UNIVERZITA KONŠTANTÍNA FILOZOFA V NITREFAKULTA PRÍRODNÝCH VIED

KVANTUM

2010N I T R A

Aba TelekiBoris Lacsny¼ubomir Zelenicky

Aba Teleki

Boris Lacsný

Ľubomír Zelenický

KVANTUM

KEGA 03/6472/08Nitra, 2010

Obsah

1 Časticovo-vlnový charakter mikročastíc 51.1 Vlnový charakter fotónu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2 Časticový charakter fotónu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.1 Jednotky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.2.2 Hmotnosť . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3 Fotoelektrický jav . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.3.1 Vnútorný fotoelektrický jav . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.4 Comptonov jav . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.5 Tvorba párov a anihilácia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.6 Absorpcia fotónov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.7 Úlohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.7.1 fotón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2 Tepelné žiarenie 312.1 Viditeľné svetlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.2 Absolútne čierne teleso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.3 Wienov posuvný zákon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.4 Stefanov-Boltzmannov zákon . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.5 Planckov vyžarovací zákon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.5.1 Rayghleiho-Jeansov zákon . . . . . . . . . . . . . . . . 422.5.2 Wienov zákon žiarenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.5.3 Konečné riešenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.5.4 Vzťah hustoty energie a intenzity žiarenia . . . . . . . 51

2.6 Úlohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3 Model atómu 593.1 Model atómu pred Rutherfordom . . . . . . . . . . . . . . . . 593.2 Rutherfordov rozptylový experiment . . . . . . . . . . . . . . 64

3.2.1 Účinný prierez ako plocha a pravdepodobnosť . . . . . 66

i

ii

3.3 Rutherfordov rozptylový experiment . . . . . . . . . . . . . . 673.4 Diferenciálny účinný prierez dσ . . . . . . . . . . . . . . . . . 693.5 Meranie účinného prierezu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3.5.1 Rozptyl na jednom terčíkovom jadre . . . . . . . . . . 74

4 Bohrov model atómu 774.1 Série spektrálnych čiar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 774.2 Bohrov model atómu a jeho úspechy . . . . . . . . . . . . . . 78

4.2.1 Rydbergova formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 834.2.2 Vodíku podobné atómy . . . . . . . . . . . . . . . . . 854.2.3 Moseleyho zákon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

4.3 Franckov-Hertzov pokus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

5 Kvantové čísla 995.1 Bohrov-Sommerfeldov model atómu . . . . . . . . . . . . . . . 99

5.1.1 Nedostatky Bohrovho-Sommerfeldovho modelu . . . . 1045.2 Kvantové čísla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

5.2.1 Kvantové čísla elektrónov v atóme . . . . . . . . . . . 1065.2.2 Význam hlavného kvantového čísla . . . . . . . . . . . 1085.2.3 Význam vedľajšieho kvantového čísla a magnetického

kvantového čísla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1085.2.4 Spinové kvantové číslo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1125.2.5 Skladanie momentov hybnosti . . . . . . . . . . . . . . 114

5.3 Pauliho vylučovací princíp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

6 Mnoho elektrónové systémy 1196.1 Orbitály . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

6.1.1 Podvrstva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1266.1.2 Vrstva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

6.2 Degenerácia energetických hladín . . . . . . . . . . . . . . . . 1286.2.1 Degenerácia v Bohrovom modeli atómu . . . . . . . . 1296.2.2 Degenerácia v pokročilejších modeloch . . . . . . . . . 130

6.3 Elektrónová konfigurácia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1366.3.1 Spektroskopické značenie . . . . . . . . . . . . . . . . 1416.3.2 Hierarchické štruktúry . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

6.4 Zostrojenie termov a hladín pre danú konfiguráciu . . . . . . 1496.4.1 Madelungov princíp a Hundove pravidlá . . . . . . . . 156

6.5 Výberové pravidlá . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1676.5.1 Výberové pravidlo pre celkový moment hybnosti (ex-

aktné) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

iii

6.5.2 Výberové pravidlo tretej zložky celkového momentuhybnosti (atóm vodíka) . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

6.5.3 Výberové pravidlo pre orbitálny moment hybnosti (atómvodíka) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

6.5.4 Parita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1726.5.5 Výberové pravidlo spinu . . . . . . . . . . . . . . . . . 1756.5.6 Zhrnutie výberových pravidiel . . . . . . . . . . . . . . 175

7 Experimenty s kvantovými vlastnosťami 1797.1 Moment hybnosti fotónu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1797.2 Einsteinov de Haasov experiment . . . . . . . . . . . . . . . . 1837.3 Sternov Gerlachov experiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1887.4 Zeemanov jav . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1917.5 Starkov jav . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

8 Vlnová mechanika 2018.1 de Broglieho hypotéza a Bohrova kvantovacia podmienka . . 2058.2 Experimentálne overenie de Broglieho hypotézy . . . . . . . . 207

8.2.1 Braggova formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2088.3 Schrödingerova vlnová mechanika . . . . . . . . . . . . . . . . 2138.4 Interpretácia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

A Počet módov elektromagnetického žiarenia v dutine 217

B Barometrická formula 223

C Runge-Lenzov vektor 227C.1 Geometrický význam Runge-Lenzovho vektoru . . . . . . . . 227C.2 Výpočet Rutherfordovej formule . . . . . . . . . . . . . . . . . 229C.3 Zachovanie Rungeho-Lenzovho vektora . . . . . . . . . . . . . 230

D Elektrónová konfigurácia 233

Úvod

Fyzika mikrosveta je úvodom do kvantovej teórie. Zameriava sa na fyzikálnejavy, ktorých spoznanie viedlo k vybudovaniu samotnej kvantovej mechaniky.Fyzika mikrosveta nie je kvantovou mechanikou. Je predchodcom kvantovejmechaniky, a budeme ním rozumieť súbor experimentov, hypotéz a teóriío látke a žiarení, v ktorých sa prejavujú mikroskopické vlastnosti látky ažiarenia.

Poznámka V texte sa stretnete s poznámkami, príkladmi, úlohami a ichriešeniami. Začiatok každej tejto časti je zreteľne označený a tiež je zreteľneoznažený ich koniec pomocou (poznámky a riešenia príkladov, či úloh),alebo pomocou (znenia príkladov a úloh).

Indikátor obtiažnosti

Vedľa zadania príkladov a úloh je možné nájsť tzv. indikátor obtiažnostivypracovaný na pôde Katedry fyziky FPV UKF v Nitre.

7

Pri príkladoch uvedený indikátor náročnosti príkladu, podľa mienky autorov,dáva intuitívnu predstavu o náročnosti daného typu príkladov. Okrem tohodáva aj relatívne korektné podrobné informácie, ktoré sme popísali nižšie.Táto informácia môže byť užitočná pre čitateľa i učiteľov, ktorí učebnicupoužijú.

Číselná hodnota indikátoru ukazuje počet príkladov daného typu potreb-ných k vyriešeniu, aby 50 % študentov v danej skupine zvládlo danú prob-lematiku. Grafický indikátor dopĺňa tento údaj nasledujúcim spôsobom.

1

2

Počet červených polí udáva počet príkladov potrebných k zvládnutieproblematiky v príklade u 30 % študentov (na obrázku 4).

Počet žltých polí (spolu s červenými) počet príkladov zvládnutie prob-lematiky v príklade u 30 % študentov – tento počet polí súhlasí s číselnýmindikátorom uprostred grafického indikátoru (na obrázku 7).

Počet zelených polí (spolu s červenými a žltými) udáva počet príkladovpotrebných k zvládnutie problematiky v príklade u 80 % študentov (obrázku16).

Počet fialových polí (spolu s predchádzajúcimi poliami) udáva počet prík-ladov potrebných k zvládnutie problematiky v príklade u 90 % študentov(na obrázku 23).

K lepšej orientácii sú segmenty v skupinách po 10 (celkom 30) oddelenéhrubšou čiarou.

Uvedené indikátory predpokladajú, že prvý príklad nového typu je vždyukázaný aj s riešením. Nasledujúce úlohy podobného typu sú najprv vyriešenížiakmi (študentmi), následne je ukázané korektné riešenie (tútorom, pokiaľneexistuje v písomnej podobe).

Indikátor dáva odhad aj toho, aká je pravdepodobnosť pochopenia prob-lematiky v prípade jedného študenta – pravda, dostávame len intervaly, na-koľko autori sa snažili zachovať relatívne jednoduchý tvar indikátoru. Z prík-ladu sa dá vyčítať, napr., pri vyriešení piatich príkladov daného typu budepochopenie problematiky príkladu medzi 30 % až 50 %.

Model použitý k výpočtu indikátoru náročnosti predpovedá získané údajena 95 %-nej hladine spoľahlivosti.

Indikátor sa zameriava vždy len na hlavný znak príkladu. Postupnýmprechádzaním učebnicou sa čitateľ vyhne prípadu, keď by príklad obsaho-val pre neho dva alebo viac prvkov (napr. pri preskakovaní častí učebnice).Pri preskakovaní častí učebnice sa môže stať, že počet nových znakov (poj-mov) objavujúcich sa pre neho v danom príklade je vyšší než jeden, v takomprípade indikátor je len dolným odhadom obtiažnosti pre takého čitateľa.

Indikátory majú zdôrazniť pre študentov i ich učiteľov skutočnosť, žejeden vzorový príklad stačí na pochopenie len zriedkakedy.

Uvedené štatistiky boli získané na základe testovania na žiakoch stred-ných škôl so záujmom o štúdium prírodovedných predmetov počas letnejškoly v roku 2010. Za ich svedomitosť patrí vďaka autorov.

3

Poďakovanie

Táto učebnica by nebola vznikla bez finačnej podpory projektu KEGA č.3/6472/08 Prielomné poznatky v učive fyziky na začiatku 3. milénia prepotreby LLL (Lifelong Learning-u).

4

Kapitola 1

Časticovo-vlnový charaktermikročastíc

Časticovo-vlnový, alebo cudzím slovom korpuskulárne-vlnový charakter mi-kročastíc vyjadruje zistenie, že mikročastice sa nechovajú ako hmotný bod –,idealizácia zavedená v Newtonovej mechanike. Mikročasticami nie je nutnérozumieť len elektrón, protón, či atómy. Najnovšie experimenty ukazujú, žejavy, ktoré budeme popisovať pre elektróny, objavujú sa zrovna tak u ató-moch, ako aj u molekúl z väčšieho počtu atómov. Potvrdzuje to správnosťpoznania, že hranica, ktorá by delila kvantový svet od makroskopického svetanie je ostrá – skôr neexistuje vôbec. Kvantový svet popisuje kvantová teória,kým makrosvet skôr vystihuje pojmový aparát Newtonovej mechaniky. Svetje však v skutočnosti celý kvantový.

Miera možnej neusporiadanosti rastie počtom zložiek každého telesa veľmirýchlo. Práve neusporiadanosť zahaľuje skutočnosť, že aj list papiera, naktorom čítate tieto slová, sa chová kvantovo. Ak sa však usporiadanosťzabezpečí aj u makroskopického telesa, kvantové vlastnosti sa prejavia vcelej podivnosti aj u tohoto makroskopického telesa – príkladom je supravo-divosť, či schopnosť laserového svetla reprodukovať verný obraz predmetubez sústavy šošoviek (známych z geometrickej optiky).

K pochopeniu týchto vlastností sa treba zoznámiť s fyzikálnymi javmi, vktorých sa prejavujú. Jedná sa o javy ako fotoelektrický jav, interferencia,Comptonov rozptyl, tepelné žiarenie, tlak svetla, spektrum atómov a mnohéiné.

Pochopenie kvantových vlastností prírody je obtiažne. Za posledných storokov sa neustále upresňuje ale je ďaleko od ukončenia. Dôvodom je, že nášpojmový aparát sa vyvinul zo znalosti každodenných javov, kde kvantové

5

6

javy sú prehlušené neusporiadanosťou. Je to ako povrchne používaný jazyk,z ktorého sa vytratili slová so špeciálnym významom. V snahe znova zvlád-nuť celý jazyk začíname vymýšľať nové slová. Umelé slová, ako interferencia,korpuskulárne-vlnový dualizmus a podobne. Význam týmto novým slovámdávame pomocou experimentov, kde sa objavujú javy, ktoré nimi pomenú-vame. Časom tieto nové slová získajú v našom slovníku pevné miesto a ichvýznam budeme tušiť aj v prípade, keď po vyslovení slova interferencia sanebudeme snažiť znova predstaviť si dvojštrbinový experiment, alebo dúhuna CD.

Úlohou fyziky mikrosveta je dať význam novým slovám zo slovníku kvan-tovej teórie predstavením množstva experimentov, ktoré vyniesli kvantovévlastnosti prírody na povrch.

Nie vždy budeme sledovať tŕnistú cestu historického poznania. Taktiežnebudeme tvrdiť, že predkladané názory sú definitívnym poznaním o hmotea žiarení. Pravdu povediac, v kvantovej teórii je dodnes veľa otvorenýchotázok, vrátane tých najzákladnejších.

1.1 Vlnový charakter fotónu

Huyghens a Newton mali odlišný názor na povahu svetla. Huyghens sa dom-nieval, že svetlo je vlnenie, kým Newton, že sa skladá z častíc. Vychádzajúczo svojich predpokladov, však Newton obdržal nesprávny popis lomu svetla vprostredí. Svetelný lúč – podľa Newtonovej predpovedi – sa mal pri prechodedo opticky hustejšieho prostredia lámať od kolmice, kým experiment ukazo-val, že sa láme ku kolmici. Huyghensova predstava o svetle ako o vlnení, bolav zhode s experimentálnymi zisteniami. Naviac, Huyghens úspešne experi-mentoval s interferenciou svetla v prevedení dvojštrbinového experimentu.

Vysvetliť dvojštrbinový experiment pomocou svetla, skladajúceho sa zčastíc, sa javil ako nemožný.

Stalo sa preto všeobecne prijatým zistením, že svetlo sa neskladá z častíc,ale je vlnením. Neskoršie experimenty nahrávali neustále v prospech vlnovéhocharakteru svetla. Máme tu na mysli ohyb svetla na mriežke, či Fresnelovohyb svetla.

7

ϕ1

ϕ1

G

λ

Obr. 1.1: Horný obrázok ukazuje Huyghensov princíp použitý pre optickú mriežku.Monochromatická vlna dopadá na mriežku kolmo. Za mriežkou sa skladajú vlnenia tak,že svetlo v dôsledku interferencie je zosilnené nie len v pôvodnom smere, ale taktiež saohýba.Dolný obrázok ukazuje detail horného obrázku. Odvodenie formule (1.1) plynie z obrázku(ukazujeme prvý rád ohybu len na jednu stranu (m = +1). Ohyb na druhú stranu(m = −1) získame pravo-ľavým zrkadlením (pozri obrázok 1.2).)

8

ϕ−1

ϕ−1

G

λ

Obr. 1.2: Horný obrázok ukazuje Huyghensov princíp použitý pre optickú mriežku.Monochromatická vlna dopadá na mriežku kolmo. Za mriežkou sa skladajú vlnenia tak,že svetlo v dôsledku interferencie je zosilnené nie len v pôvodnom smere, ale taktiež saohýba.Odvodenie formule (1.1) plynie z obrázku (ukazujeme prvý rád ohybu doľava (m = −1).Obrázok sme získali pravo-ľavým zrkadlením obrázku 1.1(m = +1).)

9

ϕ2

ϕ2

G

λ

Obr. 1.3: Horný obrázok ukazuje Huyghensov princíp použitý pre optickú mriežku.Monochromatická vlna dopadá na mriežku kolmo. Za mriežkou sa skladajú vlnenia tak,že svetlo v dôsledku interferencie je zosilnené nie len v pôvodnom smere, ale taktiež saohýba.Obrázok ukazuje návod na odvodenie formule (1.1) pre druhý rád ohybu (m = 2). Preprvý rád pozri obrázok 1.1(m = 1).)

10

Dvojštrbinový experiment v prípade svetla sa dá urobiť relatívne jed-noduchým spôsobom. Výpočtovo jednoduchším je však znázornenie ohybusvetla na optickej mriežke. Optická mriežka je väčšinou planparalelná doštičkaskla s vrypmi na jednej strane. Vrypy sa vedú paralelne (vytvárajú rovnobežnéžiary na povrchu skla). Výrazne lacnejšie sú optické mriežky pripravenélitografickou cestou, alebo fotografickou cestou (zmenšený obraz mriežkysa nafotí na fotocitlivý materiál – po vyvolaní nenaexponované miesta sastanú priehľadnými). Hustota vrypov (nafotených čiar) je v prípade op-tickej mriežky vysoká. Vzdialenosť medzi dvomi susednými vrypmi je rá-dovo 10−6 m. Túto vzdialenosť nazývame mriežkovou konštantou optickejmriežky.

Monochromatické (jednofarebné) svetlo, ktorej vlnová dĺžka je λ, sa nechádopadať na optickú mriežku kolmo na rovinu, v ktorej sa nachádzajú vrypy.Za mriežkou sa svetlo nešíri len v pôvodnom smere, ale vo viacerych smeroch.Hovoríme, že lúč svetla sa ohýba – zmení smer svojho šírenia. Nový smeršírenia sa charakterizuje uhlom ϕm, ktorý zviera smer šírenia s pôvodnýmsmerom šírenia. Dopadajúci a všetky phybové lúče ležia v tej istej rovine, vrovine kolmej na vrypy optickej mriežky. Uhol ohybu ϕm je daný formulou

sinϕm = mλ

G, (1.1)

kde G je mriežkova konštanta optickej mriežky a m je tzv. rád ohybu. Odvo-Mriežková konš-tanta, rád ohybu denie vzťahu (1.1) plynie z interpretácie obrázkov 1.1 (pozri na strane 7) a

1.2 (pozri na strane 7).Svetlo sa za mriežkou šíri aj v pôvodnom smere, hovoríme mu nultý rád

(m = 0) – tj. ϕ0 = 0.Svetlu, ktoré sa ohýba o uhol ϕm a ϕ−m (napravo a naľavo), hovoríme

ohyb m-tého rádu.

1.2 Časticový charakter fotónu

Podľa kvantovej interpretácie, elektromagnetické žiarenie (a tým aj svetlo)sa skladá z diskrétnych „balíčkov“ energie, ktoré sa v mnohých smerochchovajú ako častice. Hovoríme im fotóny, alebo kvantá elektromagnetickéhožiarenia (prípadne svetla).

Každý fotón má energiu E. Všetky fotóny letia vo vákuu rovnakou rých-losťou, rýchlosťou svetla c – predsa môžu mať odlišnú energiu. Energiafotónov závisí od frekvencie ν fotónov a vzájomne sú vo vzťahu

Energia fotónu

11

E = hν = hc

λ, (1.2)

kdeh = 6, 626 × 10−34 J s (1.3)

sa nazýva Planckovou konštantou.

Planckova konš-tanta

Poznámka 1.1. Čo máme rozumieť pod frekvenciou fotónov? Je to fyzikálnaveličina, ktorú sme zaviedli na charakterizáciu elektromagnetického vlnenia.V zástrčke elektrického rozvodu v byte je striedavé napätie s frekvenciouokolo 50 Hz. Drôty, ktoré privádzajú prúd touto frekvenciou sú obklopenéelektromagnetickým poľom. V zmysle toho, čo sme povedali vyššie, totoelektromagnetické pole sa skladá z fotónov, ktorých energia (zvlášť-zvlášť)je

E = h(50 Hz) = 3, 313 × 10−32 J.

Tu je energia jedného fotónu mimoriadne malé množstvo energie. Z toho jevidieť, že rádiový vysielač, ktorý má vysielací výkon okolo 1 kW (vyžiari zakaždú sekundu 1 000 J energie v podobe elektromagnetických vĺn – fotónov),vychrlí zo seba za každú sekundu obrovské množstvo fotónov. Aká je frekven-cia týchto fotónov? Rovnaká, ako frekvencia, na ktorej danú rádiovú stanicuviete naladiť. Určte množstvo fotónov vyžiarených za jednu sekundu, akspomínaná stanica vysiela na frekvencii 103, 6 MHz.

Fotón má hybnosť, ktorú označujeme tiež symbolom p, ako v prípadetelies – je to tá istá fyzikálna veličina a vzťahujú sa na ňu rovnaké zákony(budeme o nich hovoriť neskôr). Hybnosť fotónu je vektorová veličina, ktorejveľkosť je p, a ktorého smer je totožný so smerom letu fotónu. Pre veľkosťhybnosti fotónu s energiou E platí

p =E

c. (1.4)

Poznámka 1.2. Teória relativity stanovuje, že každé teleso, ktoré má ener-giu E, má aj hybnosť p a platí medzi nimi relativistický vzťah

E2 − p2c2 = m20c

4, (1.5)

kde p je veľkosť hybnosti p a m0 je tzv. pokojová hmotnosť spomínanéhotelesa. Pokojová hmotnosť telesa je hmotnosť, ktorú zmeria pozorovateľ vočiktorému teleso nevykonáva žiadny pohyb (ani translačný, ani rotačný). Fotónmá nulovú pokojovú hmotnosť.

12

relativistickáhmotnosť

Poznámka 1.3. Pozorovateľ, voči ktorému teleso s pokojovou hmotnosťoum0 sa pohybuje rýchlosťou v, nameria inú (relativistickú) hmotnosť m telesa,ktorého hodnota bude daná vzťahom

m =m0

√

1− β2, kde β =

v

c. (1.6)

(β je rýchlosť telesa meraná v jednotkách rýchlosti svetla. Ak β = 1, teleso sapohybuje rýchlosťou svetla. Ak β = 0, 3, rýchlosť telesa sa rovná 0,3 násobkurýchlosti svetla, teda približne 90 000 km/s.)

Zmena hmotnosti je spojená s Einsteinovou reláciou energie a hmotnosti

E = mc2. (1.7a)

Ak sa zmení energia telesa (z akéhokoľvek dôvodu) o ∆E, zmení sa aj jehohmotnosť o ∆m, pričom

∆E = ∆mc2 (1.7b)

Nárast hmotnosti pohybujúceho sa telesa je dôsledkom jeho pohybu, preto sanazýva pohybovou energiou (kinetickou energiou). Inými slovami, kinetickáenergia Ekin telesa je

relativistická ki-netická energia

Ekin = (m−m0)c2. (1.8)

5 Príklad 1.4. Ukážte, že pri veľmi malých rýchlostiach, tj. keď v/c ≪ 1, jevzťah (1.8) vo vynikajúcej zhode s definíciou kinetickej energie Ekin = 1

2 mv2

známej z newtonovskej mechaniky. Využite k tomu približnú formulu

(1 + x)a ≈ 1 + ax+ a(a− 1)x2

2+ a(a− 1)(a− 2)

x3

3!+ · · · , (1.9)

kde |x| ≪ 1 a a je ľubovoľné reálne číslo. K overeniu stačí zobrať prvédva členy tohoto nekonečného rozvoja. Presnosť rozvoja je daná počtompoužitých členov. Ak použijeme prvé dva členy rozvoja, presnosť je danáprvým nepoužitým členom, v tomto prípade tretím členom. Explicitne, akpoužijeme približný vzťah

(1 + x)a ≈ 1 + ax,

absolútna hodnota odchýlky od presnej hodnoty bude nanajvýš absolútnahodnota

∣

∣

∣

∣

a(a− 1)x2

2

∣

∣

∣

∣

.

13

Riešenie. Podľa vzťahu (1.8), a použitím definície relativistickej hmotnosti(1.6), je kinetická energia častice s pokojovou hmotnosťou m0

Ekin = (m−m0)c2 = m0

(

1√

1− β2− 1

)

c2

Približnú formulu použijeme voľbou x = −β2 a a = −1/2. Potom

Ekin ≈ m0c2

(

1 +1

2β2 − 1

)

= m0c2 1

2β2 =

1

2m0v

2.

4Príklad 1.5. Osobný automobil s pokojovou hmotnosťou 1200 kg sa pohy-buje rýchlosťou 180 km/h. Aká je jeho kinetická energia podľa newtonovskejmechaniky a aká je presnosť tejto hodnoty?

Riešenie. Podľa newtonovskej mechaniky je kinetická energia osobného au-tomobilu

Ekin =1

2× 1200 kg× (180 km/h)2 = 600 kg× (50 m/s)2 = 150 kJ.

Z príkladu 1.4 vieme, že kinetická energia v newtonovskej mechanike je lenpribližným vzťahom relativistickej kinetickej energie definovanej vzťahom(1.8), pričom presnosť je daná tretím členom rozvoja (1.9) v zmysle príkladu1.4, kde x = −β2 a a = −1/2. Presnosť je teda daná vzťahom

∆Ekin ≈ m0c2

∣

∣

∣

∣

a(a− 1)x2

2

∣

∣

∣

∣

= m0c2

∣

∣

∣

∣

1

2

(

− 1

2

)

β2

2

∣

∣

∣

∣

=1

8m0

v4

c2.

Po dosadení konkrétnych údajov zadania dostaneme ∆Ekin ≈ 1, 4× 10−8 J.

Poznámka 1.6. Otázka znie, či sme presnosť nemohli získať porovnanímnerelativistickej kinetickej energie 1

2 mv2 a relativistickej kinetickej energie

mc2 −mec2? Odpoveď je samozrejme áno. Tento rozdiel, tj.

(mc2 −mec2)− 1

2mv2

je pre malé rýchlosti v skutočne malé číslo, ktoré najpresnejšie a najjedno-duchšie vieme vypočítať pomocou rozvoja (1.9). (Výpočet použitím kalkulá-tora môže dať ľahko nulový výsledok, lebo kalkulátor nemá dostatočnú pres-nosť a výsledok zaokrúhli na nulu. Rozvoj vždy dá nenulový výsledok.)

14

Z kvantového hľadiska sa svetlo skladá z fotónov. V klasickej fyzike rozu-mieme pod intenzitou I množstvo energie dopadajúce na jednotkovú plochuza jednotku času

I =energia EM žiarenia

plocha × čas. (1.10)

Táto istá definícia v kvantovom zmysle znamená nasledujúce (zapíšeme len

intenzita svetla

pre monochromatické svetlo – svetlo skladajúce sa z fotónov s rovnakoufrekvenciou)

intenzitamonochromat-ického svetla I = (energia jedného fotónu)× počet fotónov

plocha × čas. (1.11)

1.2.1 Jednotky

Rýchlosť

β Vo fyzike mikrosveta sa častice začnú pohybovať veľmi veľkou rýchlosťouuž pri dodaní (z nášho pohľadu) veľmi malého množstva energie. Často sapreto meria rýchlosť v v jednotkách rýchlosti svetla. Ak povieme, že rýchlosťelektrónu je β = 0, 2, máme tým na mysli to, že rýchlosť elektrónu je

v = βc = 0, 2 × 3× 108 m/s = 6× 107 m/s.

Energia

Vo fyzike mikrosveta sa stretávame s energiami, ktorých veľkosť je v jed-notkách SI veľmi malá, preto používame jednotku nazývanú elektronvolt.

elektronvolt 1 eV = 1, 602 × 10−19 J.

Elektronvolt je energia, ktorú získa elektricky nabitá častica s jednotkovýmelektrickým nábojom e pri urýchlení napätím U = 1 V.

1.2.2 Hmotnosť

Hmotnosť je ďalšia veľmi dôležitá fyzikálna veličina, ktorú v mikrosvete jezvykom vyjadrovať v iných jednotkách, než v SI. Je to dané tým, že typickéhmotnosti atómov sa pohybujú v rozmedzí 10−27 kg až 10−25 kg hmotnosťelektrónu je dokonca len 9, 11 × 10−31 kg. Zavádza sa preto jednotka eV/c2

(„elektronvolt lomeno cé na druhú“)

eV/c2 1 eV/c2 = 1, 783 × 10−36 kg.

15

V týchto jednotkách je hmotnosť elektrónu 0, 511 MeV/c2. Zavedenie tejtojednotky má tú výhodu, že prepočet na ekvivalent energie podľa Einsteinvhovzťahu E = mc2 je mimoriadne jednoduchý. Ak niečo má hmotnosť x eV/c2,potom jeho (relativistická) energia je x eV. Konkrétnejšie. Pokojová hmot-nosť elektrónu je 0, 511 MeV/c2. Aká je jeho pokojová energia?

Jeho pokojová energia je 0, 511 MeV.

atomárna hmot-nostná jednotka

Ďalšou dôležitou jednotkou používanou v mikrosvete je atomárna hmot-nostná jednotka, značená ako u.

1 u = 1, 661 × 10−27 kg = 931, 5 MeV/c2.

Presná definícia atomárnej hmotnostnej jednotky znie, že je to 1/12-na hmot-nosti elektricky neutrálneho atómu 12C, tj. atómu uhlíka v základnom stave,so šiestimi protónmi a šiestimi neutrónmi v jadre.

Táto jednotka sa používa aj v Mendelejevovej tabuľke prvkov. Naprík-lad v prípade vodíka je v tabuľke uvedená hodnota 1, 00794 (v tabuľke sasamotný symbol jednotky „u“ neuvádza, aby sa šetrilo miestom). Tento údajhovorí dve veci.

1. udáva hmotnosť jedného kilomólu danej látky v kilogramoch. V tomtoprípade, hmotnosť jedného kilomólu vodíkových atómov je 1, 00794 kg.

2. Priemernú hmotnosť jedného atómu vodíka1 je 1, 00794 u, tj. 1, 6737×10−27 kg, alebo čo je to isté, 938, 89 MeV/c2.

Hybnosť

Hybnosť meriame v sústave SI v jednotkách kg × m/s, alebo čo je to istéJ s/m, čo súvisí s tým, že hybnosť p hmotného bodu je p = mv, kde m jehmotnosť hmotného bodu a v je jeho rýchlosť.

Pre atómy a elementárne častice je niekedy výhodnejšie použiť jednotkueV/c, ktorej veľkosť je

eV/c1 eV/c = 5, 3443 × 10−28 J · s/m.1Preto priemernú hmotnosť, lebo v prírode sú prítomné rôzne izotopy daných chemic-

kých prvkov. Napr. v prírode sa vyskytujú okrem vodíka aj deutérium, a trícium. Vodíkovýatóm má v jadre len protón. Deutérium má v jadre jeden protón (chemicky sa preto chováako vodík) a ešte jeden neutrón. Trícium má v jadre okrem jedného protónu ešte dvaneutróny. Zastúpenie týchto izotopov je v prírode malé, ale mierne modifikujú priemernúhmotnosť, ktorá sa zisťuje z prírodného vodíkového plynu bez odseparovania jednotlivýchizotopov.

16

Výhoda tejto jednotky sa prejavuje hlavne v prípade fotónov, alebo v prí-pade, keď teleso sa pohybuje rýchlosťou blízkej rýchlosti svetla. Ak takátočastica má energiu x eV, potom jej hybnosť je x eV/c. Konkrétne, uvažujmefotón, ktorého energia je 5, 4 eV. Jeho hybnosť je 5, 4 eV/c.

Podobné výhody má táto jednotka aj v prípade veľmi malých rýchlostí,kde sa ešte neprejavujú relativistické efekty výraznejším spôsobom (približnedo rýchlosti β = 0, 4). Ak častica má hmotnosť x eV/c2 a letí rýchlosťouv = βc, potom jej hybnosť je βx eV/c.

Zoberme znova príklad elektrónu. Ak elektrón s pokojovou hmotnosťou511 keV/c2 letí rýchlosťou β = 0, 1, potom jeho hybnosť jep = β · 511 keV/c2=51, 1 keV/c.

Poznámka 1.7. Pri výklade budeme často hovoriť o viditeľnom svetle. Podviditeľným svetlom rozumieme svetlo skladajúce sa z fotónov, ktorých vlnovádĺžka λ je z intervalu

λ ∈ (360 nm, 760 nm),

alebo čo je to isté, majú frekvenciu ν z intervalupásmoviditeľnéhosvetla

ν ∈ (400 × 1012 Hz, 830 × 1012 Hz).

Vlnová dĺžka svetla fialovej farby je 360 nm (frekvencia 830 THz), zelenej555 nm (frekvencia 540 THz) a tmavočervenej 760 nm (frekvencia 400 THz).

1.3 Fotoelektrický jav

Pri fotoelektrickom experimente sa svetlom svieti na kovovú plochu umiest-nenej vo vákuovej trubici.2 Z povrchu kovu vystupujú elektróny, ako to zná-zorňuje aj obrázok 1.4. V danom usporiadaní sa môže meniť frekvencia νa intenzita I svetla, brzdné napätie U a materiál katódy. Pokiaľ elektrónyvystupujúce z povrchu kovu majú dostatočne veľkú kinetickú energiu, môžuprekonať brzdné napätie medzi elektródami, dopadnú na anódu a vytvoriaelektrický prúd i, ktorý sa zaznamená ampérmetrom A.

2Fotoelektrický jav objavil Heinrich Rudolf Hertz, ktorý zistil, že napätie medzikovovými plátmi kondenzátoru sa zníži, pokiaľ sú osvetlelné ultrafialovým svetlom. PhilippLenard neskôr ukázal, že z kovových plátov sú emitované elektróny, častice, ktoré objavilJ.J.Thomson v roku 1897. Stručnú históriu objavu fotoelektrického javu a popis samotnéhojavu možno pozrieť na [1], alebo skrátený preklad v slovenčine na [2].

17

- -

+ -

V A

katóda anóda

fotóny

i

U

Obr. 1.4: Schematický náčrt experimentálneho usporiadania pre meranie Planckovejkonštanty a výstupnej práce vybraného kovu. V hornej časti obrázku vidíme vákuovútrubicu s okienkom, cez ktoré fotóny vstupujú do vákuovej trubice a dopadajú na katódu.Katóda je vytvorená zo skúmaného kovu. Po dopade fotónov s frekvenciou ν > ν0 (ν0je hraničná frekvencia) uvolnia sa z kovu katódy elektróny. Niektoré z nich letia smeromk anóde. Potenciometrom môžeme nastaviť také napätie U (merané voltmetrom znázor-neným na obrázku), aby v obvode netiekol prúd , tj. i = 0 (prúd meriame ampérmetromznázorneným na obrázku). Pri menšom napätí bude obvodom tiecť prúd, ktorý je úmernýintenzite (monochromatického) svetla dopadajúceho na katódu. Pri väčšom napätí je prúdnulový nezávisle na intenzite dopadajúceho svetla.

18

Elektróny majú dostatočnú kinetickú energiu vtedy, ak dokážu prekonaťprácu, ktorú na nich dokáže vykonať brzdné elektrické pole (napätie U),tj. pokiaľ

1

2mev

2 ≥ eU,

kde me je hmotnosť elektrónu a v je rýchlosť, ktorou vystupujú z povrchukovu. Pokiaľ je ich kinetická energia menšia, potom elektrické pole medzielektródami ich dokáže zabrzdiť a pritiahnuť naspäť ku kovovej vrstve (oz-načenej na obrázku ako katóda).

Experimentálne zistenia sú nasledujúce:

1. Prúd sa zaznamená skoro okamžite po dopade svetla na kovovú vrstvua to nezávisle na intenzite svetla., teda aj vtedy, keď intenzita svetlaje veľmi malá. Časový odstup medzi dopadom svetla a objavením saelektrónov je rádovo 10−9 s a je nezávislá od intenzity svetla.

2. Pokiaľ frekvenciu fotónov a brzdné napätie nemeníme, elektrický prúdje priamo úmerný intenzite dopadajúceho svetla.

hraničné napätie 3. Pokiaľ frekvenciu a intenzitu svetla nemeníme, elektrický prúd klesázvyšovaním brzdného napätia a pri určitej hraničnej hodnote U brzd-ného napätia sa prúd i stane nulovým. Túto hodnotu napätia nazývamehraničným napätím. Hraničné napätie je nezávislé na intenzite svetla.

4. Pre daný materiál katódy sa mení hraničné napätie lineárne, v závis-losti od frekvencie použitého svetla podľa vzťahu

eU = hν − eU0 = hν −W0. (1.12)

Hodnota W0 = eU0 je konštantná pre daný materiál, ale pre rôznevýstupná prácamateriály má odlišné hodnoty. Strmosť lineárnej závislosti h nezávisíod výberu materiálu katódy. Číselne sa rovná Planckovej konštante.W0 nazývame výstupnou prácou a U0 potenciálnou bariérou.

hraničnáfrekvencia

5. Pre daný materiál existuje hraničná frekvencia νp. Svetlo s menšoufrekvenciou, než je hraničná nie je schopné uvolniť žiaden elektrón zpovrchu kovu, nezávisle od intenzity použitého svetla.

Pokiaľ uvažujeme o svetle len ako vlnení, z vyššie vymenovaných vlastnostídokážeme vysvetliť jedine bod 2.: nárast prúdu v závislosti od intenzity svetla– čim je svetlo intenzívnejšie, o to viac energie dopadá na kovovú platňu ao to viac elektrónov môže uvolniť. Ostatné vlastnosti sa pomocou vlnového

19

popisu svetla (presnejšie pomocou predstavy elektromagnetického vlnenia)vysvetliť nedajú.

Kvantový výklad svetla dokáže vysvetliť všetky vlastnosti pozorované vexperimente.Poznámka 1.8. Fotoefekt môže vznikať nie len na povrchu kovov, ale tiežna povrchu polovodičov.

V bode 4 spomenutú potenciálnu bariéru U0 si môžeme predstaviť tak,akoby sa elektrón v kovoch nachádzal v potenciálnej jame, ktorú vytváraelektrické pole čiastočne netienených atómových jadier (kov je celkovo elek-tricky neutrálny). Elektrón, ktorý opúšťa kov, musí prekonať túto bariéru,musí prekonať potenciálny rozdiel U0, teda vykonať prácuW0 = eU0. Potrebnúenergiu k vykonaniu práce dodáva fotón. Energiu fotónu zúžitkuje elektrónúplne (čiastočne na prekonanie bariéry, zbytok mu zostane v podobe kine-tickej energie).

Poznámka 1.9. Fotoelektrický jav sa v praxi objavuje na mnohých mies-tach. Je základom napríklad pre solárne články. Vo vesmíre môže byť ajzdrojom určitých rizík. Zemská atmosféra odfiltruje väčšiu časť ultrafialovéhosvetla (fotónov s vlnovou dĺžkou kratšou ako 360 nm), ale telesá vo vesmíresú tomuto žiareniu vystavené v plnej miere. Kovové materiály (napríkladna sondách, či raketoplánoch) sa týmto spôsobom pod priamym slnečnýmžiarením stávajú kladne nabitými, kým kovové súčiastky v tieni zachytávajúvolné elektróny. Môže tak vzniknúť až desať voltové napätie medzi rôznymičasťami vesmírnych prístrojov. Pokiaľ sa toto napätie vybije cez nejaké citlivéčasti prístroja, môže viesť k jeho poškodeniu, alebo zničeniu.

Na povrchu vesmírnych telies, ktoré nemajú atmosféru, akým je napríkladnáš Mesiac, vzniká pod vplyvom priameho slnečného svetla mrak elektrickynabitých mikroskopických zrniečok. Tie vďaka svojmu elektrickému nábojusa vznášajú nad povrchom Mesiaca vzdorujúc jeho gravitačnej príťažlivosti.Tento elektricky nabitý prach sa ľahko prichytí o povrch izolantov (v dôsledkuelektrickej polarizácie), napríklad na povrch skafandru kozmonautov. Takýtoprach sa dá z odevov odstrániť len veľmi obtiažne. Kozmonauti z misieApollo referovali napríklad o tom, že (napriek dôkladnej očiste po návratu zprechádzky na povrchu Mesiaca) cítili vo vesmírnom module „arómu“, ktoráim pripomínala strelný prach.

1.3.1 Vnútorný fotoelektrický jav

Vnútorný fotoelektrický jav pozorujeme u polovodičoch. Pri vnútornom fo-toelektrickom jave polovodič neopúšťajú elektróny, ale polovodič sa stáva vo-divým. Vysvetliť si to môžeme tak, že pod vplyvom svetla (mnohé polovodiče

20

X W0 X W0 X W0 X W0 X W0 X W0

Ag 4,26 Al 4,28 As 3,75 Au 5,1 B 4,45 Ba 2,7Be 4,98 Bi 4,22 C 5 Ca 2,87 Cd 4,22 Ce 2,9Co 5 Cr 4,5 Cs 2,14 Cu 4,65 Eu 2,5 Fe 4,5Ga 4,2 Gd 3,1 Hf 3,9 Hg 4,49 In 4,12 Ir 5,27K 2,3 La 3,5 Li 2,9 Lu 3,3 Mg 3,66 Mn 4,1Mo 4,6 Na 2,75 Nb 4,3 Nd 3,2 Ni 5,15 Os 4,83Pb 4,25 Pt 5,65 Rb 2,16 Re 4,96 Rh 4,98 Ru 4,71Sb 4,55 Sc 3,5 Se 5,9 Si 4,85 Sm 2,7 Sn 4,42Sr 2,59 Ta 4,25 Tb 3 Te 4,95 Th 3,4 Ti 4,33Tl 3,84 U 3,63 V 4,3 W 4,55 Y 3,1 Zn 4,33Zr 4,05

Tabuľka 1.1: Výstupná práca W0 pre rôzne kovy a polovodiče (s chemickou značkou X)v elektronvoltoch. Údaje čerpané z [3]. Treba poznamenať, že na výstupnú prácu vplýva ajtvar povrchu, alebo (v prípade kryštalickej štruktúry) aj orientácia hlavných osí kryštáluvoči ploche, ktorá sa osvetľuje.

vykazujú vnútorný fotoelektrický jav už pri viditeľnom svetle, niektoré dokoncapri infračervenom svetle) sa vo vnútri polovodiča uvoľnia valenčné elektrónya dostanú sa do tzv. vodivostného pásma, kde pod vplyvom vonkajšiehoelektrického poľa sa dokážu pohybovať s minimálnym odporom (polovodičsa stáva vodivým).

Vnútorný fotoelektrický jav má v dnešnej dobe mimoriadne široké uplat-nenie. Sú na nich založené fotocely, zariadenia pre nočné videnie, videokamery,digitálne fotoaparáty, televízne kamery, atď.

Poznámka 1.10. Typická energia fotónov, pri ktorej je fotoefekt pozorovateľnýje niekoľko eV. Jedná sa o prahový efekt, tj. pod hraničnou energiou sa nepo-zoruje, na druhú stranu (pri pevne danej intenzite) pravdepodobnosť toho,že fotón elektrón uvolní, prudko klesá rastom energie fotónov. Pre cézium(Cs) je napríklad výstupná práca 1, 9 eV. Hodnoty výstupnej práce pre rôznekovy a polovodiče pozri v tab. 1.1.

1.4 Comptonov jav

Pokiaľ chápeme elektromagnetické žiarenie ako vlnenie, potom jeho rozptylna atómoch nemá meniť jeho frekvenciu. Vyplýva to z jednoduchého faktu.Popíšeme to na príklade monochromatického vlnenia. Elektromagnetické pole(ako vlnenie) sa skladá z elektrickej a magnetickej zložky, ktoré period-

21

icky menia svoj smer (obidve zložky s rovnakou frekvenciou). Keď dopadnena atóm, elektrické pole E pôsobí na elektróny atómu silou F = −eE(znamienko − vyjadruje len skutočnosť, že elektrický náboj elektrónu je zá-porný). Táto sila sa mení rovnako, ako samotné elektrické pole, takže ajelektrón bude kmitať frekvenciou, ktorou sa mení samotné elektrické pole.Elektrón, ktorý vykonáva zrýchlený pohyb vyžaruje elektromagnetické vlny.Frekvencia týchto vĺn je rovnaká, ako frekvencia, s ktorou kmitá elektrón,ktorý ho vytvára. Máme teda čo do činenia dvomi elektromagnetickými vl-nami. Jedna, ktorá dopadá (a má frekvenciu ν) a núti kmitať elektrón (sfrekvenciou ν), druhá, ktorú vyžaruje elektrón kmitajúci s frekvenciou ν amá tiež frekvenciu ν. Výsledné elektromagnetické pole je zložením týchtodvoch polí, ktoré kmitajú obidve s rovnakou frekvenciou ν, preto aj výslednépole má túto frekvenciu.

Skladaním týchto dvoch vlnení sa mení smer v ktorom sa elektromagnet-ické pole šíri, ale nie frekvencia.

Poznámka 1.11. Tento rozptyl sa nazýva Thomsonov rozptyl a tiež exis-tuje. Neskôr uvidíme, že neodporuje kvantovej povahe prírody, práve naopak.Pokiaľ spadá frekvencia fotónov do viditeľného pásma, zákonite dochádzaku Thomsonovmu rozptylu. Modrosť oblohy súvisí práve s Thomsonovymrozptylom. Napriek tomu modrosť oblohy nie je dôsledkom zmeny frekvencieviditeľného svetla, ale toho, že modré svetlo mení pri rozptyle svoj smer voväčšej miere, ako červené svetlo.

Arthur H. Compton3 spozoroval (1923), že pri rozptyle fotónov sveľmi vysokou frekvenciou sa frekvencia fotónov mení v závislosti na uhlurozptylu. Rozptýlené fotóny pritom majú menšiu frekvenciu, ako pred rozpty-lom. Ďalšou zvláštnosťou rozptylu bolo, že zmena frekvencie nezávisela odmateriálu, na ktorom sa rozptyl robil. Compton uskutočňoval svoje ex-perimenty pomocou fotónov, ktorých energia spadala do röntgenovej oblasti(λ = 0, 7 Å, tj. energia fotónov bola 18 keV).

Vysvetlením tohoto javu je, že fotóny s vysokou frekvenciou (s energiouokolo niekoľko keV a s vyššou) sa rozptylujú na elektrónoch v atómovomobale atómu. Fotón sa pritom správa ako častica. Rozptyl si môžeme pred-staviť ako dokonale pružnú zrážku dvoch guličiek, z ktorých je jeden fotón adruhý elektrón atómu. Elektrón je viazaný v atóme tak slabo (oproti ener-gii, ktorú nesie fotón), že pri modelovaní zrážky väzbu s atómom nemusímebrať do úvahy. Hovorí sa preto o Comptonovom rozptyle tiež ako o rozptylefotónu na voľných elektrónoch.

3Arthur Holly Compton obdržal Nobelovu cenu za fyziku v roku 1927

22

-

-

E = hν

p = h/λ

E′ = hν ′

p′ = h/λ′

Ee = mec2

pe = 0E′

e = mc2

p′e = mv

θϕ

Obr. 1.5: Schematický náčrt Comptonovho rozptylu v časticovom chápaní. Dopadajúcifotón má frekvenciu ν a vlnovú dĺžku λ, kým rozptýlený fotón má frekvenciu ν′ a vlnovúdĺžku λ′. Elektrón pred zrážkou má nulovú kinetickú energiu (zanedbateľne malú) a jehocelková energia sa rovná Ee = mec

2, kým po zrážke je jeho rýchlosť v a jeho hmotnosť m(určená vzťahom (1.6)).

Vychádzajúc zo zákona zachovania energie a hybnosti (v relativistickomtvare) je možné odvodiť zmenu vlnovej dĺžky dopadajúceho fotónu v tvare

Comptonovaformula

∆λ = λ′ − λ =h

mec(1− cos θ), (1.13)

kde λ je vlnová dĺžka fotónu pred rozptylom, λ′ zase vlnová dĺžka po rozptyle,me je pokojová hmotnosť elektrónu a θ je uhol, pod ktorým sa fotón rozptýlil(tj. uhol o ktorý fotón zmenil smer svojho letu) – pozri obr. 1.5.

Poznámka 1.12. Odvodenie Comptonovho vzťahu (1.13).Vyjdime zo schematického náčrtu zrážky fotónu s voľným elektrónom zná-zorneného na obrázku obr. 1.5. Zákon zachovania energie bude mať tvar

hc

λ+mec

2 =hc

λ′+mc2, (1.14)

nakoľko elektrón pred zrážkou „stojí“ (jeho kinetická energia je zanedbateľnemalá). Po malej úprave dostaneme

hc

λ− hc

λ′= mc2 −mec

2 = mce(γ − 1),

kde sme zaviedli obvyklé značenie

γ ≡ 1√

1− β2, β =

v

c. (1.15)

23

V tejto úprave jasne vidíme, že kinetická energia elektrónu (pravá stranarovnice) bola dodaná fotónom – ľavá strana rovnice vyjadruje zmenu energiefotónu, ktorá sa prejaví zmenou vlnovej dĺžky fotónu. Zavedieme značenie λCpre tzv. Comptonovu vlnovú dĺžku elektrónu, ktorá je definovaná ako

Comptonova vl-nová dĺžka elek-trónu

λC =h

mec, (1.16)

potom zákon zachovania energie môžeme písať v tvare

1

λ− 1

λ′=

1

λC(γ − 1). (1.17)

Ďalšie dve rovnice získame zo zákona zachovania hybnosti, ktorú zapíšemepre zložku v smere, v ktorom letel fotón pôvodne, a pre zložku na ňu kolmú(určená rovinou, do ktorej sa častice rozptýlia)

h

λ=

h

λ′cos θ +mv cosϕ (1.18a)

0 =h

λ′sin θ −mv sinϕ. (1.18b)

Tieto dve rovnice upravíme tak, aby členy obsahujúce mv boli osamostat-nené. Dostaneme

h

λ− h

λ′cos θ = mv cosϕ (1.19a)

h

λ′sin θ = mv sinϕ. (1.19b)

Po umocnení na druhú a sčítaní oboch rovníc obdržíme

h2(

1

λ2− 2

λλ′cos θ +

1

λ′2

)

= m2v2 = m2ec

2(γ2 − 1), (1.20)

kde sme využili definíciu γ danej vzťahom (1.15). Po predelení rovnice h2 avyužitím označenia pre Comptonovu vlnovú dĺžku λC získame nasledujúcivzťah

(

1

λ2− 2

λλ′cos θ +

1

λ′2

)

=

(

1

λ− 1

λ′

)(

1

λ− 1

λ′+

2

λC

)

, (1.21)

kde sme využili toho, že

γ2 − 1 = (γ − 1)(γ + 1)

24

a potom vzťah (1.17). Ďalšia úprava je už jednoduchá. Ľavú stranu rozšírimeo nulu v tvare

− 2

λλ′+

2

λλ′

a upravíme do tvaru, kde je jasne vidieť, že pravá aj ľavá strana obsahuječlen

(

1

λ− 1

λ′

)2

,

a tento môžeme na oboch stranách bez problémov vyrušiť. Zostane nám

21− cos θ

λλ′=

2

λC

(

1

λ− 1

λ′

)

(1.22)

Využitím toho, že1

λ− 1

λ′=λ′ − λλλ′

=∆λ

λλ′

a triviálnej úprave obdržíme vzťah (1.13)

∆λ = λC(1− cos θ),

1.5 Tvorba párov a anihilácia

Pri tvorbe párov sa energia jediného fotónu premení úplne na hmotu, vytvorísa pár elektrón-pozitrón. Pozitrón je antičastica elektrónu. Má rovnaké vlast-nosti ako elektrón (rovnaká hmotnosť, spin) má však opačný (v absolútnejhodnote rovnako veľký) elektrický náboj. Pozitrón má teda presne taký istýelektrický náboj ako protón„ ale vo všetkých ostatných vlastnostiach je akoelektrón). Aby sa fotón mohol premeniť v elektrón-pozitrónový pár, musiabyť splnené dve podmienky:

tvorba párov 1. energia fotónu musí byť aspoň rovná pokojovej energii elektrónu a po-zitrónu (tj. hν ≥ 2mec

2), čo je vyžadované zákonom zachovania ener-gie;

2. V blízkosti vzniku páru musí byť teleso (najčastejšie jadro atómu),ktorý vybalancuje hybnosť. Fotón bez prítomnosti iného telesa sa nemôžepremeniť na elektrón pozitrónový pár – nie je možné splniť súčasnezákon zachovania energie aj zákon zachovania hybnosti.

25

anihilácia Anihilácia je proces, ktorý je opakom k tvorby párov. Keď sa stretne elek-trón s pozitrónom, ich hmota sa premení na fotón. Tento proces môže pre-behnúť aj bez prítomnosti tretieho telesa. V takom prípade musia vzniknúťdva fotóny, aby zákon zachovania energie aj zákon zachovania hybnosti zostalineporušené. Vznikajúce fotóny odnášajú pokojovú energiu elektrónu a pozit-rónu zvýšenú o ich pôvodnú kinetickú energiu (zákon zachovania energie).V ťažiskovej sústave elektrón-pozitrónového páru odletajú fotóny z miestaanihilácie v presne opačnom smere, a ich energia je rovnaká.

Úlohu elektrónu a pozitrónu môže prevziať akýkoľvek pár častice-antičas-tice (napríklad protón a antiprotón).

1.6 Absorpcia fotónov

Pri prechode zväzku fotónov sa dejú rôzne procesy: fotoelektrický jav, Thom-sonov rozptyl, Comptonov rozptyl, tvorba párov. Všetky tieto procesy znižujúpočet fotónov v pôvodnom zväzku. Pri prechode monochromatického zväzkufotónov homogénnou látkou hrúbky x, intenzita I0 pôvodného zväzku fotónovpoklesne na hodnotu I(x), ktorá je daná vzťahom

I(x) = I0e−µx, (1.23)

kde µ je lineárny absorpčný koeficient. Jeho hodnota závisí od energie

lineárny absorp-čný koeficient

fotónov i od absorbujúceho materiálu.

1.7 Úlohy

1.7.1 fotón

4Úloha 1.1. Stíhací bombardér s hmotnosťou 12 ton letí rýchlosťou 2 mach(1 mach je rýchlosť zvuku 340 m/s). Aká je kinetická energia stíhacieho bom-bardéru podľa newtonovskej mechaniky, a aká je odchýlka od presnej hod-noty danej relativistickou definíciou kinetickej energie?

Riešenie. Kinetická energia stíhacieho bombardéru je podľa newtonovskejmechaniky

Ekin =1

2mv2 = 0, 5× 1, 2 × 104 kg(680 m/s)2 = 2, 8× 109 J.

Newtonovská mechanika predstavuje prvé dva členy rozvoja presnej (tj. rela-tivistickej) kinetickej energie podľa vzťahu (1.8). Vieme, že pri použití prvých

26

dvoch členoch rozvoja je presnosť daná ďalším (tretím) členom, tj. v našomprípade, keď a = −1/2 a x = −v2/c2

∆Ekin = Ekin,rel − Ekin,klas = (m−m0)c2 − 1

2m0v

2

= m0c2[

(1 + x)−1/2 − 12x]

≈ m0c2

∣

∣

∣

∣

∣

(

− 1

2

)(

3

2

)

(

v2

c2

)2

2

∣

∣

∣

∣

∣

=3

8mv4

c2= 1, 1 × 10−2 J.

4Úloha 1.2. Zem obieha okolo Slnka rýchlosťou 28, 8 km/s. Hmotnosť Zemeje 5, 96×1024 kg. Aká je jej kinetická energia podľa newtonovskej mechanikya aká je presnosť tohoto výsledku oproti presnej hodnote určenej relativi-sticky?

4Úloha 1.3. Aká hmotnosť je uvedená pri uhlíku v Mendelejevovej tabuľkeprvkov pri uhlíku? Vyjadrite názor, že prečo táto hodnota nie je 12, 0000 u?

Riešenie. Uvedená hodnota je 12, 0107 u. Dôvodom odchýlky je, že v prírodeje prítomný aj iný izotop uhlíka, 13C (v jadre má tiež 6 protónov, ale 7 neu-trónov). 12C predstavuje len 98, 93 % všetkého uhlíka a zbytok (1, 07 %) jeuhlík 13C, ktorej hmotnosť je 13, 0034 u. Ľahko sa môžete presvedčiť o tom,že priemerná hmotnosť je skutočne 12, 0107 u

98, 93 × 12, 0000 u + 1, 07 × 13, 0034 u100

= 12, 0107 u.

V prírode prevláda u každého chemického prvku jeden, najviac dva z jehoizotopov4.

Mohlo nás napadnúť, že atómy vykonávajú tepelný pohyb, a v dôsledkurelativistickému nárastu hmotnosti je pri bežných podmienkach (teplota okolo300 K) aj nameraná hmotnosť atómov uhlíka väčšia. Túto argumentáciuľahko vyvrátime. Tepelná energia je vlastne kinetickou energiou atómov.Stredná kinetická energia Ekin je pri teplote T rovná 3

2 kT, čo v našom prí-pade predstavuje energiu

Ekin =3

2× 1, 38 × 10−37 JK−1 × 300 K = 6, 21 × 10−21 J.

Tejto energii zodpovedá nárast hmotnosti podľa ekvivalencie energie a hmot-nosti

∆m =Ekin

c2= 6, 91 × 10−38 kg = 4, 16 × 10−11 u.

4len zriedka majú tria viac približne rovnako zastúpené izotopy

27

Tepelný pohyb síce spôsobuje nárast hmotnosti, ale o 9 rádov menší, nežprítomnosť hmotnejších izotopov uhlíka. Porovnateľný nárast hmotnosti bymohol spôsobiť tepelný pohyb len pri teplote o 9 rádov väčšej, tj. pri teploterádovo 1011 K. Takáto teplota sa dosahuje v jadre veľmi hmotných hviezd(napríklad modrých obrov). V jadre nášho Slnka je teplota len okolo 1, 4 ×107 K.

2Úloha 1.4. Aká je (priemerná) hmotnosť jedného atómu hélia v jednotáchu a aká v jednotkách kg podľa Mendelejevovej tabuľky prvkov?

4Úloha 1.5. Hmotnosť protónu je 1, 672621×10−27 kg. Aká je jeho hmotnosťv jednotkách MeV/c2?

Riešenie. Podľa definície je 1, 661 × 10−27 kg=931, 5 MeV/c2, teda

mp = 1, 672621 × 10−27 kg =1, 672621 × 10−27 kg1, 661 × 10−27 kg

931, 5 MeV/c2

= 938, 0 MeV/c2.

2Úloha 1.6. Hmotnosť neutrónu je 1, 008664916 u. Aká je jeho hmotnosť vkilogramoch a aká v MeV/c2?

4

Úloha 1.7. Pri akej rýchlosti elektrónu sa bude líšiť jeho relativistická hmot-nosť od pokojovej o 1 % pokojovej hmotnosti? Aká je kinetická energia elek-trónu pri tejto rýchlosti? Výpočty robte v jednotkách keV/c2 a keV.

Riešenie. Pokojovú hmotnosť elektrónu označíme me. Podľa zadania musíplatiť

me(v) −me = me

(

1√

1− β2− 1

)

= 0, 01me,

kdeme(v) sme označili relativistickú hmotnosť (1.6) elektrónu pri rýchlosti v.Pravá strana rovnice vyjadruje našu požiadavku odchýlky o 1 % pokojovejhmotnosti. Po vykrátení rovnice pokojovou hmotnosťou me a usporiadanídostaneme

1√

1− β2= 1, 01

Po jednoduchej úprave obdržíme

β2 = 1− 1

1, 012= 1, 97 × 10−2 a β = 0, 14

28

Hľadaná rýchlosť je teda β = 0, 14, alebo čo je to isté 4, 21×107 m/s. Z tohovidíme, že klasické vzťahy môžeme použiť pre relatívne vysoké rýchlosti.Závisí to len od presnosti, ktorú požadujeme. Je zrejmé tiež, že rovnakýzáver platí pre ľubovoľné teleso, nie len pre elektrón (výsledok nezávisel odhmotnosti elektrónu).

Výpočet kinetickej energie je mimoriadne jednoduchý, ak použijeme priamorelativistickú definíciu kinetickej energie danú vzťahom (1.8)

Ekin =(

me(v)−me

)

c2 = 0, 01mec2 = 0, 01 × 511 keV/c2c2 = 5, 11 keV/c2 · c2

= 5, 11 keV.

Tu sme využili toho, že hmotnosť elektrónu v jednotkách keV/c2 je 511 keV/c2.

4Úloha 1.8. Pokojová hmotnosť protónu je 938, 3 MeV/c2. Pri akej rýchlostisa bude líšiť jeho relativistická hmotnosť od pokojovej o 10 % jeho pokojovejhmotnosti?

5

Úloha 1.9. Elektrón, ktorý je na začiatku v pokoji, je urýchlený napätím2 kV (urýchlovacie napätie klasického monitoru). Aká je kinetická energiaelektrónu na konci urýchľovania?

Riešenie. Kinetická energia elektrónu sa bude rovnať práci, ktorú vykonáelektrické pole urýchľujúce elektrón. Ak elektrón preletí medzi dvomi bodmia medzi týmito bodmi je napätie U = x V, potom pole vykonalo prácuW = x eV. Či táto práca prispela k urýchleniu, alebo k spomaleniu elektrónu,závisí od okolností (od polarity napätia). V našom prípade je to jednoznačné– elektrón letí od zápornej elektródy ku kladnej a je urýchlený. Na začiatkuelektrón bol v pokoji a preto práca, ktorú elektrické pole vykonalo sa rovnákinetickej energii elektrónu na konci urýchlenia (tj. tesne pred dopadom naplochu monitoru)

Ekin =W = eU = 2× 103 eV.

Dôležité. Veľkosť práce ktorú elektrické pole vykoná na elektrickom nábojiveľkosťou q, ktorý je urýchlený napätím U, je vždy W = qU, tj. aj vtedy,keď pohyb náboja je relativistický.

6Úloha 1.10. Elektrón vstupuje medzi dvojicu elektród (A a B) s kinetickouenergiou 120 eV, pričom sa pohybuje od elektródy A k elektróde B. Aké musíbyť minimálne (brzdné) napätie medzi elektródami, aby pohyb elektrónu bolzastavený elektrickým poľom ešte pred dopadom na elektródu B?

29

Úloha 1.11. Elektrón v pokoji je urýchlený napätím 2000 V. Aká je rýchlosťelektrónu po urýchlení? Neuvažujte relativistické efekty.

Riešenie. Kinetická energia elektrónu vzrastie v dôsledku urýchlenia oEU =2000 eV. Nakoľko elektrón na začiatku bol v pokoji, jeho kinetická energiaEkin,0 bola

4

Ekin,0 = 0 eV.

Po urýchlení bude kinetická energia elektrónu Ekin,U

Ekin,U =

(

1

2mev

2

)

= EU .

Pokojová hmotnosť elektrónu jeme = 0, 511 MeV/c2, preto kinetickú energiuprepíšeme do tvaru

Ekin,U =1

2mev

2 =1

2mec

2(v

c

)2=

1

2mec

2β2 = EU .

Pre bezrozmernú rýchlosť β dostaneme

β =

√

2EU

mc2=

√

4000 eV0, 511 MeV

=√

7, 83 × 10−3 = 8, 85 × 10−2.

Rýchlosť elektrónu po urýchlení je v = βc = 8, 85×10−2c = 2, 65×107 ms−1.

Úloha 1.12. Elektrón letí rýchlosťou v = 1, 00× 108 ms−1. V smere svojholetu je urýchlený napätím U = 100 kV. Aká bude výsledná rýchlosť elek-trónu? Neuvažujte relativistické efekty.

Úloha 1.13. Elektrón v pokoji je urýchlený napätím 2000 V. Aká je rýchlosťelektrónu po urýchlení? Uvažujte relativistické efekty.

- - +

0 V 100 kV

v

Elektrón urýchlenýnapätím 100 kV vsmere jeho letu.

