DIFERENCILN POET VE FYZICE

Studijn text pro eitele FO a ostatn zjemce o fyziku

Josef Jr

Obsah

vod 2

1 Pojem derivace 3

2 asov derivace fyzikln veliiny 9

3 Derivace vektoru 20

4 Ten a normlov zrychlen 27

5 Druh Newtonv pohybov zkon 34

6 Zkon zachovn hybnosti 39

7 Extrmy funkce 42

Vsledky loh 52

Dodatek procviovn derivac 55

vod

Ve stedokolsk fyzice se tm vhradn pi zkoumn pohybu a dalch jevprobhajcch v ase uvaj zjednoduujc pedpoklady. Pohyb se povauje zarovnomrn, resp. rovnomrn zrychlen i rovnomrn zpomalen, kdy je rych-lost, resp. zrychlen, konstantn. Existuj vak kolem ns pohyby, kdy nap.zrychlen nen konstantn. Tehdy se rychlost se mn jinak ne rovnomrn.Pkladem me bt pd tlesa ve vzduchu, pohyb tlesa na svahu s promn-nm sklonem, rozjdn automobilu po rovin s promnnou velikost pohybovsly, pohyb kyvadla apod.

Bn lze urovat prmrn hodnoty rychlosti, zrychlen, sly, vkonu, avakpro detailn popis potebujeme znt rychlost, zrychlen, slu, vkon v danmokamiku, tedy jejich okamit hodnoty. Tyto a dal problmy umouje e-it matematick teorie nazvan diferenciln poet. Vybudovn tto teorieznamenalo kvalitativn pokrok ve zkoumn zvislosti jedn veliiny na veliindruh.

Diferenciln poet vytvoili v 2. polovin 17. stolet nezvisle na sob ang-lick matematik, fyzik a astronom Isaac Newton (1643-1727) a nmeck lozofa matematik Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716). Spojili tak izolovan po-znatky a objevy ady svch pedchdc, zskvan pedevm geometrickmipostupy, do ucelen teorie.

Tato brourka seznamuje tene se zklady pouit diferencilnho potuve fyzice. Je urena pedevm studentm 2. ronku gymnzi, kte ji pro-li mechanikou, ppadn termodynamikou a harmonickm kmitnm, a kteznaj prbhy elementrnch funkc. Z tohoto dvodu zde nejsou zaazena t-mata z elektiny a magnetismu, z optiky apod. T se nepedpokld znalostdiferencilnho potu z matematiky, kde se probr obvykle a na konci stedo-kolskho studia. Naopak podstata zklad diferencilnho potu je vyloenavhradn na fyziklnch problmech.

2

1 Pojem derivace

Ukame si na pkladu volnho pdu problematiku prmrn a okamit rych-losti. Podle stedokolsk terminologie je prmrn rychlost skalrn veliina,okamit rychlost veliina vektorov.

Drha uraen pi volnm pdu je dna vztahem s = 12gt2. Deninm

oborem tto funkce jsou vzhledem k fyziklnmu vznamu nezporn asy agrafem st paraboly s vrcholem v potku umstn v prvnm kvadrantu.Sestavme pro nkolik hodnot tabulku (pouijeme g = 10 m s2) a sestrojmegraf:

ts 0 1 2 3 4 5

sm 0 5 20 45 80 125

ts

0 1 2 3 4 5

sm

0

40

80

120

Ukeme si metodu, jak z funkn zvislosti drhy na ase urit zvislostvelikosti okamit rychlosti na ase. 1

Vypotejme okamitou rychlost nap. v ase 2 s. Nejprve urme prmrnourychlost, nap. mezi 2. a 5. sekundou volnho pdu. Drha v ase 2 s je s(2) == 20 m, v ase 5 s pak s(5) = 125 m. Hledan prmrn rychlost je

vp(2; 5) =s(5) s(2)5 s 2 s = 35 m s

1 .

Obdobn v kratm asovm intervalu od 2 s do 3 s je prmrn rychlost

vp(2; 3) =s(3) s(2)3 s 2 s = 25 m s

1 ,

v intervalu od 2 s do 2,1 s je

vp(2; 2,1) =s(2,1) s(2)2,1 s 2 s = 20,5 m s

1 .

1Z dvodu jednoduiho vyjadovn budeme v mstech, kde neme dojt k zmn,

pouvat oznaen rychlost ve vznamu velikost okamit rychlosti, jak je to obvykl

v bn ei.

3

Budeme-li pokraovat dle ve zmenovn asovho intervalu, bude se odpov-dajc prmrn rychlost blit hodnot hledan okamit rychlosti v ase 2 s.Jak vak zjistit tuto okamitou rychlost pesn, kdy uveden metoda budevdy urovat pouze rychlost prmrnou, by na menm a menm asovmintervalu?

Zkusme tento nedostatek obejt obecnm vyjdenm prmrn rychlosti odasovho okamiku t do okamiku t+t. V tchto asech jsou uraen drhy

s(t) = g2 t2 , s(t+t) = g2(t+t)

2 .

Prmrn rychlost v asovm intervalu t se pak rovn

vp(t; t+t) =s(t+t) s(t)(t+t) t =

g2(t+t)

2 g2 t2

t =g2(2t+t) .

Obecn vsledek meme pout k vpotu prmrn rychlosti bhem asu t,ale navc nm umouje udlat vahu, kterou jsme pedtm provst nemohli.Polome-li toti asov interval t roven nule, zskme vzorec pro okamitourychlost v ase t: v(t) = gt. Z nj urme rychlost v ase 2 s, tj. v(2) == 20 m s1. Vsledek ns jist nepekvapuje, nebo rovnici pro okamitourychlost volnho pdu v = gt znme, avak popsan metoda se ukazuje jakovelice inn pi uren okamit rychlosti sloitjch pohyb ne je voln pd.

Shrneme-li poznatky o uveden metod, meme konstatovat, e okami-tou rychlost zskme matematicky pesn, povaujeme-li asov interval t zanekonen mal. Formln lze tuto skutenost zapsat

v(t) = limt0

st = limt0

s(t+t) s(t)t =

dsdt . (1.1)

Symbol limt0

teme limita vrazu pro t blc se (neomezen) k nule.

Limita je tedy hodnota zlomku, ke kter se neomezen piblme pi zmeno-vn asovho intervalu t k nule. Symbol dt, diferencil asu, pedstavujenekonen mal asov interval a symbol ds, diferencil drhy, jemu odpo-

vdajc nekonen malou zmnu drhy. Podl obou diferencil dsdt nazvme

derivace drhy podle asu.Konen meme zformulovat exaktn denici velikosti okamit rychlosti:Velikost okamit rychlosti v ase t je rovna prmrn rychlosti

v nekonen malm asovm intervalu, jeho levou hranic je as t.Nebo: Velikost okamit rychlosti v ase t je rovna derivaci drhy

podle asu v tomto ase t.

4

Podvejme se jet na grackou interpretaci derivace. Obrzek pedstavujedetail grafu zvislosti drhy na ase:

tt

t t+t

s(t+t)

s(t)

s

s = 12gt2

s

Z obrzku je patrn, e zmenovnm asovho intervalu t se bude dr-

hov sek s t zmenovat a jejich podl st (prmrn rychlost v asovm

intervalu t) se bude vce blit okamit rychlosti v ase t. Souasn smrniceseny se bude vce blit smrnici teny.

Prmrn rychlost v asovm intervalu je rovna smrnici seny prot-najc graf v krajnch bodech intervalu t:

vp(t, t+t) =st = tg

.

Velikost okamit rychlosti v libovolnm ase t je rovna smrnici teny sestro-jen ke grafu v bod odpovdajcm asu t:

v(t) = dsdt = tg .

Nutno poznamenat, e v uvedench vzorcch plat rovnost s tangentou hlupouze v ppad, e v pslunm grackm znzornn seka pedstavujcjednotkov as 1 s je shodn s sekou znzorujc jednotkovou drhu 1 m.V opanm ppad tangenta skutenho hlu i v grafu neodpovd pr-mrn i okamit rychlosti.

V pedchzejcm pkladu jsme derivovnm drhy podle asu zskali novoufyzikln veliinu, velikost okamit rychlosti, i s pslunou jednotkou m s1.Mohli jsme se vak omezit na vyeten vztahu mezi selnmi hodnotami drhya asu, jak je to bn v matematice.

5

Po slouen konstanty g = 10 m s2 s slem 12

zskme jednodurovnici s = 5 m s2 t2, resp. {s} = 5{t}2, kde symboly {s}, {t} rozummeseln hodnoty drhy a asu. Z dvodu strunjho a pehlednjho vyjdenbudeme sloen zvorky vynechvat a fyzikln veliiny vystupujc v rovnicichpat ve smyslu matematickm, tj. pouze jako slo bez fyzikln jednotky.V tomto smyslu m uvaovan funkn zvislost tvar s = 5t2. Pak

s(t) = 5t2 , s(t+t) = 5(t+t)2 .

Velikost prmrn rychlost v asovm intervalu t se pak rovn

vp(t; t+t) =s(t+t) s(t)(t+t) t =

5(t+t)2 5t2t = 5(2t+t) .

Polome-li t = 0, dostaneme vzorec pro selnou hodnotu okamit rychlostiv ase t: v(t) = 10t. Z nj urme rychlost v ase 2 s, tj. po doplnn jednotkyv(2) = 20 m s1.

Takovto matematick postup, ve kterm se omezme jen na vztahy meziselnmi hodnotami veliin, budeme ve fyziklnch lohch pouvat v ppa-dech, kdy se vyetovan vraz dosazenm selnch hodnot konstant zjedno-du. Mli bychom vak een opatit poznmkou, ve kter tuto skutenostuvedeme (viz pklad 3.1, nebo vsledky loh 5.2, 5.4).

Pklad 1.1: Urete zvislost rychlosti na ase v = v(t) pro rovnomrn zrych-

len pohyb, jeho zvislost drhy na ase je dna funkc s = 12at2 + v0t + s0.

een:

v = dsdt = limt0s(t+t) s(t)

t =

= limt0

[12a(t+t)

2 + v0(t+t) + s0

][12at

2 + v0t+ s0

]t

=

= limt0

(at+ v0 +

12at

)= v0 + at .

loha 1.1: Urete zvislost rychlosti na ase v = v(t) pohybu, pro nj plats = At3 +Bt.

Pedchoz postup, jak ze zvislosti s = s(t) zskat zvislost v = v(t),plat obecn, avak u sloitjch funkc je obtn, ne-li nemon, een tmto

6

zpsobem nalzt. Natst mme k dispozici souhrn pravidel a vzorc, ktermimeme cel postup vrazn zefektivnit. Tento souhrn matematickch vt tvozklad diferencilnho potu.

V nsledujcm pehledu derivac elementrnch funkc a pravidel pro derivo-vn si as t jakoto promnnou fyzikln veliinu nahradme obecnou promn-nou x bez specickho fyziklnho vznamu. Msto funkn zvislosti rychlostina ase v(t) uijeme obecn oznaen funkce f(x), g(x).

Derivace elementrnch funkc D1 - D10

(D1) ddxkonst = 0 (D2)dxdx = 1

(D3) dx2

dx = 2x (D4)dxn

dx = nxn1

(D5) d sinxdx = cosx (D6)d cosxdx = sinx

(D7) d tg xdx =1

cos2 x(D8) d cotg xdx =

1sin2 x

(D9) d ex

dx = ex (D10) d lnxdx =

1x

Vzorce plat pro takov x, pro kter je souasn denovan derivovan

funkce i vsledek jej derivace. Nap. v (D10) je vraz 1x

derivac funkce lnx

pouze pro x > 0. Pro x < 0 je vraz 1x

sice denovn, ale neme bt na

tomto intervalu derivac funkce lnx, nebo ta zde neexistuje (nen denovna).Rozmanit je vzorec (D4), v nm me bt n libovoln reln slo, nikoliv

jen slo pirozen. slu n pak odpovd denin obor funkce. Pro n celzporn nepat nula do deninho oboru, pro n reln necel je deninm

oborem mnoina kladnch relnch sel. Tedy nap. ddxx5 = 5x4 plat pro

vechna reln sla x, ddxx3 = 3x4 plat pro x 6= 0, ddxx

5

3 = 53x2

3

a ddxxp = pxp1 plat pouze pro x > 0.

