Click here to load reader

UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIQKI FAKULTET Radmila

  • View
    0

  • Download
    0

Embed Size (px)

Text of UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIQKI FAKULTET Radmila

Glava 1. Teorija skupova 5
1. Paradoksi u teoriji 5
2. Pristupi koji omoguavaju izbegavae paradoksa 7
2.1. Logicistiqki pristup 7
2.2. Intuicionistiqki pristup 7
2.3. Aksiomatski pristup 7
3.1. Direktan (Dekartov) proizvod skupova 10
3.2. Aksioma izbora 10
1. Hauzdorfov princip maksimalnosti 12
2. Cornova lema 14
1. Konaqnost 16
3. Problemi u teoriji grafova 23
3.1. Bojee grafova 23
Glava 4. Zak uqak 31
Literatura 32
1
Predgovor
Sedi i mirno razgovara grupa udi odreene profesije. Na koji naqin saznati
da li su oni matematiqari? Jedna od mogunosti jeste da im priete i postavite
pitae xta oni misle o Aksiomi izbora. Ako ti udi nisu matematiqari, uputie
vam qudan pogled i nastaviti svoj razgovor. Ako su oni ipak matematiqari, postoji
velika xansa da e se sada ihov razgovor pretvoriti u uqnu raspravu. Jedni e
tvrditi da je treba prihvatiti, drugi e insistirati na tome da se ona u celosti
odbaci, trei e se zalagati za kompromis u vidu prihvataa neke oslab ene verzije,
a sigurno je samo jedno: kraj rasprave nee biti ni blizu.
Iako su se danas strasti oko Aksiome izbora smirile, i veina matematiqara
prihvata Aksiomu izbora, smatrajui da ene dobre strane nadvladavaju loxe,
gori scenario je bio vrlo mogu pre nekoliko desetina godina.
Opxte je prihvaeno da je u matematici sve striktno definisano i da logiqkim
sledom sve proizilazi jedno iz drugog. Kako je onda mogue da se matematiqari
decenijama rasprav aju o prihvatau matematiqkog stava? Va da se matematiqki
stav ili prihvata ili odbacuje. On je ili taqan, ili netaqan, zar ne?
Pa, i nije tako. Nemogue je da sve proizilazi logiqnim sledom. Od neqeg se
mora krenuti. Takvi stavovi su Aksiome. One se ne dokazuju, nego se prihvataju.
Za ih su se struqaci sloili da su dovo no oqigledne i da a nauka je na ima
izgraena. U qemu je onda problem sa Aksiomom izbora, ako i ona deluje oqigledno?
Iako Aksioma izbora deluje oqigledno, u oj su mnogi zak uqci koji se suprot-
stav aju zdravoj logici qoveka. Banah1 i Tarski2 su 1924. godine pokazali da Ak-
sioma izbora daje sledee tvree: data lopta se moe podeliti na broj delova
(kasnije je utvreno da je dovo an broj pet) takvih da se zatim od dobijenih de-
lova mogu sastaviti dve lopte, koje su identiqne polaznoj. Ako se na sve ovo doda i
qienica da Aksioma izbora pripada oblasti teorije skupova, a teorija skupova sa
formalnom logikom qini teme qitave danaxe matematike, sasvim je jasno zaxto
se Aksioma izbora naziva "Ahilova peta" za sve matematiqare, a ne samo za one koji
su u neposrednom dodiru sa om.
Cermelo3-Frenkelova4 teorija skupova sa aksiomom izbora (ZFC) je aksiomatski
sistem koji se pojavio poqetkom XX veka kao odgovor na problem kako formulisati
teoriju skupova bez paradoksa. Danas je (ZFC) standardni naqin za aksiomatizaciju
teorije skupova i zasnivaa matematike. Uloga aksiome izbora (AC) u ZFC koja je
1Stefan Banach (1892|1945), po ski matematiqar 2Alfred Tarski (1901|1983), po ski matematiqar 3Ernst Friedrich Ferdinand Zermelo (1871|1953) nemaqki logiqar, matematiqar 4Abraham Halevi (Adolf) Fraenkel (1891|1965) izraelski matematiqar
2
PREDGOVOR 3
u poqetku bila sporna, kasnije je dobro izuqena. A zahva ujui Gedelu5 i Koenu6,
znamo da je AC nezavisna od ZF i saglasna sa ZF (ZFC bez AC).