5Riešenie. Celková energia elektrónu vzrastie v dôsledku urýchlenia o EU =2000 eV. Nakoľko elektrón na začiatku bol v pokoji, jeho celková energia E0

bolaE0 = mec

2 = 0, 511 MeV.

Po urýchlení bude celková energia elektrónu E2 zvýšená o energiu urýchleniaEU

E2 = E0 +EU = 0, 511 MeV + 2000 eV = 0, 513 MeV.

Nakoľko elektrón bol na začiatku v pokoji, nárast celkovej energie je rovnýcelkovej (relativistickej) kinetickej energii elektrónu, tj.

EU = Ekin =mec

2

√

1− β2−mec

2.

30

Vyjadríme bezrozmernú rýchlosť β

β =

√

√

√

√

1− 1(

1 + EUmc2

)2 =

√

√

√

√

1− 1(

1 + 2000 eV0,511 MeV

)2

.=

√

1− 1

(1 + 3, 91 × 10−3)2.= 8, 82 × 10−2

Rýchlosť elektrónu po urýchlení je v = βc = 8, 82×10−2c = 2, 64×107 ms−1.

5 Úloha 1.14. Riešte úlohu 1.12 s uvážením relativistických efektov.

Kapitola 2

Tepelné žiarenie

V tejto kapitole sa budeme venovať tepelnému žiareniu telies, ktoré sa riadiPlanckovým vyžarovacím zákonom. Zdrojom tepelného žiarenia je každételeso, a v menej komplikovanej podobe (pravda tiež menej detailne) hopopisujú Wienov posuvný zákon a Stefanov-Boltzmannov zákon. Základnýmpojmom je absolútne čierne teleso.

2.1 Viditeľné svetlo

Viditeľné svetlo je tá časť elektromagnetického žiarenia, ktoré sa skladá zfotónov, ktoré je schopné ľudské oko registrovať. Tieto fotóny charakterizu-jeme ich vlnovou dĺžkou (alebo menej často ich frekvenciou). Literatúra nieje jednoznačná v tom, že aký interval vlnových dĺžok svetla (teda fotónov, zktorých sa skladá) tvorí viditeľné svetlo. Táto neistota je daná zrejme tým,že viditeľnosť v značnej miere závisí na subjekte, ktorý posudzuje, či svetlodanej vlnovej dĺžky ešte je viditeľné alebo nie. Dohodneme sa preto na tom,

viditeľné svetloλ = 360− 760 nm

že viditeľné svetlo je svetlo s vlnovou dĺžkou λ z intervalu 360 − 760 nm.1

spektrumDenné svetlo – ale tiež akékoľvek žiarenie – sa skladá z fotónov rôznychvlnových dĺžok. Len vo výnimočnom prípade sa skladajú z fotónov jednejjedinej vlnovej dĺžky (energie) – vtedy hovoríme o monochromatickom svetleči (monoenergetickom) žiarení.

monochromatickésvetlo

1V literatúre sa uvádza často 380 − 760 nm, ale tiež 360 − 700 nm, či 400− 700 nm.

31

32

Obr. 2.1: Obrázok ukazuje veľmi presné spektrálne rozloženie dúhy, farieb svetla Slnka.Tento rozklad je tak citlivý, že dlhý pás bolo nutné „rozrezať“ a naukladať nad seba. I zobrázku je dobre vidieť, že dúha nie je úplne spojité spektrum, čo má svoje príčiny v tom,že svetlo Slnka prechádza jednak cez hornú atmosféru Slnka a tiež atmosférou Zeme, kdedochádza k absorpcii. Vyššie uvedené spektrum bolo zhotovené v slnečnom observatóriuMcMath-Pierce.S poďakovaním (Copyright): National Optical Astronomy Observatory/Association ofUniversities for Research in Astronomy/National Science Foundation.

farba vlnová dĺžka energia fotónufialová 360 − 450 nm 3, 44 − 2, 76 eVmodrá 450 − 495 nm 2, 76 − 2, 50 eVzelená 495 − 570 nm 2, 50 − 2, 18 eVžltá 570 − 590 nm 2, 18 − 2, 10 eV

oranžová 590 − 620 nm 2, 10 − 2, 00 eVčervená 620 − 760 nm 2, 00 − 1, 65 eV

Tabuľka 2.1: Približné rozdelenie farieb dúhy podľa vlnovej dĺžky fotónov, z ktorýchsa svetlo skladá. Interval energie fotónov v elektronvoltoch je v poradí hraníc príslušnýchvlnových dĺžok v predchádzajúcom stĺpci.

33

EM žiarenie vlnová dĺžka energia fotónuγ-žiarenie < 10 pm > 1, 24 MeV

tvrdé röntgenove 10 − 100 pm 124− 12, 4 keVmäkké röntgenové 0, 1 − 10 nm 12, 4 − 0, 124 keVkrajné ultrafialové 10 − 100 nm 124 − 12, 4 eVblízke ultrafialové 100− 360 nm 12, 4 − 3, 44 eVviditeľné svetlo 360− 760 nm 3, 44 − 1, 65 eV

blízke infračervené 760 − 1000 nm 1, 65 − 1, 24 eVvzdialené infračervené 1− 10 µm 1240 − 124 meV

mikrovlnné 10 − 1000 µm 124− 1, 24 meVEKV 1− 1000 mm 1240 − 1, 24 µeVVKV 1− 10 m 1240 − 124 neVKV 10− 100 m 124 − 12, 4 neVSV 100 − 1000 m 12, 4 − 1, 24 neVDV 1− 10 km 1240 − 124 peV

VDV 10− 100 km 124 − 12, 4 peVEDV > 100 km < 12, 4 peV

Tabuľka 2.2: Približná charakteristika elektromagnetického žiarenia (fotónov) v celompásme. Vyznačené hranice sú len orientačné. Použité skratky pre rádiové vlny: EKV -extrémne krátke vlny, VKV - veľmi krátke vlny, KV - krátke vlny, SV - stredné vlny, DV- dlhé vlny, VDV - veľmi dlhé vlny, EDV - extrémne dlhé vlny.

34

dutina

otvor

teleso

Obr. 2.2: Fotón, ktorý vletí cez otvor do dutiny telesa bude veľkou pravdepodobnosťoupohltený. Z tohoto pohľadu otvor telesa sa správa ako absolútne čierne teleso. Napriektomu z otvoru fotóny vylietavajú, ale tieto fotóny sú v prevážnej miere emitované povr-chom dutiny a nie sú to fotóny, ktoré vleteli otvorom dutiny. Spektrálne zloženie a množ-stvo fotónov, ktoré vyletia otvorom sa riadi zákonom žiarenia absolútne čierneho telesa(Planckov vyžarovací zákon).

2.2 Absolútne čierne teleso

Absolútnečierne teleso

Teleso, ktoré neodrazí a ani neprepustí žiadne elektromagnetické žiarenie,ktoré na neho dopadne, nazývame absolútne čiernym telesom. Vďaka týmtovlastnostiam sa teleso skutočne javí ako čierne.

Technicky prevediteľné absolútne čierne teleso je znázornené na obrázku2.2. Na tomto obrázku hrá úlohu absolútne čierneho telesa otvor pred duti-nou. Vnútrajšok dutiny je komplikovaný, špongiovitý povrch. Z tohoto povrchuje málo pravdepodobné, že fotón sa odrazí naspäť priamo do otvoru. Fotónsa vo vnútri telesa (v dutine) odráža od stien dutiny, a pri každom dopadeje šanca, že bude absorbované.

7Príklad 2.1. Majme v telese dutinu v tvare gule s polomerom r = 10 cma otvor s plochou Sotv = 1 mm2. Odhadnite, aká je pravdepodobnosť, žefotón, ktorý vletí do dutiny cez otvor sa dostane von otvorom bez toho, že bybol vo vnútri dutiny absorbovaný? Povrch dutiny je difúzny, tj. po dopadesa fotón odrazí úplne náhodne, presnejšie: každý smer odrazu je rovnakopravdepodobný. Pravdepodobnosť toho, že fotón je pri jednom dopade napovrch dutiny absorbovaný (a už sa neodrazí) je p = 0, 9.

35

Riešenie. Odhad: Plocha dutiny je

S =4

3πr2 = 4, 2 × 104 mm2,

kým plocha otvoru je len Sotv = 1 mm2. Pravdepodobnosť toho, že po prvomdopade sa nepohltí, ale odrazí je q = 1− p = 0, 1. Pravdepodobnosť toho, žepo odraze nedopadne na plochu dutiny, ale poletí priamo do otvoru, je

Q =Sotv

S=

1 mm2

4, 2× 104 mm2 = 2, 4 × 10−5.

Pravdepodobnosť, že sa stanú obidve veci súčasne, je q × Q = 2, 4 × 10−6,teda veľmi malé číslo. Môže sa to stať samozrejme po dvoch odrazoch, potroch a podobne. Túto pravdepodobnosť môžeme zapísať ako

P = qQ+q2Q+q3Q+· · · = qQ(1+q+q2+· · · ) = qQ1

1− q =qQ

p= 2, 7×10−6.

Presnejší výpočet berie do úvahy aj to, že pokiaľ fotón dopadne na povrchdutiny v blízkosti otvoru, potom priestorový uhol, ktorý vykryje otvor jeväčší v dôsledku malej vzdialenosti. Na druhú stranu treba zobrať do úvahyaj sklon, pod ktorým je z daného bodu otvor vidieť. V konečnom dôsledku(po komplikovaných výpočtoch) treba namiesto plochy Sotv brať len jehopolovičnú hodnotu, tj. Q = Sotv/(2S) a potom výsledná pravdepodobnosť jeP = 1, 3× 10−6. Náš jednoduchý odhad je teda obstojný.

2.3 Wienov posuvný zákon

Wienov posuvný zákon určuje vlnovú dĺžku fotónov, na ktorej je intenzitažiarenia absolútne čierneho telesa maximálna.2

maximálna vl-nová dĺžka

Vlnovú dĺžku fotónov, na ktorej je intenzita žiarenia absolútne čier-neho telesa maximálna, nazývame maximálnou vlnovou dĺžkou a označujemeλmax.

3

Wienov zákon hovorí, že maximálna vlnová dĺžka žiarenia absolútne čier-neho telesa je nepriamo úmerná jeho termodynamickej teplote T (teplotemeranej v kelvinoch), konkrétne

Wienov posuvnýzákon

2Všetky zákony, ktoré popisujeme, predpokladajú, že pri tepelnom žiarení je telesov tepelnej rovnováhe. Znamená to, že jeho teplota sa nemení. Vo väčšine prípadov jeto splnené, energia (ktoré teleso vyžaruje) je neustále dopĺňaná zdrojom tepla. V inýchprípadoch síce teleso nie je v tepelnej rovnováhe, tepelné zmeny sú však výrazne pomalšie,než relaxačná doba procesov na atomárnej úrovni, preto nami preberané zákony popisujúcetepelné žiarenie sa dajú použiť bez zmien.

3V žiadnom prípade si nemyslime, že je to maximálna vlnová dĺžka fotónov, ktoré sa vžiarení ešte vyskytujú – obrázok 2.3 na strane 38 jasne ilustruje význam definície.

36

λmax =b

T, (2.1)

kde b = 2, 898 mmK je univerzálna konštanta, nezávislá od materiálovéhozloženia, tvaru či iných vlastností telesa.

Nie všetky telesá sú absolútne čierne – to je každodenná skúsenosť. Sožiarením, ktoré dopadá na teleso, sa môžu udiať tri veci:

schopnosťabsorpcie,odrazivosť atransparentnosť

• môže byť telesom pohltené, absorbované – túto schopnosť nazývameabsorpčnou schopnosťou telesa, absorptivitou

• môže byť odrazené – túto schopnosť telesa nazývame reflexivita a

• a môže byť prepustené – túto schopnosť telesa nazývame transparent-nosť.

Tieto tri vlastnosti sa vyjadrujú príslušnými koeficientami a (absorpčnáschopnosť), r (reflexivita) a t (transparentnosť.) Všetky tieto veličiny závisiana vlnovej dĺžke svetla, teplote telesa, jeho tvare, kvalite povrchu a podobne.

Ak na jednotkovú plochu telesa s teplotou T dopadne za jednotku časuE energie v podobe monochromatického žiarenia s vlnovou dĺžkou λ, potomz tohoto množstva energie aE bude pohltené, rE bude odrazené a dE budeprepustené. Platí teda

a+ r + t = 1. (2.2)

Samotné tvrdenie je triviálne a dá sa bez problémov pripustiť, že tietoveličiny sú závislé na vlnovej dĺžke žiarenia i teplote telesa. Schopnosť ab-sorpcie sa však dostane do nového svetla, keď spomenieme ďalšiu schopnosťtelies (nie nutne absolútne čiernych) a tou je emisivita.

emisivita Ak zoberieme absolútne čierne teleso, tak také teleso pohltí každé žiare-nie, ktoré na neho dopadne, teda a = 1 (r = t = 0) pre elektromagnetickéžiarenie ľubovoľnej vlnovej dĺžky.

Keď toto absolútne čierne teleso bude v tepelnej rovnováhe so žiarením,potom vyžiari na každej vlnovej dĺžke rovnaké množstvo energie, aké naneho dopadá.4 Označme množstvo vyžiarenej energie (z jednotkovej plochyza jednotku času) formálne ako ǫE (ǫ = 1). Naše tvrdenie potom môžemezapísať nasledovne

4Pod tepelnou rovnováhou so žiarením rozumieme nasledujúcu vec. Teleso je obklopenéžiarením (nech je zdrojom žiarenia čokoľvek). Teplota telesa sa v dôsledku vyžarovanianormálne klesá. V dôsledku absorbovaného žiarenia sa však teplota telesa stúpa. Pokiaľtieto procesy sú v rovnováhe, teplota telesa sa nemení. My, v spomínanej rovnováhe,vyžadujeme tiež to, aby sa nemenila spektrálna skladba žiarenia, ktoré obklopuje teleso(intenzita žiarenia na jednotlivých vlnových dĺžkach – týka sa to vyžarovania telesa ižiarenia, ktoré na teleso dopadá).

37

ǫE(λ, T ) = aE(λ, T ) .

Tu sme teda hovorili o absolútne čiernom telese, ktorého schopnosť absorbo-vať je jednotková na každej vlnovej dĺžke (a = 1) a pri každej teplote. Azrovna to platí aj o schopnosti emitovať (ǫ = 1 pre každú vlnovú dĺžku a prikaždej teplote).

Kirchhoff5 si však položil otázku, že koľko energie vyžiari zo svojhopovrchu reálne teleso6, ktorého absorpčná schopnosť je a(λ, T ) (a < 1)?7.Porovnávacím základom je absolútne čierne teleso. Ak absolútne čierne telesomá teplotu T a vyžiarené množstvo energie8 na vlnovej dĺžke λ je E, u reál-neho telesa rovnakej teploty sa dá očakávať, že bude množstvo vyžiarenejenergie na tej istej vlnovej dĺžke ǫ(λ, T )E. Koeficient ǫ(λ, T ) nazývame emi-sivitou. Koeficient ǫ(λ, T ) modifikuje žiarenie absolútne čierneho telesa nažiarenie reálneho telesa.

Kirchhoff experimentálne zistil, že

ǫ(λ, T ) = a(λ, T )

pre každú teplotu T a každú vlnovú dĺžku λ žiarenia. Tento jav nazývame KirchhoffowzákonKirchhoffovým zákonom tepelného žiarenia.

Poznámka 2.2. Možno pôsobí táto rovnosť prekvapujúco, hlavne keď siuvedomíme, že u reálneho telesa je schopnosť odrážať žiarenie nenulová (r >0) a tiež je nenulová aj transparentnosť (t > 0). V skutočnosti však vyjadrujeKirchhoffov zákon spomínanú rovnováhu telesa s dopadajúcim žiarením. Keďsi predstavíte list stromu, na ktorý dopadá slnečné svetlo, tak nakoniec jehoteplota sa ustáli. Svetlo, čo list prepustí, či odrazí nezvyšuje teplotu listu, alesnaží sa o to množstvo energie absorbované listom. Pri ustálenej teplote savšak list musí zbaviť rovnakého množstva energie, aké prijíma, preto ǫE =aE, čo je Kirchhoffov zákon.

Predsa je tu niečo netriviálneho. Kirchhoffov zákon totiž hovorí, že tátorovnováha nastane pre každú vlnovú zložku samostatne – absorbovaná ener-

5Gustav Robert Kirchhoff od ktorého pochádzajú aj dobre známe zákony pre

elektrické obvody.6z jednotkovej plochy za jednotku času;7Tu sme zdôraznili, že absorpčná schopnosť a môže závisieť od vlnovej dĺžky (a tiež od

teploty). Zelené listy stromu sú zelené preto, že neabsorbujú zelenú zložku bieleho svetla,kým ostatné zložky áno. Existujú plastové pásikové teplomery, ktoré keď priložíte k čelu,zmenia farbu podľa toho, že akú teplotu má vaše čelo. Inými slovami absorpčná schopnosťpásu je závislá od teploty.

8z jednotkovej plochy za jednotku času;

38

H(λ, T )

λλmax

Obr. 2.3: Graf ukazuje typické spektrálne zloženie žiarenia absolútne čierneho telesa,ktorého teplota je T. Na vodorovnej osi je vynesená vlnová dĺžka, na zvislej osi H(λ, T ), tzv.spektrálna hustota žiarivého toku, ale tento pojem vysvetlíme neskôr. Momentálne stačívedieť toľko, že keď vyberieme konkrétnu vlnovú dĺžku, výška grafu nám prezrádza, že akúčasť intenzity žiarenia absolútne čierneho telesa predstavujú fotóny s vybranou vlnovoudĺžkou (neskôr aj toto tvrdenie upresníme). Na obrázku sme vyznačili polohu maximaspektrálnej hustoty (žiarivého toku) a príslušnú hodnotu vlnovej dĺžky sme označili λmax.Túto vlnovú dĺžku nazývame vo Wienovom posuvnom zákone maximálnou vlnovou dĺžkou.

gia danej vlnovej dĺžky sa na tejto vlnovej dĺžke aj vyžiari. To je zákontepelného žiarenia.

Sú látky, ktoré tento zákon narúšajú a vytvárajú nový typ žiarenia (nietepelné). Napríklad ekologické žiarovky i „neónky“ pracujú na inom princípe.Na biely svietiaci povlak (tzv. luminofor) dopadá ultrafialové svetlo, ktoréje absorbované, ale luminofor vyžaruje túto energiu na úplne iných vlnovýchdĺžkach. Pravda, toto žiarenie už nie je tepelné žiarenie, ale tzv. studenéžiarenie a vrátime sa k nemu neskôr.

Pomocou Planckovho vyžarovacieho zákona neskôr ukážeme, že b sa dáskutočne vyjadriť výhradne pomocou univerzálnych fyzikálnych konštánt.

1Príklad 2.3. Povrchová teplota Slnka je 5523 °C. Aká je maximálna vlnovádĺžka, na ktorej Slnko svieti?

Riešenie. Povrchová termodynamická teplota Slnka je teda T = 5800 K, apodľa Wienovho posuvného zákona je maximálna vlnová dĺžka

λmax =b

T=

2, 898 mmK5800 K

= 500 nm.

39

Poznámka 2.4. Treba poznamenať, že po celú dobu sme mali namysli ne-priehľadné materiály. V takom prípade je reflexivita jednoznačne určená ab-sorptivitou (v tepelne rovnovážnom stave emisivitou – pozri vzťah (2.2) nastrane 36). Žiarenie reálnych telies je – oproti absolútne čiernemu telesu –modifikované jeho farbou (reflexivitou). Zelené listy stromov sú zelené, na-koľko z bieleho svetla odrážajú svetlo zelenej farby. Absorptivita (a potomaj emisivita) listov v pásme zelenej farby je teda veľmi nízka.

Dôsledkom tejto vlastnosti (závislosti absorptivity na vlnovej dĺžke) jeaj skleníkový efekt. Skleníkový efekt vyvolávajú tzv. skleníkové plyny, ktorésú vo väčšine pásiem elektromagnetického žiarenia priehľadné. Ich prítom-nosť môžeme chápať ako prítomnosť filtrov na zemskom povrchu – niečo, čomodifikuje emisivitu zemského povrchu.

Poznamenajme ešte, že materiály pri veľmi vysokých teplotách (akúmajú napríklad horné vrstvy hviezd) sú v plazmatickom stave – kladné iónysa voľne pohybujú v plyne elektrónov. Teplo je prenášané hlavne elektrónmiv plazme (elektróny sú výrazne ľahšie, než kladné ióny). Nie je preto prek-vapivé, že tepelné žiarenie hviezd nezávisí významne od zloženia hviezd, ariadi sa zákonmi žiarenia absolútne čiernych telies.

2.4 Stefanov-Boltzmannov zákon

Stefanov-Boltzmannov zákon hovorí, že ak máme absolútne čierne teleso,ktorého termodynamická teplota je T, potom z jednotky plochy za jed-notku času sa vyžiari určité množstvo energie a táto energia je úmerná T 4,konkrétne Stefanov-

Boltzmannovzákon

I = σT 4, (2.3)

kde I je intenzita vyžarovania telesa a σ = 5, 67 × 10−8 W m−2 K−4 jeStefanova-Boltzmannova konštanta, ktorá nie je závislá na materiále telesa,jeho tvare a závisí len od univerzálnych fyzikálnych konštánt, ako ukážemepomocou Planckovho vyžarovacieho zákona.

3Príklad 2.5. Vlákno žiarovky je rozžhavené na teplotu t = 1800 °C, pričomplocha vlákna je 20 mm2. Akým výkonom žiari žiarovka a aký musí byťpríkon, na udržanie teploty vlákna na uvedenej teplote?

Riešenie. Podľa Stefanovho-Bolltzmannovho zákona je intenzita žiarenia

I = σT 4 = 5, 67 × 10−8 W m−2 K−4 × (2073 K)4 = 1, 05 × 106 W m−2.

Plocha vlákna je S = 20 mm2 a preto vyžiarený výkon P je

P = S · I = SσT 4 = 20 mm2 × 1, 05 × 106 W m−2 = 21 W.

40

Vychádzali sme pritom z toho, že vlákno je absolútne čierne.Aby sme udržali teplotu vlákna, musí byť príkon rovnaký, aký je vyžarovaný

výkon (vlákno musí byť v tepelnej rovnováhe), preto príkon je tiež 21 W.

V prípade, že teleso nie je absolútne čierne, ale má určitú nie jednotkovúabsorpčnú schopnosť a (a < 1), potom jeho emisivita ǫ je tiež odlišná od 1a Stefanov-Boltzmannov zákon bude mať tvar

I = ǫσT 4. (2.4)

Táto emisivita ǫ je podľa Kirchhoffovho zákona tepelného žiarenia, pri te-pelnej rovnováhe, rovná absorpčnej schopnosti a (ǫ = a).

Poznámka 2.6. Vlákno žiarovky predchádzajúceho príkladu bolo pri výpoč-toch považované za absolútne čierne. Ak jeho emisivita bude ǫ = 0, 6, potomvšak aj vyžarovaný výkon bude nižší presne úmerne tomuto koeficientu, adosiahne len hodnotu 0, 6×21 W = 12, 6 W. V takom prípade na udržanie te-pelnej rovnováhy vlákna bude postačovať príkon 12, 6 W. (Stále vychádzamez toho, že príkonom musí byť nahradená vyžiarená energia v rovnakomtempe, ako sa energia vyžaruje.)

4Príklad 2.7. Na akú teplotu sa zohreje biela guľa s polomerom 5 cm, ak vjeho strede sa uvoľňuje 1 J tepla za každú sekundu (príkon 1 W)? Aká budetáto teplota, ak príkon bude 100 W? Pod bielou guľou rozumieme guľu spovrchom, ktorého absorpčná schopnosť je a = 0, 01 (99%-ná bielosť).

Riešenie. Uvažujme najprv príkon P = 1 W. Veľkosť plochy gule je

S = 4πr2 = 4× 3, 14 × (5 cm)2 = 3, 14 × 10−2 m2.

Pri termodynamickej teplote T bude guľou vyžarovaný výkon

Pg = ǫSσT 4,

a z rovnosti príkonu a vyžarovaného výkonu (P = Pg) plynie

T =

(

P

ǫS

)1/4

=

(

1 W0, 01 × 3, 14 × 10−2 m2 × 5, 67 × 10−8 W m−2 K−4

)1/4

= 487 K,

tj., že guľa sa zohreje na teplotu 214 °C.Ak bude príkon 100 krát väčší, potom teplota sa ustáli na (100)1/4 = 3, 16

násobku teploty, ktorú sme obdržali pre príkon 1 W. Guľa sa rozžhaví pripríkone 100 W na teplotu 1540 K=1267 °C. Je to jeden z dôvodov, prečoľudia v rovníkovej oblasti majú tmavú pleť a prečo teplokrvné zvieratá vpolárnej oblasti sú biele.

41

Uvedieme ešte jeden praktický tvar Stefanovho-Boltzmannovho zákona.Ak teleso s termodynamickou teplotou T1, s povrchom S1 a s absorpč-nou schopnosťou a svojho povrchu sa nachádza v nádobe (či v miestnosti),ktorého steny majú teplotu T2, potom teleso síce žiari výkonom P1 = ǫS1σT

41

(vyžarovaný výkon), ale súčasne pohlcuje cez svoj povrch žiarenia nádoby(miestnosti) výkon P2 = aS1σT

42 . Vzhľadom k tomu, že ǫ = a, celkový výkon

vyžiarený telesom je

∆P = P1 − P2 = ǫS1σ(T41 − T 4

2 ). (2.5)

Tento výkon je kladný, pokiaľ teleso vyžiari viac energie, než pohltí (T1 >T2), a je záporný, pokiaľ pohltí viac energie, než vyžiari (T1 < T2). Prek-vapivé môže byť zistenie, že táto formula neobsahuje emisivitu (alebo ab-sorpčnú schopnosť) stien nádoby.

Uvedená formula platí za predpokladu, že steny nádoby sú nepriehľadné,tj. t = 0 (pozri vzťah (2.2) na strane 36). V takom prípade a2+ r2 = 1. Časťpovrchu telesa ožaruje určitú časť povrchu nádoby, a rovnaká časť nádobyožaruje povrch telesa. Pri tepelnej rovnováhe spomínaná časť telesa vyžiariza jednotku času presne toľko energie, koľko smerom k nemu vyžiarila aodrazila príslušná časť povrchu nádoby. Inými slovami, akoby povrch nádobybol absolútne čiernym (a2 + r2 = 1).

Keby nádoba bola čiastočne priehľadná (t2 => 0), vzťah (2.5) by smemuseli písať v tvare

∆P = P1 − P2 = ǫS1σ[

T 41 − (1− t2)T 4

2

]

. (2.6)

V ďalšom budeme vždy predpokladať, že nádoba je nepriehľadná (t2 = 0).

6Príklad 2.8. Majme guľu s polomerom rg = 5 cm, povrch ktorej má ab-sorpčnú schopnosť a1 = 0, 1. V strede tejto gule as uvoľňuje teplo a tentotepelný zdroj má príkon P = 1 W. Guľu obklopuje tenká kovová schránka vtvare gule s polomerom rs = 10 cm tak, že kovová schránka a guľa s tepelnýmzdrojom majú spoločný stred.

Vnútorná strana kovovej schránky je natretá tmavou farbou, ktorej ab-sorpčná schopnosť je a2 = 0, 8, kým vonkajšia strana schránky je svetlá sabsorpčnou schopnosťou a3 = 0, 05.

Celé zariadenie je vo vesmíre, v tieni Zeme. Na akej teplote sa ustáliteplota malej gule s tepelným zdrojom a na akej hodnote sa ustáli teplotakovovej schránky?

Riešenie. Musíme začať postup zvonka. Pri tepelnej rovnováhe celkový te-pelný príkon (v malej guli) P = 1 W sa musí vyžiariť vonkajšou vrstvou

42

kovovej schránky, tj.P = ǫ3SsσT

4s ,

kde ǫ3 = a3 = 0, 05

Ss = 4πr4s = 1, 24 × 10−10 m2

je povrch kovovej schránky. Z rovnosti vyžarovaného výkonu a príkonu do-staneme

T 4s =

P

ǫSsσ= 2, 81 × 109 K4, T = 230 K.

Teraz môžeme prejsť k vnútornej gule s tepelným zdrojom. Vnútorná guľamá teplotu Tg a preto vyžaruje výkonom Pg = ǫ1SgσT

4g , kde Sg = 4πr2g .

Súčasne však guľa je obklopená kovovou schránkou, ktorej teplota je Ts.Absorbuje teda výkon Pa = ǫ1SsσT

4g . Tieto dva výkony nie sú rovnaké, ale

líšia sa o tepelný príkon zdroja ukrytého vo vnútri gule. Jedine takto dokážekovová schránka vyžiariť spomínaný výkon do okolitého vesmíru. Platí teda,že

P = Pg − Pa = ǫ1Sgσ(T4g − T 4

s ),

odkiaľ teplotu gule vieme vypočítať, lebo už všetko poznáme

T 4g =

P

ǫ1Sgσ+ T 4

s =P

σ

(

1

ǫ1Sg− 1

ǫ3Ss

)

.

Po dosadení dostaneme, že teplota gule bude Tg = 483 K.

2.5 Planckov vyžarovací zákon

Planckov vyžarovací zákon vystihuje tepelné žiarenie v podstatne detailnejšejpodobe, než Wienov posuvný zákon a Stefanov-Boltzmannov zákon, nakoľkohovorí o spektrálnom zložení tepelného žiarenia a kvantifikuje ho.

2.5.1 Rayghleiho-Jeansov zákon

Raygheiho-Jeansov zákon bol jedným z prvých čiastočne úspešných pokusovvysvetliť spektrálne zloženie tepelného žiarenia (žiarenia absolútne čiernehotelesa). Keď hovoríme o spektrálnom zložení, máme tým na mysli napríkladfarebné zloženie žiarenia Slnka.

Keď rozložíme svetlo Slnka pomocou hranola, získame vo viditeľnej oblastidúhu (pozri obrázok 2.1 na strane 32). Intenzita jednotlivých farieb nie je

43

rovnaká (v zmysle definície intenzity monochromatického svetla, tj. ener-gia fotónov×počet fotónov/(plocha × čas)). Pri teoretickom popise tepel-ného žiarenia sa očakáva odpoveď aj na otázku, aká je intenzita jednotlivýchfarieb, všeobecne – aká je intenzita všetkých frekvencií žiarenia.

Rayghlei9 a Jeans10 odvodili vzťah spektrálnej hustoty intenzity žiare-nia absolútne čierneho telesa vychádzajúc z kinetickej teórie plynov a zMaxwellových rovníc.

Na tomto mieste podáme popis odvodenia pre zjednodušenú dutinu,ktorá hrá úlohu absolútne čierneho telesa, keď dutina má tvar hranola sostranami Lx, Ly, Lz. Dutina v tomto prípade nemá žiadny otvor, a preto ničz neho neuniká – steny dutiny vyžiaria formou tepelného žiarenia všetko, čopohltili. Steny dutiny považovali Rayghlei a Jeans za dokonalé zrkadlá,ktoré udržiavajú v dutine (kde je vákuum) elektromagnetické žiarenie vnezmenenom stave.

Program, ktorý si následne vytýčili, bol jednoduchý:

1. spočítať, v koľkých možných stavoch sa môže nachádzať elektromag-netické pole v dutine (počet stupňov voľnosti – počet módov),

2. určiť zo znalosti počtu stupňov voľnosti a znalosti strednej energiepripadajúcej na jeden stupeň voľnosti množstvo energie uschované vjednotkovom objeme dutiny, a tiež spektrálne zloženie tejto energie.

Ultrafialovákatastrofa

Kým prvý krok sa dá urobiť korektným spôsobom, v prípade druhého krokuprogramu sa museli uchýliť k predpokladu, že v dutine sa realizuje každýmód, a stredná energia jedného módu je kT/2 – zrovna tak, ako v kinetic-

9Lord Rayghlei (vyslovuj „rejli“ ), vlastným menom John William Strutt bol an-glický fyzik, stal sa laureátom Nobelovej Ceny v roku 1904 za objav nového chemickéhoprvku, argónu. Jeho meno je spojené mnohými javmi, ako napríklad Rayleigho rozptyl.Rayghleiho rozptyl hovorí o tom, že svetlo s kratšou vlnovou dĺžkou sa rozptyluje namalých rozptylových centrách a molekulách ochotnejšie, než svetlo väčšej vlnovej dĺžky.Preto je obloha modrá a bude modrá na každej planéte, kde atmosféru tvorí plyn bez farby.Aj obloha Marsu je modrá, ako to dokazujú aj zábery vesmírnych sond, ktoré na povrchuMarsu pristáli. Obloha na Marsu môže byť do červena, pokiaľ sa preženie piesočná búrka,ktorá do atmosféry vynesie malé zrniečka červeného piesku. Farba oblohy v tomto prípadeje však daná farbou zrniečok piesku a nie niečim iným.

Nobelová cena sa nikdy neprideľuje na základe jedného objavu, berie sa do úvahy prispe-nie do nejakej oblasti fyziky výraznejším spôsobom. V odôvodnení, pravda, sa vyzdvihujeaj konkrétny úspech v oblasti, kde prispenie osoby je výrazné, najviac oceňované komu-nitou vedcov navrhujúcich toto prestížne ocenenie.

10sir James Hopwood Jeans bol anglický fyzik, astronóm. Prispel hlavne ku kvantovejteórii, a k vysvetleniu žiarenia a vývoja hviezd.

44

kej teórii plynov.11 Tento druhý (nesprávny predpoklad) viedol k predpovedispektrálneho zloženia, ktorej nedostatok v literatúre spomínajú ako ultrafi-alovú katastrofu. Podrobným výpočtom (pozri dodatok A) zistili, že početmódov s frekvenciou ν až ν + dν je v dutine s objemom V

N(ν) =16π

c3V ν2dν (2.7)

Ak priemerná energia módov je 12 kT, potom elektromagnetické pole uzavreté

v dutine s objemom V a s teplotou stien T má vo frekvenčnom pásme (ν, ν+dν) energiu

8π

c3V kTν2dν. (2.8)

Spektrálna hustota hustoty energie prepočítanej na jednotku objemu je po-tom

H(ν, T ) =8π

c3kTν2. (2.9)

Vysvetlime si fyzikálny význam veličiny H(ν, T ).12 Spektrálna hustota hus-toty energie hovorí nasledujúce. Ak vyberieme vo vnútri dutiny objem veľ-kosti ∆V a frekvenčné pásmo šírky ∆ν obsahujúci frekvenciu ν, (naprík-lad frekvenčné pásmo (ν, ν +∆ν)), potom množstvo energie nahromadené vtomto objeme a v tomto frekvenčnom pásme je

∆E = H(ν, T )∆ν∆V. (2.10)

Poznámka 2.9. H(ν, T ) je fyzikálna veličina nového typu, s ktorou sa do-teraz čitateľ pravdepodobne nestretol. Je to dvojnásobná hustota. Hustotaenergie z hľadiska priestoru a súčasne aj hustota z pohľadu frekvencie (spek-trálna hustota). Pokiaľ s ňou budeme narábať v tvare (2.10), myslíme si, žesa sňou dokážeme zblížiť bez väčších problémov.

Vzťah (2.10) sa pomocou kvantového prístupu dá chápať ešte jednoduchšie,než klasicky. Je to súhrnná energia tých fotónov v objeme ∆V, ktorýchfrekvencia je z intervalu (ν, ν +∆ν).

Rayghleiho-Jeansov zákon súhlasil so známymi experimentálnymi údajmilen v nízkofrekvenčnej oblasti. Vo vysokofrekvenčnej oblasti však experi-menty ukazovali „orezanie“ hustoty energie s vysokou frekvenciu.

11Teraz sme nepresní, lebo kT/2 je stredná kinetická energia pripadajúca len na jedenstupeň voľnosti. Toto tvrdenie je zatiaľ postačujúce a upresnenie príde na správnom mieste– pozri napríklad dodatok A.

12Jeho odvodenie možno nájsť v dodatku A

45

I jednoduché pozorovanie odporuje tomu, čo predpovedá Raygleiho-Jeans-ov zákon. Pozrime sa na tento problém z pohľadu obyčajných kachlí, doktorých sme zatopili uhlím. Keď zatopíme, kachle sa postupne zahrievajú ažna konečnú teplotu. V konečnom, rovnovážnom stave vyžiaria toľko tepla,koľko tepla sa uvoľní pri horení uhlia. Vnútrajšok kachlí pritom funguje akodutina a jeho steny ako absolútne čierne teleso. Pri konečnej teplote (T ) hov-oríme o tepelnej rovnováhe absolútne čierneho telesa – mal by tu teda platiťRayghleiho-Jeansov zákon. Ten však predpovedá, že keď urobíme „inventár“koľko energie sa nachádza vo frekvenčnom pásme šírky (napr.) 1 Hz – do-staneme odpoveď, že čím je frekvencia väčšia, tým viac. Na frekvencii 10 Hzje stokrát viac, ako na frekvencii 1 Hz, Na frekvencii 100 Hz je zase stokrátviac ako na frekvencii 10 Hz, na frekvencii 1000 Hz je zase stokrát viac akona 100 Hz, atď, atď. Je to dané tým, že H(ν, T ) ∼ ν2. Tento rast ale nikdenekončí, nie je „orezaný“ . Ak v infračervenej oblasti je nejaké konečné množ-stvo energie (a to cítime na dlaniach natiahnutých smerom ku kachliam), voviditeľnej oblasti by toho malo byť sto krát viac, v ultrafialovej oblasti stokrát viac, než vo viditeľnej oblasti a v röntgenovej oblasti ešte stokrát viac.Sedieť v blízkosti takých kachlí by bolo vysloveným hazardom (alebo skôristou smrťou). Tento stav by musel nastať postupne, vyrovnávaním teplotykachlí na konečnú teplotu. Podľa Rayghleiho-Jeansovho zákona by sa kachlemali naprv rozpáliť do červena, potom do žlta, do zelena, do modra, dofialova atď.

Nič sa z toho ale nedeje, môže to potvrdiť ktokoľvek, kto v blízkostikachlí už sedel (zrovna to platí pre táborák, kde rovnaké procesy by museliprebehnúť vo vnútri každého žeravého uhlíku v ohništi). Je to rukolapné, žetento zákon nemôže byť správny.

2.5.2 Wienov zákon žiarenia

Wien13 si uvedomil, že základná chyba je v predpoklade o obsadení každéhomódu elektromagnetického žiarenia, ktorý môže v dutine existovať. Pokiaľby sme totiž chceli spočítať množstvo energie v konečne malom objemovomelemente ∆V dutiny, museli by sme sčítať (integrovať) energie

∆E = H(ν, T )∆V∆ν

pre všetky frekvencie, čo vedie k výsledku

E =

∫ ∞

0dν(

H(ν, T )∆V)

=8π

c3∆V

∫ ∞

0dν ν2 =

8π

c3∆V

[

ν3

3

]∞

ν=0

=∞,

13Wilhelm Wien získal Nobelovu Cenu za fyziku v roku 1911 práve za výsledky dosiah-nuté pri vysvetlení tepelného žiarenia.

46

Rayghlei-Jeans

Planck a experimentálne údaje

Wien

H(ν, T )

ν

Obr. 2.4: Predpovede priebehu H(ν, T ) podľa rôznych modelov. Experimentálne údaje súvynesené hrubou čiarou a zhodujú sa s Planckovým zákonom žiarenia. Rayghleiho-Jeansovzákon predpovedá pre rastúcu frekvenciu neobmedzený rast hustoty energie. Wienov zákondáva správne výsledky pre vysokofrekvenčnú oblasť, ale pre nízkofrekvenčnú oblasť saodchyľuje od experimentálnych hodnôt výraznejšie, než Rayghleiho-Jeansov zákon.

tj. k nekonečnemu množstvu energie. Vráťme sa k nášmu príkladu, ku kach-liam, v ktorých horí uhlie: pálením uhlia v kachliach sa uvolní len konečnémnožstvo tepla, takže takáto predpoveď o spektrálnom rozdelení energie vžiarení je neprijateľná.

Wien použil predpoklad, že vysokofrekvenčná oblasť bude „orezaná“ fak-torom e−E/kT , ktorý je známy napríklad z barometrickej formule (odvodeniebarometrickej formule a argumentáciu vedúcu ku vzťahu nižšie pozri v do-datku B). Orezávanie znamená v tomto prípade to, že spektrálnu hustotuhustoty energie H(ν, T ) očakával v tvare

H(ν, T ) =8π

c3hν3e−

hνkT . (2.11)

Wienov zákon žiarenia dáva vynikajúci súhlas v oblasti veľmi vysokýchfrekvencií, ale v oblasti nízkych frekvencií dáva horšie výsledky, než Rayghleiho-Jeansov zákon (pozri obrázok).

Poznámka 2.10. V niektorých literatúrach tento nesúhlas Wienovho zá-kona s experimentálnymi údajmi v nízkofrekvenčnej oblasti sa nazýva in-fračervená katastrofa. Treba ale poznamenať, že nesúhlas zďaleka nie je dra-stický, ako to ukazuje aj obrázok 2.4, a zďaleka nie taký závažný ako ultra-fialová katastrofa spojená s Rayghleiho-Jeansovým zákonom.

47

Žiaľ, Wienov zákon nesúhlasil s experimentálnymi údajmi ani v oblastimaxima H(ν, T ) a konkrétne nedával správnu hodnotu práve pre experi-mentálne zistenú hodnotu b z Wienovho posuvného zákona. Aby sme si toukázali, vyjadrime spektrálnu hustotu hustoty energie v závislosti od vlnovejdĺžky λ a nie od frekvencie ν.

?Príklad 2.11. Vyjadrite závislosť spektrálnej hustoty hustoty energie H navlnovej dĺžke λ.

Riešenie. Aby sme sa nezaplietli do definície H(ν, T ), odvodenie tvaruH(λ, T ), urobíme prostredníctvom množstva elektromagnetickej energie vmalom elemente ∆V.

Množstvo elektromagnetickej energie dE v objeme ∆V a vo frekvenčnompáse (ν, ν + dν) je

dE = H(ν, T )∆V dν

Táto istá energia sa ale dá vyjadriť aj pomocou vlnovej dĺžky λ a spektrálnejhustoty hustoty energie H(λ, T ), ktorá má ten istý význam ako H(ν, T ), lenvyjadrená pomocou vlnových dĺžok λ :

dE = H(λ, T )∆V dλ,

kde frekvenčné pásmo (ν, ν+dν) určuje jednoznačne interval vlnových dĺžok(λ, λ+ dλ) prostredníctvom vzťahu λ = c/ν. Platí

ν =c

λ, , ν + dν =

c

λ+ dλ, dν =

dν

dλdλ = − c

λ2dλ.

Nech nás znamienko „−“ nemýli. Vyjadruje vlastne tú skutočnosť, že medziν a λ je nepriama úmera. Ak ν+dν je väčšie ako ν, potom λ+dλ je menšieako λ, pričom λ = c/ν.

Frekvenčný interval (ν, ν+dν) popisuje tú istú časť elektromagnetickéhožiarenia, ako interval (λ + dλ, λ)14 a nachádza sa v nich rovnaké množstvoenergie (na jednotkový objem).

Rovnosť môžeme zapísať aj pomocou absolútnych hodnôt nasledovne

dE = H(ν, T )∆V |dν| = H(λ, T )∆V |dλ|.

Objem ∆V môžeme vykrátiť z rovnosti a písať

H(λ, T ) = H(ν, T )

∣

∣

∣

∣

dν

dλ

∣

∣

∣

∣

=8π

c3hν3∣

∣

∣

∣

− c

λ2

∣

∣

∣

∣

.

14Teraz sme dbali o to, aby sme poradie λ + dλ a λ písali skutočne v poradí „menší,“„väčší.“

48

Konečný výsledok je potom

H(λ, T ) =8π

c3h

(

c

λ

)3

e−hckT

∣

∣

∣

∣

− c

λ2

∣

∣

∣

∣

= 8πhcλ−5e−hc

λkT .

?Príklad 2.12. Odvoďte Wienov posuvný zákon pre Wienovu spektrálnuhustotu hustoty energie.

Riešenie. Podľa Wienovho posuvného zákona vlnová dĺžka λmax elektro-magnetického žiarenia, pre ktorú monochromatická zložka má maximálnuintenzitu, spĺňa zákon

λmax =b

T, kde b = 2, 989 mmK.

Inými slovami H(λ, T ) nadobúda svoju maximálnu hodnotu na vlnovej dĺžkeλmax. Potom ale musí platiť, že

∂H(λ, T )

∂λ

∣

∣

∣

∣

λ=λmax

= 0.

Po dosadení do H(λ, T ) z príkladu 2.11, a vykonaní derivácie dostaneme

8πkT

(

− 5

λ6e−

hcλkT +

1

λ5hc

kT

1

λ2e−

hcλkT

)

= 0

Stačí rovnicu vynásobiť výrazom λ7ehc

λkT a dostaneme podmienku pre ma-ximum vo veľmi jednoduchej podobe

5λ− hc

kT= 0.

Tento vzťah kvalitatívne súhlasí s Wienovým posuvným zákonom, ale pred-povedá pre koeficient b hodnotu

b =hc

5k= 2, 877 mmK,

teda asi 0,7% menšiu, než je správna, experimentálne zistená hodnota2, 898 mmK.

49

2.5.3 Konečné riešenie

Konečné riešenie našiel Max Planck15. Bol dlho presvedčený o správnostiWienovho zákona, bolo mu však zrejmé, že bude treba robiť určitú modi-fikáciu, ktorá povedie k súhlasu s experimentálnymi údajmi v celej oblasti.Jeho postup tu nebudeme reprodukovať, lebo sa opieral o termodynamiku.V konečnom dôsledku však skombinoval entrópiu pre Rayghleiho-Jeansvozákon a Wienov zákon šťastným spôsobom, ktorý viedol k správnemu tvaruspektrálnej hustoty hustoty energie v tvare

H(ν, T ) =8π

c3hν3

e−hνkT

1− e− hνkT

(2.12)

Tento výsledok naprosto súhlasí s experimentálnymi údajmi (pozri obrázok2.4) na strane 46, preto bolo treba nájsť aj prijateľné fyzikálne zdôvodnenie.Na rozdiel od mylnej predstavy (ktorá prežívala skoro 40 rokov), že Plancknašiel odpoveď v kvantovaní elektromagnetického žiarenia, vychádzal z pred-stáv o mechanizme vzniku žiarenia. Tá je skrytá v stenách dutiny.

Atómy a molekuly steny dutiny pohlcujú a vyžarujú elektromagnetickéžiarenie. Správne žiarenie popísané vzťahom (2.12) možno získať, pokiaľ sipovieme, že konkrétny atóm (molekula) steny dutiny nie je schopný žiariťna ľubovoľnej frekvencii, len na celočíselných násobkoch určitej základnejfrekvencie ν0, tj. na frekvenciách

ν0, 2ν0, 3ν0, . . . .

Dnes vieme, že to zodpovedá vyžiareniu fotónov s energiou

E0, 2E0, 3E0, . . . .

Na druhú stranu to, že atóm (molekula) sa dostane do stavu, v ktorej jeschopná vyžiariť na tejto energii (frekvencii), je (používame barometrickúformulu - odvodenie pozri v dodatku A)

p0e−

E0kT , p0e

−2E0kT , p0e

−3E0kT , . . . , p0e

−nE0kT

kde p0 je normujúce číslo. Aby p0e−

nE0kT bola skutočne pravdepodobnosť,

ktorou sa realizuje stav s energiou En, súčet všetkých pravdepodobností

15Max Planck, jeden zo zakladateľov kvantovej teórie, získal Nobelovu cenu za fyziku

v roku 1918 za jeho zásluhy vo fyzike a objavenie kvanta energie

50

musí dať 1 (100%)

1 = p0e− 0

kT + p0e−

E0kT + p0e

−2E0kT + · · · = p0

(

1 + e−E0kT + e−

2E0kT

+...)

= p01

1− e−E0kT

.

Tu sme využili toho, že pre malé x (|x| < 1)

1 + x+ x2 + · · ·+ xn =1− xn+1

1− x ,

a v limitnom prípade n −→ ∞ sa čitateľ stane rovný 1. V našom prípadebolo x = e−

E0kT . Teraz už poznáme čomu sa p0 musí rovnať

p0

1− e−E0kT

= 1 ⇒ p0 = 1− e−E0kT .

Pravdepodobnosť toho, že atóm (molekula) nevyžiari nič je p0, pravdepodob-

nosť toho, že atóm vyžiari energiu E0 je p1 = p0e−

E0kT , pravdepodobnosť

toho, že vyžiari energiu 2E0 je zase p2e−2E0kT atď..

Teraz môžeme skontrolovať, že aká je stredná hodnota energie vyžiarenáatómom – je to vážený priemer všetkých možných energií 0, E0, 2E0, . . . .Nulová energia (pravdepodobnosť vyžiarenia ktorého je p0) tu musí figurovaťtiež. Pre strednú hodnotu energie E môžeme napísať

E = p0×0+p1E0+p2(2E0)+p3(3E0) = p0E0e−

E0kT(

1+e−E0kT +e−

2E0kT · · ·

)

.

Znova použijeme naše značenie x = e−E0kT , potom si všimnime, že

1 + 2x+ 3x2 + · · · = d

dx(1 + x+ x2 + x3 · · · ),

teda rovnýd

dx

(

1

1− x

)

=1

(1− x)2 .

Stredná hodnota energie pripadajúca na jeden mód teda nie je kT, ale

E = E0e−

E0kT

1− e−E0kT

= E01

eE0kT − 1

=hν0

ehν0kT − 1

. (2.13)

51

Poznámka 2.13. Pre veľmi malé hodnoty z (|z| ≪ 1) možno písať ez ≈1 + z.

Všimnime si, že pre veľmi malé energie E0, kokrétne pre tak malé energie,že E0

kT ≪ 1 dostávame pre strednú energiu

E ≈ E01

(1 + E0kT )− 1

= kT,

tj. predpoklad použitý Rayghleim pri odvodení Rayghleiho-Jeansovho zá-kona.

Poznámka 2.14. Pozorný čitateľ si môže položiť otázku, prečo sme prestrednú hodnotu energie nedostali 1

2 kT ? V kinetickej teórii pripadá na každýstupeň voľnosti stedná hodnota kinetickej energie veľkosti 1

2 kT. Pokiaľ jemedzi atómami aj pružná väzba, potom na každú takúto väzbu pripadástredná hodnota potenciálnej energie tiež veľkosti 1

2 kT. Toto zistenie je ob-sahom tzv. ekvipartičného teorému.

V prípade elektromagnetického poľa elektrické a magnetické pole nie súod seba oddeliteľné – vidíme to aj z toho, že ich pevne spájajú Maxwelloverovnice. Ak jeden z nich budeme chápať ako kinetický člen (s kinetickou ener-giou), druhý potom hrá úlohu potenciálneho člena (s potenciálnou energiou).To sme pri odvodení Rayghleiho-Jeansovho zákona v dodatku A zobrali doúvahy.

Zostáva nám odvodenie Stefanovho-Boltzmannovho zákona žiarenia. Urobímev dvoch krokoch.

2.5.4 Vzťah hustoty energie a intenzity žiarenia

Uvažujme o elektromagnetickom žiarení, ktorého hustota energie je konš-tantná, rovná w a šíri sa len v jednom smere. Ako súvisí intenzita žiarenia Is hustotou energie tohoto žiarenia?

Predstavme si elementárny hranol s objemom ∆V, v ktorej fotóny sapohybujú pozdĺž jednej z jeho hrán. Nech dĺžka tejto hrany je ∆Lx. V danomokamihu je množstvo energie v elementárnom objeme ∆E = w∆V. Za čas

∆t =∆Lx

c

sa všetky fotóny z tohoto elementárneho objemu ∆V prejdú plochou kolmouna hranu dĺžky ∆Lx, tj. cez plochu

∆S =∆V

∆Lx.

52

Intenzita žiarenia je preto

I =∆E

∆S∆t=

w∆V(

∆S∆Lx

c

) = wc.

Žiarivý tok V prípade dutiny je situácia odlišná, než sme popísali vyššie. Ak vy-berieme nejaký bod vo vnútri dutiny, žiarenie cez neho prechádza zo všetkýchsmerov. Takéto žiarenie skôr vieme charakterizovať novou veličinou, ktorúnazývame žiarivý tok. Žiarenie prechádzajúci cez bod, pokračuje ďalej aprechádza cez povrch gule so stredom v spomínanom bode. Túto skutočnosťvyjadrujeme tým, že žiarenie vypĺňa celý priestorový uhol 4π.16

Namiesto spektrálnej hustoty hustoty energie v dutine, vyjadrenej veliči-nouH(ν, T ) (pozri (2.12)) zavedieme spektrálnu hustotu žiarivého toku Φ(ν, T )absolútne čierneho telesa ako

Φ(ν, T ) =c

4πH(ν, T ). (2.14)

Rýchlosť svetla c poukazuje na to, že od hustoty prechádzame k toku, kýmdelenie s 4π na skutočnosť, že žiarenie je všesmerové a vzťahujeme veličinuna jednotkový priestorový uhol.

Majme dutinu, v ktorej je žiarenie absolútne čierneho telesa v rovnováhea hustota energie je w. Žiarenie je v dutine izotropné. Majme malú, pevnezvolenú plochu veľkosti ∆S v dutine. Táto plocha má dve strany (dajmetomu symbolicky označíme ako 1 a 2). Žiarenie prechádza skrz túto myslenúplochu jedným i druhým smerom (vďaka izotropie rovnaké množstvo v obochsmeroch).

Otázka znie. Aká je intenzita žiarenia prechádzajúca skrz plochy len zjednej strany?

Žiarivý tok v dutine má veľkosť

Φ =wc

4π.

Z jednej strany na druhú však prechádza len žiarenie z polpriestoru, tj.z priestorového uhla 2π. Intenzita žiarenia však nebude I = 2πΦ, lebo

16Priestorový uhol meriame v steradiánoch. Priestorový uhol vymedzuje okolo boduplochu na jednotkovej guli (so stredom v tomto bode). Veľkosť tejto plochy sa dohodlonazývať veľkosťou priestorového uhla. Plocha gule s polomerom r je 4πr2, preto plochajednotkovej gule je 4π. Ak máme na mysli len polpriestor, tak hovoríme o priestorovomuhle, ktorého veľkosť je 2π, lebo to je plocha polovice gule s jednotkovým polomerom.Veľkosť priestorového uhla nehovorí, ktorú časť priestoru okolo bodu myslíme.

53

neprechádzajú pod rovnakým uhlom. Tá časť žiarenia, ktorá dopadá naplochu kolmo, prispieva k intenzite v plnej miere (dI = ΦdΩ(0), kde Ω(0) jemalý priestorový uhol okolo normály plochy). Žiarenie ΦdΩ(ϑ) dopadajúcena plochu S pod uhlom ϑ, prispieva k celkovej intenzite žiarenia (prechádza-júcej plochou S) len časťou dI = Φcos ϑdΩ(ϑ). V tomto prípade Ω(ϑ) malýpriestorový uhol vymedzujúci časť priestor, ktorá uzatvára s normálou plochuuhol približne ϑ. Sčítaním všetkých príspevkov (zo všetkých smerov) dosta-neme pre intenzitu žiarenia prechádzajúcu plochou S výsledok

I = πΦ =wc

4. (2.15)

Tento záver samozrejme platí samostatne pre každú frekvenciu, preto dostá-vame

I(ν, T ) =c

4H(ν, t) =

2πh

c2ν3

ehνkT − 1

(2.16)

a pre závislosť na vlnovej dĺžke

I(λ, T ) =c

4H(λ, T ). (2.17)

2.6 Úlohy2.1

2

Úloha 2.1. Na obrázku 2.1 sme ukázali spektrum slnečného svetla. Jedná sao dúhu rozvinutú do velmi dlhého pásu. Túto dúhu sme rozrezali na krátkepásy, a pásy naukladali pod seba ako riadky písmen v knihe (pri prezeraníod najväčších vlnových dĺžok k najmenším sa obrázok „číta zľava dopravaa zhora nadol“ , presne ako kniha). Nakoľko dĺžka každého pásu je rovnaká,môžeme zakresliť zvisle vedľa spektra mierku s rozpätím vlnových dĺžokviditeľného svetla (od 760 nm po 360 nm). Určte vlnovú dĺžku viditeľnéhosvetla a jeho farbu.

54

Riešenie.

360

410

460

510

560

610

660

710

760

Stupnica na ľavej strane je v nanometroch. Stred viditeľného spektra je560 nm a má zelenú farbu.

1Úloha 2.2. Rozhodovanie o tom, že ktorá farba má akú vlnovú dĺžku jevýrazne subjektívne. Porovnajte farby z orientačnej definície uvedenej vtabuľke 2.1 so stupnicou z predchádzajúcej úlohy. Navrhnite vlastnú tabuľkufarieb.

Treba poznamenať, že ani obrazovka, ani tlačiareň nevracia farby úplneverne. Táto problematika je mimoriadne dôležitá pre výrobcov monitorova farebných tlačiarní. Napriek tomu, rozdiely, ktoré zistíte pramenia skôr vnejednotnosti definícií. 2.3

1Úloha 2.3. Klasická žiarovka svieti v dôsledku rozžhavenia vlákna. Teplotavlákna v tepelnej rovnováhe je 1650 °C. Aká je maximálna vlnová dĺžka svetlatejto žiarovky?

Riešenie. Podľa Wienovho zákona určuje maximálnu vlnovú dĺžku svetlažiarovky vzťah (2.1) na strane 36, kde T je v našom prípade termodynamickáteplota vlákna

T = 273 + 1650 K = 1923 K.

Maximálna vlnová dĺžka λmax je potom

λmax =b

T=

2, 989 mmK1923 K

= 1554 nm.

55

Úloha 2.4. Aká je maximálna vlnová dĺžka tepelného žiarenia človeka, ktorýmá zvýšenú teplotu 37, 3 °C?

1

2Úloha 2.5. Povrchová teplota vzdialených hviezd sa dá určiť pomocou spek-tra ich žiarenia, ktoré je tepelné žiarenie. Určí sa maximálna vlnová dĺžka(vlnová dĺžka s maximálnou intenzitou žiarenia).

Obr. 2.5: Súhvezdie Orionu.

Rigel, jedna z najjasnejších hviezdzimnej oblohy (druhá najjasnejšia hviezdasúhvezdia Orion - tj. Orion β) žiari na-jintenzívnejšie na vlnovej dĺžke 270 nm.Aká je jej povrchová teplota? Aká jeenergia fotónov (v eV) s maximálnouvlnovou dĺžkou?

Riešenie. Ak Rigel žiari najintenzívne-jšie na vlnovej dĺžke 270 nm, potom tátovlnová dĺžka je maximálna vlnová dĺžkaa podľa Wienovho posuvného zákonaje jeho povrchová teplota

T =b

λmax=

2, 989 mmK270 nm

= 1, 1×104 K.

Energia fotónov je

E =hc

λ=

1240 nmeV270 nm

= 4, 59 eV.

2

kozmické mik-rovlnné žiareniepozadia

Úloha 2.6. Jedným z ranných pozostatkov Big-Bangu je kozmické mikro-vlnné žiarenie pozadia (žiarenie pozadia), ktoré prvý krát pozorovali Wil-

son a Penzias17, ako neodstrániteľný elektromagnetický šum prichádzajúciizotrópne z každého smeru vesmíru.

17RObert Woodrow Wilson a Arno Allan Penzias získali Nobelovu cenu za

fyziku v roku 1978 za objavenie kozmického mikrovlnného žiarenia pozadia. Tento objavo dve desaťročia neskôr priniesla revolúciu v kozmológii.

56

Obr. 2.6: Mapa oblohy ukazujúca žiareniepozadia. Žiarenie pozadia nie je dokonaleizotrópne, čo prinieslo revolúciu v koz-mológii – fyzikálnu kozmológiu. S poďako-vaním NASA/WMAP.

Ich cieľom nebolo objaviť toto žia-renie (nikto nepredpokladal, že exis-tuje), ale vyvinúť ultra citlivú anténupracujúcu v mikrovlnnej oblasti. Zis-tilo sa, že objavený šum má charaktertepelného žiarenia. Maximálnu inten-zitu dosahuje na vlnovej dĺžke1, 063 mm. Akej teplote absolútne čier-neho telesa zodpovedá táto vlnová dĺžka(hovoríme tiež, že je to teplota žiare-nia pozadia)? Aká je energia fotónov(v eV) s maximálnou vlnovou dĺžkou?

2.4

3

Úloha 2.7. Monochromatické svetlo s intenzitou 760 W m−2 dopadá kolmona čiernu plochu veľkosti 6 cm2. Koľko energie je touto plochou absorbovanéza jednu minútu?

Riešenie. Nakoľko plocha je čierna, pohltí všetok žiarenia. Označme inten-zitu monochromatického svetla I = 760 W m−2 a veľkosť čiernej plochy S =6 cm−2. Množstvo energie ∆E pohltené touto plochou za dobu ∆t = 1 minje

∆E = IS∆t = 760 W m−2 × 6× 10−4 cm2 × 60 s = 27, 4 J.

3 Úloha 2.8. Laser s príkonom 1 mW vytvára monochromatický lúč červenéhosvetla s priemerom 1 mm. Aká je intenzita laserového lúča?

Intenzita niemonochromat-ického svetla

5

Úloha 2.9. Intenzita nie monochromatického svetla môžeme chápať akosvetlo zložené z monochromatických zložiek. Intenzita tohoto svetla je súč-tom intenzity jednotlivých zložiek. Pri udávaní absorptivity môžeme udaťspriemerovaný údaj pre dané spektrálne zloženie svetla.

Na list stromu dopadá biele svetlo s intenzitou 670 W m−2. Svetlo dopadákolmo na plochu listu. List má priemernú absorpčnú schopnosť 0, 8. Koľkoenergie pohltí list stromu za jednu hodinu, ak veľkosť plochy listu, na ktorédopadá biele svetlo, je 25 cm2?

Riešenie. Označme absorpčnú schopnosť listu a, intenzitu bieleho svetla I,veľkosť plochy listu S a dobu, po ktorú biele svetlo dopadá na list označíme∆t. Množstvo absorbovanej energie ∆E je

∆E = aIS∆t = 0, 8× 670 W m−2 × 2, 5× 10−3 m2 × 3600 s = 48, 2 kJ.

57

Úloha 2.10. Žiarovka s príkonom 100 W osvetľuje knihu, ktorá je od nejvo vzdialenosti 0, 5 m. Aká je intenzita žiarenia dopadajúca na knihu, akdopadá na strany knihy kolmo? Vlákno žiarovky považujme za čierne.

4

5Úloha 2.11. Solárna konštanta je 1368 W m−2. Aký je výkon žiarivý Slnka?K výpočtu použite astronomické údaje z Internetu.

Riešenie. Solárnu konštantu označme I⊙. Vyjadruje intenzitu slnečnéhožiarenia v blízkosti Zeme nad jej atmosférou vo vesmíre, tj. vo vzdialenostirAU = 1, 496× 1011 m od Slnka. Celkový žiarivý výkon18 Slnka L⊙ sa rovnávýkonu žiarenia, ktorý prechádza cez povrch gule s polomerom rAU, tj. cezplochu veľkosti S = 4πr2AU.

Celkový žiarivý výkon Slnka je

L⊙ = 4πr2AUI⊙ = 4× 3, 1415 × (1, 496 × 1011 m)2 × 1368 W m−2

= 3, 847 × 1026 W.