7

Pravidla pro derivovn P1 - P5

(P1) Nsoben funkcekonstantou

ddx (konst f(x)) = konst

df(x)dx

(P2) Souet (rozdl) funkc d(f(x) g(x))dx =df(x)dx

dg(x)dx

(P3) Souin funkc d(f(x) g(x))dx =df(x)dx g(x) + f(x)

dg(x)dx

(P4) Podl funkc ddx

(f(x)g(x)

)=

df(x)dx g(x) f(x)

dg(x)dx

(g(x))2

(P5) Sloen funkce df(g(x))dx =df(g(x))dg(x)

dg(x)dx

Sloenou funkc je nap. funkce y(t) = sint, kde (t) = t je vnitnfunkce a y((t)) = sin(t) je vnj funkce. Podle pravidla (P5) je derivacesloen funkce rovna souinu derivace vnj funkce podle vnitn funkce a de-rivace vnitn funkce podle promnn x. V naem ppad je

d sin(t)dt =

d sin(t)d(t)

dtdt = cos(t) .

Pklad 1.2: ete pklad 1.1 uitm pravidel pro derivovn.

een: Podle denice okamit rychlosti je

v(t) = ds(t)dt =ddt

(12at

2 + v0t+ s0

).

Uitm pravidla (P2) meme pst

v(t) = ddt

(12at

2

)+ ddt (v0t) +

ds0dt .

Na prvn dva leny aplikujeme pravidlo (P1), na tet len vzorec (D1):

v(t) = 12adt2

dt + v0dtdt + 0 .

Nyn uijeme vzorce (D3) a (D2): v(t) = at+ v0.

loha 1.2: ete lohu 1.1 uitm pravidel pro derivovn.

Derivovn funkc si mete procviit v Dodatku.

8

2 asov derivace fyzikln veliiny

Ve stedokolsk fyzice se asto setk-

vme s vrazem xt , kde x je urit fy-

zikln veliina (drha, rychlost, energieatd.). Mn-li se veliina x rovnomrn,

tj. xt je pro libovoln asov interval t

konstantn, vyjaduje veliina y = xtstlou asovou zmnu veliiny x (graf A).

O tt1 t2

t

x

x

x1

x2

AB

Mn-li se veliina x nerovnomrn, vyjaduje veliina y = xt pouze prmr-

nou asovou zmnu veliiny x v uritm asovm intervalu (graf B). Okamitou

asovou zmnu veliiny x pak vyjdme y = dxdt .

Nap. a = vt vyjaduje stlou velikost okamitho zrychlen pmoarho

rovnomrn zrychlenho pohybu nebo prmrn zrychlen pmoarho pohybunerovnomrnho. Velikost okamitho zrychlen jakhokoliv zrychlenho pmo-

arho pohybu pak vyjdme a = dvdt . (Obecn okamit zrychlen jakhokoliv

pohybu pro trajektorii libovolnho tvaru vyjdme a = dvdt , s derivac vektoru

se vak seznmme v nsledujc kapitole.)Krom okamit rychlosti a okamitho zrychlen lze stejnm zpsobem za-

vst adu dalch fyziklnch veliin, resp. jejich okamitch hodnot. Okamitasov zmna nemus vystupovat pouze v denici, nbr me bt soustfyziklnho zkona. Uveme nkolik pklad:

Okamit hlov rychlost = ddt

Okamit hlov zrychlen = ddt

Velikost okamit sly pi zrychlenm pmoarmpohybu (p je velikost okamit hybnosti)

F = dpdt

Okamit vkon P = dWdt

Napt indukovan v cvce u = Ldidt

9

Pklad 2.1: Urete fyzikln vznam veliiny hlov rychlost ve vztazch

= t, = t , =

ddt .

pro zrychlen otiv pohyb kolem pevn osy.

een: Vztah = t

vyjaduje stlou hlovou rychlost u rovnomrnho

rotanho pohybu, jestlie v nulovm ase je opsan hel nulov. Opsan hel je pmo mrn asu t a hlov rychlost je konstantou mrnosti ttopm mrnosti = t.

Vztah = t me vyjadovat jednak prmrnou hlovou rychlost u ja-

khokoliv zrychlenho rotanho pohybu, kde je zmna hlu otoen a tdoba, bhem kter k uvaovanmu otoen dolo, nebo me vyjadovat st-lou hlovou rychlost rovnomrnho otivho pohybu, piem v nulovm aseme bt opsn poten nenulov hel 0. Veliina je pak smrnice pmkyv linern zvislosti = t+ 0.

Vztah = ddt vyjaduje okamitou hlovou rychlost jakhokoliv zrychle-

nho rotanho pohybu.

tOt

0

= t

= t+ 0

Pklad 2.2: Hmotn bod kon po dobu 8 s pmoar pohyb, jeho drha jeurena funkc

s(t) = 112t3 + 2t2 .

Stanovte zvislosti rychlosti na ase a zrychlen na ase. Sestrojte grafys = s(t), v = v(t), a = a(t).

een: Rychlost urme jako asovou derivaci drhy:

v = dsdt =ddt

( 112 t

3 + 2t2)= t

2

4 + 4t .

10

Zrychlen urme jako derivaci rychlosti podle asu:

a = dvdt =ddt

(14 t

2 + 4t)= 0,5t+ 4 .

Rozborem rovnic zjistme nsledujc vlastnosti. Pohyb zan z klidu, nebov nulovm ase m hmotn bod nulovou rychlost. Podle rovnice v zadn m tnulovou poten drhu. Hmotn bod se zan uvdt do pohybu s pote-nm zrychlenm a(0) = 4 m s2. Zrychlen po celou uvaovanou dobu linernkles, tedy rychlost roste stle pomaleji. V ase 8 s doshne zrychlen nulovhodnoty a rychlost se ustl na konen maximln hodnot. Pokud by pohybpokraoval i nadle s nulovm zrychlenm, dosaen rychlost by se nemnila adrha by linern rostla.

Grafem rychlosti je st paraboly s vrcholem v ase 8 s, grafem drhy stkubick paraboly (kivky 3. stupn). Vechny ti zvislosti jsou znzornnyv jednom obrzku.

ts

0 1 2 3 4 5 6 7 8

sm

vm s1

am s2

0

20

40

60

80

1

2

3

4

5

10

15

20

drha

rychlost

zrychlen

Pklad 2.3: Stanovte zvislost a = a(t) pmoarho pohybu danho rovnic

v(t) = vm(1 ekt) ,

kde k > 0. Sestrojte grafy v = v(t), a = a(t).

een: Sestrojen graf funkc vyaduje uritou zbhlost. Meme postupovatnap. tak, e sestrojme zkladn funkci y = et, kterou postupn upravujeme

11

na ekt (deformace ve vodorovnm smru), ekt (pevrcen kolem svisl osy),ekt (pevrcen kolem vodorovn osy), 1 ekt (posunut o jednotku na-horu), vm

(1 ekt) (deformace ve svislm smru). V ase t = 0 je rychlost

nulov, graf prochz potkem. Pro velmi velk asy jde vraz ekt k nule,a tm rychlost v k hodnot vm . kme, e limita funkce v(t) pro t jdouck nekonenu je rovna hodnot vm, co zapeme

limt

vm(1 ekt) = vm .

t0

1

1

v

vmvm(1 ekt)

1 ekt

ekt

ekt ekt et

Zrychlen urme jako asovou derivaci rychlosti:

a = dvdt =ddt vm

(1 ekt) = vm ddt (1 ekt) = vm

(0 ddt e

kt

)=

= vm(ekt) ddt (kt) = vm (ekt) (k) = kvmekt .

Graf sestrojme podle funkce ekt, kterou ji znme, vynsobenm konstan-tou kvm. V ase t = 0 je zrychlen kvm, v ase t rostoucm nade vechny mezeje zrychlen nulov, nebo

limt

kvmekt = 0 .

V obrzku jsou pro porovnn sestrojeny graf zrychlen i pedchoz graf rych-losti.

12

tO

a, v

vm

kvm

v = vm(1 ekt)

a = kvmekt

Uveden pohyb kon tleso urychlovan konstantn silou, kde proti pohybu p-sob sla odporu prosted, kter je v kadm okamiku pmo mrn rychlosti.Takto nap. pad v thovm poli vodn kapika, pokud jej obtkn sticemivzduchu meme povaovat za laminrn.

Pklad 2.4: Stanovte zvislosti v = v(t), a = a(t) pmoarho pohybudanho rovnic drhy

s(t) = A2t

At+B ,

kde A, B > 0. Sestrojte grafy s = s(t), v = v(t), a = a(t).

een: Drha je urena linern lomenou funkc typu y = ax+ bcx+ d , kterou

pevedeme na tvar y = N + KxM . Grafem pak bude hyperbola s rovnic

y = Kx

s posunutm potkem soustavy souadnic do bodu o souadnicch

[M,N ]. Danou rovnici drhy podle tohoto nvodu postupn upravujeme:

s(t) = A2t

At+B =A2t+AB AB

At+B =A(At+B)AB

At+ B = AB

t+ BA

.

Grafem je tedy st hyperboly dan rovnic s(t) = Bt

s posunutm pot-

kem soustavy souadnic do bodu[BA,A

]a vtve hyperboly jsou umstn

ve 2. a 4. kvadrantu. Meme t postupovat tak, e sestrojme grafy funkc

1t,

Bt,

B

t+ BA

,Bt+ B

A

, A Bt+ B

A

.

13

V nulovm ase je drha nulov, pro as t blc se nekonenu je drha rovnakonstant A.

tBA

A

s

O

Rychlost urme jako derivaci drhy podle asu:

v = ddt

A B

t+ BA

= B ddt

(t+ B

A

)1

= B(t+ B

A

)2

= B(t+ B

A

)2 .

Grafem je st vtve hyperboly 2. stupn. V ase t = 0 je v(0) = A2

B, pro as

t je v(t) 0, tedy limt

v(t) = 0.

Zrychlen urme jako derivaci rychlosti podle asu:

a = ddt

[B

(t+ B

A

)2]= B ddt

(t+ B

A

)2

= 2B(t+ B

A

)3 .

Grafem je st vtve hyperboly 3. stupn. V ase t = 0 je a(0) = 2A3

B2< 0,

pro as t je a(t) = 0. Vsledek je v kadm asovm okamiku zporn,nebo velikost rychlosti s asem kles. Veliina a tedy nevyjaduje velikostzrychlen, nbr jeho souadnici (vce v 3. kapitole).

14

tv a

O

2A3

B2

A2

B

BA

v = B(t+ B

A

)2

a = 2B(t+ B

A

)3

Pklad 2.5: Setrvank se rozbh tak, e hel otoen je pmo mrn druhmocnin asu. Prvn otoka byla dokonena v ase t1 = 5 s. Urete okamitoufrekvenci oten v ase t2 = 18 s a poet provedench otek v tomto ase odzatku pohybu.

een: Jeliko pro hel otoen plat = kt2, je frekvence oten

f = 2p =12p

ddt =

12p

ddt (kt

2) = 1pkt .

Konstantu mrnosti k lze vyjdit k = t2

= 2pt21. Po dosazen je asov

zvislost frekvencef = 1

p

2pt21t = 2t

t21.

V ase t = t2 je okamit frekvence f(t2) =2t2t21

= 1,44 Hz.

Poet otek N v ase t je dn podlem celkovho hlu otoen

= kt2 = 2pt2

t21

a hlu 2p pi jedn otce:

N = 2p =kt2

2p =t2

t21.

V ase t = t2 je N(t2) =t22t21

= 12,96.