Kao xto je dobro poznato, samo u ZF mnogo teorema u matematici prestaje da
vai. Izuqavau teorema qiji dokazi zahtevaju AC posveeno je dosta pae, a
posebno se izdvajaju one teoreme koje su ekvivalentne sa AC. Takoe, dobro su izuqene
i teoreme qiji dokazi zahtevaju neke slabije verzije AC, kao npr. aksioma prebro-
jivog izbora (CC).
U ovom master radu polazna taqka bie pretpostavka da postoji model u ZF
u kojem se pojmovi konaqnog (u smislu Tarskog) i D-konaqnog skupa ne poklapaju.
Zatim, bie predstav ena neka poznata matematiqka tvrea (iz algebre, teorije
grafova, ...) koja ne moraju da vae u ZF. Takoe bie predstav eno koja su tvrea
meusobno ekvivalentna u ZF, i koja su ekvivalentna sa AC, odnosno CC u ZF.
5Kurt Godel (1906|1978) austrijsko-ameriqki matematiqar, logiqar 6Paul Joseph Cohen (1934|2007) ameriqki matematiqar
Uvod
Razvoj matematiqke logike kroz vekove
Stari Grci su bili prvi narod u istoriji koji se bavio problemima logiqkog
zak uqivaa, i oni su postavili teme e logike (prvenstveno kao dela filozofije).
Najpoznatiji Grqki filozofi-nauqnici koji su bili zaqetnici logike kao nauke
su Tales7, Pitagora8, Parmenid9, Zenon10, Protagora11, Sokrat12, Platon13 i Aristo-
tel14.
Jedna posebna grupa filozofa, tzv. sofisti, bavila se poduqavaem vextina
rasprav aa koja je starim Grcima najvixe koristila prilikom uqea u uprav au
gradom-polisom, i u liqnim sporovima. Izmeu ostalog, sofisti su bili poznati
po svojim priqama, tzv. sofizmima, u kojima se polazei od prividno istinitih
pretpostavki, po pravilima logiqkog zak uqivaa, stie do apsurdnih zak uqaka.
Aristotela su takvi sofizmi motivisali da sakupi i katologizira sve do tada poz-
nate xeme ispravnog, logiqnog zak uqivaa u svom delu "Organon". Aristotelova
logika, koja je poznata i pod nazivom Aristotelova teorija silogizama qinila je
skoro dve hi ade godina obavezan deo svakog ozbi nog obrazovaa.
Nakon mraqnog sredeg veka dolazi do pomaka u logici kao nauci, i to moemo
videti u delima nauqnika-filozofa, pre svega Dekarta15 i Lajbnica16. U XIX veku,
sa radovima or a Bula17 stie prava matematiqka logika. On je u svojoj teoriji
(tzv. raqun klasa) razvio dve ideje: prvo, da prilikom rada sa iskazima treba
koristiti oznake, i drugo, da zakoni mix ea imaju mnogo sliqnosti sa zakonima
aritmetike. On je koristio tri fundamentalne operacije meu klasama (koje mi
danas zovemo unija, presek i komplement) pomou kojih je zapisao i dokazao osnovne
zakone iskaznog raquna. Danas su ti identiteti poznati pod nazivom aksiome Bulove
algebre.
7Tales iz Mileta (624. p.n.e.|547(546). p.n.e) starogrqki matematiqar, filozof 8Pitagora sa Samosa (oko 570. p.n.e.|oko 495 p.n.e.) starogrqki matematiqar, filozof 9Parmenid iz Eleje (oko 500. p.n.e.|450. p.n.e.) starogrqki filozof 10Zenon iz Eleje ( 490. p.n.e.| 430. p.n.e.) starogrqki filozof 11Protagora iz Abdera (486. p.n.e.|411. p.n.e.) starogrqki filozof 12Sokrat iz Alopeke (470. p.n.e.|399. p.n.e.) starogrqki filozof 13Platon iz Atine (427. p.n.e.|347. p.n.e.) starogrqki filozof 14Aristotel iz Stagira (384. p.n.e.|322. p.n.e.) starogrqki filozof i besednik 15Ren Descartes (1596|1650) francuski filozof, matematiqar i nauqnik 16Gottfried Wilhelm Freiherr (baron) von Leibniz (1646|1716) nemaqki filozof, matematiqar 17George Boole(1815|1864) engleski matematiqar, filozof
4
1. Paradoksi u teoriji
Teoriju skupova su stvorili matematiqari XIX veka koji su hteli da proxire os-
nove matematiqke analize, i prvi radovi iz te oblasti bili su posveeni skupovima
brojeva i skupovima funkcija. Skupove sa proizvo nim elementima prvi je poqeo
da prouqava Georg Kantor1, i on se smatra osnivaqem tzv. naivne teorije skupova.