4Úloha 2.12. Určte povrchovú teplotu Slnka na základe výsledku pred-chádzajúcej úlohy. Potrebné údaje čerpajte potrebných údajov získaných zinternetu.

5Úloha 2.13. Zdrojom kozmického žiarenia (pozri úlohu 2.6) boli plyny predpribližne 12,5 miliardami rokov. Aký veľký žiarivý výkon môžeme prisúdiťpozadiu na základe znalosti teploty žiarenia? O zdroji žiarenia pozadia uvažu-jme ako o absolútne čiernom telese. Porovnajte tento výkon so žiarivýmvýkonom Slnka z úlohy 2.11.

Riešenie. Nakoľko žiarenia pozadia prichádza z každého smeru a bolo emi-tované pred 12,5 miliardami rokov, plocha, ktorá je zdrojom žiarenia pozadiaje guľoplocha s polomerom R = 12, 5×109 ly, kde ly je označením svetelnéhoroku (vzdialenosť, ktorú svetlo vo vákuu preletí za jeden rok, tj. 9, 461 ×1015 m). Vyžarovaný výkon L je potom podľa Stefanovho-Boltzmannovhozákona

L = 4πR2σT 4

= 12, 57 × (12, 5 × 109 × 9, 461 × 1015 m)2 ××5, 67 × 10−8 W m−2 K−4 × (2, 73 K)4,

kde T = 2, 73 K je teplota žiarenia (výsledok úlohy 2.6). Číselný výsledok jeL = 5, 54 × 1055 W, čo znamená, že L = 1, 44 × 1029L⊙.

18astronómovia nazývajú luminozitou

58

Kapitola 3

Model atómu

3.1 Model atómu pred Rutherfordom

Avogadrovo čísloVeľkým prínosom atomistickej predstavy látky a kinetickej teórie plynovbolo, že dovolilo spočítať počet atómov v známom objeme látky, či v látkeznámej hmotnosti (Avogadrovo číslo). Pokiaľ sa predpokladal guľovitý tvaratómu, jeho polomer vychádzal rádovo 10−10 m.1

Chýbali však znalosti o štruktúre atómov – či vôbec nejakú majú, aleboje atóm len homogénnou guľôčkou. Rôzne fyzikálne javy, ako emisia elek-trónov z rozžhaveného kovu (elektrónka v klasickom monitore), výboj vznika-júci pri veľkom napätí, blesky poukazovali na to, že vo vnútri atómu súnosiče záporného aj kladného elektrického náboja. Elektróny pri týchto jav-och odnášajú z elektricky neutrálneho atómu záporný elektrický náboj. Boliobjavené prvé rádioaktívne atómy, ktoré vyžarovali častice α, odnášajúce zelektricky neutrálneho atómu kladný elektrický náboj.

Práve častice α sa stali prvými sondami, ktoré ukázali štruktúru atómupomocou revolučne novej metódy – rozptylového experimentu.

Napriek tomu, že elektromagnetické javy boli spoľahlivo popísané štyrmiMaxwellovými rovnicami, a tie boli známe už v 70-tych rokoch 19-ho storočia,skoro nič nebolo známe o elektróne. Jeho vlastnosti boli zmerané spoľahlivoaž v roku 1987.2 Časticu α objavili v roku 1898, ale až v roku 1909 sa podarilo

1Demonštrovať sa dá roztiahnutím malej kvapky oleja na povrchu vody – určí sa objemkvapky oleja, ktorá sa roztiahne medzi drôtmi. Určí sa maximálna veľkosť plochy olejovejškvrny, ktorú možno takto získať. Hrúbka h olejovej vrstvy je približne priemer atómu(molekuly oleja): h = V/S, kde V je objem olejovej kvapky a S je maximálna plochaolejovej škvrny.

2Joseph John Thomson, Nobelova cena za fyziku v roku 1906, za jeho veľký prínos

v teoretickom a experimentálnom skúmaní vedenia elektrického prúdu v plynoch (inými

59

60

identifikovať túto časticu ako jadro atómu hélia (He2+).Pudingovýmodel atómu

Prvý model atómu vychádzal z rozpoznania existencie elektrónu (J.J.

Thomson - 1897), čím vznikol tzv. pudingový model atómu, ktorý bol za-vrhnutý až v roku 1911.

Lenardov modelatómu

Lenard3 skúmal prienik elektrónového zväzku skrz tenkú vrstvu látky(1903) a zistil, že elektróny sú vychylované len málo. Objem atómu z väčšejčasti je prázdny. Lenard predpokladal, že atóm sa skladá z malých kladnýcha záporných častíc, ale jeho model nemal taký úspech, ako Thomsonov.

Chýbala stále odpoveď na báze experimentu – ako sa rozkladá kladnýa záporný náboj vo vnútri atómu? Rutherford, Geiger a Marsden sivytýčili za svoj cieľ zistiť toto rozloženie nábojov.

Logickým návrhom mohol pripadať planetárny model atómu. A skutočne.Ak uvažujeme o planéte obiehajúcej okolo Slnka na kružnicovej trajektóriia o elektrónu obiehajúcom okolo ťažkého kladného jadra na kružnicovej tra-jektórii, obidva pohyby sa riadia identickými pohybovými rovnicami.

Na planétu pôsobí príťažlivá sila Slnka, a veľkosť F tejto sily je

F =kGr2

,

kde r je vzdialenosť medzi planétou a Slnkom, kým kG je konštanta, ktorejštruktúra je známa z Newtonovho gravitačného zákona v tvare

kG = GmM,

kde G je univerzálna gravitačná konštanta (jej hodnota v sústave SI je 6, 67×10−11 N kg−2 m2), m je hmotnosť planéty (v kilogramoch) a M je hmotnosťSlnka (v kilogramoch).

V prípade elektrónu obiehajúceho okolo ťažkého atómového jadra (ďalejbudeme hovoriť len o atóme), elektrón je k jadru pútaný coulombovskousilou veľkosti F ,

F =kCr2

,

kde r je vzdialenosť medzi elektrónom a jadrom atómu, kým kC je konštanta,ktorá má štruktúru (vyplývajúcu z Coulombovho zákona) v tvare (v sústaveSI)

kC =qeqj4πε0

.

slovami objavenie elektrónu).3Philipp Eduard Anton von Lenard, Nobelová cena za fyziku v roku 1905, pre jeho

prácu s katódovými lúčmi (rozumej elektrónové lúče).

61

Tu qe je elektrický náboj elektrónu, qj je elektrický náboj jadra atómu (vprípade atómu vodíka qj = −qe = e, tj. veľkosti elementárneho náboja1, 602 × 10−19 C), ε0 je permitivita vákua (jej hodnota v SI je 8, 854 ×10−12 m−3 kg−1 s4 A2)4

Pri pohybe po kružnicovej trajektórii pôsobí na elektrón zotrvačná sila.V prípade planéty má veľkosť

Fo =mv2

r,

v prípade elektrónu

Fo =mev

2

r,

kde v je v oboch prípadoch obežná rýchlosť a me je hmotnosť elektrónu.Napriek tejto podobnosti sa myšlienka planetárneho modelu atómu v

tejto fáze poznania (tj. pre Rutherfordovými experimentmi) zavrhla. Dôvodomboli Maxwellove rovnice, ktoré nemali svoju analógiu v gravitácii5.

Štvorica Maxwellových rovníc (bez toho, že by sme ich napísali) hovorío troch veciach:

• ako vytvára pohybujúca sa častica s elektrickým nábojom elektromag-netické pole,

• ako elektromagnetické pole núti pohybovať sa elektricky nabitú časticu,

• ako sa chová elektromagnetické pole bez prítomnosti elektricky nabitýchčastíc (voľné elektromagnetické pole).

Poznámka 3.1. Pokiaľ to nepovedie nejednoznačnostiam, budeme o časticis elektrickým nábojom hovoriť len ako o náboji.

Pohybujúci sa náboj vytvára okolo seba elektromagnetické pole. Pokiaľ elek-trický náboj sa pohybuje zrýchlene (teda mení veľkosť alebo smer svojhopohybu), vytvára také elektromagnetické pole, ktoré je schopné existovať ajosamostatnene (voľné elektromagnetické pole). Hovoríme, že zrýchľujúci saelektrický náboj vyžaruje elektromagnetické vlny. Elektromagnetické vlny súteda realitou, ich existencia nie je spojená s voľbou pozorovateľa (nezávis-losť na pozorovateľovi je dôležitá vlastnosť, ktorú v argumentácii použijemenižšie).

4Je praktické si pamätať, že 4πε0 ≈ 109

× 10−10 m−3 kg−1 s4 A2, alebo1

4πε0≈ 9× 109 m3 kg1 s−4 A−2.

5Dnes ich máme, sú to Einsteinove rovnice všeobecnej teórie relativity.

62

Poznámka 3.2. Striedavý elektrický prúd je vytváraný kmitajúcim pohy-bom elektrónov. Striedavý prúd preto vytvára elektromagnetické žiarenie.To je základ funkčnosti mobilných telefónov.

6Príklad 3.3. Určite vyžarovaný výkon elektrónu vo vákuu, ktorý je urých-lený zrýchlením veľkosti a. K riešeniu využite rozmerovú analýzu.

Riešenie. V prvom kroku rozhodneme, ktoré fyzikálne veličiny môžu ov-plyvniť vyžarovaný výkon. Pre ozrejmenie: vyžarovaným výkonom P (vowattoch) rozumieme množstvo elektromagnetickej energie (v jouloch), ktoréprejde za jednotku času (sekundu) uzavretou plochou, ktorá obklopuje elek-trón (nezáleží na veľkosti plochy – dôležité je, že obklopuje elektrón zovšetkých strán). Prichádzajú do úvahy nasledujúce fyzikálne veličiny:

• elektrický náboj elektrónu e, nakoľko on je zdrojom elektrického poľaa tiež magnetického poľa – fyzikálny rozmer v základných jednotkáchje A m,

• permitivita vákua ε0, nakoľko charakterizuje elektrické vlastnosti vákua– fyzikálny rozmer je Fm−1 = kg−1 m−3 s4 A2,

• permeabilita vákua µ0, nakoľko charakterizuje magnetické vlastnostivákua; namiesto tejto veličiny je však rozumné zvoliť rýchlosť svetlavo vákuu c, nakoľko c2 = 1/(µ0ε0), teda spája elektrické a magne-tické vlastnosti v dobre známu a názornú fyzikálnu veličinu – fyzikálnyrozmer rýchlosti je m s−1

• zrýchlenie elektrónu a, podľa zadania príkladu elektrón koná zrýchlenýpohyb – fyzikálny rozmer je m s−2.

Je na mieste otázka, prečo nepredpokladáme závislosť od rýchlosti elektrónua od hmotnosti elektrónu?

Od rýchlosti elektrónu vyžarovaný výkon nemôže závisieť, lebo stojacíelektrón by musel tiež vyžarovať (z pohľadu pozorovateľa, ktorý sa voči nemupohybuje rovnomerne a priamočiaro). Vyžarovanie nehybného elektrónu jefyzikálne neprijateľná predstava.

Od hmotnosti elektrónu vyžarovaný výkon nemôže závisieť preto, lebozdrojom elektromagnetického žiarenia je elektrický náboj a nič iného. Elek-trický náboj je nezávislý od hmotnosti (elektrón a protón majú rovnakoveľký elektrický náboj, ale odlišné hmotnosti).

Viac fyzikálnych veličín, ktoré by vystupovali v našom experimentálnomusporiadaní, už nemáme.

63

Pre vyžarovaný výkon teda môžeme písať nasledujúcu rovnicu

P = KeAεBcCaD,

kde K je bezrozmerný koeficient (jeho fyzikálny rozmer je 1, tj. [K] = 1) aexponenty A,B,C,D sú čísla. To, čo platí pre fyzikálne veličiny, platí nutneaj pre ich fyzikálne rozmery, tj.

[P ] = [K][e]A[ε0]B [c]C [a]D.

Konkrétne

(W =)kgm2 s−3 = (A s)A(kg−1 m−3 s4 A2)B(ms−1)C(ms−2)D

Usporiadame pravú stranu podľa základných fyzikálnych rozmerov a dosta-neme

kgm2 s−3 = (kg−B)(m−3B+C+D)(sA+4B−C−2D)(AA+2B)

Exponenty pri základných fyzikálnych rozmeroch sa musia rovnať a týmdostaneme nasledujúcu sústavu rovníc (na ľavej strane máme A0 = 1)

kg: 1 = −Bm: 2 = −3B + C +Ds: −3 = A+ 4B − C − 2D

A: 0 = A+ 2B

Z prvej a poslednej rovnice dostaneme okamžite, že B = −1 a A = 2. Pospätnom dosadení do druhej a tretej rovnice získame

2 = 3 + C +D,

−3 = −2− C − 2D.

Sčítaním týchto dvoch rovníc dostaneme

−2 = −D,

teda D = 2 a C = −3. Hľadaný vzťah pre vyžarovaný výkon je

P = Ke2ε−10 c−3a2.

2Úloha 3.4. V atómu vodíka obieha elektrón okolo protónu na kružnicovejtrajektórii s polomerom 0, 5 × 10−10 m. Aký by mal byť vyžarovaný výkonv tomto prípade?

Predpokladajte, že K = 1. [8, 8 × 10−7 W].

64

Úloha 3.5. Aký by bol podľa predchádzajúceho výsledku vyžarovaný výkonjedného človeka, ktorého hmotnosť je 100 kg? Porovnajte so špičkovým vý-konom jadrovej bomby zvrhnutej na Hirošimu (1020 W).

Predpokladajte, že človek sa skladá len z vodíkových atómov.

4

Poučenie z riešení predchádzajúcich úloh je, že pokiaľ atóm má plan-etárnu štruktúru, potom podľa Maxwellových rovníc by musel žiariť každýatóm. Makroskopické telesá sa skladajú z enormného množstva atómov atoto žiarenie by bolo neprehliadnuteľné.

3.2 Rutherfordov rozptylový experiment

Ernest Rutherford viedol v roku 1909 svojich mladých kolegov Hansa

Geigera a Ernesta Marsdena k vykonaniu rozptylového experimentu,ktorý mal ukázať rozloženie elektrického náboja v atóme.6 Podľa Thom-sonovho modelu atómu sa atóm skladá z kohéznej kladnej hmoty, ktoránekladie odpor pohybu iných častíc, presnejšie pohybu elektrónov. Bolo otázne,či bude klásť odpor pohybu iných častíc, ktoré boli objavené spolu s rádioak-tivitou – pohybu α-častíc. Či už tu odpor mal byť, alebo nie, rozptylovýexperiment mal schopnosť ukázať, pravdu.

Pôvodná myšlienka bola, že α-časticiam kohézna hmota atómu nebudeklásť odpor. Častica α preletí (vďaka svojej relatívne veľkej hmotnosti mα ≈8000me) hmotou atómu len s malou zmenou smeru svojho letu. Môžeme si topredstaviť tak, akoby brok vystrelený z pušky mal preletieť kvapkou vody.Kvapka vody smer letu broku dokáže modifikovať len nepatrne. Náhodnázrážka s elektrónom taktiež nedokáže zmeniť smer letu α-častíc výraznejšie,nakoľko α-častica má skoro 8 000 krát väčšiu hmotnosť než elektrón.

1Úloha 3.6. Uveďte príklad predmetu, ktorý má približne 8 000 krát väčšiuhmotnosť ako vy, a predmet, ktorý má 8 000 krát menšiu hmotnosť ako vy.

Bombardovať jediný atóm by bola nadmieru zložitá úloha. Preto atómy,ktoré mali byť bombardované tvorili veľmi tenkú fóliu. Tak tenkú, že fóliamohla byť hrubá len niekoľko málo vrstiev atómov. K tomu sa mimoriadnehodí zlato, ktoré je veľmi kujné a dokáže sa urobiť tak tenká fólia, cez ktorúuž preniká aj svetlo.

6V roku 1909 mladý Marsden potreboval výskumný projekt a Rutherford navrhol,aby skúmal rozptyl α−častíc s veľkým uhlom rozptylu. Marsden ich skutočne pozoroval– malý počet rozptylov, kde častice α sa z terčíku rozptýlili pod väčším uhlom ako 92° –[?]

65

Bombardujúce α-častice dopadali kolmo k povrchu zlatej fólie. Zdrojomα-častíc bol prírodný rádioaktívny zdroj. Zo zdroja vylietavajú α-častice vovšetkých smeroch. α-častice sa však dajú veľmi ľahko odtieniť a tým sériouštrbín sa dá vytvoriť úzky zväzok α-častíc. Tým sa dosiahne, že častice αdopadajú na veľmi dobre vymedzenú oblasť zlatej fólie (plocha oblasti, atým aj počet bombardovaných atómov zlata sa dá určiť veľkou presnosťou).Súčasne, vďaka úzkemu zväzku, častice α letia v podstate rovnobežne.

Odchýlenie trajektórie α-častíc spôsobené interakciou s atómami zlata sasledovalo ďaleko od fólie7 – tak, aby odchýlky pod malým uhlom boli dobrepozorovateľné. Kvôli presnejšiemu pozorovaniu α-častíc Geiger v spoluprácis Rutherfordom vyvinuli prístroj registrujúci častice α.8 Častice fyzickyregistruje trubica, ktorá vyprodukuje elektrický pulz, pokiaľ preletí jeho vnú-trajškom (ktorý je vyplnený plynom) častica α (alebo iná elektricky nabitáčastica).Poznámka 3.7. Princíp činnosti je jednoduchý. Trubica je dvojica elek-tród. Jedna z elektród je trubica otvorená na jednom konci. Jeho osou satiahne tenký drôt (druhá elektróda). Medzi elektródami je vysoké napätienastavené na hodnotu blízko k elektrickej pevnosti plynu (tj. keď vzniknesamovoľné prebitie medzi elektródami). α-častica, ktorá vletí do trubice,ionizuje množstvo molekúl plynu. Elektrické pole medzi elektródami priti-ahne veľké množstvo (až milión) vzniklých nabitých molekúl a elektrónovk elektródam, čo sa prejaví v elektrickom obvode ako prúdový pulz. Ten jeďalej zosilnený a elektronicky zaregistrovaný. Rýchlosť elektroniky umožníregistrovať touto formou až stotisíc α-častíc za sekundu.

Veľmi jednoduchým odhadom si môžeme urobiť predstavu, že pulz mániečo okolo 0, 1 µA. Energia α-častíc je okolo 6 MeV. K ionizácii molekúlje treba rádovo 6 eV, to znamená, že častica α vytvorí až milión elektrickynabitých molekúl a molekuly uvoľnia rovnaký počet elektrónov. Priemer tru-bice je len pár centimetrov a náboje musia prekonať preto rádovo len cen-timeter, čo dokážu za milióntinu sekundy. Veľkosť elementárneho náboja je1, 6× 10−19 C, z čoho dostávame, že prúd v pulze má veľkosť rádovo106 × 1, 6 × 10−19C/10−6s ≈ 1, 6 × 10−7 A.

Výsledkom rozptylového experimentu, ktorý realizoval Geiger a Mars-

den však bol prekvapujúci. Častice α boli vychyľované z pôvodného smerunie len o malé uhly, ale zriedkavo aj o veľké uhly9. Z toho už aj kvali-

7Ďaleko znamená v tomto prípade, že priemer d ožarovanej oblasti fólie bol podstatnemenší, ako vzdialenosť L detektoru od ožarovanej oblasti fólie (d ≪ L).

8Neskôr prístroj zdokonalil so svojim študentom Műllerom, ktorý sa dnes nazývaGeiger Müllerov počítač.

9Pôvodný Rutherfordov článok [?] a Geigerov a Marsdenov článok [?]

66

tatívne vyplývalo, že častice α v atóme museli naraziť na niečo kompak-tné, s výrazne väčšou hmotnosťou, než akú má častica α. Presnejšia analýzarozptylov ukázala, že pohyb častíc α vo vnútri atómu bol taký, akoby ichvychyľoval bodový náboj s hmotnosťou celého atómu. Inými slovami atómmá sústredenú hmotnosť s kladným nábojom do veľmi malej časti atómu –preto hovoríme o jadre atómu. Jadro atómu je obklopené elektrónmi v re-latívne veľkej vzdialenosti a hovoríme o elektrónovom obale atómu. Tentoelektrónový obal obklopuje jadro a činí atóm navonok elektricky neutrálnym(častice α mimo atóm nie sú vychyľované vôbec).

Za slovom podrobnejšia analýza sa skrýva nový pojem fyziky, diferen-ciálny účinný prierez.

3.2.1 Účinný prierez ako plocha a pravdepodobnosť

Cieľom tohoto paragrafu je vysvetlenie významu účinného prierezu σ, ktorýtvorí základný pojem pre rozptylové experimenty.

Účinný prierez σ má rozmer plochy ( m2), ale z praktických dôvodov sazavádza nová jednotka barn, pričom 1 barn = 10−28 m2.

Uvedieme príklady, ktoré nám pomôžu pochopiť, ako náhodný charakterdejov súvisí s plochou pri niektorých fyzikálnych situáciach.

3Príklad 3.8. Vonku je bezvetrie a pokojne prší. Na dvore stojí zaváraninovýpohár, do ktorého naprší 10 mm vody (tj. výška vodného stĺpca v pohári je10 mm). Zo strechy odtieklo počas dažďa (za rovnakú dobu, čo do poháranapršalo 10 mm vody) 1200 litrov vody do kanalizácie. Aký veľký je pôdorysstrechy domu?

Riešenie. Môžeme predpokladať, že na strechu pršalo rovnomerne, a kebysme do nádoby s pôdorysom strechy nazbierali napršané množstvo vody,výška vodného stĺpca by bol 10 mm. Pritom objem vody v tejto nádobeby musel byť oným 1200 litrov, teda 1, 2 m3. Toto množstvo odtieklo dokanalizácie. Ak plochu pôdorysu označíme S, výšku napršaného vodnéhostĺpca h(= 10 mm) a objem napršanej vody V (= 1, 2 m3), potom musí platiť

S =V

h=

1, 2 m3

0, 01 m= 120 m2.

Pôdorys strechy je teda 120 m2.

Pri riešení tejto úlohy nenápadným spôsobom hrala úlohu pravdepodob-nosť. Nevieme kam jednotlivé kvapky dažďa padli, ale predpokladali sme, žena jednotku plochy padalo rovnaké množstvo (a rovnako veľkých) kvapiek,ako na dvore, kde stál zaváraninový pohár. Inými slovami rozdelenie kvapiekbolo rovnomerné.

67

Príklad 3.9. Sedíte na verande domu pod holým nebom a poprcháva. Počí-tate, že koľko kvapiek padne za jednu minútu do detského bazénika, ktorý mápriemer jeden meter. Napočítate celkom 200 kvapiek. Koľko kvapiek dažďavám za tú minútu, čo ste počítali, napadalo do vašej šálky s kávou – ústiešálky má priemer 10 cm?

3

Riešenie. Odpoveď je, že pravdepodobne dve kvapky. Tu znova vychádzamez predpokladu, že kvapky padajú náhodne a preto na plochu, ktorá je 100krát menšia než plocha bazénika, dopadne za ten istý čas 100 krát menejkvapiek. Samozrejme je to náhodný proces, preto výsledok je len približný.V odpovedi sme preto uviedli „pravdepodobne “ . V teórii pravdepodobnostivšak platí takzvaný zákon veľkých čísiel, že čím by dopadlo do bazénikakvapiek viac, tým presnejšie by bol odhad aj ohľadom počtu kvapiek padlýchdo šálky. Vačší počet kvapiek môže byť dôsledkom dlhšieho počítania, alebohustejšieho dažďa.

3Úloha 3.10. Rozhodli ste sa odmerať plochu jedného javorového lista. Kdispozícii máte ešte laboratórne váhy, papier formátu A4 (210 mm×297 mm)a detský zásyp. Ako budete postupovať?

3.3 Rutherfordov rozptylový experiment

Rutherfordov rozptylový experiment vedie k Rutherfordovej formuli

dσ = k1

sin4 ϑ2

dΩ, (3.1)

kde

k =

(

e2ZjZα

16πε0Eα

)2

(3.2)

a Zje je elektrický náboj terčíkového jadra, Zαe je elektrický náboj bombar-dujúcej častice10, ε0 je permitivita vákua11, Eα je kinetická energia bombar-dujúcej častice a ϑ je uhol rozptylu12.

Význam veličín dσ a dΩ je daný samotnou myšlienkou rozptylového ex-perimentu, ktorý pozostáva z dvoch dobre oddeliteľných častí.

10V prípade Rutherfordovho rozptylového experimentu je bombardujúca častica α-častica a Zα = 2, kým terčíkovým jadrom je zlato (Au) a veľkosť elektrického náboja jadraje Zj = 79 násobkom elementárneho náboja e = 1, 602× 10−19 C, tj. 1, 27× 10−17 C.

11ε0 = 8, 854× 10−12C2 N−1 m−2

12Uhlom rozptylu vždy rozumieme uhol medzi smerom letu nalietávajúcej a rozptýlenejčastice, a to vo veľkej vzdialenosti od jadra – veľká vzdialenosť znamená, že vplyv jadraje už zanedbateľný

68

bombardujúca častica

terčíkové jadro

ϑ

Obr. 3.1: Na obrázku vľavo vidíme bombardujúcu časticu nalietať na terčíkové jadro. Pri-amka znázorňuje pôvodný smer letu bombardujúcej častice, presnejšie: priamku trajektóriepre čelnú zrážky bombardujúcej častice s terčíkovým jadrom. Obrázok vpravo je situáciapo rozptyle. Vzájomné pôsobenie bombardujúcej častice s terčíkovým jadrom vedie k od-chýleniu trajektórie bombardujúcej častice od pôvodného smeru do nového smeru. Uholmedzi pôvodným smerom a smerom letu po rozptyle je ϑ. Odraz jadra v dôsledku rozptylubombardujúcej častice nehrá v pôvodnom Rutherfordovom rozptyle úlohu.

Prvá časť je modelová predstava mechanizmu rozptylu – v prípadeRutherfordovho rozptylového experimentu je to predstava, že α−častica jejadrom atómu zlata odpudzované elektrostatickou silou podľa Coulombovhozákona – ona sila spôsobuje, že sa zmení smer letu častice α.

Druhá časť je prechod k reálnej situácii. Nie sme schopní sledovať tra-jektóriu jedinej častice α na jedinom atóme zlata. Sme však schopní rozptýliťveľký počet častíc α na veľkom počte atómov zlata. Následne sme schopnýzmerať počet častíc α, aká časť častíc α bola rozptýlená pod uhlom ϑ ažϑ+∆ϑ. Ak predpokladáme, že (a) v bombardovanej oblasti sú atómy zlatarovnomerne rozmiestnené, (b) na bombardujúcu oblasť dopadajú častice αdopadajú z jedného smeru a (c) sú rovnomerne rozosiate na bombardovanejploche, podarilo sa nám eliminovať prekážky sledovania rozptylu jednej čas-tice α na jednom atóme zlata.

Spojením oboch častí dostaneme, či modelová predstava rozptylu jednejčastice α na jednom atóme zlata (prvá časť) je v súlade s experimentálnymivýsledkami rozptylu mnoho častíc α na monohých atómoch zlata (druháčasť).

Modelovú predstavu musíme modifikovať dovtedy, než sa predpovede ne-dostanú do súladu s experimentálnymi výsledkami.

Poznámka 3.11. V ďalšom budeme považovať terčíkové jadro za tak hmotné,

69

b

r

ϑ

Obr. 3.2: Bombardujúca častica so zrážkovým parametrom b je terčíkovým jadrom rozp-týlená pod uhlom ϑ.

že zostane na svojom mieste aj po rozptýlení bombardujúcej častice. Tútoidealizáciu možno ľahko odstrániť prechodom do sústavy hmotného stredu,v ktorej hmotnosť bombardujúcej častice m sa nahradí jej redukovanouhmotnosťou µ

µ =mmj

m+mj,

kde mj je hmotnosť terčíkového jadra. Sústava hmotného stredu sa zavádzapre rozptylové úlohy skoro v každej štandardnej učebnici. Pozri napr. [4] str.199-200.

3.4 Diferenciálny účinný prierez dσ

Základná myšlienka sa opiera o skutočnosť, že dve bombardujúce častice,ktoré nalietavajú na terčíkové jadro rovnakým spôsobom, budú rozptýlenétiež rovnakým spôsobom. Ak nalietavajú len málo odlišne, tak aj ich uholrozptylu sa bude líšiť len málo.

Pre jednoduchosť uvažujeme prípad, keď terčíkové jadro je rotačne sy-metrické voči trajektórii bombardujúcej častice pri čelnej zrážke (pozri obrá-zok).

70

Uvažujme teraz identické bombardujúce častice, ktoré naletiavajú najadro. Ďaleko od terčíkového jadra majú rovnakú rýchlosť (veľkosť aj smer;smer rýchlosti je rovnobežný s priamkou na obrázku 3.2 – priamka čelnejzrážky, tj. os rotačnej symetrie).

Zrážkový pa-rameter b

V takom prípade je uhol rozptylu ϑ bombardujúcej častice určený jed-noznačne zrážkovým parametrom b. Zrážkový parameter b je vzdialenosťnalietavajúcej častice α od priamky, ktorá znázorňuje trajektóriu čelnej zrážky.Ak b = 0, potom častica α smeruje k čelnej zrážke. Parameter zrážky má uve-dený názorný význam, kým sa nachádza tak ďaleko od jadra, že pôsobeniejadra na bombardujúcu časticu je zanedbateľné..

Parameter zrážky určuje uhol rozptylu jednoznačne a je to dôsledkomdeterminizmu, ktorú diktujú pohybové zákony. Zapíšme túto závislosť v tvare

b = f(ϑ). (3.3)

Funkcia f je určená prírodou – fyzici hľadajú jej tvar modelovanímsamotnej zrážky pomocou fyzikálnych predstáv o priebehu zrážky (rozptylu).

Bombardujúce častice, ktorých zrážkový parameter sa veľmi málo líšíod hodnoty b, napríklad o hodnotu db, budú rozptýlené nie pod uhlomϑ, ale pod uhlom, ktorý sa líši od neho tiež len o malý uhol dϑ. Malázmena db zrážkového parametra spôsobuje len malú zmenu dϑ uhla rozptylu.Konkrétne bude platiť

b+ db = f(ϑ+ dϑ). (3.4)

V Rutherfordovom rozptyle menší zrážkový parameter b vedie k väčšiemuuhlu rozptylu ϑ. Inými slovami ak db > 0, potom dϑ < 0 a naopak. Porov-naním vzťahov (3.3) a (3.4) obdržíme vzťah medzi zmenou uhlu rozptylu dϑspôsobenou zmenou zrážkového parametra db v tvare

db = f(ϑ+ dϑ)− f(ϑ) ≈ ∂f(ϑ)

∂ϑdϑ. (3.5)

Tu sme využili Taylorov rozvoj funkcie

f(ϑ+ dϑ) = f(ϑ) +∂f

∂ϑdϑ+

∂2f

∂ϑ2(dϑ)2

2!· · · .

Z tohoto rozvoja využijeme len prvé dva členy, ostatne môžeme považovaťza zanedbateľne malé.

71

b+ db

dbr

ϑ+ dϑ

dϑ

Obr. 3.3: Bombardujúce častice so zrážkovým parametrom z intervalu (b + db, b) súterčíkovým jadrom rozptýlené pod uhlom z intervalu (ϑ, ϑ+ dϑ).

Na obrázkoch 3.2 a 3.3 sme vyznačili medzikružie s vonkajším polomeromb+ db a s vnútorným polomerom b. Stred medzikružia leží na osi symetrie.Význam tohoto medzikružia je, že bombardujúce častice dopadajúce na totomedzikružie budú rozptýlené skoro pod tým istým uhlom. Presnejšie, doguľového pásu určeného uhlom ϑ a dϑ.13 Plocha tohoto guľového pásu rastiepolomerom r gule a veľkosť tejto plochy dS(ϑ) môžeme zapísať ako

dS(ϑ) = 2πr2 sinϑdϑ, (3.6)

čo môžeme nájsť vo väčšine matematických tabuliek.14diferenciálnyúčinný prierez

Plochu medzikružia, ktorú označíme ako dσ, nazývame diferenciálnym

13Značenie na obrázku nie je omylom. Nezabudnime, že na obrázku db > 0, preto dϑ < 0.To znamená, že uhol ϑ+ dϑ je menší ako ϑ.

14Tento vzťah sa dá aj ľahko odvodiť. Dĺžka okraja šedého pása je rovný obvodukružnice, ktorá ho tvorí, tj. 2πr sinϑ, nakoľko polomer príslušnej kružnice je r sinϑ. Terazsi predstavte, že šedý pás vystrihnete a vystriete na stôl. Výška (hrúbka) pása je h = rdϑ,nakoľko uhly meriame v radiánoch. Plocha pása je základňa krát výška, teda v našomprípade (2πr sinϑ)(rdϑ), čo je očakávaný tvar. Mohli sme to urobiť preto, lebo výškapása je veľmi malý – tieto zjednodušenia sú typické pre prácu s malými (diferenciálnymi)veličinami.

72

účinným prierezomdσ = 2πbdb (3.7)

Diferenciálny účinný prierez dσ, táto malá plocha, môže byť (a tiež je) neu-veriteľne malá, kým plocha S(ϑ) môže byť vďaka r dostatočne veľká, vporovnaní s veľkosťou okna detektoru.

Modelová predstava vyjadrená funkciou f (vzťah (3.3)) spája veľkosťplochy dS(ϑ) a miniatúrnu plochu dσ nasledovne

dσ = 2πbdb = 2πf(ϑ)∂f(ϑ)

∂ϑdϑ =

f(ϑ)

sinϑ

∣

∣

∣

∣

∂f(ϑ)

∂ϑ

∣

∣

∣

∣

dS(ϑ)

r2, (3.8)

kde sme postupne využili vyjadrenia pre b,db pomocou vzťahov (3.3) a(3.5)15 a dϑ sme vyjadrili pomocou (3.6).

Reláciu (3.8) je zvykom písať veľmi často v tvare

dσ = f(ϑ)

∣

∣

∣

∣

∂f(ϑ)

∂ϑ

∣

∣

∣

∣

dΩ(ϑ)

sinϑ, (3.9)

kde dΩ(ϑ) = dS(ϑ)/r2 je malý priestorový uhol vymedzený plochou S(ϑ)(pozri obrázok 3.3).

Odvodennie funkčnej závislosti b = f(ϑ) možno nájsť vo väčšine učeb-níc a postupy bývajú rôzne komplikované, aj keď po fyzikálnej stránke sapríliš nelíšia. Odporúčame si pozrieť odvodenie uvedené v [4]. Iné odvodenieukážeme v dodatku o Runge-Lenzovom vektore, ktoý je odlišný od postupubežných učebníc a je založený čisto na zákonoch zachovania.

3.5 Meranie účinného prierezu

V tejto sekcii sa venujeme podstatnej časti Rutherfordovho nápadu: akomerať veľkosť miniatúrnej plochy dσ, ktorej veľkosť je rádovo 10−28 m.

15Prečo sa objavila absolútna hodnota vo výraze? Povedali sme, že ku kladnej hodnotedb prislúcha záporná hodnota dϑ. Napriek tomu platí rovnosť vo vzťahu (3.5)

db ≈ ∂f(ϑ)

∂ϑdϑ.

Z toho vyplýva, že hodnota derivácie je tiež záporná. Vo vzťahu (3.8) vystupujú len kladnéveličiny, čo je zabezpečené práve absolútnou hodnotou derivácie.

73

1

2

2

34

5

1

2

2

2

34

5

Obr. 3.4: Na tomto obrázku sme znázornili dve jadrá rozptylu, ktoré sú v bombardovanejfólii vedľa seba – z pohľadu nalietavajúcej častice (z veľkej vzdialenosti – jedná sa vlastneo priemet do roviny fólie, na ktorú bombardujúce častice dopadajú kolmo). Šedou farbousme vyznačili malé plôšky. S rovnakým číslom sme označili tie plôšky, ktoré sú vymedzenérovnakým zrážkovým parametrom a preto častice, ktoré na ne dopadnú, budú rozptýlenépod rovnakým uhlom. Vyznačili sme aj jeden šedý pás (medzikružie). Častice dopadajúcedo tohoto medzikružia sú rozptýlené tiež rovnakým spôsobom.Odlišný zrážkový parameter znamená odlišný uhol rozptylu. To znamená, že časticedopadajúce do oblasti 3 sú rozptýlené pod odlišným uhlom, ako častice dopadajúce dooblasti 4. Na druhú stranu častice dopadajúce do oblasti 2 jedného jadra sú rozptýlenépod rovnakým uhlom, ako častice dopadajúce do oblasti 2 druhého jadra. Tento uholrozptylu je iný, ako uhol rozptylu častíc dopadajúcich do oblastí 1,3,4,5, či šedý pás.Treba povedať tiež to, že označili sme v prípade jedného atómu až tri oblasti číslom 2. Ztýchto oblastí sú častice rozptýlené inam, ale pod rovnakým uhlom rozptylu.Ďalej, zo zhodných oblastí jedného a druhého atómu (napr. oblasť 4 u ľavého atómu aoblasť 4 u pravého atómu) sú častice rozptýlené pod rovnakým uhlom, ale tiež do zhod-ného smeru – inými slovami: zaregistruje ich ten istý detektor.Oblasť 1 sme nevyšráfovali. V skutočnosti je atómové jadro obklopené elektrónmi atómu(elektrónový obal). Tento obal má polomer okolo 10−10 m, kým jadro má polomer rádovo10−15 m. Oblasť 1 je mimo atóm a tu ešte na bombardujúcu časticu nepôsobia žiadne sily(atóm je v celku elektricky neutrálny). Rutherfordova formula s týmto nepočíta. Uvažuje oatóme akoby mal len jadro. Popis pohybu častíc α, ktorý sa uvádza v učebniciach, platí vskutočnosti len v priestore medzi elektrónovým obalom a jadrom atómu. Tento nedostatoknebudeme brať do úvahy.

74

3.5.1 Rozptyl na jednom terčíkovom jadre

Predstavme si, že máme jediné rozptylové centrum a za týmto rozptylovýmcentrom máme detektor s okienkom, do ktorého keď doletí bombardujúcačastica, tak detektor ho zaregistruje. Plocha okienka nech je Sd.

Detektor má makroskopické rozmery a inštaluje sa relatívne ďaleko odrozptylového centra. Relatívne tu znamená toľko, že vzdialenosť r medzidetektorom a rozptylovým centrom je podstatne väčšia, než typický rozmerterčíkového jadra.16

Predstavme si rovinu, v ktorej leží terčíkové jadro. Rovinu si zvolímetak, aby bombardujúce častice dopadali kolmo na túto rovinu. Vymedzimemalú časť Σ tejto roviny, a plocha tejto malej časti nech je S. Terčíkové jadrobombardujeme časticami, ktoré dopadajú náhodne a rovnomerne, pokrývajúmalú časť Σ rovnomerne. Pod rovnomerným rozumieme to, že keď za čas tdopadne na plôšku Σ (s plochou S) N častíc (N je veľké číslo), potom napolovicu tejto plochy dopadá N/2 častíc a na plochu veľkosti kS dopadá kNčastíc.

Bombardujúce častice budeme považovať za častice, ktoré letia vo zväzku,a tento zväzok je v čase stály, tj. ak na plôšku Σ s plochou S dopadne začas t N častíc, potom za čas 2t ich tam dopadne 2N a za čas kt zase kNčastíc. Hovoríme o homogénnom zväzku častíc, ktorú charakterizuje veličinaj, hustota toku bombardujúcich častíc

j =N

S · t , (3.10)

ktorého fyzikálny rozmer je m−2 · s−1.

Predstavme si, že terčíkové jadro bombardujeme so zväzkom častíc, ktoréhohustota toku je j = 1030 cm−2·s−1. To, čo detektor registruje je tiež prúdčastíc (prúd rozptýlených častíc). Hustota prúdu jd týchto častíc v miesteokna detektoru môžeme zapísať ako

jd =n

Sd · t, (3.11)

kde n je počet častíc zaregistrovaných detektorom n. Nech plocha Sd oknadetektoru je Sd = 1 cm2.

Z akej veľkej plochy dσ sa rozptylujú bombardujúce častice do oknadetektora, ak detektor za čas t = 1 s registruje n = 1000 častíc (prúd častíc

16Plocha okna detektora je orientovaná tak, aby cez neho sa dostalo čo najviac rozp-týlených častíc do detektoru, tj. kolmo na trajektóriu rozptýlených bombardujúcich častíc.

75

v mieste detektora je jd = 1000 cm−2·s−1)? Odpoveď je, že registruje právetie častice, ktoré dopadli na plochu dσ, teda musí platiť, že

j dσ t = n = jd Sd t, (3.12)

z čohodσ =

n

t j=jd Sd

j(3.13)

Plocha dσ je teda v takom pomere menšia od plochy detektora Sd, v akom jemenší pomer prúdu rozptýlených častíc jd v okne detektoru k prúdu častícj dopadajúcich na terčíkové jadro. V našom prípade dσ = 10−27 cm−2 =10−3 barn.

Je zrejmé, že pokiaľ prúd bombardujúcich častíc bude dopadať na dvojicujadier vedľa seba, potom aj prúd jd zachytený detektorom bude dvakrát taký,než v prípade jednej častice. Ak rozptylujúcich častíc bude nterčík, potomaj prúd zachytený detektorom bude nterčík krát väčší. Diferenciálny účinnýprierez rozptylu na jednom jadre teda bude daný vzťahom

dσ =n

t j=

jd Sd

j nterčík. (3.14)

Počet terčíkových jadier nterčík sa určí jednoducho. Aspoň v Rutherfor-dovom experimente, kde sa rozptyluje na tenkej fólii. Fólia s jednotkovouplochou (S0 = 1 m2) má hmotnosť mterčík, a hmotnosť jedného atómu zlata(terčíkového atómu) je mj , potom vo fólii s plochou Sterčík je

nterčík =mterčík

mj

Sterčík

S0

atómov zlata, tj. rozptylových centier. Veľkosť plochy Sterčík je veľkosť prierezuzväzku bombardujúcich častíc. Všetky tieto parametre sú nastaviteľné v ex-perimente. Zrovna tak poznáme v experimente veľkosť plochy okna detektoruSd a počet častíc zaregistrovaných detektorom za jednotku času. Detektorregistruje častice rozptýlené pod uhlom ϑ a tým poznáme aj účinný prierezdσ tohoto rozptylu.

Ak rozptyl na jadre atómu zlata je riadený Coulombovým zákonom, po-tom detektorom meraný diferenciálny účinný prierez dσ musí závisieť oduhla rozptylu ϑ tak, ako to vyjadruje Rutherfordova formula (3.1) na strane67. Experiment ukazuje, že tomu tak je, na základe čoho Rutherford dospelk záveru, že hmota atómu je sústredená do kladne nabitého jadra, ktoréhorozmery sú tak malé, že v experimente mohol uvažovať o bodovom jadre.

76

Kapitola 4

Bohrov model atómu

Po experimentálnom potvrdení existencie jadra atómu, v ktorej je sústredenáskoro celá hmota atómu, vznikla potreba vysvetlenia, prečo atóm nežiari tak,ako to predpovedajú Maxwellove zákony elektromagnetického poľa. Pokiaľtomu tak už raz je, ako vypadá atóm?

Najjednoduchším atómom je atóm vodíka. Má najmenšiu hmotnosť, málen jediný elektrón. Pokiaľ ho stratí, napríklad pri ionizácii, potom z atómuzostane len jeho jadro s jednotkovým kladným nábojom a s hmotnosťouokolo 1, 67 × 10−27 kg.

Vo vyriešení problému hrala úlohu veľká zbierka experimentálnych úda-jov z z optickej spektrometrie.

4.1 Série spektrálnych čiar

Pokiaľ sa vodíkový plyn zohreje, alebo pokiaľ sa cez vodíkový plyn vedie elek-trický výboj, vodíkový plyn začne žiariť, svieti na rôznych vlnových dĺžkach.Platí to o každom plyne.

Pri pozorovaní žiarenia vodíkového plynu Johann Balmer v roku 1885zistil, že vodík žiari len na určitých vlnových dĺžkach. Objavil zákonitosť,ktorá popísala vlnové dĺžky žiarenia v tvare

λ = Bm2

m2 − 4, kde m = 3, 4, 5, . . . (4.1)

aB = 364, 56 nm.

Balmerova séria spadá do viditeľnej oblasti svetla. Je veľmi významná ajv astronómii. V medzihviezdnom priestore je veľa vodíku a tento vodíkový

77

78

plyn býva vybudený žiarením blízkych hviezd. Vodíkové plyny potom žiariaa najintenzívnejšie žiaria na vlnovej dĺžke, ktorá zodpovedá vlnovej dĺžkeprvého člena Balmerovej série (m = 3, teda λ = 9

5 B = 652, 6 nm). Tejtospektrálnej čiare sa hovorí Hα.

Vodík teda nežiari spojitým spektrom, akým je tepelné žiarenie, žiarivšak veľmi intenzívne na vlnových dĺžkach Balmerovej série. Nakoľko vovesmíre je veľa vodíkového plynu, pozorovanie oblohy na spektrálnej dĺžkeHα sa stal mimoriadne dôležitým. Dôvodom je, že sa dajú zhotoviť špeciálnefiltre, ktoré prepúšťajú len svetlo s touto vlnovou dĺžkou (presnejšie svetlo vúzkom spektrálnom pásme okolo tejto vlnovej dĺžky). Tým sa dá odfiltrovaťväčšina svetelných rušivých vplyvov pri pozorovaní vesmíru zo Zeme.

Rydberg Balmerov vzťah upravil do tvaru

1

λ= RyH

(

1

22− 1

m2

)

, m = 3, 4, 5, . . . (4.2)

Neskôr, v roku 1906, Theodor Lyman zistil, že vodíkový plyn žiariaj v ultrafialovej oblasti a vlnové dĺžky, na ktorých žiari, sa dajú popísaťpodobnou formulou, akou ju popísal Balmer a neskôr Rydberg

1

λ= RyH

(

1

12− 1

m2

)

, m = 2, 3, 4, . . . (4.3)

Keď sa Bohr dozvedel o existencii Balmerovej a Lymanovej sérii a jehopopisu pomocou Rydbergových formúl, behom niekoľkých minút si vytvo-ril správnu predstavu o možnom riešení problému atómového modelu. Vpriebehu roku 1913 zverejnil svoj model atómu, ktorý dnes poznáme akoBohrov model atómu.

4.2 Bohrov model atómu a jeho úspechy

Bohr začal skúmať možnosť navrhnúť spektrum pre vodíkový atóm. Vodíkovýatóm, ako sme už uviedli vyššie, má medzi ostatnými atómami najjednoduchšiuštruktúru. Ním navrhnutý model vychádzal z najjednoduchších možnýchpredstáv o pohybe elektrónu v elektrónovom obale (takto nazývame oblasťpriestoru okolo jadra atómu, kde sa nachádzajú elektróny atómu).

Predpokladal kružnicovú trajektóriu (prvý postulát). predpokladal tiež,veľmi logicky, že žiarenie atómu vodíka je dôsledkom zákona zachovania ener-gie. Ak sa zmení celková energia atómu vodíka (tým, že elektrón sa presuniena inú vzdialenosť od jadra atómu), rozdiel energie musí byť vyžiarený v

79

podobe elektromagnetického žiarenia – za predpokladu, že elektrón sa pre-sunul na hladinu s nižšou energiou. Elektrón sa môže presunúť na energetickyvyššiu trajektóriu, pokiaľ zvonka dostane energiu (v podobe elektromagne-tického žiarenia).

Z existencie Balmerovej série a Lymanovej série je zrejmé, že atóm vodíkavyžaruje len fotóny s presne definovanými energiami (Rydbergov vzťah (4.2)a (4.3) – neskôr sa našli ďalšie série, ktoré zapadali do Bohrovho modeluveľmi presne).

Z týchto skutočností vyplynulo, že elektrónu v atóme vodíka je dovolenéexistovať (bez vyžarovania podľa Maxwellových rovníc) len na niektorýchvybraných trajektóriach. Pri prechode z jednej trajektórie na inú, sa musívyžiariť, alebo pohltiť energia tak, aby nebol porušený zákon zachovaniaenergie. Toto vyžiarenie, alebo pohltenie sa môže diať len v jedinom kvante(balíku) energie. Keby sa porušila ktorákoľvek z uvedených požiadaviek,vodík by musel vyžarovať spojité spektrum energie.

Energia veľkosti E, ktorá sa pohltí, alebo vyžiari, je elektromagnetická akvantum tejto energie je potom fotón s frekvenciou ν, pričom E = hν, ako toukázal Einstein pri vysvetlení fotoelektrického javu a Planck pri vysvetlenížiarenia absolútne čierneho telesa.

Posledná podmienka pre úspešný model atómu musel zabezpečiť výberdovolených trajektórií a súlad s experimentálnymi údajmi.Poznámka 4.1. Predpokladajme bodovú časticu s elektrickým nábojomveľkosti q a s hmotnosťou m, ktorá obieha na kružnicovej trajektórii iný,veľmi ťažký bodový náboj s veľkosťou náboja Q. Obiehaním rozumieme, ženáboje sa priťahujú. Polomer trajektórie označme r.

Rovnováhu síl (coulombovskej príťažlivej sily a zotrvačnej sily), ktorépôsobia na obiehajúcu bodovú časticu (píšeme len veľkosti síl) môžeme písaťv tvare

− k

r2=mv2

r, kde k =

qQ

4πε0< 0, (4.4)

kde ε0 je permitivita vákua a qQ < 0, nakoľko uvažujeme o príťažlivýchsilách medzi nabitými časticami. Vidíme, rovnováhu môžeme nastoliť pretrajektóriu s ľubovoľným polomerom r, lebo stačí zvoliť správne rýchlosťobiehania v

v =

√

|k|mr

. (4.5)

Celková energia systému sa dá napísať ako súčet kinetickej energie Ek apotenciálnej energie Ep obiehajúcej častice, kde

Ek =1

2mv2 > 0 a Ep =

k

r< 0. (4.6)

80

Ak však porovnáme výraz (4.4) s výrazmi pre kinetickú a potenciálnu energiuv (4.6) zistíme, že pre tento pohyb platí

Ek = −1

2Ep. (4.7)

Pre celkovú energiu teda dostaneme

E = Ek + Ep =1

2Ep =

1

2

k

r. (4.8)

Energia systému teda môže byť ľubovoľná, stačí nastaviť vhodný polomertrajektórie, na ktorej častica bude obiehať (rýchlosťou v určenej pre rovnováhuvzťahom (4.5)). Nakoľko rovnováha síl nepredstavuje žiadne obmedzenie napolomer trajektórie, môže častica prechádzať z jednej trajekt=orie na druhú,pričom vyžiari rozdiel energie prislúchajúce daným trajektóriám (alebo pohltí– uvažujme však len jeden prípad, prechod z hladiny s vyššou energiou nahladinu s nižšou energiou). Jasne vidíme, že si môžeme zvoliť ľubovoľnehodnotu vyžiarenej energie, príslušné trajektórie vždy nájdeme. Povedanézjednodušene: tento systém môže vyžarovať ľubovoľné kvantá energie (fotóny),bude vyžarovať spojité spektrum.

Bohrove postuláty

1. postulát Elektrón v atóme sa môže pohybovať po dovolených kružnicov-ých trajektóriach bez toho, aby vyžaroval.

2. postulát Elektrón, ktorý prejde z jednej dovolenej trajektórie na druhú,vyžiari (alebo pohltí) fotón, ktorého energia garantuje zákon zachova-nia energie.

3. postulát Dovolené trajektórie sú tie, na ktorých elektrón má momenthybnosti L rovný celočíselnému násobku ~, teda

L = n~, kde n = 1, 2, 3, . . . , (4.9)

a~ =

h

2π= 1, 054 × 10−34 J s

je redukovaná Planckova konštanta.

Aký je polomer rL dovolených trajektórií? Index L poukazuje na sku-točnosť, že konkrétna hodnota momentu hybnosti L určí polomer trajektórie.Z rovnováhy síl (4.4), po vynásobení výrazom mr3 dostaneme

kmr = r2m2v2 = L2, (4.10)

81

odkiaľ

r =L2

|k|m (4.11)

a celková energia elektrónu, využitím vzťahu (4.8), je

E = −1

2

mk2

L2. (4.12)

Bohr jasne chápal, že pokiaľ vyjde z prvých dvoch postulátov, bez použi-tia tretieho postulátu, elektrón vo vodíkovom atóme by mohol mať ľubovoľnúenergiu. Pri prechode z jednej trajektórie na druhú, by systém vyžiaril fotóns energiou hν, ktorá môže byť potom v princípe ľubovoľne veľká a spek-trum žiarenia by muselo byť spojité. Nakoľko experiment ukazuje, že tomutak nie je, musí byť určité obmedzenie na moment hybnosti systému. Rýchledospel k riešeniu v podobe tretieho postulátu, ktorý dával výsledky súhlasnés experimentálnymi hodnotami.

Ak za hodnotu momentu hybnosti dosadíme podľa predpisu tretieho pos-tulátu L = n~ (n = 1, 2, 3, . . . ), dostaneme pre energiu elektrónu (a tým ajatómu vodíka)

En = −1

2

mk2

n2~2= E1

1

n2, n = 1, 2, 3. (4.13)

Jednotlivé trajektórie sa v Bohrovom modeli charakterizujú hodnotou celéhočísla n (neskôr nazvaným hlavným kvantovým číslom). V prípade atómuvodíka je

k = − e2

4πε0,

a pre trajektóriu s hlavným kvantovým číslom n = 1 dostávame energiu1

E1 = −mee

4

8ε20h2

= −13, 605 691 9 eV. (4.14)

Tu me je hmotnosť elektrónu.Pre polomer n−tej trajektórie elektrónu dostaneme zo vzťahu (4.10) a z

kvantovacej podmienky L = n~

rn = rBn2, (4.15)

kde1Hodnotu potrebných konštánt používame v celej publikácii z [5] (uvedené tiež v [6]),

ktoré sú pripojené v dodatku. Aktualizované údaje možné nájsť na http://pdg.lbl.gov/.

82

Bohrov polomeratómu

rB =~2

|k|m =ε0h

2

πe2m= 5, 291772084 × 10−11 m

sa nazýva Bohrov polomer atómu.

Poznámka 4.2. Bohr vo svojej práci venovanej výstavbe svojho modelu(pozri [7] str. 9) uviedol zaujímavý dôsledok polomeru trajektórie elektrónu.

Všinol si, že v laboratórnych podmienkach (využitím vákuovej trubice)sa nepodarilo spozorovať viac, než 12 línií Balmerovej série, kým v prípadespektra niektorých nebeských telies sa pozoruje až 33 čiar. Ako vysvetlenienavrhuje celkom logicky veľkosť polomeru trajektórie.

K pozorovaniu prvých 12 čiar Balmerovej série potrebujete prechody ažz trajektórie n = 14 na trajektóriu n = 2. Trajektória s n = 14 má skoro200 krát väčší priemer (142 = 196), než prvá trajektória s n = 1, tj. priemerokolo dvoch tisícin milimetra (2× 10−8 m).

Táto vzdialenosť je porovnateľná so strednou vzdialenosťou medzi moleku-lami vodíkového plynu pri tlaku 7 Hgmm (tj. tlaku okolo 9×102 Pa). Priemertrajektórie s n = 33 by už bolo okolo stotiny milimetra a za uvedeného tlakuvďaka susedným molekulám sa nemôže obsadiť.

Bohr robí záver, že žiarenie vesmírneho telesa vzniká vo veľmi ried-kom prostredí, a aby intenzita bola dostatočná k pozorovaniu, tieto žiariaceoblasti musia byť veľmi rozsiahle.

2Úloha 4.3. Odhadnite hustotu atomárneho vodíkového plynu vo vákuovejkomore, u ktorého pozorujeme 12 čiar Balmerovej série.

Riešenie. Vychádzame z Bohrovho modelu atómu. Ako vyššie bolo povedané,k pozorovaniu 12 čiar Balmerovej série je potrebné, aby elektrón mohol byťexcitovaný až na trajektóriu s momentom hybnosti L = 14~. Polomer prís-lušnej trajektórie je

r14 = 142rB = 196 × 5, 29 × 10−11 m = 1, 08 × 10−8 m.

To znamená, že vo vnútri gule s polomerom r14 sa nachádza jeden atómvodíka, ktorého hmotnosť je približne mH ≈ 1 u = 1, 67× 10−27 kg. Hustotaplynu je teda

ρ =mH

43 πr

314

≈ 3, 55 × 10−4 kgm−3.

Takáto hustota atomárneho vodíkového plynu sa pri normálnej teplote do-sahuje pri tlaku okolo 800 Pa, teda veľmi nízkom tlaku.

83

Úloha 4.4. Odhadnite hustotu medzihviezdneho atomárneho vodíkovéhoplynu, u ktorého pozorujeme 33 čiar Balmerovej série. Koľko atómov vodíkapripadá na jeden centimeter kubický tohoto plynu?

2

4.2.1 Rydbergova formula

Bohrov model atómu dáva jasnú predstavu o tom, že čo sa deje v atóme,keďprodukuje čiarové emisné spektrum (spôsobuje čiarové absorpčné spektrum).

Elektrón, ktorý sa nachádza na relatívne „vysokej“ trajektórii, pod čímrozumieme trajektóriu s vysokým hlavným kvantovým číslom n, zoskočí nanižšiu trajektóriu (s hlavným kvantovým číslom m, ktoré je menšie, ako n,tj. m < n.) Energia elektrónu sa z hodnoty En zníži na energiu Em a rozdielenergie ∆Enm = En − Em sa vyžiari v podobe jediného fotónu s energiouEnm = hνnm, kde νnm je frekvencia vyžiareného fotónu. Platí teda

hνnm = ∆Enm = En − Em = E1

(

1

n2− 1

m2

)

= −mee4

8ε20h2

(

1

n2− 1

m2

)

(4.16)Rydbergovu formulu v Bohrovom modeli atómu obdržíme využitím toho, že

ν =c

λ,

a potom

1

λnm=E1

hc

(

1

n2− 1

m2

)

, m < n, m, n = 1, 2, 3, . . . (4.17)

z čoho plynie, že

Ry =−E1

hc=

mee4

8ε20h3c

= 1, 097 373 16 × 107 m−1.

Vzťah pre Lymanovu sériu obdržíme, ak v Rydbergovej formele, alebočo je to isté v (4.17) položíme m = 1, Balmerovu sériu ak položíme m = 2.Ostatné série, ktoré boli objavené neskôr dostaneme pre ostatné hodnoty mnasledovne

84

m n pomenovanie série1 2,3,4,. . . Lymanova séria2 3,4,5,. . . Balmerova séria3 4,5,6,. . . Paschenova séria4 5,6,7,. . . Brackettova séria5 6,7,8,. . . Pfundova séria6 7,8,9,. . . Humphreyho séria

Tabuľka 4.1: Rydbergova formula1

λnm= −E1

hc

(

1

m2− 1

n2

)

je platná pre všetky známe spektrálne série vodíkového atómu. Stačí položiť m rovnúpríslušnej celej hodnote.

Porovnanie Bohrom predpovedanej hodnoty Rydbergovej konštanty s ex-perimentálnou hodnotou pre vodík síce ukazuje výbornú zhodu, ale predsaje jasne merateľný rozdiel

RyBohr = 1, 097 373 16× 107 m−1,

RyH,exp = 1, 096 786 06× 107 m−1,

kde tučne sme zvýraznili líšiace sa časti (jasne vidieť, že rozdiel je výrazneväčší, než hranica presnosti dnešných údajov). Vysvetlenie je však relatívnejednoduché. Odvodenie, ktoré sme robili nebral do úvahy skutočnosť, žejadro atómu vodíka je síce „ťažké“ , ale nemá nekonečnú hmotnosť. Elek-trón neobieha po kružnicovej trajektórii okolo jadra atómu vodíka (protónu),ale okolo ich spoločného hmotného stredu. Táto problematika je v teoret-ickej mechanike dobre známa. Riešením je2, že hmotnosť elektrónu me savo výsledných vzťahoch nahradí redukovanou hmotnosťou µ systému. Tátozámena predstavuje započítanie pohybu jadra – jadro a elektrón atómu sapohybujú okolo spoločného hmotného stredu.

µ =memp

me +mp= me

mp

me +mp= 0, 999 455 68me . (4.18)

Bohrom odvodená hodnota Rydbergovej konštanty RyBohr sa označuje všeobecneako Ry∞. Presnejšie povedané sa dedfinuje vzťahom

Ry∞ =mee

4

8ε20h3c. (4.19)

2Pre podrobnosti pozri dodatok.

85

Poukazuje na predpoklad Bohrovho odvodenia, že elektrón obieha jadroatómu, pokiaľ ten má nekonečnú hmotnosť (∞) a jeho poloha je totožnás polohou hmotného stredu.

Ak urobíme zámenume → µ, (4.20)

dostaneme

EH,1 = −µe4

8ε20h2

=mp

me +mpE1 = −13, 598 286 1 eV. (4.21)

Pre Rydbergovu konštantu

RyH,Bohr =µe4

8ε20h3c

=mp

me +mpRy∞

= 0, 999 455 68 × 1, 097 373 16 × 107 m−1

= 1, 096 775 83× 107 m−1. (4.22)

Vidíme, že započítaním hmotnosti jadra atómu je zhoda medzi RyH,Bohr

a RyH,exp vynikajúca, relatívna odchýlka3 je len 1× 10−5.

4.2.2 Vodíku podobné atómy

Bohrove riešenie atómu vodíka využíva jedinečnú vlastnosť. Jednoduchú rie-šiteľnosť pohybu dvojice telies, ktoré na seba pôsobia coulombovskou silou. Vprípade, že by vzájomne pôsobili viaceré častice (tri, štyri, alebo viac), takétojednoduché riešenie neexistuje. Inými slovami, Bohrov prístup sa nedal pria-močiaro použiť už ani pre elektricky neutrálny atóm hélia, kde okolo jadraatómu hélia sa pohybuje dvojica elektrónov. Predstava, že elektróny sa znovapohybujú po kružnicových trajektóriach, ako planéty v slnečnej sústave, saukázala byť neplodnou. Získané výsledky nedávali ani zhruba správne údajeo spektre žiarenia atómu hélia.

Atóm vodíka, vďaka svojej jednoduchej štruktúre, je testovacím systé-mom pre každú teóriu. Pokiaľ teória nie je schopná dať výsledky súhlasiaces experimentom ani pre atóm vodíka, zavrhuje sa.

Napriek obmedzenosti Bohrovho modelu atómu na atóm vodíka, našla saďalšia skupina atómov, pre ktoré sa dá použiť úspešne. Pre vodíku podobnéatómy.

3Relatívna odchýlka je definovaná akoRyH,exp −RyH,Bohr

RyH,exp.

86

Vodíku podobným atómom rozumieme He+,Li2+,Be3+, . . . . Všetky tietoatómy majú jedno spoločné. Jadro atómu je doprevádzané len jedným jed-iným elektrónom (pravý horný index hovorí o tom, koľkonásobne je atómionizovaný, koľko elektrónov bolo vytrhnutých z elektrónového obalu elek-tricky neutrálneho atómu).

