Co je diferenciální počet?

Co je diferenciální počet?

V rámci projektu „Cesta k vědě“ (veda.gymjs.net) vytvořil V. Pospíšil ([email protected]). Modifikace a šíření dokumentu podléhá licenci GNU GPL (www.gnu.org).

Jedna z nejjednodušších základních definic ve fyzice je zavedení průměrné rychlosti :

celkový

celková

t

sV

Zavést rychlost okamžitou je ale mnohem těžší. Jak na to?

11, ts

22 , ts


11, ts

22 , ts

Zjednodušme si život uvažováním pouze přímočarého pohybu (resp. pohybu pouze v jedné souřadné ose – složce vektoru). Potom dostaneme průměrnou rychlost vztahem :

21

21

ttss

V

O přesné rychlosti v obou bodech či mezi nimi toho ale mnoho nevíme. Trochu si pomůžeme, dáme-li body blíže k sobě:

11, ts

33 , ts

31

31

ttss

V

Tím jsme odhad okamžité rychlosti v bodě s1 trochu zlepšili, ale ne o moc.


Můžeme obě polohy přiblížit ještě více

41

41

ttss

V

a ještě více

51

51

ttss

V

a tak odhad dále zpřesňovat. Ovšem nelze dát oba body na trajektorii totožné, neboť bychom dělili nulou. Jak z toho tedy vybruslit?

11, ts

44 , ts

11, ts

55 , ts

Definice okamžité rychlosti

Okamžitá rychlost je definována jako limita

ttss

tvtt

0

00 lim

0

)(

Tato definice má smysl, neboť z matematického hlediska je poloha tělesa funkce času. Funkce je spojitá a nemá ostré zlomy (Newtonova mechanika nepočítá s transportními paprsky ze Star Treku ani s nekonečně velkými zrychleními) a tato limita musí vždy existovat. Limita typu

xxxfxf

xx

0

0 )()(lim

0

se nazývá derivace a má mnoho praktických aplikací, zejména ve fyzice a technice (pro obecné funkce samozřejmě existovat nemusí).

Směrnice tečny

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 151412 13

12345678

11109

16 17

Mějme funkci y = f(x) a zkonstruujme k ní tečnu v bodě x = 8. Jak na to? Tečna je přímka, jež lze zapsat ve směrnicovém tvaru jako p(x) = k.x + q . Zkonstruovat tečnu tedy znamená určit koeficienty k a q. Pokud zjistíme k (směrnici, koeficient udává sklon), q snadno dopočítáme, neboť p musí procházet bodem [ 8, f(8) ]. Jak na to, když druhý bod neznáme?

qxkxp )(

Směrnice tečny

[x1,y1]

[x2,y2]

Δx = x2 – x1

Δy

= y

2 –

y1 qxky

qxky

22

11

22

11

xkyq

qxky

2212211 )( yxxkxkyxky

xy

xxyy

k

12

12

12

2112

xxyxyx

q

α

k = tg α

Směrnice tečny

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 151412 13

12345678

11109

16 17

10

10 )()(xx

xfxfk

20

20 )()(xx

xfxfk

30

30 )()(xx

xfxfk

10 xx

20 xx

30 xx

Směrnice tečny, derivace

Buď f reálná funkce jedné reálné proměnné. Říkáme, že funkce f má v bodě x0 derivaci c, právě když existuje limita

Definice 68.

xxxfxf

tgkxx

0

0 )()(lim

0

Vidíme, že směrnici tečny lze zapsat jako

xxxfxf

cxx

0

0 )()(lim

0

Pak značíme

cxdxdf

xf )()( 00

kde k = f ’(x0) je derivace v bodě x0, nazýváme diferenciál funkce f v bodě x0. Diferenciál vyjadřuje přírůstek funkce v těsném okolí bodu . Pozor – diferenciál není přímo ta tečná přímka. Je to vlast-ně přímka, která je s tečnou rovnoběžná, ale prochází počátkem.

Diferenciál

Definice 69. Lineární zobrazení df : R -> R ve tvaru

fDx 0

axafafdfa )()()(

Na rozdíl od tečné přímky je diferenciál lineární zobrazení ve všech aspektech této definice (viz. přednášky z lineární algebry).