15

Pklad 2.6: Pi nafukovn prunho balonu tvaru koule roste jeho objemrovnomrn rychlost 100 cm3 za sekundu. Jakou rychlost roste jeho polomrv okamiku, kdy jeho objem je 1 000 cm3?

een: Ozname v = drdt okamitou rychlost zvtovn polomru r balonu

a w = dVdt okamitou rychlost zvtovn jeho objemu V . Pak je

w = dV (t)dt =ddt

43 p(r(t))

3 = 43p 3r2 dr(t)dt = 4pr

2v ,

z eho v = w4pr2

. Polomr vyjden pomoc objemu je r = 3

3V4p .

Po dosazen je hledan rychlost v = w

4p 3

9V 2

16p2

= w336pV 2

.

seln pro w = 100 cm3 s1 a V = 1 000 cm3 dostaneme v = 0,21 cm s1.

Pklad 2.7: Sestrojte pro pmoar pohyb rovnomrn zrychlen a pro p-moar pohyb se stlm vkonem urychlujc sly grafy zvislost

a) rychlosti na aseb) zrychlen na asec) kinetick energie na ased) vkonu na ase.

Tleso se zan pohybovat z klidu.

een:

a) Rychlost je u rovnomrn zrychlenho pmoarho pohybu pmo mrnasu v = at , kde a = konst.U pohybu se stlm vkonem roste kinetick energie pohybu rovnomrns asem podle vztahu

12mv

2 = Pt, kde P = konst.

Rychlost pak je v =

2Ptm

, grafem je st paraboly.

b) Zrychlen a je u rovnomrn zrychlenho pohybu nezvisl na ase, tj.a = konst.U pohybu se stlm vkonem dostaneme zrychlen jako derivaci rychlostipodle asu:

16

a = dvdt =ddt

2Ptm

=

P2mt, grafem je vtev hyperboly 2. stupn.

Zrychlen pohybu se stlm vkonem lze t odvodit bez derivace:

a = Fm

= Pmv

= P

m

2Ptm

=

P2mt .

c) Pro pohyb rovnomrn zrychlen je Ek =12mv

2 = 12ma2t2.

Pro pohyb se stlm vkonem je Ek =W = Pt.

t t

t t

v

O O

O O

a

Ek P

a = konsta = konst

a = konst

a = konst

P = konst

P = konst

P = konstP = konst

d) Zvislost okamitho vkonu na ase urme jako asovou derivaci kinetickenergie nebo prce. Pro pohyb rovnomrn zrychlen pak uitm kinetickenergie je

P = dEkdt =ddt

12mv

2 , kde v = at ,

tedy P = ddt12ma

2t2 = ma2t.

Uitm prce obdobn dostaneme

P = dWdt =ddt (Fs) =

ddt

(ma 12at

2

)= ma2t .

17

Ale obejdeme se i bez derivace: P = Fv = mav = ma2t. Vkon je pmomrn asu.U pohybu se stlm vkonem je vkon konstantn P = konst.

Pklad 2.8: Tleso o hmotnosti m = 0,40 kg zaven na pruin kmits periodou T = 0,25 s a amplitudou vchylky ym = 0,050 m. Urete maxi-mln velikost pm okamitho vkonu p, s kterm se mn potenciln energieosciltoru na kinetickou a naopak.

een: Bhem kmit osciltoru roste (kles) potenciln energie

Ep(t) =12ky

2(t) = 12ky2m sin

2 t

se stejnm vkonem, s nm kles (roste) kinetick energie

Ek(t) =12mv

2(t) = 12m2y2m cos

2 t ,

tedydEpdt =

dEkdt . Zvolme nap.

p =dEpdt =

12ky

2m 2 sint cost = 12ky

2m sin 2t .

Dostali jsme sinusoidu s amplitudou pm =12ky

2m. Ze vztahu T = 2p

mk

vyjdme tuhost k = 4p2

T 2m, uijeme = 2p

Ta dosadme. Maximln vkon

pak je

pm =4p3

T 3my2m = 7,9 W .

K tmu vsledku bychom dospli volbou p = dEkdt .

loha 2.1: Drha hmotnho bodu je urena rovnic s(t) = At3. Stanovte z-

vislosti rychlosti na ase a zrychlen na ase. Po nastudovn eenho pkladu2.7 rozhodnte, o jak typ pohybu jde.

loha 2.2: Ndr m tvar kuele o polomru R a vce h0. Kuel je pikoudol, osa je svisl. Do ndre vtk voda se stlm objemovm tokem QV .([QV ] = m3 s1.)

18

a) Urete zvislost vky h hladiny na ase.b) Urete zvislost rychlosti stoupn hladiny na ase.c) Urete zvislost zrychlen stoupn hladiny na ase.

as mme od okamiku, kdy zan voda vtkat do przdn ndre.

loha 2.3: Kapka vody tvaru koule o potenm polomru r0 se odpaujetak, e jej polomr se rovnomrn zmenuje podle rovnice r = r0 kt. Nakadou molekulu v kapce pipad objem V1.

a) Urete okamitou rychlost zmny polomru kapky.b) Urete okamitou rychlost zmny povrchu kapky.c) Urete zvislost potu N molekul v kapce na ase.d) Urete okamitou rychlost vypaovn, tj. asovou zmnu potu molekul

v kapce.

loha 2.4: Matematick kyvadlo dlky l a hmotnosti m kmit s maximlnvchylkou ym. Urete maximln vkon pm, s jakm se mn kinetick energie napotenciln a naopak. ete obecn, pak pro hodnoty l = 1,20 m, m = 0,20 kg,ym = 5,0 cm.

19

3 Derivace vektoru

Polohu bodu A v prostoru meme urit v kartzsk soustav trojic souadnicx, y, z, co zapisujeme A[x, y, z]. Jinou monost uren polohy je uit tzv.polohovho vektoru.

Polohovm vektorem r urujcm po-lohu bodu A rozumme vektor s po-tenm bodem v potku soustavy sou-adnic a s koncovm bodem A. Zavemenyn i, j, k jako jednotkov vektory, tj.|i| = | j| = |k| = 1, ve smru souadni-covch os x, y, z. Pak polohov vektor rmeme zskat sloenm nsobk tchtovektor souadnicemi x, y, z:

r = xi + y j + zk .

ixi

x

r

A[x, y, z]

k

zk

z

jOyj y

Obrcen meme t vektor r rozloit na sloky xi, y j, zk do smr sou-adnicovch os. Pitom trojic x, y, z rozumme nejen souadnice bodu A, nbrt souadnice polohovho vektoru r, co zapisujeme

r = (x, y, z) .

Velikost polohovho vektoru meme vyjdit Pythagorovou vtou zobecnnoupro trozmrn prostor:

r = |r| =x2 + y2 + z2 .

V vodnm lnku jsme si ukzali, e derivace drhy podle asu dsdt m v-

znam velikosti okamit rychlosti. Zkoumejme nyn fyzikln vznam derivace,jestlie skalrn veliinu drha nahradme polohovm vektorem.

Pedpokldejme, e bhem asu t pejdehmotn bod po kivce z bodu A do bodu B, tj.uraz drhu s. Jeho pvodn polohov vektor r(t)se tak zmn na polohov vektor r(t + t). Pakz hlediska skldn vektor meme pst

r(t) + r = r(t+t)

nebo t

r = r(t+t) r(t) .

r(t) r(t+t)

r

s BA

O

20

Vydlme-li posledn rovnici asovm intervalem t, dostaneme vraz ud-vajc jakousi prmrnou asovou zmnu vektoru r bhem doby t:

rt =

r(t +t) r(t)t .

Budeme-li asov interval t zkracovat, bude se hodnota vrazu vce blitjaksi okamit asov zmn vektoru r. Pro nekonen malou zmnu memev analogii s rovnic (1.1) pst

limt0

rt = limt0

r(t+t) r(t)t =

drdt .

Uvme-li, e velikost diferencilu zmny polohovho vektoru |dr| je rovnadiferencilu drhy ds a e vektor dr m smr teny k trajektorii v uvaovanm

bod A, m podl diferencil drdt vznam vektoru okamit rychlosti

v = drdt .

Proveme nyn tuto naznaenou derivaci vektoru r = xi + y j + zk podleasu. Souadnice x, y, z jsou obecn funkcemi asu, jednotkov vektory i, j, kjsou konstanty. Uitm pravidel (P2) a (P1) postupn dostvme

v = dr(x, y, z)dt =ddt (xi + y j + zk) =

ddt (xi) +

ddt (y j) +

ddt (zk) =

= idxdt + jdydt + k

dzdt = vxi + vy j + vzk = (vx, vy, vz) .

Vznam prv provedenho odvozen spov v tom, e derivaci vektoru m-eme nahradit derivacemi jeho sloek, eho bn vyuvme pi een loh.Je tedy rovnice

v = drdtekvivalentn trojici rovnic

vx =dxdt , vy =

dydt , vz =

dzdt .

Shrneme-li nae vahy, meme pro vektor okamit rychlosti pst

v = vxi + vy j + vzk =dxdt i +

dydt j +

dzdt k

a pro jeho velikost

21

v = |v| =v2x + v2y + v2z =

(dxdt

)2+(dydt

)2+(dzdt

)2.

Analogicky meme pst pro vektor okamitho zrychlen a pro vektor oka-mit sly rovnice

a = dvdt , F =dpdt =

ddt (mv) ,

nebo v souadnicch

ax =dvxdt , ay =

dvydt , az =

dvzdt ,

Fx =dpxdt =

ddt (mvx) , Fy =

dpydt =

ddt (mvy) , Fz =

dpzdt =

ddt (mvz) .

Pklad 3.1: Pohyb bodu v rovin je dn parametrickmi rovnicemi

x = 15t2 , y = 30 20t2 .Urete tvar trajektorie, velikost rychlosti a velikost zrychlen pohybu.

Poznmka: Dan parametrick rovnice popisuj vztahy mezi selnmi hodno-tami veliin, jak je to obvykl v matematice. Stejn charakter maj proto irovnice v een.

een: Rovnici trajektorie zskme vylouenm asovho parametru t:

y = 30 43x , co je rovnice pmky.

Kad souadnice rychlosti vx, vy je dna derivac pslun souadnice polo-hovho vektoru podle asu:

vx =dxdt = 30t , vy =

dydt = 40t .

Vslednou rychlost urme jako vektorov souet

v = vxi + vy j = 30t i 40t j ,jej velikost vypotme podle Pythagorovy vty:

v =v2x + v2y =

(30t)2 + (40t)2 = 50t .

Obdobn je

22

ax =dvxdt = 30 , ay =

dvydt = 40 , a = axi + ay j = 30i 40j ,

a =a2x + a2y = 50 .

Pohyb je pmoar rovnomrn zrychlen se zrychlenm o velikosti 50 m s2a zanajc z klidu v bod [0, 30].

Pklad 3.2: Tleso bylo v homogennm thovm poli vreno ikmo vzhrupod elevanm hlem . Msto vrhu m souadnice [x0, y0] . Napite rovnice prosouadnice polohovho vektoru jako funkce asu x = x(t), y = y(t) a pomocderivace odvote zvislosti souadnic rychlosti vx, vy a souadnic zrychlenax, ay na ase. Urete dle zvislost velikosti okamit rychlosti a velikostiokamitho zrychlen na ase.

een: ikm vrh meme rozloit na dva nezvisl pohyby konan souasn na rovnomrn pmoar pohyb ve vodorovnm smru stlou rychlost v0 cosa na svisl vrh vzhru s poten rychlost v0 sin. Pro souadnice polohovhovektoru plat:

x(t) = x0 + v0t cos , y(t) = y0 + v0t sin 12gt2 .

Souadnice vektoru rychlosti dostaneme jako derivace pslunch souadnicpolohovho vektoru:

vx(t) =dxdt = v0 cos , vy(t) =

dydt = v0 sin gt .