Nakoľko vodíku podobné atómy predstavujú tiež dvojčasticový systém,nie je prekvapujúce, že Bohrov model aj v ich prípade vedie k správnymvýsledkom.

Veľkosť F coulombovskej sily pôsobiacej medzi jadrom atómu a jehojediným elektrónom má tvar

F =|k|r2

, kde k = − e2Z

4πε0. (4.23)

Tu Z je atómové číslo, počet protónov v jadre. Aby takýto atóm bol vodíkupodobný, musí byť Z − 1 násobne ionizovaný (musí z elektrónového obalustratiť Z − 1 elektrónov, aby tam zostal jediný elektrón). Použitím tejtohodnoty k pre celkovú energiu systému danej vzťahom (4.12) a použitímBohrovho tretieho postulátu, že moment hybnosti elektrónu je L = n~ (n =1, 2, 3, . . . ), dostaneme pre energiu vodíku podobného atómu (porovnaj s(4.13) a (4.14))

En = −mee4

8ε20h2

Z2

n2= E1

Z2

n2.= −13, 6 eV

Z2

n2. (4.24)

Samozrejme, experimentálne hodnoty vlnových dĺžok spektra vodíku podob-ných atómov znova nesedia presne s Bohrovým modelom. Dôvod je ten istý,ako v prípade atómu vodíka, že elektrón „lomcuje“ jadrom. Zhoda sa získa,pokiaľ hmotnosť elektrónu nahradíme redukovanou hmotnosťou µ systému(pozri (4.24))

µ =meM

me +M= me

1

1 +me

M

, (4.25)

kde M je hmotnosť jadra vodíku podobného atómu. Je zrejmé, že čím jehmotnosť M jadra atómu väčšia, tým je redukovaná hmotnosť µ bližšiak hmotnosti elektrónu. Rydbergovu konštantu vypočítanú podľa Bohrovhomodelu dostaneme, keď predpokladáme, že jadro atómu má nekonečne veľkúhmotnosť (M −→∞), vtedy totiž

µ =me

1 +me

M

M→∞−→ me.

87

Označujeme preto túto Rydbergovu konštantu ako Ry∞, teda

Ry∞ =−E1

hc=

mee4

8ε20h3c

= 1, 097 373 16 × 107 m−1. (4.26)

Pre vodíku podobný atóm X sa potom použije Rydbergova konštantaRyX

RyX = Ry∞1

1 +me

MX

,

kde MX je hmotnosť jadra vodíku podobného atómu X (X je symbol preH, He+, Li2+, . . . )

Využiteľnosť Bohrovho modelu atómu však tým stále nekončí. Henry

Moseley v roku 1913 publikoval článok [8], v ktorom referoval o zákonitostirentgenovského žiarenia chemických prvkov.

4.2.3 Moseleyho zákon

Röntgenovské žiarenie vzniká, pokiaľ sa urýchlené elektróny nechajú dopad-núť na materiál.

Poznámka 4.5. Röntgenovské žiarenie je tiež elektromagnetické vlnenie,ale spektrálne zloženie sa skúma inou metódou, než sa skúmalo spektrumžiarenia vo viditeľnej oblasti na začiatku 20-ho storočia. Viditeľné svetlo sarozkladá pomocou skleneného hranolu a z uhlu lomu sa dá určiť vlnová dĺžkapozorovanej časti spektra.

V prípade röntgenovského žiarenia je táto metóda nepoužiteľná, leboröntgenovské žiarenia sklom prechádza bez lomu. Dôvodom je, že vlnovádĺžka röntgenovského žiarenia je porovnateľná so vzdialenosťou medzi ató-mami v pevnej látke.

Meranie vlnovej dĺžky röntgenovského svetla rozpracoval William Law-

rence Bragg, a metódu prezentoval v roku 1912 (v roku 1915 získal No-belovu cenu za fyziku). Metóda využíva vlnovú povahu röntgenovského žiare-nia a jeho extrémne krátku vlnovú dĺžku, porovnateľnú s mriežkovou konš-tantou kryštálov.

Ohybové javy sa dajú dobre pozorovať, pokiaľ vlnová dĺžka ohýbanýchvĺn je porovnateľná s periodicitou štruktúry (vzdialenosť medzi vrypmi op-tickej mriežky, či vzdialenosť medzi rovinami mriežky), na ktorej k ohybudochádza.

Bragg zistil, že röntgenovské žiarenie sa na kryštáloch ohýba a pomocoutohoto ohybu sa dá zmerať vlnová dĺžka röntgenovského žiarenia.

88

Moseley použil Braggovu metódu merania vlnových dĺžok röntgen-ovského žiarenia a zistil, že röntgenovské žiarenie chemických prvkov, ktorébombarduje rýchlymi elektrónmi, sú veľmi charakteristické pre daný chemickýprvok. Dá sa podľa tohoto žiarenia chemický prvok jednoznačne rozpoznať– hovoríme o charakteristickom röntgenovskom žiarení.

charakteristickéröntgenovskéžiarenie

Poznámka 4.6. Charakteristické röntgenovské žiarenie sa využíva na col-niciach, ako pokročilá technológia na zistenie chemického zloženia kontrolo-vaných predmetov, a zvyšuje pravdepodobnosť odhalenia nebezpečných pred-metov, výbušnín a podobne.

Charakteristické röntgenovské žiarenie vykazuje značnú podobnosť s Ly-manovou a s Balmerovou sériou pre vodíku podobné atómy, ktoré Bohrovmodel atómu vysvetlil s mimoriadnym úspechom. Najenergetickejšia sériasa označuje písmenom K a jednotlivé čiary série ako Kα,Kβ ,Kγ , . . . . Druhánajenergetickejšia séria sa potom označuje ako séria L a jednotlivé čiary sérieako Lα, Lβ , Lγ , . . . . ďalšie série sa označujú M,N, . . . podľa abecedy.

Moseley objavenú závislosť publikoval v tvare (porovnaj s [8])

Z − 1 =

√

ν34 ν0

(4.27)

pre K línie a

Z − 7, 4 =

√

ν536 ν0

(4.28)

pre L línie, kde Z je počet protónov v jadre daného chemického prvku, a ν0je frekvencia fotónu zodpovedajúca tzv. Rydbergovej energii4

ν0 =Ry∞c

h=−E1

h.

Moseleyhozákon

Dnes je zvykom písať Moseleyho zákon v tvare√ν = f1(Z − f2), (4.29)

kde f2 = 1 pre K línie a f2 = 7, 4 pre L línie.Ukážeme, ako Bohrov model atómu dokáže vysvetliť Moseleyho zákon.Na druhú stranu, z Moseleyho zákona (z experimentálnych zistení) sa

dozvieme niečo o počte elektrónov v mnohoelektrónových systémoch. Nez-abudnime, že Bohrov model atómu dáva správne výsledky len v prípade,

4Frekvencia fotónu, ktorý vyžiari atóm vodíka, pri zachytení voľného elektrónu snulovou kinetickou energiou – inými slovami ionizačná energia vodíkového atómu v zák-ladnom stave.

89

keď v elektrónovom obale sa nachádza jeden jediný elektrón. Informáciu opočte elektrónov nám poskytnú číselné hodnoty na ľavej strane rovníc (4.27)a (4.28).

Majme teda atóm, ktorý v jadre má Z protónov, ale v elektrónovom obalejeden jediný elektrón (je Z − 1 násobne ionizovaný). Nech tento elektrónsa nachádza na druhej najnižšej trajektórii (n = 2) a v zápätí zoskočí natrajektóriu s nižšou energiou, na trajektóriu, ktorá je najbližšie k jadru (n =1). Podľa Bohrovho postulátu, atóm vyžiari fotón s energiou

E = hν = E2 − E1 = E0Z2

22− E0

Z2

12=

3

4E0Z

2 =3

4hν0Z

2.

Tu ν je frekvencia vyžiareného fotónu a využili sme Rydbergov vzťah (4.24).Jednoduchou úpravou môžeme tento výsledok prepísať do tvaru, ktorý jemimoriadne podobný Moseleyho zákonu

Z =

√

ν34 ν0

.

Jediný rozdiel je v tom, že vľavo nachádzame počet protónov Z v jadre, kýmv Moseleyho zákone je vľavo Z − 1, teda počet protónov v jadre znížený ojednotku.

tienenie jadraTento rozdiel sa vysvetľuje tzv. tienením. Bohrov model nepredpovedalo štruktúre viacelektrónových atómov nič. Nepovedal, že koľko elektrónovsa môže nachádzať na trajektóriach s momentom hybnosti n~, dokonca anito, aký bude tvar týchto trajektórií (či bude možné stále predpokladať, žesú kružnicové).

Moseleyho zákon však napovedal, že na najnižšej trajektórii sa v mno-hoelektrónových atómoch nachádzajú dva elektróny. Keď sa tento systémožiari vysokoenergetickými elektrónmi (Braggov experiment), bombardu-júce elektróny povyrážajú z elektrónového obalu atómu (kde je veľa elek-trónov) niektoré elektróny. Môže sa stať, a stáva sa, že sú to elektróny, ktorésú najbližšie k jadru. Na najnižšej trajektórii (s momentom hybnosti ~, tedan = 1) sa nachádzajú dva elektróny. Ak jeden z nich je vyrazený, zvyšnýelektrón dokáže odtieniť jeden elementárny náboj jadra.

V klasickej fyzike by sme takéto odtienenie dosiahli tým, že jadro sférickysymetricky obklopíme tieniacim nábojom. Elektrón je bodový náboj, pretov klasickej fyzike podobný efekt sa dosiahne, pokiaľ elektrón bude obiehaťokolo jadra dostatočne rýchle. Je to násilná predstava, ale klasická fyzikalepšie nevie poslúžiť (kvantová fyzika áno).

Podľa Bohrovho modelu atómu v atóme by mali byť elektróny len s mo-mentom hybnosti n~, kde n je celé číslo. Na trajektórii s n = 2 elektrony

90

nebudú cítiť celý náboj Ze jadra, len náboj (Z − 1)e v dôsledku odtienenia.Jeden z elektrónov nakoniec zoskočí zo svojej pôvodnej trajektórie s n = 2na uvoľnenú pozíciu na trajektórii s n = 1, nakoľko tá je energeticky výhod-nejšia. Vyžiari pritom fotón, ktorého energia zodpovedá rozdielu energií navyššej a nižšej trajektórii. Tým dostávame vysvetlenie Moseleyho zákona preK-línie.

Poznámka 4.7. Pozorný čitateľ zrejme postrehol dve zvláštnosti:

1. Elektróny na vyšších trajektóriách nevplývajú na energiu elektrónovna nižších trajektóriách,

2. Bohrov model predpovedá v skutočnosti odlišný výsledok, než hovoríMoseleyho zákon.

Prvá zvláštnosť sa dá dobre pochopiť aj z pohľadu klasickej fyziky, pokiaľsme už prijali spôsob, akým odtieni elektrón na najnižšej trajektórii jedenelementárny náboj jadra. Ak je rozloženie elektrického náboja aj na vyššíchtrajektóriách sféricky symetrické, elektróny vyšších trajektórií neovplyvňujúpohyb elektrónov na nižších trajektóriách.

Z klasickej fyziky je známe, že ak povrch gule nabijeme rovnomerne elek-trickým nábojom, vo vnútri gule nie je žiadne elektrické pole, inými slovami,na elektrický náboj vo vnútri gule nepôsobí žiadna elektrická sila od nábojovna povrchu gule (presnejšie, výslednica síl je nulová).

Druhá zvláštnosť sa týka toho, že vychádzajúc z Bohrovho modelu a zprijatého spôsobu tienenia jadra vieme povedať o energii elektrónu pred apo zoskoku na najnižšiu trajektóriu nasledujúce. Energia elektrónu na tra-jektórii s n = 2 je

E2 = E0(Z − 1)2

22.

Vidíme tienenie jadra jediným elektrónom na trajektórii s n = 1. Na druhústranu elektróny s n = 2, ani s n > 2 jadro netienia.

Po zoskoku na trajektóriu n = 1 je energia elektrónu (ktorý zoskočil zvyššej trajektórie, aby obsadil energeticky výhodnejšiu trajektóriu)

E1 = E0Z2

12.

Tu by elektrón na rovnakej (n = 1) trajektórii už nemal tieniť. Zo zákona

91

zachovania energie by mala byť energia vyžiareného fotónu

hν = E2 − E1 = E0

(

(Z − 1)2

22− Z2

12

)

(4.30)

= −hν0(Z − 1)2 − 4Z2

4= hν0

3Z2 − 2Z − 1

4

Riešením tejto rovnice dostávame

Z − 1

3=

√

4

9+

ν34 ν0

Zdá sa, že rozdiel je markantný, v skutočnosti však nie je taký dramatický,ako to ukazuje aj graf na obrázku.

10 20 30 40

10

20

30

40

Obr. 4.1: Rozdiel medzi Moseleyovym experimentom a predpoveďou podľa Bohrovhomodelu. Modrá línia zodpovedá Moseleyovmu zákonu, červená Bohrovmu modelu. Je vi-dieť, že rozdiel je dramatický pre atómy s malým počtom protónov v jadre. Na vodorovnejosi je vynesená hodnota

√

ν/ν0, na zvislej osi hodnota Z.

V skutočnosti je situácia ešte zložitejšia, nakoľko pri prechode jednéhoelektrónu na najnižšiu trajektóriu, sa mení energia nie len prechádzajúcehoelektrónu, ale všetkých elektrónov, ktoré pociťujú zmenu tienenia jadra. Tosa týka prinajmenšom elektrónov na trajektórii, odkiaľ elektrón prechádzana najnižšiu trajektóriu. Príslušné výpočty sú však výrazne závislé na pred-stavách o rozložení elektrónov v elektrónovom obale a presahuje možnostiBohrovho modelu atómu.

92

Moseleyho zákon v tomto je v tomto ohľade významnejší, lebo je exper-imentálnym zistením. Úspechom Bohrovho modelu vo vysvetlení Moseleyhozákona je smernica závislosti počtu protónov na

√

ν/ν0. Podľa Moseleyhozistenia je táto smernica

√

4/3, čo predpovedá aj Bohrov model atómu.

Bohrov model atómu dáva správne vysvetlenie tiež pre K-línie charak-teristického žiarenia, a dáva správnu predpoveď aj pre L-línie. Tienenie jevšak v tomto prípade 7, 4 a nie 1.

Prijalo sa vysvetlenie, že L-línia charakteristického žiarenia vzniká, keďsa uvoľní miesto na druhej trajektórii (n = 2), ktorú obsadí elektrón z tretejtrajektórie (n = 3). Elektrón z tretej trajektórie však nevidí celý nábojjadra. Ten je odtienený v značnej miere elektrónmi na nižších trajektóriach.Moeseleyho zistenie bolo, že z celkového náboja jadra sa vždy odtieni 7, 4elementárneho náboja.

Záver, ktorý je možné urobiť je, že kým na prvej trajektórii je možné maťcelkom dva elektróny, na druhej trajektórii je ich počet vyšší, aspoň 6. Dnesvieme, že je ich v skutočnosti 8.

Moseleyho zistenia boli veľmi významné. Dovolil presne určiť počet pro-tónov v jadre atómu. Odhalil mimo iné, že poradie niklu (Ni) a kobaltu (Co)bolo v Mendelejevovej tabuľke určené nesprávne. Pred Moseleyho zákonomich polohu určili z atomárnej hmotnosti (kobalt má väčšiu hmotnosť akonikel, čo súvisí s existenciou izotopov a nie je predmetom fyziky mikrosveta).V skutočnosti však kobalt má v jadre len 27 protónov, kým nikel 28.

Na obrázku 4.2 je graf s výsledkami Moseleyho merania, ako to bolozverejnené v [8].

5Úloha 4.8. Ukážte, vychádzajúc z Bohrovho modelu atómu, že smernicapre L línie v Moseleyho zákone (4.28) je skutočne

√

36/5.

4.3 Franckov-Hertzov pokus

Moeseleyho zákon ukazuje, že Bohrova idea kvantovania je správna aj v mnohoelektrónových systémoch. Nech už kvantovanie pre mnoho elektrónové sys-témy vyzerá akokoľvek, ukazuje sa, že elektróny nemôžu mať v atóme ľubovoľnúenergiu, len určité konkrétne hodnoty. Môžeme povedať, že elektróny pri pre-chode v atóme z jedného pohybového stavu do druhého stavu zmenia svojuenergiu (presnejšie energiu atómu) o presne danú hodnotu. Tento rozdielenergie je charakteristický pre daný atóm a pohybový stav elektrónu v atóme.

93

Obr. 4.2: Graf s výsledkami merania Moseleyho, ako to bolo zverejnené v [8].

94

Obr. 4.3: Vľavo James Franck, vpravoGustav Ludwig Hertz.

Správna je aj idea, že pri pre-chode elektrónu do iného pohy-bového stavu, kde má inú energiu,je doprevádzaný buď vyžiarením,alebo pohltením jediného fotónu.Elektrón nezmení svoj pohybovýstav, pokiaľ nedodáme správnemnožstvo energie – také množstvoenergie, ktoré zodpovedá rozdieluenergií stavov, medzi ktorými elek-trón prechádza.

V roku 1914 realizoval James

Franck a Gustav Ludwig Hertz5

experiment, ktorý potvrdzuje kvan-tovanosť stavu atómov.

Keď analyzujeme možnosti zrážky dvoch hmotných bodov, sú len dvaprincipiálne prípady. Buď je zrážka pružná, alebo nepružná. Pri pružnejzrážke sa zachováva kinetická energia – žiadna energia sa nespotrebuje nazmenu vnútornej štruktúry zrážajúcich sa častíc. Pokiaľ je jedna z častícveľmi hmotná (atóm ortuti s hmotnosťou M), kým druhá častica má malúhmotnosť (elektrón s hmotnosťou m≪M), kinetická energia častice s hmot-nosťou m sa skoro nezmení.

Podstatne sa môže zmeniť kinetická energia elektrónu jedine, pokiaľ zrážkaje nepružná. Pri nepružnej zrážke sa spotrebuje kinetická bombardujúcehoenergia elektrónu, na zmenu štruktúry atómu – na vybudenie jeho elek-trónového obalu. Vybudenie atómu znamená, že jeden z jeho elektrónov sapresunie an vyššiu trajektóriu. Podľa Bohra však energetické hladiny elek-trónového obalu sú kvantované. K požadovanému prechodu nemôže dôjsť,pokiaľ bombardujúca častica (elektrón z katódy) nemá aspoň takú kinetickúenergiu, ktorá je potrebná na vybudenie.

Vo Franckovom-Hertzovom experimente sa elektrón urýchľuje rovnomerne(elektrické pole medzi katódou a mriežkou je homogénne). Jeho kinetická

5James Franck a Gustav Ludwig Hertz získali Nobelovu cenu za fyziku v roku

1925 za objav zákonov, ktorými sa riadia elektróny zrážajúce sa s atómami.

95

V

A

katóda mriežka anóda

I

Ukm Uma

Obr. 4.4: Schematické usporiadanie Franckovh-Hertzovho experimentu. Plyn ortuti jeuzavretý v sklenej banke.Do trubice je zatavená katóda, mriežka a anóda. Katóda ježhavená a uvoľňuje elektróny. Na katódu a mriežku je pripojený zdroj napätia, ktoréurýchľuje elektróny uvoľnené katódou a priťahuje ich k mriežke. Urýchlené elektróny svo-jou zotrvačnosťou preletia cez mriežku a letia ďalej k anóde. Na mriežku a anódu jepripojený iný zdroj napätia, ktoré brzdí elektróny. Elektróny pri svojom lete sú najprvurýchlené napätím Ukm, potom brzdené napätím Uma. Napätie Ukm (merané voltmetromV) sa zvyšuje a pri konštantnom brzdnom napätí Uma sa meria prúd ampérmetrom A.Závislosť prúdu preťekajúceho medzi mriežkou a anódou v závislosti na urýchlovacomnapätí hovorí o procesoch počas zrážky urýchlených elektrónov s atómami plynu ortuti.

96

V

A

ddU

katóda mriežka anóda

I

+12 V −2, 5 V

4, 9 V4, 9 V

Obr. 4.5: Schematické usporiadanie Franckovh-Hertzovho experimentu pri napätí Ukm =12 V medzi katódou a mriežkou. Pokiaľ by v trubici nebol žiardny plyn, alebo atómy ortutisa nedali vybudiť (zrážky by boli vždy pružné) urýchlené elektróny by na úrovni mriežkymali kinetickú energiu 12 eV (elektróny vystupujú z katódy skoro s nulovou kinetickouenergiou). Brzdné napätie Uma = −2, 5 V by ich nedokázal zabrzdiť a všetky by dopadlina anódu. Čím by bolo urýchlovacie napätie Ukm väčšie, tým by bol väčší aj prúd meranýampérmetrom A. Situácia je však iná. V modre označených oblastiach urýchlené elektrónymajú už kinetickú energiu rovnú 4, 9 eV. V tejto oblasti kinetická energia urýchlených elek-trónov je dostačujúca k vybudeniu atómu ortuti a zrážky s atómami sa stanú nepružnými.Po nepružnej zrážke bombardujúce elektróny stratia svoju kinetickú energiu a ich rýchlosťzačína narastať v podstate z nulovej hodnoty. V druhej modrej oblasti (bližšej k mriežke)už znova majú kinetickú energiu 4, 9 eV a zrážky sa stanú znova nepružnými. Celý processa opakuje. Vo zvyšnej časti elektróny sú urýchlované až dorazia k mriežke. Tam budúmať kinetickú energiu 2, 2 eV. Zotrvačnosťou preletia mriežkou, ale anódu nedosiahnu,nakoľko sú zabrzdené brzdným napätím medzi mriežkou a anódou, ktorá má hodnotu−2, 5 V. Takéto brzdné napätie by dokázalo zabrzdiť elektróny s kinetickou energiou až2, 5 eV. Pri hodnotách nastavených na obrázku ampérmetrom A nepotečie prúd (alebolen minimálny). V modre označených oblastiach bude ortuťový plyn žiariť, ako dôsledokspätného prechodu (deexcitácie) atómu do pôvodného stavu. Deexcitácia je doprevádzanávyžiarením fotónov s energiou 4, 9 eV (ultrafialová oblasť).

97

energia narastá až do okamihu, keď dosiahne hodnotu, ktorá je postačujúcana vybudenie atómu ortuti. V tom okamihu sa zrážky stanú nepružnými.Kinetická energia bombardujúcich elektrónov (pochádzajúcich z katódy) saspotrebuje na vybudenie atómu ortuti a bombardujúci elektrón sa fakticky„zastaví“ . Celí urýchľovací proces sa začne odznova. Tak ako budeme zvyšo-vať urýchľovacie napätie, bude prúd (meraný ampérmetrom A – pozri obrá-zok 4.5) medzi mriežkou a anódou narastať.

Zvyšujme teda urýchľovacie napätie z nulovej hodnoty až na hodnotu2, 5 V. Ampérmeter neukazuje prakticky žiadny prúd, lebo elektróny, ktorédorazia k mriežke, a zotrvačnosťou preletia k anóde, sú zastavené brzdnýmnapätím −2, 5 V. Ďalším zvyšovaním urýchľovacieho napätia prúd meranýampérmetrom začne pozvoľna narastať. V okamihu, keď dosiahne hodnotu4, 9 V v oblasti mriežky už prebiehajú nepružné zrážky, v ktorej bombardu-júce elektróny stratia svoju rýchlosť. Brzdné napätie im nedovolí prelet naanódu, a ampérmeter ukáže prakticky nulový elektrický prúd. Ďalším zvyšo-vaním urýchľovacieho napätia sa celý cyklus procesov zopakuje. Pri hodnoteUkm = 4, 9 + 2, 5 = 7, 4 V prúd začne pozvoľna narastať a pri hodnoteUkm = 2× 4, 9 = 9, 8 V prúd prudko poklesne (pozri obrázok 4.6).

Interpretácia Franckovho-Hertzovho ezperimentu bola taká, že energet-ický stav elektrónov v atóme je kvantovaný. Pravdepodobne majú svoje strik-tne predpísané trajektórie v elektrónovom obale a prechod z jednej trajek-tórie na druhú vyžaduje presne definované množstvo energie. Túto energiumožno dodať aj zrážkami, pokiaľ kinetická energia bombardujúcej častice jedostatočne veľká.

Franckov-Hertzov pokus sa dá vykonať aj na iných plynoch (napríkladneóne) s obdobným výsledkom (pre neon je možné vybudiť atóm až energiou19 eV).

Poznámka 4.9. Stojí za poznámku, že spôsob žiarenia plynu (vo vrstvách)bol známy už aj v druhej polovine 19-ho storočia. Tento jav je najmarkant-nejší, pokiaľ tlak plynu znížime na cca. 100 Pa.

98

Ukm

I

4, 9 V 9, 8 V

Obr. 4.6: Závislosť prúdu I nameraného ampérmetrom A pri napätí Ukm medzi anó-dou a mriežkou (pozri obrázok 4.4). Pri napätí Ukm = 4, 9 V dochádza k prudkémupoklesu meraného prúdu. Prúd síce v reálnom experimente nepoklesne k nulovej hod-note, ale podstatný je hlavne prudký pokles elektrického prúdu v dôsledku nepružnýchzrážok. Oblasť mriežky pri napätí Ukm = 4, 9 V vyžaruje ultrafialové svetlo vlnovej dĺžkyλ = 253 nm (fotóny s energiou 4, 9 eV.). Pri ďalšom zvyšovaní urýchľovacieho napätiadochádza druhému prudkému poklesu prúdu pri napätí Ukm = 9, 8 V. Prvá žiarivá oblasťpritom nezanikne, ale so zvyšovaním napätia Ukm sa postupne posúva ku katóde, kým prinapätí (9, 8 V) sa objaví ďalšia žiarivá oblasť v okolí mriežky. Obidve oblasti budú žiariťna vlnovej dĺžke λ = 253 nm.

Kapitola 5

Kvantové čísla

Úspechy Bohrovho modelu boli mimoriadne. Zlepšujúcimi sa experimentál-nymi prístrojmi sa však množili otázky, ktoré si vyžiadali hlbšie preskúmaniemodelu.

5.1 Bohrov-Sommerfeldov model atómu

Ukázalo sa, že spektrálne čiary Balmerovej série (ktoré Bohrov model dokázalvysvetliť), sa skladajú z viacerých čiar (pozri tabuľku 5.1 a obrázok 5.1).

Bohr, Ehrenferst a Sommerfeld hľadali odpoveď na otázku

1. v akom vzťahu je Bohrov model atómu s klasickou fyzikou a so zákonomžiarenia z elektrodynamiky,

2. ako sa dá zovšeobecniť Bohrova kvantovacia podmienka.

Odpoveď na tieto otázky našli postupne Bohr, Ehrenferst i Sommer-

feld.Ponúkla sa myšlienka, že Bohrov model je príliš jednoduchý vďaka pred-

pokladu, že elektróny sa pohybujú len po kružnicových trajektóriach.Kružnicová trajektória je veľmi symetrická, pohyb po kružnici (r =

konst.) je v Bohrovom modeli rovnomerný (p = konst.). Bohrova kvan-tovacia podmienka mala preto jednoduchý tvar (rp = n~).

Zovšeobecnenie Bohrovej kvantovacej podmienky vyslovili v tvare∮

pqdq = nqh, (5.1)

99

100

prechodz m na n

λBohr/nm λ(r)Bohr/nm λexp/nm

3→ 2 656,112 276 656,469 606 656,452 25656,453 76656,456 46656,458 43656,466 45656,468 01656,472 22

4→ 2 486,009 093 486,273 782 486,263 65486,264 49486,264 63486,265 57486,271 94486,272 30486,273 28

5→ 2 433,936 690 434,173 020 434,164 71434,165 11434,165 38434,165 82434,171 46434,171 61434,172 01

Tabuľka 5.1: Porovnanie predpovedanej vlnovej dĺžky prechodu v Bohrovom modeli (s„fixovaným“ jadrom) λBohr, s vlnovou dĺžkou prechodu v Bohrovom modeli s redukovanouhmotnosťou λ

(r)Bohr s nameranými vlnovými dĺžkami λexp. Experimentálne údaje sú čerpané

z [9] a predstavujú merania vykonané vo vákuu.

101

Obr. 5.1: Dole vidíme Balmerovu sériu (Bα, Bβ, Bγ) pri horšom rozlíšení, v súlade sBohrovim modelom. Pri vysokom rozlíšení sa ukáže, že zdanlivo jednoduché čiary saskladajú z viacerých čiar (majú štruktúru.)

kde q je tzv. zovšeobecnená súradnica a pq je prislúchajúca zovšeobecnenáhybnosť.

Poznámka 5.1. V kartézskej súradnej sústave sa k popisu polohy používajúsúradnice x, y a z. K súradnici x prislúcha hybnosť px = mvx, kde vx jerýchlosť hmotného bodu s hmotnosťou m v smere osi x.

V mnohých prípadoch je výhodnejšie používať namiesto kartézskej sús-tavy inú súradnú sústavu, napríklad polárnu, či sférickú. V týchto súradnýchsústavách sú tiež súradnice (napr. v polárnej sústave vzdialenosť r od centraa azimutálny uhol ϕ).

Azimutálnej súradnici ϕ prislúcha zovšeobecnená hybnosť pϕ = mr2ϕ,kde ϕ je uhlová rýchlosť hmotného bodu s hmotnosťou m. V Bohrovommodeli sa elektróny pohybujú po kružnici a zovšeobecnená hybnosť pϕ jerovná momentu hybnosti. Moment hybnosti sa zachováva (je konštantná) aintegrál

∮

pϕdϕ =

∮

Ldϕ = 2πL = nϕh.

Uzavretý integrál∮

predstavuje integrovanie po uzavretej trajektórii elek-trónu. Táto trajektória je kružnica, a integrovanie konštanty L po azimutál-nom uhlu ϕ je rovný 2πL. Táto zovšeobecnená podmienka nám teda vrátispäť (v prípade kružnicových trajektórií Bohrovho modelu) Bohrovu kvan-

102

tovaciu podmienku

L =nϕh

2π= nϕ~.

Problematika zovšeobecnených súradníc a zovšeobecnených hybností jepredmetom teoretickej mechaniky.

Podobne sa môže napísať kvantovacia podmienka pre radiálnu súradnicur

∮

prdr = nrh.

Pre kružnicovú trajektóriu však radiálna zložka hybnosti pr = mr = 0, pretoani nevstupuje do Bohrovho modelu atómu.

Bohrov-Sommerfeldovmodel

Zovšeobecnená kvantovacia podmienka (5.1) umožnila skonštruovať vy-lepšený Bohrov model, kde elektróny sa mohli pohybovať aj po eliptickýchtrajektóriách. Tento model nazývame Bohrovým-Sommerfeldovým modelomatómu.

Napriek eliptickým trajektóriám však nesplnila očakávania. Bohrov-Som-merfeldov model atómu s eliptickými trajektóriami predpovedal rovnakéspektrum, ako Bohrov model atómu s kružnicovými trajektóriami. Nedalteda vysvetlenie na štruktúru jednotlivých čiar, ktoré sme spomenuli vyššie.

V Bohrovom modeli atómu bola trajektória elektrónu vo vodíkovom atómukružnica a bola jednoznačne spojená s celým číslom n z Bohrovej kvantovacejpodmienky L = n~.

3Príklad 5.2. Určte Bohrov polomer atómu vodíka (v základnom stave) apolomer trajektórie elektrónu s momentom hybnosti n~.

Riešenie. Využitím vzťahu (4.11) a kvantovacej podmienky L = n~ dosta-neme

r = n2~2

km= n2

4πε0~2

e2m.

Bohrov polomer atómu (označuje sa bežne rB) je polomer trajektórie elek-trónu v najnižšom energetickom stave, tj. s momentom hybnosti ~ (n = 1).

rB =4πε0~

2

e2m= 0, 529 177 208 6 × 10−10 m.

Pokiaľ započítame efekt redukovanej hmotnosti, potom

rH =4πε0~

2

e2µ= 0, 529 465 407 × 10−10 m.

103

n = 5

l = 0

l = 1

l = 2

l = 3

l = 4

Obr. 5.2: Príklad trajektórií elektrónu v Bohrovom-Sommerfeldovom modeli atómuvodíka. Trajektórie sú načrtnuté pre n = 5 a l = 0, 1, 2, 3, 4. Všetky elipsy majú spoločnéjedno ohnisko, v ktorom sa nachádza jadro atómu vodíka (protón).

Eliptická trajektória elektrónu v Bohrovom-Sommerfeldovom atóme sapopisuje dvojicou celých čísiel n a l. Veľkosť veľkej polosi an je rovnaký, akýje polomer kružnicových trajektórií v Bohrovom modeli atómu, tj.

an = n2rB, kde n = 1, 2, 3, . . .

Hlavná polos teda nezávisí od celého čísla l. Vedľajšia polos však závisí a mátvar

bn,l =l + 1

nrB, kde l = 0, 1, 2, . . . , n− 1.

Poznámka 5.3. Celé čísla n a l sa objavia z kvantovacích podmienok

∮

prdr = nrh,∮

pϕdϕ = nϕh.

Tieto celé čísla sú vzájomne prepojené nasledovne

n = nr + nϕ, l = nϕ − 1

104

n = 5

l = 4

l = 3

l = 2

l = 1

l = 0

Obr. 5.3: Eliptickým trajektóriám by sme mali pripisovať moment hybnosti iným spô-sobom, než vyplýva z Bohrovho-Sommerfeldovho modelu atómu. Trajektória, ktorá manajvyššiu symetriu („je najmenej deformovaná“) má moment hybnosti rovný nule. Tietopoznatky však plynú z dnešnej úrovni znalostí, ktoré pri rozpoznávaní kvantových vlast-ností prírody, pred Schrödingerom a Heisenbergom známe nemohli byť.

5.1.1 Nedostatky Bohrovho-Sommerfeldovho modelu

1. Zrovna tak ako v Bohrovom modeli, aj v Bohrovom-Sommerfeldovommodeli sa elektróny pohybujú len v rovine. V prípade atómu vodíka toznamená znova, že atóm by mala byť „placka.“

2. Zovšeobecnená kvantovacia podmienka (5.1) umožňuje kvantovať danýsystém v ľubovoľnej súradnej sústave (to bolo účelom). Žiaľ, ako saukázalo, voľba súradnej sústavy mala vplyv na predpovedané fyzikálnejavy, čo je neprípustné. Chovanie sa fyzikálneho systému (napríkladspektrálne čiary) nemôžu závisieť od toho, či systém popíšeme pomo-cou kartézskych, sférických, alebo iných súradníc.

3. Na obrázku 5.2 sú uvedené eliptické trajektórie chrakterizované celýmičíslami n a l, kde význam veľkosti momentu hybnosti hrá hodnota l~.V tomto smere nastal oproti Bohrovmu modelu atómu posun, nakoľkotam sa veľkosť momentu hybnosti spájal s hodnotou n~ – ako to vy-plynulo z odvodenia. Napriek všetkému, ani jedna interpretácia nie jesprávna. Pokiaľ by sme chceli, aby Bohrov-Sommerfeldov model atómuvodíka bol čo najbližšie k našim dnešným znalostiam, potom by smepripísali hodnoty veľkosti momentu hybnosti skôr hodnote (n− l−1)~,ako to ukazuje obrázok 5.3

105

Nesporným prínosom zovšeobecnenej kvantovacej podmienky (5.1) však bolozavedenie kvantových čísiel.

5.2 Kvantové čísla

Rozdiel medzi klasickou a kvantovou fyzikou sa videl hlavne v tom, že hod-noty zachovávajúcich sa veličín (energia, hybnosť, moment hybnosti, a pod.)môžu mať len určité diskrétne, kvantované hodnoty. Platí to hlavne pre via-zané systémy (elektrón viazaný v atóme vodíka, elektróny viazané v mno-hoelektrónových atómoch, v kryštáloch – kde sa atómy viažu vzájomne apodobne).

kvantové číslaTúto diskrétnosť mali vyprodukovať zovšeobecnené kvantovacie podmienky

(5.1)∮

pqdq = nqh,

kde nq nazývame kvantovým číslom veličiny q, ktorá je spojená s integrálom(5.1).

V klasickej mechanike sa pohyb hmotného bodu popisoval pomocou súrad-níc hmotného bodu (napríklad súradnice x, y, z v kartézskej súradnej sús-tave, alebo r, ϕ, ϑ vo sférickej súradnej sústave). Počet súradníc potrebnýchna popis pohybu jedného hmotného bodu je 3. Hovoríme, že počet stupňovvoľnosti hmotného bodu je 3.

Pohyb sa dá charakterizovať nie len pomocou súradníc a hybností, ale tiežpomocou zachovávajúcich sa veličín ako energia, hybnosť, moment hybnostia podobne. Pomocou týchto veličín sa dá tiež jednoznačne zrekonštruovaťv klasickej mechanike trajektória pohybujúceho sa bodu. Pravda, máme tuna mysli tvar a umiestnenie trajektórie v priestore, nie okamžitú polohuhmotného bodu.

Môžeme teda povedať, že až na znalosť okamžitej polohy a rýchlostíhmotného bodu, pohybový stav hmotného bodu sa dá popísať aj pomocouzachovávajúcich veličín (hovorí sa im integrály pohybu).

Pokiaľ prijmeme takúto interpretáciu, pohybového stavu, môžeme po-chopiť aj to, prečo elektrón nežiari. Podľa Maxwellových rovníc by elektrón,ktorý zrýchľuje (tj. mení svoj pohybový stav), musí žiariť. Elektrón, ktorýje viazaný v atóme vodíka, nežiari, pokiaľ jeho kvantové čísla sa nemenia.

To sú odpovede na dvojicu základných otázok, ktoré si kládli Bohr,

Ehrenferst a Sommerfeld, ale nie len oni.Táto éra sa nazýva érou starej kvantovej mechaniky.

106

Kým zavedenie zovšeobecnenej kvantovacej podmienky je viac-menej tech-nická záležitosť, zmena interpretácie pohybového stavu je radikálna. Tátoradikálna zmena predznamenáva reinterpretáciu mnohých pojmov, ktoré kla-sická fyzika zaviedla – to však bude predmetom ďalších kapitol.

Kvantové čísla Čo sú kvantové čísla? Vo viazaných systémoch – hovorme konkrétne oatóme vodíka – sú zachovávajúce sa veličiny. Hodnota týchto veličín nemôžebyť ľubovoľná, každá dovolená hodnota sa viaže k celému číslu. Tieto celéčísla nazývame kvantovému číslu danej veličiny a sú bezrozmerné (kým samotnéfyzikálne veličiny bezrozmerné nie sú).

Poznámka 5.4. Zoberme príklad Bohrovho modelu atómu (bez ohľadu naproblémy s dnešnou interpretáciou kvantového čísla n).

Podľa Bohrovho postulátu veľkosť momentu hybnosti L je rovný celočísel-nému násobku ~, tj. L = n~.

V tomtom zmysle bol n kvantovým číslom momentu hybnosti. Súčasnevšak n popisoval aj energiu prostredníctvom vzťahu En = E1/n

2. Mohli smeteda chápať n tiež ako kvantové číslo energie. Zrovna tak by sme číslo nmohlipoužiť ako kvantové číslo veľkosti hybnosti elektrónu, či veľkosti polomerujeho trajektórie.

Zavedenie zovšeobecnenej kvantovacej podmienky (5.1) situáciu zmenilainterpretácia čísla n. Eliptické trajektórie sú v Bohrovom-Sommerfeldovommodeli atómu vodíka charakterizované dvomi celými číslami n a l. Z to-hoto modelu vyplýva, že n skutočne charakterizuje skôr energiu, než momenthybnosti. Číslo l zase (zdalo sa) udáva veľkosť momentu hybnosti pomocouvzťahu L = l~.

Dnes vieme, že tomu tak nie je. Pomenovanie kvantových čísiel je teda zväčšej časti konvenciou.

5.2.1 Kvantové čísla elektrónov v atómespin elektrónu Elektrón, ako hmotný bod má tri stupne voľnosti, preto nie je prekvapujúce,

že pohybový stav elektrónu v atóme je plne popísateľný tromi kvantovýmičíslami. Tieto kvantové čísla sú spojené s pohybom elektrónu okolo jadraatómu. Okrem toho elektrón má jeden tzv. vnútorný stupeň voľnosti, vlastnýmoment hybnosti, spin. Spin si môžeme často predstaviť, ako rotáciu elek-trónu okolo svojej vlastnej osi.

Úplný popis pohybového stavu elektrónu v atóme sa uskutočňuje štvoricoukvantových čísiel:

hlavné kvantové číslo 1 sa väčšinou označuje ako n a určuje v podstatnej1V angličtine sa nazýva principal quantum numnber, alebo radial quantum number

107

miere energiu elektrónu; jeho hodnoty sú celé čísla

n = 1, 2, 3, . . . ; (5.2)

vedľajšie kvantové číslo 2 sa väčšinou označuje l a spája sa s veľkosťoumomentu hybnosti; jeho hodnoty sú obmedzené hlavným kvantovýmčíslom n nasledovne

l = 0, 1, 2, . . . , n− 1. (5.3)

magnetické kvantové číslo 3 sa väčšinou označuje m a spája sa s prieme-tom magnetického momentu na smer vonkajšieho magnetického poľa;jeho hodnoty sú obmedzené vedľajším kvantovým číslom l nasledovne

m = −l,−l + 1,−l + 2, . . . ,−1, 0, 1, . . . , l − 2, l − 1, l; (5.4)

spinové kvantové číslo sa väčšinou označuje s a jeho hodnoty sú

s = −1

2,+

1

2. (5.5)

Bohrov-Sommerfeldov model atómu mal za poslanie vysvetliť tzv. jemnúštruktúru spektrálnych čiar. Tým sa má na mysli skutočnosť, ktorú smeuviedli v úvode kapitoly, že Lymanova, Balmerova a ostatné série spektrál-nych čiar vodíka nepozostávali z jednoduchých čiar, ktoré Bohrov modelatómu vysvetlil na základe predpokladu, že okolo jadra atómu krúžia elek-tróny na kružnicových trajektóriách. Tieto dobre viditeľné čiary pri lepšomrozlíšení spektroskopov vykazovali určitú štruktúru. Tým sa rozumie, že vskutočnosti pozostávali z viacerých čiar blízko k sebe (pozri obrázok 5.1 nastrane 101).

Podľa Bohrovho-Sommereldovho modelu to súviselo s tým, že elektróny sodlišným orbitálnym momentom hybnosti mali odlišnú aj energiu, tj. energiaelektrónov nezávisela len od hlavného kvantového čísla n, ale aj od vedľa-jšieho kvantového čísla l.

Pre označenie stavov, v ktorých elektrón mal rovnakú energiu sa zaviedlooznačenie term. Nakoľko pokrokom experimentálnej techniky sa ukázalo, žei čiary jemnej štruktúry môžu mať štruktúru (hyperjemná štruktúra), ter-mín term sa začal používať vo viacerých významoch. Niekedy sa používana označenie kvantového stavu elektrónu (daná štvoricou kvantových čísiel),

2V angličtine sa nazýva azimutal quantum number3V angličtine sa nazýva magnetic quantum number.

108

niekedy zase na označenie stavov elektrónov s rovnakou energiou. V spek-troskopii sa používa na označenie stavov s rovnakým orbitálnym momentomhybnosti l (pritom sa neberie do úvahy hodnota hlavného kvantového číslan).

Term Na tomto mieste i ďalej budeme definovať termy, ako súbor kvantovýchstavov, v ktorých elektrón má v danom atóme rovnakú energiu. Táto definícia,ako v ďalšom uvidíme, je závislá na modeli, resp. na rozlíšení, ktoré beriemedo úvahy. K tejto otázke sa vrátime pri vysvetlení pojmu degenerácie a tiežpri mnohoelektrónových systémoch. Presný zmysel termínu term však budevždy zrejmé z kontextu.Poznámka 5.5. Uvedieme príklad pre možné hodnoty kvantových čísieln, l,m, s (pozri tabuľku 5.2 na strane 109)

5.2.2 Význam hlavného kvantového čísla

Hlavné kvantové číslo n v Bohrovom i Bohrovom-Sommerfeldovom modeli jejednoznačne spojené s energiou atómu vodíka podľa vzťahu

En = E11

n2, kde E1

.= −13, 6 eV.

Presný výraz pre E1 (ktorý nazývame tiež základnou energiou vodíkovéhozákladná energia atómu) je daný formulou (4.13) na strane ??.

Je dobré si pamätať, že v Bohrovom modeli atómu (a v Bohrovom-Sommerfeldovom ´modeli tiež) majú elektróny s rovnakým hlavným kvan-tovým číslom n rovnakú energiu. Experimentálne údaje zhrnuté v tabuľke5.1 na strane 100 síce ukazujú, že nie je to úplne pravda. Na druhú stranutreba priznať, že zhruba to platí a energia jednotlivých elektrónov s rov-nakým hlavným kvantovým číslom sa líši len nepatrne.

vrstva V prípade mnohoelektrónových systémov platí toto zistenie tiež a pretohovoríme o elektrónoch s rovnakým hlavným kvantovým číslom ako o elek-trónoch z vrstvy s hlavným kvantovým číslom n (alebo o elektrónoch navrstve).

5.2.3 Význam vedľajšieho kvantového čísla a magnetickéhokvantového čísla

vedľajšie kvan-tové číslo

Tieto dve kvantové čísla sú so sebou úzko spojené. Vedľajšie kvantové číslo lkvantuje veľkosť momentu hybnosti. V Bohrovom Sommerfeldovom modeli

109

hlavné kvan-tové číslo

vedľajšie kvan-tové číslo

magnetickékvantové číslo

spinové kvan-tové číslo

n = 1 l = 0 m = 0 s = −12

s = +12

n = 2 l = 0 m = 0 s = −12

s = +12

l = 1 m = −1 s = −12

s = +12

m = 0 s = −12

s = +12

m = +1 s = −12

s = +12

n = 3 l = 0 m = 0 s = −12

s = +12

l = 1 m = −1 s = −12

s = +12

m = 0 s = −12

s = +12

m = +1 s = −12

s = +12

l = 2 m = −2 s = −12

s = +12

m = −1 s = −12

s = +12

m = 0 s = −12

s = +12

m = +1 s = −12

s = +12

m = +2 s = −12

s = +12

Tabuľka 5.2: Príklad možných kvantových čísiel l, m, s pre n = 1, 2 a 3

110

je toto kvantovanie jednoduché a má tvar

L = l~, l = 0, 1, . . . , n− 1, (5.6)

kde L označuje veľkosť momentu hybnosti, ktorý je spojený s pohybomelektrónu v atóme. Hovoríme mu preto orbitálny moment hybnosti alebo tiežorbitálny impulzmoment. Jedná sa ale o moment hybnosti L, a ako taký jevektorová veličina. Má veľkosť a smer.

Už v prípade energie sme videli, že spojenie kvantového čísla s príslušnoufyzikálnou veličinou nemusí byť len v podobe násobku konštanty a kvan-tového čísla, ako to ukazuje napríklad vzťah (5.6), ale môže byť kompliko-vanejšie.

Vzťah (5.6) je produktom starej kvantovej mechaniky, a ako taký, je ne-správny. V skutočnosti je spojenie veľkosti momentu hybnosti a vedľajšiehokvantového čísla

L = ~√

l(l + 1). (5.7)

Jeho odvodenie však spadá do modernej kvantovej mechaniky a nie je pred-metom fyziky mikrosveta. Spomenuli sme tento vzťah len pre úplnosť, a akopredzvesť komplikácií pri sčítavaní dvoch momentov hybností.

Orbitálny moment hybnosti L je vektorová veličina. V klasickej fyzikeje kolmá na rovinu obehu elektrónu okolo jadra. Trajektória elektrónu jeuzavretá, a môžeme sa na elektrón (obiehajúci neustále dokola) pozerať, akona elektrický prúd vo vodiči. Vieme, že elektrický prúd v uzavretom vodičivytvára okolo seba magnetické pole. V prípade atómu vodíka (alebo inéhoatómu) je táto myslená slučka vodiča (trajektória elektrónu) tak malá, žesa nám javí ako miniatúrny magnet. Pokiaľ ho umiestníme do magnetickéhopoľa, bude sa snažiť orientovať, podobne magnetickej ihle kompasu. V tomtoprípade tak, že rovina obehu elektrónu (tj. rovina v ktorej leží trajektória)bude kolmá vonkajšiemu magnetickému poľu. Platí to v klasickej mechanike.V prírode je to v skutočnosti inak a dáva na to odpoveď magnetické kvantovéčíslo.

V klasickej fyzike je magnetický moment µ elektrónu vektorová veličina

µ =e

2meL. (5.8)

Tu me je pokojová hmotnosť elektrónu a vidíme, že až na násobok s konš-tantou, je magnetický moment µ zhodný s orbitálnym momentom hybnostiL elektrónu.

Z klasickej fyziky sa tiež vie, že magnet vo vonkajšom magnetickom polimá určitú (magnetickú) energiu. Ak magnet chceme otočiť, musíme konať

111

prácu. Túto prácu vieme vypočítať zo základného vzťahu udávajúceho mag-netickú energiu magnetu vo vonkajšom poli s magnetickou indukciou B

Em = −µ ·B = −µB cosα, (5.9)

kde µ je magnetický moment magnetu. pri konštantnej veľkosti B indukcievonkajšieho magnetického poľa a konštantnej „sile“ magnetu (veľkosti µjeho magnetického momentu) je treba konať prácu, pokiaľ magnet chcemepootočiť. Pootočiť znamená zmeniť uhol α.

Zapíšme tento vzťah pomocou priemetu µ3 magnetického momentu4 µna smer magnetickej indukcie B takto

Em = −µ ·B = −µ3B. (5.10)

Z tohoto vzťahu za chvíľu budeme vidieť, že magnetické kvantové číslo jespojené s momentom hybnosti, že predstavuje jednu jeho zložku.

Naše úvahy sme začali prúdovou slučkou, ktorú vytvára elektrón obieha-júci jadro atómu. Ak priemet momentu hybnosti L elektrónu na indukciu Bvonkajšieho magnetického poľa označíme L3, potom pre magnetickú energiumôžeme písať

Em = −µ3B = − eL3

2meB.

Moment hybnosti L je vektorová veličina, ktorá má tri zložky. Môžeme písať

L = (L1, L2, L3).

Magnetické kvantové číslo m sa spája práve s treťou zložkou L3 momentuhybnosti L. Toto spojenie je jednoduché

L3 = m~. (5.11)

Zhrňme to, čo vieme o kvantovaní orbitálneho momentu hybnosti L.

4Je zvykom pri popise zvoliť súradnú sústavu tak, že z−ová alebo (čo je to isté) tretia osukazovala v smere vonkajšieho magnetického poľa. Má to výrazný vplyv na jednoduchosťtvaru matematických výrazov skoro vo všetkých situáciách. Z toho dôvodu označujemepriemet do smeru indukcie magnetického poľa indexom „3“ , ako tretiu zložku (µ3) danejfyzikálnej veličiny (v tomto prípade magnetického momentu µ). Môžeme sa stretnúť ajformuláciou, že tretia zložka vektoru je určená fyzikálne významným smerom. Fyzikálnevýznamný smer je v tomto prípade smer magnetickej indukcie B. V iných situáciáchto môže byť smer gravitačného zrýchlenia g, alebo smer intenzity elektrického poľa E.Vždy závisí od toho, čo práve riešime. Dôležité je však chápať, že index 3 znamená tútokonvenciu, dohodu.

112

Orbitálny moment hybnosti L je vektorová veličina s veľkosťou L a sozložkami L1, L2, L3. Veľkosť orbitálneho momentu hybnosti je kvantovaný aje určený vedľajším kvantovým číslom l podľa vzťahu

L = ~√

l(l + 1). (5.12)

Ak je prítomné fyzikálne významné vonkajšie pole (v prípade elektrónu vatóme je to vonkajšie magnetické pole), potom je kvantovaná zložka momentuhybnosti v smere fyzikálne význameného smeru, tj. L3. V prípade elektrónuv atóme ho určuje magnetické kvantové číslo m nasledovne

L3 = m~.

Veľkosť momentu hybnosti L je väčší ako ktorákoľvek jeho zložka, tj. tiežako L3 a platí

|m| ≤ l, pričom m ∈ Z,

tj. m je celé číslo. Všimnime si, že posledná nerovnosť je ekvivalentný zápisu,kde sme možné hodnoty magnetického kvantového čísla m vypísali explicitne

m = −l,−l + 1, . . . ,−1, 0, 1, . . . , l − 1, l.

5.2.4 Spinové kvantové číslo

Povedali sme, že spin elektrónu je vlastný moment hybnosti elektrónu. Mô-žeme si ho síce predstaviť, ako rotáciu elektrónu, ale to by sme elektrónumuseli pripísať nejaký rozmer a následne by sme narazili na problém, žerýchlosť rotácie elektrónu by musela prekročiť rýchlosť svetla (na svojom„rovníku“ i v najpriaznivejšom prípade 137 krát).

Predstava elektrónu ako rotujúcej guličky nám často pomôže, ale v sku-točnosti jeho spin nie je spojený s rotáciou elektrónu. Elektrón jednouchomá vlastný moment hybnosti – spin.

Spin je teda tiež moment hybnosti, a ako taký spĺňa všetko, čo smepovedali o orbitálnom momentu hybnosti. Má veľkosť, ktorá je kvantovanáa pokiaľ je prítomné vonkajšie pole, tak je kvantovaný aj jeho priemetna fyzikálne významný smer určený týmto poľom (magnetickým poľom).

spinové kvan-tové číslo

Vlastný moment hybnosti, spin elektrónu označujeme S a jeho tretiu zložkuS3. Príslušné kvantové čísla zase malými písmenami s a s3. Platí, že

S = |S| = ~√

s(s+ 1). (5.13)

aS3 = ~s3. (5.14)

113

Platí aj obmedzenie kvantového čísla tretej zložky kvantovým číslom veľkostispinu v tvare

s3 = −s,−s+ 1, . . . , s − 1, s. (5.15)

Vnútorný (nie orbitálny) charakter spinu zvýrazňuje aj to, že príslušnékvantové čísla (v prípade elektrónu) nie sú celé čísla, ale tzv. polocelé čísla.Kvantové číslo s veľkosti spinu S je

s =1

2. (5.16)

Možné hodnoty kvantového čísla s3 priemetu S3 spinu S na fyzikálne výz-namný smer sú len dve

s3 = −1

2,+

1

2. (5.17)

polocelé číslaPoznámka 5.6. Vo fyzike mikrosveta hovoríme číslam

1

2,3

2,5

2, . . . ,

nepárne celé číslo2

polocelé čísla (aj záporne vzatým číslam). Ich význam sa odkrýva v plnejmiere až v modernej kvantovej teórii. My sa s dôsledkom ich existencie stret-neme nižšie, pri Pauliho vylučovacom princípe.

Nakoľko veľkosť spinu elektrónu je vždy tá istá hodnota, kvantové čísloveľkosti spinu je vždy 1

2 , pod spinovým kvantovým číslom rozumieme kvan-tové číslo s3 tretej zložky. Veľmi často sa v značení vypúšťa aj písanie indexu3.

hantýrkaPoznámka 5.7. V odborných textoch, ale aj v učebniciach sa často prene-cháva na čitateľovi, aby rozpoznal, že v danom prípade sa hovorí o fyzikálnejveličine, alebo o jeho kvantovom čísle. Stáva sa to hlavne v prípade momentuhybnosti (či už orbitálneho momentu hybnosti, spinu, alebo celkového mo-mentu hybnosti). V hantýrke hovoríme, že „máme elektrón so spinom 1/2“ .Jednoznačne sa tu hovorí o kvantovom čísle a nie o samotnom spine. Naviac,ako sme spomenuli vyššie, len z kontextu môže byť jasné, či máme na myslikvantové číslo veľkosti, alebo tretej zložky spinu.

Táto hantírka je prípustná. Bolo by nepríjemné sa vyjadrovať tak, žepovieme „máme elektrón s veľkosťou spinu ~

√

3/4“ . Namiesto toho povieme,že „máme elektrón s veľkosťou spinu 1/2“ . Zrovna tak nepovieme, že elektróns hlavným kvantovým číslom 8 (tj. n = 8) „môže mať moment hybnostimaximálne ~

√72“ , ale povieme „môže mať moment hybnosti maximálne 7“ ,

čím máme na mysli kvantové číslo l = n − 1 = 7. veríme, že ani v našomprípade to neprivodí nepochopenie textu. V prípade nutnosti, na príslušnommieste, uvedieme poznámku.

114

5.2.5 Skladanie momentov hybnosti

Orbitálny moment hybnosti a spin elektrónu sú síce odlišné svojim pôvodom5,ale svojim charakterom sa jedná o rovnaké fyzikálne veličiny.

Ak sa pozeráme na elektrónový obal atómu vodíka, tento obal má mo-ment hybnosti J . Skladá sa z orbitálneho momentu hybnosti L a spinu elek-trónu S.

najprv sa pozrime na to, že ako to vypadalo v klasickej fyzike. V klasickejfyzike sme pre výsledný moment hybnosti zapísali

J = L+ S.

Tento súčet znamenal to, že komponenty výsledného vektoru J sme získalisčítaním komponentov tých vektorov, z ktorých sa skladal, tj. ako súčet kom-ponentov vektorov L a S

J1 = L1 + S1, J2 = L2 + S2, J3 = L3 + S3.

V prírode (tj. na kvantovej úrovni) je však situácia komplikovanejšia.Povedali sme, že moment hybnosti má kvantovanú veľkosť a pokiaľ je prí-tomné fyzikálne významné pole, tak má kvantovanú aj jednu zo svojich kom-ponent. O ostatných komponentách sme nepovedali nič. Nepovedali sme nič,lebo nevieme o nich nič povedať.

Vieme povedať len to, že výsledný moment hybnosti J bude mať kvan-tovanú veľkosť J a tretiu zložku J3, pričom bude platiť

J = ~√

j(j + 1), j = 0, 1, 2, . . . (5.18)

J3 = ~j3, j3 = −j,−j + 1, . . . , j − 1, j. (5.19)

kde j je kvantové číslo veľkosti J celkového momentu hybnosti J , a j3 jekvantové číslo tretej zložky J3 momentu hybnosti J .

V klasickej mechanike sme vedeli jednoznačne, že ako sa tieto veličinyspájajú – to sme uviedli. Pokiaľ máme čo do činenia so skútočnými (kvan-tovanými) veličinami, tak vieme povedať nasledujúce

j3 = l3 + s3, (5.20)

tj. presne ako v klasickej fyzike, ale pre veľkosť dostávame len určitú nerovnosť

j = |l − s|, |l − s+ 1|, . . . , l + s. (5.21)

5Orbitálny moment hybnosti je dôsledkom pohybu elektrónu, kým spin je vnútronávlastnosť elektrónu a nie je spojený s pohybom.

115

Tým, že výsledok nie je jediné číslo, sme chceli povedať, že pri meraní získamejedno z týchto čísiel. Nevieme ktoré, ale bude jedno z týchto čísiel. (Modernákvantová teória vie povedať akou pravdepodobnosťou získame ktoré číslo. Toje maximum, čo sa dá povedať.)

Ozrejmime to na príklade.

2Príklad 5.8. Majme atóm vodíka, a nech v jeho elektrónovom obale sanachádza elektrón s kvantovými číslami n = 4, l = 2,m = 2, s3 = −1

2 . Akýje celkový moment hybnosti elektrónu a aká je jeho tretia zložka?

Riešenie. Tretia zložka momentu hybnosti elektrónu (kvantové číslo) je

j3 = m+ s = 2− 1

2=

3

2

Tretia zložka celkového momentu hybnosti elektrónu je teda

J3 =3

2~ ≈ 1, 581 × 10−34 J s.

Elektrón má spin (kvantové číslo s veľkosti) s = 12 . Kvantové číslo j

veľkosti celkového momentu hybnosti J je určený kvantovým číslom l veľ-kosti orbitálneho momentu hybnosti elektrónu (vedľajšie kvantové číslo) akvantovým číslom s veľkosti spinu elektrónu. Pre kvantové číslo veľkosticelkového momentu hybnosti platí

j = |2− 12| = 3

2, |2− 1

2|+ 1 = 2 + 1

2= 5

2,

tedaj =

3

2,5

2.

To sú možné kvantové čísla. Pri meraní zistíme, že kvantové číslo bolo 32 ,

alebo zistíme, že bolo 52 . Žiadny iný výsledok dostať nemôžeme z jediného

merania. Moderná kvantová teória vie povedať, že pokiaľ merania zopaku-jeme mnoho krát, ako váhou dostaneme jeden výsledok a akou druhý. Vďakatomu vie povedať, že aká bude priemerná hodnota meraní (to vie povedaťúplne presne). To však presahuje rámec predmetu fyziky mikrosveta. Preúplnosť uvedieme, že váha, ktorou nameriame výsledok 3

2 je 15 , a váha,

ktorou nameriame výsledok 52 je 4

5 .To sú samozrejme výsledky vyjadrené kvantovými číslami. Fyzikálne hod-

noty sú možné teda dve a sú to

J = ~

√

3

2

5

2, ~

√

5

2

7

2

116

alebo číselne

J = 2, 041 × 10−34 J s alebo J = 3, 118 × 10−34 J s.

Priemerná hodnota J z mnohých meraní potom je (len pre úplnosť)

J =1

52, 041 × 10−34 J s +

4

53, 118 × 10−34 J s = 2, 096 × 10−34 J s.

5.3 Pauliho vylučovací princíp

Mnoho elektrónové atómy majú v elektrónovom obale viac, než jeden elek-trón. Ani Bohrov, ani Bohrov-Sommerfeldov model atómu nedáva odpo-veď na otázku, ako vypadajú trajektórie elektrónov a energie elektrónovv takýchto systémoch. Moseleyho zákon dal určitú (síce nie príliš jasnú) od-poveď na túto otázku. Ukázalo sa, že všetky atómy majú na trajektórii,ktorá je najbližšie k jadru atómu maximálne dva elektróny. Poukázala aj naskutočnosť, že na druhej najbližšej trajektórii je viac elektrónov a ich početby sa mohol pohybovať okolo 6. Presnejšie povedané, približne 6 elektrónovobieha jadro v rovnakej vzdialenosti a vytvára druhú najbližšiu vrstvu kjadru atómu.

Pri skúmaní spektrálnych čiar atómov sa ukázalo, že vonkajšie magne-tické pole spôsobuje tzv. rozštiepenie spektrálnych čiar. Pod rozštiepenímrozumieme jav, keď pôvodná spektrálna čiara sa premení na sériu veľmiblízkych čiar v spektre atómu. Miera, v akej sú tieto čiary od seba vzdialenéje úmerné intenzite magnetického poľa, ktoré toto rozštiepenie spôsobuje.

Týmito nástrojmi sa dospelo k poznaniu, že v každom atóme sa nachádzavždy len jeden elektrón v danom pohybovom stave. Toto poznanie vyslovímeako Pauliho vylučovací princíp.

Pauliho vylučo-vací princíp

V atóme sa nenachádzajú dva elektróny, ktoré by mali všetkyštyri kvantové čísla (hlavné, vedľajšie, magnetické a spinové) rov-naké.

Poznámka 5.9. Moderná kvantová mechanika formuluje Pauliho vylučovacíprincíp iným spôsobom. Mnohé skúsenosti z experimentov ukázali, že Paulihovylučovací princíp sa neobmedzuje na elektróny v elektrónovom obale ató-mov.