Na „nekonečně malém“ okolí diferenciál roste stejně jako funkce, tj. přírůstek funkce pro ξ -> 0 můžeme vyjádřit jako

)()()()( afdfafaf a

V limitně nulovém (infinitezimálním) okolí se tedy jakákoliv diferencova-telná funkce chová jako přímka.

K čemu je derivace?

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 151412 13

12345678

11109

16 17

xkdf 11

Derivace udává sklon tečné přímky (resp. diferenciálu). Čím vyšší je sklon, tím větší je k. Zde je evidentně k1 > k2, modrá křivka tedy v těsném okolí bodu 6 roste rychleji, než červená křivka. Derivace je tedy jakousi mírou „rychlosti růstu“ funkce v daném bodě.

xkdf 22

K čemu je derivace?

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 151412 13

12345678

11109

16 17

0)3( df

0)5.7( df

0)13( df

V bodech, kde se funkce „překlápí“ z růstu do klesání, tj. v lokálních extrémech je derivace nulová (tečná přímka je konstantní). Dokážeme-li tedy snadno určit derivaci funkce v libo-volném bodě, známe polohy všech lokálních extrémů – jsou jimi některá řešení rovnice f ’(x) = 0. Mohou ale existovat i taková řešení této rovnice, která lokálními extrémy nejsou!

Výpočet derivace

Pokud známe derivaci funkce v každém jejím bodě, máme definovanou novou funkci:

hxfhxf

xfRRfh

)()()(: lim

0

Výpočet derivace jako funkce spočívá ve vyjádření této (resp. definiční) limity pro každý bod x z Df. Pro všechny elementární funkce je nutné tento úkon provést zvlášť. Zde příklad pro f(x) = x2 :

000

00

0

220

0

00

2)())((

)()()(

limlim

limlim

00

00

xxxxx

xxxx

xxxx

xxxfxf

xf

xxxx

xxxx

Tedy (x2)’ = 2x. Parabola tedy zrychluje svůj růst úměrně s 2x.

Výpočet derivace

3 3 2 1 1 2 3 4 5

246810121416

4

x2

2x

Vztah mezi grafem funkce a její derivace lze demonstrovat na předchozím příkladu.

Tam, kde funkce klesá, je derivace

záporná. Tam, kde funkce roste, je

derivace kladná. V místě lokálních

extrémů je derivace nulová.

Derivace elementárních funkcí

xxfxxf

xxfxxfax

xfxxf

xxfxxf

aexfaxf

exfexf

xnxfxxf

xxfxxf

xfcxf

a

xx

xx

nn

sin)(cos)(

cos)(sin)(ln1

)(log)(

1)(ln)(

ln)()(

)()(

)()(

2)()(

0)()(

1

2

Výpočty derivací

Věta 28.Buďte f a g reálné funkce jedné reálné proměnné, které mají derivace v bodě x0. Potom platí následující rovnosti:

)(

)()()()(

)()()()()(

)()(

)()()(

02

0000

00000

00

000

xg

xgxfxgxfgf

xgxfxgxfxgf

xfcxfc

xgxfxgf

Výpočty derivací

Věta 29.Buďte f a g reálné funkce jedné reálné proměnné s definičními obory Df a Dg a nechť

)()()( 000 xgfxgxgf

fgg DHDg Potom pro derivaci složené funkce platí

Spočítejte derivace a zjistěte polohu lokálních extrémů funkcíPříklad

322

335

ln)()(1

cos)(

sin22cos)(cossin)(1)(

)()(112)(

2

xxfexfx

xxf

xxxfxxxfxxxf

xxxxfdcxbax

xfxxxf

x

Derivace vyšších řádů

Jelikož derivaci lze interpretovat jako funkci, je možné provést tzv. druhou derivaci – tedy výslednou funkci poderivovat ještě jednou. Stejným způsobem lze získat i derivace vyšších řádů. Derivace vyšších řádů se značí příslušným počtem čárek, tedy f, f ’, f ’’, f ’’’ atd., vyšší derivace pak číslem v závorce, např. f (6), f(45).