U periodu od 1871. do 1883. godine on je postavio teme e dobro ureenih skupova i
objavio prve radove o kardinalnim i ordinalnim brojevima.
Kantorova teorija skupova je u poqetku nailazila na protiv ee i nezaintereso-
vanost veine matematiqara i filozofa, i tek poqetkom devedesetih godina poqie
naglo primeivae teorije skupova u analizi i geometriji. Kantor 1895. godine
sree prvi paradoks2 u svojoj teoriji i saopxtava ga Hilbertu3, ali ga i ne objav uje.
Burali-Forti4 ponovo otkriva taj paradoks, publikuje ga, i danas je on poznat pod
nazivom Buralii-Fortijev paradoks.
Burali-Fortijev paradoks (1897): U teoriji ordinalnih brojeva, svakom dobro
ureenom skupu odgovara jedinstven ordinal. Takoe, svaki poqetni segment ordi-
nala (skup ordinala koji sa svakim svojim elementom sadri i sve ordinale mae od
ega) je prirodno dobro ureen i odgovara mu ordinal koji je vei od svih ordinala
u segmentu (zapravo, nije texko videti da ordinal koji odgovara skupu ordinala
koji su mai od α, bax α). Kako je skup W svih ordinala prirodno dobro ureen,
emu odgovara ordinal ω. Ordinal ω mora da pripada W , jer W sadri sve ordi-
nale. Ali sa druge strane, ω je vei od svih ordinala u W , pa specijalno ω < ω.
Kontradikcija.
Dve godine kasnije, Kantor otkriva sliqan paradoks u teoriji kardinala.
Kantorov Paradoks (1899): Po Kantorovoj teoremi, skup P (S) je vee kardinal-
nosti od S. Meutim, postoji skup kod koga to nije sluqaj. Uzmimo skup svih skupova
(U) i egov partitivni skup P (U). Prema Kantorovoj teoremi, odnos ihovih kar-
dinalnosti bi trebalo da je sledei: |U | < |P (U)|. Meutim, to je nemogue poxto
je P (U) ⊆ U (jer se svi qlanovi skupa P (U) moraju sadrati u U), a to znaqi da,
1Georg Cantor (1845|1918) nemaqki matematiqar 2Paradoks (ili antinomija) je rasuivae koje vodi u protivreqnost iako izgleda da su polazne pretpostavke taqne, a pravila rasuivaa ispravna. 3David Hilbert (1862|1943) nemaqki matematiqar 4Cesare Burali-Forti (1861|1931) italijanski matematiqar
5
6 1. TEORIJA SKUPOVA
prema definiciji podskupa, mora da vai |P (U)| < |U |. Rasel5, 1901. godine analizira dokaz Kantorove teoreme i konstruixe novi paradoks,
koji je mnogo elementarniji.
Raselov paradoks (1901): Posmatrajmo skup S = {X : X /∈ X}, tj. skup svih
skupova koji nisu elementi samog sebe. Postav a se pitae da li je S element od
S ili nije? Odgovor na to pitae je kontradiktoran, jer po definiciji skupa S, S
element od S ⇔ S nije element od S.
Istovremeno, a nezavisno od Rasela, taj isti paradoks je razmatrala grupa matem-
atiqara na qelu sa Cermelom.
Paradoks brice: Bilo jednom jedno selo koje je imalo svog bricu. Brica je brijao
taqno one ude u selu koji se ne briju sami. Pitae je da li se brica sam brije ili
ne?
Raselov paradoks nas podsea na priqu o "selu i brici", ali priqa o "selu i brici"
ima jasno rexee: Brica je samokontradiktoran, pa jednostavno zak uqujemo da
takvo selo ne moe da postoji. Meutim, u sluqaju skupa S iz Raselovog paradoksa
nije jasno zaxto on ne bi postojao, zaxto je samokontradiktoran, kao i koji jox
skupovi u sebi nose sliqnu kontradikciju?
5Bertrand Russell (1872|1970) britanski filozof i matematiqar
2. PRISTUPI KOJI OMOGUAVAJU IZBEGAVAE PARADOKSA 7
2. Pristupi koji omoguavaju izbegavae paradoksa
Poqetkom XX veka, matematiqari i filozofi su analizirali paradokse u naivnoj
teoriji skupova i imali su razliqite planove za ihovo rexavae. U to vreme nije
bilo jasno xta bi mogla biti baza za eliminaciju Raselovog paradoksa.