Ako sme už uviedli, pohybový stav častíc sa dá (hlavne vo viazaných sys-témoch) charakterizovať jednoznačne kvantovými číslami. Pauliho vylučovací

117

princíp hovorí, že v jednej a tej istej časti priestoru sa v tom istom okamihunemôžu nachádzať dva identické fermióny v rovnakom pohybovom stave.

Identickými časticami sa rozumejú častice, rovnakého druhu. Naprik-lad dva elektróny sú identické. Neexistuje spôsob, akým by sme elektrón„označili“ a neskôr ho vedeli na základe tohoto „označenia“ rozpoznať odiných elektrónov. Dva protóny sú tiež identické a podobne dva neutróny, čidva fotóny a podobne. Protón a neutrón však už netvorí dvojicu identickýchčastíc.

Častice, ktoré sa riadia Pauliho vylučovacím princípom, sa nazývajú fer-mióny a ich spin je vždy polocelý. Fermiónmi sú napríklad elektrón, protón,neutrón, kvarky (s = 1

2 )Častice, ktoré sa neriadia Pauliho vylučovacím princípom, sa nazývajú

bozóny a ich spin je vždy celý. Bozóny v rovnakom pohybovom stave sa môžunachádzať v tej istej časti priestoru. Bozónom je napríklad fotón (s = 1).

Príkladom odlišného správania sa fermiónov a bozónov môže byť nasle-dujúci. Ak skrížime svetelný lúč dvoch bateriek, lúče prenikajú cez seba anerušene pokračujú vo svojej ceste. Vysvetlením je, že svetlo sa skladá zfotónov a fotón má spin 1 (je bozón). To isté nemôžeme urobiť s dvomiprúdmi vody striekajúcich z hadíc. Ak tieto prúdy skrížime, prúdy vody cezseba neprenikajú, ale roztrieštia sa na kvapky letiace na všetky možné strany.Vysvetlením je, že voda sa skladá atómov a tie zase z elektrónov a protónov,čo sú fermióny.

V špeciálnych prípadoch sa aj atómy, či pár elektrónov môže začať chovaťako bozóny a je s tým spojených niekoľko skutočne kurióznych javov (sup-ratekutosť, supravodivosť).

3Príklad 5.10. Za určitých špecifických podmienok sa v kryštále môže vytvoriťpevná väzba medzi dvojicou elektrónov (Cooperove páry). Nech ich orbitálnymoment hybnosti je pritom nulový. Táto dvojica sa správa ako jediná častica.Aký môže byť spin tejto častice?

Riešenie. Označme spin prvého elektrónu s(1) a spin druhého s(2) – mámena mysli kvantové číslo veľkosti spinu. Nakoľko orbitálny moment hybnostinevstupuje do celkového momentu hybnosti dvojice elektrónov, výslednékvantové číslo j momentu hybnosti dvojice elektrónov bude

j = |s(1) − s(2)| = 0, s(1) + s(2) = 1.

Výsledkom merania momentu hybnosti tejto dvojice viazaných elektrónovbude 0 alebo 1. Tak či tak, sa budú chovať ako bozón.

118

Kapitola 6

Mnoho elektrónové systémy

Mnoho elektrónové systémy sa v klasickej teórii nedali vyriešiť. Napriektomu, že teoretické úspechy sa dosiahli čiastočne až v novej kvantovej teórii,experimentálne pozorovania umožnili klasifikáciu a rozpoznanie kvantovýchstavov aj v prípade mnoho elektrónových atómov (definovaných v termínochrozpoznaných u vodíkového atómu, tj. atómu s jediným elektrónom).

Hlavným prínosom Bohrovho modelu atómu vodíka, a nasledujúcich ex-perimentov (Moseley, Franck-Hertz), bolo pochopenie faktu, že atóm mákvantovanú energiu. Má ju nezávisle na počte elektrónov v elektrónovomobale. Ako treba rozumieť tejto vete?

Elektróny v elektrónovom obale sa nemôžu nachádzať v ľubovoľnom po-hybovom stave (na ľubovoľných trajektóriách), len na trajektóriách určenýchštvoricou kvantových čísiel (n, l,m, s). Tieto kvantové čísla boli zdôvodnenépre atóm vodík s jedným elektrónom. V atómoch, v ktorých je elektrónovomobale viac elektrónov, sa elektróny budú „pohybovať“ iným spôsobom, budúmať (viac alebo menej) odlišné trajektórie než jediný atóm v atóme vodíka,predsa sa ich trajektórie (každého jedného elektrónu) dajú charakterizovaťznova štvoricou kvantových čísiel n, l,m, s.

Ak atóm má v elektrónovom obale viac elektrónov, nenachádzajú sa tamdva elektróny s rovnakou štvoricou kvantových čísiel (Pauliho vylučovacíprincíp). Ak je stav každého elektrónu daný štvoricou jeho kvantových čísiel,aj energia atómu bude kvantovaná, lebo jeho energia je daná súčtom kvan-tovaných energií elektrónov v jeho elektrónovom obale.

Bohrov model atómu dáva síce dobré výsledky pre vodíku podobné atómy,ale predsa len približné. Exaktné riešenie, ktoré počíta aj s relativistickýmiefektmi, a je výsledkom modernej kvantovej mechaniky, má komplikovanejšítvar

119

120

En,j =mec

2

√

√

√

√1 +

(

Zα

n−(j+ 12)+

√

(j+ 12)2−(Zα)2

)2, (6.1)

kde n je hlavné kvantové číslo, j kvantové číslo celkového momentu hybnostielektrónu a

α =e2

4πε0~c≈ 1

137, (6.2)

ktorá sa nazýva konštantou jemnej štruktúry. Energia En,j je relativistickácelková energia elektrónu, teda obsahuje aj pokojovú energiu mec

2 elek-trónu. Tento vzťah je výsledkom Diracovej teórie a presahuje rámec fyzikymikrosveta. Ako sme už povedali, predstavuje relativistické riešenie atómuvodíka, ktoré pochádza od Diraca.

Poznámka 6.1. Pozorný čitateľ si oprávnene kladie otázku, či v Diracovejformule sa nemá namiesto hmotnosti elektrónme uvažovať redukovaná hmot-nosť µX = memX/(me+mX)? Odpoveď znie, že aj v Diracovej teórii sa musízobrať do úvahy konečná hmotnosť jadra atómu. Na druhú stranu však trebapoznamenať, že v Diracovej teórii nemôžeme zaviesť redukovanú hmotnosťspôsobom, akým sa robila v nerelativistickej fyzike. Pohyb zvyšuje hmotnosťelektrónu i jadra (relativistický efekt), kým väzbová energia znižuje hmot-nosť celkového atómu – je to teda komplikovaná záležitosť . S touto otázkousa zaoberá kvantová elektrodynamika a stručný popis uvažovaných korekcií(vrátane odkazov na pôvodné zdroje) možno nájsť v [5].

Pre naše účely však bude plne vyhovovať korekcia zavedená ako v nerel-ativistickej fyzike, tj. náhrada hmotnosti elektrónu me s redukovanou hmot-nosťou µX = memX/(me +mX). Zdôvodníme to nasledovne.

1. Bohrov i Bohrov-Sommerfeldov model atómu je nerelativistickým pri-blížením Diracovej formule, Diracova formula dáva len veľmi máloodlišné výsledky. V Bohrovom a Bohrovom-Sommerfeldovom modelije zámena dobre opodstatnená a dá sa očakávať, že bude dobre slúžiťaj v Diracovom modeli.

2. Z Bohrovho odvodenia vieme, že kinetická energia elektrónu vo vi-azanom stave je rovná polovici väzbovej energie (až na znamienko –kinetická energia je kladná). V prípade vodíkového atómu je táto ener-gia rádovo Ekin ≈ 10 eV. Relativistická hmotnosť elektrónu me,rel odnerelativistickej me sa líši o kinetickú energiu Ekin spôsobom

me,relc2 = mec

2 + Ekin.

121

Pokojová energia elektrónu jemec2 = 511 keV. V prípade atómu vodíka

teda relativistická korekcia nie je významná. Diracov model svoje pred-nosti ukázal v správnom započítaní elektromagnetickej interakcie.

Diracov vzťah uvádzame z dvoch dôvodov.

1. Prvým z nich je, že dokazuje, Bohrove výsledky sú nerelativistickévýsledky pre atóm vodíka. Môžeme sa o tom presvedčiť z rozvoja (6.1)nasledovne. Relativistická energia elektrónu En,j zhŕňa v sebe aj jehopokojovú energiu mec

2, rozvoj robíme pre ich rozdiel využitím Dirac-ovho relativistického vzťahu (6.1) a pomocného vzťahu (1 + x)−1/2 ≈1− 1

2 x+ 38 x

2 s nasledujúcim výsledkom

En,j −mec2 .= −mec

2(αZ)2

2n2− mec

2(αZ)4

2n3

(

1

j + 12

− 3

4n

)

. (6.3)

Korekcia je v súlade s korekciou, ktorú dal Sommerfeldov-Bohrov modelatómu vodíka. Obidva výsledky sú však len priblížením exaktného Di-racovho výsledku (6.1). Prvý člen rozvoja predstavuje Bohrov výsledok(energiu termu s hlavným kvantovým číslom n) pre vodíku podobnýatóm. Druhý člen je korekciou a za ním nasledujú ďalšie korekčné členy,ktoré predstavujú len malú korekciu.

2. Druhým dôvodom je, že z relativistického vzťahu (6.1), ktorý je ex-aktné relativistické riešenie, jasne vidíme: energia elektrónu závisí oddvojice kvantových čísiel. Hlavného kvantového čísla n a celkového mo-mentu hybnosti elektrónu j. Inými slovami, elektrón v atóme vodíkabude mať rovnakú energiu v dvoch odlišných stavoch, pokiaľ v týchtodvoch stavoch bude mať rovnaké hlavné kvantové číslo n a rovnakékvantové číslo veľkosti momentu hybnosti j. Táto zjednodušená závis-losť energie termov na dvojici kvantový čísiel mala zásadný vplyv natzv. spektroskopické značenie orbitálov elektrónov v atóme vodíka, aletiež v mnohoelektrónových systémoch.

6.1 Orbitály

V Bohrovom modeli atómu sa elektróny pohybovali po kružnicových trajek-tóriach. Elektróny s rovnakým hlavným kvantovým číslom n mali rovnakýpolomer trajektórie (kružnice), a tiež rovnakú energiu.

122

V Bohrovom-Sommerfeldovom modeli sa elektróny mohli pohybovať ajpo eliptických trajektóriach a príslušné trajektórie sa od seba líšili poprihlavnom kvantovom čísle n aj vedľajším kvantovým číslom l. Hlavné kvan-tové číslo určovalo veľkosť veľkej polosy eliptickej trajektórie, kým l určil jejexcentricitu (mieru „sploštilosti“ ).

Postupné pochopenie fyziky na mikroskopickej úrovni viedlo k tomu, žepohybový stav elektrónu sa popisoval (a popisuje) skôr kvantovými číslami,než parametrami, ktoré dávajú predstavu o trajektórii elektrónu v atóme vtermínoch klasickej fyziky.

Triedenie pohybových stavov elektrónu pomocou kvantových čísiel satradične odvíja od tzv. spektroskopického značenia, systematizácie vyvinu-tého z pozorovania spektrálnych čiar žiarenia atómov (akými boli napríkladLymanova, Balmerova a iné série). Hovoríme o triedení, z toho dôvodu, žespektroskopické značenie nerozlíši všetky možné stavy elektrónu, nakoľkonevyužíva všetky štyri kvantové čísla. Inými slovami, jedna trieda v sebe za-hŕňa viac kvantových stavov (charakterizovaných odlišnými štvoricami kvan-tových čísiel). Z hľadiska spektroskopických pozorovaní však stavy v jednejtriede majú veľmi podobnú energiu. Ich energia sa dokázala rozpoznať ažrozvojom meracích aparatúr a metód pozorovania.

Všeobecný tvar značenia má tvar

nlj, (6.4)

kde n je hlavné kvantové číslo, l je vedľajšie kvantové číslo a j je kvantovéčíslo veľkosti celkového momentu hybnosti elektrónu (tj. orbitálneho mo-mentu hybnosti a spinu elektrónu spolu). Spektroskopické značenie zavádzapísmenné značenie vedľajšieho kvantového čísla podľa tabuľky

l 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 . . .spektroskopickéznačenie

s p d f g h i k l m n o q . . .

Tabuľka 6.1: Spektroskopické značenie vedľajšieho kvantového čísla. Prvé štyri písmennéznačenia sa odvinuli vyslovene z pozorovania s–sharp (ostrý), p–principal (hlavný, zák-ladný), d–diffuse (difúzny), f–fundamental (základný). Ostatné značenia pokračovali vabecednom poradí (vynechaním j a už použitého p) – pozri [10] (druhé vydanie je dos-tupné voľne na adrese http://www.iupac.org/publications/books/gbook/green_book_

2ed.pdf).

Poznámka 6.2. Pojem orbitál je možné použiť vo viacerých významoch. Vliteratúre sa môžeme stretnúť až tromi možnými spôsobmi použitia termínu.

123

1. Dva elektróny sú v atóme na tej istej orbite, pokiaľ majú rovnakékvantové čísla n, l, l3. V jednom atóme ich môže byť na jednej orbite(v uvedenom význame) najviac 2.

2. Dva elektróny sú v atóme na tej istej orbite, pokiaľ majú rovnakékvantové čísla n, l, j. V jednom atóme ich môže byť na jednej orbite (vuvedenom význame) aspoň 2 (pozri nasledujúce príklady).

3. Dva atómy sú v atóme na tej istej orbite, pokiaľ majú rovnaké kvantovéčísla n, l a sú superpozíciou stavov s kvantovým číslom l3 = ±k (k =1, 2, . . . , l). V jednom atóme ich môže byť na jednej orbite (v uvedenomvýzname) najviac 2.

Posledný význam orbity chce ďalšie vysvetlenie, ktoré sa opiera o modernúkvantovú mechaniku. Kvantový svet má tú vlastnosť, že pokiaľ elektrón môžeexistovať v dvoch rôznych stavoch, označme ich A a B, potom sa môženachádzať aj v stave C, ktorý je nejakou superpozíciou stavov A a B. Stermínom superpozície sa v klasickej fyzike stretneme pri skladaní vlnení,keď sa zložia dve rôzne vlnenia do jedného výsledného (superponovaného)vlnenia. K fyzikálnemu významu kvantovomechanickej superpozície sa vrá-time neskôr.

Termín orbitál budeme používať hlavne v prvých dvoch významoch akonkrétny význam bude zrejmý z kontextu.

6Príklad 6.3. Čo môžete povedať o kvantových číslach elektrónu (elektrónov)na orbite 1s1/2?

Riešenie. Úlohou je určiť všetky možné kombinácie štvorice kvantovýchčísiel elektrónu, ktoré vyhovujú zadaniu. Štvorica kvantových čísiel je n, l,m, s3,čo môžeme písať tiež ako n, l, l3, s3, nakoľko magnetické kvantové číslo m nieje nič iné (ako sme povedali), než kvantové číslo l3 tretej zložky orbitálnehomomentu hybnosti L.

• Hlavné kvantové číslo n = 1.

• Vedľajšie kvantové číslo l = 0.

• Magnetické kvantové číslo m (tj. l3) a spinové kvantové číslo s3. Prekvantové čísla tretích zložiek momentu hybnosti máme dané nerovnosti

|l3| ≤ l, tj.l3 = −l,−l + 1, . . . , l − 1, l

124

a|s3| ≤ s, tj.s3 = −s,−s+ 1, . . . , s− 1, s.

Vo všeobecnosti dospejeme k sérii možných hodnôt, v našom prípadepre l3 dostávame číslo jediné

l3 = 0,

a pre s3 (vždy) dvojicu možných hodnôt

s3 = −1

2,+

1

2.

Tieto hodnoty l3 a s3 musíme skombinovať tak, aby obdržané hodnotyj3 boli dovolené reláciou

|j3| ≤ j, tj. j3 = −j,−j + 1, . . . , j − 1, j.

Ako sme uviedli, l3, s3 a j3 sú kvantové čísla tretích zložiek L,S aJ , kde L je orbitálny moment hybnosti elektrónu, S je spin (vlastnýmoment hybnosti) elektrónu a J je celkový moment hybnosti elektrónu,teda

J = L+ S.

Pre kvantové čísla tretích zložiek platí rovnosť1

j3 = l3 + s3. (6.5)

Trojica kvantových čísiel l3, j3 a s3 teda nie sú od seba nezávislé, spájaich relácia (6.5) a vyššie získané možnosti môžeme prehľadne uviesť vtabuľke

j3l3 0

−12 +1

2

+12 −1

2

Tabuľka 6.2: V prvom riadku tabuľky sú uvedené prípustné hodnoty kvantového číslal3 tretej zložky orbitálneho momentu hybnosti L elektrónu, kým v prvom stĺpci sú uve-dené prípustné hodnoty kvantového čísla j3 tretej zložky celkového momentu hybnostiJ elektrónu. V zvyšnej časti sú uvedené prípustné hodnoty kvantového čísla s3 spinu S

elektrónu, aby bola splnená nutná podmienka j3 = l3 + s3.

1Pripomíname, že pre kvantové čísla veľkostí l, s, j platí nerovnosť

|l − s| ≤ j ≤ l + s, tj.1

2≤ j ≤ 1

2.

125

Na orbite 1s1/2 môžu byť elektróny v dvoch odlišných stavoch. Štvoricekvantových čísiel sú n = 1, l = 0,m = l3 = 0 a s3 = +1/2 alebos3 = −1/2.

Poznámka 6.4. Pripomíname, že tučné symboly (L, J, S) označovali vek-torové (fyzikálne) veličiny, kým L, J, S ich veľkosti. Veľké symboly (L3, J3, S3)označujú označujú tretie zložky fyzikálnych veličín, kým malé symboly (l3, j3, s3)príslušné kvantové čísla. V prípade kvantových čísiel momentov hybností smesa nestretli s tučnými symbolmi, nakoľko meraním sa dá určiť len jedna z nich(tú označujeme podľa dohody ako tretiu zložku). Nezávisle od jednej zložkysa dá určiť ešte kvantové číslo veľkosti momentu hybnosti – táto vlastnosťje typická pre moment hybnosti.

Každá fyzikálna veličina môže mať takéto zvláštnosti (ale nemusí). Vkvantovej mechanike sa môžeme stretnúť s kvantovaním hybnosti elektrónuuzavretého v krabici. Kvantové čísla každej zložky hybnosti sa dajú určiť, nielen jedna, či dve zložky.

6Príklad 6.5. Čo viete povedať o elektrónoch na orbite 3d3/2?

Riešenie. • Hlavné kvantové číslo n elektrónov je n = 3.

• Vedľajšie kvantové číslo l elektrónov je l = 2.

• magnetické kvantové číslo a spin. Kvantové číslo j veľkosti celkovéhomomentu hybnosti je j = 3/2.

Z uvedený veľkostí, vieme určiť možné hodnoty kvantového čísla l3tretej zložky orbitálneho momentu hybnosti, aj j3 kvantového číslatretej zložky celkového momentu hybnosti.

l3 = −2,−1, 0,+1,+2,

j3 = −3

2,−1

2,+

1

2,+

3

2.

Pre tretiu zložku spinu (s3) elektrónu platí stále

s3 = −1

2,+

1

2.

Uvedieme maximálnu možnú informáciu o tretích zložkách jednotlivýchkvantových čísiel využitím

j3 = l3 + s3.

126

Výsledok možností pre orbitu 3d3/2 zhrnieme do nasledujúcej tabuľky

j3l3 −2 −1 0 +1 +2

−32 +1

2 −12

−12 +1

2 −12

+12 +1

2 −12

+32 +1

2 −12

Tabuľka 6.3: V prvom riadku tabuľky sú uvedené prípustné hodnoty kvantového číslal3 tretej zložky orbitálneho momentu hybnosti L elektrónu, kým v prvom stĺpci sú uve-dené prípustné hodnoty kvantového čísla j3 tretej zložky celkového momentu hybnostiJ elektrónu. V zvyšnej časti sú uvedené prípustné hodnoty kvantového čísla s3 spinu S

elektrónu, aby bola splnená nutná podmienka j3 = l3 + s3. napríklad v tretom riadkunachádzame údaje k j3 = −1/2. V treťom stĺpci (l3 = −1) tohoto riadku je uvedené +1/2(tj. s3 = +1/2), lebo j3 = −1/2 = −1 + 1/2. Vo štvrtom stĺpci (l3 = 0) je −1/2 (tj.s3 = −1/2,) lebo −1/2 = 0− 1/2.

Vidíme, že na orbite 3d3/2 sa elektrón môže nachádzať celkom v ôsmichrôznych stavoch (rozlíšených aspoň hodnotou jedného kvantového čísla– Pauliho vylučovací princíp). Možnosti zhŕňa tabuľka 6.3.

6Príklad 6.6. V koľkých odlišných stavoch sa môže nachádzať elektrón naorbite 4d3/2?

Riešenie. V ôsmich, rovnako ako na orbite 3d3/2. Hlavné kvantové číslonehrá úlohu v otázke. Všetko je určené kvantovými číslami j a l. (Pozririešenie predchádzajúcej úlohy.)

6.1.1 Podvrstva

Stáva sa, že pri orbite sa nezadá celkový moment hybnosti j (máme namysli samozrejme kvantové číslo). Povie sa napríklad „elektróny na pod-vrstve 2p“ , alebo tiež elektróny na 2p−vrstve. Tým sa myslia všetky možnéelektróny, ktoré majú rovnaké hlavné kvantové číslo n a vedľajšie kvantovéčíslo (veľkosť orbitálneho momentu hybnosti) l.

Na danej podvrstve sú elektróny na rôznych orbitách (líšiacich sa kvan-tovým číslom j). Zo skladania momentov hybností vieme, že pre kvantovéčísla veľkostí momentov hybností platí

|l − s| ≤ j ≤ l + s, tj. j = |l − s|, |l − s|+ 1, . . . l + s− 1, l + s.

127

Veľkosť spinu elektrónu je však vždy s = +12 , preto predchádzajúcu nerovnosť

môžeme písať nasledovne∣

∣

∣

∣

l − 1

2

∣

∣

∣

∣

≤ j ≤ l + 1

2, tj. j =

∣

∣

∣

∣

l − 1

2

∣

∣

∣

∣

,

∣

∣

∣

∣

l − 1

2

∣

∣

∣

∣

+ 1.

Ak l = 0 máme len jednu hodnotu pre j a to

j = +1

2, pre (l = 0)

pokiaľ l > 0, teda l = 1, 2, . . . , potom sú možné dve hodnoty

j = l − 1

2, l +

1

2pre l = 1, 2, . . . .

4Príklad 6.7. Aké sú orbity na podvrstve 2s a aké na podvrstvách 2p a 4d?

Riešenie. Na podvrstve 2s je orbitálny moment hybnosti2 l = 0 a je tujediná orbita, 2s 1

2.

Na podvrstve 2p je orbitálny moment hybnosti l = 1 a sú tu orbity 2p1/2a 2p3/2.

Na podvrstve 4d je orbitálny moment hybnosti l = 2 a sú tu orbity 4d3/2a 4d5/2.

V mnoho atómových systémoch je značenie orbít a podvrstiev rovnaké,ako sme uviedli vyššie. V dôsledku Pauliho vylučovacieho princípu na danejpodvrstve, či danej orbite môže byť len konečný počet elektrónov, nakoľkosa musia líšiť aspoň v jednom z kvantových čísiel. Počet elektrónov r nadanej orbite, či podvrstve, je zvykom značiť pravým horným indexom nadspektroskopickou značkou momentu hybnosti l. Napríklad, skutočnosť, že napodvrstve 1s máme dva elektróny, značíme

1s2.

Maximálny počet elektrónov na danej podvrstve je

2(2l + 1),

kde l je vedľajšie kvantové číslo.uzavretá pod-vrstva

Ak na danej podvrstve je maximálny počet elektrónov, povieme, že pod-vrstva je uzavretá. Maximálny počet na jednotlivých podvrstvách uvediemev nasledujúcej tabuľke

2Máme samozrejme na mysli kvantové číslo veľkosti orbitálneho momentu hybnosti –využili sme možnosti žargónu, lebo z kontextu je zrejmé, že máme na mysli kvantové číslaa nie fyzikálnu veličinu samotnú. Ďalej už nebudeme tieto samozrejmosti komentovať.

128

l 0 1 2 3 4 5 6 7 . . .

spektroskopickéznačenie

s p d f g h i k l

max. početelektrónov

2 6 10 14 18 22 24 28 . . .

Tabuľka 6.4: Počet elektrónov na uzavretých podvrstvách daného typu. Hlavné kvantovéčísla neuvádzame, nakoľko maximálny počet elektrónov na podvrstvách 1s, 2s, 3s, . . . jerovnaký, rovný 2. Obdobne pre 2p, 3p, 4p, . . . je maximálny počet elektrónov rovný 6, atď..

6.1.2 Vrstva

Vrstvou sa rozumie súbor tých podvrstiev, ktoré majú rovnaké hlavné kvan-tové číslo n. Prvú vrstvu teda tvorí sama o sebe podvrstva 1s (n = 1).Nasledujúcu vrstvu (n = 2) tvoria podvrstvy spolu 2s a 2p. Tretia vrstva(n = 3) je tvorená podvrstvami 3s, 3p a 3d. Mohli by sme pokračovať ďalejobdobným spôsobom.

Pre vrstvy sa zavádza spektroskopické označenie, s ktorým sme sa stretliv prípade Moseley-ho zákona. Uvádzame ich v nasledujúcej tabuľke

n 1 2 3 4 5 6 7 8 . . .

spektroskopickéznačenie

K L M N O P Q R . . .

max. početelektrónov

2 8 18 32 50 72 98 128 . . .

Tabuľka 6.5: Maximálny počet elektrónov na vrstve je 2n2.

Poznámka 6.8. Z terminológického hľadiska hovoríme o vrstvách a pod-vrstvách, alebo len o vrstvách, potom ale povieme K−vrstva, L−vrstva (tj.vrstvy, K,L, . . . ), alebo s−vrstva, p−vrstva (tj. podvrstvy s, p, . . . ).

6.2 Degenerácia energetických hladín

Ak máme vo vodíkovom atóme k odlišných stavov (teda líšiacich sa aspoňjedným zo štvorice kvantových čísiel), ku ktorým prislúcha rovnaká energia

129

E elektrónu (presnejšie atómu), potom hovoríme, že energia E je k−násobnedegenerovaná.

6.2.1 Degenerácia v Bohrovom modeli atómu

V Bohrovom modeli atómu sa líšili svojou energiou len stavy, ktoré sa líšilipráve v hlavnom kvantovom čísle n.

3Príklad 6.9. Koľko násobne je degenerovaná energia E2 vodíkového atómuv Bohrovom modeli atómu, ak vieme, že platí Pauliho vylučovací princíp?

Riešenie. Inými slovami otázka znie, koľko štvoríc kvantových čísiel jemožných, ak hlavné kvantové číslo je n = 2.

Pre n = 2 vedľajšie kvantové číslo môže nadobúdať len hodnoty l =0, 1. Pre l = 0 môže byť magnetické kvantové číslo len m = 0. Pre l =1 magnetické kvantové číslo môže nadobudnúť hodnoty m = −1, 0,+1. Vkaždej z týchto štyroch možností môže spinové kvantové číslo mať hodnotys3 = −1/2 a s3 = +1/2. Počet všetkých možností je teda 8 (pozri tiežtabuľku 5.2 na strane 109).

Energia E2 vodíkového atómu je degenerovaná v Bohrovom modeli atómu8 násobne.

3Príklad 6.10. Koľko násobne je degenerovaná energia En vodíkového atómuv Bohrovom modeli atómu, ak vieme, že platí Pauliho vylučovací princíp?

Riešenie. Počet odlišných stavov s pevne danou trojicou kvantových čísieln, l,m je 2 (s3 = −1/2 a s3 = +1/2).

Počet stavov s pevne danou dvojicou kvantových čísiel n, l je

+l∑

m=−l

2 = 2(2l + 1).

Počet odlišných stavov s pevne daným kvantovým číslom n je

n−1∑

l=0

2(2l + 1) = 4

n∑

l=0

l + 2

n−1∑

l=0

1 = 4n(n− 1)

2+ 2n = 2n2.

Energia En je V Bohrovom modeli atómu degenerovaná 2n2 násobne.

Vidíme, že v Bohrovom modeli atómu sú degenerované tie energetickéhladiny (termy), ktoré patria do tej istej hlavnej vrstvy.

130

6.2.2 Degenerácia v pokročilejších modeloch

Pokiaľ pozorovacie prístroje, napríklad optický spektrometer nemá rozlíše-nie lepšie, než 0, 02 nm, v prípade atómu vodíka nedokážeme rozpoznať, žespektrálne čiary Balmerovej série majú jemnejšiu štruktúru (pozri experi-mentálne hodnoty v tabuľke 5.1 na strane 100).

Pokiaľ však rozlišovacia schopnosť spektroskopu dostane pod hranicu0, 01 nm, jemná štruktúra čiar Balmerovej série sa stanú zrejmými.

Zrovna tak zrejmým sa stane potreba nového modelu k vysvetleniu jem-nejších štruktúr. Nové modely berú do úvahy viac a viac okolností a vlastnostímodelovaného systému (v tomto prípade atómu vodíka).

Postupným zlepšovaním experimentálnych prístrojov a metód sa tentocyklus neustále opakuje, preto je pochopiteľné, že otázka degenerácie ener-getických haldín silne závisí od pokročilosti experimentov. Po teoretickejstránke zase i modely predpovedajú degeneráciu energetických hladín v závis-losti od vlastností, ktoré zobrali do úvahy.

Bohrov-Sommerfeldov model atómu

Bohrovmu modelu atómu sme sa už venovali v predchádzajúcom paragrafe.Pozrime sa pre zaujímavosť na predpoveď Bohrovho-Sommerfeldovho mod-elu atómu. Energia elektrónu v atóme vodíka závisí nie len od hlavnéhokvantového čísla n, ale aj od vedľajšieho kvantového čísla l, ako to dobreukazuje aj príslušný vzťah Bohrovho-Sommerfeldovho atómu

E(B-S)n,l = −µXc

2(αZ)2

2n2

[

1− α2Z2

n2

(

n

l + 1− 3

4

)]

, (6.6)

kde µX je redukovaná hmotnosť elektrónu v atóme s jadrom X

µX = meMX

MX +me(≈ me),

MX je hmotnosť atómu (vodíka alebo vodíku podobného atómu).Z tohoto vzťahu jasne vidíme, že elektrón má rovnakú energiu na pod-

vrstvách. Inými slovami, elektrón v stavoch s kvantovými číslami, ktoré majúrovnakú hodnotu hlavného kvantového čísla n a vedľajšieho kvantového číslal, sú rovnaké. Stupeň degenerácie je

2(2l + 1).

Pri porovnaní predpovede Bohrovho a Bohrovho-Sommerfeldovho modeluspektrálnych čiar zistíme, že presnosť oboch modelov je približne rovnaká.

131

Rozdiel je v predpovedi počtu spektrálnych čiar vodíkového atómu. Určitýmspôsobom sa jedná teda o pokrok (pozri tabuľku 6.6). Situácia je podobná,keď porovnáme hodnoty pre energetické hladiny vodíkového atómu (pozritabuľku 6.7). V oboch prípadoch predstavuje Diracov model atómu vodíkavýrazný pokrok.

prechodz m na n

λ(r)Bohr/nm λ

(r)B-S/nm λ

(r)D /nm λexp/nm

3d3/2 → 2p1/2 656,469 61 656,472 76 656,452 27 656,452 253p3/2 → 2s1/2 656,486 94 656,452 27 656,453 763s1/2 → 2p1/2 656,466 55 656,456 93 656,456 463p1/2 → 2s1/2 656,486 94 656,456 93 656,458 433d5/2 → 2p3/2 656,472 76 656,466 45 656,466 453d3/2 → 2p3/2 656,472 76 656,468 00 656,468 013s1/2 → 2p3/2 656,466 55 656,472 67 656,472 224d3/2 → 2p1/2 486,273 78 486,275 63 486,263 67 486,263 654p3/2 → 2s1/2 486,283 90 486,263 67 486,264 494s1/2 → 2p1/2 486,274 19 486,264 75 486,264 634p1/2 → 2s1/2 486,283 90 486,264 75 486,265 574d5/2 → 2p3/2 486,275 63 486,271 94 486,271 944d3/2 → 2p3/2 486,275 63 486,272 30 486,272 304s1/2 → 2p3/2 486,274 19 486,273 38 486,273 285d3/2 → 2p1/2 434,173 02 434,174 58 434,164 73 434,164 715s1/2 → 2p1/2 434,173 99 434,165 17 434,165 115p3/2 → 2s1/2 434,181 31 434,164 73 434,165 385p1/2 → 2s1/2 434,174 43 434,165 17 434,165 825d5/2 → 2p3/2 434,174 58 434,171 46 434,171 465d3/2 → 2p3/2 434,174 58 434,171 61 434,171 615s1/2 → 2p3/2 434,173 99 434,172 05 434,172 01

Tabuľka 6.6: Porovnanie teoretických výsledkov Bohrovho, Bohrovho-Sommerfeldovhoa Diracovho relativistického modelu o vlnových dĺžkach vodíkom vyžiareného svetla. Vovšetkých prípadoch sa počítalo s redukovanou hmotnosťou elektrónu (vrátane Diracovhomodelu). Rôzne modely predpovedajú rôzne degenerácie. Je dobre vidieť, že Diracovmodel popisuje experimentálne údaje výrazne úspešnejšie, než Bohrov, alebo Bohrov-Sommerfeldov model. Zmenšeným a skoseným typom písma sme zvýraznili časť, ktorása líši od experimentálnych údajov. Experimentálne údaje sú čerpané z [9] a predstavujúmerania vykonané vo vákuu.Výsledky ukazujú, že použitie redukovanej hmotnosti v Diracovej formuli je opodstatnenáa tiež to, že prednosti Diracovej formule spočívajú v správnom započítaní elektromag-netickej interakcie medzi elektrickým nábojom elektrónu a elektrickým nábojom jadraatómu.

132

Diracov model atómu

Diracov model atómu je relativistickým modelom atómu vodíka. Ak sa pozriemena vlnovú dĺžku spektrálnych čiar atómu vodíka v tabuľke 6.6 vidíme, žezhoda s experimentálnymi údajmi je výrazne lepšia než u Bohrovho aleboBohrovho-Sommerfeldovho modelu atómu (10 až 100 krát).

Diracov model atómu pritom vychádza z predstavy, že energia elektrónuvo vodíkovom atómu má tvar

E = mc2 − k

r,

kde m je relativistická hmotnosť elektrónu, teda

mc2 = mec2 + Ekin,

kde me je pokojová hmotnosť elektrónu. Naviac, Dirac riešil problém po-mocou modernej kvantovej mechaniky, ktorá však presahuje rámec nášhovýkladu.

Veľmi poučné však je, ak sa pozrieme na energiu elektrónu na jednotli-vých orbitáloch (pozri tab. 6.7). Pri porovnaní Diracovho modelu s experi-mentálnymi údajmi si môžeme všimnúť dve veci

1. Vzďaľujúc sa od jadra (stavy s rastúcim hlavným kvantovým číslomn), zhoda medzi Diracovim modelom a experimentálnymi údajmi sazlepšuje.

2. Zhoda s experimentálnymi údajmi sa zlepšuje aj so zvyšujúcim sa mo-mentom hybnosti J elektrónu.

3. Najhoršia zhoda medzi modelovou predpoveďou a experimentálnymiúdajmi je vždy pre orbitály s. Energia elektrónu na s orbitách je rov-naká, ako na p orbitách.

4. pozorované energetické hladiny sú degenerované len vzhľadom na priemetspinu elektrónu (teda je dvojnásobná).

Uvedená systematičnosť odchýlky Diracovho modelu od experimentálnychúdajov ukazuje na fyzikálnu príčinu.

Diracov model neberie do úvahy niektoré fyzikálne vlastnosti elektrónua jadra atómu.

Spin-orbitálnaväzba • Elektrón má magnetický moment, ktorý keď sa pohybuje v elektric-

kom poli jadra, vzniká silové pôsobenie, presnejšie interakcia, ktorá

133

modifikuje energiu elektrónu. Tento jav sa nazýva spin-orbitálna väzbaa je úmerná skalárnemu súčinu spinu S elektrónu (ktorý predstavujemagnetické vlastnosti elektrónu) a celkového momentu hybnosti elek-trónu J (ktorý predstavuje spôsob pohybu elektrónu v elektrickom polijadra), tj. S ·J . Energia tejto väzby je tiež kvantovaná a mení energiuelektrónu o presne danú prídavnú energiu v závislosti na vzájomnejorientácii spinu a momentu hybnosti elektrónu. Tým sa narúša degen-erácia v Diracovom modeli atómu. pripomíname, že v Diracovom mod-eli energia napr. orbít 2p1/2 a 2s1/2 je rovnaká. Z experimentálnych me-raní však vidíme, že energia týchto orbít je v skutočnosti rôzna (pozritabuľku 6.7). Diracov model jav spin-orbitálnej väzby neberie do úvahy.V prípade mnohoelektrónových systémov sa situácia stáva ešte zloži-tejšia, lebo dochádza aj k interakcii medzi magnetickými momentmijednotlivých elektrónov pochádzajúcich z ich spinu, a tiež pochádza-júci z ich pohybu (orbitálneho momentu hybnosti).

Hyperjemnáštruktúra• Obdobne, ako elektrón, aj jadro má magnetický moment, tkorý in-

teraguje s magnetickým poľom, ktorý vytvára elektrón pohybujúci saokolo jadra. Magnetický moment jadra je o tri rády menšia, než mag-netický moment elektrónu a spomínaná interakcia modifikuje energiuelektrónu výrazne menej, než vyššie spomenutá spin-orbitálna väzba.Termín hyperjemná štruktúra hovorí o veľmi jemnom rozštiepení ener-getických hladín. V tabuľke 6.7 uvedené energetické hodnoty sú stáledvojnásobne degenerované (patria tam vždy stavy s dvomi možnýmipriemetmi spinu, tj. so spinovým kvantovým číslom s3 = −1/2 as3 = +1/2). Hyperjemná štruktúra vzniká dôsledkom toho, že tietodva stavy nemajú presne rovnakú energiu. Diracov mmodel nepočítas magnetickým momentom jadra atómu a tento jav nepredpovedá.Elektróny môžu meniť svoj stav aj medzi týmito energeticky blízkimyenergetickými stavmi a fotón, ktorý sa pritom emituje má mimori-adne malú energiu. Jeho vlnová dĺžka ktorá vzniká pri prechode me-dzi rozštiepenými stavmi orbity 1s1/2 je λ = 21 cm a hrá mimoriadnedôležitú úlohu v astronómii. Na tejto vlnovej dĺžke žiari elektricky neu-trálny vodík. Jeho pomocou sa dá zmapovať rozloženie (neutrálnych)vodíkových mračien vo vesmíre. Frekvencia tohoto žiarenia je mimori-adne úzka (ostrá čiara), čo umožňuje určiť využitím Dopplerovho javurelatívny pohyb vodíkových mračien voči pozorovateľovi (voči nám).

Lambov-posun• Lambov3 posun inicioval rozvoj modernej kvantovej teórie (kvantovej

3Willis Lamb získal Nobelovu cenu za fyziku v roku 1955 za jeho objavy týkajúce

134

elektrodynamiky). Vysvetlenie Lambovho posunu vyžaduje úplne inénazeranie na prírodu, než akú ponúka klasická, nekvantová fyzika. Ho-vorí o tom, že vákuum nie je prázdne. neustále sa v nej objavujú čas-tice a miznú skôr, než by sme ich existenciu mohli zaznamenať. Hovorísa, že vákuum fluktuuje. Miera tejto fluktuácie vzrastie, ak v blízkostisa nachádza nejaký objekt (napríklad elektrón, či protón, alebo inýobjekt). Vďaka tejto fluktuácii, prítomnosť elektricky nabitých častícdokáže vákuum polarizovať, akoby bol dielektrikom, čím sa mení ener-gia interakcie medzi elektrónom a protónom. V konečnom dôsledkuto má vplyv na energetické hladiny atómov i molekúl. S týtmo javomsa stretneme ešte pri Heisenbergovej relácii neurčitosti. Diracov modelbol relativistickým dovŕšením kvantovej mechaniky a jeho problémypredzvesťou novej teórie, kvantovej elektrodynamiky.

• Ďalším javom, ktorý vplýva na energetické hodnoty v atómoch je sku-točnosť, že jadro atómu nie je bodový náboj, ale má rozmer, rozloženieelektrického náboja vo svojom objeme. Podrobnosti o týchto efektochmožno nájsť v [5], ale vysoko presahujú rámec Fyziky mikrosveta.

sa jemnej štruktúry spektra vodíkového atómu. Cenu získal spoločne s Polykarp-omKusch-om.

135

Orbitálnlj

Term2S+1L

E(r)n,Bohr/eV E

(r)nl,B-S/eV E

(r)nj,D/eV Eexp/eV

1s1/22S -13,598 286 08 -13,598 105 046 -13,598 467 114 -13,598 433 65

2s1/22S -3,399 571 519 -3,399 514 947 -3,399 628 093 -3,399 623 835

2p1/22P -3,399 560 205 -3,399 628 093 -3,399 628 211

2p3/22P -3,399 582 834 -3,399 582 846

3s1/22S -1,510 920 675 -1,510 900 561 -1,510 940 790 -1,510 939 528

3p1/22P -1,510 913 970 -1,510 940 790 -1,510 940 830

3p3/22P -1,510 927 380 -1,510 927 390

3d3/22D -1,510 918 440 -1,510 927 380 -1,510 927 414

3d5/22D -1,510 922 910 -1,510 922 926

4s1/22S -0,849 892 880 -0,849 883 687 -0,849 902 073 -0,849 901 540

4p1/22P -0,849 889 344 -0,849 902 073 -0,849 902 086

4p3/22P -0,849 896 416 -0,849 896 420

4d3/22D -0,849 891 230 -0,849 896 416 -0,849 896 432

4d5/22D -0,849 894 530 -0,849 894 535

4f5/22F -0,849 892 173 -0,849 894 530 -0,849 894 548

4f7/22F -0,849 893 587 -0,849 893 593

5s1/22S -0,543 931 443 -0,543 926 519 -0,543 936 367 -0,543 936 090

5p1/22P -0,543 929 416 -0,543 936 367 -0,543 936 375

5p3/22P -0,543 933 471 -0,543 933 474

5d3/22D -0,543 930 381 -0,543 933 471 -0,543 933 474

5d5/22D -0,543 932 505 -0,543 932 507

5f5/22F -0,543 930 864 -0,543 932 505 -0,543 932 507

5f7/22F -0,543 932 022 -0,543 932 023

5g7/22G -0,543 931 153 -0,543 932 022 -0,543 932 023

5g9/22G -0,543 931 733 -0,543 931 738

Tabuľka 6.7: Energia elektrónov na orbitáloch podľa jednotlivých modelov (BohrovE

(r)n,Bohr, Bohrov-Sommerfeldov E

(r)nl,B-S a Diracov E

(r)nj,D) v porovnaní s experimentál-

nymi údajmi (experimentálne údaje čerpané z [9]). Všetky modely počítajú s reduko-vanou hmotnosťou elektrónu. V prípade Bohrovho a Bohrovho Sommerfeldovho modelusme vynechali opakujúce sa údaje (hodnotu degenerovaných stavov). V prípade Diracovhomodelu sme uviedli aj hodnoty pre degenerované stavy (opakujúce sa hodnoty pre rovnakén a j). Zmenšeným a skoseným typom písma je vyznačená presnosť jednotlivých modelovv porovnaní s experimentálnymi údajmi. Z presnosti je dobre vidieť, že Diracov model prerastúce hlavné kvantové číslo n a rastúci moment hybnosti j dáva čoraz lepšie výsledky.V druhom stĺpci tabuľky sme uviedli značenie termov používané hlavne pre mnohoelek-trónové systémy. Ich všeobecný tvar je 2S+1L, kde S je kvantové číslo veľkosti celkovéhospinu S =

∑

i si,, kým L je kvantové číslo veľkosti celkového orbitálneho momentu hyb-nosti L =

∑

i li a súčet beží cez všetky elektróny elektrónového obalu atómu v obochprípadoch. Číslo 2S+1 udáva multiplicitu termu (koľko elektrónov sa môže nachádzať nadanom terme. Číselná hodnota L sa nahrádza písmenným spektroskopickým značením akov prípade orbitálov, ale veľkým písmenom (tj. S,P,D,F,. . . ). V prípade atómu s jedinýmelektrónom je táto informácia nadbytočná, nakoľko S sa rovná vždy 1/2 a L má hodnotukvantového čísla orbitálu, tj. l. V prípade mnohoatómových systémov tomu tak už nie je.)

136

6.3 Elektrónová konfigurácia

Pri štúdiu vodíku podobných atómov sme sa zoznámili so základnými fyzikál-nymi vlastnosťami a základnými pojmami, ktoré sú používané aj u mno-hoelektrónových systémoch. Pod mnoho elektrónovými systémami rozumiemeatóm, ktorý má vo svojom elektrónovom obale viac než jeden elektrón.

Zhrňme tie vlastnosti, ktoré majú mnohoelektrónové systémy spoločné svodíku podobnými atómami.

• Atóm (ako celok) sa môže nachádzať v rôznych stavoch, a tieto stavymajú kvantovanú energiu. To znamená, že dva stavy majú buď úplnerovnakú energiu (degenerácia), alebo sa ich energia líši o presne danúkonečnú hodnotu. Prechod z energeticky nižšieho do energeticky vyššiehostavu je možné len dodaním príslušného kvanta energie (v podobe je-diného fotónu).

• Jednotlivé elektróny sa dajú charakterizovať štvoricou kvantových čísieln, l, l3, s3. V jednom atóme sa nemôžu nachádzať dva elektróny s rov-nakým kvantovým číslom.

• Elektróny v atómoch sa nachádzajú na orbitách, podvrstvách a vrstvách.Tieto štruktúry sa organizujú podobným spôsobom, akým sme ich ob-javili vo vodíkovom atóme, aj keď určité odlišnosti tu sú.

Elektrónový obal sa skladá z elektrónov, ktoré majú svoj orbitálny momenthybnosti a tiež spin, ktoré spoločne vytvárajú celkový moment hybnosti jed-notlivých elektrónov. Na druhú stranu, orbitálny moment hybnosti a spinmedzi sebou interagujú, ako tomu bolo už v prípade atómu vodíka.

Vysvetlime podrobnejšie v čom táto interakcia spočíva. Výrazne nám vtom pomôže klasická predstava, podľa ktorej elektróny sa v atómovom obalepohybujú po uzavretých trajektóriách. Jedná sa len o vizualizáciu, pomocnúpredstavu, ktorá však nemá vplyv na obsah nášho tvrdenia.

Elektrón, ktorý obieha rýchlosťou v po kružnicovej trajektórii s polome-rom r, generuje magnetické pole. Toto magnetické pole sa dá dobre charakter-izovať magnetickým momentom. Magnetický moment hrá v magnetostatikepodobnú úlohu, ako elektrický dipól v elektrostatike. Podobne ako elek-trický dipól, má magnetický moment nie len veľkosť, ale tiež smer (vek-torová veličina). Budeme ho značiť µ. Ak si predstavíme, že magnetické pole

137

magnetického dipólu vzniká z pohybu elektrónu po kružnici (tzv. Ampérovmoment), potom veľkosť jeho magnetického momentu µ je

µ = IS =∆Q

∆t(πr2) =

e2πrv

πr2 =evr

2=e(mevr)

2me=

e

2meL,

kde S je plocha, ktorú elektrón obieha, I je prúd, ktorý vytvára svojimobiehaním (elektrón má elektrický náboj −e, ktorej veľkosť je e). Definičnývzťah sme previedli na vyjadrenie veľkosti magnetického momentu pomo-cou orbitálneho momentu hybnosti elektrónu. Tento vzťah naviac platí aj vprípade, že trajektória elektrónu je eliptická. Vektorový tvar je

µ =−e2me

L.

Náš elektrón krúžiaci po svojej trajektórii vytvára magnetické pole, ktorédokážeme aj popísať, ale pre naše účely je postačujúce konštatovanie, žemagnetické pole popisujeme pomocou magnetickej indukcie B, ktoré je vpevne danom mieste (braného voči magnetickému dipólu) lineárne úmernémagnetickému momentu µ

B = |B| ∼ |µ| = µ.

Linearitu treba chápať tak, že ak zvýšime magnetický moment na dvojná-sobok (napríklad zvýšením momentu hybnosti na dvojnásobok), magnetickáindukcia bude v bode, kde sme merali aj predtým, tiež dvojnásobná (smersa nemení, pokiaľ sme nemenili smer magnetického momentu).

Magnetické pole jedného elektrónu (ktorý krúži po kružnici) pôsobí napohyb iného elektrónu (ktorý krúži tiež po nejakej kružnici). Hovoríme, žena seba vzájomne pôsobia, alebo povieme, že interagujú. Pre naše účelyje podstatná energia tejto interakcie. Označme magnetický moment prvéhoelektrónu µ(1) a magnetický moment druhého elektrónu µ(2). V mieste, kdesa nachádza prvý elektrón, je indukcia magnetického poľa pochádzajúca oddruhého elektrónu B(2). Energia interakcie je potom

E = −µ(1) ·B(2) =e

2meL(1) ·B(2),

kde L(1) je orbitálny moment hybnosti prvého elektrónu.Pre prvý elektrón je fyzikálne významným smerom smer B(2) vektora

magnetickej indukcie, ktoré pochádza od druhého elektrónu (v mieste, kdeje prvý elektrón, samozrejme). Priemet magnetického momentu L(1) na tento

138

smer je už spomínanou treťou zložkou orbitálneho momentu hybnosti elek-trónu, ktorý označíme L(1)

3 . Kvantovanosť znamená, že

L(1)3 = l

(1)3 ~,

kde l(1)3 je kvantové číslo tretej zložky orbitálneho momentu hybnosti prvéhoelektrónu, ktoré sme nazývali tiež magnetickým kvantovým číslom.

Poznámka 6.11. Úvahu sme mohli robiť aj pre druhý elektrón v poli prvéhoelektrónu, čím by sme boli dostali

E = −B(1) · µ(2) =e

2meB(1) ·L(2),

Nie je preto udivujúce, že energia interakcie sa dá vyjadriť ako

E = −AL(1) ·L(2),

kde A je koeficient úmernosti, ku ktorému sa vrátime neskôr.

Tým sme si vyjasnili na jednoduchom príklade dôvod terminológie, ktorása zaviedla pre popis stavov mnohoelektrónových systémov.

To, čo sme znázornili na príklade dvoch elektrónov krúžiacich po kružni-cových trajektóriách, platí v širšom rámci. Hovorili sme o magnetických poli-ach vyvolaných pohybom elektrónu (v magnetickom poli sa preto objavil or-bitálnym moment hybnosti). Elektrón však má aj spin (vlastný moment hyb-nosti) a ten je tiež spojený s magnetickým momentom, ktorý nazývame vlast-ným magnetickým momentom elektrónu4. Magnetický moment elektrónu saudáva v tvare

µe = geqe2me

S, qe = −e,

kde S je spin elektrónu a ge je tzv. gyromagnetický faktor elektrónu, agyromagnetickýfaktor elektrónu

je bezrozmerným číslom. Experimentálne bolo zistené, že gyromagnetickýfaktor elektrónu je rovný približne 2.5

Na preklopenie spinu elektrónu vo vonkajšom magnetickom poli B potre-bujeme energiu

E = gee

2me∆S ·B = ge

e

2me∆S3B = ge

e~

2meB,

4Prívlastok vlastný ani orbitálny nebudem uvádzať, pokiaľ bude zrejmý z kontextu, žev akom význame hovoríme o magnetickom momente

5V skutočnosti táto hodnota je dnes známa výrazne presnejšie

ge = 2, 002319304374 ≈ 2.

139

nakoľko jediná možná zmena hodnoty tretej zložky spinu elektrónu je |∆S3| =~.

V mnohoelektrónovom systéme máme elektróny, a každý z nich má or-bitálny moment hybnosti i spin. Vzájomná interakcia elektrónov, energiatejto interakcie, je tiež kvantovaná. To si môžeme predstaviť tak, že vzájomnáorientácia orbitálnych momentov hybností a spinov je v atóme fixovaná. Prikaždej zmene energie atómu sa zmení táto vzájomná orientácia.

L-S väzbaJe zrejmé, že možných kombinácií je veľmi veľa. Zaujímavé však je, že uatómov v základnom stave dominuje takzvaná L-S väzba. Tým sa rozumie,že interakčná energia všetkých elektrónov v obale sa dá vyjadriť v tvare

E ∼ L · S,

kde L je výsledný orbitálny moment hybnosti všetkých elektrónov v elek-trónovom obale, tj.

L =

N∑

i=1

L(i),

a súčet beží cez orbitálne momenty hybnosti L(i) všetkých N elektrónov.Obdobne S predstavuje výsledný spin všetkých elektrónov v elektrónovomobale, tj.

S =N∑

i=1

S(i),

a súčet beží cez spiny S(i) všetkých N elektrónov.Z tohto typu väzby (L − S) vychádza aj značenie mnohoelektrónových

atómov (pozri tabuľku 6.13). Pravda, máme príklad troch atómov, ktoré satouto väzbou neriadia už ani v základnom stave (Pa, U, Np).

Ako sme povedali, vo všeobecnosti, energia elektrónového obalu sklada-júca sa z interakcie medzi elektrónmi by musela obsahovať všetky kombináciemedzi i−tým a k−tým elektrónom (i 6= k), tj. členy L(i) ·L(k), L(i) · S(k)

a S(i) · S(k). Z týchto kvantovaných veličín sa v základnom stave ustáliapráve tie, ktoré predstavujú najväčšiu väzbovú energiu (zmena ktorých byvyžiadala dodanie najväčšieho množstva energie).

Atómy v základnom stave sa v naprostej väčšine prípadov ustália v stave,v ktorom sa elektróny viažu spomínanou L− S väzbou.

V prípade Pa, U a Np je však väzba v základnom stave iná. V prípadeatómu vodíka sme už spomenuli hyperjemnú štruktúru, kde väzba medziorbitálnym momentom hybnosti a spinom (jediného) elektrónu je sprostred-kovaná elektrickým poľom jadra. V prípade veľmi ťažkých jadier, ktoré po-zostávajú z veľkého počtu protónov (akými sú aj aktinoidy), energia väzby

140

medzi orbitálnym momentom hybnosti L(i) a spinom S(i) toho istého elek-trónu je silná. Dôsledkom je, že orbitálny moment hybnosti a spin elektrónusa voči sebe fixujú do celkového momentu hybnosti J i. Energia interakciebude preto daná členmi typu J (j) ·J (k). Tomuto typu hovoríme jj-väzba.

jj-väzba Značenie jj-väzieb presahuje rámec nášho snaženia. Záujemci sa môžudozvedieť podrobnosti na stránke National Institute of Standards end Tech-

nologies (NIST) http://www.nist.gov/physlab/pubs/atspec/index.cfm.

Poznámka 6.12. To, čo sme povedali o L−S väzbe a jj-väzbe sa dá povedaťaj nasledovne. Keď orbitálne momenty a spiny elektrónov sú v atóme dobrepozorovateľné, vzniká L−S väzba. Pokiaľ však nie sú samostatne dobre po-zorovateľné (obidva sú momenty hybnosti, a príroda nerozlišuje pôvod mo-mentu hybnosti) býva dobre pozorovateľný celkový moment hybnosti elek-trónov a vzniká jj-väzba.

Keď hovoríme o L−S väzbe, magnetický moment pochádzajúci z pohybuelektrónu (úmerný orbitálnemu momentu hybnosti) a magnetický momentpochádzajúci zo spinu toho istého elektrónu (úmerný spinu elektrónu) in-teragujú relatívne slabo. Okrem toho, elektrón interaguje s ostatnými elek-trónmi, a dochádza ku kvantovaniu magnetickej energie pochádzajúcej odpohybu elektrónu samostatne a spinu elektrónu samostatne. Existujú tedakvantové čísla l, l3 spojené s pohybom, a s, s3 spojené so spinom elektrónusamostatne.

V prípade silnej interakcie medzi pohybom a spinom toho istého elek-trónu, interakcia s ostatnými elektrónmi túto väzbu vďaka jej veľkosti akvantovanosti nevie zmeniť. Magnetická energia pochádzajúca od pohybu aod spinu elektrónu vstupujú vo viazanej podobe. V tejto viazanej podobesa kvantuje interakcia s ostatnými elektrónmi a dá sa popísať kvantovýmičíslami j, j3 celkového momentu hybnosti. V kvantovej mechanike sa hovorí,že kvantové čísla orbitálneho momentu hybnosti l, l3 a spinu s, s3 elektrónuprestávajú byť dobrými kvantovými číslami.

V prípade, že v atómoch sa uplatňuje L − S väzba, pre popis ich ter-mov sa používa analogická konvencia, ako pre označenie termov elektrónu vovodíkovom atóme

n2S+1LJ , (6.7)

kde n je hlavné kvantové číslo (nezaplnenej vrstvy), S je kvantové číslo veľ-kosti súhrnného spinu všetkých elektrónov elektrónového obalu, L je kvan-tové číslo veľkosti súhrnného orbitálneho momentu hybnosti všetkých elek-trónov elektrónového obalu a J kvantové číslo veľkosti súhrnného celkovéhomomentu hybnosti všetkých elektrónov elektrónového obalu.

141

1s 2s 2p 3s 3p (4s, 3d) 4p (5s, 4d) 5p (6s, 4f, 5d) 6p (7s, 5f, 6d)

Tabuľka 6.8: Tabuľka ukazuje univerzálnu štruktúru podvrstiev, ktorá je nezávislá odpočtu protónov v jadre. Elektróny patriace k tej istej vrstve sa nazývajú ekvivalentnými(o ekvivalencii elektrónov hovoríme aj v inom zmysle, s tým sa stretneme neskôr). Energiestavov uvedených v zátvorkách sú veľmi blízke a poradie podvrstiev u niektorých atómovmôže byť odlišná. Naproti tomu, stavy podvrstiev, ktoré sú od seba oddelené dvojitoučiarou, majú vždy pomerne veľký rozdiel v energii. Treba si všimnúť, že počet stavovmedzi dvomi dvojitými čiarami zodpovedá dĺžke periód v periodickej (Mendelejevovej)tabuľke prvkov.

V prípade atómu vodíka a vodíku podobných atómov, kde je v elek-trónovom obale vždy len jeden elektrón, sa neuvádza v značení tzv. multi-plicita 2S + 1. Dôvodom je, že elektrón má veľkosť spinového kvantovéhočísla vždy s = 1

2 a multiplicita je preto vždy 2S + 1 = 2 (S = s).Ďalšie odlišnosti uvedieme v časti na strane 141.Nech je však situácia akokoľvek zložitá, je podstatné zistenie, že v ató-

moch (v základnom stave) sa obsadzujú jednotlivé orbitály (identifikovanéuž vo vodíkovom atóme) v dobre definovanom poradí, nezávisle na počteprotónov v jadre (pozri tabuľku 6.8).

Hlavná skupinaAtómy, ktoré v základnom stave nemajú žiadne neúplne obsadené d−alebo f−vrstvy, tvoria hlavnú skupinu.

Ostatné tvoria tvoria päť vedľajších skupín:Vedľajšieskupiny1. skupina železa (zaplňuje sa 3d−vrstva),

2. skupina paládia (zaplňuje sa 4d−vrstva),

3. skupina platiny (zaplňuje sa 5d−vrstva),

4. vzácne zeminy (zaplňuje sa 4f−vrstva),

5. aktinoidy (zaplňuje sa 6d− a 4f−vrstva – teda dve sú neúplné súčasne).

6.3.1 Spektroskopické značenie

Spektroskopické značenie mnohoelektrónových atómov je relatívne kompliko-vané, pokiaľ chceme vystihnúť všetky prípady, nie len základné stavy. Nieje našim cieľom túto komplikovanosť uvádzať v celej šírke, ale len základnéprvky, ktoré dokreslia fyzikálny význam L− S väzby.

Pri podrobnom spektroskopickom značení viacelektrónových atómov6 sa6Pokiaľ nepovedie k nejednoznačnosti, budeme ďalej hovoriť o mnohoelektrónových

atómoch len ako o atómoch.

142

používa spoločne jednočasticové značenie, spolu so značením hodnoty L−Sväzby.

Hélium a héliu podobné atómy

Jadro systému spektroskopického značenia možno demonštrovať už na atómehélia, ktorý v elektricky neutrálnom stave má v elektrónovom obale dva elek-tróny. Héliu podobné atómy nazývame tie atómy, ktoré majú v jadre atómuviac, než dva protóny, ale sú ionizované do tej miery, že v ich elektrónovomobale sa nachádzajú ,len dva elektróny. Héliu podobnými atómami sú naprík-lad Li+,Be2+,B3+, . . . .

Spektroskopické značenie, ako sme uviedli vyššie, pozostáva zo spojeniajednočasticového značenia, z ktorého je možné vyčítať základné charakter-istiky (veľkosť spinu a orbitálneho momentu) individuálnych elektrónov, az viacčasticovej charakteristiky, ktorá vzniká v dôsledku L − S. V dôsledkutejto väzby dvojica elektrónov, ako celok, má konkrétnu hodnotu veľkostispinu S a konkrétnu hodnotu veľkosti orbitálneho moemntu L.

• jednočasticové značenie (tzv. konfigurácia) je značenie používané preelektrón vodíka v tvare

nlk,

kde n je hlavné kvantové číslo, l je kvantové číslo veľkosti orbitál-neho momentu hybnosti a k je počet elektrónov na podvrstve, tj. srovnakými kvantovými číslami n a l. Napríklad hélium v základnomstave má dva elektróny s kvantovým číslom n = 1 a s kvantovým čís-lom l = 0, čo zapisujeme ako 1s2. V excitovanom stave však jeden zelektrónov už nebude mať hlavné kvantové číslo n = 1, ale napríkladn = 3, pričom l = 2. V takom prípade píšeme pre elektrónový obal in-formáciu o stave individuálnych elektrónov v héliu ako 1s3p. Pokiaľ jena podvrstve len jeden elektrón, počet elektrónov sa nevypisuje (tedanepíšeme 1s13p1).

• Individuálne elektróny medzi sebou interagujú a táto interakcia v prí-pade L−S väzby vedie k tomu, že elektróny vytvárajú malé skupinky(tzv. term), ktoré majú (ako skupinka) konkrétnu výslednú hodnotuspinu (S) a orbitálneho momentu hybnosti (L), čo zapisujeme nasle-dovne

n(i)l(i)k(i)

2S+1L.