Spočítejte druhé derivace funkcíPříklad

322

335

ln)()(1

cos)(

sin22cos)(cossin)(1)(

)()(112)(

2

xxfexfx

xxf

xxxfxxxfxxxf

xxxxfdcxbax

xfxxxf

x

Spočítejte obecně n-té derivace funkcíPříklad

xaxfxxfxxf )(cos)(sin)(

L’ Hospitalovo pravidlo

Věta 30.Buďte f a g reálné funkce jedné reálné proměnné, jež mají v nějakém prstencovém okolí bodu a konečné derivace (prstencové okolí bodu a je Ha – {a}). Předpokládejme dále, že

0)()( limlim

xgxfaxax

nebo

)(lim xgax

a navíc na Ha - {a} je g nenulová. Potom platí

)()(

)()(limlim xg

xfxgxf

axax

Ukažte, že následující limity jsou a/b, 0, 1, e1/6 : Příklad

21

010

sin11

ln1

sinsin

limlimlimlimx

xxax

n

xx xx

xxe

xbxax

Úlohy o maximalizaci a minimalizaci

Určete obdélník pevně daného obsahu S, který má nejmenší obvod.Příklad

Do elipsy vepište obdélník, jehož strany jsou

rovnoběžné s osami elipsy a který má největší možný obsah.

Příklad 12

2

2

2

b

y

a

x

V jaké výšce nad středem kruhového stolu o poloměru a je třeba umístit svítidlo, aby osvětlení okrajů stolu bylo maximálně jasné? Jas osvětlení je dán vzorcem

Příklad

2

sin

rkI

kde φ je úhel sklonu paprsků, r vzdálenost zdroje od odvětlovaného místa a k svítivost zdroje.

Vyšetřování průběhů funkcí

Předpokládejme, že nepřítel nám zadal funkci a chce po nás, abychom mu nakreslili její graf bez pomoci výpočetní techniky. Jak na to? Budeme postupovat podle následujícího seznamu úkonů:

Určíme definiční obor funkce a také obor hodnot, je-li to možné. Tím si vymezíme prostor, kde se graf funkce bude nacházet. V bodech, kde je ve funkci dělení nulou, naznačíme tzv. svislé asymptoty – k těmto svislým přímkám se funkce bude limitně blížit.

Spočítáme limity funkce v nekonečnech a nevlastních bodech zleva a zprava. Získáme tak hrubou představu o tom, jak se graf chová „nalevo“ a „napravo“ od papíru, na který kreslíme a jestli u svislých asymptot půjde nahoru nebo dolu.

Spočítáme asymptoty – přímky, ke kterým se funkce bude blížit v nekonečnech.

Pomocí první derivace určíme polohu lokálních extrémů funkce a intervaly, ve kterých funkce klesá a roste.

Pomocí druhé derivace určíme polohu inflexních bodů a intervaly, ve kterých je funkce konvexní a konkávní.

Načrtneme graf.


Načrtněte graf funkcePříklad 2

3

1

1)(

x

xxf

Určíme definiční obor funkce. 1RD f

Spočítáme limity funkce v nekonečnech. Získáme tak hrubou představu o tom, jak se graf chová „nalevo“ a „napravo“ od papíru, na který kreslíme.

12

133

1

12

23

2

3

limlim xx

xxx

x

x

xx

2

3

0

1.

2

3

1

2

1

1limlim y

y

x

x

y

yxsubst

x

Tj. „vlevo“ jde funkce dolů, „vpravo“ nahoru, u svislé čáry zleva i zprava k +∞.


1 2 3 4 5 6 7 8 97 6 235 4

12345678

123

8

Co zatím víme:

)(lim xfx

)(lim xfx

)(lim1

xfx



Asymptota je přímka, která se v limitě v nekonečnech chová stejně

jako funkce (viz obrázek). Defi-novat jí lze pomocí limity – je-li

0)(

0)(

lim

lim

qkxxf

qkxxf

x

x

pak přímka a(x) = kx+q je asymptota v plus resp. minus

nekonečnu.

Koeficienty asymptoty k a q lze spočítat postupně pomocí limit

xkxfqxxf

kxx

)()(

limlim

Důkaz pro toto tvrzení je velmi snadný, rozmyslete si jej sami.