Obdobn dostaneme souadnice vektoru zrychlen:

ax(t) =dvxdt = 0 , ay(t) =

dvydt = g .

Velikost okamit rychlosti zskme z jejch sloek:

v =v2x + v2y =

v20 cos2 + (v0 sin gt)2 =

v20 2v0gt sin+ g2t2 .

Analogicky dostaneme velikost okamitho zrychlen, een je triviln, neboax = 0:

a =a2x + a2y = g .

23

Pklad 3.3: Automobil se pohybuje pmoae stlou rychlost o velikosti v0po vodorovn silnici. V deznu pneumatiky o polomru R se zachytil kamnek.Zvolme potek vztan soustavy pevn spojen s vozovkou v mst, kde senachz sted pneumatiky v ase t = 0, smr osy x shodn se smrem pohybuautomobilu a smr osy y vzhru. V ase t = 0 se kamnek dotk vozovky.

a) Urete souadnice x, y polohovho vektoru kamnku, souadnice vx, vy jehorychlosti a souadnice ax, ay jeho zrychlen jako funkce asu.

b) V te vztan soustav urete velikost v rychlosti a velikost a zrychlenkamnku jako funkce asu.

c) Urete nejvt a nejmen velikost rychlosti kamnku vzhledem k vozovce.

een:

a) Kamnek kon vzhledem k vozovce dva na sob nezvisl pohyby, spolens automobilem pohyb posuvn rovnomrn ve smru osy x a vzhledem k au-tomobilu rovnomrn pohyb po krunici. Souadnice kamnku ve zvolensoustav souadnic spluj rovnice

x = v0tR sin v0R t , y = R cosv0Rt .

Postupnm derivovnm dostaneme

vx =dxdt

= v0 v0 cos v0Rt = v0

(1 cos v0

Rt

),

vy =dydt

= v0 sinv0Rt ,

ax =dvxdt

=v20R

sinv0Rt ,

ay =dvydt

=v20R

cosv0Rt .

b) Pro velikosti rychlosti a zrychlen plat:

v =v2x + v2y =

v20

(1 cos v0

Rt

)2+ v20 sin

2 v0Rt =

= v0

1 2 cos v0

Rt+ cos2 v0

Rt+ sin2 v0

Rt = v0

2(1 cos v0

Rt

),

a =a2x + a2y =

v40R2

sin2 v0Rt+ v

40

R2cos2 v0

Rt = v

20

R.

c) Podle vsledku lohy b) je velikost rychlosti minimln pro

24

cos v0Rt = 1 , v0

Rt = 2kp , t = k 2pR

v0= kT ,

kdy vmin = 0 a maximln pro

cos v0Rt = 1 , v0

Rt = (2k + 1)p , t = (2k + 1) pR

v0= kT + T2 ,

kdy vmax = 2v0. Minimum nastane vdy pi dotyku kamnku s vozovkou,maximum vdy v nejvy poloze kamnku. T je perioda oten kola.

loha 3.1: Harmonick pohyb hmotnho bodu zskme jako kolm prmtrovnomrnho pohybu tohoto bodu po krunici do pmky lec v rovin ttokrunice. Zvolme-li na uvaovan pmce souadnicovou osu y s potkemv prmtu stedu krunice, je okamit vchylka harmonickch kmit dnarovnic

y = ym sin(t+ 0) .

Urete zvislosti vy = vy(t), ay = ay(t). Do jednoho obrzku sestrojte grafy

vech t zvislost pro 0 = 0, =p

2 rad s1, ym = 0,20 m v asovm

intervalu 0, 5 s.loha 3.2*: Okamit vchylka tlumench harmonickch kmit s nulovoupoten fz je dna rovnic

y = ymebt sint .

Urete zvislosti vy = vy(t), ay = ay(t). Pomoc potae sestrojte grafy vecht zvislost pro ym = 5,0 cm, = 10 rad s1, b = 2,0 s1 v asovm intervalu0, 1 s.loha 3.3: Koncov bod A velk ruiky vnch hodin je ve vzdlenosti r == 2,0 m od osy oten. Zvolme kartzskou soustavu souadnic v rovin cifer-nku s potkem ve stedu cifernku tak, e osa x smuje k hodnot 3 h a osay k hodnot 12 h. Za poten okamik povaujme as 12:00 h.

a) Urete souadnice x, y polohovho vektoru bodu A a pomoc derivace sou-adnice rychlosti a souadnice zrychlen bodu A jako funkce asu.

25

b) Ze souadnic odvote velikosti okamit rychlosti a okamitho zrychlenbodu A. ete t seln.

loha 3.4: Pohyb hmotnho bodu v prostoru je popsn asovmi rovnicemi

x = r cost , y = r sint , z = v0t .

a) Urete souadnice vx, vy , vz rychlosti v a jej velikost v.b) Urete souadnice ax, ay, az zrychlen a a jeho velikost a.c) Vysvtlete, pro pi v = konst je a 6= 0.d) Popite slovn tvar trajektorie a zpsob pohybu hmotnho bodu po n.

loha 3.5: ete pklad 3.3 pro ventilek ve vzdlenosti r < R od osy oten,kter se v nulovm ase nachz nad osou oten kola. Ostatn podmnky lohyzstvaj.

loha 3.6: Pohyb tlesa je popsn asovou zvislost polohovho vektoru:

r(t) = v0t i ym cost j +(h0 12gt

2

) k .

a) Popite slovn dan pohyb.b) Napite rovnici pro rychlost v(t).c) Napite rovnici pro zrychlen a(t).d) Vyjdete zvislost velikosti rychlosti na ase v(t).e) Vyjdete zvislost velikosti zrychlen na ase a(t).f) Urete maximln velikost amax a minimln velikost amin zrychlen bhem

pohybu.

loha 3.7*: Ojnici pstu spalovacho motoru lze modelovat sekou dlky l,jej koncov bod A se pohybuje po krunici o polomru r < l a druh koncovbod B po ose x s potkem ve stedu S tto krunice. Pohyb bodu A povaujteza rovnomrn s konstantn hlovou rychlost . V nulovm ase le bod Ana ose x mezi body S, B. Najdte funkce vyjadujc zvislosti souadnice xpolohy a souadnice vx okamit rychlosti v bodu B na ase t.

26

4 Ten a normlov zrychlen

Nejprve si pipomeneme rovnomrn pohyb po krunici a odvodme vztah projeho dostediv zrychlen.

U rovnomrnho pohybu po krunici zstv velikost okamit rychlostikonstantn, avak smr vektoru rychlosti se neustle mn, a to rovnomrn.

S

A

B

C

A

r

s

r

v

v

v

v

v

Pedpokldejme, e bhem velmi malho a-sovho intervalu t se hmotn bod posunepo kruhovm oblouku velmi mal dlky sz bodu A do bodu A, piem jeho prvo-di ope velmi mal hel . Vektor v takpejde na vektor v , piem |v| = |v |.

Penesme vektor v tak, aby oba vektoryv, v mly spolen poten bod. Orien-tovan spojnice koncovch bod vektor va v , tedy vektor

v = v v,pak udv zmnu vektoru rychlosti. Vektorv tvo zkladnu rovnoramennho troj-helnka ABC, svr proto se svmi rameny

hel 90 2 . Po penesen vektoru v do

bodu A svr s sekou AS hel 2 .

Budeme-li uvaovat namsto velmi malho asovho intervalu t nekonenmal interval dt, m velmi mal zmny s, , v pejdou na nekonenmal zmny ds, d, dv, m vektor dv od seky AS nekonen malou odchylkud2 , m limitn smuje do stedu S. Podl

dvdt = a pak uruje vektor na-

zvan dostediv zrychlen. Velikost dostedivho zrychlen je ad =|dv|dt ,

kde |dv| = v d.2 Po dosazen mme ad = v ddt a s uvenm v = r pakje

ad = r2 =v2

r.

Dostediv zrychlen rovnomrnho pohybu po krunici lze t odvodit de-rivovnm polohovho vektoru

2U kivoarch pohyb nutno rozliovat velikost zmny vektoru rychlosti |dv | = |v v |a zmnu velikosti rychlosti dv = v v, kter je u rovnomrnho pohybu po krunici nulov.

27

r = (r cost, r sint) ,

zvolme-li potek soustavy souadnic vestedu krunice. Postupn dostaneme:

v =(dxdt ,

dydt

)= (r sint, r cost) ,

a =(dvxdt ,

dvydt

)=

= (r2 cost,r2 sint) = 2r .Z vsledku je zejm, e zrychlen hmot-nho bodu pi rovnomrnm pohybu pokrunici m opan smr ne polohovvektor r, m tedy do stedu trajektorie,a jeho velikost je a = r2.

O

r

t

v

a

x

y

r sint

r cost

Nyn se zamme na obecn kivoar nerovnomrn pohyb. Ped-pokldejme, e se hmotn bod pohybuje po kivce nerovnomrnm pohybem.V kadm bod trajektorie meme velmi mal sek kivky piblin nahraditobloukem krunice o jistm polomru. Zmenovnm dlky tohoto seku kivkynahrazuje kruhov oblouk sek kivky pesnji. V limitnm ppad, tj. v p-pad nekonen mal dlky seku kivky, existuje prv jedna krunice, jejoblouk nekonen mal dlky kopruje pesn zakiven trajektorie v danmbod A. Tato krunice se nazv oskulan krunice.

Pedpokldejme, e v bod A m hmotn bod rychlost v, v bod A, kamdoraz o velmi mal asov interval t pozdji, m rychlost v . Vektory va v svraj hel . Vektor v peneseme tak, aby jeho poten bod splvals potenm bodem vektoru v . Vektor v = v v pak uruje zmnu vektorurychlosti v bhem asovho intervalu t.

A A

B

C

r

v v

v

v vn

vt

28

Vektor v lze rozloit na dva navzjem kolm vektory, na ten vektor vt,kter uruje zmnu v velikosti rychlosti v, a na normlov vektor vn, kteruruje zmnu smru rychlosti v.

Z trojhelnku ABC plyne cos = |v +vt|v

. U zrychlenho pohybu

maj vektory v a vt stejn smr, u zpomalenho vzjemn opan. Protoje mon rovnici upravit na tvar vt = v cos v. Pro zrychlen po-hyb je vt > 0, pro zpomalen vt < 0. Po vydlen dobou t dostanemevtt =

v cos vt . Bl-li se t k nule, bl se cos k jedn a itatel

v v se bl k dv, m dostvme ten zrychlen at o velikosti

|at| = |v v|dt =

dvdt .

Samotn at pedstavuje souadnici te-nho zrychlen menou v ten (prozrychlen pohyb je at > 0, pro zpo-malen at < 0). Ten zrychlen jako

vektor lze zapsat at = at, kde =vv

je jednotkov vektor ve smru okamitrychlosti.

an

at

a

v

n

A

Z trojhelnku ABC dle plyne sin = |vn|v

, z eho dostaneme

|vn|t =

v sint . Pro t blc se k nule lze pst

|dvn|dt =

vddt , nebo

pro nekonen mal hel je sin d = d. Dle je d = vdtr, kde vdt je neko-

nen mal prstek drhy. Po dosazen dostaneme |dvn|dt =vvr. Vzhledem

k rovnosti v = v pro nekonen mal asov interval mme hledan norm-lov zrychlen an o velikosti

an =|dvn|dt =

v2

r.

Normlov zrychlen jako vektor lze analogicky zapsat an = ann, kde n jejednotkov vektor smujc od bodu A do stedu oskulan krunice.

Sloenm tenho a normlovho zrychlen dostaneme celkov zrychlen,kter meme t zapsat jako derivac vektoru rychlosti:

a = at + an =dvtdt +

dvndt =

dvt + dvndt =

dvdt .