Veinu pokuxaja da se izgradi sigurnija baza za teoriju skupova moemo podeliti
u tri grupe: to su logicistiqki, intuicionistiqki i aksiomatski pristup.
2.1. Logicistiqki pristup.
U logicistiqkom pristupu izdvajamo Raselovu opxtu teoriju klasa (tzv. teoriju
tipova). Rasel je u toj teoriji ograniqavao formule koje koristimo: svakom objektu
je dodelio nenegativan ceo broj("tip" objekta) i formula x ∈ y ima smisla samo
ako je tip y za jedan vei od tipa x. Paradoksi se ne jav aju u ovako dobijenoj
teoriji, ali su zbog strogog prihvataa teorije tipova mnogi rezultati postali
nepotrebno sloeni. Raselovu teoriju tipova je doradio i upotpunio Kvajn6, i ta
teorija skupova je nazvana ”New Foundation” (NF). Ona nikad nije postala opxte
prihvaena zbog svojih qudnih osobina (npr. nesaglasnost sa Aksiomom izbora).
2.2. Intuicionistiqki pristup.
Intuicionisti uklaaju paradokse tako xto radikalno meaju logiku i time dovode
u pitae qitave grane klasiqne matematike. ihova osnovna odlika je ta xto oni ne
priznaju univerzalni karakter nekih osnovnih zakona logike i tvrde da se postajae
u matematici poklapa sa konstruktibilnoxu. Po ihovom naqinu razmix aa,
zakon o isk uqeu treeg (P ili ne P ) vai za konaqne skupove, ali ne postoji
opravdae da se prenese i na beskonaqne skupove. Takoe, intucionisti ne priz-
naju tzv. indirektne i egzistencijalne dokaze: tvree "nije istina da za svako
x vai P (x)", ne dokazuje postojae objekta x sa osobinom ¬P (x). Ovakav naqin
razmix aa, po ima moe biti samo povod za traee konstruktivnog dokaza.
Drugim reqima, intucionisti e priznati postojae objekta x samo ako imaju naqin
za egovu konstrukciju.
2.3. Aksiomatski pristup.
Cermelo je 1908. godine prvi dao aksiomatski sitem teorije skupova koji je kasnije
dopuno Frenkel i on se danas zove ZF sistem aksioma. Osim ZF sistema, koristi se
i tzv. NBG sistem aksioma. Tu teoriju je uveo fon Nojman7 i egova ideja je bila da
do kontradikcije u Kantorovoj teoriji skupova dolazi zato xto su ti skupovi neqiji
elementi. Zbog toga, on je nekim objektima zabranio da budu elementi nekog drugog
objekta i te objekte zovemo klase, a objekte koji su elmenti nekog drugog objekta
zovemo skupovi. Naravno, ni u jednoj teoriji se ne mogu izvesti poznati paradoksi
iz Kantorove teorije skupova.
6Willard Van Orman Quine (1908|2000) ameriqki filozof i logiqar 7Margittai Neumann Janos Lajos (1903|1957) maarsko-ameriqki matematiqar i nauqnik
8 1. TEORIJA SKUPOVA
3. ZF sistem aksioma
ZF teorija skupova je teorija prvog reda sa jednakoxu. U takvim teorijama,
"=" je logiqki simbol, pri qemu se x = y uvek interpretira kao jednakost objekata.
Jedini nelogiqni simbol ZF teorije jeste binarni relacijski simbol "∈". Po do-
govoru, umesto ¬x ∈ y pixemo x 6∈ y. Da e emo navesti sistem aksioma, koje nose
naziv ZF sistem aksioma.
1. Ako dva skupa imaju iste elemente, Ax1. Aksioma ekstenzionalnosti
oni su jednaki (∀y)(∀x)((∀z)z ∈ x⇔ z ∈ y)⇒ x = y
O praznom skupu
nema elemente (∃u)(∀x)x 6∈ u
Lako se moe dokazati (na osnovu Ax1) da je takav skup u, qiju egzistenciju
obezbeuje Ax2, jedinstven. Uobiqajeno se obeleava sa ∅, i zove prazan skup.
