložili na účet do banky sumu 300 €. Ak banka úrokuje Váš vklad nominálnou

úrokovou mierou 3 % p.a., akú sumu budete mať na účte 16. septembra 2013 Pri výpočte

zohľadnite aj zdaňovanie úrokov 19 %-nou daňovou sadzbou, o ktorej predpokladáme, že sa

počas celého obdobia nezmení. Abstrahujte od rôznych bankových poplatkov. Použite

štandard ACT/365. (314,25 €, resp. približne 314,24 €)

21

Úloha 27:

Banka ponúka ročný termínovaný vklad úrokovaný sadzbou 2,8 % p.a. Daň z úrokov je

19 % a očakávaná inflácia je 3,2 %. Aká je reálna úroková miera na tento vklad ?

(ir = - 0,0039 , resp. ir* = - 0,0091)

Úloha 28:

Vypočítajte priemernú úrokovú sadzbu daných troch pôžičiek splatných k 31.12.2012,

pričom prvá pôžička bola uzavretá 17.10.2012 vo výške 1 000,- € pri 15 %-nej ročnej

úrokovej sadzbe, druhá 2.11.2012 vo výške 1 200,- € pri 14 %-nej ročnej úrokovej sadzbe

a tretia bola uzavretá 21.11.2012 vo výške 850,- € pri 19 %-nej ročnej úrokovej sadzbe.

Použite štandard ACT/365. ( 0,1536i )

Úloha 29:

Pre 10 % efektívnu úrokovú mieru nájdite ekvivalentnú nominálnu úrokovú mieru pri

polročnom, mesačnom a dennom úrokovaní (pri dennom úrokovaní použite štandard

ACT/365). (0,0976; 0,0957; 0,0953)

Úloha 30:

Občan si uložil do banky pri štvrťročnom úrokovaní a 6 % ročnej nominálnej úrokovej miere

1 000 €. Po dvoch rokoch si z konta vybral 400 €.

Koľko mal na konte po ďalších troch rokoch, ak sa úroková miera nezmenila ? Abstrahujeme

od zdaňovania úrokov a rôznych bankových poplatkov. (868,61 €)

Úloha 31:

Koľko musí byť ročná úroková sadzba pri spojitom úrokovaní, aby bola rovnako výhodná pre

vkladateľa ako ročná úroková sadzba 4 % p.a. so štvrťročnou frekvenciou pripisovania

úrokov ? (0,0398)

Úloha 32:

Na bankový účet s ročnou úrokovou sadzbou i(m)

a polročným pripisovaním úrokov ste vložili

čiastku 3 500 eur. Po štyroch rokoch bolo na účte 3 865,70 eur. Určte úrokovú sadzbu i(m)

,

ktorou bol vklad úrokovaný a zodpovedajúcu efektívnu úrokovú mieru ie.

(i(m)

= 0,025; ie = 0,02516)

Úloha 33:

Občan si uložil do banky 1 700 € pri 2,5 %-nej ročnej úrokovej miere a polročnom úrokovaní.

Po dvoch rokoch vložil na ten istý účet 1 300 eur. Koľko mal na účte po ďalších troch rokoch

za predpokladu, že sa počas celého obdobia úroková sadzba nezmenila a zohľadňujeme aj

zdaňovanie úrokov 19 %-nou daňovou sadzbou, ktorá platila počas celých piatich rokov.

Abstrahujeme od rôznych bankových poplatkov. (3261,18 €)

Úloha 34:

Občan si uložil do banky 700 € a po troch rokoch vložil ďalších 500 €. Ak viete, že po

ďalších troch rokoch mal občan na svojom konte 1 414,09 eur, vypočítajte, akú ročnú

úrokovú mieru mu poskytla banka pri: a) ročnom; b) mesačnom úrokovaní. Abstrahujeme od

zdaňovania úrokov a rôznych bankových poplatkov. (0,0349; 0,0343)

Úloha 35:

Občan si uložil do banky 700 € a po dvoch rokoch vložil ďalších 500 €. Ak viete, že po

ďalších troch rokoch mal občan na svojom konte 1 414,09 eur, vypočítajte, akú ročnú

úrokovú mieru mu poskytla banka pri: a) ročnom; b) mesačnom úrokovaní. Abstrahujeme od

zdaňovania úrokov a rôznych bankových poplatkov. (0,04; 0,0393)

22

Úloha 36:

Občan si chce dnes (12.10.2011) vložiť do OTP Banky 1 000 eur na ročný termínovaný

vklad. Určte reálnu úrokovú sadzbu na tento vklad, ak zohľadníte aj zdaňovanie úrokov.