29

Normlov zrychlen m smr do stedu oskulan krunice, ten zrychlenm v ppad zrychlenho pohybu smr okamit rychlosti, v ppad zpoma-lenho pohybu smr opan. Na obrzku je smr vektor okamit rychlosti atenho zrychlen shodn, znzornn pohyb je v danm okamiku zrychlen.Vzhledem ke kolmosti tenho a normlovho vektoru plat pro velikost zrych-len

a =a2t + a2n =

(dvdt

)2+ v

4

r2.

Speciln pro pmoar nerovnomrn pohyb, kdy v libovolnm bod tra-jektorie je nulov zakiven, tedy r , a zrychlen m pouze tenou sloku,plat a = |at| =

dvdt.

Naopak speciln pro rovnomrn kivoar pohyb, kdy asov zmna veli-

kosti rychlosti v libovolnm bod trajektorie je nulov, tedy dvdt = 0, a zrych-

len m pouze sloku normlovou (dostedivou), plat a = an =v2

r. Polomr

zakiven trajektorie se bhem pohybu me mnit.

Pklad 4.1: Vz F1 o celkov hmotnosti m = 600 kg se pohybuje s innmvkonem motoru (s vkonem spotebovvanm pouze na zrychlovn vozu)P = 200 kW zatkou tvaru kruhovho oblouku o polomru r = 100 m vevodorovn rovin okamitou rychlost o velikosti v = 150 km h1. g = 9,81 m s2.

a) Urete velikosti tenho, normlovho a celkovho zrychlen.b) Urete peten pilota, tj. pomr velikost vsledn sly psobc na pilota

a jeho thov sly.

een:

a) Pro vkon plat P = Fv = mdvdt v, z eho urme ten zrychlen

at =dvdt =

Pmv

= 8,0 m s2 .

Normlov zrychlen je an =v2

r= 17,4 m s2.

Celkov zrychlen je a =a2t + a2n = 19,1 m s2.

b) Ve vztan soustav spojen s automobilem psob na pilota o hmotnostim1ve vodorovn rovin setrvan sla Fs = ma a kolmo k n thov slaFG = mg. Jejich vslednice m velikost F =

F 2s + F

2G. Hledan pomr je

30

FFG

=

F 2s + F

2G

FG=

a2 + g2

g= 2,2 .

Pklad 4.2: Hmotn bod je vren pod elevanm hlem 0 rychlost v0 tak,e kon ikm vrh. Urete zvislosti

a) okamit rychlosti na ase,b) at a an na ase.

een:

a) Z obrzku pro souadnice okamit rychlosti plyne

vx = v0 cos0 , vy = v0 sin0 gt .Velikost okamit rychlosti pak je

v =v2x + v2y =

v20 2v0gt sin0 + g2t2 .

b) Kad vektor lze rozloit do dvou rznch smr. Z hlediska vlastn p-iny je vhodn (a navc jednoduch) rozloit vektor okamitho zrychlen dosmr souadnicovch os (p. 3.2): ax = 0, ay = g. Okamit zrychlen lzevak tak rozloit do smru tenho a kolmho k trajektorii. Fyzikln v-znam tchto sloek je okamit asov zmna velikosti rychlosti a okamitasov zmna smru rychlosti.

0

v0

v

v

vy0

vy

vy

vx0

vx

vx

a = g a = g

an

atat

an

Ox

y

Souadnici at tenho zrychlen urme ze vztahu

at =dvdt =

ddt

v20 2v0gt sin0 + g2t2 = g(gt v0 sin0)v20 2v0gt sin0 + g2t2 .

Uvme-li, e zvorka v itateli vyjaduje souadnici rychlosti vy a jme-novatel velikost rychlosti v, lze pst at = g vyv . V dob vstupu je vy > 0,

31

at < 0. Ten zrychlen m opan smr ne vektor okamit rychlosti,pohyb je zpomalen. V dob sestupu je tomu naopak.

Pro velikost normlovho zrychlen nelze pout vztah an =v2

r, nebo

neznme polomr oskulan krunice v jednotlivch bodech trajektorie. Zn-me vak celkov zrychlen pohybu a = g, z eho an =

g2 a2t . Po

dosazen a prav dostaneme

an =gv0 cos0

v20 2v0gt sin0 + g2t2.

Vraz mono t zjednoduit na tvar an = gvxv. Vzhledem ke konstantn

souadnici vx je normlov zrychlen nepmo mrn velikosti okamitrychlosti.

Z rovnosti an =v2

r= g vx

vlze urit zvislost polomru kivosti trajek-

torie na rychlosti

r = v3

gvx= v

3

gv0 cos0.

Vzorce at = g vyv , an = gvxv

lze snadno ovit bez pouit derivace.

Pro hel , kter svr vektor okamit rychlosti v s osou x, toti plat:

sin =vyv

= atg, cos = vx

v= an

g.

Pklad 4.3: Rovnomrn zrychlen pohyb hmotnho bodu po krunici jepopsn parametrickmi rovnicemi

x = r cos 12t2 , y = r sin 12t

2 ,

kde r je polomr krunice a stl hlov zrychlen. Odvote zvislost tenho,normlovho a celkovho zrychlen na ase.

een: Souadnice rychlosti ve smrech x a y jsou

vx =dxdt = rt sin

12t

2 , vy =dydt = rt cos

12t

2 .

Pro velikost okamit rychlosti plat

v =v2x + v2y =

(rt sin 12t2

)2+(rt cos 12t

2

)2= rt .

Ten zrychlen at vyjaduje okamitou asovou zmnu velikosti rychlosti au rovnomrn zrychlenho pohybu je konstantou mrnosti ve vztahu v = att.Porovnnm s pedchoz rovnic dostvme at = r.

32

Souadnice zrychlen ve smrech x a y jsou

ax =dvxdt = r sin

12t

2 r2t2 cos 12t2 ,

ay =dvydt = r cos

12t

2 r2t2 sin 12t2 .

Pro velikost celkovho zrychlen plat

a =a2x + a2y =

=

(r sin 12t2 r2t2 cos

12t

2

)2+(r cos 12t

2 r2t2 sin 12t2)2.

Po umocnn dvojlen a po prav dostvme a =r22 + r24t4. Porov-

nnm se vzorcem a =a2t + a2n dostvme, e ten zrychlen at = r je kon-

stantn a normlov zrychlen an = r2t2 roste s asem kvadraticky. Normlov

zrychlen lze t zskat dosazenm v = rt do vztahu an =v2

r.

loha 4.1: Centrifuga s kosmonautem o celkov hmotnosti m se ve vodorovnrovin rozt se stlm vkonem P . Polomr krunicov trajektorie kosmo-nauta je r. Urete zvislost veliin a, at, an na ase. Kabinu s kosmonautempovaujte za hmotn bod, hmotnost ramene zanedbejte.

33

5 Druh Newtonv pohybov zkon

Pohybovm inkem sly je asov zmna hybnosti tlesa, piem se v prbhuasu me mnit nejen rychlost tlesa, ale i jeho hmotnost. Pro jednoduchostse omezme na klasickou fyziku a zanedbme relativistickou zmnu hmotnosti.Hmotnost tlesa se bude mnit zachycovnm, uvolovnm nebo vymrovnmhmoty.

Psob-li na tleso stl sla, je vektor tto sly F uren pomrem zmnyvektoru hybnosti p a doby t, bhem nho k tto zmn hybnosti dolo:

F = pt .

Vektor hybnosti se pitom mn rovnomrn.Nen-li sla psobc na tleso stl, udv vzorec prmrnou slu psobc

na tleso v asovm intervalu t. Okamitou slu vyjdme podlem neko-nen mal zmny hybnosti a nekonen malho asovho intervalu tto zmnodpovdajcmu, tedy derivac hybnosti podle asu:

F = dpdt ,

neboli podle 3. kap. ve slokch F = idpxdt + jdpydt + k

dpzdt .

Jeliko p = mv, piem obecn rychlost i hmotnost mohou bt funkcemiasu, podle pravidla (P3) pro derivaci souinu funkc plat:

F = dpdt =ddt (mv) = m

dvdt + v

dmdt . (5.1)

Okamitou slu tak tvo souet dvou len. Prvn z nich vyjaduje zmnuhybnosti tlesa vlivem zmny jeho okamit rychlosti. Druh vyjaduje zmnuhybnosti tlesa vlivem zmny jeho hmotnosti.

V rovnici (5.1) mohou nastat speciln ppady:

a) Nemn-li se bhem pohybu hmotnost tlesa, tj. dmdt = 0, plat znm

a bn vztah F = mdvdt = ma. Okamit sla je pmo mrn okamitmu

zrychlen.

b) Nemn-li se bhem pohybu rychlost tlesa, tj. dvdt = 0, plat F = vdmdt .

Okamit sla je pmo mrn asov zmn hmotnosti.c) Psob-li sla ve smru pohybu tlesa, je pohyb pmoar a rovnici (5.1)

meme pst ve skalrnm tvaru

F = dpdt =ddt (mv) = m

dvdt + v

dmdt .

34

pravou rovnice (5.1) dostaneme diferencil impulzu

dp = Fdt = mdv + vdm.

Znzornme situaci pro pmoar zrychlen pohyb pi rostouc hmotnosti t-lesa. (Tleso pi pohybu postupn zachycuje klidnou hmotu.) Tehdy rychlost va prstek rychlosti dv maj shodn smr a pro velikost diferencilu impulzuplat

|dp| = dp = Fdt = mdv + vdm.Obsah obdlnka o stranch m a v udv velikost hybnosti p tlesa v ase t,obsah obdlnka o stranchm+dm a v+dv pak velikost hybnosti tlesa v aset+dt. Rozdl obsah pedstavuje elementrn prstek velikosti hybnosti dp t-lesa neboli velikost elementrnho impulzu sly Fdt. Obsah prouku o stranchm a dv pedstavuje velikost prstku hybnosti dp1 = m dv tlesa vlivemzmny velikosti jeho okamit rychlosti pi dan hmotnosti, obsah proukuo stranch v a dm pak znzoruje velikost prstku hybnosti dp2 = v dmtlesa vlivem zmny jeho hmotnosti pi dan okamit rychlosti. Obdlneko stranch dm a dv je vzhledem k obsahu prouk zanedbateln.

p = mv

dp1 = m dv

dp2 = v dm

dm dv

v

dv

dmm

Pklad 5.1: Stanovte velikost sly psobc na tleso pi jeho pmoarmpohybu za podmnek:

a) m = konst, v = konst,b) m = konst, v(t) = at, kde a = konst,

c) m(t) = m0 +m1 m0

t1t, v = konst, kde m1 > m0,

d) m(t) = m0 +m1 m0

t1t, v(t) = at, kde m1 > m0, a = konst.

een:

Pohyb je pmoar, meme proto ve vech ppadech pst F = dpdt .

35

a) Plat F = dpdt =ddt (mv) = 0, tedy tleso s konstantn hmotnost se pohy-

buje rovnomrn bez psoben vnj sly, tj. setrvanost.b) Tleso s konstantn hmotnost kon rovnomrn zrychlen pohyb, pro veli-

kost sly plat

F = dpdt =ddt (mv(t)) = m

ddt (at) = ma = konst .

c) Pi stl rychlosti v hmotnost m li-nern roste. Zvislost odpovd rov-nomrnmu nabalovn klidn hmotypi stl rychlosti tlesa, nap. pi pr-jezdu vagonu pod nsypkou, z n rov-nomrn svisle dol pad sypk mate-ril. Derivovnm dostaneme

F = ddt

(m0 +

m1 m0t1

t

)=

= m1 m0t1

= konst.tt1O

m0

m1

m

K udren rychlosti vagonu, a tedy k uvdn rovnomrn padajc hmotydo pohybu, je nutn konstantn sla.

d) Situace je obdobou ppadu c), rychlost tlesa vak rovnomrn roste. Prookamitou slu plat

F = ddt

[(m0 +

m1 m0t1

t

)at

]=

= ddt

(m0at+

m1 m0t1

at2)= m0a+ 2a

m1 m0t1

t ,

je tedy linern funkc asu.