12

133

1

1)(23

23

2

3

limlimlim

xxx

xxx

xx

xxxf

kxxx

52

125

1

2133

1

2133

1

11

1

1

23

2

2

22

2

2323

2

23

2

3

lim

limlim

limlim

xxx

xx

x

xxxx

x

xxxxxx

x

xxxx

x

xq

x

xx

xx

Asymptoty v plus i mínus nekonečnu jsou shodné, je jimi přímka

5xy


1 2 3 4 5 6 7 8 97 6 235 4

7891011121314

543

8

Co zatím víme:

Ale je to opravdu tak, že se funkce k asymptotě blíží jen

shora? To je třeba ověřit, pokud je to možné.


Ověřme, zda je funkce v okol nekonečen větší či menší než asymptota, pokud je možné to snadno rozhodnout.

51

1)( 2

3

xx

xxf

3

1412

59313351052133

125133151

51

1

22

22323

223

23

2

3

x

xxxxx

xxxxxxxxxxxxxx

xxx

xx

x


1 2 3 4 5 6 7 8 97 6 235 4

7891011121314

543

8

Co zatím víme:

3

15)(

3

15)(

3

15)(

xxxf

xxxf

xxxf


Pomocí první derivace určíme polohu lokálních extrémů funkce a intervaly, ve kterých funkce klesá a roste.

01

51

1

121311

1

121113

1

1)(

3

2

4

2

4

322

2

3

x

xx

x

xxxx

x

xxxx

x

xxf

150)(

xxxf

-1 1 5

05)0( f027

7)2( f 018)2( f 0

4

25)9( f

roste

roste

rosteklesá

minimumplato


1 2 3 4 5 6 7 8 97 6 235 4

5

10

15

20

58

Co zatím víme:

5.1315

15)5( 2

3

f

011

11)1( 2

3

f


Pomocí druhé derivace určíme polohu inflexních bodů a intervaly, ve kterých je funkce konvexní a konkávní.

konvexní funkcekřivka je „nad“ tečnou

konkávní funkcekřivka je „pod“ tečnou

Funkce je konvexní, pokud

0)( xf

Funkce je konkávní, pokud

0)( xfkonvexní

na ex

Tam, kde platí má funkce tzv. inflexní bod.0)( xf


3

2

1

51)()(

x

xxxfxf

10

10

10

x

x

x

6

2232

1

511311512

x

xxxxxxx

6

2

1

5131115211

x

xxxxxxxx

6

2222

1

1512311012211

x

xxxxxxx

66

2

1

124

1

1124

x

x

x

xx


1 2 3 4 5 6 7 8 97 6 235 4

5

10

15

20

58

Teď už víme vše, náčrtek vypadá takto:


Graf vykreslený počítačem

Rozvoj funkce do Taylorovy řady

Mějme funkci spojitou na Ha, leč komplikovanou. Může být výhodné ji aproximovat nějakou jednodušší – nejlépe polynomem. Tento polynom by měl mít podobné vlastnosti – růst (klesat) tam, kde roste (klesá) původní funkce, být konvexní (konkávní) tam, kde původní funkce a tak podobně. To můžeme dosáhnout tak, že zvolíme polynom, který má v bodě a shodných několik derivací s původní funkcí.

-π π

1

-1

π/2-π/2


Věta 31.Buď f reálná funkce, jež má v bodě a konečnou n-tou derivaci. Pak existuje právě jeden polynom Tn stupně nejvýše n, pro který platí

nkafaT kkn ...,,2,1,0)()( )()(

Nultou derivací se rozumí původní funkce. Polynom Tn má tvar

n

j

jj

n axj

afxT

0

)(

!

)()(

Polynom nazýváme Taylorův.

Důkaz : Vezměme nějaký obecný polynom ve tvaru

n

j

jj axaxP

0

)(

Zde a reprezentuje posun po ose x od počátku souřadnic k bodu a. Budeme-li jej derivovat, jednotlivé členy postupně zmizí.