(Pre i = 0,022 a ii = 0,031 sa ir* = - 0,01278)

Úloha 37:

Vypočítajte priemernú úrokovú sadzbu daných dvoch pôžičiek splatných k 31.12.2011,

pričom prvá pôžička bola uzavretá 17.09.2011 vo výške 2 000,- € pri 10 %-nej ročnej

úrokovej sadzbe a druhá 12.11.2011 vo výške 1 000,- € pri 13 %-nej ročnej úrokovej sadzbe.

Použite štandard ACT/365. ( 0,1057i )

Úloha 38:

Koľko musí byť ročná úroková sadzba pri spojitom úrokovaní, aby bola rovnako výhodná pre

vkladateľa ako ročná úroková sadzba 5,7 % s polročnou frekvenciou pripisovania úrokov ?

(r = 0,0562, t.j. 5,62 %)

Úloha 39:

Chcete si vziať úver na 7 mesiacov. Čo je pre Vás (za predpokladu inak identických

podmienok) výhodnejšie ?

1. možnosť: Úver poskytnutý pri 12 % ročnej úrokovej sadzbe,

2. možnosť: Úver poskytnutý pri 11,25 % ročnej diskontnej sadzbe ?

(Výhodnejšia je prvá možnosť, ekvivalentné d = 11,215 %)

Úloha 40:

Rozhodnite, ktorá alternatíva je pre vloženie kapitálu na účet na obdobie 5 rokov pri ročnom

pripisovaní úrokov najvýhodnejšia (za inak identických podmienok):

a) fixná úroková sadzba 4,5 % p.a.; (1,196029.K0)

b) variabilná úroková sadzba, ktorá je v prvom roku vo výške 4 %, a potom každoročne

stúpa o 0,25 percentuálneho bodu; (1,196006.K0)

c) fixná úroková sadzba vo výške 4 % p.a. s vyplatením bonusu vo výške 1 %

z usporenej sumu na konci piateho roku sporenia. (1,196593.K0)

Úroky aj bonus sú vo všetkých troch prípadoch zdanené 19 % daňovou sadzbou.

Abstrahujeme od prípadných bankových poplatkov. (Možnosť c) je najvýhodnejšia)

Úloha 41:

Istý podnikateľ eskontoval dňa 20. júla 2012 na banku zmenku, ktorá bola vystavená

na čiastku 25 000 € so splatnosťou 18. septembra 2012. Vypočítajte, akú čiastku mu banka

v deň eskontu (t.j. 20.7.2012) pripísala na účet, ak viete, že banka pri tomto obchode

aplikovala diskontnú sadzbu 9,75 % p.a. Abstrahujeme od prípadných bankových poplatkov.

Použite štandard ACT/360. (24 593,75 €)

Úloha 42:

Banka odkúpila zmenku vystavenú na čiastku 50 000 € s dobou splatnosti presne o pol roka

od dnes.

a) Vypočítajte, akú diskontnú sadzbu aplikovala banka, ak za zmenku vyplatila

46 800 € ? (12,80 %)

b) Ak viete, že ekvivalentná ročná úroková sadzba sa môže interpretovať ako miera zisku

pre banku vypočítajte, aká bola miera zisku pre banku. (13,68 %)

23

Úloha 43:

Firma eskontovala dňa 12.10.2011 na banku nasledujúce zmenky:

Splatná čiastka Dátum splatnosti

Zmenka A 1 300 € 29.11.2011

Zmenka B 3 600 € 05.12.2011

Vypočítajte, akú čiastku dostala firma od banky, ak viete, že banka používa diskontnú sadzbu

10,5 % p.a. a štandard ACT/360. Abstrahujeme od prípadných bankových poplatkov.

(4 825,10 €)

Úloha 44:

Spoločnosť A vystavila zmenku na sumu 57 000 € splatnú 17. septembra 2012. Obchodná

spoločnosť B kúpila túto zmenku 20. júla 2012 pri diskontnej sadzbe 10,25 % p.a.

a 13. augusta 2012 ju predala spoločnosti C pri diskontnej sadzbe 10 % p.a. Aká bola miera

zisku pre obchodnú spoločnosť B ? Použite štandard ACT/360. Žiadne iné poplatky, prípadne

provízie neuvažujeme. (10,796 %)

Úloha 45:

Spoločnosť potrebuje k 1.7.2011 hotovosť 60 000 €, preto vložila do banky pri polročnom

pripisovaní úrokov a 5 % polročnej nominálnej úrokovej miere 1.7.2005 a 1.7.2007

po 15 000 €. Aká musela byť výška posledného vkladu realizovaného 1.7.2009 ? (8 967,72 €)

Úloha 46:

Podnikateľ má tri dlžoby s nominálnymi hodnotami:

1. dlžoba 3 000 € je splatná o 1 rok, 2. dlžoba 3 200 € je splatná o 2 roky,

3. dlžoba 5 500 € je splatná o 6 rokov.