Pklad 5.2: Lokomotiva thne vagon o hmotnosti m0 = 20 t pod nsypkou,

z n pad svisle dol trk s hmotnostnm tokem dmdt = 600 kg s1. Urete

zvislost na ase sly, kterou psob lokomotiva na vagon, jestlie se pohybuje

a) rovnomrn stlou rychlost v0 = 0,5 m s1,b) rovnomrn zrychlen se zrychlenm dvdt = 0,2 m s

2.

een:Jedn se o pmoar pohyb, pro slu ve smru pohybu plat zkon sly veskalrnm tvaru

F = m(t)dvdt + v(t)dmdt ,

36

kde rychlost i hmotnost jsou obecn funkc asu. V naem ppad hmotnost

vagonu s nkladem zvis na ase podle vzorce m = m0 +dmdt t.

a) Pi rovnomrnm pohybu je v = v0 = konst, tedydvdt = 0. Pro slu plat

F = v(t)dmdt = v0dmdt = 0,5 600 N = 300 N .

Touto konstantn silou je urychlovn bezprostedn po svm dopadu pouzepibvajc nklad, pot se pohybuje s vagonem konstantn rychlost.

b) Pi rovnomrn zrychlenm pohybu je v = at, tedy dvdt = a. Pro slu plat

F = m(t)dvdt + v(t)dmdt =

(m0 +

dmdt t

)a+ atdmdt =

= m0a+ 2atdmdt = 4000 N + t 240 N s

1 .

Touto linern rostouc silou je urychlovn vagon s dosud dopadnutm tr-kem s danm zrychlenm a uvdn do pohybu prv dopadaj trk na oka-mitou rychlost vagonu.

Pklad 5.3:Tleso se pohybuje tak, e jeho rychlost roste podle rovnice v(t) == Bt2 a jeho hmotnost linern kles podle vztahu m = m0 At, piemhmota se bez silovho psoben uvoluje a do zniku tlesa.

a) Sestrojte graf zvislosti velikosti pohybov sly na ase.b) Urete velikost rychlosti a velikost zrychlen pohybu v okamiku zniku t-

lesa. ete nejprve obecn, pak pro hodnoty m0 = 10 kg, A = 1 kg s1,B = 1 m s3.

een:

a) Jeliko uvolujc se hmota tlesanen do dnho smru odhazov-

na, len vdmdt se neuplatuje. Sla

je nutn pouze na poadovan urych-lovn ubvajcho tlesa. Pro hle-danou pohybovou slu plat

F (t) = mdvdt = (m0 At)ddt (Bt

2) =

= 2Bm0t 2ABt2 .Grafem je parabola.

tm0A

m02A

O

Bm202A

F

37

b) Dosazenm t = m0A

= 10 s dostaneme vBt2 = Bm20

A2= 100 m s1.

Zrychlen v tme ase je a = dvdt = 2Bt = 2Bm0A

= 20 m s2.

loha 5.1: Na vodorovn dopravnkov ps s jmenovitm pepravnm v-konem 800 kg min1 a rychlost posuvu psu 3 m s1 dopad ve svislmsmru sypk materil. Urete velikost sly, kter pi plnm vkonu psob nadopravnk ve vodorovnm smru vlivem dopravy materilu.

loha 5.2: Lokomotiva thne po vodorovnch kolejch ve smru osy x cisternu,z n vytk voda se stlm hmotnostnm tokem 15 kg s1 vtokovou rychlosto velikosti 6 m s1. Pohyb cisterny je

1) rovnomrn,2) rovnomrn zrychlen se zrychlenm 0,4 m s2.

Voda z cisterny vytka) svisle dol,b) ve smru jzdy,c) proti smru jzdy.

Urete pro vechny kombinace zvislost sloky okamit sly Fx, kterou psoblokomotiva na cisternu, na ase. V danm okamiku je hmotnost cisterny 60 t.Vtokovou rychlost povaujte za nezvislou na zrychlen cisterny.

loha 5.3:Vlak o hmotnosti 400 t se pohybuje po vodorovnch kolejch v detise zrychlenm 0,1 m s2. Za kadou sekundu dopadne na povrch vlaku 60 kgvody. Pedpokldme, e deov voda je urychlovna na rychlost vlaku a potstk na zem. Urete velikost tahov sly motoru lokomotivy pi okamit rych-losti 90 km h1.

loha 5.4: Kropic vz se rozjd se stlm zrychlenm 0,5 m s2 pi souas-nm kropen ve smru jzdy vtokovou rychlost 20 m s1 se stlm prtokem4 kg s1. Poten hmotnost vozu je 8 000 kg. Urete zvislost velikosti sly,kterou se vz rozjd, na ase.

loha 5.5: Vlak o poten hmotnosti m0 se v deti rozjd z klidu se stlm

zrychlenm a. Deov voda pad na vlak rovnomrn s vydatnost dmdt = k

a v otevench vagonech zstv. Urete zvislost sly motor lokomotivy naase.

38

6 Zkon zachovn hybnosti

Pi vzjemnm psoben dvou tles je podle 3. Newtonova pohybovho zkonasplnno

F1 = F2 ,kde F1 je sla, kterou psob druh tleso na prvn a F2 je sla, kterou psobprvn tleso na druh. Tyto sly, akce a reakce, maj tedy stejnou velikost,navzjem opan smr. Vznik a znik jedn sly je vdy spojen se vznikem aznikem sly druh. Maj-li sly pohybov inek, zpsob kad z nich bhemdoby dt zmnu hybnosti tlesa, na kter psob:

F1 =dp1dt , F2 =

dp2dt

Dosazenm do vztahu (6.1) pak dostaneme: dp1dt = dp2dt ,

z eho plyne

dp1 = dp2 , neboli dp1 + dp2 = 0 .Tyto rovnice pedstavuj zkon zachovn hybnosti v diferencilnm tvaru prodv tlesa: Zmny hybnosti pi vzjemnm silovm psoben dvou tles jsoustejn velk, ale opanho smru. Jinmi slovy: Celkov hybnost izolovan sou-stavy dvou tles zstv konstantn.

Tento zvr je mon rozit na izolovanou soustavu libovolnho potutles. Pak plat:

p1 + p2 + . . .+ pn = konst .

Uveden rovnice vyjaduje zkon zachovn hybnosti: Souet hybnost tlesizolovan soustavy je konstantn.

Pklad 6.1: Odvote vztah pro okamit zrychlen raketya) ve volnm kosmickm prostoru,b) v gravitanm poli.

een:

a) Ozname v okamitou rychlost rakety ve volnm kosmickm prostoru, u oka-mitou rychlost tryskajcch plyn vzhledem k raket, m okamitou hmot-nost rakety, dm (dm < 0) zmnu hmotnosti rakety za dobu dt. Pak dmvyjaduje hmotnost vytrysknutch plyn za tut dobu dt. Plyny zskajvzhledem k raket okamitou hybnost dp1 = udm, a to vlivem sly

39

F1 =dp1dt =

udmdt ,

kterou na n raketa psob. Souasn vzroste hybnost rakety o dp2 = mdv.Pinou je sla,

F2 =dp2dt =

mdvdt .

kterou psob naopak plyny na raketu. Dosazenm do 3. Newtonova pohy-bovho zkona F1 = F2 dostaneme:

udmdt =

mdvdt .

Podl dvdt uruje hledan okamit zrychlen a rakety, kter z rovnice vyj-

dme:

a(t) = dvdt =u

m(t)dmdt . (6.1)

Okamit zrychlen rakety tak zvis na jej okamit hmotnosti m, na rych-losti u tryskajcch plyn vzhledem k raket a na asov zmn hmotnosti

rakety dmdt . Jeliko ve vektorov rovnici jedmdt < 0, maj vektory a a u

navzjem opan smr. Kladn veliina Q = dmdt pedstavuje hmotnostntok plyn.

b) V gravitanm poli s gravitanm zrychlenm ag ji soustava nen izolovan,nebo je pod vlivem gravitan sly Fg = mag, kter obecn zvis na po-loze rakety, a tedy pi jejm pohybu i na ase. Ke zrychlen rakety vlivemvlastnho pohonu vektorov piteme zrychlen gravitanho pole, tj.

a(t) = um(t)

dmdt + ag(t) .

Pklad 6.2: Na obrzku je model reaktivnho pohonu. Vozk o hmotnostim0 = 2 kg tvo ndoba o obsahu vnitnho prezu S = 1 dm

2 postaven napodvozku. U dna ndoby se nachz vtokov otvor o obsahu vnitnho prezuS0 = 1 cm2. Ndobu naplnme kapalinou hustoty = 1 000 kg m3. Uretevelikost zrychlen vozku pi okamit vce hladiny h = 25 cm nad vtokovmotvorem. Vliv setrvanch sil psobcch na kapalinu na stav hladiny a na tlakve vtokovm otvoru zanedbejte.

40

een:Vtokovm otvorem protee za as dt kapalinao hmotnosti |dm| = S0dx, kde dx je posunutkapaliny ve vtokov trubici za as dt. Hmot-nostn tok vytkajc kapaliny pak je

|dm|dt =

S0dxdt = S0u .

Vtokov rychlost kapaliny m velikost

u =2gh.

Okamit hmotnost vozku je

m = m0 + Sh.

m0

h

S

S0 u

a

Podle rovnice (6.1) je velikost zrychlen tlesa a = um

|dm|dt .

Dosazenm veliin |dm|dt , u, m nakonec dostaneme

a = 2gS0hm0 + Sg

= 0,11 m s2 .

loha 6.1: Startovn hmotnost rakety Saturn 5 s kosmickou lod Apollo 11,kter v roce 1969 pistla na Msci, byla 2940 t. Vtokov rychlost plyn byla3 010 m s1.a) Urete hmotnostn tok plyn v okamiku, kdy se raketa odpoutv od

rampy.b) Urete velikost okamitho zrychlen rakety pi pohybu svisle vzhru v a-

sech t0 = 0 a t1 = 100 s za pedpokladudmdt = 12 t s

1. Odpor vzduchu

zanedbejte. Gravitan zrychlen povaujte v obou asech za stejn s hod-notou ag = 9,8 m s2.

41

7 Extrmy funkce

Ve fyziklnch lohch ns asto zajm, jak se funkn hodnota fyzikln veli-iny v zvislosti na jin veliin mn, zda roste nebo kles a kde a jakou mextrmn hodnotu, tedy maximum nebo minimum. Intuitivn si ukeme sou-vislost tchto vlastnost funkce s derivacemi a metody, jak s vyuitm derivaceextrmy funkce najt.

Pedpokldejme, e danou funkci y = f(x) denovanou na uritm inter-valu lze zobrazit spojitou, tj. v dnm bod neperuenou, kivkou. Kadtakov funkce se nazv spojit funkce. Existuje-li v danm bod [x0, f(x0)]kivky tena, je jej smrnice tg dna hodnotou derivace v bod x0, tj.tg = f (x0), kde je smrov hel pslun teny (90 90).

xxA xD xF xC xG

xB xE xH

y

O

HB

FA

D

C G

E

Tena ke grafu sestrojen v bod A kivky svr s osou x kladn hel (0 < < 90), neboli smrnice teny tg a derivace f (xA) v bod xA jekladn. kme, e v bod xA je funkce rostouc.

Naopak v bod B je hel zporn (90 < < 0), tud smrnice tga derivace f (xB) je zporn. kme, e v bod xB je funkce klesajc.

Je-li funkce rostouc, resp. klesajc v kadm bod danho intervalu, kme,e je rostouc, resp. kleasjc na tomto intervalu. Je-li funkce na danm intervalurostouc, nebo je-li na danm intervalu klesajc, pak kme, e funkce je natomto intervalu monotnn.

V bod xD funkce pechz z rostouc na klesajc, v bod xE z klesajcna rostouc. kme, e v bodech xD a xE m funkce lokln extrmy, asice v bod xD lokln maximum a v bod xE lokln minimum. V obouppadech je derivace funkce, a tedy smrnice teny, nulov: f (xD) = tgD =

42

= f (xE) = tgE = 0. Teny sestrojen ke grafu v bodech D a E maj smrtoton s osou x.