Důkaz : Vezměme nějaký obecný polynom ve tvaru

n

k

kk axaxP

0

)(

Zde a reprezentuje posun po ose x od počátku souřadnic k bodu a. Budeme-li jej derivovat, jednotlivé členy postupně zmizí.

n

kj

kjj

k

n

j

jj

n

j

jj

n

j

jj

n

j

jj

n

j

jj

n

j

jj

axakjjjjxP

axajjjaxajjxP

axajjaxajxP

axajaxaxP

)1()2()1()(

)2()1()1()(

)1()(

)(

)(

3

3

2

2

2

2

1

1

1

1

0


n

kj

kjj

k axakjjjjxP )1()2()1()()(

Nás především zajímá, jak vypadá polynom v bodě a. Hodnota závorky (x - a)j-k je zde nulová až na člen, ve kterém j=k. V tomto členu je hodnota závorky 1. V tomtéž členu se pak nutně musí z ostatního „hebdí“ stát k! a koeficient aj = ak. Proto

kk akaP !)()(

Polynom ovšem konstruujeme tak, aby jeho derivace v bodě a byly shodné s derivacemi funkce v bodě a a tedy

!

)()()(

)()()(

k

afaaPaf

k

kkk

n

j

jj

n axj

afxT

0

)(

!

)()(

Z podmínky na rovnost derivací jsme tedy opravdu získali polynom ve tvaru

Q.E.D.


Definice 70. Označme si pro x z Ha

)()()( xTxfxR nn

n

j

jj

n axj

afxT

0

)(

!

)()(

Rn zde představuje chybu v aproximaci – rozdíl f(x) a Tn(x) v daném bodě. Identita

)()()( xRxTxf nn

se nazývá Taylorův vzorec (rozvoj) funkce f v bodě a. Rn se pak nazývá zbytek v Taylorově vzorci.

Pozn. : lze dokázat, že Taylorův polynom n-tého stupně je nejlepší možná aproximace funkce f(x), tj. že pro libovolný jiný polynom stupně n by zbytek Tn je v každém bodě Ha v absolutní hodnotě větší.


Rozviňte do Taylorovy řady funkci f(x) = ex v bodě a = 0.Příklad

Zkonstruujme pro funkci f obecnou n-tou derivaci. To je snadné:

xnxn eexf )()( )(

Nyní ji vyčísleme v bodě a = 0:

1)0( 0)( ef n

Derivaci dosaďme do vzorce:

n

j

j

n

n

j

jn

j

jj

n

j

xxT

xj

axj

afxT

0

00

)(

!)(

0!

1

!

)()(

0 !n

nx

n

xe Lze dokázat, je to

však složité.


Rozviňte do Taylorovy řady funkce sin x a cos x v bodě a = 0.Příklad

Zkonstruujme pro funkcei obecnou n-tou derivaci v bodě a = 0:

10cos)0(00sin)0(4

00sin)0(10cos)0(3

10cos)0(00sin)0(2

00sin)0(10cos)0(1

10cos)0(00sin)0(0

cossin

)4()4(

gfk

gfk

gfk

gfk

gfk

xxderivace

Z tabulky je vidět, že derivace se opakují a Taylorovy polynomy budou vykazovat jistou pravidelnost. Předně v rozvoji pro sinus budou jen liché členy, zatímco v rozvoji pro cosinus pouze sudé (pozn.: to souvisí i s tím, že sinus je funkce lichá a cosinus sudá).


10cos)0(00sin)0(4

00sin)0(10cos)0(3

10cos)0(00sin)0(2

00sin)0(10cos)0(1

10cos)0(00sin)0(0

cossin

)4()4(

gfk

gfk

gfk

gfk

gfk

xxderivace

543210

!5

1

!4

0

!3

1

!2

0

!1

1

!0

0)sin( xxxxxxx

97531

!9

1

!7

1

!5

1

!3

1

!1

1)sin( xxxxxx

0

2

1

121

)!2()1(cos

)!12()1(sin

n

nn

n

nn

n

xx

n

xx


Rozviňte do Taylorovy řady funkci ln( 1 + x ) v bodě a = 0.Příklad

Shrnutí

• Co je diferenciální počet

• Definice derivace (fyzikální a matematický pohled)

• Diferenciál

• Použití derivací

• Výpočet derivací

• Derivace vyšších řádů

• l’Hospitalovo pravidlo

• Úlohy o maximalizaci a minimalizaci

• Vyšetřování průběhu funkcí

• Rozvoj funkce do Taylorova polynomu

Documents

Co je diferenciální počet?