143

V zložených zátvorkách nachádzame informáciu o kvantových číslachjednotlivých elektrónov v skupinke (pomocou jednočasticového zanče-nia), kým skupinu uzatvára informácia o multiplicite (2S+1) a orbitál-nom momente L vymenovanej skupiny elektrónov – pre L sa použijepísmenné značenie S,P,D,F,G, . . . podľa hodnoty L (v uvedenom po-radí sú to hodnoty 0, 1, 2, 3, 4, . . . ). Číslo 2S+1 sa nazýva multiplicitou.podľa hodnoty multiplicity hovoríme o singlete (2S + 1 = 1), dublete

multiplicita,multiplety

(2S +1 = 2), triplete (2S +1 = 3), všeobecne o multiplete. Vyznačenáskupina elektrónov sa L− S väzbe medzi nimi navonok prejavuje akoobjekt so spinom S a s orbitálnym momentom hybnosti L (naprík-lad pri interakcii s vonkjším magnetickým poľom, alebo magnetickýmpoľom iných elektrónov, či iných skupín elektrónov).

7Príklad 6.13. Hélium v základnom stave má spektroskopické označenie

1s2 1S.

Aké informácie je možné vyčítať z uvedeného spektroskopického značeniazákladného stavu hélia?

Riešenie. Jednočasticové značenie 1s2 prezrádza, že v elektrónovom obalesa nachádzajú dva elektróny v stave s, tj. s orbitálnym momentom l = 0.

Tieto dva elektróny interagujú spolu tak, že ich výsledný spin je nulový(S = 0, teda multiplicita je 2S + 1 = 1) a ich výsledný orbitálny momenthybnosti je L = 0, ktorého spektroskopickým značením je veľké písmeno S.

7Príklad 6.14. Základný stav hélia je jednoznačne daný (atóm hélia mávtedy najnižšiu energiu – o určení tohoto jednoznačného stavu sa budemevenovať v časti 6.4.1 na strane 156).

Excitovaných (energeticky vybudených) stavov je nekonečne veľa. Uvediemepár príkladov (bez nároku na to, či taký term bol pozorovaný, alebo nie).

1s2s 1P , 1s2s 3S, 2s2 1S, 2p2 1S, 2p2 1P , 2p2 1D, 2p2 3S, . . . .

Aké informácie je možné vyčítať z uvedeného spektroskopického značeniajednotlivých vybudených stavov hélia?

Riešenie. Význam jednotlivých spektroskopických značení je nasledujúci.

1s2s 1P : Jeden z elektrónov je na prvej hlavnej vrstve (jeho hlavné kvantovéčíslo je n(1) = 1), pričom jeho orbitálny moment hybnosti je nulový

144

(l(1) = 0). Druhý elektrón je na druhej hlavnej vrstve (n(2) = 2) a jehoorbitálny moment hybnosti je tiež nulový (l(2) = 0). Nevieme síce akýje priemet spinu jednotlivých elektrónov, ale vieme, že L − S väzbamedzi nimi vytvára výslednú veľkosť spinu s kvantovým číslom S = 0,nakoľko multiplicita je 2S+1 = 1 (jedná sa teda o singlet). S−L väzbavytvára celkový nulový orbitálny moment hybnosti elektrónového obaluhélia (spektroskopické značenie je S, teda L = 0).

V tomto prípade vieme povedať o zložkách spinu elektrónov povedaťto, že spiny sú vzájomne opačne orientované. Pri skladaní momen-tov hybnosti sa tretie zložky sčítajú (S = s

(1)3 + s

(2)3 ). Nakoľko však

výsledný spin je S = 0, jeho priemetom môže byť jedine S3 = 0, tedas(1)3 + s

(2)3 = S3 = 0.

1s2s 3S: Individuálne elektróny sú ako v predchádzajúcom prípade, ale L−Sväzba ich vzájomne zviazala tak, že výsledná hodnota veľkosti spinuje 3 (triplet, 2S + 1 = 3, teda S = 1), a výsledná hodnota veľkostiorbitálneho momentu je L = 0 (v spektroskopickom značení S).

V tomto špeciálnom prípade vieme ešte povedať, že l(1)3 + l(2)3 = 0, na-

koľko L = 0, a jediná možná hodnota tretej zložky výsledného orbitál-neho momentu hybnosti je L3 = 0. Dovolené jednočasticové kombináciesú l(1) = l(2) = 0, potom l(1) = −1, l(2) = +1 a l(1) = +1, l(2) = −1.

2s2 1S: V tomto prípade sa nachádzajú obidva elektróny na tej istej vrstve(n(1) = n(2) = 2), dokonca aj na tej istej podvrstve (l(1) = l(2) = 1).L − S väzba medzi týmito elektrónmi realizovala konkrétnu výslednúhodnotu veľkosti spinu S = 1, nakoľko sa jedná o triplet (2S +1 = 3),a konkrétnu hodnotu veľkosti orbitálneho momentu hybnosti L = 0.

2p2 1S: Väzba L − S ich drží v takej väzbe, že výsledná veľkosť spinu máhodnotu S = 0 (singlet), a výsledný orbitálny moment hybnosti máhodnotu L = 1.

2p2 1P : Znova sa jedná o singlet (S = 0) s celkovým orbitálnym momentomhybnosti L = 0.

2p2 1D: Jedná sa o singlet s celkovým orbitálnym momentom hybnosti L = 1.

2p2 3S: Jedná sa o triplet (S = 1) s celkovým orbitálnym momentom hyb-nosti L = 0.

145

Poznámka 6.15. Existujú spoľahlivé voľne dostupné databáze s energioutermov, ako aj s experimentálne pozorovanými prechodmi medzi termami(pozri napr. [9]). Pokiaľ sa pozrieme na energiu termov hélia pre databázovývstup He I, zistíme, že energetický rozdiel medzi termom 1s2s 1S a termom1s2s 3S je 0, 7962 eV. Rímská jednotka označuje elektricky neutrálny atóm,kým rímska dvojka (II) jeden krát ionizovaný atóm, atď..

Poznámka 6.16. Mohli by sme sa domnievať, že podobne prípadom, keďbolo L = 0 a robili sme závery ohľadom l

(1)3 , l

(2)3 , (l(1)3 + l

(2)3 = 0) by sme

mohli robiť podobný záver aj v prípade L = 1 v podobe l(1)3 + l(2)3 = 1.

Musíme však upozorniť, na to, že L je kvantové číslo veľkosti (celkového)orbitálneho momentu, ktorého priemety môžu byť L3 = +1, 0,−1.

Viac zavádzajúcim by mohol ešte príklad, keď zoberieme excitovanýstav hélia 2p2 1D, keď L = 2. Nakoľko elektróny na podvrstve p môžumať orbitálny moment maximálne l3 = 1, mohli by sme sa domnievať, žek vytvoreniu celkového orbitálneho momentu hybnosti s veľkosťou L = 2je nutné, aby priemety orbitáleho momentu individuálnych elektrónov bolinapr. l(1)3 = l

(2)3 = 1, lebo len vtedy vznikne taký celkový priemet (L3 = 2),

ku ktorému veľkosť L = 2 je už potrebná. Nie je tomu však tak. L−S väzbafixuje len veľkosti spinu S a orbitálneho momentu hybnosti L. V 2p2 1Dje veľkosť výsledného orbitálneho momentu hybnosti L = 2 a jeho možnépriemety sú L3 = −2,−1, 0, 1, 2. Tu je vidieť že musíme rozlišovať medzikvantovým číslom veľkosti a kvantovým číslom tretej zložky veľmi dôsledne.

Ostatné atómy

V ostatných prípadoch máme čo do činenia s viac, než dvomi elektrónmi.Spektroskopické značenie prípadov, v ktorých dominuje L − S väzba, saodvíja od základu, ktorý sme ukázali pre hélium.

Poznámka 6.17. Na tomto mieste zavedieme dočasné značenie, ktoré námpomôže graficky lepšie ilustrovať ako L−S väzba vytvára energetickú štruk-túru elektrónového obalu, a ako sa to prejavuje v spektroskopickom značení.Následne uvedieme aj bežne používané značenie, ktoré bude logickým pre-tvorením nášho dočasného značenia.

Zdôrazňujeme, že tu uvedené štruktúry nie nutne boli experimentálnepozorované.

Elektróny v elektrónovom obale atómu vytvárajú malé skupinky (dvojice,trojice, atď.) elektrónov, ktoré sa vďaka L−S väzbe vyznačujú konkrétnouhodnotou veľkosti spinu S a veľkosti orbitálneho momentu hybnosti L. Tieto

146

skupinky sa voči ostatným elektrónom, či skupiniek elektrónov prejavujú privytváraní L−S väzieb, len cez tieto skupinové hodnoty spinu S a orbitálnehomomentu hybnosti L.

Skupinky sa potom zhlukujú do väčších skupín, ktoré znova majú konkrétnuhodnotu veľkosti spinu S a veľkosti orbitálneho momentu hybnosti (L).

Tento mechanizmus štrukturalizácie elektrónového obalu pokračuje dokonečného štádia, keď nakoniec hierarchia skupiniek, skupín skončí v jedi-nom objekte, v konečnom elektrónovom obale, ktorý má konkrétnu hodnotuveľkosti spinu S(obal) a veľkosti orbitálneho momentu L(obal).

Uzavreté podskupiny do výsledného spinu a orbitálneho momentu hyb-nosti uzavreté podvrstvy neprispievajú, nakoľko uzavretá podvrstva má celkovýnulový spin a orbitálny moment hybnosti.

Ozrejmíme to na základe príkladov

1. [3d7] 4F 7/2,

2. [[3d7](4F )[4s4p(3P )]] 6F 9/2,

3. [[4f7](8S)[6s6p2](4P )] 11P 5,

4. [[3p5](2P )[3d2](1G)] 2F 7/2,

5. [[[4f7](8S)5d] (7D)6p] 8F 13/2,

6. [[[[4f7](8S)5d] (9D)6s] (8D)7s] 9D5,

7. [[[4f7](8S)5d] (9D)[6s6p](3P )] 11F 8,

8. [[[[4f7](8S)5d2](1G)] (8G)6p] 7F 0,

9. [[4f ](2F ) [[5d2](1G)6s]] (2G) 1P 1.

V prvom príklade 7 elektrónov z podvrstvy 3d sa zlúčil prostredníctvomL − S väzby do skupinky s celkovou veľkosťou spinu 3/2 (multiplicita je4) a s orbitálnym momentom hybnosti veľkosti 3 (príslušné spektroskopickéoznačenie je F). Veľkosť celkového momentu hybnosti je J = 7/2. Totosú výsledná veľkosť spinu, orbitálneho momentu hybnosti a celkového mo-mentu hybnosti celkového elektrónového obalu (uzavreté podvrstvy nie súvypísané).

V druhom príklade sa 7 elektrónov z podvrstvy 3d sa zlúči do skupinky4F , dvojica elektrónov 4s4p sa najprv zlúčia do skupiny 3P . Tieto skupinypotom vytvoria výsledný elektrónový obal6F 9/2. Všimnite si, že výslednéznačenie 6F 9/2 nie je v zátvorke a je od nižších hierarchií oddelený medzerou.Tretí a štvrtý príklad je analogický.

147

V piatom príklade máme o jednu hierarchickú vrstvu viac. 7 elektrónovpodvrstvy 4f sa zlúči do skupiny 8S. Táto skupina sa zlúči s elektrónom 5ddo skupiny 7D, ktorá sa zlúči s elektrónom 6p do celkového elektr=onovéhoobalu 8F 13/2. Na zvýraznenie toho, že elektrón 5d sa zlúči najprv so skupinou8S slúži aj medzera v označení. K ďalšiemu zlúčení s elektrónom 6s dochádzaaž potom (a vzniká 8F 13/2).

V šiestom príklade máme o jednu hierarchickú štruktúru viac.V siedmom prílklade sa najprv zlúčia elektróny 6s6p do skupiny 3P . Po-

tom až dochádza k zlúčeniu štruktúry 3D s 3P . Tu vidíme pravidlo v značení,ktoré nedáva medzeru za skupinou elektrónov, ktoré ešte nemajú hierar-chickú štruktúru (pred 3P nie je medzera).

Posledné dva príklady sa dajú pochopiť pomocou interpretácie hranatýchzátvoriek.

Poznámka 6.18. V oficiálnom spektroskopickom značení sa vypúšťajú hranatézátvorky, ale medzery sa zachovávajú, a značenie je aj takto jednoznačné.

Našim cieľom však, zdôrazňujeme znova, nebolo vytýčiť si za cieľ dôk-ladné osvojenie si spektroskopického značenia v celej svojej zložitosti (okremL − S väzieb bývajú ešte prítomné ďalšie tri typy väzieb – jj a miešané).Našim cieľom bolo ilustrovať hierarchickú štruktúru elektrónového obalumnohoatómového systému, keď atóm nie je v základnom stave.

6.3.2 Hierarchické štruktúry

Pri vyššie uvedených príkladoch sme zdôrazňovali hierarchické štruktúry,ktoré v elektrónovom obale vznikajú. Uvedieme pomenovanie aspoň niek-torých z hierarchických štruktúr atómového obalu, ktoré sú štrukturovanéL− S väzbou.

Konfigurácia – nilkii rozdelenie elektrónov na podvrstvách, napr. 3s2,alebo 5d34f7 a podobne (ich symboly sú malé písmená).

polyády – niliki2S+1(L1 L2, . . . ) zoskupenie elektrónov danej konfigurá-cie do zhluku s danou hodnotou veľkosti spinu S, tj. s danou mul-tipliciou 2S + 1. Napríklad V prípade Ca I (neionizovaný vápnik)3d4p3(P DF ) predstavuje triádu tripletov. Táto konfigurácia má ajtriádu singletov 3d4p1(P DF ). Konfigurácia 3d4s však má len monádu1D a monádu 3D. Uzavreté podvrstvy Ca I sme nevypísali. Všetkypríklady predstavovali vybudený (ale neionizovaný) vápnik (Ca I).

term – niliki2S+1L zoskupenie elektrónov danej konfigurácie do zhluku skonkrétnou hodnotou veľkosti spinu S a veľkosti orbitálneho momentu

148

hybnosti L.

hladina – niliki2S+1LJ jedná sa o štruktúru termu. Zoskupenie elektrónovv terme, ktoré majú konkrétnu hodnotu veľkosti celkového momentuhybnosti J

stav – niliki2S+1LJ3J Zoskupenie elektrónov hladiny s konkrétnou hod-

notu tretej zložky J3 celkového momentu hybnosti J.

Pri zmene stavu elektrónového obalu sa pohlcujú (absorbujú), alebo vyžarujú(emitujú) fotóny. Fotóny registrujeme ako svetlo danej vlnovej dĺžky a radímeich do hierarchických štruktúr v závislosti od toho, aká zmena štruktúry elek-trónového obalu ich vysvetľuje

Súbor prechodov – mení sa konfigurácia elektrónového obalu. Napríklad vprípade Ca I prechod 3d4s→ 3d4p predstavuje relatívne početný ener-geticky odlišných prechodov (patriacich do tohoto súboru prechodov).Tieto prechody sa potom delia na supermultiplety, multiplety, čiary ačiarové komponennty.

Supermultiplety – len tie prechody daného súboru prechodov, ktoré sa dejúmedzi konkrétnymi polyádmi príslušných konfigurácií. Napríklad v prí-pade Ca I medzi monádom 3d4s 3D a triádom 3d4p 3P DF.

Multiplety – len tie prechody supermultipletu, ktoré sa dejú medzi konkrét-nymi termami, napríklad prechod medzi 3d4s 3D a 3d4p 3P .

Ćiary – len tie prechody multipletu, ktoré sa dejú medzi konkrétnymi hlad-inami, napríklad prechod medzi 3d4s 3D1 a 3d4p 3P 0.

Čiarové komponenty – len tie prechody čiar, ktoré sa dejú medzi konkrét-nymi stavmi – tj. pri ktorých sa mení len tretia zložka J3 celkovéhomomentu hybnosti J. Napríklad prechod medzi 3d4s 3D

−11 a 3d4p 3P

00.

Je dôležité si uvedomiť, že práve prechody a ich analýza nám umožňujezrekonštruovať stavy, hladiny, termy, polyády a v konečnom dôsledku kon-figurácie. Z princípu nie je možné merať priamo hodnotu spinu, či momentuhybnosti (či už orbitálneho, alebo celkového)

149

6.4 Zostrojenie termov a hladín pre danú konfig-uráciu

Do tohoto okamihu sme sa venovali spektroskopickému značeniu hierarchick-ých štruktúr v rámci L−S väzieb. Stretli sme sa so štruktúrami ako konfig-urácie, polyády, termy a pod.. Nevenovali sme sa však podstatnej otázke –aké štruktúry môžu vzniknúť v rámci konkrétnej konfigurácie.

Odpoveď na túto otázku dáva zákon zachovania momentu hybnosti. Použi-tie aparátu kvantovej mechaniky, či teórie grúp na tomto stupni znalostí nieje na mieste. Existuje však konštrukčná metóda, ktorá relatívne jednodu-chým spôsobom je schopná danú otázku zodpovedať.

Ukážeme si to na príklade analýzy neionizovaného hélia He I, analýzoukonfigurácie 2p2.

Konštrukcia mikrostavov. Mikrostavom rozumieme takú realizáciu kon-figurácie, pri ktorej sú určené konkrétne stavy jednotlivých elektrónov,tj. ich tretích zložiek spinu a orbitálneho momentu hybnosti. Nepíšusa mikrostavy, ktoré porušujú Pauliho vylučovací princíp. V prípadekonfigurácie 2p2 sú to nasledujúce.

Konštrukcia sumarizačnej tabuľky. V tomto okamihu vyplníme sumarizačnútabuľku, ktorá povie,

Rozklad na elementárne tabuľky. Elementárnou tabuľkou rozumiemeobdĺžnikovu tabuľku jednotiek (tj. „1“), ktorá maximálnym možnýmspôsobom pokrýva nenulové časti sumarizačnej tabuľky. Ak nájdemeprvú takú tabuľku, odčítame ju zo sumarizačnej tabuľky a opakujemecelú procedúru, než vynulujeme sumarizačnú tabuľku. V našom prí-pade sú elementárne tabuľky ukázané v tabuľke 6.11 na strane 151.

Priradenie spektroskopického označenia. K elementárnej tabuľke je možnéjednoznačne priradiť spektroskopické označenie termu. Elementárnatabuľka má 2L + 1 stĺpcov a 2S + 1 riadkov. Počet riadkov je tedarovný multiplicite a z počtu stĺpcov možno určiť veľkosť orbitálnehomomentu hybnosti L. V tabuľke 6.11 máme vypísané postupne tri el-ementárne tabuľky. Prvá z nich má 1 riadok (multiplicita sa rovná

150

l3+1 0 −1 S3 L3

↑↓ 0 2↑ ↑ 1 1↑ ↓ 0 1↑ ↑ 1 0↑ ↓ 0 0↑↓ 0 0↑ ↑ 1 -1↑ ↓ 0 -1↑↓ 0 -2

↓ ↑ 0 1↓ ↓ -1 1↓ ↑ 0 0↓ ↓ -1 0

↓ ↑ 0 -1↓ ↓ -1 -1

Tabuľka 6.9: Možné mikrostavy. Symbol ↑predstavuje elektrón s treťou zložkou spinus3 = +1/2, symbol ↓elektrón s treťou zložkou spinu s3 = −1/2. Neexistuje mikrostavs elektrónmi, ktoré by mali l3 rovnaké a tiež s3 rovnaké. Taktiež, pre danú hodnotu l3(rovnaké u oboch elektrónov) niet rozdielu medzi „↑↓“ a „↓↑“ , nakoľko elektróny sú nero-zlíšiteľné – nejedná sa o odlišné mikrostavy. V pravej časti sme vyznačili výslednú hodnotutretej zložky spinu S3 a tretej zložky orbitálneho momentu hybnosti L3 konfigurácie 2p2.

L3

−2 −1 0 +1 +2

+1 1 1 1S3 0 1 2 3 2 1

−1 1 1 1

Tabuľka 6.10: V každej kolonke je uvedené, koľko mikrostavov má danú hodnotu S3 aL3

151

1) a 5 stĺpcov, z čoho plynie, že veľkosť orbitálneho momentu hyb-nosti je L = 2. Jedná sa teda o term 1D. Nakoľko poznáme hodnotyveľkosti spinu a orbitálneho momentu hybnosti (S = 0, L = 2), z pra-vidiel pre skladanie momentov hybnosti, poznáme aj možné hodnotyveľkosti celkového momentu hybnosti J, ktorej hodnota je v tomto prí-pade J = 2, a tento term má len jedinú hladinu, 1D2 Vo všeobecnostiplatí, že J nadobúda hodnoty L = |L− S|, |L− S|+ 1, . . . , L+ S.

S = 0, L = 2, J = 2hladina 1D2

L3

−2 −1 0 +1 +2

S3 0 1 1 1 1 1

S = 1, L = 1, J = 0, 1, 2hladiny 3P 0,

3P 1,3P 2

L3

−1 0 +1

+1 1 1 1S3 0 1 1 1

−1 1 1 1

S = 0, L = 0, J = 0hladina 1S0

L3

0

S3 0 1

Tabuľka 6.11: Vo vrchnej elementárnej tabuľke vidíme, že rozpätie priemetov S3 je 0,preto veľkosť S = 0, kým rozpätie L3 je −2,−1, 0, 1, 2, teda veľkosť je L = 2. Zo sčítacíchpravidiel pre veľkosti momentov hybnosti potom jednoznačne plynie, že veľkosť celkovéhomomentu hybnosti je J = 2.Nasledujúca tabuľka analogickým spôsobom určuje hodnotu veľkosti spinu ako S = 1,veľkosť orbitálneho momentu hybnosti ako L = 1, a na základe princípu skladania mo-mentov hybnosti (J = |L − S|, |L − S| + 1, . . . , L + S,) je J = 0, 1, 2. Jedná sa o hladiny3P 0,

3P 1,3P 2 termu 3P.

Posledná elementárna tabuľka ukazuje jednoznačne hladinu 1S0.V prípade, že sa elementárne tabuľky opakujú, neberú sa do úvahy

152

Druhá elementárna tabuľka má 3 riadky a tri stĺpce. Jedná sa tedao triplet (S = 1) a L = 1. Označenie termu je 3P . Možné hodnotycelkového momentu hybnosti sú J = 0, 1, 2 a triplet má tri hladiny,ktorých označenie je 3P 0,

3P 1,3P 2.

Tretia tabuľka má jeden riadok a jeden stĺpec (S = 0, L = 0) a jednása o singlet 1S. Celkový moment hybnosti je J = 0 a term má len jednuhladinu, 1S0.

153

Príklad 6.19. Zostrojte tabulku mikrostavov pre konfiguráciu 2p3p.

3Riešenie. V tomto prípade elektróny sa nachádzajú na odlišných vrstvách(líši sa u nich hlavné kvantové číslo), a preto Pauliho princíp nevylúči žiadnyz mikrostavov. Mikrostavy sú znázornené v tabuľke 6.12.

l3 (2p) l3 (3p)

+1 0 −1 +1 0 −1 S3 L3

↑ ↑ 1 2↑ ↓ 0 2↑ ↑ 1 1↑ ↓ 0 1↑ ↑ 1 0↑ ↓ 0 0↓ ↑ 1 2↓ ↓ 0 2↓ ↑ 1 1↓ ↓ 0 1↓ ↑ 1 0↓ ↓ 0 0↑ ↑ 1 1↑ ↓ 0 1↑ ↑ 1 0↑ ↓ 0 0↑ ↑ 1 -1↑ ↓ 0 -1↓ ↑ 1 1↓ ↓ 0 1↓ ↑ 1 0↓ ↓ 0 0↓ ↑ 1 -1↓ ↓ 0 -1↑ ↑ 1 0↑ ↓ 0 0↑ ↑ 1 -1↑ ↓ 0 -1↑ ↑ 1 -2↑ ↓ 0 -2↓ ↑ 0 0↓ ↓ 0 0↓ ↑ 0 -1↓ ↓ 0 -1↓ ↑ 0 -2↓ ↓ 0 -2

Tabuľka 6.12: Možné mikrostavy pre konfiguráciu 2p3p.

154

Príklad 6.20. Zostrojte na základe tabuľky mikrostavov konfigurácie 2p3psumarizačnú tabuľku a pomenujte termy a hladiny konfigurácie 2p3p.

3

Riešenie. Sumarizačná tabuľka mikrostavov je nasledujúca.

L3

−2 −1 0 +1 +2

+1 1 2 3 2 1S3 0 2 4 6 4 2

−1 1 2 3 2 1

Elementárne tabuľky sú nasledujúce

L3

−2 −1 0 +1 +2

+1 1 1 1 1 1S3 0 1 1 1 1 1

−1 1 1 1 1 1

Počet riadkov je 3 (teda S = 1) a počet stĺpcov je 5 (teda L = 2) a jedná sao term 3D. Možné hodnoty J sú teda 1, 2, 3 a hladiny termu sú 3D1,

3D2,3D3.

Ďalšou elementárnou tabuľkou je

L3

−1 0 +1

+1 1 1 1S3 0 1 1 1

−1 1 1 1

Tabuľka má 3 riadky (S = 1) a 3 stĺpce (L = 1), preto sa jedná o triplet3p. Veľkosť momentu hybnosti môžu byť J = 0, 1, 2 a term má hladiny,3P 0,

3P 1,3P 2.

Nasledujúcou elementárnou tabuľkou je

L3

0

+1 1S3 0 1

−1 1

Hľadané hodnoty sú S = 1, L = 0 a je len jediná možná hodnota J = 1.Hľadaný term je 3S s hladinou 3S1.

Ďalšou elementárnou tabuľkou je

155

L3

−2 −1 0 +1 +2

S3 0 1 1 1 1 1

Hodnota veľkosti spinu je S = 0 a veľkosti orbitálneho momentu hybnostiL = 2. Jedná sa o term 1D s jedinou hladinou 1D2.

Nasledujúcou elementárnou tabuľkou je

L3

−1 0 +1

S3 0 1 1 1

Hodnota veľkosti spinu je S = 0 a veľkosti orbitálneho momentu hybnostiL = 1. Jedná sa o term 1P s jedinou hladinou 1P 1.

Poslednou elementárnou tabuľkou je

L3

0

S3 0 2

Príslušný term je 1S (S = 0, L = 0) s hladinou 1S0 (J = 0). Hľadané termy(s hladinami uvedenými v zátvorkách) sú teda triplety 3D (3D1,

3D2,3D3), 3P

(3P 0,3P 1,

3P 2), 3S (3S1) a singlety 1D (1D2), 1P (1P 1) a 1S (1S0).

4Úloha 6.21. Ukážte, že sumarizačná tabuľka pre konfiguráciu 3d2 je nasle-dujúca

L3

−4 −3 −2 −1 0 +1 +2 +3 +4

+1 1 1 2 2 2 1 1S3 0 1 2 3 4 5 4 3 2 1

−1 1 1 2 2 2 1 1

3Úloha 6.22. Ukážte, že v predchádzajúcej úlohe sa sumarizačná tabuľkarozkladá na elementárne tabuľky zodpovedajúce termom 3F, 3P , 1G, 1D a 1S.

3Úloha 6.23. Ukážte, že hladiny termov z úlohy 6.22 sú nasledujúce

3F : 3F 2,3F 3,

3F 4,

3P : 3P 0,3P 1,

3P 2,

156

1G: 1G4,

1D: 1D2,

1S: 1S0.

V prípade konfigurácií s viacerými elektrónmi (3,4,. . . ) je postup analog-ický, len tabuľky mikrostavov sú výrazne objemnejšie.

4Úloha 6.24. Ukážte, že konfigurácia 1s2p2 má nasledujúcu sumarizačnútabuľku mikrostavov.

L3

−2 −1 0 +1 +2

+3/2 1 1 1S3 +1/2 1 3 4 3 1

−1/2 1 3 4 3 1−3/2 1 1 1

3Úloha 6.25. Nájdite termy a hladiny konfigurácie 1s2p2. [Nápoveda: Terms najvyššou multiplicitou je 4P s hladinami 4P 1/2,

4P 3/2,4P 5/2, a je jedným

zo štyroch hľadaných termov.]

6.4.1 Madelungov princíp a Hundove pravidlá

Do tohoto okamihu sme hovorili o elektrónovom obale mnohoelektrónovýchatómov vo všeobecnosti. Nepredpokladali sme, že by atóm bol v základnomstave, tj. v stave, v ktorom má najnižšiu energiu. Uvedené techniky určeniastavov, hladín, termov, polyád a konfigurácií sa dajú uplatniť aj pre atómyexcitované, dokonca atómy ionizované.

V tejto časti sa budeme venovať atómom v základnom stave, kde princípvýstvaby7, či Madelungov princíp8 a Hundové pravidlá9

Madelungov princíp hovorí o energetickom usporiadaní podvrstiev v elek-trónovom obale. Jedná sa o približné pravidlo. Pokiaľ by platilo exaktne,elektrónový obal atómu v základnom stave by bol obsadzovaný po pod-vrstvách v takom poradí, ako to uvádza Madelungovo pravidlo (pozri obr. 6.1).V prípade uzavretých hlavných vrstiev tento princíp platí. V prípade nekom-pletných hlavných vrstiev elektróny nesledujú Madelungov princíp striktne.

7V anglosaskej literatúre nazývaný tiež Aufbau principle.8Erwin MADELUNG – nemecký fyzik (1881-1972)

9Friedrich Herman HUND – nemencký fyzik (1896-1997)

157

Madelungov princíp predpovedá správne obsadzovanie podvrstiev až po23V (vanádium). Od chrómu začínajúc sa začínajú objavovať výnimky.

Hundové pravidlá hovoria o organizácii elektrónov v neuzavretých pod-vrstvách atómu, ktorý je v základom stave. Predpokladom použiteľnostiHundovho pravidla je, aby štruktúra elektrónového obalu sa riadila L − Sväzbami. V základnom stave je tento predpoklad (až na 4 výnimky: Ce, Pa,U, Np) splnený. Hundovo pravidlo sa menšími úspechmi môže aplikovať ajna vybudený stav s najnižšou energiou, ale výnimiek je tu výrazne viac.

Poznámka 6.26. Hundové pravidlá je zvykom vysloviť spôsobom, ktorý saopiera o rekonštrukciu termov pre danú konfiguráciu. Tieto pravidlá potomznejú nasledovne.

(1) Pre danú konfiguráciu má najmenšiu energiu ten term, ktorý mánajväčšiu multiplicitu (najväčšiu hodnotu celkového spinu atómu – uzavretépodvrstvy majú nulový spin).

(2) Ak takých termov je viac než jeden, najmenšiu energiu z nich má ten,ktorý má najväčšiu hodnotu celkového orbitálneho momentu L (uzavretépodvrstvy majú nulový orbitálny moment).

(3) Pokiaľ v takých termov je viac hladín, uplatní sa nasledujúce pravidlo.Ak je podvrstva zaplnená najviac do polovice, potom hladina s maximálnouhodnotou J má najmenšiu energiu. V ostatných prípadoch hladina s mini-málnou hodnotou J má minimálnu energiu.

Takto vyslovené pravidlá majú ten nedostatok, že v prípade ťažších prvkovneuzavreté vrstvy obsahujú relatívne veľa elektrónov a určenie všetkých ter-mov je pracné (ich počet je veľký). Druhým nedostatkom je, že 3. pravidlonehovorí ako interpretovať napríklad také prvky, ktoré v základnom stavemajú viac, než jednu neuzavretú podvrstvu. Takýchto prvkov máme 12 (tedavyše 10% všetkých chemických prvkov v základnom stave). Sú to (prevzatéz [9])

158

4f

5f 5g

6f 6g 6h

7f 7g 7h

0 1 2 3 4 5 6

1

2

3

4

5

6

7

n

l

1s 2s 2p 3s 3p 4s 3d 4p 5s 4d 5p 6s 4f 5d 6p 7s 5f 6d 7p . . .

1s

2s

3s

4s

5s

6s

7s7s

2p

3p

4p

5p

6p

7p

3d

4d

5d

6d

7d

Obr. 6.1: Princíp výstavby podvrstiev nazývaný Aufbau princíp, alebo tiež Madelungovprincíp. V elektrónovom obale atómov v základnom stave sa podvrstvy zapĺňajú v po-radí, ako ukazuje princíp výstavby. Princíp hovorí, že z dvoch elektrónov, ktoré patria kiným podvrstvám, má väčšiu energiu ten z nich, pre ktroý je súčet hlavného a vedľajšiehokvantového čísla (n + l) väčší. Ak je súčet rovnaký, potom ten elektrón má väčšiu ener-giu, ktorého hlavné kvantové číslo n je väčší. 3ípky na obrázku (postupujúc zhora nadol)ukazujú ako rastie energia podvrstiev. Tento princíp dobre funguje pre väčšinu atómov,ale existujú aj výnimky (pozri dodatok s konfiguráciou elektrónových obalov v základnomstave.)

159

prvok konfigurácia hladina základného stavu24Cr 3d54s 7S3

41Nb 4d45s 6D1/2

42Mo 4d55s 7S3

44Ru 4d75s 5F 5

45Rh 4d85s 4F 9/2

58Ce 4f5d6s2 1G4

64Ga 4f75d6s2 9D2

78Pt 4f145d96s 3D3

91Pa 5f26d7s2 4K11/2∗92U 5f36d7s2 5L6∗93Np 5f46d7s2 6L11/2∗96Cm 5f76d7s2 9D2

Hviezdičkou označené prvky majú elektrónový obal, kde sa neuplatňujelen L − S väzba, preto nie je prekvapujúce, že pre nich Hundovo pravidlo(pozri nižšie) nedáva správne výsledky hladiny základného stavu. Tu uve-dené hladiny sú experimentálne zistené hodnoty. Poznamenajme ešte, že aniexperimentálne zistená hladina 1G4 prvku 58Ce svojou multiplicitou nezod-povedá Hundovmu pravidlu.

Hundové pravidlá vyslovíme spôsobom, ktorý nevyžaduje určenie termova dá sa uplatniť aj v prípade, že sa týka konfigurácií s viacerými neuzavretýmipodvrstvami. Základom pre našu formuláciu je práca s tretími zložkamispinu, orbitálneho momentu hybnosti a celkového momentu hybnosti elek-trónov v neuzavretých podvrstvách. Pre tieto zložky (i príslušné kvantovéčísla) platí striktne rovnosť s(j)3 + l

(j)3 = j

(j)3 , kde j indexuje j-tý elektrón

neuzavretých podvrstiev10.

1. pravidlo Elektróny otvorených podvrstiev sa organizujú tak, aby tretiazložka ich celkového spinu S3 = s

(1)3 + s

(2)3 · · · bola maximálna. Tu

predstavuje s(j)3 tretiu zložku spinu j-tého elektrónu v otvorenej sub-vrstve. To znamená, že subvrstva sa zapĺňa najprv s elektrónmi, ktorémajú rovnakú orientáciu spinu (rovnaká hodnota s(j)3 ). Pauliho princípvšak neumožňuje, aby mali všetky elektróny rovnakú hodnotu s(j)3 . Po-tom, čo subvrstva je zpola zaplnená, ďalšie elektróny majú už opačnúorientáciu spinu.

Kvantové číslo celkového spinu S neuzavretých podvrstiev je rovný10V skutočnosti by sme nemuseli hovoriť o elektrónoch neuzavretých podvrstiev, ale

o elektrónoch elektrónového obalu. Vieme totiž, že pre uzavreté podvrstvy je∑

s(i)3 =

0,∑

l(i)3 = 0 a potom tiež

∑

j(i)3 = 0 – kde súčty bežia cez elektróny uzavretej podvrstvy.

160

|S3|. Číslo S sa nazýva multiplicitou. Prvé Hundovo pravidlo sa môževysloviť tak, že neuzavreté podvrstvy sa obsadia tak, aby multiplicitabola maximálna.

2. pravidlo Ak maximálna multiplicita neuzavretej vrstvy sa dá realizo-vať viacerými spôsobmi, realizuje sa ten spôsob, pri ktorom je tretiazložka celkového orbitálneho momentu hybnosti L3 = l

(1)3 + l

(2)3 + · · ·

maximálna. Horné indexy znova číslujú rôzne elektróny neuzavretýchpodvrstiev. Kvantové číslo veľkosti orbitálneho momentu hybnosti Lje potom rovný |L3|.

3. pravidlo Ak term určený pravidlami 1. a 2. má viac hladín, najnižšiuenergiu má tá hladina, ktorej celkový moment hybnosti J je rovný|J3, | kde J3 = S3 + L3.

Všetky tri Hundové pravidlá sa dajú splniť, pokiaľ elektróny v podvrstváchsa obsadzujú spôsobom, ktorý je znázornený na obr. 6.2 (strana 161). Samotnývýpočet hodnôt S,L, J je doplnený na obr. 6.3 (strana 162).

V prípade, že máme v konfigurácii viac neuzavretých podvrstiev, uve-dené pravidlá sa aplikujú priamočiaro. (Nezabudnime, že konfigurácia určuje,koľko elektrónov je v každej podvrstve.)

1. Elektróny sa v každej podvrstve rozmiestnia tak, ako to hovorí 1. a2. Hundovo pravidlo. Tj., najprv sa usporiada konfiguráciou určenýpočet elektrónov v prvej otvorenej podvrstve podľa pravidiel 1. a 2..Procedúra sa zopakuje s druhou otvorenou podvrstvou (s počtom elek-trónov, ktorú určuje konfigurácia). Keby bolo otvorených podvrstievviac, tak sa pokračuje až do vyčerpania všetkých otvorených pod-vrstiev. Atómy v základnom stave však majú otvorených maximálnedve podvrstvy (ich zoznam je možno nájsť v poznámke 6.26 na strane157). Postup je graficky znázornený na obr. 6.2 na strane 161.

2. Sčítame tretie zložky spinu elektrónov všetkých otvorených odvrstiev,čím získame S3. To isté urobíme pre tretiu zložku momentu hybnostia získame L3. Hodnoty S,L, J sú dané ako v Hundových pravidlách,tj. S = |S3|, L = |L3| a J = |J3| = |S3 + L3|.

161

l3

l3l3

0

00 −2

−1

−1

+1

+1 +2

1s1

1s2

2p1

2p2

2p3

2p4

2p5

2p6

3d1

3d2

3d3

3d4

3d5

3d6

3d7

3d8

3d9

3d10

Obr. 6.2: Princíp výstavby podvrstiev. Rastúcim počtom elektrónov v danej podvrstve sazapĺňajú jednotlivé orbitály uvedeným spôsobom. Pri danom spôsobe zaplnenia je energiaelektrónov na danej podvrstve minimálna. Orbitály sa zapĺňajú najprv elektrónmi tak, žeich spiny sú rovnaké (prvé Hundovo pravidlo) – tým sa maximalizuje celkový spin s (S =|S3|). Orbitály sa zapľňajú vtakom poradí, aby orbitálny moment hybnosti L(L = |L3|)bol maximálny (druhé Hundovo pravidlo).

162

s3s3 l3l3

l3

l3l3

j3j3 ss ll jj

0

00 −2

−1

−1

+1

+1 +2

1s1

1s2

2p1

2p2

2p3

2p4

2p5

2p6

3d1

3d2

3d3

3d4

3d5

3d6

3d7

3d8

3d9

3d10

12 0 1

212 0 1

2

0 0 0 0 0 0

12 −1−1

212 1 1

2

1 −1 0 1 1 0

32 0 3

232 0 3

2

1 1 2 1 1 2

12 1 3

212 1 3

2

0 0 0 0 0 0

12 −2−3

212 2 3

2

1 −3 −2 1 3 2

32 −3−3

232 3 3

2

2 −2 2 2 2 0

52 0 5

252 0 5

2

2 2 4 2 2 4

32 3 9

232 3 9

2

1 2 3 1 2 3

12 1 3

212 1 3

2

0 0 0 0 0 0

Obr. 6.3: Stanovenie kvantových čísiel S,L, J hladiny atómu v základnom stave v prípadejednej neuzavretej podvrstvy (nutnou podmienkou je dominujúca L− S väzba).Kvantové číslo S veľkosti spinu neuzavretej podvrstvy sa stanoví nasledovne. Určí sacelková hodnota tretej zložky spinu S3 =

∑

i s(i)3 , kde súčet sa vykoná pre tretiu zložku s

(i)3

všetkých elektrónov i v neuzavretej podvrstve, a potom S = |S3|. Inými slovami, hľadá sanajmenšia možná hodnota S veľkosti momentu hybnosti, ktorou sa dá realizovať priemetS3. Nakoľko S ≥ |S3|, táto hodnota je absolútna hodnota |S3|. Rovnakým spôsobom sanájdu aj hodnota L, pričom L3 =

∑

i l(i)3 . Tu sú l

(i)3 treťou zložkou orbitálneho momentu

hybnosti i-tého elektrónu v neuzavretej podvrstve. Hodnota J3 = S3 + L3.Spôsob zapĺňania orbitálov znázornený na obrázku, a spôsob výpočtu S,L, J automatickyspĺňa tretie Hundovo pravidlo: (a) J = |L − S|, ak podvrstva nie je zaplnená ani spola,(b) J = S, ak podvrstva je zaplnená presne napoly (vtedy L = 0), (c) J = L + S, akpodvrstva je zaplnená viac, než napoly.Všimnime si, že pokiaľ je podvrstva zaplnená úplne, všetky kvantové čísla (S3, L3, J3 anásledne aj S,L, J) sú nulové. To je dôvodom toho, že prečo uzavreté podvrstvy atómuneprispievajú k spinu, orbitálnemu momentu hybnosti a k celkovému momentu hybnostielektrónového obalu atómu.Daný spôsob určenia spinu, orbitálneho momentu hybnosti a celkového momentu hybnostiatómu v základnom stave (s L−S väzbou) sa dá použiť aj pre prípad, keď v elektrónovomobale atómu je viac podvrstiev, ktoré nie sú uzavreté. V takom prípade súčty

∑

i bežiacez elektróny všetkých otvorených podvrstiev.

163

Príklad 6.27. Určte konfiguráciu základnej hladiny neionizovaného atómukyslíka.

Riešenie. Neionizovaný atóm kyslíka má v elektrónovom obale 8 elektrónov.Madelungov princíp platí bez výnimiek až po vanádium (atómové číslo 23).Konfigurácia základnej hladiny 8O je preto 1s22s22p4.

4

4Príklad 6.28. Určte konfiguráciu základnej hladiny neionizovaného atómuhliníka.

4

Riešenie. Neionizovaný atóm hliníka má v elektrónovom obale 13 elek-trónov. Madelungov princíp platí bez výnimiek až po vanádium (atómovéčíslo 23). Konfigurácia základnej hladiny 13O je preto 1s22s22p63s24p.

4

Úloha 6.29. Určte konfiguráciu základnej hladiny neionizovaného atómudusíka.

4

Úloha 6.30. Určte konfiguráciu základnej hladiny neionizovaného atómuvanádia.

Príklad 6.31. Určte hladinu základného stavu neionizovaného atómu hélia.

Riešenie. Konfigurácia základnej hladiny základného stavu neionizovanéhoatómu hélia je podľa Madelungovho princípu 1s2. Jedná sa o uzavretú vrstvu,preto S = 0, L = 0 a J = 0. Hladinou základného stavu je 1S0.

4Príklad 6.32. Určte hladinu základného stavu neionizovaného atómu kys-líka.

Riešenie. Konfigurácia základnej hladiny základného stavu neionizovanéhoatómu kyslíka je podľa Madelungovho princípu 1s22s22p4. Podvrstvy 1s a 2ssú uzavreté a neprispievajú k spinu, ani k orbitálnemu momentu hynosti, anik celkovému hybnosti elektrónového obalu a nemajú vplyv na určenie zák-ladnej hladiny. Základnú hladinu určuje neuzavretá podvrstva 2p4. Obsade-nie tejto podvrstvy elektrónmi je podľa 1. a 2. Hundovho pravidla (princípkonštrukcie je na obr. 6.2)

l3 = −1 0 +1↑ ↑ ↑↓

Z rozmiestnenia vyplýva, že

S3 =1

2+

1

2+

1

2− 1

2= 1 teda S = 1,

164

Z Atóm Konfigurácia základného stavu HladinaIonizačnáenergia/eV

1 H 1s 2S1/2 13,598 42 He 1s2 1S0 24,587 43 Li 1s2 2s 2S1/2 5,391 74 Be 1s2 2s2 1S0 9,322 75 B 1s2 2s2 2p 2P 1/2 8,298 06 C 1s2 2s2 2p2 3P 0 11,260 37 N 1s2 2s2 2p3 4S3/2 14,534 18 O 1s2 2s2 2p4 3P 2 13,618 19 F 1s2 2s2 2p5 2P 3/2 17,422 8

10 Ne 1s2 2s2 2p6 1S0 21,564 511 Na [Ne] 3s 2S1/2 5,139 112 Mg [Ne] 3s2 1S0 7,646 213 Al [Ne] 3s 3p 2P 1/2 5,985 814 Si [Ne] 3s 3p2 3P 0 8,151 715 P [Ne] 3s 3p3 4S3/2 10,486 716 S [Ne] 3s 3p4 3P 2 10,486 717 Cl [Ne] 3s 3p5 2P 3/2 10,360 018 Ar [Ne] 3s 3p6 1S0 15,759 619 K [Ar] 4s 2S1/2 4,340 7

......

......

...36 Kr [Ar] 3d10 4s2 4p6 1S0 13,999 637 Rb [Kr] 5s 2S1/2 4,177 1

......

......

...54 Xe [Kr] 4d10 5s2 5p6 1S0 12,129 855 Cs [Xe] 6s 2S1/2 3,893 9

......

......

...86 Rn [Xe] 4f14 5d10 6s3 6p6 1S0 10,748587 Fr [Rn] 7s 2S1/2 4,072 7

......

......

...104 Rf [Rn] 5f14 6d2 7s2 ? 3F 2? 6,0?

Tabuľka 6.13: Elektrónová konfigurácia elektrónového obalu atómov v základnom stave.V prvom stĺpci je protónové číslo Z atómu. V druhom stĺpci je symbol daného atómu. Vtreťom stĺpci je elektrónová konfigurácia, pričom konfigurácia uzavretých vrstiev sa značív skratke v hranatých zátvorkách (symbolom vzácneho prvku s uzavretými vrstvami). Voštvrtom stĺpci je hladina atómu v základnom stave podľa konvencie 2S+1LJ ). V posled-nom stĺpci je ionizačná energia príslušného atómu a dobre vidieť periodicky sa opakujúcuvlastnosť rastúcej ionizačnej energie, a skoku medzi ionizačnou energiou atómu s uzavretouvrstvou (vzácny prvok) a ionizačnou energiou nasledujúceho atómu. Kompletnú tabuľkuje možné nájsť v dodatku.

165

L3 = −1 + 0 + 1 + 1 = 1 teda L = 1

aJ = |S3 + L3| = 2.

Hľadaná hladina je 3P 2.

4Príklad 6.33. Určte hladinu základného stavu neionizovaného atómu vaná-dia.

Riešenie. Konfigurácia základnej hladiny základného stavu neionizovanéhoatómu vanádia je podľa Madelungovho princípu [Ar]3d34s2, kde [Ar] oz-načuje konfiguráciu argónu a obsahuje len uzavreté podvrstvy. Uzavretouje aj podvrstva 4s2, preto hladinu základného stavu určuje len trojica elek-trónov neuzavretej podrvstvy 3d3. Obsadenie tejto podvrstvy elektrónmi jepodľa 1. a 2. Hundovho pravidla (princíp konštrukcie je na obr. 6.2)

l3 = −2 −1 0 +1 +2↑ ↑ ↑

Z rozmiestnenia vyplýva, že

S3 =1

2+

1

2+

1

2=

3

2teda S =

3

2,

L3 = −2 + (−1) + 0 = −3 teda L = |L3| = +3

aJ = |S3 + L3| = |+ 3

2+ (−3)| = 3

2.

Hľadaná hladina je 4F 3/2.

4Príklad 6.34. Určte hladinu základného stavu neionizovaného atómu chrómu,ktorého konfigurácia je [Ar]3d54s.

Riešenie. V totmo prípade máme dve neuzavreté vrstvy, 3d a 4s Obsadenietýchto podvrstiev elektrónmi je podľa 1. a 2. Hundovho pravidla (princípkonštrukcie je na obr. 6.2 a uplatňuje sa samostatne pre obidve podvrstvy).

3d5

l3 = −2 −1 0 +1 +2↑ ↑ ↑ ↑ ↑

4sl3 = 0

↑

Z rozmiestnenia vyplýva, že

S3 =

(

1

2+

1

2+

1

2+

1

2+

1

2

)

3d

+

(

1

2

)

4s

= 3 teda S = 3,

166

kde sme dolným indexom pri zátvorkách zdôraznili príspevky z vrstiev 3d a4s

L3 = (−2− 1 + 0 + 1 + 2)3d + (0)4s = 0 teda L = |L3| = 0

aJ = |S3 + L3| = |3 + 0| = 3.

Hľadaná hladina je 7S3.

4 Úloha 6.35. Nájdite hladinu základného stavu neionizovaného neónu.

5

Úloha 6.36. Nájdite hladinu základného stavu neionizovaného fosforu.

Úloha 6.37. Nájdite hladinu základného stavu neionizovaného jódu, ktoréhokonfigurácia je [Kr]4d105s25p5.

Úloha 6.38. Nájdite hladinu základného stavu nasledujúcich neionizovanéhoatómov: 7N : [He]2s22p3, 15P : [Ne]3s23p3, 33As : [Ar]3d104s24p3, 83Bi :[Xe]4f145d106s26p3

5Úloha 6.39. Nájdite hladinu základného stavu nasledujúcich neionizovanéhoatómov: 5B : [He]2s22p, 6C : [He]2s22p2, 7N : [He]2s22p3, 8O : [He]2s22p4,

9F : [He]2s22p5, 10B : [He]2s22p6.

7Úloha 6.40. Ktoré sú hladiny základného stavu neionizovaných atómov utých atómov, ktoré v základnom stave majú neuzavretú len jednu podvrstvu,a táto podvrstva je typu d. Uveďte výsledky pre všetky konfigurácie, tj. odd1 až po d10.

4Úloha 6.41. Pre ktorý z nasledujúcich atómov dávajú Hundové pravidlánesprávnu hladinu základného stavu:prvok konfigurácia hladina základného stavu24Cr 3d54s 7S3

58Ce 4f5d6s2 1G4

64Ga 4f75d6s2 9D2

4Úloha 6.42. Pre ktorý z nasledujúcich atómov dávajú Hundové pravidlánesprávnu hladinu základného stavu:prvok konfigurácia hladina základného stavu78Pt 4f145d96s 3D3

91Pa 5f26d7s2 4K11/2∗92U 5f36d7s2 5L6∗

167

6.5 Výberové pravidlá

Zakázané pre-chody

Pokiaľ sa pozorný čitateľ znova pozrie na tabuľku 6.6 spektrálnych čiar(λexp) na strane 131, všimne si, že mnohé prechody nie sú uvedené. Nenájdetam prechody typu 4d3/2 → 2s1/2, vlastne žiadny prechod z podvrstvy 4dna 2s, či z 5d na 2s. Niektoré prechody sú jednoducho zakázané.11

Výklad celej problematiky je síce nad rámec našich cieľov, ale našťastie,podstatná časť vysvetlenia sa zakladá na zákonoch zachovania.

Pri prechodoch rozdiel energie medzi termami odnáša fotón, ktorého ener-gia sa rovná rozdielu energií termov. Je to dané zákonom zachovania energie.Zákon zachovania energie by však mohol dovoliť prechody medzi všetkýmimožnými termami. Keď sa však pozrieme na tabuľku 6.6 na strane 131,všimneme si, že orbitálny moment hybnosti elektrónu, ktorý prechádza zozačiatočnej orbitály na konečnú, sa nikdy nemení o viac než o jednu. Presnej-šie, máme tu na mysli zmenu vedľajšieho kvantového čísla l (kvantové čísloveľkosti orbitálneho momentu hybnosti). Zrovna tak, ani celkový momenthybnosti j sa nemení nikdy o väčšiu hodnotu ako o 1.

Príklad 6.43. Indexujme stav elektrónu pred prechodom ako „in“ a poprechode ako „out“ a definujme zmenu ∆l orbitálneho momentu hybnosti

∆l = l(out) − l(in). (6.8)

Definujme analogicky zmenu ∆j celkového momentu hybnosti

∆j = j(out) − j(in). (6.9)

V oboch prípadoch sa jedná o zmenu kvantového čísla veľkosti príslušnejfyzikálnej veličiny (orbitálneho momentu hybnosti a celkového momentu hyb-nosti elektrónu).

Určte ∆l a ∆j pre prechody uvedené v tabuľke 6.6 na strane 131.

Riešenie. Riešenie demonštrujeme na prvom riadku tabuľky. Elektrón naorbitále 3d3/2 má orbitálny moment hybnosti l(in) = 2 a celkový momenthybnosti rovný j(in) = 3

2 . Na orbitále 2p1/2 má orbitálny moment hybnostil(out) = 1 a celkový moment hybnosti j(out) = 1

2 . Zmena orbitálneho mo-mentu hybnosti je preto

∆l = l(out) − l(in) = 1− 2 = −111Pokiaľ sa pozrie na domovskú stránku National Institute of Standards and Technology,

na spektrálne čiary vodíkového atómu (http://physics.nist.gov/cgi-bin/ASD/lines1.pl), zistí, že nenájde ani prechody z podvrstvy 5f na podvrstvu 3p, alebo 3s, a mnohéďalšie prechody (sú zakázané).

168

a zmena celkového momentu hybnosti je

∆j = j(out) − j(in) = 1

2− 3

2= −1.

Výsledky pre ostatné údaje zhrnieme do nasledujúcej tabuľky 6.14

6.5.1 Výberové pravidlo pre celkový moment hybnosti (ex-aktné)

Uvedené prechody predchádzajúceho príkladu dobre demonštrujú, že fotónmá moment hybnosti j = 1. Tým sa má na mysli kvantové číslo veľkosti mo-mentu hybnosti. Tento moment hybnosti je vlastný moment hybnosti fotónu,teda spin fotónu.

Z tabuľky 6.14 sme odpozorovali, že ∆j = −1, 0,+1. Zákon zachovaniamomentu hybnosti (ako vektorovej fyzikálnej veličiny) pri prechode znamená

J (in) = J (out) + J (f),

kde J (in) je moment hybnosti elektrónu pred prechodom, J (out) po prechodea J (f) je moment hybnosti fotónu.

Podľa pravidiel skladania momentov hybnosti bude platiť pre príslušnékvantové čísla j veľkostí momentov hybností

|j(out) − j(f)| ≤ j(in) ≤ j(in) + j(f).

Nakoľko kvantové číslo veľkosti momentu hybnosti fotónu je 1

|j(out) − 1| ≤ j(in) ≤ j(out) + 1.

V prípade atómu vodíka môžu nastať nasledujúce možnosti

• j(out) = 12 , potom j(in) = 1

2 ,32 a ∆j = 0,−1

• j(out) ≥ 32 , potom j(in) = j(out) − 1, j(out), j(out) + 1 a ∆j = −1, 0,+1.

Pre viac elektrónové systémy máme možnosť s nepárnym počtom elektrónova výsledky sú rovnaké ako pre atóm vodíka (rozhodujúce je, že v takomprípade je celkový moment hybnosti polocelé číslo).

Ak však počet elektrónov je párny, potom

• J (out) = 0, potom J (in) = 1 a ∆J = −1

• J (out) = 1, potom J (in) = 0, 1, 2 a ∆J = −1, 0,+1.

169

prechodzo stavu „in“do stavu „out“

∆l ∆j

3d3/2 → 2p1/2 −1 −13p3/2 → 2s1/2 −1 −13s1/2 → 2p1/2 +1 0

3p1/2 → 2s1/2 −1 0

3d5/2 → 2p3/2 −1 −13d3/2 → 2p3/2 −1 0

3s1/2 → 2p3/2 +1 +1

4d3/2 → 2p1/2 −1 −14p3/2 → 2s1/2 −1 −14s1/2 → 2p1/2 +1 0

4p1/2 → 2s1/2 −1 0

4d5/2 → 2p3/2 −1 −14d3/2 → 2p3/2 −1 0

4s1/2 → 2p3/2 +1 +1

5d3/2 → 2p1/2 −1 −15s1/2 → 2p1/2 +1 0

5p3/2 → 2s1/2 −1 −15p1/2 → 2s1/2 −1 0

5d5/2 → 2p3/2 −1 −15d3/2 → 2p3/2 −1 0

5s1/2 → 2p3/2 +1 +1

Tabuľka 6.14: Zmena orbitálneho a celkového momentu hybnosti pri experimentálnepozorovaných prechodoch elektrónu vo vodíkovom atóme. Hodnoty môžu byť jedine−1, 0,+1.

170

• J (out) ≥ 2, potom J (in) = J (out)−1, J (out), J (out)+1 a ∆J = −1, 0,+1.

Všimnime si, že síce môže nastať možnosť ∆J = 0, ale nikdy nie v podobeJ (in) = J (out) = 0.

Tým sme získali exaktné vyjadrenie výberového pravidla pre celkový mo-ment hybnosti v podobe

∆j = 0,±1, (j(in) = j(out) 6= 0).

Poznámka 6.44. Čitateľ môže skúsiť predpokladať, že kvantové číslo veľ-kosti momentu hybnosti fotónu nie je 1, zistí, že zo zákona zachovania mo-mentu hybnosti vyplynú iné pravidlá, než sme odpozorovali z experimentál-nych údajov. Môžeme to chápať ako potvrdenie skutočnosti, že fotón mámoment hybnosti J (f) = 1. V skutočnosti je však situácia trošku kompliko-vanejšia – k tejto komplikácii sa vrátime v záverečnej poznámke.

6.5.2 Výberové pravidlo tretej zložky celkového momentuhybnosti (atóm vodíka)

Pre tretie zložky momentu hybnosti (samotných fyzikálnych veličín) elek-trónu atómu vodíka platí

(J (in))3 = (J (out))3 + (J (f))3,

odkiaľ pre kvantové čísla

j(in)3 = j

(out)3 + j

(f)3 ,

a pre zmenu tretej zložky momentu hybnosti dostávame

−∆j = ∆j(f).

Kvantové číslo veľkosti momentu hybnosti fotónu je 1, a preto možné hodnoty(kvantovaného) priemetu na vybraný fyzikálny smer sú

j(f)3 = −1, 0, 1.

Z uvedeného vyplýva výberové pravidlo pre tretiu zložku momentu hybnosti

∆j = −1, 0, 1.

171

6.5.3 Výberové pravidlo pre orbitálny moment hybnosti (atómvodíka)

Ukázané výberové pravidlo pre veľkosť momentu hybnosti je dôsledkom zá-kona zachovania momentu hybnosti, a skutočnosti, že fotón má vlastný mo-ment hybnosti (spin) rovný ~ (príslušné kvantové číslo je teda 1). Čo vyplývazo zákona zachovanie momentu hybnosti pre orbitálny moment hybnosti?

4Príklad 6.45. Orbitálny moment hybnosti elektrónu pred prechodom je l(in)

a po prechode l(out). Aké sú možné zmeny ∆l orbitálneho momentu hybnosti?

Riešenie. Nakoľko spin elektrónu je vždy 12 , potom s(in) = s(out) = 1

2 a

|l(in) − 1

2| ≤ j(in) ≤ l(in) +

1

2.

Odtiaľto dostaneme možné hodnoty orbitálneho momentu hybnosti

l(in) = j(in) − 1

2, j(in) +

1

2.

Rovnako pre koncový stav

l(out) = j(out) − 1

2, j(out) +

1

2.

Možné hodnoty ∆l = l(out)− l(in) získame skombinovaním všetkých možnýchvýsledkov (štyri možné kombinácie) ako

∆l = ∆j − 1,∆j,∆j + 1.

Nakoľko možné hodnoty ∆j = −1, 0,+1, orbitálny moment hybnosti sa môžev atóme vodíka zmeniť len o hodnoty

∆l = −2,−1, 0,+1,+2.

Tieto možné zmeny sú ale, ako to vyplynulo z ich výpočtu, dôsledkom lenzákona zachovania momentu hybnosti.

Pozorný čitateľ si všimne pri riešení príkladu 6.43 (s výsledkami v tabuľke6.14), že orbitálny moment hybnosti sa nemôže meniť o hodnotu 0, an i o ±2(∆l = ±1). Toto pravidlo nijako nevyplynie zo zákona zachovania momentuhybnosti, ako to ukázalo riešenie príkladu 6.45.

Výberové pravidlo nás upozorňuje na skutočnosť, že fotón má okrem ener-gie, hybnosti a momentu hybnosti ďalšiu fyzikálnu vlastnosť. Touto vlast-nosťou je tzv. parita.

172

replacemen

x

x

x

yy y

z

z

z

EEE1

11 222

fyzikálne rovnaké situácie fyzikálne zrkadlová situácia

Obr. 6.4: Obrázok uprostred predstavuje základnú fyzikálnu situáciu, intenzitu elektric-kého poľa E medzi kladným a záporným nábojom. Obrázok od nej naľavo je tá istáfyzikálna situácia, ale na popis sa používa súradná sústavu so zrkadlenými osami. Zámenasúradných osí samozrejme nemá vplyv na samotnú fyzikálnu situáciu, len na jej popis.V tomto novom popise (v zrkadlenej súradnej sústave) je vektor E intenzity elektrickéhopoľa daný ako E = −Eey .Od stredného obrázku vpravo je situácia fyzikálne zrkadlená (sústava súradníc sa nemení).Vidíme, že aj v tomto prípade je E = −Eey . Nakoľko pri fyzikálnom zrkadlení sa meníznamienko intenzity elektrického poľa, povieme, že intenzita elektrického poľa má zápornúparitu.

6.5.4 ParitaParita

Čo je parita? Jedná sa o symetriu prírody voči zrkadleniu všetkých priesto-rových osí. Ako tomu treba rozumieť? Vysvetľujú to obrázky 6.4 a 6.5.

Zákon zachova-nia parity

Parita je multiplikatívna veličina, na rozdiel od energie, hybnosti, či mo-mentu hybnosti, ktoré sú aditívne. Aditívnosť v zákone zachovania (napríkladpre moment hybnosti) znamená

J1 + J2 + J3 + · · · = konštanta,

kde J1,J2, . . . sú momenty hybnosti častí systému, a súčet sa v čase za-chováva. Pritom môžu prebiehať medzi časťami rôzne interakcie (napr. zrážky,premeny a pod.), ktoré systém môžu aj pretvoriť (zmení sa počet častíc apod.). Zákony zachovania energie, hybnosti a momentu hybnosti sú globálnezákony zachovania.

Zákon zachovania parity je multiplikatívny a má tvar

π1 · π2 · π3 · · · · = konštanta,

173

x

x

x

yy y

z

z

z

BB B 11 12

2 2

33 3 4

4 4

fyzikálne rovnaké situácia fyzikálne zrkadlová situácia

Obr. 6.5: Obrázok uprostred predstavuje základnú fyzikálnu situáciu, magnetické polebudené v začiatku kladným nábojom, ktorý obieha začiatok súradnej sústavy v kladnomsmere (prechádzajúc postupne cez body 1,2,3,4,1,. . . ). Obrázok od nej naľavo je tá istáfyzikálna situácia, ale na popis sa používa súradnú sústavu so zrkadlenými osami. Zámenasúradných osí samozrejme nemá vplyv na samotnú fyzikálnu situáciu, len na jej popis.V tomto novom popise (v zrkadlenej súradnej sústave) je vektor B magnetickej indukciepoľa daný ako B = −Bez.Od stredného obrázku vpravo je situácia fyzikálne zrkadlená (sústava súradníc sa nemení).Vidíme, že v tomto prípade je B = Bez. Nakoľko pri fyzikálnom zrkadlení sa znamienkoindukcie magnetického poľa nemení, povieme, že indukcia magnetického poľa má kladnúparitu.