O skupu sa dva elementa
3. Ako su x i y skupovi, onda postoji Ax3. Aksioma para
skup koji sadri taqno (∀x)(∀y)(∃u)(∀z)(z ∈ u⇔ (z = x ∨ z = y))
x i y kao elemente
Koristei samoAx1, moe se dokazati da je skup u izAx3 jedinstven; obeleavamo
ga sa {x, y}. Po dogovoru, umesto {x, x}, pixemo samo {x}.
O uniji
4. Ako je x skup, onda postoji skup y Ax4. Aksioma unije
koji sadri sve elemente elemenata od x (∀x)(∃u)(∀z)(z ∈ u⇔ (∃v)(v ∈ x ∧ z ∈ v))
Skup u iz Ax4 je jedinstven i obeleavamo ga sa x. Uvodimo oznaku z ⊆ x za
formulu (∀t)(t ∈ z ⇒ t ∈ x). Ako je z ⊆ x, kaemo da je z podskup od x.
O partitivnom skupu
5. Ako je x skup, onda postoji skup u Ax5. Aksioma partitivnog skupa
koji sadri sve podskupove skupa x (∀x)(∃u)(∀z)(z ∈ u⇔ z ⊆ x)
Skup u iz Ax5 je jedinstven, i obeleavamo ga sa P(x).
3. ZF SISTEM AKSIOMA 9
O slobodi formiraa skupa
6. Imati "xto vixe" skupova, Ax6. Aksioma podskupa
ali izbei (∀z)(∃u)(∀x)(x ∈ u⇔ (x ∈ z ∧ (x)))
(bar poznate) paradokse gde je (x) proizvo na formula jezika
u teoriji skupova ZF, koja ne sadri promen ivu u
Kako za svaku takvu formulu (x) imamo po jednu aksiomu, za Ax6 kaemo da je
"xema aksioma". Poxto je za sve odgovarajue formule (x) skup u iz Ax6 jedin-
stven, uvodimo oznaku: {x | x ∈ z ∧ (x)} ili {x ∈ z | (x)}. Dakle, Ax6 nam
omoguava da (pod uslovom da je z neki skup), izdojimo u skup one elemente iz z koji
imaju osobinu .
Na osnovu Ax1 − Ax6, moemo definisati pojmove kao xto su: presek, raz-
lika, direktan proizvod skupova, relacije, funkcije, ordinali, kardinali, ... Ali,
treba primetiti da za sada nemamo obezbeenu egzistenciju beskonaqnog skupa. Svi
skupovi, koji se mogu konstruisati na osnovu aksioma Ax1 − Ax6 su konaqni. Ak-
sioma beskonaqnosti nam obezbeuje postojae beskonaqnog skupa.
O beskonaqnom skupu
skupovi (∃u)(∅ ∈ u ∧ (∀z)(z ∈ u⇒ z ∪ {z} ∈ u))
∅, {∅}, {∅, {∅}}, {∅, {∅}, {∅, {∅}}}, ...
i da ti skupovi imaju redom 0, 1, 2, 3, ... elemenata. Skup u iz Ax7 je induktivan
skup.
Ostale su nam jox dve bitne aksiome koje imaju zadatak da prilagode formalni
sistem odgovarajuoj intuitivnoj teoriji. Prva od ih slui da proxiri domen
modela formalne teorije, a druga da je malo "skrati".
O slikama skupova
Ax8. Aksioma zamene
8. Funkcija preslikava (∀a)((∀x ∈ a)(∃!y)φ(x, y)⇒ skup na skup (∃z)(∀x ∈ a)(∃y ∈ z)φ(x, y))
za sve formule φ(x, y) koje nemaju
slobodnu promen ivu y
Kao xto je Ax6, tako je i Ax8 xema aksioma. Ovu aksiomu je Cermelovom sistemu
dodao Frenkel. Sledea aksioma slui da isk uqi skupove u kojima bi vailo, na
primer: x ∈ x, ili x ∈ y ∧ y ∈ x.
10 1. TEORIJA SKUPOVA
O zabrani loxih skupova
9. Ne postoje skupovi sa osobinama Ax9. Aksioma regularnosti
x ∈ x, x ∈ y ∧ y ∈ x (∀x 6= ∅)⇒ (∃y ∈ x)(∀t)¬(t ∈ x ∧ t ∈ y)
x1 3 x2 3 x3 3 ... 3 xn 3 ...
Mogue je dokazati mnoge stvari i bez Ax9. Formalni sistem koji se oslaa samo
na Ax1−Ax8, obeleava se sa ZF−. Aksiome Ax1−Ax9 qine aksiomatski sistem za
ZF teoriju skupova.