V bod xC je derivace funkce t nulov jako v bodech xD a xE , ale funkceje klesajc. Tena v odpovdajcm bod C kivky graf protn a kivka mnzakiven na opan. Tak v bod F tena kivku protn, pestoe zde derivacenulov nen.

Bod C i bod F grafu nazvme inexn bod. kme t, e v bodech xCa xF nastala inexe.

V bodech G a H m graf funkce piku, jej derivace v bodech xG axH neexistuje a nelze jednoznan sestrojit tenu. V bod xG pechz funkcez rostouc na klesajc, m v tomto bod lokln maximum. V bod xH je funkceklesajc.

Z ukzky je sten vidt a z matematick analzy plyne, e extrmyspojit funkce denovan na libovolnm intervalu najdeme mezi nsle-dujcmi podezelmi body:

a) Krajn body uvaovanho intervalu. Je-li interval oteven, krajnbod neexistuje a tud dn extrm zde nepichz v vahu. Pkladem mebt funkce tangens v bod x = p/2 . Je-li interval uzaven, tvo krajn bodylokln extrmy. Nap. funkce x2 m na intervalu 2, 3) v bod x = 2 loklnmaximum, v bod x = 3 vak extrm nem, nebo slo 3 do intervalu nepat.

b) Body, v nich derivace neexistuje. Jsou to ppady, kdy m graffunkce piku a nelze sestrojit tenu. Jde o ppady funkc s absolutn hod-notou nebo na sebe navazujc dv rzn funkce, nap. rostouc linern funkcenavazujc na klesajc hyperbolu nepm mrnosti.

c) Body, v nich je derivace nulov. Funkci zderivujeme jet jednou.Je-li v uvaovanm bod druh derivace kladn, resp. zporn, m v tomtobod funkce lokln minimum, resp. maximum. Je-li v tomto bod druh de-rivace rovn nulov jako prvn derivace, budeme derivovat dl, dokud nena-razme na prvn nenulovou derivaci. Pi sudm poad prvn nenulov derivacenastv lokln extrm, a sice maximum (je-li tato derivace zporn) nebo mi-nimum (je-li kladn), a pi lichm poad nastv inexe. (Toto pravidlo jemon demonstrovat na mocninnch funkcch x2, x3, x4 atd., tedy obecn xn.Funkce xn m v bod x = 0 prvn nenulovou n-tou derivaci. Tedy pi sudmn m funkce xn v bod 0 minimum, pi lichm inexi, jak je z prbh tchtofunkc znmo.)

Rozhodnut, zda v bod x0 je v ppad nulov prvn derivace lokln ma-ximum, lokln minimum nebo inexe, nemusme provdt dalm derivov-nm funkce. asto posta vyut intuitivn pedstavu: Je-li spojit funkce prox < x0 rostouc a pro x > x0 klesajc, pak je zejm v bod x0 maximum. Na-opak, je-li pro x < x0 klesajc a pro x > x0 rostouc, pak je zejm v bod x0

43

minimum. Je-li pi pechodu zleva doprava pes bod x0 funkce rostouc nebopi pechodu zleva doprava pes bod x0 klesajc, pak je zejm v bod x0inexe.

Pklad 7.1: Ndoba je naplnna kapalinou do vky h0 nade dnem ndoby,kter je v rovni okoln vodorovn roviny.

a) V jak vce h1 nade dnem ndoby je teba navrtat otvor, aby mla kapalinamaximln dostik?

b) Urete dlku dmax maximlnho dostiku.

d

x

y

h0

h

O

een:

a) Pi volb soustavy souadnic podle obrzku meme pro souadnice libovol-nho bodu trajektorie vodorovnho vrhu pst

x = vt , y = h 12gt2 , kde v =

2g(h0 h)

je vtokov rychlost kapaliny ve vce h nade dnem ndoby. Ozname t1dobu letu vybranho elementu kapaliny. V okamiku dopadu plat y = 0,x = d. Z rovnice pro y-ovou souadnici plyne

0 = h 12gt21 , t1 =

2hg.

Dosazenm do rovnice pro x-ovou souadnici urme zvislost dlky dostikuna vce otvoru:

d(h) = vt1 =2g(h0 h)

2hg

= 2h0h h2 .

Vzhledem k monotnnosti druh odmocniny sta nalzt maximum vrazupod odmocninou. Jeho derivace je

44

ddh (h0h h

2) = h0 2h .Z podmnky nulov derivace poloenm h = h1 dostaneme hledanou vku

h1 =h02 . Z tvaru derivace je dle zejm, e na uvaovanm intervalu 0, h0

je pro h < h1 derivace kladn a tedy funkce d(h) je rostouc, pro h > h1je derivace zporn a tedy funkce d(h) je klesajc. Nalezen lokln extrm

pro h1 =h02 je proto skuten maximem tto funkce.

b) Maximln dlku dostiku dmax zskme dosazenm hodnoty h = h1 dofunkce d(h):

dmax = 2

h0 h02

(h02

)2= h0 .

Pklad 7.2: V homogennm thovm poli bylo z vodorovn roviny pod eleva-nm hlem vreno tleso s poten rychlost v0.

a) Napite parametrick rovnice pohybu tlesa, kter popisuj zvislost souad-nic x, y na ase, a z nich odvote rovnici trajektorie tlesa.

b) Urete souadnice x1, y1 nejvyho bodu trajektorie pomoc derivace y-ovsouadnice polohy tlesa, jednak podle asu, jednak podle x-ov souadnice.

c) Odvote vzorec pro dlku vrhu a pomoc derivace urete elevan hel, prokter je dlka vrhu maximln.

een:

a) Pro souadnice tlesa v zvislosti na ase plat

x(t) = v0t cos , (1)

y(t) = v0t sin 12gt2 . (2)

Vylouenm parametru t z rovnic (1) a (2) dostaneme

y(x) = x tg g2v20 cos

2 x2 . (3)

b) Derivac funkce (2) podle t dostaneme

d y(t)dt = v0 sin gt .

Z podmnky d y(t)dt = 0 plyne t =v0 sin

g. Dosazenm do rovnic (1) a (2)

dostaneme souadnice bodu s maximln vkou:

45

x1 =v20 sin 2

2g , y1 =v20 sin

2 2g .

Obdobn derivace funkce (3) podle x je

d y(x)dx = tg

gv20 cos

2 x .

Z podmnky d y(x)dx = 0 plyne x1 =v20 sin 2

2g a dosazenm do (3) pak

dostaneme y1 =v20 sin

2 2g .

c) Z podmnky y(x) = 0 v rovnici (3) plyne

x

(tg gx

2v20 cos2

)= 0 .

Jeden koen x1 = 0 uruje poten bod vrhu, druh koen x2 =v20 sin 2

gmsto dopadu a souasn dlku vrhu. Derivace dlky vrhu podle elevanhohlu je

dx2d =

2v20g

cos 2 .

Z podmnky dx2d = 0 plyne cos 2 = 0, tedy = 45.

Pklad 7.3: Kivka vyjadujc Maxwellovo rozdlen rychlost molekul idel-nho plynu, jeho molekuly maj hmotnost m0, je dna funknm pedpisem

N(v) =

2p

(m0kT

)3v2e

m0v2

2kT .

a) Urete pro danou teplotu T danho plynu nejpravdpodobnj rychlost vp.b) Odvote vztah mezi nejpravdpodobnj rychlost vp a stedn kvadratickou

rychlost

vk =

3kTm0

.

een:

a) Hledme maximum znm kivky. Plat

dN(v)dv =

2p

(m0kT

)3ve

m0v2

2kT

(2 m0

kTv2).

46

Z podmnky dNdv = 0 plyne v = vp =

2kTm0

. Snadno se pesvdme,

e pro v < vp nabv derivace kladnch hodnot, tud funkce N = N(v)roste, pro v > vp je naopak derivace zporn, tud funkce kles. Proto prov = vp nastv skuten maximum.

b) Z porovnn vztah pro vp a vk plyne vp =

23vk.

Pklad 7.4: Perioda kmit tuh homogenn tye dlky l a zanedbatelntlouky, upevnn otiv ve vzdlenosti x od tit, je dna vztahem

T = 2p

JD,

kde J = 112ml2 +mx2 je moment setrvanosti tye o hmotnosti m vzhledem

k ose oten umstn ve vzdlenosti x od tit a D = mgx je direknmoment.

a) Urete takovou vzdlenost x1 osy oten od tit, pro kterou je periodakmit minimln.

b) Urete obecn tuto periodu Tmin, a potom seln pro l = 1,00 m, g == 9,81 m s2.

een:

a) Perioda kmit po dosazen a prav je

T = 2p

l2 + 12x2

12gx .

Vzhledem k monotnnosti druh odmocniny sta nalzt minimum vrazupod odmocninou. Jeho derivace je

ddx

(l2 + 12x2

12gx

)= ddx

(l2

12gx +xg

)= 12x

2 l212gx2

.

Derivace je nulov pro x1 =36 l = 0,289 l. Z tvaru derivace je dle zejm,

e na uvaovanm intervalu (0, l/2 pro x < x1 je derivace zporn atedy funkce klesajc, pro x > x1 je derivace kladn a tedy funkce rostouc.V bod x1 proto skuten nastv minimum.

b) Minimln perioda je Tmin = T (x1) = 2p

33

lg= 1,52 s .

47

(Pro osu na konci tye vychz T = 2p

23lg= 1,64 s.)

Pklad 7.5: Na jednozvratn pce mme zdvihnout tleso o hmotnosti mumstn ve vzdlenosti d od podpry. Pku tvo homogenn ty s linernhustotou .

a) Urete dlku tye x1 tak, aby psobc sla na jej konci byla minimln.b) Urete velikost Fmin tto sly.

ete obecn, pak pro hodnoty m = 120 kg, d = 40 cm, = 8,00 kg m1,g = 9,81 m s2.een:

a) Pro momenty sil vzhledem k vodorovn ose oten kolm k tyi a proch-zejc bodem A podle momentov vty plat:

Fx = mgd+ xgx2 ,

kde x je hmotnost tye. Z rovnice vyjdme slu

F (x) = mgdx

+ gx2

a zderivujeme:

dF (x)dx =

(mdx2

+ 2

)g .

Ad

x

mg

xg

F

Derivace je nulov pro x1 =

2md

(zporn koen nem fyzikln v-

znam).Druh derivace

48

d2F (x)dx2

= mgd2x3

je pro x = x1 kladn, pi dlce pky x1 je sla skuten minimln. selnvychz x1 = 3,46 m.

b) Hledan minimln sla pak je Fmin = F (x1) = g2md = 272 N.

Pklad 7.6: Kvdr o hmotnostim mme vlci rovnomrnm pohy-bem po vodorovn podloce. Soui-nitel smykovho ten mezi kvdrema podlokou je f .

a) Urete hel 1 mezi psobc si-lou a podlokou tak, aby velikostsly F byla nejmen.

b) Urete tuto velikost Fmin.

ete nejprve obecn, pak pro hod-notu f = 0,7.

mg

F

Ft

een:

a) Svisl sloka F sin sly F zpsobuje nadlehen tlesa tak, e pro velikosttec sly plat

Ft = f(mg F sin) .Vodorovn sloka F cos sly F je pi rovnomrnm pohybu rovna velikostitec sly Ft. Z rovnosti plyne

F = fmgcos+ f sin .

Hledme takov hel 1, pi kterm je velikost sly F minimln. Protoderivujeme velikost sly F podle hlu :

dFd =

fmg(sin f cos)(cos+ f sin)2

.

Z podmnky dFd = 0 plyne tg = f . Jeliko pro < 1 jedFd < 0 a pro

> 1 jedFd > 0, je pro < 1 funkce klesajc a pro > 1 rostouc.