Dlžobu chce vyrovnať jedinou splátkou pri 10 % ročnej úrokovej miere o 4 roky. Koľko

zaplatí ? (12 410,45 €)

Úloha 47:

Podnikateľ pri 9 % ročnej úrokovej miere a pri štandarde ACT/365 si požičal kapitál, ktorý

v lehote splatnosti o 12 mesiacov bude mať hodnotu 3 500 €. Vďaka úspešným obchodom

chce vrátiť pôžičku už po 7 mesiacoch. Koľko zaplatí ? (3 379,59 €)

Úloha 48:

Uložili ste si do banky 3 000 € a po troch rokoch ste vložili ďalších 5 000 €. Po ďalších troch

rokoch ste mali na konte 12 088,05 €. Vypočítajte, akú ročnú úrokovú mieru poskytla banka

pri: a) ročnom, b) polročnom úrokovaní. Daňová sadzba je 19 %. (12,65 %; 12,35 %)

Úloha 49:

Na účet, ktorý je úrokovaný nominálnou úrokovou sadzbou 4,5 % p.a. ste vložili čiastku

150 000 Kč. Koľko si budete môcť vybrať po 3 rokoch, ak predpokladáme, že počas celého

obdobia úroky podliehajú 15 % zrážkovej dani a sú pripisované:

a) ročne; b) polročne; c) štvrťročne; d) mesačne; e) denne (štandard ACT/365); f) každú

hodinu; g) každú minútu; h) spojite. Abstrahujeme od rôznych bankových poplatkov.

Na záver vyhodnoťte aj prírastky, s ktorými sa zvyšuje budúca hodnota tohto kapitálu

v závislosti od zvyšovania sa frekvencie pripisovania úrokov.

(167 879,27; 168 056,76; 168 147,26; 168 208,25; 168 237,94; 168 288,91; 168 238,950;

168 238,951// 177,49; 90,49; 60,99; 29,69; 0,97; 0,04; 0,001)

24

Úloha 50:

Pri štúdiu v Prahe ste sa rozhodli, že si kúpite motocykel. Môžete:

a) buď zaplatiť okamžite zálohu 100 000 Kč a o 3 mesiace doplatiť 50 000 Kč,

b) alebo platiť vždy 50 100 Kč na konci každého z nasledujúcich 3 mesiacov.

Ktorú možnosť zvolíte, ak môžete alternatívne investovať peniaze za 5 % p.a. ?

(Pri možnosti a) K0 = 149 382,72 Kč; b) K0 = 149 059,55 Kč)

Zoznam použitej literatúry:

1. BEZVODA, V.- BLAHUŠ, P. 2007. Finanční matematika a statistika. 4. upravené

a rozšírené vydanie. Praha : Bankovní institut vysoká škola, a.s., 2007.

ISBN 978-80-7265-116-0.

2. GUTTENOVÁ, D. – VOJTEKOVÁ, M. 2010. Zbierka úloha z finančnej a poistnej

matematiky pre Fakultu PEDAS. 3. prep. vyd. Žilina : Žilinská univerzita, 2010. 115

s. ISBN 978-80-554-0293-2.

3. HUŤKA, V. – PELLER, F. 2010. Finančná matematika v Exceli.5. prep. a dopl. vyd.

Bratislava : Iura Edition, 2010. ISBN 978-80-8078-320-4.

4. KADLEČKOVÁ, M. 2001. Finančná matematika. Banská Bystrica : OZ Ekonómia,

2001. ISBN 80-8055-533-8.

5. RADOVÁ, J. a kol. 2011. Finanční matematika pro každého – příklady. 2. vyd.

Praha : Grada, 2011. 256 s. ISBN 978-80-247-3584-9.

6. STEIGAUF, S. 1999. Investiční matematika. Praha : Grada, 1999. 336 s.

ISBN 80-7169-429-0.

7. www.nbs.sk.

8. www.etrend.sk .