3.1. Direktan (Dekartov) proizvod skupova.
Neka je n prirodan broj, X1, ..., Xn niz nepraznih skupova, a i indeks iz skupa
{1, ..., n}. ihov direktni proizvod se definixe kao skup svih n-nizova (x1, ..., xn),
takvih da je ispuen uslov: (∀i)xi ∈ Xi. Taj skup oznaqavamo sa
X1 × ...×Xn ili ∏ {Xi | i = 1, ..., n}
Ukoliko pridruimo svakom elementu i iz skupa I = {1, ..., n}, skup Xi, dobiemo
niz skupova X1, ..., Xn. Dakle, niz skupova moemo shvatiti i kao familiju
{Xi | i ∈ I = {1, ..., n}}. Niz (x1, ..., xn) ∈ X1 × ...×Xn, moemo posmatrati kao
preslikavae skupa indeksa I = {1, ..., n} u skup X = {Xi | i ∈ I = {1, ..., n}}, pri
qemu je ispuen uslov: (∀i)xi ∈ Xi.
Sada emo navesti opxtu definiciju direktnog proizvoda skupova. Neka je
{Xi | i ∈ I} familija nepraznih skupova. Direktni proizvod ove familije je skup∏ {Xi | i ∈ I}, qiji su elementi preslikavaa
x : I → {Xi | i ∈ I} = X
pri qemu je ispuen uslov (∀i) x(i) ∈ Xi.
3.2. Aksioma izbora.
Aksioma 1.1 (Aksioma izbora). Neka je {Xλ}λ∈Λ kolekcija nepraznih skupova.
Tada postoji funkcija g : Λ→ λ∈Λ
Xλ takva da za sve λ ∈ Λ vai g(λ) ∈ Xλ. Ovakva
funkcija naziva se funkcija izbora.
Mnogi matematiqari, uk uqujui i Kantora, koristili su neki oblik Aksiome
izbora jox krajem XIX veka, ali je nisu eksplicitno navodili. Rasel je Aksiomu
izbora 1906. godine formulisao na sledei naqin:
Aksioma 1.2 (Multiplikativna aksioma). Ako je (Xi)i∈I familija disjunktnih
nepraznih skupova, onda je proizvod ∏ i∈I
Xi 6= ∅.
Cermelo je Multiplikativnu aksiomu formulisao u opxtem sluqaju, tako da
skupovi u X ne moraju biti disjunktni.
Ekvivalencija ovih dveju formulacija gotovo je oqigledna. Ukoliko je (Xi)i∈I
familija nepraznih skupova, i ako znamo da postoji odgovarajua funkcija izbora
g, tada vai m = g(i)i∈I ∈ ∏ i∈I
Xi. Obrnuto, ukoliko znamo da je ∏ i∈I
Xi 6= ∅, tada
Xi, i moemo definisati funkciju izbora familije (Xi)i∈I
sa g(i) = πi(m).
Ove dve formulacije nada e emo ravnopravno koristiti. Uz to, uvedimo za
Aksiomu izbora skraenicu AC. Sistem ZF s pridruenom AC skraeno nazivamo
ZFC sistem.
Aksioma 1.3. AC(n), za n ∈ N, navodi da je za svaku familiju (Xi)i∈I n-
elementnih skupova, proizvod ∏ i∈I
Xi neprazan.
Sada emo navesti neke slabije verzije AC.
Aksioma 1.4. Aksioma prebrojivog izbora (CC) navodi da je za svaki niz (Xn)n∈N
nepraznih skupova Xn, proizvod ∏ n∈N
Xn neprazan.
Aksioma 1.5. CC(R) navodi da je za svaki niz (Xn)n∈N nepraznih podskupova
Xn od R, proizvod ∏ n∈N
Xn neprazan.
GLAVA 2
Ekvivalenti aksiome izbora
U ovom delu emo navesti tri teoreme o parcijalnom ureeu i videti u kakvoj
su oni vezi s Aksiomom izbora.
1. Hauzdorfov princip maksimalnosti
Lema 2.1. Pretpostavimo da vai AC. Neka je X neprazan skup, i neka je
kolekcija A ⊆ P(X) parcijalno ureena relacijom ⊆. Pretpostavimo da su ispueni sledei uslovi:
a) ∅ ∈ A; b) ako je S ∈ A i R ⊆ S, tada je i R ∈ A; v) ako je L lanac u A, tada
L ∈ A.
Tada u A postoji maksimalan element.
Dokaz. Posmatrajmo preslikavae g :…