Pro hel 1 m funkce F = F () minimum. seln je 1 = 35.

b) Nejprve sinus a kosinus nahradme funkc tangens. Ze vztah

49

tg = sincos , sin2 + cos2 = 1

plyne pro 0, 90

sin = tg1 + tg2

, cos = 11 + tg2

.

Dosazenm do rovnice

F = fmgcos+ f sin dostaneme F = fmg

1 + tg2

1 + f tg .

Hledanou minimln velikost sly zskme poloenm tg = tg1 = f . Po

prav dostaneme Fmin =fmg1 + f2

= 0,57mg.

loha 7.1: Tleso bylo vreno ve vce h0 = 12 m nad vodorovnm ternempoten rychlost v0 = 18 m s1 pod hlem = 35. Napite rovnicitrajektorie vrhu a urete souadnice nejvyho bodu trajektorie.

loha 7.2: Urete vku h1, z n musme vrhnout tleso vodorovnm sm-rem, aby dopadlo minimln rychlost do dan vzdlenosti d = 25 m menve vodorovn rovin od svislho prmtu msta vrhu. Urete tuto minimlnrychlost vmin a poten rychlost vrhu v0.

loha 7.3: Ze stanovho tbora pote-buj vyslat bce se zprvou do blzkvesnice. Pob-li po poli kolmo k pmsilnici lec ve vzdlenosti d1 = 700 mod tbora, bude muset jet urazit posilnici vzdlenost d2 = 1 200 m. Rych-lost bce na poli je v1 = 3,0 m s1, nasilnici v2 = 5,0 m s1. Pro bce budevhodnj bet k silnici ikmo.

vesnice

tbor

d1

d2

x

Urete vzdlenost x od vesnice, kde se mus dostat na silnici, aby celou trasuurazil v nejkratm ase. Urete tento minimln as tmin.

loha 7.4: Urete as t1, v nm je zrychlen z lohy 4.1 minimln. Uretetoto minimln zrychlen amin.

loha 7.5: etz o hmotnosti m a dlce l je za jeden konec zaven tak, e sedruhm koncem dotk zem. Urete maximln kinetickou energii etzu pouvolnn.

loha 7.6: Teplotn objemovou roztanost vody lze v rozmez teplot od 0 Cdo 30 C popsat rovnic

50

V = V0(1 + 1t+ 2t2 + 3t3) ,

kde 1 = 6,43 105 K1, 2 = 8,51 106 K2, 3 = 6,79 108 K3 jsouempiricky uren hodnoty a V0 je objem pi teplot 0 C.

a) Urete pi jak teplot tmin je podle uveden aproximace objem v danmintervalu teplot minimln a pi jak teplot tmax maximln.

b) Urete objemy vody Vmin, Vmax pi tchto teplotch.

loha 7.7: Z vlcovho kmene o prmru d mme vytesat trm obdlnkovhoprezu. Prohnut trmu podepenho na obou koncch a zatenho uprostedsilou F uprosted trmu je pi malm zaten (tj. v mezch prunosti) dnovztahem

y = 14El3

a3bF ,

kde E je modul prunosti, l dlka, a vka a b ka trmu. Urete rozmrya0, b0 trmu tak, aby pi dan dlce l a danm zaten F byl prhyb trmuminimln. Urete tento minimln prhyb ymin.

loha 7.8:Graf znzoruje zvislost tlakuidelnho plynu na objemu. Urete mini-mln a maximln teplotu a odpovdajcobjemy idelnho plynu pi dji AB. Vyj-dete je pomoc teploty T0, kterou ml plynve stavu s objemem V0 a tlakem p0.

p

p0

2p0

O V0 2V0 3V0 V

T0

A

B

51

Vsledky loh

1.1, 1.2 v(t) = 3At2 +B.

2.1 v(t) = 32At, a(t) = 3A

4t, pohyb s konstantnm vkonem.

2.2 a) h = 3

3QV h20tpR2

, b) v = dhdt =3

QV h

20

9pR2t2, c) a = dvdt =

233

QV h

20

9pR2t5.

2.3 a) drdt = k, b)dSdt = 8pk(r0 kt), c) N =

4p3V1

(r0 kt)3,

d) dNdt = 4pkV1

(r0 kt)2.

2.4 pm =12my

2m

g3

l3= 5,8 mW.

3.1 vy =dydt = ym cos(t+ 0),

ay =dvydt = ym

2 sin(t+0).

W V

\ PY

\

PV

D

\

PV

D

\

Y

\

\

3.2 vy =dydt = yme

bt( cost b sint),

ay =dvydt = yme

bt[(b2 2) sint 2b cost].

W V

\ P

W V

Y PV

WV

D PV

3.3 a) x = r sint, y = r cost, vx = r cost, vy = r sint,ax = r2 sint, ay = r2 cost, kde = 2pT , T = 3 600 s.b) v = r = 0,0035 m s1, a = r2 = 6,1 106 m s2.

3.4 a) vx = r sint, vy = r cost, vz = v0, v =r22 + v20.

b) ax = r2 cost, ay = r2 sint, az = 0, a = r2.

52

c) Velikost rychlosti je sice konstantn, ale mn se jej smr.

d) Sloenm dvou harmonickch pohyb se vzjemnm fzovm posunu-tm o p/2 vznik v rovin os x a y rovnomrn pohyb po krunici. Dal-m sloenm s rovnomrnm pmoarm pohybem ve smru kolmmk rovin krunice dostaneme rovnomrn pohyb po roubovici.

3.5 a) x = v0t+ r sinv0Rt, y = r cos v0

Rt,

vx = v0

(1 + r

Rcos v0

Rt

), vy = v0 rR sin

v0Rt,

ax = rv20

R2sin v0

Rt, ay = rv

20

R2cos v0

Rt.

b) v = v0

2(1 + r

Rcos v0

Rt

), a = rv

20

R2.

c) vmin = v0

2(1 r

R

)pro t = (2k + 1)pR

v0= kT + T2 ,

vmax = v0

2(1 + r

R

)pro t = k 2pR

v0= kT .

3.6 a) Hmotn bod kon vodorovn vrh v homogennm thovm poli za sou-asnho harmonickho pohybu v rovin kolm k rovin vrhu.

b) v(t) = v0 i + ym sint j gt k.c) a(t) = ym2 cost j g k.d) v(t) =

v20 + y2m2 sin

2 t+ g2t2.

e) a(t) =y2m

4 cos2 t+ g2.

f) amin = g, amax =y2m

4 + g2.

3.7 x = r cost+l2 r2 sin2 t, vx = r sint

(1 + r cost

l2 r2 sin2 t

).

4.1 at =

P2mt, an =

2Pmr

t, a =

Pm

(12t +

4Pmr2

t2).

5.1 F = vdmdt = 30 80060 N = 40 N.

5.2 1a) Fx = 0.

53

1b) Fx = vxdmdt = 6 15 N = 90 N, lokomotiva thne.

1c) Fx = vxdmdt = 6 15 N = 90 N, lokomotiva je tlaena.

2a) Fx = mdvxdt , seln Fx = (60 000 15t) 0,4 = 24 000 6t.

2b) Fx = mdvxdt +vx

dmdt , seln Fx = (60 00015t)0,4+615 = 24 0906t.

2c) Fx = mdvxdt +vx

dmdt , seln Fx = (60 00015t)0,4615 = 23 9106t.

5.3 F = mdvdt + vdmdt = (400 000 0,1 + 25 60) N = 41 500 N.

5.4 F = mdvdt + vdmdt , seln F = (8 000 4t) 0,5 + 20 4 = 4 080 2t.

5.5 F = mdvdt + vdmdt = (m0 + kt)a+ akt = m0a+ 2akt.

6.1 a) 9 600 kg s1.b) a(t1) = 2,5 m s2, a(t2) = 11,0 m s2.

7.1 y(x) = h0 + x tg g2v20 cos2 x2,

x1 =v20 sin 2

2g = 15,5 m, y1 = h0 +v20 sin

2 2g = 17,4 m.

7.2 h1 =d2 = 12,5 m, vmin =

2gd = 22,1 ms1, v0 =

gd = 15,7 ms1.

7.3 x = d2 d1 v1v22 v21

= 675 m, tmin =d2v2

+d1v22 v21v1v2

= 427 s.

7.4 t1 = 3mr2

8P , amin =2 3

P 2

m2r.

7.5 Ek =14mgl v okamiku, kdy je v pohybu polovina etzu.

7.6 a) tmin = 3,97 C, tmax = 30 C.

b) Vmin = 0,999 87V0, Vmax = 1,003 90V0.

7.7 a0 =32 d, b0 =

12d, ymin =

43

9El3

d4F.

7.8 V (Tmin) = V0, Tmin = 2T0, V (Tmax) =52V0, Tmax =

258 T0.

54

Dodatek procviovn derivac

Pklad: Naleznte derivace funkc:

a) y =x b) y = sinxcosx c) y = sin

2 x d) y =1 x2

een:

a) Odmocninu pevedeme na mocninu a uijeme vzorec (D4):

ddxx = ddxx

1

2 = 12x1

2 = 12x.

b) Uitm (P4) pro derivaci podlu dostaneme

ddx

sinxcosx =

(ddx sinx

) cosx sinx ddx cosx

cos2 x= cos

2 x+ sin2 xcos2 x

=

= 1cos2 x

.

Souasn jsme tak dokzali vzorec (D7).

c) Funkce je sloen, zavedeme substituci. Ozname z = sinx vnitn funkci,pak y = z2. Podle (P5) je derivace tto sloen funkce rovna souinu deri-vace vnj funkce y podle vnitn funkce z a derivace vnitn funkce z podlepromnn x, tedy

dydx =

dydz

dzdx (formln je vraz rozen diferencilem dz).

Jeliko dydz =ddz z

2 = 2z a dzdx =ddx sinx = cosx,

dostaneme po dosazen dydx = 2z cosx = 2 sinx cosx = sin 2x.d) Obdobn y =

z, z = 1 x2.

Tedy dydz =1

2z= 1

21 x2 ,

dzdx = 2x.

Souin derivac je dydx =dydz

dzdx =

x1 x2 .

Po jist zkuenosti je mono upustit od substituce a pst rovnoudydx =

ddx1 x2 = d

d(1 x2)1 x2 ddx (1 x

2) =

= 121 x2 (2x) =

x1 x2 .

55

loha: Naleznte derivace funkc:

a) y = 0,5x4 6x3 + 2b) y = ax2 + bx+ c

c) y = x3

2

d) y = 1x

e) y = (3x 1)2

f) y = x 1x

g) y = sinx2

h) y =cosx

i) y = 2 cos 2x

j) y = sinx cosxk) y = sin 3x cos2 xl) y = a sin(bx+ c)

m) y = ln 2xn) y = x2 lnxo) y = ln(x2 + 1)p) y = 3e2x

q) y = xex

r) y = ex cosx

s) y = x3 2x+ 5x2 1

t) y = sinxsinx+ cosx

u) y = ln x 1x+ 1

v) y =

1 + x1 x

w) y = ax+ bcx+ d

x) y = (1 + sinx) tg xy) y = tg

3x+ 1

z) y = etg 2x

Vsledky:

a) 2x3 18x2b) 2ax+ b

c) 32x5

2

d) 1x2

e) 6(3x 1)f) 1 + 1

2x3

g) 2x cosx2

h) sinx2cosx

i) 4 sin2xj) cos 2xk) 3 cos 3x cos2 x sin 3x sin 2xl) ab cos(bx+ c)

m) 1x

n) x(2 lnx+ 1)

o) 2xx2 + 1

p) 6e2xq) (1 x)exr) ex(cosx sinx)s) x

4 x2 10x+ 2(x2 1)2

t) 1(sinx+ cosx)2

u) 2x2 1

v) 1(1 x)1 x2

w) a(cx+ d) c(ax+ b)(cx+ d)2

x) sinx+ 1 + sinxcos2 x

y) 323x+ 1 cos2

3x+ 1

z) 2etg 2x

cos2 2x

56