174

kde π1, π2, . . . sú rovné +1 alebo −1 a predstavujú paritu častí systému.Zákon zachovania hovorí, že celková parita systému, nech sa v systéme deječokoľvek, sa zachováva.

Poznámka 6.46. V dobe klasickej fyziky prevládalo presvedčenie, že zákonzachovania parity je tiež globálny zákon. Prevládalo presvedčenie, že akmáme prístroj, alebo stroj, dá sa zrealizovat aj jeho fyzikálne zrkadlená kópia.Slovami fyzikálnych javov, ak parita pred nejakou interakciou je kladná, jekladná aj po interakcii. Ak je parita záporná, je záporná aj po interakcii.

Po objave jadrových síl sa ukázalo, že existuje slabá interakcia, ktoráparitu nezachováva. Slabá interakcia je zodpovedná napr. za premeny jadier,v ktorých vzniká neutríno (resp. antineutríno). Príroda nie je invariantnávoči zrkadleniu. Inými slovami, ak by sme postavili stroj, ktorý využíva ne-jakým spôsobom rádioaktívne premeny riadené slabou interakciou (tzv. β-premeny), zrkadlovo postavený stroj nebude mať úplne rovnaké vlastnosti.Dnes sme presvedčení, že takýto stroj by mal rovnaké vlastnosti jedine vtedy,pokiaľ by bol postavený z antihmoty12.

Gravitačná, elektromagnetická a silná interakcia však paritu striktne za-chováva. Pri štúdiu elektrónového obalu sa stretávame jedine s elektromag-netickou interakciou.

Klasická fyzika, ani stará kvantová mechanika si však nevie rady s vlast-nou paritou častíc. Vlastná parita častíc nie je spojená s priestorovým zr-kadlením, zrovna tak, ako vlastný moment hybnosti (spin) častíc nemá ničspoločného s priestorovým pohybom (napr. rotáciou elektrónu).

Výberové pravidlá klasická fyzika nevie vysvetliť a zrovna tak si s niminevie rady ani stará kvantová mechanika. Moderná kvantová mechanika všakhovorí, že atóm s N elektrónmi, má paritu

π = (−1)L, L = l1 + l2 + · · · + lN

kde l1, l2, . . . lN sú kvantové čísla orbitálneho momentu hybnosti elektrónovv elektrónovom obale atómu. V prípade vodíkového atómu, kde máme lenjeden elektrón, potom

π(H,in) = (−1)l(in), a π(H,out) = (−1)l(out)

.

Zo zákona zachovania parity

π(H,in) = π(H,out) · π(f)

12Antihmota sa skladá z antiatómov z ložených z antiprotónu, antineutrónu a z poz-itrónov (antielektrónov). Všetky antičastice majú rovnakú hmotnosť a vlastnosti ako prís-lušné normálne častice, len ich náboje sú odlišné (napríklad antiprotón má záporný elek-trický náboj a záporný baryónový náboj)

175

a pomocou momentov hybnosti

(−1)l(in)= (−1)l(out) · π(f)

odkiaľ1 = (−1)l(out)−l(in) · π(f) = (−1)∆l · π(f).

Z experimentu vieme, že ∆l = ±1, a preto parita fotónu je záporná (π(f) =−1).

Tým sa dostávame aj k pochopeniu súvislosti výberového pravidla preorbitálny moment hybnosti s paritou

∆l = ±1.

Pri vyžiarení jedného fotónu sa parita atómu zmení na opačnú (z kladnej nazápornú, alebo zo zápornej na kladnú).

6.5.5 Výberové pravidlo spinu

Nakoľko v elektrónovom obale je jediný elektrón, výberové pravidlo je triv-iálne

∆s = 0.

Rovnaké výberové pravidlo platí pre viacelektrónové atómy (tam to už nieje triviálne, ale výklad by presiahol rámec tejto učebnice).

6.5.6 Zhrnutie výberových pravidiel

Vodík a vodíku podobné atómy

Výberové pravidlá pre atóm vodíka sú zhrnuté v tabuľke 6.15Súhrnvýberovýchpravidiel prevodíku podobnéatómy

∆j ∆j3 ∆l ∆s

−1, 0,+1(0←→/ 0)

−1, 0,+1 −1,+1 0

Tabuľka 6.15: Súhrn výberových pravidiel pre atóm vodíka.

Mnoho elektrónové atómy

Výberové pravidlá platia aj pre viacelektrónové atómy. Sú v podstate identickés pravidlami, ktoré sme zdôvodnili pre atóm vodíka, len sa týkajú zmien∆J,∆J3,∆L a ∆S, kvantových čísiel J, J3, L a S. Tie sú kvantovými číslami

176

celkového momentu hybností J , jej tretej zložky (J)3 orbitálneho momentuhybnosti L a spinu S (teda fyzikálnych veličín). Tieto fyzikálne veličiny súzložením príslušných fyzikálnych veličín všetkých elektrónov elektrónovéhoobalu atómu, teda

J =N∑

i=1

J (i),

(J)3 =

N∑

i=1

(J (i))3,

L =N∑

i=1

L(i),

S =

N∑

i=1

S(i).

Tu J (i) je celkový moment hybnosti i−tého elektrónu z N elektrónov tvo-riacich elektrónový obal atómu. Obdobne (J (i))3 je tretia zložka celkovéhomomentu hybnosti i−tého elektrónu, ktorého orbitálny moment hybnosti jeL(i) a spin je S(i).

Exaktné pravidlá sa týkajú celkového momentu hybnosti J a jeho tretejzložky(J)3, teda príslušných kvantových čísiel J a J3

∆J = −1, 0,+1 okrem ∆J = 0 keď J (in) = J (out) = 0

∆J3 = −1, 0,+1.

Ostatné pravidlá platia len pre elektrónové obaly, v ktorých sa uplatňujeL − S väzba (v prípade j − j väzby neplatia). Nejedná sa teda o exaktnépravidlá, ale pre L− S väzbu majú tvar

∆L = −1,+1,

∆S = 0.

177

Súhrnvýberovýchpravidiel premnoho elek-trónové atómy

Súhrnne

Exaktné L− S väzba∆J ∆J3 ∆L ∆S

−1, 0,+1(0←→/ 0)

−1, 0,+1 −1,+1 0

Tabuľka 6.16: Súhrn výberových pravidiel pre mnoho elektrónový atóm. Pravidlá preJ a J3 sú exaktné, pravidlá pre L a S platí pre atóm, v ktorého elektrónovom obale sauplatňuje L− S väzby.

Poznámka 6.47. Všetky tu uvedené výberové pravidlá sa týkajú tzv. elek-trických dipólových prechodov. Uvedené pravidlá nezahŕňajú dipólové mag-netické prechody, ktorých intenzita je cca. 137-krát nižšia, než intenzitaelektrických dipólových prechodov. Okrem dipólových prechodov existujúkvadrupólové (elektrické a magnetické) prechody. Tie sú znova cca. 137-krátmenej intenzívne, než príslušné dipólové prechody. Analogický vzťah patrípre multipólové prechody vyššieho rádu.

Pri multipólových prechodoch fotón môže odniesť vyšší moment hyb-nosti, než pri dipólovom elektrickom prechode. Vyjadrená v kvantových čís-lach, veľkosť odnášaného momentu hybnosti môže byť 2,3,4, atď., pričomintenzita takých prechodov je úmerne slabšia (úmera je α2, α3, α4, . . . , αm

kde α je konštanta jemnej štruktúry, ktorej hodnota je približne 1/137), am je rád multipólu. Fotón multipólového žiarenia rádu m odnáša momenthybnosti m~. Parita multipólového žiarenia tiež závisí od rádu multipólu.Parita elektromagnetického multipólového prechodu rádu m je (−1)m, kýmparita magnetického multipólového prechodu je (−1)m+1.

Multipólové prechody, tj. kvadrupólové (m = 2), oktupólové (m = 3),atď. sú významné vtedy, keď prechody nižšieho rádu sú zakázané výberovýmipravidlami.

Poznámka 6.48. Pozorný čitateľ si určite všimol, že spomínaný prechodatómu vodíka, pri ktorom sa preklopí spin elektrónu v magnetickom polijadra, patrí medzi zakázané prechody, lebo pri ňom ∆l = 0 (elektrón zostávana podvrstve 1s). Napriek tomu tento prechod existuje a hrá ústrednú úlohuv astronomických pozorovaniach. Vďaka tomu, že pravdepodobnosť tohotoprechodu je malá, príslušná emisná čiara, je veľmi ostrá – inými slovami ener-gia vyžiareného fotónu má veľmi malý rozptyl, za čo vďačí svojmu ústred-nému postavevniu v astronómii.

178

Kapitola 7

Experimenty s kvantovýmivlastnosťami

V predchádzajúcej kapitole sme sa venovali mnoho elektrónovým systémom aich kvantovým vlastnostiam. Experimenty, ktoré tieto vlastnosti potvrdzujú,boli vykonávané použitím vzoriek, ktoré sa skladali z mnohoelektrónovýchatómov. To bolo dôvodom, prečo sme tieto experimenty uvádzame až v tomtookamihu.

7.1 Moment hybnosti fotónu

V roku 1936 vykonal Richard A. Beth experiment, v ktorom zmeral mo-ment hybnosti fotónu. V prípade dipólového žiarenia sa skladá elektromag-netické pole elektrickej zložky popísanej elektrickým poľom E a magnetickejzložky popísanej indukciou magnetického poľa B. Tieto dve zložky elektro-magnetického poľa sú kolmé (v prípade dipólového žiarenia) na smer šíreniažiarenia i navzájom.

K pochopeniu Bethovho experimentu stačí, aby sme uvažovali len o elek-trickej zložke elektromagnetického žiarenia (o elektrickom poli E).

Elektromagnetické žiarenie môže byť polarizované. Pokiaľ elektrická zložkapoľa kmitá v rovine, hovoríme o lineárne polarizovanom elektromagnetickomžiarení1.

Teraz si predstavme, že sa pozeráme do zdroja svetla a svetlo prechádzarovinou, ktorá sa nachádza pred nami. Ak vektor elektrického poľa E popisujev tejto rovine kružnicu, hovoríme o kruhovej polarizácii. Ak hľadiac do zdroja

1pokiaľ elektromagnetické žiarenie je vo viditeľnom pásme, tak hovoríme o lineárnepolarizovanom svetle – obdobné platí pre ostatné druhy polarizácií

179

180

je tento pohyb vektoru elektrického poľa v spomínanej rovine v smere choduhodinových ručičiek (je pravotočivý), hovoríme o pravotočivej kruhovej po-larizácii, v opačnom prípade o ľavotočivej. Druhy polarizácie sú znázornenéna obrázku 7.1. Ak vektor elektrického poľa popisuje elipsu, polarizácia jeeliptická. Ďalej o eliptickej polarizácii nebudeme uvažovať.2

Jednotlivé prípady polarizácie sa dajú charakterizovať aj fázovým po-sunom ϕ zložiek elektrického poľa elektromagnetického žiarenia, ako to ukazujeobrázok 7.1. Ak je fázový posun 0 alebo π, elektromagnetické žiarenie jelineárne polarizované. Ak je fázový posun Pi

2 , 3π2 , 5π2 . . . je elektromagnet-ické žiarenie kruhovo polarizované.

Tento vzťah medzi druhom polarizácie a fázovým posunom sa dá využiťk zmene spôsobu polarizácie pomocou anizotropných materiálov.

Pripomíname, že v anizotropnom materiále je rýchlosť, ktorou sa šíriazložky elektromagnetického poľa, odlišné. Ďalej budeme uvažovať o kryštále,v ktorom sa šíri elektromagnetické vlnenie v smere osi z a dvojica hlavnýchosí kryštálu určujú osi x a y. Zložka Ex sa šíri v kryštále rýchlosťou cx, kýmzložka Ey rýchlosťou cy – pozri obrázok 7.2.

Vybrúsením anisotropného kryštálu správnej hrúbky (a pri správnej ori-entácie hlavných osí) môžeme vyrobiť tzv. λ/2 doštičku (obr. 7.2), ktoráspôsobí fázový posun ϕ = π medzi zložkami elektrického poľa. Z ľavotočivejkruhovej polarizácie vytvorí pravotočivú a naopak.

Beth meral v experimente mechanické účinky monochromatického svetlaprechádzajúceho cez λ/2 doštičku zavesenú na tenké kremíkové vlákno. Zis-til, že kruhovo polarizované svetlo prechádzajúce cez λ/2 doštičku, pôsobína doštičku momentom sily. Moment sily je najväčší práve pri kruhovej po-larizácii svetla.

Z prepočtu tohoto momentu sily na jeden fotón vychádzalo, že veľkosťz-vej zložky momentu hybnosti fotónu je (J)z = +~ pre pravotočivú polar-izáciu a (J)z = −~ pre ľavotočivú polarizáciu.

2V rádioastronómii sa pravo- a ľavotočivosť sa posudzuje nie z pohľadu prijímača, alevysielača. Táto konvencia, ktorá sa v rádioastronómii používa, sa označuje ako tradičná.Nami zavedená konvencia sa ozančuje ako prirodzená. V danom okamihu koncový vektorelektrického poľa popisuje tzv. helix (pozri obr. 7.1 časť (e) a (f)). Pre pravotočivú po-larizáciu (chápanej podľa prirodzenej konvencie) je aj helix pravotočivý. Pre ľavotočivúpolarizáciu je helix ľavotočivý.

181

xxx

xxx

yyy

yyy

zzz

zzz

E

E

E

E

ϕ = 0 ϕ = π/2

ϕ = π ϕ = 3π/2

(J)z = −~

(J)z = +~

J

J

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

Obr. 7.1: Na obrázkoch vidíme znázornenú elektrickú zložku E elektromagnetickéhožiarenia v rôznych prípadoch. Elektromagnetické žiarenie sa šíri v smere osi z. Kolmo natento smer kmitá elektrické pole E elektrického poľa. Vo všeobecnom prípade má zložkuv smere osi x (obrázok (a)), aj v smere osi y (obrázok (b)). Tieto zložky majú priebehEx = exEx sin(kxz−ωt) a Ey = eyEy sin(kyz−ωt−ϕ), kde ex a ey sú jednotkové smeryukazujúce v smere osi x a y, ďalej ω je kruhová frekvencia elektromagnetického žiarenia,a kx = ky je vlnové číslo pre príslušné zložky elektrického poľa a platí pre nich ω

kx= cx,

a ωky

= cy , kde cx a cy je rýchlosť, ktorou sa šíri príslušná zložka elektrického poľa E vdanom prostredí. Na obrázku cx = cy , tj. je táto rýchlosť rovnaké pre obidve zložky. Vprípade, že elektrické pole E má len jednu zložku, elektromagnetické žiarenie je lineárnepolarizované (obr. (a) a obr. (b)). Superpozíciou dvoch takýchto vlnení vznikne lineárnevlnenie, pokiaľ fáza ϕ medzi maximami vlnení je posunuté o celočíselné násobky π (pozriobr. (c), kde ϕ = 0 a obr. (d) kde ϕ = π). Ak fázový rozdiel je ϕ = π/2, hovoríme okruhovej polarizácii – obr. (e). Ak sa pozrieme do zdroja svetla, vektor elektrického poľaE sa v pevne vybranej rovine (cez ktorú prechádza žiarenie kolmo) točí v kladnom smere.Hovoríme tiež, že príslušné fotóny sú ľavotočivé (ak palec ľavej ruky ukazuje do zdroja,ostatné prsty ukazujú smer, v ktorom sa točí vektor E elektrického poľa v pevne zvolenejrovine, cez ktorú prechádza). Obrázok (f) ukazuje elektrické pole pravotočivých fotónov.V tomto prípade je fázový posun medzi zložkou Ex a Ey rovný ϕ = 3π

2. Pre pravotočivé

fotóny ukazuje moment hybnosti fotónov v smere letu (obr. (f)), kým pre ľavotočivé fotónyukazuje proti smeru letu (obr. (e)).

182

x

y

z

cx

cy

Obr. 7.2: Princíp činnosti lambda pol doštičky. V anizotropnom kryštále je rýchlosť šíre-nia svetla odlišná pre zložky elektrického poľa, ktoré kmitajú v rôznych rovinách. Naobrázku sme znázornili prípad, keď elektromagnetické pole sa šíri v smere osi z. Rýchlosť,ktorou sa šíri zložka Ex elektrického poľa E je cx, kým rýchlosť, ktorou sa šíri zložka Ey

elektrického poľa E je cy . Pre anizotropný kryštál sú tieto rýchlosti odlišné. Na obrázkusme znázornili prípad, keď cx = 5

6cy. Pri tomto pomere rýchlostí na znázornenej vzdiale-

nosti zložka Ex vykoná 3 celé kmity, kým zložka Ey len 52

kmitu. Pre ľubovoľné pomeryrýchlostí možno nájsť takú hrúbku kryštálu, pri ktorej medzi zložkou Ex a zložkou Ey

vznikne fázový rozdiel zodpovedajúci polovici vlnovej dĺžky, tj. π. v takom prípade hov-oríme o λ− pol doštičke. Ak fázový rozdiel je len π

2, potom hovoríme o λ/4 doštičke.

Ak lineárne polarizované svetlo dopadá λ/4 doštičku tak, že rovina kmitu elektrickéhopoľa je súhlasná s jednou z hlavných osí kryštálu (tj. s osou x resp. s osou y), svetlozostane lineárne polarizované. Pokiaľ však rovina kmitov lineárne polarizovaného svetladopadá do kryštálu tak, že rovina kmitov s hlavnými osami uzatvára uhol 45, potom medzipo počas prechody svetla kryštálom vznikne medzi zložkami Ex a Ey fázový rozdiel π/2a svetlo sa stáva kruhovo polarizovaným.

183

Silové účinky sú dôsledkom zákona zachovania momentu hybnosti. Fotónmá moment hybnosti, ktorého priemet na smer šírenia je v prípade kruhovejpravotočivej polarizácii +~, kým v prípade ľavotočivej polarizácii −~. Priprechode λ/2 doštičkou sa mení orientácia momentu hybnosti fotónu naopačnú. Zo zákona zachovania momentu hybnosti vyplýva, že rozdiel v mo-mente hybnosti preberá λ/2 doštička a vzniká tým moment sily, ktorýmpôsobí svetlo na doštičku, ktorá sa pootočí okolo bodu závesu (kremíkovévlákno pôsobí ako torzné kyvadlo). Z veľkosti výchylky sa dá určiť momentsily a veľkosť momentu hybnosti odovzdanej fotónmi za jednotu času. Naobrázku 7.3 je schematické usporiadanie Bethovho experimentu.

7.2 Einsteinov de Haasov experiment

Bethov experiment ukázal, že častice môžu niesť moment hybnosti, a to aj vprípade, keď sa jedná o častice fyzikálneho poľa. Predstava, že častica môžemať vlastný moment hybnosti v prípade častíc fyzikálnych látok, nie je takáprekvapivá. Keď si predstavíme koleso, ktoré sa točí okolo svojej osi, aleboguľôčku, ktorá sa točí okolo svojej osi3, tak je prirodzené, že predpokladámespojenie momentu hybnosti s rotáciou kolesa, či guľôčky.

Táto predstava však nie je taká prirodzená, pokiaľ spomínaný objektnemá rozmer, alebo je otázne, či disponuje s nejakým rozmerom.

V prípade elektrónu, ktorý obieha v atóme, sme povedali, že vďaka uza-vretej trajektórii jeho pohyb vytvára magnetický moment, ktorého veľkosťje

µ =qe2me

L,

kde qe je je elektrický náboj elektrónu, me je hmotnosť elektrónu a L jeveľkosť orbitálneho momentu hybnosti elektrónu na danej trajektórii (Am-pérov magnetický moment).

Einstein a de Haas4 už v roku 1910 navrhli experiment (teda štvrť sto-ročia pred Bethovým experimentom), ktorý by bol schopný merať pomer

µ

L.

3Pod pojmom „okolo svojej osi“ rozumieme os prechádzajúcu ťažiskom telesa a spojenús ťažiskom telesa.

4Wander Johannes de Haas, holandský fyzik

184

3

2

1 6

5

47

zrkadlomeracie zrkadlo

λ/4

λ/2

polarizátor

kremíkové vlákno osvetlenie

stupnica

monochromatický zdroj svetlaObr. 7.3: Schematický náčrt Bethovho experimentu. Svetlo z monochromatického zdrojaprechádza polarizátorom – pozostávajúceho z Niklovho hranola a λ/4 doštičky. Za polar-izátorom je svetlo kruhovo polarizované. Na obrázku tenké šípky so znázornenou rotáciouvektoru elektrického poľa znázorňujú fotóny. Hrubá šípka ukazuje moment hybnosti. Vpozícii 1 máme fotón s pravotočivou polarizáciou. Po prechode λ/2 doštičkou. Po prechodemá fotón ľavotočivú polarizáciu (pozícia 3). Zo zákona zachovania momentu hybnosti vy-plýva, že λ/2 doštička získala moment hybnosti, aký ukazuje hrubá šípka v pozícii 2 (súčetmomentu hybnosti znázornenej v pozícii 3 s momentom hybnosti v pozícii 2 je rovnýmoemntu hybnosti fotónu v pozícii 1). Následne fotón dopadne na zrkadlo. Predtým všakprejde λ/4 doštičkou a po odraze prejde znova. Výsledkom je fotón v pozícii 4 (schemat-icky ho kreslíme symetricky). Odrazený fotón znova prejde λ/2 doštičkou a ďalej zvýšimoment hybnosti doštičky. Doštička sa spolu s vláknom pootočí. Pootočenie sa meria po-mocou svetla odrazeného od meracieho zrkadla prilepeného ku kremíkovému vláknu. Smerotočenia je znázornený vektorom pri číslici 7.

185

Pokiaľ Ampérova predstava o pôvode magnetických vlastnostiach látok jesprávna, potom tento pomer musí byť

e

2me. (7.1)

Podľa Ampéra magnetické vlastnosti látok, aké majú napríklad ferromag-netiká, majú svoj pôvod v pohybe elektrónov po uzavretej trajektórii.

Schematický náčrt Enisteinovho de Haaseho experimentu je na obrázku7.4. Valec z ferromagnetickej látky je zavesené na tenké kremíkové vlákno,vytvárajúc spolu torzné kyvadlo. Valec sa nachádza vo vnútri cievky (ne-dotýkajú sa).

Pokiaľ v cievke tečie elektrický prúd, v cievke sa indukuje silné magne-tické pole, ktoré núti magnetický dipól vytváraný elektrónmi, aby sledovaliorientáciu magnetického poľa (znažia sa zaujať stav s najmenšou magnet-ickou energiou Em = −µ·B). Ak je s magnetickým momentom magnetickýchdipólov spojený aj moment hybnosti, pri každej zmene orientácie magnet-ického poľa bude pôsobiť na valec moment sily, snažiaci sa pootočiť valecstriedavo jedným smerom, potom druhým. Jedná sa o nútené kmity. Správ-nou voľbou frekvencie striedavého prúdu je možné dosiahnúť rezonančnúfrekvenciu kyvadla a zmerať zmenu veľkosti momentu hybnosti pri každomprepólovaní zdroja.

Precízne merania vykonané v roku 1919 (E.Back) priniesli prekvapivývýsledok. Pomer veľkosti magnetického momentu a momentu hybnosti boldvakrát taký veľký, než zodpovedalo ampérovej predstave, tj.

µ

L=

e

me. (7.2)

Vysvetlenie navrhol o dva roky neskôr Compton. Za magnetické vlastnostiferromagnetík zodpovedá nie pohyb elektrónov po uzavretej trajektórii, alevlastný magnetický moment elektrónov. Elektrón (okrem toho, že má elek-trický náboj), chová sa ako miniatúrny magnet a má aj vlastný momenthybnosti (spin). Pomer veľkosti magnetického momentu a veľkosti zmenymomentu hybnosti je

µ

L= ge

e

2me, (7.3)

kde faktor ge = 2 sa nazýva gyromagnetickým faktorom, alebo tiež g-faktorom.Dlhú dobu sa považovala hodnota ge = 2 za presnú, čo pôsobilo doj-

mom záhadného geometrického faktoru. Dnes poznáme jej hodnotu výrazne

186

~

Obr. 7.4: Schematické usporiadanie Einsteinovho de Haasovho experimentu. Ferromag-netický valec zavesený na kremíkovom vlákne sa zmagnetizuje pomocou silného vonka-jšieho magnetického poľa. Silné vonkajšie magnetické pole prinúti elektróny zorientovaťsa rovnakým spôsobom (minimalizuje sa tým ich magnetická energia) Pri zmene orien-tácie magnetického poľa sa zmení aj orientácia elektrónov. Táto zmena je doprevádzanázmenou orientácie momentu vlastného hybnosti (spinu) elektrónov. V dôsledku zákonazachovania momentu hybnosti sa valec pootočí na keramickom vlákne (Richardsonov jav[11]). Striedaním orientácie na rezonančnej frekvencii torzného kyvadla (tvoreného ferro-magnetickým valcom a kremíkovým vláknom) sa efekt otáčania stáva merateľným a jeurčiť pomer veľkosti magnetického momentu a spinu elektrónu.

187

presnejšie ge = 2, 002319304374(4). Nejedná sa teda o záhadný geometrickýfaktor, ale odráža magnetickú vlastnosť elektrónu, ako elementárnej častice(tak, ako jeho elektrický náboj odráža jeho elektrické vlastnosti).

Vzťahy, a predstavy, ktoré sme doteraz použili pri popisovaní Einsteinovhode Haasovho experimentu boli dôsledne klasické.

Použitím vzťahu (7.3) dostávame pre tretiu zložku magnetického mo-mentu elektrónu

µ3 = gee

2meS3 = ge

e~

2mes3, (7.4)

kde s3 je kvantové číslo tretej zložky spinu S3. Veličina

µB =e~

2me(7.5)

sa používa ako jednotka magnetického momentu v mikrosvete a nazýva saBohrovym magnetónom. Veľkosť magnetických momentov sa vyjadruje v ná-sobkoch Bohrovho magnetonu µB.

Tretia zložka magnetického momentu má veľký význam, nakoľko mag-netická energia magnetického dipólu sa dá vyjadriť nasledovne

Em = −µ ·B = −µ3B, kde B = |B|. (7.6)

Poznámka 7.1. Často spôsobuje ťažkosti v chápaní problematiky približnáhodnota gyromagnetického faktoru ge ≈ 2 a hodnota tretej zložky spinus3 = 1/2, ktoré sa vzájomne skoro kompenzujú. Ak vyjadríme veľkosť tretejzložky magnetického momentu elektrónu, dostávame totiž

µ3 = geµBs3 ≈ µB =e

2m~.

Nesmie nás to však mýliť, nie je to zhoda s Ampérovou predstavou o pomeremagnetického momentu a momentu hybnosti. Ďalšie experimenty, ako naprík-lad Sternov-Gerlachov experiment, či Zeemanov jav tiež dokazujú, že spinelektrónu je s = 1/2. Pri akomkoľvek zakolísaní, si pomeňme, že gyromag-netický faktor elektrónu nie je presne 2.

Kým Bethov experiment ukázal, že spin fotónu má zhodné mechanickévlastnosti ako moment hybnosti, Einsteinov de Haasov experiment (založenýna Richardsonovom jave) ukázal, že spin elektrónu má tiež zhodné mechan-ické vlastnosti, ako moment hybnosti. Poznamenajme ešte, že rotujúce elek-tricky neutrálne teleso vykazuje spontánnu magnetizáciu, čo je obrátenýmRichardsonovým javom a nazýva sa Barnettovým javom.

188

Poznámka 7.2. Veľmi často je užitočná predstava, že elektrón je pevnáguľôčka s hmotnosťou me, ktorého spin vzniká rotáciou okolo vlastnej osi.Elektrický náboj na povrchu, či v objeme tejto guľôčky potom generuje mag-netické pole. Podrobnejšími (nie príliš komplikovanými) výpočtami sa všakdá ukázať, že táto predstava nevie vysvetliť veľkosť magnetického momentuelektrónu (µe ≈ µB).Teória relativity popiera, že by sa mohlo niečo pohybo-vať rýchlejšie, ako svetlo vo vákuu a to platí aj pre časti rotujúcej guľôčky(elektrónu). Toto rýchlostné obmedzenie bráni tomu, aby rotácia častí hy-potetickej guľôčky mohla byť dostatočne rýchla a mohla vygenerovať mag-netické pole zodpovedajúce magnetickému momentu elektrónu. Magnetickévlastnosti elektrónu sú jemu vlastné a nezodpovedajú ampérovej predstavevzniku v dôsledku pohybu elektricky nabitých častí hmoty.

7.3 Sternov Gerlachov experiment

Sternov Gerlachov experiment dokazuje, že orientácia magnetického mo-mentu atómov vo vonkajšom magnetickom poli nie je ľubovoľná. Ich mag-netická energia Em = −µ ·B je kvantovaná, a s tým je spojená naša klasickápredstava, že uhol medzi vektorom µ magnetického momentu atómu a vek-torom B magnetickej indukcie vonkajšieho magnetického poľa nemôže byťľubovoľná. Táto predstava je veľmi ilustratívna, ale prístup cez kvantovaniemagnetickej energie je výrazne jednoduchšie.

Zoberme napríklad elektrón, ktorého magnetická energia vo vonkajšommagnetickom poli s magnetickou indukciou B je

Em = −µe ·B = −(µe)3B = −geµBs3B, (7.7)

kde s3 je kvantové číslo tretej zložky spinu elektrónu. Silové účinky na mag-netický moment elektrónu vo vonkajšom magnetickom poli budú

Fm = −∇Em = geµBs3∇(B),

z čoho vyplýva, že silové účinky pri hodnote s3 = +12 budú presne opačné,

ako v prípade s3 = −12 . Pokiaľ gradient ∇(B) magnetického poľa bude

veľké, silové účinky rozdelia zväzok elektrónu do dvoch častí.To je základná idea Sternovho Gerlachovho experimentu, pravda, elektr=ony

nie sú vhodným objektom pre tento experiment, nakoľko nie sú elektrickyneutrálne a pri prechode magnetickým poľom na nich pôsobí Lorenetzovasila F L = qev × B. Sterna a Gerlach svoj experiment realizovali na elek-tricky neutrálnych atómoch. Schematický náčrt experimentu je znázornenýna obrázku 7.5.

189

N S N S

zdroj častíc

kolimátory

Obr. 7.5: Schematický náčrt Sternovho Gerlachovho experimentu. Zdrojom častíc bol vpôovodnom experimente platinový drôt s postrebreným povrchom. žhavením platinovéhodrôtu sa zo striebornej vrstvy uvoľnili atómy striebra. Preletom cez kolimátory sa vytvoriltenký zväzok, ktorý pri prechode nehomogénnym magnetický poľom sa rozdelili do dvochzväzkov. Základná energetická hladina atómu striebra je 2S1/2. Počet zväzkov, ako ukázaliďalšie experimenty, je 2J+1, kde J je kvantové číslo celkového momentu hybnosti atómu.Na ľavom obrázku je znázornené rozdelenie zväzku striebra do dvoch častí (2× 1

2+ 1 =

2). Na ľavom obrázku je náčrtok rozdelenia zväzku atómov striebra (neskôr bol tentoexperiment zopakovaný aj s vodíkom (2S1/2)). Na pravom obrázku vidíme schematickýnáčrt v prípade titánu (základná hladina je 3F 2).

190

Atóm striebra v základnom stave je na energetickej hladine 2S 12. Pre-

chodom cez nehomogénne magnetické pole sa zväzok atómov striebra rozdelilna dva zväzky a na tienidle vytvorili svetelný bod, symetricky voči nulovejpolohe (pôvodného smeru letu atómov). Ďalšie experimenty ukázali, že početzväzkov po prechode nehomogénnym magnetickým poľom je rovný 2J + 1,kde J je kvantové číslo veľkosti celkového momentu hybnosti atómov. Todokazuje, že magnetický moment je spojený s celkovým momentom hybnostiatómu. (V prípade voľného elektrónu je celkový moment hybnosti vlastnýmoment hybnosti elektrónu, tj. jeho spin.)

Jednotlivé zväzky zodpovedajú jednotlivým hodnotám tretej zložky J3celkového momentu hybnosti J.

Poznámka 7.3. Niekoho by mohlo napadnúť, že vybratím zväzku s konkrét-nou hodnotou J3 by bolo možné a tomto zopakovať meranie. Opakovanímtakého merania však už zväzok nerozdelí na dve časti, lebo všetky atómy vdanom zväzku majú rovnakú hodnotu tretej zložky J3.

Ďalším nápadom by mohlo byť, že zopakovaním experimentu ale s aparatúroupootočenou o 90° by bolo možné zmerať zložku J2 celkového momentu hyb-nosti a potom aj J1. Tieto experimenty je možné vykonať a zväzok sa rozdelí(napríklad pri meraní J2) na dva zväzky, čo nie je prekvapivé, lebo meriamezložku vektoru v inom smere, než pri meraní zložky J3. Kvantovou vlast-nosťou prírody však je, že po takomto meraní (meraním zložky v inom, nežv pôvodnom smere), má vplyv na stav atómov. Meranie zložky J2 zasiahnedo hodnoty zložky J3. Pred meraním zložky J2 sme vyfiltrovali tie atómy,ktoré mali konkrétnu hodnotu J3 (napr. +1

2 ). Zmeraním J2, sa medzi ató-mami znova budú atómi, ktorých hodnota tretej zložky bude J3.

Vysvetlíme túto vlastnosť pomocou 200 farebných hračiek. Hračky tupredstavujú kocky a guľôčky, oba môžu byť zelené i červené. Keby farbaa tvar hračiek mali medzi sebou taký vzťah, ako dve odlišné zložky mo-mentu hybnosti (napr. J3 a J2), vyššie popísané kvantové vlastnosti byvyzerali nasledovne. Najprv hračky rozdelíme na guľôčky (skupina A) akocky (skupina B), bez ohľadu na ich farbu (výber zložky J3). Ak zoberiemevytriedené guľôčky (nech je ich 108 kusov a kociek je 92 kusov) a znova ichideme triediť podľa tvaru, už dostaneme len jednu skupinu so 108 guľôčkami,lebo všetky sú guľôčky (J3 sa nezmenilo).

Urobíme teraz na tejto hromade 108 guľôčok (skupina A) triedenie podľafarieb a vzniknú (dajme tomu) dve kôpky, 50 červený hračiek (skupina C) a58 zelených (skupina Z) – dve možné hodnoty J2. Nemôžeme však tvrdiť, žeje to 50 červených a 58 zelených guľôčok (tj. nemôžeme tvrdiť, že po zmeraní

191

J2 je hodnota J3 taká istá ako pred meraním J2). Experiment totiž ukazuje,že (používajúc stále analógiu hračiek) keď teraz vyberieme napríklad skupinu58 zelených hračiek (skupina Z) a ideme ich triediť podľa ich tvaru, nájdememedzi nimi guľôčky ale aj kocky – napríklad 36 guľôčok (skupina G) a 22kociek (skupina K).

3Príklad 7.4. Vychádzajúc z predchádzajúcej poznámky určte, že koľkobolo guľôčok a koľko bolo kociek po všetkých vykonaných procedúrach shračkami?

Riešenie. Správna odpoveď je, že nevieme, lebo skupinu C, ktorá vzniklapo delení hračiek podľa farieb, sme už netriedili podľa tvaru. Podľa nášhovysvetlenia tam môžu byť guľôčky aj kocky. Vieme však povedať, že ko-ciek je aspoň 114 (skupina B, ktorú po triedení podľa farieb sme už nechalinepozmenenú, a skupina K, ktorá vznikla na konci experimentu). Guľôčokje aspoň 36 (skupina G). O zvyšných hračkách nevieme, koľko z nich súguľôčky a koľko kocky.

3Úloha 7.5. Koľko je červených a koľko zelených hračiek na konci všetkýchprocedúr v analógii, ktorá je uvedená v poznámke 7.3?

3Úloha 7.6. Koľko je červených kociek na konci všetkých procedúr v analógii,ktorá je uvedená v poznámke 7.3?

7.4 Zeemanov jav

Na konci 19-ho storočia sa nazbieralo veľké množstvo experimentálnych dáto spektrách atómov. Spektrá atómov stali veľmi užitočným nástrojom priurčovaní chemickej skladby látok. Štruktúra spektrálnych čiar spektra všakbola nerozlúsknuteľným orieškom pre klasickú fyziku. Skúmanie spektrál-nych čiar, keď žiarič je vystavený účinkom vonkajšieho magnetického poľabola nová myšlienka, ktorou prišiel Pieter Zeeman v roku 1897. Zeemanzistil, že spektrálne čiary žiariacich atómov sa rozštiepia. Pôsobením vonka-jšieho magnetického poľa spektrum žiariacich atómov sa stáva ešte kompiko-vanejšou. Tento vzrast komplikovanosti sa dá riadiť vonkajším magnetickýmpoľom a vďaka tomu je možné (po zložitej analýze) pochopiť, ako táto štruk-túra vzniká. Získame tým aj informáciu o samotnej štruktúre atómov.

V predchádzajúcej kapitole sme ukázali, ako interakcia medzi elektrónmielektrónového obalu atómu – sprostredkovaná nimi generovaným magnet-ickým poľom – určuje kvantovanú energiu atómu, jeho jednotlivých stavov.Z tohoto pohľadu Zeemanov jav nie je prekvapením. Pravda je však tá, že

192

práve Zeemanov jav prispel k poznatkom, ktoré sme zhrnuli v predchádza-júcej kapitole.

Pieter Zeeman5

normálny Zee-manov jav

Experimentálne usporiadanie Zeemanovho experimentu je na obrázku7.6. Na obrázku je znázornené schematické pozorovanie normálneho Zee-manovho javu. normálny Zeemanov jav sa dá vysvetliť prostriedkami kla-sickej fyziky. Magnetický dipól umiestnený vo vonkajšom magnetickom polivykonáva precesný pohyb okolo vektoru magnetickej indukcie vonkajšiehopoľa. Frekvencia tejto precesie je νL tzv. Larmorova frekvencia. Klasickéodvodenie vychádza z predstavy, že magnetický dipól vzniká v dôsledku po-hybu elektrónu na uzavretej trajektórii (pre jednoduchosť si môžeme pred-staviť kružnicu). Frekvencia ν, ktorou obieha elektrón okolo jadra, je výrazneväčšia, ako Larmorova frekvencia νL, ktorou táto kružnicová trajektóriavykonáva precesný pohyb.

To, čo je znázornené na obrázku 7.6 môžeme ľahko pochopiť aj bez toho,že by sme sa pustili do klasického odvodenia. Predstavme si, že sa pozerámena elektrón z veľkej vzdialenosti (vzhľadom na rozmery trajektórie elektrónu,je pri reálnom experimente tento predpoklad splnený). Nevidíme detaily po-hybu elektrónu, registrujeme len elektromagnetické vlnenie, ktoré elektrónvytvára svojim zrýchleným pohybom.

Kým nemáme zapnuté magnetické pole (časť (a) obrázku 7.6), frekvenciatohoto zrýchleného pohybu je ν a mi registrujeme elektromagnetické vlnenies frekvenciou ν.

Zapneme teraz vonkajšie magnetické pole (časť (b) obrázku 7.6) a tentosmer budeme označovať ako smer osi z. Pozeráme sa na elektrón zo smeruy,ktorý je kolmý na magnetické indukčné čiary obklopujúce náš elektrón.Elektrón obieha po kružnicovej trajektórii s frekvenciou ν. Os kružnicovejtrajektórie uzatvára s magnetickým poľom pevný uhol, a otáča sa okolovektoru magnetickej indukcie s Larmorovou frekcenciou νL.

Pozriem sa najprv na zložku elektrického poľa, ktorá ukazuje v smerevonkajšieho magnetického poľa. Táto je generovaná zložkou z pohybu elek-trónu. Táto frekvencia je zrejme rovná ν. Máme teda lineárne polarizovanúzložku (rovina polarizácie je daná smerom magnetických indukčných čiar) sfrekvenciou ν.

5Holandský fyzik Pieter Zeeman (25.5.1865 – 9.10.1943) získal Nobelovu cenu zafyziky v roku 1902 spolu s Hendrikom Lorentzom za ich výskum a prispenie k vysvetle-niu javov žiarenia za prítomnosti magnetického poľa.

193

N

S

N S

(a)

(b)

(c)

Obr. 7.6: Schematické znázornenie experimentálneho usporiadania pre pozorovanie Zee-manovho javu. Na obrázku (a) vidíme banku s excitovaným plynom, ktorého svetlosa vedie cez kolimátor do spektroskopu (hranol) a pozorujeme konkrétnu spektrálnučiaru zodpovedajúcu prechodu medzi dvomi hladinami. Na obrázku (b) vidíme situá-ciu s rozdielom, že excitovaný plyn je vložený do magnetického poľa. Spektroskopomsa pozorujú lúče, ktoré z plynu vychádzajú kolmo na smer magnetických indukčných čiar.Pôvodná spektrálna čiara (s frekvenciou ν) sa rozštiepi na tri spektrálne čiary. Jedna znich je na pôvodnom mieste (frekvencia ν), dve sú posunuté symetricky na obe strany (sfrekvenciou ν −∆ν a ν +∆ν). Na obrázku je naznačená lineárna polarizácia. Prostrednáčiara (s pôvodnou frekvenciou) je lineárne polarizovaná v smere magnetických indukčnýchčiar, čiary s posunutou frekvenciou sú lineárne polarizované kolmo k magnetickým in-dukčným čiaram. Ba obrázku (c) sa pozorovanie vykonáva v smere magnetických in-dukčných čiar. V tomto prípade sa pozorujú len dve spektrálne čiary (ν −∆ν a ν +∆ν).Ich polarizácia je kruhová.Pozn.: počet čiar, na ktoré sa pôvodná rozštiepi, závisí od kvantového čísla veľkosticelkového momentu hybnosti atómov plynu.

194

Priemet pohybu elektrónu na rovinu xy už odráža aj Larmorovu frekven-ciu. Príslušná zložka elektrického poľa bude superpozíciou dvoch elektromag-netických vlnení, z ktorých jedna má frekvenciu ν − νL a druhá frekvenciuν + νL. Máme teda dve lineárne polazirované zložky s odlišnými frekvenci-ami, ktorých rovina polarizácie je kolmá na smer magnetických indukčnýchčiar.

Ak sa pozrieme na časť (c) obrázku 7.6, v tomto prípade sa pozoruje po-hyb elektrónu po trajektórii, zo smeru magnetického poľa (os z). Tu nevidímezložku pohybu elektrónu v smere magnetického poľa, preto nie je prítomnéelektromagnetické vlnenie s frekvenciou ν. Vidíme však zložky pohybu vrovine kolmej na magnetické pole (rovina xy). Aj v tomto prípade vidímedve zložky, jednu s frekvenciou ν − νL, druhú s frekvenciou ν + νL. Naviac,elektrón sa pohybuj po kružnici a vektore elektrického poľa sa otáča tiež pokružnici. Je preto prirodzené, že elektromagnetické žiarenie s týmito dvomifrekvenciami je kruhovo polarizované.

Poznámka 7.7. Klasický popis Zeemanovho javu trpí množstvom nedostatkov.

• Zrovna tak, ako planetárny model atómu, bez Bohrovej podmienkykvantovania, vychádza z Maxwellových rovníc. Elektrón žiari v dôsledkuzrýchleného pohybu. Výkon žiarenia je mimoriadne veľký (rádovo 10−8 Wna jediný elektrón). Pri takomto výkone žiarenia strata energie elek-trónu je tak rýchla, že nie je splnená podmienka pre stálu frekvenciu(ν) obehu elektrónu.

• Jediný elektrón prispieva do všetkých spektrálnych rozštiepených čiar,čo odporuje zisteniu, že elektromagnetické žiarenie pozostáva z fotónov,z kvánt elektromagnetického žiarenia (fotoelektrický jav).

• Klasický popis nevie vysvetliť prípady, keď jednoduchá čiara sa štiepiza prítomnosti magnetického poľa na iný, než tri spektrálne čiary, nevienapríklad vysvetliť, prečo charakteristická žltá spektrálna čiara sodíku(označovaný ako D1 a D2) sa štiepi celkom na 10 čiar (D1 na 4 a D2

na 6).

S týmito problémami si vie kvantová predstava rady.

Anomálny Zee-manov jav

Zeemanovsnké štiepenie spektrálnych čiar, ktoré sa nedajú vysvetliť kla-sickým spôsobom, sa nazývajú anomálnym Zeemanovým javom. Nastáva tovždy v prípade, keď za magnetické vlastnosti atómu zodpovedá magnetickýmoment elektrónu (spojený s jeho spinom).

195

JzJz

2p1/2

2s1/22s1/2

2p3/2

D1 D2

+1/2

−1/2

+1/2+1/2

−1/2−1/2

+3/2

+1/2

−1/2

−3/2

Obr. 7.7: Schematický náčrt energetických hladín D1 a D2, a ich štiepenia pri anomálnomZeemanovom jave. Pri neprítomnosti magnetického poľa vzniká charakteristická dvojitáčiara sodíku (nazývaný sodíkový dublet D1, D2) prechodom valenčného elektrónu z hladiny2p1/2 na hladinu 2s1/2 (čiara D1), a prechodom z hladiny 2p3/2 na hladinu 2s1/2 (čiaraD2).Za prítomnosti magnetického poľa sa hladiny rozštiepia. Počet vzniklých stavov je danýkvantovým číslom J veľkosti celkového momentu hybnosti pôvodnej hladiny (v súľade soSternovým Gerlachovým experimentom). Počet stavov je rovný 2J + 1. Vpravo od stavovsme uviedli hodnotu tretej zložky celkového momentu hybnosti Jz po rozštiepení hladín.Šípkami sme vyznačili tie dipólové prechody, ktoré výberové pravidlá dovoľujú. Nie sútu prechody 2p

+1/21/2 → 2p

−1/21/2 , kde by bolo ∆l = 0 (platí pre dipólový prechod), ani

ostatné prechody tohoto typu. Pri D2 tu nie je napríklad ani prechod 2p+3/2

3/2 → 2s−1/2

1/2 ,

kde by bolo ∆J3 = −2 (exaktné pravidlo), ani ostatné prechody tohoto typu. Štiepenieznázornené je síce len schematické, ale zdôraznili sme, že štiepenie hladiny 2s1/2 je väčšievďaka väčšiemu gyromagnetickému faktoru elektrónu (podrobnejšie vysvetlenie pozri vtexte).

196

Pôvod anomálneho Zeemanovho javu je schematicky znázornený na obrázku7.7, kde sme značenie uvádzali pre valenčný elektrón.

Poznámka 7.8. Ako sme už povedali, uzavreté vrstvy a podvrstvy neprispievajúdo orbitálneho momentu, spinu, ani celkového momentu hybnosti atómu,preto v prípade sodíka, ktorý má jediný valenčný elektrón, spektroskopickéznačenie energetických hladín a stavov sa zhoduje s jednočasticovým značenímvalenčného elektrónu. V tomto prípade by sme mali hladiny (značením kon-figurácie len pre neuzavreté podvrstvy) 2p 2P 1/2, 2s

2S1/2 a 2p 2P 3/2. Stavy

by boli značené ako 2p 2P+1/21/2 , 2p 2P

−1/21/2 , 2p 2P

+3/23/2 , 2p 2P

+1/23/2 , . . . .

Štiepenie hladín 2S1/2 je z energetického hľadiska väčšie vďaka väčšiemugyromagnetickému faktoru elektrónu. V prípade atómov má každá hladina (vprincípe) odlišný magnetický moment µhladina, alebo gyromagnetický faktorghladina, kde

µhladina = ghladinaµB . (7.8)

Pred vyjadrením tohoto gyromagnetického faktoru zhrnieme poznatky, kuktoré sme uviedli už v predchádzajúcich kapitolách.

Príroda nerozpoznáva medzi momentom hybnosti pochádzajúceho z or-bitálneho pohybu L a medzi vlastným momentom hybnosti elektrónu (častíc)S. Magnetický moment atómu mh na hladine h je preto (ako vektorováveličina) úmerná celkovému momentu hybnosti Jh na tejto hladine

µh ∼ Jh.

Na druhú stranu, pri L−S väzbe predsa dominujú orbitálny moment hybnostiLh a Sh danej hladiny. Magnetické vlastnosti sú spojené s magnetickýmmomentom muL pochádzajúceho z orbitálneho momentu hybnosti, ktorý jesúčtom orbitálnych momentov hybnosti jednotlivých elektrónov atómu. Jevšak rovnocenne spojený aj s magnetickým momentom µS , ktorý je spojenýso spinom atómu rovným so súčtom spinov jednotlivých elektrónov.

Platí pritomµL =

qe2m

L, (7.9)

tj. gyromagnetický faktor je gL = 1, kým pre spin

µS = geqe2m

S. (7.10)

Uvedené argumenty vedú k očakávanému vzťahu

µh =J

|J |

[

J

|J | · (µL + µS)

]

, (7.11)

197

kde J

|J | je jednotkový vektor ukazujúci v smere celkového momentu hybnostiJ . Tento vzťah vyjadríme pomocou orbitálneho momentu hybnosti L a spinuS atómu

µh = J1

|J |2 µB (gLJ · L+ geJ · S) (7.12)

Uviedli sme, že v kvantovej fyzike je vzťah medzi veľkosťou momentu hyb-nosti |J | a príslušným kvantovým číslom J

|J |2 = ~2J(J + 1).

Skalárne súčiny J · L a J · S tiež prevedieme na kvantové čísla veľkostívyužitím definície skalárneho súčinu

S2 = (J −L)2 = J2 +L2 − 2J ·L,

odkiaľ

J · L =1

2

(

J2 +L2 − S2)

= ~2J(J + 1) + L(L+ 1)− S(S + 1)

2. (7.13)

Rovnakým postupom dostaneme

J · S =1

2

(

J2 + S2 −L2)

= ~2J(J + 1) + S(S + 1)− L(L+ 1)

2. (7.14)

Dossadením do vzťahu (7.12) a usporiadaním čelnov dostaneme

µh = JµB(gL + ge)J(J + 1) + (gL − ge)L(L+ 1) + (ge − gL)S(S + 1)

2J(J + 1)(7.15)

Ak teraz využijeme toho, že gL = 1 a s veľkou presnosťou ge ≈ 2 získame

µh = JµB3J(J + 1)− L(L+ 1) + S(S + 1)

2J(J + 1)(7.16)

Pre gyromagnetický faktor hladiny h je potom

gh = 1 +J(J + 1)− L(L+ 1) + S(S + 1)

2J(J + 1)(7.17)

Príklad 7.9. Vypočítajte gyromagnetický faktor pre hladinu 2S1/2 rozober-aný na obrázku 7.7.

198

Riešenie. Pre hladinu 2S1/2 je J = 1/2, L = 0, S = 1/2 a

g2S1/2= 1 +

12

32 − 0 + 1

232

212

32

= 2.

Úloha 7.10. Ukážte, že gyromagnetický faktor pre hladinu 2P 1/2, rozober-aný na obrázku 7.7, je g2P 1/2

= 23 .

Úloha 7.11. Vypočítajte gyromagnetický faktor pre hladinu 2P 3/2, rozober-aný na obrázku 7.7.

Zo znalosti gyromagnetického faktoru sa dá určiť energia rozštiepenýchhladín (tj. stavov) ako

∆E = ghµBj3B, (7.18)

kde B je veľkosť magnetickej indukcie, ktorá vyvoláva Zeemanov jav.Uvedená väzba magnetického momentu atómu a vyššia hodnota gyro-

magnetického momentu elektrónu dobre popisujú normálny, aj anomálnyZeemanov jav. Gyromagnetický faktor prislúchajúci jednotlivým hladinámdáva veľkosť rozštiepenia energetických hladín tiež v súlade s experimentom.V prípade, keď celkový spin atómu je S = 0, vďaka výberovému pravidlu∆S = 0 pre dipólové žiarenie, sú dovolené len prechody medzi stavmi sospinom 0. V taktomto prípade je gyromagnetický faktor daných hlkadínrovný 1, lebo J = L. Tieto prechody sa dajú popísať klasickými predstavami,ktoré sme naznačili vyššie lebo pôvodná spektrálna čiara sa štiepi na tri čiary.

Paschenov-Backov jav

Uvedené úvahy sú platné hlavne pre L − S väzbu. V prípade veľmi sil-ných vonkajšieho magnetického poľa6, sa väzba medzi orbitálnym momen-tom hybnosti elektrónového obalu a medzi spinom elektrónového obalu môžezaniknúť. V takomto prípade atóm môže vyžiariť fotón aj pri prechode, kde samení len orbitálny moment hybnosti. Štruktúra spektrálnych čiar sa zmení.Tento jav sa nazýva Paschenovým-Backovým javom.

Pri Paschenovom-Backovom jave je zmena energie stavov daný ako

∆E = µBB(gLL3 + geS3) ≈ µBB(3 + 2S3). (7.19)

Tento vzťah je platný len v prípade, keď vonkajšie magnetické pole jetaké silné, že L− S väzby v atómovom obale sa zrušia úplne.

6Veľmi silnou rozumieme pole,. ktorej magnetická indukcia je porovnateľná s magnet-ickou indukciou generovanou elektrónmi v elektrónovom obale, resp. ešte väčšia.

199

7.5 Starkov jav

Starkov jav je elektrickým analógom Zeemanovho javu. Pokiaľ zdroje elektro-magnetického žiarenia je pod vplyvom vonkajšieho elektrického poľa, dochádzak rozštiepeniu hladín, podľa ich degenerácie7. Posun spektrálnych čiar jelineárne závislá na intenzite vonkajšieho elektrického poľa E . Pri silnýchelektrických poliach8 je tento posun závislí na kvadráte intenzity vonkajšiehoelektrického poľa.

Poznámka 7.12. Kvantifikovaný popis javu si vyžaduje nástroje kvantovejmechaniky a prekračuje rámec tejto učebnice. Starkov jav má mimoriadnyvýznam pre kvantovú mechaniku a využitie aj komunikačných technológiachzaložených na optoelektronických prvkoch (ktoré komunikujú medzi sebouoptickými vláknami).

3Príklad 7.13. Na koľko hladín sa rozštiepi hladina základného stavu atómusíry pod vplyvom slabého vonkajšieho magnetického poľa?

Riešenie. Hladina základného stavu síry je 3P 2 (pozri dodatok D). Zo spek-troskopického značenia vyplýva, že S = 1, L = 1, J = 2. Počet vzniklýchstavov je 2J + 1 = 5.

4Úloha 7.14. Ukážte, že hladina základného stavu kobaltu sa vplyvom slabéhovonkajšieho magnetického poľa sa rozštiepi na 10 stavov.

3Úloha 7.15. Na koľko stavov sa rozštiepi hladina základného stavu paládiapod vplyvom slabého vonkajšieho magnetického poľa?

6

Príklad 7.16. Aká je veľkosť magnetickej energie magnetického dipólu vovonkajšom magnetickom poli s magnetickou indukciou veľkosti B = 1, 000 T,ak priemet magnetického momentu dipólu na smer magnetického poľa sarovná jednému bohrmagnetónu? Výsledok vyjadrite v elektronvoltoch.

Riešenie. Magnetická energia je daná ako Em = −µ ·B = −µ3B. Veľkosťmagetickej energie je | − µ3B|. podľa zadania |µ3| = µB = e~

2me.

Em =1, 602 × 10−19 C× 1, 054 × 10−34 J s

2× 9, 11 × 10−31 kg× 1, 000 T = 9, 267 × 10−4 J,

čo v elektronvoltoch je Em = 5, 785 × 10−5 eV.

7Ak v elektrónovom obale sa nachádzajú elektróny s rovnakou energiou, hovoríme, žeenergetická hladina je degenerovaná. Vonkajšie elektrické pole túto degeneráciu zruší.

8keď intenzita elektrického poľa je porovnateľná s intenzitou elektrického poľa gen-erovaného elektrónmi superponovaného s elektrickým poľom jadra atómu;

200

Úloha 7.17. Ak pôsobením magnetického poľa jadra atómu vodíka sa hlad-ina základného stavu 2S1/2 rozštiepi na stav 2S

+1/21/2 a 2S

−1/21/2 , pri prechode

elektrónu z energeticky vyššieho stavu energeticky nižšieho, vyžiari fotón svlnovou dĺžkou 21 cm. Aká je stredná hodnota magnetickej indukcie jadraatómu vodíka, ktorá spôsobuje toto rozštiepenie? [Nápoveda: energia fotónuje 5, 910 × 10−6 eV, gyromagnetický faktor hladiny základného stavu je 2,Efotón = ∆Em = geµB∆J3Bjadro, 5, 11 × 10−2 T.]

6

Kapitola 8

Vlnová mechanika

Počas prvých dvoch desaťročí zrodu kvantovej mechaniky, dualita časticov-ého a vlnového charakteru svetla sa vyvíjala spolu s hlavným prúdom kvan-tovej mechaniky – zase niekedy samostatne od nej. Svetlo javí časticové vlast-nosti vo fotoelektrickom jave, aj pri Comptonovom rozptyle. Na druhú stranujaví jasné vlastnosti pri interferenčných experimentoch.

Mladý Louis Victor Prince de Broglie s veľkým nadšením čítalzápisnicu z prvej Solvay-skej konferencie konanej v Bruseli v roku 19111.

Mladý de Broglie skúmal otázku, ako sa dá spojiť predstava vlnovej ičasticovej povahy svetla. Odpoveď nasšiel v spojení vlnovej optiky so špeciál-nou teóriou relativity. Svetlo (fotón) má vo vákuu energiu

E = hν (8.1)

a hybnosť

p =h

λ, (8.2)

kde ν je frekvencia svetla, λ je jeho vlnová dĺžka a h je Planckova konštanta.

1Slávne Solvayské konferencie boli založené belgickým priemyselníkom Ernestom

Solvayom. Konferencie sa konali raz za tri roky a bolo možné sa na nej zúčastniť lenna základe pozvania. Prvá Solvayská konferencia sa konala v roku 1911 za účasti najs-lávnejších fyzikov a chemikov (M Brillouin, E. Solvay, H. Lorentz, J. Perrin, W. Wien,M. Curie, H. Poincaré, M. Planck, A. Sommerfeld, Mauricius de Broglie (brat Lois deBrodlie, ktorého zápisnicu spomíname), E. Rutherford, Kammerling Onnes, A. Einstein amnohí iní). Najslávnejšia bola prvá a piata konferencia. Svetové vojny spôsobovali väčšieprestávky medzi konferenciami, než sa pôvodne plánovali. Konferencie sa venovali na-jvzrušujúcejším otvoreným otázkam fyziky a chémie. Prvá konferencia bola venovaná právekvantovej problematike, ktorá v tú dobu nemala pevné matematické základy, ani ujed-notenú filozófiu.

201

202

Vo vákuu platí, žeνλ = c = 299 792 458 ms−1. (8.3)

Fotón však nie je príliš dobrým adeptom na vyriešenie problému, nakoľkoje veľmi špeciálna častica. Jeho rýchlosť je rovná rýchlosti svetla vo vákuuc a je hraničná (podľa teórie relativity sa žiaden objekt nemôže pohybovaťväčšou rýchlosťou). Táto hraničná rýchlosť má rovnakú veľkosť pre každéhopozorovateľa, inými slovami fotón sa vo vákuu pohybuje len jednou rýchlos-ťou, rýchlosťou svetla c.

Vo vlnovej optike je definovaný pojem fázovej rýchlosti vf a grupovejrýchlosti vgr nasledovne

vf =ω

k=ν

κ, a vgr =

∂ω

∂k=∂ν

∂κ, (8.4)

kde ω je kruhová frekvencia svetla, k = 2πλ je tzv. vlnové číslo a κ = 1

λ jeredukované vlnové číslo.

Grupovú rýchlosť ľubovoľného vlnenia môžeme vyjadriť aj pomocou fá-zovej rýchlosti, nasledovne

vgr =∂(κvf)

∂κ= vf + κ

∂vf∂κ

, (8.5)

alebo pomocou vlnovej dĺžky

vgr = vf + κ∂vf∂λ

dλ

dκ= vf − λ

∂vf∂λ

. (8.6)

V prípade svetla vo vákuu je fázová rýchlosť rovná

vf =ν

κ= νλ = c

a je nezávislá od vlnovej dĺžky svetla, preto aj grupová rýchlosť je rovná c.Keď si predstavíme vlnový balík, v ktorej sa koncentruje energia a šíri

sa v priestore, musíme si byť vedomí toho, že vlnový balík, aký je aj naobrázku 8.1, je superpozíciou vlnení s odlišnými frekvenciami a amplitú-dami. V mieste, kde sa sústreďuje energia, tieto vlny interferujú konštruk-tívne, kým mimo vlnový balík je interferencia deštruktívna. V princípe mákaždá frekvenčná zložka vlnového balíka odlišnú rýchlosť (fázová rýchlosť),preto grupová rýchlosť sa môže líšiť od fázovej. V prípade závislosti fázovejrýchlosti od vlnovej dĺžky hovoríme o disperzii.

Napríklad, v skle je fázová rýchlosť svetla závislá na jeho vlnovej dĺžke.Vďaka tejto disperzii sa lámu jednotlivé farebné zložky bieleho svetla pododlišným uhlom a môžeme vidieť farby dúhy.

203

Vo vákuu je však rýchlosť svetla nezávislá od jeho vlnovej dĺžky, disperziaje nulová. Vďaka tomu (v súľade so vzťahom (8.6)) je grupová rýchlosť,ktorou sa premiestňuje v priestore vlnový balík prenášajúca energiu, rovnáfázovej rýchlosti a je rovná maximálnej možnej rýchlosti c.

Poznámka 8.1. Keby sme definovali energiu fotónu ako E = hcλ a hybnosť

ako p = hνc , by sme vďaka nezávislosti fázovej rýchlosti na vlnovej dĺžke,

dospeli k rovnakému výsledku. Konštantná rýchlosť svetla vo vákuu stierarozdiel medzi definíciou energie pomocou frekvencie a definíciou pomocou vl-novej dĺžky – celá záležitosť s ich definíciou sa zdá byť len formálna. Obdobnétvrdenie platí pre definíciu hybnosti svetla.

Tu vidíme, že špeciálna vlastnosť svetla bráni, aby sme videli hlbšie doprepojenia vlnovej a časticovej povahy svetla (nezávislosť rýchlosti svetla navlnovej dĺžke).

Louis de Broglie, aby videl hlbšie prepojenie medzi vlnovou a časti-covou povahou fotónu, vyslovil hypotézu, že aj objekty, akými sú elektrónya iné častice, majú vlnovú povahu. Ich frekvencia je

ν =E

h, (8.7)

a ich vlnová dĺžka je

λ =h

p. (8.8)

Tým je definovaná vlnová povaha častíc, kým korpuskulárna (časticová)povaha je daná základnými reláciami špeciálnej teórie relativity

E = mc2 =m0c

2

√

1− v2

c2

, (8.9)

ap = mv =

m0v√

1− v2

c2

, (8.10)

kde m je relativistická hmotnosť častice, m0 je jej pokojová hmotnosť a v jejej rýchlosť.

Časticová definícia energie E a hybnosti p umožňuje vyjadrenie ener-gie pomocou hybnosti (vylúčením rýchlosti v) z rovníc (8.9) a (8.10). Akteraz použijeme de Brogliem navrhnuté relácie (8.7) a (8.8) na vyjadre-nie vlnovej povahy častíc, získame funkčnú závislosť frekvencie ν od vlnovej

204

vgr

vgr

vč

vč

Obr. 8.1: Schematické znázornenie de Broglieho myšlienky. Častica, ako elektrón, másústredenú svoju energiu (E = mc2) do svojej hmoty (časticová predstava) – guľôčkavľavo dole, ktorej rýchlosť je v. Vlnový balík prenáša energiu vo vlnovom balíku – vlnovápredstava. Energia je sústredená do oblasti, kde vlnenie nie je nulové. Tento balík sapohybuje grupovou rýchlosťou. Ak časticová a vlnová predstava si nemajú protirečiť –časticovo vlnový dualizmus (obrázok vpravo) – rýchlosť, ktorou sa premiestňuje energia,nemôže byť závislá od toho, či časticu popisujeme ako vlnu, alebo ako časticu. Grupovárýchlosť sa musí rovnať rýchlosti hmotnej guľôčky predstavujúcu časticu (vgr = vč.)

dĺžky častíc λ. Z tejto funkčnej závislosti môžeme určiť grupovú rýchlosťvgr, ktorou sa šíri energia v de Broglieho hypotéze. Ak je de Broglieho

hypotéza správna, tak táto grupová rýchlosť vgr je rovná rýchlosti časticev časticovej predstave, lebo tam častica koncentruje do seba všetok energiepodľa Einsteinovho vzťahu E = mc2.

Vyššie popísaný postup môžeme výrazne zjednodušiť, keď použijeme relá-ciu, ktorú spĺňa energia E a hybnosť p častice s pokojovou hmotnosťou m0

E2 − p2c2 = m20c

4. (8.11)

V tejto relativistickej relácii vyjadríme energiu pomocou frekvencie (8.7) ahybnosť pomocou vlnovej dĺžky (8.8) a dostaneme

h2ν2 − h2c2κ2 = m20c

4. (8.12)

Rovnicu predelíme 2h2 a potom zderivujeme podľa κ, čím dostaneme

ν∂ν

∂κ− c2κ = νvgr − cκ = 0. (8.13)

Pre grupovú vgr rýchlosť dostávame

vgr =c2κ

ν=c2

νλ=c2

vf= v, (8.14)

205

kde sme využili toho, že

vf =ν

κ= νλ =

E

h

h

p=E

p=mc2

mv=c2

v. (8.15)

Hypotéza, ktorú de Broglie použil, garantuje, že grupová rýchlosťvlny je rovnaká, ako rýchlosť častice. Inými slovami, rýchlosť, ktorou satransportuje energia, je rovnaká z hľadiska vlnového náhľadu i časticovéhonáhľadu. Opak by bol neprijateľný.

Poznámka 8.2. V prípade fotónu je možné energiu definovať ako E = hcλ

a hybnosť ako p = hνc , ale ich použitie pre hmotnú časticu vedie k rozporu.

Zopakovaním vyššie uvedeného postupu by sme dostali

h2c2κ2 − h2ν2 = m20c

4.

Po delení s 2h2 a derivácii podľa κ dostaneme

c2κ = ν∂ν

∂κ= νvgr.

Po vyjadrení grupovej rýchlosti

vgr = c2κ

ν=c2

vf=c2

v> c.

Tu sme využili toho, že fázová rýchlosť pri uvedenej definícii je rovná v

vf =ν

κ= νλ =

pchEhc

=pc2

E=mvc2

mc2= v.

Rozpor už je v tom, že grupová rýchlosť sa nerovná rýchlosti častice –energia sa transportuje inou rýchlosťou pri vlnovom pohľade, ako pri čas-ticovom. Rozporné je aj to, že rýchlosť, ktorou sa šíri energia vo vlnovompopise, prekračuje maximálnu možnú rýchlosť, rýchlosť svetla vo vákuu c.

Výber definície frekvencie častice pomocou vzťahu (8.7) a vlnovej dĺžkyčastice pomocou vzťahu (8.8) nebola zo strany Broglieho svojvoľná.

8.1 de Broglieho hypotéza a Bohrova kvantovaciapodmienka

Ak sa vrátime k Bohrovmu modelu atómu vodíka, kde elektrón obieha okolojadra na kružnicovej trajektórii, zistíme, že dĺžka dovolených kružnicových

206

Obr. 8.2: Znázornenie elektrónov v podobe de Broglieho vĺn, na bohrovských (dovolenýchhladinách). Ak skombinujeme Bohrov model atómu vodíka s de Broglieho hypotézou,elektrón okupuje dovolené trajektórie v dobe vĺn s vlnovou dĺžkou λn a obieha okolo jadraatómu s príslušnou grupovou rýchlosťou (nejedná sa o stojaté vlny).

trajektórií je celočíselným násobkom de Broglieho vlnovej dĺžky elektrónuvypočítanej podľa vzťahu λ = h/p.

Skutočne, Bohrova kvantovacia podmienka kladená na moment hybnosti

Ln = rnpn = n~, (8.16)

kde Ln je moment hybnosti elektrónu na kružnicovej trajektórii s hlavnýmkvantovým číslom n, a rn je polomer tejto kružnicovej trajektórii, a pn jehybnosť elektrónu. Podľa de Broglieho hypotézy

λn =h

pn=

hrnrnpn

=hrnn~

=2πrnn

.

Dostávame skutočne, že obvod kružnice dovolených trajektórií je celočísel-ným násobkom de Broglieho vlnovej dĺžky elektrónov na tejto trajektórii

2πrn = nλn.

207

Vieme, že polomer dovolených trajektórií je rovný n2rn. Z toho vyplýva,že

λn = nλB, (8.17)

kde λB je vlnová dĺžka elektrónu na najnižšej trajektórii (keď n = 1).

8.2 Experimentálne overenie de Broglieho hypotézy

Louis de Broglie hneď, po vypracovaní svojej hypotézy navrhol kolegovisvojho brata, aby zostavil experiment, kde by overil vlnovú povahu elek-trónov pomocou interferencii na kryštálovej mriežke. Dotyčný kolega všakbol príliš zaneprázdnený, aby tento významný experiment uskutočnil.

4Príklad 8.3. Odrazové optické mriežky, sú vytvárané pomocou precíznychvrypov v odrazovom materiály. Kvalitné mriežky môžu mať až 1000 vrypovna jeden milimeter. Na takýchto odrazových mriežkach je možné vyvolaťinterferenciu svetla s vlnovou dĺžkou, ktorá je porovnateľná s mriežkovoukonštantou (tj. 10−6 mm).

Vypočítajte energiu elektrónu, ktoré by prejavili rovnako dobrú interfer-enciu na takejto optickej mriežke, ako svetlo pre ktoré je mriežka určená.

Riešenie. Vlnová dĺžka elektrónov by musela byť rádovo porovnateľná, akok mriežkovej konštante, teda λ ≈ 10−6 m. Odtiaľ dostávame pre hybnosťelektrónu

p =h

p≈ 6, 63 × 10−34 J s

10−6 m= 6× 10−28 J s m−1.

Kinetická energia elektrónu je potom

Ekin =p2

2m=

1, 6 × 10−55 J2 s2 m−2

2× 9, 1 × 10−31 kg= 9× 10−26 J = 5× 10−7 eV

Poznámka 8.4. Aby sme mali predstavu aké ťažké je také elektróny pripraviť,predstavme si, že elektróny pripravené pre experiment sa chovajú ako ideálnyplyn. Teplota tohoto plynu nech je T. Stredná kinetická energia elektrónovv tomto plyne je daná ako 3

2 kT, kde k je Boltzmannova konštanta. Strednákinetická energia by sa musela rovnať nami určenej kinetickej energii a dostá-vame pre teplotu plynu hodnotu

T =2Ekin

3k= 4× 10−3 K.

208

To je teplota v blízkosti absolútnej nuly. V dobu začiatkov kvantovej mechanikynebola k dispozícii kryogénna technika, ktorá by dovolila vyrobiť elektrónys tak nízkou knetickou energiou. Práve preto bol návrh Louisa de Brogliehopoužiť k vyvolaniu interferenčných javov geniálna. Žiaľ, experiment bol usku-točnený neskôr a v podstate len náhodou.

4Úloha 8.5. Vypočítajte kinetickú energiu elektrónu v elektrónvoltoch, ktorého(de Broglieho) vlnová dĺžka λ je porovnateľná s mriežkovou konštantoukryštálov. Konkrétne, nech λ = 1, 00 Å. [Nápoveda: ≈ 102 eV]

V roku 1927 C. Davisson a L. Germer experimentálne overili vlnovúpovahu elektrónov. Z elektrónového dela namierili úzky zväzok elektrónov namonokryštál niklu (kolmo k kryštalickej rovine (1, 1, 1)). Prúd odrazenýchelektrónov merali pomocou galvanometra a zistili, že elektróny sa odrážajúveľmi intenzívne len vo vybraných smeroch. Zmenou urýchlovacieho napätiaelektrónového dela v rozpätí 30 − 300 V overili, že vlnová dĺžka elektrónovsa mení v súlade s de Broglieho hypotézou.2 Otáčaním kryštálu okolonormály kryštalickej roviny (1, 1, 1) sa maximum objavil vždy po pootočenío uhol 120° (pozri obr. 8.3).3

8.2.1 Braggova formula

Pri Moseleyho zákone sme spomenuli, že k určeniu vlnovej dĺžky röntgen-ového žiarenia sa využíva interferencia röntgenového žiarenia na kryštále.Vďaka veľkej prenikavosti röntgenového žiarenia (malá vlnová dĺžka) je metódaučinná, pokiaľ dopadajúci zväzok zviera s kryštalickou rovinou len malý uhol.

2Pri urýchlení elektrónu napätím U, získa elektrón kinetickú energiu Ekin = eU. Priurýchlovacom napätí, ako v uvedenom experimente, je možné pre výpočet hybnosti elek-trónov použiť klasický vzťah medzi kinetickou energiou a hybnosťou Ekin = p2

2me. Hybnosť

elektrónu je potom p =√2meeU, a jeho vlnová dĺžka je λ = h/

√2meU. Pravda, Davis-

son a Germer zistili, že v rozsahu nimi použitého urýchlovacieho napätia vlnovú dĺžkuelektrónov popisuje skôr relácia λ = h

√

2mee(U + UNi), kde UNi ≈ 10V poukazuje na to,že elektróny prenikajú do kryštálu niklu, kde získavajú vďaka „vnútornému potenciálu“niklu prídavnú kinetickú energiu veľkosti 10 eV.

3Objav, ktorý Davisson a Germer urobili, bol vecou šťastnej náhody. Pôvodne sa za-oberali s meraním odrazu elektrónov od polykryštálu niklu. Evakuovaná nádoba obsahu-júca polykryštál niklu sa však poškodil. Aby z povrchu niklu odstránili prípadnú oxidáciupo vniknutí vzduchu do nádoby, nikel dlho žíhali. Pri žíhaní sa vytvoril monokryštál.Pôvodné usporiadanie experimentu znázornené na obrázku 8.3 nie príliš vhodný nameranie vlnovej dĺžky elektrónu. Je vhodnejšie mať detektor nastavený pod pevným uhloma následne meniť urýchľovacie napätie elektrónového dela pri hľadaním maxima v odraze.

209

elektrónové delo

detektor (galvanometer)

ϑ

Obr. 8.3: Schematické usporiadanie Davissonovho-Germerovho experimentu. Elektrónovédelo urýchli elektróny s napätím U, čím získajú kinetickú energiu Ekin = eU a majú podľade Broglieho hypotézy vlnovú dĺžku λ = h/

√2meeU. Elektrónovým delom vytvorený

úzky zväzok elektrónov dopadá kolmo na kryštalickú rovinu (1, 1, 1) monokryštálu niklu.V dôsledku interferencie s periodickou štruktúrou kryštálu je intenzita odrazeného elek-trónového zväzku silne závislá na smere odrazu (znázornená krivkou polárneho grafunakresleného do schematického náčrtu experimentu). Maximum intenzity odrazených elek-trónov sa objavuje pri danom urýchlovacom napätí len pri určitom konkrétnom uhle odrazuϑ. Otáčaním kryštálu okolo normály kryštalickej roviny (1, 1, 1) maximum mizne a ob-javuje sa znova, vždy po pootočení o 120°.

210

V opačnom prípade má odrazené žiarenie mlú intenzitu. Rovnaká skutočnosťplatí aj pre elektróny, ktorých vlnová dĺžka je porovnateľná, ba (pri vyššíchenergiách) výrazne menšia, než bežného röntgenového žiarenia.

Určenie konštruktívnej interferencie je znázornené na shcematickom obrázku8.4. Zväzok elektrónov dopadá na kryštalickú rovinu zvierajúc s ňou uholα. Preniká čiastočne do kryštálu a odráža sa od každej kryštalografickejvrstvy. Bez ujmy na všeobecnosti nám stačí uvažovať dvojicu susedných(rovnobežných) vrstiev atómov. Pod uhlom sa budú odrážať elektróny zosil-nené konštruktívnou interferenciou, pokiaľ dráhový rozdiel ∆ vznikajúci priodraze zo susedných vrstiev bude celočíselným násobkom vlnovej dĺžky λelektrónov

∆ = |AB| − |AC| = nλ, n = 0, 1, 2, . . . .

Z geometrického usporiadania znázorneného na obr. 8.4 vyplýva pre dráhovýrozdiel ∆

∆ =d

sinα(1− cos(α+ β)) = nλ,

kde d je vzdialenosť medzi dvomi susedným rovnobežnými kryštalickýmivrstvami (mriežková konštanta). Je zrejmé, že pre daný uhol α je možnénájsť hodnotu uhla β, pre ktorý je interferencia konštruktívna. Ak všakzoberieme do úvahy, že intenzita odrazeného zväzku prudko klesá pre väčšieuhly, maximálna intenzita sa dosiahne, ako uhol dopadu α i uhol odrazu βbudú rovnako malé (zo symetrie vyplýva že rovnaké: α = β). Potom využijúctoho, že 1− cos(2α) = 2 sin2 α obdržíme tzv. Braggovu formulu

∆ = 2d sinα = nλ. (8.18)

Výrazne jednoduchšie experimentálne usporiadanie navrhol pre meranievlnovej dĺžky elektrónov G.P. Thomson4

Jeho experimentálne usporiadanie je zhodné s Debey-Scherrerovou metó-dou používanou pre röntgenové žiarenie. Pri tejto metóde sú elektróny urých-lené niekoľko kilovoltovým napätím a nechajú sa dopadnúť na tenkú fóliumonokryštálu kryštálu. Elektróny prenikajúce fóliou interferujú konštruk-tívne len v niektorých smeroch. Na fotografickej doske za fóliou zanechá-vajú na fotografickej pravidelný vzor bodov, z ktorej je možné získať in-formácie aj o štruktúre kryštálu. Ak fóliu necháme otáčať sa okolo smeru

4G.P. Thomson získal spoločne s C. Davissonom Nobelovu cenu za fyziku za exper-

imentálne overenie vlnových vlastností elektrónu v roku 1937. G.P. Thomson bol synomJ.J. Thomsona, ktorý získal Nobelovu cenu za fyziku v roku 1906.

211

αα β

dA

B

C

Obr. 8.4: Schematický náčrt interferencie elektrónového zväzku pri odraze od atómovvytvárajúcich kryštalické roviny. Vzdialenosť medzi kryštalickými rovinami je d. Zväzokelektrónov dopadá pod uhlom α (meraným pod kryštalickej roviny) a odráža sa vo všetkýchmožných smeroch ako vlnenie s vlnovou dĺžkou λ. Pri odraze nastáva interferencia. Akdráhový rozdiel ∆ = |AB| − |AC| medzi dvojicou odrazených lúčov je celočísleným ná-sobkom vlnovej dĺžky elektrónov, tj. ∆ = nλ, potom dochádza ku konštruktívnej inter-ferencii a v tomto smere sa elektróny odrážajú s veľkou intenzitou. pokiaľ k = nλ+ λ/2,dochádza k deštruktívnej interferencii a elektróny sa v tomto smere neodrážajú.

určeného zväzkom dopadajúcich elektrónov, elektróny dopadajúce na fo-tografickú dosku zanechajú stopu v podobe sústredných kružníc.

Thomson použil ešte jednoduchšiu variantu experimentu, keď namiestotenkej fólie monokryštálu použil kryštalický prach zlisovaný do tenkej vrstvy.Nakoľko malé kryštalické zrniečká sú v zlisovanej vrstve orientované úplnenáhodne, sú medzi nimi aj také, ktoré sú voči sebe len pootočené. Po pre-chode zlisovanou vrstvou kryštalických zŕn elektróny znova vytvárajú obrazecsústredných kružníc.

Poznámka 8.6. Pozorného čitateľa zrejme napadlo, že kryštalické zrná vzlisovanej vrstve môžu byť orientované aj iným spôsobom, než čo zodpovedápootočeniu voči jednému vybranému kryštáliku. Tu však hrá dôležitú úlohumalosť a rovnosť uhla dopadu a odrazu používaného pri odvodení Braggovejformule. Len pre malé a rovnaké uhly (α = β) je intenzita konštruktívnejinterferencie dostatočne veľká.

212

zV

vz

(a) (b)

F

DS

Z

Obr. 8.5: Na obrázku (a) ukazuje schematické usporiadanie Thomsonovho experi-mentu, kde monoenergetický zväzok elektrónov (Z) dopadá na vzorku (V), ktorá je zliso-vaným kryštalickým prachom. Po prechode smery konštruktívnej interferencie vytvárajúDebyeove-Scherrerove kúžele pozdĺž ktorých dolieetajú prešlé elektróny na fotografickúdosku (F). Na obrázku (b) vpravo je vidieť vyvolanú fotogradickú dosku, na ktorú bolinafotené pomocné špirály identifikujúce príslušné koncentrické kružnice. Zo stredu vy-chádzajúca polopriamka určuje časť špirál, ktoré sa majú uplatniť pri dnom urýchlovacomnapätí elektrónov. Jednotlivé špirály sú označené idexami kryštalických rovín.

213

8.3 Schrödingerova vlnová mechanika

Poznámka 8.7. Nedostatky Bohrovho modelu V predchádzajúcich kapi-tolách sme ukázali, že Bohrov model so svojou kvantovacou podmienkoumomentu hybnosti, a postulátom pre žiarenie pri prechode medzi dvomi sta-cionárnymi trajektóriami, dokázal vysvetliť veľké množstvo javov (hlavne porozšírení na Bohrov-Sommerfeldov model). Dosiahol úspechy pri vysvetleníčiarových spektier, ale tiež pri objasnení Zeemanovho normálneho javu aStarkovho javu.

Navzdory všetkému však Bohrov model má mnoho nedostatkov. Jed-ným z nich je, že má jasný klasický charakter, a atóm vodíka by mal byťplochým diskom. Ďalej, Bohrov model atómu sa nedá použiť pre viacelek-trónové systémy – nedáva správne predpovede ohľadne spektrálnych čiar.Sú problémy s interpretáciou kvantových čísiel. Nevie vysvetliť prečo kvan-tové číslo veľkosti momentu hybnosti j určuje veľkosť momentu hybnosti|j| v tvare |j| = ~

√

j(j + 1) (obdobne pre orbitány moment hybnosti aspin). Taktiež nevie predpovedať intenzitu spektrálnych čiar – aspoň pár znedostatkov.

Erwin Schrödinger5, po začiatočnom zavrhnutú de Broglieho myšlienkyv roku 1923, publikoval v rokoch 1926 (v tesnom slede za sebou) 5 článkov,v ktorých sformuloval základy tzv. vlnovej mechaniky založenej práve namyšlienke vlnovej povahy elektrónov.

Vychádzal z myšlienky, že klasická (nekvantová) mechanika dáva len pri-bližný popis fyzikálnych javov, a je limitným prípadom inej, bohatšej fyziky.Podobný prípad nastáva v optike, keď geometrická optika je len limitnýmprípadom vlnovej optiky. Geometrická optika vy dobre popísať javy, kde vl-nová dĺžka svetla je zanedbateľne malá oproti rozmeru typických telies, sktorými sa dostáva do interakcie (napríklad s rozmermi šošoviek v ďaleko-hľade a pod.).

Schrödinger, pri zdôvodnení základnej rovnice vlnovej mechaniky, vy-chádzal zo základnej pohybovej rovnice vlnovej optiky

∆Ψ− 1

v2f

∂2ψ

∂2t, (8.19)

kde Ψ(x, y, z, t) je vlnovou funkciou častice (popisujúca nejakým spôsobomčasticu pomocou jeho vlnových vlastností), ∆ je Laplaceov diferenciálny op-erátor ∂2

∂x2 + ∂2

∂y2 + ∂2

∂z2 a vf je fázová rýchlosť vlnenia.

5Rakusky teoretický fyzik Erwin Rudolf Josef Alexander Schrödinger (1887-1961) a anglický teoretický fyzik Paul Adrien Maurice Dirac, obdržali Nobelovu cenuza fyziku spoločne v roku 1933, za objav nových výkonných nástrojov pre atómovú fyziku

214

Ak častica, popísaná vlnovou funkciou Ψ(x, y, z, t), má jednu konkrétnuhodnotu E, potom podľa de Broglieho hypotézy má presne danú frekven-ciu

ν =E

h.

Ak predpokladáme periodický priebeh vlnovej funkcie Ψ v čase, môžeme hopísať v tvare

Ψ(x, y, z, t) = ψ(x, y, z)e−2πiνt, (8.20)

kde ψ(x, y, z) obsahuje už len závislosť od priestorových premenných, ai predstavuje komplexnú jednotku

√−1. Ak tento tvar vlnovej funkcie Ψ

dosadíme do vlnovej rovnice (8.19), dostaneme

∆ψ +4π2ν2

v2fψ = 0. (8.21)

Nakoľko pre grupovú rýchlosť platí vf = λν, v získanej rovnici sa môžemezbaviť závislosti od fázovej rýchlosti a získame

∇ψ +4π2

λ2ψ = 0. (8.22)

Cieľom Schrödingera bolo zostaviť pre časticu vlnovú rovnicu, ktorá obsahuječasticové charakteristiky. V uvedenej rovnici treba už len eliminovať vlnovúdĺžku λ. Podľa de Broglieho hypotézy

λ =h

p=

h√

2m(E − V ), (8.23)

kde m je hmotnosť častice, E je jeho celková energia a V jeho potenciálnaenergia. Jeho kinetická energia je potom p2

2m = E−V. Prítomnosť potenciál-nej energie V je v absolútnom súlade s experimentálnym zistením Davissona

a Germera (pozri Davissonov-Germerov experiment vyššie).Schrödingerovabezčasová rov-nica

Po dosadení do (8.22) získame tzv. Schrödingerovu bezčasovú rovnicu

∆ψ +8π2

h2(E − V )ψ = 0, (8.24)

ktorý sa dnes píše skôr v tvare

− ~2

2m∆ψ + V ψ = Eψ. (8.25)

215

Ľavá strana tejto rovnice predstavuje vlnový operátor energie (tzv. Hamiltonovoperátor) pôsobiaci na vlnovú funkciu častice. Hamitlonov operátor potommá tvar

− ~2

2m∆+ V (8.26)

časováSchrödingerovarovnica

Pokiaľ vlnovú funkciu Ψ(x, y, z, t) nemôžeme písať v tvare (8.20), potompravá Schrödingerova rovnica má tvar

− ~2

2m∆Ψ+ VΨ = i~

∂Ψ

∂t. (8.27)

Túto rovnicu nazývame časovou Schrödingerovou rovnicou.

Poznámka 8.8. Schrödingerova pôvodná konštrukcia, ani nami uvedenákonštrukcia nie je odvodením Schrödingerovej rovnice, ale zdôvodnením jehotvaru, využívajúcou vlnovú rovnicu.

Všimnime si, že pokiaľ použijeme pre časovú Schrödingerovu rovnicu, svlnovou funkciou v tvare Ψ(x, y, z, t) = ψ(x, y, z)e−iEt/~, rovnica prejde dobezčasovej Schrödingerovej rovnice.

8.4 Interpretácia

Vo vlnovej mechanike sa stretávame s novým popisom fyzikálnych javov, kuktorej sa Schrödinger dopracoval na základe predstavy, že častica je popísanávlnovou funkciou Ψ, ktorá sa je riešením vlnovej rovnice (8.19). Uplatnenímde Broglieho hypotézy, že každá častica má aj vlnový charakter, kdefrekvencia častice je daná ako ν = E/h a vlnová dĺžka častice je λ = h/p.Tieto úvahy ho doviedli k vlnovej rovnici (k Schrödingerovej rovnci), kdeuž nevystupuje fázová rýchlosť vf (vlnová charakteristika častice), ale vy-slovene časticové vlastnosti (pozri (8.25) pre stacionárny prípad a (8.27)prenestacionárny prípad).

Vzniká však prirodzeným spôsobom otázka, aký je fyzikálny význam vl-novej funkcie a aký je fyzikálny význam samotnej Schrödingerovej rovnice(bezčasovej, či časovej).

vlnová funkciaFyzikálny význam vlnovej funkcie čiastočne vyplynula z de Broglieho

hypotézy (pozri obr. 8.1). Častica je v tejto hypotéze konštruktívna inter-ferencia vĺn, ktoré na seba viažu energiu častice a množstvo tejto energieje E = mc2, kde m je hmotnosť častice. Kde je vlnová funkcia nulová, tamčastica nie je. Z toho vyplýva, že častica je tam, kde vlnová funkcia nie jenulová.

216

Bola veľmi lákavou myšlienkou uvažovať o častici ako nie hmotnom bode,ale ako o objekte, ktorý je v priestore „rozmazaný“ . Táto myšlienka však túslabú stránku, že vlnová funkcia môže byť rôzna od nuly v dvoch bodochsúčasne, pritom tieto dva body môžu byť od seba na svetelné roky ďaleko.Ak v jednom z bodov zaregistrujeme časticu, v druhom (ktorý je veľmiďaleko), už ho nemôžeme zaregistrovať. Ako však informácia prekonať takobrovskú vzdialenosť za zlomok sekundy? Odporovalo by to existencii max-imálnej rýchlosti.

Namiesto interpretácii o „rozmazanej častici“ sa ujala iná interpretá-cia, ktorá je v súlade s výsledkami experimentov. Vlnová funkcia hovorí opravdepodobnosti, kde sa častica nachádza. Ak sa častica v nejakom mi-este zaregistruje, vlnová funkcia stráca svoj zmysel. Je to podobné tomu,keď na večierku sa predajú tomboly. Než sa vytiahne víťazná tombola, majúvšetky tomboly rovnakú šancu na výhru. Výhra sa môže ocitnúť na stoleľubovoľného majiteľa tomboly. (Ak niekto kúpil viac lístkov v tombole,zvýšil svoju šancu úmerne počtu kúpených lístkov.)

V okamihu, keď sa však oznámi, že ktorý lístok vyhral v tombole, všetkyostatné lístky sa stávajú bezcennými. Toto prirovnanie je kupodivu relatívnepresné, len počet lístkov nezodpovedá hodnote vlnovej funkcie, ale kvadrátujej absolútnej hodnoty |Ψ|2. Túto konštrukciu navrhol Einstein.

Kvadrát absolútnej hodnoty vlnovej funkcie

w(x, y, z, t) = |Ψ(x, y, z, t)|2 (8.28)

zodpovedá hustote pravdepodobnosti w výskytu častice v bode so súradni-cami (x, y, z) a v čase t.

Dodatok A

Počet módovelektromagnetického žiarenia vdutine

Cieľom tohoto dodatku je ukázať, ako sa určí počet módov elektromagnetic-kého žiarenia v dutine tvaru hranola, ktorého steny tvoria dokonalé zrkadlá –takáto dutina sa tiež správa ako dokonale čierne teleso. Dutina je teda hranols dĺžkou strán Lx, Ly, Lz (pozri obrázok A.1) V dutine je vákuum a rýchlosťsvetla vo vákuu je c. Teplota stien je T a riešime úlohu po dosiahnutí tepel-nej rovnováhy. Počet módov je daný počtom riešení v tvare stojatých vĺn,nakoľko pomocou stojatých vĺn sa dá vyjadriť akákoľvek elektromagnetickávlna vyhovujúca podmienke tepelnej rovnováhy, ako lineárna kombinácia sto-jatých vĺn. Rovnováha znamená v tomto prípade, že nedochádza k žiadnymzmenám čo sa rozdelenia energie týka.

Lx y

y

z

Lx

Lz

Obr. A.1: Dutina v tvare hranola s dĺžkou hrán Lx, Ly , Lz. Vzťažná sústava je zvolenátak, že jej osy ukazujú v smere hrán hranola (dutiny). Objem dutiny je V = LxLyLz.

217

218

Riešenie problému sa opiera o Maxwellove rovnice, z ktorých potrebujemelen vlnovú rovnicu

∂2F

∂x2+∂2F

∂y2+∂2F

∂z2− 1

c2∂2F

∂t2≡ 0, (A.1)

kde F je ľubovoľná zložka elektromagnetického poľa (napr. Ex, Ey či Ez –mohli by sme zvoliť aj magnetické zložky, ale k tejto otázke sa vrátim ažzáverom). O zložke F budeme ďalej hovoriť len ako o poli F.

Vzhľadom k tomu, že steny dutiny sú dokonalé zrkadlá, v týchto miestach(na povrchu stien) bude mať pole F uzlové body. Vzťažnú sústavu zvolímetak, aby jej osi bežali pozdĺž hrán hranola, ako ukazuje obrázok A.1.

Riešenie vlnovej rovnice (A.1), pri takýchto okrajových podmienkach,môžeme získať separačnou metódou: pole F (x, y, z, t) zapíšeme v tvare

F (x, y, z, t) = X(x)Y (y)Z(z)T (t), (A.2)

tj. ako súčin štvorice funkcií, z ktorých každá závisí len od jednej premennej.Po spätnom dosadení do vlnovej rovnice (A.1) a predelení F vyjadrenej akov (A.2) dostaneme

X ′′(x)

X(x)+Y ′′(y)

Y (y)+Z ′′(z)

Z(z)− 1

c2T ′′(t)

T (t)≡ 0, (A.3)

kde f ′′(s) označuje druhú deriváciu príslušnej funkcie podľa jej argumentu,tj. X ′′(x) = d2X(x)/dx2, Y ′′(y) = d2Y (y)/dy2, atď.

ČlenX ′′(x)

X(x)

je len funkciou jedinej premennej, x, zbytok vlnovej rovnice (A.3) od premen-nej x nezávisí. Napriek tomu ich súčet musí byť identicky rovný 0 (identickyznamená, pre všetky hodnoty všetkých premenných). Z toho vyplýva, žeX ′′(x)/X(x) nemôže závisieť ani od x, je konštanta.

X ′′(x)

X(x)= −kx2 = const.,

219

a zrovna tak sa rovná konštante zbytok vlnovej rovnice. Opakovaním argu-mentácie pre Y ′′(y)/Y (y), Z ′′(z)/Z(z) A T ′′(t)/T (t) dostaneme

X ′′(x)

X(x)= −kx2 = const. (A.4a)

Y ′′(y)

Y (y)= −ky2 = const. (A.4b)

Z ′′(z)

Z(z)= −kz2 = const. (A.4c)

Z ′′(z)

Z(z)= −ω2 = const. (A.4d)

Poznámka A.1. Za prvé: prečo sme konštantu pravých strán v rovniciach(A.4) zvolili so znamienkom „−“?

Konštanty objavujúce sa pri riešení diferenciálnych rovníc sú vždy (vprincípe) komplexné čísla. Fyzikálne podmienky však vedú k tomu, že ichmožno v konečnom dôsledku zvoliť za reálne. Nami urobená voľba je dov-olená a rýchlejšie k výsledku.

Za druhé: tradične sa kt označuje ako ω, lebo bude mať význam kruhovejfrekvencie elektromagnetického žiarenia.

Určíme možné hodnoty kx.Všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice (A.4a),ktorú prepíšeme do tvaru

X ′′(x) = −kx2X(x), (A.5)

jeX(x) = Ax sin kxx+Bx cos kxx, (A.6)

kde Ax a Bx sú konštanty.Podmienka, že elektromagnetické žiarenie musí mať na povrchu dokona-

lého zrkadla uzlové body, sa dá vyjadriť nasledovne

X(0) = 0, X(Lx) = 0.

Prvá podmienka z tejto dvojice okamžite implikuje, že Bx = 0. Druhá pod-mienka zúži možné hodnoty kx, lebo

Ax sin(kxLx) = 0

sa dá splniť, pokiaľ

kxLx = πnx, ⇒ kx =π

Lxnx,

220

kde nx je celé číslo, tj. nx = 0,±1,±2, . . . . Obdobne postupujeme pre určeniemožných hodnôt ky a kz. Hodnota ω je potom daná už rovnicou

ω = c√

k2x + k2y + k2z , (A.7)

ktorá vznikne dosadením všeobecného riešenia F do vlnovej rovnice (A.3).

F (x, y, z, t) = A sin

(

πnxLx

x

)

sin

(

πnyLy

y

)

sin

(

πnzLz

z

)

sin(ωt), (A.8)

kde A je konštanta. Musíme si uvedomiť, že trojice čísiel

(nx, ny, nz), (−nx,−ny, nz), (−nx, ny,−nz), (nx,−ny,−nz)

dávajú to isté riešenie F, teda riešenia obmedzíme len na kladné nx, ny, nz.Ďalšie obmedzenie už nie je.

Nakoľko ω hrá v tomto riešení skutočne úlohu kruhovej frekvencie, jespojená s frekvenciou ν podľa vzťahu

ω = 2πν.

Položme si teraz otázku, že koľko módov máme takých, ktorých frekvencia(určená kladnými celými číslami nx, ny, nz) je menšia ako pevne zvolenáhodnota frekvencie ν?

Zapíšme túto podmienku matematicky.

k2x + k2y + k2z ≤ω2

c2=

(

2πν

c

)2

Dosaďme do ľavej strany za kx, ky, kz vyjadrenia pomocou celých čísiel nx, ny, nza dostaneme

(

πnxLx

)2

+

(

πnyLy

)2

+

(

πnzLz

)2

≤(

2πν

c

)2

.

Túto rovnicu predelíme pravou stranou nerovnosti a dostaneme

n2xa2x

+n2ya2y

+n2za2z≤ 1, (A.9)

kdeax =

2νLx

c, ay =

2νLy

c, az =

2νLz

c. (A.10)

221

ax

ay

az

Obr. A.2: Elipsoid s poloosami ax, ay, az v kladnom oktante. Na obrázku vľavo vidímenaukladané jednotkové kocky pozdĺž osi y tak, aby prvá kocka mala jeden z vrcholov vzačiatku súradnej sústavy a ostatné sa radia napravo od neho, pozdĺž osi y. Na obrázkuvpravo vidíme všetky jednotkové kocky, ktoré možno do kladného oktantu umiestniť vovnútri elipsy. Vypĺňajú približne objem elipsoidy (v kladnom oktante). Ich počet určujepočet módov a preto objem elipsoidy zodpovedá približne počtu módov – tak, ako jeuvedené v texte

Táto rovnica je zhodná s rovnicou pre vnútrajšok elipsoidu známej z geome-trie

x2

a2x+y2

b2+z2

c2≤ 1,

kde a, b a c sú poloosy elipsoidy. Objem tejto elipsoidy je 43 πabc, tj. vo-

jde do jeho vnútra takýto počet jednotkových kociek. Kladné poloosy x, y, zvymedzujú z celkového objemu jeho osminu a to je početN1(ν) trojíc nx, ny, nz,ktoré spĺňajú nerovnosť (A.9) (pozri obrázok), tj.

N1(ν) =π

6axayaz =

8π

6c3LxLyLzν

3 =4π

3c3V ν3, (A.11)

kde V = LxLyLz je objem dutiny.

Poznámka A.2. Vyjasnime si vzťah medzi objemom elipsoidu a počtomtrojíc celých čísiel nx, ny, nz. Predstavte si elipsoid s osami ax, ay a az, ktorésú dané vzťahmi (A.10). Tieto čísla sú v praxi veľké čísla. Zoberme napríkladdutinu v tvare kocky s dĺžkou strany 1 cm a a frekvenciu viditeľného svetla,ktorej vlnová dĺžka je 500 nm. Potom

ax =2νLx

c=

2Lx

λ=

10−2 m5 · 10−7 m

= 105.

222

Zoberme vo vnútrajšku elipsoidy naukladané kocky s jednotkovou dĺžkouhrany (pozri obrázok A.2). Každú kocku budeme číslovať súradnicami jehovrcholu, ktorý je najbližšie k začiatku súradného systému. Kocka (0, 0, 0)sa teda dotýka začiatku súradnej osi. Je zrejmé, že kocky, ktoré spĺňajúnerovnosť (A.9) patria do vnútrajšku elipsoidu – až na tie výnimky, ktoré pa-tria len čiastočne, lebo sú na povrchu elipsoidu (elipsoida ich roztína). Pri takveľkej elipsoide je počet kociek preťatých povrchom elispoidy zanedbateľnemalý oproti všetkým jednotkovým kockám, ktoré vypĺňajú len vnútrajšokelipsoidy. Kocky vypĺňajú vnútrajšok elipsoidu bez medzery, preto ich početudáva relatívne presne objem elipsoidy (nás zaujímala len osmina elispoidy,kde súradnice sú kladné).

Počet módov N(ν) je 2N1(ν). Dôvod je ten, že pole F predstavoval lenjednu zo zložiek elektrického poľa. Elektrické pole E má celkom tri zložky,ale len dve nezávislé – elektrické pole elektromagnetickej vlny vo vákuu nikdynekmitá v smere jeho šírenia sa.

Otázka, či magnetické pole zvyšuje počet módov. Odpoveď znie, že nie!Maxwellove rovnice určujú pri známej elektrickej zložke jednoznačne magne-tické zložky tohoto poľa. Energia magnetického poľa tu hrá úlohu potenciál-nej energie, kým elektrické pole úlohy kinetickej energie. Na každý mód saviaže energia 1

2 kT (kinetická energia) a ešte raz energia 12 kT (potenciálna

energia) – v kinetickej teórii plynov to poznáme pod názvom ekvipartičnýteorém.

Hustota energie elektromagnetického poľa zo všetkých frekvencií do ν je

w(ν, T ) =E(ν, T )

V=

8π

3c3kTν3.

Z toho na frekvenčné pásmo (ν, ν +∆ν) pripadá

∆w(ν, T ) = w(ν +∆ν, T )− w(ν, T ) ≈ ∂w(ν, T )

∂ν∆ν.

Ak šírka pásma je limitne zúžená, približná rovnosť prechádza v rovnosť adostávame konečne vyjadrenie spektrálnej hustoty hustoty energie v tvare(Rayghlei-Jeans)

H(ν, T )dν =∂w(ν, T )

∂νdν ⇒ H(ν, T ) =

∂w(ν, T )

∂ν=

8π

c3kTν2.

(A.12)

Dodatok B

Barometrická formula

Barometrická formula sa opiera o kinetickú teóriu plynov, ale tiež o termody-namiku. Termodynamické úvahy majú prekvapivo široké uplatnenie v každejoblasti fyziky, dokonca aj vo všeobecnej teórii relativity. Zoznámme sa pretos odvodením barometrickej formule.

Budeme uvažovať o stĺpci plynu (vzduchu – zmesi plynov), ktorého prierezmá plochu S. Teplotu T budeme uvažovať v celom stĺpci za rovnakú. Tentopredpoklad v prípade atmosféry samozrejme nie je splnený, ale v našom prí-pade výslovne je nutné predpokladať konštantnosť teploty.

Budeme vychádzať z toho, že v určitej výške (ktorú označíme nulovouvýškou) poznáme tlak p(0) a hustotu ρ(0) plynu. Tlak aj hustota plynu samení výškou, čo vyjadríme tým, že tlak p(h) a hustota ρ(h) sú funkciamivýšky h. Dôvodom tejto zmeny je, že čím ideme vyššie, tým menej plynu sanad nami v stĺpci nachádza. Kinetická teória plynu vysvetľuje tlak ako tiažplynu nad daným miestom, ktorá sa rozloží po ploche S. To je základom ajnašich úvah.

Pre jednoduchosť budeme uvažovať o plyne, ktorý sa skladá z rovnakýchmolekúl, hmotnosť jednej molekuly je m – nezáleží na tom, či molekula jejednoatómová, alebo mnohoatómová.

Ak vo výške h je tlak plynu p(h), o malý kúsok vyššie je tlak plynu menší.Zapíšeme to nasledovne

p(h+ dh) = p(h) + dp,

kde dp má zápornú hodnotu, vyjadruje to spomínaný pokles tlaku.Pokles tlaku je daný tým, že v objeme dV = Sdh sa nachádza určité

množstvo molekúl, ktorých tiaž už k tlaku vo výške p(h + dh) neprispieva(pozri obrázok ??).

223

224

g

Obr. B.1: Zmena tlaku v stĺpci plynu podľa kinetickej teórie plynov.

Ich počet je

N =ρ(h)dV

m.

Pre zmenu tlaku dp môžeme teda napísať rovnicu

dp = −NmgS

= −ρ(h)dVS

= −ρ(h)dh, (B.1)

kde znamienko „−“ signalizuje pokles tlaku (všetky veličiny pravej strany súo sebe kladné, kým dp je záporná).

Zo znalosti tlaku a hustoty v nulovej výške (p(0), ρ(0)) vieme vyjadriťρ(h) pomocou stavovej rovnice

p(h)V (h)

T=p(0)V (0)

T= Nk,

kde k je Boltzmannova konštanta (k = 1, 38·10−23 JK), N je počet molekúl,o ktorých sa uvažuje.1

Stavovú rovnicu vyššie chápeme nasledovne. Ak zoberieme N molekúl,ktoré pri tlaku p(0) vypĺňajú objem V (0), potom pri tlaku p(h) (a rovnakejteplote) vypĺňajú objem V (h).

Ak teraz rovnicu vynásobím na oboch stranách T/(Nm), vľavo sa objaviahustoty ρ(h) a ρ(0) nášho plynu v príslušných výškach, tj.

p(h)

ρ(h)=p(0)

ρ(0)=kT

m,

odkiaľρ(h) = p(h)

m

kT.

Teraz už len spätne dosadíme do vzťahu (B.1) vyjadrujúcu zmenu tlaku dpa získame

dp = −p(h)mgkT

dh

1Stavovú rovnicu je zvykom častejšie písať v tvare

p1V1

T1=

p2V2

T2= nR,

kde n je molárne množstvo plynu (n = N/NA, kde NA je Avogadrovo číslo) a R je stavovákonštanta. Ľahko sa môžete presvedčiť o tom, že R = kNA. V našom prípade T1 = T2 = T.

225

Po predelení p(h) získame diferenciálnu rovnicu

dp

p= −mg

kTdh. (B.2)

Ľavú stranu integrujeme od tlaku p(0) po tlak p(h) a pravú stranu od h = 0po h, tj. medzi zodpovedajúcimi hraničnými fyzikálnymi situáciami na obochstranách. Dostaneme

[

ln p]p(h)

p=p(0)= −mg

kt

[

h]h

h=0. (B.3)

Po jednoduchej úprave dostaneme

lnp(h)

p(0)= −mg

kTh.

Výsledok je tedap(h) = p(0)e−

mghkT (B.4)

Rovnaký vzťah platí aj pre hustotu ρ(h)

ρ(h) = ρ(0)e−mghkT (B.5)

a tiež pre počet molekúl N(h) v jednotkovom objeme

N(h) = N(0)e−mghkT . (B.6)

Pokiaľ je plyn v rovnovážnom stave, v stĺpci nedochádza k prúdeniu.Môžeme to chápať tak, že molekuly s celkovou energiou E sa nachádzajúvo výške, kde ich potenciálna energia mgh je v podstate rovná ich celkovejenergii. Pravdepodobnosť toho, že v plyne s teplotou T bude molekula senergiou E, je úmerná

e−EkT .

Príklad B.1. Aká je teda stredná hodnota celkovej energie molekúl?

Riešenie. Odpoveď je jednoduchá. Pravdepodobnosť toho, že molekula máenergiu E je

P (E) = P0e− E

kT .

Aby to bola skutočne pravdepodobnosť, musí platiť, že∫ ∞

0dE P0e

− EkT = P0(−kT )

[

e−EkT]∞

E=0= P0kT = 1, ⇒ p0 =

1

kT

226

Pravdepodobnosť P (E) teda má tvar

p(E) =1

kTe−

EkT .

Strednú energiu E spočítame ako vážený priemer

E =

∫ ∞

0dEEP (E) =

1

kT

∫ ∞

0Ee−

EkT dE.

Tento integrál spočítame metódou per partes

1

kT

∫ ∞

0Ee−

EkT dE =

1

kT

[

E(−kT )e− EkT]∞

E=0− 1

kT

∫ ∞

0(−kT )e− E

kT dE = kT.

To je nami očakávaný výsledok – je to stredná hodnota kinetickej a poten-ciálnej energie spolu. Podľa ekvipartičného teorému z tejto hodnoty polovicupredstavuje stredná hodnota kinetickej energie a druhú polovicu stredná hod-nota potenciálnej energie.

Dodatok C

Runge-Lenzov vektor

Kapitola ukazuje, ako sa dá využiť Runge-Lenzov vektor A na odvodenieRutherfordovho zákona rozptylu.

Pri použití Runge-Lenzovho vektora sa vychádza zo zákona zachovaniatohoto vektora a jeho gemoetrickej interpretácie. Na rozdiel od súčasnýchučebníc a väčšiny publikácií sa nepotrebujeme riešiť ani zostavovať pohy-bovú rovnicu pre úlohu (tj. neriešime pomocou dynamiky ako v spomínanýchpublikáciach). Celé odvodenie je jednoduché, pozostáva len z poznatkov kine-matiky a už spomínaného Runge-Lenzovho vektora. Dôvod, prečo sa Runge-Lenzov vektor pri odvodeniach v učebniciach nevyužíva je pravdepodobneten, že jednoduchý tvar má len pre coulombovské pole bodového náboja agravitačné pole hmotného bodu1. V histórií sa stávalo, že samotný vektorbol zabudnutý a znovuobjavený až po určitom čase.

C.1 Geometrický význam Runge-Lenzovho vektoru

Runge-Lenzov vektor má tvar

A = v × J + kr

r, (C.1)

kde v je rýchlosť α-častice a J = r × p = mr × v je jej moment hybnostivzhľadom na jadro atómu, ktoré ho rozptyľuje, r je polohový vektor α-časticevoči jadra atómu.

Prvý člen môžeme napísať vďaka identite a× (b× c) ≡ b(a ·c)− c(a ·b)ako

m[

rv2 − v(r ·v)]

1alebo čo je to isté, pre sféricky symetricky rozložený elektrický náboj či hmotu

227

228

vin

vin

vout

v0

častica α

jadro atómu

jadro atómu

r0

θθ

ϑ

rb

b

r‖

r × vin = b× vin + r‖ × vin = b× vin

Obr. C.1: Obrázok ukazuje význam jednotlivých použitých symbolov. vin je rýchlosťnalietavajúcej častice nekonečne ďaleko pred rozptylom, kým vout nekonečne ďaleko porozptyle. Polohový vektor najbližšieho bodu trajektórie častice α je r0 a v0 je jej rýchlosťv tomto bode. Uhol ϑ je uhol rozptylu. Polohový vektor najbližšieho bodu polí trajektóriučastice α symetricky a pre uhol θ platí 2θ + ϑ = π.V rámiku je ukázané, prečo r×vin = 0. Vektor r‖ je zložka polohového vektoru r častice α,ktorá je rovnobežná s vin. Vďaka tomu, že tieto dva vektory sú rovnobežné, ich vektorovýsúčin je nulový (r‖ × vin = 0).

V bode, kde častica α je najbližšie k jadru, je jej polohový vektor r0kolmý k jej okamžitej rýchlosti v0 a preto dostávame, že

A = mv20r0 +k

r0r0 = (2Ekin,0 + Epot,0)r0,

kde Ekin,0 je kinetická energia a Epot,0 potenciálna energia častice α v na-jbližšom bode trajektórie – sú to kladné čísla. Runge-Lenzov vektor tedaukazuje od jadra atómu smerom k najbližšiemu bodu trajektórie častice α.Nakoľko Runge-Lenzov vektor sa zachováva, tento vektor je konštanta v kaž-dom okamihu, aj keď ho spočítame vo fáze, keď častica α je ešte nekonečneďaleko od jadra atómu.

Runge-Lenzov vektor 229

C.2 Výpočet Rutherfordovej formule

Pripomíname, že (vzťah (3.8) a (3.9))

2πbdb = dσ = 2πf(ϑ)∂f(ϑ)

∂ϑdϑ = f(ϑ)

∂f(ϑ)

∂ϑ

dΩ(ϑ)

sinϑ, (C.2)

Moment hybnosti J môžeme vyčísliť v okamihu, keď častica je ešte vnekonečnu (jeho rýchlosť je vtedy vin)

J = bpin, pin = mvin, (C.3)

a pin je veľkosť hybnosti častice v nekonečnu.Rungeho-Lenzov vektor vieme vypočítať aj na základe údajov častice

v nekonečnu, lebo v tomto okamihu r/r je jednotkový vektor ukazujúci vopačnom smere ako vektor rýchlosti vin častice

A = vin × J − kvin

vin, (C.4)

kde prvý a druhý člen pravej strany sú na seba zrejme kolmé, preto prekvadrát veľkosti Rungeho-Lenzovho vektoru je

A2 = v2inp2inb

2 = 4E2inb

2, (C.5)

kde Ein = 12 mv

2in =

p2in2m je kineická energia bombardujúcej častice nekonečne

ďaleko od terčíku.Ak znova využijeme kolmosť dvojice vektorov na pravej strane (C.4),

dostávame zo skalárneho súčinu (pozri obr. C.1)

cosφ =−vin ·AvinA

=k

A, (C.6)

odkiaľ po umocnení na druhú a vyjadrení A2

A2 = 4Einb2 =

k2

cos2 φ. (C.7)

Vyjadríme b2 a za b dosadíme funkčnú závislosť b = f(ϑ)

[

f(ϑ)]2

=k2

4E2in

1

cos2 φ. (C.8)

Z obr. C.1 je zrejmá relácia medzi φ a uhlom rozptylu ϑ

2φ+ ϑ = π, φ =π

2− ϑ

2. (C.9)

230

Záverom zderivujeme rovnicu (C.8) podľa ϑ a dostaneme

2f(ϑ)df(ϑ)

dϑ=

k2

4E2kin

2 sin φ

cos3 φ

dφ

dϑ=

k2

4E2kin

cos ϑ2

sin3 ϑ2

, (C.10)

kde sme využili toho, že vďaka (C.9) sinφ = cos ϑ2 a cosφ = sin ϑ

2 . Podosadení do (C.2) a využitím toho, že sinϑ = 2 sin ϑ

2 cos ϑ2 získame Ruther-

fordovu formulu

dσ =

(

k

4Ein sin2 ϑ

2

)2

dΩ(ϑ), (C.11)

kde

k =Z1Z2e

2

4πε0. (C.12)

C.3 Zachovanie Rungeho-Lenzovho vektora

V predchádzajúcej časti sme využili zachovanie sa Rungeho-Lenzovho vek-tora, tj. že dA/dt ≡ 0. Ukážeme, že je tomu tak skutočne. Vychádzame zdefinície Rungeho-Lenzovho vektora (C.1) a zderivujeme tento výraz podľačasu

A = v × J + v × J + kr

r− krr

r2. (C.13)

Druhý člen pravej strany je automaticky rovný nule, lebo vo sféricky symet-rickom potenciálnom poli sa moment hybnosti zachováva (J = 0).

Pre prvý člen pravej strany (C.13) platí

v × J = a× J =kr

mr3× J =

kr

r3× (r × p) = 0, (C.14)

kde sme využili Newtonových pohybových rovníc a = F /m. Sila F je danáako záporne vzatý gradient potenciálneho poľa k/r, tj.

F = −∇kr

=kr

r3.

Zostávajú nám posledné dva členy z (C.13). Pre časovú deriváciu veľkosti rvektora r platí

d

dtr2 =

d

dtr · r, odkiaľ 2rr = 2r · r a r =

r · rr

Runge-Lenzov vektor 231

Všimnime si, že posledné dva členy (C.13) takto môžeme písať v tvare

k

r3[

rr2 − r(r · r)]

=k

r3[

r × (r × r)]

= 0,

kde sme využili toho, že a× (b× c) = b(a · c)− c(a · b).

232

Dodatok D

Elektrónová konfigurácia

Elektrónová konfigurácia elektrónového obalu atómov v základnom stave. Vprvom stĺpci je protónové číslo Z atómu. V druhom stĺpci je symbol danéhoatómu. V treťom stĺpci je elektrónová konfigurácia, pričom konfigurácia uza-vretých vrstiev sa značí v skratke v hranatých zátvorkách (symbolom vzác-neho prvku s uzavretými vrstvami). Vo štvrtom stĺpci je hladina atómu vzákladnom stave podľa konvencie 2S+1LJ). V poslednom stĺpci je ionizačnáenergia príslušného atómu a dobre vidieť periodicky sa opakujúcu vlastnosťrastúcej ionizačnej energie, a skoku medzi ionizačnou energiou atómu s uza-vretou vrstvou (vzácny prvok) a ionizačnou energiou nasledujúceho atómu.Kompletnú tabuľku je možné nájsť v dodatku.

233

234

Z Atóm Konfigurácia základného stavu HladinaIonizačnáenergia/eV

1 H 1s 2S1/2 13,598 42 He 1s2 1S0 24,587 43 Li 1s2 2s 2S1/2 5,391 74 Be 1s2 2s2 1S0 9,322 75 B 1s2 2s2 2p 2P 1/2 8,298 06 C 1s2 2s2 2p2 3P 0 11,260 37 N 1s2 2s2 2p3 4S3/2 14,534 18 O 1s2 2s2 2p4 3P 2 13,618 19 F 1s2 2s2 2p5 2P 3/2 17,422 8

10 Ne 1s2 2s2 2p6 1S0 21,564 511 Na [Ne] 3s 2S1/2 5,139 112 Mg [Ne] 3s2 1S0 7,646 213 Al [Ne] 3s2 3p 2P 1/2 5,985 814 Si [Ne] 3s2 3p2 3P 0 8,151 715 P [Ne] 3s2 3p3 4S3/2 10,486 716 S [Ne] 3s2 3p4 3P 2 10,486 717 Cl [Ne] 3s2 3p5 2P 3/2 10,360 018 Ar [Ne] 3s2 3p6 1S0 15,759 619 K [Ar] 4s 2S1/2 4,340 720 Ca [Ar] 4s2 1S0 6,113 2

↓ transition elements ↓21 Sc [Ar] 3d 4s2 2D3/2 6,561 522 Ti [Ar] 3d2 4s2 3F 2 6,828 123 V [Ar] 3d3 4s2 4F 3/2 6,746 224 Cr [Ar] 3d5 4s 7S3 6,766 525 Mn [Ar] 3d5 4s2 6S5/2 7,434 026 Fe [Ar] 3d6 4s2 5D4 7,902 427 Co [Ar] 3d7 4s2 4F 9/2 7,881 028 Ni [Ar] 3d8 4s2 3F 4 7,639 829 Cu [Ar] 3d10 4s 2S1/2 7,726 430 Zn [Ar] 3d10 4s2 1S0 9,394 2

↑ transition elements↑31 Ga [Ar] 3d10 4s2 4p 2P 1/2 5,999 332 Ge [Ar] 3d10 4s2 4p2 3P 0 7,899 433 As [Ar] 3d10 4s2 4p3 4S3/2 9,788 634 Se [Ar] 3d10 4s2 4p4 3P 2 9,752 435 Br [Ar] 3d10 4s2 4p5 2P 3/2 11,813 836 Kr [Ar] 3d10 4s2 4p6 1S0 13,999 6

Runge-Lenzov vektor 235

Z Atóm Konfigurácia základného stavu HladinaIonizačnáenergia/eV

37 Rb [Kr] 5s 2S1/2 4,177 138 Sr [Kr] 5s2 1S0 5,694 9

↓ transition elements ↓39 Y [Kr] 4d 5s2 2D3/2 6,217 340 Zr [Kr] 4d2 5s2 3F 2 6,633 941 Nb [Kr] 4d4 5s 6D1/2 6,758 942 Mo [Kr] 4d5 5s 7S3 7,092 443 Tc [Kr] 4d5 5s2 6S5/2 7,2844 Ru [Kr] 4d7 5s 5F 5 7,360 545 Rh [Kr] 4d8 5s 4F 9/2 7,458 946 Pd [Kr] 4d10 1S0 8,336 947 Ag [Kr] 4d10 5s 2S1/2 7,576 248 Cd [Kr] 4d10 5s2 1S0 8,993 8

↑ transition elements↑49 In [Kr] 4d10 5s 5p 2P 1/2 5,786 450 Sn [Kr] 4d10 5s 5p2 3P 0 7,343 951 Sb [Kr] 4d10 5s 5p3 4S3/2 8,608 452 Te [Kr] 4d10 5s 5p4 3P 2 9,009 653 I [Kr] 4d10 5s 5p5 2P 3/2 10,451 354 Xe [Kr] 4d10 5s 5p6 1S0 12,129 855 Cs [Xe] 6s 2S1/2 3,893 956 Ba [Xe] 6s2 1S0 5,211 7

↓ lantanoidy↓57 La [Xe] 5d 6s2 2D3/2 5,576 958 Ce [Xe] 4f 5d 6s2 1G4 5,538 759 Pr [Xe] 4f3 6s2 4I9/2 5,47360 Nd [Xe] 4f4 6s2 5I4 5,525 061 Pm [Xe] 4f5 6s2 6H5/2 5,58262 Sm [Xe] 4f6 6s2 7F 0 5,643 763 Eu [Xe] 4f7 6s2 8S7/2 5,670 464 Gd [Xe] 4f7 5d 6s2 9D2 5,149 865 Tb [Xe] 4f9 6s2 6H15/2 5,863 866 Dy [Xe] 4f10 6s2 5I8 5,938 967 Ho [Xe] 4f11 6s2 4I15/2 6,021 568 Er [Xe] 4f12 6s2 3H6 6,107 769 Tm [Xe] 4f13 6s2 2F 7/2 6,184 370 Yb [Xe] 4f14 6s2 1S0 6,254 271 Lu [Xe] 4f14 5d 6s2 2D3/2 5,425 9

↑lantanoidy↑

236

Z Atóm Konfigurácia základného stavu HladinaIonizačnáenergia/eV

↓ transition elements↓72 Hf [Xe] 4f14 5d2 6s2 3F 2 6,825 173 Ta [Xe] 4f14 5d3 6s2 4F 3/2 7,549 674 W [Xe] 4f14 5d4 6s2 5D0 7,864 075 Re [Xe] 4f14 5d5 6s2 6S5/2 7,833 576 Os [Xe] 4f14 5d6 6s2 5D4 8,438 277 Ir [Xe] 4f14 5d7 6s2 4F 9/2 8,967 078 Pt [Xe] 4f14 5d9 6s 3D3 8,958 879 Au [Xe] 4f14 5d10 6s 2S1/2 9,225 580 Hg [Xe] 4f14 5d10 6s2 1S0 10,437 5

↑ transition elements↑81 Tl [Xe] 4f14 5d10 6s2 6p 2P 1/2 6,108 282 Pb [Xe] 4f14 5d10 6s2 6p2 3P 0 7,416 783 Bi [Xe] 4f14 5d10 6s2 6p3 4S3/2 7,285 584 Po [Xe] 4f14 5d10 6s2 6p4 3P 2 8,41485 At [Xe] 4f14 5d10 6s2 6p5 2P 3/2 10,748 586 Rn [Xe] 4f14 5d10 6s2 6p6 1S0 10,748 587 Fr [Rn] 7s 2S1/2 4,072 788 Ra [Rn] 7s2 1S0 5,278 4

↓ Aktinoidy↓89 Ac [Rn] 6d 7s2 2D3/2 5,1790 Th [Rn] 6d2 7s2 3F 2 6,306 791 Pa [Rn] 5f2 6d 7s2 4K11/2 5,8992 U [Rn] 5f3 6d 7s2 5L6 6,194 193 Np [Rn] 5f4 6d 7s2 6L11/2 6,265 794 Pu [Rn] 5f6 7s2 7F 0 6,026 095 Am [Rn] 5f7 7s2 8S7/2 5,973 896 Cm [Rn] 5f7 6d 7s2 9D2 5,991 497 Bk [Rn] 5f9 7s2 6H15/2 6,197 998 Cf [Rn] 5f10 7s2 5I8 6,281 799 Es [Rn] 5f11 7s2 4I15/2 6,42

100 Fm [Rn] 5f12 7s2 3H6 6,50101 Md [Rn] 5f13 7s2 2F 7/2 6,58102 No [Rn] 5f14 7s2 1S0 6,65103 Lr [Rn] 5f14 7s2 7p? 2P 1/2? 4,9?

↑ Aktinoidy↑104 Rf [Rn] 5f14 6d2 7s2? 3F 2? 6,0?

Literatúra

[1] Wikipedia. Photoelectric effect — wikipedia, the free encyclo-pedia, 2008. http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=

Photoelectric_effect&oldid=193926539, [Online; accessed 29-February-2008].

[2] Wikipédia. Fotoelektrický jav — wikipédia, slobodná encyk-lopédia, 2008. http://sk.wikipedia.org/w/index.php?title=

Fotoelektrick\%C3\BD_jav&oldid=1380026, [Online; prístup 29-február-2008].

[3] CRC. CRC Handbook of Chemistry and Physics, 88th Edition (CrcHandbook of Chemistry and Physics). CRC, 2007.

[4] Ľ.Zelenický A.Teleki, Á.Kecskés. Jadrová fyzika. Number 83 in Edíciaprírodovedec. Proton, 2001.

[5] Newell David B. Mohr Peter J., Taylor Barry N. Codata recommendedvalues of the fundamental physical constants: 2006. Rev.Mod.Phys.,80(2):633–730, 2006. http://physics.nist.gov/cuu/Constants/

RevModPhys_80_000633acc.pdf.

[6] Particle Data Group. Review of particle physics. Physics Letters B,667(1-5):1–1340, July 2008. http://pdg.lbl.gov/.

[7] Bohr Niels. On the constitution of atoms and molecules. Philos.Mag., 26:1–24, July 1913. http://web.ihep.su/dbserv/compas/src/

bohr13/eng.pdf [Online; accessed 2-August-2009].

[8] H.G.J. Moeseley. The high frequency spectra of the elements.Phil. Mag., page 1024, 1913. http://chimie.scola.ac-paris.fr/

sitedechimie/hist_chi/text_origin/moseley/Moseley-article.

htm.

237

238

[9] Kramida A.E. Reader J. Ralchenko, Yu. and NIST ASD Team (2008).Nist atomic spectra database (version 3.1.5). [Online]. Available: http://physics.nist.gov/asd3 [2009, May 28]. National Institute of Stan-dards and Technology, Gaithersburg, MD.

[10] E. Richard Cohen et. al. Quantities, Units and Symbols in PhysicalChemistry. Royal Society of Chemistry, 2007.

[11] O. W. Richardson. A mechanical effect accompanying magnetization.Physical Review (Series I), 26(3):248–253, 1908.